Resistencia de materiales tema 7

Resistencia de Materiales

Tema 7 - Columnas

Tema 7

Columnas

______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESIME AZCAPOTZALCO

Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

Consideraciones iniciales

Tema 7 - Columnas

Sección 1 - Consideraciones iniciales

Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es lo

suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la acción de

una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo

ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por

aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a

compresión, el cual, aunque este cargado excéntricamente, experimenta

una flexión lateral despreciable.

Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento

corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una

columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensión menor de

la sección transversal.

Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias.

En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresión se

consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas. ______________________________________________________________________________

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Estabilidad de estructuras

Consideremos el montaje que se muestra en la figura. El mismo

esta integrado por dos barras de longitud ‘L/2’, apoyadas por articulaciones

que le permiten rotar en sus extremos, siendo solidarias entre sí mediante

un pasador.

Luego, si se mueve dicho pasador

un poco hacia un lado, provocando una

pequeña inclinación “q” en las barras y

luego se aplica una carga axial “P” que

mantenga dicha deformación, tenemos que

la fuerza perturbadora en la dirección

horizontal puede plantearse de la forma::

qtan2 PF raperturbado


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La fuerza restauradora, que sería en este caso la reacción del

resorte, sería:

Como el ángulo “q” es muy pequeño, es válida la aproximación

‘tgq≈sinq≈q’. Entonces, si la fuerza restauradora fuese mayor que la

perturbadora, tendríamos:

En esta situación, las barras volverían a su posición inicial; a esto

se denomina equilibro estable. Si sucediese lo contrario:

De modo que el mecanismo se deformaría hasta una posición de

equilibrio entre las fuerzas. A esto se llama equilibrio inestable.

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4

LKP r

qsin2

LKF rrarestaurado

4

LKP r


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Si ambas fuerzas fuesen iguales, entonces:

La carga axial crítica (“Pcri”) representa el estado del mecanismo

con el cual éste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dicha

carga las barras del mecanismo no sufrirían nigún desplazamiento, es decir:

el mecanismo no se movería.

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4

LKP rcri


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Carga crítica en columnas articuladas

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Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas

Consideremos una viga articulada en sus extremos mediante

rótulas que permiten la flexión en todas las direcciones, tal como se muestra

en la figura. Si aplicamos una fuerza horizontal “H” en un punto medio de la

viga se producirá una deflexión, a la que denominaremos “d”.

Supondremos que la

deflexión “d” es lo suficientemente

pequeña como para que la

proyección de la longitud de la

columna sobre un eje vertical sea

prácticamente la misma, estando

flexada la viga.


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Puede observarse que en

la sección transversal que sufre la

mayor deflexión, el momento flector

es:

La fuerza “Pcri” es la carga

necesaria para mantener la viga

flexada sin empuje lateral alguno.

Un incremento de esta carga,

implica a su vez un aumento de la

deflexión “d” y viceversa.

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Supongamos ahora que añadimos una carga axial céntrica a

compresión “P” y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo que

disminuimos la carga “H”, de modo que se mantenga constante la deflexión

“d” constante.

d criPM (7.2.1)


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Si para el caso anterior designamos como “x” al eje vertical (sobre

el que se proyecta la longitud de la viga) e “y” al eje horizontal (sobre el cual

se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la

forma:

El signo (-) se debe a que la deflexión

producida es negativa (según la orientación el eje “y”),

y el momento flector es positivo.

Recordemos la ecuación de la elástica para

vigas de sección transversal constante:

yPxM cri )( (7.2.2)

IE

xM

dx

yd

)(2

2

(7.2.3)


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Luego, sustituyendo “M(x)” de la ecuación 7.2.2 en la ecuación

6.2.3, se obtiene:

La solución general de esta ecuación es:

Podemos obtener los valores de las constantes “C1” y “C2”

aplicando las condiciones de frontera. Cuando ‘x=0’ → ‘y=0’, de modo que

‘C2=0’. Al plantear la segunda condición (‘x=L’ → ‘y=0’) queda:

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(7.2.4) IE

yP

dx

yd cri

2

2

(7.2.5)

x

IE

PCx

IE

PCy cricri cossin 21

(7.2.6)

L

IE

PC crisin0 1


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La solución de la ecuación anterior sirve para hallar el valor de

“Pcri”, pues debe cumplirse:

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(7.2.7)

nLIE

Pcri

Donde ‘n=1,2,3…’ .

En la figura pueden

verse distintas formas en que

puede pandearse la columna

utilizando distintos valores de

“n”.


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Para efectos de diseño, siempre trabajaremos con ‘n=1’. De modo

que la carga crítica queda expresada de la forma:

A esta expresión se le conoce como la carga crítica de Euler para

columnas articuladas.

2

2

L

IEPcri

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(7.2.8)


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Relación de esbeltez, esfuerzo crítico

El momento de inercia (“I”) puede expresarse de la forma:

Donde “A” es el área de la sección transversal y “r” es una

propiedad de área denominada radio de giro. Si sustituimos esta ecuación

en la expresión 6.2.8, obtenemos:

Donde la proporción “L/r” se conoce como relación de esbeltez de

la columna. Mas adelante observaremos cómo este parámetro sirve para

clasificar un elemento cargado axialmente a compresión como una columna

corta, larga ó intermedia.

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2rAI (7.2.9)

2

2

)/( rL

AEPcri

(7.2.10)


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Si en la expresión 6.2.10 enviamos el término “A” a dividir hacia el

lado izquierdo, obtenemos:

Mediante esta ecuación se puede determinar el esfuerzo crítico

(“scri”) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la misma

comienza a pandearse. Obsérvese que los términos variables en esta

expresión son la relación de esbeltez (“L/r”) y el esfuerzo crítico en cuestión.

De modo que podemos construir una gráfica que nos indique cómo varía

dicho esfuerzo en función de la relación de esbeltez en columnas. Como el

módulo de elasticidad (“E”) varía para cada material, tendremos distintas

curvas para diferentes materiales.

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cricri

rL

E

A

Ps

2

2

)/((7.2.11)


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Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del acero

estructural y del aluminio. Es importante observar que para cada material

existe una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, como

se señala en las curvas. A la derecha de estos puntos, puede observarse

que el esfuerzo crítico disminuye a medida que aumenta la relación de

esbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzca

el pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la gráfica no tiene

sentido práctico.

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Columnas con varios tipos de soporte

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Sección 3 - Columnas con varios tipos de soporte

En la deducción de la ecuación de Euler, se utilizó como base para

el desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediante

articulaciones en sus extremos, de manera que la deflexión fuese nula en

los mismos. Dependiendo de los apoyos a los que se sujete una columna,

dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez el

desarrollo de las ecuaciones. Con el objeto de compensar esto, se utiliza en

la ecuación de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (“Le”), la

cual representa la distancia entre dos puntos de la columna en los cuales el

momento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relación:

Donde “K” es el factor de corrección de longitud efectiva y está

tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.

LKLe (7.3.1)


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De manera que la ecuación del esfuerzo crítico en una columna

quedaría planteada de la forma:

Los valores de “K” para las condiciones de apoyo más comunes se

ilustran en la figura.

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Sección 3 – Columnas con varios tipos de soporte

2

2

2

2

)/()/( rLK

E

rL

E

e

cri

s (7.3.2)


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La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la

carga (“P”) siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la

columna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga).

Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas

no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de

aplicación de la carga.

Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que

comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después

de la aplicación de la carga.

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Sección 4 - Columnas sometidas a carga excéntrica

Columnas sometidas a carga excéntrica


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Consideremos entonces una columna sometida a una carga

ejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la

sección transversal, como se muestra.

Podemos plantear una expresión para determinar el momento

flector en cualquier sección transversal:

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)( yePM cri (7.4.1)


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Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda:

La solución general de esta ecuación es:

Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando ‘x=0’ →

‘y=e’, de modo que ‘C2=e’ . Luego, cuando ‘x=L’ → ‘y=e’, de modo que:

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IE

yeP

IE

xM

dx

yd cri

)()(2

2

(7.4.2)

exIE

PCx

IE

PCy

cossin 21 (7.4.3)

2tan1

L

IE

PeC (7.4.4)


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Finalmente, la ecuación 6.4.3 queda de la forma:

La deflexión máxima en la viga ocurre cuando ‘x=0,5L. Si

introducimos este valor en la ecuación, obtenemos:

En esta ecuación puede observarse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’. Sin

embargo, si la excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de la

función trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor no

nulo.

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1cossin

2tan x

IE

Px

IE

PL

IE

Pey (7.4.5)

2secmax

L

IE

Pey (7.4.6)


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Entonces, como ‘sec(x)→∞’ cuando ‘x→/2’, podemos plantear:

Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica:

Nótese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso de

carga excéntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajar

con condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva

(“Le”) en vez de la longitud nominal (“L”) de la columna.

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22

L

IE

Pcri

(7.4.7)

(7.4.8) 2

2

L

IEPcri


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Podemos entonces plantear la ecuación del esfuerzo máximo en la

sección de mayor deflexión de la viga:

Recordando que ‘I=Ar2’, podemos reescribir esta ecuación de la

forma:

A esta ecuación se le conoce como la fórmula de la secante, y sirve

para determinar el valor del esfuerzo máximo producido tanto por flexión

como por compresión que se produce en la viga. Debe cumplirse: ‘P≤Pcri’.

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I

cL

IE

PeP

A

P

I

cyP

A

P

2sec

)( maxmaxs (7.4.9)

r

L

AE

P

r

ce

A

P

2sec1

2maxs (7.4.10)


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Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se ha

demostrado que la carga crítica señalada por las ecuaciones de Euler y de

la secante puede ser superior a la carga crítica real necesaria para pandear

la columna, como muestra el gráfico.

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Sección 5 - Columnas largas, cortas e intermedias

Columnas largas, cortas e intermedias


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De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en

función de la relación de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres

grupos:

Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargados

axialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy pequeñas, en los

que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando ‘smax ≈ sy’.

Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargados

comienza a presentarse el fenómeno de pandeo al éstos experimentar

esfuerzos menores a “sy”. La ecuación de Euler no se aproxima

satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zona

de ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisión

el valor del esfuerzo crítico (con el cual comienza el pandeo en la columna).

Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con grandes

relaciones de esbeltez. La ecuación de Euler describe con precisión

aceptable el comportamiento de estas columnas.

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En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden

usarse para determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nótese

que la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con

exactitud los límites de la relación de esbeltez en los cuales son válidos.

Fórmula de Gordon-Rankine:

Aproximación lineal:

Aproximación parabólica:

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)/(22 rLk ecri ss

)/(1 1

1

rLk e

cri

s

s

2

33 )/( rLk ecri ss______________________________________________________________________________

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Como se mencionó anteriormente, el uso de la fórmula de Euler

para el diseño es completamente válido si la columna a tratar es

perfectamente recta, hechas de un material completamente homogéneo, en

las que los puntos de aplicación de la carga son perfectamente conocidos.

En realidad, esto no ocurre así. Para compensar todas

imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan códigos de

diseño, los cuales son productos de ensayos mecánicos que se llevan a

cabo simulando condiciones reales de construcción y trabajo de elementos

sometidos a cargas axiales de compresión.

A continuación mostraremos algunos ejemplos de códigos de

diseño para columnas hechas de distintos materiales.

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Sección 6 - Diseño de columnas sometidas a carga axial céntrica

Diseño de columnas bajo carga

axial céntrica


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Columnas de acero

Las columnas de acero estructural se diseñan con base en

fórmulas propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC). A

dichas formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el

American Institute of Steel Construction (AISC) las ha adoptado como

especificaciones para la industria de construcción. Para columnas largas, se

utiliza la ecuación de Euler con un factor de seguridad de 12/23:

para

Donde el valor mínimo de relación de esbeltez efectiva válido para

la relación viene dado por:

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Sección 6 - Diseño de columnas bajo carga axial céntrica

)/(23

12 2

rKL

Eperm

s 200

r

LK

r

LK

c

yc

E

r

LK

s

2

(7.6.1)

(7.6.2)


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En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajuste

parabólico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relación:

para

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3

3

2

2

)/(

)/(

8

1

)/(

)/(

8

3

3

5

)/(

)/(1

cc

c

perm

rKL

rKL

rKL

rKL

rKL

rKL

scr

LK

r

LK

(7.6.3)


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Columnas de aluminio

La Aluminium Association especifica el diseño de columnas de

aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un

juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación

común de aluminio (2014-T6) se usa:

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ksiperm 28s 120

r

LK(7.6.4) para

ksirKLperm )/(23,07,30 s 5512

r

LK(7.6.5) para

2)/(

54000

rKL

ksiperm s

r

LK 55 (7.6.6) para


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Columnas de madera

Las Aluminium Association especifica el diseño de columnas de

aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un

juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación

común de aluminio (2014-T6) se usa:

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ksiperm 20,1s 110

d

LK(7.6.7) para

ksidKL

perm

2

0,26

/

3

1120,1s 2611

d

LK(7.6.8) para

2)/(

5400

dKL

ksiperm s 5026

d

LK(7.6.9) para


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Sección 7 - Diseño de columnas sometidas a carga axial excéntrica

Diseño de columnas bajo carga

axial excéntrica

Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna

es excéntrica. Trataremos en esta ocasión los métodos más comunes: el

método del esfuerzo admisible y el método de interacción.

Método del esfuerzo admisible. En este caso, se comparan del

esfuerzo máximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la

ecuación de Euler. El esfuerzo máximo vendría dado por:

I

cM

A

P maxs (7.7.1)


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El esfuerzo admisible según la ecuación de Euler:

Y debe cumplirse:

Método de Interacción. Se llama así pues en él se observan

cómo interactúan las tensiones producidas por la carga de compresión y por

el momento flector ejercidos en la viga.

2

2

)/( rL

Eadm

s (7.7.2)

admss max(7.7.3)


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En este caso, la condición que debe cumplirse es:

Donde “[ sadm]axial” y “[ sadm]flexión” se calculan a partir de códigos de

diseño estipulados para carga axial y carga excéntrica respectivamente.

Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por carga

axial y flexión se comparan por separado con el esfuerzo crítico para cada

caso. Según el método anterior se comparan ambos esfuerzos respecto al

esfuerzo admisible proporcionado por la ecuación de Euler.

1

flexiónadmaxialadm

I

cM

A

P

ss

(7.7.4)


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