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Resistencia de Materiales

POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS.MÉTODOS ENERGÉTICOS

• El principio de los trabajos virtuales aplicado a la determinación de desplazamientos

• El principio de los trabajos virtuales aplicado a la determinación de incógnitas hiperestáticas.

Métodos Energéticos

Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n

TRABAJO EXTERNO (caso más general)

i i L S vi L S V

1W = F· + F · d L+ F · dS+ F · dV

2δ δ δ δ

∑ ∫ ∫ ∫

� � � ��

Cargaspuntuales

Cargaslineales

Cargassuperficiales

Cargasvolumétricas

( )ij ij xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yz

1 1U =

2 2σ ε σ ε σ ε σ ε σ γ σ γ σ γ= + + + + +

ENERGÍA UNITARIA DE DEFORMACIÓN

p ij ij

V V

1E UdV = dV

2σ ε= ∫ ∫ ENERGÍA POTENCIAL

Integrando en el volumen

Energía potencialen la barra prismática



Axil Flexión Torsión (C)

---

---

---

---

z

z

My

I

ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA

x

p

Tr

I

y

y

Mz

I

z y

y

V S (z)

b(z) I

N

A

y z

z

V S (y)

b(y) I

iiσ

i jσ

z

z

My

E I

x

p

Tr

G I

y

y

Mz

E I

z y

y

V S (z)

G b(z) I

N

A E

y z

z

V S (y)

G b(y) I

iiε

i jγ



Tipo de esfuerzo

Energía de deformación

Axil N A: SecciónE: Módulo de Young

Cortante V A’: sección reducidaG: Módulo de cizalladura

Flector M I: momento de inerciaE: módulo de Young

Torsor Mt C: rigidez torsional

Energía Potencial Elástica de una barra prismática



Energía Potencial (×2)

Axil

Flector

Cortante

Torsión (C)

ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA

L

xx xx

V

2

0

L

0

N NdV = dA

Ndx =

A Ad

EEx

AA

σ ε∫ ∫ ∫ ∫

L L22z z z

xx xx 2z z zV 0 0

2z

0

L

z0

M M MdV y ydAdx = dx y dA =

I EI E II

Mdx

EA

σ ε =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

y

22z y z

i jz 00

z2i j

z

V S (y) V S (y)

b

V S (y)

GI b(y(y) I G b(y) )I

L

V A

Ly

z A

dV dAd dx dx Aσ γ

=

= ∫∫ ∫ ∫ ∫

2x

p0

22x x x

i j i j 2p p p0 0

T T Tr r dx

I G I I

Tdx

G IG

L L

V A

L

A

dV dAdx r dAσ γ = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫



El teorema delos trabajos virtuales



qx(x)

qy(x)



x x+dx

qx(x)

qy(x)

Vy(x+dx)

Vy(x) Mz(x+dx)Mz(x)

Nx(x+dx)Nx(x)



qx(x)

qy(x)

Vy(x+dx)

Mz(x+dx)Vy(x)Mz(x)

x

dN(x)= -q (x)

dx

yF 0=∑y

y

d V (x)= -q (x)

dxz

y

d M (x)= V (x)

dx

zM 0=∑

Nx(x+dx)Nx(x)

xF 0=∑



xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx

L L

x

0 0

dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx

dxf f∫ ∫

A

(x)f

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x)



]L L

L

00 0

dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx

dx dx

ff f −∫ ∫

xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx

Integrandopor partes

L L

x

0 0


dxf f∫ ∫

A

(x)f

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x)



]L L

L

00 0


dx dx

ff f −∫ ∫

(x) (x)xf u=

xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx


Sin pérdida de generalidadtomemos como función f(x)

el campo de desplazamientoscompatible con las deformaciones

producidas por un axil CUALQUIERA

x

d (x) ( ) ( )(x)

dxx xu x N x

E AE

σε= = =

L L

x

0 0


dxf f∫ ∫

A

(x)f

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x)



]L L

L

00 0


dx dx

ff f −∫ ∫

xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx


L L

0 0

dN(x) N(x) N(x)u(x)dx = N(L) u(L) N(0) u(0) dx

dx EA− −∫ ∫

L L

x

0 0


dxf f∫ ∫

A

(x)f

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x)



]L L

L

00 0


dx dx

ff f −∫ ∫

xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx


L L

0 0


dx EA− −∫ ∫

L L

x

0 0


dxf f∫ ∫

A

(x)f

xF (L)

xF (0)

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x)



]L L

L

00 0


dx dx

ff f −∫ ∫

xF 0=∑

x

dN(x)= -q (x)

dx


L L

0 0


dx EA− −∫ ∫

L L

x

0 0

N(x) N(x)q (x) u(x)dx + F(L) u(L) + F(0) u(0) = dx

EA∫ ∫

xF (L)

xF (0)

L L

x

0 0


dxf f∫ ∫

A

(x)f

qx(x)

Nx(x+dx)Nx(x)



L L

x

0 0


EA∫ ∫

Trabajo VIRTUAL externo

Trabajo VIRTUALinterno



=

L L

x

0 0


EA∫ ∫



L

x

0

q (x)u(x)dx + F(L)u(L) + F(0)u(0)∫

Principio de reciprocidad



Y, EN GENERAL

L L I III II I II I IIx

0 0

N (x) N (x)q (x)u (x)dx + F (L)u (L) + F (0)u (0) = dx

EA∫ ∫

Con la única condiciónde que uno de los estados sea un estado en equilibrio

y el otro un estado compatible

=

L L

x

0 0


EA∫ ∫



L

x

0

q (x)u(x)dx + F(L)u(L) + F(0)u(0)∫

Principio de reciprocidad



yF 0=∑

yy

d V (x)= -q (x)

dx

zy

d M (x)= V (x)

dx

zM 0=∑

qy(x)

Vy(x+dx)

Mz(x+dx)Vy(x)

Mz(x)



yF 0=∑

yy

d V (x)= -q (x)

dx

L Ly

y

0 0

d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx

dxf f∫ ∫

A

(x)f

L LLy

y y00 0

d V (x) d (x)(x)dx = V (x) (x) V (x) dx

dx dx

ff f −∫ ∫

L Lz

y

0 0

d (x) d M (x) d (x)V (x) dx dx

dx dx dx

f f=∫ ∫

Integrando por partes

zy

d M (x)= V (x)

dx


qy(x)

Vy(x+dx)

Mz(x+dx)Vy(x)

Mz(x)



LL L 2z

z z 200 0

d M (x) d (x) d (x) d (x)dx M (x) M (x) dx

dx dx dx dx

f f f= −∫ ∫

LL L 2L

y y z z 2000 0

d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx

dx dx

f ff f − +

∫ ∫


L Ly

y

0 0

d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx

dxf f∫ ∫

Finalmente la expresión inicial

queda como



Si tomamos como función f(x)el campo de desplazamientos transversales compatible

con las deformaciones producidas por un flector/cortane CUALQUIERA

(x) y (x)xf = z

d (x)(x)

dx

f θ=2

z2

z

d (x) M

dx EI

f =

LL L 2L

y y z z 2000 0

d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx

dx dx

f ff f − +

∫ ∫

Lz z

z

0

M (x) M (x)M (0) (0) dxz

zEIθ+ + ∫

L

y y y z

0

- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− −∫



Lz z

zz0

M (x) M (x)M (0) (0) dx

EIzθ+ + ∫

L

y y y z

0

- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− − +∫

yF (L)

yF (0)

zm (0)

zm (L)

L

y y y

0

- q (x) y(x)dx = F (L) y(L) F (0) y(0)− − −∫L

z zz z

z0

M (x) M (x)m (L) (L) m (0) (0) dx

EIz zθ θ− + ∫



yF (L)

yF (0)

zm (0)

zm (L)

L Lz z

y y y z zz0 0

M (x) M (x)- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0) dx

EIz zθ θ+ + + + = =∫ ∫

L

y y y z z

0

- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0)z zθ θ= + + + +∫T. reciprocidad



EN GENERAL,CONSIDERANDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES

( )

L L LI II I II I IIx y z

barras 0 0 0

I I I I I I I I I I II I II I IIx x y y z z x x y y z z

nudos

q (x)u (x)dx - q (x) y (x)dx q (x) z (x)dx

F u F u F u m m mθ θ θ

+ +

+ + + + + + =

∑ ∫ ∫ ∫

∑


TrabajoVIRTUALinterno

I I IL LI IIy y

barras y0 0

L LI II I I Iz z x x

z0 0

M (x)M (x)N (x) N (x)= dx dx

EA EI

M (x) M (x) M (x)M (x)dx dx

EI G J

+ +

+

∑ ∫ ∫

∫ ∫





( )L

I II I II I II

barras nudos0

q (x) (x)dx F u mδ θ

+ + =

∑ ∑∫� ��

� ��


I I IL LI IIy y

barras y0 0


z0 0


EA EI


EI G J

+ +

+

∑ ∫ ∫

∫ ∫



El estado de desplazamientos - II-no es el provocado por el estado de cargas - I-



( )L

I II I II I II

barras nudos0


+ + =

∑ ∑∫� ��

� ��


I I IL LI IIy y

barras y0 0


z0 0


EA EI


EI G J

+ +

+

∑ ∫ ∫

∫ ∫

¿VIRTUAL?



El estado de desplazamientos - II-no es el provocado por el estado de cargas - I-



( )L

I II I II I II

barras nudos0


+ + =

∑ ∑∫� ��

� ��


I I IL LI IIy y

barras y0 0


z0 0


EA EI


EI G J

+ +

+

∑ ∫ ∫

∫ ∫

¿VIRTUAL?

El estado de desplazamientos - II- es un estadoCOMPATIBLE CON LOS VÍNCULOS

El estado de cargas - I-es un estado DE EQUILIBRIO



Aplicación del TTVal cálculo de

desplazamientos



x

y

zM (x)

Supongamos conocidos los esfuerzos de este problema



A

x

y

zM (x)A z A¿ y(x ), (x )?θ




A z A¿ y(x ), (x )?θA

Opción 1 Opción 2

2z

2z

d y(x) M (x)=

dx EI( )

L I III I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

��


Ecuación de la elástica Métodos energéticos



A z A¿ y(x ), (x )?θ A

Estado II

Aplicación del TTVCÁLCULO DE

DESPLAZAMIENTO



A z A¿ y(x ), (x )?θ A

A

Estado I

Estado II

1

x

y


DESPLAZAMIENTO

( )L I II

I I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

��



A z A¿ y(x ), (x )?θ A

Estado II

L I IIz z

Az0

M (x)M (x)R ·0 1y(x ) dx

EIii

− =∑ ∫

A

Estado I1

x

y


DESPLAZAMIENTO

( )L I II

I I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

��



A z A¿ y(x ), (x )?θ A

Estado II

L I IIz z

Az0

M (x)M (x)1y(x ) dx

EI− = ∫

?¿Resolución de

problema hiperestático?

A

Estado I1

x

y


DESPLAZAMIENTO

( )L I II

I I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

��



A z A¿ y(x ), (x )?θ A

Estado II

¿Resolución deproblema hiperestático? !!!!!!NO

L I IIz z

Az0

M (x)M (x)1y(x ) dx

EI− = ∫

?

A

Estado I1

x

y


DESPLAZAMIENTO

( )L I II

I I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

��



L I IIz z

Az0

M (x)M (x)1y(x ) dx

EI− = ∫

Buscamos una situaciónde equilibrio contenida en el

sistema hiperestático

AEstado I1

x

y


DESPLAZAMIENTO



AEstado I1

x

y


DESPLAZAMIENTO

x

y

L I IIz z

Az0

M (x)M (x)1y(x ) dx

EI− = ∫

IzM (x)



AEstado I1

x

y


DESPLAZAMIENTO

x

y

I IzM (x)

L I IIz z

Az0

M (x)M (x)1y(x ) dx

EI− = ∫

x

y

IzM (x)



A

Estado I

x

y

( )L I II

I I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

�� Aplicación del TTVCÁLCULO DE GIRO



A

Estado I

1x

Aplicación del TTVCÁLCULO DE GIRO

L I III I z zz

z0

M (x)M (x)1 dx

EIθ = ∫

y

( )L I II

I I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

��



A

Estado I

1x

y

Aplicación del TTVCÁLCULO DE GIRO

L I III I z zz

z0

M (x)M (x)1 dx

EIθ = ∫

x

y

I IzM (x)

x

y

IzM (x)



?

Aplicación del TTVal cálculo de

incógnitas hiperestáticas

¿



¿ ?

Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticasq



¿ ?

Aplicación del TTV al cálculo de incógnitas hiperestáticas

R1y

m

R2y

q



¿ ?


q

R1y

m

R2y

q

m

=x

y

z (x 0)θ =




q

x

y

m




q

x

y

m

x

y

m

1+

*

q

x

y

=




x

y

=m

1+

*

q

x

y

Problema 0

x

y

Problema I




x

y

=m

1+

*

q

x

y

original 0 IE = E + m E

Problema 0

x

y

Problema I




x

y

1

Problema I

( )L I II

I I I I II z z

z0

M (x)M (x)F u m dx

EIθ+ =∑ ∫��

��

q

x

y

Problema II

( )I 0 ILz z zoriginal

z0

M (x) M (x) mM (x)1 dx

EIzθ+

= ∫

( )2IL LI 0zz z

z z0 0

M (x)M (x)M (x)dx m dx 0

EI EI+ =∫ ∫

Problema Original



Otro ejemplo

qP



qP



qP

1

1

Problema 0

Problema I

Problema II

qP

=

X

+

*

+Y

*



qP

1

Problema 0

Problema I

Problema II

original 0 I IIE = E + X E + Y E

1

X

*

Y

*



1

Problema I

Problema II

original 0 I IIE = E + X E + Y E

( )

( )

I 0 I IILz z z z

z0

II 0 I IILz z z z

z0

M (x) M (x) X M (x) Y M (x)0 dx

EI

M (x) M (x) X M (x) Y M (x)0 dx

EI

+ +=

+ +=

∫

∫

TTV I/Original

TTV II/Original

1



Aplicación del PTV a sistemas internamente HIPEREST ÁTICOS.

F

F/2F/2

Grado dehiperestaticidad 3

¿ ��, �� , �� ?




F

F/2F/2

F

Grado dehiperestaticidad 3

��, �� , ��

≡




F��

1

1

��1

��

≡ �Problema 0

Problema I

Problema II

Problema III




0 ��

��

�

0 ��

��

�

0 ��

��

�

TTV I/Original

TTV II/Original

TTV III/Original

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