UNSCH/FIMGC/EFPIC-A.AHUI.P. RESISTENCIA DE MATERIALES 1-09

UNSCH/FIMGC/EFPIC-A.AHUI.P. RESISTENCIA DE MATERIALES 1-09

SEGUNDO CAPTULO:

DEFORMACIN UNITARIA Y PROPIEDADES MECNICAS DE MATERIALES

2.1 INTRODUCCINEn este captulo 1, se analizaron los esfuerzos que las cargas aplicadas a una estructura o mquina crean en varios elementos y conexiones. Se aprendi a disear elementos y conexiones simples de manera que no fallaran en las condiciones de cargas especificadas. Otro aspecto importante del anlisis y diseo de estructuras se relacionan con las deformaciones que causan las cargas aplicadas a la estructura. Obviamente es importante evitar las deformaciones tan grandes que puedan impedir que la estructura cumpla el propsito para el cual se concibi, pero el anlisis de deformaciones puede ayudarnos tambin en el clculo de los esfuerzos. En realidad no es siempre posible hallar las fuerzas en los elementos de una estructura por esttica nicamente. Esto ocurre porque la esttica se basa en la hiptesis de estructuras rgidas, indeformables.

Considerando las estructuras utilizadas por los ingenieros como deformables y estudiando sus deformaciones, ser posible calcular fuerzas que son estticamente indeformables, es decir, indeterminadas dentro del marco de la esttica. En este captulo se discutir acerca de las deformaciones de un elemento estructural, tal como una barra o platina sometida a carga axial.

Primero se definir deformacin normal en el elemento como la deformacin del elemento por unidad de longitud. Elaborando la grfica del esfuerzo contra la deformacin , a medida que la fuerza aplicada al elemento aumenta, se obtendr un diagrama esfuerzo deformacin para el material utilizado. De tal diagrama pueden determinarse algunas propiedades importantes del material, tales como su mdulo de elasticidad y si el material es dctil o frgil. A partir del diagrama esfuerzo deformacin podr determinarse tambin si las deformaciones de la muestra desaparecern despus que se haya retirado la carga, en cuyo caso decimos que el material se comporta elsticamente.

2.2 DEFORMACIN UNITARIA AXIALCuando se aplica una fuerza a un cuerpo, sta tiende a cambiar la forma y tamao del cuerpo. A esos cambios se llama deformacin y esta puede ser visible o prcticamente inadvertida si no se emplea el equipo apropiado para hacer mediciones precisas. Ejemplo un material hecho de hule se deformar grandemente cuando se estira. En cambio, los elementos estructurales de una vivienda se deformarn muy pequeamente debido a las fuerzas que los soportan. Entonces, las deformaciones son producidas por las fuerzas axiales y aumentan de longitud; tambin cambiar su forma. Las deformaciones se producirn tambin por el cambio de temperatura (dilatacin), por las velocidades de rotacin (fuerzas centrfugas).

El desplazamiento es una magnitud vectorial que se usa para medir el movimiento de una partcula o punto de una posicin a otra. Por tanto si un cuerpo se clasifica como deformable, sus partculas adyacentes pueden desplazarse entre si cuando se aplican fuerzas al cuerpo. Por otra parte, si el cuerpo es rgido no ocurrir ningn desplazamiento relativo entre las partculas.

Con objeto de describir la deformacin por cambios en la longitud de segmentos de lneas y los cambios en los ngulos entre ellos, desarrollaremos el concepto de deformacin unitaria.

2.2.1 DEFORMACIN UNITARIA NORMAL.

El alargamiento o contraccin de un segmento de lnea por unidad de longitud se llama deformacin unitaria normal. En la figura consideremos la lnea AB que est contenida dentro de un cuerpo no deformado, sta lnea est situada a lo largo del eje n y tiene una longitud original s. Durante la deformacin, los puntos A y B se desplazaran a los puntos A y B y la lnea recta se convierte en curva con longitud s. En cambio en longitud de la lnea es entonces s-s. Si se define la deformacin unitaria normal promedio por prom: ..(1) Si se conoce la deformacin unitaria normal, podemos usar esta ecuacin para obtener la longitud final aproximada de un segmento corto de lnea en la direccin de n, despus de que ha sido deformado, tenemos:

..(1)

.(2). Por tanto, cuando es positiva, la lnea inicial s se alargar, mientras que si es negativa, la lnea se contraer.

Unidades.- La deformacin unitaria normal es una cantidad adimensional, ya que es una relacin entre longitudes, como es una cantidad muy pequea; en el sistema SI, sera = m/m, pues las mediciones del alargamiento es en micrmetros, =m/m = ) micros. 1m = 10-6m. En el sistema ingls = pulg/pulg. En trabajos experimentales a veces el alargamiento se expresa en porcentaje. As 0.001 m/m = 0.1%; Como ejemplo un alargamiento normal de 450x10-6 puede ser reportado como 480x10-6 pulg/pulg, 450 m/m o como 0.0480%; tambin se puede establecer esta respuesta simplemente como 450 micras).

2.2.2 DEFORMACIN NORMAL BAJO CARGA AXIAL

Sea una barra BC, de longitud L y seccin transversal S, que est suspendida de B; si se aplica una fuerza P en el extremo C, la barra se alarga. Se define deformacin normal en una barra bajo carga axial como el alargamiento por unidad de longitud de dicha barra, se tiene (psilon) ..(2) es adimensional, tambin con valores sucesivos de L que se han registrado, y sumando los sucesivos valores de , se define la deformacin verdadera como:

(3)

Ejemplo.- Una barra de 50 cm. de longitud de seccin uniforme, experimenta un alargamiento = 120x10-6 m; la deformacin correspondiente es: Observe que el alargamiento pudo expresarse en micrmetros, = 120 m. Se escribe tambin se lee 240 micros. Si se usa el sistema ingls, la longitud y el alargamiento de la misma barra son, respectivamente, L= 0.50 / 0.0254 = 19.685 pulg y = 120x10-6 / 0.0254 = 4.724x10-3 pulg. La deformacin correspondiente es:

que es el mismo valor encontrado usando unidades SI. Alternativamente se puede escribir tambin en ingls: = 240 pulg/pulg. Por ltimo en unidades prcticas

2.2.3 DEFORMACIN UNITARIA CORTANTE.

El cambio en el ngulo que ocurre entre dos segmentos de lnea que originalmente eran perpendiculares entre si se llama deformacin unitaria cortante. Este ngulo se denota por gamma) y se mide en radianes (rad). Para mostrar cmo se desarrolla, consideremos los segmentos de lnea AB y AC partiendo desde el mismo punto A en un cuerpo, y dirigidos a lo largo de los ejes perpendiculares n y t, (ver figura). Despus de la deformacin, los extremos de las lneas se desplazan, y las lneas mismas se vuelven curvas, de modo que el ngulo entre ellas en A es (ver figura). De aqu definimos la deformacin unitaria cortante en el punto A que esta asociada con los ejes n y t como:

BA (a lo largo de n); CA (a lo largo de t)(4)Se advierte que si es menor que /2, la deformacin unitaria cortante es positiva, mientras que si es mayor que /2, la deformacin unitaria cortante es negativa.

Componentes cartesianos de la deformacin unitaria.- Usando las definiciones anteriores de la deformacin unitaria normal y cortante mostraremos ahora cmo pueden utilizarse para describir la deformacin del cuerpo mostrado en la figura (a), para hacerlo imaginemos que el cuerpo esta subdividido en pequeos elementos como el que se muestra en la figura (b). Este elemento es rectangular tiene dimensiones no deformadas x, y, z y est ubicado en la vecindad de un punto en el cuerpo, figura (a). Suponiendo que las dimensiones del elemento son muy pequeas, la forma deformada del elemento, como se muestra en la figura (c), ser la de un paraleleppedo, ya que segmentos de lnea muy pequeos permanecern aproximadamente rectos despus de que el cuerpo se haya deformado. Con objeto de obtener esta forma deformada, podemos primero considerar como la deformacin unitaria normal cambia las longitudes de los lados del elemento rectangular y luego cmo la deformacin unitaria cortante cambia los ngulos de cada lado. Por tanto usando la ecuacin (1),, con referencia a las lneas x, y, z, las longitudes aproximadas de los lados del paraleleppedo son: ; ; ; y los ngulos aproximados entre los lados, de nuevo originalmente definidos por los lados x, y, z, son: ; ; .En particular, se advierte que las deformaciones unitarias normales causan un cambio en el volumen del elemento rectangular, mientras que las deformaciones unitarias cortantes causan un cambio en su forma.

Por supuesto, ambos efectos ocurren simultneamente durante la deformacin. Podra aadirse que a causa de que los dems elementos del cuerpo se deforman, el elemento en consideracin no solo se deformara sino que tambin se trasladar y girar, puesto que se est desplazando por las deformaciones de los dems elementos.

En resumen el estado de deformacin unitaria en un punto del cuerpo requiere que se especifiquen tres deformaciones unitarias normales x, y, z; y tres deformaciones unitarias cortantes xy; yz; zx. Estas deformaciones unitarias describen completamente la deformacin de un elemento de volumen rectangular de material ubicado en el punto y orientado de manera que sus lados sean originalmente paralelos a los ejes x, y, z. Una vez que se haya definido estos alargamientos en todos los puntos del cuerpo, podr entonces describirse la forma deformada del cuerpo.

Debera aadirse tambin que, al conocer el estado de deformacin unitaria en un punto, definido por sus seis componentes, ser posible determinar las componentes de la deformacin unitaria en un elemento situado en el punto y orientado en cualquier otra direccin.

1. Ejercicio.- En la figura (a), la carga P ocasiona que el alambre CE en su extremo C se desplace 10 mm hacia abajo, determine las las deformaciones unitarias normales desarrolladas en los alambres CE y BD.

Solucin.- Del Diagrama de deformaciones (DD) que se demuestra en la figura (b), y de la semejanza de tringulos, se obtiene las relaciones:

2. Ejercicio.- La barra delgada que se muestra en la figura, est sometida a un incremento de temperatura a lo largo de su eje, lo que genera una deformacin unitaria normal en la barra de ; donde z esta dada en metros. Determine (a) el desplazamiento del extremo B de la barra debido al incremento de temperatura y (b) la deformacin unitaria normal promedio en la barra.

Solucin.- Parte (a). Como la deformacin unitaria normal esta dada en cada punto a lo largo de la barra, un segmento diferencial dz, en la posicin z de la figura, tiene una longitud deformada que puede determinarse con la Ec. Esto es:

La suma total de estos segmentos a lo largo del eje da la longitud deformada de la barra, es decir.

; el desplazamiento del extremo de la barra es entonces: B = 0.26323 - 0.25 = 0.01323m=13.23 mmParte (b). La deformacin unitaria normal promedio en la barra se determina, as. La barra tiene una longitud original de 250 mm y un cambio en longitud de 13.23 mm. Por tanto:

3. Ejercicio.- Una fuerza que acta en la agarradera del brazo de la palanca mostrada en la figura (a) ocasiona que el brazo gire en sentido horario un ngulo = 0.0025 rad. Determine la deformacin unitaria normal promedio desarrollada en el alambre BC.Solucin.- La longitud del alambre CB, puede calcularse con el diagrama de desplazamiento mostrado en la figura (b). Se tiene:

Como entonces

Si es pequeo, y por lo que: Finalmente, usando la Ec. con n = , se tiene:

La deformacin unitaria normal promedio en el alambre es entonces:

Otra solucin alterna: Como es pequeo, el alargamiento en el alambre CB, figura (b), es Lsen, de acuerdo a la Ec. La deformacin unitaria normal promedio en el alambre es entonces:

4. Ejercicio.- La placa es deformada y adquiere la forma mostrada con lneas punteadas en la figura (a). Si en esta configuracin deformada las lneas horizontales sobre la placa permanecen horizontales y no cambian su longitud; determine (a) la deformacin unitaria normal promedio a lo largo del lado AB y (b) la deformacin unitaria cortante promedio en la placa relativa a los ejes x,y.Solucin.- Parte (a). La lnea AB, que coincide con el eje (y), se convierte en la lnea AB despus de la deformacin, como se muestra en la figura (b). La longitud de esta lnea es:

La deformacin unitaria normal promedio de AB es entonces:

El signo negativo indica que la deformacin unitaria ocasiona una contraccin de AB.Parte (b).- Como se ve en la figura (c), el ngulo BAC originalmente recto entre los lados de la placa y medido desde los ejes x,y, cambia a debido al desplazamiento de B a B. Como: xy = /2 - Entonces xy es el ngulo mostrado en la figura. As:

5. Ejercicio.- La placa mostrada en la figura (a), se mantiene entre las guas rgidas horizontales en sus partes superior e inferior, AD y BC. Si a su lado derecho CD se le da un desplazamiento horizontal uniforme de 3 mm, determine (a) la deformacin unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal AC y (b) la deformacin unitaria cortante en E relativa a los ejes x, y.Solucin.- Parte (a).- Cuando la placa se deforma, la diagonal AC y AC figura b). La longitud de los diagonales AC y AC puede calcularse con el teorema de Pitgoras:

Por tanto, la deformacin unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal es:

Parte (b).- Para determinar la deformacin unitaria cortante en E relativa a los ejes x, y, es necesario 1ro. Encontrar el ngulo , despus de la deformacin.

La deformacin unitaria cortante en E es:

De acuerdo con la conversin de signos, el signo negativo indica que el ngulo es mayor de 90, advertir que si los ejes x, y, fuesen horizontal y vertical, entonces debido a la deformacin unitaria en el punto E.

6. Ejercicio.- Los dos alambres estn conectados en A. Si la fuerza P ocasiona que el punto A se desplace horizontalmente 2 mm, determine la deformacin unitaria normal desarrollada en cada alambre.

7. Ejercicio.- El alambre est sometido a una deformacin unitaria normal definida por , donde x est en milmetros. Si el alambre tiene una longitud inicial L, determine el incremento en su longitud.

8. Ejercicio.- La placa rectangular est sometida a la deformacin mostrada por las lneas interrumpidas. Determine las deformaciones unitarias cortantes y desarrolladas en el punto A.

9. Ejercicio.- Las tres cuerdas estn unidas al anillo en B. Cuando se aplica una fuerza al anillo, ste se mueve al punto B de modo que la deformacin unitaria normal en AB es AB y la deformacin unitaria normal en CB es CB. Considerando que esas deformaciones unitarias son pequeas, determine la deformacin unitaria normal en DB. Observe que AB y CB permanecen horizontales y verticales respectivamente, debido a las guas de los rodillos en A y C.

10. Ejercicio.- Parte del varillaje de mando de un avin consiste en un miembro rgido CBD y en un cable flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D del miembro y ocasiona que ste gire = 0.3, determine a) la deformacin unitaria normal en el cable. Originalmente el cable no est estirado, b) si ocasiona la deformacin unitaria normal en el cable de 0.0035 mm/mm, hallar el desplazamiento del punto D.

2.3 PROPIEDADES MECNICAS DE LOS MATERIALES

2.3.1 DIAGRAMA DE TENSIN Y DEFORMACIN UNITARIA

La resistencia de un material no es el nico criterio a tener en cuenta en el proyecto de estructuras. Frecuentemente, la rigidez suele tener la misma o mayor importancia. En menor grado otras propiedades tales como la dureza, la tenacidad y la ductilidad tambin influyen en la eleccin de un material. Esto se consigue, en el ensayo del material sometido a tensin y deformacin.

La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga sin deformacin excesiva o falla. Esta propiedad es inherente al material mismo y debe determinarse por experimentacin. En consecuencia, se han desarrollado varios tipos de pruebas para evaluar la resistencia del material bajo cargas estticas, cclicas, de duracin prolongada. En Amrica, las pruebas estn normalizadas a travs del ASTM y en ello proporciona los lmites dentro de los cuales es aceptable el uso de un material dado.Entre las pruebas ms importantes estn las pruebas de tensin y compresin. Aunque con estas pruebas pueden determinarse muchas propiedades mecnicas importantes de un material, se utilizan principalmente para determinar la relacin entre el esfuerzo normal promedio y la deformacin normal unitaria en muchos materiales utilizados en ingeniera, sean de metal, cermica, polmetros o compuestos.

Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espcimen o probeta de forma y tamao estndar. Antes de las pruebas, se imprimen con un punzn a la probeta dos marcas pequeas a lo largo de sta. Esta marcas se colocan lejos de los extremos del espcimen porque la distribucin del esfuerzo en los extremos es un tanto compleja debido al agarre de las conexiones cundo se aplica una carga.

Se toman mediciones tanto del rea de la seccin transversal inicial del espcimen, Ao, como de la distancia Lo de la longitud calibrada entre las marcas del punzn. Ejemplo, un espcimen de acero en prueba de tensin el dimetro inicial do = 0.5 pulg y una longitud calibrada de Lo = 2 pulg. Se coloca a la mquina de prueba, para estirarlo lentamente hasta alcanzar el punto de rotura. La mquina, da lecturas de carga requerida para mantener este alargamiento uniforme.

Durante la prueba, y a intervalos frecuentes, se registran los datos de la carga aplicada P, a medida que se leen en la cartula de la mquina. Tambin puede medirse el alargamiento = L- Lo entre las marcas que se hicieron en el espcimen con el punzn, usando ya sea con un calibrador o un dispositivo ptico o mecnico llamado extensmetro. Este valor (delta) se usa luego para determinar la deformacin unitaria normal promedio en el espcimen, otro medidor de deformacin unitaria es usando un calibrador con resistencia elctrica.

A partir de los datos de un ensayo de tensin o de compresin, es posible calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deformacin unitaria en el espcimen y luego graficar los resultados. La curva resultante se llama diagrama esfuerzo deformacin unitaria y hay dos maneras de describirlo.

Este clculo supone que el esfuerzo es constante en la seccin transversal y en toda la regin entre los puntos calibrados. Se tiene:

De la misma manera, la deformacin nominal o de ingeniera se determina directamente leyendo, el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibrada entre la longitud calibrada original del espcimen Lo. Aqu se supone que la deformacin unitaria es constante en la regin entre los puntos calibrados. Entonces: si se grafican los valores correspondientes de y con los esfuerzos como ordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas la curva resultante se llama diagrama de esfuerzo deformacin unitaria. Este diagrama es muy importante en la ingeniera ya que proporciona los medios para obtener datos sobre la resistencia a tensin (o a compresin) de un material sin considerar el tamao o forma geomtrica del material. Sin embargo, debe ser claro que nunca sern exactamente iguales dos diagramas esfuerzo- deformacin unitaria para un material particular, ya que los resultados dependen entre otras variables de la composicin del material, de imperfecciones microscpicas, de la manera en que est fabricado, de la velocidad de carga y de la temperatura durante la prueba.

2.3.1.1 Caractersticas de la Curva Convencional Esfuerzo Deformacin unitaria del acero.- Es el material comnmente utilizado para la fabricacin de miembros estructurales y elementos mecnicos, en la Figura se muestra el Diagrama. En esta curva podemos identificar cuatro maneras diferentes en que el material se comporta, dependiendo de la cantidad de deformacin unitaria inducida en el material.

Figura Diagrama tensin deformacin para el acero dulce.

Figura Curva tensin deformacin uniaxial

- Tramo de Proporcionalidad (OA).- En este tramo inicial se cumple la ley de Hooke, es decir, la relacin entre tensin y deformacin es lineal para tensiones inferiores al valor p que se llama lmite de proporcionalidad. La pendiente del tramo determina el valor del mdulo de elasticidad o de Young (E) del material. El coeficiente de Poisson puede calcularse como la relacin entre la deformacin transversal y la longitudinal, = - t /

- Tramo Elstico (OB).- En este tramo la descarga se produce de forma elstica, es decir, sin que aparezcan deformaciones permanentes al disminuir la carga hasta anularla. Se llama lmite elstico (e) a la mxima tensin que se puede alcanzar sin que se produzcan deformaciones permanentes, tambin llamadas inelsticas no lineal, puede ser ms o menos observable dependiendo del material.

- Tramo Plstico (BD).- En este tramo se observa deformacin permanente al descargar la probeta, por ejemplo la marcada OL en el diagrama. Se llama lmite de Fluencia (f) a la tensin a partir de la cual el material se deforma casi sin aumento de la tensin.

- Tramo de fluencia (CD).- En este tramo la deformacin aumenta sin que se produzca un aumento apreciable de la tensin. Hasta llegar al punto D la deformacin longitudinal y las deformaciones transversales son sensiblemente uniformes a lo largo de la longitud de la probeta.

- Tramo de endurecimiento por deformacin (DE).- A partir de un determinado valor de la deformacin, la tensin necesaria para seguir aumentando la deformacin plstica se incrementa. A este fenmeno se le llama endurecimiento por deformacin y suele venir acompaado por prdida del estado uniforme de deformaciones y el inicio de la localizacin de stas en la zona media de la probeta.

- Tramo de Estriccin (EF).- En este tramo se observa que la seccin de una parte de la probeta comienza a disminuir de forma apreciable. Este fenmeno de localizacin de las deformaciones longitudinales y transversales, con prdida del estado uniforme anterior, se denomina estriccin. La aparente prdida de tensin en este tramo se debe a la definicin nominal de la tensin, que est calculada sobre el rea inicial de la probeta, en este lugar de calcularla sobre el rea real en cada momento, y que es menor debido a la estriccin. Se denomina tensin de rotura (r) a la mxima tensin medida en el ensayo.

El tipo de curva tensin deformacin descrita corresponde a los materiales llamados dctiles, como por ejemplo el acero o el cobre, que presentan un marcado comportamiento plstico y alcanzan la rotura con un nivel elevado de deformacin. As, para estos materiales, y y los tramos descritos son fcilmente identificables.

Figura Curva Tensin Deformacin para Materiales Frgiles

En otros materiales como, por ejemplo, la fundicin, el hormign o el vidrio, llamados frgiles, no se presenta una zona de fluencia plstica bien definida. En estos materiales se toma convencionalmente como tensin de fluencia, f, la correspondiente a una deformacin permanente de 0,2 % (ver Figura). Estos materiales rompen con poca deformacin bruscamente, circunstancia peligrosa para la seguridad de las estructuras.

No obstante lo dicho, no es del todo riguroso calificar a un material concreto como dctil o frgil, ya que el comportamiento mecnico depende en gran medida de las condiciones de carga. As, un acero dctil en condiciones normales puede mostrar un comportamiento marcadamente frgil a bajas temperaturas o a altas velocidades de carga. Por otra parte, el hierro fundido o el vidrio muestran un comportamiento dctil a altas temperaturas.

Debe sealarse tambin que muchos materiales frgiles exhiben resistencias muy diferentes segn estn solicitados a traccin o a compresin. As por ejemplo, el hormign y la mayora de las rocas naturales tienen un Figura: Curva Tensin- Deformacin para el Hormign comportamiento muy frgil a traccin con una resistencia relativamente baja. Por otro lado, su comportamiento a compresin es mucho ms dctil, aunque sin mostrar una zona clara de fluencia, y su resistencia a compresin es mucho mayor que a traccin, del orden de 10 veces mayor, tal como se muestra en la figura.

Los aceros de construccin, en cambio, tienen un comportamiento parecido en traccin y en compresin (para piezas poco esbeltas), y con marcados tramos de fluencia en ambos casos. Para estos materiales la curva tensin deformacin se suele representar mediante diagramas trilineales, en los que slo se consideran los tramos proporcionales y los tramos de fluencia. Otros tipos de aleacin de acero, por su participacin, apenas muestran un tramo horizontal de fluencia, pero tienen una zona clara de endurecimiento por deformacin, habitualmente lineal.

Las investigaciones demuestran que durante la fluencia se producen importantes deslizamientos relativos entre los cristales. Como consecuencia de estos deslizamientos, en la superficie de la probeta aparecen las llamadas lneas de Chernov - Lders, que forman con el eje de la misma un ngulo de 45.

2.3.2 COMPORTAMIENTO ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA DE MATERIALES DCTILES Y FRGILES

Los materiales pueden clasificarse como dctiles o frgiles dependiendo de sus caractersticas esfuerzo deformacin unitaria. Trataremos a cada uno por separado.

2.3.2.1 MATERIALES DCTILES

Todo material que pueda estar sujeto a deformaciones unitarias grandes antes de su rotura se llama material dctil. El acero dulce (de bajo contenido de carbono) y otras aleaciones de otros materiales, del que hemos hablado antes, es un ejemplo tpico, donde es la capacidad de fluir a temperatura normal. Los ingenieros a menudo eligen materiales dctiles para el diseo, ya que estos materiales son capaces de absorber impactos o energa y, si sufren sobrecarga, exhibirn normalmente una deformacin grande antes de su falla. Una manera de especificar la ductilidad de un material es reportar su porcentaje de elongacin o el porcentaje de reduccin de rea (estriccin) en el momento de la fractura. El porcentaje de elongacin es la deformacin unitaria del espcimen en la fractura expresada en porcentaje. As pues, si la longitud original entre las marcas calibradas de una probeta es Lo y su longitud durante la ruptura es Lf, entonces.

Porcentaje de elongacin =

El porcentaje de reduccin del rea es otra manera de especificar la ductilidad. Est definida dentro de la regin de formacin del cuello como sigue: Porcentaje de reduccin del rea = Aqu Ao es el rea de la seccin transversal original y Af es el rea en la fractura. Un acero dulce tiene un valor tpico de 60%. Notemos que la rotura ocurre en una superficie casi cnica que forman un ngulo de 45 aproximadamente con la superficie original de la probeta. Esto nos indica que los esfuerzos cortantes son principalmente los causantes de las fallas de materiales dctiles y confirman el hecho de que, bajo carga axial, los esfuerzos cortantes mximos ocurren en superficies a 45 de la carga.

El alargamiento de la probeta despus que ha comenzado a fluir puede ser 200 veces mayor que el producido antes de fluir. Despus de alcanzar cierto valor mximo de la carga, el dimetro de una parte de la probeta comienza a disminuir debido a la inestabilidad local. Este fenmeno se conoce como estriccin.

Adems del acero, otros materiales como el latn, el molibdeno y el zinc pueden tambin exhibir caractersticas de esfuerzo-deformacin dctiles similares al acero, y experimentan un comportamiento de esfuerzo-deformacin elstico, tienen fluencia bajo esfuerzo constante, se endurecen por deformacin y finalmente sufren la estriccin hasta su ruptura. Sin embargo, en la mayora de los metales no se presenta una fluencia ms all de la zona elstica. Un ejemplo de esto es el aluminio. En realidad este metal no tiene un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente es una prctica normal definir una resistencia de fluencia para el aluminio usando un procedimiento grfico llamado mtodo de la desviacin. Normalmente se elige una deformacin unitaria del 0.2% (0.002 pulg/pulg) y desde este punto situado sobre el eje en el diagrama de esfuerzo-deformacin, se traza una lnea paralela a la porcin recta inicial de la curva. El punto en que esta lnea interfecta a la curva define la resistencia de fluencia. Un ejemplo de la construccin de un diagrama para determinar la resistencia de fluencia de una aleacin de aluminio se muestra en la figura. Segn la prctica, la resistencia de fluencia es YS = 51 ksi (352 MPa).

Observe que la resistencia de fluencia no es una propiedad fsica del material, puesto que es un esfuerzo que caus una deformacin unitaria permanente especificada en el material. Sin embargo, supondremos que la resistencia de fluencia, el punto de fluencia, el lmite elstico y el lmite de proporcionalidad coinciden todos ellos, a no ser que se establezca de otra manera. Por ejemplo el hule natural sera una excepcin, ya que de hecho ni siquiera tiene un lmite proporcional, puesto que el esfuerzo y la deformacin unitaria no estn linealmente relacionados (ver figura). En cambio este material, que se conoce como un polmero, exhibe un comportamiento elstico no lineal.

La madera es a menudo un material moderadamente dctil, y como resultado se disea por lo general para responder slo a cargas elsticas. Las caractersticas de resistencia de la madera varan mucho de una especie a otra, y para cada especie dependen del contenido de humedad, la edad y el tamao o la localizacin de los nudos en la madera. Puesto que la madera es un material fibroso, sus caractersticas de tensin o de compresin difieren mucho cuando recibe carga paralela o perpendicularmente a su grano. Especficamente la madera se abre con facilidad cuando se carga en tensin perpendicularmente a su grano y, por consiguiente, las cargas de tensin suelen casi siempre aplicarse paralelas al grano de los miembros de madera.

2.3.2.2 MATERIALES FRGILES

Los materiales que exhiben poca o ninguna fluencia antes de su rotura se llama materiales frgiles. Un ejemplo es el hierro colado, o hierro gris, cuyo diagrama de esfuerzo-deformacin bajo tensin se muestra por la porcin AB de la curva en la figura. Aqu la fractura a f = 22 ksi (152 MPa) tiene lugar inicialmente en una imperfeccin o una grieta microscpica y luego se extiende rpidamente a travs de la muestra, ocasionando una fractura completa. Como resultado de este tipo de falla, los materiales frgiles no tienen un esfuerzo de ruptura bajo tensin bien definido, puesto que la aparicin de grieta en una muestra es bastante aleatoria. En cambio, suele reportarse el esfuerzo de ruptura promedio de un grupo de pruebas observadas. En la figura, se muestra una probeta tpica en la que ha ocurrido la falla.

Comparados con su comportamiento bajo tensin, los materiales frgiles como el hierro colado exhiben una resistencia mucho ms elevada a la compresin axial, como se evidencia por la porcin AC de la curva en la figura. En este caso cualquier grieta o imperfeccin en la probeta tiende a cerrarse, y conforme la carga aumenta el material generalmente se abombar o adquirir forma de barril a medida que las deformaciones unitarias van siendo ms grandes, ver la figura.

Al igual que el hierro colado, el concreto se clasifica tambin como material frgil y tiene baja capacidad de resistencia a la tensin. Las caractersticas de su diagrama esfuerzo-deformacin dependen primordialmente de la mezcla del concreto (agua, arena, grava y cemento) y del tiempo y temperatura del curado.

En la figura se muestra un ejemplo tpico de un diagrama de esfuerzo-deformacin completo para el concreto. Por inspeccin, su resistencia mxima a la compresin es de casi 12.5 veces mayor que su resistencia a la tensin, (c)mx = 5 ksi (34.5 MPa) contra (t)mx = 0.40 ksi (2.76 MPa). Por esta razn, el concreto casi siempre se refuerza con barras de acero cuando est diseado para soportar cargas de tensin.

Puede afirmarse, por lo general, que la mayora de los materiales exhiben un comportamiento tanto dctil como frgil. Por ejemplo, el acero tiene un comportamiento frgil cuando tiene un contenido de carbono alto, y es dctil cuando el contenido de carbono es reducido. Tambin los materiales se vuelven ms duros y frgiles a temperaturas bajas, mientras que cuando la temperatura se eleva, se vuelven ms blandos y dctiles. Este efecto se muestra en la figura, para un plstico metacriltico.

2.3.3 LEY DE HOOKE

Como se ha visto en los diagramas anteriores de esfuerzo-deformacin para la mayora de los materiales de ingeniera exhiben una relacin lineal entre el esfuerzo y la deformacin unitaria dentro de la regin elstica. Por consiguiente, un aumento en el esfuerzo causa un aumento proporcional en la deformacin unitaria. Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en 1676 en los resortes, y se conoce como Ley de Hooke. Puede expresarse matemticamente como: .(1)

Aqu E representa la constante de proporcionalidad, que se llama mdulo de elasticidad o mdulo de Young, en honor de Thomas Young quien public en 1807 un trabajo sobre el tema.

La ecuacin (1) representa en realidad la ecuacin de la porcin inicial recta del diagrama esfuerzo-deformacin hasta el lmite proporcional. Adems el mdulo de elasticidad representa la pendiente de esta lnea. Puesto que la deformacin unitaria no tiene dimensiones, segn la ecuacin (1), E tendr unidades del esfuerzo, tales como psi, ksi, pascales. Como ejemplo, para el acero mostrado en los diagramas anteriores p = 35 ksi y p = 0.0012 pulg/pulg, de modo que: Como se muestra en la figura 2.3.1, el lmite proporcional para un tipo particular de acero depende de su contenido de aleacin sin embargo, la mayora de los grados de acero, desde el acero rolado ms suave hasta el acero de herramientas ms duro, tienen aproximadamente el mismo mdulo de elasticidad, que generalmente se acepta como de Eac = 29x103 ksi 200 GPa, mientras que los materiales esponjosos como el hule vulcanizado pueden tener valores bajos Ehule = 0.10x103 ksi 0.70 MPa.

El mdulo de elasticidad es una de las propiedades mecnicas ms importantes usadas en el desarrollo de las ecuaciones presentadas en este texto. Por tanto, deber siempre recordarse que E puede usarse slo si el material tiene un comportamiento elstico lineal. Tambin, si el esfuerzo en el material es mayor que el lmite proporcional, el diagrama de esfuerzo-deformacin deja de ser una lnea recta y la ecuacin (1) ya no es vlida.

2.3.3.1 ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIN

Si una probeta de material dctil como el acero, es cargada dentro de la zona plstica y luego descargada, la deformacin elstica se recupera cuando el material retorna a su estado de equilibrio. Sin embargo, la deformacin plstica permanece y como resultado, el material queda sometido a una deformacin permanente. Por ejemplo, cuando un alambre se dobla (plsticamente) cuando se quita, reportear un poco (elsticamente) cuando se quita la carga; sin embargo, no retornara por completo a su posicin original. Ver diagramas (a) y (b).

2.3.4 ENERGA DE DEFORMACIN

Un material tiende a almacenar energa internamente en todo su volumen al ser deformado por una carga externa. Puesto que esta energa est relacionada con las deformaciones del material, recibe el nombre de energa de deformacin unitaria. El almacenamiento es un volumen elemental del material cuando la energa es ocasionada por un esfuerzo uniaxial, es pues la capacidad del material en absorber energa.

Cuando una probeta de ensayo bajo tensin se somete a una carga axial, un volumen elemental del material sufre un esfuerzo uniaxial como se muestra en la figura 1. Este esfuerzo desarrolla una fuerza F = A = (x.y) en las caras superior e inferior del elemento despus de que ste sufre un desplazamiento vertical z. Ahora se formula el trabajo de esta fuerza.

Por definicin, el trabajo se determina por el producto de la fuerza y el desplazamiento en la direccin de la fuerza. Puesto que la fuerza F aumenta uniformemente desde cero hasta su magnitud final F cuando se alcanza el desplazamiento z. el trabajo efectuado en el elemento por la fuerza es igual a la magnitud de la fuerza promedio ( F/2) por el desplazamiento z . Este trabajo externo es equivalente al trabajo interno o energa de deformacin unitaria almacenada en el elemento (suponiendo que no se pierde energa en forma de calor). Por consiguiente, la energa de deformacin unitaria es: Puesto que el volumen del elemento es V = x.y.z, entonces , A veces es conveniente formular la energa de deformacin unitaria por unidad de volumen del material. Esto se llama densidad de energa de deformacin unitaria, y de acuerdo con la ecuacin anterior puede expresarse como:

Si el comportamiento del material es elstico lineal entonces es aplicable la Ley de Hooke, = E y por tanto podemos expresar la densidad de energa de deformacin unitaria en trminos del esfuerzo uniaxial como:

2.3.4.1 Mdulo de resiliencia En particular, cuando el esfuerzo alcanza el lmite proporcional, a la densidad de la energa de la deformacin unitaria, calculada con las ecuaciones (1) y (2), se le llama mdulo de resiliencia, esto es.

En la regin elstica del diagrama esfuerzo-deformacin unitaria, figura (a), se deduce que ur es equivalente al rea triangular bajo el diagrama. La resiliencia de un material representa fsicamente la capacidad de ste de absorber energa sin ningn dao permanente en el material.

2.3.4.2 Mdulo de tenacidadOtra propiedad importante de un material es el mdulo de tenacidad (ut) Esta cantidad representa el rea total dentro del diagrama esfuerzo-deformacin, figura (b), y por consiguiente indica la densidad de la energa de deformacin unitaria del material precisamente antes de que se rompa. Comparando diversos valores de ut, se puede determinar la tenacidad de un material particular.

Esta consideracin resulta importante cuando se disean miembros que puedan sobrecargarse accidentalmente. Los materiales con un mdulo de tenacidad elevado se distorsionarn mucho debido a una sobrecarga; sin embargo, pueden ser preferibles a aquellos con un valor bajo, puesto que los materiales que tienen un ut bajo pueden fracturarse de manera repentina sin indicio alguno de una falla prxima. Los metales aleados pueden tambin cambiar su resiliencia y tenacidad. Por ejemplo, al cambiar el porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-deformacin resultantes en la figura (c) indican como pueden cambiar a su vez los grados de resiliencia y de tenacidad en tres aleaciones.

1. Ejercicio. Una prueba de tensin para una aleacin de acero como resultado el diagrama esfuerzo-deformacin unitaria mostrado en la figura (1). Calcule el mdulo de elasticidad y el esfuerzo de cedencia con base en una desviacin de 0.2%. Identifique sobre la grfica el esfuerzo ltimo y el esfuerzo de fractura.

Solucin.- a) Mdulo de elasticidad.- Debemos calcular la pendiente de la porcin recta inicial de la grfica. Usando la escala aumentada que se muestra con un cuadro en la figura (1), esta lnea se extiende desde el punto O hasta el punto A. Un punto en esta lnea tiene coordenadas medidas de aproximadamente (0.0016 pulg/pulg, 50 ksi). Por consiguiente.

b) Esfuerzo de cadencia.- Para una desviacin de 0.2%, se comienza con una deformacin unitaria de 0.2%, o 0.0020 pulg/pulg y se extiende en la grfica con la lnea punteada paralela a OA hasta que intercepte a la curva -en A. El esfuerzo de cadencia es aproximadamente: YS = 68 ksic) Esfuerzo ltimo.- ste se define por la ordenada mxima de la grfica -esto es, por el punto B en la figura (1). u = 108 ksid) Esfuerzo de fractura.- Cuando el espcimen se deforma a su mximo de f = 0.23 pulg/pulg, se fractura en el punto C. Entonces. f = 90 ksi

2. Ejercicio.- En la figura, se muestra el diagrama esfuerzo-deformacin unitaria para una aleacin de aluminio usada para fabricar partes de avin. Si una muestra de este material se somete a un esfuerzo de 580 MPa. Determinar la deformacin unitaria permanente que queda en la muestra cuando se retira la carga. Calcular tambin el mdulo de resiliencia antes y despus de agregar la carga.Solucin.-

a. Deformaciones unitarias permanentes.- Cuando la muestra est sometida a la carga, se endurece hasta que se alcanza el punto B sobre el diagrama (figura). La deformacin unitaria en este punto es aproximadamente 0.026 mm/mm. Cuando se retira la carga, el material se comporta siguiendo la lnea recta BC, que es paralela a la lnea OA. Como ambas lneas tienen la misma pendiente, la deformacin unitaria en el punto C puede determinarse analticamente. La pendiente de la lnea OA es el mdulo de elasticidad E. El esfuerzo de proporcionalidad P = 430 Mpa.

Segn el tringulo CBD, tambin se tiene:

9Pa

CD = 8.7674x103 = 0.008767 mm/mm; esta deformacin unitaria representa la cantidad de deformacin unitaria elstica recuperada. La deformacin unitaria permanente OC, es entonces= 0.026 mm/mm - 0.008767 mm/mm = 0.017233 mm/mm. Rta.Nota.- Si las marcas de calibracin sobre la muestra estaban originalmente separadas 55 mm, entonces despus de retirar la carga, esas marcas estaran separadas a: 55 mm + (0.017233)(55mm) = 55.9478 mmb. Mdulo de Resiliencia.- Utilizando la Ecuacin siguiente:

..Rta.

..Rta.

El efecto del endurecimiento del material ha causado un incremento en el mdulo de resiliencia, como se advierte por comparacin de las respuestas; sin embargo, notar que el mdulo de tenacidad del material ha decrecido, ya que el rea bajo la curva original OABF es mayor que el rea bajo la curva CBF.

3. EJERCICIO

La barra de Aluminio mostrada en la figura a), tiene una seccin transversal circular y est sometida a una carga axial de 12 KN. Una porcin del diagrama esfuerzo-deformacin unitario para el material se muestra en la figura b); determinar el alargamiento aproximada de La barra cuando se aplica la carga. Si se retira la carga, vuelve la barra a su estado original? Considerar EAL = 70 GPa.Solucin.- En el anlisis despreciamos las deformaciones localizadas en el punto de aplicacin de la carga y donde el rea de la seccin transversal de la barra cambia bruscamente. En toda la seccin media de cada segmento el esfuerzo normal y la deformacin son uniformes. Para estudiar la deformacin de la barra, debemos obtener la deformacin unitaria. Hacemos esto calculando primero el esfuerzo y luego usamos el Diagrama esfuerzo-deformacin unitaria para obtener la deformacin unitaria. El esfuerzo normal dentro de cada segmento es.

Segn el diagrama esfuerzo-deformacin unitaria, el material en la regin AB se deforma elsticamente ya que Y = 43 MPa > 24.44 MPa. Usando la Ley de Hooke.

El material dentro de la regin BC se deforma plsticamente ya que Y = 43 MPa < 58.5 MPa. De la grfica, para BC = 58.5 MPa le corresponde BC = 0.048 mm/mm. El alargamiento aproximado de la barra es entonces:

= L = 0.000349(650 mm) + 0.048(450 mm) = 21.826 mm. Rta.

Cuando se retira la carga de 12 KN, el segmento AB de la barra recupera su longitud original. Por qu? Por otra parte, el material en el segmento BC se recupera elsticamente a lo largo de la lnea FG (Figura b). Como la pendiente de FG es EAL la recuperacin elstica de la deformacin es:

La deformacin plstica que permanece en el segmento BC es entonces: OG = 0.0480 0.0008357 = 0.04716 mm/mm. Por tanto, cuando la carga se retira, la barra permanece con un alargamiento dado por: = OGLBC = 0.04716 (450 mm) = 21.222 mm. Rta.

2.3.5 RAZN DE POISSON

Cuando un cuerpo deformable est sometido a una fuerza axial de traccin, no solo se alarga sino que tambin se contrae lateralmente. Por ejemplo, si uno tira de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el ancho de la tira disminuyen. Igualmente, una fuerza de compresin que acta sobre un cuerpo ocasiona que ste se contraiga en la direccin de la fuerza y que se expanda lateralmente. Estos dos casos se ilustran en las figuras a y b; para una barra con radio r y longitud L iniciales.

Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una cantidad xy su radio una cantidad y. Las deformaciones unitarias en la direccin axial o longitudinal y en la direccin lateral o radial son, respectivamente.; A principios del siglo XIX, el cientfico francs S.D. Poisson descubri que dentro del rango elstico, la razn de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya que las deformaciones x y y son proporcionales. A esta constante se le llama razn de Poisson (y tiene un valor numrico que es nico para un material particular que sea homogneo e isotrpico. Expresando matemticamente.

El signo negativo se usa aqu ya que un alargamiento longitudinal (deformacin unitaria positiva) ocasiona una contraccin lateral (deformacin unitaria negativa), y viceversa. Esta deformacin unitaria lateral es la misma en todas las direcciones laterales (o radiales). Adems esta deformacin unitaria es causada slo por la fuerza axial o longitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo acta en una direccin lateral que deforme el material en esta direccin.La razn de Poisson es adimensional y para la mayora de los slidos no porosos tiene un valor generalmente entre 1/4 y 1/3. En el apndice de los libros se dan los valores de de materiales comunes. El valor mximo posible de la razn de Poisson es 0.5. Por lo tanto: Entonces para una seccin rectangular, de lados y, z; las deformaciones unitarias en dichos lados causados por el esfuerzo uniaxial en el eje x, ser en funcin a x y :

Tambin ; entonces: ; como = ; y = ; las deformaciones para cada lado sern: y; ; si la seccin es un cuadrado de lado L: si la seccin es circular de dimetro (d): ; Los lados y dimetros finales son: Lyf = ; Lzf = ; Lf = ; df = ; respectivamente.

Ejercicio N 1.- Una cinta de agrimensor de acero de 50 m tiene una seccin de 6 mm x 0.8 mm. Determinar el alargamiento cuando se estira toda la cinta y se mantiene tirante bajo una fuerza de 10 kg. El mdulo de elasticidad es 2.1 x 106 kg/cm2.Solucin.- De acuerdo a la ley de Hooke, se anot la relacin directa entre esfuerzo actuante y deformacin obtenida dentro de la zona elstica del material: ; por otra parte, tambin se tiene las relaciones ya estudiadas del esfuerzo ; y la deformacin unitaria lineal sustituyendo estos valores en la relacin de Hooke se tiene: se obtiene, la deformacin total: ;Sustituyendo datos en la ecuacin deducida, el alargamiento en la cinta es =

Ejercicio N 2.- Determinar el aumento total de longitud de una barra se seccin constante, colgada verticalmente y sometida como nica carga a su propio peso. La barra es recta inicialmente.Solucin.- La tensin normal a traccin en una seccin horizontal est producida por el peso del material situado debajo de esa seccin. El alargamiento del elemento dy, de la figura es: ; (peso total de la barra), donde = peso especfico; dy = diferencial de longitud. Luego: ; integrando ; donde: ;-Si el W = P fuerza axial comparando: ; y sera la mitad a la que produce P.-Si la barra es sometida a fuerza axial y su peso propio W, el alargamiento total ser: ; operando ; si W = P; sustituyendo, se tiene: .Ejercicio N03.- En la construccin de un edificio se usa un cable de acero de 3/8 pulg de dimetro, para la elevacin de materiales se cuelgan verticalmente 80 m de cable para elevar del extremo inferior una carga de 350 kg. Determinar el alargamiento del cable, debido a su peso propio, debido a la carga, y en conjunto. Ellos en el momento de levante. acero = 7800 kg/cm3; E = 2.1x106 kg/cm2.Solucin.- a) .b) .c) . Tambin: .Ejercicio N04.- Una barra de acero de 5 cm de seccin esta sometida a las fuerzas representadas en la Fig.(a). Determinar el alargamiento total de la barra. Para el acero E=2.1x106 kg/cm2.Solucin: La barra est en equilibrio Fx=0. Por lo que c/u de sus partes lo estar. a) Barra AB: b) Barra BC: En la figura en la cara B; F 10000-2500 = 7500 kg (es de traccin): .c) Barra CD: En la figura en la cara C; F 7500+1500 = 9000 kg (es de traccin): .La deformacin total de la barra: ; tambin se obtiene: . Es un alargamiento.Ejercicio N 05.- Determinar la deformacin de la varilla de acero ilustrado en la figura, bajo la carga mostrada. E = 200 GPaSolucin: la varilla se deduce en tres partes LAB=LBC=0.4m; LCD=0.5m; AAB=ABC= 700 mm2(1m/1x103mm)2 = 700x10-6m2; ACD= 300x10-6m2. Diagramas del cuerpo libre de cada tramo:a) Tramo CD: P = 300x103 N; L = 0.5m; A = 300x10-6 m2; b)Tramo BC: P = - 100 kN= -100x103N; L = 0.4m; A = 700x10-6m2

c)Tramo AB: P = 500x103 N; L = 0.4m; A= 700x10-6 m2; La deformacin total ser:

.Ejercicio N 06.- a) Se aplica una carga axial P= 15 klb en el extremo C de una varilla de acero, si E = 30x106 lb/pulg2, hallar el dimetro de la porcin BC para el cual la deflexin del punto C ser de 0.05 pulg. b) Las dos partes de la varilla ABC estn hechos de aluminio con E = 10x106 lb/pulg2, si el dimetro de la porcin BC es d = 1.125 pulg. Hallar la fuerza mxima P que puede aplicarse si adm = 24 klb/pulg2 y la deflexin del punto C no debe pasar de 0.15 pulg.Solucin.- a) AB + BC = T; P = 15 klb; E = 30x106 lb/pulg2; dBC=?; C = 0.05 pulg: ;

b) E = 10x106 lb/pulg2(Aluminio); dAB = 1.25 pulg; dBC = 1.125 pulg; con adm=24 klb/pulg2 y C=0.15 pulg. ; lb ; Los esfuerzos unitarios en cada porcin de varilla sern:

Ejercicio N 07.- Una barra de acero de 3.50 m de longitud es de seccin transversal circular de d1= 3 cm de dimetro en la de su longitud y un dimetro d2= 1.5 cm en la otra mitad; a) cunto se alarga la barra bajo una carga de traccin de P = 4000 kg? b) Si el mismo volumen del material es laminado en una barra de 350 cm de longitud y dimetro uniforme dcul ser el alargamiento total de esta barra bajo la misma traccin?Solucin.- a) como L1 = L2 = L/2. E = 2.1x106 kg/cm2 es constante; P acta a lo largo de los dos tramos; las reas: el alargamiento total .

b) El alargamiento total de la barra laminada con dimetro uniforme d, es: ; el volumen total VT = V1 + V2; el volumen original de la barra ; el volumen del material laminado con dimetro uniforme d es: ; igualando (2) y (3) volmenes iguales: ; sustituyendo en (1): .

Ejercicio N 08.- La armadura de la figura es simtrica. El tirante AC es de acero E = 2.1 x 106 kg/cm2 y tiene un rea de 5 cm2 Cul es el mximo valor que debe tener P, para que el alargamiento total de AC no exceda de 0.5 cm?Solucin.- Fy=0 Fx=0 dividiendo (1) y (2) ; Por otra parte deformacin en AC: ; sustituyendo en (3): sustituyendo datos:

Ejercicio N 09.- Determinar el alargamiento producido por una fuerza de 6000 kg aplicada a una barra plana de 1cm de espesor y una anchura que vara gradual y linealmente desde 4 cm hasta 12 cm en una longitud de 16 m, como se indica en la figura; supngase que E = 2x106 kg/cm2.

Solucin.- En la figura, el tringulo: ; tambin m = y - 2 y = m + 2 ..(2); tambin n = 6 - 2 = 4 cm. Sustituyendo (1) en (2): operando: El espesor de la barra es 1 cm; el rea en una seccin media ser: A = (1)(2y) cm2; sustituyendo el valor de y: El alargamiento, de la barra ; donde ; integrando .

Ejercicio N 10.- Dos barras de acero AB y BC soportan una carga de 10 Tn, como se muestra en la figura. La seccin AB es de 8 cm2 y la de BC es de 12 cm2; E = 2x106 kg/cm2; determinar el desplazamiento horizontal y vertical del punto B.Solucin.- En el D.C.L. del nudo B: Fx = 0 PBC = 4/5 PAB; Fy = 0 3/5 PAB = 10000; resolviendo se obtiene: PAB = 16.666 Tn (+); PBC = 13.333 Tn (-). Las deformaciones en las barras AB y BC:-AB:

-BC: -Diagrama de deformaciones: De la Figura 3; Girando con punto en A y girando con punto en C hasta que se encuentren en el punto B, estos arcos engendrados por rotacin son tan pequeos y se pueden despreciar. Sera mejor (en la Figura 4) reemplazar con rectas perpendiculares a AB y BC y estas se cortan en el punto B lo cual determinan la posicin final de B; el desplazamiento total de B es el vector BB dirigido.

En el diagrama (ampliado) de deformaciones (Figura 4), se tienen: ; es la componente horizontal de BB, con la proyeccin horizontal de AB y la longitud desconocida x, se obtiene la relacin: resolviendo resulta: x = 1.0644 cm; con x se puede determinar la componente vertical V = y; que es la suma de los componente verticales de AB y X: Luego la longitud BB = ; ser la suma de sus componentes: -A manera de comprobacin.- Volviendo arriba se puede determinar las magnitudes de los ngulos de giro de las barras AB y BC: como tambin ; es de notar que estos ngulos son muy pequeos para representarlos grficamente en B.

Ejercicio N 11.- Una barra de acero de forma tronco cnica de 350 cm de longitud tiene dimetro en su base superior D = 6 cm y en su base inferior d = 2.54 cm. La varilla pende verticalmente y soporta una carga de traccin P = 5000 kg en su extremo inferior. Calcular el alargamiento total de la barra despreciando su peso propio.Solucin.- De la figura, en el tringulo: ; tambin tambin ; de (2): (2); sustituyendo (1) y (3) en (2): (4); y el rea de la seccin recta A = r2. Luego la deformacin: =;

Ejercicio N 12.- La barra rgida BDE esta soportada por dos barras articuladas, AB est hecha de aluminio E = 7x105 kg/cm2 y CD es de acero Eac = 2x106 kg/cm2, sus secciones circulares son de 1.5 pulg y 2 pulg de dimetro respectivamente; para la fuerza de 5 Tn mostrada. Hallar las deflexiones de B, D y E.Solucin.- Las deformaciones axiales de las barras de aluminio y de acero sern verticales, hacia arriba en B y hacia abajo en D.

..Deflexiones (a partir del Diagrama de deformaciones): Se considera la barra (BDE) horizontal absolutamente rgida; la posicin final de la barra ser inclinada (BDE). Para resolver por semejanza de tringulos: . Luego:. .

.

Ejercicio N 12.- Las barras AB y BC, estn articuladas en sus extremos. Calcular qu ngulo forma la direccin de la carga P con la direccin del desplazamiento del punto B por accin de la propia carga P. Las longitudes LA y LC, las reas AA y AC y los mdulos elsticos EA y EC estn en las relaciones: Solucin.- De la figura ; Donde FA produce h y FC produce v: Dividiendo v/h:; sustituyendo valores: ; ; Es la direccin del desplazamiento con la direccin de La carga horizontal que es 30, entonces el ngulo que forman entre carga P y ; ser:

Ejercicio N 13.- Una viga absolutamente rgida AB, soporta carga distribuida 300 kg/m, la viga tiene 5 m de largo y est soportada en sus extremos A y B con cables de acero AO y OB. Con E = 2x106 kg/m2. Hallar el dimetro de cada cable para que sus alargamientos no sobrepasen el 2 % de su longitud.Solucin.- Equivalente de carga concentrada: P= 5x300= 1500 kg; el ngulo = tan-1(1.8/2.5)= tan-1(0.72) = 35.7528. De la esttica se tiene: Fv = 0 2Fsen = 1500; donde la fuerzaF = 1500 kg / (2xsen35.7538) = 1283.58 kg.El alargamiento: del cable, en la frmula: Como pulg = 0.25 pulg, entonces el dimetro del cable es de pulg.

Ejercicio N 13.- Calcular el rea de las secciones de las barras CD, CJ y DJ de la estructura Howe que se muestra en la figura. El metal es de acero recocido con E = 2.1x106 kg/cm2, tienen un lmite elstico a la traccin de 4000 kg/cm2, con factor de seguridad de 2 a traccin y 3.5 a la compresin, respectivamente. As mismo, determinar los alargamientos o acortamientos en dichas barras.Solucin.-

; tambin: ; -En la seccin (1.1): .

-En la seccin (2-2): .- Como Mx.= 4000 kg/m2; En traccin: 4000/2 = 2000 kg/cm2; en compresin: 4000/3.5 = 1142.857 kg/cm2.- Secciones o reas: .- Las deformaciones:

Ejercicio N 14.- L a compuerta vertical AB representada en el diagrama adjunto, puede considerase totalmente rgida y est articulada en A, tiene 3m de anchura y est sometida a presin hidrosttica en toda su anchura; en C est sujeta una barra de acero de 7.5 m de longitud y seccin 3 cm2 y el otro extremo se empotra en el muro D. Hallar el desplazamiento horizontal del punto B. Despreciar el efecto de sujecin en los extremos de la compuerta, tomar E = 2.1 x 106 kg/cm2.

Solucin.- El peso especfico del agua ; la presin hidrosttica acta a de la profundidad del muro de la compuerta: . La fuerza resultante es FR = Pprom x A: , acta en el centro de presin del tringulo de presiones(ver Figura 14a), a 1/3 de la base: 1/3(4.50m) = 1.50 m. -De la figura, se calcula la fuerza en la barra, por esttica MA =0:

; sta fuerza C de traccin, se da en la barra CD.

-El aumento de longitud de la barra: .- De la Figura 14b (diagrama de deformaciones) se calcula el desplazamiento horizontal del punto B, y es hacia la izquierda. As:

Ejercicio N 15.- Dos barras AC y CD que se suponen absolutamente rgidos estn articulados en A y D separados en C mediante un rodillo, como se indica en la figura 15, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 6000 kg. Determinar: (a) el desplazamiento vertical del rodillo situado en C; (b) el dimetro final de la varilla si = 1/3.

Solucin.- (a) En la Figura 15a, se observa el diagrama de cuerpo libre del sistema en equilibrio. As en la barra CD: MD=01.5 x 6000 -3C = 0; C = 1/3 (1.5 x 6000) = 3000 kg ; con MC=0-1.5 x 6000 + 3Dy = 0; Dy = 1/3(1.5 x 6000) = 3000 kg.

En la barra AC: MA=0- 2FB + 3C = 0; FB = 3/2(C) = 3x3000/2 = 4500 kg; con MB=01x3000-2Ay = 0; Ay = (3000)= 1500 kg.

-Del diagrama de deformaciones (Figura 15b): deformacin de la varilla B = 4500x300/(3x2x106) = 0.225 cm; de la semejanza de s: B/2 = C/3; C=3/2(B) = 3/2 (0.225); C = 0.3375 cm.

(b) El dimetro final de la varilla, si = 1/3. El dimetro inicial del rea: Con la relacin deducida para la variacin del dimetro de la varilla: para la traccin el dimetro final: df = d d = 1.954 4.887x10-4 = 1.95351 cm.

Ejercicio N 16.- (Aplicacin de deformacin unitaria normal) El alambre AB no realiza ningn esfuerzo en el arreglo que se muestra cuando el ngulo = 45. Si se coloca una carga vertical en la barra AC, hace que el alambre se deforme y el ngulo toma posicin = 47, en estas condiciones hallar la deformacin unitaria normal en el alambre.

Solucin.- Primero se calcular las longitudes y ngulos en condiciones iniciales y luego en posicin final, y despus por comparacin se obtendr el pedido. La longitud inicial del alambre es: ; la longitud entre apoyos es: ; los ngulos internos en el tringulo BAC, son para ; y para en B, de la ley de senos: . El tringulo final ser ABC; como = 47, aumentando en 2 de la inicial; entonces el ngulo del tringulo ABC es = 18.435+2= 20.435. Tambin el ngulo interno A ser ; luego el otro interno es para el ngulo C: 180 - (128.674+20.435) = 30.891. Una vez obtenida los ngulos internos del tringulo ABC, se calcular la longitud final del alambre AB, por la ley de senos: . Finalmente la deformacin unitaria del alambre AB es:

Ejercicio N 17.- Cuatro tubos de aluminio de 1.20 m de longitud y 1100 mm2 de seccin c/u son amarrados a un soporte cruceta y descansan sobre base fija A. La varilla de acero BC de 25 mm de dimetro cuelga en una barra rgida que descansa sobre los 4 tubos. Se sabe que los mdulos de elasticidad son 200 GPa para el acero y 70 GPa para el aluminio. Hallar la deflexin de C cuando P= 240 kN.Solucin.- La carga P en el extremo de la varilla, ocasionar la deformacin a traccin de la varilla misma hacia abajo, as como la compresin de los tubos con direccin tambin hacia abajo; la deflexin total del extremo C ser la suma de las deflexiones de los tubos y del acero.

; sustituyendo datos:

Ejercicio N 18.- Determinar el dimetro del tirante de acero mostrado en la Figura 18, hallar tambin el desplazamiento del apoyo en rodillo B, en los siguientes casos: (a) El esfuerzo en el tirante se limita a 1000 kg/cm2; (b) que el giro de AB con A como centro sea de 0.005 rad. Tomar E = 2.1x106 kg/cm2.

Solucin.- Datos = 1000 kg/cm. En la barra BC de la Figura 18a, MC = 0 - 150By + 90Fa = 0; Fa=(15/9)B. En la barra AB: MA = 0 - 300 x 500 + 450By 120Fa = 0; -150000 + 450B - 15/9(By)120 = 0; Donde: By = 600 kg y Fa = 1000 kg.

-Caso (a) ; la deformacin o alargamiento en el cable: ; de la figura:

-Caso (b) Dato: = 0.005 rad = 0.2864; luego

Para calcular el dimetro del cable y la deflexin de B:

; ;;;

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