Iniciación a la Resistencia de los Materiales

•TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS

•de J.A.G. Taboada

Texto de referencia:

PARTE 1 : Resistencia

Objeto:

COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS

DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE

MATERIALES.

CAPITULO III:

VIGAS

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DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

Lección 6:

Lección 6 :

• 6.1 .- Definiciones y generalidades.

• 6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas.

• 6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad.

• 6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector. Convenio de signos

• 6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.

• 6.6 .-Concepto de deformada o elástica.

6.1 .- Definiciones y generalidades

Vigas

Pilares

Cimentación

Fibra media

Plano medio

Prisma elemental

Ley de Hooke

Pº Saint Venant

Hip. Bernouilli

Rigidez relativa

Pº Superposición

No secciones br

6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas.

Cargas

Concentradas

Repartidas

Permanentes

Sobrecargas

Reacciones

Representación Símbolo Ecuaciones

Existe en el apoyo:MF, N, V

Empotramiento

No existen:v, h,

Articulado fijo

Existe en el apoyo:N, V,

No existen:v, h, MF

Representación Símbolo Ecuaciones

Existe en el apoyo:V, h,

Articulado móvil

No existen:v, Fh, Mf

Articulación intermedia

Existen en ella:N, V,

No existen:v, h, Mf

Designación Símbolo Ecuaciones

Existe en el apoyo:Rv = -k*, Rh,

No existen:h, Mf

Empotramiento elástico

Existen en ella:N, V, M k

No existen:v, h

Apoyo elástico

GRADO DE HIPERESTATICIDAD

Es la diferencia existente en un sistema entre el número de reacciones incognitas a resolver y la cantidades de ecuaciones del mismo disponibles para su resolución, (ecuaciones de la estática y puntos singulares).

El Grado de Hiperestaticidad indica el número de ecuaciones de deformación que es necesario plantear para resolver el sistema.

G.H. = Nreacciones – 3 – nº artic.

6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad.

• Resolución de una viga:– hallar las reacciones en los apoyos.– NR = nm + 2·nf + 3·ne

– Siendo • NR el nº de reacciones a calcular• nm el nº de articulaciones móviles• nf el nº de articulaciones fijas• neel nº de empotramientos

– Si NR es igual a 3 el sistema es isostático

Solicitación

• Esfuerzo Normal

• Esfuerzo Cortante

• Momento Flector

• Momento Torsor

Efecto

Alargamiento

Deslizamiento

Giro de Flexión

Giro de Torsión

N

V

Mf

Mt

6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector, momento torsor.

Solicitación

• Esfuerzo Normal

• Esfuerzo Cortante

• Momento Flector

• Momento Torsor

N

V

Mf

Mt

6.4 .- Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos

+

+

+

6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.

• Los diagramas de esfuerzos son la representación gráfica de los valores (en ordenadas) que tienen a lo largo del prisma mecánico.

• En ellos se representan los puntos de máximos y por tanto se detectan las secciones en donde se producen para poder proceder a su análisis.

• El Objetivo es diseñar una estructura que resista el punto donde se produce una mayor Solicitación.

6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.

• Relación entre “q”, “V”, “Mf”:

Donde V = 0 => Mf tiene un max.o min. relativo

Si V = 0 en un tramo => Mf = Cte.

Donde q = 0 => V tiene un max. o min. relativo

Si q = 0 en un tramo => V = Cte.

El esfuerzo cortante es la pendiente del diagr. Mf.

La carga unitaria es la pendiente del diagr. V

Si hay una carga concentrada V varía brúscamente

Para tener un brúsca del Mf ha de estar aplicado Mf

Se puede estudiar cada carga separadamente (ppº sup)

dx

q

Mf + dMfMf

V+dV

V

Fv = 0 => dV + q·dx = 0 => q = - dV/dx

Mf = 0 => dV·dx - dMf= 0 => V= dMf/dx

despreciando – q·d2x / 2

FORMULAS UNIDADES

A B Concepto Simbolo Valor Unidades

Carga Vertical P = 3.000 KgP Carga Horizontal Fh = 0 Kg

L Carga a Flexión M = 0 Kg∙cmLongiud L = 600 cmCanto sección h = 60 cm

N = 0 Base sección b = 12 cm

Módulo Elasticidad E = 2.100.000 Kg/cm2

Momento Inercia Iz = 216.000 cm4

V = +P Módulo Poisson 0,30 -ReaccionesRa = P Ra = 3.000 Kg

M = -PL Ha = 0 Ha = 0 KgMa = -PL Ma = -1.800.000 Kg∙cm

Sección 1M = 0 x = 0 en B x = 600 cm

0< x < LN = Ha = 0 Nx = 0 Kg

A B V = P Vx = 3.000 KgM = - P∙x Mx = -1.800.000 Kg∙cm

SOLICITACIONES Y DEFORMADAVALORES

-

+

6.6 .-Concepto de deformada o elástica.

• Es la forma que adopta la “fibra media una vez sufridas las acciones exteriores y haberse alcanzado el equilibrio elástico.

• Su ecuación representa la curva que forma, en la cual el Mf es la pendiente de la tangente en cada punto.

r

dx

d

y

r / dx = y / dx·

= y / r

=·E = (y / r) ·E/ (y ·E) =r

dx dx·

y

r

Mf = E·Iz / r

Mf / E·Iz = 1/ r

E·Iz : Rigidez a Flexión :

Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse.Es función del Material (E) y de la “forma” de la sección (Iz)

Cuanto mayor sea este término mas Momento resiste sin curvarse.

Mf = (·y·dS)

= E/r · (y2·dS)

= E·Iz / r

/ (y ·E) =r

Deformada de un prisma mecánico

Viga apoyadaFH = 0

FV = 0

MA = 0

L/2 L/2A

BHA = 0

RA + RB = P

1/2 P·L -RB ·L = 0

Hoja de cálculo de

Microsoft Excel

PórticoFH = 0

FV = 0

MA = 0

HA = 0

RA + RB = P

1/2 P·L -RB ·L = 0L/2 L/2

AB

Resolución de Pórtico

D

A

C

B

L

L

I

I I

P

D

A

C

B

L

L

I

I I

P

Resolución de Pórtico

MF = 0

FV = 0

FH = 0

M1 = HB·x = 0 0 < x < L

M2 = RB·x 0 < x < 1/2L

M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L

M4 = RB·L - P·1/2·L = 0 0 < x < Lx

x

x

x

RB

RA

HAP = RA + RB

RA = ½·P

RB = ½·P

HA = 0

+ -

L/2

AB

N1 = RB

-

-

+

DC

L

L

P

- -

M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x

V1 = 0

Sección1 => x = 0 en B

M1 = 0

N2 = 0

V2 = - RB

Sección2 => x = 0 en D

M2 = RB · x

N3 = 0

V3 = P - RB

Sección3 => x = 0 en E

N4 = RA

V4 = HA = 0

Sección4 => x = 0 en A

M4 = HA · x= 0

RA = ½·PRB = ½·PHA = 0

L > x > 0

½·L > x > 0 ½·L > x > 0

L > x > 0