Resistencia de materiales aplicada, 3ra edicion robert mott

P E A R S O N

Y/M.í'títíOMtítíMSOíU

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1—13 Deformación por cortante 26

1-14 Módulo de Elasticidad 27

1-15 Módulo de elasticidad a cortante 27

1-16 Medidas preferidas y perfiles estándar 27

C A P ÍT U L O 2 P R O P IE D A D E S D E D IS E Ñ O D E L O S M A T E R IA L E S

2-1 Objetivos de este capítulo 45

2 -2 Metales en el diseño mecánico 46

2 -3 Acero 55

2 -4 Hierro fundido 60

2-5 Aluminio 62

2 -6 Cobre, latón y bronce 64

2 -7 Zinc, magnesio y titanio 64

2 -8 No metales en el diseño de ingeniería 65

2 -9 Madera 65

2—10 Concreto 66

2-11 Plásticos 67

2-12 Materiales compuestos 67

4 5

C A P ÍT U L O 3 D IS E Ñ O D E E L E M E N T O S E S T R U C T U R A L E S S O M E T ID O S A

E S F U E R Z O D IR E C T O


3 -2 Diseños de miembros bajo tensión o compresión directa 83

3-3 Esfuerzos normales de diseño 84

3 -4 Factor de diseño 85

3-5 Criterios en la determinación del factor de diseño 87

3 -6 Métodos para calcular el esfuerzo del diseño 88

3-7 Diseño por esfuerzo cortante 94

3-8 Diseño por esfuerzos de apoyo 98

3 -9 Factores de concentración de esfuerzo 103

C A P ÍT U L O 4 D E F O R M A C IÓ N Y E S F U E R Z O T É R M IC O

82

1 1 5


4—2 Deformación elástica en elementos sometidos a tensión y compresión 116

4—3 Deformación que causan cambios de temperatura 120

4—4 Esfuerzo térmico 125

XII C onten ido

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4-5 Elementos estructurales hechos de más de un material 126

C A P ÍT U L O 5 E S F U E R Z O C O R T A N T E T O R S IO N A L Y D E F L E X IÓ N T O R S IO N A L 1 3 5


5-2 Par de torsión, potencia y velocidad de rotación 136

5-3 Esfuerzo cortante torsional en elementos estructurales de sección transversal circular 139

5—4 Derivación de la fórmula para el esfuerzo cortante torsional 142

5-5 Momento polar de inercia de barras circulares sólidas 144

5-6 Esfuerzo cortante torsional y momento polar de inercia de una barra circular hueca 145

5-7 Diseño de elementos circulares sometidos a torsión 147

5-8 Comparación de elementos circulares sólidos y huecos 153

5-9 Concentraciones de esfuerzo en elementos sometidos a torsión 154

5-10 Torsión-deform ación torsional elástica 161

5-11 Torsión en secciones no circulares 169

C A P ÍT U L O 6 F U E R Z A S C O R T A N T E S Y M O M E N T O S F L E X IO N A N T E S

E N V IG A S


6-2 Cargas en vigas, apoyos y tipos de vigas 182

6-3 Apoyos de vigas y reacciones en los apoyos 191

6-4 Fuerzas cortantes 195

6-5 Momentos flexionantes 204

6-6 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas en voladizo 214

6-7 Vigas con cargas distribuidas linealmente variables 216

6-8 Diagramas de cuerpo libre de componentes de estructuras 219

6-9 Análisis matemático de diagramas de vigas 223

C A P ÍT U L O 7 C E N T R O ID E S Y M O M E N T O S D E IN E R C IA D E Á R E A S 2 4 4


7-2 El concepto de centroide-form as simples 245

7-3 Centroide de formas complejas 246

7—4 Concepto de momento de inercia 251

7-5 Momento de inercia de figuras compuestas cuyos componentes tienen el mismo eje centroidal 253

7-6 Momento de Inercia de figuras compuestas - Caso general - Uso del

Contenido

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teorema de la transferencia del ej e 255

7 -7 Definición matemática del momento de inercia 259

7-8 Secciones compuestas hechas de perfiles comercialmente disponibles 260

7 -9 Momento de inercia de perfiles cuyas partes son todas rectangulares 264

C A P ÍT U L O 8 E S F U E R Z O C A U S A D O P O R F L E X IÓ N


8-2 Fórmula de flexión 275

8-3 Condiciones para el uso de la fórmula de flexión 278

8 ^ t Distribución del esfuerzo en la sección transversal de una viga 280

8-5 Derivación de la fórmula de flexión 281

8-6 A plicaciones-análisis de vigas 284

8-7 A plicaciones-diseño de vigas y esfuerzos de diseño 287

8-8 Módulo de sección y procedimientos de diseño 289

8-9 Concentraciones de esfuerzo 296

8-10 Centro de flexión (centro de cortante) 301

8-11 Perfiles preferidos para secciones transversales de vigas 304

8-12 Diseño de vigas hechas de materiales compuestos 309

E S F U E R Z O S C O R T A N T E S E N V IG A S

2 7 4

C A P ÍT U L O 9

C A P ÍT U L O 10


9-2 Visualización de esfuerzos cortantes en vigas 328

9-3 Importancia de los esfuerzos cortantes en vigas 329

9-4 Fórmula general de cortante 330

9-5 Distribución del esfuerzo cortante en vigas 337

9-6 Desarrollo de la fórmula general de cortante 344

9-7 Fórmulas del cortante especiales 347

9-8 Esfuerzo cortante de diseño 351

9-9 Flujo de cortante 352

E L C A S O G E N E R A L D E L O S E S F U E R Z O S C O M B IN A D O S

Y E L C ÍR C U L O D E M O H R


10-2 Elemento sometido a esfuerzo 362

10-3 Distribución del esfuerzo creada por esfuerzos básicos 363

10—4 Creación del elemento sometido a esfuerzo inicial 365

361

XIV C ontenido

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10-5 Ecuaciones para determinar esfuerzos en cualquier dirección 372

10-6 Esfuerzos principales 376

10-7 Esfuerzo cortante máximo 377

10-8 Círculo de M ohr para esfuerzo 379

10-9 Ejemplos del uso del círculo de M ohr 386

10-10 Condición de esfuerzo en planos seleccionados 393

10-11 Caso especial en el cual los dos esfuerzos principales tienen el mismo signo 396

10-12 Teoría de falla del dsfuerzo cortante máximo 401

C A P ÍT U L O 11 C A S O S E S P E C IA L E S D E E S F U E R Z O S C O M B IN A D O S


11—2 Esfuerzos normales combinados 406

11-3 Esfuerzos combinados normales y cortantes 414

D E F L E X IÓ N D E V IG A S

4 0 5

C A P ÍT U L O 12 4 2 9


12-2 La necesidad de considerar las deflexiones de vigas 430

12-3 Definición de términos 431

12-4 Deflexiones de vigas con el método de la fórmula 434

12-5 Superposición mediante fórmulas de deflexión 439

12-6 Principios básicos para determinar la deflexión en vigas con el método de integración sucesiva 443

12-7 Deflexión de vigas - método de integración sucesiva - enfoque general 446

12-8 Deflexión de vigas - método del área de momento 456

12-9 Aplicaciones del método del área de momento 460

12-10 V igasconcargasdistribuidas-m étododeláreadem om ento 474

C A P ÍT U L O 13 V IG A S E S T Á T IC A M E N T E IN D E T E R M IN A D A S 4 8 4


13-2 Ejemplos de vigas estáticamente indeterminadas 485

13-3 Fórmulas para vigas estáticamente indeterminadas 487

13-4 Método de superposición 497

13-5 Vigas continuas-teorem a de los tres momentos 502

C A P Í T U L 0 1 4 C O L U M N A S

14—1 Objetivos de este capítulo 513

5 1 3

C onten ido XV

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14-2 Razón de esbeltez 514

14—3 Razón de esbeltez de transición 518

14-4 Fórmula de Euler para columnas largas 520

14-5 Fórm uladeJ. B. Johnson para columnas cortas 521

14-6 Factores de diseño para columnas y carga permisible 521

14-7 R esum en-m étodo de análisis de columnas 522

14-8 Perfiles eficientes para secciones transversales de columna 525

14-9 Especificaciones del AISC 526

14—10 Especificaciones de la Aluminum Association 528

14—11 Columnas con carga no centrada 529


15-2 Distinción entre los recipientes a presión de pared delgada y pared gruesa 537

15-3 Esferas de pared delgada 539

15-4 Cilindros de pared delgada 541

15-5 Cilindros y esferas de pared gruesa 546

15-6 Procedimiento para analizar y diseñar recipientes a presión esféricos y cilindricos 546

15-7 ■ Otras consideraciones de diseño para recipientes a presión 554


16-2 Tipos de conexiones 561

16-3 Modos de falla 562

16-4 Conexiones remachadas 563

16-5 Esfuerzos permisibles 565

16-6 Conexiones atornilladas 566

16-7 Ej emplos - juntas remachadas y atornilladas 5 67

16-8 Juntas remachadas y atornilladas excéntricamente cargadas 569

16-9 Juntas soldadas con cargas concéntricas 573

C A P ÍT U L O 15 R E C IP IE N T E S A P R E S IÓ N 5 3 6

C A P Í T U L 0 1 6 C O N E X IO N E S 5 6 0

A P É N D IC E 5 8 2

6 3 5

ÍN D IC E

xvi C onten ido

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11C on cep tos bás icos en la res is tenc ia de m a teria les

1 - 1 O B J E T IV O S D E L L IB R O

Es esencial que cualquier producto, máquina o estructura sea segura y estable bajo las cargas ejercidas sobre aquéllas durante cualquier uso previsible. El análisis y diseño de estos dispositivos o estructuras, para que garanticen la seguridad, es el principal objetivo

de este texto.La falla de un componente de una estructura puede ocurrir de diversas formas:

1. El material del componente puede fracturarse totalmente.

2. El material puede deformarse en exceso bajo la carga, de tal manera que el componente ya no sea conveniente para su propósito.

3. La estructura puede hacerse inestable y pandearse, y, por lo tanto, volverse incapaz de soportar las cargas para las que se diseñó.

Los ejemplos de estos modos de falla pueden ayudar al lector a comprender la importancia de conocer bien los principios de la resistencia de materiales aplicada, que se descri

ben en este texto.

P re v e n c ió n d e fa lla p o r fra c tu ra s . La figura 1-1 m uestra dos varillas que soportan una pesada pieza fundida. Imagine que es usted la persona responsable del diseño de las varillas. Ciertamente, querría asegurar que las varillas fuesen lo suficientemente fuer-

1

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C able de la grúa

F IG U R A 1 - I D os varillas que cargan un b loque pesado.

tes para que no se rompieran ni permitiesen que la pieza fundida cayera causando, posiblemente, grandes daños tanto materiales como a personas. Si usted fuera el diseñador de las varillas, ¿qué información necesitaría? ¿qué decisiones debería tom ar para el diseño? A continuación exponemos una lista parcial.

1. ¿Cuál es el peso y tamaño físico de la pieza fundida?

2. ¿Dónde está su centro de gravedad? Esto es im portante para que usted pueda decidir dónde colocar los puntos de agarre de las varillas con el bloque.

3. ¿Cómo se unirán las varillasa la pieza fundida y al sistema de soporte en la parte superior?

4 . ¿De qué material deben estar hechas las varillas? ¿Cuál es su resistencia?

5. ¿Cuál será el tamaño y forma de la sección transversal de las varillas?

6. ¿Cóm o se aplicará inicialmente la carga de la pieza fundida a las varillas: de manera lenta, con impacto, o con movim iento de sacudida?

7. ¿Seutilizarán las varillas para muchos ciclos de carga durante su vida esperada?

C a p itu lo 1 ■ C o ncep tos bá s ico s en la res is tenc ia de m a te r ia le s

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El conocim iento de estos factores permitirá a usted diseñar las varillas para que sean seguras; es decir, para que no se rompan en las condiciones de servicio anticipadas. En los capítulos 1 y 3 esto se tratará con mayor detalle.

P re v e n c ió n d e d e fo rm a c ió n e x c e s iv a . Los engranes se utilizan en dispositivos mecánicos transmisores de potencia como la transmisión de un camión, en bandas transportadoras o en el uso de una máquina-herramienta. Para una correcta operación de los engranes, es esencial que estén alineados adecuadamente, con tal que los dientes del engrane de mando coincidan con precisión con los del engrane mandado. La figura 1 -2 muestra dos flechas con sus engranes trabados. Las flechas están apoyadas sobre cojinetes que están a su vez montados rígidamente en la caja de transmisión. Cuando los engranes transm iten potencia, se desarrollan fuerzas que tienden a separarlos. Estas fuerzas son resistidas por las flechas, de modo que tienen cargas com o las que se muestran en la figura 1 -3 . La acción de las fuerzas perpendiculares a las flechas tiende a flexionarlas, lo que causaría que los dientes de los engranes quedaran desalineados. Por consiguiente, los ejes deben tener un diseño tal que el pandeo en los engranes esté a un nivel reducido y aceptable. Desde luego, las flechas deben tener un diseño que las haga seguras bajo las cargas que se les aplican. En este tipo de carga, seconsidera a las flechas como vigas. Los capítulos 8 y 12 tratan los principios de los diseños de vigas por resistencia y deflexión.

E s ta b ilid a d y p a n d e o . Una estructura puede desplomarse debido a que uno de sus miembros de apoyo más im portantees incapaz de conservar su forma bajo cargas aplicadas, aun cuando el material no falle por fractura. Un ejemplo de esto es un poste largo y delgado o columna, sujeto a una fuerza de compresión dirigida hacia abajo. A cierta carga crítica, la columna se pandea. Es decir, de repente se dobla, perdiendo su forma recta original. Cuando esto ocurre, si la carga permanece aplicada, la columna se colapsará totalmente. La figura 1 - 4 muestra un dibujo de una columna de este tipo, relativamente larga y con una sección transversal rectangular delgada. Se puede utilizar una vara de m edir o una regla común para demostrar el pandeo en este tipo de columna. Para prevenir el pandeo, se debe tener la capacidad para especificar el material, forma y tamaño apropiados para la sección transversal de un miembro de una longitud dada sometido a compresión, de modo que permanezca recto bajo las cargas esperadas. El capítulo 14 presenta el análisis y diseño de columnas.

F IG U R A 1 -2 D os flechas con engranes trabados.

S ecc ión 1 - 1 ■ O b je tivos de l libro 3

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4. Definir esfuerzo normal directo y calcular el valor de este tipo de esfuerzo, tanto para carga de tensión como de compresión.

5. Definir el esfuerzo cortante directo y calcular su valor.

6. Identificar las condiciones en las que un miembro de carga se encuentra sometido a esfuerzo cortante simple o a esfuerzo cortante doble.

7. Dibujar elementos sometidos a esfuerzo, en los que se muestren los esfuerzos normal y cortante que actúan en un punto cualquiera en un miembro que soporta cargas.

8. Definir esfuerzo de apoyo y calcular su valor.

9. D efinir la deformación normal unitaria y la deformación por cortante uni

taria.

10. Definir el coeficiente de Poisson y dar su valor para materiales típicos que se utilizan en el diseño mecánico y estructural.

11. Reconocer perfiles estructurales estándar y cuerdas de tom illos estándar, y utilizar datos en relación con éstos.

12. Definir el módulo de elasticidad a tensión.

13. Definir el módulo de elasticidad a cortante.

14. Entender las responsabilidades de los diseñadores.

1 - 3 S IS T E M A S D E U N ID A D E S B Á S IC A S

Los cálculos que se requieren en la aplicación de la resistencia de materiales involucran la manipulación de varios conjuntos de unidades en ecuaciones. Para obtener precisión numérica, es de gran importancia asegurar que se utilizan unidades consistentes en las ecuaciones. A lo largo de este texto, se escribirán los números con sus respectivas unidades.

Debido a la transición que se está llevando a cabo de las unidades tradicionales en Estados Unidos a unidades del sistema métrico decimal, en esta obra se utilizan ambas. Se espera que las personas que ingresan a una carrera industrial o van a continuarla dentro de los próxim os años, se familiaricen con ambos sistemas. Porunaparte, muchos productos nuevos, tales como automóviles y maquinaria comercial, se fabrican utilizando dimensiones del sistema métrico. Por consiguiente, las piezas y equipo de fabricación se especificarán en esas unidades. Sin embargo, esta transición no ocurre uniform emente en todos los campos. Los diseñadores tendrán que trabajar con artículos como acero estructural, alum inio y m adera, cuyas propiedades y dim ensiones están dadas en unidades anglosajonas en referencias convencionales. Además (en Estados Unidos), los diseñadores, personal de ventas y servicios, y aquellos que laboran en la industria manufacturera, deben trabajar con equipo que ya se instaló previamente y que se construyó de acuerdo con las dimensiones del sistema de unidades anglosajonas. Por consiguiente, parece lógico que las personas que prestan sus servicios actualmente en la industria deban ser capaces de trabajar y pensar en la aplicación de ambos sistemas.

El nombre formal para el sistema de unidades de uso en Estados Unidos es el Sistema de Unidades Gravitacionales Inglesas (EGU: English Gravitational Unit System). El Sistema métrico, aceptado intemacionalmente, se conoce por el nombre en francés de Systéme International d ’Unités, o Sistema Internacional de Unidades que, en el presente texto, se abrevia con las siglas SI.

En la mayoría de los casos, los problemas en este libro se trabajan tanto en el sistema de unidades estadounidenses como en el sistema SI, en vez de mezclar unidades. En

Sección 1 -3 ■ Sistemas de unidades básicas

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los problemas donde los datos se dan en ambos sistemas de unidades, es deseable cambiar todos los datos al mismo sistema antes de terminar la solución del problema. El apéndice A - 25 da factores de conversión para utilizarse al momento de realizar las conversiones.

Las magnitudes básicas para cualquier sistema de unidades son: longitud, tiempo, fuerza, masa, temperatura y ángulo. La tabla 1 - 1 es una lista de las unidades para estas magnitudes en el SI, y la tabla 1 -2 lista las magnitudes en el sistema de unidades anglosajonas.

P re fijo s p a ra u n id a d e s S I. En el SI, deben utilizarse prefijos para indicar órdenes de magnitud y de este modo eliminar digitosy proporcionarun conveniente sustituto para escribir potencias de 10, como generalmente se prefiere para cálculos. Se recomiendan los prefijos que representan saltos de 1000. Aquellos que generalmente se encuentran en la resistencia de materiales, se listan en la tabla 1 -3 . En la tabla 1 -4 se muestra la forma en que deben convertirse los resultados que se calcularon para utilizarse con los prefijos convencionales de unidades.

T A B L A 1 - 1 D im ensiones básicas del sistem a m étrico decim al (SI)

M agnitud Unidad SIOtras unidades

m étricas

Longitud

Tiem poFuerza

M asa

Tem peratura

Ángulo

m etro(m )

segundo (s)

newton (N)

kilogram o (kg)

kelv in(K )

radián

m ilím etro (m m )

m inuto (m in), hora (h)

kg • m /s

N • s2/m

grados C elsius (°C)

grado

T A B L A 1 -2 D im ensiones básicas en el sistem a de unidades anglosajonas

M agnitudU nidad

anglosajonaO tras unidades

anglosajonas

Longitud

Tiem po

Fuerza

M asa

Tempera! un»

Ángulo

p ic (ft)

segundo (s)

libra (Ib) slug

°F

grado

pulgada (plg)

m inuto (m in), hora (h)

kip*

lb s 2/pie

radián (rad)

* 1.0 kip = 1000 Ib. El nombre se deriva del térm ino A'//í>/>oMw/(kilolibra).

T A B L A 1 -3 Prefijos para unidades SI

Prefijo Sím bolo SIO tras unidades

m étricas

g 'ga G 10^=1000000 000m ega M 106=1 000 000

kilo k 103=1 ooomili m 10~3=0.001m icro M I0~6=0.000 001

C apítu lo 1 ■ C oncep tos bás icos en la res is tencia de m ateria les

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T A B L A 1 -4 M étodo adecuado para rep o rta r cantidades

R esultado Resultado

calcu lado reportado

0.005 48 m 5.48 x 10-3 m , o 5 .48 m m

1 2 7 5 0 N 12.75 x l 0 3N ,o l2 .7 5 k N

34 500 kg 34.5 x 103, o 34.5 M g (m egagram os)

1 - 4 R E L A C IO N E S E N T R E M A S A , F U E R Z A Y P E S O

La fuerza y la m asa son magnitudes separadas y distintas. El peso es una clase especial de fuerza.

La masa se refiere a la cantidad de sustancia que hay en un cuerpo.

La fuerza es Ia acción de empujar o jalar que se ejerce sobre un cuerpo, ya sea por una fuen te externa, o por la gravedad.

E l peso es la fuerza de la atracción gravltacional sobre un cuerpo.

La masa, la fuerza y el peso, se relacionan por la ley de Newton:

ftierza = masa x aceleración

Con frecuencia utilizamos los sím bolos F, para fuerza, m para m asa y ap a ra aceleración.

Entonces:

F = m x a o m=F/a

Cuando se involucra la atracción de la gravedad en el cálculo del peso de una masa, a tom a valor deg , la aceleración debida a la gravedad. Entonces, utilizando W para peso,

r * \ R e la c ió n W = m x g o m =W /g (1 — 1)

p e s o - m a s a

U tilizaremos los siguientes valores parag:

U nidadesS I:g= 9 .81 m/s2 Unidades anglosajonas: g = 32.2 pies/s2.

U n id a d e s d e m a s a , fu e rz a y p e s o . En las tablas 1-1 y 1 -2 se m uestran las unidades preferidas, y algunas otras unidades convenientes para masa y fuerza, en los sistemas de unidades SI y anglosajones. Las unidades para fuerza también se utilizan com o unidades para peso.

El newton (N) en el SI se 1 lama así en honor de Isaac Newton y representa la canti

dad de fuerza que se requiere para dar una aceleración de 1.0 m /s2 a una m asa de 1.0 kg. Las unidades equivalentes para el newton pueden obtenerse al sustituir las unidades correspondientes en la 2a. ley de Newton:

F= m x a = k g m /s2 = newton

Secc ión 1 - 4 ■ R e lac iones en tre m asa , fue rza y peso 7

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En el sistema de unidades anglosajonas, la unidad para fuerza se define como libra, en tanto que la unidad de masa (slug) se derivare la 2a. ley de Newton de la forma siguiente:

En los siguientes ejemplos de problemas se ilustra laconversión de peso y masa.

E je m p lo

1 - 1

(s is te m a S I)

Un m ontacargas levanta 425 kg de concreto. Calcular el peso del concreto, e s decir, la fuerza que ejerce el concreto sobre el montacargas.

S o lu c ió n O bjetiv o Calcular el peso de una m asa de concreto.

D a tos m = 425 kg

A n á lis is W = m x g \ g - 9.81 m/s2

R e s u lta d o s W - 425 kgx 9.81 m/s2 = 4170 kgm /s2 = 4170 N.

C o m e n ta rio Por consiguiente, 425 kg de concreto pesan 4170 N.

E jem plo

1 - 2

(S is te m a

a n g lo s a jó n )

Una tolva de carbón pesa 8500 Ib. Determine su masa.

S o lu c ió n O bjetiv o Calcular la m asa de una tolva de carbón.

D a to s W = 8500 Ib

A n á lis is m = W /g; g = 32.2 pies/s2

R e s u lta d o s m = 8500 lb/32.2 pies/s2 = 264 lb s2/pies = 264 slugs

C o m e n ta rio Por consiguiente, 8500 Ib de carbón tienen una m asa de 264 slugs.

8 C ap itu lo 1 ■ C onceptos bás icos en la res is tenc ia de m ateria les

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D e n s id a d y p e s o e s p e c íf ic o . Para caracterizar la masa o peso de un material en relación con su volumen, utilizamos los términos densidad y peso especifico, que se definen de la forma siguiente:

Densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen de un material.

Peso especifico es la cantidad de peso por unidad de volumen de un material

Utilizaremos la letra griega p (rho) como sím bolo de densidad. Para el peso específico utilizaremos X(gamma).

A continuación se resumen las unidades para densidad y peso específico.

U nidades

anglosajonas SI

D ensidad slugs/p ies3 kg /m J

Peso específico lb/pies3 N /m 3

Algunas veces se utilizan otras convenciones, que en consecuencia producen confusiones. Por ejemplo, en Estados Unidos, en ocasiones se expresa la densidad en lb/pies3 o Ib/plg3. Para esto se utilizan dos interpretaciones. U na es que el térm ino im plica la densi

dad en peso, con el mismo significado que el peso específico. O tra es que la magnitud Ib significa libra-masa en lugar de libra-peso, y ambas tienen valores num éricos iguales.

1 - 5 C O N C E P T O D E E S F U E R Z O

El objetivo de cualquier análisis de resistencia es establecer la seguridad. Lograr esto requiere que el esfuerzo que se produzca en el m aterial del m iembro que se analiza esté por debajo de un cierto nivel de seguridad, que se describirá en el capítulo 3. Comprender lo que significa esfuerzo en un miembro que soporta carga, com o se describe a continuación, es de la m ayor importancia para estudiar la resistencia de materiales.

Esfuerzo es la resistencia interna que ofrece un área unitaria del material del que está hecho un miembro para una carga aplicada externa.

Nos interesamos en lo que sucede dentro de un miembro que soporta una carga. Debemos determinar la magnitud de fuerza que se ejerce sobre cada área unitaria del material. El concepto de esfuerzo puede expresarse m atem áticam ente como:

D e fin ic ió n d e

U / e s fu e rz o

esfuerzo =fuerza F

A(1- 2)

En algunos casos, como se describe en la siguiente sección que trata del esfuerzo normal directo, la fuerza aplicada se reparte uniform emente en la totalidad de la sección transversal del miembro. En estos casos, el esfuerzo puede calcularse con la simple división de la fuerza total por el área de la parte que resiste la fuerza. Entonces, el nivel de esfuerzo será el mismo en un punto cualquiera de una sección transversal cualquiera.

En otros casos, tal como en el caso de esfuerzo debido a flexión que se presenta en el capítulo 8, el esfuerzo variará en los distintos lugares de la misma sección transversal. Entonces, es esencial que usted considere el nivel de esfuerzo en un punto. Porlo general,

Sección 1 - 5 ■ C onc ep to d e es fue rzo

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el objetivo es determ inaren qué punto ocurre el esfuerzo máxim o, y cuál es su magnitud.En el sistema de unidades anglosajonas, la unidad típica de fuerza es la libra, y la

unidad de superficie más conveniente es la pulgada cuadrada. Por consiguiente, el esfuerzo se indica en lb/plg2, que se abreviapsi. Los niveles de esfuerzo característicos, en los diseños de maquinaria y análisis estructurales, son de varios miles de psi. Por esta razón, con frecuencia se utiliza la unidad de kip/plg2, que se abrevia ksi. Por ejemplo, si se calcula que el esfuerzo es de 26 500 psi, puede reportarse como:

. 26 500 Ib 1 kip 26.5 kip . , . .esfuerzo = -----— x _____ r„ = ------- — = 26.5 ksi

plg2 1000 Ib pig2

En el sistema de unidades del SI, la unidad convencional para fuerza es el newton y la superficie o área se expresa en metros cuadrados. Por consiguiente, la unidad convencional para esfuerzo está dada en N/m 2, la cual recibe el nombre de/rasca /y se abrevia Pa. Los niveles típicos de esfuerzo son de varios m illones de pascales, de forma que launidad de esfuerzo más conveniente es el megapascal o MPa. Esto también es conveniente por otra razón. Al calcular el área de la sección transversal de miembros que soportan cargas, con frecuencia se utilizan mediciones que se expresan en mm. Entonces el esfuerzo estaría dado en N/m m2 y puede demostrarse que es numéricam ente igual a la unidad de MPa. Por ejemplo, supongamos que se ejerce una fuerza de 15 000 N en un área cuadrada de 50 mm de lado. El área de resistencia sería de 2500 m m 2, y el esfuerzo resultante sería:

, fiierza 15 000 N 6.0 N esfuerzo = —----- = ------

Convirtiendo esto a pascales, obtendríamos:

£ 6.0 N (lOOO^mm2 esfuerzo = ------- x ---------------- = 6.0 x 10 N/m = 6.0 MPa

Esto demuestra que la unidad de N /m m 2 es idéntica al M Pa, una observación por la que nos regirem os a lo largo de este texto.

E S F U E R Z O N O R M A L D IR E C T O

Uno de los tipos más fundamentales de esfuerzo es el esfueno normal, denotado por la letra griega m inúscula <r(sigma), en donde el esfuerzo actúa de m anera perpendicular, o normal, a la sección transversal del miembro decarga. Si el esfuerzo es también uniforme sobre el área de resistencia, el esfuerzo se conoce com o esfuerzo normal directo.

Los esfuerzos normales pueden ser de compresión o de tensión. U n esfuerzo de compresión es aquel que tiende a aplastar el material del miembro de carga, y a acortar a! miembro en sí. Un esfuerzo de tensión es aquel que tiende a estirar al m iembro y romper el material.

C a pítu lo 1 ■ C onc ep tos bás ico s en la res is te nc ia de m a te ria les

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C o m e n ta rio La figura 1 - 7 m uestra una parte que arbitrariam ente s e seleccionó de la varilla, donde la carga aplicada e s tá abajo, y el esfuerzo de tensión interno s e distribuye uniform em ente so b re el corte d e la sección.

E sfu erzo d e tensión

u n ifo im em en te d is trib u id o

sobre una sección transversa l

a rb itrar iam en te se lecc io n ad a

F IG U R A 1 - 7 E sfu erzo de ten sió n so b re u n a secc ió n

tran sv ersa l a rb itraria de u na v a rilla c ircu lar.

1 - 7 E L E M E N T O S S O M E T ID O S A E S F U E R Z O P A R A L A V IS U A L IZ A C IÓ N

D E E S F U E R Z O S N O R M A L E S D IR E C T O S

L a ilustración de esfuerzos en las figuras 1 - 6 y 1 - 7 son útiles para visualizar la naturaleza de la resistencia interna a la fuerza aplicada externa, particularm ente para aquellos casos en donde los esfuerzos son uniform es sobre la to talidad de la sección transversal.

En otros casos, es más conveniente visualizar las condiciones de esfuerzo sobre un elem ento pequeño (infinitesim al). C onsidérese un pequeño cubo de material en alguna parte dentro del eje cuadrado del pedestal de soporte que se m uestra en la figura 1 - 5. Debe haber una fuerza de com presión neta que actúe sobre las caras superior e inferior del

Sección 1-7 ■ Elementos sometidos a esfuerzos para la visualización de esfuerzos normales directos 13

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(a) elem ento

tridim ensional

(6) elem ento

bidim ensional

(«) e lem ento

tridim ensional

(b) elem ento

b idim ensional

F IG U R A 1 - 8 E lem entos para la v isualización

de esfuerzos de com presión.

F IG U R A 1 - 9 E lem ento para la v isualización

de esfuerzos de tensión.

cubo, como se muestra en la figura 1 - 8(a). Si se considera que las caras son áreas unitarias, estas fuerzas pueden considerarse como los esfuerzos que actúan sobre las caras del cubo. Un cubo de esta clase se conoce como elemento sometido a esfuerzo.

Debido a que el elemento se toma de un cuerpo en equilibrio, el elemento en sí está también en equilibrio, y los esfuerzos en las caras superior e inferior son iguales. Un elemento simple como éste, con frecuencia se muestra como un elemento cuadrado bidimensional en lugar de cubo tridim ensional, como se muestra en la figura 1 - 8(b).

Asimismo, el esfuerzo de tensión sobre cualquier elemento de la varilla de la figura 1 - 1 puede mostrarse como en la figura 1 - 9 , donde el vector de esfuerzo actúa hacia afuera desde el elemento. Note que los esfuerzos de compresión o tensión mostrados, actúan en forma perpendicular a la superficie del elemento.

1 - 8 E S F U E R Z O C O R T A N T E D IR E C T O

Cortante hace referencia a la acción de corte. Cuando se utilizan unas tijeras domésticas normales, se hace que una de las dos hojas se deslice sobre la otra para cortar papel, tela o cualquier otro material. Un fabricante de lámina metálica utiliza una acción cortante similar al cortar metal para un ducto. En estos ejemplos, la acción de corte progresa sobre la longitud de la línea que debe cortarse, de forma que sólo una pequeña parte del corte total se haga para un tiempo dado. Y , desde luego, el objetivo de la acción es en realidad cortar el material. Es decir, se quiere que el material se fracture.

Los ejemplos descritos en esta sección, junto con las figuras anexas, ilustran varios casos donde se produce cortante directo. Es decir, la fuerza cortante aplicada se resiste uniform emente por el área de la parte que se corta, lo que produce un nivel uniform e de fuerza cortante sobre el área. El símbolo que se utiliza para el esfuerzo cortante es la r (letra griega minúscula tan). Entonces, el esfuerzo cortante directo puede calcularse a partir de:

OE sfuerzoc o rta n te

d ire c to

esfuerzo cortante = r =fuerza aplicada

área cortante

F_

A.(1 -3 )

La figura 1 - 10 muestra una operación de perforación, donde el objetivo es cortar una parte del material del resto. La acción de perforación produce una ranura en la lámina metálica plana. La parte que se extrae en la operación es el trozo o bocado. Muchas formas di ferentes pueden producirse mediante perforación, tanto con el trozo como con

1 4 C apítu lo 1 ■ C o nce p tos bás ico s en la res is tenc ia de m a te ria les

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C o r ta n te s im p le . Con frecuencia se inserta un perno o un rem ache en un agujero cilindrico a través de partes coincidentes para conectarlas, com o se m uestra en la figura 1 -1 1 . Cuando se aplican fuerzas perpendiculares al eje del perno, existe la tendencia de cortarlo a través de su sección transversal, produciendo un esfuerzo cortante. Esta acción se llama cortante simple, porque una sola sección transversal del perno resiste la fuerza cortante aplicada. En este caso, generalmente se diseña el perno para que el esfuerzo cortante esté por debajo del nivel que haría que se fracturase el perno. En el capítulo 3 se hablará más acerca de niveles de esfuerzo permisibles.

C o r ta n te d o b le . Cuando se diseña una conexión por m edio de pernos com o se m uestra en la figura 1 -1 2 , hay dos secciones transversales que resisten la fuerza aplicada. En esta disposición, se dice que el perno está a esfuerzo cortante doble.

E! área som etida a cortante son dos secciones transversa les del perno

As = 2 U D !/4)

F IG U R A 1 -1 2 Junta m ed ian te pernos que ilustra el e sfuerzo co rtan te doble.

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A n á lis is El perno es tá a esfuerzo cortante directo, donde dos secciones transversa les del perno resisten la fuerza aplicada (cortante doble). Utilice la ecuación (1 -3 ).

R e s u lta d o s El área de corte, As es:

7i(10.0 m m )2

4= 157mm2

El esfuerzo cortante en el perno es:

— = 3550 N- = 22.6 N/mm 2 = 22.6 MPa >4S 157 m m 2

C o m e n ta r io El esfuerzo cortante que s e obtuvo e s la mitad del valor del cortante simple.

C u ñ a s . La figura 1 - 14 m uestra una importante aplicación del esfuerzo cortante en las transm isiones mecánicas. Cuando un elem ento transm isor de potencia, tal com o un engrane, una rueda dentada para cadena o polea de banda transportadora se montan en un eje, con frecuencia se utiliza una cuña para conectarlos y transm itir el par de torsión de uno al otro. El par de torsión produce una fuerza tangencial en la superficie de contacto entre la flecha y el interior del cubo. Al par de torsión se le opone el momento de la fuerza en la cuña por el radio de la flecha. Es decir, T=F(DI2) . Por consiguiente, la fuerza es F = 2 T/D. En la figura 1-14, mostramos la fuerza F u ejercida por la flecha en el lado izquierdo de la cuña. En el lado derecho, una fuerza igual F2 es la reacción ejercida por el cubo sobre la cuña. Este par de fuerzas tienden a cortar la cuña, produciendo un esfuerzo cortante. Nótese que el área de corte, A„ es un rectángulo de b x L. El siguiente ejemplo

ilustra el cálculo del esfuerzo cortante directo en una cuña.

E je m p lo La figura 1 -1 4 m uestra una cuña insertada entre una flecha y el cubo de un engrane. Si 1 - 8 s e transm ite un par d e torsión de 1500 Ibplg de la flecha al cubo, calcule el esfuerzo

cortante en la cuña. Como dim ensiones de la cuña, utilice L = 0.75 plg; h= b = 0.25 plg. El

R e s u lta d o s Área de corte: As = b x L = (0.25 plg) (0.75 plg) = 0.1875 plg2. La fuerza enla cuña se produce por la acción del par d e torsión aplicado. Al par de torsión se le opone el momento de la fuerza en la cuña por el radio de la flecha. Es decir, T=F(DI2). Por consiguiente, la fuerza es:

F = 2 TI D = (2) (1500 Ib • plg) / (1.25 plg) = 2400 Ib

Entonces, el esfuerzo cortante es:

diámetro del eje e s 1.25 plg.

S o lu c ió n O b je t iv o Calcule el esfuerzo cortante en la cuña.

D a to s T = 1500 Ibplg; D = 1.25 plg; L = 0.75 plg; h = b = 0.25 plg.

A n á lis is La cuña soporta esfuerzo cortante directo. Utilice la ecuación (1 -3 ).

x = f /a s= 2400 lb/0.1875 plg2 = 12 800 psi

18 C a pítu lo 1 ■ C o nc e p tos b á s ic o s en la re s is te nc ia d e m a te ria le s

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+

(*)

F IG U R A 1 -1 5 E lem en to q u e m uestra el esfuerzo corlante,

(a) E lem en to trid im ensional, (b) E lem en to tridim ensional

tendría un esfuerzo cortante que actuaría hacia la izquierda en su superficie superior. Para el equilibrio del elem ento respecto a fuerzas horizontales, debe haber un esfuerzo igual que actúe hacia la derecha en la superficie inferior. Ésta es la acción de corte característica

del esfuerzo cortante.Pero los dos vectores de esfuerzo en las superficies superior e inferior no pueden

actuar solos, porque el elemento tendería a girar por la influencia del par form ado por las dos fuerzas cortantes que actúan en direcciones opuestas. Para equilibrar este par, se desarrolla un par de esfiierzos cortantes iguales en los lados verticales del elemento so

metido a esfuerzo, como se m uestra en la figura 1 - 1 5(a).El elemento se dibuja con frecuencia en la forma bidim ensional que se m uestra en

la figura 1 - 1 5(b). N ótese cómo los vectores de esfuerzo en los lados adyacentes tienden a unirse en los vértices. Estos elem entos son titiles en la visualización de esfiierzos que actúan en un punto, dentro de un material som etido a fuerza cortante.

E S F U E R Z O D E A P O Y O

Cuando un cuerpo sólido descansa sobre otro y le transfiere una carga, en las superficies en contacto se desarrol la la forma de esfuerzo conocida com o esfuerzo de apoyo. Al igual

que el esfuerzo de compresión directo, el esfuerzo de apoyo es una m edida de la tenden- c iaq u e tiene la fuerza aplicada de aplastar al miembro que lo soporta.

El esfuerzo de apoyo se calcula igual que los esfuerzos norm ales directos:

_ carga aplicada _ F tt a \

area de apoyo Ab

En superficies planas en contacto, el área de apoyo es sim plem ente el área sobre la que se transfiere la carga de un miembro al otro. Si las dos partes tienen áreas distintas, se utiliza el área menor. Otra condición es que los m ateriales que transm iten las cargas deben perm anecer casi rígidos y planos con el fin de conservar su capacidad de trasm itir las cargas. La deflexión excesiva reducirá el área de apoyo efectiva.

La figura 1-16 muestra un ejemplo de la construcción de un edificio, en donde el esfuerzo de apoyo es importante. Una colum na cuadrada de acero hueca de 4.00 plg descansa sobre una gruesa placa cuadrada de acero de 6.00 plg. La placa descansa sobre

C a p itu lo 1 ■ C o nc e p tos bá s ic os en la re s is te nc ia d e m a te ria le s

O puesta x d eb ido a la fuerza

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E sfue rzo de ap oyo en tre la p la c a y la ca ra s u p e rio r de la p ila d e con cre to :

El área de apoyo e s la de la placa cuadrada, porque e s el á rea m ás pequeña en la superficie.

Gb = F /A b = 30 000 lb/(6.00 plg)2 = 833 psi

E sfue rzo de a p oyo en tre la p ila y la g ra va : El á rea de apoyo e s la de un cuadrado, de 24 plg de lado. S úm ense 338 libras por el peso de la pila.

0¡,= F /A „ = 30 338 lb/(24.00 plg)2 = 52.7 psi

C o m e n ta r io El capítulo 3 presenta algunos datos sobre los esfuerzos de apoyo permisibles.

E s fu e rz o s d e a p o y o e n ju n ta s c o n p e rn o s . Con frecuencia se utilizan pernos cilindricos en el diseño mecánico y estructural para conectar piezas entre si. En la figura 1 - 1 1 se m uestra un diseño de una conexión de esta clase. AI transferir una carga a través del perno, debe calcularse el esfuerzo de apoyo entre el perno y cada uno de los com po

nentes.El área de apoyo efectiva de un pem o cilindrico en un agujero de ajuste exacto,

requiere que se utilice el área proyectada, que se calcula como el producto del diámetro

del pem o y la longitud de la superficie en contacto.

E je m p lo R em ítase a la figura 1 -1 1 . Calcule el esfuerzo de apoyo entre el perno d e 10.0 mm de 1 -1 0 diámetro y el agujero en el eslabón. La fuerza aplicada al eslabón e s de 3550 N. El

e sp eso r del eslabón e s de 15.0 mm y su ancho de 25.0 mm.

S o lu c ió n O b je tiv o s

D a to s

A n á lis is

Calcule el esfuerzo de apoyo entre las superficies en contacto del perno y el interior del agujero del eslabón.

Carga = F = 3 5 5 0 N. t= 15.0m m ;iv = 2 5 .0 m m ;D = 10.0m m .En la figura 1 -1 1 s e m uestra la geom etría d e los miembros.

Esfuerzos de apoyo: utilice la ecuación (1 -4 ) para cada par de superficies en contacto. Utilice el área proyectada del agujero como área de apoyo.

R e s u lta d o s E ntre e l p e m o y e l es labón :

A b = D x t = (10.0 mm)(15.0 mm) = 150 mm2

Por consiguiente, el esfuerzo d e apoyo es:

o¡._ 3 5 5 0 N = 2 3 J N /m m 2 _ 2 3 J M p g

150 mm

2 2

E s fu e rz o d e c o n ta c to . Los casos de esfuerzo de apoyo ya considerados en esta m isma sección son aquellos en donde lo que está en contacto son superficies, y la fuerza

C a pítu lo 1 ■ C o nce p to s bá s ic os en la res is te nc ia d e m a te r ia le s

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Bola esférica sobre una placa curva en un cojinete de bolas que gira sobre su anillo de rodadura externo.

■ Dos superficies curvas convexas, como los dientes de engranes en contacto.

Los análisis detallados de esfuerzos de contacto, a los que a veces se les llama esfuerzos Hcrtz, no se desarrollan en este libro. Pero es im portante observar que la magnitud de esfuerzo de contacto puede ser sumamente elevada. Considérese el caso de una bola esférica sobre una placa plana que transmite una carga dirigida hacia abajo. Una superficie de perfección esférica hará contacto con un plano en un solo punto infinitam ente pequeño. Entonces,al aplicare! coeficiente de esfuerzo de apoyo, o¡ = F/A,„ la magnitud del área tiende a cero. Luego el esfuerzo tiende a infinito. En realidad, debido a la elasticidad de los materiales en contacto, hay alguna deform ación, y el área de contacto se convierte en un área circular finita, aunque pequeña. Pero el esfuerzo local todavía será m uy grande. Por esta razón, los miembros de carga sujetos a esfuerzos de contacto, están típicam ente hechos de materiales sumamente duros y de alta resistencia.

Asimismo, cuando un rodillo cilindrico se pone en contacto con una placa plana, el contacto es teóricam ente una línea de ancho cero. Por consiguiente, el área de apoyo es teóricam ente cero. La elasticidad de los m ateriales producirá un área de apoyo real que es un angosto rectángulo, lo que nuevamente da por resultado un esfuerzo de contacto finito, aunque grande. En el capitulo 3 se habla más de los casos especiales de rodillos de acero sobre placas de acero. Consulte las referencias 6 y 7 para análisis más detallados.

C O N C E P T O D E D E F O R M A C IÓ N

Todo miembro de carga se deforma por la influencia de la carga aplicada. El eje cuadrado del pedestal de apoyo de la figura 1 -5 se acorta cuando sobre él se coloca equipo pesado. Las varillas que soportan la pieza de fundición de la figura 1 - 1 se alargan al colgar de ellas la pieza de fundición.

La deformación total de un miembro de carga puede, desde luego, ser medido. Más adelante se demostrará cómo puede calcularse la deformación.

La figura 1 -1 8 nos muestra una fuerza de tensión axial de 10 000 Ib aplicada a una barra de alum inio con un diám etro de 0.75 plg. Antes de aplicar la carga, la longitud de la barra era de 10 plg. Luego de aplicar la carga, la longitudes de 10.023 plg. Por consiguiente, la deformación total es de 0.023 plg.

La deformación que también se conoce como deformación unitaria, se obtiene dividiendo la deformación total entre la longitud original de la barra. La deform ación se denota con la letra griega m inúscula épsilon (£j:

deformación = £ =d e fo rm a c ió n to ta l

(1 -5 )lo n g itu d o r ig in a l

B arra de 0.75 p lg de d iám etro

100001b 10000 Ib

— 10 plg -

L ongitud

orig inal

- 0 .023 plg

A largam iento

F IG U R A 1 -1 8 A la rg a m ie n to d e u n a b a rra e n te n s ió n .

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Para el caso que se muestra en la figura 1 -18 :

Puede decirse que la deformación es adimensional, porque las unidades del num eradory el denom inador se cancelan. Sin embargo, es m ejor reportar las unidades como plg/plgo mm/mm, para m antener la definición de deformación por unidad de longitud del miembro. En capítulos posteriores se dirá más acerca de la deformación.

Si se remite a la figura 1 -1 9 podrá obtener una com prensión m ás com pleta de la deformación de un miembro sujeto a esfuerzos normales. El elemento que se m uestra está tomado de la barra de la figura 1 - 18. La fuerza de tensión en la barra la alarga en la dirección déla fuerza aplicada, como sería de esperar. Pero, al mism o tiempo, el ancho de la barra se acorta. De este modo, en el elemento de esfuerzo ocurre un alargamiento y contracción simultáneas. Puede determinarse la deformación axial a partir del alargamiento, y, de la contracción, puede determinarse la deformación lateral.

El coeficiente de la deformación lateraI en el elemento a la deformación axial se conoce como cocfk ien te de Poisson,.y es una propiedad de! material del que está hecho el miembro de carga.

1 - 1 2 C O E F IC IE N T E D E P O IS S O N

Form a

in icial \

. - ¿o D eform ación axial = — ----- =

M)

Al) llrD eform ación lateral = — ¡----- ■ = <5

l'U

F IG U R A 1 -1 9 Ilustración de! coefic ien te de

Poisson para un e lem en to en tensión.

Sección 1 -1 2 ■ C o e fic ien te de P o isson 2 5

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T A B L A 1 - 5 V alores ap rox im ados del coefic ien te de Poisson

M aterial

C oefic ien te de

Poisson, v

A lum inio (la m ayoría de sus aleaciones) 0.33

Bronce 0.33

H ierro colado 0.27

C oncreto 0 .1 0 -0 .2 5

C obre 0.33

B ronce al fósforo 0.35

A cero al c arbón y aleado 0.29

A cero inox ¡dable (1 8 - 8 ) 0.30

Titanio 0.30

En el presente texto, se utiliza la letra griega minúscula ni (v) para denotar el coeficiente de Poisson. Nótese que algunas referencias utilizan mi (ju).

Los materiales metálicos más com únm ente usados tienen un coeficiente de Poisson con valor entre 0.25 y 0.35. Para el concreto, varía am pliamente según el grado y el esfuerzo aplicados, pero generalmente cae entre 0,1 y 0.25. Los elastóm eros y el caucho tienen un coeficiente de Poisson que llega a ser hasta de 0.50. En la tabla 1 -5 se muestran

valores aproxim ados del coeficiente de Poisson.

D E F O R M A C IÓ N P O R C O R T A N T E

Las discusiones anteriores de deformación, describieron la deformación norm al, porque ésta es causada por el esfuerzo de com presión o tensión normal, desarrollado en un miembro de carga. Bajo la influencia del esfuerzo cortante, se produce la deform ación

por cortante.La figura 1 -2 0 muestra un elem ento de esfuerzo sujeto a fuerza cortante. La acción

cortante en las caras paralelas del elemento tienden a deformarlo angularm ente, com o se m uestra de forma exagerada. El ángulo y (gamma), medido en radianes, es la deformación por cortante. En los problem as prácticos se encuentran sólo valores sum am ente pequeños de defonnación por cortante y, por consiguiente, las dim ensiones del elem ento

sólo se cambian levemente.D eform ación

p o r cortan te

F IG U R A 1 - 2 0 D eform ación por cortante en un

e lem ento infinitesim al.

C a p itu lo 1 ■ C o nc e p tos b á s ic o s en \a re s is te n c ia d e m a te r ia le s

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1 - 1 4 M Ó D U L O D E E L A S T IC ID A D

Puede obtenerse una medida de la rigidez del material calculando el coeficiente del esfuerzo normal en un elemento y la deformación correspondiente en el mismo. Esta relación se conoce como m ódulo d e elastic idad , y se denota por E.

Es decir:

OM ódulo de

e lastic idadm ó d u lo d e e la s tic id a d =

e s fu e rz o n o rm a l

d e fo rm a c ió n n o rm a l

<TE = -

£(1- 6)

Un m aterial con un valor de E elevado se deform ará m enos con un esfuerzo dado que uno con un valor reducido de E. Un térm ino m ás com pleto para E sería el m ódulo de elasticidad a tensión o com presión, porque se define en función del esfuerzo norm al. Sin em bargo, el térm ino “m ódulo de elasticidad”, sin ningún m odificador, generalm ente se considera com o el módulo de tensión. En el capítulo 2 se dirá m ás acerca del m ódulo de

elasticidad, y ahí tam bién se identificarán los valores típicos.

1 - 1 5 M Ó D U L O D E E L A S T IC ID A D A C O R T A N T E

E l coeficiente del esfuerzo cortante y la deformación por cortante se conoce como m ódulo de e lastic idad a co rtan te , o m ódulo de rigidez, y se denota p or G.

Es decir:

M ódulo de e lastic idad

a co rtan teG=

esfuerzo cortante _ T

deformación por cortante yd - 7 )

G es una propiedad del material, y se relaciona con el m ódulo de tensión y el coeficiente de Poisson por:

r

OR elación en tre G

y el coeficien te d e P o isso n 2 (1 + v )

(1-8)

1 - 1 6 M E D ID A S P R E F E R ID A S Y P E R F IL E S E S T Á N D A R

Una de las responsabilidades del diseñador es especificar las dimensiones finales de los m iem bros que soportan carga. Luego de term inar el análisis para el esfuerzo y la deform ación, se conocen valores mínim os aceptables para dim ensiones, que asegurarán que el m iem bro satisfaga las condiciones de funcionamiento. Después, el diseñador típicam en-

S e c c ió n 1 -1 6 ■ M ed id as p re fe rid as y pe rfile s es tá n d a r 2 7

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te especifica las dim ensiones finales como valores estándar o convenientes, que facilitarán la compra de materiales, y la fabricación de las piezas. Esta sección presenta algunos

criterios para ayudar en estas decisiones.

M e d id a s b á s ic a s p re fe r id a s . Cuando la pieza que se diseñó se hace según las especificaciones del diseñador, se recomienda que las dim ensiones finales se especifiquen a partir de un conjunto de medidas básicas preferidas. El apéndice A - 2 lista estos datos para dimensiones en fracciones de pulgada, dimensiones de pulgadas decim ales y di

mensiones métricas.

C u e rd a s d e to rn il lo s A m e r ic a n S ta n d a r d . Los sujetadores roscados y elem entos de máquinas con conexiones roscadas se fabrican en dimensiones estándar para asegurar la intercambiabilidad de las partes, y para pennitiruna fabricación conveniente con máquinas y herramientas estándar. En el apéndice A - 3 aparecen las dim ensiones de cuerdas American Standard Unified. Los tamaños menores de i de plg están dados en núm eros de 0 a 12, en tanto que las medidas en fracciones de pulgadas se especi fican para I de plg y más grandes. Se listan dos series: UNC es la designación para cuerdas gruesas, y UNF para cuerdas finas. A continuación, se listan las designaciones estándar.

6 - 32 UNC (medida en número 6 ,32 cuerdas por pulgada, cuerda gruesa)

12- 28 UNF (medida en número 12,28 cuerdas por pulgada, cuerda fina)

i - 13 UNC (medida en fracción d e ip lg , 13 cuerdas por pulgada, cuerda gruesa)

I j - 12 UNF (m edidaen fracción de l j plg, 12 cuerdas por pulgada, cuerda fina)

En las tablas se da el diámetro mayor básico (D), el número de cuerdas por pulgada (;i), y el área sometida a esfuerzo de tensión que se obtiene de:

Cuando un miembro roscado se som ete a tensión directa, se utiliza el área de esfuerzo de tensión para calcular el esfuerzo de tensión promedio. Corresponde al área más pequeña que se produciría mediante un corte transversal a través de la varilla roscada. Para nuestra conveniencia, algunos estándares utilizan el área de la raíz o el área bruta, y ajustan el

valor del esfuerzo permisible.

C u e rd a s d e to rn il lo m é tr ic a s . En el apéndice A - 3 aparecen d im ensiones sim ilares para cuerdas métricas. Las designaciones de las cuerdas m étricas estándar son

de la forma:

donde M significa métrico, el número que le sigue es el diámetro m ayor básico en mni, y el último número es el paso entre cuerdas adyacentes en mm. Por consiguiente, la designación anterior denota una cuerda métrica con un diámetro m ayor básico de 10.0 mm y

un paso de 1.5 mm. Nótese que el paso es = 1 In.

V ig a s e s tá n d a r d e m a d e ra . El apéndice A - 4 da las dimensiones y propiedades de sección para muchos tamaños estándar de vigas de madera. N ótese que el tamaño nom inal es sim plem ente el “nombre” de la viga, y se relaciona con el tamaño aproxim ado antes

d-9)

M I O x 1.5

C a pítu lo 1 ■ C o nce p tos bá s ico s en la re s is tenc ia de m a te ria les

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del acabado. Las dim ensiones reales acabadas son de modo significativo menores que los tamaños nominales. Por ejemplo, una tabla común “2 x 4 ” es en realidad de 1.5 plg de ancho y 3.5 plg de alto. También nótese el dibujo de la orientación de las vigas para la designación estándar de los ejes X y Y. Cuando se utiliza com o viga a flexión, la dimensión larga debe ser vertical para obteneruna resistencia y rigidez máximas.

P e r f i le s e s t r u c t u r a le s d e a c e r o . Los fabricantes de acero proporcionan una amplia variedad de perfiles estructurales estándar, que son eficientes en el uso de materiales, y que son convenientes para especificaciones e instalaciones en estructuras de construcción o bastidores de máquinas. Como se muestra en la tabla 1 -6 , se incluyen los ángulos estándar (Perfiles L), canales (Perfiles C), vigas de patín ancho (Perfiles W), vigas American Standard (Perfiles S), tubería estructural y tubos. Nótese que en el lenguaje del medio las formas W y S se conocen como “vigas 1” porque la fonna de la sección transversal parece la letra mayúscula I.

Las tablas A -5 a A -9 del apéndice dan las propiedades geom étricas de perfiles estructurales seleccionadas que cubren un rango razonablem ente amplio de tamaños. Nótese que en la referencia 2 se presentan muchos más tamaños. Las tablas del apéndice dan datos para el área de la sección transversal (A), el p eso p o rp ie d e longitud, la localización del centroide de la sección transversal, el momento de inercia (I), el módulo de sección (S), y el radio de giro (r). Es probable que algunas de estas propiedades sean nuevas para el lector en este momento, por lo que se definirán más adelante en este texto, conforme sea necesario. Los valores 1 y S son importantes en el análisis y diseño de vigas. Para el análisis de columnas, se necesitan I y r.

Á n g u lo s d e a c e r o (p e r f i le s L ) . El apéndice A - 5 muestra dibujos de las formas típicas de ángulos de acero con longitudes de sus patas iguales o desiguales. Llamados perfiles L debido al aspecto de la sección transversal, los ángulos se utilizan como miembros a tensión de armaduras y torres, como miembros de estructuras de maquinaria, dinteles sobre ventanas y puertas en la construcción, com oatiesadores de placas grandes que se utilizan en bastidores y vigas, y apoyos tipo anaquel para equipo. H ay quienes se refieren a estas formas como “hierros angulares” . La designación estándar adquiere la forma que se m uestra a continuación, para lo que se utiliza una medida como ejemplo:

L 4 x 3 X 1/2

donde L se refiere al perfil L, 4 es la longitud de la pata más larga, 3 es la longitud de la pata más corta, y j es el espesor de las patas. Las dim ensiones están en pulgadas.

C a n a le s A m e r ic a n S ta n d a r d ( p e r f i le s C ) . Véase el apéndice A -6 para el aspecto de los canales y sus propiedades geométricas. Los canales se utilizan en aplicaciones sim ilares a las que se describieron anteriormente para ángulos. El alma y los dos patines forman un perfil generalm ente más rígido que los ángulos, que son más resistentes a la torsión causada por carga.

El dibujo en la parte superior de la tabla muestra que los canales tienen patines ahusados y almas de espesor constante. La pendiente del ahusado de los patines es de aproxim adam ente 2 plg po rcada 12 plg, y esto hace difícil unir otros miembros a los patines. Existen arandelas ahusadas especiales que facilitan la sujeción. Nótese la designación de los ejes X y Y en el dibujo, definidos con el alma vertical del canal, lo que le da su característica forma en “C” . Esto es sumamente importante al utilizar canales como vigas o columnas. El eje X está situado sobre el eje horizontal de simetría, mientras que

Sección 1 -1 6 ■ M ed idas p re fe ridas y pe rfile s es tá n d a r 2 9

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T A B L A 1 - 6 D esignaciones para perfiles de acero y a lum inio

C a pítu lo 1 ■ C o nce p tos bás ico s en la res is te nc ia d e m a te r ia le s

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la dim ensiónx, dada en la tabla, sitúa a! eje Y en relación con la parte trasera del alma. El centroide está en la intersección de los ejes X y Y.

La forma de la designación estándar para canales es:

C 1 5 x 5 0

donde C indica que es un perfil C estándar

15 es la altura nominal (y real) en pulgadas, con el alm a en posición vertical 50 es el peso por unidad de longitud, expresada en lb/pies

P e r f i le s d e p a tín a n c h o (p e r f i le s W ). Véase el apéndice A -7 . Éste es el perfil más com ún que se utiliza para vigas, com o se discutirá en los capítulos 7 ,8 y 12. Los perfiles W tienen almas relativam ente delgadas, y patines un poco más gruesos de espesor constante. La m ayor parte del área de la sección transversal está en los patines, alejándose del eje centroidal horizontal (eje X), lo que hace que el m om ento de inercia sea sum am ente alto para una cantidad dada de material. N ótese que el m om ento de inercia y el módulo de sección son mucho más elevados respecto al eje X que respecto al eje Y. Por consiguiente, los perfiles W se utilizan típicam ente en la orientación que se m uestra en el dibujo del apéndice A - 7. A demás, estos perfiles alcanzan su m ayor eficiencia cuando se utilizan a flexión pura sin torsión, porque son sum am ente flexibles a torsión. La designación estándar de los perfiles W presenta m ucha inform ación. C onsidérese el ejemplo,

W 1 4 x 4 3

donde W indica que es un perfil W,

14 es la altura nominal en pulgadas

43 es el peso por unidad de longitud en lb/pies

El térm ino altura es la designación estándar de la altura vertical de la sección transversal al colocarse en la orientación que se m uestra en el apéndice A - 7. N ótese, a partir de los datos en la tabla, que la altura real es con frecuencia distinta de la altura nom inal. Para el caso de W 14 x 43, la altura real es de 13.66 pulgadas.

V ig a s A m e r ic a n S ta n d a r d (p e r f i le s S ). El apéndice A -8 m uestra las propiedades de perfiles S. Gran parte de la discusión de los perfiles W se aplica tam bién a los perfilesS. Nótese que, nuevamente, el peso por pie de longitud se incluye en la designación, como el S 1 0 x 3 5 que pesa 35 lb/pie. En la mayoría, aunque no en todos los perfiles S, la altura real es igual a la nominal. Los patines de los perfiles S están biselados a una pendiente de aproxim adam ente 2 plg po rcada 12 plg, com o los patines de los perfiles C. Los ejes X yY están definidos com o se muestra con el alm a en posición vertical.

Con frecuencia se prefieren los perfiles de patín ancho (perfiles W) a los perfiles S, por sus patines relativam ente anchos, el espesor constante de los patines, y propiedades de sección generalm ente más altas para un peso y altura dados.

T u b e r ía e s tr u c tu r a l (c u a d ra d a y r e c ta n g u la r ) . Véase el apéndice A - 9 para el aspecto de propiedades de la tubería estructural de acero. Estos perfiles se forman generalm ente de láminas planas soldadas a lo largo. Las propiedades de sección tienen en

S e c c ió n 1 -1 6 ■ M ed id as p re fe rid as y p e rfi le s es tá n d a r 3 1

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cuenta los radios de las esquinas. Nótense los dibujos que muestran los ejes X y Y. La designación estándar toma la fonna:

6 x 4 x 1/4

donde 6 es la altura del lado largo, en pulgadas

4 es el ancho del lado más corto, en pulgadas114 es el espesor de pared, en pulgadas

Las tuberías cuadrada y rectangular son sumamente útiles en estructuras de m áquinas, porque tienen buenas propiedades de sección para m iembros cargados com o vigas a flexión, y para cargas de torsión por su sección transversal cerrada. Las caras planas con frecuencia facilitan la sujeción de m iembros entre sí o la unión de equipo a los m iem bros estructurales. Algunos marcos se sueldan para formar una unidad integral que funciona com o un marco espacial rígido. Con tubería cuadrada puede hacerse una eficiente sección para columnas.

T u b o s . Las secciones circulares huecas, que por lo común se les llama tubos, son sumamente eficientes para utilizarse como vigas, miembros de torsión y columna. La colocación uniform edel material lejos del centro del tubo aum enta el momento de inercia para una cantidad dada de material, y da al tubo propiedades uniform es respecto a todos los ejes que pasan por el centro de la sección transversal. La fonna cerrada de su sección transversal le da una alta resistencia y rigidez a torsión, así com o a flexión.

El apéndice A - 12 da las propiedades de tubo de acero soldado sin costura A m erican National Standard cédula 40. Éste es el tipo de tubo que se utiliza con frecuencia para transportar agua y otros fluidos, pero funciona igualmente bien en aplicaciones estructurales. Nótese que los diámetros interior y exterior reales son algo distintos de los nom inales, excepto para los tamaños muy grandes. El tubo de construcción con frecuencia se llama tubo de peso estándar y tiene las mismas dim ensiones que el tubo de cédula 40 de í p lg a 10 plg. Existen otras “cédulas” y “pesos” de tubería con espesores de pared más

pequeños.Otras secciones circulares huecas com únm ente disponibles se conocen com o tube

ría. Éstas están disponibles en acero al carbón, acero inoxidable, aluminio, cobre, bronce, titanio y otros materiales. Véanse referencias 2 ,3 , y 4 para la variedad de tipos y tamaños

de tubo y tubería.

C a n a le s y v ig a s I e s tá n d a r d e la A lu m in u m A s s o c ia t io n . En los apéndices A - l 0 y A - l 1 se dan las dimensiones y propiedades de sección de canales y vigas I desarrolladas por la A luminum Association (referencia 1). Éstas son de perfiles extruidos con espesor uniforme de las almas y los patines, con radios amplios donde se tocan. Las proporciones de estas secciones son ligeramente distintas de las secciones de acero lam inado ya descritas. La forma extm ida ofrece ventajasen el uso eficiente de m ateriales y en launión de miembros. En este texto se utilizarán las siguientes formas para ladesignación de secciones de aluminio:

C 4 x 1.738 o 18x6.181

donde C o I indican la forma básica de la sección

4 u 8 indica la altura del perfil en la orientación que sem uestra 1.738 o 6.181 indican el peso por unidad de longitud en lb/pie

C a pítu lo 1 ■ C o nc e p tos bá s ic o s en la res is te nc ia d e m a te r ia le s

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B I B L I O

1. Aluminum Association, Aluminum Standards and

Data, Washington, DC, 1993.

2. American Institute of Steel Construction, Manual o f

Steel Construction, 9th ed., Chicago, 1989.

3. Avallone, Eugene A. and Theodore Baumeister III, eds., Marks’ Standard Handbook fo r Mechanical Engineers, 9th ed., McGraw-Hill, New York, 1987.

4. Mott, R. L., Applied Fluid Mechanics, 4th ed., Merrill, an imprint of Macmillan Publishing Co., New York, 1994.

P R O B

Definiciones

1-1. Defina la masa y enuncie lasunidades de masa en el sistema de unidades anglosajonas y el sistema métrico SI.

1-2. Defina el peso, y enuncie sus unidades en ambos sistemas.

1-3. Defina esfuerzo, y enuncie sus unidades en ambos sistemas.

1-4. Defina el esfuerzo normal directo.

1- 5. Explique la diferencia entre esfuerzo de compresión y esfuerzo de tensión.

1-6. Defina el esfuerzo cortante directo.

1- 7. Explique la diferencia entre cortante simple y cortante doble.

1 -8 . Dibuje un elemento sujeto a esfuerzo de tensión directo.

1-9. Dibuje un elemento sujeto a esfuerzo de compresión directo.

1-10. Dibuje un elemento sujeto a esfuerzo cortante directo.

1—11. Defina la deformación unitaria normal y enuncie sus unidades en ambos sistemas.

1 -12. Defina la deformación por cortante y enuncie sus unidades en ambos sistemas.

1-13. Defina el coeficiente de Poisson y dé sus unidades en ambos sistemas.

1-14. Defina el módulo de elasticidad a tensión y dé sus unidades en ambos sistemas.

1-15. Defina el módulo de elasticidad a cortante y dé sus unidades en ambos sistemas.

P rob le m as

R A F I A

5. Oberg, E., F. D. Jones, and H.L. Horton, M achinery's Handbook, 24th ed., Industrial Press, New York, 1992.

6. Shigley, J. E., and Mischke, C. R., Mechanical Engi-

neering Design, 5th ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1988.

7. Young, W. C., R oark’s Formulas fo r Stress and Strain, 6th ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1989.

E M A S

C o n ve rs io ne s m a s a - peso

1-16. Un camión transporta 1800 kg de grava. ¿Cuál es el peso de la grava en newtons?

1-17. Un camión de cuatro ruedas con una masa total de 4000 kg está sobre un puente. Si el 60% del peso está sobre las ruedas traseras, y el 40% sobre las delanteras, calcule la fuerza ejercida sobre el puente por cada rueda.

1-18. Un total de 6800 kg de fertilizante se almacena en un contenedor de fondo plano de 5.0 x 3.5 m. Calcule la carga sobre el piso en newtons por metro cuadrado o en pascales.

1-19. Una masa de 25 kg está suspendida de un resorte cuya constante es de 4500 N/m. ¿Cuánto se estirará el resorte?

1- 20. Mida la longitud, ancho y espesor de este libro en milimetros.

1-21. Determine su propio peso en newtons y su masa en kilogramos.

1-22. Exprese el peso que se obtuvo en el problema 1 -16 en libras.

1-23. Exprese las fuerzas que se obtuvieron en el problema 1- 17 en libras.

1-24. Exprese la carga en el problema 1- 18 en libras por pie cuadrado.

1-25. Con los datos del problema 1—19, calcule el peso de la masa en libras, la constante del resorte en libras por pulgada, y el alargamiento del resorte en pulgadas.

3 3

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1-26. Una base de hierro colado para una máquina pesa 2750 libras. Calcule su masa en slugs.

1-27. Un rodillo de acero que pende de una báscula, produce una lectura de 12 800 Ib. Calcule su masa en slugs.

1 - 28. Determine su propio peso en libras y su masa en slugs.

C o n ve rs io ne s de un idad es

1-29. Un recipiente de presión contiene un gas a 1200 psi. Exprese la presión en pascales.

1-30. Un acero estructural tiene un esfuerzo permisible de 21 600 psi. Expréselo en pascales.

1-31. El esfuerzo al que un material se rompe bajo una carga de tensión directa se conoce como resistencia última. El rango de resistencias últimas para las aleaciones de aluminio varían de 14 000 a 76000 psi. Exprese este rango en pascales.

1-32. El eje de un motor eléctrico gira a 1750 rpm. Exprese la velocidad de rotación en radianes por segundo.

1-33 . Exprese un área de 14.1 plg2 en milímetros cuadrados.

1- 34. Una deformación permisible de una cierta viga es de 0.080 plg. Exprese la deformación en milímetros.

1 - 35. Una base para una columna de construcción mide 18.0 plg por 18.0 plg de lado, y 12.0 plg de alun a. Calcule el área de la sección transversal en pulgadas cuadradas y en milímetros cuadrados. Calcule el volumen en pulgadas cúbicas, pies cúbicos, milímetros cúbicos y metros cúbicos.

1- 36. Calcule el área en pulgadas cuadradas de una varilla, con un diámetro de 0.505 plg. Luego convierta el resultado en milímetros cuadrados.

E sfu erzo s de c o m p re sió n y tensió n d irectos

1- 37.M Calcule el esfuerzo en una bañ a redonda sujeta a una fuerza de tensión directa de 3200 N si su diámetro es de 10 mm.

1 - 38.M Calcule el esfuerzo en una barra rectangular con dimensiones de sección transversal de 10 mm por 30 mm si se aplica una fuerza de tensión directa de 20 kN.

1- 39.T Un eslabón de una máquina empacadora automática se somete a una fuerza de tensión de 860 Ib. Si el eslabón es cuadrado de 0.40 plg de lado, calcule el esfuerzo sobre el eslabón.

1 - 40.1 Una varilla circular, con diámetro de 3/8 plg soporta un calentador que pesa 1850 Ib. Calcule el esfuerzo en la varilla.

1-41.M Se diseña una repisa para sostener cajones con una masa total de 1840 kg. Dos varillas similares

a las de la figura 1— 21 sostienen la repisa. Cada varilla tiene un diámetro de 12.0 mm. Suponga que el centro de gravedad de los cajones está en la parte media de la repisa. Calcule el esfuerzo a la mitad de las varillas.

F IG U R A 1 -2 1 S o p o r te d e re p is a d c lp ro b le m a l-4 1 .

1-42.1 La base para la columna de concreto es circular, con un diámetro de 8 plg, y soporta una carga de compresión directa de 70 000 Ib. Calcule el esfuerzo de compresión en el concreto.

1-43.1 Tres bloques de madera cortos y cuadrados de 3j plg de lado, soportan una máquina que pesa 29 500 Ib. Calcule el esfuerzo de compresión sobre los bloques.

1- 44.M El eslabón de un mecanismo soporta una carga de compresión axial de 3500 N. Si tiene una sección transversal cuadrada de 8.0 mm de lado, calcule el esfuerzo en el eslabón.

1 - 45.M Una máquina con una masa de 4200 kg está sobre tres varillas de acero dispuestas como se muestra en la figura 1-22. Cada varilla tiene un diámetro de 20 mm. Calcule el esfuerzo en cada vari I la.

1- 46.M Se utiliza una centrifuga para separar líquidos, según sus densidades, utilizando fuerza centrífuga. La figura 1-23 ilustra un brazo de una centrífuga con un balde en su extremo para contener el líquido. En operación, el balde y el líquido tienen una masa de 0.40 kg. La fuerza centrífuga tiene una magnitud en newtons de:

F = 0.0 \091m R n2

en donde m = masa en rotación del balde y el líquido (en kilogramos)

3 4 C a pítu lo 1 ■ C onceptos bás icos en la re s is te n c ia d e m a te ria le s

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F IG U R A I - 27 M arco del problem a I - 50.

(A) S ección transversa l de (c ) S ección transversa l del (</) S ección transversa l de

los m iem b ro s AB, B C m iem b ro /¿O lo s m iem bros AD, CD

F IG U R A 1 - 2 8 A rm adura del problem a 1—51.

3 6 C a pítu lo 1 ■ C o nc e p tos bá s ic os en la re s is te nc ia d e m a te r ia le s

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V ista desde arriba

V ista lateral

F IG U R A 1 -4 4 Ju n ta a tope rem achada para el p rob lem a 1-71.

Un tubo de acero cédula 40 de 2 plg se utiliza como pata en una máquina. La carga soportada por la pala es de 2350 Ib.

(a ) Calcule el esfuerzo de apoyo sobre el piso si el tubo está abierto en uno de sus extremos.

(b) Calcule el esfuerzo de apoyo sobre el pi so si se suelda una placa plana a la parte inferior del tubo con un diámetro igual al diámetro exterior del tubo.

Se utilizan un tomillo y rondana para sujetar una tabla de madera a un cimiento de concreto, como se muestra en la figura 1-46. Se crea una fuerza de tensión de 385 Ib en el tornillo al apretarlo. Calcule el esfuerzo de apoyo (a) entre la cabeza del tornillo y la rondana de acero, y (b) entre la rondana y la madera.

C a p itu lo 1 ■ C o n ce p to s bá s ic o s en la re s is te n c ia d e m a te r ia le s

1- 75.1 Con los datos del problema 1- 64, calcule el esfuerzo de apoyo sobre el costado de la cuña.

1- 76.1 Con los datos del problema 1- 65, calcule el esfuerzo de apoyo sobre el tubo en las superficies de contacto con el perno y el collarín.

1-77.M Con los datos del problema 1- 70, calcule el esfuerzo de apoyo en los remaches.

1-78.M Con los datos del problema 1 -7 1 , calcule el esfuerzo de apoyo en los remaches.

1- 79.M El tacón de un zapato de mujer tiene la forma que se muestra en la figura 1- 47. Si la fuerza en el tacón es de 535 N, calcule el esfuerzo de apoyo sobre el piso.

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P ro p ie d a d e s de d ise ñ o de los m a te ria le s

O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O

El estudio de la resistencia de m ateriales requiere un conocim iento de la forma en que las fuerzas y momentos externos afectan los esfuerzos y deform aciones que se desarrollan en el m aterial de un miembro que soporta carga. Sin em bargo, con el fin de dar a estos conocimientos un uso práctico, el diseñador necesita saber cuántas deformaciones y esfuerzos puede resistir el material de m anera segura. D e este m odo, las propiedades de los materiales, en lo que se refiere al diseño, deben com prendersejunto con el análisis requerido para determinar la magnitud de los esfuerzos y deformaciones.

En este capítulo presentarem os inform ación concerniente a los m ateriales que se utilizan con m ayor frecuencia en la fabricación de com ponentes de estructuras y dispositivos mecánicos, poniendo más énfasis en las propiedades de diseño de los m ateriales que en su estructura metalúrgica o com posición química. Aunque es verdad que un conocimiento profundo de la estructura de los m ateriales es una buena ayuda para el diseñador, es de la m ayor im portancia saber la forma en que los m ateriales se com portan al soportar cargas. Éste es el com portamiento en el que nos concentrarem os en el presente capítulo.

Primero, discutirem os los metales, los materiales más am pliam ente utilizados en el diseño de la ingeniería. Se describen las im portantes propiedades de los m etales, junto con las características especiales de varios metales distintos.

Entre los no metales que se presentan se incluye: madera, concreto, plásticos y los m ateriales com puestos, y se expone la forma en que el com portam iento de estos m ateriales difiere de los metales, jun to con algunas de sus propiedades características.

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Después de terminar el estudio de este capitulo, el lector será capaz de:

1. Enumerar los usos típicos de los m ateriales de ingeniería.

2. D efinir la resistencia última a la tensión.

3. D efinir el punto de cedencia.

4. D efinir la resistencia a la cedencia.

5. Definir el límite elástico.

6. D efinir el límiteproporcional.

7. Definir el módulo de elasticidad y describir su relación con la rigidez de los

materiales.

8. Definir la ley de Hooke.

9. D escribir el comportamiento dúctil y frágil de los materiales.

10. Definir el porcentaje de alargamiento y describir su relación con la ductilidad

de los materiales.

11. Definir el Sistema de Numeración Unificado (SNU) param etalesy aleaciones.

12. D escribir el sistema de designación de cuatro dígitos para aceros.

13. Definir las propiedades más importantes de los aceros al carbono, aleaciones de aceros, los aceros inoxidables y los aceros estructurales.

14. D escribir el sistema de designación de cuatro dígitos para aleaciones forjadas

y coladas de aluminio.

15. Describir las designaciones para el templado del aluminio.

16. Describir las propiedades de diseño del cobre, latón, bronce, zinc, m agnesio y

titanio.

17. D escribir las propiedades de diseño de hierros colados, incluyendo hierro gris, hierro dúctil, hierro dúctil austemplado, hojalata y hierro maleable.

18. D escribir las propiedades de diseño de la madera, el concreto, los plásticos y

los materiales compuestos.

M E T A L E S E N E L D IS E Ñ O M E C Á N IC O

Los metales, por lo general, se utilizan para miembros que soportan carga en edificios, puentes, m áquinas y una amplia variedad de productos para el consumidor. Las vigas y colum nas en los edificios comerciales están hechas de acero estructural o aluminio. En automóviles, se utiliza un gran número de aceros, entre los que se incluye lámina de acero al carbono para paneles de carrocería, aleaciones de corte libre para piezas maquinadas, y aleaciones de alta resistencia para engranes y piezas sometidas a cargas excesivas. El hierro colado se utiliza en bloques de motores, tambores de frenos y cabezas de cilindros. Las herramientas, resortes y otras piezas que requieren de una alta dureza y resistencia al desgaste están hechas de aleaciones de acero que contienen una gran cantidad de carbono. Los aceros inoxidables se utilizan en equipo de transporte, productos para plantas químicas y equipos de cocina donde se requiere resistencia a la corrosión.

El aluminio tiene muchas de las aplicaciones del acero; se utiliza en m uchos pro ductos arquitectónicos y bastidores para equipo móvil. Su resistencia a la corrosión perm ite que seutilice en tanques de almacenaje químico, utensilios de cocina, equipo marino y productos com o postes indicadores para carretera. Los pistones para automóviles, m ol

C a p ítu lo 2 ■ P rop ieda de s de d ise ñ o d e lo s m a te ria les

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duras y cuerpos troquelados de bom bas y alternadores son de alum inio. Las estructuras para aviones, las piezas para m otores y los revestim ientos de lám ina m etálica utilizan alum inio por su alta razón de resistencia— peso.

El cobre y sus aleaciones, tales com o el latón y el bronce, seu tilizan en conductores eléctricos, intercam biadores de calor, resortes, bujes, herrajes m arinos y piezas para interruptores. Con frecuencia se utiliza el m agnesio en piezas para cam iones, ruedas y piezas de enseres para el hogar. El zinc tiene usos sim ilares, y tam bién puede forjarse en com ponentes de maquinaria y herraje industrial. El titanio tiene una alta proporción de

resistencia en razón con supeso y una buena resistencia a lacorrosión y, por consiguiente, se utiliza en piezas para aviones, recipientes de presión y equipo químico.

L a selección de m ateriales requiere considerar m uchos factores. P or lo general, deben evaluarse la resistencia, rigidez, ductilidad, peso, resistencia a la corrosión, capacidad de m aquinado, facilidad para trabajarse, soldabilidad, aspecto, costo y disponibilidad. En lo que se refiere al estudio de la resistencia de m ateriales, los prim eros tres factores son los m ás importantes: resistencia, rigidez y ductilidad.

R e s is te n c ia . Los datos de referencia que listan las propiedades m ecánicas de los m etales casi siem pre incluirán la resistencia última a la tensión y la resistencia a la cedencia deI metal. La com paración entre los esfuerzos reales en una pieza, con la resistencia últim a a la tensión o la resistencia a la cedencia del m aterial del que está hecha la pieza, es el m étodo usual para evaluar lo apropiado que puede ser un m aterial para sopor

tar con seguridad las cargas aplicadas. En el capítulo 3 y los siguientes se tratarán con m ayor profúndidad los detalles del análisis de esfuerzo.

La resistencia últim a a la tensión y la resistencia a la cedencia se determ inan al probar una m uestra del material en una m áquina de prueba de tensión com o la que se ilustraen lafigura 2 -1 . Entre las mordazas superior e inferior se coloca una barra redonda

F IG U R A 2 - 1 M áq u in a un iversal de p ru eb as p ara o b ten er da to s de

esfu erzo -d e form ación d e m ateria les. {Fuente: T in ius O lsen T estin g

M ach ine C o., Inc ., W illow G ro o v e , P a ., E stados U nidos.)

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ta continuam ente la carga sobre la m uestra, se llega a un punto que se conoce com o limite elástico, m arcado con la letra B en la figura 2 -3 . A esfiierzos m enores a este punto, el m aterial recobrará su tam año y form a originales si se elim ina la carga. A m ayores esfuerzos, el m aterial queda perm anentem ente deform ado. El punto de cedencia es el esfuerzo en el que ocurre un alargam iento notorio sin un increm ento aparente en la carga. En la

figura 2 -3 el punto de cedencia está en C, aproxim adam ente a 36 000 psi1 (248 M Pa). Al aplicar cargas aún mayores, luego de alcanzar el punto de cedencia, hace que la curva vuelva a elevarse. Al llegar a un pico, la curva cae de m anera ligera hasta que finalm ente se rom pe la muestra, term inando así la gráfica. El esfuerzo aparente m ás elevado y que se tom a del diagram a de esfuerzo-deform ación, se conoce com o resistencia última. E n la figura 2 -3 , la resistencia últim a sería aproxim adam ente de 53 000 psi (365 MPa).

El hecho de que las curvas de esfuerzo-deform ación en las figuras 2 -3 y 2 -4 caigan luego de llegar a un pico, indica que dism inuye el nivel de esfuerzo. En realidad no es así; el esfuerzo verdadero continúa elevándose hasta que finalm ente el m aterial se fractura. L a razón para la aparente dism inución en el esfuerzo es que la gráfica que se tom a de una típica m áquina de prueba de tensión es en realidad de carga contra alargamiento y no de esfuerzo contra deformación. El eje vertical se convierte en esfuerzo al d ividir la carga (fuerza) sobre la probeta entre el área de sección transversal original de la probeta. C uando la probeta se acerca a su carga de ruptura, se reduce su diám etro y, en consecuencia, su área de sección transversal. El área que se redujo requirió una fuerza m enor para seguir alargando la probeta, aun cuando el esfuerzo verdadero sobre el m aterial se increm ente. Esto resulta en la caída de la curva quesem uestra en las figuras 2 -3 y 2 - 4 . En vista de que es m uy difícil controlar el diám etro decreciente, y debido a que los experim entos dem ostraron que hay poca diferencia entre el esfuerzo m áxim o verdadero y el que se obtuvo para el pico del esfuerzo aparente contra la curva de deform ación, al pico se le acepta com o la resistencia últim a a la tensión del material.

R esis ten cia

D efo rm ac ió n un ita ria p lg /p lg o m /m

D esv iac ió n d e 0.2%

£ = 0 .0 0 2

F IG U R A 2 - 4 C urva tipien d e e s íu e rz o -d e fo rm a c ió n del a lum in io .

Sección 2 -2 ■ Metales en el diseño mecánico 4 9

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A continuación, se expone un resumen de las definiciones de las más importantes

propiedades de resistencia de los metales:

E l limiteproporcion al es el valor del esfuerzo en la curva de esfuerzo- deformación, al que la curva se desvía por primera vez, desde una linea recta.

E l limite elástico es el valor del esfuerzo en una curva de esfuerzo- deformación, en el que el material se deforma plásticamente; es decir, ya no volverá a su form a y tamaño originales luego de eliminar la carga.

E l punto de cedencia es el valor del esfuerzo en la curva de esfuerzo- deformación, en el que existe un incremento significativo de la deformación, con poco o ningún incremento en el esfuerzo.

La resistencia última es el máximo valor del esfuerzo en la curva de esfuerzo-

deformación.

Muchos metales no presentan un punto de cedencia tan bien definido como el de la figura 2 -3 . Algunos ejemplos de esto son las aleaciones de aceros de alta resistencia, el alum inio y el titanio. Sin embargo, estos materiales en realidad sí ceden, puesto que se deforman en una cantidad apreciable antes de que ocurra su fractura. Para estos m ateriales, un típico diagrama de esfuerzo-deform ación sería sim ilar al que se m uestra en la figura 2 -4 . La curva es suave, sin un punto de cedencia pronunciado. Para estos m ateriales, la resistencia a la cedencia se define por una línea como la M -N con un trazo paralelo a la porción recta de la c u r v a de p ru e b a . El punto M por lo general se determ ina al obtener ese punto en el eje de deformación que representa una deformación de 0.002 plg/plg. Este punto también se conoce como punto de desviación del 0.2%. El punto N, donde la línea de desviación corta la curva, define la resistencia a la cedencia del material, que en la figura 2 - 4 es aproxim adamente de 55 000 psi. La resistencia última está en el pico de esta curva, com o quedó descrito. Para estos materiales, se utiliza el térm ino resistencia a la

cedencia, en lugar de punto de cedencia.En resumen, para materiales que no presentan un punto de cedencia pronunciado,

la definición de resistencia a la cedencia es la siguiente:

La resistencia a la cedencia es el valor del esfuerzo en la curva de esfuerzo- deformación en el cual una recta que se dibuja desde un valor de deformación de 0.002plg/plg (o m/m), y paralela a la porción recta de la curva de esfuerzo-

deformación, interseca la cun>a.

En la mayoría de los metales forjados, el com portamiento de los m ateriales a com presión es sim ilar a los materiales que están a tensión, y por esto, generalm ente, no se realizan pruebas separadas de compresión. Sin embargo, en m ateriales colados y no homogéneos com o la m adera y el concreto, hay grandes diferencias entre las propiedades a

tensión y compresión, y deben realizarse pruebas de compresión.

R ig id e z . Con frecuencia es necesario determinar cuánto se deformará una pieza bajo una carga, para asegurar que la deformación excesiva no destruya su utilidad. Esto puede ocurrir a esfuerzos muy inferiores a la resistencia a la cedencia del material, en especial en m iembros m uy largos o en dispositivos de alta precisión. La rigidez del material es una función de su módulo de elasticidad, al que a veces se le conoce como módulo de Young.

El módulo de elasticidad, E, es una medida de la rigidez de un materia!, determinado porta pendiente déla porción recta de la curva de esfuerzo- deformación. E s la razón de cambio de esfuerzo a cambio en ¡a deformación

corr espon di en te.

C ap ítu lo 2 ■ P rop ieda de s de d is eñ o d e lo s m a te r ia le s

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D u c t ilid a d . Cuando los metales se rompen, su fractura puede clasificarse como dúctil

o frágil. Un material dúctil se estira y cede antes de fracturarse, por lo que se origina una notoria disminución en el área de la sección transversal, en la sección fracturada. Por otra parte, un material frágil se fracturará de repente con poco o ningún cambio en el área de la sección fracturada. Los materiales dúctiles se prefieren para piezas que soportan cargas repetidas o que se someten a carga de impacto debido a que, por lo general, son más resistentes a la fractura por fatiga, y porque absorben m ejor la energía del impacto.

La ductilidad en los metales se m ide generalm ente durante la prueba de tensión observando cuánto se ha alargado permanentemente el m aterial luego de fracturarse. Al inicio de la prueba, se marca una longitud de calibración en la probeta, com o se m uestra en la figura 2 - 6. La mayoría de las pruebas utilizan 2.000 plg o 50.0 mm com o longitud de calibración, según se muestra en la figura. Los aceros estructurales muy dúctiles a

■*— Longitud de -*■

calibración

Por lo general, 2 .00 plg o 50.0 mm

( a )

ib)

F IG U R A 2 - 6 Longitud de calibración en una probeta para pruebas de tensión: (a) L ongitud de calibración

con m arca en una probeta, (b) Probeta en un d ispositivo para m arcar longitudes de calibración . (Fuente:

T in ius O lsen T esting M achine C o., Inc., W illow G rove, Pa., Estados U nidos.)

C a pítu lo 2 ■ P rop ieda de s de d iseño d e los m a te r ia le s

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o

veces utilizan 8.000 plg o 200.0 mm como longitud de calibración. D espués de que la m uestra se som ete a tensión hasta fracturarse, las partes fracturadas se juntan , y nuevam ente se m ide la distancia entre las marcas. Con estos datos, se calcula el porcentaje de alargamiento, como sigue:

. . , , . longitud final - longitud de calibraciónP o rc e n ta je porcentaje de alargam iento= ---------- ;— —— — ----- —------------------- x 100% (2 -3 )

. . . : longitud de calibraciónd e a la rg a m ie n to °

Se considera que un metal es dúctil si su porcentaje de alargam iento es m ayor del 5%. Un material con un porcentaje de alargam iento m enor del 5.0% se considerafrágil y no presenta el fenómeno de cedencia. La fractura de estos m ateriales es repentina, sinuna deform ación notable antes de su fractura definitiva. En la m ayoría de las aplicaciones de diseño estructural y mecánico es deseable el comportamiento dúctil y el porcentaje de alargam iento del material debe ser significativam ente m ayor de un 5.0%. Un alto porcentaje de alargam iento indica un material altam ente dúctil.

En resumen, se utilizan las siguientes definiciones para describir la ductilidad en metales:

E l porcentaje de alargamiento es la razón entre el alargamiento plástico de una probeta sometida a tensión, luego de su fractura definitiva dentro de las marcas de calibración, y la longitud origina! entre las marcas de calibración. Es una medida déla ductilidad.

Material dúctil es aquel que puede estirarse, form arse o encogerse a un grado significativo antes defracturarse. Un metal que presenta un porcentaje de alargamiento mayor del 5.0% se considera dúctil.

Material quebradizo es aquel que se fractura de súbito al someterse a carga, con poca o ninguna deformación plástica. Un metal que presenta un porcentaje de alargamiento menor del 5.0% se considera frágil.

V irtualm ente, todas las formas forjadas de aleaciones de acero y alum inio son dúctiles. Pero las formas de alta resistencia tienden a tener una m enor ductilidad, y el diseñador con frecuencia se ve obligado a acom odar la resistencia y la ductilidad a la especificación de un material. El hierro colado gris, m uchas form as de alum inio colado, y algunas formas de alta resistencia del acero forjado o colado son frágiles.

M o d o s d e fr a c tu ra . En la m ayoría de los diseños, un elem ento de m áquina o m iem bro estructural se considera que ha fallado cuando:

1. Se rompe; es decir, el esfuerzo supera a la resistencia última del material.

2. El material se deforma plásticam ente; es decir, se ve som etido a un esfuerzo

m ayor que su resistencia a la cedencia.

3. O curre una deform ación elástica excesiva que hace que el m iem bro ya no sea adecuado para suusopropuesto .

La deformación del material antes de que ceda depende de su rigidez, indicada por el m ódulo de elasticidad. En capítulos posteriores se presentarán m étodos para calcular la deform ación total de los m iembros que soportan carga. N o hay norm as absolutas en relación con el nivel de deformación que podría producir una fractura. M ás bien, el dise-

Sección 2 - 2 ■ M eta les en el d ise ñ o m ec á n ico 5 3

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ñador debe juzgar con base en el uso de la estructura o la máquina. La referencia 11 presenta algunos criterios para esto.

C la s if ic a c ió n d e los m e ta le s y las a le a c io n e s . M uchas asociaciones industriales se encargan de establecer normas para la clasificación de metales y aleaciones. Cada una tiene su propio sistema de numeración, conveniente para el metal específico regido por la norma. Pero esto a veces produce confusión, en especial cuando dos o más convenciones se traslapan, y cuando se utilizan esquemas muy distintos para denotar los metales. Se introdujo el orden en la clasificación de metales mediante el uso del Sistema de Numeración Unificado (SNU), como se define en la Norm a E 527- 74 (Reaprobada en 1981), S tan d a rd P racticc for N um bering M etals and AJIoys (UNS) [Prácticas Normativas para la Numeración de Metales y Aleaciones (SNU)] por la American Society forTestingand Materials [Sociedad Estadounidense para Pruebas y Materiales (ASTM)]. Además de listar los materiales controlados por la ASTM, la SNU coordina las designaciones de:

The Aluminum Association (AA) (Asociación del Aluminio)

American Iron and Steel Institute (AISI) (Instituto Estadounidense del Hierro y elAcero)

Copper Development Association (CD A) (Asociación del Desarrollo del Cobre)

Society o f Automotive Engineers (SAE) Sociedad de Ingenieros Automotrices)

Las series prim arias de números dentro del SNU aparecen listadas en la tabla 2-1 , junto con la organización responsable de asignar números dentro de cada serie.

T A B L A 2 - 1 Sistem a de num eración unificado (SNU).

N úm ero de serie T ipo de m etales y aleaciones

O rganización

responsable

M etales no ferrosos y aleaciones

A 00001-A 99999 A lum inio y aleaciones de a lum inio AA

C 00001-C 99999 Cobre y aleaciones de cobre CDA

E 00001-E 99999 T ierras raras y aleaciones ASTM

L 00001-L99999 M etales de bajo pun to de fusión y aleaciones ASTM

MOOOO1-M 99999 M etales no ferrosos y aleaciones m isceláneos ASTM

N 00001-N 99999 N íquel y aleaciones de níquel SAE

P00001-P99999 M etales preciosos y aleaciones ASTM

R00001-R 99999 M etales reactivos y refractarios y aleaciones SA E

ZOOOO1-Z 99999 Z inc y aleaciones d e zinc ASTM

M etales ferrosos y aleaciones

D 00001-D 99999 A ceros, con propiedades m ecánicas especificadas SA E

F00001-F99999 H ierros y aceros fundidos ASTM

GOOOO1-G 99999 A ceros al carbono y aleaciones de acero AISI

(incluye los antiguos aceros al carbono y aleaciones de acero SAE)

H 00001-H 99999 A ceros H ;cndurecib ilidad especificada AISI

J0 0 0 0 1 -J99999 A ceros fundidos (excepto aceros para herram ientas) ASTM

K 0000I-K 99999 A ceros y a leaciones ferrosas m isceláneos ASTM

S00001-S99999 A ceros resistentes al calor y la corrosión (inoxidables) ASTM

T 00001-T 99999 A ceros para herram ientas AISI

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E jem plos

A ISI 1 0 2 0

' T _

N ú m ero de aleación;

indica p rinc ipales e lem en tos de aleación.

C on ten ido de carbono

0.20% de carbono

A cero al carbono norm al

AISI 4 1 4 0

' T _ 0.40% de carbono

M olíb d en o y c rom o com o

e lem en tos de a leación

F IG U R A 2 - 7 S istem a de designación del acero.

M uchas aleaciones dentro del SNU retienen los núm eros de los sistem as que durante m uchos años la asociación indi vidual ha tenido por costum bre utilizar. Por ej emplo, 1 a siguiente sección describe el sistema de designación de cuatro dígitos de la A ISI para aceros al carbono y aleados. La figura 2 - 7 muestra dos ejemplos: A ISI 1020, un acero al carbono, y A ISI4140, una aleación de acero. Estos aceros deben tener las designaciones SNU, G 10200 y G41400, respectivamente.

A C E R O

El térm ino acero se refiere a aleaciones de hierro y carbono y, en m uchos casos, otros elementos. Por la gran cantidad de aceros disponibles, en la presente sección se clasificarán com o aceros al carbono, aceros aleados, aceros inoxidables y aceros estructurales.

En el caso de los aceros al carbono y aceros aleados, se utiliza el código de designación de 4 dígitos para definir cada aleación. La figura 2 -7 m uestra el significado de cada dígito. Los cuatro dígitos deberían ser los m ism os para aceros clasificados por el Instituto Americano del H ierro y el Acero [American Iron and Steel Institute] (AISI)] y la Sociedad de Ingenieros autom otrices [Society o f A utom otive Engineers (SAE)]. La clasificación de la Sociedad estadounidense para Pruebas y M ateriales [American Society for Testing and M aterials (ASTM )] se discutirá posteriorm ente.

Por lo general, los prim eros dos dígitos en una designación de cuatro dígitos para el acero denotará los principales elementos de la aleación, adem ás del carbono, presentes en el acero. Los últim os dos dígitos denotan el porcentaje m edio (o puntos) de carbono en el acero. Por ejemplo, si los últimos dos dígitos son 40, el acero tendrá aproxim adamente 0.4 % de contenido de carbono. El carbono tiene un lugar tan prom inente en la designación de la aleación, porque, en general, conform e aum enta el contenido de carbono, también se incrementa la resistencia y dureza del acero. El contenido de carbono, en términos generales, varía de un mínimo deO. 1% aaproxim adam ente 1.0%. Cabe hacerse notar que si bien la resistencia aumenta al aum entar el contenido de carbono, el acero tam bién se vuelve más frágil.

La tabla 2 - 2 muestra los principales elem entos de aleación que corresponden a los dos prim eros dígitos de la designación del acero. La tabla 2 -3 da las aleaciones más com unes jun to con los principales usos de cada una.

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T A B L A 2 - 2 Principales elem entos de aleación en las aleaciones de acero.

N úm ero AISI

del acero Elem entos de aleación

N úm ero AISI

del acero E lem entos de aleación

lOxx C arbono sim ple 46xx M olibdcno-níquel

1 lx x A zufre (de corte fácil) 47xx M olibdeno-níquel-crom o

13xx M anganeso 48xx M olibdeno-níquel

14xx Boro 5xxx C rom o

2xxx Níquel 6xxx C rom o-vanadio

3xxx N íquel-crom o 8xxx N íquel-crom o-m olibdeno

4 xxx M olibdeno 9xxx N íquel -c rom o-m ol ib de no

(excepto 92xx)

41xx M olibdeno-crom o 92xx S ilicio-m anganeso

43xx M olibdeno-crom o-níqucl

T A B L A 2 - 3 A leaciones de acero m ás com unes y usos tipicos.

N úm ero AISI

del acero U sos típicos

1020 Acero estructural, barras, placas1040 Piezas de m aquinaria, flechas

1050 Piezas de m aquinaria

1095 H erram ientas, resortes

1137 Flechas, piezas para tom os de roscar (aleaciones fáciles de m aquinar)

1141 Flechas, partes m aquinadas

4130 A cero de alta resistencia para usos generales; flechas, engranes,pernos

4140 Igual que 4130

4150 Igual que 4130

5160 Engranes y tornillos de alta resistencia

8760 H erram ientas, resortes, cinceles

C o n d ic io n e s p a ra a c e ro s . Las propiedades mecánicas de! carbono y los aceros aleados son sumamente sensibles a la manera en que se forman, y a los procesos de tratamiento térmico. En el apéndice A - 13 se muestra una lista de la resistencia última, la resistencia a la cedencia y el porcentaje de alargamiento de varios aceros en una amplia variedad de condiciones. Nótese que éstas son propiedades típicas, o ejemplos de éstas, y no pueden servir de base para diseño. Las propiedades de los materiales dependen de muchos factores, entre los que se incluye: tamaño de la sección, temperatura, com posición real, variables en su procesamiento y técnicas de fabricación. Es responsabilidad del diseñador investigar el posible rango de propiedades de un material y diseñar miembros de carga seguros sin importar la combinación de factores presentes en una situación dada.

Por lo general, cuanto más severo sea el trabajo sobre un acero, más fuerte será éste. Algunas formas del acero, tales como láminas, barras y perfiles estructurales, se producen por laminado en caliente, mientras aún estén a una temperatura m uy elevada. Esto produce un acero relativamente blando y de bajaresístencia, de una alta ductilidad y fácil de formar. La laminación del acero en su forma final cuando casi está a temperatura ambiente se conoce como laminado en frío , y produce una m ayor resistencia y una ductilidad 1 igeramente menor. Puede lograrse una resistencia aún m ayor mediante estiramiento en frío , al estirar el material a través de matrices a temperatura ambiente, o casi. De este modo, para estos tres difundidos métodos deproducción de formas de acero, la forma de estiramiento en frío (CD: cold-drawn) produce la resistencia más alta, seguido por el laminado en frío y el laminado en caliente (CR y HR, cold-rolled y hotrolled, respectiva

C a p ítu lo 2 ■ P rop iedades de d iseñ o d e los m a teria les

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mente). Esto puede verse en el apéndice A - 13, al com parar la resistencia del mismo acero, com o, por ejemplo AISI 1040, en las condiciones de lam inado en caliente y de estirado en frío.

En general, los aceros aleados se tratan al calor para desarrollar propiedades específicas. El tratamiento al calor involucra elevar la temperatura del acero entre 790 y 900 °C (según la aleación) para de inmediato enfriarlo, tem plándolo en agua o aceite. Luego del tem plado, el acero tiene alta resistencia y dureza, pero tam bién se tom a quebradizo. Por esta razón, se realiza un tratam iento posterior conocido com o templado (o estirado). El acero se recalienta a una tem peratura en el rango de entre 205 y 705 °C, y luego se enfría. El efecto de tem plar una aleación de acero puede apreciarse en la figura 2 - 8. D e este modo, las propiedades de un acero tratado al calor pueden controlarse al especificar una tem peratura de templado. En el apéndice A - 13 se describe la condición de las aleaciones tratadas al calor com o O Q T 400. Esto significa que el acero fue tratado al calor enfriándolo en aceite y luego tem plándolo a 205 “C. Sim ilarm ente, W Q T 1300 significa que se ha enfriado con agua y se ha som etido a templado a 705 °C.

o.S

20CX)

1750

1500

1250

1000

750

500

250

i £s a2 £r o .3

T em peratu ra de tem ple , °F

F IG U R A 2 - 8 E fecto de la tem pera tura de tem ple en la res istencia y d u c tib ilid ad de u na a leac ió n de acero.

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El normalizado del acero se inicia calentándolo aproxim adam ente a la m ism a tem

peratura (conocida com o tem peratura critica máxima) que sería necesaria para endure

cerlo mediante tem plado, como ya se ha descrito. Pero en lugar de tem plarlo, el acero se

enfría en aire estático hasta que alcanza la tem peratura ambiente. Esto resulta en una

estructura uniform e y de grano fino, una m ayor ductilidad, m ejor resistencia a impactos y una maquinabílidad mejorada.

El recocido completo consiste en calentarlo a una tem peratura m ayor a la crítica

m áxim a, seguido de un enfriam iento muy lento hasta la tem peratura crítica m ínim a y

luego en aire estático hasta la temperatura ambiente. Esta es una de las formas más blan

das del acero, siendo así más fácil de cortar, formar y maquinar.

El recocido de alivio de esfuerzos consiste en calentar por abajo de la temperatura

crítica mínima, mantenerlo para conseguir una tem peratura uni forme en toda la pieza, y

luego enfriar hasta la temperatura ambiente. Esto alivia los esfuerzos residuales y evita

una distorsión posterior.

A c e ro s in o x id a b le s . Los aceros inoxidables reciben su nombre por su resistencia a la corrosión. El principal elemento de aleación en los aceros inoxidables es el cromo, que está presente hasta en un 17% en la m ayoría de las aleaciones. Se utiliza un mínimo de 10.5 % de cromo, y puede variar hasta alcanzar el 27 porciento.

Aunque existen más de 40 grados de acero inoxidable en el m ercado, por lo general

se categorizan en tres series que contienen aleaciones con propiedades sim ilares. En el

apéndice A -1 4 se da una lista de propiedades de algunos aceros inoxidables.

Los aceros de las series 200 y 300 tienen alta resistencia y una alta tolerancia a la

corrosión. Pueden utilizarse a temperaturas hasta de 650 °C con buena retención de pro

piedades. Por su estructura, estos aceros son en esencia no m agnéticos. Su buena ductili

dad y dureza, y su buena soldabilidad, los hacen sum am ente útiles para equipos de

procesos quím icos, productos arquitectónicos y productos relacionados con los alim en

tos. N o son endurecibles por tratamiento térm ico, pero pueden hacerse m ás resistentes al

trabajarlos en frío. El rango del trabajo en frío está típicam ente dado com o suave, semi-

suave, semiduro y duro, donde la resistencia aum enta a m ayor dureza. Pero a m ayor

dureza dism inuye la ductilidad. El apéndice A -14 m uestra las propiedades de algunas

aleaciones de acero inoxidable en dos condiciones: recocido y duro, que son los extremos

disponibles de resistencia. La condición de recocido a veces se conoce com oiwave.Los aceros de la serie A1SI400 se utilizan para acabados autom otrices y para equi

po de procesos quím icos, tales como tanques de ácido. Ciertas aleaciones pueden tratarse al calor para que puedan utilizarse como hojas de cuchillos, resortes, cojinetes de bolas e instrum entos quirúrgicos. Estos aceros son magnéticos.

Los aceros endurecidos por precipitación, tales como 17 - 4PH y P H 13- 8M o, se

endurecen al mantenerlos a temperaturas elevadas, entre aproximadamente 480 y 600 “C.

Estos aceros generalmente se clasifican como aceros inoxidables de alta resistencia, con

resistencias a la cedencia aproxim adam ente de 180000 psi (1240 M P a)o m ás.

A c e r o s e s t r u c tu r a le s . Los aceros estructurales se producen en forma de láminas, planchas, barras, tubos y perfiles estructurales como v ig a s - 1, vigas de patines anchos, canales y ángulos. La Sociedad Estadounidense para Pruebas y M ateriales (ASTM ) da una designación numérica a estos aceros, que es el núm ero de la norm a que define las propiedades mínimas requeridas. En el apéndice A -15 se dan los seis grados de los aceros estructurales de uso más frecuente y sus propiedades.

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Un acero que es muy popular en las aplicaciones estructurales es el ASTM A36,

acero al carbón utilizado para muchos perfiles, placas y barras comercialmente disponi

bles. Tiene un punto de cedencia mínimo de 36 ksi (248 MPa), es soldable, y se utiliza en

puentes, edificios y para propósitos estructurales generales.Al acero ASTM A242 se le conoce como acero de alta resistencia y baja aleación.

Con él se fabrican perfiles, planchas y barras, y puede especificarse en vez del acero A36

para usar miembros más pequeños y ligeros. En tamaños hasta d e | deplg de espesor tiene

un punto de cedencia mínimo de 50 ksi (345 MPa). En espesores de a 1 j plg, se especi

fica un punto de cedencia mínimo de 46 ksi (317 MPa). La aleación A242 sirve para usos

estructurales generales, y se conoce como acero de intemperie, puesto que su resistencia

a la corrosión es cuatro veces la del acero al carbono nonnal. Desde luego, debe conside

rarse el costo antes de especificar esta aleación.

El de aleación A514 es de alta resistencia, tratado al calor mediante enfriado y

templado hasta un punto de cedencia mínimo de 100 ksi (690 MPa). Producido como

planchas, se utiliza en puentes soldados y estructuras similares.

La tubería estructural es redonda, cuadrada o rectangular y con frecuencia se fabri

ca de acero A ST M - A501 (formado en caliente) o ASTM a A500 (formado en frío)

(véanse los apéndices A - 9 y A - 15).

Otro acero estructural de uso general es el ASTM A572, disponible en la forma de perfiles, planchas y barras, y en grados de 42 a 65. El número de grado se refiere al punto

de cedencia mínimo del grado en ksi, y puede ser de 42 ,45 ,50 , 55,60 y 65.

En resumen, los aceros vienen en muchas formas con una am plia variedad de resis

tencias y otras propiedades. La selección del acero más adecuado es ciertamente un arte,

apoyado por el conocimiento de las características significativas de cada aleación.

H IE R R O F U N D ID O

Entre las atractivas propiedades del hierro fundido se cuentan su bajo costo, buena resistencia al desgaste, buena maquinabilidad, y su capacidad para vaciarse en formas complejas. A continuación se discutirán cinco variedades: hierro gris, hierro dúctil, hierro dúctil austemplado, hojalata y hierro maleable.

El hierro gi-is se utiliza en bloques de motores automotrices, bases para maquina

ria, tambores de frenos y engranes grandes. Por lo común se especifica con un número de

grado correspondiente a la mínima resistencia a la tensión última. Por ejemplo, el hierro

fundido gris grado 20 tiene una resistencia última mínima de 20 000 psi (138 MPa); el

grado 60 tiene s„ = 60 000 psi (414 MPa), y así sucesivamente. Los grados que por lo

general están disponibles van del 20 al 60. El hierro gris es ligeramente quebradizo, de

modo que su resistencia a la cedencia generalmente no se reporta como propiedad. Una

notable característica del hierro gris es que su resistenciaalacom presión es muy elevada,

entre 3 y 5 veces más que su resistencia a la tensión. Esto debe tomarse en cuenta en el

diseño, y en especial cuando una parte se somete a esfuerzos de flexión, como se expone

en el capítulo 8.

Por las variaciones en el régimen de enfriamiento luego de que el hierro fundido se

vierte en un molde, la resistencia real de una sección en particular de una pieza fundida

depende de su espesor. La figura 2-10 ilustra esto para el hierro gris de grado 40. La

resistencia en el lugar de la obra puede variar desde 52 000 psi (359 MPa) a 27 000 psi

(186 MPa).

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400

350

£ 300

I 250

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50

” 0.5 1.0 1.5 2 .0 2.5

E spesor d e la fund ic ión , p lg

F IG U R A 2 -1 0 R esistencia con tra e sp eso r en h ierro g ris fundido g rad o 40.

El hierro dúctil difiere de] hierro gris en que no presenta cedencia y en que tiene un m ayorporcentaje de alargamiento y una resistencia m ás elevada a la tensión. Los grados del hierro dúctil se designan m ediante un sistem a de tres núm eros, com o por ejem plo, 805 5 - 6. El prim er núm ero indica la última resistencia m ínim a a la tensión, expresada en ksi; el segundo, la resistencia elástica expresada en ksi; y el tercero, el porcentaje de alargam iento. D e este m odo, el grado 8 0 - 5 5 - 6 tiene una resis tenciaú ltim a de 80 OOOpsi, una resistencia elástica de 55 000 psi, y un porcentaje de alargam iento de 6%. Entre los usos del hierro dúctil se incluyen cigüeñales y engranes som etidos ag randes cargas.

La resistencia del h ieno dúctil puede increm entarse por casi un factor de 2 m ediante un proceso que se llama austemplado. Las tundiciones prim ero se calientan a una

tem peratu ra en tre 815 y 930 °C, y se m antienen a estas tem pera tu ras para consegu ir una estructura uniform e. Luego se enfrían rápidam ente a una tem peratura m enor, 230 a

400 °C y de nuevo se m antienen a esa tem peratura. Luego de perm anecer varias horas a tem peratura constante se perm ite que las fundiciones se enfrien hasta la tem peratura am biente.

El hierro dúctil austemplado (ADI: A ustem pered D uctile Iron) tiene una m ayor resistencia y m ejor ductilidad que los hierros dúctiles estándar, com o puede verse en el apéndice A - l 6. Esto perm ite que las piezas sean m ás chicas y ligeras, y hace que el hierro dúctil austem plado sea muy deseable para engranes autom otrices, cigüeñales y m iem bros estructurales para equipo de construcción y transporte, sustituyendo a los aceros tem plados o colados.

El hierro blanco se produce al enfriar rápidam ente una fundición de hierro gris o dúctil durante el proceso de solidificación. T ípicam ente, el enfriam iento se aplica a áreas seleccionadas, que se endurecen m ucho y tienen una alta resistencia al desgaste. E l enfriam iento no perm ite que el carbono en el hierro se precipite durante la solidificación, lo que le da su aspecto blanco. Las regiones m ás alejadas del m edio de enfriam iento se solidifican con m ás lentitud y adquieren las propiedades norm ales del h ien o base. U na desventaja del proceso de enfriam iento es que el h ieiro blanco es m uy quebradizo.

El hierro maleable se utiliza en piezas de autom óviles y cam iones, m aquinaria de construcción y equipo eléctrico. Presenta cedencia, tiene resistencias a la tensión com pa

rables a las del hierro dúctil, y tiene resistencias de com presión últim as, ligeram ente m ayores que las del hierro dúctil. En general, se utiliza un núm ero de 5 dígitos para

secc ión 2 - 4 ■ H ie rro fu n d id o 61

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designar los grados del hierro maleable. Por ejemplo, el grado 40 010 tiene una resistencia a la cedencia de 40 000 psi (276 M Pa) y un porcentaje de alargam iento del 10%.

En el apéndice A - 16 se listan las propiedades m ecánicas de varios grados de hierro gris, h ieno dúctil, hierro dúctil austem plado y hierro maleable.

A L U M IN IO

Las aleaciones de aluminio se diseñan con el objeto de que adquieran propiedades óptimas para usos específicos. Algún as se producen prim ariam ente com o láminas, planchas, barras o alambre. Con frecuencia, los perfiles estructurales estándar y las secciones especiales son extruidas. V arias aleaciones se utilizan para forja, en tanto que otras son aleaciones especiales para piezas fundidas. En el apéndice A—17 aparece una selección en

lista de las propiedades de aleaciones de aluminio.El aluminio foijado utiliza una designación de 4 dígitos para definir las diversas

aleaciones disponibles. El prim er dígito indica el grupo de aleación según el principal elemento de aleación. El segundo dígito denota una m odificación en la aleación básica. Los últim os dos dígitos identifican una aleación específica dentro del grupo. A con tinuación se da una breve descripción de las siete series principales de las aleaciones de

aluminio.

Serie 1000,99.0% de aluminio o más. Se utiliza en los campos quím ico y eléctrico. Excelente resistencia a la corrosión, fácil de m aquinar, buena conductividad térm ica y eléctrica. Bajas propiedades mecánicas.

Serie 2000, donde el cobre es el elemento de aleación. Tratable al calor con excelentes propiedades mecánicas. M enor resistencia a la corrosión que el resto de las dem ás aleaciones. Se utiliza en revestimientos y estructuras aeronáuticas.

Serie 3000, donde el manganeso es el elemento de aleación. No es tratable al calor, pero puede obtenerse una resistencia moderada mediante trabajado en frío. Buena resistencia a la corrosión y fácil de maquinar. Se utiliza en equipo quím ico, utensilios de cocina, revestimientos residenciales y tanques de almacenamiento.

Serie 4000, donde el elemento de aleación es el silicio. N o es tratable al calor con bajo punto de fusión. Se utiliza como fundente y com o aleación de soldadura de latón. Laaleación 4032 se utiliza en pistones.

Serie 5000, donde el elemento de aleación es el m agnesio. No es tratable al calor, pero puede obtenerse una resistencia m oderada m ediante trabajado en frío. Buena resistencia a la corrosión y soldabilidad. Se utiliza en el servicio m arítimo, recipientes a presión, acabados automotrices, herrajes de construcción, estructuras soldadas, torres de televisión y aparejos de perforación.

Serie 6000, con silicio y magnesio como elementos de aleación. Tratable al calor hasta resistencia moderada. Buena resistencia a la corrosión, formabilidady soldabilidad. Se utiliza en estructuras para trabajos pesados, equipo ferroviario y de camiones, tubería, muebles, extrusiones arquitectónicas, piezas maquinadas y forjas. La aleación 6061 es una de las más adaptables de las comercialmente disponibles.

Serie 7000, con zinc como elemento de aleación. Tratable al calor hasta una resistencia sumamente elevada. Relativamente poca resistencia a la corrosión y soldabilidad. Se utiliza ante todo para miembros estructurales aeronáuticos. La aleación 7075 tiene una de las resistencias más elevadas. Se produce en la m ayoría de las formas laminadas, troqueladas y extruidas, y también se utiliza en forjas.

C a pítu lo 2 ■ P ro p ie da d es de d iseñ o de los m a te r ia le s

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D e s ig n a c io n e s p a ra te m p la d o s d e a lu m in io . Puesto que las propiedades m ecánicas de virtualm ente todas las aleaciones de alum inio son en sum o grado sensibles al trabajado en frío o al tratam iento al calor, se aplican sufijos a las designaciones de cuatro dígitos de las aleaciones para describir su tem plado. L as designaciones de tem plado de uso más frecuente se describen com o sigue:

Templado O. T otalm ente recocido para obtener la m enor resistencia. E l recocido

hace que la m ayoría de las aleaciones sean m ás fáciles de form ar m ediante doblado o estirado. Las piezas form adas en condiciones de recocido con frecuencia se tratan

al calor posteriorm ente para m ejorar sus propiedades.

Templado H, endurecido por deform ación. Se utiliza para m ejorar las propiedades de aleaciones no tratables al calor com o las de las series 1000 ,3000 y 5000. La H siem pre v iene seguida de un núm ero de dos o tres dígitos para designar un grado específico de endurecim ien to p o r deform ación o p ro cesad o especial. El seg u n do dígito después de la H varía de 0 a 8, e indica un grado sucesivam ente m ayor de endurecim iento por deform ación, lo que resulta en una m ás alta resistencia. En el apéndice A - l 7, aparece una lista de las propiedades de diversas aleaciones de aluminio. L a tabla indica que la resistencia a la cedencia de la aleación 3003 aum enta

de 18 000 psi (124 M Pa) a 27 000 psi (186 M Pa), cuando el tem plado cam bia de H 1 2 aH 1 8 .

Templado T, tratado al calor. Se utiliza para m ejo rar la resistencia y lograr una

condición estable. A la T siem pre le sigue uno o m ás dígitos que indican un tratado al ca lo r m uy particular. Para productos forjados com o lám inas, p lanchas, extrusiones, barras y tubos troquelados, las designaciones que se u tilizan con m ayor fre

cuencia son T4 y T6. El tratam iento T 6 produce una m ayor resistencia pero por lo general reduce la facilidad en el m aquinado. En el apéndice A - l 7 aparece una lista de varias aleaciones tratables al calor en los tem plados O , T 4 y T6 p ara ilustrar el cam bio de propiedades.

Las aleaciones de alum inio fundido se designan m ediante un sistem a m odificado

de 4 dígitos de la form a X X X .X , en donde el p rim er dígito indica el principal grupo de aleaciones según los principales elem entos de aleación. L a tabla 2 - 4 m uestra los grupos.

Los segundos dos dígitos indican la aleación específica dentro del grupo, o indican la

pureza del alum inio. El últim o dígito, después del punto decim al, indica la forma del producto: 0 para piezas fundidas, y 1 o 2 para lingotes.

El alum inio es tam bién sensible a la form a en que se produce, al tamaño de la sección y a la tem peratura. En el apéndice A - l 7 se proporciona una lista de las propiedades típicas, y no puede utilizarse para diseño. Las referencias 1 y 2 dan datos sobre las resistencias mínimas.

T A B L A 2 - 4 G rupos de a leac io n es d e a lu m in io fundido.

Grupo P rin cip ales e lem en to s de a leación

1XX.X

2XX.X3XX.X4X X.X

5XX.X6XX.X7XX.X

8XX.X9XX.X

99% o m ás de a lu m in io

C obre

S il ic io , cobre , m ag n esio

S ilicio

M agnesio

(S erie n o u tilizada)

Z inc

Estaño

O tro s e lem en tos

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C O B R E , L A T Ó N Y B R O N C E

El térm ino cobre se utiliza de manera adecuada para denotar al metal virtualmente puro, con un 99% o más de cobre. Se utiliza principalm ente como conductor eléctrico, piezas de interruptores y piezas de motores que conducen corriente eléctrica. El cobre y sus aleaciones tienen buena resistencia a la corrosión, son fáciles de fabricar y tienen un aspecto agradable. Las principales aleaciones del cobre son el cobre al berilio, 1 os latones y los bronces. Cada uno tiene sus propiedades y aplicaciones especiales.

El cobre al berilio tiene una elevada resistencia y buena conductividad eléctrica. Entre sus usos se incluyen las piezas para interruptores, sujetadores de fusibles, conecto- res eléctricos, fuelles, tubos para manómetros Bourdon y resortes.

Los latones son aleaciones de cobre y zinc. Tienen buena resistencia a la corrosión, son fáciles de trabajar y debonito aspecto, lo que permite aplicaciones a radiadores automotrices, bases de lámparas, tubos de cambiadores de calor, herrajes marinos, cajas para m uniciones y muebles para el hogar. Si se añade plomo al latón, se m ejora sum aquinabi- lidad, lo que lo hace atractivo para utilizarse en la fabricación de piezas de tom os de roscas.

Entre las principales familias de los bronces, se incluyen el bronce al fósforo, el bronce al aluminio y el bronce al silicio. Su alta resistencia intrínseca y a la corrosión los hace útiles para aplicaciones marítimas, tomillos, engranes, recipientes a presión, resortes, bujes y baleros.

La resistencia del cobre y sus aleaciones depende de la dureza que se consigue mediante el trabajo en frío. Las resistencias sucesivamente mayores resultarían de los temples designados como semisuave, suave, semiduro, duro, extraduro, para resortes, y extra para resortes. Las resistencias de las cuatro aleaciones de cobre en los templados suave y duro aparecen en el apéndice A - l 4.

Z IN C , M A G N E S IO Y T IT A N IO

El zinc tiene una resistencia y dureza moderadas y excelente resistenciaa la corrosión. Se utiliza en formas forjadas tales como láminas y hojas, y varillas o alambres troquelados. Entre sus principales aplicaciones están las latas de baterías secas, herrajes para construc

ción y placas para fotograbado.M uchas piezas de zinc se hacen mediante moldeo a troquel porque su punto de

ñisión es de menos de 427 °C (800 °F), mucho menor que otros m etales para moldeo a troquel. El acabado posterior al fundido es adecuado para muchas aplicaciones, tales com o piezas para maquinaria comercial, cuerpos de bombas, corazas de m otores y bastidores para máquinas de trabajos ligeros. Cuando se requiere de un aspecto decorativo, puede realizarse fácilmente el electroplateado con níquel y cromo. Piezas tan comunes como cuadrantes de radios, cuerpos de lámparas y molduras automotrices se hacen de esta manera. En el apéndice A—14 aparece una lista de las propiedades de una aleación de zinc fundido.

El magnesio es, por lo común, el metal más ligero que se utiliza en piezas para soportar cargas. Su densidad de sólo 0.066 lb/plg3 (1830 kg/m 3) es una cuarta parte de la del acero y el zinc, un quinto de la del cobre, y dos terceras partes de la del aluminio. Tiene una resistencia m oderada y se presta a aplicaciones en las que el peso fabricado final de la pieza o la estructura debe ser ligero. Las escaleras, carretillas, piezas de cintas sin fín, herramientas mecánicas portátiles y cuerpos de podaderas de césped utilizan m agnesio. En la industria automotriz, las piezas de carrocería, las ruedas de ventiladores, los cuerpos de bom bas y las abrazaderas están con frecu en c ia hechas de m agnesio . En los aviones, su ligereza hace que este metal sea atractivo para los pisos, estructuras, revestim ientos de fuselaje y ruedas. La rigidez (módulo de elasticidad) del magnesio es

C apítu lo 2 ■ P rop ieda de s de d iseñ o d e los m a te ria les

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baja, lo cual es una ventaja en piezas donde la energía de impacto debe absorberse. Además, su ligereza resulta en diseño de bajo peso en com paración con otros metales sobre una base de rigidez equivalente. Véase el apéndice A -14 para propiedades de una aleación fundida de magnesio.

El titanio tiene una alta resistencia, y su densidad es aproxim adam ente la mitad de la del acero. Aunque el aluminio tiene una menor densidad, el titanio es superior al aluminio y a la mayoría de los aceros con base en su resistencia contra peso. Retiene un alto porcentaje de su resistencia a temperaturas elevadas, y puede utilizarse hasta a 538 °C. La m ayoría de las aplicaciones del titanio están en la industria aeroespacial, en piezas para motores, piezas de fuselaje y revestimientos, ductos, estructuras para vehículos espaciales y recipientes a presión. Debido a su resistencia a la corrosión y su resistencia a las altas temperaturas, las industrias quím icas utilizan el titanio en intercam biadores de calor, y com o revestimiento para equipo de procesamiento. Su alto costo es un factor principal que debe considerarse.

El apéndice A—14 da las propiedades de una aleación de titanio que contiene aluminio y vanadio y que se utiliza en las industrias aeroespacial, marítim a y de procesos quím icos. Esta es una popular aleación tratable al calor donde el térm ino envejecido se refiere a un ciclo de calentamiento y enfriado seguido de un calentam iento a m enor temperatura.

N O M E T A L E S E N E L D IS E Ñ O D E IN G E N IE R ÍA

L a m adera y el concreto se usan m uy com únmente en la construcción. Los plásticos y m ateriales compuestos aparecen en casi todos los campos del diseño, incluyéndose productos de consumo, equipo industrial, automóviles, aviones y productos arquitectónicos. Para el diseñador, las propiedades de resistenciay rigidez de los no metales son de importancia vital, de! mism o modo en que lo son para los metales. Debido a las diferencias estructurales en los metales, su comportamiento es sum am ente distinto de los metales.

La madera, el concreto, los m ateriales com puestos y m uchos plásticos tienen estructuras que son anisotrópicas. Esto significa que las propiedades m ecánicas del material son distintas, dependiendo de la dirección de la carga. Además, debido a los cambios quím icos naturales, las propiedades varían respecto al tiempo, y con frecuencia respecto a las condiciones climáticas. El diseñador debe estar consciente de estos factores.

M A D E R A

Puesto que la madera es un material natural, su estructura es dependiente de la forma en que crece, y no de la manipulación de los seres humanos, com o en el caso de los metales. La forma larga, esbelta y cilindrica de los árboles resulta en una estructura interna compuesta de células longitudinales. Conforme el árbol crece, se añaden anillos sucesivos a la madera más vieja. D e este modo, el núcleo interno, que se conoce como corazón o duramen, tiene propiedades distintas a la albura, cerca de la superficie exterior.

Las especies de la m adera también afectan sus propiedades, puesto que clases distintas de árboles producen madera más dura o más blanda, más fuerte o débil. Incluso en las mismas especies ocurre variabilidad debido a las m ism as condiciones de crecim iento, tales como las diferencias del suelo y la cantidad de sol y lluvia.

La estructura celular de la madera produce su grano, que es tan evidente al cortarse en tablas y maderos. La resistencia de la madera depende de si la carga se aplica perpendicular o paralela al grano. Además, a través de su grano, laresistencia es distinta en una

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dirección radial que en una dirección tangencial respecto al tronco del árbol cilindrico original del que se cortó.

Otra importante variable que afecta la resistencia de la m adera es el contenido de humedad. Los cambios de humedad relativa pueden variar la cantidad de agua absorbida por las células de la madera.

La m ayoría de la madera de construcción se clasifica por esfuerzo perm isible conforme a las reglas estándaradoptadas por el U.S. Forest Products Laboratory. El apéndice A - l 8 expone una lista de los esfuerzos permisibles para diversas especies y grados de madera. Estos esfuerzos permisibles son los causantes de la variabilidad debida a las imperfecciones naturales.

2 - 1 0 C O N C R E T O

Los com ponentes del concreto son el cemento y un agregado. Al añadirse ag u ay mezclar los componentes, se produce una estructura uniforme donde el cemento recubre todas las partículas agregadas. Luego de curarse, la masa queda aglutinada de forma segura. A lgunas délas variables que intervienen en la determinación de la resistencia final del concreto son el tipo de cemento utilizado, el tipo y tamaño del agregado, y la cantidad de agua que se añadió.

U na mayor cantidad de cemento en el concreto produce una m ayor resistencia. Si se dism inuye la cantidad de agua en relación con la cantidad de cem ento se aum enta la resistencia del concreto. Desde luego, debe añadirse agua suficiente para hacer que el cem ento recubra a los agregados y permita que el concreto pueda colarse y trabajarse antes de que ocurra un curado excesivo. La densidad del concreto que se afecta por el agregado también es un factor. Es común que se agregue una mezcla de arena, grava y piedra quebrada para el concreto que se utiliza en la construcción.

El concreto se clasifica según su resistencia a la com presión, que varía de 2000 psi (14 MPa) a 7000 psi (48 MPa). La resistencia a la tensión del concreto es en extrem o baja, y una práctica común es suponer que es cero. Desde luego, el reforzado del concreto con varillas de acero permite utilizarlo en vigas y losas am plias, puesto que el acero resiste las cargas de tensión.

El concreto debe curarse para desarro llar su resistencia nom inal. D ebe m antenerse húmedo durante por lo menos 7 días, y en este lapso tiene aproxim adam ente el 75% de su resistencia a la com presión nominal. Aunque su resistencia se increm enta con los años, con frecuencia se utiliza la resistencia a los 28 días para determ inar su resistencia nom inal.

Los esfuerzos de trabajo permisibles en el concreto son típicam ente del 25% de la resistencia nominal a los 28 días. Por ejemplo, un concreto clasificado com o de 2000 psi (14 M Pa) tendrá un esfuerzo permisible de 500 psi (3.4 MPa).

El peso específico del concreto con base de grava es aproxim adam ente de 150 Ib/pie3. El módulo de elasticidad depende de algún modo del peso específico y de la resistencia nominal. Según el American Concrete Institute (Instituto Estadounidense del Concreto), puede calcularse una estimación del módulo de la form a siguiente:

Ec = 33 y M (2 -4 )

donde Ec = M ódulo de la elasticidad a compresión, psiy - Peso específico, lb /pie3

sc = Resistencia a la compresión nominal del concreto, psi

C a pítu lo 2 ■ P rop ieda de s de d is eñ o de los m a te ria les

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Utilizando y = 150 Ib/pie3, los valores esperados de la elasticidad, calculados a partir de la ecuación (2 -4 ) , aparecen a continuación.

R esistencia nom ina \,sc M ódulo d e elastic idad , Ec

psi M Pa psi GPa

2000 13.8 2.7 X 106 18.63000 20.7 3.3 X 10* 22.74000 27.6 3.8 X I0ft 26.25000 34.5 4.3 X 10* 29.66000 41.4 4.7 X I06 32.4

7000 48.3 5.1 X I06 35.2

2 - 1 1 P L A S T IC O S

Los plásticos se com ponen de m oléculas de cadena larga llamadas polím eros, y son materiales orgánicos sintéticos que pueden form ularse y procesarse literalm ente en miles de formas.

Puede hacerse una clasificación entre m ateriales termoplásticos y m ateriales termoendurecibles. Los term oplásticos pueden suavizarse repetidam ente m ediante calentamiento, sin que haya cambio en sus propiedades ni en su composición química. En cambio, luego del curado inicial de los plásticos tennoendurecibles, ya no pueden suavizarse nuevamente. D urante el curado ocurre un cambio quím ico con la presión y el calor.

A lgunos ejemplos de los term oplásticos incluyen ABS, acetales, acríbeos, acetatos de celulosa, fluorocarbonos TFE, nylon, polietileno, polipropileno, poliestireno y vinilos. Entre los plásticos tennoendurecibles se incluyen los fenólicos, epóxicos, poliéste- res, silicones, uretanos, alquídicos, alílicos y amínicos.

Con frecuencia se selecciona un plástico en particular, para obtener una com binación de propiedades com o ligereza, flexibilidad, color, resistencia intrínseca y resistencia quím ica, baja fricción o transparencia. Puesto que los productos disponibles son tan num erosos, en el apéndice A - l 9 sólo se incluye una breve tabla de propiedades de los plásticos. La tabla 2 -5 lista los m ateriales plásticos prim arios que se utilizan para seis distintos tipos de aplicación. En las referencias 4 ,7 y 9 puede hallarse un extenso estudio com parativo de las propiedades de diseño de los plásticos.

2 - 1 2 M A T E R IA L E S C O M P U E S T O S

Los m ateriales compuestos tienen dos o más constituyentes combinados de una forma que resulta en una unión mecánica o adhesiva entre los materiales. Para form ar un m ate

rial com puesto, se distribuye un m aterial de relleno en una matriz, de forma que el relleno refuerce la matriz. Típicamente, el relleno es un material fuerte y rígido, en tanto que la m atriz tiene una densidad relativamente baja. Cuando los dos materiales se unen entre sí, gran parte d é la capacidad de soporte de carga del com puesto es producida por el material de relleno. La m atriz sirve para sostener el relleno en una orientación favorable en relación con la forma de carga y para distribuir las cargas al relleno. El resultado es un m aterial compuesto ligeramente optimizado que tiene una alta resistencia y rigidez en relación con su bajo peso.

S ecc ión 2 - 1 2 ■ M a te r ia le s co m p u e s to s 6 7

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T A B L A 2 - 5 A plicaciones de los m ateriales p lásticos.

A plicaciones Propiedades deseadas P lásticos adecuados

C uerpos, recipientes, A lta resistencia a im pactos, rigidez, A B S, poliestireno , po lipropileno

ductos bajo costo, form abilidad, polietileno , ace ta to de celu losa,

resistencia al am biente,

estab ilidad dim ensional

acrílicos

B aja fricción, B ajo coeficien te de fricción; F luorocarbonos T F E , nylon ,

baleros, resbalones resistencia a la abrasión, calor,

corrosión

acetales

C om ponentes de A lta resistencia a la tensión y al N ylon , fenólicos, ace ta les rellenos

a lta resistencia, im pacto, estabilidad a altas de T F E

engranes, levas tem peraturas, m aquinable

E quipo quim ico R esistencia quím ica y térm ica, F luorocarbonos, polipropileno ,

y térm ico b uena resistencia , baja polietileno , epoxios, po liésteres,

absorción d e hum edad silicones

Partes electro- R esistencia e léctrica, resistencia A lilos, a lquidos, am inos, epoxios,

estructurales al calor, a lta resistencia a

im pactos, estab ilidad

dim ensional, rig idez

fenólicos, po liésteres, silicones

C om ponentes B uena transm isión d e la luz en A crilicos, po liestireno , ace ta to

transm isores colores transparentes y de ce lu losa , vinilos

de luz translúcidos, form abilidad,

resistencia a roturas

Puede producirse una variedad casi ilim itada de m ateriales com puestos al com binarse distintos materiales de matrices con rellenos en formas diferentes y en orientaciones distintas. Algunos materiales típicos aparecen a continuación.

M a te r ia le s d e m a tr ic e s . Algunos de los materiales de m atrices de uso más frecuen

te son:

■ Polímeros termoplásticos: Polietileno, nylon, polipropileno, poliestireno, po-

liamidas

■ Polímeros termoendurecibles: Poliéster, epoxio, polim ida fenólica

* Cerámicas y vidrio

■ Carbono y grafito

■ Metales: Aluminio, magnesio, titanio

F o r m a s d e los m a te r ia le s d e re lle n o . A continuación se listan muchas formas de

m ateriales de relleno.

■ Cordones de fibras continuas compuestos de muchos filamentos individuales

unidos entre sí

■ Cordones cortos (de 0.75 a 50 mm o 0.03 a 2.00 plg)

■ Cordones esparcidos al azar en forma de tapete

■ Haces de cordones paralelos

■ Material entretejido de cordones

■ Fi lamentos o alambres metá 1 icos

■ M icroesferas macizas o huecas

C ap ítu lo 2 ■ P rop ieda de s de d ise ñ o de los m a te ria les

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■ M etal, vidrio u hojuelas de mica

■ Granos de cristales de materiales como grafito, carburo de silicio y cobre

T ip o s d e m a te r ia le s d e re lle n o . Los rellenos, que tam bién se conocen como fibras, vienen en muchos tipos, con base en sus materiales orgánicos e inorgánicos. Algunos de los rellenos más populares aparecen a continuación.

• Fibras de vidrio en cinco tipos distintos:

F ibra de vidrio A: Buena resistencia quím ica que contiene álcalis como el óxido de sodioF ibra de vidrio C: Fórm ulas especiales para resistencia aún m ás alta que la fibra AFibra de vidrio E: Fibra de vidrio de amplio uso con buena capacidad de aislamiento eléctrico y buena resistenciaFibra de vidrio S: De alta resistencia, se utiliza para altas tem peraturas

Fibra de vidrio D: Mejores propiedades eléctricas que la fibra de vidrio E■ Fibras de cuarzo y fibras de vidrio con alto contenido de sílice: Buenas propie

dades a altas temperaturas, hasta 1095 °C

■ Fibras de carbón, hechas de carbono de base PA N (PAN significa poliacriloni- trilo): Con aproxim ación a un 95% de carbono con un elevado m ódulo de elasticidad

• Fibras de grafito: Con más de 99% de carbono y un m ódulo de elasticidad aún más elevado que el carbono. Son las fibras m ásrígidas que se utilizan típicamente en los materiales compuestos

■ Boro recubierto en fibras de tungsteno: Buena resistencia y un m ayor módulo de elasticidad en las fibras de vidrio

• El carburo de silicio recubierto en fibras de tungsteno: Resistencia y rigidez sim ilares al boro/tungsteno, pero con capacidad para temperaturas más elevadas

■ Fibras aramídicas: Un miembro de la familia poliam ídica de los polímeros; mayor resistencia y rigidez, con m ayor densidad en com paración con el vidrio muy flexible (las fibras aramídicas producidas por D uPont tienen la marca Kevlar)

V e n ta ja s d e lo s m a te r ia le s c o m p u e s to s . Es característico que los diseñadores busquen producir productos que sean seguros, fuertes, rígidos, ligeros y sumamente tolerantes al entorno en que opera el producto. Los m ateriales com puestos son excelentes para satisfacer estos objetivos cuando se com paran con materiales alternativos como m etales, m aderas y plásticos sin relleno. Dos parám etros que se utilizan para comparar materiales son: la resistencia especifica y el módulo especifico, definidos en la fonna siguiente:

La resistencia especifica es la razón entre la resistencia a la tensión de un material y su peso especifico.

E l módulo específico es la razón entre el módulo de elasticidad de un material su peso específico.

Puesto que el módulo de elasticidad es una medida de la rigidez de un material, el módulo específico a veces se conoce com o rigidez especifica.

A unque obviamente no se trata de una longitud, ambas magnitudes se m iden en unidades de longitud, derivadas de la razón entre las unidades de resistencia o m ódulo de elasticidad y las unidades de peso específico. En el sistema estadounidense, las unidades

S ección 2 -1 2 ■ M ate r ia le s com p ue sto s 6 9

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de resistencia a la tensión y de módulo de elasticidad son lb/plg2, mientras que el peso específico (peso por unidad de volumen) se da en lb/plg3. Por consiguiente, las unidades de la resistencia específica o módulo específico son pulgadas. En el sistema internacional de unidades o sistema métrico decimal, la resistencia y el módulo están expresados en N /m 2 (pascales) puesto que el peso específico está dado en N /m 3. Por consiguiente, la unidad para resistencia específica o módulo específico es el metro.

En la tabla 2 -6 aparecen comparaciones de la resistencia específica y la rigidez específica de materiales compuestos con ciertas aleaciones de acero, aluminio y titanio. La figura 2-11 muestra una comparación de estos materiales, utilizando gráficas de barras. La figura 2—12 es una gráfica de estos datos donde la resistencia específica está en el eje vertical y el módulo específico en el eje horizontal. Cuando el peso es crítico, el material ideal debe encontrarse en la parte derecha superior de esta gráfica. Nótese que los datos en estas gráficas y cifras son para materiales compuestos que tienen los materiales de relleno alineados en la dirección más favorable para soportar las cargas aplicadas.

Las ventajas de los materiales compuestos pueden resumirse de la forma siguiente:

1. Las resistencias específicas de los materiales com puestos pueden variar hasta en cinco veces respecto a las aleaciones de acero de alta resistencia.

2. Los valores de módulos específicos de los materiales compuestos pueden ser hasta de ocho veces los valores de las aleaciones de acero, de aluminio o de titanio.

3. Los materiales compuestos típicamente funcionan m ejor que el acero o el aluminio en aplicaciones donde existen cargas cíclicas que producen el potencial de fractura por fatiga.

4. Donde se esperan cargas de impacto y vibraciones, los materiales compuestos pueden formularse de manera especial con materiales que proporcionen alta resistencia y un alto nivel de amortiguación.

5. Algunos materiales compuestos tienen mayor resistencia al desgaste que los metales.

T A B L A 2 - 6 C om paración de resistencia específica y m ódulo específico de m ateriales seleccionados

R esistencia Peso

a la específico, Resistencia M ódulo

tensión , su i x especifica específico

M aterial (ksi) (ib/pig3) (P'g) ( p ie )

Acero (E - 30 x 106 psi)

A IS I1020 MR 55 0.283 0 .1 9 4 x l0 6 1 .0 6 x 108

A IS I5 1 6 0 O Q T 700 263 0.283 0 .9 2 9 X 1 0 6 1.06X 10*

A lum inio ( £ = 1 0 x 10 6 psi)

6061-T6 45 0.98 0 .4 5 9 x 106 1.02 X 10®

7075-T 6 83 0.101 0 .8 2 2 x 1 06 0.99 x 108

Titan io (E = 16.5 x 106 psi)

T Í-6 A 1-4V tem plado y envejecido a 538 °C 160 0.160 l.O O x lO 6 1.03 x 108

M aterial com puesto de vidrio/epoxio (E = 4 .0 x 106 psi)

contenido de fibra, 34% 114 0.061 1 .8 7 X 1 0 6 0.66 x 108

M aterial com puesto de aramida/epoxio (E = 11.0 x 106psi)

contenido de fibra, 60% 200 0.050 4 .0 x 1 06 2 .2 0 X 1 0 8

M aterial com puesto de boro/epoxio (E = 30.0 x 106 psi)

contenido de fibra, 60% 270 0.075 3.60 x lO 6 4.00 x 10S

M aterial com puesto de grafito/epoxio (E = 19.7 x 10 psi)

contenido de fibra, 62% 278 0.057 4 .8 6 x 106 3.45 X lO 8

M aterial com puesto de grafito /epox io (E = 48 x 106 psi)

M ódulo u ltra alto 160 0.058 2 .7 6 x 106 8 .2 8 x lO s

C apítu lo 2 ■ P rop ie dad es de d iseñ o de los m a te ria les

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Resistencia específica ( x l0 6plg)

Rigidez especifica (xl 08plg)

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Cap

ítulo

2

■ P

rop

ied

ad

es

de d

iseño

de

los m

ate

riale

s

, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ------------ ----------- ------------ ------------ ------------1----------- 1----------- 1----------- 1----------- ------------ ------------ ------------ ------------ r

— M ate n a l comp.......uesto de g rafito /e >0X10

M « e ria l co m puesto de aram i la /epox ic

• — M ateria l com p u e s to d b o ro /ep o x io

M aterial :o m p u es

m ó d u lo

o de grai

ultra a lto

ito /ep o x i 3

latería! c<jm puestc de vidrie)/epox io

^ . T i t a n io T i -6 A l —4V

A cero A I S I 5 160 OC

A lu m in io 7 0 7 5 -T 6 | |

JT 7 0 0

A lu m in io 6 0 6 1—T 6

• — A cero 1020 H R i i

0 1 2 3 4 5 6 7 8

M ó d u lo e sp ec ífico (x 108 p lg )

F IG U R A 2 -1 2 R es is ten c ia esp ec ífica co n tra m ó d u lo e sp ec ífico de m eta les y m ate ria les co m p u esto s se lecc io n ad o s.

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refuerzo en las direcciones que proporcionen la rig idez y resistencia requeridas en las condiciones específicas de carga esperadas.

9. Con frecuencia pueden hacerse estructuras de form as com plejas de una sola pieza, reduciéndose de este modo la cantidad de piezas de un producto y el número de operaciones de sujeción que se requiere. L a elim inación de juntas, en general, mejora la confiabilidad de estas estructuras.

10. Es característico que las estructuras com puestas salgan directam ente en su form a final o casi final, por lo que se reduce la cantidad de operaciones secundarias requeridas.

L im ita c io n e s d e lo s m a te r ia le s c o m p u e s to s . Los diseñadores deben balancear m uchas propiedades de materiales en sus diseños y considerar al m ismo tiem po las ope- racionesdefabricación, costos, seguridad, duración y servicio de! producto. En la siguien

te lista se consignan las principales preocupaciones al u tilizarm ateriales com puestos.

1. Los costos de materiales com puestos son en especial m ayores que los de m uchos m ateriales alternativos.

2. Las técnicas de fabricación son bastante distintas de las que se utilizan para darles forma a los metales. Puede requerirse un nuevo equipo de fabricación, jun to con capacitación adicional para los operarios de producción.

3. El com portamiento de los productos hecho con algunas técnicas de producción de materiales com puestos está sujeto a un m ayor rango de variabilidad que para la m ayoría de las técnicas de fabricación de metales.

4. Los lím ites de temperatura de operación para los m ateriales com puestos de m atriz polim érica son en general de 260 °C. [Pero los m ateriales com puestos con matrices de cerámica o metal pueden utilizarse a tem peraturas más elevadas, como las que se alcanzan en los m otores.]

5. Las propiedades de los m ateriales com puestos no son iso trópicas. Esto s ig n ifica que las propiedades varían d ram áticam ente con la dirección de las cargas aplicadas. Los diseñadores deben tom ar en cuenta estas variaciones para garantizar la seguridad y una operación sa tisfac to ria con todo tipo de cargas.

6. En la actualidad, hay una falta general de com prensión del com portam iento de los m ateriales compuestos y los detalles de la predicción de m odos de fractura. A unque se han hecho grandes progresos en ciertas industrias, com o la aeroespacial y de equipo recreativo, hay una necesidad de com prensión más general acerca del diseño con m ateriales com puestos.

7. El análisis de estructuras com puestas requiere un detallado conocim iento de más propiedades de materiales de lo que se requeriría para metales.

8. La inspección y las pruebas de las estructuras com puestas son, en general, más com plicadas y menos precisas que las de estructuras m etálicas. Es posible que se requieran técnicas especiales no destructivas pana asegurar que no hay vacíos im portantes en el producto final que pudieran debilitar seriam ente la estructura. Puede requerirse una prueba de la estructura com pleta en lugar de probar una m uestra del m aterial, debido a la in teracción de las distin tas piezas entre sí y debido a la direccionalidad de las prop iedades de los m ate

riales.

S ecc ión 2 -1 2 ■ M a te r ia le s c o m p u e s to s 73

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9. L a reparación y mantenimiento de las estructuras com puestas son una grave preocupación. Algunas de las técnicas iniciales de producción requieren condiciones especiales de temperatura y presión que difícilm ente pueden reproducirse en el campo cuando se requiere la reparación de daños. La unión de una sección reparada a la estructura madre también puede ser di fícil.

C o n s tr u c c ió n de m a te r ia le s c o m p u e s to s la m in a d o s . M uchas estructuras hechas de materiales compuestos están hechas de varias capas del material básico que contiene tanto la m atriz como fibras de refuerzo. La form a en que las capas están orientadas, una en relación con la otra, afecta las propiedades finales de la estructura terminada.

Com o ilustración, considérese que cada capa está hecha de un conjunto de fibras paralelas del material de relleno de refuerzo, tales como fibras de vidrio B, incrustadas en la matriz de resina, como es el poliéster. En esta forma, el material a veces se conoce como prepreg indicando que el relleno fue im pregnado en la matriz antes de formar la estructura y curar el material ensamblado. Para producir rigidez y resistencia máxim as en una dirección en particular, pueden aplicarse varias capas del prepreg, una sobre la otra, donde todas las fibras están alineadas en la dirección d éla carga de tensión esperada. Esto se conoce com o laminado unidireccional. Después de curado, el lam inado podría tener una alta rigidez y resistencia al cargarse en la dirección de las fibras, llamada dirección longitudinal. Sin embargo, el producto resultante podría tener una baja resistencia y rigidez en la dirección perpendicular a la dirección de las fibras, y que se conoce como dirección transversal. Si aparece una carga fuera de eje, la parte puede fracturarse o deform arse de m anera significativa. La tabla 2 -7 proporciona datos de m uestra para el material com puesto unidireccional laminado de carbono/epoxio.

Para superar la falta de resistencia y rigidez descentrada, las estructuras laminadas deben hacerse con una variedad de orientaciones en sus capas. U na disposición muy popular aparece en la figura 2-13 . Si se nombra la dirección longitudinal de la capa de la superficie com o capa de 0o de inclinación, esta estructura se refiere como:

0o, 90°, +45°, - 4 5 ° ,- 4 5 ° , +45°, 90°, 0°

La sim etría y balance de este tipo de técnica de capas resulta en propiedades casi uniform es en dos direcciones. A veces se u tiliza el térm ino cuasi-isotrópico para describ ir una estructura de esta naturaleza. N ótese que las propiedades perpend icu la res a las caras de la estructura en capas (a través del grosor) siguen siendo m uy bajas, debido a que las fibras no se extienden en esa dirección. A dem ás, la rig idez y resistencia en las direcciones prim arias son ligeramente m enores que si las capas estuvieran alineadas en la m ism a dirección. En la tabla 2 -7 aparecen datos de un lam inado cua-

T A B L A 2 - 7 E jem plos del efecto de la co nstrucción lam inada en la res istencia y rig idez

R esistencia a la tensión M ódulo de elastic idad

L ongitudinal T ransversal L ong itud inal T ransversal

T ipo de lam inado ksi M Pa ksi M Pa 10" psi GPa 106 psi G Pa

U nidireccional 200 1380 5 34 21 145 1.6 l t

C u asi-iso tróp ico 80 552 80 552 8 55 8 55

C a pítu lo 2 ■ P ro p ie da d es de d is eñ o de los m a te ria le s

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(T

F IG U R A 2 - 1 3 C onstrucción «le un m aterial com puesto lam inado en capas m ú ltip les , d iseñ ad o para p ro d u c ir p ropiedades cuasi- isolrópicas,

si-iso trópico , com parados con uno que dispone de fibras unidireccionales en la misma matriz.

P re d ic c ió n d e p ro p ie d a d e s d e m a te r ia le s c o m p u e s to s . La siguiente discusión resume algunas de las variables más necesarias para definir las propiedades de un material compuesto. El subíndice c se refiere al material com puesto, m se refiere a la m atriz y / a las fibras. La resistencia y rigidez de un material com puesto depende de las propiedades elásticas de la fibra y la matriz. Pero otro parám etro es el volumen relativo del mater ial compuesto hecho de fibras, Vp y aquel del com puesto del material de matriz Vn!. Es decir:

V¡ = Fracción de volumen de la fibra en el com puesto

V„, = Fracción de volumen de la m atriz en el material com puesto

Nótese que para un volumen unitario, V; + V„, = 1. Entonces, K„, - I - V¡.U tilizaremos un caso ideal para ilustrarla forma en que puede predecirse la rigidez

y resistencia de un material compuesto. Considérese un material com puesto con fibras continuas unidireccionales, alineadas en la dirección de la carga aplicada. I .as fibras son típicam ente más Inertes y rígidas que el material de la matriz. Además, la matriz puede sufrir una m ayor deformación antes de la fractura que las fibras. La figura 2 - 14 muestra estos fenómenos en una gráfica de esfuerzo contra deform ación para las fibras y la m a

triz. U tilizaremos la siguiente notación para los parám etros m ás im portantes de la finura2-14:

■v„/ = Resistencia última de la fibra

f .„ j = Deformación en la fibra correspondiente a su resistencia última

(T,„ - Esfuerzo en lam atriza la misma deformación que e.u¡

S ecc ión 2 -1 2 ■ M a te r ia le s c om p ue s to s

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D eform ación

F IG U R A 2 - 1 4 E sftierzocontra deform ación de m ateria les de fibra y m atriz.

La resistencia última del compuesto, suc, está en un valor intermedio entre su{ y a m dependiendo de la fracción de volum en de la fibra y la matriz en el com puesto, es decir:

V = V K/ + 0 ‘». ym ( 2 -5 )

A cualquier nivel inferior de esfuerzo, la relación entre el esfuerzo general en el material com puesto, el esfuerzo en las fibras, y el esfuerzo en la matriz, sigue un patrón similar.

<yc = af Vf + amVm (2 -6 )

La figura 2-15 ilustra esta relación en un diagrama esfuerzo- deformación.Am bos m iem bros de la ecuación (2 -6 ) pueden dividirse entre la deform ación a

la que ocurren estos esfuerzos. Y, puesto que para cada material, o /e = E , puede dem ostrarse que el módulo de elasticidad para los materiales com puesto es:

Ec = Ef Vf +EmVm ( 2 -7 )

La densidad de un material compuesto puede calcularse de form a similar.

Pc=PfVf +pmVm ( 2 -8 )

La densidad se define como masa por unidad de volumen. U na propiedad relacionada, el peso específico, se define com o peso por unidad de volumen y se denota por el sím bo lo y (letra griega gam m a). La relación entre densidad y peso específico es sim plem ente y = pg, donde g es la aceleración de la gravedad. Al m ultip licar cada m iem bro

C a pítu lo 2 ■ P rop ieda de s de d ise ñ o d e lo s m a te ria les

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D efo rm ac ió n

I- IG U R A 2 - 15 R elación entre e sfu erzo s y d efo rm ac io n es para

un m ateria l com puesto y sus m ate ria les de fibra y m atriz .

en la ecuación 2 -8 por g, se obtiene la fórm ula para el peso específico de un material com puesto:

Ye = 7) Vf + y,„ K„ ( 2 -9 )

La forma de las ecuaciones (2 -6 ) , (2 -7 ) , ( 2 -8 ) y (2 -9 ) , con frecuencia se conoce com o regla de mezclas.

La tabla 2—8 es una lista de ejem plos de valores de las propiedades de algunos m ateriales de m atriz y de reí leño. Recuérdese que pueden ocurrir am plias variaciones en estas propiedades, según la form ulación exacta y la condición de los materiales.

T A B L A 2 -8 E jem p lo s de p rop iedades de m ate ria les de m a tr iz y de re lleno

R esistencia M ódulo Peso

a la tensión de tensión específico

ksi M Pa 106 psi G Pa lb /p lg3 kN /m 3

M ateriales pa ra m atrices:

P o liés te r 10 69 0.40 2.76 0.047 12.7

E pox io 18 124 0.56 3.86 0.047 12.7

A lu m in io 45 310 10.0 69 0.100 27.1

T itan io 170 1170 16.5 114 0.160 43.4

M ate ria les de re lleno:

V idrios 600 4140 12.5 86.2 0.09 24.4

C arb o n o -P A N 470 3240 33.5 231 0.064 17.4C arb o n o -P A N 820 5650 40 276 0.065 17.7

(a lta resistencia)

C arbono 325 2200 100 690 0.078 21.2(m ó d u lo alto)

A ram ida 500 3450 19.0 131 0.052 14.1

M a te ria le s c o m p u e s to s 7 7

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E je m p lo C a lc u le l a s p r o p ie d a d e s e s p e r a d a s d e r e s i s t e n c ia a la te n s ió n ú ltim a , m ó d u lo d e e la s t i -

2 - 1 c id a d y p e s o e s p e c í f i c o d e u n m a te r ia l c o m p u e s to h e c h o de f ib ra s u n id i r e c c io n a le s d e

c a r b o n o - P A N e n u n a m a tr iz e p ó x ic a . L a f ra c c ió n d e v o lu m e n d e l a s f ib ra s e s d e 3 0 % .

U tilice lo s d a t o s d e la ta b la 2 - 8 .

S o lu c ió n O b je tiv o

D a to s

C a lc u la r lo s v a l o r e s e s p e r a d o s d e suc, E c y yc p a r a e l m a te r ia l c o m

p u e s to .

M a tr iz - e p o x ío : s um= 18 ksi; E m = 0 . 5 6 x 1 0 6 p s i; /,„ = 0 .0 4 7 lb /p lg 3

F ib ra d e c a r b o n o P A N ; sUf= 4 7 0 k si; E f = 3 3 .5 x 1 0 6 p s i: yf = 0 .0 6 4 lb /p lg .

F ra c c ió n d e v o lu m e n d e la fib ra , Vf = 0.30. Y , Vm= 1 .0 — 0 .3 0 = 0 .7 0 .

A n á lis is y re s u lta d o sL a r e s i s t e n c ia ú ltim a a la te n s ió n , suc, c a lc u l a d a c o n la e c u a c ió n ( 2 - 5 ):

Suo= s ul W + a m

P a r a o b t e n e r a m p r im e ro d e b e m o s o b t e n e r la d e f o rm a c ió n a la q u e s e

f r a c tu r a r ía n l a s f ib ra s a su f. S u p o n g a m o s q u e l a s f ib r a s s o n l in e a lm e n te

e l á s t i c a s a la f ra c tu ra . E n to n c e s :

Ef = Su, l E , = ( 4 7 0 x 10 3 p s ¡ ) /(3 3 .5 x 1 0 6 p s i) = 0 .0 1 4

A e s t a m is m a d e f o rm a c ió n , e l e s f u e r z o e n la m a tr iz e s :

( j 'm — Em£ — ( 0 .5 6 x 10® p s i ) ( 0 .0 1 4 ) = 7 8 4 0 p s i

L u e g o , e n la e c u a c ió n ( 2 - 5 ):

suc = ( 4 7 0 0 0 0 p s ¡ ) (0 .3 0 ) + ( 7 8 4 0 p s i) (0 .7 0 ) = 1 4 6 5 0 0 p s i

El m ó d u lo d e e la s t ic id a d c a lc u la d o c o n la e c u a c ió n ( 2 - 7):

E c= E fV f + Em Vm = ( 3 3 .5 x 1 0 6) (0 .3 0 ) + (0 .5 6 x 1 0 e) (0 .7 0 )

Ec = 1 0 .4 x 10 6 psí

E l p e s o e s p e c í f i c o c a lc u la d o c o n la e c u a c ió n ( 2 - 9):

n = 7 iv f + YmVm~ ( 0 .0 6 4 ) (0 .3 0 ) + (0 .0 4 7 ) ( 0 .7 0 ) = 0 .0 5 2 lb /p lg 3

R e s u m e n de lo s re s u lta d o s

suc = 1 4 6 5 0 0 p s í

Ec = 1 0 .4 x 1 0 ® p s i

% = 0 .0 5 2 lb /p lg 3

C o m e n ta r io . N ó te s e q u e lo s v a lo r e s d e la s p r o p i e d a d e s r e s u l t a n t e s p a r a e l m a te r ia l

c o m p u e s to s o n v a lo r e s in te r m e d io s e n t r e lo s d e la s f ib r a s y lo s d e la

m a tr iz .

7 8 C a pítu lo 2 ■ P rop ie da d es de d ise ñ o de lo s m a te r ia le s

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B I B L I O G R A F I A

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P R O B L E M A S

2-1. Nombre cuatro tipos de meta I es que comúnmente se usan para miembros de carga.

2- 2. Nombre 11 factores que deben considerarse al seleccionar un material para un producto.

2-3. Defina resistencia última a la tensión.

2- 4. Defina punto de cedencia.

2- 5. Defina resistencia a la cedencia.

2- 6. ¿Cuándo se utiliza la resistencia a la cedencia en vez de punto de cedencia?

2- 7. Defina rigidez.

2-8. ¿Quépropiedad de un material mide su rigidez?

2-9. Enuncie la ley de Hooke.

2-10. ¿Qué propiedad de un material mide su ductilidad?

2-11. ¿Cuándo se clasifica un material como dúctil o frágil?

2-12. Nombre cuatro tipos de acero.

2-13. ¿Qué significa la designación A ISI4130 para un acero?

2-14. ¿Cuáles son la resistencia última, la resistencia a la cedencia y el porcentaje de alargamiento de un acero AISI 1040 laminado en caliente? ¿Se trata de un material dúctil o quebradizo?

2-15. ¿Cuál tiene una mayor ductilidad, el acero AISI 1040 laminado en caliente o el AISI 1020 laminado en caliente?

2-16. ¿Qué significa la designación AISI 1141 OQT 700?

2-17.1 Si la resistencia a la cedencia requerida deun acero es de 150 ksi, ¿podría utilizarse el AISI 1141? ¿Porqué?

2 - 18.M ¿Cuál es el módulo de elasticidad del acero AISI I I41? ¿Del AISI 5160?

2-19.1 Una barra rectangular de acero mide 1.0 plg por4.0 plg por 14.5 plg. ¿Cuál es su peso en libras?

2 - 20.M Una barra circular mide 50 mm de diámetro y 250 mm de longitud. ¿Cuánto pesa en nevvtons?

2-21.M Si se aplica una fuerza de 400 N a una barra de titanio y a una barra idéntica de magnesio ¿cuál se alargaría más?

Prob lem as 7 9

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2 - 22. Mencione cuatro tipos de aceros estructurales y dé el punto de cedencia de cada uno.

2 - 23. ¿Qué significa la designación 6061- T6 para una aleación de aluminio?

2 - 24.1 Haga una lista de la resistencia última, resistencia elástica, módulo de elasticidad de los aluminios, 6 0 6 1 -0 ,6 0 6 1 -T4y6061-T6.

2 - 25. Haga una lista de cinco usos para el bronce.

2-26. Hagaunalistadetrescaracterísticas deseablesdel titanio en comparación con el aluminio y el acero.

2 - 27. Nombre cinco variedades de hierro fundido.

2 - 28. ¿Qué tipo de hierro fundido se considera generalmente como quebradizo?

2 - 29.1 ¿Cuáles son las resistencias últimas a tensión y a compresión del hierro fundido ASTM A48 grado 40?

2 - 30. ¿Cuáles son las diferencias entre el hierro dúctil y el hierro gris?

2-31.1 Haga una lista de los esfuerzos permisibles a flexión, tensión, compresión y a cortante de la madera de abeto Douglas grado 2.

2-32.1 ¿Cuál es el rango normal de resistencias a la compresión del concreto?

2 - 33. Describa la diferencia entre materiales termoplásticos y termoendurecibles.

2 -34 . Nombre tres plásticos adecuados para utilizarse en la fabricación de engranes o levas en dispositivos mecánicos.

2 - 35. Describa el término compuesto.

2 - 36. Nombre cinco tipos básicos de materiales que se utilizan como matriz de materiales compuestos.

2 - 37. Nombre cinco termoplásticos distintos que se utilizan como matrices de materiales compuestos.

2-38. Nombre tres plásticos termoendurecibles distintos que se utilizan como matrices de materiales compuestos.

2-39. Nombre tres metales utilizados como matriz de materiales compuestos.

2-40 . Describa nueve formas que pueden adoptar los materiales de relleno al utilizarse en materiales compuestos.

2 -41 . Discuta las diferencias entre hebras, fibras y tejidos como formas distintas de rellenos para materiales compuestos.

2 - 42. Nombre siete tipos de materiales de relleno utilizados para materiales compuestos.

2-43. Nombre cinco tipos distintos de rellenos de fibra de vidrio utilizados para materiales compuestos y describa las principales características de cada

2 - 44. ¿Cuál de los materiales de relleno más comunes tiene la mayor rigidez?

2-45. ¿Qué materiales de relleno deben considerarse para aplicaciones a alta temperatura?

2 - 46. ¿Cuál es una marca comercial común de las fibras aramídicas?

2-47. Defina la resistencia especifica de un material compuesto.

2 - 48. Defina el módulo especifico de un material compuesto.

2 - 49. Haga una lista de diez ventajas de los materiales compuestos al compararlos con los metales.

2 - 50. Haga una lista de nueve limitaciones de los materiales compuestos.

2-51 . Con los datos de materiales seleccionados en la tabla 2-6, haga una lista de diez materiales, en orden decreciente de resistencia específica. Para cada uno calcule la razón de su resistencia específica y la del acero AISI 1020 HR.

2 - 52. Con los datos de materiales seleccionados en la tabla 2-6, haga una lista de los diez materiales en orden decreciente de módulos específicos. Para cada uno, calcule la razón de su módulo específico y el acero AISI 1020 HR.

2 - 53. Describa un laminado unidireccional y sus características generales de resistencia y rigidez.

2 - 54. Describa un laminado cuasi-isotrópico, y sus características generales de resistencia y rigidez.

2-55. Compare la resistencia específica y características de rigidez que por lo general se esperan de un laminado cuasi-isotrópico con un laminado unidireccional.

2 -56. Describa un compuesto laminado cuya designación sea 0°, + 45°,-45°,-45°, +45°, 0°.

2 - 57. Describa un compuesto laminado cuya designación sea 0°, +30°, +45°, +45°, +30°, 0°.

2 - 58. Defina el término fracción de volumen de fibras para un compuesto.

2 - 59. Defina el término fracción de volumen de matriz para un material compuesto.

2 - 60. Si un compuesto tiene una fracción de volumen de fibras de 0.60, ¿cuál es la fracción de volumen de la matriz?

2 - 61. Escriba la ecuación para la resistencia última esperada de un material compuesto en función de las propiedades de sus materiales de matriz y de relleno.

2 - 62. Escriba las ecuaciones para la regla de mezclas tal como se aplica a un material compuesto unidireccional para el esfuerzo en el compuesto, su módulo de elasticidad, su densidad y su peso específico.

8 0 C a pítu lo 2 ■ P ro p ie da d es d e d ise ñ o d e lo s m a te r ia le s

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2- 63.M Calcule las propiedades de resistencia última, módulo de elasticidad y peso específico que se esperan de un material compuesto hecho de hebras unidireccionales de fibras de carbono-PAN de alta resistencia en una matriz epóxica. La fracción de volumen de las fibras es del 50%. Calcule la resis

tencia y la rigidez especificas. Utilice datos de la tabla 2-8.

2 - 64.M Repita el problema 2-63 con fibras de carbono de módulo elevado.

2 - 65.M Repita el problema 2-63 con fibras aramídicas.

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D iseño de e lem en tos

e s tru c tu ra le s so m e tid o s a e s fu e rzo d irec to


En el capítulo 1 se presentó el concepto de esfuerzo directo junto con ejem plos de cálculos de esfuerzo de tensión directo, esfuerzo de com presión directo, esfuerzo cortante directo y esfuerzo de apoyo. Se enfatizó la com prensión de los fenóm enos, unidades y term inologías básicos, y la magnitud de los esfuerzos que aparecen en aplicaciones estructurales y mecánicas típicas. Nada se mencionó acerca de la aceptabilidad de los niveles de esfuerzo que se calcularon ni acerca del diseño de m iem bros que deben soportar

una carga dada.Eli este capítulo pondremos énfasis en el diseño, pues usted, lector, como diseña

dor, deberá lom ar decisiones en cuanto a si determ inado diseño propuesto es satisfactorio, cuál es la forma y tamaño de la sección transversal de un m iem bro que soporta carga,

y de qué material debe estar hecho este miembro.Después de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. D escribir las condiciones que deben satisfacerse para aplicar de manera adecuada las fórmulas de es fuerzo di recto.

2. Definir el esfuerzo de diseño y saber cóm o determ inar un valor aceptable para

éste,

3. Definir el factor de diseño y seleccionar valores convenientes para éste según las condiciones presentes en un diseño en particular.

4. Discutir la relación entre los términos esfuerzo dediseño, esfuerzo permisible

y esfuerzo de trabajo.

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5. Discutir la relación entre los térm inosfactor de diserio, factor de seguridad y margen de seguridad,

6. Describir los 11 factores que afectan la especificación del factorde diseño.

7. D escribirdiversostiposdc cargas experim entadas por estructuras o miembros de máquinas, en las que se incluya caiga estática, carga repetida, impacto y golpe.

8. Diseñar miembros sujetos a esfuerzos de tensión directos, esfuerzos de compresión directos, esfuerzo cortante directo y esfuerzo de apoyo.

9. Determinar cuándo existen concentraciones de esfuerzo y especificar valores convenientes para factores de concentración de esfuerzo.

10. Utilizar factores de concentración de esfuerzo en el diseño.

3 - 2 D IS E Ñ O D E M IE M B R O S B A J O T E N S IÓ N O C O M P R E S IÓ N D IR E C T A

En el capítulo 1 sedesarrolló la fórmula para el es fuerzo directo y se formuló de la manera siguiente:

F

A(3 -1 )

en donde a = esfuerzo normal directo: tensión o compresión F = directa

A = área de la sección transversal de un miembro sometido a F

Para que la ecuación 3-1 sea válida deben satisfacerse las siguientes condiciones:

1. El miembro con carga debe ser recto.

2. El miembro con carga debe tener una sección transversal uniform e a lo largo en toda la longitud que se considera.

3. El m aten al del que está hecho el m iembro debe ser homogéneo.

4. La carga debe aplicarse a lo largo del eje centroidal del miembro de modo que no haya tendencia a que éstese flexíonc.

5. Los miembros a compresión deben ser cortos para que no se pandeen (véase el capitulo 14 para el análisis especial que se requiere para miembros largos y esbeltos sometidos a esfuerzos de compresión, y para el método que se utiliza para decidir cuándo debe un miembro considerarse largo o corto).

Es im portante observar que el concepto de esfuerzo se refiere a la resistencia interna opuesta por un área unitaria, es decir, un área i nfinitamente pequeña. Consideramos al esfuerzo como si actuara sobre un punto y, en general, puede variar de punto a punto en un cuerpo en particular. La ecuación 3-1 indica que para un miembro sometido a tensióno com presión axial directa, el esfuerzo es uniform e a través de toda el área si sesatisfacen las cinco condiciones. En muchas aplicacioncs prácticas, las variaciones menores que pueden ocurrir en los niveles locales de esfuerzo se toman en cuenta al seleccionar con cuidado el esfuerzo permisible, como se discutirá más adel ante.

Sección 3 - 2 • D ise no de m iem bro s ba jo te n s ió n o com pres ión d irec ta 8 3

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3 - 3 E S F U E R Z O S N O R M A L E S D E D IS E Ñ O

Un m iem bro de carga falla cuando se rom pe o deform a en exceso, lo que hace que éste sea inaceptable para el uso que se pretende. Por consiguiente, es esencial que el nivel de esfuerzo que se aplica nunca exceda a la resistencia a la tensión últim a o a la resistencia a la cedencia del material. En capítulos posteriores se discutirá ladefo im aciónexcesivasin cedencia,

E l esfuerzo de diseño es aquel n i veI de esfuerzo que puede desarrollarse en un material, al tiempo que se asegura que el miembro que soporta la carga sea seguro.

Para calcular el esfuerzo de diseño, deben especificarse dos factores: el factor de diseño

N y la propiedad del materia! en la que se basará el diseño. Por lo general, en el caso de metales, el esfuerzo de diseño se basa en la resistencia a la ccdcnci a s , o en la resistencia última.?,, del material.

E l fac to r de diseño N es el número entre el que se divide la resistencia registrada del material para obtener el esfuerzo de d iseño cr¿.

Pueden utilizarse las siguientes ecuaciones para calcular el esfuerzo de diseño para un cierto valor de N:

OE sfu e rza

d e d is e ñ o

M argen do seguridad

o:

Oj - -f- basada en la rcsistcnci a a I a cedenciaJV

0¡r = t ; basado en la resistencia última JV

(3 -2 )

(3 -3 )

N orm alm ente el diseñadores quien determina, por medí o de su criterio y experiencia, el valor del factor de diseño. En algunos casos, son los códigos, normas o políticas de la com pañía los que especifican los factores de diseño o los esfuerzos de diseño que se utilizarán. Cuando es el diseñador quien debe determ inar el factor de diseño, su ju ic io debe basarse en una com prensión de cómo pueden fracturarse las partes, y los factores que afectan el factor de di seño. Las secciones 3 - 4 ,3 - 5 y 3 - 6 dan inform ación adicional acerca del factor de diseño y acerca de la elección de métodos para calcular los esfuerzos de diseño.

Otras referenc ias uti lizan el térm ino factor de seguridad en lugar de fac tor de diseño. Además, puede utilizarse esfuerzo permisible o esfuerzo de trabajo en lugar de esfuerzo de diseño. La elección de los términos que se utilizan en este texto se hizo para enfatizar el papel del diseñador al especi ficar el esfuerzo de diseño.

En teoría, un material puede someterse a un esfuerzo de hasta sy antes de que ceda. Esta condición corresponde a un valor del factor de diseño de / / = 1 en 1 a ecuación 3 - 2. Asimismo, con un factor de diseño de N= 1 en la ecuación 3 - 3 , el material estaría apunto de una fractura definitiva. Por consiguiente, N = 1 es el valor m ínim o que podem os considerar.

U n enfoque distinto para evaluarlaaceptabilidad de un diseño dado.y que seutiliza de m anera especial en la industria aeroespacial, es el margen de seguridad,y se define de la forma sig u ien te :

margen de seguridad =resistencia a la cedencia

esfuerzo máximoLO (3 -4 )

84 C a p itu lo 3 ■ D iseño de e lem e n tos es tru c tu ra le s so m e tid o s a es fu e rz o d ire c to

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cuando e l d iseño se basa en la cedencia del m a te ria l. C uan do se basa en la resistencia

ú ltim a , el m argen de seguridad es:

„ _ , _ , resistencia ú ltim a , „m argen de segundad = — - ----------- — ---------1.0 ( 3- 5)

esfuerzo máximo

Entonces, el m ín im o m argen de seguridad fac tib le es 0 .0 .

E n este lib ro se u tilizará n los conceptos de esfuerzo de diseño y factores d e diseño

en contraposición con m argen de seguridad.

3 - 4 F A C T O R D E D IS E Ñ O

E n la especificación del fac tor de diseño in terv ienen m uchos aspectos d istin tos del p ro

b lem a ded iseñ o . E n algunos casos se desconocen las cond iciones precisas de serv ic io . E l

diseñador debe entonces hacer estim aciones conservadoras de las cond ic iones, es decir,

estim aciones que hagan que el diseño resu ltan te quede del lado seguro cuando se consi

deran todas las variac iones posib les. L a e lección fin a l de un fac to r de diseño depende de

las 11 condiciones siguientes:

C ó d ig o s y n o rm a s . Si e l m iem broque se diseña cae bajo la ju risdicc ión de un c ód ig o o

norma existente, es obvio que debe elegirse un factor de diseño o esfuerzo de diseño que

satisfaga esle código o norma. A lgunos ejem plos de instituciones que im ponen norm as son:

A m e ric a n Institu te o f S teel C o nstn iction (A IS C ) (In s titu to Estadounidense de la

C onstrucción con A c ero ): ed ific io s, puentes y estructuras s im ilares que u tiliza n

acero.

A liu n itiu m A ssociation ( A A ) (A s oc ia ció n del A lu m in io ): e d ific io s, puentes y es

tructuras s im ilares que u tiliza n a lu m in io .

A m e ric a n S o ciety o f M c c ha n ic al E ng ineers ( A S M E ) (S o cied ad E stadounidense

de Ingen ieros M ecán icos ): ca lentadores, recip ientes a pres ión y flechas.

Reglam entos estatales de construcción: ed ific ios, puentes y estructuras sim ilares

que afectan la seguridad púb lica .

D epartam ento de D e fensa de Estados U n idos ; N o rm as M ilita re s : estructuras de

veh ícu los aeroespaciales y otros productos de uso m ilita r.

A m e ric a n N a tio n a l Standards Institu te ( A N S I) ( In s titu to N a cio n a l E stadouniden

se de N o rm as ): una gran va rie d ad de productos.

A m e ric a n G e a r M an ufacturera A ssociation ( A G M A ) (A s oc ia ció n Estadouniden

se de Fabricantes de E ngranes): en g ra n e s y sistem as de engranes.

Es responsab ilidad del d iseñador determ ina r qué norm as o reglam entos, de haber

los, se ap lican al m iem bro que se diseña, y aseg u ra rq u e e l diseño satisfaga estas norm as.

C r ite r io d e la re s is te n c ia d e l m a te r ia l . La m a yo ría de los diseños que u til iza n

m etal es se basan en la resistencia a la cedencia, la re s istenc iaú ltim a , o am bas, c o m o y a se

exp licó . Esto se debe a que la m a y o ría de las teorías de la fractura de los m etales m uestran

una estrecha re lación entre el esfuerzo durante la fa lla y las propiedades de estos m a te ria

les. A dem ás, estas propiedades casi s iem pre se reportan para m ateria les que s e u tiliz a n en

diseño de ing en iería . E l v a lo r del fac to r de d iseño será d istin to , según la res istencia del

m ateria l que se u til ic e co m o crite rio para e l d iseño, com o se dem ostrará m ás adelante.

S ecc ión 3 - 4 ■ F a c to r d e d is e ñ o • 8 5

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T ip o d e m a te r ia l . U na consideración im portante respecto al tipo de m ateria l es su

d uctilidad . Los m odos de fractura de m ateria les quebradizos son m uy distin tos a los de

m ateria les dúctiles , Puesto que los m ateria les quebradizos com o el h ie rro co lado no pre

sentan cedencia , los diseños se basan siem pre en la resistencia ú lt im a . P or lo general se

considera que un m eta l es quebrad izo si su porcentaje de a la rgam iento en una lon g itud de

ca lib ra c ió n de 2 p lg es m e no r al 5 % . E xc ep to para a leacio nes a lta m e n te endurecidas,

de hecho todos los aceros son dúctiles. E l a lu m in io es d úc til, excepto en e l caso de fu nd i

ciones. O íros factores en re lación con el m ateria l que pueden a fe c ta rla resistencia de una

pieza son su u n ifo rm id ad y la confianza en las propiedades establecidas.

F o rm a d e c a rg a . Pueden identificarse tres tipos principales de carga. U n a ca rg a

e s tá tica es aq uella que se aplica lenta y gradualm ente a una p ieza y que perm anece ap li

cada o , p o r lo m enos, se aplica y e lim in a con poca frecuencia duran te la v ida diseñada de

la p ieza. Las c a rg a s re p e lid a s son aquellas que se apli can y retiran varios m iles de veces

durante la v id a diseñada de la p ieza. B ajo cargas repetidas, una p ieza se fractura p o r el

m ecanism o de fatiga a un n ive l de esfuerzo m ucho m eno r que e l que pod ría causar frac

tu ra bajo una carga estática. Esto requ iere el uso de un factor de diseño más e le vado para

cargas repetidas que para cargas estáticas. Las piezas sujetas a im p a c to a g o lp e requieren

el uso de un factor de diseño m uy elevado por dos razones. P rim ero , una carga que se

ap lic a de repente causa esfuerzos en la p ieza que son varias veces m ayores que aquellos

que podrían ca lcu larse m ediante fórm ulas convencionales. Segundo, b ajo carga de im

pacto, se requ iere que e l m ateria l de la p ieza absorba energía del cuerpo de im pacto.

Tam b ié n debe considerante la certidum bre con la que el d iseñador conoce la m agnitud de

las cargas esperadas al espcci ficar e l factor de diseño.

P o s ib le m a l u s o d e la p ie z a . E n la m ayoría de los casos, el d iseñador 110 tiene con

trol sobre las cond iciones reales de uso del p roducto que diseña. Leg alm e ntc , es respon

sab ilidad del d iseñador considerar cualqu ier uso o m a l uso del p roducto razonab lem ente

predecib le , y g ara ntizar la seguridad del producto. D e b e considerarse la posib ilidad de

una sobrecarga accidental sobre cualquier p ieza de un producto.

C o m p le jid a d d e l a n á lis is d e e s fu e rz o . C o n fó rm e s e hace m ás co m ple ja la fo rm a

de carga o la geo m e tría de una estructura o una p ieza, e l d iseñador tiene m enos p o s ib ili

dades de re a liza r un análisis preciso de las condiciones de esfuerzo . P o r consiguiente, la

co nfian za en los resultados de los cá lcu los del análisis de esfuerzo afectan la e lección de

un factor de diseño.

M e d io a m b ie n te . Los m a te ria le s s e c o m p o rta n d e fo rm a d ife re n le e n d is tin ta s c o n d i-

cioncs del m edio am biente. Deben considerarse los efectos de la tem peratura , hum edad,

rad ia c ió n , c lim a , luz solar y atm ósferas corrosivas sobre el m a ter ia l durante la v ida de

diseño de la pieza.

E fe c to d e l ta m a ñ o , a l q u e a v e c e s s e le lla m a e fe c to d e m a s a . Los m etales

presentan distintas resistencias conform e varía e l área de la sección transversal de una

pieza. L a m ayoría de los datos de propiedades de los m ateria les se obtienen u tilizand o

m uestras estándar aproxim adam ente de 12 .5 m m de d iám etro . Las p iezas con secciones

m ás grandes por lo general tienen resistencias m enores. P iezas de tam años m ás re duc i

dos, com o por e je m p lo a lam bre estirado, tienen resistencias m ucho m ás e levadas. E n la

tab la 3 -1 se m uestra un e jem plo del efecto de tam año.

C o n t r o l d e c a lid a d . C uanto m ás cuidadoso y com pleto sea un program a de control

de ca lidad , m e jor sabe el diseñador la fo rm a en que funcionará un producto al estar en

serv ic io . C on un defic ien te contro l de calidad , debe u tilizars e un factor de diseño más

elevado,

C a p itu lo 3 ■ D ise ño de e lem en tos e s tru c tu ra le s so m e tid o s a es fu e rz o d irec to

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TA BLA 3 -1 E fcdo del tamaño en el Accra AISI 4140 O Q T 1100

T am añ o de

La p robeta

Resistencia

a la t ensión

Resiste n cia

a la ced en ciaPorcen taje de

alarg am ien to

en 2 ¡>lj¡p lu m m ksi M Pa k si M Pa

0.511 12.5 15» 1039 14? 1027 lg

1.00 25.4 140 Dfi5 l i í 931 20

2.00 Í 0.H 128 103 71U 22

4.00 LUL-ft 1 17 807 8T (if f ll 22

R ie s g o s q u e s e p re s e n ta n p o r u n a fa l la . E l d iseñador debe considera r las con

secuencias de una fa lla en una p ie za en p articu lar . ¿P odría o c u rr ir un co lapso catastrófi

co? ¿Q uedarían las personas expuestas al pe lig ro? ¿Q ué o tro equ ipo q ue da ría dañado?

C onsideraciones de este tipo pod rían ju s tif ic a r el uso d e un fac to r d e d iseño más e levado

de lo norm al.

C o s to . Con frecuencia deben hacerse com prom isos en el d iseño con e l interés de l im i

tar e l costo a un v a lo r razonab le en condiciones norm ales de m erc ado . D e sde luego , si

ex iste p elig ro de daños a v idas o propiedades, no deben hacerse com prom iso s que po

drían afectar seriam ente la seguridad del p roducto o la estructura.

C R IT E R IO S E N L A D E T E R M IN A C IÓ N D E L F A C T O R D E D IS E Ñ O

Para d ete rm ina r un fac tor de d iseño, deben aplicarse la experie n cia en e l d iseño y el

co noc im ien to de las condiciones anterio res. L a tab la 3 - 2 in c lu y e c r ite r io s q u e se u tiliz a

rán en este tex to para se leccionar factores de d iseño. Éstos deben considerarse com o

va lores pro m edio . Las condiciones especiales o la inc crtid um bre acerca de estas cond i

ciones pueden ju s ti fic a r e l uso de otros va lores.

E l fac to rd e diseño se u til iz a para d ete rm ina r el es fu e rzo d e d is e ñ o c o m o se m uestra

en la s e c u a c io n e s 3 -2 y 3 -3 .

S i e l es fuerzo sobre una parte y a se conoce y sedesea e le g ir un m ateria l p ro p io para

u na ap licación particu lar, se considera que el es fuerzo que se ca lc u ló es e l esfuerzo de

diseño. L a cedencia requerida o resistencia ú ltim a se obtiene a p a rtir de:

sy = N ■ <?j (W con base en la resistencia a la cedencia)

o:

s „ = N - <Jj (JV conb aseen la resistencia ú lt im a )

T A B L A 3 - 2 Criterios para esfuerzo de diseño; esfuerzos

normales directos

Forma Material Material

de dúctil i|uL-bf jd iiú

Estática <Jj - S ,/2 V i - í„/G

Repetida CTJ - ¿ j / s ÍTd = Í ./1 0

D e impacto o de choque CTjt = s r{ 12 a s = j„/L5

e n la d e te rm in a c ió n de l fa c to r de d ise ñ o 8 7

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3 - 6 M É T O D O S P A R A C A L C U L A R E L E S F U E R Z O D E D IS E Ñ O

C o m o se m encionó en la sección 3 - 3 , un im p ortante factor que d ebe considerarse al

ca lc u la r el esfuerzo de diseño es la fo rm a en que una p ie za puede fa lla r a l verse som etida

a cargas. E n esta sección, se consideran los m odos de fa lla correspondientes a piezas

som etidas a cargas de tensión y com presión. M á s adelante se d is cutirán otras clases de

carga.

L o s m odos de fa lla y los consigu ientes m étodos para c a lc u la r esfuerzos de diseño

pueden c las ificarse según el tipo d e m a te ria l y la fo rm a de carga. L o s m a te ria le s dúctiles ,

que tienen m ás del 5 % de a la rgam iento , presentan m odos de fa lla ligeram ente d istin tos a

los de los m ateria les quebrad izos. Las cargas estáticas, cargas repetidas y cargas de c h o

que producen m odos d istin tos de fa lla .

M a te r ia le s d ú c t ile s b a jo c a rg a s e s tá t ic a s . Los m ateria les dúc tiles sufrirán

grandes deform aciones plásticas cuando e l esfuerzo llegue a la res istencia a la cedencia

de l m a te ria l. E n la m a yo ría de las condiciones de uso, esto h a ría que la p ie za quedara

inserv ib le para su uso. Por consigu iente, para m ateria les dúctiles som etidos a cargas

estáticas, e l esfuerzo de diseño genera lm ente se basa en la resistencia a la cedencia . Es

decir:

C o m o se ind ica en la tab la 3 - 2 , un factor de diseño de Af= 2 sería un a e le cción razo n ab le

en cond ic iones prom edio .

M a te r ia le s d ú c t ile s b a jo c a rg a s re p e t id a s . B a jocargas repetidas, los m ateria les

dúctiles fa llan p o r un m ecan ism o al que se le W^ratí fa t ig a . E l n iv e l de esfuerzo a l que

ocurre la fa tig a es m eno r que la resistencia a la cedencia. A l p ro b a ra los m ateria les bajo

cargas repetidas, puede m edi rsc e l esfuerzo al que ocurre la fa lla . S e u tiliz a n los térm inos

re s is te n c ia d e fa t ig a o l im ite d e fa t ig a para denotar el n iv e l de esfuerzo . Sin em bargo , con

frecuencia los va lores de resistencia de la fa tiga no están d ispon ib les . A d em ás , factores

co m o e l acabado de una su perfic ie , el patrón preciso d e carga y e l tam año de una p ie za

tam bién ejercen un m arcado efecto en la resistencia a la fatiga real. P ara superar estas

dificu ltad es , con frecuencia es conveniente u til iz a r un a lto v a lo r pa ra e l fac tor de diseño

al ca lcu lar e l es fuerzo de diseño para una p ie za sujeta a cargas repetidas. T a m b ié n se

reco m ien da que se u tilice la resistencia ú ltim a com o base para e l esfuerzo d e d iseño,

porque las pruebas dem uestran que h ay una buena corre lac ión entre la res istencia a la

fa tiga y la resistencia ú ltim a . P or consigu iente, para m ateria les dúctiles som etidos a car

gas repetidas, el esfuerzo de diseño puede calcu larsea p artir de:

E n cond ic iones prom edio , seria razona b le un factor de diseño d e N - 8. A d em ás , las

c o n ce ntra d ones de esfuerzo , que se exponen en la sección 3 - 9 , deben tom arse en cuenta

puesto que las fa llas por fatiga con frecuencia se orig in an en puntos de concentración de

esfuerzo .

8 8 C a p ítu lo s ■ D isa no de e lem e n tos es truc tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to

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C u ando se cuenta con datos para e l lim ite de fa tiga de un m a te ria l, e l esfuerzo de

diseño puede calcularse de:

en donde es el s ím bolo para resistencia a la fa tiga . V é a se referenc ia 6.

M a te r ia le s d ú c t ile s b a jo c a rg a s d e im p a c to o c h o q u e . L os m odos de fa lla de

piezas sujetas a cargas de im pacto o choque son en extrem o com ple jos. Dependen d e la

capac id ad del m a te ria l de absorbe r e n e rg ía y de la f le x ib i l id a d de la p ie za . D e b id o a

la incapacidadgencra l de los diseñadores para re a liza ra n á lis is precisos de esfuerzos bajo

cargas de choque, se recom iendan factores ded is eñ o grandes. En este lib ro u tilizarem os:

con N - 12 para m ateria les dúctiles sujetos a cargas de im p ac to o choque.

M a te r ia le s q u e b ra d iz o s . Puesto que los m ateria les quebradizos no presentan ce

dencia , el esfuerzo de diseño debe basarse en la resistencia ú ltim a . Es d e c ir

con W - 6 para cargas estáticas, N = 10 para cargas repetidas, y N = 15 para cargas de

im pacto o choque.

E s fu e rz o s d e d is e ñ o d e c ó d ig o s s e le c to s . L a tab la 3 - 3 resum e las especifica

ciones para esfuerzos de diseño defin idos por el A m eric an In s t itu lc o f Steel C onstn iction

( A IS C ) para acero estructural, y por la A lu m in u m A ssociation para aleaciones de a lu m i

n io . Estos datos se refieren a m iem bros cargados a tensión bajo cargas estáticas com o las

que aparecen en estructuras de ed ific ios. V éanse las referencias I y 2 para una discusión

m ás de ta llada de estas especificaciones.

TA BL A 3 - 3 Diseño por es fuerzo de reglamen los seleccionados;

esfuerzos normales directos; cargas estáticas en cstmctuias de construcción,

Acero estructural (AISC):

Círf - V 1 67 = 0 /stí O - J41 /2-OÜ = 0.50 su

el que sea menor

Aluminio (Aluminum Associalion):

- £ ,7 1 .6 5 = 0,61 Sy o d¿ = j j /1 .9 5 - 0.51 j (r

el que sea menor

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E jem p lo

3 -1

Un soporte estructural de una máquina se verá sometido a una carga de tensión estática

de 16.0 kN. S e planea fabricar una varilla cuadrada de acero A IS 1 1020 lam inado en

caliente. Especifique las dimensiones propias para la secdón transversal de la varilla.

S o luc ión O b je tiv o Especificar las dimensiones de la sección transversal de la varillá

D atos i s 16 .0 kN = 1 6 0 0 0 N d e c a rg a estálica.Material; A IS 11020 HR; sr = 207 M Pa; 25% de a largam iento (dúctil).

(D alos tomados del apéndice A -1 3 .)

A n á lis is S ea a = ¡7tí = syl2 (tabla 3 - 2 ; material dúctil, carga estática).

Análisis del esfuerzo: a = F ! A \ entonces, el área requerida = A = F /a a.

Pero A = a 2 (a = longilud de un lado del cuadrado).M ínim a dimensión permisible a = -JA.

R e sulta dos <?<,= S ,I2 = 207 M P a/2 = 103.5 M P a = 103.5 N /m m 2.

Área reauerida; A - F / o ^ - (1 6 0 0 0 NV( 1 0 3 .5 N /m m 2] = 154.6 m m 2. Dimensión a m ínima: a = •¿A = V 154.6 m m ' = 1 2 .4 m m .

Especificación: a = 14 mm (apéndice A -2 ; tam año preferido).

E jem p lo

3 -2

Un miembro de una arm adura de techo para un edificio debe soportar una carga de

tensión axia I estática de 19 30 0 Ib. S e propone el uso de un ángulo de acero estructural

estándar de aletas iguales para esta aplicación utilizando acero estructural A S T M A 36.

Utilice el código A IS C . Consú ltese el apénd ice A -5 para especificar un ángulo a d e

cuado.

S o lu c ió n O bjetivo Especificar un ángulo de acero estándar de aletas iguales.

D atos F = 19800 Ib de carga estática.

Material: A S TM A35; sy= 36000 psi; $u = 5 8 0 0 0 psi.

(D alos del apéndice A -1 5 .)

A nális is S e a a = (7t(= 0 .6 0 s yoarf = 0 .50 s„(tabla 3 -3 ) .Análisis del esfuerzo: tr= F/A ; entonces el área requerida = A = F /o^

R esu ltado s 00 = 0 .6 0 Sy = 0 .6 0 (36 000 psi) = 21600 psi

o o „ = 0 .50 su = 0 ,50 (580 00 psi) = 29 00 0 psi Úsese el valor mínimo; o d = 2 1 6 0 0 psi.

Área requerida: A = F lo a = ( 19800 lt>)/(21600 lb/plg2) = 0 .9 1 7 plg2

Ésta es el área mínima permisible.Especificación: ángulo de acero L2 x 2 x 1/4 (apéndice A -5 ; perfil más

ligero).

A = 0 .9 38 plg2; peso = 3 .1 9 Ib/pie.

E jem p lo Un elem ento de una máquina em pacadora se som ete a una carga d e tensión de 36 .6 kN

3—3 que se repetirá varios miles de veces du ranle la vida de la m áquina. La sección transversal del elem ento es de 12 mm de espesor y 20 mm de ancho. Especifique un material

adecuado para hacer el elem ento.

9 0 C a p itu lo 3 ■ D ise ño d e e le m e n to s e s tru c tu ra l es s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to

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S olu c ió n O bjetivo

D atos

A ná lis is

Especificar la carga de compresión axial permisible sobre el soporte.

M aterial; H ierro co lado gris, g rado 20; s „= 80 ksi a com presión (tabla A -1 6); el material es quebradizo. Supongam os que la carga es estática.

La forma del soporte es la que aparece en la figura 3 - 1 . El miembro es

corto, as í que no hay pandeo.

Análisis del esfuerzo: a - F/A , área calculada con la figura 3—1.

S ea a = <rd= s J N i utilice W = 6 (tabla 3 -2 ) .Entonces, la fuerza permisible es F = a JA .

E jem p lo

3 -5

R e sulta d os £7,*=s^ 6 = 80 000 psi/6 = 13 3 00 psi.La sección transversal del soporte es igual a la vista desde arriba. El

área neta puede calcularse tomando el área de un rectángulo de 3 .00

plg por 4 .00 plg, y restando el área de la m uesca y los cuatro vértices

redondeados.

Rectángulo;A R = (3,00 p1gK4.00 plg) = 12.00 plg2

Muesca; A s = (0 .7 5)(1 .2 5 ) + Jr^°'75 '1 = 1 .3 8 plg14

E lá re a de cada redondeo puede calcularse m ediante ladiferencia entre

el área d e un cuadrado con lados ¡guales al radio del vértice (0 .50 plg) y

un cuarto de círculo del mismo radio. Entonces:

n 1 -ñVértice redorxteado: AF = r * — )

4

A f = (0 .5 0 )2 - ^ t« - (0 .5 0 )2) = 0 .0 5 3 7 p lg2 4

Entonces el área total es:

A = a r - A s - 4Af = 12 . 0 0 - 1.38 -4 (0 .0 5 3 7 ) = 10.41 plg2

Ahora leñem os los datos necesarios para calcular la carga permisible.

P = A f fa= (10.41 p l g ^ l3 300 Ib/plg2) = 138 500 Ib

Esto completa el ejem plo.

La figura 3 -2 muestra una pieza de un equ ipode fabricación al que se le llama prensa de

m arco-C que se utiliza para troquelar productos de lámina metálica. El m artinete se

impulsa hacia abajo con gran fuerza, cerrando los troqueles y form ando la pieza. La

acción de troquelado hace que el extrem o abierto d e la p rensa tienda a expand irse, una acción indeseable, si la deformación es excesiva. Para ayudar a limitar la expansión, se

instalan varillas a Iravés de la abertura del marco-C y se aseguran con una carga de

tensión muy alta. Durante la operación de troquelados se aplica una fuerza de tensión m áxima de 4 0 000 Ib a los rodillos con choque moderado. Especifique un material ade

cuado para las varillas, y calcule el diámetro requerido.

S o luc ión O bjetivo

D atos

9 2

Especificar un material para las varillas y el diámetro requerido,

F = 40 000 Ib de tensión; choque m oderadoy repetido en cada ciclo de la

prensa.

C a p itu lo 3 ■ D ise ño de e le m e n to s es tru c tu ra le s so m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to

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3 - 7 D IS E Ñ O P O R E S F U E R Z O C O R T A N T E

C u ando se som clcn m iem bros a esfuerzos cortantes, e l diseño debe basarse en e l d is e ñ o

p o r e s fu e r z o c o r la n te , Td.

O D iseñ o por

es fu e rzo co rta n te

rd = ~ 7 con bascen la res istencias la cedencia a cortante N

( 3 - G )

O

Resistencia a la cedencia a cortante .

L a re s is te n c ia a la c ed en c ia a c o rta n te , s ,,, es e l n iv e l de es fue rzo c o r ta n te a l

q u e e l m a te r ia l p re s e n ta r ía e lfe n ó m e n o de cedenc ia . E s d e c ir , s u f r i r í a u n a

s ig n if ic a t iv a c a n tid a d de d e fo rm a c ió n p o r c o rta n te , c o n p o c o o n in g ú n

a u m e n to en lu c a rg a t ip o c o r ta n te a p lic a d a .

D e hecho todos los diseños de m iem bros som etidos a cortante requ ieren que el esfuerzo

cortante real esté m u y por debajo del v a lo r de com o lo ind ic a la ecuación 3 -6 . L a

selección de factores de diseño se hace en la tabla 3 -4 . Consúltese tam bién la sección 3—4

para otras consideraciones en la se lección de un fac tor de d iseño. Las cond ic iones que

son m ás severas que las que aparecen norm alm ente o donde hay una s ig n ific a tiv a canti

dad de inc ertid tim bre acerca de la cantidad de la m agnitud de cargas o propiedades m a te

ria les , ju s tif ic a ría n factores de diseño más elevados.

D esde luego , si los va lores de la resistencia a la cedencia a cortantes están d ispon i

bles, pueden u tilizars e en las ecuaciones de esfuerzo de d iseño. Pero, p o r desgracia, con

frecuencia no se reportan estos va lores y es necesario basarse en estim aciones. Para la

resistencia a la cedencia a cortante, una estim ación que con frecuencia se ú til iza es:

E stim ac ió n de la

res is ten cia a la

ce de nc ¡a a cortan te

0.5.1, ( 3 - 7 )

Este v a lo r p ro vie ne de la observación de un a prueba de tensión típ ica en donde el esfuerzo

cortante es la m itad del esfuerzo de tensión d irecto. Este fenóm eno, re lacionado con la

te o r ía d e f a l la d e l es fuerzo c o rta n te m áx im o , es algo conser vador y se d isculi rá posterio r

m ente en el cap ítu lo 10 .

Resistencia ú ltim a a cortante .

L a re s is te n c ia ú lt im a a c o rta n te , s„„ es e l n iv e l de es fue rzo c o r ta n te a l q u e e l

m a fe r ia l s e fra c tu ra .

H a y a lgunas aplicaciones prácticas del esfuerzo cortante cuando se re q u ie re la fractura

del m iem bro som etido a cortante y , po r consigu iente, se necesita una estim ación de sur

E ntre los e jem plos se inc luye e l p e rn o c o rta b le u tiliza d o com o e lem ento en e l tren de

T A B L A J —♦ C r ite r io s de e s fu e rz o d e d i s e ñ o p a ra la

d e te rm in a c ió n d e la tu e rz a co rlan te .

Furnia de eürgíi

Diseño por es til CT 7 .o ; materiales dúctiles

sv íff= sy / 2JV

Estática U se ,V= 2 fj = V 4

Repelida U srW M W 4

Impacto Use V =15 i - V 4

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F1G U H A 3 - 3 Perno d e tran sm is ió n de h é lice d e l e jem p lo 3 - 6.

transm isión de m áquinas con com ponentes costosos. L a figura 3 - 3 m uestra un eje de trans

m is ió n de una hé I ice de un bote, en donde e l p ar de tors ió n d e s d e e le je d e tra n s m is ió n s e

transm ite a través del perno a l cubo d e la hé lic e . E l perno d ebe es ta r d iseñado p ara trans

ir) it iru n n iv e l de p ar de torsión que se encuentra típ ic a m e n te a l m o ve rs e e l bo te en e l agua.

S in em bargo , si la h é lic e se topa con una obstrucción com o un tronco su m e rg id o , sería

d eseab le que e l perno (q ue es poco costoso) fa lla ra en lu g a r d e la h é lic e (q u e es m ás

costosa). V é a s e el e je m p lo 3 - 6.

O tro e je m p lo donde se re qu ie re una es tim ac ió n de la res istencia ú lt im a a cortante

es e l caso de la o peración de p erfo ració n descrita en el c a p ítu lo 1 y q ue se m u es tra en la

fig u ra 1 -5 . E n este caso, se espera que el p un zó n entresaque co m p le ta m e n te la parte

deseada de la h oja de m a te ria l. P or con sigu ien te , los lados cortados de la p ie za deben

som eterse a es fuerzo hasta a lc a n za r la res istencia ú lt im a a cortante .

C u a n d o se conocen los datos d e la res istencia ú lt im a a co rta nte , éstos deben u t il i

zarse. P o r e je m p lo , el apénd ice A —16 d a a lgunos va lores p a ra h ie rro s co lados y e n el

ap éndice A - l 7 aparecen dalos para a leaciones de a lu m in io . P e ro , para las ocasiones en

q ue n o se cuenta con datos pub licados, las estim aciones pueden calcu la rse con las re la

c iones dadas en la tab la 3 - 5 , tom adas de la re fe re n c ia 4 .

M a te r ia le s q u e b r a d iz o s . E l d iseño p o r esfuerzos cortantes p ara m a te ria le s quebra

d izo s debe basarse en la res istencia ú lt im a a c o rta nte puesto q ue no presentan cedencia.

D e b e uti li zarse un factorde diseño más e levado que e l usado para m ateria les dúctiles , porque

los m ateria les con frecue ncia son de estructura m enos consistente . S in em ba rgo , no se

T A B L A 3 - 5 Estimaciones para la resistencia última

acortante.

Fórmula Material

0.65 fU A leaciones de aluminio

*«=<>‘82™ Acero

Hierro maleable y aleac iones de cobre

r „ — I.j Oiu Hierro colado gris

Diseño por esfuerzo cortante 9 5

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cuenta con dalos pub licados para factores de d iseño aceptables. Se recom ienda que se

re a licen pruebas en prototipos reales de m iem bros con cargas cortantes hechos de m a te

ria le s quebrad izos.

E je m p lo La Iig u ra 3 - 3 muestra una hélice de bote montada en unejecon un perno de transmisión

3—6 cilindrico insertado a través del cubo y el eje. El par de torsión requerido para im pulsara

la hélice es de 15 75 Ib-plg, y el diámetro del eje dentro del cubo es de 3 .0 0 plg. Genera l

m ente. el par de torsión es constante y es deseable diseñar un perno que sea seguro en

esta condición. Especifique un material ad ecuadoy el diámetro del perno.

S o lu ció n O b je tiv o Especificar un material y el diámetro del perno.

D a tos Par de torsión = T = 1575 Ib-plg (constante).Diámetro del e je = O = 3 .00 plg.

A ná lis is 1. El perno se sometería a fuerza cortante directa en la superficie de

FIG U R A 3 - 4 Sección transversal a través del cubo de la hélice y el cje.

contacto entre el eje y el interior del cubo, como se muestra en la

figura 3 - 4 . El par de torsión generado por el eje produce dos fuerzas

iguales que actúan perpendicularmente al e je del perno en los lados

opuestos del eje, formando un par. Es decir:

T - F D

Por consiguiente, F - 7 /0 .

2. Es deseable un material con una resistencia de m oderada a e levada

para que el pem o no sea muy grande. Tam bién debe tener buena

ductilidad debido a que es muy probable una leve carga de choque

de ve2 en cuando. Puede elegirse de entre varios materiales.

3. Análisis de esfuerzo: r = FÍA, donde A = nd7!4. Ésta es un área de

sección transversal para el perno.

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C o m e n ta rlo E n comparación con el par de torsión que norm alm ente se aplica, este

valor es muy alio. La razón del par de torsión norm al al requerido para

rom per el perno, es:

R azón = 7 3 5 0 /1 5 7 5 = 4 .6 7

Esto indica que el perno no se rom pería en las condiciones anticipadas. S in em bargo,

posiblem ente sea dem asiado elevado para proteger la hélice. La hélice debe som eterse

a pruebas.

D iseñ o p o r

e s fu e rz o de ap oy o

p a ra e i acero

3 - 8 D IS E Ñ O P O R E S F U E R Z O S D E A P O Y O

E l es fuerzo de ap o yo es un fen ó m en o lo c a liz a d o que se crea cuando dos p iezas d e carga

se ponen en con tacto . L a co n d ic ió n de es fuerzo en re a lid a d es un es fuerzo d e co m p resió n ,

p ero deb ido a la n atu ra leza lo c a liza d a de l es fu e rzo , se u til iz a n esfuerzos perm is ib les

distintos.

A c e ro. S egún e l A fS C , el es fu e rzo de apo yo p e rm is ib le en e l acero en e l caso d e super

fic ies p lanas, o en el caso del área proyectada de pernos en agu jeros perfora dos , ta la d ra

dos o escariados es:

O

ct1bí= 0 . 9 0 í j, ( 3 - 8 )

C u a n d o se u tiliz a n ro d illos o balancines pa ra soportar una v ig a u o tro m ie m b ro d e c a ig a

p a ra p e rm it ir que se expan da, e l esfuerzo de apo yo dep ende de l d iá m e tro d e l ro d il lo o

b a la n c ín , d y de su lo n g itu d , L . E l es fu erzo es in h eren te m en te m u y e le va d o p orqu e la

carg a la soporta una s u p e rfic ie re cta ngu lar re duc id a. E n te o ría , e l contac to en tre la super

f ic ie p la n a y e l ro d il lo es en si una lin ea ; pe ro d e b id o a la e la s tic id a d de lo s m a te r ia le s ,

la superfic ie real es rectangular. E n lugar de especificar un esfuerzo de apo yo perm is ib le, la

norm a A 1 S C p erm ite el cá lcu lo de la carga de apo yo p e rm is ib le , a p a rtir de:

C a rg a d e apoy o

p e rm is ib le para

ro d illo s efe a c e ro

Wh=-s: - 13

20(0.66 dL) ( 3 - 9 )

en donde s„se expresa en ks i, d y L en pulgadas, y Wh en k ip s.

E je m p lo U na viga corta, como la que se m uestra en la figura 3 - 5 , está hecha de una barra de

3 - 8 acero rectangular, de 1 .25 plg de espesor y 4 .5 0 plg de alto. En cada extrem o, la long itud

■ 2.00plg

Dan

j ~ l .2 S p ] g — |—

4.50 plg' I

VLsladc un

ex trem o d e la b arra

98

F IG U R A 3 - S Viga del ejem plo 3 - 8 .

C a p itu lo 3 ■ D is e ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to

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R e sulta d os La carga d e apoyo permisible es;

3 6 - 1 3

2 0( C . 6 6 ) ( 2 .0 0 ) ( 1 .2 5 ) = 1 , 9 0 k i p

Ésta seria la reacción permisible en cada apoyo. La carga total es:

W = 2 W „ = 2 (1 .9 0 kip) = 3 .8 0 kip

C o m e n ta rio s Nótese que ésta es significativamente m enor que la carga permisible

para las superficies del ejem plo 3 - 8 . C iertam ente, el esfuerzo de apoyo

en el rodillo puede limitar la carga que podría soportarse con seguridad.

A lu m in io . L a A lu m in u m A ssociation ( I ) basa los esfiierzos de ap o yo perm is ib le s en

aleaciones de a lu m in io para superficies p la n a s y pernos en la re s is te n c ia a la c ed en c ia de

a poyo .

Oíw( 3 - 1 0 )

Los va lores m ín im os para la resistencia a la cedencia d e apoyo aparecen en la re ferencia

1. P ero m uchas referencias, inc lu idas las tablas de los apénd ices del presente tex to , no

van acom pañadas de estos dalos. U n anális is de los datos m uestra que para la m a y o ría de

las a leaciones de a lu m in io , la resistencia a la cedencia de ap o yo es apro xim ad am e nte

1 .6 0 veces m ás grande que la res iste ncia a la c e d e n c ia a te n s ió n . E n to n c e s , la e c ua

c ió n 3 - 10 puede reform ularse com o

| | | | \ D iseño p o r

esfu erzo de apoyo

para el a lum in io(Jhd-

1 .60.?,

I T TÍí(> 5 í.

U tiliz a re m o s esta fo rm a para el d iseño p o r esfuerzo de apo yo para el a lu m in io , a lo largo

de todo el lib ro .

E jem p lo S e utiliza una barra rectangular como soporte colgante, como se muestra en la figura 3 - 7 .3 - 1 0 Calcule la carga permisible con base en el esfuerzo de apoyo en la conexión con perno

si la barra y la horquilla son de a lu m in io 6 0 6 1 -T 6 . El pem o debe fabricarsede un material m ás resistente.


D ato s

A nális is

Calcular la carga permisible en el soporte colgante.

La carga es como se indica en la figura 3 - 7 . Diámetro del perno = d = 18mm,Espesor del soporte colgante = t ( = 2 5 m m ; ancho = w - 50 mm.

Espesor de cada parte de la horquilla = t2= 12 mm.

Material del soporte y la horquilla: aluminio 6 0 6 1 -T 6 (sy = 145 M P a).

El pem o es más resistente que el soporte y la horquilla.

Para pernos cilindricos en agujeros de ajuste apretado, el esfuerzo de

apoyo se basa ert el área p royectada sometida a esfuerzo de apoyo que se obtiene con el diám etro del pem o multiplicado porla longitud sobre la que se distribuye la carga.

F F o¡,= — = —

A* dL

100 C a p itu lo 3 ■ D ise ño d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a es fu e rz o d ire c to

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T A B L A 3 - 6 E sfb creo s de apoyo p erm isib les en m an ipostería .

Esfuerzo de apoyo permisible

¡vlalcrfel J)Í1

Arena. y piedra cali la

Ladrillo con mortero de cem ento

Concreto: en área lolal de apoyo ( trc - resistencia especificada del concreto)

£r.= 1 ÍO0 [Mi <rc = 2 0 0 0 psi trc = Ü 0 0 psi

ffr = 3D0ftpsiConcreto: en m enos de la totalidad del área de apoyo

crÍJ=0.3SOe'í í7 7 i rárea de apoyo

A ¡ - área total de apoyo

C on un máximo de fr¿j=0.7<^-

490 2.76

25 0 1.72

0.3 StrL

525 3.62

100 4.Í3

875 ñ.03

lo sa 7.24

T A B L A 3 - 7 Capacidad de sustentación segura de sucios,

Naturaleza del suelo

Capacidad de sustentación segura

psi ItPa

Roca dura sólida 350 2400

Pizarra o roca mediana 140 960

Roca bLinda 70 4B0

Arcilla dura o grava compacta 55 330

Arcilla suave o arena sucha 15 100

S in datos específicos, e l A 1 S C ( 2 ) recom ienda los esfuerzos de ap o yo perm is ib les

que aparecen en la tab la 3 - 6 .

S u e lo s . L os apoyos de m anipostería o de concreto con frecue ncia se co locan sobre el

suelo para transferir las cargas d irectam ente a tierra . E n el M a rk s ’ S ta n d a rd H a n d b o o k

f o r M e c h a n ic a lE n g in e e rs (3 ) [M a n u a l M a rk s d e N o rm a s para Ingen ieros M e c án ic o s (3 )]

se dan valores de la capacidad de sustentación segura de suelos, según se m uestra en la

tab la 3 - 7 . Son de esperarse variac iones y deben obtenerse datos de prueba s iem pre que

sea pos ib le .

E jem p lo La figura 1 - 4 5 m uestra u n a colum na a p o y a d a sobre un c im iento y que sop orta una

3 - 11 ca rg a d e 2 6 0 0 0 Ib. D e te rm in e si los es fue rzo s de apo yo son ac e p ta b le s para e l concreto

y el suelo . E l concre to tiene una resistencia espec ífica de 2 0 0 0 psi y el suelo es g rav a

co m p ac ta .

S oluc ión O bjetivo

D atos

¿ S o n seguros los esfuerzos d e ap oyo so b re el con creto y el suelo?

La c im entación s e m u estra en la figura 1 - 4 5 del cap itu lo 1 . C a rg a = F -

2 6 0 0 0 1 b .

P a ra el concreto: = 2 0 0 0 psi.

P a ra el suelo (g rava com p acta): = 5 5 psi (tab la 3 - 7 ).

\Q 2 C a p ltu lo 3 ■ D iseñ o de e le m e n to s es tru c tu ra l es so m e tid o s a e s fu e rzo d ire c to

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A n á lis is y R e s u lta d o s

P a ra el concreto: La carga se transfiere de la co lum na al concreto a

3 - 9 F A C T O R E S D E C O N C E N T R A C IÓ N D E E S F U E R Z O

A l d c fin irc l m étodo para ca lcular el esfuerzo que causa la c a rg ad e tensión o com presión

directa sobre un m iem bro , se puso énfasis en que e l m ie m b ro debe tener u n a sección

transversal un i fo rm e para que la ecuación o —F IA sea v á lid a . L a razón de esta restricción

es que donde cam b ia la g eo m e tría de un m ie m bro som e tido a carga, el esfuerzo real

desarro llado es m a y o r que el que pod ría predecirse m edia nte la ecuación estándar. Este

fenóm eno se conoce com o concentración de esfuerzo , porque estud ios que se han hecho

con detalle revelan que los esfuerzos elevados y loc alizados parecen concentrarse a lre de

d or de secciones donde ocurren cam bios de geom etría .

L a figura 3 - 8 ilustra el caso de concentración de esfuerzos en e l e jem plo de una

barra redonda cargada ax ia lm ente a tensión que tiene dos d iám etros con un escalón entre

ellos . N ótese que hay un pequeño redondeo en la base del escalón. Su im p ortan cia se

an alizará m ás adelante. B ajo el d ib u jo de la baiTa escalonada hay una gráñe a de esfuerzo

contra posic ión en la b a rra . E n la sección 1, donde el d iá m e tro de la barra es D y se h a lla

en un punto m u y a le jad o d e l escalón, el esfuerzo puede calcularse con:

Por consigu iente, la ca rg a d e apo yo actúa so bre un á re a m e nor que la

del concreto. E ntonces, de la tab la 3 - 6:

El es fuerzo de apo yo e jercido sobre el concreto por la p la ca de ac ero en

la b asa d e la co lum na es:

F 2 6 OOP Ib

(12 PI9)J- 180 psi

P or consigu iente, e l esfuerzo d e apo yo es acep ta b le .

P ara el suelo (g rava) en la base d e la c im entación :

F_ _ 26 000 Ib

A t [36 p lg)2= 20.1 psi

E ste v a lo re s aceptab le porque e l es fu e rzo de ap o yo peim is ib le para la

grav a com pacta es d e 55 psi.

o-, = F /A , = F /{t tD-/A)

E n la sección 2 , donde e l d iám etro de la barra tiene e l va lo r m e no r de d , el esfuerzo es:

0-3 = f / A j = F /( ir d 7 4 )

S ección 3 - 9 ■ F ac to re s de co n c e n tra c ió n de e s fu e rzo 1 0 3

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Om-n = (T?

Esfuerzo de tensión; Esfuerzo nomina]

i i \ : „ _ f _ f

\ Jisca lón 2

Posición en la barra

FIG U R A 3 - 8 Distribución de esfuerzos carca üe un cambio de geoincirnt.

Entonces, es de esperarseque la gráfica de esfuerzo contra posic ión aparezca co m o líneas

rectas con un sal to ab ru p to en el luga r dond e cam b ia el di ám etro . P ero las pruebas dem os

tra rían que la d istribución de esfuerzo real se asem ejar ía m ás a la línea curva: un id a a las

dos lincas rectas en puntos a le jados del escalón, pero con una fuerte e le vac ión cerca del

iti isino escalón.

Para lo m a r en cuenta el esfuerzo m a y o r al p red ich o en e l escalón, m o d ifica rem o s la

fó rm u la de esfuerzo d irecto para in c lu ir im fa c to r de c o n c e n tra c ió n d e es fuerzo , K „ con

el fin de p ro du cir la fo rm a que se m uestra a continuación:

0 - 12)

en donde, en este caso, e l esfuerzo nom inal se basa en la sección m e n o r 2. Es decir:

«■ ni.n, = 0-2 = F /A 1 = F H ird 1! 4)

E ntonces el v a lo r de K , representa e l factor p o r el cual el esfiierzo real es m a y o r que el

es ftierzo n om in al ca lculado con la fó rm u la estándar.

Las concentraciones de esfuerzo provocan más daños en e l caso d e cargas d in á m i

cas tales com o cargas repetidas, de im pacto o choque. D e hecho, las fallas p o r fa tig a

ocurren con m a y o r frecuencia cerca de los lugares donde seconcentran los esfuerzos con

pequeñas grietas locales que crecen con el tiem po hasta que la sección restante ya no

puede soportar la carga. B a jo carga estática, el e le vad o es fuerzo cerca de la d is co ntin u i

dad puede causar cedcncia local que red is trib u ir ía e l es fuerzo a un v a lo r p ro m ed io m e no r

que la resistencia a la cedcncia y , por consigu iente, la p ieza segu iría s iendo segura.

V a lo r e s d e lo s fa c t o r e s d e c o n c e n t r a c ió n d e e s f u e r z o . L a m agnitud del fa c

to r de concentración de esfuerzo , K „ depende de la geo m e tría del m ie m b ro cerca de la

discontinu idad . L a m a yo ría de los datos se obtu vieron po r experim entos m ediante cu ida

dosas m edic iones del esfuerzo m á x im o , c r ^ , en las que se u til iza ro n técnicas e x p e rim e n -

C a p itu lo 3 ■ D ise ño de e le m e n to s es tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to

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F a c to rd e

U / c o n c e n tra c ió n

ele e s fu e rz o

tales de anális is d e esfuerzo tales com o m cdic ión d e d efo rm ac io nes o fotoclastic idad .

Los enfoques com putarizados que u tiliza n análisis de e lem entos fin ito s tam bién podrían

u tiliza rse. E ntonces, e l va lo r de íf ,s e ca lcu la a p a rt ir de:

( 3 - 1 3 )

donde es el esfuerzo que se ca lc u la ría en la sección de in terés s in considerar la

concentración de esfuerzo . E n el caso que ahora se d iscute, el esfuerzo de tensión d irecto,

0non.= ™ .E l apénd ice A - 21 con tiene vari as gráficas que pueden u ti 1 izarse para d e te rm in a r el

v a lo r de K , para una va ried ad de geom etrías .

B a rra redonda con carga ax ia l de tensión con rebaje c irc u la r,

B a rra redonda con carga ax ia l d e ten sió n con un escalón y un borde

A —2 1 — 1:

A - 2 1 -2 :

A -2 1 - 3 :

A - 2 1 -

A—21-

4:

■ 5:

redondeado.

Placa p lana con carga ax ia l de tensión con un escalón y un borde redon

deado.

Placa p lana con una perfo ración centra l.

B a rra redonda con una perfora ció n transversal.

L a g rá fic a en el apénd ice A - 2 1—1 m u estra e l pa tró n típ ic o p a ra p re s e n ta r va lores

de factores de concentración de esfuerzos. E l e je ve rtica l da e l v a lo r del m is m o K,. Los

factores pert mentes de geo m etría son el d iá m e tro de la to ta lid ad de la sección redonda, D ,

el d iá m e tro en la base del rebaje , dp y el rad io de l reba je c irc u la r, r . C o n estos datos

pueden calcu larse d o s parám etros. E l e je horizo n ta l es la razón de r /d v L a fa m ilia de

curvas en la g rá fica es pa ra valores d istintos de la re lac ió n de D /d g. E l uso n orm a l de esta

grá lica , cuando se conoce la geom etría com p leta , es lo c a liz a rc l v a lo rd e r/rf^ en la g ráfica ,

trazar una líne a vertica l hasta la curva de D/dg, y luego una h o riz o n ta l hasta el e je ve rtica l

para lee r K ,.C o n frecuencia es necesaria la in te rp o lac ió n entre las curvas de la g ráfica .

N ó tes e que e l esfuerzo no m in al para la barra redonda rebajada se basa en el esfuerzo en

el fo n d o d e l re b a je , la m enor sup erfic ie en la vecin dad . A u n q u e estoes típ ic o , es im p o r

tan te que el lector sepa en qué se basa e l esfuerzo n o m in al c n c u a lq u ie r g rá fica de concen

trac ión de esfuerzos. C on frecuencia se u til iz a n rebajes d e fond o c irc u la r para d is tr ib u ir

aceite u otros lubricantes en un eje.

L a gráfic a del apénd ice A - 2 1 -2 para la barra redon da escalonada tie n e tres factores

geom étricos: el d iám etro m ayo r, D , el d iá m e tro m enor, d , y e l redondeo en e l escalón

donde cam bia el d iám etro . N ótes e que e l v a lo r d e K, aum enta ráp id am en te con valores

pequeños del rad io del redondeo. C o m o d iseñador, el lec tor debe considerar el m a yo r

rad io prác tico para este redondeo y asi m a nte ner un es fuerzo m á x im o re la tiva m en te re

ducido en el escalón.

U n im p ortante uso de la g ráfic a del apénd ice A - 2 1 - 2 es e l an ális is d e factores de

concentración de esfuerzos p ara barras redondas con rebajes para a n illo s de retención ,

c o m o se m uestra en la figura 3 - 9. La geo m etría típ ic a del reba je , que especifica e l fa b ri

cante de a n illo s , aparece en la fig u ra 3 - 10, E l fondo del rebaje es p lano , y e l redondeo en

cada ex trem o es m u y reducido para que haya una gran su p erfic ie ve rt ic a l para co loc ar el

a n illo . E l resu ltado es que el rebaje actúa com o dos escalones m u y cercanos entre sí.

E ntonces puede u tilizarse e l apénd ice A - 2 1 - 2 para d eterm in a r e l v a lo r de K,. A veccs,

la geo m etría del rebaje resu ltara en va lores K , que están m u y p o r en cim a d e los va lores

m á xim o s de la g ráfica . En estos casos, es razonab le un v a lo r es tim ado de K ,m 3 .0 , pero

deben buscarse datos adicionales.

L a g rá fica del apénd ice A - 2 1 - 4 con tiene tres curvas, todas en re lac ió n con una

placa p lana que tiene una perforació n central. L a c u rv a A es para el caso en que la p laca

F acto res de c o n c e n tra c ió n d e e s fu e rzo 1 0 5

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FIG U R A 3 - 9 Eje escalonado con ranura para anillo _ . . ____ _ . ______ _______' F I G U R A 3 -1 0 Oetimctna muestra üe iirarunnn para anillo

de rctcnción en una barra redolida,

se som eta a es fuerzo de tensión d irec to a través de la to ta lidad de su sección transversal

cerca de la perfo ra ció n . L a curva B es para e l caso en que se inserta un p e m o de ajuste,

apretado en la perfo ra ció n , y la carga de tensión se a p lic a a través del p e m o . Los factores

de concentración de esfuerzo resultantes son ligeram ente m ayores por la m a y o r concen

trac ión d e carga. L a cu rv a C es para e l caso de la p laca a f le x ió n , y esto se a n a liza rá en el

cap ítu lo 8 . S in em bargo , en cada caso, nótese que e l es fuerzo n o m in al se basa en la

se cc ión ne ta a través de la p laca en e l lu g a r de la perfo ra ció n . Para carga de tensión , se

u tiliz a el á re a neto para Esto es:

F /(w - í i ) t

en donde w = ancho de la p laca

i = espesor

d = d iá m e tro d e la p e r fo ra c ió n .

L a g rá fica en e l apénd ice A - 2 1 - 5 para la barra redon da con un ag u je ro transversal

contiene varios datos para d istin tos tipos de carga: tensión , f le x ió n y to rs ión. P o r lo pro n

to , só lon os interesam os en la curva A para el caso de tensión a x ia l. L a to rs ió n se d iscu tirá

en e l cap ítu lo 5 , y la fle x ió n en e l ca p itu lo 8. N ó te s e tam bién que el fac tor d e con centra

c ión de esfuerzo se basa en la se cc ión b ru ta , no en la sección neta en la p e rfo ra ció n . Esto

sign i fica que K , inc luye los efectos de la re m o ció n de m a te ria l y la d is con tinu idad , lo que

produce valores m u y elevados. S in em bargo , fa c ilita el uso de la carta para usted, que es

el d iseñador, porque no tiene que calcu la r e l área de la sección neta,

E je m p lo L a barra e s c a lo n a d a que a p a re c e en la figura 3 - 8 s e som ete a u n a fu e rz a d e tensión

3 - 1 2 ax ia l d e 12 5 0 0 Ib. C a lcu le el esfuerzo d e tensión m áxi m o e n la b arra p a ra las s igu ientes

dim ensiones;

0 = 1 .5 0 plg: 0 .7 5 plg; r = 0 .0 6 0 plg

S o lu c ió n O b je t iv o C a lc u la r el es fu e rzo de tensión m áxim o.

D a to s F = 12 5 0 0 Ib; D = 1 .5 0 plg: d = 0 .7 5 plg; r = 0 .0 6 0 plg

1 0 6 C a p itu lo 3 ■ D ise ño d e e lem e n tos e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a e s fu e rz o d ire c to

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A n á lis is P o r e l cam b io de d iá m e tro , utilice la e c u a c ió n ( 3 -1 2 ) .

U tilice la g ráfica de l a p é n d ic e A - 2 1 - 2 p a ra o b te n e r e l v a lo r d e K¡ utili

za n d o r / d y D /d com o p arám etros.

R e s u lta d o s 0^ = « í í W „ „0^ = = F /A j = F l ln d 2IA ) = (1 2 5 0 0 lb V W 0 .7 5 p lg )2/4 ],

0-™ = 2 8 2 9 4 ^ ! ^ .r /d = 0 .0 5 /0 .7 5 - 0 .0 8 0 y D / d - 1 .5 0 /0 .7 5 = 2 .0 0 .

Le a Kr= 2 .1 2 en e l a p én d ic e A - 2 1 - 2 .

E n to n c e s 0^ 4* = K i Onam- 2 .1 2 (2 8 2 9 4 psi) = 5 9 9 B 3 psi.

C o m e n ta r io El es fu e rzo m á xim o real, d e a p ro x im a d a m e n te 6 0 0 0 0 psi, e s m á s del

dob le de l va lo r q u e podría p re d ec irs e con la fó rm u la c o n v e nc io na l.

b i b l i o g r a f í a

t. A lum inum As&ociation, Specifica tions J a r A tum inum

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6th cd., M c G ra w -H ill, New Y ork, 1989.

P R O B L E M A S

3 - 1 .M Especifiquesc una aleación de alum inio conve

niente para una barra redonda con un diámetro de

10 m m sometida a una fuerza de tensión directa

estática de 8 .50 kN .

3 - 2 .M U na barra rectangular con sección transversal de

10 m m por 3 0 m m está som etida a una fuerza

de tensión directa de 20 .0 kN . Si la fuerza debe

aplicarse varias veces, especifique un acero satis

factorio.

3 -3 .1 U n eslabón de una máquina empacadora automá

tica está sometido a una fuerza de tensión directa

de 1720 Ib, que se repite varias veces. E l eslabón

es cuadrado, de 0 .40 p lg de lado. Especifique un

acero propio para e l eslabón.

3 -4 .1 Una varilla circular de acero de 3 /8 p lg de diáme

tro soporta un calentador y somete a una carga de

tensión estática de 1850 Ib. Especifique un acero

estructural que convenga a la varilla.

3 - 5.1 U n m iem bro de tensión en una armadura de ma

dera de un techo debe soportar una fuerza de ten

sión estática de 52 00 Ib. Se propone utilizar un

tablón estándar de 2 x 4 de pino del sur, No . 2.

¿Sería éste aceptable?

P rob le m as 10 7

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3 - 6 .1 Con los dalos del problema 3 - 5, sugiera un dise

ño alternativo que sea seguro para la carga dada.

Puede especificarse un miembro de tamaño dis

tinto o un material diferente.

3 - 7.1 Un tirante de alambre para una torre de antena debe

ser de a lum inio, con un esfuerzo perm isible de

12000 psí. Si la carga m áxima que se espera en el

cable es de 6400 Ib, determine el diámetro de!

alambre que se requiere.

3 — H .M Una tolva con una masa de 1150 kg tiene un dise

ño para soportar una carga de sal a granel con una

masa de 6350 kg. La tolva debe suspenderse me

diante cuatro flej es rectangulares, donde cada uno

soporta unacuarta parte de la carga. Para hacer los

flejes se utiliza una plancha (le acero con un espe

sor de 8.0 mm . ¿Cuál debe ser el ancho para lim i

tar el esfuerzo a 70 MPa?

3 - 9 . M Se diseña una repisa para sostener cajones con

una masa total de 1840 kg. Dos varillas, como las

que se muestran en la figura 3 - 11, sostendrán la

repisa. Suponga que el centro de gravedad de los

cajones está en la parte media de la repisa. Especi

fique el diámetro de las varillas circulares que se

requiere para lim itar el esfuerzo» 110 M Pa.

Desvaí-illas soportan la repisa

F IC ÍU R A 3- 11 Varillas de soporte de la repisa del problema 3 - 9 .

3 —10.1 La base de una columna de concreto es circular,

con un diámetro de 8.0 plg, y soporta una carga de

compresión directa y estática de 70 00 0 Ib. Espe

cifique la resistencia que se pide del concreto se

gún las recomen daciones de la sección 2- 10 .

3 - 11.1 Tres bloques cortos de madera hechos de postes

estándar de 4 x 4 soportan una máquina que pesa

29 500 Ib y comparten la carga por igual. Especi

fique un tipo ilc madera que convenga para los

bloques.

3 - 1 2 .M Para soportar una columna, se construye una pila

circular de concreto con una resistencia de 3000

psi (20 .7 M P a). Especifique un diámetro acepta

ble para la pila si debe soportar una carga (le com

presión directa de 1.50 M N .

3 -1 3 .1 Un an illo de alum inio tiene un diámetro externo

de 1 2 .0 m m yu n diámetro interno de 10 mm . Si el

ani lio es cortoy está hecho de 2 0 14 - T 6, calcule la

fuerza que se necesita para producir una falla ú lti

ma por compresión en el anillo. Suponga q u e d e s

igual a tensión y a compresión.

3 - H . M Un cubo de madera de 4 0 m m de lado está hecho

de abeto No . 2. Calcule la fuerza de compresión

permisible que podría aplicarse al cubo, ya sea pa

ralela o perpendicular a su grano.

3 -1 5 .1 Una barra redonda de acero estructural A S T M

A 2 4 2 se u tilizará como tirante para tensar un

marco. Si se espera una carga estática m áxima

de 4 0 0 0 Ib, especifique el diám etro convenien

te para la barra.

3 -1 6 .1 Una porción de una pieza fundida de hierro cola

do gris A S T M A 4 8, grado 20, tiene la forma que

se muestra en la figura 1 - 32 y está sometida a una

fuerza de compresión alineada con el eje centroi-

dal de la sección. Si el miem bro es corto y soporta

una carga de 52 0 0 0 Ib, calcule el esfuerzo en la

sección y el factor de diseño.

3 - 17. M Una pieza de un sistema de suspensión de camión

debe soportar una carga de compresi ón de 135 k N

con la posibilidad (le cargas de choque. Debe uti

lizarse hierro maleable A S T M A 220 grado 45008.

La sección transversal debe ser rectangular, siendo

el lado largo el doble del lado corto. Especifique di

mensiones convenientes para la pieza.

3 - 18.1 El eslabón rectangular de plástico de una impre

sora de ofici na se tiene que hacer de un copolime-

ro de acclal relleno de fibra de vidrio (véase el

apendie A - 19). Debe soportar una fuerza de ten

sión de 110 Ib. Las limitaciones de espacio obli

gan a que el eslabón tenga un espesor máximo de

0.20 plg. Especifique un ancho idóneo del esla

bón si se espera un factor de diseño de S con base

en la resistencia» la tensión del plástico.

3 - 1 9 .M La figura 1 -3 3 muestra la sección transversal do

un m iem bro corto que debe soportar una carga

de compresión estática de 640 kN . Especifique el

malerial propio para c 1 miembro.

3 - 2 0 . M La figura 1 -2 5 m ucstraunabarraque soportava-

rias cargas estáticas. Si la barra es de acero cslntc-

luíal A S T M A3 í j , ¿es segura?

3 - 2 I . M En la figura 1 -3 0 , especifique una aleación de alu

minio conveniente para el miembro A lt si la carga

debe repetirse varias veces. Considere sólo la parte

cuadrada cerca de la pane media del miembro.

108 C a p itu lo 3 ■ D ise no de e le m e n tos e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a es fu e rz o d ire c to

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FIG U R A 3 - 1 4 Base de rodillos para m over maquinaria para los

problemas 3 -2 6 y 3 -2 7 .

de sustentación de la placa de acero tic 1.25 plg de

espesor y está hccha de acero estructural A S T M

A36?

3-2 7.1 Repita el problema 3 -2 6 con placa de acero de

baja aleación y alta resistencia A S T M A 242.

3 -2 8.1 La figura 3 -1 5 muestra un diseño alternativo para

la base transportadora de maquinaria descrita en

el problema 3 -2 6 . Calcule la carga permisible

para este diseño si está apoyada sobre acero (a)

A S T M A 3 6 o (b ) accro A S T M A242.

1-25 plg de espesor

FIG U R A 3 - 1 5 Dase dé rodillos para m over maquinaria para

el problema 3 - 28.

3-29 .1 Una mesa pesada para uso industrial tiene cuatro

patas hechas de tubo de acero cuadrado de 2 x 2 x

1/4. Calcule el esfuerzo de apoyo que ejerce cada

pata sobre el piso, si se coloca una carga total de

10 000 Ib sobre la mesa de modo que se reparta en

las cuatro patas. Luego sugiera otro diseño para

las patas si se desea conservar el esfuerzo de apo

yo a menos de4 00psi.

3 -3 0 .C Un extremo de una viga está apoyado sobre un

balancín con un radio de 200 m m y un ancho de

I SO mm. Si el balancín y la placa en la que está

apoyado son de acero estructural A S T M A 3 6 es

pecifique la reacción m ínim a permisible en este

extremo de la viga.

3 -3 1 .1 Un engrane transmite 5000 lb plg de par de tor

sión a un eje circular con un diámetro de 2 .25 plg.

Una cuña cuadrada de 0 .50 p lg de lado conecta el

eje al cubo del engrane, como se muestra en la

figura 1 - 14. La cuña es de accro estirado en frío

A IS I 1020. Determ ine la longitud que se requiere

de la cuña, ¿ , para que esta sea segura a cortante y

a esfuerzo de apoyo. U tilice un factor de diseño de

2.0 basado en la ccdcncia acortante y enel esfuer

zo de apoyo A IS C permisible.

3 - 32.1 E l apoyo de una v iga está hecho como se mues

tra en la figura 3 -1 6 . D eterm ine el espesor re

querido del apoyo vo lado a si e l m áxim o

esfuerzo cortante debe ser de 6000 psi. La carga

en el apoyo es de 21 00 0 Ib.

FIG U R A 3 - 16 A poyode v igadel problema 3 - 32.

3 -3 3 .1 Una sección de tubo está soportada por una es

tructurado forma de caballete que, a su vez, está

apoyada en dos pernos de accro, com o se ilustra

en la figura 3 -1 7 . Si la carga sobre el caballete

es de 42 000 Ib, determine el diámetro que se re

quiere y la longitud de los pemos. U tilice accro

estirado en frío A IS I 1040. Considere tanto las

fuerzas cortantes como las de apoyo.

110 C a p itu lo 3 ■ D is eñ o de e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a es fu e rz o d ire c to

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FIG U R A 3 - 17 Caballclc para e l tubo del problema 3 - 33.

3 -3 4 .M El brazo de control inferior de un sistema de sus

pensión automotriz está conectado al chasis me

diante un perno de acero redondo de 16 m m de

diámetro. Dos lados del brazo le transfieren car

gas del chasis, como se indica en la figura 3 - 18.

¿Cuánta fuerza cortante podría soportar el perno,

si éste es de acero estirado en frió A IS I 1040 y se

dcseüun factor de diseño de 6 con base en la resis

tencia a la cedencia a cortante?

3-3 5 .M Se utiliza una centrífuga para separar liquidosse

gún s j s densidades, y se usa fuerza centrifuga. La

Visto desde arriba

FIGU RA 3 - 1 8 Perno del sistema de suspensión automoir¡2 del problema 3 -3 4 .

figura 1 -2 3 ilustra un brazo de una centrifuga con

un balde en su extrem o para contener el líquido.

En operación, el balde y el líquido tienen una

masa de 0.40 kg. La fuerza centrífuga tieneuna mag

nitud en newtonsde:

F = 0 .010 97-n i-R -n 2

dondem ^m asaen rotación del balde y el liquido

(kg)

U = radio al centro de masa (metros)

= v e lo c id a d do rotación (rpm )

La fuerza centrífuga somete a cortante directo al

pe moque sostiene el balde. Calcule el esfuerzo en

el perno producido por una velocidad de rotación

de 3000 rpm. Luego, especifique un acero conve

niente para el perno, considerando que la carga se

repite.

3 - 3 6 .M Se utiliza un punzón circular para hacer un aguje

ro de 20.0 m m de diámetro en una plancha de ace

ro laminado en caliente A IS I 1020 con un espesor

de 8.0 m m . Calcule la fuerza que se requiere para

sacarel bocado.

3 - 3 7 .M Repita el problema 3 -3 6 , pero con material dea lum in io 6 0 6 1 T 4 .

3 - 3 8 .M Repita el problema 3 -3 6 , pero con material de co

bre duro C 14500.

3 - 3 9 .M Repita el problema 3 -3 6 , pero con material de

acero inoxidable duro A IS I 430.

3 - 4 0 .M Determine la fuerza requerida para perforar un

bocado con la form a mostrada en la figura 1 - 36

de una lámina de acero laminado en caliente A IS I

1020con un espesor de 5.0 mm.

3 -4 1 .1 Determine la fuerza requerida para perforar un

bocado de la forma mostrada en la figura 1 -3 7 de

una lámina de alum inio 3 0 0 3 -H 18 con un espesor

de 0 . ‘: 94 pulgadas.

3 -4 2 .1 Se hace una muesca en una pieza de madera,

come se muestra en la figura 1-3 5 , para soportar

una carga extem a de 1800 Ib. Calcule el esfiterzo

cortante en la madera. ¿Es segura la muesca?

(Véase el apéndice A - 18.)

3 -4 3 .1 Calcule la fuerza requerida para cortar un borde

recto de una lám ina de acero estirado en frío A IS I

1040 con un espesor de 0 .105 plg. La longitud del

borde es de 7.5 pulgadas.

3 -4 4 .1 Repita el problema 3 -4 3 , pero con material de

acero A IS I 5160 O Q T 700.

3 - 45.1 Repitacl problema 3 - 43 , pero con material deacero

inoxidable duro A IS I 301.

3 -4 6 .1 Repita el problema 3 - 43, pero con material de bron

ce duro C 36000.

3 -4 7 .1 RcpiU el problema 3 -4 3 , pero con material de

aluminio 5 1 5 4 - H 3 2 .

3 - 4 8 .M Para la palanca acodada que se muestra en la

figura 3 -1 9 , calcule el d iám etro que se requiere

del perno A si la carga se repite y e l perno es de

cobre duro C 17000. Las cargas se repiten m u

chas veces.

3 - 4 9 .M Para la estructura que se ilustra en la figura 3 - 20,

determine el diámetro requerido de cada perno si

está hecho de acero estirado en frío A IS I 1020.

Cada perno está a cortante doble y la carga es estática.

P rob lem as 111

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3-52.1 La figuro 3-22 ilustra un tipo de cadena que se utiliza para bandas transportadoras. Todos los componentes son de acero estirado en frío AISI 1040. Evalúe la fuerza de tensión permisible (repetida) en la c a d e n a con respecto a;

(a) Fuerza cortante del perno.

(b) Esfuerzo de apoyo del perno en las placas laterales.

(c) Tensión en las placas laterales.

F IG U R A 3 - 2 0

pro b lem a 3 - 4 9 .

Estnictura conectada con pernos, para el

3-5Ü.M Para la estructura que se muestra en la figura 1- 28. determine el diámetro que convenga de cada perno si está hecho de acero estructural de alta resistencia y de baja aleación de columbio-vanadio ASTM A572, grado 50. Cada pemo está a cortante doble y la carga es estática.

3-51.1 Una palanca como la que se muestra en la figura3 - 2 1, se utiliza para generar una gran fuerza mecánica para alzar máquinas pesadas. Un operador puede ejercer una fuerza de 280 Ib en la manija. Calcule la fuerza de levantamiento y el esfuerzo cortante en el eje de la me da.

3 - 53.1 La figura 3 -23 muestra un yunque para un martillo de impacto sostenido en un soporte por un perno circular. Si la fuerza es de 500 Ib, especifique un diámetro conveniente para el perno de accro si éste debe hacerse de AISI 1040 WQT900.

3-54.1 La figura 3-24 muestra una brida de acero forjada integralmente con el eje que debe ser cargado a torsión. Ocho tornillos sirven para acoplar la brida a una brida coincidente. Suponga que cada tornillo soporta una carga igual. Calcule el par de torsión máximo permisible en el acoplamiento si el esfuerzo cortante en los tomillos no debe exceder de 6000 ps¡.

3 - 55.M La figura 3 - 25 muestra un eje circular sometido a una carga de tensión axial repetida de 25 kN. El eje es de accro AISI4140 OQT 1100. Determine el factor de diseño en el agujero y el redondeo.

3 - 56.M Un vastago de válvula en un motor automotriz se somete a una carga de tensión axial de 900 N producida por el resorte de la válvula, como se muestra en la figura 3 -26 . Calcule el máximo esfuerzo en el vástago donde la fuerza del resorte actúa contra el reborde.

3 - 57. M Un eje redondo tiene dos muescas en donde seco- locan anillos para mantener en posición a un engrane, según se muestra en la figura 3-27. Si el eje

E je - O.SQpIgdediúm.

F IG U R A 3 - 21 Palanca d e l problema 3 - 5 1.

2801b

l-uer2ad ealzamiento

112 C a p itu lo 3 ■ D is eñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s s o m e tid o s a es fu e rz o d ire c to

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4D efo rm ac ión y e s fu e rzo té rm ico

4 - 1 O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O

El estudio de la resistencia de los materiales com prende la determ inación tanto de esfuerzos en elementos estructurales de carga como de la deflexión o deformación de los mismos. En general, se requiere el análisis tanto del esfuerzo com o de la deformación unitaria, tal como se definieron en el capítulo 1. El material expuesto en los capítulos 1, 2 y 3 permite calcular la magnitud de los esfuerzos que se generan en elem entos estructurales sometidos a fuerzas axiales directas, sean de tensión o compresión. Este capítulo am plia el conocim iento de tales elementos estructurales al incluir la deformación.

En este capítulo se presentan dos clases de deformación, la deformación elástica, provocada por las cargas externas y la deformación térmica, provocada por los cambios de temperatura. Cuando un material se calienta tiende a expandirse y luego que se enfría tiende a contraerse. Si se permite que las deformaciones térm icas ocurran sin restricción, no se producirán esfuerzos. Pero si se impide que el miembro estructural se mueva, se desarrollarán esfuerzos. Estos esfuerzos se llaman esfuerzos térmicos.

Los principios de la deformación elástica también se pueden usar para resolver algunos problem as más o menos complejos en los que elementos estructurales hechos de más de un material se someten a cargas. Dichos elementos estructurales a m enudo son estáticamente indeterminados, es decir, no se pueden determ inar las fuerzas ni los esfuerzos internos con ecuaciones de estática simples. Se dem ostrará el uso com binado de la estática, el análisis del esfuerzo y el análisis de la deformación elástica para resolver problem as como los antes mencionados.

Después de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. Calcular la cantidad de deformación elástica de un miembro estructural sometido a una carga de tensión o compresión axial.

1 1 5

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2. Diseñar elementos estructurales sometidos a cargas axiales para limitar su deformación au n valor específico.

3. Definir el coeficiente de expansión térmica y seleccionar el valor propio a usarse en el cálculo de la deformación térmica.

4. Calcular la cantidad de deformación térmica de un elemento sujeto a cambios de temperatura cuando la deformación no es restringida.

5. Calcularel esfuerzo térmico resultante de un elemento restringido sujeto acam - bios de temperatura.

6. Calcular el esfuerzo en componentes de una estructura com puesta que tenga elementos hechos de más de un material sometido a cargas axiales.

D E F O R M A C IÓ N E L Á S T IC A E N E L E M E N T O S S O M E T ID O S

A T E N S IÓ N Y C O M P R E S IÓ N

Deform ación se refiere a cualquier cambio en las dim ensiones de un miembro estructural de carga. El poder calcular la m agnitud de la deformación es im portante en el diseño de mecanismos de precisión, máquinas-herramienta, estructuras de edificios y estructuras de máquinas.

En la figura 3 -2 se muestra una troqueladora con tensores de acero de sección transversal circular conectados a ella, donde la deformación es im portante. Los tensores experim entan tensión cuando la troqueladora se encuentra en operación. Com o los tensores contribuyen a la rigidez de la troqueladora, la deformación que sufren a consecuencia de una carga es algo que el diseñador ha de ser capaz de determinar.

Para deducir la relación con la que se pueda calcular la deformación en elementos sometidos a tensión o compresión axial, se tienen que revisar algunos de los conceptos del capítulo 1. La deformación unitaria se define como la razón de la deformación total a la longitud original de un elemento. Con el símbolo e para la deformación unitaria, 5 para la deformación total y L para la longitud, la fórmula para la deformación unitaria se convierte en:

. - { (4-1)

La rigidez de un material es una función de su módulo de elasticidad E, que se define como:

E - - - (4 -2 )deformación e

Al resolverse para la deformación unitaria se obtiene:

€ = y (4 -3 )E

Ahora se pueden igualar las ecuaciones (4—1) y (4—3):

— = — (4 -4 )L E

C a pítu lo 4 ■ D e fo rm ac ión y es fu e rz o té rm ico

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Al resolverse para la deformación se obtiene:

( 4 - 5 )

Com o esta fórm ula se aplica a elementos som etidos tanto a fuerzas directas de tensión com o de com presión, se usa la fórm ula del esfuerzo directo para calcular el esfuerzo o. Es decir, a = F I A , donde F e s la carga aplicada y A es el área de la sección transversal del elemento. Al sustituir esta expresión en la ecuación (4 -5 ) se tiene:

La ecuación (4 -6 ) se usa para calcular la deform ación total de cualquier elem ento de carga, siempre que satisfagan las condiciones que se definen en relación con el esfuerzo directo de tensión y compresión. Es decir, el elemento ha de ser recto y de sección transversal constante; el material debe ser homogéneo, la carga axial directa y el esfuerzo m enorque el limite proporcional del material. Recuerde que el valor del lím ite proporcional se aproxim a a la resistencia a la cedencia, sy.

E je m p lo L o s t e n s o r e s d e la t r o q u e la d o r a q u e s e i lu s tr a n e n la f ig u ra 3 - 2 s o n d e a l e a c ió n d e a c e r o

4_ 1 A IS I 5 1 6 0 O Q T 1 0 0 0 . El d iá m e tr o d e c a d a t e n s o r e s d e 2 .0 0 p lg y s u lo n g i tu d in ic ia l d e

6 8 .5 p lg . S e a p l ic a u n a f u e r z a d e te n s ió n a x ia l d e 4 0 0 0 0 Ib a c a d a t e n s o r d u r a n t e e l

f u n c io n a m ie n to d e la t r o q u e la d o r a . C a lc u le la d e f o rm a c ió n d e lo s t e n s o r e s .

El a p é n d i c e A - 1 3 d a la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a d e l a c e r o c o m o d e 1 3 2

k s i. P o r c o n s ig u ie n te , e l e s f u e r z o s e e n c u e n t r a m u y p o r d e b a j o d e l lím ite

p ro p o rc io n a l .

D e fo rm ac ió n ax ia l: U s e la e c u a c ió n ( 4 - 6 ) . T o d o s lo s d a t o s s e c o n o c e n

e x c e p to e l m ó d u lo d e e la s t ic id a d E. E n l a s n o t a s a l p ie d e l a p é n d i c e A -

1 3 s e e n c u e n t r a q u e E = 3 0 x 10 6 p s i . E n to n c e s :

C o m e n ta r io L a a c e p ta b i l id a d d e e s t a c a n t id a d d e d e f o r m a c ió n a x ia l s e te n d r ía q u e

d e te r m in a r m e d ia n te u n a n á l i s i s d e l s i s t e m a d e to d a la t r o q u e la d o r a .

O D e fo rm a c ió n

ax ia l

_ F L

E ~ A E(4 -6 )

S o lu c ió n O b je t iv o C a lc u la r la d e f o rm a c ió n d e la s v a r il la s .

D a to s L o s t e n s o r e s s o n d e a c e r o , A ISI 5 1 6 0 O Q T 1 0 0 0 ; d iá m e t r o = D = 2 .0 0

pigL o n g itu d = L = 6 8 .5 p lg . F u e r z a a x ia l = F = 4 0 0 0 0 Ib.

A n á lis is S e u s a r á la e c u a c ió n ( 4 - 6) y s e v e r i f ic a r á e l e s f u e r z o q u e a c t ú a e n lo s

t e n s o r e s p a r a a s e g u r a r s e d e q u e e s t é a b a jo d e l lím ite p r o p o rc io n a l .

R e s u Ita d o s E sfue rzo de tens ión a x ia l: a = F/A .

L u e g o , a -4 0 0 0 0 Ib

3 .1 4 p lg 2= 12 7 0 0 psi.

y FL (4 0 0 0 0 lb ) (6 8 .5 p lg )= 0 .0 2 9 plg

AE (3 .1 4 p lg 2)(3 0 x 1 0 6 lb /p lg 2)

Sección 4 - 2 ■ D e fo rm ac ió n e lás tica en e le m e n to s so m etido s a ten s ión y com p re s ió n 1 1 7

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E je m p lo U n p é n d u lo s e c o m p o n e d e u n a b o la d e 1 0 .0 kg q u e c u e lg a d e u n a la m b r e d e a lu m in io

4 - 2 d e 1 .0 0 m m d e d iá m e tro y 6 .3 0 m d e lo n g itu d . E l a lu m in io e s u n a a le a c ió n 7 0 7 5 - T 6 .

C a lc u le e l a la r g a m ie n to d e l a la m b r e q u e s e o r ig in e p o r e l p e s o d e la b o la d e 10 kg.

S o lu c ió n O b je tiv o C a lc u la r e l a la r g a m ie n to d e l a la m b re .

D a to s El a la m b r e e s d e u n a a le a c ió n d e a lu m in io 7 0 7 5 - T 6 ; d iá m e tr o = D = 1 .0 0

m m . L o n g itu d = L = 6 .3 0 m ; la m a s a d e la b o la e s d e 1 0 .0 kg .

A n á lis is L a f u e rz a q u e a c tú a e n e l a la m b r e e s ig u a l a l p e s o d e la b o la , la c u a l s e

p u e d e c a lc u la r m e d ia n te w = m g. E n s e g u i d a s e t i e n e q u e v e r if ic a r el

e s f u e r z o q u e a c tú a e n e l a la m b r e p a r a a s e g u r a r s e d e q u e s e e n c u e n t r a

p o r d e b a jo d e l lím ite p ro p o rc io n a l . P o r ú ltim o , c o m o e l e s f u e r z o r e s u l ta

q u e y a s e c o n o c e , s e u s a r á la e c u a c ió n ( 4 - 5 ) p a r a c a lc u la r e l a l a r g a

m ie n to d e l a la m b r e .

R e s u lta d o s F u e rz a en e l a la m b re : F - w - m g - 1 0 . 0 k g x 9 . 8 1 m /s 2 = 9 8 .1 N.

E s fu e rz o de te n s ió n a x ia l: a = F /A

A =t t D 2 w(1.00 mm)2

4

F

A =

4

98.1 N

= 0 .7 8 5 m m 2

= 125 N /m m 2 = 125 M P a0 .7 8 5 m m 2

El a p é n d ic e A - 1 7 d a la r e s i s t e n c ia a la c e d e n c ia d e la a le a c ió n d e a lu m i

n io 7 0 7 5 - T 6 c o m o d e 5 0 3 M P a . El e s f u e r z o s e e n c u e n t r a m u y

p o r d e b a jo d e l lím ite p ro p o rc io n a l.

A la rg a m ie n to : C o m o y a s e d i s p o n e d e t o d o s lo s d a to s , e x c e p to d e l

m ó d u lo d e e la s t ic id a d , E, s e p u e d e u s a r l a e c u a c ió n ( 4 - 5 ) . L a n o ta a l p ie

d e l a p é n d ic e A - 1 7 d a e l v a lo r d e E = 7 2 G P a = 7 2 x 1 0 9 P a . P o r lo ta n to :

o-L _ (125 M P a) (6 .3 0 m) _ (125 x 106 P a ) (6 .3 0 m)8 = __ =

E 72 G P a

5 = 10.9 x 10~3 m = 10.9 m m

72 x 109 P a

E je m p lo U n e s l a b ó n d e te n s ió n d e u n a m á q u in a d e b e t e n e r 6 1 0 m m d e lo n g itu d y s e s o m e te a u n a

4 - 3 c a r g a ax ia l r e p e t id a d e 3 0 0 0 N. S e p r o p u s o q u e e l e s l a b ó n s e f a b r iq u e d e a c e r o y q u e s u

s e c c ió n t r a n s v e r s a l s e a c u a d r a d a . D e te rm in e l a s d i m e n s io n e s q u e s e r e q u ie r e n d e l e s

la b ó n si e l a la r g a m ie n to d e b id o a la c a r g a n o d e b e e x c e d e r d e 0 .0 5 m m .

S o lu c ió n O b je tiv o D e te rm in a r la s d im e n s io n e s q u e s e n e c e s i t a n d e la s e c c ió n t r a n s v e r s a l

c u a d r a d a d e l e s la b ó n p a r a lim ita r e l a la r g a m ie n to , S, a 0 .0 5 m m o m e

n o s .

D a to s C a r g a a x ia l e n e l e s l a b ó n = F - 3 0 0 0 N; lo n g itu d = L = 6 1 0 m m .

El e s la b ó n s e f a b r ic a rá d e a c e r o ; p o r c o n s ig u ie n te , E - 2 0 7 G P a = 2 0 7 x

1 0 9N /m 2. (A p é n d ic e A - 13)

A n á lis is E n la e c u a c ió n ( 4 - 6 ) p a r a la d e fo rm a c ió n a x ia l, s e a S= 0 .0 5 m m . L u e g o

to d o s lo s d a to s s e c o n o c e n e x c e p to e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l . La

e c u a c ió n ( 4 - 6 ) s e p u e d e r e s o lv e r p a r a A . S e a d c a d a u n o d e lo s la d o s

d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l c u a d r a d a . P o r lo ta n to A = d2 y el v a lo r m ín im o

a c e p ta b le p a ra d s e c a lc u la c o n d = -Ja . T ra s d e e s p e c if ic a r u n a d im e n s ió n

c o n v e n ie n te p a ra d, s e t ie n e q u e v e rifica r p a r a a s e g u r a r s e d e q u e el e s fu e r

z o e s s e g u r o y q u e s e e n c u e n t r a p o r d e b a jo d e l lím ite p ro p o rc io n a l.

1 1 8 C a pítu lo 4 ■ D e fo rm ac ió n y e s fu e rzo té rm ico

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R e s u lta d o s S i la e c u a c ió n ( 4 - 6 ) s e r e s u e lv e p a r a A y s e s u s t i tu y e n lo s v a lo r e s s e o b t ie n e :

(3 0 0 0 N) (610 m m )

ES (2 0 7 x 109 N /m 2) (0 .05 m m )

C o n v ir t ie n d o e n m m 2:

= 176 .8 x 10 6 m2

y:

-4 = 176 .8 x 10 6 m 2 x (1°3 ™m )* = 176 .8 m m 2 m2

d = V a = V 176 .8 m m 2 = 13 .3 m m

El a p é n d i c e A - 2 d a la d im e n s ió n s ig u ie n te m a y o r p r e f e r id a c o m o d e

1 4 .0 m m . El á r e a r e a l d e la s e c c ió n t r a n s v e r s a l e s A = d 2 = (1 4 .0 m m )2 = 1 9 6 m m 2.

E s fu e rz o : cr = F/A = 3 0 0 0 N /1 9 6 m m 2 = 15.3 N /m m 2 = 15.3 M P a . P a r a e l

c a s o d e u n a c a r g a r e p e t id a , la ta b la 3 -2 r e c o m ie n d a q u e e l e s f u e r z o d e

d i s e ñ o s e a ad= sul8. S i ad = a, e l v a lo r q u e s e b u s c a p a r a la r e s i s t e n c i a ú lt im a e s :

s „ = 8(o-) = 8 (1 5 .3 M P a) = 1 2 3 M P a

C o m e n ta r io s E n e l a p é n d i c e A - 1 3 s e v e q u e c a s i c u a lq u ie r a c e r o t i e n e u n a r e s i s t e n

c ia ú ltim a m u c h o m a y o r q u e 1 2 3 M P a . A m e n o s q u e e x i s t i e s e n m á s

r e q u i s i to s d e d i s e ñ o , s e d e b e e s p e c i f i c a r e l a c e r o m á s b a r a to . L u e g o s e e s p e c i f i c a r á :

d = 1 4 .0 m m

El a c e r o la m in a d o e n c a l i e n te Al S 1 1 0 2 0 d e b e s e r e l d e m e n o r c o s to . s „ = 4 4 8 M P a

N ó te s e q u e e l a la r g a m ie n to p e r m is ib le lim itó e s t e d i s e ñ o y q u e e l e s f u e r z o r e s u l t a n t e e s r e la t iv a m e n te b a jo .

E je m p lo L a f ig u ra 1 - 2 6 i lu s t r a u n t u b o d e a c e r o q u e s e u t i l iz a p a r a s o p o r t a r e q u i p o p o r m e d io

4 - 4 d e c a b l e s c o m o s e m u e s t r a . L a s f u e r z a s s o n F , = 8 0 0 0 Ib y F 2 = 2 5 0 0 Ib. E lija e l tu b o d e

a c e r o c é d u l a 4 0 d e m e n o r d iá m e tr o q u e lim ita rá e l e s f u e r z o a n o m á s d e 1 8 0 0 0 p s i . E n

s e g u id a , p a r a e l tu b o q u e s e e s c o g ió , d e t e r m in e la d e f le x ió n to ta l d e l p u n to C d ir ig id a

h a c i a a b a jo e n la c a r a in fe rio r d e l tu b o c u a n d o s e a p l ic a n l a s c a r g a s .


D a to s

A n á lis is

E s p e c i f ic a r la m e d id a a d e c u a d a d e u n tu b o d e a c e r o c é d u l a 4 0 e s t á n d a r

y d e te r m in a r e l a la r g a m ie n to d e l m is m o .

L a s c a r g a s q u e a p a r e c e n e n la f ig u ra 1 - 2 6 ; F , = 8 0 0 0 Ib ( d o s fu e rz a s ) - F 2 = 2 5 0 0 Ib.

L o n g itu d d e l tu b o d e A a B: LA_B = 4 .0 0 p i e s (1 2 p lg /p ie ) = 4 8 p lg .

L o n g itu d d e l tu b o d e B a C : LB_C = 3 .0 0 p i e s (1 2 p lg /p ie ) = 3 6 .0 p lg .

E s f u e r z o m á x im o p e rm is ib le = 18 0 0 0 p s i; £ = 3 0 x 10 6 p s i ( a c e r o ) .

L a f u e r z a d e t e n s ió n a x ia l m á x im a q u e a c t ú a e n e l tu b o e s la s u m a d e

F 2 m á s lo s c o m p o n e n t e s v e r t i c a l e s d e l a s f u e r z a s F , . E s t o o c u r r e e n

e l s e g m e n t o d e A a B. L a m e d id a d e l t u b o y e l á r e a d e s e c c i ó n t r a n s

v e r s a l r e s u l t a n t e d e b e n d a r c o m o c o n s e c u e n c i a u n e s f u e r z o e n d ic h o

s e g m e n t o d e 1 8 0 0 0 p s i o m e n o r . D e B a C , la f u e r z a d e t e n s ió n a x ia l

e s F b_c = 2 5 0 0 Ib. C o m o la f u e r z a e s d i f e r e n t e e n l a s d o s s e c c i o n e s ,

Sección 4 - 2 ■ D e fo rm ac ió n e lá s tic a en e le m e n tos som etido s a te n s ión y com p re s ió n 1 1 9

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cia, una pieza de una m áquina com ienza a operar a tem peratura am biente y luego se calienta dem asiado durante el funcionam iento de la m áquina. A lgunos ejem plos son p iezas de m otores, hornos, m áquinas cortadoras de m etal, trenes de lam inación, equipo

de m oldeo y extrusión de plásticos, equipo procesador de alim entos, com presores de aire, m ecanism os hidráulicos y neum áticos y equipo autom ático de alta velocidad.

Cuando una pieza m etálica se calienta, se expande. Si la expansión no se restringe, las dim ensiones de la pieza se increm entan pero en el m etal no se genera esfuerzo. Sin em bargo, en algunos casos la pi eza se restringe, lo que im pide que cam bien sus dim ensio

nes. En tales circunstancias, se presentan esfuerzos.Los diferentes m ateriales cam bian de dim ensiones a diferentes tasas cuando se

exponen a cam bios de tem peratura. La m ayoría de los m ateriales se dilatan al aum entar la tem peratura, aunque algunos se contraen y otros de hecho perm anecen del mismo tam año. El coeficiente de expansión térmica rige la deform ación y el esfuerzo térm icos que experim entó un material.

E l coeficiente de expansión térmica, a, es la propiedad de un m aterial que indica la cantidad de cambio unitario dimensional con un cambio unitario de temperatura.

L a letra griega alfa m inúscula, a , d en o tae lco efic ien ted eex p an sió n té rm ica .L asun idadesdeo r se derivan de su definición. Si se enunc iade una m anera un poco

diferente, a es la m edida del cam bio de longitud de un m aterial por longitud unitaria con un cam bio de tem peratura de 1.0 grado. Por lo tanto, las unidades de oren el sistem a de unidades estadounidense serían:

plg/(plg -°F ) o 1/°F o °F^'

En unidades SI, a e s ta r í a e n : '

m /(m -°C ) o m m /(m m ° C ) o 1/°C o °C _1

Para usarse en los cálculos, la últim a form a de cada tipo de unidad es la m ás conveniente. Sin em bargo, la prim era nos ayuda a recordar el significado físico del térm ino.

D e la definición del coeficiente de expansión térm ica se desprende que el cam bio

de longitud 5 de un m iem bro estructural se puede calcular con la ecuación:

en donde L = longitud original del m iem bro estructural At = cam bio de tem peratura

La tabla 4-1 da valores representativos del coeficiente de expansión de varios m etales, cristal, m adera de pino y concreto. El valor real de cualquier m aterial varía un poco con la temperatura. Los valores de la tabla 4—1 son valores aproxim adam ente prom edio en el intervalo de tem peraturas desde 32 °F (0 °C) hasta 212 °F (100 °C).

L a tabla 4—2 contiene valores de orcorrespondientes a seis m ateriales plásticos que se selccionaron. N ótese que los valores reales dependen en gran m edida de la tem peratura y de la inclusión de cualquier material de aporte en la resina plástica. Para cada plástico listado, los valores aproxim ados de a corresponden a resina sin m aterial de aporte y a resina 30% de vidrio.

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T A B L A 4 - 1 C oeficien tes de expansión térm ica, a , de algunos

m etales, v idrio c ilindrado , m adera y concreto.

a

M aterial °F 1 °C 1

A cero, A ISI

1 0 2 0 6.5 X 1 0 " 11.7 X 1 0 "

1040 6.3 X 1 0 " 11.3 X 1 0 "

4140 6.2 X 10 '" 11.2 X 1 0 "

A cero estructural 6.5 X 1 0 " 11.7 X 1 0 "

H ierro fundido gris

A cero inoxidable

6 .0 X 1 0 " 10.8 X 1 0 "

A IS I301 9.4 X 1 0 " 16.9 X 1 0 "

A IS I430 5.8 X 1 0 " 10.4 X 1 0 "

A IS I501

A leaciones de a lum inio

6.2 X 1 0 " 11.2 X 1 0 "

2014 12.8 X 1 0 " 23.0 X 1 0 "

6061 13.0 X 1 0 " 23.4 X 1 0 "

7075 12.9 X 1 0 " 23.2 X 1 0 "

Latón, C 36000 11.4 X 1 0 " 20.5 X 1 0 "

B ronce, C 22000 10.2 X 1 0 " 18.4 X 1 0 "

C obre, C 14500 9.9 X 1 0 " 17.8 X 1 0 "

M agnesio, A ST M A Z 6 3 A -T 6 14.0 X 1 0 " 25.2 X 1 0 "T itan io , T i - 6 A 1 - 4 V 5.3 X 1 0 " 9.5 X 1 0 "V idrio cilindrado 5.0 X 1 0 " 9.0 X 1 0 "M adera (pino) 3.0 X 1 0 " 5.4 X 1 0 "Concreto 6.0 X 1 0 " 10.8 X 1 0 "

T A B L A 4 -2 C oeficien tes de expansión térm ica, a, de p lásticos seleccionados.

M aterial

a

o p - l • c-1

A B S -re sin a sin relleno 53 X 1 0 " 9 5 . 4 X 1 0 "

A B S/relleno de fibra de v idrio 16 X 1 0 " 2 8 . 8 X 1 0 "

A ceta l-resina sin relleno 45 X 1 0 " 8 1 . 0 X 1 0 "

A cetal/relleno de fibra de v idrio 2 2 X 1 0 " 3 9 . 6 X 1 0 "

N ylon 6/6 -re s in a sin relleno 45 X 1 0 " 8 1 . 0 X 1 0 "

N ylon 6/6 -re llen o de fibra de vidrio 13 X 1 0 " 2 3 . 4 X 1 0 "

Policarbonato -re s in a sin relleno 37 X 1 0 " 6 6 . 6 X 1 0 "

Policarbonato /relleno de fibra de vidrio 13 X 1 0 " 2 3 . 4 X 1 0 "

P o liés te r-res in a sin relleno 53 X 1 0 " 9 5 . 4 X 1 0 "

Poliéster/relleno de fibra de v idrio 12 X 1 0 " 2 1 . 6 X 1 0 "

P o liestireno-resina s in relleno 36 X 1 0 " 6 4 . 8 X 1 0 "

Poliestireno/relleno de fibra de v idrio 19 X 1 0 " 3 4 . 2 X 1 0 "

Los compuestos se describieron en el capítulo 2 como materiales que combinan una matriz con fibras de refuerzo hechas de diferentes m ateriales tales como vidrio, polímero aramida, carbón o grafito. Los materiales que constituyen la matriz pueden ser polímeros tales como poliéster o resina epóxica, cerámica o algunos metales com o alu-

C a p ítu lo 4 ■ D e fo rm ac ión y e s fu e rzo té rm ico

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M aterial

a

L ongitudinal Transversal

ojr-l °C“ I o p - l °cr'

V idrio E /fibras epóxicas unidireccionales 3 . 5 X 1 0 " 6 6 . 3 0 X I 0 ' 6 1 1 X 1 0 " 1 9 . 8 X 1 0 "

A ram ida/fibras epóxicas unidireccionales - l . l X 1 0 " 6 - 1 . 9 8 x 1 0 ~ 6 3 8 X 1 0 6 6 8 . 4 X 1 0 "

C arbón/fibras epóxicas unidireccionales 0 . 0 5 X I 0 " h 0 . 0 9 x 1 0 - 6 9 X 1 0 " 1 6 . 2 X 1 0 "

C arbón/fibras epóxicas cuasi-isotrópicas 1 .6 X 1 0 h 2 . 8 8 X I 0 ' 6 1 . 6 X 1 0 " 6 2 . 8 8 X 1 0 "

minio. El valor de a en el caso de las fibras en general es m ucho m enor que en el caso de la matriz. Además, existen varias maneras de colocar las fibras en la matriz. Por consiguiente, el coeficiente de expansión térm ica en el caso de com puestos es m uy difícil de generalizar. La tabla 4 -3 da valores representativos para unas cuantas formas de compuestos. Recúrrase al capítulo 2 para lo que se refiera a la descripción de los términos unidireccional y cuasi-isotrópico. En particular, con la colocación unidireccional de las fibras en la matriz, existe una dramática diferencia en el valor del coeficiente de expansión térmica como una función de la orientación del material. En la dirección longitudinal, alineado con las fibras, el bajo valor de a correspondiente a las fibras tiende a producir un valor general bajo. Pero en la dirección transversal, las fibras no son m uy efectivas y el valor general de a es mucho más alto. Nótese, además, que en el caso del compuesto particular unidireccional aramida/fibras epóxicas listado, el valor de a dehecho es negativo, lo que significa que este compuesto se contrae a medida que se incrementa la tem peratura.

E je m p lo U n a v a rilla d e a c e r o A IS 1 10 4 0 s e u s a c o m o e s l a b ó n e n e l m e c a n i s m o d e d ir e c c ió n d e u n

4_5 c a m ió n . S i s u lo n g itu d n o m in a l e s d e 5 6 p lg , c a lc u le s u c a m b io d e lo n g itu d c u a n d o la

te m p e r a tu r a c a m b ia d e - 3 0 ° F a 1 1 0 ° F .

S o lu c ió n O b je tiv o C a lc u la r e l c a m b io d e lo n g itu d d e l e s l a b ó n .

D a to s E s la b ó n d e a c e r o A IS 1 1 0 4 0 ; lo n g itu d = 1 = 5 6 p lg .

T e m p e r a tu r a in ic ia l = t-¡ = - 3 0 °F .

T e m p e r a tu r a fin a l = t2 = 1 1 0 °F.

A n á lis is Ú s e s e la e c u a c ió n ( 4 -7 ) . E n la ta b la 4 - 1 , a = 6 .3 x 10~6°F _1.

A f= f2 — /, = 1 1 0 ° F - ( - 3 0 °F ) = 1 4 0 °F

R e s u lta d o s 5 = a - L • A f= ( 6 .3 x 1 0 ”® ° F - 1)(5 6 p lg ) (1 4 0 °F ) = 0 .0 4 9 plg .

C o m e n ta r io El s ig n if ic a d o d e e s t a c a n t id a d d e d e fo rm a c ió n s e t e n d r í a q u e e v a l u a r e n

e l d i s e ñ o g lo b a l d e l m e c a n is m o d e d ir e c c ió n d e l c a m ió n .

E je m p lo U n a v a rilla d e e m p u je d e l m e c a n is m o d e v á lv u la s d e l m o to r d e u n a u to m ó v il t i e n e u n a

4 - 6 lo n g itu d n o m in a l d e 2 0 3 m m . S i la v a rilla e s d e a c e r o A ISI 4 1 4 0 , c a lc u le e l a la r g a m ie n to

q u e c a u s a u n c a m b io d e t e m p e r a tu r a d e - 2 0 °C a 1 4 0 °C .

S o lu c ió n O b je t iv o C a lc u la r e l c a m b io d e lo n g itu d d e la v a r illa d e e m p u je .

Sección 4 - 3 ■ D e fo rm ac ió n que cau san los cam b io s de tem pera tu ra 1 2 3

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R e s u lta d o s A, =4 .3 5 0 m - 4 .3 4 7 m

(2 3 .4 x 1 0 ^ °C "1)(4 .3 5 0 m ) - (9 .0 x 10"® °C "1) (4 .3 4 7 m )

0 .0 0 3°C = 4 8 °C

(0.000102) - (0.000039)

E n to n c e s , t2 = f, - Ai = 35 ° C - 4 8 °C = - 13 °C

C o m e n ta r io s C o m o e s t e v a lo r d e t e m p e r a tu r a q u e d a c o m p r e n d id o d e n t r o d e l in te r v a

lo d e t e m p e r a tu r a a m b ie n te e n u n e d if ic io , e s t a v e n t a n a p o d r ía c r e a r u n a

s i tu a c ió n p e l ig r o s a . El m a r c o d e la v e n t a n a y el v id r io s e c o n t r a e r ía n s in

e s f u e r z o h a s t a a l c a n z a r u n a t e m p e r a t u r a d e - 1 3 °C . S i la t e m p e r a tu r a

d is m in u y e r a a ú n m á s , e l m a r c o s e c o n t r a e r ía m á s r á p id o q u e e l v id r io y

s e g e n e r a r í a e s f u e r z o e n é s t e . P o r s u p u e s t o , s i e l e s f u e r z o e s lo b a s t a n

t e g r a n d e , e l v id rio s e p o d r ía r o m p e r y ta l v e z h e r i r a lo s in q u ilin o s d e l

ed if ic io . S e d e b e m o d if ic a r la v e n t a n a p a r a q u e h a y a u n a m a y o r d i f e r e n

c ia d e t a m a ñ o e n t r e e l v id rio y e l m a r c o d e a lu m in io .

4 - 4 E S F U E R Z O T E R M IC O

En la sección anterior, las piezas estructurales som etidas a cam bios de tem peratura se encontraban libres, de manera que podían d ilatarsey contraerse con libertad. Si laspiezas se sujetaran de tal modo que se im pidiera la deform ación, se generarían esfuerzos.

Considérese un miembro estructural de acero en un hom o que se calienta m ientras que los elementos a los cuales está conectado se m antienen a una tem peratura más baja. Si se supone el caso ideal, los apoyos se considerarían rígidos e inmóviles. D e este modo se im pediría la expansión del elemento de acero.

Si se permitiera que la pieza de acero se expanda, se alargaría en una proporción deS = a L Aí. Pero como está sujeta, esta cantidad representa la deform ación total aparente del acero. Luego la deformación unitaria sería:

a-L-A/= a(At )

L L

El esfuerzo resultante en la pieza se puede hallar por medio de:

(4 -8 )

a = Ee

O E s fu e rz o té rm ic oa = Ea(Al ) (4 -9 )

E je m p lo U n m ie m b ro e s tru c tu ra l d e a c e r o A IS 1 1 0 2 0 e n un h o m o e x p e r im e n ta u n in c re m e n to d e

4 - 8 te m p e r a tu ra d e 9 5 °F m ie n tra s q u e s e s u je ta p o r s u s e x t r e m o s . C a lc u le el e s f u e r z o r e s u l ta n

t e e n e l a c e r o .


D a to s

S ección 4 - 4 ■ E s fu e rz o té rm ico

C a lc u la r e l e s f u e r z o té r m ic o e n e l a c e r o .

El a c e r o e s A IS 1 1 0 2 0 ; e n la ta b la 4 - 1 , a = 6 . 5 x 1 0 "6oF _1.

£ = 3 0 x 1 06p si; Af = 9 5 ° F .

1 2 5

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La figura 4-1 muestra un tubo de acero relleno de concreto que se usa para soportar parte de una gran estructura. La carga se distribuye uniform em ente en la cara superior del tubo. Se desea determinar el esfuerzo tanto en el acero como en el concreto.

En la deducción de la solución a este problem a se deben entender dos conceptos.

1. El acero y el concreto comparten la carga total F de tal modo que F = FS + FC.

2. Bajo la carga de compresión F, el apoyo com puesto se deform a y los dos m ateriales también se deforman en la m ism a cantidad. Es decir, S¡ = Sc.

Com o el acero y el concreto originalm ente tenían la misma longitud:

F I G U R A 4 - 1 Poste de acero y concreto.

Si = S,

L L

Pero:

:c

Asimismo:

Ec

Por consiguiente:

a , a c

Al resolver para crs se obtiene:

cr, ( 4 - 1 0 )

Esta ecuación da la relación entre los dos esfuerzos.

Sección 4 - 5 ■ E le m en to s es tru c tu ra le s hech os de m ás d e un m ate ria l 1 2 7

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Con la ecuación (4 -1 0 ) se obtiene:

_ <rcE s _ (1 9 4 6 p s i) (3 0 x 106 p si)

° ’s “ E c ~ 3 .3 x 106 p si= 1 7 6 9 6 p si

C o m e n ta r io s Estos esfuerzos son bastante elevados. Si se quisiera tener por lo m enos un factor de diseño de 2.0 con base en la resistencia a la cedencia

del acero y de 4.0 con base en la resistencia nominal del concreto, las

resistencias requeridas serían:

Acero: sy = 2 (1 7 696 psi) = 35 392 psi

Concreto: crc nominal = 4 (1 946 psi) = 7784 psi

El acero podría ser semejante al A IS11020 recocido o a cualquier otro de mayor resistencia. Una resistencia nominal de 3000 psi para el concreto no sería satisfactoria.

R e s u m e n . El análisis del problema 4 -1 0 se puede generalizar para cualquier situación en la que dos o más elementos estructurales hechos de diferentes m ateriales com partan las cargas siempre y cuando experim enten deformaciones iguales. Si se reemplazan los subíndices s y c en el análisis precedente por los subíndices más generales 1 y 2, las ecuaciones (4 -12) y (4-10) se plantean como sigue:

o- 2FE,

a i =

A i E\ + A2E2

(T 2 E \

(4-13)

(4-14)

P R O B L E M A S

D eform ac ión e lá s tic a

4-1.1 Un poste de abeto clase 2 tiene 6.0 pies de longitud y una sección transversal cuadrada de 3.50 plg de lado. ¿Qué tanto se acortaría cuando se somete a su carga de compresión permisible aplicada paralela a la veta?

4-2.M Determine el alargamiento de una tira de plástico de 0.75 mm de espesor por 12 mm de ancho y 375 mm de longitud cuando se somete a una carga de 90 N y se fabrica de a) vidrio con refuerzo de ABSo b) resina fenólica (véase el apéndice A - 19).

4-3.1 Un cilindro hueco de aluminio 2014-T4 tiene un diámetro extemo de 2.50 plg y un espesor de pared de 0.085 plg. Su longitud es de 14.5 plg. ¿Qué fuerza de compresión axial haría que el cilindro se acorte 0.005 plg? ¿Cuál es el esfuerzo resultante en el aluminio?

4 -4 .1 E n u n ca jó n d e ex is te n c ia s de m ate ria l se en co n tró

una barra metálica que parece estar hecha de aluminio o magnesio. Su sección transversal es cuadrada de 0.25 plg de lado. Analice dos métodos con los que se podría determinar de qué material se trata.

4 - 5 . M Se va a diseñar un tirante para un automóvil. Debe soportar una carga repetida de 3500 N y no alargarse más de 0.12 mm en su longitud de 630 mm. Use un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última y calcule el diámetro necesario de una varilla redonda que satisfaga estos requisitos utilizando a) Acero AISI 1020 laminado en caliente, b) Acero AISI 4140 OQT 700 y c) Aleación de aluminio 6061-T6. Compare la masa de lastres opciones.

4 - 6.M La porción sin roscar de un perno de acero tiene12.0 mm de diámetro. Determine el alargamiento en una longitud de 220 mm si se aplica una fuerza de 17.0 kN.

Problem as 1 2 9

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4 - 7.M En la estructura de una aeronave, se diseña una varilla de 1.25mde longitudy sección transversal cuadrada de 8.0 mm de lado. Calcule el alargamiento que experimentaría si se fabrica de a) titanio T Í-6A 1-4V y b) acero inoxidable AIS! 501 OQT 1000. La carga esde5000N.

4 - 8.1 Un tirante de 13.0 pies en una armadura soldada se somete a una fuerza de 35 000 Ib. Elija un ángulo de patas iguales de acero ASTM A36 que limite el esfuerzo a 21 600 psi. Luego calcule el alargamiento del ángulo debido a la fuerza. Use E=29.0 x 106 psi para acero estructural.

4-9.1 Un eslabón en un mecanismo es una barra rectangular de acero que se somete de manera alternada a una carga de tensión de 450 Ib y a una de compresión de 50 Ib. Sus dimensiones son: longitud = 8.40 plg, ancho = 0.25 plg, espesor = 0.125 plg. Calcule el alargamiento y la compresión del eslabón.

4 - 10.1 Una barra de acero con su extremo superior fijo se somete a tres cargas axiales, como se muestra en la figura 4 - 2. El área de su sección circular es de 0.50 plg'. Determine la deflexión del extremo libre.

F I G U R A 4 - 2 B a r r a d e l p r o b le m a 4 - 10 s u je ta

a t e n s ió n a x ia l .

4 - 1 1.1 Un eslabón en una máquina empacadora automática es un tubo hueco de aluminio 6061-T6. Sus dimensiones son: diámetro extemo = 1.250 plg, diáme

1 3 0

tro interno = 1.126 plg, longitud = 36.0 plg. Calcule la fuerza necesaria para producir una deflexión de la barra de 0.050 plg. ¿Sería seguro el esfuerzo producido por la fuerza que se acaba de determinar, si ésta se aplica repetidamente?

4-12.1 Un tirante de una armadura se somete a una carga estática de 2500 Ib. Sus dimensiones son: longitud = 8.75 pies, diámetro externo = 0.750 plg, diámetro interno = 0.563 plg. En primer lugar especifique una aleación de aluminio que sea segura. Luego calcule el alargamiento del tirante.

4-13.M Un tubo hueco de aluminio 6061-T4, d e40 mm de largo, se usa como espaciador en una máquina y se somete a una fuerza de compresión axial de 18.2 kN. El diámetro externo del tubo es de56.0 mm y el interno de 48.0 mm. Calcule la deflexión del tubo y el esfuerzo de compresión resultante.

4-14.1 Un tirante de acero AISI 1020 CD tiene 135 pies de longitud y 0.375 plg de diámetro. Calcule el esfuerzo en el tirante y su deflexión cuando se somete a una fuerza de tensión de 1600 Ib.

4 - 15.M Calcule el alargamiento total de la barra de titanio T Í-6A 1-4V mostrada en la figura 1-24.

4-16.1 Durante una prueba de una barra metálica se encontró que una fuerza de tensión axial de 10 000 Ib produjo un alargamiento de 0.023 plg. Las dimensiones originales de la baña eran: longitud = 10.000 plg,diámetro=0.750plg. Calcule el módulodeelas- ticidad del metal. ¿De qué clase de metal estaba hecha la baña?

4 - 17.M La barra que ilustra la figura 1- 25 soporta tres cargas. Calcule la deflexión del punto D con respecto al punto A. La barra es de plástico policarbonato.

4 - 18.1 Una columna se compone de una base cilindrica de concreto que soporta un tubo de acero de 4 x 4 x 1/2 cuadrado hueco estándar, de 8.60 pies de longitud. La base tiene 3.0 pies de longitud y 8.00 plg de diámetro. En primer lugar, especifique el concreto de la sección 2-10 con una resistencia nominal propia para soportar una carga de compresión de 64 000 Ib. En seguida, si se supone que la columna no se pandea, calcule la cantidad total en que la columna se acortará.

4 - 19.1 Un cable eléctrico de cobre (C14500, duro) calibre 14 de 10.5 pies de longitud se fija rígidamente en el extremo superior de una viga. El diámetro del cable es de 0.064 plg. ¿Cuánto se alargaría si una persona que pesa 120 Ib se cuelga del extremo inferior? ¿Cuánto se alargaría si la persona pesa 200 Ib?

C a pítu lo 4 ■ D e fo rm ac ió n y e s fu e rzo té rm ico

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4-20.1 Una cinta de medir como la que utilizan los carpinteros es de 25.00 pies de longitud y está hecha con una tira de acero plana con las dimensiones siguientes: ancho = 0.750 plg, espesor = 0.006 plg. Calcule el alargamiento que experimenta y el esfuerzo en el acero si se le aplica una fuera de tensión de 25.0 Ib.

4-21.1 Se fabrica un poste con un tablón estándar de 4 x 4 (Apéndice A -4) de pino del sur clase 2, calcule la carga de compresión axial que podría soportar antes de que alcance su esfuerzo permisible de compresión paralelo a la veta. En seguida, si el poste es de 10.75 pies de longitud, calcule la cantidad que se acortaríapor la acción de la carga mencionada.

4- 22.M Con un hierro dúctil, ASTM A536, grado 60-4018, se forma un perfil cuadrado hueco, de 200 mm de dimensión externa y 150 mm de dimensión interna. Calcule la carga que produciría un esfuerzo de compresión axial en el hierro de 200 MPa. En seguida, con esa carga, calcule el acortamiento del perfil a partir de su longitud original de 1.80 m.

4-23.M Un alambre de latón (C36000, duro) tiene un diámetro de 3.00 mm y una longitud inicial de 3.600 m. En esta condición, el extremo inferior, con una placa para aplicar una carga, está a 6.0 mm del suelo. ¿Cuántos kilogramos de plomo se tendrían que agregar a la placa para que apenas toque el suelo? ¿Cuál sería el esfuerzo en el alambre en ese momento?

4-24.M Calcule el alargamiento de la barra cuadrada AB que ilustra la figura l-3 0 s ie sd e 1.25 m de longitud y está hecha de aluminio 6061-T6.

Deform ación té rm ic a

4-25.1 Una losa de concreto en una carretera es de 80 piesde longitud. Determine el cambio de longitud de la losa si la temperatura cambia de - 30 °F a + 110 °F.

4-26.M Un riel de acero laminado en caliente AISI 1040 para guía de ferrocarril es de 12.0 m de longitud. Determine el cambio de longitud del riel si la temperatura cambia de - 34 °C a +43 °C.

4-27.M Determine el esfuerzo que se generaría en el riel del problema 4-26 si estuviera restringido por completo, lo que impediría que se expandiera.

4-28.M Las varillas de empuje que accionan las válvulas en un motor de seis cilindros son de acero AISI 1040 y de 625 mm de longitud y 8.0 mm de diámetro. Calcule el cambio de longitud de las varil las si su temperatura varía de - 40 °C a +116 °C considerando que nada impide su dilatación.

4- 29.M Si las varillas del problema 4 - 28 se instalaron con tolerancia cero con respecto a otras piezas del mecanismo de válvulas a 25 °C, calcule lo siguiente:

Problemas

a) La tolerancia entre las piezas a - 40 °C.

b) El esfuerzo en las varillas generado por la elevación de la temperatura a 116 °C.

Suponga que las piezas en contacto son rígidas.

4 - 30.1 La plataforma de un puente es una losa continua de concreto de 140 pies de longitud a 30 °F. Determíne el ancho de las juntas de expansión que se requiere en los extremos del puente, suponiendo que no se debe generar esfuerzo cuando la temperatura varíe de +30 °F a +110 °F.

4-31.1 Cuando se instaló la plataforma del puente del problema 4-30, el ancho de la junta de expansión en cada extremo era de sólo 0.25 plg. ¿Qué esfuerzo se producirá si los apoyos son rígidos? Para el concreto usesc=4000 psi y halle/Ten la sección 2-10.

4 - 32.1 Para la plataforma del puente del problema 4-30, suponga que aquélla debe hacer contacto con su apoyo j usto a la temperatura de 110 °F. Si la plataforma se ha de instalar cuando la temperatura sea de 60 °F, ¿cuál debería ser la separación entre la plataforma y su apoyo?

4 - 33.M Se tiene que montar un anillo de acero inoxidable AISI 301 en una flecha que está a una temperatura de 20 °C y cuyo diámetro es de 55.200 mm. El diámetro interno del anillo es de 55.100 mm. ¿A qué temperatura se debe calentar el anillo para que su diámetro sea de 55.300 mm y se pueda deslizar en la flecha?

4 - 34.M Cuando el anillo del problema4-33 se montaen la flecha y luego se enfría de nuevo a 20 °C, ¿qué esfuerzo de tensión se desarrollará en él?

4 - 35.M Un intercambiador de calor se arma disponiendo varios tubos de latón (C36000) en el interior de una coraza de acero inoxidable (AISI 430). Al principio, cuando la temperatura es de 10 °C, los tubos son de 4.20 m de longitud y la coraza de 4.50 m de longitud, respectivamente. Determine el alargamiento de cada uno de los componentes cuando se calienten a 85 °C.

4 - 36.1 En Alaska, un tramo de oleoducto de acero AISI 1020 y que tiene 40 pies de largo, puede experimentar variaciones de temperatura desde -50 °F rasBáp ?s}¿ 3 iejzpejiaüK? sminioaie ¿fe* .haxt? +140 °F cuando por él circula petróleo caliente. Calcule el cambio de longitud del tramo de oleoducto en estas condiciones.

4 - 37.M A 20 °C las dimensiones de una barra cuadrada de magnesio son de 30 mm de lado y 250.0 mm de longitud. Se coloca entre dos apoyos rígidos separados 250.1 mm entre sí. Acto seguido la barra se calienta a 70 °C mientras que los apoyos no se mueven. Calcule el esfuerzo resultante en la barra.

131

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4 - 38.M Una barra cuadrada, de 8.0 mm de lado, es de acero AISI 1040 estirado en frió y su longitud es de 175 mm. Se coloca sin holgura entre dos apoyos inmóviles sin ningún esfuerzo en ella. En seguida la temperatura se incrementa en 90 °C. ¿Cuál es el esfuerzo final en la varilla?

4-39.1 La longitud de una varilla cuadrada de aluminio 6061-T4a75°Fesde 10.500 plg. Se coloca entre dos apoyos rígidos separados 10.505 plg entre sí. Si los apoyos no se mueven, describa lo que le ocurriría a la barra cuando su temperatura se eleve a400°F.

4 - 40.1 Un nivel de carpintero se coloca sobre dos bañas;una de resina de poliéster y la otra de titanio T i- 6A1—4V. La distancia entre las barras es de 24.00 plg. A una temperatura de 65 °F, el nivel se encuentra perfectamente nivelado y la longitud de las barras es de 30.00 plg. ¿Cuál seria el ángulo de inclinación del nivel cuando la temperatura se ele- vaa212°F?

4 - 41.1 Cuando se fabricó, la longitud de una cinta de medir de acero (AISI 1040) era exactamente de 25.000 pies de largo a una temperatura de 68 °F. Calcule el error que resultaría si la cinta se usa a -15 °F.

4 - 42.M La figura 4 - 3 muestra dos barras de diferentes materiales separadas por 0.50 mm cuando la temperatura es de 20 °C. ¿A que temperatura se tocarían?

4 -43 .M Un alambre de acero inoxidable (AISI 1030) se estira entre dos soportes rígidos de manera que se induce un esfuerzo de 40 MPa en el alambre a una temperatura de 20 °C. ¿Cuál seria el esfuerzo a -15 °C?

4 - 44.M Enlascondicionesdescritasenelproblema4-43, ¿a qué temperatura sería nulo el esfuerzo en el alambre?

4 - 45.M Se fabrica unpostecortosoldandoplacasdeacero en forma de cuadrado, como se muestra en la figura 4 -4 y en seguida se rellena de concreto el área interna. Calcule el esfuerzo en el acero y en el concreto si b= 150 mm, t = 10 mmy el poste soporta una carga axial de 900 kN. Véase la sección 2 - 10 en busca de las propiedades del concreto. Use sc= 6000 psi.

A cero

Concreto

E le m e n to s h e c h o s d e d o s m a te r ia le s

4-46.1

> Ó .Q.;- V 'q .. sj-c^o.'pr.cfS vC1 o '2 ¡ ¿'tóSJSrV [Vo. 'ci'Q wi'tf Ti‘~> - A

T

4-47.1

F IG U R A 4 - 4 Poste de lo s problem as 4 - 45

y 4 - 4 6 .

Se fabrica un poste corto y se rellena de concreto un tubo de acero estándar de 6 x 6 x 1/2, como se muestra en la figura 4 - 4. El esfuerzo permisible del acero es de 21 600 psi. La resistencia nominal del concreto es de 6000 psi pero, en este caso, el esfuerzo se debe limitar a 1500 psi. Véase la sección 2 - 10 donde se da el módulo de elasticidad del concreto. Calcule la carga permisible en el poste.

Se va a diseñar un poste corto para que soporte una carga de compresión axial de 500 000 Ib. Se tiene que fabricar soldando placas de acero A36 de 1 /2 plg de espesor en forma de cuadrado y llenando el área interna de concreto, como se muestra en la

------ "S e p a r a c ió n in ic ia l

d e 0 .0 5 m m

A c e r o i n o x i d a b l e - A I S I 4 3 0

b a r r a c u a d r a d a - 12 m m d e la d o

L a tó n -C 3 6000

barra c u a d ra d a - 8 m m d e lado

F IG U R A 4 - 3 Problem a 4 - 4 2 .

1 3 2 C apítu lo 4 ■ D e fo rm ac ión y es fu e rz o té rm ico

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5

E s fu e rzo co rta n te to rs io n a l

y d e fle x ió n to rs io n a l


Torsión se refiere a la carga de un m iem bro estructural que tiende a torcerlo. Sem ejante carga se llama par de torsión, momento de torsión o par. Cuando se aplica un par de torsión a un miembro estructural, tal com o una flecha circular, se genera esfuerzo cortante en ella y se crea una deflexión torsional, la cual produce un ángulo de torsión en un extrem o de la flecha con respecto al otro.

D espués de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. D efin irp ar de torsión y calcular el par de torsión que se ejerce en un m iem bro

estructural sujeto a una carga torsional.

2. Definir la relación entre las tres variables críticas que intervienen en la transm isión de potencia: potencia, par de torsión y velocidad de rotación.

3. M anejar las unidades de potencia, par de torsión y velocidad de rotación tanto en el sistem a métrico decim al com o en el sistem a estadounidense.

4. C alcular el esfuerzo cortante máxim o en un m iem bro estructural som etido a una carga de torsión.

5. Definir el momento polar de inercia y calcular su valor para flechas redondas

sólidas (o m acizas) y huecas.

6. Calcular el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de un elem ento sometido

a torsión.

7. Especificar un diseño conveniente por esfuerzo cortante para un m iem bro estructural sometido a torsión.

1 3 5

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8. Definir el módulo de sección polar y calcular su valor para flechas redondas

sólidas y huecas.

9. Determ inar el diám etro que se requiere de una flecha para que soporte, con

seguridad, un par de torsión dado.

10. Com parar el diseño de flechas sólidas y huecas con base en la masa de las mismas requerida para soportar un cierto par de torsión al m ism o tiem po que se lim ita el esfuerzo cortante torsional a un cierto valor de diseño.

11. A plicar factores de concentración de esfuerzo a elem entos estructurales que se

someten a torsión.

12. Calcular el ángulo de torsión de un m iem bro estructural que se som ete a tor

sión.

13. Definir el módulo de cortante de elasticidad.

14. Analizar el m étodo para calcular el esfuerzo cortante y la deflexión torsionales en el caso de elem entos estructurales de secciones transversales no circulares.

15. D escribir las formas generales de elem entos estructurales que disponen de una rigidez torsional relativam ente elevada.

P A R D E T O R S IÓ N , P O T E N C IA Y V E L O C ID A D D E R O T A C IÓ N

U na tarea necesaria cuando se trata de calcular el esfuerzo cortante torsional y la deflexión torsional es la com prensión del concepto de par de torsión y la relación entre las tres variables criticas que intervienen en la transm isión de potencia: par de torsión, potencia

y velocidad de rotación.La figura 5-1 muestra una llave de cubo con extensión que se utiliza para apretar un

perno. El par de torsión, que se aplica tanto al perno, com o a la extensión, es el producto

C a p itu lo 5 ■ E s fu e rzo c o rtan te to rs io n a l y de fle x ió n to rs io na l

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Sistem a m étrico d e c im a l.

L a p o te n c ia se d e fin e com o la ve lo c id a d de tra n s fe re n c ia de energ ía .

En el SI, el joule es la unidad estándar de energía y equivale a N -m , la unidad estándar de par de torsión. Es decir:

1.0 J = 1.0 N -m

Luego la potencia se define como:

H V U nidades del SI

de potencia

. energía joule J N-m „ . . .potencia = —— = —-----— = - = ----- = watt = W

tiem po segundo s s(5 -3 )

Obsérvese que 1.0 J/s se define como 1.0 watt (1.0 W). El watt es una unidad algo pequeña, por lo que a menudo se usa el kilowatt (1.0 kW = 1000 W).

La unidad estándar de velocidad de rotación en el SI es radianes por segundo, rad/s. Con frecuencia, sin embargo, la velocidad de rotación se expresa en revoluciones por minuto, rpm. La conversión que se necesita, se ilustra a continuación, al convertir 1750 rpm en rad/s.

1750 rev 2ir rad 1 min _ . ,n -------------X ----------X ---------= 183 rad/s

min rev 60 s

Cuando se utiliza n en rad/s en la ecuación (5-2), el radián no se considera como unidad, tal como se ilustra en el ejemplo siguiente.

E jem plo La flecha motriz del bote que se ilustra en la figura 5 -2 transmite 95 kW de potencia5- 2 cuando gira a 525 rpm. Calcule el par de torsión en la flecha.

S olución O bjetivo

Datos

A nális is

Calcular el par de torsión en la flecha.

P =95 kW = 95 000 W = 95 000 N ■ m/s; n = 525 rpm

La ecuación (5-2) se resolverá para T con el fin de calcular el par de torsión.

P = Tir>; luego, T=P/n

Pero n debe expresarse en rad/s, como a continuación se determina:

525 rev 2ir rad 1 min

60 s55.0 rad/s

R esultados El par de torsión es:

„ P 95 000 N-m 1T = — = --------------x -------------

n s 55.0 rad/s1727 N-m

C om entario N ótese que la unidad de radián s e ignoró en los cálculos.

138 C apítu lo 5 ■ E s fue rzo co rta n te to rs io na l y de flex ión to rs iona l

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U n id a d e s e s ta d o u n id e n s e s . Las unidades características de par de torsión, potencia y velocidad de rotación en el sistema estadounidense de medidas son:

T = par de torsión (Ib plg)

n = velocidad de rotación (rpm)

P = potencia (caballos de fuerza, hp)

Nótese que 1.0 hp = 6600 Ib ■ plg/s. Entonces, las conversiones de unidades necesarias para garantizar la com patibilidad de las unidades son:

. . ( rev A 1 min 2n rad 1 hppotencia = T(lb plg) x n\ —— x ------- x -------- x ---------- -------

^min J 60 s rev 6600 Ib plg/s

U nidades

esta dounidenses

de potencia

potencia =Tn

63 000(5 -4 )

E jem plo Calcule la potencia, en caballos de fuerza, transm itida por una flecha que genera un par5-3 de torsión de 15 000 Ib- plg a 525 rpm.


D atos

A nális is

Calcular la potencia transmitida por la flecha.

T = 15 000 Ib plg; n = 525 rpm

S e usará la ecuación (5-4) directam ente porque T y n están en las unid ad es propias de Ib plg y rpm. La potencia s e calculará en caballos de fuerza.

R esultados La potencia es:

P =Tn (15 000) (525)

63000 63000= 125 hp

5 - 3 E S F U E R Z O C O R T A N T E T O R S IO N A L E N E L E M E N T O S

E S T R U C T U R A L E S D E S E C C IÓ N T R A N S V E R S A L C IR C U L A R

Cuando un miembro estructural se somete a un par de torsión extem o, en el material del que está hecho el miembro estructural se desarrolla un par de torsión resistente interno, el cual es el resultado de los esfuerzos generados en el material.

La figura 5 -3(a) m uestra una barra circular que se sometió a un par de torsión, T. La sección N gira con respecto a la sección M como se indica. Si se aísla un elemento en la superficie de la barra, se verá que se sometió a fuerzas cortantes que actúan en las caras paralelas a las secciones transversales M y N, como se ilustra. Estas fuerzas cortantes crean esfuerzos cortantes en el elemento. Para que el elemento sujeto a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elemento deben actuar esfuerzos cortantes de la misma magnitud.

Sección 5 - 3 ■ E s fue rz o co rtan te to rs io na l en e lem en tos es truc tu ra le s de sec c ió n tran sv e rs a l c irc u la r 1 3 9

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Si se resuelve para el par de torsión T se obtiene:

63 000P

n

Recuérdese que esta ecuación da el valor del par de torsión de manera

directa en Ib • plg cuando P e s tá en caballos de fuerza y n en rpm. Por lo

tanto:

T 63 000(12 5)

” 525= 15 000 Ib plg

J 32

nD‘ _ n (1 .25 plg)4

32 ~ 32= 0.240 plg4

y, por último:

7c (15 000 Ib plg)(0.625 plg)

J 0.240 plg4= 39 100 psi

C om entario Este nivel de esfuerzo ocurrirá en todos los puntos de la superficie de la

flecha.

5 - 4 D E R IV A C IÓ N D E L A F Ó R M U L A P A R A E L E S F U E R Z O C O R T A N T E

T O R S IO N A L

La forma estándar de la fórmula para el esfuerzo cortante torsional en una barra circular que se sometió a un par de torsión externo se presentó como la ecuación (5 -5 ) y su uso se ilustró en los ejemplos 5 - 4 y 5-5 . Esta sección dem ostrará la derivación de dicha fórmula. Las figuras 5 -3 y 5 - 4 ilustran la naturaleza general de las cargas de torsión y el efecto del par de torsión en el com portamiento de la barra circular.

En esta derivación, se supone que el material de la barra se com porta según la ley de Hooke; esto es, el esfuerzo es directam ente proporcional a la deformación. A demás, las propiedades de la barra son homogéneas e isotrópicas; es decir, el material reacciona igual sin cuidado de la dirección de las cargas aplicadas. Asim ismo, se supone que la barra es de sección transversal constante cerca de la sección de interés.

Si se consideran dos secciones transversales M y N, en diferentes lugares de la barra, y si la sección JVgira un ángulo Q con respecto a la sección M, las fibras del material experim entarán una deformación que alcanza su valor máxim o en la superficie extem a de la barra y que varía linealmente con la posición radial hasta un valor nulo en el centro de la misma. Puesto que en el caso de m ateriales elásticos que obedecen la ley de Hooke, el esfuerzo es proporcional a la deformación, el esfuerzo máxim o también ocurrirá en el exterior de la barra, como se muestra en la figura 5 - 4. Se m uestra tam bién la variación lineal del esfuerzo, r, con la posición radial, r, en la sección transversal. Asi pues, por la proporción de triángulos semejantes:

r c(5 -8)

1 4 2 C a pítu lo 5 ■ E s fue rzo co rtan te to rs io na l y de fle x ió n to rs io na l

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Por consiguiente, el esfuerzo cortante en cualquier radio puede expresarse com o una función del esfuerzo cortante máxim o que actúa en la superficie externa de la flecha:

T = tmi, X - (5 -9 )c

Es de hacerse notar que el esfuerzo cortante r actúa de modo uniform e en una pequeña área anular, dA, de la flecha, como se ilustra en la figura 5 -5 . A hora bien, com o la fuerza es igual al esfuerzo por el área, la fuerza en el áreaí//f es:

dF = rdA - rmix — X dA

I__ L Je s fu e rz o á re a

El siguiente paso es considerar que el par de torsión d T que se generó por esta fuerza es el producto de í/F p o r la distancia radial a dA. Luego:

r r 2d T = d F X r = Tmáx- d A X r = Z ^ - d A

i__i_i u cfu e rza ra d io

Esta ecuación es el par de torsión resistente interno desarrollado en la pequeña área dA. El par de torsión total que actúa en toda el área sería la sum a de todos los pares de torsión individuales que actúan en todas las áreas de la sección transversal. El proceso de suma se logra mediante la técnica matemática de integración, que a continuación se ilustra:

T = í dT = í rmix- d A J a J a c

En el proceso de integración, las constantes tales com o y c se sacan del signo integral, y la ecuación se escribe como:

Sección 5 - 4 ■ D e riv ac ió n de la fó rm u la pa ra el e s fu e rzo co rtan te to rs io na l 143

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En mecánica, el término I r^dA recibe el nombre de momento polar de inercia y se identifica con el sím bolo/. La derivación á e J se da en lasiguiente sección. La ecuación (5-10)

se escribe entonces:

T = rm„,c

^ = y ( 5 - H )

El método de evaluar ./se describe en la siguiente sección.La ecuación (5-11), que es idéntica a la ecuación (5 -5), se usa para calcular el

esfuerzo cortante máximo en una barra circular sujeta a torsión. El esfuerzo cortante máxim o se presenta en cualquier parte de la superficie exterior de la barra.

M O M E N T O P O L A R D E IN E R C IA D E B A R R A S C IR C U L A R E S S Ó L ID A S

Recurra a la figura 5-5 que muestra una sección transversal circular sólida. Para evaluar

./con:

J = | r 2dA

se considera que dA es el área de un pequeño anillo de espesor dr que se localiza a una

distancia r del centro de la sección.Con dr de pequeña magnitud, el área es la de un listón de longitud igual a la circun

ferencia del anillo por su espesor.

r - e sp e so r d e l an illo

ndA — 27rr X dr

h d c irc u n fe re n c ia d e u n an illo

e n el ra d io r

Por consiguiente, el momento polar de inercia de toda la sección transversal se determina cuando se integra desde r = 0 en el centro de la barra hasta r — R en la superficie exterior.

f* f* f* , 2irR* t t R4J = J r 2dA = J r (2irr) d r = 2 n r d r = = —

En general, conviene más usar el diámetro en lugar del radio. Luego como R = DI2:

_ -tt(d/2)* = v ¡ y (5_ 12)

2 32

C apítu lo 5 ■ E s fue rzo co rtan te to rs iona l y de flex ión tors iona l

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T ip o de F ac to r d e D is e ñ o p o r e s fu e rz o c o r ta n tec a rg a d is e ñ o rd = s v/ 2 N

T o rs ió n e s tá tic a 2 - svl 4

T o rs ió n c íc lic a 4 * syi 8

Im p a c to o c h o q u e tonsiona l 6 Tj = s v/ \2

T A B L A 5-1 Factores de d iseño y esfuerzos cortan tes de d iseñ o para m eta les dúctiles

Donde los valores de svs no están disponibles, pero se pueden calcular como sy/2. Asi se obtienen valores razonables y, por lo general, conservadores, para m etales dúctiles, en especial el acero. Por consiguiente:

OD iseño por

esfuerzo

cortan teTj N 2 N

(5-14)

En un problem a de diseño el par de torsión T se debe conocer. Luego, en la ecuación (5 -11), sólo c y J n o se conocen. Nótese que tanto c com o J s o n propiedades geom étricas del miembro que se va a diseñar. En el caso de m iembros circulares sólidos (flechas), el diámetro define la geom etría por completo. Se dem ostró que:

y:

J =

D

7TDA

32

Ahora conviene señalar que si forma el cociente Jlc, se obtiene una expresión sim ple que

incluye D.En el estudio de la resistencia de materiales, el térm ino J/c recibe el nom bre de

módulo de sección polar, y se usa el sím bolo Zp para denotarlo.

M ódulo de secc ión

p o la r-f le c h a s

só lidas

J n D A I

Z p ~ c ~ 32 X £>/ 2

t tP 3

16(5-15)

Si se sustituye J/c por Z , e n ía ecuación (5-11) se obtiene:

OE sfuerzo

cortan te

m áxim o

(5-16)

O

Para usar esta ecuación en el diseño, se puede hacer rmLl= rd y en seguida resolverse para

M ódulo de

secc ión polar

requerido

Z ,.

T

z ' = 7(5-17)

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a

La ecuación ( 5 - 17) da el valor que se requiere del m ódulo de sección polar de una flecha circular que limita el esfuerzo cortante torsional a trfcuando se somete a un par de torsión T. Luego la ecuación (5 -15) se usa para determ inar el diám etro necesario de una flecha circular sólida. Resolviéndola para D se tiene:

D iám etro

requerido D = (5-18)

Si se va a diseñar una flecha hueca:

M ódulo de secc ión

( ^ \ p o la r-f le c h a s

huecasv D t - P,4

16 D„(5-19)

En este caso, uno de los diám etros o la relación entre los dos diám etros se tendría que especificar para definir la geom etría com pleta de la flecha hueca.

E J E M P L O

P R O G R A M A D O

E jem plo L a t r a n s m is ió n d e u n a t r a n s p o r t a d o r a q u e a l im e n ta c a r b ó n a u n c a r r o d e f e r ro c a r r il e s

5-7 u n a f l e c h a q u e s e s o m e te a to r s ió n p u r a y q u e t r a n s m i te u n p a r d e to r s ió n d e 8 0 0 N m .U n

d i s e ñ o p r o p u e s t o e x i g e q u e la f l e c h a t e n g a u n a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l s ó l i d a . C o m p le te

e l d i s e ñ o y e s p e c i f i q u e p r im e ro u n a c e r o c o n v e n ie n t e p a r a la f l e c h a y lu e g o e l d iá m e tr o .

S oluc ión O b jetivo 1. E s p e c i f i c a r u n a c e r o q u e c o n v e n g a p a r a la f le c h a .

2 . E s p e c i f i c a r e l d iá m e t r o d e la f le c h a .

D atos P a r d e to r s ió n a p l i c a d o = T= 8 0 0 N m .

L a f le c h a im p u ls a a u n a t r a n s p o r t a d o r a d e c a r b ó n .

A ná lis is La solución de este problema se expone en un formato programado.Usted debe contestar cada pregunta, a medida que se van planteando, antes de pasar a la siguiente sección, después de la linea que las separa. Este proceso tiene el propósito de que usted intervenga en las actividades de toma de decisiones con las que se encuentra a diario un diseñador.E n p r im e r lu g a r , c o m o u n a a y u d a e n la s e l e c c ió n d e u n m a te r ia l a d e c u a

d o , ¿ q u é tip o d e c a r g a e x p e r im e n ta r á la f l e c h a e n s e rv ic io ?

E s p r o b a b le q u e la t r a n s m is ió n d e u n a t r a n s p o r t a d o r a d e c a r b ó n e x p e r i

m e n t e u n t ip o d e s e rv ic io e n e x t r e m o s e v e r o c o n f o rm e e l c a r b ó n s e v a

c ía s o b r e la b a n d a t r a n s p o r t a d o r a . P o r c o n s ig u ie n te , e n e l d i s e ñ o s e

d e b e n t e n e r e n c u e n t a l a s c a r g a s d e im p a c to y c h o q u e . A h o r a , ¿ q u é

p r o p i e d a d e s d e b e p o s e e r e l a c e r o p a r a la f l e c h a ?

S e d e b e u s a r u n m a te r ia l m u c h o m u y d ú c til p o r q u e lo s m a te r i a l e s c o n

e s a c a r a c t e r í s t i c a s o p o r t a n c a r g a s d e c h o q u e m u c h o m e jo r q u e lo s f rá

g i le s . El a c e r o d e b e t e n e r u n a r e s i s t e n c i a m o d e r a d a m e n t e e l e v a d a d e

Secc ión 5 - 7 ■ D iseñ o de e le m e n to s c ircu la re s so m e tid o s a to rs ión 1 4 9

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m o d o q u e e l d iá m e tro r e q u e r id o d e la f le c h a s e a r a z o n a b le . E s im p o r ta n

t e q u e s e s e l e c c io n e u n a c e r o m a q u in a b le p o r q u e e s p r o b a b le q u e la

f le c h a r e q u ie r a m a q u in a d o d u r a n te s u f a b r ic a c ió n . ¿ C u á l e s la m e d id a

d e la d u c ti l id a d d e lo s a c e r o s q u e , p o r lo g e n e r a l , s e u s a ?

E n e l c a p i tu lo 2 s e m e n c io n ó q u e e l p o rce n ta je de a la rg am ie n to d e u n

a c e r o e s u n a in d ic a c ió n d e s u d u c tilid ad . P a r a q u e s o p o r te c a r g a s d e im

p a c to o c h o q u e , s e d e b e e s p e c i f i c a r u n a c e r o c o n u n p o r c e n ta je d e a l a r

g a m ie n to d e m á s d e l 1 0 % . A h o ra e s p e c i f iq u e u n a c e r o c o n v e n ie n te .

E x is te n m u c h o s a c e r o s q u e p u e d e n d a r r e s u l t a d o s s a t is f a c to r io s . E s p e

c if iq u e a c e r o A IS 1 1 141 O Q T 1 3 0 0 . T o m e lo s d a t o s p e r t i n e n t e s d e l a p é n

d ic e A - 1 3.

T a l v e z e n c o n t r ó q u e s y = 4 6 9 M P a y q u e e l a la r g a m ie n to d e l 2 8 % in d ic a

u n a e l e v a d a d u c ti l id a d . A s im is m o , n ó t e s e , ta l c o m o s e p la n te ó e n el

c a p i tu lo 2, q u e lo s a c e r o s d e la s e r ie 1100 t i e n e n b u e n a m a q u in a b i l id a d

p o r s u c o n te n id o d e a z u f r e r e la t iv a m e n te e l e v a d o e n la a le a c ió n .

S e u ti l iz a rá n la s e c u a c io n e s ( 5 - 1 6 ) , ( 5 - 1 7 ) y ( 5 - 1 8 ) p a r a c o n t in u a r

e l p r o c e s o d e d i s e ñ o c o n e l o b je tiv o fin a l d e e s p e c i f i c a r u n d iá m e tro

id ó n e o p a r a la f le c h a . S e s a b e q u e e l p a r d e to r s ió n a p l i c a d o e s d e 8 0 0

N m . El s ig u ie n te p a s o c o n s i s t e e n d e te r m in a r u n e s f u e r z o c o r ta n te d e

d i s e ñ o a c e p t a b l e . ¿ C ó m o lo h a r í a ?

L a ta b la 5 - 1 r e q u ie r e r tf= s y /2 N c o n N = 6 ; e s d e c ir , ?<,= s y /1 2 . P o r lo

ta n to , Td = S y /1 2 = 4 6 9 M P a /1 2 = 3 9 .1 M P a = 3 9 .1 N /m m 2. ¿ C u á l s e r í a el

s ig u ie n te p a s o ?

S e p u e d e u s a r la e c u a c ió n ( 5 - 1 7 ) p a r a c a lc u la r e l v a lo r q u e s e r e q u ie r e

d e l m ó d u lo d e s e c c ió n p o la r d e la s e c c ió n t r a n s v e r s a l d e la f le c h a . H á g a

lo a h o r a .

U s te d d e b e t e n e r a h o r a e l Zp = 2 0 .5 x 1 0 3 m m 3 n e c e s a r io , d e te r m in a d o

c o m o s ig u e :

T 8 0 0 N m 10 m mZ p --------- ----------------- ; x -----------= 2 0 .5 x 103 m m 3

Td 39.1 N /m m 2 m

¿ C u á l e s e l s ig u ie n te p a s o ?

C o n la e c u a c ió n ( 5 - 1 8 ) s e c a lc u la e l d iá m e tr o m ín im o a c e p t a b l e d e la

f le c h a . H á g a lo a h o r a .

D min = 4 7 .1 m m s e c a lc u la c o m o s ig u e ,

16(20 .5 x 103) m m 3= 47.1 m m

S e r ía c o n v e n ie n te e s p e c i f ic a r un d iá m e tr o p a r a la f le c h a u n p o c o m a y o r

q u e e l v a lo r a n te r io r . U s e e l a p é n d i c e A - 2 c o m o g u ía y e s p e c i f iq u e un

d iá m e tro .

S e p re f ie re D = 5 0 m m .

C a p itu lo 5 ■ E s fue rzo co rtan te to rs io na l y de fle x ión to rs iona l

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Resum en de los resultadosL a f le c h a s e fa b r ic a rá d e a c e r o A IS 1 1 1 4 1 O Q T 1 3 0 0 c o n u n d iá m e tr o d e

5 0 m m .

C om entarios El e s f u e r z o c o r ta n te m á x im o e n la s u p e r f ic ie e x te r n a d e la f le c h a d e 5 0 m m d e d iá m e tro d e h e c h o e s m e n o r q u e e l e s f u e r z o d e d i s e ñ o p o r q u e s e

e s p e c i f ic ó u n d iá m e tro u n p o c o m a y o r q u e e l d iá m e tr o r e q u e r id o d e 4 7 .1

m m . A c o n t in u a c ió n s e c a lc u la e l e s f u e r z o m á x im o r e a l e n la f le c h a . E n

p r im e r lu g a r , s e c a lc u la e l m ó d u lo d e s e c c ió n p o la r d e la f le c h a d e 5 0 m m

d e d iá m e tro .

7r O 3 7 í( 5 0 ) 3 m m 3

p 16 16

L u e g o , e l e s f u e r z o c o r ta n te m á x im o e s :

2 4 .5 x 103 m m 3

800 N m

Z p 2 4 .5 x 103 m m 3

103 m m

1 m3 2 .6 N /m m 2 = 3 2 .6 M P a

Ahora se demostrará, con un ejemplo, que las flechas huecas son más eficientes que las sólidas. En este caso el término eficiencia se usa como una medida de la masa del material que se necesita de una flecha para soportar un par de torsión dado con un cierto nivel de esfuerzo cortante. El ejemplo siguiente ilustra el diseño de una flecha hueca con diámetro externo un poco más grande que desarrolla el mismo esfuerzo cortante máximo que la flecha sólida de 50 mm de diámetro que se acaba de diseñar. Por consiguiente, la masa de la flecha hueca es equiparable a la de la flecha sólida.

E jem plo U n d i s e ñ o a l te r n o d e la f le c h a d e l e je m p lo 5 - 7 s e r í a u n tu b o h u e c o . S u p o n g a q u e e l tu b o

5-8 d e 6 0 m m d e d iá m e tr o e x te r n o e s t á d is p o n ib le e n e l m is m o m a te r ia l q u e s e e s p e c i f ic ó

p a r a la f le c h a só l id a (A IS 1 1 141 O Q T 1 3 0 0 ) . C a lc u le e l d iá m e tr o in te rn o m á x im o q u e el

tu b o p u e d e t e n e r p a r a q u e s e p r o d u z c a u n e s f u e r z o e n e l a c e r o ig u a l a l d e la f le c h a só l id a

d e 5 0 m m .


Datos

Análisis

C a lc u la r e l d iá m e tro in te rn o m á x im o p e rm is ib le p a r a la f le c h a h u e c a .

S e g ú n e l e je m p lo 5 - 7 , e l e s f u e r z o c o r ta n te m á x im o = rmáx= 3 2 .6 M P a .

D 0 = 6 0 m m . P a r d e to r s ió n a p l ic a d o = T = 8 0 0 N m .

C o m o e l e s f u e r z o c o r ta n te to r s io n a l e s in v e r s a m e n te p r o p o rc io n a l al

m ó d u lo d e s e c c ió n p o la r , s e r e q u ie r e q u e e l tu b o h u e c o t e n g a e l m ism o

v a lo r d e Zp q u e e l d e la f le c h a s ó l id a d e 5 0 m m d e d iá m e tro . E s d e c ir , Zp

= 2 4 .5 x 1 0 3 m m 3. A h o ra b ie n , ¿ c u á l e s la fó rm u la p a r a Zp e n e l c a s o d e

u n a f le c h a h u e c a ?

n D i - D !

16 D„

S e s a b e q u e e l d iá m e tro e x te r n o D 0e s d e 6 0 m m . L a e c u a c ió n s e r e s u e l

v e p a r a e l d iá m e tro in te rn o q u e s e r e q u ie r e , D¡. H á g a lo a h o r a .

Secc ión 5 - 7 ■ D iseñ o de e le m e n tos c ircu la res som etid os a tors ión 151

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5 - 8 C O M P A R A C IÓ N D E E L E M E N T O S C IR C U L A R E S

S Ó L ID O S Y H U E C O S

En muchas situaciones de diseño, la econom ía en el uso de material es un im portante criterio del desem peño de un producto. En aplicaciones aeroespaciales, cualquier reducción en la masa de la aeronave o vehículo espacial increm enta la carga útil. Los autom óviles consum en m enos com bustible cuando son más ligeros. A sim ism o, com o la m ateria

prim a se adquiere con base en un precio por unidad de masa, una pieza ligera casi siem pre

cuesta menos.Para econom izar m aterial en la fabricación de m iem bros de carga se requiere que

éstos se sometan a un nivel de esfuerzo próxim o al esfuerzo de diseño seguro. De esta

m anera cada porción del m iembro soporta una parte de la carga.Para ilustrar este punto se pueden usar los ejem plos 5—7 y 5—8. Recuérdese que los

dos diseños que se ilustran en la figura 5 -7 producen el m ism o esfuerzo cortante torsional en la flecha de acero. El diámetro externo de la flecha hueca es un poco m ás grande, pero el volumen de metal es lo que determ ina la masa de la flecha. C onsidérese un segm ento de flecha de 1.0 m de longitud. El volumen de la flecha sólida es igual al área de la sección

transversal por la longitud.

t t D 1V, = AL = — — L

4

7t (50 mm)2X 1.0 m X

1 m"

(10 mm)= 1.96 X 10"’ m3

La masa es el volum en por la densidad, p . El apéndice A -13 da la densidad del acero com o 7680 kg/m 3. Por lo tanto, la m asa de la flecha sólida es Vs x p.

M, = 1.96 X 10~3 m 3 X 7680 kg/m 3 = 15.1 kg

A hora el volumen de la flecha hueca es:

VH = AL — — (D i - D}) (L)4

= — (602 - 4 8 .4 2) m m 2 X 1.0 m X1 m

(10 mm)*

= 0.988 X 10“’ m3

La m asa de la flecha hueca es VH x p.

Mh = 0.988 X 10~3 m3 X 7680 kg /m 3 = 7.58 kg

De este m odo se puede ver que la flecha hueca tiene casi la mitad de la masa de la flecha sólida, aun cuando a am bas se les som etió al m ism o nivel de esfuerzo con un par de

torsión dado. ¿Por qué?La razón de que la flecha hueca sea más ligera es que la m ayor parte de su material

se som ete a un nivel de esfuerzo más elevado que en la flecha sólida. La figura 5-4

Secc ión 5 - 8 ■ C o m p a ra c ió n de e le m e n to s c irc u la re s s ó lid o s y huecos 1 5 3

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muestra la distribución del esfuerzo en la flecha sólida. El esfuerzo m áxim o, 32.6 MPa, ocurre en la superficie externa. El esfuerzo en tal caso varía linealmente con el radio en otros puntos de la flecha hasta cero en el centro. Por consiguiente el material cerca de la parte media de la flecha, en este caso, no se usa con eficiencia.

Com párese lo anterior con la flecha hueca de la figura 5 -6 . Asimismo, el esfuerzo en la superficie externa es el máximo, 32.6 MPa. El esfuerzo en la superficie interna de la flecha hueca se determina con la ecuación (5-6).

T — rmá* ~

En la superficie interna, r= R¡ = D/2 = 48.4 mra/2 = 24.2 mm. Además, c = R0 = D J2 = 60 mm/2 = 30 mm. Luego:

24.2t = 32.6 M Pa— = 26.3 MPa

El esfuerzo en puntos entre las superficies interna y externa varía linealmente con el radio en cada punto. Por consiguiente, todo el material de la flecha hueca expuesto en la figura5 -6 está sometido a un esfuerzo bastante elevado pero seguro. Esto ilustra por qué la sección hueca requiere menos material.

Desde luego, los datos específicos que exhibe la ilustración anterior no se pueden generalizar a todos los problemas. Sin embargo, se puede concluir que, en el caso de carga torsional de miembros circulares, una sección hueca se puede diseñar de modo que sea más ligera que una sección sólida, si bien el material de am bas se ve sometido al mism o esfuerzo cortante torsional máximo.

C O N C E N T R A C IO N E S D E E S F U E R Z O E N E L E M E N T O S

S O M E T ID O S A T O R S IÓ N

Los miembros sometidos a torsión, en especial las flechas transm isoras de potencia, con frecuencia se fabrican con cambios de geom etría en varias posiciones. La figura 5-8

F IG U R A 5 -8 Flecha con concen trac iones de esfuerzo.

C a p itu lo 5 ■ E s fue rzo co rtan te to rs io na l y de flex ió n to rs iona l

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muestra un ejemplo. Éste es un segmento de una flecha en la que se va a m ontar un elemento transm isor de potencia como, por ejemplo, un engrane. El diám etro del agujero en la maza del engrane es tal que permite deslizarlo en el extrem o derecho de la flecha donde el diámetro de ésta e s d = 25 mm. En el cuñero se inserta una cuña rectangular y habría un cuñero correspondiente en la maza del engrane para que se deslice sobre la cuña. El engrane se deslizaría entonces de derecha a izquierda hasta que se detuviera contra el hom bro de la sección 2 por el incremento en el diám etro de la flecha a D = 40 mm. Para mantener el engrane en posición, se inserta un anillo de sujeción en la ranura de la sección 4.

Los cambios de la sección transversal de un miembro som etido a torsión provocan que el esfuerzo local cerca de los cam bios sea m ayor que el que se pronosticó mediante el uso de la fórmula para el esfuerzo cortante torsional. El nivel real de esfuerzo en tales casos se determina de m anera experim ental. En tal caso se determ ina un factor de concentración de esfuerzo que permita que el esfuerzo m áxim o en diseños sim ilares se calcule con la relación:

= K ,T „ om = K,(T/ZP) (5 -20 )

El té rm ino r„omes el esfuerzo nom inal causado por la to rsió n que se desarro llaría en las piezas si la concentración de esfuerzo no estuviera presente. Por consiguiente, para calcular el esfuerzo nominal se usan las fórmulas para esfuerzo cortante torsional estándar [ecuaciones (5 -5 ) y (5-16)]. El valor de K,es un factorpor el cual el esfuerzo m áxim o real es m ayor que el esfuerzo nominal.

Si se recurre de nuevo a la figura 5 -8 , se observa que habría varios niveles de esfuerzo en diferentes lugares a lo largo de la barra, aun cuando el par de torsión que se aplica fuera el mismo a lo largo de toda ella. Los diámetros diferentes y la presencia de concentraciones de esfuerzo ocasionan los niveles de esfuerzo variables. El esfuerzo en la sección 1, donde D = 40 mm, sería relativamente bajo, por la presencia de un diámetro grande y un módulo de sección polar que, en correspondencia, sería tam bién grande. En la sección 2, el diámetro de la flecha se reduce a d = 25 m m y el escalón produce una concentración de esfuerzo que tiende a elevar el nivel de esfuerzo local. Por esta razón, el cuñero en la sección 3 produce una concentración de esfuerzo diferente. En la sección 4 concurren dos factores importantes que tienden a increm entar el esfuerzo local. El corte de la ranura para anillo reduce el diámetro a. dg = 16 mm y tam bién produce dos escalones m uy cercanos entre sí con radios de redondez un tanto pequeños en el fondo de la ranura. En la sección 5, lejos de la ranura, el esfuerzo sería igual al esfuerzo nominal en la flecha de 25 mm de diámetro. El ejemplo 5 -10 ilustra todas estas situaciones mediante cálculos reales de los esfuerzos en las cinco secciones de la flecha.

Primero, se analizará más a fondo la naturaleza de los factores de concentración de esfuerzo. La lista siguiente de gráficas de apéndices da datos sobre varios casos representativos.

Apéndice A -2 1 -5 : Barra redonda con un agujero transversa] som etida a torsión

Apéndice A -2 1-6: Barra redonda ranurada som etida a torsión

Apéndice A -2 1-7: Barra redonda escalonada som etida a torsión

Apéndice A -2 1-11: Flechas con cuñeros (véase también la figura 5-9)

B a rra re d o n d a c o n u n a g u je ro t r a n s v e rs a l. El objeto de perforar un agujero en una flecha es insertar un pasador a través del agujero y a través del agujero correspondiente en la maza de un elemento de máquina tal com o un engrane, polea o rueda dentada para

Secc ión 5 - 9 ■ C o n ce n tra c io ne s de e s fu e rzo en e lem e n tos so m e tid os a to rs ió n 1 5 5

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cadena. El pasador sirve para situar el elem ento de m áquina axialm ente en la flecha al mismo tiempo que también transm ite el par de torsión de la flecha al elem ento o de éste a la flecha. El agujero en la flecha es un cambio repentino de geom etría y causa una concentración de esfuerzo. El apéndice A -2 1-5 es una gráfica de este caso con la que se puede determ inar K,. La curva C corresponde al caso de flechas som etidas a torsión. N ótese que la fórmula para el esfuerzo nominal en la flecha se basa en toda la sección transversal

circular bruta de la flecha.

B a rra re d o n d a ra n u ra d a . Las ranuras de fondo redondeado se cortan en las barras redondas con el objeto de instalar sellos o para distribuir aceite lubricante alrededor de una flecha. El factor de concentración de esfuerzo depende de la relación del diám etro de la flecha al diámetro de la ranura y de la relación del radio de la ranura al diám etro de la misma. La ranura se corta con una herram ienta de boca redondeada que produce la ranura de fondo redondeado. El radio ha de ser tan grande com o sea posible para reducir al mínimo el factor de concentración de esfuerzo. N ótese que el esfuerzo nominal se basa en el diámetro en la base de la ranura. Véase el apéndice A -2 1-6.

B a rra re d o n d a e s c a lo n a d a . Las flechas con frecuencia se fabrican con dos o más diámetros, lo que da por resultado una flecha escalonada com o la que se m uestra en el apéndice A -2 1-7. La cara del escalón sirve para localizar un lado de un elem ento que se m onta en la flecha, tal com o un cojinete, engrane, polea o una rueda dentada para cadena. Se debe tener cuidado al definir el radio de la base del escalón, llam ado radio de redondeo. Deben evitarse los vértices puntiagudos, porque provocan factores de concentración

de esfuerzo m uy elevados. El radio ha de ser tan grande com o sea posible y al m ismo tiem po com patible con los elementos montados en la flecha.

Los anillos de retención que se asientan en las ranuras cortadas en la flecha, a m enudo se usan para localizar elementos de máquina, com o se m uestra en la figura 5-8 . Las ranuras por lo general son de fondo plano con radios pequeños en los costados. Algunos diseñadores tratan a tales ranuras com o si fueran dos escalones m uyjuntos en la flecha y utilizan la gráfica de flechas escalonadas (apéndice A -2 1 -7 ) para determ inar el factor de concentración de esfuerzo. Por el radio pequeño en la base de la ranura, el radio relativo con frecuencia es bastante pequeño, lo cual resulta en que se tom en valores elevados de K, de la gráfica. En tales casos, suele usarse un valor de K, = 3.0.

F le c h a s c o n c u ñ e ro s . Los elementos transm isores de potencia por lo general trans

miten un par de torsión hacia y desde las flechas por m edio de cuñas que se insertan en cuñeros en la flecha, com o se muestra en la figura 5-9 . La polea de banda en V montada en el extremo de la flecha m otriz constituye un ejemplo. Dos tipos de cuñeros son los de

uso más frecuente: los cuñeros de extremo y los de perfil.Para cortar el cuñero de extremo, por lo general en el extrem o de una flecha, se usa

una fresa circular de espesor igual al ancho del cuñero, como se m uestra en la figura5-9(b). Al final del corte, la fresa deja un radio pequeño, com o se ilustra en la vista lateral,

q u e d a d , = 1.6 com o valor de diseño.Un cuñero de perfil se corta con una fresadora escariadora de diám etro igual al

ancho del cuñero. Cortado, por lo general, en un lugar distante a los extrem os de la flecha, deja esquinas interiores a escuadra en los extremos del cuñero visto de lado, como se m uestra en la figura 5-9(c). Éste es más severo que el cuñero de extrem o y se usa un valor de K ,=2.0. N ótese que los factores de concentración de esfuerzo tienen en cuenta tanto la remoción de material de la flecha com o el cambio de geometría.

Secc ión 5 - 9 ■ C o n ce n tra c io n e s de e s fu e rzo en e lem e n tos so m e tido s a to rs ió n 1 5 7

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A h o ra y a s e p u e d e c a lc u la r e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o .

K ,T ( 1 .5 5 X 4 5 0 0 Ib p lg )^rnax —

0 .3 8 3 p lg 3• = 18 200 p s i

C om entarios N ó te s e q u e e l e s f u e r z o e n la r a n u r a e s s u s t a n c i a l m e n t e m á s e l e v a d o

q u e e n la p a r t e d e l d iá m e tr o m á x im o d e la f le c h a . A d e m á s , e l u s o d e l

f a c to r d e c o n c e n t r a c ió n d e e s f u e r z o e s e s e n c i a l p a r a p r e d e c i r e l n iv e l d e

e s f u e r z o m á x im o r e a l e n la r a n u ra .

E jem plo L a f ig u ra 5 - 8 m u e s t r a u n s e g m e n to d e u n a f le c h a d o n d e s e v a a m o n ta r u n e n g r a n e

5 - 1 0 s o b r e e l c u ñ e r o d e la s e c c ió n 3 . S e a p o y a r á c o n t r a e l h o m b r o d e la s e c c ió n 2 y s e m a n

te n d r á e n p o s ic ió n c o n u n an illo d e r e te n c ió n q u e s e in s e r ta e n la r a n u r a d e la s e c c ió n 4 .

S e a p l ic a u n p a r d e to r s ió n c íc lic o d e 2 0 N m a lo la rg o d e la f le c h a . C a lc u le e l e s f u e r z o

c o r ta n te m á x im o e n l a s s e c c i o n e s 1 , 2 , 3 , 4 y 5 d e la f le c h a . E n s e g u i d a e s p e c i f i q u e u n

a c e r o id ó n e o p a r a la f a b r ic a c ió n d e la f le c h a .

S olución O bjetivo 1 . C a lc u la r lo s e s f u e r z o s e n la s s e c c i o n e s 1 , 2 , 3 , 4 y 5 .

2. E s p e c i f ic a r u n a c e r o c o n v e n ie n te p a r a la f le c h a .

D atos L a g e o m e t r ía d e la f le c h a q u e s e i lu s tra e n la f ig u ra 5 - 8 . T = 2 0 N m ,

c íc lic o .

A nális is El e s f u e r z o e n c a d a u n a d e l a s s e c c i o n e s s e a n a l i z a r á a p a r t e e n c a d a

s e c c ió n s e p a r a d a p o r u n a l ín e a h o r iz o n ta l a t r a v é s d e la p á g in a . R e c o

m e n d a m o s a l le c to r r e a l iz a r lo s c á lc u lo s q u e s e s e ñ a l a n a n t e s d e c o n

s u l ta r lo s r e s u l t a d o s q u e s e p r o p o rc io n a n . E n c a d a c a s o , e l a n á l i s i s

r e q u ie r e la a p l ic a c ió n d e la e c u a c ió n (5 -2 0 ) .

^"m áx “ K iTIZp

S e c o n s id e r a r á q u e e l p a r d e to r s ió n s i e m p r e e s d e 20 N m . S e d e b e

e v a lu a r e l f a c to r d e c o n c e n t r a c ió n d e e s f u e r z o y e l m ó d u lo d e s e c c ió n

p o la r q u e c o n v e n g a a c a d a s e c c ió n . N ó te s e q u e K , = 1 .0 d o n d e la g e o

m e tr ía n o c a m b ia . A h o ra c a lc u le e l e s f u e r z o e n la s e c c ió n 1.

S e c c ió n 1. L a g e o m e t r ía n o c a m b ia , a s í q u e K, = 1 .0. El d iá m e tr o d e la

f le c h a e s D = 40 m m . E n to n c e s :

7rD 3 rr(4 0 m m )3

16 16

2 0 N m

« 12 5 7 0 m m 3

N

12 5 7 0 m m 3

10 m m , „x ----------- --- 1 .59

m mrrr= 1.59 M P a

A h o ra c a lc u le e l e s f u e r z o e n la s e c c ió n 2 .

S e c c ió n 2. L a f le c h a e s c a l o n a d a y e l r e d o n d e o d e l h o m b r o p r o d u c e n

u n a c o n c e n t r a c ió n d e e s f u e r z o q u e s e d e b e e v a lu a r c o n e l a p é n d ic e

A - 2 1 - 7 . El m ó d u lo d e s e c c ió n p o la r d e b e b a s a r s e e n e l d iá m e t r o m e

n o r; d = 2 5 m m . L o s r e s u l t a d o s s o n :

2 0 N m 103 m m

1 t tc /7 1 6 [tt(2 5 )3/16 ] m m 3

= 6 .5 2 N /m m 2 = 6 .5 2 M P a

Secc ión 5 - 9 ■ C o nc e n tra c io ne s de es fu e rzo en e lem en tos so m etido s a to rs ión 1 5 9

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R e s u m e n d e los re s u lta d o s

E x is te u n a a m p lia v a r ie d a d d e n iv e le s d e e s f u e r z o c e r c a d e l lu g a r e n la

f le c h a d o n d e s e v a a m o n ta r e l e n g r a n e .

t, = 1 .5 9 M P a

t ¡ = 9 .4 5 M P a

r3 = 1 3 .0 4 M P a

t , = 7 4 .7 M P a

= 6 .5 2 M P a

D = 4 0 m m . K, = 1.0.

d = 2 5 m m . K, = 1 .45 . E s c a ló n o r e s a l to .

d = 2 5 m m . K, = 2 .0 . C u ñ e ro .

dg = 16 m m . K , = 3 .0 . R a n u r a p a r a an illo .

d = 2 5 m m . K , = 1.0.

L a e s p e c i f ic a c ió n d e u n m a te r ia l a d e c u a d o s e d e b e b a s a r e n e l e s f u e r z o

q u e a p a r e c e c o n s ig n a d o e n la s e c c ió n 4 d o n d e s e lo c a l iz a la r a n u r a p a r a

an illo . C o n s id e r e q u e e l d i s e ñ o p o r e s f u e r z o Td s e a ig u a l a e s e n iv e l d e

e s f u e r z o y d e te r m in e la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a r e q u e r id a d e l m a te r ia l .

S e d e b e o b t e n e r u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c ia r e q u e r id a d e s y = 5 9 8

M P a . P a r a e l p a r d e to r s ió n c íc lic o , e n la ta b la 5 - 1 s e r e c o m ie n d a A/ = 4 ,

c o n lo q u e s e o b t ie n e :

C o m e n ta r io

Ttf = S y / 2 N = Sy / 8

L u e g o , si s e r e s u e lv e p a r a s r s e o b t ie n e :

s y - 8( t„) = 8 (7 4 .7 M P a) = 5 9 8 M P a

A h o ra e s p e c i f iq u e u n m a te r ia l c o n v e n ie n te .

S e g ú n e l a p é n d ic e A - 1 3 , d o s a c e r o s q u e c o n v ie n e n p a r a e s t e r e q u is i to

s o n A ISI 1 0 4 0 W Q T 9 0 0 y A ISI 4 1 4 0 O Q T 1 3 0 0 . A m b o s t i e n e n u n a

r e s i s t e n c i a b u e n a y u n a a l ta d u c t i l id a d d e a c u e r d o c o n s u p o r c e n t a j e d e

a la r g a m ie n to . S in d u d a , s e p o d r ía n u s a r o t r a s a l e a c i o n e s y t r a t a m ie n to s

té r m ic o s .

R e v is e lo s r e s u l t a d o s d e e s t e e je m p lo , e l c u a l i lu s tra la im p o r ta n c ia d e

c o n s id e r a r lo s d e t a l l e s d e l d i s e ñ o d e u n a f l e c h a e n c u a lq u ie r á r e a lo ca l

d o n d e p u d ie r a n o c u r r ir c o n c e n t r a c i o n e s d e e s f u e r z o s .

5 - 1 0 T O R S I Ó N - D E F O R M A C IÓ N T O R S IO N A L E L Á S T IC A

La rigidez además de la resistencia es una importante consideración de diseño de miembros sujetos a torsión. La medida de la rigidez torsional es el ángulo de torsión de un segmento de una flecha con respecto a otro cuando se aplica un cierto par de torsión.

En aplicaciones de transmisión de potencia mecánica, la excesiva torsión de una flecha puede provocar problem as de vibración que, a su vez, pueden provocar ru idoy una sincronización impropia de las piezas móviles. Una indicación por lo que se refiere a rigidez torsional tiene que ver con el grado de precisión que se desea, com o se indica en la tabla 5 -2 (véanse las referencias 1 y 3).

En el diseño estructural, los m iembros de carga en ocasiones se som eten a torsión así com o también a tensión o flexión. La rigidez de una estructura depende entonces de la rigidez torsional de sus componentes. Cualquier carga aplicada fuera del eje de un miembro y transversal al m ismo producirá torsión. Esta sección analizará la torsión de miem-

S e c c ió n 5 -1 0 ■ T o rs ió n-d e form ac ió n to rs io na l e lás tica 161

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T A B L A 5 -2 R igideces torsionales recom endadas: ángiüo de torsión po r unidad d e longitud.

A plicación

D eflexión torsional

grados/p lg rad/m

Pieza de m áqu ina en general

Precisión m oderada

A lta precisión

1 x lO -3 a 1 x 1(T2 2 x l ( r 5 a 4 x l < r 4

1 x 10-6 a 2 x 10-5

6.9 x MT4 a 6.9 x 1(TJ 1.4 x lO - 5 a 2 .7 X 1 0 -4

6.9 x 10"7 a 1.4 x 10-5

bros circulares, tanto sólidos como huecos. Los perfiles no circulares se estudiaran mas adelante Es muy importante señalar que el comportamiento de un perfil abierto tal como un canal o ángulo es muy diferente del de un perfil cerrado tal como un tubo circular o rectangular. En general, los perfiles abiertos tienen una rigidez torsional muy baja.

Como una ayuda en el desarrollo de la relación para calcular el ángulo de torsion de un miembro circular, considérese la flecha que ilustra la figura 5-3 . Uno de sus extremos se mantiene fijo mientras se aplica un par de torsión T al otro. En estas condiciones la

flecha se torcerá entre los dos extremos a través de un ángulo 6.La derivación de la fórmula para el ángulo de torsión depende de algunas suposi

ciones básicas con respecto al comportamiento de un miembro circular que se somete a torsión. Conforme se aplica el par de torsión, un elemento a lo largo de la superficie externa del miembro, inicialmente recto, gira un pequeño ángulo y (gamma). Asimismo, un radio del miembro en una sección transversal gira en un pequeño ángulo 0. En la figura5-3 las rotaciones y y O guardan relación con la longitud del arco AB en la superficie de la barra. Por la geometría, para ángulos pequeños, la longitud del arco es el producto del ángulo en radianes y el radio medido a partir del centro de rotación. P o r consiguiente, la

longitud del arco AB puede expresarse como:

AB = yL

AB = 0c

en donde c es el radio externo de la barra. Estas dos expresiones para la longitud del arco

AB pueden igualarse entre sí:

yL = 0c

Si se resuelve para y, se obtiene:

0cy “

( 5 - 2 1 )

El ángulo y mide la deformación por cortante máxim a en un elemento de la superficie extem a de la barra. En el capítulo 1 se vio que la deformación por cortante y, se relaciona con el esfuerzo cortante, r, por el módulo de elasticidad a cortante, G. Esa re

lación se expresó como la ecuación (1-7):

TG -----

y( 1 - 7 )

C apítu lo 5 ■ E s fue rzo co rta n te to rs io na l y de flex ió n to rs iona l

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En la superficie extem a, por consiguiente:

t = Gy

Pero la fórmula para el esfuerzo cortante torsional [ecuación (5-11)] establece:

= —7 J

Al igualar estas dos expresiones para y, se obtiene:

Ahora, al sustituirse la ecuación (5 -21) por y, se obtiene:

GOc Te

L ~ J

A hora se puede elim inar c y resolver para 6:

El ángulo de torsión resultante, 0, está en radianes. Cuando en el cálculo se utilizan unidades com patibles para todos los términos, todas las unidades se elim inan y queda un núm ero adimensional. Éste, puede interpretarse com o el ángulo, 0, en radianes.

La ecuación (5 -22) puede usarse para calcular el ángulo de torsión de una sección de una barra circular, ya sea sólida o hueca, con respecto a otra donde L es la distancia en tre ellas, siem pre que el par de torsión T, el m om ento po lar de inercia, y, y el m ódulo de elasticidad a cortante, G, sean los mismos a lo largo de L. Si alguno de estos factores varía en un problem a dado, la barra puede subdividirse en segm entos donde sean constantes para calcular ángulos de rotación de tales segmentos. Luego los ángulos que se calcularon se pueden com binar algebraicam ente para obtener el ángulo total de torsión. Este principio, llamado superposición, se ilustrará por m edio de ejemplos.

El módulo de elasticidad a cortante, G, mide la rigidez torsional del material de la barra. La tabla 5 -3 da valores de G para m ateriales que se seleccionaron.

T A B L A 5 -3 M ódulo de e lastic idad a cortan te , G.

M ódulo aco rta n te , G

M aterial G Pa psi

A ceros al carbón y a leac io n es com unes 80 11.5 X 10"

A cero inoxidable tipo 304 69 10.0 X 10“

A lum inio 6 0 6 1 -T 6 26 3.75 X 10“

C obre a l berilio 48 7.0 X 10“

M agnesio 17 2.4 X 106

A leación de titanio 43 6.2 X 10“

Secc ión 5 -1 0 ■ T ors ió n -d e fo rm a c ió n to rs io na l e lás tica 1 6 3

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E je m p lo D e te r m in e e l á n g u lo d e to r s ió n e n g r a d o s e n t r e d o s s e c c i o n e s c o n u n a s e p a r a c ió n d e

5_11 2 5 0 m m e n u n a v a rilla d e a c e r o d e 10 m m d e d iá m e tr o c u a n d o s e a p l ic a u n p a r d e to r s ió n

d e 1 5 N m . L a fig u ra 5 - 3 ¡ lu s tra la d is p o s ic ió n d e la f le c h a .


D a to s

A n á lis is

R e s u lta d o s

C a lc u la r e l á n g u lo d e to r s ió n e n g r a d o s .

P a r d e to r s ió n a p l ic a d o = T = 1 5 N m . B a r r a c irc u la r : d iá m e tr o = D = 10

m m . L o n g itu d = L = 2 5 0 m m .

S e p u e d e u s a r la e c u a c ió n ( 5 - 2 2 ) . C a lc u le J = 710*132.

G = 8 0 G P a = 8 0 x 1 09 N /m 2 ( ta b la 5 - 3 ) .

. - iJG

El v a lo r d e J e s :

*0* = « 1 0 mmf = 982 mm4

3 2 3 2

L u e g o :

(1 5 N m )(2 5 0 m m )g = JL =

JG (9 8 2 m m 4)(8 0 x 1 0 9 N /m 2)

( 103 m m )3

1 m3= 0 .0 4 8 rad

O b s e r v e q u e t o d a s l a s u n i d a d e s s e e l im in a n , y s i e l á n g u lo s e e x p r e s a

e n g r a d o s s e o b t ie n e :

1 8 0 g r a d o s6 = 0 .0 4 8 ra d x

tt rad= 2 .7 3 g r a d o s

E je m p lo

5 -1 2

D e te r m in e e l d iá m e tr o c o n v e n ie n te d e u n a f le c h a r e d o n d a d e a le a c ió n d e a lu m in io

6 0 6 1 - T 6 s i n o s e d e b e to r c e r m á s d e 0 .0 8 g r a d o s e n 1 .0 p ie d e lo n g itu d c u a n d o s e e

a p l ic a u n p a r d e to r s ió n d e 7 5 I b p lg .


D a to s

A n á lis is

R e s u lta d o s 9 = —JG

C a lc u la r e l d iá m e tr o n e c e s a r io , D , d e la f le c h a r e d o n d a .

P a r d e to r s ió n q u e s e a p l i c a = 7 = 7 5 Ib p lg . L o n g itu d = L = 1 .0 p i e s =

1 2 p lg . Á n g u lo m á x im o d e to r s ió n = 0 .0 8 g r a d o s . A lu m in io 6 0 6 1 - T 6 .

L a e c u a c ió n ( 5 - 2 2 ) p u e d e r e s o lv e r s e p a r a J p o r q u e J e s la ú n ic a e x p r e

s ió n q u e in c lu y e e l d iá m e tr o d e s c o n o c id o , D . L u e g o , d e s p e j e D d e la

e x p r e s ió n J = « 0 V 3 2 . G = 3 .7 5 x 1 06 p s i ( ta b la 5 - 3 ) .

TL

J = ± eG

El á n g u lo d e to r s ió n d e b e e x p r e s a r s e e n r a d i a n e s .

n ra d

9 = 0 .0 8 g r a d o s x = 0 .0 0 1 4 rad

1 6 4

1 8 0 g r a d o s

C a p itu lo 5 ■ E s f u e r z o co rtan te to rs io na l y de fle x ión to rs io na l

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El p r im e r p a s o e s c a lc u la r la m a g n itu d y d ir e c c ió n d e lo s p a r e s d e

to r s ió n q u e s e a p l ic a n a c a d a d is c o , B ,C y D. H á g a lo a h o r a . R e c u e r d e la

d e f in ic ió n d e p a r d e to r s ió n d e la e c u a c ió n ( 5 - 1 ) ._______________________

P o r lo q u e s e re f ie re a la s d i r e c c io n e s , s e s u p o n d r á u n p u n to d e v is ta a lo

la rg o d e la v a rilla a p a r tir d e l e x tr e m o d e r e c h o . L a m a g n itu d d e l p a r d e

to r s ió n e n c a d a u n o d e lo s d i s c o s e s e l p ro d u c to d e la f u e rz a q u e a c tú a

e n s u p e r ife r ia p o r s u ra d io . P o r c o n s ig u ie n te , s i s e c o n s id e r a e l s e n t id o

d e l a s m a n e c i l la s d e l re lo j c o m o p o s itiv o :

P a r d e to rs ió n e n d is c o B , e n e l s e n t id o d e l a s m a n e c i l la s d e l relo j:

7 fl = (1 0 0 N )(1 5 0 m m ) = 1 5 0 0 0 N m m = 15 N m

P a r d e to r s ió n e n e l d is c o C , e n e l s e n t id o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c i l la s

d e l reloj:

Tc = - ( 2 5 0 N )(1 5 0 m m ) = - 3 7 5 0 0 N • m m = - 3 7 . 5 N m

P a r d e to rs ió n e n e l d is c o O, e n e l s e n t id o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c i l la s

d e l reloj

T0 = - ( 5 0 N )(1 5 0 m m ) = -7500 N m m = - 7 . 5 N • m

A h o ra d e te r m in e e l p a r d e to r s ió n e n c a d a s e g m e n t o d e la v a rilla . S e

d e b e t r a z a r u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e c a d a u n o d e lo s s e g m e n t o s

d e la v a rilla e n tr e lo s e x t r e m o s d e c a d a s e g m e n to “c o r ta n d o " la v a rilla y

c a l c u l a n d o la m a g n i tu d d e l p a r d e t o r s i ó n q u e s e a p l i c ó a la v a r i l la

a la d e r e c h a d e l c o r te . El p a r d e to rs ió n in te rn o e n la v a rilla d e b e s e r d e

la m is m a m a g n itu d y d e d ir e c c ió n o p u e s t a a l p a r d e to r s ió n e x te r n o a p li

c a d o p a r a q u e s e m a n te n g a e l eq u ilib rio .S e s u g ie r e q u e c o m ie n c e e n e l e x t r e m o d e r e c h o A. L a c h u m a c e r a

p e rm ite la lib re ro ta c ió n d e la v a rilla e n d ic h o e x tr e m o . E n s e g u id a , m u é

v a s e a la iz q u ie rd a y c a lc u le e l p a r d e to r s ió n e n lo s s e g m e n t o s A B, BC,

C D y DE. ¿ C u á l e s e l p a r d e to r s ió n e n e l s e g m e n t o A B?_______________

E n e l s e g m e n to A B , h a s t a B, p e r o s in q u e s e in c lu y a e l d i s c o B, e l p a r d e

to r s ió n e s c e r o p o r q u e la c h u m a c e r a p e rm ite la l ib re r o ta c ió n . A h o ra ,

c o n s id e r e e l p a r d e to r s ió n a p l ic a d o p o r e l d is c o B y d e te r m in e e l p a r d e

to r s ió n e n e l s e g m e n to BC.____________________________________________

S i s e c o r ta la v a rilla e n u n p u n to c u a lq u ie r a a la d e r e c h a d e C e n el

s e g m e n to B C s e te n d r ía u n p a r d e to rs ió n e x te r n o d e 1 5 N m e n e l s e n t i

d o d e l a s m a n e c i l la s d e l re lo j, d e b id o a l p a r d e to r s ió n d e l d is c o B. P o r

c o n s ig u ie n te , e l p a r d e to rs ió n a lo la rg o d e l s e g m e n t o B C e s .

Tbc = 1 5 N m ( s e n t id o d e l a s m a n e c i l la s d e l re lo j)

S e c o n s id e r a r á q u e e s t e p a r d e to rs ió n a c t ú a e n e l s e n t id o d e l a s m a n e

c illa s d e l re lo j y q u e e s p o s itiv o p o r q u e t i e n d e a g ir a r la v a r illa e n e l s e n t i

d o d e la s m a n e c i l la s d e l re lo j.A h o ra d e te rm in e el p a r d e to rs ió n e n el s e g m e n to C D , l la m a d o TCp ■

S i s e c o r ta la v a rilla e n u n p u n to c u a lq u ie r a e n t r e C y D s e te n d r ía ta n to

7 c c o m o Td a c tu a n d o e n la v a rilla a la d e r e c h a d e l c o r te . P e r o a c tú a n e n

s e n t id o o p u e s t o , u n o e n e l s e n t id o d e l a s m a n e c i l l a s d e l re lo j y e l o tro

e n e l s e n t id o c o n tra r io a l d e la s m a n e c i l la s d e l re lo j. A s í e l p a r d e to rs ió n

n e to a p l ic a d o a la v a rilla e s la d i f e re n c ia e n t r e e l lo s . E s d e c ir :

7c0= - r c + r s = - 37.5 N m + 1 5 N m = - 2 2 . 5 N m ( e n e l s e n t id o

c o n tra r io a l d e l a s m a n e c i l la s d e l re lo j)

A h o ra c o n t in ú e e s t e p r o c e s o p a r a e l s e g m e n to fin a l, DE._______________

C a p ítu lo s ■ E s fue rzo co rtan te to rs io na l y de flex ió n to rs iona l

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P o r c o n s ig u ie n te :

C apítu lo 5 ■ E s fue rzo co rtan te to rs iona l y de flex ión torsíonal

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En la figura 5-17 se muestra una interesante ilustración de la escasa rigidez de los perfiles abiertos esbeltos. La placa delgada (a), el ángulo (b) y el canal (c) tienen el mismo espesor y área de sección transversal y casi la misma rigidez torsional. Asim ismo, si con la placa esbelta va a formarse un perfil circular (d) con una abertura, su rigidez seguiría baja. Sin embargo, si va a cerrarse por completo como en la figura 5 -1 6(a) soldándolo o estirándolo como los tubos sin costura se tendría un elemento un tanto rígido. La comprensión de estas comparaciones sirve para seleccionar un perfil conveniente para ele

mentos sujetos a torsión.La figura 5 -18 muestra siete casos de secciones transversales no circulares de uso

común en el diseño de máquinas y en análisis estructural. El cálculo del esfuerzo cortante m áxim o y el ángulo de torsión se puede llevar modificando un poco la fórmula que se utiliza para secciones transversales circulares dadas aquí.

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E jem plo C o n u n a lá m in a d e a c e r o d e 4 .0 0 m m d e e s p e s o r s e fo rm a u n perfil c i r c u la r d e 9 0 m m d e

5- 14 d iá m e tr o e x te r n o . El p a s o final e s s o ld a r la c o s tu r a a lo la rg o d e l tu b o . L a s f ig u ra s 5 . 17 (a ) ,

5 - 1 7 (d ) y 5 - 1 6 (a ) i lu s tra n la s e t a p a s d e l p r o c e s o . R e a l ic e lo s c á lc u lo s s ig u i e n t e s p a r a

c o m p a r a r e l c o m p o r ta m ie n to d e l tu b o s o ld a d o u n a v e z c e r r a d o c o n e l d e u n tu b o a b ie r to .

(a) C a lc u le e l p a r d e to r s ió n q u e p ro d u c ir ía u n e s f u e r z o d e 1 0 M P a e n e l tu b o

c e r r a d o s o ld a d o .

(b) C a lc u le e l á n g u lo d e to r s ió n d e u n s e g m e n to d e 1 .0 m d e lo n g itu d d e l tu b o

c e r r a d o c o n e l p a r d e to r s ió n d e s c r i to e n e l in c is o (a ).

(c) C a lc u le e l e s f u e r z o e n e l tu b o a b ie r to c o n e l p a r d e to r s ió n d e s c r i to e n el

in c iso (a ).

(d) C a lc u le e l á n g u lo d e to r s ió n d e u n s e g m e n to d e 1 .0 m d e lo n g itu d d e l tu b o

a b ie r to c o n el p a r d e to r s ió n q u e s e d e te r m in a e n e l in c is o (a ) .

(e) C o m p a r e e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n d e l tu b o a b ie r to c o n lo s d e l tu b o c e r r a d o .

S olución La so luc ió n se rea liza rá s i se s ig ue un fo rm ato p ro g ra m ado en cada una d e sus parles,

(a )-(e ), dadas com o secc iones separadas. C ada pa rte de la so luc ió n pu e d e abordarse

com o un p ro b lem a d ife ren te con las secc iones O bjetivo, D atos, A ná lis is y R esultados.

C o m p le te e l in c is o (a ) a h o r a .

O bjetivo C a lc u la r e l p a r d e to r s ió n e n e l tu b o c e r r a d o q u e p ro d u c ir ía u n e s f u e r z o

c o r ta n te to r s io n a l d e 10 M P a .

D atos El tu b o e s d e a c e r o . D0 = 9 0 m m . E s p e s o r d e p a r e d = t = 4 .0 m m .

D, = D0- 2 t = 9 0 m m - 2 ( 4 . 0 m m ) = 8 2 m m .

A nális is U s e la e c u a c ió n 5 - 1 1 p a r a e l e s f u e r z o c o r ta n te m á x im o y r e s u é lv a la

p a r a T.

Resultados Te(5 -1 1 )

L u e g o :

J s e c a lc u la c o n la e c u a c ió n ( 5 -1 3 ) :

J - £ W - V ) ( 5 -1 3 )

C o n D „ = 9 0 m m = 0 .0 9 m y D, = 8 2 m m = 0 .0 8 2 m:

J = — (0 .094 - 0 .0 8 2 4) m 4 = 2 .0 0 x 10 6 m 4 3 2

A h o ra , s e a r máx= 1 0 M P a = 10 x 1 06N /m 2, p o r c o n s ig u ie n te :

r m4x J (10 x 106 N /m 2) (2 .0 0 x 10 6 m 4)= 4 4 4 N m

c 0 .0 4 5 m

1 7 2 C a pítu lo 5 ■ E s fue rzo co rta n te to rs io na l y de flex ió n tors iona l

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L u e g o la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c ia q u e s e r e q u ie r e d e l m a te r ia l p a r a q u e

s e a s e g u r o a u n e s f u e r z o d e 3 1 1 M P a y u n f a c to r d e d i s e ñ o d e 2 .0 e s :

Nra

0 5

2(311 M Pa)

0 .51 2 4 4 M P a

S ó lo u n o s c u a n t o s d e lo s a c e r o s t é r m ic a m e n te t r a t a d o s q u e a p a r e c e n

e n e l a p é n d ic e A - 1 3 t i e n e n e s t e v a lo r d e r e s i s t e n c i a a la c e d e n c ia .


1. B lodgett, O .W ., Design o f Weldments, Jam es F. L inco ln

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Popov, E. P ., Engineering Mechanics o f Materials, P r en tice -H a ll. E n g lew o o d C lif f s , NJ, 1990 .

Y oung, W. C ., Roark’s Formulas for Stress and Strain, 6 th e d .. M cG raw -H ill, N ew York, 1989.

P R O B L E M A S

5-l.M Calcule el esfuerzo cortante torsional que se pro- 5-7.1 duciría en una flecha circular sólida de 20 mm de diámetro cuando se somete a un par de torsión d e280N m .

5-2.M Calcule el esfuerzo cortante torsional en una flecha hueca de 35 mm de diámetro externo y 25 mm de diámetro interno, cuando se somete a un par de 5-8.1 torsión de 560 N m.

5.3.1 Calcule el esfuerzo cortante torsional en una fie- 5-9.1 cha cuyo diámetro es de 1.25 plg cuando transmite un par de torsión de 1550 Ib • plg.

5-4.1 Un tubo de acero se usa como flecha para transmitir 5500 lbplg de par de torsión. Su diámetro extemo es de 1.75 plg y su espesor de pared de 1/8 plg. Calcule el esfuerzo cortante torsional en las 5-10.1 superficies extema e interna del tubo.

5-5.M El mecanismo impulsor de un proyector de cine funciona por un motor de 0.08 kW cuyo eje gira a 180 rad/s. Calcule el esfuerzo cortante torsional en su eje de 3.0 mm de diámetro.

5-6.M Las aspas de una batidora giran a 42 rad/s y requieren 35 kW de potencia. Calculeel esfuerzo cortante torsional en el eje que las impulsa suponiendo que esté hueco, y cuyos diámetros extemo e interno son de 40 mm y 25 mm, respectivamente.

La flecha motriz de una fresadora transmite 15.0 hp a una velocidad de 240 rpm. Calcule el esfuerzo cortante torsional en la flecha si es sólida y de 1.44 plg de diámetro. ¿Sería segura la flecha si el par de torsión se aplica con golpe y si está hecha de acero AISI4140 OQT 1300?

Repita el problema 5-7 suponiendo que la flecha contiene un cuñero de perfil.

La figura 5-19 muestra el extremo de la flecha vertical de una podadora de pasto rotatoria. Calcule el esfuerzo cortante torsional máximo en la flecha si tiene que transmitir 7.5 hp a las cuchillas cuando gira a 2200 rpm. Especifique un acero adecuado para la flecha.

La figura 5-20 muestra una flecha escalonada sometida a torsión. La sección de mayor diámetro tiene un agujero que la atraviesa de lado a lado.

(a ) Calcule el esfuerzo cortante máximo en el escalón cuando se le aplica un momento de torsión de 7500 lbplg.

(b ) Determine el agujero de mayor diámetro que se podría perforar en la flecha de modo que continúe con el esfuerzo cerca del agujero a un valor igual o menor que el que se produce en el escalón.

P roblem as 175

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0 . 7 5 p l g d e d i á m .

FIGURA 5 -1 9 F l e c h a d e l p r o b le m a 5 - 9 .

d - 1 . 5 0 p l g d e d ¡ á m .D = 2 .0 0 p lg d e d iá m .

F IG U R A 5 -20 F l e c h a d e l p r o b le m a 5 - 1 0.

5-1 l.M Calcule el esfuerzo cortante torsional y el ángulo de torsión en grados en un tubo de aluminio, de 600 mm de largo, 60 mm de diámetro interno y 80 mm de diámetro extemo cuando se somete a un par de torsión constante de 4500 N ■ m . A continuación especifique una aleación de aluminio propia para el tubo.

5-12.M Se tienen en mente dos diseños para una flecha.Ambos son de 50 mm de diámetro externo y 600 mm de largo. Uno es una barra sólida y el otro es una barra hueca de 40 mm de diámetro interno. Las dos barras son de acero. Compare el esfuerzo cortante torsional, el ángulo de torsión y la masa de los dos diseños cuando se someten a un par de torsión de 850 N m.

5-13.M Determine los diámetros interno y externo que se requieren para que una flecha hueca transmita un par de torsión de 1200 N • m con un esfuerzo cortante torsional máximo de 45 MPa. Haga que la relación del diámetro extemo al diámetro interno sea aproximadamente de 1.25.

5-14.1 El eje de una fresadora impulsado por engranes transmite 7.5 hp a una velocidad de 240 rpm. Calcu

1 7 6

le el esfuerzo cortante torsional en el eje sólido de0.860 plg de diámetro.

5-15.1 La flecha de entrada del mando de engranes descrita en el problema 5-14 también transmite 7.5 hp, sólo que ahora gira a 1140 rpm. Determine el diámetro que se necesita en la flecha de entrada para que soporte el mismo esfuerzo que la flecha de salida.

5-16.1 Determine el esfuerzo que se produciría en una 1/2 plg en un tubo de acero cédula 40 cuando un plomero aplica una fuerza de 80 Ib en el extremo de una llave de tuercas de 18 plg de largo.

5-17.1 Un anuncio giratorio completa 1 revolución cada 5 segundos. Cuando el viento sopla con fuerza, se requiere un par de torsión de 30 lb pie para mantener la velocidad de rotación. Calcule la fuerza que se requiere para impulsar el anuncio. Calcule también el esfuerzo en la flecha motriz final si su diámetro es de 0.60 plg. Especifique un acero adecuado para la flecha para estipular un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia a cortante.

5-18.M Se suelda una barra cilindrica corta en un extremo de una placa rígida, y en seguida se aplica una par de torsión en el otro. Si la barra tiene un diámetro de 15 mm y es de acero AIS11020 estirado en frío, calcule el par de torsión que se le debe aplicar para someterla a un esfuerzo igual a su resistencia a la cedencia a cortante. Use sv¡ = sy/2.

5-19.1 Una flecha propulsora de hélice en un barco debe transmitir 2500 hp a 75 rpm. Se tiene que fabricar de acero A1SI 1040 WQT 1300. Use un factor de diseño de 6 que se base en la resistencia a la cedencia a cortante. La flecha tiene que ser hueca, con su diámetro interno igual a 0.80 veces su diámetro externo. Determine el diámetro requerido de la flecha.

5-20.1 Si la flecha propulsora del problema 5-19 tuviera que ser sólida en lugar de hueca, determine el diámetro que se requiere. A continuación calcule la relación del peso de la flecha sólida al de la flecha hueca.

5 -2 l.M El vástago de un potente destornillador tiene un diámetro de 5.0 mm. ¿Qué par de torsión se puede aplicar al destornillador si el esfuerzo limitante que causa la torsión es de 80 MPa?

5-22.M Una extensión de una llave de dado similar a la expuesta en la figura 5-1 tiene un diámetro de 6.0 mm y una longitud de 250 mm. Calcule el esfuerzo y el ángulo de torsión en la extensión cuando se le aplica un par de torsión de 5.5 N m. La extensión es de acero.

5-23.M Calcule el ángulo de torsión en una flecha de acero de 15 mm de diámetro y 250 mm de largo cuando se le aplica un par de torsión de 240 N m.

C apítu lo 5 ■ E s fue rzo co rta n te to rs iona l y de flex ión tors iona l

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5-24.M Calcule el ángulo de torsión en un tubo de aluminio cuyos diámetros extemo e interno son de 80 mm y 60 mm, respectivamente, cuando se somete a un par de torsión de 2250 N ■ m . El tubo es de 1200 mm de largo.

5-25.1 Una varilla de acero de 8.0 pies de largo y 0.625 plg de diámetro se usa como llave para desatornillar un tapón en el fondo de un estanque. Si se requieren 40 Ib-pie de par de torsión para aflojarlo, calcule el ángulo de torsión de la varilla.

5-26.1 ¿Qué diámetro debe tener la varilla del problema 5-25 si se desea que experimente solamente 2.0 grados de torsión cuando se somete a 40 Ib-pie de par de torsión?

5-27.M Calcule el ángulo de torsión del extremo libre con respecto al extremo fijo de la barra de acero que ilustra la figura 5-21.

FIG U R A 5 -21 B arrad e l p rob lem a 5 -2 7 .

5-28.M Un calibrador de par de torsión se vale del ángulo de torsión de una flecha para medir el par de torsión. La flecha tiene que ser de aleación de aluminio 6061-T6 y de 150 mm de longitud. Determine el diámetro requerido de la flecha si se desea que experimente un ángulo de torsión de 10.0 grados cuando se aplica un par de torsión de 5.0 N m al calibrador. Para la flecha con este diseño, calcule el esfuerzo cortante torsional y luego calcule el factor de diseño resultante para la misma. ¿Es satisfactorio? Si no lo es, ¿qué haría usted?

5-29.M Un alambre de cobre al berilio de 1.50 mm de diámetro y 40 mm de largo se usa sometiéndolo a torsión en un instrumento. Determine el ángulo de torsión que se produce en el alambre cuando se somete a un esfuerzo de 250 MPa.

5-30.M Un tubo de combustible de un avión es de aleación de titanio. El tubo tiene un diámetro extemo de 18 mm y un diámetro interno de 16 mm. Calcule el esfuerzo en el tubo si un tramo de éste de 1.65 m se debe torcer en un ángulo de 40 grados durante su instalación. Determine el factor de diseño con

P rob lem as

base en la resistencia a la cedencia a cortante del tubo si el tubo es de aleación Ti-6A I-4V, vieja.

5-31.M Para la flecha en la figura 5-22 calcule el ángulo de torsión de las poleas B y C con respecto a la A. El diámetro de la flecha de acero es de 35 mm a todo lo largo de ésta. Los pares de torsión son T| = 1500 N m, r 2 = 1000 N m, T¡ = 500 N m. Las longitudes son = 500 mm y L2 = 800 mm.

5-32.M Una barra de torsión de una suspensión de camión tiene que ser de acero y de 820 mm de largo. Se somete a un par de torsión de 1360 N m y debe limitarse a 2.2 grados de torsión. Determine el diámetro necesario de la barra circular sólida. En seguida calcule el esfuerzo en la barra.

5-33.M La flecha motriz de acero de un automóvil es un tubo hueco de 1525 mm de largo. Su diámetro externo es de 75 mm y su diámetro interno de 55 mm. Si la flecha transmite 120 kW de potencia a una velocidad de 225 rad/s, calcule el esfuerzo cortante torsional en el la y el ángulo de torsión de uno de sus extremos con respecto al otro.

5-34.M El eje trasero de un automóvil es una flecha sólida de acero cuya configuración es la expuesta en la figura 5-23.

de diám .

F IG U R A 5-23 Eje del p roblem a 5 -3 4 .

177

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Secciones no c ircu la res

5-40.M Calcule el par de torsión que produciría un esfuerzo cortante torsional de 50 MPa en una barra de acero cuadrada de 20 mm de lado.

5-41.M Para la varilla del problema 5-40 calcule el ángulo de torsión que produciría el par de torsión que se determina en el problema a lo largo de 1.80 m.

5—42.1 Calcule el par de torsión que produce un esfuerzo cortante torsional de 7500 psi en una varilla de aluminio cuadrada, de 1.25 plg de lado.

5-43.1 Para la varilla del problema 5-42 calcule el ángulo de torsión que produciría el par de torsión que se determina en el problema a lo largo de 48 plg.

5-44.1 Calcule el par de torsión que produce un esfuerzo cortante torsional de 7500 psi en una varilla de aluminio rectangular de 1.25 plg de espesor por3.0 plg de ancho.

5-45.1 Para la barra descrita en el problema 5-44, calcule el ángulo de torsión que produce el par de torsión que se calculó en el problema a lo largo de 48 plg.

5-46.M El perfil de una barra extraída de aluminio es un triángulo equilátero de 30 mm de lado. ¿Qué par de torsión se requiere para producir un ángulo de torsión en la barra de 0.80 grados a lo largo de 2.60 m?

5-47.M ¿Qué esfuerzo se desarrollaría en la barra triangular del problema 5-46 si transmite el par de torsión determinado en el problema?

5-48.1 El segmento de una flecha de acero que se muestra en la figura 5-29 tiene un rebaje plano maquinado en un lado. Calcule el esfuerzo cortante torsional tanto en la sección circular como en la rebajada cuando se aplica un par de torsión de 850 Ib • p Ig.

S ección/(- /( Sección B -B

FIGURA 5 -2 9 Problemas 5—48 y 5 -49 .

P rob lem as

5-49.1 Para la flecha de acero expuesta en la figura 5 - 29, calcule el ángulo de torsión de un extremo con respecto al otro si se aplica de modo uniforme un par de torsión de 850 Ib plg uniformemente a todo lo largo de ésta.

5-50.1 Repita el problema 5-48 con todos los datos iguales excepto que se maquinan dos rebajes en la flecha, que dan una medición total a través de ellos de 1.25 plg.

5-51.1 Repita el problema 5-49 con una flecha que tiene dos rebajes, que dan una medición total a través de ellos de 1.25 plg.

5-52.M Se fabrica de titanio TÍ-6A1-4V, viejo, un perno cuadrado de 200 mm de largo y 8 mm de lado. ¿Qué ángulo de torsión se produce cuando una llave de tuercas aplica un par de torsión puro que produce un esfuerzo igual a la resistencia a la cedencia del material a cortante?

5-53.1 Un tubo de acero estructural cuadrado estándartiene las dimensiones de sección transversal de 4 x 4 x 1 /4 plg y es de 8.00 pies de longitud. Calcule el par de torsión que se necesita para torcerlo 3.00 grados.

5-54.1 Calcule el esfuerzo cortante máximo en el tubo del problema 5-53 cuando se tuerce 3.00 grados. ¿Seria seguro este ángulo de torsión si el tubo es de acero estructural ASTM ASO 1 y la carga fuera estática?

5-55.1 Repita el problema 5 -5 3 para un tubo rectangular d e 6 x 4 x 1/4.

5-56.1 Repita el problema 5 - 54 para un tubo rectangular d e 6 x 4 x 1/4.

5-57.1 Un tubo de acero cédula 40 de 6 plg estándar tiene aproximadamente la misma área de sección transversal que un tubo cuadrado de 6 x 6 x 1/4, por lo que un segmento de ambos de una misma longitud pesaría lo mismo. Si se les aplicara el mismo par de torsión a ambos, compare el esfuerzo cortante torsional y el ángulo de torsión resultantes en los dos perfiles.

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C O M P U T A C I Ó NT A R E A S D E

1. Se precisa diseñar una flecha circular sólida para un par de torsión dado, una resistencia a la cedencia del material dada y un factor de diseño dado; calcule el diámetro que se requiere para la flecha.

A dic iones a la tarea 1

(a) Para una potencia transmitida y velocidad de rotación dadas, calcule el par de torsión aplicado.

(b) Incluya una tabla de materiales de entre los cuales el diseñador pueda seleccionar uno. En seguida y de manera automática busque la resistencia de cedencia.

(c) Incluya la tabla de factores de diseño, tabla 5-1. En seguida, pídale al diseñador que especifique el tipo de carga únicamente y que determine el factor de diseño apropiado con la tabla incluida en el programa.

2. Repíta la tarea 1, pero ahora diseñe una flecha circular hueca. Existen tres posibles procedimientos de solución:

(a) Para un diámetro externo dado, calcule el diámetro interno que se requiere.

(b) Para un diámetro interno dado, calcule el diámetro extemo que se requiere.

(c) Para una relación dada de D¡ /£>„, determine tanto D¡ como Da.

A dic io nes a la tarea 2

(a) Calcule la masa del diseño resultante para una longitud y densidad del material dadas.

(b) Si la computadora cuenta con tarjeta de gráficos, dibuje la sección transversal resultante y dimen- siónela.

180

3. Introduzca las curvas del factor de concentración de esfuerzo en el programa y considere el cálculo automático de K, para factores dados tales como radio de redondeo, relación de diámetros, diámetro de agujero, etc. Se podría usar cualquiera de los casos expuestos en los apéndices A-21 -5 , A -21 -6 o A -21 -7. Este programa puede ejecutarse por sí mismo o como anexo de otros programas de análisis de esfuerzo.

4. Calcule el ángulo de torsión con la ecuación (5-21) con T, L ,G yJdados.


(a) Calcule Jcon dimensiones dadas de la flecha, ya sea sólida o hueca.

(b) Incluya una tabla de valores de G, tomados de la tabla5-3 en el programa.

5. Calcule el diámetro que se requiere de una flecha circular sólida para limitar el ángulo de torsión a un valor específico.

6. Calcule el ángulo de torsión de un extremo de una flecha de varias secciones con respecto al otro, como en el ejemplo 5-13. Considere longitudes, diámetros, materiales y pares de torsión diferentes en cada sección.

7. Escriba un programa para calcular los valores del módulo de sección efectivo, Q, y la constante de rigidez torsional, K, con base en la figura 5-18 en uno o todos los casos.

A dic ión a la tarea 7

Determine las ecuaciones para Cj, C2, C} y C4 en función dela relación h/r, para flechas con rebajes planos. Use una rutina de ajuste de curva.

C a pítu lo 5 ■ E s fue rzo co rtan te to rs io na l y de fle x ión torsional

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F u e rzas co r ta n te s y m o m e n to s fle x io n a n te s en v ig a s

1

6 -1 O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O

La mayor parte del planteamiento en los seis capítulos siguientes se ocupa de las vigas.

U n a v ig a e s un m iem b ro q u e s e so m e te a c a rg a s tra n sv e rsa le s , es d ec ir ,

p e r p e n d ic u la r e s a lo la rg o d e su eje.

Tales cargas provocan esfu erzo s c o r ta n tes en la viga y le imparten su figura característica de pandeo, lo que también da como consecuencia esfu erzo s flex io n a n tes .

Para calcular los esfuerzos cortantes y los momentos flexionantes, se precisa determinar la magnitud de las fu e r z a s co rta n tes internas y los m o m en to s f le x io n a n te s que se desarrollan en vigas causados por una amplia variedad de cargas.

Después de terminar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. Definir el ténnino vig a y reconocer cuándo un miembro de carga es una viga.2. Describir varias clases de patrones de carga de vigas: c a rg a s co n cen tra d a s,

ca rg a s un ifo rm em ente d is tr ib u id a s, c a rg a s d is tr ib u id a s lin ea lm en te v a r ia

b le s y m om en tos con cen trados.

3. Describir varias clases de vigas según el tipo de sus apoyos: v ig a sim ple , v iga

sa lien te , v ig a en v o la d izo y vig a co m p u esta de más de un componente.4. Dibujar diagramas de cueipo libre de vigas y de sus componentes que mues

tren todas las fuerzas y reacciones externas.

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2

5. Calcular la magnitud de las reacciones y los momentos y determinar sus direcciones.

6. D e ñ n 'n fie rza c o r ta n te y determinar su magnitud en cualquier parte de la viga.7. Dibujar diagramas de cuerpo libre de co m p o n en tes de vigas y mostrar las fuer

zas cortantes internas.8. Dibujar diagramas de fuerza cortante completos de vigas que soportan varios

patrones de carga y con varias condiciones de apoyo.9. Definir m om en toJ lex ion an te y determinar su magnitud en cualquier parte de

una viga.10. Dibujar diagramas de cuerpo libre de co m p o n en tes de vigas y mostrar los mo

mentos flexionantes internos.11. Dibujar diagramas de momento flexionante completos de vigas sometidas a

varios patrones de carga y con varias condiciones de apoyo.12. Usar las leyes de lo s d iagram as de v igas para relacionar los diagramas de carga,

cortante y momento flexionante entre sí y dibujarlos.13. Dibujar diagramas de cuerpo libre de elementos de vigas y estructuras com

puestas y los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante correspondientes a cada uno.

14. Considerarcon propiedad los m om en to s co n cen tra d o s en el análisis de vigas.

6 - 2 C A R G A S E N V IG A S , A P O Y O S Y T IP O S D E V IG A S

Recuérdese la definición de viga.

U na viga es un m iem b ro q u e s e so m e te a c a rg a s tra n sv ersa le s , es d ec ir , p e rp e n

d ic u la re s a lo la rg o d e su eje.

Cuando se analiza una viga para determinar las reacciones, las fuerzas cortantes internas y los momentos flexionantes internos, conviene clasificar el patrón de carga, el tipo de apoyos y el tipo de viga.

Las vigas se someten a varios patrones de carga, incluidas:

Cargas concentradas normales

Cargas concentradas con inclinación

Cargas uniformemente distribuidas

Cargas variables distribuidas

Momentos concentrados

Los tipos de apoyos incluyen:

Apoyo simple de rodillo

Apoyo de pasador

Apoyo fijo o empotrado

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3

Los tipos de vigas incluyen:

Vigas simplemente apoyadas; o vigas simples

Vigas salientes

Vigas en voladizo; o voladizas

Vigas compuestas

Vigas continuas

La comprensión de todos estos términos sirve para comunicar las características sobresalientes de los diseños de vigas y para realizar los análisis que se requieren. A continuación se da una descripción de cada uno de ellos junto con ilustraciones que permiten visualizarlos.

P atron es de carga

En esta sección se demostrará que la naturaleza del patrón de carga determina la variación de la fuerza cortante y el momento flexionante a lo largo de la viga. Se definen los cinco patrones de carga más usuales y se dan ejemplos de cada uno. A menudo se pueden analizar patrones de carga más complejos considerándolos como combinaciones de dos o más de los tipos básicos.

C a rg a s c o n c e n tra d a s n o rm a les

Una carga normal concentrada es la que actúa perpendicular (normal)

al eje mayor déla viga en un solo punto o a lo largo de un segmento muy

pequeño de la viga.

La figura 6-l(a) muestra la forma característica de representar una viga que se somete a cargas concentradas normales. Cada una de las cargas se muestra como un vector que

Cargas concentradas

normales

*2

(o) Representación esquemática de una viga con cargas y reacciones

(b) Representación pictórica de FIGURA 6 -1 Viga simple con cargas concentradasuna viga con cargas normales.

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4

actúa en la viga perpendicular a su eje mayor. La parte (b) ilustra una situación que produce cargas concentradas. El peso de los tubos y su contenido determinan las magnitudes de las cargas. Si bien con frecuencia se visualizan cargas que actúan con dirección hacia abajo debido a la gravedad, las cargas reales pueden actuaren cualquier dirección. Sobre todo en la maquinaria mecánica, las fuerzas que se producen por los enlaces, actuadores, resortes, mordazas y otros mecanismos pueden actuar en cualquier dirección. La figura 6-2 muestra un ejemplo simple.

Las cargas concentradas normales tienden a provocar flexión pura en las vigas. La mayoría de los problemas de este capítulo incluyen este tipo de carga. El análisis de los esfuerzos flexionantes que se originan se presenta en el capítulo 8.

C a rg a s co n c e n tra d a s con in c lin a c ió n

Una carga concentrada inclinada es la que actúa efectivamente en un punto,

pero cuya línea de acción forma un ángulo con el eje principal de la viga.

La figura 6-3 muestra un ejemplo. La carga con inclinación y que ejerce el resorte provoca una combinación de esfuerzos flexionantes y axiales en la viga. El capítulo 11 presenta las técnicas de análisis de este patrón de carga.

C a rg a s u n ifo rm e m e n te d is tr ib u id a s

Las cargas de magnitud constante que actúan perpendiculares al eje de una

viga a lo largo del segmento significativo de la viga se llaman cargas

uniformemente distribuidas.

Un ejemplo de este tipo de carga sería el peso de la nieve de espesor uniforme sobre un techo soportado por vigas horizontales planas. Asimismo, los materiales que componen

FIGURA 6—2 Palanca de una máquina que se comporta como una viga simple sometida a cargas concentradas normales.

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5

(a) Representación esquemática de (/,) Ejemplo pictóricouna viga con carga y reacciones

FIGURA 6 - 4 Viga simple sometida a una carga uniformemente distribuida.

la estructura de techo, propiam ente dicha, con frecuencia se instalan uniform em ente distribuidos. La figura 6 -4 ilustra un patrón de carga de ese tipo y m uestra cóm o se representan las cargas uniform emente distribuidas en los problem as de este libro. El área rectangular som breada define la extensión de la carga a lo largo de la viga. La m agnitud de la carga se indica por m edio de una “ razón” de carga tv, en unidades de fuerza por unidad de longitud. Las unidades representativas serian lb/plg, kN /m o K/pie. Recuérdese que 1 K = 1 k ip= 1000 Ib. Por ejemplo, si la carga que actúa en la viga

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6

mostrada en la figura 6-4 fuera de w = 150 lb/plg, entonces cada 1.0 plg de longitud de la viga soportaría 150 Ib de carga.

C a rg a s va r ia b le s d is tr ib u id a s

Las cargas de magnitud variable que actúan perpendiculares al eje de una

viga a lo largo de un segmento significativo de una viga se llaman cargas

variables distribuidas.

En las figuras 6-5 y 6-6 se muestran ejemplos de estructuras de cargas variables distribuidas. Cuando las cargas varían linealmente, éstas se cuantifican mediante el valor de w en cada extremo de la línea de pendiente que representa la carga. Para un análisis más a fondo de las variaciones no lineales, se deben diseñar otros esquemas para obtener la magnitud de la carga.

M o m e n to s co n ce n tra d o s . Un momento es una acción que tiende a hacer girar un objeto. Los momentos pueden producirse porun par de fuerzas paralelas que actúan en direc-

(a) Representación esquemática de

una viga con carga, reacción y (é) Ejemplo pictórico - cargamomento y datos muestra de nieve sobre un techo sal ¡ente

FIGURA 6 -5 Ejemplo de carga linealmente variable sobre un voladizo.

w = 1.2 kN/m

(a) Representación esquemática de una viga con carga, (b) Ejemplo pictórico—gravareacciones y datos muestra sobre una plataforma

FIGURA 6 -6 Ejemplo de una carga linealmente variable sobre una viga simple.

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ciones opuestas; esta acción se llama par. La acción contra una m anivela o una palanca también produce un momento.

C u a n d o u n m o m e n to a c tú a en un p u n to de u n a v ig a de m a n e ra q u e tie n d e a

p ro v o c a rle ro ta c ió n p u ra , se l la m a m o m e n to c o n c e n tra d o .

La figura 6 -7 muestra un ejemplo. Las fuerzas que actúan en los extremos de los brazos verticales forman un par que tiende a flexionar la viga com o se indica. El hecho de que las dos fuerzas que componen el par sean iguales y opuestas hace que ninguna fuerza horizontal neta resulte aplicada en la viga.

Los momentos concentrados también pueden ser el resultado de una fuerza que actúa sobre una viga paralela a su eje con su línea de acción aú n a cierta distancia de éste. Esta situación se ilustra en la figura 6 -8 . La diferencia en este caso radica en que también hay una fuerza horizontal desbalanceada aplicada en la viga.

T i p o s d e a p o y o s

Todas las vigas han de tener un apoyo de una manera estable para que se mantengan en equilibrio. Todas las cargas y momentos externos deben ser resistidos por uno o más apoyos. Los diferentes tipos de apoyos ofrecen diferentes tipos de reacciones.

Apoyo simple o de rodillo

U n ap o yo s im p le es u n o que p ue de re s is tir sólo fu e rz a s q u e a c tú a n

p e rp e n d ic u la re s a una v iga .

«i

(a) R epresentación esquem ática del com ponente horizontal

de una v iga com puesta som etida a un m om ento concentrado

R

(a ) R epresentación esquem ática del com ponente

horizontal de u na v iga com puesta que m uestra un

m om ento concen trado y una reacción horizontal

F

F

(b) V iga com puesta

FIGU RA 6 - 7 M om ento concen trado en una v iga com puesta.

(A) V iga com puesta

F IG U R A 6 - 8 M om ento concen trado en una viga com puesta.

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r . . . . _ 1i -i f

h. a U . , ---J

i -t f

(a) Viga sobre dos rodillos (b) Viga con un apoyo de pasa-dory otro de rodillo

FIGURA 6 -9 Ejemplos de apoyos simples,

(c) Diagrama de cuerpo libre de (a) o (6)

Una de las mejores ilustraciones de los apoyos simples es el par de rodillos teóricamente libres de fricción en los extremos de la viga según la figura 6-9(a). Generan apoyo dirigido hacia arriba contra la acción dirigida hacia abajo de la carga que actúa en la viga. Conforme la viga tiende a flexionarse por la influencia de la carga aplicada y de las reacciones, la flexión no la resistirían los rodillos. Pero si hubiera componentes horizontales de la carga, los rodillos rodarían y la viga estaría suelta. Por consiguiente, el uso de los dos rodillos solos no es conveniente.

A p o y o d e p a sa d o r . Un ejemplo de un apoyo de pasador es una bisagra que puede resistir fuerzas en dos direcciones pero quepermite rotación con respecto al eje de su pasador. La figura 6-9(b) muestra la misma viga de la figura 6—9(a) con el rodillo del extremo izquierdo que se reemplazó por un apoyo de pasador. Este sistema produce un apoyo adecuado al mismo tiempo que deja que la viga se flexione. Cualquier fuerza horizontal la resistiría la junta de pasador.

A p o y o J ijo o em p o tra d o

Un apoyo fijo es el que se mantiene sujeto con firmeza de tal manera que

resiste fuerzas en cualquier dirección y también impide la rotación de la viga

en el apoyo.

Una manera de crear un apoyo fijo es producir una cavidad de ajuste apretado en una estructura rígida en la que se inserta el extremo de una viga. El apoyo fijo resiste momentos lo mismo que fuerzas porque impide larotación. La figura 6-10 muestra dos ejemplos del uso de apoyos fijos.

Tipo s de v igas

El tipo de viga se determina por los tipos de apoyos y su colocación.

V iga s im p le . Una viga simple es la que soporta sólo cargas que actúan perpendiculares a su eje y que tiene sus extremos sobre apoyos simples que actúan perpendiculares a su eje. La figura 6-1 es un ejemplo de viga simple. Cuando todas las cargas actúan con dirección hacia abajo, la viga adopta la figura flexionada clásica cóncava hacia arriba. Ésta se conoce como flexión positiva.

Viga sa lien te . Una viga saliente es aquella en la que la viga con carga sobresale de los apoyos. La figura 6-11 da un ejemplo. Las cargas que actúan en los extremos salientes tienden a flexionarlos hacia abajo, o sea, a producirles una flexión negativa.

V iga en vo la d izo . Una viga en voladizo sólo tiene un extremo con apoyo, como se ve en la figura 6-12, que tiene una pluma de grúa firmemente unida a una columna vertical rígida. Es esencial que el apoyo esté fijo porque debe servir de apoyo vertical para las

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sim plem ente apoyado en el extremo. N ótese que hay dos fuerzas que no se conocen y un m om ento desconocido. Las figuras 6 -1 0(c) y (d) m uestran una viga con dos extremos fijos que tam bién es estáticam ente indeterm inada porque hay dos fuerzas y dos m om entos de reacción que deben determ inarse. El capítulo 13 presenta las técnicas de análisis de vigas estáticam ente indeterm inadas.

6 - 3 A P O Y O S D E V IG A S Y R E A C C IO N E S E N L O S A P O Y O S

El prim er paso en el análisis de una v ig ap o r lo que se refiere a su seguridad bajo un patrón de carga dado es m ostrar en su totalidad las cargas y las reacciones en los apoyos en un diagram a de cuerpo libre. Es m uy im portante que se puedan trazar los diagram as de cuerpo libre con base en la ilustración o descripción física de la viga con carga. Esto es lo

que se hizo en cada uno de los casos expuestos en las figuras desde 6 -1 a 6 -1 4 .D espués de dibujar el diagram a de cuerpo libre, es preciso calcular la m agnitud de

todas las reacciones en los apoyos. Se presum e que los m étodos usados para hallar las reacciones ya se estudiaron con anterioridad. P o r consiguiente, sólo se dan unos pocos ejem plos com o repaso y com o ilustración de las técnicas que se aplican en este libro.

Se recom ienda el siguiente procedim iento general para determ inar las reacciones

en vigas sim ples o salientes.

In d icacio nes para

d e te rm in a r la s

re accio n es

Ejem plo La figura 6 -1 5 m uestra el diagram a d e cuerpo libre de la viga que soporta tubos, y que 6-1 en su forma original ¡lustra la figura 6 - 1 . Calcule las reacciones en las varillas de apoyo.

4.3 kN 1.2 kN

F I G U R A 6 - 1 5 C arg as so b re una viga.

1. D ibuje el diagram a de cuerpo libre.

2. U se la ecuación de equilibrio I M = 0 sum ando m om entos con respecto al punto de aplicación de una de las reacciones de apoyo. L a ecuación resultante

entonces se puede resolver para la otra reacción.

3. U se EM - 0 sum ando los m om entos con respecto al punto d e aplicación de la

segunda reacción para determ inar la prim era.

4. U se E F = 0 para com probar la exactitud de los cálculos.

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S o lu c ió n O b je t iv o

D a to s

A n á l is is

R e s u lta d o s

C a lc u la r las fu e rz a s de re a c c ió n en los e x tre m o s d e la v ig a .

Ilus tra c ión d e la v ig a m o s tra d a en la fig u ra 6 - 1 . El d ia g ra m a d e cuerpo

lib re q u e m u e s tra la c a rg a e s la fig u ra 6 - 1 5 . L a s c a rg a s a c tú a n en los

p un to s 8 , C , D y E . Las re a c c io n e s a c tú a n en los p u n to s A y F y se

d e s ig n a n R A y R F .

S e e m p le a r á n las in d ic a c io n e s p a r a d e te r m in a r la s r e a c c io n e s . La

fig u ra 6 - 1 5 e s e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re , a s í q u e s e c o m e n z a r á con

el p a s o 2 .

P a ra d e te rm in a r la re a c c ió n R F, s u m e los m o m e n to s co n re s p e c to al

pun to A .

£ M * = 0 = 3 .5 (4 0 0 ) + 4 .3 (8 0 0 ) + 1 .2 (1 2 0 0 ) + 2 .8 (1 5 0 0 ) - R F(1800)

O b s e rv e q u e to d a s las fu e rz a s e s tá n e n k ilo n e w to n s y las d is ta n c ia s en

m ilím e tro s . A h o ra re s u e lv a p a ra R F.

3 .5 (4 0 0 ) + 4 .3 (8 0 0 ) + 1 .2 (1 20 0 ) + 2 .8 (1 5 0 0 )

F 1800

A h o ra p ara d e te rm in a r s u m e los m o m e n to s co n re s p e c to a l pun to F.

] T / Wf = o = 2.8(300) + 1.2(600) + 4.3(1000) + 3.5(1400) - R„(1800)

2.8(300) + 1.2(600) + 4.3(1000) + 3.5(1400)R a =

1800= 5 .9 8 kN

A h o ra a p liq u e IF = 0 en la d irec c ió n v e rt ic a l c o m o co m p ro b a c ió n .

Fu e rza s con dirección hacia ab ajo : ( 3 .5 + 4 .3 + 1 .2 + 2 .8 )k N = 1 1 .8 kN

R e a c c io n e s con d irecc ió n h a c ia a rr ib a : (5 .8 2 + 5 .9 8 ) kN = 1 1 .8 kN

(c o m p ro b a c ió n )

C o m e n ta r io M u e s tre las fu e rz a s d e las re a c c io n e s R A y R F e n lo s p u n to s d e la viga

d o n d e a c tú a n .

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D ato s L a v ig a q u e a p a r e c e e n la f ig u ra 6 - 1 6 ( a ) . L a c a r g a d i s t r ib u id a d e 2 2 0 0

ib /p ie s e a p l i c a a lo la r g o d e 1 0 p i e s a p a r t i r d e l e x t r e m o i z q u ie r d o d e la

v ig a . L a s r e a c c i o n e s a c t ú a n e n lo s p u n t o s A y C y s e d e s i g n a n R A y R c.

A n á lis is S e e m p l e a r á n l a s in d ic a c io n e s p a ra d e te rm in a r la s re a c c io n e s . L a f ig u

r a 6 - 1 6 (b ) e s u n d i a g r a m a d e c u e r p o l ib re e q u i v a l e n t e c o n la r e s u l t a n t e

d e la c a r g a d i s t r ib u id a q u e m u e s t r a s u a c t u a c i ó n e n e l c e n t r o i d e d e la

c a r g a .

R e s u lta d o s £ M A- 0 = 2 2 0 0 0 Ib (5 p ie s ) - R c ( 1 2 p ie s )

R c = 2 2 ° ° ° lb = 9 1 6 7 Ib1 2 p ie s

X w c = 0 = 2 2 0 0 0 Ib (7 p ie s ) - f ? „ ( 1 2 p ie s )

„ 2 2 0 0 0 Ib (7 p ie s )R c = ---------------- — — - = 1 2 2 8 3 Ib

1 2 p ie s

P o r ú lt im o , c o m o c o m p r o b a c ió n , e n la d i r e c c ió n v e r t ic a l :

2 f = o

F u e r z a s c o n d i r e c c ió n h a c i a a b a j o : 2 2 0 0 0 Ib

F u e r z a s c o n d ir e c c ió n h a c ia a r r ib a : Ra + Rc = 1 2 8 3 3 + 9 1 6 7 = 2 2 0 0 0 Ib

( c o m p r o b a c ió n )

C o m e n ta rio O b s e r v e q u e la r e s u l t a n t e s e u s a s ó lo p a r a d e t e r m i n a r l a s r e a c c i o n e s .

M á s a d e l a n t e , c u a n d o s e d e t e r m i n e n f u e r z a s c o r t a n t e s y m o m e n t o s f le

x i o n a n t e s , s e d e b e u s a r la m i s m a c a r g a d i s t r ib u id a .

E je m p lo C a lc u le l a s r e a c c i o n e s e n la v ig a s a l i e n t e d e la f ig u ra 6 - 1 7 .

6 - 3

800 N 1000 N

100 mm p -----200 mm"

1200 N

50 [ ~ - 150 m m ^

B C

‘ 250 mm

D

Rb

F IG U R A 6 - 1 7 Cargas sobre una viga.


D atos

C a lc u la r l a s r e a c c i o n e s e n lo s p u n t o s S y D.

L a s c a r g a s q u e a c t ú a n e n la v ig a e x p u e s t a e n la f ig u ra 6 - 1 7 . L a s r e a c

c i o n e s s o n Ra y Re-

A nális is S e e m p l e a r á n l a s in d ic a c io n e s p a ra d e te rm in a r la s re a c c io n e s .

R e s u lta d o s E n p r im e r lu g a r , s i s e s u m a n lo s m o m e n t o s c o n r e s p e c t o a l p u n t o B:

2 M e = 0 = 1 0 0 0 (2 0 0 ) - f í o(2 5 0 ) + 1 2 0 0 (4 0 0 ) - 8 0 0 (1 0 0 )

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E je m p lo C a lc u le las re a c c io n e s en la v ig a v o la d iz a q u e se m u e s tra e n la fig u ra 6 - 1 8 .

6 - 4

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E n e l c a s o d e v ig a s v o la d iz a s , las re a c c io n e s en e l m u ro se c o m

pone n d e una fu e rza con d irección h a d a arriba RA la cua l d e b e equilib rar

tod as las fu e rza s con d irección h acia a b a jo q u e a c tú a n en la v ig a y un

m o m en to d e reacción M A q u e d e b e o p o n erse a la ten d e n c ia q u e tienen las

carg as ap licadas a g irar la v ig a. E n la figura 6 - 1 8 ( b ) se m u es tran las re ac

c iones. T a m b ié n s e m uestra la resu ltan te , 6 0 kN , d e la c a rg a distribuida.

R e s u lta d o s P o r tan to , al s u m a r las fu e rz a s en la d ire cció n v e rtic a l, s e o b tien e:

Ra = 6 0 k N + 4 kN = 6 4 k N

Al s u m a r los m o m e n to s co n re s p e c to a l p u n to A s e o b tien e:

Ma = 6 0 k N (1 .0 m ) + 4 k N ( 2 .5 m ) = 7 0 k N -rn

6-4 FUERZAS CORTANTES

Más adelante se verá que las dos clases de esfuerzos que se desarrollan en una viga son esfuerzos cortantes y esfuerzos flexionantes. Para calcularlos, se requiere conocer la magnitud de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en todos los puntos de la viga. Por consiguiente, aunque posiblemente aún no se comprenda el uso final de estos factores, es necesario aprender cómo se determina la variación de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en vigas con muchos tipos de cargas y combinaciones de apoyos.

Las fuerzas cortantes se definen como sigue:

L a s fu e r z a s co rta n tes son fu e r z a s in te rn a s q u e s e g e n era n en e l m a ter ia l d e u na viga p a ra eq u ilib ra r las fu e r z a s a p lica d a s e x te rn a m en te y p a ra g a ra n tiza r e l eq u ilib rio en to d a s su s partes.

La presencia de fuerzas cortantes se puede visualizar considerando cualquier segmento de la viga como un cuerpo libre con todas las cargas externas aplicadas. La figura 6-19 muestra un ejemplo. La viga en conjunto está en equilibrio bajo la acción de las reacciones de 500 N en los apoyos. Y, cualquier segmento de la viga también debe estar en equilibrio.

Un segmento se forma al cortar la viga en un punto de interés y al considerar la parte de la viga a un lado del corte. Normalmente, se considera que el segmento de interés es el de la izquierda del corte, como se muestra en la figura 6-19(a) cuya longitud es de 0.5 m. Por tanto, para que el segmento esté en equilibrio, en general, debe haber una fuerza interna que actúa perpendicular al eje de la viga en el corte. En este caso, la fuerza interna debe ser de 500 N con dirección hacia abajo. Ésta es la fuerza cortante y se usará el símbolo V para denotarla. Es decir, V = 500 N. Este proceso para determinar fuerzas cortantes se puede generalizar enunciando la regla siguiente:

La magnitud de la fuerza cortante en cualquier parte de una viga es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas externas que actúan a la izquierda de la sección de interés.

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1000 N

— 1.0 m 1.0 m

YRc = 500 N

(a)

- 0.5 m

V = 500N

Fuerza corlante

(.b)

1.0 m -

1000 N

A B

-1.5 m

R. = 500 N

(c)

V = 500 N

Fuerza cortante

FIGURA 6 -19 Uso de diagramas de cuerpo libre para determinar fuerzas cortantes en vigas.

Nótese que, aunque el diagrama de cuerpo libre, figura 6-19(b) está en equilibrio con respecto a fuerzas verticales, aún no está en equilibrio con respecto a rotación. La reacción RA y la fuerza cortante V forman un par que tiende a girar el segmento en sentido de las manecillas del reloj. En la siguiente sección se demostrará que allí también debe haber un momento interno, llamado m om en to f le x io n a n te , para mantener el equilibrio.

Continuando con el análisis de las fuerzas cortantes, nótese que para cualquier segmento de la viga que ilustra la figura 6—19 desde la reacción izquierda en A hasta el punto de api icación de la carga de 1000 N en B, el diagrama de cuerpo 1 ibre sería como el de la parte (b) de la figura. Por lo tanto, la fuerza cortante en cualquier punto de la viga entre A y B sería de 1000N.

Ahora considérese un segmento de la viga de 1.5 m de largo, como se muestra en la figura 6-19(c). Para que este segmento esté en equilibrio, en la viga debe existir una fuerza cortante interna de 500 N con dirección hacia arriba. Esta situación sería la misma si la viga se cortara en cualquier punto entre B y C.

D ia g ram a s de fuerza co rtan te . Conviene graficar los valores de la fuerza cortante contra su posición en la viga como se muestra en la figura 6—20. Tal gráfica se llama d ia g ra m a d e fu e r za co rta n te y lo que sigue es un análisis del método para crearlo. También se establecen las reglas generales para trazar el diagrama de cualquier viga que sólo se somete a cargas concentradas normales.

■ El diagrama de fuerza cortante es una gráfica donde la vertical representa el valor de la fuerza cortante en cualquier sección de la viga. Este eje se debe

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1000 N

Ra =500 N

1.0 m

B

1.0 m

Rr = 500 N

500

Fuerza cortante, KN)

0B CA

FIGURA 6-20 Diagrama de fuerza cortante.

rotular como se muestra en la figura 6-20, con el nombre de la cantidad que se va a graficar, la fuerza cortante, su símbolo V y las unidades, en este caso newtons (N). El eje horizontal da la posición en la viga y se acostumbra a dibujar paralelo al dibujo de la viga de modo que se pueda visualizar la correspondencia entre la carga real que actúa en la viga y las fuerzas cortantes.

■ Si cualquier segmento de la viga se prolonga hacia la izquierda de la reacción en A , la fuerza cortante sería cero porque no habría ninguna fuerza externa. Lo mismo se puede afirmar con respecto a puntos a la derecha del punto C en el extremo derecho de la viga. Por consiguiente, una regla general es:

Los diagramas de fuerza cortante comienzan y terminan en cero en los extremos de la viga.

■ Luego, en A, donde actúa la reacción izquierda, la fuerza cortante izquierda cambia de modo abrupto a 500 N con dirección hacia abajo para equilibrar la reacción con dirección hacia arriba. Se adoptará la siguiente convención de signos para fuerzas cortantes:

Las fuerzas cortantes internas que actúan con dirección hacia abajo se consideran positivas. Las que lo hacen hacia arriba se consideran negativas.

En seguida el diagrama de fuerza cortante se eleva de repente desde cero hasta 500 N en A. Esto se puede enunciar matemáticamente como:

= 0 + 500 N = 500 N

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Una regla general es:

Una carga concentrada o reacción dirigida hacia abajo provoca un incremento repentino igual al valor de la fuerza cortante.

■ Tal como se muestra en la figura 6-19(b), la fuerza cortante permanece en el valor de 500 N en cualquier punto entre A y B. La razón de esto es que no hay cargas externas adicionales aplicadas. Esta observación se puede expresar en la forma:

VV„ = 500 N

El subíndice, A -B , indica que el valor es para todo el segmento de la viga desde A hasta B. La regla general es:

En cualquier segmento de una viga donde no hay cargas aplicadas, el valor de la fuerza cortante se mantiene constante, lo que da por resultado una línea horizontal recta en el diagrama de fuerza cortante.

■ En el punto B donde actúa la carga de 1000 N, en la figura 6-19(c) se demostró que la fuerza cortante interna cambió de manera repentina de ser una fuerza de 500 N con dirección hacia abajo (positiva) a una fuerza de 500 N con dirección hacia arriba (negativa). El cambio total de la fuerza cortante es de 1000 N. Esto es:

VB = 500 N - 1000 N = -500 N

La regla general es:

Una carga concentrada en una viga provoca un cambio repentino de la fuerza cortante que actúa en la misma en una cantidad igual a la magnitud de la carga y en la dirección de ésta.

■ Entre B y C, no hay cargas aplicadas, así que el diagrama de fuerza cortante es una línea recta horizontal en -500 N. Es decir:

VB. C = -500 N

■ En Clareaccióncondirecciónhaciaarribade500N provoca un cambio repentino del valor de la fuerza cortante de la misma magnitud, lo que hace que la gráfica vuelva a cero. Es decir:

Vc = -500 N + 500 N = 0

Esto concuerda con la primera regla que se enunció con anterioridad.

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De esta manera se term ina el trazo del diagrama de fuerza cortante. Si bien la producción de diagramas de cuerpo libre de segmentos de la viga fue útil al desarrollar el concepto de fuerza cortante, en general, no es necesario hacerlo. Las reglas que se acaban de dar se pueden resumir como un conjunto de indicaciones generales para el trazo de diagramas de fuerza cortante.

I n d i c a c i o n e s p a r a

el t r a z o d e . d i a g r a m a s

d e f u e r z a c o r t a n t e

d e v i g a s s o m e t i d a s

a c a r g a s c o n c e n

t r a d a s n o r m a l e s

Al examinar el diagrama de fuerza cortante completo de la figura 6 -20 , se ve que el valor máximo de la fuerza cortante es 500 N. Nótese que aun cuando hay una carga con aplicación de 1000 N, la fuerza cortante máxima en la viga es de sólo 500 N.

A continuación se considerará otra viga sometida a cargas concentradas en un ejemplo. El procedim iento general empleado con anterioridad es válido para cualquier viga

que se som ete a cargas concentradas.

E je m p lo T r a c e e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te c o m p le to d e la v ig a e x p u e s t a e n la f ig u ra 6 - 2 1 .

6 - 5

S o l u c i ó n O b je t i v o T r a z a r e l d ia g r a m a d e fu e rz a c o r ta n te c o m p le to .

D a t o s L a s c a r g a s e n la v ig a , in c lu id o s lo s v a lo r e s d e la s r e a c c io n e s , c o m o s e

m u e s t r a e n la f ig u ra 6 - 2 1 . S e t r a ta d e u n a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a

s o m e t id a a c a r g a s c o n c e n t r a d a s n o r m a le s . E s ta e s la m is m a v ig a d e l

e je m p lo 6 - 1 p a r a la q u e s e d e te r m in a r o n la s r e a c c io n e s .

1. Trace los ejes vertical y horizontal del diagrama en relación con el diagram a de carga de la viga como se m uestra en la figura 6-20.

2. Rotule el eje vertical com o fuerza cortante, V, y déle las unidades de fuerza.

3. Prolongue las líneas de cada carga aplicada o reacción en la viga hacia abajo hasta el diagrama de fuerza cortante. Rotule los puntos de interés como referencia. Se rotularán con letras los puntos donde actúan cargas o reacciones, a partir del extremo izquierdo de la viga.

4. Construya la gráfica de fuerza cortante e inicie desde el extremo izquierdo de la viga prosiguiendo hacia la derecha, y aplique las reglas siguientes.

5 . Los diagramas de fuerza cortante comienzan y terminan en cero en los

extremos de la viga.

6. Una carga concentrada o reacción con dirección hacia arriba provoca un incremento repentino igual al valor de la fuerza cortante.

7. En cualquier segmento de la viga donde no hay cargas aplicadas, el valor de la fuerza cortante permanece constante, lo que da por resultado una linea recta horizontal en el diagrama de fuerza cortante.

8. Una carga concentrada en una viga provoca un cambio repentino de la fuerza cortante que actúa en la misma en una cantidad igual a la magnitud de Ia carga y en la dirección de ésta.

9. M uestre el valor de la fuerza cortante correspondiente a puntos estratégicos en el diagrama, por lo general, en los puntos donde actúan fuerzas o reacciones.

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E n tre A y B : C o m o no h a y c a rg a s a p lic a d a s , la fu e rz a c o r ta n te p e rm a

n e c e c o n s ta n te , E s dec ir:

VA- B = 5 .9 8 kN

P u n to B : L a c a rg a a p lic a d a d e 3 .5 k N p ro v o c a u n a d is m in u c ió n re p e n ti

na e n V.

VB = 5 .9 8 kN - 3 .5 kN = 2 .4 8 kN

E n tre B y C: L a fu e rz a c o rta n te p e rm a n e c e c o n s ta n te .

VB. C = 2 .4 8 kN

P u n to C: L á c a rg a a p lic a d a d e 4 .3 k N p ro v o c a u n a d is m in u c ió n r e

p e n t in a e n V.

Ve = 2 .4 8 kN - 4 .3 kN = - 1 . 8 2 kN

E n tre C y D : La fu e rz a c o rta n te p e rm a n e c e c o n s ta n te .

VC- d = - 1 . 8 2 kN

P u n to D: La c a rg a a p lic a d a d e 1 .2 k N p ro v o c a u n a d is m in u c ió n re p e n ti

n a e n V.

VD = - 1 . 8 2 kN - 1.2 kN = - 3 . 0 2 kN

E n tre D y E: L a fu e rz a c o rta n te p e rm a n e c e c o n s ta n te .

V0-E = - 3 . 0 2 kN

P u n to E: La c a rg a a p lic a d a d e 2 .8 kN p ro v o c a u n a d is m in u c ió n re p e n ti

na e n V.

VE = - 3 . 0 2 kN - 2 .8 kN = - 5 . 8 2 kN

E n tre E y F: L a fu e rz a c o r ta n te p e rm a n e c e c o n s ta n te .

V£- F = - 5 . 8 2 kN

P u n to F: L a fu e rz a d e re a c c ió n d e 5 .8 2 kN p ro v o c a un a u m e n to re p e n ti

n a e n V.

VF = - 5 . 8 2 kN + 5 .8 2 kN = 0

C o m e n t a r io O b s e rv e q u e los v a lo re s d e la s fu e rz a s c o r ta n te s e n p u n to s e s tra té g ic o s

s e m u e s tra n ju s to e n e l d ia g ra m a e n d ic h o s p u n to s .

D ia g ram a s de fue rza co rtan te para ca rg a s d is trib u id as . La variación de la fuerza cortante con la posición en la viga que se somete a cargas distribuidas es diferente de la de vigas sometidas a cargas concentradas. El método del diagrama de cuerpo libre sirve para visualizar tales variaciones.

Considérese la viga que aparece en la figura 6-23, sometida a una carga distribuida unifonnemente de 1500 N/m en una parte de su longitud. Se desea determinar la magnitud de la fuerza cortante en varios puntos de la viga para dibujar un diagrama de fuerza

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23

Para un segmento de 6 m de largo, la figura 6-24(c) sería el diagrama de cuerpo libre. Luego debe haberuna fuerza cortante V áe 3000 N con dirección hacia arriba. En el punto correspondiente a 8 m, la figura 6-24(d) muestra otra vez la fuerza V = 3000 N con dirección hacia arriba. Esta situación se mantiene en los úl timos 3 m de la viga, puesto que no hay cargas externas aplicadas en este segmento.

En suma, las fuerzas cortantes que se calcularon fueron:

En el puntos

A 2 m

A4m

A 6 m

Entre B y C

V = 6000 N con dirección hacia abajo

V — 3000 N con dirección hacia abajo

V = 0

V = 3000 N con dirección hacia arriba

V = 3000 N con dirección hacia arriba

Por convención, las fuerzas cortantes con dirección hacia abajo se consideran positivas, y 1 as que tienen di recci ón hacia arriba negativas. Si estos valores se marcan en una gráfica de fuerza cortante contra posición en la viga, se produciría el diagrama de fuerza cortante que ilustra la figura 6-25. Nótese que en la porción de la viga que soporta la carga uniformemente distribuida, la curva de la fuerza cortante es una línea recta. Ésta es una característica representativa de tales cargas. De este ejemplo se derivan las reglas generales siguientes. Para la parte de una viga que se somete a una carga uniformemente distribuida:

1. Alo largo del segmento de una viga que soporta una carga uni formemente distribuida, el diagrama de fuerza cortante es una linea recta.

2. El ca m b io d e la fu e rza co rta n te entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de carga entre dichos puntos.

3. La pendiente de la recta que representa la fuerza cortante es igual a la razón de la carga sobre la viga, es decir, carga por unidad de longitud.

1500N/m

R, = 6000 N

6000

Fuerza cortante, KN)

-3000

F IG U R A 6 - 2 5 D ia g ra m a de fu e rz a c o rta n te .

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En este ejem plo, la regla 2 queda ejem plificada por el hecho de que entre los puntos A y B la fuerza cortante dism inuye 9000 N desde un valor positivo de 6000 N hasta un

valor negativo de 3000 N. Esta es el área bajo la curva de carga calculada com o sigue:

(1500N /m )(6 m) = 9000N

La regla 3 establece que la fuerza cortante dism inuye 1500 N por cada m etro de longitud de la viga.

Los principios generales derivados tanto para caigas concentradas com o para cargas distribuidas deben aplicarse en la solución de algunos problem as. Se deben aplicar los siguientes pasos:

I n d i c a c i o n e s p a r a e l

t r a z o d e d i a g r a m a s

d e f u e r z a c o r t a n t e

6 - 5 M O M E N T O S F L E X IO N A N T E S

Los m om entos flexionantes, adem ás de las fuerzas cortantes, se desarrollan en vigas por la aplicación de cargas perpendiculares a la viga. Estos m om entos flexionantes son los que hacen que la viga asum a su figura característica curvada o “flexionada” . Cuando se ejerce presión a la m itad de una vara esbelta, com o por ejem plo una regla con apoyo en sus extrem os, se tiene una ilustración de lo anterior.

La determ inación de la m agnitud de los m om entos flexionantes en una viga es otra aplicación del principio de equilibrio estático. En la sección anterior, se analizaron las

1. D eterm ine las fuerzas de las reacciones en los apoyos.

2. H aga un bosquejo de la viga. C onviene trazarlo con aproxim ación a escala.

3. Trace líneas verticales hacia abajo de los puntos clave de la viga cargada hasta donde se dibujará el diagram a de fuerza cortante.

4. D ibuje el eje horizontal del diagram a de fuerza cortante con una longitud igual a la de la viga. Rotule el eje vertical con el sím bolo y las unidades de las fuerzas cortantes que se van a graficar.

5. Si se parte del extrem o izquierdo de la viga, grafique la variación de la fuerza cortante de extrem o a extrem o de la m isma. R ecuerde que:

a. La fuerza cortante cam bia de m anera repentina en los puntos donde actúa una carga concentrada. El cam bio de la fuerza cortante es igual a la carga.

b. La curva de la fuerza cortante es una línea recta horizontal entre los puntos donde no hay cargas aplicadas.

c. La curva de la fuerza cortante es una linea recta que tiene inclinación entre los puntos donde se aplican uniform em ente cargas distribuidas. La pendiente de la línea es igual a la razón de la carga.

d. El cam bio de la fuerza cortante entre puntos es igual al área bajo la curva de la carga entre dichos puntos.

6. M uestre el valor de la fuerza cortante en los puntos donde ocurren cam

bios im portantes, tales com o cargas concentradas y al principio y al final de cargas distribuidas.

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fuerzas en la dirección vertical con el objeto de determinar las fuerzas cortantes en la viga que han de desarrollarse para mantener todas las partes de la viga en equilibrio. Para ello, se consideraron todas las partes de la viga como diagramas de cuerpo libre para visualizar lo que sucede en el interior de la misma. Un procedimiento similar sirve para ilustrar los momentos flexionantes.

La figura 6-26 muestra una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro. Toda la viga está en equilibrio lo mismo que cualquier parte de ella. Examine los diagramas de cuerpo libre que se muestran en las partes (b), (c), (d) y (e) de la figura 6-26. Con la suma de momentos con respecto al punto donde se cortó la viga se obtiene la magnitud del momento flexionante interno necesario para mantener al segmento en equilibrio. En la figura 6—26(b) se muestra el primer segmento de 0.5 m. La suma de momentos con respecto al punto B da:

M„ = 500 N (0.5 m) = 250 N-m

La fuerza cortante, que se dio con anterioridad en la figura 6-19, también se muestra.

1000 N

|«- 0.5 m 0.5 m -* 0.5 m 0.5 m -»j

M B C D |

t Ra = 500 N

(a) Carga sobre una viga

U -0 .5 m —|

I )M„ = 250 N-m

V = 500 NRA = 500 N

(b)

C(V = 500 N

1000 N

Aíc = 500 N-m

C\V = 500 N

(c) («0

1000 N

*------- 1.0 m ------- * - ° ' 5 ^ |

DI /V = 500 N

Ri = 500 N

(e)

F IG U R A 6 - 2 6 D ia g ra m a s d e cu e rp o l ib re u ti liz a d o s p a ra d e te rm in a r m o m e n to s f le x io n a n te s .

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En la figura 6-26(c), un segmento de 1.0 m de longitud, el cual incluye la mitad izquierda de la viga pero n o la carga de 1000 N, se dibujó como cuerpo libre. La suma de momentos con respecto a C da:

M r = 500 N (1.0 m) = 500 N-m

Si se hubiera tomado en cuenta la carga de 1000 N como se indica en la figura 6-26(d), el resultado sería el mismo, puesto que la carga actúa justo en el punto C y, por consiguiente, no hay momento con respecto a dicho punto.

La figura 6-26(e) muestra un segmento de 1.5 m de la viga aislado como cuerpo libre. Al sumar los momentos con respecto al punto D se obtiene:

M „ = 500 N (1.5 m) - 1000 N (0.5 m) = 250 N-m

Si se considera toda la viga como cuerpo libre y se suman los momentos con respecto al punto E en el extremo derecho de la viga, se obtiene:

Me = 500 N (2.0 m) - 1000 N (1.0 m) = 0

Un resultado similar se obtendría para el punto A en el extremo izquierdo. De hecho, una regla general es:

Los momentos flexionantes en los extremos de una viga simplemente apoya da son cero.

En suma, en la viga de la figura 6-26, los momentos flexionantes son:

Punto A : 0

Punto 5: 250 N-m

Punto C: 500 N-m

Punto D : 250 N-m

Punto E\ 0

La figura 6-27 muestra estos valores en el diagrama de momento flexionante bajo el diagrama de cortante que se desarrolló con anterioridad para la misma viga. Nótese que entre A y Clos valores del momento flexionante quedan sobre una línea recta. Asimismo, entre C y E , los puntos quedan sobre una línea recta. Esta es una característica propia de los segmentos de vigas que sólo soportan cargas concentradas. Una regla general, entonces, es: .

La curva del momento flexionante será una línea recta a lo largo de los segmentos donde la curva de fuerza cortante tiene un valor constante.

La figura 6-27 también ilustra otra regla general

El cambio del momento entre dos puntos de una viga es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los mismos dos puntos.

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Después de completar la integración se obtiene

M „ - M A = V(x„ - x A) (6-4)

Este resultado concuerda con la regla que antes se enunció. Nótese que M „ - M A es el c a m b io del momento entre los puntos A y B. El miembro derecho de la ecuación (6-4) es el área bajo la curva de fuerza cortante entre A y B.

I lu s tra c ió n d e la re g la d e l á re a . Una vez que se comprende el principio en el que se fundamenta la regla del área, no es necesario realizar la integración para resolver problemas en los que las áreas se pueden calcular por geometría simple. Con los datos de la figura 6-27, por ejemplo, entre A y B:

Mb ~ M.\ = V'Ufl - .v,,) = (500 N)(0.5 m - 0) = 250 N-m

Es decir, el momento flexionante aumentó 250 N-m a lo largo del claro A - B . Pero en A el momento M Á = 0. Por lo tanto:

M „ = M A + 250 N-m = 0 + 250 N-m = 250 N-m

Asimismo, entre B y C:

M c ~ M „ = V (xc ~ X /,) = (500 N)(1.0 m - 0.5 m) = 250 N-m

Entonces:

M c = M n + 250 N-m

Pero M B= 250 N-m. Por lo tanto:

M c = 250 N-m + 250 N-m = 500 N-m

Entre Cy D , K=-500N. Por consiguiente:

M n ~ M i■ = V (x„ - x c ) = (-500 N)(1.5 m - 1.0 m) = -250 N-m

M 0 = M c - 250 N-m = 500 N-m - 250 N-m = 250 N-m

Entre Z) y E\

Me - M n = v ( x e ~ x D ) = (-500 N)(2.0 m - 1.5 m) = -250 N-m

M e = M „ - 250 N-m = 250 N-m - 250 N-m = 0

Estos resultados son idénticos a los que se determinaron con el método del diagrama de cuerpo libre. Se utilizará la regla del área para generar el diagrama de momento flexionante con el diagrama de fuerza cortante y que ya se conoce en los problemas restantes de esta sección y siempre que los cálculos del área se puedan hacer de forma simple.

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E n e l p u n to A : Se usa la reg la qu e e s ta b le ce q ue el m o m e n to flex io-

nan te es ce ro en los e x tre m os de una v ig a s im p le m e n te a p o ya d a . Es

dec ir, M A = 0.

P u n to B : P a ra és te y cad a uno de los pu n to s s u b se cu e n te s , se aplica

la regla de l á rea . El pa trón g en era l es:

Mg = Mfy + [Á rea]¿0

en d on de [Área]„Q = á rea ba jo la cu rva de fu e rza c o rta n te e n tre A y B.

C on los da tos de la cu rva de fu e rza co rta n te :

[ÁreaJ^B = VAB x a n ch o del se g m e n to AB

P e ro , VAB = 5 .9 8 kN a lo la rg o d e l s e g m e n to AB cu ya lo n g itu d es de

0 .4 0 m . P o r lo tanto :

[Á re a ]AB = 5.98 kN(0.40 m) = 2.39 kN-m

P o r ú ltim o :

M r = Ma + [Á rea ]AS = 0 + 2.39 kN-m = 2.39 kN-m

E ste va lo r se m arca en el pun to 6 de l d ia g ram a de m o m e n to flex ionante.

En seg u id a se traza una línea rec ta de M A a M g po rq ue la fu e rza cortante

es co n sta n te a lo la rg o de d icho se gm en to . Los va lo re s de l m om ento fle x io n a n te en C, D, E y F s e d e te rm in a n de la m ism a m a nera .

Punto C: M c = Mb + [Á re a ]sc

[Á re a ]flC= 2 .48 kN (0 .4 0 m ) = 0 .9 9 kN-m

M c = 2 .39 kN -m + 0 .99 kN-m = 3 .38 kN -m

Punto D: M D = M c + [Á re a ]Co

[Á re a ]co = - 1 .82 kN (0 .40 m) = -0 .7 3 kN-m

M d = 3 .3 8 kN -m - 0 .73 kN -m = 2 .6 5 kN-m

O b serve que el [Á re a ]CDes neg a tiv a po rq u e es tá d e b a jo de l e je.

Punto E: M E = M D + [Á re a ]D£

[Á re a ]DE = -3 .0 2 kN (0 .3 0 m ) = -0 .9 1 kN-m

Me = 2 .6 5 k N -m - 0 .9 1 k N -m = 1.74 kN-m

Punto F: M F = M E + [Á re a ]ep

[Á re a ]£p = -5 .8 2 kN (0 .3 0 m ) = - 1 .7 4 kN-m

M e = 1.74 k N - m - 1.74 kN-m = 0 kN-m

R esu m en y com en tarios Los va lo re s de l m om e n to fle x io n a n te se m ue s tra n en el

d ia g ra m a en sus pun tos res pe c tivo s de m odo que los u sua rios de l d ia g ra m a p u e da n ver

los va lo re s re la tivos . El hech o de que MF= 0 co m p ru e b a los c á lc u lo s po rq u e la reg la para

v ig a s s im p le m e n te ap o yad as es ta b le ce que el m o m e n to fle x io n a n te en F de b e s e r cero.

E l o b je tiv o de d ib u ja r el d iag ram a de l m o m e n to fle x io n a n te co n fre cu e n c ia es lo c a liz a r el

pu n to do n de ocu rre el m om e n to f le x io n a n te m á x im o . E n e s te c a s o M c = 3 .3 8 kN -m es

e l v a lo r m á x im o .

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R e g la del m o m e n to fle x io n a n te m á x im o . El ejemplo 6-6 ilustró una útil regla que se puede enunciar como sigue:

El momento flexionante máximo ocurrirá en un punto donde la curva de la fuerza cortante corta el eje horizontal.

La regla del área conduce a esta regla. Para ilustrarla, en el ejemplo 6—6, las áreas bajo la curva de la fuerza cortante en los primeros dos segmentos son positivas (encima del eje) y, por consiguiente, el momento flexionante se in c rem en ta hasta el punto C. Pero las áreas a la derecha del punto C son negativas (debajo del eje) y el momento flexionante d ism in u ye . Por consiguiente, el momento flexionante máximo ocurre en el punto C. En los casos en que la curva de la fuerza cortante corta el eje más de una vez, todos los puntos de intersección se tienen que investigar para determinar cuál es el máximo.

D ia g ra m a s d e m o m e n to fle x io n a n te pa ra ca rg a s d is tr ib u id a s . Los ejemplos anteriores ilustraron el cálculo de momentos flexionantes y el trazo de sus diagramas de vigas que sólo se sometieron a cargas concentradas. Ahora se considerarán las cargas distribuidas. El método del diagrama de cuerpo libre se usará de nuevo para visualizar la variación del momento flexionante como función de la posición en la viga.

La viga que ilustra la figura 6-29 se utilizará para mostrar los resultados representativos de cargas distribuidas. Esta es la misma viga para la que se determinó la fuerza cortante, como se muestra en las figuras 6-23 a 6-25. Los diagramas de cuerpo libre de segmentos de la viga que se consideraron como incrementos de 2 m, se usarán para calcular los momentos flexionantes (recúrrase a la figura 6-30).

Para un segmento del lado izquierdo de la viga, de 2 m de largo, el momento flexionante se detennina al sumar los momentos con respecto al extremo izquierdo provocados por todas las cargas externas que actúan a la izquierda de la sección, según muestra la figura 6-23(a). Nótese que la resultante de la carga distribuida se muestra actuando a la mitad del segmento de 2 m. Por tanto, como el segmento está en equilibrio:

M 2 = 6000 N (2 m) - 3000 N (lm ) = 9000 N-m

f .

1500N/m

6 m

Ra = 6000 N

-3 m -C

Rc =3000 N

6000

Fuerza cortante, K(N)

0

\ 3 0 0 0

i 6 8 9

0 1 i

F I G U R A 6 - 2 9 D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te y m o m e n to f le x io n a n te .

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3 0 0 0 N

— ¡ 1 m ---

1t

♦i = 9 0 0 0 N *m

-•— 2 m —*-V

V, = 3 0 0 0 N .

A = 6 0 0 0 N Ka

(a)

9 0 0 0 N

----- 3 m

6 0 0 0 N

*-*—2 m

4 ni

(*)

V v / 4 = 12 0 0 0 N •

V. = 0

Ka = 6 0 0 0 N

- 6 m

( c )

9 0 0 0 N

= 9 0 0 0 N -m

U------------5 m ' —»

11v

VB = 3 0 0 0 N

= 3 0 0 0 N -m^ ,W X =

/?., = 6 0 0 0 N

(d)

FIG URA 6 -3 0 D iagramas de cuerpo libre utilizados para determinarm omentos flexionantes.

El símbolo M 2 indica el momento flexionante que actúa en el punto a 2 m del extremo izquierdo de la viga.

Con un método similar en los puntos a 4 m, 6 m y 8 m del extremo izquierdo de la viga, como se muestra en la figura 6-30(b), (c) y (d), se obtendría:

= 6000 N (4 m) - 6000 N (2 m) = 12 000 N-m

M h = 6000 N (6 m) - 9000 N (3 m ) = 9000 N-m

A / s = 6000 N (8 m) - 9000 N (5 m ) = 3000 N-m

Recuérdese que en los extremos de la viga el momento flexionante es cero. Ahora ya se tienen varios puntos que se pueden marcar en un diagrama de momento flexionante bajo el diagrama de fuerza cortante, como se muestra en la figura 6-31. Primero examínese la sección de la viga donde actúa la carga distribuida, los primeros 6 m. Al unir los puntos correspondientes que se marcaron al momento flexionante con una curva uniforme, se obtiene el perfil característico de una curva de momento flexionante para una carga distribuida. En los últimos 3 m, donde no hay cargas aplicadas, la curva es una línea recta, como fue el caso en los ejemplos anteriores.

Con base en la figura 6-31 se pueden hacer observaciones importantes, las cuales se pueden generalizar como reglas para el trazo de diagramas de momento flexionante.

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Posición en la v iga , m

F IG U R A 6 - 3 1 D iagram as de carga, fuerza corlan te y m om ento de flex ión com pletos.

R e g la s p a r a d i b u j a r

d i a g r a m a s d e

m o m e n to f l e x i o n a n t e

Considérense estas reglas con aplicación a la viga de la figura 6 -3 1 . Es obvio que la regla 1 se satisface, puesto que el momento en cada extrem o es cero. La regla 2 se puede usar para veri ficar los puntos trazados en el diagrama de m om entos a los intervalos de 2 m. Para los primeros 2 m, el área bajo la curva de fuerza cortante se com pone de un

rectángulo y un triángulo. Por lo tanto, el área es:

A o. 2 = 3000 N (2 m) + y (3000 N )(2 m) = 9000 N-m

1. En los extremos de una viga sim plem ente apoyada, el m om ento flexio

nante es cero.

2. El cambio del momento flexionante entre dos puntos de una viga es igual al área bajo la curva de fuerza cortante entre dichos puntos.Así pues, cuando el área bajo la curva de fuerza cortante es positiva (encima del eje), el momento flexionante se incrementa y viceversa.

3. El m áxim o momento flexionante ocurre en un punto donde la curva de la

fuerza cortante corta su eje cero.

4. En una sección de la viga donde actúan cargas distribuidas, el diagram a de

momento flexionante será curvo.

5. En una sección de la viga donde no hay cargas aplicadas, el diagram a del momento flexionante será una línea recta.

6. Lapendiente de la curva de momento flexionante en un punto cualquiera es igual a la magnitud de la fuerza cortante en dicho punto.

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Éste es el cambio del momento entre el punto 0 y el punto 2 en la viga. Para el segmento entre 2 y 4, el área bajo la curva de fuerza cortante es un triángulo. Luego:

A2-4 = y (3000 N) (2 m) = 3000 N-m

Como éste es el cambio del momento entre el punto 2 y el punto 4:

M i = M i + /U-j = 9000 N-m + 3000 N-m = 12000 N-m

Asimismo, para los segmentos restantes:

¿ 4.6 = - -(—3000 N) (2 m) = -3000 N-m

M„ = M i + A i .6 = 12000 N-m - 3000 N-m = 9000N-m

/Vx = (-3000 N)(2 m) = -6000 N-m

M x = M h + /4t-8 = 9000 N-m - 6000 N-m = 3000 N-m

A8_9 = (-3000 N)(1 m) = (3000 N-m)M , = Mu + = 3000 N-m - 3000 N-m = 0

En este caso el hecho de que M 9 = 0 comprueba el proceso por el que la r e g la ¡ se debe satisfacer.

La r e g la 3 se ilustra en el punto 4. En el punto donde ocurre el máximo momento flexionante, la curva de la fuerza cortante corta el eje cero.

Para dominar la re g la 6 se requiere algo de práctica, la cual es en extremo útil cuando se trata de bosquejar diagramas de momento. Por lo general, el bosquejar es suficiente. El uso de las seis reglas que se enunciaron permite bosquejar con rapidez el perfil del diagrama y calcular los valores clave.

Al aplicar la re g la 6, recuérdense los conceptos básicos con respecto a la pendiente de una curva o línea, como se ilustra en la figura 6-32. Se muestran siete segmentos diferentes, con curvas del diagrama de fuerza cortante y del diagrama de momento, en las que se incluye las más usuales en el trazo de tales diagramas. Por consiguiente, al dibujar una parte de un diagrama, en el que la curva de la fuerza cortante tiene una forma particular, la forma correspondiente de la curva de momento debe ser como se ilustra en la figura 6-33. Al aplicar este método al diagrama de momento de la figura 6-31, nótese que la curva del punto 0 al punto 4 es como la de tipo 5 de la figura 6-32. Entre los puntos 4 y 6, la curva es como la 6. Entre los puntos 6 y 9, se usa la línea recta de pendiente negativa, curva 3.

6 - 6 F U E R Z A S C O R T A N T E S Y M O M E N T O S F L E X IO N A N T E S

E N V IG A S E N V O L A D IZ O

El tipo de apoyo de una viga en voladizo hace que el análisis de sus fuerzas cortantes y momentos flexionantes sea algo diferente del de vigas simplemente apoyadas. La diferencia más notable es que el apoyo de la viga es fijo y, por tanto, puede resistir momentos. Por eso, en el extremo fijo de la viga, el momento flexionante no es cero, como en el caso

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Fuerza cortan le

+

0

© © GPendiente Pendiente Pendiente positiva nula negativa

constante i constante constante

Pendiente Pendiente Pendiente Pendiente creciente decreciente creciente decreciente positiva positiva negativa negativa

Momentollexionante

F I G U R A 6 - 3 2 F orm as g en era les d e la s curvas d e m o m en to en relación c o n la s cu rvas d e fu erza cortante

corresp on d ien tes .

de vigas simplemente apoyadas. De hecho, el momento flexionante en el extremo fijo de la viga por lo general es el m áximo.

Considérese la viga en voladizo que muestra la figura 6-33. En el ejemplo 6-4, se demostró que las reacciones en el apoyo A son una fuerza vertical RA = 64 kN y un momento Ma = 70 kN • m. Estos valores son los valores de la fuerza cortante y el momento flexionante en el extremo izquierdo de la viga. De acuerdo con la convención de signos adoptada, la fuerza de reacción RA es positiva y el momento MA en sentido contrario al de las manecillas del reloj es negativo y dan los valores iniciales de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que muestra la figura 6-34. Las reglas que con anterioridad se desarrollaron para el trazo de diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se pueden usar entonces para completar los diagramas.

La fuerza cortante disminuye en forma de línea recta de 64 kN a 4 kN en el intervalo entre A y B. Nótese que el cambio de la fuerza cortante es igual a la magnitud de la carga distribuida, 60 kN. La fuerza cortante permanece constante entre B y C, donde no hay cargas aplicadas. La carga de 4 kN en Chace que la curva regrese a cero.

El diagrama de momento flexionante comienza en —70 kN • m debido al momento de reacción MA. Entre los puntos A y B, la curva tiene una pendiente positiva decreciente

4 kN

MA = 70 kN -m

R a = 6 4 k

FIGURA 6-33 Carga y reacciones en una viga.

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FIG U RA 6 -3 4 D iagramas de carga, fuerza corlante y momento flexionante completos

(curva 5 en la figura 6-32). El cambio del momento entre A y B es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre A y B. El área es:

Aa_b = 4 kN (2 m) + y (60 kN)(2 m) = 68 kN-m

Por tanto, el momento en B es:

M b — M ..\ + A a. b = — 7 0 kN-m + 68 kN-m = —2 kN-m

Por último, entre B y C :

M c = M b + A B- c = ~ 2 kN-m + 4 kN (0.5 m) = 0

Como el punto Ces el extremo l ib r e de la viga, el momento debe ser cero.

6 - 7 V IG A S C O N C A R G A S D IS T R IB U ID A S L IN E A L M E N T E V A R IA B L E S

Las figuras 6-5 y 6-6 de la sección 6-2 ilustran dos ejemplos de vigas que se sometieron a cargas distribuidas linealmente variables. A continuación se demostrará el método para dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de tales vigas y la deter-

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minación de los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante. En la práctica éstos son los objetivos principales. Más adelante, en la sección 6-9, seplanteaun método matemático que da una definición más completa de la forma de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

Recúrrase ahora a la figura 6-35 que muestra el diagrama de carga de la viga en voladizo de la figura 6-5. El régimen de carga varía linealmente desde vv = -200 lb/pie (hacia abajo) en el apoyo A hasta w = cero en el extremo derecho B. Esta curva de línea recta se conoce como cu rva d e p r im e r g ra d o porque la carga varía de modo directo con la posición, A-, en la viga. Con una carga como ésa, la reacción en A , y que se llama/?,,, es la resultante de la carga distribuida total, la cual se determina al calcular el área bajo la curva de forma triangular. Es decir:

Ra = j (-200 lb/pies)(8 pies) = -800 Ib

El momento flexionante en el apoyo, al que se le llama M A, debe ser igual al momento de toda la carga aplicada a la derecha d e A . Éste se determina al considerar que la resultante actúa en el centroide de la carga distribuida. En la curva de carga de forma triangular, el centroide está a 1/3 de la longitud de la viga a partir del punto A . Si esta distancia se designa como.v, entonces:

x —LJ 3 = (8 pies)/3 = 2.667 pies

Por tanto, el momento en A es el producto de la resultante por.v. Es decir,

/V/., = /?+*: = (800 Ib) (2.667 pies) = 2133 lbpie

Los valores RA = 800 Ib y M A = 2133 lb pie son los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante, respectivamente. En la mayoría de los casos, ése es el objetivo del análisis. De ser así, el análisis se puede dar por terminado.

Pero, si se desean los diagramas de fuerza cortante y el momento flexionante, se pueden trazar con base en los principios que se plantearon con anterioridad en este capítulo. La figura 6—36 muestra los resultados. El diagrama de fuerza cortante parte d e A con el valor de 800 Ib, igual a la reacción RÁ. El valor de la fuerza cortante disminuye entonces en puntos a la derecha de A conforme se aplican cargas adicionales. Nótese que la curva

»i'i = -200 Ib-pies

MA = R (L/ 3)

íV , = 2133 lb pies

R = resultante = área bajo la curva de carga R = (w,L) = W -200)(8) = - 800 Ib

Curva de primer grado (linea recta)

. H=0

pies

FIGURA 6-35 Diagrama de carga, reacción y momento de una viga en voladizo sometida a una carga distribuida linealmente variable.

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o

M om ento flexionante,

M (lb p ie )

F IG U R A 6 - 3 6 D iagram as de carga, fuerza corlante y m om ento flexionante correspondientes a la carga

aplicada a la viga de la figura 6-35 .

de la fuerza cortante no es una línea recta porque el régimen de carga disminuye de/l hacia B. En B el régimen de carga es cero, por lo que el valor de la fuerza cortante en B es cero. La pendiente de la curva de fuerza cortante en cualquier punto es igual al régimen de carga en el punto correspondiente del diagrama de carga. Así pues, la curva de la fuerza cortante comienza en A con una pendiente negativa relativamente grande, la cual disminuye de manera progresiva a medida que la curva se aproxima a B . Esta curva por lo general se llama c u r v a d e s e g u n d o g r a d o porque su valor varía con el cuadrado de la distancian.

El diagrama de momento flexionante se traza al observar en primer lugar que M Á =

-2133 Ib • pie. La curva tiene una pendierrte positiva digamos un tanto grande en A debido al gran valor positivo de la fuerza cortante en dicho punto. Luego, la pendiente disminuye de manera progresiva, conforme aumenta la distancia hasta cero en el punto B. El hecho de que el valor del momento flexionante sea igual a cero en B se puede demostrar, también, si se calcula el área bajo la curva de la fuerza cortante d e A a B . El apéndice A-l incluye fórmulas para calcular el área bajo una curva de segundo grado del tipo expuesto en el diagrama de fuerza cortante. Es decir:

Área = (l/3)(800 lb)(8 pies) = 2133 lb pie

Éste es el c a m b io del momento flexionante d e A a B , que hace que la curva del momento flexionante sea cero en B .

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6 - 8 D IA G R A M A S DE C U E R P O L IB R E D E C O M P O N E N T E S

DE E S T R U C T U R A S

Los ejemplos que hasta ahora se consideraron fueron de vigas generalmente rectas con todas las cargas transversales, es decir, cargas que actúan perpendiculares al eje principal de la viga. Muchos elementos de máquinas y estructuras son más complejos, con componentes alejados de la parte principal en forma de viga.

Por ejemplo, considérese el poste simple con un brazo extendido como el que se muestra en la figura 6-37 queconstadeun componente verticalyuno horizontal. El poste vertical tiene su base finnemente sujeta. En el extremo del brazo horizontal extendido, se aplica una carga con dirección hacia abajo. Un ejemplo de semejante carga es un sistema de sustentación de una señal de carretera. Otro sería el poste de sustentación de una canasta de baloncesto en el que la fuerza con dirección hacia abajo podría ser un jugador colgado del aro después de una clavada. Una aplicación en el diseño mecánico es una ménsula que soporta piezas de máquina durante el procesamiento.

En esas condiciones, conviene analizar el elemento de una estructura o máquina al considerarse cada elemento aparte y al trazar un diagrama de cuerpo libre de cada uno. En las juntas entre piezas, una pieza ejerce fuerzas y momentos en la otra. Con este método, se puede diseñar cada pieza con base en su patrón de carga, si se utilizan los principios básicos del análisis de vigas de este capítulo y de los restantes.

Poste con un brazo extend ido . El objetivo del análisis es dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos de los componentes horizontal y vertical de la estructura poste/brazo expuesta en la figura 6-37. El primer paso consiste en “desprender” el brazo del poste en el codo a 90°.

La figura 6-38 muestra el brazo horizontal como diagrama de cuerpo libre con la carga F, aplicada en su extremo derecho. El resultado es similar al de la viga en voladizo

F I G U R A 6 - 3 8 D iagram as de cuerp o libre, fuerza

F I G U R A 6 - 3 7 P o s le c o n un brazo exten d id o . cortante y m om en to flex io n a n te del brazo horizontal

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que con anterioridad se explicó en este capítulo. Se sabe que el brazo está en equilibrio com o parte de la estructura completa y, por consiguiente, debe estarlo cuando se considera solo. Por lo tanto, en el extremo izquierdo, donde se une al poste vertical, debe haber

una fuerza igual a F q u e actúa de modo vertical con dirección hacia arriba para mantener la sum a de las fuerzas verticales igual a cero. Pero las dos fuerzas verticales forman un par que tiende a girar el brazo en el sentido de las manecillas del reloj. Para mantener el equilibrio rotacional, en el extremo izquierdo del brazo debe haber un momento que actúa en sentido contrario al de las manecillas del reloj de m agnitud M =F-a, donde a es la longitud del brazo. Con el diagrama de cuerpo libre com pleto, se trazan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante com o se indica en la figura 6 -38 . La fuerza cortante es igual a Fa todo lo largo del brazo. El m om ento máxim o flexionante ocurre en el extrem o izquierdo del brazo d o ndeM= F a.

En la figura 6 -3 9 se muestra el diagram a de cuerpo libre del poste vertical. En el extrem o superior del poste se muestran una fuerza con dirección hacia abajo y un mom ento que actúa en sentido de las manecillas del reloj, ejercidos en el poste vertical por el brazo horizontal. Nótese el par de acción-reacción que existe en las jun tas entre las piezas. En las dos piezas actúan cargas iguales pero opuestas. Para com pletar el diagrama de cuerpo libre del poste se requiere una fuerza con dirección hacia arriba y un momento en sentido contrario al de las m anecillas del reloj en su extremo inferior, provocados por el mecanism o de fijación de la base. Por último, la figura 6 -3 9 muestra los diagram as de fuerza cortante y momento flexionante del poste, dibujados en posición vertical para relacionar los valores con las posiciones en él. N o hay fuerza cortante porque no hay fuerzas transversales que actúen en el poste. Donde no existe fuerza cortante, el momento flexionante no cambia y éste se mantiene constante a lo largo del poste.

V ig a c o n u n b r a z o e n f o r m a d e L . La figura 6 -4 0 m uestra un brazo en forma de L que se extiende bajo la viga principal que soporta una fuerza inclinada. La viga principal

F IG U R A 6 - 3 9 D iagram as de cuerpo libre,

fuerza co rtan te y m om en to flex ionan te del

p o s te vertical. F IG U R A 6 - 4 0 V ig a con un b razo en form a de L.

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tan sólo se apoya en A y C. El apoyo C tiene un diseño para que reaccione a cualquier fuerza horizontal en desequilibrio. El objetivo es dibujar los diagram as de fuerza cortante

y m om ento flexionante com pletos de la viga principal y los diagram as de cuerpo libre de

todas las partes del brazo.En este caso conviene usar tres diagram as de cuerpo libre: uno para la parte hori

zontal del brazo, uno para la parte vertical del brazo y uno para la viga principal. Pero prim ero conviene descom poner la fuerza aplicada en sus com ponentes vertical y horizontal, com o se indica por m edio de los vectores de puntos en el extrem o del brazo.

La figura 6-41 m uestra los tres diagram as de cuerpo libre. Si se com ienza con la parte DE expuesta en (a), las fuerzas aplicadas en E deben estar equilibradas por las fuerzas que actúan en D en dirección opuesta para que haya equilibrio en las direcciones vertical y horizontal. Pero el equilibrio rotacional debe originarse por un m om ento interno en D. Al sum ar los m om entos con respecto al punto D se dem uestra que:

En la figura 6-41 (b) las fuerzas y los m om entos que actúan en D tienen los m ismos valores pero direcciones opuestas a los que actúan en D en la parte (a) de la figura. Las condiciones de equilibrio vertical y horizontal m uestran las fuerzas que actúan en B igua-

M d = Fs f d = (16.4 kN ) (0.6 m) = 9.84 kN-m

= 5 .24 kN -m

2.0 m

b= 1.2 m

M b = 5.24 kN-m

A B C

-E MF„t = 11.5 kN

F„y = 16.4 kN

FCx = 11.5 kN

Fa, = 7.22 kN FCy= 9.18 kN

<c)

FIGURA 6 - 4 1 D iagram as de cuerpo libre, (a ) D ia g ra m a d e cuerpo libre de la p ieza 0 £ . (b ) D iagram a de cuerpo lib re de la p ieza flD .

(c) D iagram a d e cuerpo lib re de la p ieza ABC , la v iga p rincipal.

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lesa las que actúan en D . El momento que actúa en B sedetermina mediante la suma de los momentos con respecto a B como sigue:

M„ = M n ~ Fd,-c = 9.84 kN -m - (11.5 k N ) (0 .4 m ) = 5 .24 kN -m

Ahora se analiza la viga principal A B C . Las fuerzas y el momento se muestran aplicados en B con los valores que se tomaron del punto B de la parte B D . Para determinar las reacciones en A y C primero se suman los momentos con respecto al punto Ccomo sigue:

Nótese que se incluye el momento M B aplicado en B. Si se resuelve para F.,v.se obtiene

(F,ly-b) - M „ (16.4 kN) (1 .2 m) - 5 .24 kN-mr M = --------- ----- = ----------------— ----------------- = 7.22 kN

a + b 2.0 m

Asimismo, si se suman los momentos con respecto al punto A se obtiene:

Obsérvese que el momento M¡, aplicado en B es positivo porque actúa en el mismo senti do que el momento causado por FBy Al resolver para F Cy se obtiene:

El cálculo de las fuerzas se comprueba sumándolas en la dirección vertical verificando que la suma sea cero.

La terminación del diagrama de cuerpo libre de la viga principal requiere la inclusión de la reacción horizontal en C igual a la fuerza horizontal en B.

La figura 6-42 muestra los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga principal A B C . El diagrama de fuerza cortante se traza a la manera tradicional con los cambios de la fuerza cortante que ocurren en cada punto de aplicación de carga. La diferencia del desarrollo anterior radica en el diagrama de momento. Se utilizaron los siguientes pasos:

1. El momento en A es igual a cero porque A es un apoyo simple.

2. El incremento del momento en A y B es igual al área bajo la curva de fuerza cortante entre A y B, 5.78 kN -m.

3. En el punto B el momento M¡¡ se considera que es un m o m e n to c o n c e n tr a d o el cual produce un cambio repentino del valor del momento flexionante igual al

Por tanto:

( F u y - a ) + M „ (16.4 k N ) (0.8 m ) + 5 .24 kN -m

2 .0 m= 9.18 kN

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lesa las que actúan en D . El momento que actúa en B sedetermina mediante la suma de los momentos con respecto a B como sigue:

M „ = M „ - Fn.-c = 9.84 kN-m - (11.5 kN)(0.4 m) = 5.24 kN-m

Ahora se analiza la viga principal A B C . Las fuerzas y el momento se muestran aplicados en B con los valores que se tomaron del punto B de la parte B D . Para determinar las reacciones en A y C primero se suman los momentos con respecto al punto Ccomo sigue:

Nótese que se incluye el momento M B aplicado en B. Si se resuelve para F.,v.se obtiene

(F,ly-b) - M „ (16.4 kN)(1.2 m) - 5.24 kN-mr M = --------- ----- = ----------------— ----------------- = 7.22 kN

a + b 2.0 m

Asimismo, si se suman los momentos con respecto al punto A se obtiene:

Obsérvese que el momento M¡, aplicado en B es positivo porque actúa en el mismo senti do que el momento causado por FBy Al resolver para F Cy se obtiene:

El cálculo de las fuerzas se comprueba sumándolas en la dirección vertical verificando que la suma sea cero.

La terminación del diagrama de cuerpo libre de la viga principal requiere la inclusión de la reacción horizontal en C igual a la fuerza horizontal en B.

La figura 6-42 muestra los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga principal A B C . El diagrama de fuerza cortante se traza a la manera tradicional con los cambios de la fuerza cortante que ocurren en cada punto de aplicación de carga. La diferencia del desarrollo anterior radica en el diagrama de momento. Se utilizaron los siguientes pasos:

1. El momento en A es igual a cero porque A es un apoyo simple.

2. El incremento del momento en A y B es igual al área bajo la curva de fuerza cortante entre A y B, 5.78 kN -m.

3. En el punto B el momento M¡¡ se considera que es un m o m e n to c o n c e n tr a d o el cual produce un cambio repentino del valor del momento flexionante igual al

Por tanto:

(Fny-a) + M„ (16.4 kN) (0.8 m) + 5.24 kN-m2.0 m

= 9.18 kN

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este capítulo son propias y convenientes. Se puede analizar una am plia variedad de tipos de vigas y cargas con suficiente detalle para lograr un diseño lógico de las vigas que garantice la seguridad y que limite las deflexiones a valores aceptables. Los métodos para alcanzar estos objetivos se presentan en los capítulos 8-12.

Sin embargo existen algunos tipos de carga y de técnicas de diseño que pueden sacar provecho de la representación de los diagram as de carga, fuerza cortante y momento flexionante mediante ecuaciones matemáticas. Esta sección presenta los m étodos de crear tales ecuaciones.

Lo que sigue es una serie de instrucciones sobre cóm o derivar ecuaciones que definan por com pleto la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante com o función de la posición en la viga.

In s tru c c io n e s p a ra

d e r iv a r e c u a c io n e s

de d ia g ra m a s de v ig a s 1. Trace el diagrama de carga con todas las cargas externas aplicadas y las reacciones.

2. Calcule los valores de todas las reacciones.

3. M arque los puntos a lo largo de la viga donde actúan cargas concentradas o donde com ienzan y term inan cargas distribuidas.

4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante valiéndose de las técnicas expuestas con anterioridad en este capítulo y señale los valores en los puntos críticos que se definen en el paso 3.

5. Establezca convenciones para denotar las posiciones en la viga y los signos de las fuerzas cortantes y el momento flexionante. En lam ayoría de los casos, se utilizarán las siguientes convenciones:

a. L aposición en la viga se denotará por la variab le* medida con respecto al extrem o izquierdo de la viga.

b. Las cargas con dirección hacia abajo serán negativas.c. Lina carga cortante positiva es aquella que actúa hacia abajo dentro de

una sección dada de una viga. U n m étodo alterno para determ inar el signo de la carga consiste en analizar la fuerza vertical extem a neta que actúa en la parte de la viga a la izquierda de la sección de interés. Si la siguiente fuerza externa actúa hacia arriba, la fuerza cortante interna en la viga es positiva. Véanse las figuras 6 -1 9 a 6 -2 5 .

d. Un momento flexionante positivo es aquel que actúa en sentido contrario al de las manecillas del reloj dentro de una sección dada de una viga. Véanse las figuras 6 -2 6 a 6 -31 . Un momento flexionante positivo tenderá a flexionar una viga en una forma cóncava hacia arriba, propia de una viga sim plem ente apoyada que soporta cargas con dirección hacia abajo entre los apoyos.

6. Considere por separado cada segmento de la viga entre los puntos que se definen en el paso 3. La curva de la fuerza cortante debe ser continua dentro de cada segmento.

7. Si el diagram a de fuerza cortante se com pone de líneas rectas debido a cargas concentradas o uniformemente distribuidas, se pueden usar los principios fundamentales de la geom etría analítica para escribir las ecuaciones de la fuerza cortante contra la posición en cada segmento de la viga. Las ecuaciones resultantes tendrán la forma:

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V,B = Constante (ecuación de grado cero)VBc = a x + b (ecuación de primer grado)

Los subíndices definen el comienzo y el final del segmento de interés.8. Si el diagrama de fuerza cortante contiene segmentos curvos causados por

cargas distribuidas variables, primero escriba ecuaciones para la carga versus posición de la viga. Luego derive las ecuaciones para la fuerza cortante versus la posición en la viga como sigue:

Ku= j WÁBdx + C

donde wAB es la ecuación para la carga que actúa en el segmento AB como función de.v y Ces una constante de integración. La ecuación de la fuerza cortante resultante será de segundo grado o mayor, según la complejidad del patrón de carga. Calcule el valor de las constantes de integración por medio de valores conocidos de V en puntos dados x.

9. Derive ecuaciones para el momento flexionante como función de la posición en cada segmento de la viga, por medio del método:

MáB= \ Vab dx + C

Este es el equivalente matemático de la regla de l área para el trazo de diagramas de vigas que se utilizó con anterioridad porque el proceso de integración determina el área bajo la curva de la fuerza cortante. Calcule el valor de las constantes de integración por medio de valores conocidos de M en .v puntos dados.

10. El resultado es un conjunto de ecuaciones para fuerza cortante y momento flexionante en cada segmento de la viga. Convendría comprobarlas en cuanto a exactitud sustituyendo los valores clave de x para los que se conoce la fuerza cortante y el momento flexionante en las ecuaciones para garantizar que se obtendrán los valores correctos para V y M.

11. Determine los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante si aún no se conocen sustituyendo valores de x en las ecuaciones apropiadas donde se esperan los máximos valores. Recuerde la regla con respecto a que el momento máximo flexionante ocurrirá en el punto donde la curva de la fuerza cortante cruza el ejex, es decir, donde V = 0 .

Este procedimiento se ilustra con los cuatro ejemplos siguientes.

V ig a s im p le m e n te ap o ya d a co n una ca rg a c o n c e n tra d a . El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga y patrón de carga como se muestran en la figura 6-43, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección.

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Por tanto, C= 0. La ecuación final se escribe como:

M u: = 16a

Como comprobación, se ve que en,v=3 m, el momento flexionante A/fl= 48 kN-m, como se muestra en el diagrama de momento flexionante. A continuación se deriva la ecuación del momento flexionante en el segmento BC.

Para evaluar la constante C correspondiente a este segmento, se usa la condición de que enx - 5, M bc= 0. Por tanto:

Por consiguiente, C = 120. La ecuación final es:

= -24.v + 120

Para comprobarla, se sustituye.v = 3.

M bc= - 24(3)+ 120 = -72+ 120 = 48 (comprobación)

En suma, las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante son En el segmento A B desde.v—0 hastax = 3 m:

Los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante se ven con claridad en los diagramas.

Con esto se termina el ejemplo.

V ig a s im p le m e n te a p o y a d a c o n un a c a rg a p a rc ia l u n i fo rm e m e n te d i s t r i

b u id a . El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga y el patrón de carga que se muestran en la figura 6-44, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. Nótese que ésta es la misma viga y patrón de carga de la figura 6-31.

0 = -24(5) + C

VAB = 16 Mu, = 16.v

En el segmento B C desde x = 3 m hasta x = 5 m:

VV = -24 M IIC = -24.v + 120

= -24 kN a través del segmento B C

Mm* = 48 kN-m en el punto B (.r= 3 m)

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FIGURA 6 -4 4 Viga simplemente apoyada con una carga parcial con distribución uniforme.

Ya se completaron los pasos del 1 al 4 los cuales se muestran en la figura 6-44. Los puntos de interés se designaron como A en el apoyo izquierdo, B en el punto donde termina la carga distribuida y Cen el apoyo derecho. Se desarrollarán ecuaciones para los dos segmentos A B y B C , e n donde A B comprende desde.v = 0 hasta ,v = 6 m y B C desde x = 6 m hasta.v = 9 m.

El paso 5(b) puede usarse para escribir una ecuación para la carga en el segmentoAB:

wAB = —1500 N/m

El paso 7 se usa para escribir las ecuaciones de la curva de fuerza cortante. En el segmento A B , la curva es una línea recta, así que se escribe como sigue:

V,\B = ox + b

en donde a es la pendiente de la línea y b es la intersección de la línea con el eje V en x = 0. Un método conveniente para determinar la pendiente consiste en observar que la pendiente es igual al régimen de carga en el caso de una carga distribuida. Es decir, a =-1500 N/m. El valor de la intersección b se determinaen el diagrama de fuerza cortante; b = 6000 N. Por consiguiente la forma final de la ecuación de la fuerza cortante es:

VAB = -1500a- + 6000

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La ecuación se comprueba sustituyendo * = 6 m y calculando V„.

VAR = -1500(6) + 6000 = -3000

Este valor concuerda con el valor que ya se conoce de la fuerza cortante en el punto B. Nótese que se pudo usar el paso 8 para determinar la ecuación de VAB. Obsérvese

que:

h ' , i s = —1500 N/m

Por lo tanto:

VAB = J wABdx + C = J — 1500 dx + C = -1500.V 4- C

El valor de C se determina al sustituir VAB= 6000 en x = 0.

6000 = -1500(0) + C

Luego, C=6000. Por último:

VAB---- 15()0.v + 6000

Este valores idéntico al resultado precedente.En el segmento BC la fuerza cortante es un valor constante:

VBC = -3000

Antes de proceder a determinar las ecuaciones del momento flexionante recuérdese que un punto crítico ocurre donde la fuerza cortante cruza el eje cero. Dicho punto corresponde al punto donde ocurre el momento máximo flexionante. Sea este punto D y determine el valor de.Vo, donde V = 0 igualando la ecuación de Vw a cero y resolviéndola para.vfl.

VAB = 0 = — 1 5 0 0 *0 + 6000 x n = 6000/1500 = 4.0 m

Más adelante se usará este valor para determinar el momento flexionante en D.

El paso 9 de las instmcciones se usa para determinar las ecuaciones del diagrama del momento flexionante. Primero en el segmento/ífí:

Mah = | VABdx + C = J ( -1 5 0 0 * + 6000) dx + C

Mab = - 7 5 ( k : + 6000.V + C

Para evaluar C, nótese que en*=0,M/)í=0. Por lo tanto, C=0. Y:

Mab = -750*2 + 6000*

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La ecuación se comprueba determinando M¡, en.v = 6 m.

M„ = - 750(6)2 + 6000(6) = 9000 (comprobación)

Además, se requiere el valor del momento máximo en D , donde x = 4.0 m.

M n = -750(4)2 + 6000(4) = 12 000 (comprobación)

Para el segmento BC\

Mac = J VBCd x + C = j - 3000 d x + C = -3000.x + C

Pero, en .v = 9 m, M BC = 0. Por lo tanto:

0 = -3000(9) + C

y C = 27000. Por último:

M fíC = — 3000.Í + 27000

Se comprueba esta ecuación en el punto B parax = 6 m.

M¡i = —3000(6) + 27000 = —18 000 + 27000 = 9000 (comprobación)

En suma, las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante son: En el segmento A B desde.v = 0 hasta.v = 6 m:

VAB = -1500* + 6000

Mab = — 750.V2 + 6000.V

En el segmento B C desde.v = 6 m hasta* = 9 m:

VBC = -3000 Mbc = -3000.V + 27000

Los valores máximos de la fuerza cortante y el momento flexionante son evidentes en los diagramas.

Fmáx = 6000 N en el extremo izquierdo de/1 Mmáx= 12 000 N ■ m en el punto D ( x ~ 4 m)

Con esto se concluye el ejemplo.

V ig a en v o la d izo co n una c a rg a d is trib u id a v a ria b le . El objetivo es escribirlas ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante correspondientes

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a la viga y carga según la figura 6-4 5, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. Nótese que la viga y la carga son las mismas que se mostraron en la figura 6—36.

En este ejemplo habrá sólo un segmento, que comprende toda la longitud de la viga, porque las curvas de la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante son continuas.

Primero se escribe una ecuación de la carga que varía linealmente desde una razón de-200 bl/pie en el extremo izquierdo A hasta cero en el punto B donde a: = 8 pies. Es de hacerse notar que la carga se muestra al actuar sobre la viga con dirección hacia abajo conforme a la convención usual. Pero la carga con dirección hacia abajo es en realidad negativa. Como ayuda para escribir la ecuación, se podría dibujar el diagrama de carga como una gráfica de carga contra la posición*, como se muestra en la figura 6—46. Luego se escribe la ecuación de la línea rf*cta:

La pendiente, a, se evalúa con la razón del cambio de vv a lo largo de una distancia dada*. Si se usa toda la longitud de la viga se obtiene:

wÁ!¡ = a.x + b

W| — vv2 —200 — 0 = 25a0 - 8

it'l = - 2 0 0 lb p ieI— V3

R = resultante = área bajo la curva de carga R = '/i (*v,L) = '¿(-200)(8) = - 800 Ib

» = 25* -200, Curva de primer grado (linea recta)

(

0

0

Momento flexionante, M (Ib pie)

Ai = 4.167a3 - lOO.r + 800.V - 2133 curva de tercer grado

-Mnúx = - 2133

FIGURA 6 -4 5 V ig a en v o la d izo con una carga distribuida variable.

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F I G U R A 6 - 4 6 Representación alterna de la carga sobre la viga de la figura 6 - 4 5 .

El valor de b = -200 se observa en el diagrama de la figura 6-46. Entonces la ecuación final de la carga es:

wAB = 25* - 200

Esta ecuación se comprueba al evaluar w en x = 8 pies al final déla viga.

wAB = 25(8) — 200 = 0 (comprobación)

A continuación se deduce la ecuación para el diagrama de fuerza cortante.

VAB = J wABdx + C = I (25x - 200) dx + C = 12.5 * 2 - 200* + C

Use la condición de que en.v = o ,yM = 800 para evaluar C.

800 = 12.5(0)2 - 200(0) + C

Por lo tanto, C = 800. Y la ecuación final de la fuerza cortante es:

VÁB = 12.5jc 2 - 200* + 800

Esta ecuación se comprueba evaluando Ven,v = 8 pies al final de la viga.

VAB = 12.5(8)2 — 200(8) + 800 = 0 (comprobación)

Ahora se deduce la ecuación del diagrama del momento flexionante.

M ab = J VABd x + C = I (12 .5jc2 - 200* + 800) dx + C

M ab = 4 .167*3 - 100*2 + 800* + C

Si se u tiliza la co nd ic ión de q u e e n * = 0,M ^,s = -2 1 3 3 , se ev a lú a C.

-2133 = 4.167(0)’ - 100(0)2 + 800(0) + C

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53

Por lo tanto, C=-2133. La ecuación final del momento flexionante es:

Mab = 4.167x3 - lOO.r2 + 800* - 2133

Esta ecuación se comprueba evaluando M en x = 8 pies al final de la viga.

Mab = 4.167(8)3 — 100(8)2 + 800(8) — 2133 = 0 (comprobación)

En resumen, las ecuaciones de los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante de la viga que ilustra la figura 6-45 son:

Mab = 4.167.v3 - 1 OO.v2 + 800.r- 2133 (una curva de tercer grado)


V iga s im plem ente apoyada con una carga d istribuida variab le . El objetivo es escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante de la viga y carga como se muestran en la figura 6- 47, siguiendo las instrucciones dadas en esta sección. La figura 6-6 ilustra cómo se crea este patrón de carga.

Por la simetría de la carga, las dos reacciones son de igual magnitud. Cada una es igual al área bajo una mitad del diagrama de carga. Si tal área se descompone en un rectángulo de 0.2 kN/m de altura por 2.30 m de ancho y un triángulo de 1.0 kN/m de altura por 2.30 m de ancho, se calcula:

Ra = R c = (0.2) (2.30) + 0.5(1.0)(2.30) = 0.46 + 1.15 = 1.61 kN

En la figura 6- 47 se muestran las formas generales de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Se ve que la curva de la fuerza cortante cruza el eje cero a la mitad de la viga en.v = 2.30 m. Por consiguiente, el momento máximo flexionante ocurre en dicho punto. En principio, la magnitud del momento máximo flexionante es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los puntos A y B. Pero el cálculo de esa área es difícil porque la curva es de segundo grado y no comienza en su vértice. Por lo tanto no se pueden usar las fórmulas del apéndice A-l de manera directa. Por eso se desarrollan las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

En primer lugar escríbase la ecuación de la carga que actúa en la mitad izquierda de la viga desde A hasta B. La razón de la carga comienza como -20 kN/m (con dirección hacia abajo) y se incrementa a —1.20 kN/m. Asimismo, tal como se hizo en el ejemplo precedente, conviene dibujar el diagrama de carga como si fuera una gráfica, como se muestra en la figura 6- 48. A continuación se escribe la ecuación de la línea recta como sigue:

La pendiente, a, se calcula con la razón del cambio de w a lo largo de una distancia dada x. Al utilizar la mitad del largo de la viga se obtiene:

wAfí - 25.V-200

VM = 12.5.ir-200.í+ 800

(una curva de primer grado; una línea recta)

(una curva de segundo grado)

wAB = ax + b

a —Wi - w 2 = - 0 . 2 0 - ( - 1 . 2 0 )

x¡ — x-i 0 - 2.30= -0.4348

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-1 .2 0 k N /m

F IG U R A 6 - 47 V iga sim plem ente apoyada con una carga distribuida variable.

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El valor de b = -0.20 se obtiene del diagrama expuesto en la figura 6-47. Luego la ecuación final de la carga es:

wAn = a x + b = —0.4348* - 0.20

Esta ecuación se comprueba enx = 2.30 a la mitad de la viga.

Wab = —0.4348.V - 0.20 = 0.4348(2.30) - 0.20 = 1.20 kN/m (comprobación)

A continuación se deriva la ecuación del diagrama de fuerza cortante correspondiente al segmento /IB.

VAB = wAHclx + C = ( — 0.4348* - 0.20)d x + C = -0.2174*2 - 0.20* + C

Para evaluar C use la condición de que en .v = 0, VAB = 1.61. Por lo tanto, C = 1.61 y la forma final de la ecuación es:

VAH = —0.2I74*2 - 0.20* + 1.61

Esta ecuación se comprueba a la mitad de la viga sustituyendo* = 2.30 m.

VAH = -0.2174(2.30): - 0.20(2.30) + 1.61 = 0 (comprobación)

A continuación se deriva la ecuación para el diagrama del momento flexionante.

M ab = J VAHd x + C = J (—0.2174*2 - 0.20* + I.6IU/* + C

Máh = -0.07246*5 - 0.10*2 + 1.61* + C

Utilizando la condición de que en x = 0, M,w =0, se evalúa C= 0. Y:

Mah = -0.07246*' - 0.10*2 + 1.61*

Con * = 2.30 m se obtiene M B = 2.292 kN-m. La ecuación de los diagramas del lado derecho se derivan de la misma manera. Pero, por la simetría de los diagramas, las curvas del lado derecho son idénticas a las del lado izquierdo. En suma, las ecuaciones de la mitad izquierda de los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante son:

wAH = -0.4348* - 0.20 VAB = -0.2174*2 - 0.20* + 1.61

M ,n = -0.07246*’ - 0.10*2 + 1.61*

La fuerza cortante máxima es de 1.61 k-N en cada uno de los apoyos y el momento máximo flexionante es de 2.292 kN-m a la mitad de la viga.


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56

800 Ib

3 0 0 Ib

6 p l g , { 6 p lg

2 p l g

. ■

P 6 - 2

40 kN 10 kN 10 kN 10 kN

Il.2j 2.5m 2.5 m 2.5 m 1.2

P 6 - 7

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60

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140 Ib

25 K 15 K

125 0 N

6 0 0 N

0 .6 m I 0 .4 m I

1 * 6 -5 8

3 0 kN

4 0 kN

2 .0 m 2.5 m

5 0 kN/m 1.0 m 5 0 kN /m

P 6 - 6 0

P 6 - 6 3

P 6 - 6 4

8 0 0 Ib/pie

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140 Ib

25 K 15 K

1250 N

600 N

0.6 m I 0.4 m I

1*6-58

30 kN

40 kN

2.0 m 2.5 m

50 kN/m 1.0 m 50 kN/m

P 6 - 6 0

P 6 - 6 3

1 * 6 - 6 4

800 Ib/pie

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63

P 6 - 6 6

500 N/ n i

P 6 - 6 7

30 Ib/plg

18 plg

P 6 - 6 8

lOplg | 12 plg

P6 - 7 0

1200 lb/pie

| 3 pies 6 pies 3 pies

P 6 -7 1

6 0 0 N /m

2.0 m 4.0 m 2.0 rn

P6 - 7 2

P ro b lem as co rre s p o n d ie n te s a las fig u ra s P 6 -7 7 a

P 6 -8 4

Cada una de las figuras muestraun dispositivo mecánico con una o más fuerzas aplicadas paralelas y alejadas del eje del miembro principal de forma de viga. Los dispositivos se apoyan en cojinetes en los lugares marcados con una x los cuales pueden crear fuerzas de reacción en cualquier dirección perpendicular al eje de la viga. Uno de los cojinetes es

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C entro ides y m om en tos de inerc ia de áreas


En el capítulo 6 se aprendió a determinar el valor de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en todos los puntos de vigas como fundamento para el cálculo de esfuerzos cortantes y esfuerzos flexionantes de capítulos posteriores. Este capítulo continúa esta pauta al presentar las propiedades del perfil de la sección transversal de la viga, necesarias también para completar el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas.

Las propiedades del área de la sección transversal de vigas que son de interés en este caso son el centroide y el momento de inercia con respecto al eje centroidal. Algunos lectores ya han manejado estos temas gracias al estudio de la estática. Para ellos este capítulo constituirá un valioso repaso y una adaptación del tema a las aplicaciones de interés en la resistencia de materiales. Para aquellos que no han estudiado centroides y momentos de inercia, los conceptos y las técnicas que se exponen en este capítulo les permitirán resolver los problemas de análisis de vigas incluidos en este libro y en muchas

situaciones reales de diseño.Después de terminar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. Definir el término centroide.

2. Localizar el centroide de formas simples por observación.

3. Calcular la localización del centroide de formas complejas tratándolas como

compuestas por dos o más figuras simples.

4. Definir momento de inercia tal y como se aplica al área de la sección transversal

de vigas.

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denotadas por C. Si estos perfiles se fabricaran con esmero y se local izara el centroide con precisión, los perfiles se podrían equilibrar sobre la punta de un lápiz colocada en el centroide. Desde luego, se requiere una mano firme. ¿Está firme su mano?

El apéndice A -l es una fuente más completa de datos en lo que se refiere a centroides y otras propiedades de áreas de diversos perfiles.

3 C E N T R O ID E D E F O R M A S C O M P L E J A S

Se puede considerar que la mayoría de las formas complejas están compuestas de varias formas simples. Esto facilita la localización del centroide, como más adelante se demostrará.

Otro concepto que ayuda en la localización de centroides es que si el área dispone de un eje de simetría, el centroide se localizará en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetría y, por consiguiente, el centroide se localiza en la intersección de estos dos ejes. La figura 7 -2 muestra ejemplos donde ocurre esto.

En los casos en que no hay dos ejes de simetría, se usa el método de las áreas compuestas para localizar el centroide. Por ejemplo, considérese el área que ilustra la figura 7-3. Tiene un eje vertical de simetría pero no uno horizontal. Se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples en las cuales se puede localizar el centroide aplicando el siguiente principio:

El producto del área total por la distancia al centroide del área total es igual a la suma de los productos del área de cada componente por la distancia a su centroide, con las distancias medidas a partir del mismo eje de referencia.

Este principio utiliza el concepto de momento del área, es decir, el producto del área por la distancia de un eje de referencia al centroide del área. El principio establece:

El momento del área total con respecto a un eje particulares igual a la suma de los momentos de todos los componentes con respecto al mismo eje.

Éste se expresa matemáticamente como:

A rY = 2(A:y<) (7-1)

en donde AT= área total de la forma compuesta

Y = distancia al centroide de la forma compuesta medida con respecto a un eje de referencia

A, = área de un componente de la forma

y¡ = distancia del centroide del componente al eje de referencia.

C apítulo 7 ■ Centroides y m om en tos de inercia de áreas

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F I G U R A 7 - 2 F o r m a s c o m p u e s t a s q u e t ie n e n d o s e je s d e s im e tr ía . E l c e n tr o id e s e d e n o ta c o m o C.

------ 4 0 m m ------- ►

F I G U R A 7 - 3 P e r f i l d e l e je m p lo 7 - 1 .

Secc ión 7 - 3 ■ C entro ide de form as com p le jas 2 4 7

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R esultados L a ta b la q u e s ig u e fac ilita lo s c á lc u lo s d e lo s d a to s r e q u e r id o s p o r la

e c u a c ió n ( 7 -2 ) .

P a r t e A, yt A ,y

1 3 2 0 0 m m 2 4 0 m m 1 2 8 0 0 0 m m 3

2 6 0 0 m m 2 9 0 m m 5 4 0 0 0 m m 3

T = 3 8 0 0 m m 2 2 ( A y , = 1 8 2 0 0 0 m m 3

A c o n t in u a c ió n s e c a lc u la Y:

E s te v a lo r lo c a liz a e l c e n t ro id e c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 7 - 4 .

C om entario E n s u m a , e l c e n t r o id e s e lo c a liz a e n e l e je v e r t ic a l d e s im e tr ía a 4 7 .9 m m

h a c ia a r r ib a d e la b a s e d e la fo rm a .

El método del área compuesta también sirve para secciones donde se agregan o quitan partes. En este caso el área que se quita se considera negativa. El ejemplo siguiente

ilustra el método.

Ejem plo L o c a lic e e l c e n t r o id e d e l á r e a q u e m u e s tr a la f ig u ra 7 - 5

7-2

F IG U R A 7 -5 Perfil del ejem plo 7-2 ,

Secc ión 7 - 3 ■ C e ntro ide de fo rm as com p le jas

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O b je tiv o D e te rm in a r la lo c a liz a c ió n d e l c e n tro id e .

C a p ítu lo 7 ■ C e n tro id es y m om e n tos d e ine rc ia d e áreas

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uso eficiente de material, colocar todo el material alejado del eje centroidal que resulte práctico. Esta observación se basa en la definición de momento de inercia que aquí se da.

E l momento de inercia de un área con respecto a un eje particular se define como la suma de los productos obtenidos al multiplicar cada elemento infinitesimal de ella por el cuadrado de su distancia al eje.

De este modo, el lector puede deducir que si la m ayor parte del área se coloca lejos del eje centroidal, el momento de inercia tenderá a ser elevado.

La fórmula matemática del momento de inercia, I, se desprende de la definición. Un método que se aproxim a implica el proceso de sumatoria, indicado por E.

Tal proceso requiere que el área total se divida en muchas partes pequeñas, las cuales se representan por AA, y que la distanciayal centroide de cada una de las partes con respecto al ejede interés se determine. Porlo tanto, el producto d ey2(AA) se calcula para cadaparte pequeña, y a continuación se suman todos los productos. Éste es un proceso muy tedioso, y, por fortuna, uno que rara vez se utiliza.

Un refinamiento del método de la sumatoria y que señala la ecuación (7 -3 ) es el proceso de integración, el cual consiste en la técnica matemática de sumar cantidades infinitesim ales por toda un área. La definición matemática efectiva de momento de inercia requiere el uso de integración como sigue:

Aquí, el término dA es un área de tamaño infinitesim alm ente pequeño y y, com o con anterioridad, es la distancia al centroide de dA. En una sección subsecuente se demostrará el uso de la ecuación (7 -4 ). No obstante, en muchos problemas prácticos, no se requiere el proceso de integración.

Existen varios métodos para determinar la magnitud del momento de inercia.

1. Para formas simples conviene usar fórmulas estándar derivadas de la definición básica que ya se proporcionó. La figura 7-1 m uestra las fórmulas de cuatro figuras y el apéndice A - l da varias más. La referencia 2 incluye una tabla de fórmulas de /d e 42 figuras diferentes.

2. Para perfiles estándar comercialm ente disponibles tales como vigas de patín ancho (perfiles W), canales (perfiles C), ángulos (perfiles L )y tubos, los valores de momento de inercia se tabulan en referencias publicadas com o la referencia1. Véanse también los apéndices A - 4 a A - l 2.

3. Para figuras más complejas y para las que no hay fórmulas estándar, a menudo conviene dividirlas en componentes que son figuras simples. En las figuras de la 7 -4 a 7 -8 se proporcionan ejem plos. Los detalles del cálculo del momento de inercia de formas como ésas, llamadas formas compuestas, dependen de la

(7-3)

(7-4)

C a p itu lo 7 ■ C en tro ides y m om en tos d e ine rc ia de áreas

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naturaleza de las formas y se demostrarán más adelante en este capítulo. A continuación se enuncian algunos conceptos importantes.

a. Si todos los componentes de una forma com puesta tienen el mismo eje centroidal, su momento total de inercia se determina sumando o restando los momentos de inercia de sus com ponentes con respecto al eje centroidal. Véase la sección 7-5 .

b. Si todos los componentes de una forma com puesta no tienen el mismo eje centroidal, se requiere el uso de un proceso llamado te o re m a de la

tra n s fe re n c ia del e je . Véase la sección 7-6.

4. La definición fundamental de momento de inercia, ecuación (7 -4 ), se usa cuando la geometría de la figura se puede representaren térm inos m atem áticos inte

grables. (Véase la sección 7-7 .)

5. Muchos sistemas de diseño de “software” con la ayuda de lacom putadora incluyen el cálculo automático de la localización del centroide y el momento de inercia de cualquier forma cerrada dibujada en el sistema.

6. En el caso de un perfil que se puede representar como una combinación de rectángulos que tienen lados perpendiculares o paralelos al eje centroidal, se aplica una técnica de tabulación especial descrita en la última sección de este capítulo. Esta técnica, por sí misma, proporciona una buena solución valiéndose de una calculadora programable o un sim ple programa de computación.

7 - 5 M O M E N T O D E IN E R C IA D E F O R M A S C O M P U E S T A S C U Y O S

C O M P O N E N T E S T IE N E N E L M IS M O E J E C E N T R O ID A L

Un perfil compuesto es el integrado por dos o más componentes que por sí m ismos son perfiles simples de los cuales hay fórmulas para calcular su momento de inercia, I. Un caso especial es cuando todas las partes tienen el mismo eje centroidal. En tal caso el momento de inercia del perfil compuesto se determina combinando los valores de / de todas las partes de acuerdo con la regla siguiente:

Si las partes de un área compuesta tienen el mismo eje centroidal, el momento total de inercia se determina sumando o restando los momentos de inercia de las partes con respecto al eje centroidal. E l valor de / se suma cuando la parte es un área sólida positiva. Si la parte es hueca, el valor de I se resta.

La figura 7 -9 muestra un ejemplo de un perfil, compuesto de un vástago central vertical, de 30 mm de ancho y 80 mm de altura, y dos partes laterales, de 30 mm de ancho y 40 mm de altura. Nótese que el eje centroidal de las partes coincide con el eje centroidal x -x de la sección compuesta. La regla que se acaba de enunciar se puede usar entonces para calcular el valor total de I para la cruz cuando se suman los valores de / de cada una

de las tres partes. Véase el ejemplo 7-3 .

S e c c ió n 7 -5 ■ M om en to de ine rc ia d e fo rm as com pu es tas cuyo s com po ne n te s tienen e l m ism o e je cen tro ida l 2 5 3

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E l e n u n c ia d o g e n e ra l d e l t e o r e m a d e la t r a n s f e r e n c ia d e l e je es :

El momento de inercia de una forma con respecto a un cierto eje es igual a la suma del momento de inercia de la forma con respecto a su propio eje centroidal más una cantidad denominada té rm in o de t ra n s fe re n c ia que se calcula con A d1, en donde A es el área de la forma y d es la distancia del centroide de la formu al eje de interés.

Este teorema se puede aplicar para calcular el momento de inercia total de una forma com puesta general, siguiendo el procedim iento siguiente. En este caso, el eje de interés es el eje centroidal de la forma com puesta que se debe localizar con el método propuesto en la sección 7-3.

P ro c e d im ie n to

g e n e ra l

p a ra c a lc u la r el

m o m e n to de in e rc ia

d e u n a fo rm a

c o m p u e s ta

1. Divida la forma compuesta en formas simples que dispongan de fórmulas para calcular su momento de inercia con respecto a su propio eje centroidal. Identifique las partes como l, 2, 3, etcétera.

2. Localice la distancia del centroide de cada com ponente a algún eje de referencia conveniente, por lo general, la base de la sección compuesta.

Designe estas distancias como_y,,_y2,.}’3, etcétera.

3. Localice el centroide de la sección compuesta utilizando el método propuesto en la sección 7 -3 . Designe la distancia del eje de referencia del paso 2 al centroide, como Y.

4. Calcule el momento de inercia de cada parte con respecto a su propio eje centroidal y designe estos valores como h , etcétera.

5. Det ermine la distancia del centroide de la forma com puesta al centroide de cada parte y designe estos valores como d h d2, d}, etc. Observe que d¡ = Y —_y,, = Y - y 2,d } = Y-y¡, etc. Use el valor absoluto de cada distancia.

6. Calcule el término de transferencia de cada parte con A,d] en donde/i, es el área déla parte y d¡ es la distancia calculada en el paso 5.

7. Calculeel momento tota! de inercia de la sección compuesta con respecto a su eje centroidal con:

(7-5)

La ecuación (7-5) se conoce como el teorema de la transferencia del eje porque define cóm o transferirel momento de inercia de un área de un eje a cualquier eje paralelo. Tal como se aplica aquí, los dos ejes son el eje centroidal de la parte com ponente y el eje centroidal de la sección compuesta. Para cada una de las partes de una sección compuesta, la suma I ’rAd2 es la medida de su contribución al momento total de inercia.

La ejecución del Procedimiento general para calcular el momento de inercia de una form a compuesta se facilita con la preparación de una tabla que puede ser una arn-

2 5 6 C a pítu lo 7 ■ C en tro ides y m om en tos d e ine rc ia de áreas

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A s d\ = (4 .0 p lg 2) (1 .2 5 p lg )2 = 6 .2 5 p lg 4

A2 (% = (4 .0 p lg 2)(1 -25 p lg )2 = 6 .2 5 p lg 4

E s m e r a c o in c id e n c ia q u e lo s t é r m in o s d e t r a n s f e r e n c ia d e

c a d a u n a d e la s p a r t e s s e a n i g u a l e s e n e s t e p ro b le m a .

P a s o 7. M o m e n to to ta l d e in e r c ia :

P a s o 6. T é rm in o d e tra n s fe re n c ia d e c a d a u n a d e la p a rte s :

C om entario N ó te s e q u e lo s té r m in o s d e t r a n s f e r e n c i a c o n t r ib u y e n c o n c a s i 2 /3 d e l

v a lo r to ta l d e l m o m e n to d e in e rc ia .

7 - 7 D E F IN IC IÓ N M A T E M Á T IC A D E L M O M E N T O D E IN E R C IA

Según el planteamiento de la sección 7 -4 , el momento de inercia, I, se define com o la sum a de los productos que se obtienen al multiplicar cada elem ento del área por el cuadrado de su distancia al eje de referencia. La fórmula m atem ática para el m om ento de inercia se desprende de esa definición y a continuación se da. N ótese que el proceso

de sumar por toda el área se logra mediante integración.

La figura 7 -13 ilustra los térm inos de esta fórmula para el caso especial de un rectángulo, para el que se pretende calcular el momento de inercia con respecto a su eje centroidal. El elemento infinitesim al de área se muestra como una tira delgada paralela al eje centroidal donde su ancho es el ancho total del rectángulo, b, y su espesor es un valor infinitesim al,

dy. Por lo tanto el área del elemento es:

La distancia, y, es la distancia del eje centroidal al centroide del área elemental m ostrada. La sustitución de estos valores en la ecuación (7—4) perm ite la derivación de la fórm ula para el m om ento de inercia del rectángulo con respecto a su eje centroidal. N ótese que la integración por toda el área requiere que los lím ites de la integral vayan de - h l l a

+hl2.

'j — + Ay + ¡2 + A2 c/2

= 5 .3 3 p lg4 + 6 .2 5 p lg 4 + 0 .3 3 p lg 4 + 6 .2 5 p lg 4

= 1 8 .1 6 p lg 4

( 7 - 4 )

dA = b d y

I = y 2 dA = y \b d y )

Sección 7 - 7 ■ D e fin ic ión m a tem á tica de l m om en to de inerc ia 2 5 9

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F IG U R A 7 -1 3 D atos u tilizados en la derivación del m om ento de

in erc ia de un rectángulo.

Com o b es una constante, se puede sacar de la integral, como sigue:

Í +U2 IV > ‘ '2/ = b y 1dy = b \ y- \

J - M 2 | _ J j - W 2

Insertando los límites de la integral se obtiene:

Ésta es la fórmula que dan las tablas. Se pueden usar procedim ientos sim ilares para desarrollar fórmulas para otras figuras.

7 - 8 S E C C IO N E S C O M P U E S T A S H E C H A S D E P E R F IL E S

C O M E R C IA L M E N T E D IS P O N IB L E S

En la sección 1-16 se describieron perfiles estructurales de madera, acero y aluminio, com ercialm ente disponibles. En las siguientes tablas de apéndices se dan propiedades de tam años representativos de estos perfiles.

Apéndice A -4 para vigas de madera

Apéndice A -5 para ángulos estructurales de acero

Apéndice A -6 para canales estructurales de acero

Apéndice A -7 para perfiles estructurales de acero de patín ancho

Apéndice A -8 para vigas American Standard estructurales de acero

Apéndice A -9 para tubería estructural-cuadrada y rectangular

2 6 0 C a pítu lo 7 ■ C e n tro id es y m om e n tos de in e rc ia de áreas

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A ná lis is U s e e l pro ced im iento genera l d e s c r i to c o n a n te r io r id a d e n e s t e c a p í tu

lo . C o m o paso 1 , d iv id a e l perfil d e la v ig a e n t r e s p a r t e s . L a p a r t e 1 e s la

v ig a e n I; la p a r te 2 e s la p la c a Inferior; la p a r te 3 e s la p la c a su p e r io r . C o m o

pasos 2 y 3, el c e n tro id e c o in c id e c o n e l c e n t r o id e d e la v ig a e n I p o r q u e el

pe rfil c o m p u e s to e s s im é tr ic o . P o r e s o , / = 5 .5 0 p lg , o la m ita d d e la

a l tu r a to ta l d e l perfil c o m p u e s to . N o s e r e q u ie r e u n c á lc u lo a p a r t e d e ?.

R esultado s L a ta b la s ig u ie n te r e s u m e e l j u e g o c o m p le to d e d a t o s u t i l iz a d o s e n los

p a s o s 4 - 7 p a r a c a lc u la r e l m o m e n to to ta l d e in e r c ia c o n r e s p e c to al

c e n t r o id e d e la v ig a e n I. A lg u n o s d e lo s d a t o s s e m u e s t r a n t a m b ié n e n la

f ig u ra 7 - 1 4 . S e h a c e n c o m e n ta r io s a q u í s o b r e c ó m o s e o b tu v ie r o n c ie r

to s d a to s .

Parte Ai y ¡ A,y . >i d i = Y - y i A l 1, + A t f

1 8 .7 4 7 5 .5 0 - 155 .7 9 0 0 155 .79

2 3 .0 0 0 .2 5 - 0 .0 6 3 5 .2 5 82 .6 9 82 .7 5

3 3 .0 0 10 .75 - 0 .0 6 3 5 .2 5 8 2 .6 9 82 .7 5

A t = I A ¡ = 1 4 .7 4 7 p lg2 2 ( A f l ) = " lT=Z(li+A¡d?) = 3 2 1 .2 9 plg4

D istancia al cen troide = Y = ^ = 5 .5 0 plg (por in sp ección ) a T

P a s o 4. P a r a c a d a p la c a r e c ta n g u la r :

l2 = /3 = bh3n 2 = ( 6 .0 ) ( 0 .5 ) 3/ 1 2 = 0 .0 6 3 p lg 4

P a s o 5. D is ta n c ia d e l c e n t r o id e g e n e r a l a l c e n t r o id e d e c a d a u n a d e

l a s p a r te s :

cf, = 0 .0 p lg d e b id o a q u e lo s c e n t r o id e s c o in c id e n

d2 - 5 .5 0 - 0 .2 5 - 5 .2 5 plg

d3 = 1 0 .7 5 - 5 .5 0 = 5 .2 5 plg

P a s o 6. T é rm in o d e t r a n s f e r e n c i a d e c a d a u n a d e l a s p a r t e s :

A yd \ = 0 .0 p o rq u e d , = 0 .0

A 2d \ = A 3c% = ( 3 .0 0 ) ( 5 .2 5 ) 2 = 8 2 .6 9 p lg 4

P a s o 7. M o m e n to to ta l d e in e rc ia :

l j — I] + ¡2 A 2d2 + 1$ + A 3C/3

l T = 1 5 5 .7 9 + 0 .0 6 3 + ( 3 .0 ) ( 5 .2 5 ) 2 + 0 .0 6 3 + ( 3 .0 ) (5 .2 5 )2

= 3 2 1 .2 9 p lg 4

C om entario N ó te s e q u e l a s d o s p l a c a s a ñ a d i d a s c r e a n u n m o m e n to d e in e rc ia cuyo

v a lo r e s m á s d e l d o b le d e l d e la v ig a e n I o r ig in a l. A s im is m o , c a s i to d o el

v a lo r a g r e g a d o s e d e b e a lo s té r m in o s d e t r a n s f e r e n c i a y n o a l m o m e n to

b á s i c o d e in e rc ia d e la s m is m a s p l a c a s .

C a pítu lo 7 ■ C e n tro id es y m o m e n to s d e in e rc ia d e áreas

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v a s , d a d a t o s d e u n á n g u lo s ó lo ex im o r e f e r e n c ia . L a fila 3 d a lo s d a t o s d e

lo s c u a t r o á n g u lo s . P o r ta n to , lo s r e s u l t a d o s f in a le s s e d e t e r m in a n s u

m a n d o la s f i la s 1 y 3.

Parte A A y, i. d ¡ = Y - y , Af l l + A t f

1 8 .0 0 8 .00 - 1 7 0 .6 7 0 0 170 .67

(2) 3 .7 5 1.18 - 5 .5 6 6 .8 2 174.42 179.98

4 x ( 2 ) 15 .00 - - 2 2 .2 4 - 6 9 7 .6 8 7 1 9 .9 3

A t = I A ¡ = 2 3 .0 0 p lg2 i ( A y ,) = - h = Z(I¡+A,d?) = 8 9 0 .6 0 pl 34

D istancia al cen troide = Y = £ ^ = = 8 .00 plg (por in sp ección ) a t

P a s o 4. P a r a la p la c a r e c t a n g u la r v e r tic a l:

/2 = W73/1 2 = ( 0 .5 ) (1 6 )3/1 2 = 1 7 0 .6 7 p lg 4

P a s o 5 . D is ta n c ia d e l c e n t r o id e g e n e r a l a l c e n t r o id e d e c a d a u n a d e

l a s p a r te s :

d 1 = 0 .0 p lg d e b id o a q u e lo s c e n t r o id e s c o in c id e n

d2 = 8 .0 0 - 1 . 1 8 = 6 .8 2 p lg

P a s o 6. T é rm in o d e t r a n s f e r e n c ia d e c a d a u n a d e l a s p a r te s :

= 0 .0 p o rq u e d , = 0 .0

A 2d¡ = = (3 .7 5 )(6 .8 2 )2 = 1 7 4 .4 2 p /g 4

P a s o 7. M o m e n to to ta l d e in e rc ia :

l T = 1 7 0 .6 7 + 4 [5 .5 6 + 3 .7 5 ( 6 .8 2 ) 2]

= 1 7 0 .6 7 + 7 1 9 .9 3 = 8 9 0 .6 0 p lg 4

C o m e n ta r io L o s c u a t r o á n g u lo s c o n t r ib u y e n c o n c a s i e l 8 0 % d e l v a lo r to ta l d e l m o

m e n to d e in e rc ia .

7 - 9 M O M E N T O D E IN E R C IA D E P E R F IL E S C U Y A S P A R T E S

S O N T O D A S R E C T A N G U L A R E S

A continuación se describe un método para calcular el m om ento de inercia de perfiles especiales que pueden dividirse en partes, las cuales son rectángulos con sus lados perpendiculares y paralelos al eje de interés. Un ejemplo sería la figura en T que se analizó en el ejemplo 7 -5 y mostrado en la figura 7 -11 . El método es un poco más sim ple que el método descrito en la sección 7 -6 , donde se usó el teorem a de la transferencia del eje, aunque am bos m étodos se basan en los m ismos principios fundamentales.

2 6 4 C a p itu lo 7 • C e n tro id es y m o m e n to s de in e rc ia de áreas

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El método incluye los pasos siguientes:

1. Di vida la sección compuesta en un número conveniente de partes de tal modo que cada una sea un rectángulo con sus lados perpendiculares y paralelos al eje

horizontal.

2. Para cada una de las partes, identifique las siguientes dimensiones:

- b = ancho

y, = distancia de la base de la sección com puesta a la base de la parte

y 2 = distancia de la base de la sección com puesta a la parte superior de la parte

3. Calcule el área de cada una de las partes con la ecuación:

A = b(y2 - yi)

4. Calcule el momento del área con la ecuación:

M = b(yl - y?)/2

5. Calcule la localización del centroide con respecto a la base de la sección com

puesta con:

Y = M/A

6. Calcule el momento de inercia con respecto a la base de la sección com puesta

con:

h = b(y¡ ~ y ] ) /3

7. Calcule el momento de inercia con respecto al centroide de la sección com

puesta con:

lc = I¡, — A t Y~

en donde A T = área total = suma de las áreas de todas las partes.

Este proceso se presta m uy bien para su cálculo automático con una calculadora programable, un programa de cómputo o una hoja de cálculo. Com o ilustración, la figura 7—16 muestra el cálculo por medio de una hoja de cálculo del m om ento centroidal de inercia del perfil T que ilustra la figura 7 -11 , cuyo cálculo de su m om ento de inercia se hizo en el ejemplo 7—5 con el teorema de la transferencia del eje. Los resultados son, por supuesto, idénticos. Véase también la figura 7—17 que m uestra los datos.

Nótese que hay líneas en blanco en la hoja de cálculo porque se dejó espacio hasta para seis partes de la sección compuesta m ientras que ésta tiene sólo dos. La hoja de cálculo se podría expandir para incluir cualquier número de partes.

Secc ión 7 - 9 ■ M om en to de ine rc ia d e pe rfiles cuya s pa rtes son todas rec ta n gu la re s 265

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Momento d e i n e r c i a d e un p e r f i l c o n t o d a s s u s p a r t e s r e c t a n g u l a r e s P r o b l e m a ID: E j e m . 7 - 5

P a r a c a d a p a r t e : b - a n c h o ; y j - d i s t a n c i a a l a b a s e d e l a p a r t e ; y 2 = d i s t a n c i a a l a p a r t e s u p e r i o r d e 1 a pa r t e

Di m e n s i o n e s Á r e a , A M o m e n t o , M

I c o n r e s p e c t o - a l a b a s e . I b

b J ' l b<.y¿ - ) b íy 2z - y ¡ 2 ) / 2 b ( y p - y j 3 ) / 3

U n i d a d e s : p l g p l g p l g p l g 2 p l g 3 p l g 4

P a r t e 1 1 . 0 0 0 0 . 0 0 0 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 8 . 0 0 0 2 1 . 3 3 3P a r t e 2 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 5 . 0 0 0 4 . 0 0 0 1 8 . 0 0 0 8 1 . 3 3 3P a r t e 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0P a r t e 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0P a r t e 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0P a r t e 6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0

TOTALES 8 . 0 0 0 2 6 . 0 0 0 1 0 2 . 6 6 7

D i s t a n c i a d e l a b a s e a l c e n t r o i d e - Y:

Y - M I A - 3 . 2 5 p l g

Mo me nto d e i n e r c i a c o n r e s p e c t o a l c e n t r o i d e = I c :

I c - I b - A t ? ■■ 1 8 . 1 6 7 p l g

F IG U R A 7 -1 6 S olución del e jem plo 7 -5 u tilizando una hoja de cálcu lo y el p roced im ien to de solución para el m om ento d e inercia expuesto en la sección 7 - 9.

ii pig

4 p l g -

4 plg

7 = 3 .25 p lg

b = 1.00 p lg

b = 4 .0 0 p lg

E je de referencia de base

(6) Parte 1 (c) Parte 2

F IG U R A 7 -1 7 Perfil T que ilustra e l m étodo para calcu la r m om entos de inercia desc rito e n la secc ió n 7 -9 .

— 1 p l g U -

(a) P erfil en T com puesto

y 2 - 4 .0 0 p lg y , = 4.00 p lg y 2 = 5 .00 p lg

^ = 0 .0 plg


1. A m e r ic a n I n s t i tu te o f S te e l C o n s t r u c t io n , M a n u a l o f

S tee l C o n stru c tio n , 9 th e d . , C h ic a g o , IL , 1989.

2 . O b e rg , E r ik , e t a l . , M a c h in e ry 's H an d b o o k , 2 4 th ed .,

I n d u s t r ia l P r e s s , N e w Y o rk , 1 9 9 2 .

2 6 6 C a pítu lo 7 ■ C e n tro id es y m om e n tos d e in e rc ia de áreas

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D im ensiones en pulgadas

P7-15

P ro b le m a s

P7-16

190 mm

250 mm

— 60 mm

P7-17

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P7-34

placa d e V splg

P7-36

P 7 - 3 7

2 7 2

P7-38

P7-39

viga en form a de I

P 7-40

C a pítu lo 7 ■ C e n tro ide s y m om e n tos d e ine rc ia de áreas

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T A R E A S D E

1. Para un perfil en I generalizado cuyos patines superior e inferior son iguales al de la figura P7-2, escriba un programa de cómputo para calcular la ubicación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para cualquier juego de dimensiones reales que pueda luego introducir el operador del programa.

2. Para el perfil T generalizado, similar al de la figura P7- 4, escriba un programa de cómputo para calcular la ubicación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para cualquier juego de dimensiones reales que pueda introducir el operador del programa.

3. Para el perfil en I generalizado y similar al de la figura P7-5, escriba un programa de cómputo para calcular la ubicación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para cualquier juego de dimensiones reales que deben ser introducidas por el operador del programa.

4. Para cualquierperfil generalizado y que se pueda subdi- vidir en un cierto número de componentes rectangulares con ejes horizontales, escriba un programa de cómputo para calcular la ubicación del eje centroidal horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para cualquier juego de dimensiones reales y que debe introducir el operador del programa. Use el teorema de la transferencia del eje.

5. Para el perfil en forma de sombrero generalizado similar al de la figura P7-11, escriba un programa de cómputo para calcular la ubicación del eje centroida! horizontal, el área total y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para cualquierjuego de dimensiones reales con el fin de que los introduzca el operador del programa.

6. Dado un juego de tablones de madera de dimensiones estándar, calcule el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal para el perfil tubular generalizado y similar al de la figura P7-22. Los datos de los tablones los debe introducir el operador del programa.

7. Construya un archivo de datos que contenga las dimensiones de unjuego de tablonesde madera estándar. Luego, el operador del programa debe seleccionar las medidas de los miembros superior e inferiory de losdos miembros verticales del perfil tubular expuestos en la figura P7-22. En seguida, calcule el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal del perfil que habrá de diseñarse.

P rob lem as

C O M P U T A C I Ó N

8. Escriba un programa de cómputo para calcular el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal de un perfil W o S estándar con placas idénticas conectadas a los patines superior e inferior similar al de la figura 7—14. Los datos del perfil de viga y las placas las debe introducir el operador del programa.

9. Construya una base de datos de perfiles W o S estándar. En seguida escriba un programa de cómputo para calcular el área y el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal de un perfil de viga seleccionado con placas idénticas conectadas a los patines superior e inferior, como se muestra en la figura7—14. Los datos de las placas debe introducirlos el operador del programa.

10. Al dársele un perfil W o S estándar y sus propiedades, escriba un programa de cómputo para calcular el espesor requerido de las placas que deben conectarse a los patines superior e inferior para crear un momento de inercia especificado de la sección compuesta que se muestra en la figura 7-14. Haga que el ancho de las placas sea igual al ancho de los patines. Calcule el área total de la sección resultante.

11. Con el programa de cómputo escrito para la tarea 1 correspondiente al perfil en I generalizado, analice el área (/(), el momento de inercia (/) y la relación de / a A, conforme el espesor del alma cambia dentro de un intervalo especificado. Mantenga el resto de las dimensiones del perfil iguales. Observe que la relación de / a A es de hecho la misma que la razón de la rigidez de una viga que tiene este perfil a su peso, porque la deflexión de una viga es inversamente proporcional al momento de inercia y el peso de la viga es proporcional al área de su sección transversal.

12. Repita la tarea 11 pero cambie la altura de la sección al tiempo que todaslas demás dimensiones permanecen iguales.

13. Repita la tarea 11 pero varíe el espesor del patín mientras todas las demás dimensiones permanecen iguales.

14. Repita la tarea 11 pero varíe el ancho del patín mientras que todas las demás dimensiones permanecen iguales.

15. Escriba un programa de cómputo para calcular el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal de cualquier perfil compuesto que se pueda dividir en partes rectangulares con sus lados perpendiculares y paralelos al eje horizontal con el método descrito en la sección 7—9. Obtenga datos de salida del programa para cualquiera de los perfiles que aparecen en las figuras de la P7-1 a la P7-15 y de la P 7-21 a la P7-24.

2 7 3

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E s fu e rzo ca u sa d o po r fle x ió n


En el capítulo 6 las vigas se definieron como m iem bros en los que actúan cargas perpendiculares a su eje mayor. Se presentaron m étodos para determ inar el m om ento flexionante en cualquier punto de una viga. El momento flexionante, que actúa en el interior de una viga, hace que ésta se flexione y desarrolle esfuerzos en sus fibras. La m agnitud de los esfuerzos así desarrollados depende del m om ento de inercia de la sección transversal, calculado con los m étodos expuestos en el capítulo 7.

Este capítulo utiliza la inform ación de los capítulos precedentes para calcular el esfuerzo causado porflexión en vigas. Los objetivos específicos son:

1. A prender el enunciado de la fórmula de flexión y aplicarla debidam ente en el cálculo del esfuerzo m áxim o causado por flexión en las fibras externas de una

viga.

2. Poder calcular el esfuerzo en cualquier punto de la sección transversal de una viga y describir la variación del esfuerzo con la posición en la misma.

3. Entender las condiciones para el uso de la fórm ula de flexión.

4 . Reconocer que es necesario garantizar que la viga no se flexione bajo la influencia de las cargas flexionantes.

5. Definir el eje neutro y entender que coincide con el eje centroidal de la sección

transversal de una viga.

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6. Entender la derivación de la fórmula de flexión y la im portancia del momento

de inercia en relación con el esfuerzo flexionante.

7. D eterm inar el esfuerzo de diseño apropiado a usarse en el diseño de vigas.

8. D iseñar vigas que soporten con seguridad una cierta carga.

9. D efinir el módulo de sección de la sección transversal de una viga.

10. Seleccionar perfiles estructurales estándar que van a usarse com o vigas.

11. Reconocer cuándo es preciso utilizar factores de concentración de esfuerzo en el análisis de esfuerzo causado por flexión y aplicar debidam ente los factores

adecuados.

12. D efinir el centro de flexión y describir su uso apropiado en el análisis de esfuer

zo causado por flexión.

Las vigas han de diseñarse para que sean seguras. Cuando se aplican cargas perpendiculares al eje m ayor de una viga, se producen m om entos flexionantes en su interior, que hacen que se flexione. Si se observa una viga esbelta, la form a característicam ente curva m ostrada en la figura 8-1 es evidente. Las fibras de la viga próxim as a su cara superior se acortan y se ven sometidas a com presión. Por otra parte, las fibras próxim as a la cara

inferior se alargan y se ven sometidas a tensión.De la viga de la figura 8-1 se tom a un segmento corto y en la figura 8 -2 se ilustra el

cambio de forma que sufriría por la influencia de los m om entos flexionantes internos. En la parte (a) el segmento tiene su forma recta original cuando no está sometido a carga. La

8 - 2 F Ó R M U L A D E F L E X IÓ N

P P posición in icial

V iga después de ap licar

la carga

F IG U R A 8 -1 E jem plo d e una viga.

C ara su p erio r acortada

p o r co m p resió n

(a ) S egm ento d e v iga

rec to sin carga

alargada p o r tensión

(b) Segm ento co m bado cuando se som ete

a u n m o m en to flex ionante

F IG U R A £ -2 Influencia del m om en to flex ionante en u n segm ento de viga.

Sección 8 - 2 ■ F ó rm u la de flex ió n 275

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parte (b) muestra el mismo segmento deformado por la aplicación del m omento flexionante. Las líneas que inicialmente eran rectas se curvaron. Los extremos del segmento, inicialm ente rectos y verticales, ahora están inclinados por haber girado con respecto al eje centroidal de la sección transversal de la viga. El resultado es que el m aterial a lo largo de la cara superior se somete a compresión y, por consiguiente, se acorta. Por otra parte, el material a lo largo de la cara inferior se somete a tensión y se alarga.

De hecho, todo el material arriba del eje centroidal está sometido a compresión. No obstante el acortamiento máximo (deform ación unitaria por com presión) ocurre en la cara superior. Como el esfuerzo es proporcional a la deform ación unitaria, entonces se deduce que el esfuerzo máximo de compresión ocurre en la cara superior. Asimismo, todo el material bajo el eje centroidal está sometido a tensión. Pero el alargamiento máximo (deformación unitaria por tensión) ocurre en la cara inferior y produce el esfuerzo m áxim o de tensión.

Tam bién se puede concluir que, si la parte superior de la viga está a compresión y la inferior a tensión, entonces debe haber un lugar en la viga donde no haya ninguna deformación. Ese lugar se llama eje neutro y más adelante se dem ostrará que coincide con el eje centroidal de la viga. En suma, se concluye que:

En una viga sometida a momento flexionantedel tipo mostrado en la figura8-2, el materia! sobre el eje centroidal estará a compresión con el esfuerzo de compresión máximo en la cara superior. E l material bajo el eje centroidal estará a tensión con el esfuerzo de tensión máximo en la cara inferior. A lo largo del mismo eje centroidal, la deformación y el esfuerzo son cero debido a la flexión. A esto se le llama eje neutro.

En el diseño o análisis de vigas, lo que se pretende por lo general es determinar los esfuerzos máximos de tensión y compresión. Del planteam iento anterior se deduce que estos esfuerzos máximos dependen de la distancia del eje neutro (eje centroidal) a las caras superior e inferior. Esa distancia se designará, c.

El esfuerzo causado por flexión tam bién es proporcional a la m agnitud del mom ento flexionante aplicado a la sección de interés. La form a y las dim ensiones de la sección transversal de una viga establecen su capacidad de soportar el m om ento flexionante aplicado. M ás adelante se probará que el esfuerzo flexionante es inversamente proporcional al m om ento de inercia de la sección transversal con respecto a su

eje centroidal horizontal.A continuación se enuncia la fórmula deflexión que se usa para calcular el esfuerzo

máxim o producido por flexión.

MeI

( 8 - 1)

donde a míx = esfuerzo máxim o en las fibras externas de la viga

M = momento flexionante en la sección de interés

c = distancia del eje centroidal de la viga a las fibras externas

/ = momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroidal

C a p itu lo 8 ■ E s fue rzo ca u sad o p o r flexión

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Si bien la lista de condiciones parece larga, la fórmula sigue siendo válida para una amplia variedad de casos reales. Las vigas que violan algunas de las condiciones se analizan con una fórmula modificada o con un método de esfuerzo combinado. Por ejemplo, en el caso de la condición 2, un cambio en la sección transversal provocará concentraciones de esfuerzo que se manejan como se describe en la sección 8-9 . Los esfuerzos flexionante y axial o los esfuerzos flexionante y torsional com binados que se producen por violar la condición 3 se estudian en el capítulo 11. Si se violan las dem ás condiciones, se requieren análisis especiales, los cuales no se abordan en este libro.

La condición 4 es importante, y se debe prestar atención al perfil de la sección transversal para tener la seguridad de que no ocurre torsión. En general, si la viga tiene un eje vertical de sim etría y si las cargas se aplican a través de dicho eje, no habrá torsión. La figura 8 -4 muestra algunos perfiles representativos usados para vigas que satisfacen la condición 4. Por otra parte, la figura 8 -5 m uestra varios que no lo hacen; en cada uno de estos casos, la viga tendería a torcerse lo mismo que a flexionarse conforme se aplica la carga, tal y como se muestra. Desde luego, estas secciones pueden soportar algo de carga, pero la condición de esfuerzo real en ellas es diferente del que se pronosticaría con la fórmula de flexión. En la sección 8 -10 estos tipos de vigas se estudian más a fondo.

La condición 8 es im portante porque los miembros largos esbeltos y, en ocasiones, las secciones esbeltas de los miembros tienden a pandearse a niveles de esfuerzo m uy por debajo de la resistencia a la cedencia del material. Este tipo de falla se llama inestabilidad y se debe evitar. Con frecuencia, se agregan sujetadores cruzados o rigizadores locales a las vigas para contrarrestare! problema de inestabilidad. Un ejem plo se puede ver en la construcción de pisos con viguetas de m adera de muchas casas y edificios comerciales. La viguetas de madera relativamente esbeltas se suj etan cerca de su punto medio para que

no se pandeen.

F IG U R A 8 - 4 E jem plo de perfiles de vigas con cargas que actúan a través de un eje de sim etría.

Sección 8-3 ■ Condiciones para el uso de la fórmula deflexión

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F IG U R A 8 - 5 E jem plo de perfiles de vigas con cargas que no actúan

a través de un eje de s im etría y que producen torsión de la viga.

D IS T R IB U C IÓ N D E L E S F U E R Z O E N L A S E C C IÓ N

T R A N S V E R S A L D E U N A V IG A

Recúrrase de nuevo a la figura 8 -2 que muestra cómo se deforma un segmento de viga por la influencia de un momento flexionante. El segmento asume la forma “flexionada” característica al acortarse las fibras superiores y al alargarse las fibras inferiores. El eje neutro que coincide con el eje neutro de la sección transversal de la viga, se flexiona pero no se deforma. Por consiguiente, en el eje neutro el esfuerzo causado por flexión es cero.

La figura 8 -2 también muestra que los extremos del segmento de viga que inicialmente eran rectos y verticales, se mantienen rectos. Pero cuando se aplica el momento flexionante giran. La distancia lineal de un punto localizado sobre la línea final vertical inicial al punto correspondiente sobre la linea final girada indica la cantidad de deformación producida en dicho punto de la sección transversal. Se infiere, por consiguiente, que la deformación varia linealmente con la posición en la sección transversal, es decir, la d istancia al eje neutro. D espués del eje neutro hacia la parte superio r de la sección la deformación por compresión es m ayor mientras que hacia la parte inferior la deformación por tensión es mayor. En materiales que satisfacen la ley de Hooke, el esfuerzo es proporcional a la deformación. La distribución de esfuerzo resultante, por consiguiente, es como se muestra en la figura 8-6.

Si se desea representar el esfuerzo en algún punto de la sección transversal, puede expresarse en función del esfuerzo máximo teniendo en cuenta su variación lineal con la distancia al eje neutro. Si esa distancia se designay, se puede escribir una ecuación para el esfuerzo, <7, en cualquier punto como:

a = ( 8- 2)

C a p ítu lo 8 ■ E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexión

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°máx de tensión

F IG U R A 8 - 6 D istribución del esfuerzo en una sección sim étrica.

°máx de tensión

F IG U R A 8 -7 D istribución del esfuerzo en una sección no sim étrica.

La forma general de la distribución del esfuerzo m ostrada en la figura 8 -6 podría ocurrir en cualquier sección de viga cuyo eje centroidal sea equidistante de las caras superior e inferior. En tales casos, el esfuerzo de com presión máxim o sería igual al esfuerzo de tensión máximo.

Si el eje centroidal de la sección no está a la misma distancia de las caras superior e inferior, la distribución del esfuerzo sería la mostrada en la figura 8-7 . Con todo, el esfuerzo en el eje neutro sería de cero. N o obstante, el esfuerzo varía linealmente con la distancia al eje neutro. Ahora bien, el esfuerzo máximo en la cara inferior de la sección es m ayor que aquél en la cara superior porque está más alejado del eje neutro. Con las distancias cb y c, tal como se indican en la figura 8 -7 , los esfuerzos serían:

amix = - y - (tensión en la cara inferior)

Me, .Omís — — (compresión en la cara superior)

8 - 5 D E R IV A C IÓ N D E L A F Ó R M U L A D E F L E X IÓ N

Si se sigue el análisis utilizado para derivar la fórmula de flexión se puede comprender mejor el fundamento en que está basada. Aquí se em plean los principios de equilibrio estático para dem ostrar dos conceptos que se introdujeron al principio de este capítulo y que se enunciaron sin comprobación. Uno es que el eje neutro coincide con el eje centroi-

S ec c ió n 8 -5 ■ D e rivac ión de la fó rm u la de flex ión 2 8 1

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d a l de la sección transversal. El segundo es la fórmula de flexión en sí y el significado del momento de inercia de la sección transversal.

Recúrrase a la figura 8 -6 , que m uestra la distribución del esfuerzo en la sección transversal de una viga. El perfil de la sección transversal carece de im portancia en el análisis y el perfil en I se muestra meramente como ejemplo. La figura muestra unaparte de una viga, cortada en una sección arbitraria, con un momento flexionante interno actuando en ella. Los esfuerzos, algunos de tensión y otros de com presión, tienden a producir fuerzas en la sección cortada en la dirección axial. El equilibrio requiere que la suma neta de estas fuerzas sea cero. En general, la fuerza es igual al esfuerzo por el área. Como el esfuerzo varía con la posición en la sección transversal, habrá que exam inar la fuerza en cualquier área elemental infinitesimal y luego sum ar las fuerzas que actúan en toda el área mediante el proceso de integración. Estos conceptos se dem uestran analíticamente como sigue:

Condición de equilibrio : ^ F = 0

Fuerza en cualquier elemento de área dA = odA

Fuerza total en el área de la sección transversal:

" Z f = a d A = 0 (8 -3 )Ja

A continuación se puede expresar el esfuerzo erque actúa en cualquier punto en función del esfuerzo máxim o con la ecuación (8-2):

^ ^ y

en donde y es la distancia del eje neutro al punto donde el esfuerzo es igual a a. Sustituyendo ésta en la ecuación (8 -3 ) se obtiene:

2 F = í c r d A = [ (Tnúx — d A = 0 Ja Ja c

Pero como <7máx y e son constantes, se sacan de la integral.

Z F = ^ \ y d A = 0 c Ja

Ni <7máx ni c son cero, así que el otro factor ¡ A y d A , debe ser cero. Pero por definición y como se ilustró en el capítulo 7:

ydA = Y (A)J A

en donde Y es la distancia al centroide del área medida a partir del eje de referencia y A el área total. De nuevo, A no puede ser cero, así que, por último, debe ser cierto que Y - 0.

C a pítu lo 8 ■ E s fu e rz o ca u sad o p o r flexión

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Com o el eje de referencia es el eje neutro, esto dem uestra que el eje neutro coincide con el eje centroidal de la sección transversal.

La derivación de la fórmula de flexión se basa en el principio de equilibrio, el cual requiere que la suma de momentos con respecto a cualquierpunto sea cero. La figura 8-6 muestra que un momento flexionante M actúa en la sección cortada. Éste debe ser equilibrado por el momento neto creado por el esfuerzo en la sección transversal. Pero el m om ento es el producto de fuerza por la distancia del eje de referencia a la línea de acción de la fuerza. Tal como se expresó con anterioridad:

Si la expresión anterior se m ultiplica por la distancia^ se obtiene el momento resultante de la fuerza el cual debe ser igual al momento flexionante interno M. Es decir,

Por definición y tal como se ilustró en el capítulo 7, el últim o térm ino de esta ecuación es el momento de in e rc ia /d e la sección transversal con respecto a su eje centroidal.

fuerza

brazo de m om ento

área

esfuerzo

Simplificando, se obtiene:

Entonces:

c

La que si se resuelve para <Tmá<da:

É s ta e s la f ó r m u la d e f le x ió n m o s t r a d a a n te r io rm e n te c o m o la e c u a c ió n ( 8 - 1 ) .

Secc ión 8 - 5 ■ D e rivac ión de la fó rm u la de flex ión 2 8 3

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A ná lis is U s e la e c u a c ió n ( 8 - 1 ) . E n la f ig u ra 8 - 1 1 , id e n t if iq u e e l m o m e n to f le x io

n a n t e m á x im o d e 91 1 1 3 1 b - p ie q u e a c t ú a e n e l p u n to F d e la v ig a . B u s

q u e lo s v a lo r e s d e / y c e n la ta b la d e p r o p i e d a d e s p a r a p e r f i le s W e n el

a p é n d i c e A - 7 .

/ = 4 2 8 p lg 4

c = p r o f u n d id a d /2 = 1 3 .6 6 p l g / 2 = 6 .8 3 p lg

M e 12 plg 6 .8 3 plg , ,R esultad os Cmáx = — = 9 1 1 1 3 lb P ¡e x — :----- * ------------7 = 1 7 4 5 0 !b /p!g

I p ie s 4 2 8 p lg 4

C om entario E s te e s f u e r z o m á x im o o c u r r i r á c o m o e s f u e r z o d e t e n s ió n e n la c a r a in fe

r io r d e la v ig a y c o m o e s f u e r z o d e c o m p r e s ió n e n la c a r a s u p e r io r e n la

p o s ic ió n F.

8 - 7 A P L IC A C IO N E S - D IS E Ñ O D E V IG A S Y E S F U E R Z O S D E D IS E Ñ O

Para diseñar una viga, deben especi ficarse su m aterial, longitud, colocación dé las cargas, colocación de los apoyos y el tamaño y la form ade su sección transversal. N orm alm ente, la longitud y la colocación de las cargas y los apoyos se determ inan según los requisitos del uso pensado. A continuación el diseñador determ ínalas especificaciones delmaterial y el tamaño y la forma de la sección transversal.

El deber principal del diseñadores garantizar la seguridad del diseño. Esto requiere un análisis del esfuerzo en la viga y una decisión por lo concerniente al esfuerzo perm isib le o de diseño al cual puede verse sometido el material seleccionado. Los ejemplos que aquí se presentan se concentrarán en estos puntos. Tam bién son de interés para el diseña- do rel costo, la apariencia, el tamaño físico, el peso, la com patibilidad del diseñocon otros com ponentes de la m áquina o estructura y la disponibilidad del m aterial o el perfil.

Se dem ostrarán dos métodos básicos de diseño de vigas. Uno im plica la especificación del material con el cual se fabricará la viga y su perfil general (circular, rectangular, viga W, etc.), con la subsecuente determ inación de las dim ensiones requeridas de la sección transversal de la viga. El segundo requiere que se especifiquen las dimensiones y el perfil de la viga y que a continuación se calcule la resistencia requerida de un material con el que se fabricará la viga. Luego se especifica el material.

E s fu e rz o d e d is e ñ o p a ra m e ta le s - r e c o m e n d a c io n e s g e n e r a le s . Cuando se especifiquen esfuerzos de diseño es im portante que se tenga en cuenta que en las vigas se producen esfuerzos tanto de com presión com o de tensión. Si el m aterial es razonablem ente hom ogéneo e isotrópico y tiene la m ism a resistencia a tensión o a com presión, entonces el diseño se basa en el esfuerzo m áxim o desarrollado en la viga. Cuando un material tiene diferentes resistencias a tensión y a com presión, com o en el caso del hierro colado o madera, entonces se tendrán que analizartanto los esfuerzos de tensión com o los

de compresión.El método utilizado con más frecuencia en este libro para determ inar esfuerzos de

diseño es sim ilar al descrito en las secciones 3 -3 a la 3 -6 , las cuales convendría repasar en este momento. La tabla 8-1 contiene instrucciones sobre esfuerzo de diseño que se

Sección 8 - 7 ■ A p l ic a c io n e s -d is e ñ o de v ig a s y e s fu e rzos de d ise ñ o 2 8 7

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T A B L A 8 -1 Indicaciones para determ inar el e sfuerzo de d iseñ o -

esfuerzos flexionantes.

Patrón M aterial M aterial quebradizode carga dúctil o frágil

Estática cr,, = sv/ 2 (T,l = s,J6R epetida (Tj = s„f 8 <7,1 = .?„/10Im pacto o choque 0\/ = s j 12 0\/ = í «/I5

usarán para vigas de máquinas y estructuras especiales en condiciones en que las cargas y las propiedades del material se conocen a la perfección. Se pueden usar factores más grandes en los casos de mayor incertidumbre. La tabla 8-1 se usarápara los problemas de este libro que incluyen metales, a menos que se diga lo contrario.

E s fu e rz o s d e d is e ñ o to m a d o s de re g la m e n to s s e le c c io n a d o s . La tabla 8-2 da un resumen de esfuerzos flexionantes definidos por el American Institute o f Steel Construction (AISC) para acero estructural y por la A luminum Association para aleaciones de aluminio. Estos datos atañen a vigas sometidas a cargas estáticas com o las que se encuentran en estructuras de edificios.

Se requiere un análisis adicional de las partes de vigas sometidas a esfuerzos de compresión por la posibilidad de pandeo local, sobre todo en perfiles esbeltos o patines extendidos. Las vigas largas también deben verificarse por lo que se refiere a la posibilidad de torsión. Con frecuencia se requiere que los apoyos laterales de los patines de vigas largas sujetos a compresión resistan la tendencia de la viga a torcerse. V éanse las referencias 1 y 2 para un análisis más detallado de estas especificaciones.

E s fu e rz o s d e d is e ñ o p a ra n o m e ta le s . Cuando los problem as incluyen no metales tales como madera, plásticos y compuestos, en general no se usa el concepto de resistencia a la cedencia. Además, las resistencias que vienen en la tablas con frecuencia están basadas en promedios estadísticos de muchas pruebas. Las variaciones en la composición y la estructura del material pueden conducir a variaciones en las propiedades de resistencia. Siempre que sea posible, el material que va a ser utilizado en una estructura debe probarse para determinar su resistencia.

El apéndice A - l 8 contiene valores de esfuerzo permisible para tres clases de madera de acuerdo con los grados que aparecen en la tabla para aplicaciones en estructuras de edificios y usos sim ilares que implican carga estática. Si las condiciones de carga se conocen a la perfección, una viga se puede cargar hasta los valores de esfuerzo flexionante que vienen en la tabla. Si existe incertidumbre con respecto a las condiciones de carga,

T A B L A 8 -2 E sfuerzos de d iseño tom ados de reg lam entos

se lecc ionados-esfuerzos f lex ionan tes-cargas estáticas

sobre estructuras de edificios.

A cero estructural (A ISC):

<?d = S r /1 .5 = 0 .6 6 sy

A lum in io (A lum inum A ssociation)

&d = fv/1-65 = 0.61 sx o a-j = s „ / 1 . 9 5 = 0.51 .v„

el que sea m enor

C a pítu lo 8 ■ E s fue rz o cau sad o p o r flexión

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se pueden aplicar factores de diseño a los valores de la tabla con lo que se reducen los esfuerzos de diseño. Aquí no se dan indicaciones rigurosas y se recom ienda recurrir a las pruebas. Se utilizarán los esfuerzos permisibles listados, a m enos que se indique de otra

manera.Las propiedades de plásticos listadas en el apéndice A -19 se pueden considerar

representativas de los tipos listados. Pero es de hacerse notar que existen m uchas variables que intervienen en la producción de plásticos y es im portante que se obtengan datos m ás completos de los fabricantes o se pruebe el material a ser utilizado. Adem ás, los plásticos difieren extraordinariamente entre sí, por lo que se refiere a su capacidad de soportar cargas, choques e im pactos cíclicos. En este capítulo, la resistencia a la flexión del apéndice A -19 se considerará como la resistencia representativa de los plásticos listados cuando se utilicen en vigas. Se supondrá que la falla es inm inente a estos niveles de esfuerzo. En los casos generales de carga estática, se aplicará un factor de diseño N = 2 a esos valores para determ inar el esfuerzo de diseño.

Los compuestos ofrecen muchas ventajas cuando se aplican al diseño de vigas porque la colocación del material se puede optim izar para tener vigas eficientes ligeras. Pero por lo general la estructura resultante no es homogénea, así que las propiedades son sumamente anisotrópicas. Por tanto, no se puede tener la certeza de que la fórm ula de flexión tal como está enunciada en las ecuaciones (8 -1 ) y (8—2) dé valores de esfuerzo precisos. M ás adelante en este capítulo se analizarán m étodos generales en relación con

el uso de com puestos en vigas.

8 - 8 M Ó D U L O D E S E C C IÓ N Y P R O C E D IM IE N T O S D E D IS E Ñ O

El análisis del esfuerzo requiere el uso de la fórmula de flexión:

_ Mc_^máx — j

No obstante una forma modificada es deseable en los casos en que se tienen que determinar las dimensiones de una sección. Nótese que tanto el m om ento de inercia I como la distancia c son propiedades geométricas del área de la sección transversal de una viga. Por consiguiente, el cociente l/c también lo es. Por conveniencia, se define un término

nuevo, módulo de sección, denotado por la letra S.

S = - ( 8 - 4 )c

La fórm ula de flexión se transform a como sigue:

MOini, = - j ( 8 - 5 )

Ésta es la forma a ser usada en el diseño. Con ejem plos se ilustrará el uso del m ódulo de sección. Es de hacer notar que algunos diseñadores utilizan el sím bolo Z en lugar de 5 para denotar el m ódulo de sección. El apéndice A—1 da fórm ulas para 5 de algunos

perfiles.

P ro c e d im ie n to s d e d is e ñ o . Aquí se dem uestran dos m étodos de abordar problemas de diseño. El primero es aplicable cuando el patrón de carga y el material se conocen

Sección 8 - 8 ■ M ód u lo de secc ión y p ro ce d im ie n tos de d iseñ o 2 8 9

OM ódulo de sección

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y se tiene que determinar el perfil y las dimensiones de la sección transversal de una viga. El segundo es aplicable cuando el patrón de carga, el perfil de la sección transversal de una viga y sus dimensiones ya se especificaron y el objetivo es especificar un material adecuado para la viga que garantice la seguridad.

A. Procedim iento de diseño para determinar las dimensiones requeridas deuna viga.Datos: El patrón de carga y el material con el cual se fabricará la viga.

1. Determine el momento flexionante máxim o en la viga, por lo general dibujando los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos.

2. Detennine el método aplicable para especificar el esfuerzo de diseño de la sección 8-7.

3. Calcule el valor del esfuerzo de diseño.

4. Con la fónnula de flexión expresada en función del módulo de sección, ecuación (8-5), resuélvala para el módulo de sección, 5. A continuación considere el esfuerzo máximo igual al esfuerzo de diseño y calcule el valor mínimo requerido del módulo de sección para lim itar el esfuerzo real a un valor no mayor que el del esfuerzo de diseño.

5. Para un perfil de viga de diseño especial, determ ine las dim ensiones mínim as requeridas del perfil para obtener el m ódulo de sección requerido. En seguida, especifique las dimensiones convenientes más grandes siguientes con las tablas de tamaños preferidos del apéndice A -2 .

6. Para seleccionar un perfil estructural estándar como los de los apéndices A -4 a A - l 2, consulte la tabla de datos apropiada y especifique uno que por lo menos tenga el valor del módulo de sección, S, calculado en el paso 4. Por lo general, se recomienda que se especifique el perfil apropiado más ligero porque el costo de la viga hecha de un material dado en general está relacionado directamente con su peso. La referencia 1 incluye tablas muy completas de perfiles para viga con sus valores de módulo de sección ordenados por el peso de la sección con el objeto de facilitar la selección de la viga más ligera. En los casos en que existen limitaciones de espacio, deben considerarse las dim ensiones reales del perfil.

B. Procedimiento de diseño para especificar un material para una viga dada.

Datos: El patrón de carga, el perfil y las dimensiones de la viga.

1. Determine el momento flexionante máxim o en la viga, por lo generalcon los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante com pletos.

2. Calcule el módulo de sección de la sección transversal.

3. Calcule el esfuerzo flexionante máximo con la fórmula de flexión, ecuación (8-5).

4. Determine el método aplicable para especificar el esfuerzo de diseño de la sección 8-7 y especifique un factor de diseño adecuado.

5 . Iguale el esfuerzo máximo calculado en el paso 3 a la fórmula para el esfuerzo de diseño.

C apítu lo 8 ■ E s fue rzo cau sad o po r flexión

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6. Resuelva para el valor mínimo requerido de la resistencia del material,

ya sea sv o s„,

7. Seleccione el tipo de material con el que se fabricará la viga tal como acero, aluminio, hierro fundido, titanio o cobre.

8. Consulte las tablas de datos en busca de las propiedades del material com o las que vienen en los apéndices A -13 a A -19 e identifique un grupo de materiales candidatos que tengan por lo m enos la resistencia

requerida.

9. Considerando cualquier factor apropiado a la aplicación, tal com o ductilidad, costo, corrosión, potencial, facilidad de fabricación o peso, especifique el material a ser usado. En el caso de m etales, es esencial que se especifique la condición del material además de la aleación.

A continuación se dan ejemplos que ilustran estos procedim ientos.

E je m p lo S e p r e t e n d e d i s e ñ a r u n a v ig a q u e s o p o r t e la s c a r g a s e s t á t i c a s m o s t r a d a s e n la f ig u ra

8 - 4 8 - 1 2 . L a s e c c ió n t r a n s v e r s a l d e la v ig a s e r á r e c ta n g u la r y s e f a b r ic a r á d e p la c a d e a c e r o

e s t ru c tu r a l A S T M A 3 6 d e 1 .2 5 p lg d e e s p e s o r . E s p e c i f iq u e u n a a l tu r a a d e c u a d a p a r a la

s e c c ió n t r a n s v e r s a l .

|* 3 p ie s* >♦ A

♦ 3 p i e s * j

..............

- A

------h

b -1.25 plg

Sección transversal de una viga-Sección A -A

F I G U R A 8 - 1 2 Carga y sección transversal de la viga del

ejemplo 8 -4 .

S o lu c ió n O b je t iv o E s p e c i f ic a r la a l tu r a d e la s e c c ió n t r a n s v e r s a l r e c ta n g u la r .

D a to s El p a t r ó n d e c a r g a ¡ lu s tra d o e n la f ig u ra 8 - 1 2 . A c e r o e s t r u c tu r a l A S T M

A 3 6 . A n c h o d e la v ig a d e 1 .2 5 p lg . C a r g a s e s t á t i c a s .

A n á lis is S e u ti l iz a rá e l p ro c e d im ie n to d e d i s e ñ o A d e e s t a s e c c ió n .

R e s u lta d o s P a s o l . L a f ig u ra 8 - 1 3 m u e s t r a lo s d i a g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y

m o m e n to f le x io n a n te c o m p le to s . E l m o m e n to f le x io n a n te

m á x im o e s d e 4 5 9 0 0 Ib • p lg e n t r e l a s c a r g a s , a la m ita d d e l

c la ro d e la v ig a e n t r e 3 .0 p ie s y 9 .0 p ie s .

P a s o 2. D e la ta b la 8 - 1 , p a r a c a r g a e s t á t i c a s o b r e m a te r ia l d ú c til,

CTd = S y l 2

Secc ión 8 - 8 ■ M ód u lo de se cc ión y p ro ce d im ie n tos de d iseñ o 291

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i 3 pies 3 pies i

K36 p lg f | (36 plg) |

*---------------------- 1 2 p i e s ---------------------- ►

12751b 12751b

FIGURA 8 -1 3 Diagramas de carga, fuerza cortante y momento

flexionante del ejemplo 8 -4 .

C a pítu lo 8 ■ E s fu e rz o ca us ad o p o r flexión

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P a s o 6. R e s o lv ie n d o p a r a su s e o b t ie n e :

s ü = 8 ( c f „ J = 8 ( 1 6 3 M P a ) = 1 3 0 4 M P a

P a s o 7 . S e d e c id ió u s a r a c e r o .

P a s o 8. El a p é n d i c e A - 1 3 e n u m e r a v a r i a s a l e a c i o n e s d e a c e r o co

m u n e s . D e e s a t a b la s e s e l e c c i o n a n m a te r i a l e s c a n d id a to

q u e t e n g a n b u e n a d u c t i l id a d y u n a r e s i s t e n c i a ú ltim a d e por

lo m e n o s 1 3 0 4 M P a . A c o n t in u a c ió n s e e n u m e r a n c u a tro .

A IS 1 1 0 8 0 C ) Q T 7 0 0 ; s u = 1 3 0 3 M P a ; 1 2 % d e a la rg a m ie n to

A IS 1 1 1 4 1 O Q T 7 0 0 ; s u = 1 3 3 1 M P a ; 9 % d e a la r g a m ie n to

A I S I4 1 4 0 0 Q T 7 0 0 ; s u = 1 5 9 3 M P a ; 1 2 % d e a la rg a m ie n to

A I S I5 1 6 0 0 Q T 9 0 0 ; s u = 1 3 5 1 M P a ; 1 2 % d e a la rg a m ie n to

P a s o 9. P a r a u s a r s e c o m o v ig a s s o m e t i d a s a c a r g a s r e p e t id a s , se

a c o s tu m b r a u s a r u n a c e r o a l c a r b o n o m e d ia n o . S e podría

u s a r e l A I S I 4 1 4 0 o e l A I S I 5 1 6 0 . C o n 1 2 % d e a la rg a m ie n to ,

la d u c ti l id a d d e b e s e r a d e c u a d a .

C o m e n ta r io E n e l a p é n d i c e A - 1 3 s e v e q u e la r e s i s t e n c i a ú ltim a d e l A IS I 4 1 4 0 OQT

9 0 0 e s d e 1 2 8 9 M P a y s u a la r g a m ie n to d e 1 5 % . La r e s i s t e n c i a e s tá

d e n t r o d e l 2 % d e l v a lo r c a lc u la d o . P u e d e s e r a d e c u a d o e l e s p e c if ic a r

e s t e m a te r ia l p a r a t e n e r u n a m e jo r d u c ti l id a d . E l f a c to r d e d i s e ñ o se

r e d u c e u n p o c o . P e r o c o m o lo s v a lo r e s d e la t a b la 8 - 1 s o n u n tan to

c o n s e r v a d o r e s , e s t o n o r m a lm e n te s e ju s t i f ic a r ía .

Paso 5. S e a o f I,áx= 1 6 3 M P a = o-(J= s u/8 .

8 - 9 C O N C E N T R A C IO N E S D E E S F U E R Z O

Las condiciones especificadas para el uso válido de la fórmula de flexión en la sección 8-3 incluian la propuesta de que la viga debe tener una sección transversal uniform e. Los cam bios de la sección transversal producen esfuerzos locales m ayores que los pronosticados con la aplicación directa de la fórmula de flexión. En capítulos anteriores se hicieron observaciones sim ilares con respecto a las esfuerzos axiales directos y los esfuerzos cortantes torsionales. El uso de factores de concentración de esfuerzo perm ite analizar vigas que no incluyen cambios de sección transversal.

En el diseño de flechas circulares que llevan montados elem entos transm isores de potencia, el uso de escalones o resaltos en el diámetro es frecuente. En el capítulo 5 se m ostraron ejemplos, donde se analizaron los esfuerzos cortantes torsionales. La figura8 -18 m uestra una flecha como ésa. Si se considera la flecha como una viga sometida a mom entos flexionantes, se presentarán concentraciones de esfuerzo en el hom bro (2), el cunero (3) y la ranura (4).

En las secciones donde ocurren concentraciones de esfuerzo, el esfuerzo causado por flexión se calcularía con una fórmula de flexión modificada,

OF ó rm u la d e

f le x ió n co n

c o n c e n tra c ió n

d e e s fu e rz o

°¡nixMcK,

I

MK,

S(8 - 6 )

El factor de concentración de esfuerzo K, se determ ina experim entalm ente, con los valores reportados en gráficas como las del apéndice A -21 , casos 4 ,5 ,8 ,9 ,1 0 y 11.

2 9 6 C a p ítu lo 8 ■ E s fu e rzo ca u sa d o p o r flexión

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F I G U R A 8 - 1 8 S e g m e n to d e u n a fle c h a c o n v a rio s c a m b io s d e la se c c ió n tra n sv e rs a l q u e

p ro d u c e n c o n c e n tra c io n e s d e e s fu e rz o .

C o n c e n tra c io n e s d e e s fu e rz o 297

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m e n te e l ra d io d e l r e d o n d e o . El f a c to r d e c o n c e n t r a c ió n d e

e s fu e rz o p e rm is ib le m á x im o s e d e te rm in a re so lv ie n d o la e c u a

c ió n d e l e s f u e r z o p a r a K, y c o n a = od= 8 7 5 0 lb /p lg 2. P o r

ta n to :

= = (0 .3 3 3 p lg 3)(8 7 5 9 lb /p lg 2) = 1 g4

' M 1 5 0 0 Ib plg

D e a c u e r d o c o n e l a p é n d i c e A - 2 1 - 1 0 , e l v a lo r m ín im o d e

r/h = 0 .0 8 p a r a l i m i t a r l a 1 .9 4 . P o r lo ta n to , rmln= 0.08(h) =0 .0 8 (2 .0 0 ) = 0 .1 6 .

S e a r= 0 .2 0 plg; r/h = 0 .2 0 /2 .0 0 = 0 .1 0 ; K,= 1 .8 0 . L u e g o :

MK, _ (1 5 0 0 1 b■ p lg )(1.8 0 )

s 0 .3 3 3 p lg 38 1 0 0 lb /p lg 2 O K

C om entario E s te p ro b le m a e s u n a b u e n a i lu s tra c ió n d e la n e c e s i d a d d e a n a l iz a r

c u a lq u ie r p u n to d e la v ig a d o n d e p u d ie r a o c u r r ir u n e s f u e r z o e l e v a d o a

c a u s a d e u n m o m e n to f le x io n a n te e le v a d o , u n a c o n c e n t r a c ió n d e e s

f u e rz o e le v a d a , u n p e q u e ñ o m ó d u lo d e s e c c ió n o u n a c o m b in a c ió n d e

é s to s . A d e m á s d e m u e s t r a u n m é to d o d e r e d i s e ñ a r u n a v ig a p a r a g a r a n

t iz a r la s e g u r id a d .

8 - 1 0 C E N T R O D E F L E X IÓ N (C E N T R O D E C O R T A N T E )

La fórmula de flexión sirve para calcular el esfuerzo en una viga siempre que las cargas aplicadas pasen porun punto llamado centro deflexión, o en ocasiones, centro de cortante. Si una sección tiene un eje de simetría y si las cargas pasan por él, entonces también lo hacen por el centro de flexión. Las secciones de viga m ostradas en la figura 8 -4 son de

este tipo.En secciones donde la carga se aplica fuera del eje de sim etría, debe localizarse la

posición del centro de flexión, indicado por Q. En la figura 8 -5 se identificaron tales

secciones.Para que produzcan flexión pura, las cargas deben pasar por Q, como se muestra en

la figura 8-21. Si no lo hacen, entonces se presenta una condición de flexión asimétrica y se tendrían que realizar otros análisis los cuales no se abordan en este libro. Las secciones del tipo mostrado en la figura 8-21 son de uso frecuente en estructuras. Algunas se prestan muy bien para su fabricación por extrusión y por tanto son muy económicas. Pero como existe la posibilidad de producir flexión asimétrica, se debe tener cuidado en su

aplicación.

Ejem plo L o c a lic e e l c e n t r o d e f lex ió n d e la s d o s s e c c i o n e s m o s t r a d a s e n la f ig u ra 8 - 2 2 .

8-9

Solución Objetivo

D atos

A nálisis

L o c a lic e e l c e n t r o c o r ta n te , O , d e lo s d o s p e rf i le s .

L o s p e r f i le s e n la f ig u ra 8 - 2 2 ; e l c a n a l e n la 8 - 2 2 ( a ) ; e l perfil a c o p a d o e n

la 8 - 2 2 ( b ) .

E n la f ig u ra 8 - 2 1 s e m u e s tr a la u b ic a c ió n g e n e r a l d e l c e n t r o d e c o r ta n te

d e c a d a perfil ju n to c o n e l p ro c e d im ie n to p a r a c a lc u la r e l v a lo r d e e q u e

lo c a liz a a Q c o n r e s p e c to a c a r a c t e r í s t i c a s d is t in t iv a s d e lo s p e r f i le s .

Secc ión 8 -1 0 ■ C e ntro de flex ión (cen tro de cortan te ) 301

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C a p ítu lo 8 ■ E s fu e rzo ca u s a d o p o r flexión

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P E R F IL E S P R E F E R ID O S P A R A S E C C IO N E S

T R A N S V E R S A L E S D E V IG A S

R ecuérdese el p lan team iento al p rincip io de este capitu lo de la d istribución del esfu

en la sección transversal de una viga caracterizada p o r las ecuaciones:

<7máx = M C/I= M /S en la fibra m ás ex terna de u n a v iga

o = <Jmiy(y/c) en cualqu ier pun to a una d is tan c ia^ del eje neutro

L as figuras 8 -6 y 8 -7 ilustran la distribución del esfuerzo. Se debe en tender que e

ecuaciones se ap lican estrictam ente sólo a v igas hechas de m ateria les hom ogéneos

trópicos; es decir, aquellos que tienen prop iedades iguales en todas las d irecciones.

C om o los esfuerzos m áxim os ocurren cerca de las caras superio r e in ferior c

sección transversal, el m aterial en ese lugar opone m ás resis tencia al m om ento flexioi

te ex ternam ente api icado que el m aterial m ás cerca del eje neutro . Se deduce que con

ne co locar la m ayor parte del m aterial lejos del eje neutro p ara ob tener el uso eficienti

m ism o. E n este p lanteam iento , efic iencia quiere d ec ir m axim izar el m om ento de ine

y el m ódulo de sección del perfil para u n a cantidad dada de m ateria l, com o lo indit

área de la sección transversal.

L a figura 8—23 m uestra varios e jem plos de perfiles efic ien tes de secciones tr

versa les p ara vigas. E stas ilustraciones están b asadas en la suposición de que el e sfu de m ayor im portancia es un esfuerzo flex ionan te p rovocado p o r cargas que actúan

pend icu lares al eje neutro en la cara superio r de la viga. Los e jem plos se m uestran ei

figuras 8—1, 8 -3 , 8 -1 2 y 8 -1 5 . En ta les casos, se dice que la flex ión es positiva

respecto al eje neutro horizontal. A sim ism o se presum e que el m ateria l tiene la mi

resistencia a com presión y a tensión.

(«) (*)

(c) W) (e)

F I G U R A 8 -2 3 P e rf ile s e fic ie n te s p a ra u sa rse c o m o v ig as.

C a p ítu lo 8 ■ E s fu e rz o c a u s a d o p o r fie

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Com enzando con el perfil rectangular sim ple m ostrado en la figura 8.23(a), se prefiere orientar la dimensión larga verticalm ente com o se m uestra porque el m om ento de inercia es proporcional al cubo de la altura del rectángulo, donde la altura es la dimensión

perpendicular al eje neutro. Por ejemplo, considérese el caso de un rectángulo de 40 mm x 125 mm y com párense los valores resultantes de / y S.

D im ensión v ertica l de 125 m m D im ensión vertical d e 4 0 mm

1 = Wi’/ n /, = (40) (125)5/1 2 = 6.51 X 106 m m 4 h = (1 2 5 ) (4 0 )7 l2 - 0 .6 6 7 X I06 m m 4

S = bh2/6 S, = (40) (1 2 5 )7 6 = 1.04 X 10s m m 5 S¡ = (125) (4 0 )7 6 - 0 .333 X 105 m m 3

Al com parar estos resultados se obtiene:

/, 6.51 X 106 mm4 5, 1.04 X 105 mm3 ^ ^

¡i ~ 0.667 X 106 mm4 “ ' S2 ~ 0.333 X 105 mm3 '

La com paración de los valores del módulo de sección, S, es lo más pertinente cuando se trata de com parar esfuerzos en vigas porque contiene tanto el m om ento de inercia, I, com o la distancia, c, a la fibra más externa de la sección transversal de la viga. Si bien una sección con la dimensión larga en posición vertical tiene un m om ento de inercia casi diez veces el de una sección con la dimensión larga en posición horizontal, es más de tres veces m ás alta, lo cual se traduce en una m ejora del módulo de sección en aproxim adam ente tres veces. N o obstante, ésa es una m ejora significativa.

Un factor afín en la com paración de perfiles de vigas es que la deflexión de una viga es inversamente proporcional al momento de inercia,/, com o se dem ostrará en el capítulo12. Por consiguiente, es de esperarse que la viga rectangular alta del ejem plo anterior se deflexione sólo 1/9.76 veces tanto com o la corta, o sea casi un 10%.

El perfil mostrado en la figura 8.23(b) es la m uy conocida “viga I” . El colocar la m ayor parte del material en los patines horizontales o sea en los extrem os superior e inferior de la sección los sitúa en las regiones de los esfuerzos m áxim os, con lo que se

obtiene la m áxim a resistencia al m om ento flexionante. El alm a vertical relativam ente esbelta sirve para m antener los patines en posición y genera resistencia a las fuerzas cortantes, tal com o se describe en el capítulo 9. C onvendría estudiar las proporciones de los perfiles 1 estándar de acero y de alum inio que vienen en los apéndices A -7 , A -8 y A - l 1 para darse una idea de los espesores razonables de patines y alma. El espesor del patín som etido a com presión es crítico con respecto a pandeo cuando la viga es relativamente larga. Las referencias 1 y 2 contienen datos sobre proporciones adecuadas.

El tubo rectangular alto mostrado en la figura 8 -23(c) es m uy sim ilar al perfil I por lo que se refiere a su resistencia a m omentos flexionantes provocados por cargas verticales. Los dos lados verticales desem peñan una función sim ilar a la del alm a del perfil I. De hecho, el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal del tubo m ostrado en (c) sería idéntico al del perfil I m ostrado en (b) si el espesor de las partes horizontales superior e inferior fuera igual y si los lados verticales del tubo tuvieran cada uno 1/2 del espesor del alma del perfil I. El tubo es superior al perfil I cuando se esperan com binaciones de cargas que provocan flexión con respecto a am bos ejes, el vertical y el horizontal, porque la colocación de los lados verticales alejados del eje increm enta el momento de inerciacon respecto a dicho eje. El tubo tam bién es superior cuando se aplica cualquier

torsión, tal com o se planteó en el capítulo 5. Cuando la torsión o la flexión con respecto al eje vertical es significativa, puede que sea preferible usar el perfil de tubo cuadrado mostrado en la figura 8-23(d).

Secc ión 8 -1 1 ■ P erfiles p re fe rid os pa ra s e cc io n es tra n s v e rs a le s de v ig as 3 0 5

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Los tubos circulares m ostrados en la figura 8-23(e) producen vigas m uy eficientes por las m ism as razones antes enum eradas para tubos cuadrados. Y son superiores a los tubos cuadrados cuando la torsión y la flexión se presentan con m agnitudes significativas. Un ejem plo obvio de donde se prefiere un tubo circular es el caso de una flecha giratoria que soporta tanto cargas flexionantes como torsionales tal com o la flecha motriz

y los ejes de un automóvil o camión.

P e r f i le s h e c h o s d e m a te r ia le s d e lg a d o s . La producción económ ica de vigas de dim ensiones m oderadas puede lograrse m ediante el laminado o troquelado de láminas metálicas planas relativam ente delgadas. El aluminio y m uchos plásticos se extruyen para producir perfiles de sección transversal uniform e, a m enudo de paredes delgadas y patines extendidos. En las figuras P7-10 a P 7-20 se m uestran algunos ejemplos. Tales perfiles se adaptan sobre todo al uso de la viga. V ea si usted puede identificar miembros sem ejantes a vigas con perfiles especiales en tom o suyo. En su hogar usted podría encontrar tales vigas usadas com o rieles de puerta de armario, varillas para cortinas, estructuras de m uebles metálicos, cubiertas o toldos para patios, escaleras, partes de juguetes de plástico, herram ientas en el taller o partes de aparatos electrodom ésticos o herramientas para m antenim iento de jardines. En su automóvil, observe los brazos de los limpiapara- brisas, los elem entos de la suspensión, las palancas de velocidades, varillajes o soportes en el com partimiento del m otor y las defensas. Las estructuras de aviones contienen num erosos ejemplos de. perfiles de pared delgada diseñados para sacar provecho de su peso extrem adam ente ligero.

La figura 8 -2 4 muestra tres ejemplos de perfiles extruidos o lam inados de uso doméstico. La parte (a) m uestra una carretilla de puerta de arm ario donde el carril para los ro d illo s que soportan la puerta se p ro d u cen com o una parte in teg ra l de la extrusión de aluminio. El armazón lateral de una escalera extensible de aluminio se ilustra en la parte (b). La parte (c) m uestra una porción de una cubierta de patio lam inada hecha de lám ina de aluminio de 0.025 plg (0.64 mm) de espesor. La figura está especialmente diseñada para em bonar entre sí con el objeto de formar un panel continuo para cubrir un área amplia. A lgunas características de diseño de estas secciones son de hacerse notar. Los patines extendidos se refuerzan con salientes en form a de bulbo que les imparten rigidez local para que resistan el arrugam iento o el pandeo. Las áreas planas amplias se rigidizan por medio de nervaduras o corrugaciones laminadas, tam bién para inhibir el pandeo local. Las referencias 1 y 2 contienen instrucciones para el diseño de tales carac

terísticas.

V ig a s h e c h a s d e m a te r ia le s a n is o tró p ic o s . El diseño de vigas que deben fabricarse de materiales con diferentes resistencias a tensión y a com presión requiere una atención especial. La m ayoría de los tipos de hierro colado, por ejemplo, son mucho más resistentes a com presión que a tensión. El apéndice A -1 6 enum era las propiedades de hierro maleable ASTM A220, grado 80002 com o sigue:

Resistencia última a la tensión: s„= 655 M Pa (95 ksi)

R esistencia última a la compresión: suc= 1650 M Pa (240 ksi)

U n perfil de viga eficiente que podría tom ar en cuenta esta diferencia es el perfil I modificado mostrado en la figura 8-25. Como el momento flexionante positivo usual somete al patín inferior a tensión, con un patín inferior más grande se baja el eje neutro y tiende a reducirse el esfuerzo de tensión resultante en él con respecto al esfuerzo de compresión en el patín superior. El ejemplo 8-10 ilustra este resultado con el factor de diseño basado en la resistencia a la tensión casi igual al basado en la resistencia a la com presión.

C a p ítu lo 8 ■ E s fu e rz o c a u s a d o p o r flexión

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Ejem plo L a f ig u ra 8 - 2 5 m u e s t r a la s e c c ió n t r a n s v e r s a l d e u n a v ig a h e c h a d e h ie r ro m a le a b le ,

8-10 A S T M A 2 2 0 , g r a d o 8 0 0 0 2 . L a v ig a s e s o m e te a u n m o m e n to f le x io n a n te m á x im o de

1 0 2 5 N m , q u e a c tú a d e ta l m o d o q u e s o m e te a la c a r a in fe rio r d e la v ig a a t e n s ió n y a la

c a r a s u p e r io r a c o m p r e s ió n . C a lc u le e l f a c to r d e d i s e ñ o r e s u l t a n t e p a r a la v ig a b a s a d o en

la r e s i s t e n c i a ú ltim a d e l h ie r ro . El m o m e n to d e in e rc ia d e la s e c c ió n t r a n s v e r s a l e s de

1 .8 0 x 1 0 5 m m 4.


D atos

C a lc u la r e l f a c to r d e d i s e ñ o b a s a d o e n la r e s i s t e n c i a ú ltim a .

El perfil d e v ig a m o s t r a d o e n la f ig u ra 8 - 2 5 . 1 = 1 .8 0 x 1 0 5 m m 4. M =

N m . El m a te r ia l e s h ie r ro m a le a b le , A S T M A 2 2 0 , g r a d o 8 0 0 0 2 .

1025

A nálisis C o m o la s e c c ió n t r a n s v e r s a l d e la v ig a n o e s s im é tr ic a , e l v a lo r d e l e s

f u e rz o d e te n s ió n m á x im o e n la c a r a in fe r io r d e la v ig a , a,b, s e r á m en o r

q u e e l e s f u e r z o d e c o m p r e s ió n m á x im o e n la c a r g a s u p e r io r , aa . Se

c a lc u la r á :

o¡b = M cbl l y aa = M e ,II

e n d o n d e cb = Y = 14.04 m m y e , = 5 0 -1 4 .0 4 = 35.96 m m . El e s f u e r z o de

te n s ió n e n la c a r a in fe rio r s e c o m p a r a r á c o n la r e s i s t e n c i a ú ltim a para

d e t e r m in a r e l f a c to r d e d i s e ñ o b a s a d o e n la te n s ió n , N ,, c o n :

o¡b = suIN, o N,= sula,b

d o n d e su = 6 5 5 M P a e n e l a p é n d i c e A - 1 6 . E n s e g u id a s e c o m p a r a r á el

e s f u e r z o d e c o m p r e s ió n e n la c a r a s u p e r io r c o n la r e s i s t e n c i a ú ltim a a la

c o m p r e s ió n p a r a d e te r m in a r e l f a c to r d e d i s e ñ o b a s a d o e n la c o m p re

s ió n , A/c c o n :

@ct sucINc

d o n d e suc= 6 5 5 M P a e n e l a p é n d i c e A - 1 6 . El m e n o r d e lo s d o s v a lo re s

d e N s e r á e l f a c to r d e d i s e ñ o fin a l p a r a la v ig a :

R e su ltad o s E n la c a r a in fe rio r d e la v ig a :

Mc„ (1 0 2 5 N m) (14 .04 m m ) (1000 m m )<r» = — 7 - = ----- j----------------------- --- 7 9 .9 5 M P a

/ 1 .80 x 105 m m 4 m

N i = s j< r ,b = 6 5 5 M P a /7 9 .9 5 M P a = 8.19

E n la c a r a s u p e r io r d e la v ig a :

= M c ,= (1 0 2 5 N m) (3 5 .9 6 m m ) (1000 m m ) _ 2Q 4 Q MRg

a a I 1 .80 x 105 m m 1 ' m '

N c = s uc/ ( T „ = 1 650 M P a /2 0 4 .8 M P a = 8 .0 6

C om entario El e s f u e r z o d e c o m p r e s ió n e n la c a r a s u p e r io r d e la v ig a e s e l valor

lim ita n te e n e s t e p ro b le m a p o r q u e a llí s e e n c u e n t r a e l f a c to r d e d ise ñ o

m e n o r . P e r o o b s é r v e s e q u e lo s d o s v a lo r e s d e l f a c to r d e d i s e ñ o re su lta

ro n c a s i ig u a le s , lo q u e in d ic a q u e la fo rm a d e la s e c c ió n t r a n s v e r s a l se

o p tim iz ó r a z o n a b le m e n te b ie n p a r a l a s d i f e r e n t e s r e s i s t e n c i a s a la ten

s ió n y a la c o m p r e s ió n .

3 0 8 C a pítu lo 8 ■ E s fu e rzo ca u sa d o p o r flexión

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8 - 1 2 D IS E Ñ O D E V IG A S H E C H A S D E M A T E R IA L E S C O M P U E S T O S

Los m ateriales compuestos, descritos en el capítulo 2, ofrecen propiedades superiores cuando se usan en el diseño de vigas por la capacidad de adaptación de los constituyentes del compuesto y su colocación en la viga. El procesamiento com puesto a m enudo permite que diseñen perfiles únicos que optim izan la geom etría de la estructura con respecto a la magnitud y la dirección de las cargas a ser soportadas. La com binación de estas características sobresalientes con las ventajas inherentes de los com puestos en función de las relaciones de elevada resistencia a peso y de rigidez a peso los hacen sum am ente desea

bles para usarse en vigas.El planteamiento de la sección 8 -10 se adapta perfectam ente bien al diseño de

vigas compuestas. El diseñador debe elegir un perfil para la sección transversal de la viga que sea, por sí mismo, eficiente al resistir momentos flexionantes. A demás, el diseñador puede exigir que la m ayor parte de las fibras más resistentes y más rígidas se concentre en las regiones donde se anticipan los mayores esfuerzos: es decir, en las fibras más externas de la viga, o sea, en el lugar más alejado del eje neutro. En las regiones de esfuerzo elevado se pueden colocar más capas de relleno tipo tela.

Una técnica efectiva de diseño de vigas compuestas es em plear un núcleo de m aterial muy ligero en estructuras hechas de una espuma rígida o de un m aterial apanalado, cubierto por capas relativamente delgadas de fibras resistentes rígidas en una matriz de polímero. Si se sabe que los momentos flexionantes siem pre van a actuar en la m isma dirección, la fibras del compuesto pueden alinearse con la dirección de los esfuerzos de tensión y compresión en la viga. Si se espera que los m omentos flexionantes actúen en varias direcciones, se puede especificar una colocación más dispersa de las fibras o se pueden colocar capas de tela a varios ángulos, como se sugiere en la figura 2-13.

Se debe tener cuidado al diseñar y al someter a prueba a estructuras arm adas con vigas compuestas a causa de los múltiples m odos de falla posibles. La estructura puede fallar en la región de esfuerzo de tensión elevado por la falla de las fibras o la matriz o por el desprendimiento de las fibras de la matriz. Pero tal vez un modo de falla más probable de un compuesto laminado es la falla por cortante interlam inar en regiones de esfuerzo cortante elevado cerca del eje neutro, tal como se plantea en el capítulo 9. La falla también podría ocurrir en la región expuesta a esfuerzo de com presión por pandeo local del perfilo por deslaminación.

Cuando la viga se diseñó con la suposición de flexión en un cierto plano, es esencial que las cargas se apliquen correctam ente y que el perfil m ismo prom ueva la flexión pura y no una com binación de flexión y torsión. Se debe repasar el análisis del centro de

flexión , sección 8-9.El perfil y las dim ensiones de la sección transversal de una viga se pueden m odifi

car según la magnitud del momento flexionante en varias posiciones en una viga. Por ejemplo, una viga en voladizo que soporta una carga concentrada en su extremo libre experim enta el momento flexionante m áxim o en el punto de apoyo y su m agnitud dism inuye linealmente hacia su extremo libre. Por tanto, la sección transversal puede ser más alta en el apoyo y progresivamente más baja hacia el extremo libre. Una viga sim plem ente apoyada con una carga en el centro experim enta su momento flexionante máxim o en el centro y dism inuye hacia cada apoyo. Por consiguiente la viga puede ser más gruesa en el centro y más delgada hacia los extremos.

Las vigas con superficies planas o curvas generosas, com o las alas de un avión, se deben diseñar para rigidez de los amplios paneles, lo mism o que para una resistencia adecuada. Puede suceder que la piel del panel tenga que ser soportada por nervaduras internas para dividirlo en áreas más pequeñas.

Las penetraciones en una viga com puesta se deben diseñar con cuidado para garantizar la transferencia uniform e de las cargas de una parte a otra de la viga. De ser factible,

S e c c ió n 8 -1 2 « D ise ño de v ig as hecha s de m a te ria les co m p ue sto s 3 0 9

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la colocación de las penetraciones se hará en las regiones de esfuerzo reducido. Asimismo, los sujetadores se diseñarán con cuidado para garantizar el acoplamiento adecuado en el material compuesto fibroso. Se puede pensar en protuberancias engrosadas, en donde se van a colocar los sujetadores. Se puede reducir al mínimo el número de sujetadores mediante la configuración intel igente de la estructura, como, por ejemplo, mediante el moldeo de ménsulas integradas a la estructura principal.

En suma, el diseñador de vigas compuestas ha de analizar con cuidado la distribución del esfuerzo en la viga e intentar optimizar la colocación del material para aprovechar al máximo el perfil y las dimensiones de la viga. El diseñador debe visualizar la trayectoria de la transferencia de la carga desde su punto de aplicación hasta el último punto de apoyo.


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5. M allick , P .K ., F ib er-R e in fo rced C om posites: M aterials,

M a n u fa c tu r in g , a n d D esign , M arcel D ekker, N ew York,

1988.

6. W eeton , John W ., D ean M . P eters, and K aryn L.

T h om as, e d s ., E n g in ee rs ' G u id e to C om posite M ate

r ia ls, A SM IN T E R N A T IO N A L , M eta ls Park, OH,

1987.

P R O B L E M A S

A n á l i s i s d e e s f u e r z o s f l e x i o n a n t e s

8-1 .M S e u sa una bañ a cuadrada de 3 0 m m de lado co m o

v ig a s im p lem en te apoyada som etida a un m o

m ento flex ion an te d e 4 2 5 N -m. C alcu le e l esfu er

z o m áx im o cau sad o por fle x ió n en la barra.

8-2.M C a lc u le e l e s fu e r z o m á x im o o r ig in a d o por f le

x ió n en una v a r illa c ircu lar de 2 0 m m d e d iá m e

tro cu a n d o se so m ete a un m om en to flex ion ante

de 1 2 0 N -m .

8-3.1 U n m om en to flex ion an te de 5 8 0 0 lb p lg se aplica

a una v ig a de s ec c ió n transversal rectangular de

0 .7 5 p lg x 1.50 p lg . C a lcu le el esfu erzo flex io n a n

te m áx im o en la v ig a (a) si el lado vertical es de

1.50 p lg , y (b ) s i el lado vertical es de 0 .7 5 plg.

8-4.1 U n a v ig a d e m adera soporta un m om en to fle x io

nante de 15 5 0 0 lb p lg . Su secc ió n transversal es

rectangular de 1 .50 p lg de ancho por 7 .2 5 p lg de

altura. C a lcu le el e sfu erzo m áxim o orig inado por

f lex ió n en la v iga .

8-5.1 L a carga m ostrada en la figura ¥ 6 - 4 deb e ser so

portada por una v iga d e acero W 12 x 16. Calcule

el esfu erzo causado por flex ión .

8-6.1 U na v ig a A m erican Standard, S 12 x 3 5 , soporta la

carga m ostrada en la figura P 6 - 1 1. C a lcu le el es

fu erzo causado por flex ión .

8-7.1 L a v iga de 2 4 p lg d e largo m ostrada en la figura

P 6 - 1 0 es un canal de a lu m in io , C 4 x 2 .3 3 1 , c o lo

cad o con las patas hacia abajo de tal m od o que la

cara plana d e 4 p lg soporta las cargas aplicadas.

C alcu le los e sfu erzo s m á x im o s de ten sión y com

p resión en e l canal.

8-8.1 La carga d e 6 5 0 Ib aplicada en el cen tro de la barra

de 2 8 p lg d e largo m ostrada en la figura P 6 -1 es

soportada por un tubo d e acero estándar, cédula

4 0 de l j p lg . C a lcu le e l e sfu erzo en e l tubo creado

por flex ión .

8-9.M La v ig a fabricada m ostrada en la figura P 7 -2 8

deb e soportar la carga m ostrada en la figura P 6 -7 .

C alcu le el esfu erzo cau sad o por flex ión .

3 1 0 C apítu lo 8 ■ E s fue rzo ca us ad o p o r flexión

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8-10.C U n a v ig a I d e a lu m in io , 19 x 8 .3 6 1 , soporta la car

ga m ostrada en la figura P6—8. C a lcu le e l esfu erzo

o ca sio n a d o por fle x ió n en la v iga .

8-11.1 U n a parte d e un c h a sis d e cam ión s e com p on e de

d o s m ie m b ro s a c a n a la d o s , c o m o se m uestra en

la f ig u ra 8 - 2 6 . S i e l m o m en to en e sa parte e s de

6 0 0 0 0 Ib • p ie , ca lcu le el e sfu erzo flex io n a n te en el

chasis. Suponga que lo s dos canales actúan com o

una v ig a sim ple .

— 3 plg-—

¡ p l g -

12 plg

F IG U R A 8 -2 6 C om ponentes del chasis del

cam ión del e jem plo 8 -1 1 .

8-17.1 U n o le o d u c to tiene q u e ser soportado por v ig a s

horizonta les a p oyad as en e l su e lo , de 14 p ie s de

longitud . C on sid ere la s v ig a s c o m o v ig a s s im p le

m ente apoyad as en su s ex trem o s. C ada una sopor

ta el p e so c om b in ad o d e 5 0 p ie s d e tubo d e 4 8 plg

de d iám etro y el p etró leo que c ircu la a través d e él,

aproxim ad am ente 4 2 0 0 0 Ib. S u p on ien d o que la

carga actúa e n e l centro d e la s v ig a s , esp ec ifiq u e el

m ód u lo d e se c c ió n requerido d e la v ig a para lim i

tar el e sfu erzo flex io n a n te a 2 0 0 0 0 lb /p lg2. A c o n

tin uación e sp ec ifiq u e un patín d e ancho adecuado

o una v ig a A m erican Standard.

8-18.1 S e tien e que construir una p lataform a co n m adera

de con stru cció n term inada y m adera contracha-

pada estándar u tilizan d o la sec c ió n transversal

m ostrada en la figura P 7 - 2 3 . ¿Sería segu ra la p la

taform a si cuatro h om b res d e 2 5 0 Ib cada u n o , se

pararan a 2 p ie s u n o d e otro, c o m o se m uestra en la

figura 8 - 2 7 ? C on sid ere só lo e sfu e rz o s flex ion an -

tes (v é a se el cap ítu lo 9 p or lo qu e se refiere a e s

fu erzos cortantes).

2501b 250 Ib

Diseño d e v igas

8-12.M C alcu le e l d iám etro requerido d e una barra c ircu

lar u tilizada c o m o v ig a para soportar un m om en to

flex io n a n te d e 2 4 0 N m c o n un esfu erzo n o m a

y o r qu e 125 M Pa.

8-13.M S e va a usar una barra rectangular c o m o una v ig a

som etid a a u n m o m en to flex ion an te de 145 N m.

Si su altura tiene que ser tres v eces su ancho, calcu

le la s d im en sio n es requeridas de la barra para li

m itar e l e sfu erzo a 55 M Pa.

8-14.M L a se c c ió n T m ostrada en la figura P 7 - 4 tiene que

soportar un m om en to flex ion an te de 2 8 .0 kN -m .

S e t ien e q u e form ar co n p lacas d e acero so ldadas

entre sí. Si la carga sobre la v ig a e s una carga

m uerta, ¿seria sa tisfactorio e l acero A I S I 10 2 0 la

m in ado en ca lien te para las p lacas?

8-15.M L a s e c c ió n I m o d if ic a d a m ostrada en la figura

P 7 - 5 se tien e qu e extruir de a lu m in io . E sp ec ifi

que una a lea c ió n d e a lu m in io adecuada para que

la v ig a soporte una carga repetida qu e produce un

m om en to flex io n a n te d e 2 7 5 N -m .

8-16.1 S e tien e que usar un tubo d e acero estándar com o

barra fija para hacer e jerc ic io . La barra tien e que

ser d e 4 2 p lg d e largo y estar s im p lem en te a p oya

da en sus ex trem os. E sp ec ifiq u e un tubo d e diá

m etro adecuado si e l e sfu erzo de flex ió n debe

lim itarse a 10 0 0 0 lb /p lg 2 cuand o un hom bre de

2 8 0 Ib se c u e lg a de una m ano en el centro.

3 pies

250 Ib

2 1 2 pies l pies

250 Ib

2 I| 3 pies

Plataform a

pies

-12 p ies -

F IG U R A 8 - 2 7 C argas sobre la p lataform a del e jem plo 8 -1 8 .

8-19.1 U n tram polín tien e una se c c ió n transversal rec

tangular de 3 0 p lg d e an ch o por 3 .0 p lg d e esp eso r

y está apoyad o c o m o se m uestra en la figura 8 -2 8 .

C alcu le e l e sfu erzo m á x im o cau sad o por flex ión

en é l cuando una person a d e 3 0 0 Ib se para en su

3001b

ir *

A 6 pies B m ^ 8 pies C

A y B son apoyos RB

(a ) C argas sobre un tram polín

3 Plg 2 plg

( i ) Sección A -A a través de un tablón

F IG U R A 8 -2 8 T ram polín del ejem plo 8 -1 9 .

P rob lem as311

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extremo. ¿Sería seguro el trampolín si estuviera hecho de aluminio 6061-T4 extruido y la persona cayera en su extremo con un impacto?

8-20.M La carga mostrada en la figura P6-6 tiene que ser soportada por una viga de sección acopada de aluminio extruido cuya sección transversal es la mostrada en la figura P7-11. Calcule el esfuerzo máximo causado por flexión en la viga. Si se fabrica de aluminio 6061-T4 extruido y las cargas son cargas muertas, ¿sería segura la viga?

8-21.M El perfil extruido mostrado en la figura P7-12 se tiene que usar para soportar las cargas mostradas en la figura P6-5, el cual es un componente del armazón de una máquina industrial. Las cargas se deben a un motor montado en el armazón y se pueden considerar como cargas muertas. Especi fique una aleación de aluminio adecuada para la viga.

8-22.M Se va a diseñar una viga para soportar las cargas mostradas en la figura 8-28. Las cuatro formas propuestas son: (a) una barra circular, (b) una ba-

7.5 kN 7.5 kN

1.5 m 3 m 1.5 m

A B D

Kd

F IG U R A 8 -2 9 V iga del problem a 8 -2 2 .

rra cuadrada, (c) una barra rectangular cuya altura es cuatro veces su espesor y (d) la viga American Standard más ligera. Determine las dimensiones requeridas de cada forma propuesta para limitar el esfuerzo máximo originado por flexión a 80 MPa. En seguida compare la magnitud de las áreas de las secciones transversales de las cuatro formas. Como el peso de la viga es proporcional a su área, la de menor área será la más ligera.

8-23.1 Un patio de juegos para niños incluye una viga que soporta cuatro columpios, como se muestra en la figura 8-30. Suponga que cada columpio carga 300 Ib. Se pretende usar un tubo de acero estándar para la viga, manteniendo el esfuerzo originado por flexión a menos de 10 000 lb/plg2. Especifique el tubo de diámetro adecuado para usarlo como viga.

8-24.1 Un viga de 60 plg de largo simplemente apoyada en sus extremos tiene que soportar dos cargas de

4800 Ib, cada una colocada a 14 plg de un extremo. Especifique el tubo de acero más ligero adecuado para la viga, cuadrado o rectangular, para producir un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia. El tubo se tiene que formar en frío con acero ASTM A500, grado A.

8-25.1 Repita el problema 8-24, pero ahora especifique viga I de aluminio estándar más ligera del apéndice A -l 1. La viga se extruirá utilizando aleación 6061-T6.

8-26.1 Repita el problema 8-24, pero ahora especifique el perfil de acero de patín ancho más ligero del apéndice A -l . La viga se fabricará de acero estructural ASTM A36.

8-27.1 Repita el problema 8-24, pero ahora especifique el canal de acero estructural más ligero del apéndice A-6. El canal se tiene que instalar con las patas hacia abajo de modo que las cargas se puedan aplicar al dorso plano del alma del canal. El canal se fabricará de acero estructural ASTM A36.

8-28.1 Repita el problema 8-24, pero ahora especifique el tubo de acero cédula 40 estándar más ligero del apéndice A-12. El tubo tiene que ser de acero ASTMA501 formado en caliente.

8-29.1 Repita el problema 8-24, pero ahora diseñe la viga de cualquier material y perfil de su elección que sea segura y más ligera que las de los problemas 8-24 a 8-28.

8-30.1 El perfil mostrado en la figura P7-15 tiene que ser de plástico extruido y usarse como viga simplemente apoyada, de 12 pies de largo, para soportar dos cables eléctricos cuyo peso total es de 6.5 Ib/pie de longitud. Especifique un plástico adecuado para que la extrusión produzca un factor de diseño de 4.0 basado en la resistencia a la flexión.

8-31 .C La carga mostrada en la figura P6-34 representa la carga sobre una viga de piso de un edificio comercial. Determine el momento flexionante máximo en la viga y, a continuación, especifique un patín de perfil ancho que limite el esfuerzo a 150 MPa.

8-32.M La figura P6-35 representa la carga sobre una flecha de motor; los dos apoyos son cojinetes en el bloque del motor. La carga mayor entre los apoyos se debe al rotor más las fuerzas dinámicas. La menor se debe a las cargas externas. Utilizando acero AIS11141 OQT1300 para la flecha, especifique un diámetro adecuado basado únicamente en el esfuerzo de flexión. Use un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última.

8-33 a Utilizando la carga indicada especifique el perfil8-42. de patín ancho estándar más ligero (perfil W) que

limite el esfuerzo originado por flexión al esfuerzo permisible de la especificación AISC. Todas

3 1 2 C a pítu lo 8 ■ E s fu e rz o cau sad o po r flexión

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F IG U R A 8 -3 0 C o lum pio s del prob lem a 8 -2 3 .

las cargas son estáticas y las vigas son de acero estructural ASTM A36.

8-33.1 Use la carga de la figura P6-3. j

8-34.C Use la carga de la figura P6-7.


8-36.C Use la carga de la figura P6—11.





8—41 .C Use la carga de la figura P6-63. 8-65.1

8-42.1 Use la carga de la figura P6-64.

8-43 a Repita los problemas 8-33 a 8-42 pero ahora es-8-52 pecifique la viga American Standard más ligera

(perfil S).

8-53 a Repita los problemas 8-33 a 8-42 pero ahora use8-62 acero estructural de baja aleación y alta resisten

cia ASTM A572 grado 60.p t

8—63.1 Una vigueta de piso de un edificio tiene que ser una vigueta de madera estándar seleccionada del apéndice A-4. Si la vigatienequeestarsimplemente 8-67.1 apoyada en sus extremos y soportar una carga uniformemente distribuida de 125 lb/pie a lo largo de

los 10 pies de longitud, especifique un tamaño adecuado para la viga. La viga será de pino del sur grado núm. 2. Considere sólo esfuerzo flexionante.

Una banca para jugadores de fútbol debe soportar la carga mostrada en la figura 8-31 que se produce cuando 10 jugadores, cada uno de 300 Ib de peso, se sientan muy cerca uno del otro de modo que cada uno ocupa 18 plg de longitud de la banca. Si la sección transversal de la banca es como se muestra en la figura 8-31, ¿seria segura para esfuerzo flexionante? La madera es de abeto grado núm. 2.

Se va a diseñar una banca para jugadores de fútbol. Tiene que soportar la carga mostrada en la figura 8-31 que se produce cuando 10 jugadores, cada uno de 300 Ib de peso, se sientan codo con codo de modo que cada uno ocupe 18 plg de la longitud de la banca. La banca debe tenerperfil de T y estar hecha de abeto grado núm. 2, como se muestra el tablónde asiento de2 x 12. Especifique el miembro vertical requerido de la T si la banca debe ser segura para esfuerzo flexionante.

Repita el problema 8—65, pero ahora use la sección transversal mostrada en la figura 8-32.

Repita el problema 8-65, pero utilice cualquier sección transversal de su elección hecha de vigas de madera estándar dadas en el Apéndice A-4.

Problemas 3 1 3

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. ...

200 lb/pie ,

■■■ .......... - ........

«•2.5 p ie s* |* — - 10.0 p ie s ----------------------- ► [•■ 2.5 pies ♦

Suelo

|-— 11.25 — - |

2 x 1 2 — •* / ; / / / / / / ; / * ' v iga de m adera

2 x 4

1.50

1.50

2 x 12

\

D im ensiones en pulgadas

Sección/l-y4

3.50 (sólo para

el p rob lem a 8 -6 4 )

F IG U R A 8 -3 1 B anca y carga de los problem as 8 - 6 4 ,8 - 6 5 ,8 - 6 6 y 8-67.

M iem bros verticales

a ser especificados

F IG U R A 8 - 3 2 Sección transversal de la banca

del p rob lem a 8—66.

Trate de lograr un diseño más ligero que el del problema 8-65 u 8-66. Observe que un diseño más ligero tendría una menor área de sección transversal.

8-68.1 Se va a diseñaruna cubierta de madera para soportar una carga uniformemente distribuida de 100 lb/pie2 sobre toda su área. Las viguetas se tienen que disponer como se muestra en la figura 8-33, a 16 plg entre centros. Si la cubierta tiene que ser de 8 por 12 pies, determine el tamaño requerido de las viguetas. Use secciones de madera estándar del apéndice A—4 y abeto núm. 2.

8-69.1 Repita el problema 8-68 con las viguetas dispuestas a lo largo de la longitud de 12 pies y no a lo largo del ancho de 8 pies.

8-70.1 Repita el problema 8-68, con vigas de apoyo a 18 plg desde los extremos de las viguetas en lugar de en los extremos.

8-71.1 Repita el problema 8-69, con vigas de apoyo a 18 plg de los extremos de las viguetas en lugar de en los extremos.

8-72.1 Para el diseño de la cubierta mostrada en la figura 8-33 especifique un tamaño adecuado para las vigas transversales que soportan las viguetas.

8.73.1 Diseñe un puente sobre un pequeño arroyo. Suponga que se dispone de apoyos rígidos en ambas márgenes del arroyo, separados 10 pies. El puente tiene que ser de 3.0 pies de ancho y soportar una carga uniformemente distribuida de 60 lb/pie2 sobre toda su área. Diseñe sólo los tablones de la cubierta y las vigas. Use dos o más vigas de cual

quier tamaño de las que vienen en el apéndice A-4 u otras de su propio diseño.

8-74.1 ¿Sería seguro el puente que diseñó en el problema 8-73 si un caballo y su jinete que pesan 2200 Ib pasaran lentamente a través de él?

8-75.1 El montador de transmisiones en una fábrica tiene que suspender una máquina de 10 500 Ib de una viga de 12.0 pies de longitud de modo que un camión pueda retroceder debajo de ella. Suponga que la viga está simplemente apoyada en sus extremos. Dos cables soportan la carga, cada uno a 3.0 pies de uno de los apoyos. Diseñe una viga adecuada. Considere vigas estándar de madera o acero o una de su propio diseño.

8-76.1 En una producción de teatro experimental, un pirata debe cumplir con el castigo de “caminar sobre el tablón” hasta que se caiga al mar. Si el pirata pesa 220 Ib, ¿sería seguro el diseño mostrado en la figura 8-34? De no serlo, diseñe uno que sí lo sea.

8-77.M Una rama de un árbol tiene las dimensiones aproximadas mostradas en la figura 8-3 5. Suponiendo que la resistencia a la flexión de la madera sea similar a la del abeto núm. 3, ¿seria seguro para una persona de 135 kg de masa sentarse en el columpio?

8-78.1 ¿Sería seguro utilizar un tabla estándar de 2 x 4 de pino del sur grado 2 como palanca, como se muestra en la figura 8-36, para levantar un lado de una máquina? Si no, ¿qué sugeriría utilizar?

3 1 4 C a pítu lo 8 ■ E s fu e rz o ca u sa d o p o r flexión

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C a p ítu lo 8 ■ E s fu e rzo ca u s a d o p o r flexión

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220 N 280 N

T ubo cédula 4 0 de 4 plg

6 pies

'lg \ I

350 Ib 350 Ib

— ~f*~2 pies-»)

F IG U R A 8 - 3 8 D alos para el p roblem a 8 -8 9 .

8-90.M La figura 8-39 muestra una flecha circular de una transmisión. En los puntos A, C y E se montan engranes. En B y D van los cojinetes de apoyo. Se muestran las fuerzas transmitidas por los engranes a la flecha, todas dirigidas hacia abajo. Calcu

8-91.M

le el esfuerzo máximo causado por flexión en la flecha, teniendo en cuenta las concentraciones de esfuerzo.

Las fuerzas mostradas en la flecha de la figura 840 se deben a los engranes montados en B y C. Calcule el esfuerzo máximo originado por flexión en la flecha.

F IG U R A 8 - 3 7 V iga de u na im presora de com putadora,

p roblem a 8 -8 2 .

V ig a s c o n c o n c e n tra c io n e s d e e s fu e rz o y s e c c io

nes tra n s v e rs a le s v a ria b le s

8-89.1 En la figura 8-38 el tubo de 4 plg acopla perfectamente con su apoyo, de modo que no hay concentración de esfuerzo en D. En Cel tubo de 3 1/2 plg se coloca en el interior del tubo de 4 plg con un anillo espaciador para un ajuste perfecto. En seguida se usa una soldadura de filete de 1/4 bien redondeado para fijar las secciones. Teniendo en cuenta la concentración de esfuerzo en la junta, determine qué tan afuera debe quedar el punto C para limitar el esfuerzo a 20 000 lb/plg2. Use el apéndice A-21-9 para determinar el factor de concentración de esfuerzo. ¿Es seguro el tubo de 4 plg en D?

Soldadura, 'a p lg de radio

y T ubo cédula 4 0 de 3 '/i plg

C ojinete,

- 50 mm

1250 N 2800 N

- 50 mm —*4»— 50 mm -

o .

Cim eros de perfil

18 m m

ded iám .

Cojinete

F IG U R A 8 - 40 D atos para el p roblem a 8 -9 1 .

8-92.1 La figura 8-41 muestra un flecha de una máquina soportada por dos cojinetes en sus extremos. Las dos fuerzas son ejercidas contra la flecha por engranes. Considerando sólo esfuerzos flexionantes, calcule el esfuerzo máximo en la flecha y señale dónde ocurre.

8-93.1 La figura 8-42 muestra una palanca hecha de una barra rectangular de acero. Calcule el esfuerzo provocado por flexión en el punto de apoyo de la palanca, a 20 plg del pivote y en cada uno de los agujeros de la barra. El diámetro de cada agujero es de 0.75 plg.

8.94.1 Repita el problema 8-93, pero use el diámetro de los agujeros como de 1.38 plg.

8-95.1 En la figura 8-42, los agujeros en la barra permiten cambiar la longitud de la palanca con respecto al pivote. Calcule el esfuerzo flexionante máximo en la palanca conforme el pivote se cambia a cada uno de los agujeros. Use el diámetro de los agujeros como de 1.25 plg.

8-96.M La ménsula mostrada en la figura 8-43 soporta las cargas opuestas creadas por un resorte. Si la fuerza F es de 2500 N, calcule el esfuerzo flexionante en una sección, como la A-A, afuera de los agujeros.

3 1 8

12.5 kN10.5 kN

r = 1.5 m m -

---35 mm _ *__

r = 2 mm

í lB

«•—150 m m —«

" l c 55 mm

- + -----

-150 mm -

8.0 kN

= 2 mm

----r45 mm

-150 mm -

- r = 1.5 mm

-150 mm -

r30 mm

___L

F IG U R A 8 -3 9 D atos para el problem a 8 -9 0 .

C a p itu lo 8 ■ E s fue rzo cau sad o po r flexión

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8—97.M Si la fuerza, F, en la figura 8—43 es de 2500 N, calcule el esfuerzo flexionante en una sección que pase por los agujeros, tal como la B-B. Use d = 12 mm como diámetro de los agujeros.

8-98.M Repita el problema 8-97 con d = 15 mm como diámetro de los agujeros.

8-99.M Para el esfuerzo resultante calculado en el problema 8-98, especifique un acero adecuado para la ménsula si la fuerza se repite miles de veces.

8-100.M La figura 8-44 muestra un barra plana escalonada sometida a flexión. Si la barra es de acero AISI 1040 estirado en frío, calcule la fuerza máxima repetida, F, que se puede aplicar a la barra con seguridad.

8-101.M Repita el problema 8-100 con r = 2.0 mm como radio del redondeo.

8-102.M En la barra escalonada plana mostrada en la figura 8—44 cambie la dimensión de 75 mm que localiza el escalón por un valor que haga que el esfuerzo flexionante en el escalón sea igual al que se crea en el punto de aplicación de la carga.

8-103.M En la barra escalonada plana mostrada en la figura 8 - 44 cambie el tamaño del radio de redondeo que

haga que el esfuerzo flexionante en el redondeo sea igual al que se crea en el punto de aplicación de la carga.

8-104.M Repita el problema 8-100 con el peralte de la barra cambiado de 60 mm a 75 mm.

8-105.M En labarraescalonadaplana de la figura 8-44, ¿se podría perforar un agujero a la mitad del peralte de 60 mm de la barra entre las dos fuerzas sin que se incremente el esfuerzo flexionante máximo en la barra? De ser posible, ¿cuál es el tamaño máximo del agujero que se puede perforar?

8-106.M La figura 8-45 muestra una barra escalonada plana que soporta tres cargas concentradas. Sea P = 200 N,L¡= 180 mm, ¿ 2 = 80 mm y Z,3 = 40 mm. Calcule el esfuerzo máximo creado por flexión y el lugar donde ocurre. La barra se refuerza contra flexión y torsión lateral. Observe que las dimensiones en la figura no están dibujadas a escala.

8-107.M Con los datos del problema 8-106, especifique un material adecuado para la barra que produzca un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última.

8-108.M Repita el problema 8-107 con r - 1.50 mm como radio del redondeo.

---------150 mm -

- 75 mm

40 mm

F F

- 100 mm -

t60 mm

,

- 150 m m ---------

|*«- 75 mm -

- 'v TB arra p la n a -e s p e s o r = 12 m m r= lO m m

usualF IG U R A 8 - 4 4 Barra plana escalonada de

los problem as 8 -1 0 0 a 8 -105.

-140 mm - -100 mm — ► )*•— 100 mm -

2 P140 mm

r = 3 mm

usual

12 mmm ili |-------j-

< - n- 24 n

i i

\ r

Placa plana

t = 8 mm

24 mm — 36 m m --------- 48 mm

-¿2-

3 2 0

F IG U R A 8 - 45 Placa plana escalonada de los problem as 8 -1 0 6 a 8 -1 1 0 .

C apítu lo 8 ■ E s fue rzo cau sad o po r flexión

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pesaría 312 Ib para los 12 pies de longitud. Una viga W12 x 16 pesaría sólo 192 Ib pero su módulo de sección, S, no sería suficiente. Para incrementarlo, se propone añadir placas de acero de 0.25 plg de espesor y 3.50 plg de ancho, tanto al patín superior como al inferior a la mitad de la viga. Realice los siguientes análisis:

(a) Calcule el módulo de sección de la porción de la viga W12 x 16 con los cubreplacas.

(b) Si el resultado del inciso (a) es satisfactorio para limitar el esfuerzo a un nivel aceptable, calcule la longitud requerida a lo largo de la cual se tendrían que aplicarlas placas al 0.5 pie más cercano.

(c) Calcule el peso resultante de la viga compuesta y compárelo con la viga original W 14 x 26.

8-117.1 La figura P7-26 muestra una viga compuesta de un canal y un perfil de viga American Standard. Si la viga está simplemente apoyada y soporta una carga uniformemente distribuida sobre un claro de 15.0 pies, calcule la carga permisible en la viga compuesta y en el mismo perfil S solo. La carga es estática y se debe usar la especificación del AISC para acero estructural A36.

C entro deflex ión

8-118.M Localice el centro de flexión del canal mostrado en la figura 48 medido a partir de la cara izquierda del alma vertical.

8-119.M Una compañía planea fabricar tres vigas de perfil en U laminándolas de lámina de aluminio plana. Cada canal debe tener las dimensiones externas mostradas en la figura 8-48, pero diferentes espesores, 0.50, 1.60 y 3.00 mm. Para cada diseño, calcule el momento de inercia con respecto al eje centroidal horizontal y localice el centro de flexión, medido a partir de la cara izquierda del alma vertical.

8-120.1 Localice el centro de flexión de la sección acopada que se muestra en la figura 8-49 y que se midió a partir de la cara izquierda del alma vertical.

F I G U R A 8 - 4 9 Sección acopada del

problem a 8 -120 .

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F IG U R A 8 - SO C anal a lab iado del

problem a 8 -1 2 2 .

dimensiones externas mostradas en la figura 850, pero diferentes espesores, 0.50, 1.60 y 3.00 mm. Para cada diseño, localice el centro de flexión, medido a partir de la cara izquierda del alma vertical.

8-124.M Localice el centro de flexión de un tubo de 50 mm de diámetro externo y 4 mm de espesor de pared.

8-125.1 En un canal de aluminio C2 x 0.577 con su alma en posición vertical, localice el centro de flexión. Ignore el efecto de los redondeos entre los patines y el alma.

8-126.M Si la sección acopada mostrada en la figura P7-11 se girara 90° apartir de la posición mostrada, localice su centro de flexión.

V ig a s h e c h a s d e m a t e r i a l e s a n i s o t r ó p i c o s

8-127.1 La sección de viga mostrada en la figura P 7 -15 se tiene que fabricar de aluminio 6061-T6 extruido. La resistencia a la tensión permisible es de 19 ksi. Debido a las patas largas relativamente delgadas en la parte superior, la resistencia a la compresión permisible es de sólo 14 ksi. La viga debe cubrir un claro de 6.5 pies y estará simplemente apoyada en sus extremos. Calcule la carga máxima permisible que se distribuye de modo uniforme sobre la viga

8-128.1 Repita el problema 8-127 con un giro de 180° en la sección. Con las patas hacia abajo, se ven sometidas a tensión y son capaces de soportar 19 ksi. La parte de la sección sometida a compresión en la parte superior ahora está perfectamente apoyada y puede soportar 21 ksi.

P rob lem as

8-129.M El perfil de la figura P7-6 se somete aúna carga concentrada única aplicada en el centro de su claro de 1200 mm. La resistencia permisible a ten

sión es de 100 MPa, mientras que la compresión es de más o menos 70 MPa. Calcule la carga permisible.

8-130.M Repita el problema 8-129 con un giro de 180° en la sección.

8-131.M Repita el problema 8-129 con el perfil mostrado en la figura P7-8.

8-132.M Repita el problema 8-129 con el perfil mostrado en la figura P7-9.

8-133.M El perfil T mostrado en la figura P7—4 se tiene que fabricar de hierro colado gris, ASTM A48 grado 40. Debe soportar dos cargas iguales P, aplicadas a 1.0 m de los extremos de la viga de 2.80 m de longitud. Especifique la carga estática máxima P que la viga podría soportar. Use N = 4.

8-134.M El perfil I modificado mostrado en la figura P7—5 debe soportar una carga estática uniformemente distribuida a todo lo largo de su longitud de 1.20 m. Especifique lacarga máxima permisible considerando que la viga tiene que ser de hierro maleable, ASTM A220, clase 80002. Use N = 4.

8-135.M Repita el problema 8-134 con un giro de 180° en la viga.

8-136.M Para la viga mostrada en la figura 8-51 de hierro dúctil, ASTM A536, grado 120-90-2, calcule la carga máxima P que puede soportar con factor de

P P p P

0.8 m ' 0.8 m 0.8 m 0.8 m < 0.8 m

S e c c ió n ^ -*4-s e c c ió n transversa l de viga

F IG U R A 8 - 5 1 V iga ancha del p rob lem a 8 -1 3 6 .

3 2 3

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diseño resultante de 10 basado ya sea en la resistencia última a la tensión o a la compresión.

8-137.M Repita el problema 8-136 con el peralte de las nervaduras verticales incrementado por un factor de 2.0.

8-138.M Losproblemas del 8-133 al 8-137 ilustran que un perfil I modificado es el que casi optimiza el uso de la resistencia disponible de un material de diferentes resistencias a tensión y a compresión. Dise-

T A R E A S D E C

1. Escriba un programa para calcular el esfuerzo flexionante máximo en una viga simplemente apoyada sometida a una sola carga concentrada en su centro. Deje que el operador introduzca la carga, el claro y las propiedades de sección de la viga. Los datos de salida deben incluir el momento flexionante máximo y el esfúerzo flexionante máximo e indicar dónde ocurre el esfuerzo máximo.

A d ic io n e s a la ta re a 1

(a) Para el esfuerzo calculado, determine la resistencia del material requerida para que la viga produzca una factor de diseño dado.

(b ) Además de (a) incluir una tabla de propiedades de un material seleccionado tal como los datos para acero del apéndice A-13. A continuación busque un acero adecuado en la tabla del cual se pueda hacer la viga.

2. Repita la tarea 1 con una carga uniformemente distribuida.

3. Repita la tarea 1 con una viga en voladizo sometida a una sola carga concentrada aplicada en su extremo libre.

4. Escriba un programa para calcular el momento flexionante máximo en una viga simplemente apoyada sometida a una sola carga concentrada aplicada en su centro. Deje que el operador introduzca la carga y el claro. En seguida calcule el módulo de sección requerido de la sección transversal de la viga para limitar el esfuerzo flexionante máximo a un nivel determinado o para lograr un factor de diseño dado para un material igualmente dado. Los datos de salida deben incluir el momento flexionante máximo y el módulo de sección requerido.

A d ic io n e s a la ta re a 4

(a) Después de calcular el módulo de sección requerido, haga que el programa termine el diseño de la sección transversal de la viga con un perfil general

3 2 4

ñe un perfil I que tenga un factor de diseño casi uniforme de 6 basado en la resistencia última, ya sea a tensión o a compresión, hecho de hierro gris, grado 20, sometido a una carga uniformemente distribuida de 20 kN/m a lo largo de su longitud de1.20 m. (Nota: Es posible que desee usar el programa de cómputo de la tarea 3 al final del capítulo 7 para que se le faciliten los cálculos. Se puede usar un procedimiento de tanteo.)

O M P U T A C I Ó N

determinado, tal como uno rectangular, con una relación específica de espesor a peralte (véase el problema 8-13), o circular.

(b) Incluya una tabla de propiedades de secciones de viga estándar como las de los apéndices A—4 a A- 12 y haga que el programa busque una sección de viga adecuada que produzca el módulo de sección requerido.

5. Repita la tarea 4, pero ahora con una carga uniformemente distribuida.

6. Repita la tarea 4 con la carga descrita en el problema 8 - 2 2 .

7. Repita la tarea 4 con el patrón de carga asignado por el instructor.

8. Escriba un programa de cómputo que facilite la solución del problema 8-138, incluidoel cálculo de las propiedades de sección del perfil I modificado con las técnicas del capítulo 7. Use el patrón de carga de la figura P6-3, pero deje que el usuario especifique el claro de la viga, la magnitud de la cargay la ubicación de la misma.

9. Escriba un programa de cómputo que facilite la solución de problemas como el problema 8-116. Generalice el programa, permitiendo que el usuario pueda introducir la carga sobre la viga, las propiedades de sección deseadas y las dimensiones de las placas que vayan a ser añadidas a la sección de viga básica.

10. Escriba un programa de cómputo para realizar los cálculos exigidos en el problema 8-1 11, pero haga el programa más general y permita que el usuario introduzca los valores de la carga, el claro, las dimensiones de la sección transversal de la viga y el intervalo para calcular el esfuerzo flexionante. Haga que el programa dibuje la gráfica de esfuerzo contra posición en la viga.

11. Escriba un programa de cómputo para localizar el centro de flexión de la sección en U generalizada mostrada en la figura 8-48. Permita que el usuario introduzca todas las dimensiones.

C a pítu lo 8 ■ E s fue rzo causad o p o r flexión

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12. Escriba un programa para localizar el centro de flexión de la sección acopada generalizada mostrada en la figura 8 - 49. Permita que el usuario introduzca todas las dimensiones. Se pueden usar técnicas de ajuste de curvas e interpolación para interpretar la gráfica mostrada en la figura 8-21.

13. Escriba un programa de cómputo para localizar el centro de flexión del canal alabiado mostrado en la figura 8-50. Deje que el usuario introduzca todas las dimensiones. Se pueden usar técnicas de ajuste de curvas e interpolación para interpretar la gráfica de la figura 8 - 2 1 .

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9

E s fu e rzo s c o r ta n te s en v ig a s


C ontinuando con el análisis de vigas, este capítulo se ocupa de los esfuerzos creados en una viga por la presencia de fuerzas cortantes. Tal com o se m uestra en la figura 9-1, las fuerzas cortantes se visualizan actuando en la sección de una viga,en form a transversal, es decir, perpendiculares al eje de la viga. Por tanto tienden a crear esfuerzos cortantes transversales, en ocasiones llam ados esfuerzos cortantes verticales.

Pero si se aísla un pequeño elem ento som etido a tales esfuerzos, com o se muestra en la figura 9 -2 , se ve que tam bién deben existir esfuerzos cortantes horizontales para que el elem ento esté en equilibrio. De este m odo, tanto los esfuerzos cortantes verticales com o los horizontales, que tienen la m ism a m agnitud en un punto dado, son creados por esfuerzos cortantes en vigas.


1. D escribir las condiciones en las cuales se crean los esfuerzos cortantes en vigas.

2. Calcular la m agnitud de los esfuerzos cortantes en vigas con la fórm ula general de cortante.

3. D efinir y evaluar el momento estático requerido en el análisis de esfuerzos cortantes.

4. Especificar dónde ocurre el esfuerzo cortante m áxim o en la sección transversal de una viga.

5. Calcular el esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal de una

viga.

3 2 6

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9. Desarrollar y usar fórmulas especiales de cortante para calcular el máximo esfuerzo cortante en vigas con secciones transversales rectangulares o circulares sólidas.

10. Entender el desarrollo de relaciones aproxim adas para estim ar el esfuerzo cortante m áxim o en vigas que tienen secciones transversales con almas altas esbeltas o aquellas con perfiles tubulares huecos de pared delgada.

11. Especificar un esfuerzo cortante de diseño adecuado y aplicarlo para evaluarla aceptabilidad de un diseño de viga dado.

12. Definirflujo de cortante y calcular su valor.

13. U sar el flujo de cortante para evaluar el diseño de secciones de viga fabricadas, unidas con clavos, pernos, adhesivos, soldadura u otro método de sujeción.

9 - 2 V IS U A L IZ A C IÓ N D E E S F U E R Z O S C O R T A N T E S E N V IG A S

La existencia de esfuerzo cortante horizontal en vigas también se observa en vigas hechas de varias tiras planas, como se ilustra en la figura 9 -3 . Se puede hacer un modelo con cartón, lámina, plástico u otros materiales.

U na tira plana delgada sería una viga muy deficiente para usarse como viga simplemente apoyada en sus extremos y sometida a una carga concentrada a la mitad de su claro. La viga se deflexionaría muchísim o y tendería a romperse con una carga m uy reducida.

AI colocar varias tiras una encima de la otra se produce una viga más resistente que se deflexiona menos con una carga dada, pero sólo hasta cierto grado. Tal como se muestra en la figura 9-3(b), las tiras se deslizarían una con respecto a la otra en las superficies de contacto y la viga seguiría siendo relativamente flexible y débil.

Se puede hacer una viga más resistente y más rígida sujetando las tiras de tal modo que se evite el deslizamiento entre ellas. Esto se puede hacer con adhesivo, soldadura, soldadura de latón o sujetadores mecánicos tales como remaches, tom illos, pernos, pasadores, clavos o incluso grapas. De esta manera, se evita la tendencia a que una tira se deslice con respecto a la siguiente y los sujetadores se ven sometidos a una fuerza cortante

(«)T iras apiladas

sueltas, descargadas

ib)Las tiras se deslizan una con respecto

a la o tra cuando se som eten a una carga

(c)T iras pegadas entre sí. E l pegam ento

se som ete a cortan te y resiste el

deslizam iento en tre las tiras.F IG U R A 9 -3 Ilustración de la presencia de esfuerzo cortante

en una viga.

3 2 8 C a pítu lo 9 ■ E s fu e rz os co rta n te s en vigas

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dirigida horizontal, paralela al eje neutro de la viga. Así es com o se visualiza el esfuerzo cortante horizontal en una viga. V éase la figura 9-3(c).

En una v iga m aciza existe una condición sim ilar. En este caso la tendencia al deslizam iento horizontal de una parte de la viga con respecto a otra encim a o debajo de ella es resistida por el material de la viga. P or consiguiente, en cualquier plano horizontal se desarrolla un esfuerzo cortante. Por otra pane, según se m uestra en la figura 9 -2 , existen

esfuerzos cortantes al mismo tiem po en el plano vertical para m antener el equilibrio de cualquier elem ento infinitesim al som etido a esfuerzo.

9 - 3 IM P O R T A N C IA D E L O S E S F U E R Z O S C O R T A N T E S E N V IG A S

En el diseño práctico se presentan varias situaciones en las que el m odo de falla tal vez sea el cizallam iento de una parte o de un sujetador de una viga com puesta. Aquí se describen cuatro situaciones com o ésas.

V ig a s d e m a d e r a . La m adera es por naturaleza débil a cortante, a lo largo de los

planos paralelos a su veta. Considérese la viga mostrada en la figura 9 - 4 , la cual es similar a las viguetas usadas en estructuras de piso y techo de construcciones de m adera. La veta generalm ente corre paralela al eje largo en la madera de construcción com ercial mente disponible. Cuando se som ete a cargas transversales, es probable que la falla inicial en una viga de m adera sea por separación a lo largo de la veta de la m adera, a causa de un esfuerzo cortante horizontal excesivo. N ótese en el apéndice A -1 8 que el esfuerzo cortante perm isible en clases com unes de m adera varía de sólo 70 a 95 lb/plg2 (0.48 a 0.66 M Pa), valores que son extrem adam ente bajos.

V ig a s d e a lm a e s b e lta . Una sección transversal de viga eficiente sería una con patines horizontales relativam ente gruesos arriba y abajo con un alm a vertical esbelta que los conectara. Esta es la descripción general de la conocida “viga en I” , la viga de patín ancho o la viga Am erican Standard, ilustrada en la figura 9 -5 . En los apéndices A -7 , A -8 y A - l 1 se dan dim ensiones reales de este tipo de secciones de viga.

Pero si el alm a es excesivam ente esbelta, no tendría suficiente rigidez y estabilidad para m antener su form a y fallaría por la presencia de esfuerzo cortante en ella. El A m erican Institute o f Steel Construction (AISC) define el esfuerzo cortante perm isible en las almas de vigas de acero. Véase la referencia 1. V éase tam bién la fórm ula del esfuerzo cortante en almas, definida más adelante en la sección 9 - 7 de este capítulo.

C arga 1.50 p lg

cortan te a lo largod e la ve ta S ecc ió n ^ - A

F I G U R A 9 - 4 F a lla p o r co rtan te en una viga d e m adera .

tecc ió n 9 - 3 ■ Im p o rta n c ia de los es fu e rz o s c o rta n te s en v ig a s 3 2 9

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Patín 0 .440 plg l

A lm a

12.34 plg- X

- 0 .2 6 0 p lg

Perfil de acero W 12 x 3 0 /x = 238 p lg4

F I G U R A 9 -5 E jem p lo d e un perfil d e v iga de a lm a esbelta.

V ig a s c o r ta s . En vigas m uy cortas, es probable que el m om ento flexionante y por tanto el esfuerzo flexionante, alcancen valores reducidos. En vigas de ese tipo, el esfuerzo cortante puede ser el esfuerzo limitante.

S u je ta d o re s e n v ig a s fa b r ic a d a s . Tal como se m uestra en la figura 9—3, los sujetadores en una sección de viga compuesta están sometidos a esfuerzos cortantes. El concepto á t flujo de cortante, desarrollado más adelante, se usa para evaluar la seguridad de vigas como ésas o para especificar el tipo, el número y la separación requeridos de los sujetadores que van a ser utilizados. Asimismo, las vigas hechas de m ateriales compuestos son ejemplos de vigas fabricadas. La separación de las capas del com puesto, llamada cortante interlaminar, es un modo potencial de falla.

E s tru c tu ra s re c u b ie r ta s d e lá m in a s d e m e ta l s o m e t id a s a e s fu e rz o . Lasestructuras de aviones y naves espaciales y algunos vehículos terrestres y equipo industrial se fabrican utilizando un diseño á t lámina de metal sometida a esfuerzo. Las llamadas en ocasiones estructuras monocasco están diseñadas para soportar la mayor parte de la carga en sus delgadas capas metálicas. Por lo general se usa el método del flujo de cortante para evaluar estructuras como ésas, aunque éste no se desarrolla en este libro.

F Ó R M U L A G E N E R A L D E C O R T A N T E

Aquí se presenta la fórmula general de cortante con la que se puede calcular la magnitud del esfuerzo cortante en un punto cualquiera de una sección transversal de una viga sometida a una fuerza vertical. En la sección 9 -7 se desarrolla la fórmula. Es posible que se desee estudiar la fórmula junto con esta sección.

La fórmula general de cortante se expresa como sigue:

VQ

It(9-1)

en donde V= fuerza cortante vertical en la sección de interés. El valor de V puede cal

cularse con el diagrama de fuerza cortante descrito en el capítulo 6. En general, se usa el valor máxim o absoluto de V, ya sea positivo o negativo.

/ = momento de inercia de la sección transversal completa de la viga con respecto a su eje centroidal. Éste es el mismo valor de I usado en la fórmula de la flexión ( t7 = M cl) para calcular el esfuerzo flexionante.

t = espesor de la sección transversal medido en el eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante.

Q = momento estático.

C a pítu lo 9 ■ E s fu e rz os co rta n te s en vigas

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El momento estático se define com o el m om ento, con respecto al eje centroidal general, del área de la parte de la sección transversal alejada del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. Por definición:

OM om en to

estáticoQ = A„y (9 -2 )

en donde Ap = área de la parte de la sección transversal distante del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante.

y = distancia al centroide Ap m edida a partir del eje centroidal de la sección transversal completa.

N ótese que el m om ento estático es el momento de un área; es decir, área po r distancia. Por consiguiente, sus unidades serán de longitud al cubo, tales com o plg3, m 3 o m m 3.

La evaluación cuidadosa del m om ento estático Q es crítica para el uso correcto de la fórm ula de cortante. Es conveniente bosquejar la sección transversal de la viga y en seguida realzar el área parcial Ap. Luego se localiza el centroide del área parcial en el bosquejo. L a figura 9 -6 m uestra un ejem plo de lo anterior. En éste, el objetivo es calcular el esfuerzo cortante en el eje a-a. El área som breada es Ap, m ostrada com o la parte que está alejada del eje a-a.

Los tres ejem plos siguientes ilustran el m étodo para calcular Q. En cada uno de ellos, se usa el procedim iento siguiente.

M étodo para

calcular el m om en to

e s tá tico , Q

1. Localice el eje centroidal de la sección transversal com pleta.

2. Trace el eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante.

3. Identifique el área parcial Ap, alejada del eje de interés y som bréela para resaltarla.

Si el área parcial Ap es un área sim ple en la que ya se localizó el centroide por m edio de cálculos sim ples, use los pasos 4 -7 para calcular Q. D e lo contrario, use los pasos 8-11.

4. Calcule la m agnitud de Ap.

5. Localice el centroide del área parcial.

6. Calcule la d istanc ia^ del centroide de toda la sección al centroide del área parcial.

7. Calcule Q =Apy .

Cuando el área parcial es un área com puesta de varias partes, se utilizan los pasos 8-11.

8. D ivida el área Ap en sus com ponentes, las cuales son áreas sim ples, y desígnelas A¡,A2, A 3, etc. Calcule sus valores.

9. Localice el centroide de cada una de las áreas com ponentes.

10. D eterm ine las distancias del eje centroidal de toda la sección transversal

al centroide de cada área com ponente y desígnelas y ,, yz^yi, y así sucesivamente.

11. Calcule con A = Apy de:

Q = ¿ Py = A , y, + A¡y2+A3y 3 + . . . (9 -3 )

Secc ión 9 - 4 ■ F ó rm u la gene ra l d e co rtan te 3 3 1

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P a s o 3.

P a s o 4.

P a s o 5.

P a s o 6.

P a s o 7.

P a s o 2. El e j e d e i n te r é s , a - a , e s t á e n e l e x t r e m o s u p e r i o r d e l a lm a ,

j u s to a b a j o d e l p a t ín .

El á r e a p a r c ia l s o b r e e l e je a-a e s to d o e l p a t ín .

A p = (8 p lg ) (2 p lg ) = 16 p lg 2

El c e n t r o id e d e Ap e s t á 1 .0 p lg a b a j o d e la c a r a s u p e r io r d e l

p a t ín , e l c u a l e s t á a 9 .0 p lg s o b r e la b a s e d e la T .

y = 9 .0 p lg - Y = 9 .0 p l g - 6 . 8 6 p lg = 2 . 1 4 p lg

Q = Apy= (1 6 p lg 2) (2 .1 4 p lg ) = 3 4 .2 p lg 3

C o m e n ta r io E s d e h a c e r s e n o t a r q u e e l v a lo r d e Q s e r í a e l m is m o a u n q u e e l e je d e

in t e r é s a-a s e h u b ie r a c o n s i d e r a d o e n la c a r a in fe r io r d e l p a t ín ju s to

a r r ib a d e l a lm a . P e r o e l e s p e s o r d e la s e c c ió n , t, s e r í a ig u a l a l a n c h o d e l

p a t ín , m ie n t r a s q u e c o n e l e je a -a u ti l iz a d o e n e s t e p r o b le m a , s e u s a el

e s p e s o r d e l a lm a . L o s e s f u e r z o s c o r t a n t e s r e s u l t a n t e s s e r í a n p o r c o m

p le to d i f e r e n te s . E s to s e d e m o s t r a r á m á s a d e l a n t e .

U s o d e la fó r m u la g e n e r a l d e c o r ta n te . Los ejem plos se presentan para ilustrar el uso de la fórm ula general de cortante [ecuación (9 -1)] para calcular el esfuerzo cortante vertical en una viga. El procedim iento siguiente es el usual en la solución de problem as de ese tipo.

In s tru c c io n e s p a ra

c a lc u la r e s fu e rz o s

c o rta n te s e n v ig a sEl objetivo general es calcular el esfuerzo cortante en cualquier posición especificada en la viga y en cualquier eje especificado en la sección transversal con la fórm ula general de cortante:

VQ

It(9 -1 )

1. D eterm ine la fuerza cortante vertical Ven la sección de interés. Puede que

se requiera trazar el diagram a com pleto de fuerza cortante siguiendo los procedim ientos del capítulo 6.

2. Localice el centroide de la sección transversal com pleta y trace el eje neu tro a través del centroide.

3. Calcule el m om ento de inercia de la sección con respecto al eje neutro.

4. Identifique el eje con respecto al cual se va a calcular el esfuerzo cortante y determ ine el espesor ten dicho eje. Incluya todas las partes com ponentes de la sección cortada por el eje de interés cuando se calcule t.

5. Calcule el m om ento estático del área parcial desde el eje de interés con respecto al eje neutro. U se el procedim iento desarrollado en esta sección.

6. Calcule el esfuerzo cortante con la ecuación (9 -1).

e c c ió n 9 -4 ■ F órm ula gen e ra l de co rta n te 3 3 5

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E je m p l o C a lc u le e l e s f u e r z o c o r ta n te e n e l e j e a - a d e la v ig a d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l r e c ta n g u la r

9_ 4 m o s t r a d a e n la f ig u ra 9 - 6 . L a f u e r z a c o r ta n te , V , e n la s e c c i ó n d e i n t e r é s e s d e 1 2 0 0 Ib.

S o l u c i ó n O b je t i v o

D a t o s

A n á l i s i s

R e s u l t a d o s

C a lc u la r e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n e l e j e a - a .

El perfil y l a s d i m e n s i o n e s d a d a s e n la f ig u ra 9 - 6 . V = 1 2 0 0 1 b .

S e s ig u e n l a s in s tru c c io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s en vigas.

P a s o 1.

P a s o 2.

P a s o 3.

P a s o 4.

P a s o 5.

P a s o 6.

V = 1 2 0 0 Ib (d a to )

E n u n perfil r e c ta n g u la r , e l c e n t r o id e e s t á a m e d ia a ltu ra ,

c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 9 - 6 y c o in c id e c o n e l e je a - a .

y = 5 . 0 0 p lg .

/= fa/?3/12 = (2.0)(10.0)3/12 = 166.7 plg4

E s p e s o r = t = 2 .0 p lg e n e l e je a - a .

N o r m a lm e n te s e c a lc u la r ía Q = Apy c o n e l m é to d o m o s tra

d o c o n a n te r io r id a d e n e s t e c a p í tu lo . P e r o e l v a lo r d e Q para

la s e c c ió n d e la f ig u ra 9 - 6 s e c a lc u ló e n e l e j e m p lo 9 - 1 . Use

Q = 25.0 plg3.

C o n la e c u a c ió n ( 9 - 1 ) :

VQ _ ( 1 2 0 0 lb ) (2 5 .0 p lg 3)

T l t ( 1 6 6 .7 Plg4)(2-0 p lg )9 0 .0 lb /p lg :

E j e m p l o C a lc u le e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n lo s e j e s a - a y b - b d e u n a v ig a T c o m o s e m u e s t r a en la

9- 5 f ig u ra 9 - 8 . E l e je a - a e s t á e n e l e x t r e m o s u p e r io r d e l a lm a v e r t ic a l , j u s to a b a j o d e l patín.

E l e j e b - b e s t á e n la c a r a in fe r io r d e l p a t ín . L a f u e r z a c o r t a n t e , V, e n la s e c c i ó n d e in terés

e s d e 1 2 0 0 Ib.


D a t o s

A n á l i s i s

R e s u l t a d o s

C a lc u la r e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n lo s e j e s a - a y b -b .

El perfil y l a s d i m e n s i o n e s d a d a s e n la f ig u ra 9 - 8 . V = 1 2 0 0 Ib.

S e s i g u e n l a s in s tru c c io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s en vigas.

P a r a e l e j e a -a :

V = 1 2 0 0 Ib ( d a to ) .P a s o 1.

P a s o 2.

P a s o 3.

E s t e p e rfil T p a r t i c u l a r s e a n a l i z ó e n e l e j e m p lo 9 - 3 . Use

Y = 6 .8 6 p lg .

S e u t i l iz a rá n lo s m é t o d o s d e l c a p í tu lo 7 p a r a c a lc u la r /. Sea

e l a lm a la p a r t e 1 y e l p a t ín la p a r t e 2 . P a r a c a d a u n a d e las

p a r t e s , 1 = b h 3/ ' \ 2 y d = Y - y .

Parte / A d AcP I + A ( f

1 6 4 .0 0 1 2 .0 2 .8 6 9 8 .1 5 1 6 2 .1 5

2 5 .3 3 1 6 .0 2 .1 4 7 3 .2 7 7 8 .6 0

/ total = 2 4 0 .7 5 plg4

3 3 6 C a p ítu lo 9 ■ E s fu e rz o s c o rta n te s en vigas

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Paso 4. E s p e s o r = t = 1 .5 p lg e n e l e j e a - a e n e l a lm a .

Paso 5. N o r m a lm e n te s e c a lc u la r ía Q = Apy c o n e l m é t o d o m o s t r a

d o c o n a n te r io r id a d e n e s t e c a p í tu lo . P e r o e l v a lo r d e Q p a r a

la s e c c ió n d e la f ig u ra 9 - 8 s e c a lc u ló e n e l e je m p lo 9 - 3 . U s e

Q = 3 4 .2 p lg 3.

Paso 6. C o n la e c u a c ió n ( 9 - 1 ) :

It (2 4 0 .7 5 plg )(1 *5 p lg )

P a r a e l e j e b-b. A lg u n o s d e lo s d a t o s s e r á n lo s m i s m o s q u e p a r a e l e je

a - a .

Paso 1. V= 1 2 0 0 Ib (d a to ) .

P aso 2. D e n u e v o , u s e Y = 6 . 8 6 p lg .

Paso 3. / = 2 4 0 .7 5 p lg 4.

Paso 4. E s p e s o r = t = 8 .0 p lg e n e l e j e b-b e n e l p a t ín .

Paso 5. D e n u e v o , u s e Q = 3 4 .2 p lg 3. El v a lo r e s e l m is m o q u e e n el

e j e a - a p o r q u e t a n to Ap c o m o y s o n lo s m is m o s .

Paso 6. C o n la e c u a c ió n ( 9 - 1 ):

t b V Q = ( 1 2 0 0 lb ) (3 4 .2 p lg 3) = ^

It (2 4 0 .7 5 Plg ) (8 .0 p lg )

C o m e n ta r io O b s e r v e la e x t r a o r d in a r ia r e d u c c ió n d e l v a lo r d e l e s f u e r z o c o r t a n t e

c u a n d o s e t r a s l a d a d e l a lm a a l p a t ín .

9 - 5 D IS T R IB U C IÓ N D E L E S F U E R Z O C O R T A N T E E N V IG A S

La m ayoría de las aplicaciones requieren que se determ ine el esfuerzo cortante m áxim o para evaluar la aceptabilidad del esfuerzo con respecto a algunos criterios de diseño. En la m ayoría de las secciones usadas para vigas, el esfuerzo cortante m áxim o ocurre en el eje neutro, coincidente con el eje centroidal, con respecto al cual ocurre la flexión. Se puede usar la regla siguiente para decidir cuándo aplicar esta observación.

Siem pre que el espesor en el eje centroidal no sea m ayor que en algún o tro eje, el esfuerzo cortante máxim o en la sección transversal de una viga ocurre en el eje centroidal.

D e este m odo el cálculo del esfuerzo cortante únicam ente en el eje centroidal daría el esfuerzo cortante m áxim o en la sección, lo que hace que los cálculos en otros ejes sean innecesarios.

L a lógica detrás de esta regla se puede visualizar exam inando la ecuación (9 -1 ), la fórm ula general de cortante. Para calcular el esfuerzo cortante en cualquier eje, los valo

res de la fuerza cortante V y el m om ento de inercia / s o n los m ism os. Com o el espesor, t, está en el denom inador, el espesor mínimo tendería a producir el esfuerzo cortante máxi-

> e c c ió n 9 -5 ■ D is tribu c ión de l e s fu e rz o c o rta n te en v ig a s 3 3 7

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(a) ( i ) (c)

F IG U R A 9 - 9 S ecciones transversa les de v iga en las que el e sfu erzo co rtan te m áx im o no p u ede o cu rrir e eje cen tro idal c-c .

mo, tal com o se sobreentiende en el enunciado de la regla. Pero el valor del momento estático Q también varía en diferentes ejes y dism inuye a m edida que el eje de interés se recorre hacia afuera de la sección. Recuérdese que Q es el producto del área parcial A„ y la d istanc ia^ al centroide de Ap. En el caso de ejes alejados del eje centroidal, el área dism inuye más rápido de lo que se increm enta, lo que provoca que el valor de Q disminuya. Por tanto, el valor máxim o de Q será el que corresponde al esfuerzo calculado en el eje centroidal. Se desprende que el esfuerzo cortante máximo siempre ocurrirá en el eje centroidal, a menos que el espesor en algún otro eje sea menor que aquél en el eje centroidal.

Los perfiles mostrados en las figuras 9 -6 , 9 -7 y 9 -8 son ejem plos que acatan la regla de que el esfuerzo cortante máxim o ocurre en el eje neutro porque el espesor mínim o de cada uno de ellos ocurre en el eje neutro. La figura 9 -9 m uestra tres ejemplos, donde la regla no se aplica. En ellos, en algunos ejes alejados del eje neutro, el espesores m enor que aquél en el eje neutro. En esos casos, el esfuerzo cortante máxim o puede ocurrir en algún otro eje. El ejem plo siguiente ilustra esta observación con el análisis de una sección triangular.

Las secciones circulares sólidas y huecas son ejem plos im portantes de dónde ocurre, en efecto, el esfuerzo cortante m áxim o en el eje neutro, aun cuando el espesor disminuya en otros ejes. Se puede dem ostrar que la relación Q/t dism inuye de m anera continua en ejes distantes del eje neutro en el diámetro.

Los ejemplos siguientes ilustran la distribución del esfuerzo cortante en vigas de distintos perfiles. N ótense los com entarios al final de cada ejem plo por lo que se refiere a algunas conclusiones generales.

E je m p lo C a lc u le la distribución del es fuerzo cortante con respecto a la posición en la sección

9 - 6 transversal d e la v iga d e perfil rectangu lar m ostrada en la figura 9 - 6 . Las dimensiones

rea les son 2 .0 plg por 10 .0 plg. G rafique los resu ltados. La fu erza cortante , V, en la

sección de in terés es de 1 2 0 0 Ib.


D a to s

C a lcu la r el es fu e rzo cortante en varios e jes y graficar r contra la posición.

El perfil y las d im ensiones en la figura 9 - 6 . V = 1 2 0 0 Ib.

3 3 8

A n á lis is S e s iguen las in s tru cc io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s en vigas.

C o m o el perfil es s im é trico con re s p e c to a l e je ce n tro id a l, s e decide

calcu lar los esfuerzos cortantes en la parte sup erior en los e jes a -a , b-b,

c - c y d - d , com o se m uestra en la figura 9 - 1 0 . P or tan to, los valores de

C a p ítu lo 9 ■ E s fu e rz o s c o rtan te s en vigas

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P a s o 6.

e l v a lo r d e Q p a r a e s t a s e c c ió n e n e l e j e c e n t r o id a l s e c a lc u

ló e n e l e je m p lo 9 - 1 , d o n d e s e d e te r m in ó Q = 2 5 .0 p lg 3. En

la t a b la d e s p u é s d e l p a s o 6 s e r e s u m e u n c á lc u lo sim ilar,

c o n lo s d a t o s d e la f ig u ra 9 - 1 0 .

C o n la e c u a c ió n ( 9 - 1 ) , s e c a l c u l a e l e s f u e r z o c o r t a n t e en

e l e j e n e u t r o a - a . E l c á l c u lo s e r í a ig u a l e n lo s d e m á s e je s

y ú n i c a m e n t e c a m b i a r í a e l v a lo r d e Q . V é a s e la t a b la s i

g u i e n t e .

VQ _ ( 1 2 0 0 lb ) (2 5 .0 p lg 3)

l t ( 1 6 6 .7 p lg “)(2 .0 p lg )= 9 0 .0 lb /p lg 2

Eje V / t A . y Q = A „y II Q

a-a 1200 166 .7 2 .0 10 .0 2 .5 2 5 .0 9 0 .0 lb/plg2

b-b 1200 166 .7 2 .0 8 .0 3.0 2 4 .0 8 6 .4 lb/plg2

c-c 1200 166 .7 2 .0 4 .0 4 .0 5 7 .6 5 7 .6 lb/plg2

d-d 1200 166 .7 2 .0 0.0 5 .0 0 .0 0 .0 lb/plg2

E n la f ig u ra 9 - 1 1 s e m u e s tr a n lo s r e s u l ta d o s d e l e s fu e r z o cor

ta n te c o n tr a la p o s ic ió n a lo la rg o d e la s e c c ió n re c ta n g u la r .

d' - — d'

Trf = 0

E je neutro

57.6 lb/plg

Tb = 86 .4 lb /p lg

r0 = 90 .0 lb /p lg2 = ^

Eje r

F IG U R A 9 - 1 1 D istribución del esfuerzo cortan te en la sección rec tangu lar del e jem plo 9 -6 .

C o m e n ta r io s O b s e r v e q u e e l e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o o c u r r e e n e l e j e n e u tro , tal y

c o m o s e e s p e r a b a . L a v a r i a c i ó n d e l e s f u e r z o c o r t a n t e c o n la p osi

c ió n e s p a r a b ó l i c a y t e r m in a c o n u n e s f u e r z o d e c e r o e n l a s su p e rfic ie s

s u p e r io r e in fe rio r.

E je m p lo P a r a la s e c c ió n t r a n s v e r s a l t r ia n g u la r d e v ig a m o s t r a d a e n la f ig u ra 9 - 1 2 , c a lc u le el

9- 7 e s f u e r z o c o r t a n t e q u e o c u r r e e n lo s e j e s a a g, s e p a r a d o s 5 0 m m e n t r e s í . G ra f iq u e la

v a r ia c ió n d e l e s f u e r z o c o n la p o s ic ió n e n la s e c c ió n . L a f u e r z a c o r t a n t e e s d e 5 0 kN.


D a to s

3 4 0

C a lc u la r e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n s i e t e e j e s y g r a f i c a r r c o n t r a la posición.

L a s e c c ió n t r a n s v e r s a l y la s d im e n s io n e s d a d a s e n la f ig u ra 9 - 1 2 . y = 5 0 k N .

C a p ítu lo 9 ■ E s fu e rz os c o rtan te s en vigas

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F IG U R A 9 - 1 2 Sección transversa! triangu lar d e una v iga en la que e l e sfuerzo co rtan te m áx im o no

ocurre en el eje centro idal.

A n á l i s i s S e s ig u e n l a s in s tru cc io n e s p a ra c a lc u la r e s fu e rz o s c o rta n te s en vigas.

R e s u l t a d o s E n la fó rm u la g e n e r a l d e c o r ta n te , lo s v a lo r e s d e V e l s e r á n lo s m is m o s

e n t o d o s lo s c á lc u lo s . V e s d e 5 0 kN y:

, bh3 (3 0 0 ) (3 0 0 )3 „ „ ./ = ---- = 1----- ------ - = 225 x 106 mm4

3 6 3 6

L a ta b la 9 - 1 m u e s t r a lo s c á lc u lo s r e s t a n t e s . O b v ia m e n te , e l v a lo r d e Q

c o r r e s p o n d ie n t e a lo s e j e s a - a y g - g e s c e r o p o r q u e e l á r e a h a c i a a f u e r a

d e c a d a e j e e s c e r o . O b s e r v e q u e p o r e l p e rfil ú n ic o d e l tr iá n g u lo d a d o , e l

e s p e s o r te n c u a lq u ie r e j e e s ig u a l a la a l tu r a d e l t r iá n g u lo s o b r e e l e je .

T A B L A 9 -1

E je

Ap

(m m 2)y

(m m )Q = A ,y

(m m 3)

1

(m m )

T

(M Pa)

a-a 0 100 0 300 0

b-b 13 750 75.8 1.042 X 106 250 0.92

c-c 20 0 0 0 66.7 1.333 X 106 200 1.48

d-d 11250 100.0 1.125 X 106 150 1.67

e-e 5 0 0 0 133.3 0.667 X 106 100 1.48

f - f 1250 166.7 0 .208 X 10" 50 0.92

8-8 0 200 0 0 0

L a f ig u ra 9 - 1 3 in c lu y e u n a g rá f ic a d e e s t o s e s f u e r z o s . E l e s f u e r z o

c o r t a n t e m á x im o o c u r r e a la m i ta d d e la a l t u r a d é l a s e c c ió n , y e l e s f u e r

z o e n e l c e n t r o id e (a h l3 ) e s m e n o r . E s to i lu s tra e l e n u n c i a d o g e n e r a l c o n

r e s p e c to a q u e e n s e c c i o n e s c u y o e s p e s o r m ín im o n o o c u r r e e n e l e je

D is tribu c ión de l es fu e rz o c o rtan te en v ig as 3 4 1

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varía con la posición en la sección transversal. D e acuerdo con la fórm ula de flexión, < esfuerzo flexionante en cualquier posición y con respecto al eje neutro es:

My

Por tanto la fuerza total que actúa en el área som breada de la cara izquierda del segment de la viga es:

„ í [ n M , yF i = a d A = —— dA

Ja Jy„ I(9-7;

donde dA es un área pequeña dentro del área sombreada. Los valores de M, e / son cons tantes y se pueden sacar del signo de integración. La ecuación (9 -7 ) entonces, queda:

y dA (9-8¡

La última parte de la ecuación (9 -8) corresponde a la definición del centroide de área sombreada. Es decir:

ydA = yAp (9-9)

donde Ap es el área dentro de la parte som breada de la cara izquierda del segm ento y y es la distancia del eje neutro al centroide de Ap. Este producto d e j ^ , se llam a momento estático Q en la fórmula general de cortante. Al sustituir en la ecuación (9 -8 ) se obtiene:

M> f” M'Q= T L = T y p = ~T~ (9-10)

Se puede usar un razonamiento sim ilar para desarrollar la expresión de la fuerza F2 que actúa en la cara derecha del segmento:

F2 =M2Q

(9-11)

Para com pletar el desarrollo de la expresión de la fuerza cortante se sustituyen F, y F 2 en la ecuación (9-6):

„ „ „ M-iQ M ,Q QFs = F2 - F, = - ^ - - p = y ( M 2 - M ,) (9-12)

Y a se había definido = dM. Por tanto:

Q{dM)

1(9-13)

C a p ítu lo 9 ■ E s fu e rz os c o rta n te s en vigas

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L u e g o , e n l a e c u a c ió n ( 9 - 5 ) :

TFs Q(dM)

t(dx) It(dx)

Pero, según la ecuación (9 -4 ), V=dM/dx. Por consiguiente:

É sta es la form a de la fórmula general de cortante [ecuación (9- 1)] u tilizada en este capítulo.

Tal com o se dem ostró en varios ejem plos, se puede usar la fórm ula general de cortante para calcular el esfuerzo cortante en cualquier eje de cualquier sección transversal de una viga. Sin em bargo, con frecuencia se desea conocer sólo el esfuerzo cortante máximo. Para m uchos perfiles com unes usados com o vigas, es posible desarrollar fórm ulas sim plificadas especiales quedarán el esfuerzo cortante con rapidez. El rectángulo, el círculo, el tubo hueco de pared delgada se pueden analizar de esta m anera. En esta sección se desarrollan las fórmulas.

En todas estas secciones, el esfuerzo cortante m áxim o ocurre en el eje neutro. El rectángulo y los perfiles de alma esbelta se ajustan a la regla enunciada en la sección 9-5 porque el espesor en el eje neutro no es m ayor que en otros ejes en la sección. El círculo y el tubo de pared delgada no se ajustan a la regla. Sin em bargo, se puede dem ostrar que la relación Q/t en la fórm ula general de cortante dism inuye de m anera continua a m edida que el eje de interés se aleja del eje neutro, lo que produce la dism inución del esfuerzo cortante.

P e r f i l r e c ta n g u la r . La figura 9 -1 7 m uestra una sección transversal típica de espesor t y altura h. Los tres térm inos geom étricos en la fórm ula general de cortante se pueden expresar en térm inos de t y h.

_ th3

~~ ~ñ

t = t

Q = Apy (para el área sobre el eje centroidal)

_ th h _ th2

~ J ' J ~ T

Al poner estos térm inos en la fórm ula general de cortante se obtiene:

9 - 7 F Ó R M U L A S D E L C O R T A N T E E S P E C IA L E S

— 11 J . _ L v 8 ' th3' t ~ ~2~th

Secc ión 9 - 7 ■ F ó rm u la s de l co rta n te e s p e c ia le s 3 4 7

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El espesor del alm a es t. El procedim iento m ás sim ple sería considerar a h com o la altura total de la viga. Esto produciría un esfuerzo cortante casi 15% m enor que el esfuerzo cortante m áxim o real en el eje centroidal de perfiles de v iga representativos. Con sólo la

altura del alm a entre los patines se tendría una m ejor aproxim ación del esfuerzo cortante m áxim o, probablem ente m enos del 10% m ás bajo que el valor real. En problem as que usan la fórm ula de cortante en almas, se usa toda la altura de la sección transversal a

m enos que se indique lo contrario.En suma, para perfiles de alm a esbelta, calcule el esfuerzo cortante con la fórm ula

de cortante en alm as utilizando toda la altura de la v iga com o h y el espesor real del alma com o t. Así pues, para obtener una estim ación más precisa del esfuerzo cortante m áxim o,

increm ente este valor en casi un 15%.

E jem plo C o n la fó rm u la d e c o r ta n te e n a lm a s , c a lc u le e l e s f u e r z o c o r t a n t e e n u n a v ig a W 1 2 x 16

9 - 11 c u a n d o s e s o m e te a u n a f u e r z a c o r t a n t e d e 2 5 0 0 0 Ib.

S oluc ión E n e l a p é n d i c e A - 7 p a r a v ig a s W s e e n c o n t r ó q u e e l e s p e s o r d e l a lm a e s d e 0 .2 2 0 p lg y

q u e e l p e r a l t e to ta l ( a l tu ra ) d e la v ig a e s d e 1 1 .9 9 p lg . P o r c o n s ig u ie n te , c o n la e c u a c ió n

( 9 - 1 7 ) s e o b t ie n e :

2 5 0 0 0 Ib)

(0 .2 2 0 p lg ) (1 1 .9 9 p lg )

9 - 8 E S F U E R Z O C O R T A N T E D E D IS E Ñ O

El esfuerzo cortante de diseño depende en gran m edida del m aterial del cual se va a hacer la viga y de la form a del m iem bro sometido al esfuerzo cortante. En este libro se presenta una cantidad lim itada de datos y el lector haría bien en consultar referencias m ás com ple

tas, como las referencias 1,2 y 3.Para vigas de madera, en el apéndice A - l 8 se dan valores de esfuerzo cortante

horizontal perm isible. O bsérvese que los valores son algo bajos, en general de m enos de 100 lb/plg2 (0.69 M Pa). Con frecuencia, la falla por cortante es el factor lim itante para

vigas de m adera.Para esfuerzo cortante en las alm as de perfiles de acero lam inado, el AISC en gene

ral recom ienda:

t = 0 .4 0 Sv (9-18)

Sin em bargo, existen planteam ientos extensos en la referencia 1 sobre casos especiales de vigas cortas, de vigas con almas inusualm ente altas y esbeltas y de vigas con rigidiza- dores aplicados en la dirección vertical u horizontal. Se recom ienda una consideración esm erada de estos factores.

L a A lum inum A ssociation tam bién proporciona datos extensos por lo que se refie

re a varias condiciones de carga y de geom etría de vigas. Por ejem plo, la referencia 2 da valores reales de esfuerzo cortante perm isible de las aleaciones de alum inio m ás conocidas para varias aplicaciones. No es práctico que se resum an tales datos en este libro.

Com o recom endación general, se usará el m ism o esfuerzo cortante de diseño para

m etales dúctiles som etidos a cargas estáticas del capítulo 3, tab la 3 -4 . Es decir, se sugiere

S ecc ión 9 - 8 ■ E s fu e rz o c o r ta n te de d is e ñ o 351

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un factor de diseño de N = 2 basado en la resistencia a la cedencia del m aterial, svs, sometido a cortante. Y una aproxim ación del valor de sys es la m itad de la resistencia a la cedencia a tensión, st. En suma:

s „ 0.55v

NS y

2Ñ(9-19)

Con N=2:

t j = — = 0 . 2 5 i v 4

F L U J O D E C O R T A N T E

Las secciones armadas usadas com o vigas, com o las m ostradas en la figuras 9 -2 0 y 9-21, se deben analizar para determ inar el tamaño y la separación adecuados de los sujetadores. El planteam iento en las secciones precedentes dem ostraron que existen fuerzas cortantes horizontales en los planos unidos por los clavos, pernos y rem aches. Por tanto, los sujetadores se someten a cortante. Por lo general, el tam año y el material del sujetador permiten especificar una fuerza cortante perm isible en cada uno de ellos. Luego, se debe analizar la viga para determ inar la separación adecuada de los sujetadores que garantice que todas las partes de la viga actuarán com o una sola.

El térm ino flu jo de cortante es útil para analizar secciones armadas. Llamado q, el flujo de cortante se determ ina multiplicando el esfuerzo cortante que actúa en una sección por el espesor en dicha sección. Esto es:

q = t í (9-20)

F IG U R A 9 -2 0 Perfil de v ig a del e jem plo 9 -1 2 .

C a p ítu lo 9 ■ E s fu e rz os c o rta n te s en vigas

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R e s u l t a d o s L a f u e r z a c o r ta n te m á x im a e n la v ig a e s d e 5 0 0 Ib y s e p r e s e n t a e n t r e lo s

a p o y o s y l a s c a r g a s a p l i c a d a s .

P a s o 1. El m o m e n to d e in e rc ia s e p u e d e c a l c u l a r r e s t a n d o lo s d o s

r e c t á n g u lo s d e e s p a c i o a b i e r to a lo s l a d o s d e l a lm a d e l r e c

t á n g u lo c o m p le to q u e r o d e a e l p e rfil I.

7 .2 5 ( 1 0 .2 5 ) 3 2 ( 2 .8 7 5 ) ( 7 .2 5 ) ‘

12 124 6 8 .0 p lg 4

P a s o 2. E n e l l u g a r d o n d e lo s c l a v o s u n e n l a s t a b l a s , Q s e e v a lú a

p a r a e l á r e a d e l p a t ín s u p e r io r (o in fe rio r) .

Q = A py = ( 1 .5 p lg ) (7 .2 5 p lg ) (4 .3 7 5 p lg ) = 4 7 .6 p lg :

P a s o 3. E n to n c e s , e l flu jo d e c o r t a n t e e s :

P a s o 4.

Q =VQ (5 0 0 lb ) (4 7 .6 p lg 3)

d 5 0 .9 Ib /p lg/ 4 6 8 pig

E s to s ig n if ic a q u e l a s 5 0 .9 Ib d e f u e r z a d e b e n s e r r e s i s t id a s

a lo l a rg o d e c a d a p lg d e lo n g i tu d d e la v ig a e n e l p u n to e n t r e

e l p a t ín y e l a lm a .

C a d a c la v o e s c a p a z d e s o p o r t a r 2 5 0 Ib, y la s e p a r a c i ó n

m á x im a e s :

P a s o 5.

2 5 0 Ib= 4 .9 2 plg

q 5 0 .9 Ib /plg

U n a s e p a r a c i ó n d e 4 .5 p lg s e r í a r a z o n a b le .

El principio del flujo de cortante tam bién se aplica a secciones com o las m ostradas

en la figura 9 -2 1 , donde una sección de viga se fabrica rem achando barras cuadradas a una placa vertical para form ar un perfil I. El flujo de cortante parte del alm a hacia los patines. Por tanto, cuando se evalúa el m om ento estático 0 , se considera que el área

parcial A p es el área de una de las barras patín.

E je m p l o U n a v ig a s e f a b r ic a r e m a c h a n d o b a r r a s c u a d r a d a s d e a lu m in io a u n a p l a c a v e r t ic a l ,

9 - 13 c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 9 - 2 1 . L a s b a r r a s s o n d e 2 0 m m p o r l a d o . L a p l a c a e s d e

6 m m d e e s p e s o r y d e 2 0 0 m m d e a l tu r a . L o s r e m a c h e s p u e d e n s o p o r t a r 8 0 0 N d e f u e r z a

c o r t a n t e d e u n l a d o a o tro d e la s e c c ió n . D e te r m in e la s e p a r a c i ó n r e q u e r id a d e lo s r e m a

c h e s c u a n d o s e a p l ic a u n a f u e r z a c o r t a n t e d e 5 kN .


D a t o s

Secc ión 9 - 9 ■ F lu jo de c o rtan te

E s p e c i f i c a r u n a s e p a r a c i ó n a d e c u a d a d e lo s r e m a c h e s .

F u e r z a c o r ta n te = 5 k N , Fsd= 8 0 0 N / r e m a c h e . El p e rfil y l a s d im e n s io n e s

q u e a p a r e c e n e n la f ig u ra 9 - 2 1 .

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9-5.M Use un perfil circular de 50 mm de diámetro. V= 4500 N.

9-6.M Use un perfil circular de 38 mm de diámetro. V= 2500 N.

9-7.1 Use un perfil circular de 2.0 plg de diámetro. V= 7500 Ib.

9- 8.1 Use un perfil circular de 0.63 plg de diámetro. V= 8501b.

9-9.1 Use el perfil mostrado en la figura P7-16. V - 1500 Ib.

9-10.1 Use el perfil mostrado en la figura P7-2. V - 8501b.

9-11.1 Use el perfil mostrado en la figura P 7-3 . V = 8501b.

9-12.M Use el perfil mostrado en la figura P 7 - 4. V =112 kN.

9-13.M Use el perfil mostrado en la figura P7-17. V = 71.2 kN.

9-14.M Use el perfil mostrado en la figura P7-18. V = 1780 N.

9-15.M Use el perfil mostrado en la figura P7-5. V = 675 N.

9-16.M Use el perfil mostrado en la figura P 7-6 . V =2.5 kN.

9-17.M Use el perfil mostrado en la figura P7-8 . V =10.5 KN.

9-18.1 Use el perfil mostrado en la figura P7-14. V = 1200 Ib.

9—19.1 Use el perfil mostrado en la figura P7-15. V = 7751b.

9-20.1 Use el perfil mostrado en la figura P7-33. V = 2500 Ib.

En los problemas del 9-21 al 9-30, suponga que el perfil indicado es la sección transversal de una viga de madera que tiene un esfuerzo cortante permisible de 70 lb/plg2, la cual es de pino del sur grado núm. 2 enumerada en el apéndice A -l 8. Calcule la fuerza cortante máxima permisible para cada perfil. Use la fórmula general de cortante.

9-21.1 Use una viga de madera estándar de 2 x 4 con la dimensión larga en posición vertical.

9-22.1 Use una viga de madera estándar de 2 x 4 con la dimensión larga en posición horizontal.


P rob lem as




9-27.1 Use el perfil mostrado en la figura P7-21.




9-31.1 Para una viga que tiene el perfil I mostrado en la figura P7-2, calcule el esfuerzo cortante en ejes horizontales separados 0.50 plg entre sí entre el extremo inferior y el extremo superior. En los extremos del alma donde se une a los patines, calcule el esfuerzo tanto en el alma como en el patín. Use una fuerza cortante de 500 Ib. Luego grafique los resultados.

9-32.1 Para una viga que tiene la sección transversal tubular mostrada en la figura P7-3, calcule el esfuerzo cortante en ejes horizontales separados 0.50 plg entre sí entre el extremo inferior y el extremo superior. En los extremos de los lados verticales donde se unen a los patines, calcule el esfuerzo tanto en el alma como en el patín. Use una fuerza cortante de 500 Ib. Luego grafique los resultados.

9-33.1 Para una viga de acero estándar W 14 x 43, calcule el esfuerzo cortante en el eje neutro cuando se somete a una fuerza cortante de 33 500 Ib. Use la fórmula general de cortante. Ignore los redondeos en la intersección del alma con los patines.

9-34.1 Con las mismas condiciones del problema 9-33, calcule el esfuerzo cortante en varios ejes y grafique la variación del esfuerzo con la posición en la viga.

9-35.1 Para una viga de acero estándar W 14 x 43, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma cuando soporta una fuerza cortante de 33 500 Ib. Compare este valor con el que se calculó en el problema 9-33 y trácelo en la gráfica del problema 9-34.

9-36.1 Para una viga Aluminum Association Standard 18 x 6.181, calcule el esfuerzo cortante en el eje neutro cuando se somete a una fuerza cortante de 13 500 Ib. Use la fórmula general de cortante. Ignore los redondeos en la intersección del alma con los patines.

9-37.1 Con las mismas condiciones del problema 9-36, calcule el esfuerzo cortante en varios ejes y grafi-

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que la variación del esfuerzo con la posición en la 9-43.1 viga.

9-38.1 Parauna viga de aluminio 18 6.181, calcule la fuerza cortante con la fórmula de cortante en alma cuando la viga soporta una fuerza cortante de13 500 Ib. Compare este valor con el que se calculó en el problema 9-36 y trácelo en la gráfica del problema 9-37.

Nota: En los problemas que piden esfuerzos de diseño, use lo siguiente: 9- 44.1

Para acero estructural:

A flexión:

Acortante: = 0.4s..

Especifique un tubo de acero estándar adecuado del apéndice A -l 2 que vaya a ser fabricado de acero A ISI1020 laminado en caliente que deba soportar la carga mostrada en la figura P6-51, basada en el esfuerzo de diseño a flexión con un factor de diseño de 3. A continuación, para el tubo seleccionado, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante especial para tubos huecos y calcule el factor de diseño resultante con la fórmula de esfuerzo cortante de diseño.

Se va a especificar un canal Aluminum Associa- tion estándar (apéndice A -l 0) que soporte la carga mostrada en la figura P6-9 con un factor de diseño de 4 a flexión. Las patas del canal deben apuntar hacia abajo. El canal esde aluminio 6061-T6. Para el canal seleccionado, calcule el esfuerzo cortante

Para cualquier otro metal:

s .A flexión: = —

d N

A cortante:

Para madera:

0.5 :N

Use los esfuerzos permisibles del apéndice A -l 8.

9-39.1 Una viga de acero W10 x 15debesoportarlacarga mostrada en la figura P6-4. Calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma. Además, calcule el esfuerzo flexionante máximo. Luego compare los esfuerzos con los esfuerzos de diseño para acero estructural ASTM A36.

9-40.1 Especifique una viga de patín ancho adecuada de acero estructural ASTM A36 que soportará la carga mostrada en la figura P6—4 basada en el esfuerzo de diseño a flexión. En seguida, para la viga seleccionada, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en el alma y compárelo con el esfuerzo cortante de diseño.

9—41.1 Especifique una viga de patín ancho adecuada de acero estructural ASTM A36 que soportará la carga mostrada en la figura P6-52 basada en el esfuerzo de diseño a flexión. En seguida, para la viga seleccionada, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma y compárelo con el esfuerzo cortante de diseño.

9-42.C Especifique una viga de patín ancho adecuada de acero estructural ASTM A36 que soportará la carga mostrada en la figura P6-54 basadaen el esfuerzo de diseño a flexión. En seguida, para la viga seleccionada, calcule el esfuerzo cortante con la fórmula de cortante en alma y compárelo con el esfuerzo cortante de diseño.

9-45.1 Una vigueta de madera en el piso de un edificio tiene que soportar una carga uniformemente distribuida de 200 lb/pie a lo largo de 12 pies. Especifique un perfil de madera estándar de abeto grado núm. 2 para la vigueta, para que sea segura tanto a flexión como a cortante (véanse los apéndices A-4 y A-18).

9-46.C Una viga de madera de una estructura para exteriores debe soportar la carga mostrada en la figura P6-53. Si se tiene que hacer de abeto Douglas grado núm. 3, especifique una viga de madera que sea segura, tanto a flexión como a cortante (véanse los apéndices A-4 y A -l 8).

9-47.1 La viga tubular mostrada en la figura P7-22 debe ser de pino del sur grado núm. 1. Debe ser de 14 pies de longitud y soportar dos cargas concentradas iguales cada una a 3 pies de los extremos. La viga está simplemente apoyada en sus extremos. Especifique la carga máxima permisible para que la viga sea segura tanto a flexión como a cortante.

9-48.C Una viga I de aluminio, 19x8.361, soporta la carga mostrada en la figura P6- 8. Calcule el esfuerzo cortante en la viga con la fórmula de cortante en alma.

9^49.C Calcule el esfuerzo flexionante para la viga del problema 9-48.

9-50.1 Una viga de piso de madera de 2 x 8 en una casa está simplemente apoyada. Mide 12 piesde largoy soporta una carga uniformemente distribuida de 80 lb/pie. Calcule el esfuerzo cortante en la vigueta. ¿Sería segura si fuera de madera de pino del sur grado núm. 2?

9-51.1 Se fabrica una viga de acero con sección rectangular, de 0.50 plg de ancho por 4.00 plg de altura.

(a) Calcule el esfuerzo cortante en la viga si debe soportar la carga mostrada en la figura P6-10.

(b) Calcule el esfuerzo causado por flexión.

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(c) Especifique un acero adecuado para la viga con un factor de diseño de 3, ya sea a flexión o a cortante.

9-52.M Se fabrica una viga de aluminio con sección rectangular, de 16 mmpor 60 por mm de altura.

(a ) Calcule el esfuerzo cortante en la viga si soporta la carga mostrada en la figura P6- 6.

(b ) Calcule el esfuerzo causado por flexión.

(c) Especifique un aluminio adecuado para la viga con un factor de diseño de 3 ya sea a flexión o a cortante.

9-53.M Se piensa usar una barra rectangular para soportar la carga mostrada en la figura P6-47. Su espesor debe ser de 12 mm y estar hecha de aluminio 6061- T6. Determine la altura requerida del rectángulo para producir un factor de diseño de 4 a flexión basado en la resistencia a la cedencia. En seguida, calcule el esfuerzo cortante en la barra y el factor de diseño resultante a cortante.

9-54.M Una flecha circular, de 40 mm de diámetro, soporta la carga mostrada en la figura P6- 48.

(a ) Calcule el esfuerzo cortante máximo en la flecha.

(b ) Calcule el esfuerzo máximo originado por flexión.

(c) Especifique un acero adecuado para la flecha de manera que se produzca un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia, ya sea a flexión o a cortante.

9-55.M Calcule el diámetro requerido de unabarracircular para soportar la carga mostrada en la figura P6-47 al mismo tiempo que se limita el esfuerzo causado por flexión a 120 MPa. A continuación, calcule el esfuerzo cortante resultante en la barra y compárelo con el esfuerzo flexionante.

9-56.1 Calcule la fuerza cortante vertical máxima permisible en una clavija de alineación de madera de 1.50 plg de diámetro, si el esfuerzo cortante máximo permisible es de 70 lb/plg2.

9-57.1 Se debe seleccionar un tubo de acero estándar del apéndice A-12 que se usará como barra fija en un gimnasio. Va a estar simplemente apoyada en los extremos de longitud de 36 plg. Se espera que hombres hasta de 400 Ib de peso se cuelguen de ella con una o dos manos en cualquier lugar a lo largo de ella. El tubo tiene que ser de acero A1SI 1020 laminado en caliente. Especifique un tubo adecuado para producir un factor de diseño de 6 basado en la resistencia a la cedencia, ya sea a flexión o a cortante.

9-58.1 Un tubo de acero estándar debe estar simplemente apoyado en sus extremos y soportar una sola carga concentrada de 2800 Ib en su centro. El tubo debe

P rob lem as

ser de acero AISI 1020 laminado en caliente. El factor de diseño mínimo tiene que ser de 4 basado en la resistencia a la cedencia, ya sea a flexión o a cortante. Especifique un tamaño adecuado para el tubo del apéndice A-12 si su longitud es:

(a ) 1.5 plg

(b ) 3.0 plg

(c) 4.5 plg

(d ) 6.0 plg

P ro b le m a s d e flu jo d e c o rta n te

9-59.1 El perfil mostrado en la figura P7-14 se tiene que formar pegando la placa plana a la sección acopada. Si la viga hecha con este perfil se somete a una fuerza cortante de 1200 Ib, calcule el flujo de cortante en la unión. ¿Cuál debe ser la resistencia al cortante del adhesivo en lb/plg2?

9-60.1 El perfil que aparece en la figura P7-26 se hizo para utilizarse en metal unido con adhesivo entre la viga S y el alma del canal. Calcule el flujo del cortante en la unión y la resistencia al cortante que se requiere del adhesivo para una fuerza cortante de 25001b.

9-61.1 El perfil mostrado en la figura P7-33 se fabrica remachando la placa inferior a los ángulos y luego soldando la placa superior a los ángulos. Cuando se usa como viga, existen cuatro modos potenciales de falla: esfuerzo flexionante, esfuerzo cortante en los ángulos, cortante en las soldaduras y en los remaches. El perfil se tiene que usar como el asiento de una banca que soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo de un claro de 10.0 pies. Calcule la carga distribuida máxima permisible para los siguientes limites de diseño.

(a ) El material de todos los componentes es aluminio 6061-T4 y se requiere un factor de diseño de 4 ya sea a flexión o a cortante.

(b) El flujo de cortante permisible en cada soldadura es de 1800 lb/plg.

(c) Los remaches se colocan a 4 plg uno de otro a lo largo de la viga. Cada remache es capaz de soportar 600 Ib de cortante.

9-62.1 Un diseño alterno de la banca descrita en el problema 9-61 debe usar el perfil T armado mostrado en la figura P7-24. La madera tiene que ser de pino del sur grado núm. 3. Se tiene que hincar un clavo en cada una de la tablas verticales de 2 x 12. Cada clavo puede soportar 160 Ib a cortante y los clavos están separados 6.0 plg entre si a lo largo de la viga. Calcule la carga distribuida máxima permisible sobre la viga.

9-63.1 El perfil mostrado en la figura P 7-21 se forma pegando sus componentes entre si y la resistencia al

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cortante permisible del pegamento es de 800 lb/plg2. Los componentes son de abeto Douglas grado núm. 2. Si la viga está simplemente apoyada y soporta una sola carga concentrada en su centro, calcule la carga máxima permisible. La longitud es de 10 pies.

9-64.1 La sección I mostrada en la figura P7-21 consta de tres tablas de madera clavadas a los patines superior e inferior. Cada clavo puede soportar 180 Ib de fuerza cortante. Si una viga que tiene esta sección soporta una fuerza cortante vertical de 300 Ib, ¿qué separación se requeriría entre los clavos?

9-65.1 La sección armada mostrada en la figura P7-22 se formó hincando un clavo en las tablas superior e infe- riorde 11/2 plg de espesor. Si cada clavo es capaz de soportar 150 Ib de fuerza cortante, determine la separación requerida de los clavos cuando la viga se somete a una fuerza cortante vertical de 600 Ib.

9-66.1 La plataforma cuya sección transversal se muestra en la figura P7-23 se armó con pegamento. ¿Qué tanta fuerza por unidad de longitud de la plataforma debe soportar el pegamento si trasmite una fuerza cortante vertical de 500 Ib?

9-67.C La sección mostrada en la figura P7-25 se arma pasando dos remaches de 3/8 plg a través de las placas superior e inferior de la viga. Cada remache soportará 2650 Ib de cortante. Determine la separación requerida de los remaches a lo largo de la viga si soporta una fuerza cortante de 175 kN.

9-68.1 Una viga fabricada cuya sección transversal es la mostrada en la figura P7-26 soporta una fuerza cortante de 50 kN. El canal se remacha a la viga S con dos remaches de 1/4 plg de diámetro y cada uno puede soportar 1750 Ib a cortante. Determine la separación requerida de los remaches.

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10

E l caso genera l de los e s fu e rzo s

co m b in a d os y el c írcu lo de M oh r

1 0 -1 O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O

En los capítulos precedentes de este libro la atención se centró en el cálculo de esfuerzos simples, aquellos casos en los que sólo un tipo de esfuerzo era de interés. Se estudiaron los esfuerzos directos provocados por tensión, compresión, apoyo y cortante; esfuerzo cortante torsional; esfuerzo provocado por flexión; y esfuerzos cortantes en vigas. También se presentaron muchos problemas prácticos en los que el cálculo del esfuerzo simple era el método de análisis apropiado.

Pero un gran número de problemas reales prácticos incluyen esfu erzo s com bin a

do s, situaciones en las que dos o más componentes diferentes de esfuerzo actúan en el mismo punto de un miembro estructural de carga. En este capítulo se desarrollan los procedimientos generales utilizados para combinar los esfuerzos de manera adecuada. En el capítulo 11 se desarrollan varios casos especiales prácticos que incluyen esfuerzos combinados.

Después de terminar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. Reconocer los casos de esfuerzos combinados.2. Representar la condición de esfuerzo en un elemento sometido a esfuerzo.3. Comprender el desarrollo de las ecuaciones de esfuerzos combinados, con las

que se puede calcular lo siguiente:a. Los esfuerzos principales máximo y mínimo.b. La orientación del elemento principal sometido a esfuerzo.c. El esfuerzo cortante máximo en un elemento.d. La orientación del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo.

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e. E! esfuerzo norm al que actúa jun to con el esfuerzo cortante m áxim o.

f. Los esfuerzos norm al y cortante que ocurren en el elem ento orientado en cualquier dirección.

4. C onstruir el círculo de M ohr para esfuerzo biaxial.

5. In terp reta rla inform ación d isponible en el círculo de M ohr sobre la condición de esfuerzo en un punto orientado en cualquier dirección.

6. U sar los datos del círculo de M ohr para d ibujar el elem ento som etido al esfuerzo principal y el elem ento som etido a esfuerzo cortante.

1 0 - 2 E L E M E N T O S O M E T ID O A E S F U E R Z O

En general, esfuerzo com binado se refiere a los casos en que dos o m ás tipos de esfuerzo actúan en un punto dado al m ism o tiem po. Los esfuerzos com ponentes pueden ser o normales (es decir, de tensión o com presión) o esfuerzos cortantes.

Cuando un m iem bro de carga se som ete a dos o m ás clases d iferentes de esfuerzos,

la prim era tarea es calcular el esfuerzo provocado p o rcad a com ponente. A continuación se tom a una decisión sobre qué punto del m iem bro soporta la combinación de esfuerzos más elevada y se com pleta el análisis del esfuerzo com binado en dicho punto. En algunos

casos especiales, se desea conocer la condición de esfuerzo dado sin cuidado de si es o no es el punto de esfuerzo m áxim o. E jem plos serían los puntos cerca de soldaduras en una

estructura fabricada, a lo largo de la veta de un m iem bro de m adera, o cerca del punto de conexión entre m iem bros.

Con el punto de interés identificado, se determ ina, de ser posible, la condición de

esfuerzo en dicho punto con las relaciones clásicas para el análisis de esfuerzo presenta

das en este libro. En ocasiones, por la com plejidad de la geom etría del m iem bro o el patrón de carga, no se puede realizar un análisis de esfuerzo confiable com pleto por

m edio de cálculos. En esos casos puede uti lizarse un análisis de esfuerzo experim ental en

el que m edidores de deform ación, m odelos fotoelásticos o revestim ientos sensibles a la

deform ación dan datos de m anera experim ental. A sim ism o, con la ayuda de técnicas de

análisis de esfuerzo por elem ento finito basadas en la com putadora, se puede determinar la condición de esfuerzo.

L uego de usar uno de es to s m étodos, se ten d rá la in fo rm ación requerida para co n s tru ir el elemento som etido a esfuerzo inicial, com o se m u estra en la figu ra 10- 1. Se supone que el elem ento es in fin itesim alm en te pequeño y que es tá a lineado con las

d ireccio n es conocidas en el m iem bro que se v a analizar. El e lem en to com pleto , como se m uestra , pod ría ten er un esfuerzo norm al (de tensión o co m p resió n ) actuando en

cada p ar de caras o rien tadas en d irecciones m utuam ente perp en d icu la res , generalm ente designadas com o ejes.v y y. Tal com o el nom bre esfuerzo norm al lo dice, estos

esfuerzos ac túan no rm ales (perpend icu la res) a la sca ra s . Y tal com o se ind ica, cresta a lineado con el eje.vy es un esfuerzo de tensión que tiende a ja la r al elem ento . Recuér

dese que los esfuerzos de tensión se consideran positivos. P o r tan to , av es de com presión , puesto que tiende a ap lastar al elem ento . Los esfu erzo s de com presión se co n sid eran negativos.

A dem ás, puede haber esfuerzos cortantes actuando a lo largo de las caras del ele

m ento com o si cada una estuviera siendo desprendida del m aterial adyacente. Recuérdese que cuando se analizaron los esfuerzos cortantes se vio que en cualquier elem ento en

equilibrio existen cuatro cortantes, de m agnitud igual. En dos caras opuestas cualesquie-

3 6 2 C a p itu ló lo ■ E l c a s o g e n e ra l d e lo s e s fu e rz o s c o m b in a d o s y e l c írc u lo d e Mohr

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Gy (de com presión , - )

D is tr ib uc ión de l es fu e rz o c rea da po r es fu e rz os bás icos 3 6 3

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(c) D istribución del esfu erzo in terno

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E C U A C IO N E S P A R A D E T E R M IN A R E S F U E R Z O S

E N C U A L Q U IE R D IR E C C IÓ N

El elemento sometido a esfuerzo inicial analizado en la sección 1 0 -4 estaba orientado en una dirección conveniente con respecto al m iembro que se estaba analizando. Los métodos de esta sección permiten calcular los esfuerzos en cualquier dirección y calcular los esfuerzos normales máximos y el esfuerzo cortante m áxim o de m anera directa.

L afigura 10-11 muestra un elemento con los ejes ortogonales u y v superpuestos en el elemento inicial, de tal modo que el eje u forma un ángulo <p con respecto al e jex dado. En general, habrá un esfuerzo normal au y un esfuerzo cortante T„vactuando en la superficie inclinada AC. El desarrollo que sigue producirá las ecuaciones para calcular esos

esfuerzos.Antes de seguir adelante, nótese que la figura 10-11 (a) m uestra sólo dos dimensio

nes de un elemento que en realidad es un cubo tridim ensional. La parte (b) de la figura m uestra el cubo completo con la dimensión h en cada lado.

(a)

(*>

FIGURA 1 0 -1 1 E lem en to som etido a esfuerzo in icial con

los ejes u y v incluidos, (a) E lem en to con una cara inclinada.

(b ) E lem ento trid im ensional que m uestra la cuña.

C a pítu lo 10 ■ El ca so g e ne ra l d e lo s e s fu e rzo s co m b in a d o s y e l c írc u lo de Mohr

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Tam bién se deben considerar los esfuerzos que actúan en la cara inclinada de la cuña:

<t J v

fuerza producida por — ----- 7r 1 eos <p

T „ yfuerza producida por t „v = —1- — •

eos cp

A hora, con el principio de equilibrio, se pueden sum ar las fuerzas en la dirección u. La ecuación resultante se puede resolver para au. El proceso se facilita descomponiendo todas las fuerzas en sus com ponentes perpendiculares y paralelas a la cara inclinada de la cuña. La figura 10-13 m uestra lo anterior para cada una de las fuerzas excepto para las producidas por a„ y r,„. las cuales ya están alineadas con los ejes u y v. Por tanto:

2 Fu — 0 = —— r — <x,/¡2 eos 4> - a-vhz tan </> sen 4> + r xvh2 sen <¿> eos <p

+ Ty, h 2 tan 4> eos <¿>

V

F IG U R A 1 0 -1 3 D escom posición d e las fuerzas en las d irecciones u y v. (a ) C om ponen tes de fuerza o rig inadas po r g x . (b) Componentes

de fuerza o rig in ad as p o r <jv. (c ) C o m ponen tes de fuerza p roducidas p o r r ^ . . (d ) C o m ponen tes de fuerza p roducidas p o r r >x.

3 7 4 C a p itu ló lo ■ E l ca so g e ne ra l d e los es fu e rz o s co m b in a d o s y e l c írc u lo de Mohr

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Com o prim er paso para resolver la ecuación anterior para au, todos los térm inos que incluyen h2, se eliminan. Además, se observa que t v = T„ y, por tanto, tan <p= sen 0/cos <¡>. La

ecuación de equilibro se vuelve entonces:

a„ . cr, sen 4> sen <¡> . , , t xy sen 4> eos 4>0 = ----------cr„ eos t¡>------ ;--------- --------- t , , sen <f) H----------------7

eos <í> eos ó eos <p

A hora, multipliqúese por eos <p para obtener:

0 = <7,, - <7r eos2 </> - o-,- sen2 <f> + t„ sen é eos <f> + t , v sen é eos é

Com bínense los dos últimos términos y resuélvase para au.

<r„ = <rx eos2 <j> + <t, sen2 4> ~ 2t , , sen 4> eos 4>

Esta fónnula se puede usar para calcular <T„, aunque se puede obtener una forma más

conveniente con las siguientes identidades trigonométricas:

eos2 (¡> = 3 + 5 eos 2$

sen2 <t> = 5 ~ í eos 2<j>

sen <t> eos <l> = 5 sen 2<p

D espués de las sustituciones se obtiene:

(r„ = V , + \a x eos 2<f> + \<ry - V v eos 2<t> - r „ sen 2(¡>

Al com binar los términos, se obtiene:

OE sfuerzo norm al

en la d irección / icr„ = \(trx + a y) + \(crx - cr,.) eos 2 <t> - rxy sen 2<¡> ( 10- 1)

La ecuación (10-1) se puede usar para calcular el esfuerzo normal en cualquier dirección siempre que la condición de esfuerzo en alguna dirección, indicada por lo ejes x y y , se

conozca.

E s fu e rz o c o r ta n te , t w , q u e a c tú a p a ra le lo a l p la n o d e c o r te . Ahora, se desarrollará la ecuación del esfuerzo cortante, T„, que actúa paralelo al plano de corte y perpendicular a O,,. De nuevo, recurriendo a las figuras 10-12 y 10-13, se pueden sumar las fuerzas que actúan en el elemento en forma de cuña en la dirección v.

r h2 i2 Fv = 0 = - + crxh2 sen <f> - u yh2 tan <¡) eos <f>

eos <f>

+ Txyh 2 eos <t> - Tyxh 2 tan <l> sen 4>

Secc ión 1 0 -5 ■ E c u a c i o n e s para de te rm in a r es fu e rzo s en cua lq u ire r d irec c ió n 3 7 5

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Con las m ism as técnicas anteriores, esta ecuación se puede sim plificar y reso lver para •zapara obtener:

. .E s f u e r z o c o rta n te ,

Tuvq u e a c tú a e n t,„. = - 3(0-, — o-,.) sen 2< !> — t , v eos 2 é ( 1 0 - 2 )

la c a ra d e l e le m e n to

L a ecuación (1 0 -2 ) se puede usar para calcular el esfuerzo cortante que actúa en la cara del elem ento a cualquier orientación angular.

1 0 - 6 E S F U E R Z O S P R IN C IP A L E S

En el diseño y en el análisis del esfuerzo, con frecuencia se requieren los esfuerzos máxim os para garantizar la seguridad del m iem bro de carga. Se puede usar la ecuación (10-1) para calcular el esfuerzo normal m áxim o si se se sabe a qué ángulo ocurre <¡>.

Por el estudio del cálculo, se sabe que el valor del ángulo <p al que ocurre el esfuerzo norm al m áxim o o m ínim o se puede determ inar diferenciando la función y haciendo el resultado igual a cero y luego resolviendo para tp. D iferenciando la ecuación (10-1) se obtiene:

D ividiendo entre eos 2 tp y sim plificando da:

0 = — (tr, — exy) tan 2<¡> — 2r , v

Si se sustituye el valor de ^definido por las ecuaciones (10-3) y (1 0 -4 ) en la ecuación ( 10- 1), se deriva una ecuación para el esfuerzo normal máxim o que actúa en el elemento. A dem ás, se deriva la ecuación para el esfuerzo norm al mínimo. Estos dos esfuerzos se llam an esfuerzos principales, usando 05 para denotar el esfuerzo principal máximo y a, para denotar el esfuerzo principal mínimo.

N ótese en la ecuación (10-1) que se requieren los valores de sen 2 0 y eos 2 <p. La figura 10-14 es un auxiliar gráfico para obtener las expresiones de estas funciones. El triángulo rectángulo tiene los catetos opuestos y adyacentes definidos por los términos de la función tangente de la ecuación (10-3).

3 7 6 C a p itu ló lo ■ E l ca s o g e ne ra l d e lo s e s fu e rz o s c o m b in a d o s y el c írc u lo de Mohr

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É sta es la fórmula que da el promedio de los esfuerzos norm ales iniciales, o ¡ y <5. Por

consiguiente, se puede concluir:

En el elem ento en el que ocurre el esfuerzo cortante m áxim o tam bién habrá un esfuerzo norm al, igual al prom edio de los esfuerzos norm ales iniciales.

1 0 - 8 C ÍR C U L O D E M O H R P A R A E S F U E R Z O

El uso de las ecuaciones (10 -1 ) a (10-10) a m enudo presenta dificultades p o r las num e

rosas com binaciones posibles de los signos de los térm inos cr„ <xv, y 0- A dem ás, las dos raíces de la raíz cuadrada y el hecho de que la función tangente inversa puede p roducir ángulos en cualquiera de los cuatro cuadrantes presentan dificultades. A fortunadam ente, existe un auxiliar gráfico, llam ado círculo deM ohr, que puede ayudar a resolver

estos problem as. El uso del círculo de M ohr debe proprcionarle a usted una m ejor com

prensión del caso general de esfuerzo en un punto.Se puede dem ostrar que las dos ecuaciones (10—1) y (10—2), de los esfuerzos nor

mal y cortante en un punto en cualquier dirección se pueden com binar y ordenar en la form a de la ecuación de un círculo. Presentado por prim era vez por Otto M ohr en 1895,

el círculo perm ite un cálculo rápido y exacto de:

1. Los esfuerzos principales máxim o y m ínim o [ecuaciones (10-5) y 10-6)]

2. El esfuerzo cortante m áxim o [ecuación (10-9)]

3. Los ángulos de orientación del elem ento som etido al esfuerzo principal y del elem ento sometido al esfuerzo cortante m áxim o [ecuaciones (1 0 -4 ) y (1 0 -8 )]

4. El esfuerzo normal que existe jun to con el esfuerzo cortante m áxim o sobre el elem ento som etido al esfuerzo cortante m áxim o [ecuación ( 10- 10)]

5. La condición de esfuerzo en cualquier orientación del elemento sometido a es

fuerzo [ecuaciones ( 10- 1) y ( 10- 2)]

El círculo de M ohr se dibuja en un sistem a de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante, T, m arcado en el eje vertical y el esfuerzo norm al, <7, en el eje horizontal, com o

se m uestra en la figura 10-16. La convención siguiente se usa en este libro:

C onvenciones de signos:

1. Los esfuerzos norm ales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha.

2. Los esfuerzos norm ales negativos (de com presión) actúan hacia la izquierda.

3. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento som etido a esfuerzo en

sentido horario (SH ) se trazan hacia arriba en el eje T.

4. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento som etido a esfuerzo en

sentido antihorario (S AH) se trazan hacia abajo.

El procedim iento descrito a continuación se puede usar para d ibujar el círculo de

M ohr. Los pasos 1 -7 se muestran en la figura 10-16. El elem ento som etido a esfuerzo

com pleto, tal com o aparece en la figura 10-1 es la base de este ejemplo.

S ecc ión 1 0 -8 ■ C írc u lo d e M o h r pa ra es fu e rz o 3 7 9

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F IG U R A 10—16 Pasos 1 al 7 del procedim iento de construcción del círculo de Mohr.


p a ra d ib u ja r

el c írc u lo d e M o h r

1. Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo com o el elemento sometido a esfuerzo inicial com o se m uestra en la figura

10-1 .

2. L a com binación de <yx y t íy se m arca com o punto 1 en el p lano a-T .

3. La com binación de crvy se m arca entonces com o punto 2. O bserve que z;?.y ^ s ie m p re actúan en direcciones opuestas. P or consiguiente, un punto

se m arcará arriba del eje a y el otro debajo.

4 . T race una línea recta entre los dos puntos.

5. E sta línea cruza el eje a en el centro del círculo de M ohr, el cual tam bién es

el valor del esfuerzo normal promedio aplicado al elem ento som etido a esfuerzo inicial. La localización del centro sep u ed e observar con los datos utilizados para trazar los puntos o se puede calcular con la ecuación ( 10

10), repetida aquí:

Por conveniencia, designe el centro com o O.

6. Identifique la línea que parte de O y pasa por el punto 1 (<J„ T„) com o eje x. E sta línea corresponde al eje x original y es esencial que se correlacionen los datos del círculo de M ohr con las direcciones originales x y y.

7. Los puntos O, ax y el punto 1 form an un im portante triángulo rectángulo

porque la distancia de O al punto 1, la h ipotenusa del triángu lo , es igual al

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10. Identifique los puntos en el eje cr en los extrem os del diám etro horizontal com o cr, a la derecha (el esfuerzo principal m áxim o) y cr2 a la izquierda (el esfuerzo principal m ínimo). O bserve que el esfuerzo cortante es cero en esos puntos.

11. Calcule los valores de cr, y cr2 con:

tJl = “0 " + R (10-11)

( 10- 12)

donde “O ” representa la coordenada del centro del círculo, a prom, y R el radio. Por consiguiente las ecuaciones (1 0 -1 1 ) y (10 -1 2 ) son idénticas a

las ecuaciones (1 0 -5 ) y (1 0 - 6) de los esfuerzos principales.

Los pasos que siguen determinan los ángulos de orientación del elemento sometido a esfuerzo principal y del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo. Un concepto im portante a recordar es que los ángulos

obtenidos con el circulo deMohrson el doble de los ángulos reales. La razón de esto es que las ecuaciones en las que se basa son funciones de 2<p.

12. L a orientación del elem ento som etido a esfuerzo principal se determ ina calcu lando el ángulo del e je * al eje cr,, designado com o 20 en lafigura 10-17. Con los datos que hay en el círculo se puede ver q u e :

20=tan~ ' — a

El argum ento de esta función tangente inversa corresponde al valor absoluto del argum ento m ostrado en la ecuación (1 0 -4 ) . L os problem as con

E l e m e n t o s o m e t i d o a e s f i i e i z o i n ic i a l E l e m e n t o s o m e t id o a e s f u e r z o p r i n c i p a l E l e m e n t o s o m e t i d o a e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o

( « ) (b ) ( c )

F I G U R A 1 0 - 1 8 F o r m a g e n e r a l d e l o s r e s u l t a d o s f i n a l e s d e l a n á l i s i s c o n e l c í r c u l o d e M o h r .

3 8 2 C a p itu ló lo ■ E l ca s o g e n e ra l d e lo s e s fu e rz o s c o m b in a d o s y e l c írc u lo de Mohr

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signos para el ángulo resultante se evitan considerando la dirección del ejex al eje a,, com o horaria en este ejem plo. Luego, el elem ento som etido a esfuerzo principal sehace girar en la misma dirección ap a rtird e l eje

x en una cantidad <p para localizar la cara en la que actúa el esfuerzo principal máximo, a,.

1 3 . D ibuje el elem ento som etido a esfuerzo principal en su orientación adecuada determ inada con el paso 12 con los dos esfuerzos principales <7, y <t2 m ostrados [véase la figura 10-18(a) y (b)].

14 . La orientación del elem ento som etido a esfuerzo cortante m áxim o se determ ina con el ángulo del e jex al eje r máJ0 designado 2tp' en la figura

10-17. En este ejemplo:

2<p’ = 90°-2<p

Con trigonom etría se puede dem ostrar que esto equivale a determ inar la tangente inversa de a/b, el recíproco del argum ento usado para determ inar 2 <¡>. Por tanto, se trata de una evaluación efectiva de la ecuación (108), derivada para determ inar el ángulo de orientación del elem ento en el que actúa el esfuerzo cortante máximo.

De nuevo, los problem as con signos para el ángulo resultante se evitan considerando la dirección del e jex al eje r mil(en el círculo, com o antihoraria en este ejemplo. Por tanto, el elem ento som etido a m áxim o esfuerzo cortante se hace girar en la misma dirección a partir del e je x una cantidad / para localizar la cara en la que actúa el esfuerzo cortante

máximo.

15 . D ibuje el elem ento som etido a esfuerzo cortante m áxim o en su orientación apropiada determ inada con el paso 14 con los esfuerzos cortantes y el esfuerzo normal prom edio actuando en las cuatro caras [véase la figura 10 -18(c)]. En general, la figura 10-18 es el resultado deseado de un análisis con el círculo de M ohr. Se m uestran el elem ento som etido a esfuerzo inicial que establece los ejes x y y , el elem ento som etido a esfuerzo principal dibujado con su rotación apropiada con respecto al e je x y el elem ento som etido a esfuerzo cortante m áxim o tam bién dibujado

con su rotación apropiada con respecto al ejex.

E je m p lo S e de te rm in ó que un punto d e un m iem bro de ca rg a s e enc u e ntra som e tido a la s igu iente

1 0 - 2 condic ión d e carga:

<yx - 4 0 0 M P a a y = - 3 0 0 M P a r , y = 2 0 0 M P a (S H )

Realice lo siguiente:

(a ) D ibuje el elem ento som etido a esfuerzo inicial.

(b ) D ibuje el círculo de M ohr com pleto con los puntos críticos m arcados.

Secc ión 1 0 -8 ■ C írc u lo d e M o h r pa ra es fu e rz o 3 8 3

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Oprom = f a * + ° v ) = i t400 + ( ' 3 0 0 >] = 50 M P a

El la d o in fe r io r d e l tr iá n g u lo :

a = \ ( a , - a y) = £ [4 0 0 - ( - 3 0 0 ) ] = 3 5 0 M P a

El l a d o v e r t ic a l d e l t r iá n g u lo :

b = r xy = 2 0 0 M P a

El r a d io d e l c írc u lo :

R = V a 2 + b 2 = V ( 3 5 0 ) 2 + (2 0 0 )2 = 4 0 3 M P a

El p a s o 8 e s e l t r a z o d e l c írc u lo . L o s p u n to s c o r r e s p o n d i e n t e s a d a t o s s ig n if ic a t iv o s

d e lo s p a s o s 9 - 11 s e r e s u m e n a c o n t in u a c ió n .

Cprom = 5 0 M P a ( ig u a l a la lo c a l iz a c ió n d e O )

TmáX = 4 0 3 M P a ( ig u a l a l v a lo r d e R)

cr, = O + R = 5 0 + 4 0 3 = 4 5 3 M P a

tr2 = O - R = 5 0 - 4 0 3 = - 3 5 3 M P a

L o s p a s o s 1 2 - 1 5 s e c o m p le ta n e n l a s f ig u ra s 1 0 - 1 9 y 1 0 - 2 0 . L o s c á l c u lo s d e lo s á n g u l o s

s e r e s u m e n a c o n t in u a c ió n .

2 * = ,a n "’ 7 = ,a n ” Ü = 2 9 J4 °

N o te q u e 20 e s t á m e d id o e n s e n t id o h o r a r io a p a r t i r d e l e j e x h a c i a cr, e n e l c írc u lo .

74°

* = = 14-87°

A s í p u e s , e n la f ig u ra 1 0 - 2 0 ( b ) , e l e l e m e n t o s o m e t id o a e s f u e r z o p r in c ip a l s e d ib u ja

g i r a d o 1 4 .8 7 ° e n s e n t id o h o ra r io a p a r t ir d e l e je o r ig in a l x h a c i a la c a r a e n la q u e a c t ú a o v

2<t> = 9 0 ° - 2 0 = 9 0 ° - 2 9 .7 4 ° = 6 0 .2 6 °

O b s e r v e q u e 2<p e s t á m e d id o e n s e n t id o a n t ih o r a r io a p a r t i r d e l e j e x h a c i a r m¿x e n el

c í r c u lo .

„ _ = 30 .13°v 2

P o r t a n to , e n la f ig u ra 1 0 - 2 0 ( c ) e l e l e m e n t o s o m e t id o a e s f u e r z o c o r t a n t e m á x im o s e

d ib u ja g i r a d o 3 0 .1 3 ° e n s e n t id o a n t ih o r a r io a p a r tir d e l e je x o r ig in a l h a c i a la c a r a e n la q u e

a c t ú a 7m¿x.

E l c e n tro O d e l c í rc u lo e s tá en Oprom*

t 3 8 5Sección 1 0 -8 ■ C írc u lo d e M o h r pa ra es fu e rzo

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R esum en de los resutad os del e jem plo 1 0 -2 C írc u lo de M o h r

D atos ax = 4 0 0 M P a ay = - 3 0 0 M P a rxy = 2 0 0 M P a S H

R esultad os F ig u r a s 1 0 - 1 9 y 1 0 - 2 0 .

o, = 4 5 3 M P a c¡2 = - 3 5 3 M P a <S> = 1 4 .8 7 ° S H

= 4 0 3 M P a oV0m = 5 0 M P a <j¡ = 3 0 .1 3 ° S A H

C om entario El e j e x q u e d a e n e l p r im e r c u a d r a n t e .

C o n e s to q u e d a te rm in a d o e l e je m p lo 1 0 -2 .

1 0 - 9 E J E M P L O S D E L U S O D E L C ÍR C U L O D E M O H R

Los datos del ejem plo 10 -2 de la sección anterior y de los ejem plos 10-3 a 10-8 siguientes, se seleccionaron para dem ostrar una variedad de resultados. U na variable importante es el cuadrante donde queda el e je x y la definición correspondiente de los ángulos de rotación del elemento sometido a esfuerzo principal y del elem ento som etido a esfuerzo cortante máximo.

Los ejemplos 1 0 -6 ,1 0 -7 y 10-8 presentan los casos especiales de esfuerzo biaxial sin cortante, tensión uniaxial sin cortante y cortante puro. Éstos deben ayudar a entender el com portam iento de los miembros de carga som etidos a esos esfuerzos.

La solución de cada ejemplo es el círculo de M ohr junto con los elementos, adecuadam ente m arcados. En cada problem a, los objetivos son:

(a ) D ibujare! elemento sometido a esfuerzo inicial.

(b ) D ibujare! círculo de M ohr com pleto con sus puntos críticos debidam ente marcados.

(c) D ibujar el elem ento sometido a esfuerzo principal completo.

(d ) D ibujar el elem ento sometido a esfuerzo cortante com pleto.

E jem p lo D atos ax - 60 ksi ay = -4 0 k si rxy = 30 k s i S A H

1 0 - 3

C írc u lo de M ohr

R esu ltad os F ig u ra 10-21.

G\ = 6 8 .3 k si = - 4 8 .3 k s i <¡> = 15.48° S A H

Tmáx = 5 8 .3 k s i <7prom = 1 0 k s i <jt = 60.48° S A H

C om en ta rio E l e je x q u e d a e n e l s e g u n d o c u a d r a n t e .

3 8 6 C a p itu ló lo ■ El ca so g e ne ra l d e lo s es fu e rz o s co m b in a d o s y e l c írc u lo d e Mohr

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1 0 - 1 0 C O N D IC IÓ N D E E S F U E R Z O E N P L A N O S S E L E C C IO N A D O S

Existen algunos casos en los cuales conviene conocer la condición de esfuerzo en un elemento a un ángulo de orientación seleccionado con respecto a las direcciones de refe

rencia. Las figuras 10-27 y 10-28 muestran ejemplos.El bloque de m adera en la figura 10-27 m uestra que la veta de la m adera está

inclinada a un ángulo de 30° en sentido antihorario apartir del ejex dado. Como la m adera es m uy débil a cortante paralelo a la veta, es conveniente conocer los esfuerzos en esa

dirección.La figura 10—28 m uestra un miembro estructural fabricado soldando dos com po

nentes a lo largo de una costura inclinada a un cierto ángulo con respecto al e jex dado. La operación de soldadura podría debilitar el m aterial cercano a la soldadura, sobre todo si los com ponentes son de acero tratado al calor antes del proceso de soldadura. Lo mismo puede decirse también de muchas aleaciones de aluminio. En tales casos los esfuerzos permisibles son un poco más bajos a lo largo del cordón de soldadura.

Las condiciones am bientales a las que la parte está expuesta durante su funcionamiento también pueden afectar las propiedades del material. Por ejemplo, una pieza de hom o puede verse sometida a calentam iento local producido por la energía radiante a lo largo de una línea particular. La resistencia del m aterial calentado será m enor que la del que perm anece frío y por tanto es conveniente conocerla condición de esfuerzo a lo largo

del ángulo de la zona afectada por el calor.Se puede usar el círculo de M ohrpara determ inar la condición de esfuerzo a ángu

los específicos de orientación del elemento sometido a esfuerzo. El procedim iento se

describe a continuación y se dem uestra con el ejemplo 10-9.


p a ra d e te rm in a r

el e s fu e rz o a un

á n g u lo e s p e c íf ic o

D atos: La condición de esfuerzo en el elemento dado alineado en las

direcciones* yy .

O bjetivo : Determinar los esfuerzos normal y cortante en el elemento a un ángulo específico, [i, con respecto a la dirección x dada.

Paso 1: D ibuje el círculo de M ohr com pleto para el elemento.

Paso 2: Identifique la línea que representa el e jex en el círculo.

Paso 3. M ida el ángulo 2/?a partir del e jex y trace una línea por el centro del círculo de M ohr, prolongándola hasta las dos intersecciones con el círculo. Esta línea representa el eje alineado con la direc

ción de interés.

Paso 4: Con la geom etría del círculo, determine las coordenadas (cry r ) del prim er punto de intersección. El com ponente a es el esfuerzo normal que actúa en el elemento en la dirección de ¡i. El com ponente r es el esfuerzo cortante que actúa en las caras del elem ento. Las coordenadas del segundo punto representan los esfuerzos normal y cortante que actúan en las caras del elem ento de interés

paralelos al eje /J.

P aso 5: Dibuje el elemento de interés mostrando los esfuerzos normal y

cortante que actúan en él.

Secc ión 1 0 -1 0 ■ C o nd ic ió n de e s fu e rzo en p lanos se le cc io na do s 3 9 3

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E le m e n to so m e tid o a e s fu e rz o

in ic ia l a l in e a d o c o n el e je *

m

P = 30°

_ L

V e ta de

la m a d e ra

E le m e n to so m e tid o a e s fu e rz o

in ic ia l a l in e a d o co n el e j e *

FIGURA 10-27 S e c c ió n tra n sv e rs a l d e u n p o s te d e m a d e ra

co n la v e ta a 3 0 ° co n re s p e c to a l e je * . FIGURA 10-28 B a rra p la n a s o ld a d a a lo la rg o d e u n a ju n ta in c lin a d a s 20°.

E je m p lo E n la b a r r a p l a n a s o ld a d a a lo la rg o d e la ju n t a q u e fo rm a u n á n g u lo d e 2 0 ° e n se n tid o

1 0 - 9 a n t ih o r a r io c o n e l e je x , e l e l e m e n to p a r a le lo a lo s e j e s x y y e s t á s o m e t id o a lo s e s fu e rz o s

s ig u ie n te s :

C7X— 400M Paay= -3 0 0 M P a r„ = 2 00M P aS H

D eterm ine la condición de esfuerzo en el elemento inclinado a un ángulo de 20°, alineado con la junta soldada.


D a to s

A n á lis is

D ib u ja r e l e l e m e n to s o m e t id o a e s f u e r z o a l i n e a d o c o n la j u n t a s o ld a d a a

20° c o n r e s p e c to a l e j e x.

O b s e r v e q u e e l e l e m e n to d a d o e s e l m is m o d e l e je m p lo 1 0 - 2 . El circulo

d e M o h r b á s i c o d e e s e p r o b le m a s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 0 - 1 9 y se

r e p r o d u c e e n la f ig u ra 1 0 - 2 9 .

S e s ig u e e l p ro c e d im ie n to p a ra d e te rm in a r e l e s fu e rz o a u n ángu lo es

pe c ifico .

R e s u lta d o s L o s p a s o s 1 y 2 s e m u e s t r a n e n e l c ír c u lo d e M o h r o r ig in a l.

P a s o 3. El e je d e s e a d o e s u n o in c l in a d o a 2 0 ° e n s e n t id o an tih o ra rio

a p a r t ir d e l e j e x . R e c o r d a n d o q u e lo s á n g u l o s e n e l círculo

d e M o h r s o n e l d o b le d e lo s r e a l e s , s e p u e d e t r a z a r una

l ín e a p o r e l c e n t r o d e l c í rc u lo a u n á n g u lo d e 2 p = 4 0 ° en

s e n t id o a n t ih o r a r io a p a r t i r d e l e j e x . L a i n te r s e c c ió n d e es ta

l ín e a c o n e l c írc u lo , m a r c a d a A e n la f ig u ra , lo c a l iz a e l punto

d e l c í rc u lo q u e d e f in e la c o n d ic ió n d e e s f u e r z o d e l e le m e n to

d e s e a d o . L a s c o o r d e n a d a s d e e s t e p u n to (<rA, rA) d a n los

e s f u e r z o s n o rm a l y c o r t a n t e q u e a c t ú a n e n u n ju e g o d e ca

r a s d e l e l e m e n to d e s e a d o .

P a s o 4. C o n tr ig o n o m e tr ía s im p le y la g e o m e t r í a b á s i c a d e l círculo

s e d e te r m in a n <7„y ^ p r o y e c t a n d o l í n e a s v e r t ic a l y h o rizon

t a lm e n te d e s d e e l p u n to A h a s t a lo s e j e s er y t , r e s p e c tiv a

m e n te . El á n g u lo to ta l d e l e j e a a lo s e j e s h a s t a e l e je que

3 9 4 C a pítu lo 10 ■ E l ca so g e ne ra l d e lo s e s fu e rzo s co m b in a d o s y e l c írc u lo de Mohr

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r (S A H )

y

(a) C írculo de M ohr

F IG U R A 1 0 -2 9 C ircu lo de M ohr com pleto del e jem plo 1 0-9 que m uestra los esfuerzos en un elem ento inc lin ad o a 20° en sentido

an tihorario a partir del e jex .

Sección 10-10 ■ Condición de esfuerzo en planos seleccionados

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p a s a p o r e l p u n to A , l l a m a d o r¡ ( e ta ) e n la f ig u ra , e s la s u m a

d e 2 0 y 2/5. E n e l e je m p lo 1 0 - 2 , s e d e te r m in ó 2 0 = 2 9 .7 4 ° .

L u e g o :

7) = 2<b + 2p = 29 .7 4 ° + 4 0 ° = 69 .74°

E n la f ig u ra 1 0 - 2 9 s e id e n tif ic ó u n t r iá n g u lo c o n s u s la d o s

d e s i g n a d o s d, g y R. C o n e s t e tr iá n g u lo , s e p u e d e c a lc u la r :

d - R e o s t j= ( 4 0 3 ) e o s 6 9 .7 4 ° = 1 4 0

g = R s e n r] = (4 0 3 ) s e n 6 9 .7 4 ° = 3 7 8

E s to s v a lo r e s p e r m i te n c a lc u la r :

aA = O + d = 5 0 + 1 4 0 = 190

t a = g = 3 7 8 M P a SH

en do nd e O in d ic a e l v a lo r d e l e s f u e r z o n o rm a l e n e l cen tro

d e l c í r c u lo d e M o h r.

L o s e s f u e r z o s e n e l j u e g o d e c a r a s r e s t a n t e d e l e le

m e n to d e s e a d o s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n to A ' lo ca liza

d o a 1 8 0 ° d e A e n e l c í r c u lo y, p o r c o n s ig u ie n te , a 9 0 ° d e las

c a r a s e n la s c u a l e s a c tú a n (cxA, r ¿ ) . P r o y e c ta n d o l ín e a s ver

tical y h o r iz o n ta lm e n te d e s d e A ! h a s t a lo s e j e s a y z s e loca

liz a n aK y r A-. P o r t r iá n g u lo s s e m e j a n t e s s e p u e d e d e c ir que

c f = d y g ' = g. P o r c o n s ig u ie n te :

a A = O + d = 5 0 - 1 4 0 = - 1 9 0

t a = g ' = 3 7 8 M P a SA H

C o m e n t a r i o L a f ig u ra 1 0 - 2 9 ( c ) m u e s t r a e l e l e m e n to f in a l in c l in a d o a 2 0 ° c o n re s p e c

to a l e je x . É s t a e s la c o n d ic ió n d e e s f u e r z o e x p e r i m e n t a d a p o r e l m ate

rial a lo la rg o d e la j u n t a s o ld a d a .

1 0 - 1 1 C A S O E S P E C IA L E N E L C U A L L O S D O S E S F U E R Z O S

P R IN C IP A L E S T IE N E N E L M IS M O S IG N O

En las secciones precedentes que se ocuparon del circulo de M ohr, se utilizó la convención de que <7, es el máxim o esfuerzo principal y cr2es el m ínim o esfuerzo principal. Esto es cierto en los casos de esfuerzo plano (esfuerzos aplicados en un solo plano) cuando cr, y <7, tienen signos opuestos, es decir, cuando uno es de tensión y el otro de compresión. A dem ás, en esos casos, el esfuerzo cortante determ inado en la parte superior del círculo (igual al radio, R ) es el esfuerzo cortante m áxim o real que actúa en el elemento.

Sin em bargo se debe tener un cuidado especial cuando el círculo de M ohr indique que (T¡ y <72 tienen el m ism o signo. Aun cuando se trata de esfuerzo plano, el elemento sometido al esfuerzo real es tridim ensional y se debe representar com o un cubo en lugar de un cuadrado, com o se m uestra en la figura 10—30. Las caras 1 ,2 ,3 y 4 corresponden a

3 9 6 C a p itu ló lo ■ E l caso g e n e ra l de lo s es fu e rz o s co m b in a d o s y e l c írc u lo de Mohr

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El lado 6 es

la cara “ trasera”

El lado 5 es

la cara “de lan tera”

L os e sfu erzo s en los lados 5 y 6 son cero

(a) (*)

F IG U R A 1 0 -3 0 E sfuerzo p lano m ostrado com o e lem en tos b id im en sio n ales y trid im en sio n a les so m etid o s a

esfuerzo , (a) E lem en to b id im ensional som etido a esfuerzo , (b) E lem en to trid im en sio n a l so m etid o a esfü e rz o .

los lados del elem ento cuadrado y las caras 5 y 6 son las “delanteras” y “ traseras” . En el

caso de esfuerzo plano los esfuerzos en las caras 5 y 6 son cero.En el elem ento tridim ensional existen tres esfuerzos principales, llam ados a¡, a2y

que actúan en los lados m utuam ente perpendiculares del elem ento. La convención

dicta el orden siguiente:

<T| > <72 > c r3

Por tanto, (7} es el m inim o esfuerzo principal real y <J¡ es el m áxim o esfuerzo principal. Tam bién se puede dem ostrar que el m áxim o esfuerzo cortante real se puede calcular con:

W = {(cr, - <t 3) (10-13)

La figura 10-31 ilustra un caso en el que se debe considerar el elem ento tridim ensional. El elem ento som etido a esfuerzo inicial, m ostrado en la parte (a), soporta los

esfuerzos siguientes:

crt = 400 MPa crv = -300 MPa r„ = 200 MPa SH

La parte (b) de la figura m uestra el círculo de M ohr tradicional, dibujado según el procedim iento descrito en la sección 10—8. N ótese que 0\ y 02 son positivos o de tensión. Luego, considerando que el esfuerzo en las caras “delantera” y “ trasera” es cero, éstos son los esfuerzos principales m ínim os reales. Entonces, se puede decir que:

<X| = 216.6 MPa

cr2 = 103.4 MPa

(7-3 = 0 MPa

S ecc ión 1 0 -1 1 ■ C a s o e s p e c ia l en e l cua l lo s dos e s fu e rz o s p rin c ip a le s tie n e n e l m is m o s ig n o 3 9 7

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(a ) E lem ento som etido a esfuerzo inicial

r(S H )

D e acuerdo con la ecuación (10-13), el esfuerzo cortante m áxim o real es:

W = i(o-, - a ,) = 5(216.6 - 0) = 108.3 MPa

Estos conceptos se pueden visualizar gráficam ente con tres círculos de Mohr en vez de uno. La figura 10-32 m uestra el círculo obtenido del elemento sometido aesfueizo inicial, un segundo círculo que incluye <7! y cr3 y un tercero que incluye ar y <J¡. De este modo cada círculo representa el plano en el que actúan dos de los tres esfuerzos principales. El punto en la parte superior de cada círculo indica el esfuerzo cortante máximo que ocurriría en ese plano. Entonces, el círculo mayor, dibujado para <7, y a¡, produce el

esfuerzo cortante máxim o real y su valor concuerda con la ecuación (10-13).

C a pítu lo 10 ■ El ca s o ge ne ra l d e los es fu e rzo s co m b in a d o s y e l c írc u lo de Mohr

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F IG U R A 1 0 -3 2 T res c írcu los de M o h r re lac io n ad o s q ue m u estran <x,, a2, 0 j y r mix.

La figura 10-33 ilustra otro caso en el que los esfuerzos principales del elemento

som etido a esfuerzo inicial tienen el m ism o signo, am bos negativos en este caso. Los

esfuerzos iniciales son:

ax = -50 MPa a, = -180 MPa = 30 MPA SAH

En este caso, tam bién, se deben trazar los círculos com plem entarios. Pero, el esfuerzo cero en las caras “delantera” y “ trasera” del elem ento se transform a en el esfuerzo p rinci

pal máximo (£7,). Es decir:

<j\ = 0 MPa

o-2 = -4 3.4 MPa

o-j = -1 8 6 .6 MPa

y el esfuerzo cortante m áxim o es:

W - o -j ) = jtO - (-186 .6 )) = 93.3 M Pa

Caso especial en el cual los dos esfuerzos principales tienen el mismo signo 399

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B. Si los dos esfuerzos principales son de tensión (positivos): [Véase el ejem plo ilustrado en la figura 10-32.]

1. Considere que el esfuerzo cero que actúa en la dirección perpendicular al elem ento sometido a esfuerzo inicial es el esfuerzo principal m ínim o real. Entonces, es necesario definir tres esfuerzos principa

les com o sigue:

o; = Esfuerzo principal m áxim o del prim er círculo de M ohr.

o j = Esfuerzo principal m ínim o del prim er círculo de Mohr.

<j¡ = Cero (esfuerzo principal m ínim o real).

2. D ibuje un circulo de M ohr secundario cuyo diám etro abarque de a, a Oj en el eje a El centro del círculo quedará en el prom edio de ce, y <J¡, (o¡ + g ¡)/2 . Pero, com o <J} = 0, el prom edio es o¡/2.

3. El esfuerzo cortante máxim o se localiza en la parte superior del se

gundo círculo y su valor también es o¡/2.

C . Si los dos esfuerzos principales son de com presión (negativos): [Véase

el ejem plo ilustrado en la figura 10-33.]

1. Considere que el esfuerzo cero que actúa en la dirección perpendicular al elem ento sometido a esfuerzo inicial es el esfuerzo principal máxim o real. Entonces, es necesario definir tres esfuerzos principales com o sigue:

o¡ = Cero (esfuerzo principal m áxim o real)

(X = Esfuerzo principal m áxim o del prim er círculo de M ohr.

Oj = Esfuerzo principal m ínim o del prim er círculo de Mohr.

2. D ibuje un círculo secundario cuyo diám etro abarque de o¡ a en el eje a. El centro del círculo quedará en el prom edio de o¡ y a¡ (o¡ + Oi)/2. Pero como o¡ = 0, el prom edio es cr3/2.

3. El esfuerzo cortante m áxim o se localiza en la parte superior del círculo secundario y su magnitud es tam bién Oj/2.

1 0 - 1 2 T E O R ÍA D E F A L L A D E L E S F U E R Z O C O R T A N T E M Á X IM O

Uno de los principios de diseño más am pliam ente utilizados es la teoría de fa lla del esfuerzo cortante máximo, la cual establece que:

Es de esperarse que un material dúctil falle cuando el esfuerzo cortante m áxim o al cual está sometido el m aterial sobrepasa la resistencia a la cedencia de

éste a cortante.

Secc ión 1 0 -1 2 ■ T e o r ía d e fa lla de l e s fu e rz o c o rta n te m áx im o 401

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D esde luego, para aplicar esta teoría, es necesario que se pueda calcular la magnitud del esfuerzo cortante máxim o. Si el miembro se som ete a cortante puro, tal com o esfuerzo cortante torsional, esfuerzo cortante directo o esfuerzo cortante en vigas sometidas a flexión, el esfuerzo cortante máxim o se puede calcular directam ente con fórm ulas como las que se desarrollaron en este libro. Pero si existe una condición de esfuerzo combinado, se debe usar la ecuación (10-9) o el círculo de M ohr para determ inar el esfuerzo cortante

máxim o.Un caso especial de esfuerzo com binado que ocurre a m enudo es aquel en que un

esfuerzo normal en una sola dirección se com bina con un esfuerzo cortante. Por ejemplo, una barra circular se podrí a som eter a tensión axial directa al m ism o tiem po que se tuerce. En m uchos tipos de transm isiones de potencia mecánica, las flechas se som eten a flexión y torsión sim ultáneam ente. Cierta clase de sujetadores pueden som eterse a tensión com

binada con cortante directo.Se puede desarrollar una fórmula sim ple para tales casos con el círculo de Mohr o

la ecuación (10-9). Si sólo un esfuerzo normal en la dirección x, <J„ com binado con un

esfuerzo cortante, t u existe, el esfuerzo cortante es:

= V ( r r , / 2 Y- + Tx\ (1 0 -14)

Esta fórm ula se puede desarrollar con la ecuación (10 -9 ) haciendo ay- 0.

E jem plo Una barra circular sólida de 45 mm d e diámetro s e som ete a una fuerza de tensión axial10 -10 de 120 kN com binada con un par de torsión de 1150 N m . Calcule el esfuerzo cortante

máximo en la barra.


D a t o s

Calcular el esfuerzo cortante máximo en la barra.

Diámetro = D = 45 mm.Fuerza axial = F= 120 kN = 120 000 N.P ar de torsión = 7"= 1 1 5 0 N m = 1 150 000 Nmm.

A nálisis S e u sa la ecuación (10-14) para calcular r máX-

R e su lta d o s 1. En primer lugar, el esfuerzo normal aplicado se puede determinar con la fórmula del esfuerzo directo.

(T = F/A

A = 7tD 2/4 = 7r(45 mm)2/4 = 1590 mm2

a = (120000 N)/(1590 mm2) = 75.5 N/mm2 = 75.5 MPa

2. A continuación, el esfuerzo cortante aplicado s e puede calcular con la fórmula del esfuerzo cortante torsional.

r = T/Zp

Zp = ttD3/16 = tt(45 mm)3/16 = 17892 mm3

t = (1150000 N mm)/(17892 mm3) = 64.3 N/mm2 = 64.3 MPa

4 0 2 C a p ítu lo 10 ■ E l ca s o g e n e ra l d e lo s e s fu e rz o s co m b in a d o s y el c írc u lo de Mohr

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Tmix = y J { 75\ MPaJ + (64.3 MPa)2 = 74.6 MPa

C om en tario Este esfuerzo debe com pararse con el esfuerzo cortante de diseño.

3. L u e g o c o n la e c u a c ió n ( 1 0 - 1 4 ) s e o b t ie n e :

B I B L I O

1. M u v d i, B. B ., a n d J .W . M c N a b b , E n g in ee r in g M e c h a n

tes o f M a te r ia ls , 3 rd e d . , S p r in g e r -V e r la g , N ew Y o rk ,

1 9 90 .

2. P o p o v , E . P ., E n g in eer in g M e c h a n te s o fS o lid s , P r e n t i c e -

H a ll , E n g le w o o d C l i f f s , N J, 1 9 9 0 .

P R O B

A. En los problemas del 10-1 al 10-28, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial. Realice las operaciones siguientes:

(a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos <J¡, Gj, r mixy o¡>rom.

(b) En el círculo de Mohr, indique la línea que representa el eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial.

(c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el ejex hacia el eje o¡ y el eje

^"m áx-

(d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial.

Problema cr, cr>.

1 0 - 1 300 MPa - 100 MPa 80 MPa SH1 0 - 2 250 MPa -5 0 MPa 40 MPa SH1 0 - 3 80 MPa -1 0 MPa 60 MPa SH1 0 - 4 150 MPa 10 MPa 100 MPa SH1 0 - 5 20 ksi - 5 ksi 10 ksi SAH1 0 - 6 38 ksi -2 5 ksi 18 ksi SAH1 0 - 7 55 ksi 15 ksi 40 ksi SAH1 0 - 8 32 ksi —50 ksi 20 ksi SAH

Problemas

R A F I A

3 . S h íg le y , J . E . , a n d C . R . M is c h k e , M e c h a n ic a l E n g in ee r

ing D esign , 5 th e d . , M c G ra w -H il l , N e w Y o rk , 1989.

E M A S

Problema 0 \r <T, TXy

1 0 - 9 -900 kPa 600 kPa 350 kPaSAH1 0 - 1 0 -580 kPa !30kPa 75 KPa SAH1 0 - 1 1 -840 kPa -35 kPa 650 kPa SAH1 0 - 1 2 -325 kPa 50 kPa HOkPa SAH1 0 - 1 3 -1800 lb/plg2 300 lb/plg2 800 lb/plg2 SH1 0 - 1 4 -6500 lb/plg2 1500 lb/plg2 1200 lb/plg2 SH1 0 - 1 5 -4250 lb/plg2 3250 lb/plg2 2800 lb/plg2 SH1 0 - 1 6 -150 lb/plg2 8600 lb/plg2 80 lb/plg2 SH1 0 - 1 7 260 MPa 0 MPa 190 MPa SAH1 0 - 1 8 1450 kPa OkPa 830 kPaSH1 0 - 1 9 22 ksi 0 ksi 6.8 ksi SH1 0 - 2 0 6750 lb/plg2 0 lb/plg2 3120 lb/plg2 SAI1 0 - 2 1 0 ksi -28 ksi 12 ksi SH1 0 - 2 2 0 MPa 440 MPa 215 MPa SH1 0 - 2 3 0 MPa 260 MPa 140 MPa SAH1 0 - 2 4 OkPa -1560 kPa 810 kPaSAH1 0 - 2 5 225 MPa -85 MPa 0 MPa1 0 - 2 6 6250 lb/plg2 -875 lb/plg2 0 lb/plg21 0 - 2 7 775 kPa -145 kPa OkPa1 0 - 2 8 38.6 ksi -13.4 ksi 0 ksi

B. En los problemas en que los esfuerzos principales calculados con el círculo de Mohr resulten con el mismo signo,

4 0 3

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use los procedimientos de la sección 10-11 para dibujar circuios suplementarios y determinar lo siguiente:

(a) Los tres esfuerzos principales: a¡, cr2 y CT}.

(b) El esfuerzo cortante máximo real.

Problema ir í '7, Tlv

10-29 300 MPa 100 MPa 80 MPaSH10-30 250 MPa 150 MPa 40 MPaSH10-31 180 MPa 110 MPa 60 MPaSH10-32 150 MPa 80 MPa 30 MPaSH10-33 30 ksi 15 ksi 10 ksiSAH10-34 38 ksi 25 ksi 8 ksiSAH10-35 55 ksi 15 ksi 5 ksiSAH10-36 32 ksi 50 ksi 20 ksiSAH10-37 -840 kPa -335 kPa 120 kPaSAH10-38 -325 kPa -5 0 kPa 60 kPaSAH10-39 -1800 Ib/plg2 -300 lb/plg2 80 lb/plg2SH

1200 lb/plg2St-I10-40 -6500 Ib/plg2 -2500 Ib/plg2

C. En los problemas siguientes, use los datos del problema indicado para el elemento sometido a esfuerzo inicial para dibujar el circulo de Mohr. En seguida determine la condición de esfuerzo en el elemento al ángulo de rotación especificado con respecto al eje.v dado. Dibuje el

elemento girado con la relación correcta que guarda con el elemento sometido a esfuerzo inicial e indique los esfuerzos normal y cortante que actúan en él.

ProblemaDatos para el problema

de esfuerzo inicialÁngulo de rotación

respecto al eje .v

10-41 10-1 30 grados SAíl10-42 10-1 30 grados Sil10-43 10-4 70 grados SAH10-44 10-6 20 grados Si l10-45 10-8 50 grados SAH10-46 10-10 45 grados SH10-47 10-13 10 grados SAI 110-48 10-15 25 grados SH10-49 10-16 80 grados SH10-50 10-18 65 grados SH

D. En los problemas siguientes, use la ecuación (10-14) para calcular la magnitud del esfuerzo cortante máximo con los datos del problema indicado.

10-51. Use los datos del problema 10-17.




T A R E A S D E C O M P U T A C I O N

1. Escriba un programa para computadora, hoja de cálculo o calculadora programable que ayude en la construcción del círculo de Mohr. Introduzca los esfuerzos iniciales, crv, av y txy Haga que el programa calcule el radio del círculo, los esfuerzos principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo promedio. Use el programa junto con el dibujo a pulso del circulo correspondiente a los datos de los problemas10-1 a 10-24.

2. Amplíe el programa de la tarea 1 para que calcule el ángulo de orientación del elemento sometido a esfuerzo inicial

y el ángulo de orientación del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo.

3. Amplíe el programa de la tarea 1 para que calcule los esfuerzos normal y cortante en el elemento girado a un ángulo específico con respecto al eje original x.

4. Amplíe el programa de la tarea 1 para que detecte si los esfuerzos principales del círculo de Mohr inicial son del mismo signo; y, en tal caso, imprima los tres esfuerzos principales en el orden apropiado, o¡, <7,. Asimismo, haga que el programa calcule el esfuerzo cortante máximo real de la ecuación (10-13).

4 0 4 C a pítu lo 10 ■ El caso ge ne ra l de lo s es fu e rz o s co m b in a d o s y e l c írc u lo de Mohr

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11C aso s esp e c ia le s de e s fu e rzo s co m b in a d o s


Este capítulo se puede estudiar después de com pletar el capítulo 10, o independientemente de él. Existen varios casos prácticos que im plican esfuerzos com binados que se pueden resolver sin recurrir a los procedim ientos más rigurosos y tardados presentados en el capítulo 10, aun cuando las técnicas analizadas en este capítulo están basadas en los principios del capítulo mencionado.

Cuando una viga se somete tanto a flexión com o a esfuerzo axial directo, sea de tensión o de com presión, se puede usar la superposición sim ple de los esfuerzos aplicados para determinar el esfuerzo combinado. M uchos equipos transm isores de potencia incluyen flechas que se someten a esfuerzo cortante torsional jun to con esfuerzo flexionante. Tales flechas se pueden analizar con la teoría de falla del m áxim o esfuerzo cortante y con la técnica de análisis del par de torsión equivalente.


1. Calcular el esfuerzo normal com binado producido por el esfuerzo flexionante junto con esfuerzos de tensión o com presión directos valiéndose del principio de superposición.

2. Reconocer la importancia de visualizar la distribución del esfuerzo en la sección transversal de un miembro de carga y considerar la condición de esfuerzo en un punto.

3. Reconocer la im portancia de los diagramas de cuerpo libre de com ponentes de estructuras y m ecanismos en el análisis de esfuerzos combinados.

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4. Evaluar el factor de diseño en el caso de esfuerzo normal combinado, incluidas las propiedades de los materiales isotrópicos o anisotrópicos.

5. Optimizar el perfil y las dimensiones de un miembro de carga con respecto a la variación del esfuerzo en él y sus propiedades de resistencia.

6. A nalizarm iem bros sometidos sólo a torsión y flexión com binadas con el cálculo del máxim o esfuerzo cortante resultante.

7. Usar la teoría de falla del máximo esfuerzo cortante de manera adecuada.

8. Aplicar la técnica de par de torsión equivalente para analizarm iem bros sometidos a flexión y torsión combinadas.

9. Considerar los factores de concentración de esfuerzo cuando se utilice latécnica del par de torsión equivalente.

1 1 - 2 E S F U E R Z O S N O R M A L E S C O M B IN A D O S

La primera combinación a considerar es la flexión con tensión o compresión directa. En cualquier problema de esfuerzo combinado, conviene visualizar la distribución del esfuerzo producida por los diversos componentes del patrón de esfuerzo total. Se debe revisar la sección 10-3 en busca de los resúmenes de la distribución del esfuerzo en el caso de flexión y tensión y compresión directas. Nótese que la flexión produce esfuerzos de tensión y compresión, al igual que la tensión y compresión directas. Puesto que se produce la misma clase de esfuerzos, una suma algebraica de los esfuerzos producidos en un punto cualquiera es todo lo que se requiere para calcular el esfuerzo resultante en dicho punto. Este proceso se llama superposición.

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5 .

mentó flexionante máximo, calcule el esfuerzo flexionante con la fórm ula de flexión, a - M /S . El esfuerzo m áxim o ocurrirá en las fibras más externas de la sección transversal. O bserve en qué puntos el esfuerzo es de

tensión y en cuáles es de com presión.

Las fuerzas o com ponentes que actúan paralelas al eje neutro pero cuya línea de acción está distante de éste tam bién provocan flexión. E l m om ento flexionante es el producto de la fuerza por lad istanciaperpendiculardel eje neutro a la línea de acción de la fuerza. Calcule el esfuerzo flexionante producido por mom entos com o ésos en cualquier sección donde el esfuer

zo com binado pueda ser el máxim o.

6. Considerando todos los esfuerzos norm ales calculados en los pasos 1-5, use la superposición para com binarlos en cualquier punto de cualquier sección transversal donde el esfuerzo com binado pueda ser m áxim o. La superposición se logra con la sum a algebraica de todos los esfuerzos que actúan en un punto, teniendo cuidado de observar si cada esfuerzo com ponente es de tensión (+) o de com presión (-) . Es posible que se requiera evaluar la condición de esfuerzo en dos o más puntos si no es obvio dónde ocurre el esfuerzo com binado máxim o. En general, el proceso de superpo

sición se puede expresar como:

_ , F M^ c o m b — , — o

( 11- 1)

en donde el térm ino ±F/A, incluye todos los esfuerzos de tensión y com presión directos que actúan en el punto de interés y el térm ino ±M /S, incluye todos los esfuerzos flexionantes que actúan en dicho punto. El signo de cada esfuerzo se debe determ inar de m anera lógica con base en la carga

que provoca el esfuerzo individual.

El esfuerzo m áxim o com binado en el m iem bro se puede com parar entonces con el esfuerzo de diseño del material con el cual se va a fabricar el m iem bro para calcular el factor de diseño resultante y para evaluar la seguridad del m iembro. En m ateriales isotrópicos, el esfuerzo de tensión o de com presión podría provocar la falla, cualquiera que sea el máxim o. Para m ateriales no isotrópicos con diferentes resistencias a tensión y com presión, se tiene que calcular el factor de diseño resultante correspondiente tanto al esfuerzo de tensión com o al de com presión para determ inar cuál

de los dos es el crítico. A demás, en general, se requerirá considerar la estabilidad de aquellas partes de los m iem bros som etidos a esfuerzos de com presión m ediante el análisis de la tendencia al pandeo o al deterioro local del m iembro. V éase el capítulo 14 para lo referente al pandeo de m iem bros sometidos a com presión sem ejantes a colum nas. El análisis con respecto al deterioro y pandeo de partes de m iem bros requerirá referencia a otras fuentes. Véanse las referencias al final de los capítulos 8 ,9 y 10.

En la figura 11-1 se m uestra un ejemplo de un m iem bro en el que se desarrollan tanto esfuerzos flexionantes com o esfuerzos de tensión directos. Las dos vigas horizontales soportan una carga de 10 000 Ib por m edio de cables. Las vigas están firmemente unidas a columnas, de modo que actúan com o vigas en voladizo. La carga en el extremo

Secc ión 1 1 -2 ■ E s fu e rz os n o rm a le s c o m b in ad o s 4 0 7

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5000 Ib = F eos 60° 5000 Ib = F eos 60°

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P a s o 4. L a f u e r z a v e r t ic a l , F v, p r o v o c a f le x ió n d ir ig id a h a c i a a b a jo d e

ta l m o d o q u e la c a r a s u p e r io r d e la v ig a e s t á a t e n s ió n y la

c a r a in fe rio r a c o m p r e s ió n . E l m o m e n to f l e x io n a n te m á x im o

o c u r r i r á e n e l a p o y o iz q u ie rd o , d o n d e :

M = F ¿ 2 .0 p ie s ) = (5 0 0 lb )(2 .0 p ie s ) (1 2 p lg /p ie ) = 1 2 0 0 0 0 Ib p lg

E n to n c e s e l e s f u e r z o f le x io n a n te m á x im o p r o v o c a d o po r

e s t e m o m e n to e s :

P a s o 5.

P a s o 6.

1 2 0 0 0 0 Ib plg= 16 371 psi

- 7 .3 3 p lg 3

U n e s f u e r z o d e e s t a m a g n itu d o c u r r e c o m o e s f u e r z o d e t e n

s ió n e n la c a r a s u p e r io r y c o m o e s f u e r z o d e c o m p r e s ió n en

la c a r a in fe r io r d e la v ig a e n e l a p o y o .

E s te p a s o n o s e a p l ic a a e s t e p r o b le m a p o r q u e n o h a y u n a

f u e rz a h o r iz o n ta l q u e a c t ú e a u n a c ie r ta d i s ta n c ia d e l e je

n e u tro .

S e p u e d e c o n c lu ir q u e e l e s f u e r z o m á x im o c o m b in a d o o c u

r re e n la c a r a s u p e r io r d e la v ig a e n e l a p o y o , p o r q u e ta n to el

e s f u e r z o d e t e n s ió n d i r e c to , c a l c u l a d o e n e l p a s o 3 , co m o

e l e s f u e r z o f le x io n a n te , c a lc u la d o e n e l p a s o 4 , p ro v o c a n

te n s ió n e n d ic h o s p u n to s . P o r c o n s ig u ie n te , s e s u m a rá n .

P o r s u p e rp o s ic ió n :

' - 'c a ra s u p e r io r = 2 5 2 7 p s i + 16 3 7 1 p s i = 1 8 8 9 8 p s i d e te n s ió n

P o r c o m p a r a c ió n , e l e s f u e r z o c o m b in a d o e n la c a r a inferior

d e la v ig a e s :

creara interior = 2 5 2 7 p s i - 1 6 3 7 1 p s i = - 1 3 8 4 4 p s i d e c o m p re

s ió n

L a f ig u ra 1 1 - 4 m u e s t r a u n j u e g o d e d i a g r a m a s q u e ¡lustran

e l p r o c e s o d e s u p e r p o s ic ió n . L a p a r t e (a ) c o r r e s p o n d e al

e s f u e r z o e n la v ig a p r o v o c a d o p o r f le x ió n . L a p a r te (b)

m u e s t r a e l e s f u e r z o d e t e n s ió n d i r e c to p r o v o c a d o p o r Fv. La

p a r te (c) m u e s t r a la d is t r ib u c ió n d e l e s f u e r z o c o m b in a d o .

o¡, = + 1 6 3 7 1 lb/plg <T,= +2527 lb/plg2 ^carasuperi!>r = 0¡>+ ° ) =18 8?» Ib/plg"'

__V

( a) D istribución del

esfuerzo flexionante

(Z>) D istribución del esfuerzo

de tensión directa

(c) D istribución del

esfuerzo com binado

F IG U R A 1 1 -4 D iagram a del p rinc ip io de superposic ión ap licado a las vigas de la figura 11—1.

C ap ítu lo 11 ■ C as os e s p e c ia le s de es fu e rzo s com binados

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(a) D iagram a d e cuerpo libre de la m esa

F

M = FR

E sfuerzo de co m p resió n m áx im o

com binado en el lado derecho

M = FR

F(b) D iagram a d e cu erp o libre de l tubo

F IG U R A 1 1 - 6 D iagram as d e cuerpo libre d e la m esa y el tubo

del e jem p lo 11-2.

c r e to , e s u n a f u e r z a d ir ig id a h a c i a a r r ib a , c o m b in a d a c o n u n m o m e n to

d e s e n t id o a n t ih o r a r io . S ig a la s In s tru c c io n e s p a ra re s o lv e r prob lem as

c o n es fu e rzo s n o rm a le s com b in ados.

R e s u lta d o s P a s o 1. L a f ig u ra 1 1 - 6 m u e s t r a e l d i a g r a m a d e c u e r p o lib re . L a fu er

z a e s la a t r a c c ió n g r a v i ta c io n a l d e la m a s a d e 1 3 5 k g .

F = m g = 1 3 5 kg-9.81 m / s 2 = 1 3 2 4 N

P a s o 2. N o a c t ú a n f u e r z a s in c l in a d a s c o n r e s p e c to a l e j e d e l tubo .

P a s o 3. A h o ra b ie n , e l e s f u e r z o d e c o m p r e s ió n a x ia l d i r e c to e n el

t u b o e s :

F

P e ro :

A =7t (Dq - P,2) _ t t (1702 - 1 6 3 2) m m :

= 1831 m rrí4 4

C a p itu lo 11 ■ C a so s e s p e c ia le s de es fu e rz o s com b inados

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C o m e n ta r io E s to s v a lo r e s b a s a d o s e n lo s e s f u e r z o s n o r m a le s d e te n s ió n y c o m p re

s ió n d e b e n s e r a c e p t a b l e s p a r a e s t a a p l ic a c ió n . L a t a b la 3 - 2 d e l c a p ítu lo

3 s u g ie r e N = 2 b a s a d o e n la r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a e n e l c a s o d e c a r

g a e s t á t i c a y N = 1 2 b a s a d o e n la r e s i s t e n c i a ú l t im a e n e l c a s o d e

im p a c to . S i la p e r s o n a s e s i e n ta e n e l b o r d e d e la m e s a , la c a r g a s e

c o n s id e r a r ía e s t á t ic a . P e r o si la p e r s o n a s a l ta s o b r e e l b o r d e la c a rg a

s e r í a d e im p a c to . El f a c to r d e d i s e ñ o d e 1 1 .9 e s c a s i e i v a lo r r e c o m e n d a

d o d e 1 2 . S in e m b a r g o , s e t i e n e q u e l le v a r a c a b o u n a n á l i s i s ad ic io n a l

p a r a e v a lu a r la t e n d e n c i a d e l tu b o a p a n d e a r s e c o m o s i f u e r a u n a co lu m

n a , ta l c o m o s e v e r á e n e l c a p í tu lo 1 4 . A d e m á s , la r e f e r e n c ia 1 d e f in e los p r o c e d im ie n to s p a r a e v a lu a r la t e n d e n c i a a l p a n d e o lo c a l d e u n tu b o

c i r c u la r h u e c o s o m e tid o a c o m p r e s ió n .

1 1 - 3 E S F U E R Z O S N O R M A L Y C O R T A N T E C O M B IN A D O S

Las flechas giratorias de máquinas transm isoras de potencia son buenos ejemplos de miembros cargados de tal modo que producen flexión y torsión com binadas. La figura11 - 7 m uestra una flecha con dos ruedas dentadas para cadena. La potencia se transmite a la flecha por m edio de la rueda en C y hacia abajo de aquélla hasta la rueda e n 5 , la que, a su vez, la transmite a otra flecha. Porque está transm itiendo potencia, la flecha entre B y C soporta un par de torsión y un esfuerzo cortante torsional, com o se vio en el capítulo 5. Para que las ruedas dentadas transmitan torsión, deben ser arrastradas por un lado de la cadena. En C, el lado trasero de la cadena debe tirar hacia abajo con la fuerza F¡ para im pulsar la rueda dentada en sentido horario. Como la rueda dentada en B acciona a otra rueda dentada, el lado delantero de la cadena estaría a tensión por la acción de la fuerza F2. Las dos fuerzas, F , y F2, que actúan dirigidas hacia abajo, provocan flexión de la flecha. Por eso, la flecha se debe analizar tanto con respecto a esfuerzo cortante torsional com o con respecto a esfuerzo flexionante. En tal caso, como am bos esfuerzos actúan en el mismo lugar de la flecha, se tiene que determinar su efecto combinado. El método de análisis que se va a utilizar se llama teoría defalla del esfuerzo cortante máximo, la cual se describe a continuación. Luego se presentaran algunos ejemplos.

T e o r ía d e fa lla d e l m á x im o e s fu e rz o c o r ta n te . Cuando el esfuerzo de tensióno compresión provocado por flexión ocurre en el m ismo lugar donde ocurre un esfuerzo

F IG U R A 1 1 -7 Flechas transm isoras de potencia.

4 1 4 C ap ítu lo 11 ■ C a sos e s p ec ia le s de es fu e rz o s com binados

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cortante, las dos clases de esfuerzo se combinan para producir un esfuerzo cortante de m ayor magnitud. El esfuerzo máxim o se calcula con:

+ T ( 11- 2)

En la ecuación (11-2), e s e refiere a la magnitud del esfuerzo de tensión o compresión en un punto, y Tes el esfuerzo cortante en el m ismo punto. El resultado rmáx es el esfuerzo cortante máxim o en el punto. El fundamento de la ecuación (11—2) se dem ostró con el

círculo de M ohr en la sección 10-12.La teoría de falla del esfuerzo cortante máxim o establece que un miembro falla

cuando el esfuerzo cortante máxim o excede la resistencia a la cedencia del material a cortante. Esta teoría de falla guarda una buena correlación con los resultados de prueba de metales dúctiles como la m ayoría de los aceros.

P a r d e to rs ió n e q u iv a le n te . La ecuación (11-2) se puede expresar en una forma sim plificada para el caso particular de una flecha circular som etida a flexión y torsión. Si se evalúa el esfuerzo flexionante por separado, el esfuerzo m áxim o de tensión o compre-

5

en donde: S= = módulo de sección

D = diámetro de la flecha

M = momento flexionante en la sección

El esfuerzo máxim o producido por flexión ocurre en la superficie externa de la flecha,

com o se muestra en la figura 11-8.Ahora, considérese el esfuerzo cortante torsional por separado. En el capítulo 5 se

derivó la ecuación del esfuerzo cortante torsional:

en donde: Z = = módulo de sección polar

T = par de torsión en la sección

✓ E sfuerzo de com presión m áxim o .

í 1

\ E je neutro

1

N>

E sfuerzo de tensión m áxim o

S ecc ión 1 1 - 3 » E sfue rzos no rm a l y co rtan te co m b in ado s

F IG U R A 1 1 - 8 D istribución del

esfuerzo flex ionante en u n aflech a

circular.

415

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Las ecuaciones (11-4) y (11-5) simplifican en gran medida el cálculo del esfuerzo cortante máximo en una flecha circular sometida a flexión y torsión.

En el diseño de flechas circulares sometidas a flexión y torsión, se puede especificar un esfuerzo de diseño dando el esfuerzo cortante máxim o permisible. Esto se hizo en

el capítulo 5:

Td =N

en donde s v¡ es la resistencia a la cedencia del material sometido a cortante. Com o „rara vez se conoce, se puede usar el valor aproxim ado determinado con sy¡= sy/2 . Por tanto:

Td = w( 11- 6 )

en donde sy es la resistencia a la cedencia a tensión, tal como se reporta en la m ayoría de las tablas de propiedades de materiales, como las de los apéndices A -13 a A -17. Se recomienda que el valor del factor de diseño no sea menor que 4. U na flecha giratoria sometida a flexión es un buen ejemplo de una carga repetida e invertida. Con cada revolución de la flecha, un punto particular de la superficie se som ete al esfuerzo de tensión m áxim oy luego al esfuerzo de compresión máximo. Así pues, la fatigaes el m odo de falla esperado, y se recomienda N= 4 o mayor, basado en la resistencia a la cedencia.

C o n c e n tra c io n e s d e e s fu e rz o . En flechas, las concentraciones de esfuerzo se crean por los cambios repentinos de geometría, tales como cuñeros, hom bros y ranuras. Véase el apéndice A-21 donde se dan valores de factores de concentración de esfuerzo. La aplicación apropiada de factores de concentración de esfuerzo a las ecuaciones (1 1 -4 ) y (11-5) de par de torsión equivalente se debe considerar con cuidado. Si el valor de K,en una sección de interés es igual tanto a flexión como a torsión, entonces se puede aplicar

directamente a la ecuación (11-5). Es decir:

T,K,(11-7)

La forma de la ecuación (11-7) también se puede aplicar como un cálculo conservador de rmáx seleccionando K, como el valor máximo a torsión o a flexión.

Para tener en cuenta el K, apropiado tanto para torsión como para flexión, la ecua

ción (1 1 -4 ) se puede modificar como sigue:

Tt = + (K , t T ) 2 ( 11- 8)

Entonces la ecuación (11-5) se puede usar de manera directa para calcular el esfuerzo

cortante máximo.

E sfue rzos no rm al y co rta n te com b inados 417

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E s p e c i f iq u e u n m a te r ia l a d e c u a d o p a r a la f le c h a m o s t r a d a e n la f ig u ra 1 1 - 7 . L a flecha

t i e n e u n d iá m e tro u n ifo rm e d e 5 5 m m y g ira a 1 2 0 rp m a l m is m o t ie m p o q u e tra n sm ite

3 .7 5 k W d e p o te n c ia . L a s r u e d a s d e n t a d a s B y C s e m o n ta n e n la f le c h a p o r m e d io de

c u ñ a s . L a r u e d a d e n ta d a C r e c ib e la p o te n c ia y la 6 la e n t r e g a a o tr a f le c h a . L o s c o jin e te s

e n A y D f u n c io n a n c o m o a p o y o s s im p le s p a r a la f le c h a .

O b je t iv o E s p e c if ic a r u n m a te r ia l a d e c u a d o p a r a la f le c h a .

D a t o s L a f le c h a y l a s c a r g a s m o s t r a d a s e n la f ig u ra 1 1 - 7 .

P o te n c ia = P = 3 .7 5 kW . V e lo c id a d d e ro ta c ió n = n = 1 2 0 rp m .

D iá m e tro d e la f le c h a = D = 5 5 m m .

C u ñ e r o s e n S y C.

A p o y o s s im p le s e n A y D.

A n á l i s i s A c o n t in u a c ió n s e d e s c r ib e n lo s d iv e r s o s p a s o s q u e s e s ig u e n e n la

so lu c ió n d e e s t e p ro b le m a .

1 . El p a r d e to r s ió n e n la f le c h a s e c a lc u la r á p a r a la p o te n c ia y la ve lo c i

d a d d e ro ta c ió n c o n o c id a s c o n T = P/n, ta l c o m o s e d e s a r r o l ló e n el

c a p í tu lo 5.

2 . S e c a lc u la r á n la s t e n s io n e s e n l a s c a d e n a s d e la s r u e d a s B y C.

É s t a s s o n la s f u e r z a s q u e p r o d u c e n f lex ió n e n la f le c h a .

3 . S i s e c o n s id e r a la f le c h a c o m o u n a v ig a , s e d ib u ja r á n s u s d ia g ra m a s

d e c o r ta n te y m o m e n to f le x io n a n te .

4. E n la s e c c ió n d o n d e o c u r r e e l m á x im o m o m e n to f le x io n a n te , s e cal

c u la r á e l p a r d e to r s ió n e q u iv a le n te 7 e c o n la e c u a c ió n ( 1 1 - 4 ) .

5 . S e d e te r m in a r á n e l m ó d u lo p o la r d e s e c c ió n Zp y e l f a c to r d e c o n c e n

tra c ió n d e e s f u e r z o K , .

6 . El e s f u e r z o c o r ta n te m á x im o s e c a lc u la r á c o n la e c u a c ió n ( 1 1 -7 ) .

7 . L a r e s i s t e n c ia a la c e d e n c ia r e q u e r id a d e l m a te r ia l d e la f le c h a se

c a lc u la r á c o n rm¿x= r tfe n la e c u a c ió n ( 1 1 - 6 ) y r e s o lv ié n d o la p a r a or

R e c u é r d e s e q u e d e b e s e r N = 4 o m a y o r .

8 . D e l a p é n d ic e A - 1 3 s e s e l e c c io n a r á u n a c e r o q u e t e n g a u n a su f ic ien

te r e s i s t e n c ia a la c e d e n c ia .

R e s u l t a d o s P a s o 1. La u n id a d d e s e a b l e p a r a e l p a r d e to r s ió n e s e l N m . En tal

c a s o e s m u y c o n v e n ie n te o b s e r v a r q u e la u n id a d d e p o te n

c ia d e k ilo w atts e s e q u iv a le n te a la u n id a d e s d e kN -m /s. Asi

m ism o , la v e lo c id a d d e ro ta c ió n d e b e e x p r e s a r s e e n rad /s.

120 rev 2t t r a d 1 m in , ,n = ----- :— x ----------x — — = 1 2 .5 7 r a d /s

m in rev 6 0 s

A h o ra s e p u e d e c a lc u la r e l p a r d e to r s ió n .

1P 3 .7 5 kN mT = — = ---------------x

n s 1 2 .5 7 r a d /s= 0 .2 9 8 kN-m

P a s o 2. E n la f ig u ra 1 1 - 7 s e in d ic a n la s t e n s io n e s e n la s c a d e n a s

p o r m e d io d e la s f u e r z a s F , y F2. P a r a q u e la f le c h a e s t é en

C a p itu lo 1 1 » C a sos es pe c ia le s de es fu e rzos com binados

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P o r ta n to : s y = 2A/rmáx = (2) (4) (5 3 .9 M P a) = 431 M Pa

P a s o 8. E n e l a p é n d i c e A - 1 3 s e v e q u e s e p o d r ía n u s a r v a r i a s a le a

c io n e s . P o r e je m p lo , e l a c e r o A IS I 1 0 4 0 e s t i r a d o e n frío,

t i e n e u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c i a d e 4 9 0 M P a . L a a le a c ió n

A IS 1 1 1 4 1 O Q T 1 3 0 0 t i e n e u n a r e s i s t e n c i a a la c e d e n c ia de

4 6 9 M P a y t a m b ié n u n a e x c e l e n t e d u c t i l id a d , in d ic a d a por

s u 2 8 % d e a l a r g a m ie n to . C u a lq u ie r a d e é s t a s s e r í a u n a op

c ió n r a z o n a b le .

B I B L I O

1. A lu m in u m A sso c ia tio n , S p e c ific a t io n s f o r A lu m in u m

S tru c tu re s , W a sh in g to n . D C , 1986.

2. A m erican Institu te o f S tee l C o n stru c tio n , M a n u a l o f

S te e l C o n s tru c tio n , 9 th e d ., C h ica g o , 1989.

3. M ott, R obert L ., M a c h in e E le m e n ts in M e c h a n ic a l D e-

s ign , 2nd e d ., M err ill, an im p rin t o f M a cm illa n Pub-

l ish in g C o ., N ew York, 1992.

P R O B

E s f u e r z o s n o r m a l e s c o m b i n a d o s

1 1 - 1 . 1 Se utiliza un tubo de acero cédula 40 de 2 1/2 plg como soporte de un tablero de baloncesto, como se muestra en la figura 11—11. Está firmemente afianzado en el suelo. Calcule el esfuerzo que se desarrollaría en el tubo si un jugador de 230 Ib se cuelga de la base del aro de la canasta.

11-2.M La ménsula mostrada en la figura 11-12 tiene una sección transversal rectangular de 18 mm de ancho por 75 mm de altura. Está firmemente empotrada en el muro. Calcule el esfuerzo máximo en la ménsula.

1 1 - 3 . 1 La viga mostrada en la figura 11-13 soporta una carga de 6000 Ib aplicada aúna ménsula debajo de ella. Calcule el esfuerzo en los puntos M y Ndonde se fija a la columna.

1 1 - 4 . 1 Para la viga mostrada en la figura 11-13, calcule el esfuerzo en los puntos My N si la carga de 6000 Ib actúa verticalmente dirigida hacia abajo en lugar de inclinada.

1 1 - 5 . 1 Para la viga mostrada en la figura 11-13, calcule el esfuerzo en los puntos M y N si la carga de 6000 Ib actúa hacia ía columna a un ángulo de 40° por debajo de la horizontal en lugar de como se muestra.

4 2 0

G R A F I A

4. S h ig ley , J. E ., and C . R . M isc h k e , M e c h a n ic a l Engi-

n e er in g D esign , 5th e d ., M cG raw -H ill B ook Company,

N ew York, 1989.

E M A S

F I G U R A 1 1 -1 1 T a b le ro d e b a lo n c e s to d e l

p ro b le m a 11—1.

C a p ítu lo 11 ■ C a so s e s p e c ia le s de e s fu e rz o s com b inados

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6 plg 6 plg

B

6 plg 6 plg

Polea de 12 plg

C ojinete

Polea de 8 p lg

2101b 10501b

450 Ib

C ojinete

Polea de 4 p lg

Poleas m ontadas en la flecha

po r m ed io de cuñas2401b 12001b

FIGURA 11-30 Flecha del problem a 11-32.

11-33.M La flecha vertical mostrada en la figura 11-31 dispone de dos poleas impulsadas por correas. Se muestran las fuerzas de tensión en las correas en operación. Además, la flecha soporta una carga de compresión axial de 6.2 kN. Considerando esfuerzos de torsión, flexión y de compresión axial, calcule el esfuerzo cortante máximo con la ecuación (1 1-2).

P = 6.2 kN

200 mm

200 mm

200 mm

Cojinete

de em pujePoleas m ontadas

en la flecha por

m ed io de cuñas

P = 6.2 kN

FIGURA 11-31 Flecha del prob lem a 11-33.

P ro b le m a s

11-34.M Parala flecha del problema 11-33, especifique un acero adecuado que produzca un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia a cortante.

E s fu e rz o s de te n s ió n a x ia l y c o rta n te

d ire c to c o m b in a d o s

11-35.1 Un tomillo de máquina tiene roscas UNC American Standard Número 8-32 (véase el apéndice A-3). El tomillo se somete a una fuerza de tensión axial que produce un esfuerzo de tensión directa en las roscas de 15 000 lb/plg2 basado en el área sometida al esfuerzo de tensión. Hay una sección debajo de la cabeza sin roscas cuyo diámetro es igual al diámetro mayor de las roscas. Esta sección también se somete a una fuerza cortante directa de 120 Ib. Calcule el esfuerzo cortante máximo en esta sección.

11-36.1 Repita el problema 11-35 excepto que las roscas del tomillo son de 1/4-20 UNC American Standard y la fuerza cortante es de 775 Ib.

11-37.1 Repita el problema 11-35 excepto que las roscas del tomillo son No. 4—48 UNF American Standard y la fuerza cortante es de 50 Ib.

11-38.1 Repita el problema 11-35 excepto que las roscas del tomillo son 1 l/4 -12U N Fyla fuerza cortante es de 2500 Ib.

11-39.M Un tomillo de máquina tiene roscas métricas con un diámetro mayor de 16 mm y un paso de 2.0 mm (véase el apéndice A-3). El tomillo se somete a una fuerza axial que produce un esfuerzo de tensión directo en las roscas de 120 MPa basado en el área sometida al esfuerzo de tensión. Hay una sección debajo de la cabeza sin roscas cuyo diámetro es igual al diámetro mayor de las roscas. Esta sec

427

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ción también se somete a una fuerza cortante directa de 8.0 kN. Calcule el esfuerzo cortante máximo en esta sección.

11-40.M Un tomillo de máquina tiene roscas métricas con un diámetro mayor de 48 mm y un paso de 5.0 mm (véase el apéndice A-3). El tomillo se somete a una fuerza axial que produce un esfuerzo de tensión directo en las roscas de 120 MPa basado en el área sometida al esfuerzo de tensión. Hay una sección debajo de la cabeza sin roscas cuyo diámetro es igual al diámetro mayor de las roscas. Esta sección también se somete a una fuerza cortante directa de 80 kN. Calcule el esfuerzo cortante máximo en esta sección.

E s fu e rz o s fle x io n a n te y c o rta n te

v e rtic a l c o m b in a d o s

11-41.1 Una barra rectangular se usa como viga sometida a una carga concentrada de 5500 Ib a la mitad de su claro de 60 plg. La sección transversal es de 2.0 plg de ancho por 6.00 plg de altura, con la dimensión de 6.00 plg orientada verticalmente. Calcule el esfuerzo cortante máximo que ocurre en la baña cerca de la carga en los siguientes puntos de la sección:

(a ) En la cara inferior de la barra.

(b ) En la cara superior de la barra.

(c) En el eje neutro.

(d) En un punto a 1.0 plg sobre la cara inferior de la barra.

(e) En un punto a 2.0 plg sobre la cara inferior de ¡abarra.

11-42.1 Repita el problema 11-41 excepto que la viga es una viga I de aluminio, 16 x 4.692.

11-43.1 Repita el problema 11-41 excepto que la carga es una carga uniformemente distribuida de 100 lb/plg a todo lo largo de la viga. Considere seccio

nes transversales cerca del centro de la viga, cerca de los apoyos y a 15 plg del apoyo izquierdo.

S e c c io n e s no c irc u la re s -e s fu e rz o s n orm al

y c o rta n te to rs io n a l c o m b in a d o s

11- 44.M Una barra cuadrada de 25 mm de lado soporta una carga de tensión axial de 75 kNjunto con un par de torsión de 245 N m. Calcule el esfuerzo cortante máximo en la barra. (Nota: Recurra a la sección 5-11 y la figura 5-18.)

11- 45.M Una barra rectangular con sección transversal de 30 mm por 50 mm soporta una carga de tensión axial de 175 kNjunto con un par de torsión de 525 N m. Calcule el máximo esfuerzo cortante en la barra. (Nota: Recurra a la sección 5-11 y la figura 5-18.)

11-46.M Una barra tiene una sección transversal en forma de triángulo equilátero, de 50 mm de lado. Soporta una fuerza de tensión axial de 115 kN junto con un par de torsión de 775 N m. Calcule el máximo esfuerzo cortante en la barra. (Nota: Recurra a la sección 5-11 y la figura 5-18.)

11-47.1 Un eslabón de un mecanismo de grandes dimensiones está hecho de un tubo estructural de 3 x 3 x 1/4 (véase el apéndice A-9). Originalmente se diseñó para que soportara una carga de tensión axial que produce un factor de diseño de 3, basado en la resistencia a la cedencia del acero estructural ASTM A500 formado en frió, grado C.

(a) Determine la carga y el máximo esfuerzo cortante que se produce en el tubo.

(b ) En operación, el tubo experimenta un par de torsión de 950 Ib-pie además de la carga axial. Calcule el esfuerzo cortante máximo producido por esta carga combi nada y calcule el factor de diseño resultante basado en la resistencia a la cedencia del acero a cortante. (Véase la sección 5-11 y la figura 5-18.)

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12D efle x ión de v ig a s


El funcionamiento adecuado de las piezas de una m áquina, la rigidez estructural de los edificios, los chasises de vehículos y máquinas y la tendencia de una pieza a vibrar dependen de la deformación de vigas. Por consiguiente, la facultad de analizar vigas para detectar deflexiones por la acción de una carga es muy im portante.

En este capítulo se presentan los principios en los que se basa el cálculo de la deflexión de vigas, junto con cuatro conocidos m étodos de análisis de deflexión: el método de la fórm ula , el método de superposición, el método de integración sucesiva y el método del área de momento.

Cada uno de ellos ofrece ventajas y desventajas, y la decisión de qué m étodo va a ser utilizado depende de la naturaleza del problem a. El m étodo de la fórm ula es el más sim ple, pero depende de la disponibilidad de una fórm ula adecuada que case con la aplicación. El método de superposición, una extensión modesta del método de la fórmula, ampl ía de m anera dram ática el número de problem as prácticos que se pueden resolver sin un aum ento significativo en la com plejidad de la solución. El método del área de m om ento es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular las deflexiones de sólo uno o unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de com prensión del principio de m omentos y de las técnicas de preparar diagram as de momento flexionante. El método de integración sucesiva tal vez es el más general, y se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y m om ento flexionante y de derivar las ecuaciones de la pendiente y la

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deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de integración sucesiva produce ecuaciones para la pendiente y la deflexión en toda la viga y perm ite la determinación directa del punto de máxim a deflexión. A lgunas fórmulas publicadas se desarrollaron con el método de integración sucesiva o el método del área de momento.

Existen varios program as de análisis de vigas asistidos por com putadora que reducen el tiempo y el cálculo requeridos para determ inar la deflexión de vigas. Si bien aligeran la carga de trabajo del diseñador, se recomienda que se entiendan los principios en los que están basados antes de utilizarlos.

D espués de terminar el estudio de este capitulo, el lector será capaz de:

1. Entender la necesidad de considerar las deflexiones de vigas.

2. Entender el desarrollo de las relaciones entre el patrón de carga y los apoyos en una viga y la deflexión de ésta.

3. M ostrar con una gráfica las relaciones entre las curvas de carga, fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexión de vigas.

4. Usar fórmulas estándar para calcular la deflexión de vigas en puntos seleccionados.

5. Usar el principio de superposición jun to con fórmulas estándar para resolver problem as de m ayor complejidad.

6. Desarrollar fórmulas de la deflexión de vigas para ciertos casos con el método de integración sucesiva.

7. Api icar el método de integración sucesiva a vigas que poseen una am plia variedad de condiciones de carga y apoyo.

8. Usar el método del área de momento para determ inar la pendiente y la deflexión de vigas.

9. Escribir program as de cómputo que sirvan de ayuda al utilizar los diversos métodos de análisis de vigas descritos en este capítulo.

La organización del capítulo permite una cobertura selectiva. En general, toda la información necesaria para usar cada uno de los m étodos se incluye en esa parte del capítulo. Una excepción es que se requiere lacom prensión del método de la fórm ula antes de usar el método de superposición.

L A N E C E S ID A D D E C O N S ID E R A R L A S D E F L E X IO N E S D E V IG A S

El huso de un torno o prensa taladradora y el árbol de una fresadora portan herramientas de corte para m aquinar metales. La deflexión del huso o del árbol tendría un efecto adverso en la precisión de la máquina. El tipo de carga y apoyo de estos elem entos de máquina indican que son vigas, y el procedimiento para calcular su deflexión se analizará en este capítulo.

El equipo de precisión para m edición también se debe diseñar para que sea rígido. La deflexión provocada por la aplicación de las fuerzas de m edición reduce la precisión de la medición deseada.

Las flechas transm isoras de potencia que portan engranes deben ser suficientem ente rígidas para garantizar que los dientes de los engranes se traben adecuadamente. La deflexión excesiva de las flechas tendería a separar los engranes com pañeros, lo que haría que el punto de contacto entre los dientes de los engranes no fuera el óptimo. La

C a p ítu lo 12 ■ D e flex ión de vigas

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generación de ruido, la reducción en la capacidad de transm itir potencia y el desgaste increm entado serían el resultado. Para engranes rectos, se recom ienda que el m ovim iento entre dos engranes no sea de más de 0.005 plg (0.13 mm). E ste lím ite es la suma del m ovim iento de las dos flechas que portan los engranes acoplados en el lugar donde van

montados.Los pisos de edificios deben ser suficientem ente rígidos para soportar las cargas

esperadas. Los ocupantes del edificio no deben notar las deflexiones del piso. Las m áquinas y otros equipos requieren unp iso estable para su funcionam iento adecuado. Las vigas que soportan cielos rasos enyesados no se deben deflexionar en exceso para que no se agriete el yeso. La deflexión a m enudo se lim ita a 1/360 veces el claro de la viga que

soporta un cielo raso.Los bastidores de vehículos, m áquinas form adoras de metal, aparatos autom áticos

y equipo de proceso tam bién deben poseer suficiente rigidez para garantizar el funcionam iento adecuado del equipo soportado p o r el bastidor. La cabeza de un tom o, la corona de una prensa punzonadora, la estructura de un m ecanism o de ensam ble autom ático y el

chasis de un cam ión son algunos ejemplos.Las oscilaciones de las piezas de una estructura o m áquina provocan vibración. La

tendencia a vibrar a una cierta frecuencia y la severidad de las vibraciones son funciones de la flexibilidad de las piezas. D esde luego, flexibilidad es un térm ino usado para describ ir el punto al cual se deflexiona una pieza por la acción de una carga. Los problem as de vibración pueden resolverse incrementando o disminuyendo la rigidez de una pieza, según las circunstancias. En uno u otro caso, es im portante entender cóm o se calculan las

deflexiones de vigas.

L ím ite s d e d e f le x ió n re c o m e n d a d o s . E sresponsab ilidaddeld iseñadorespecifi-

car la m áxim a deflexión perm isible de una viga de m áquina, chasis o estructura. El conocim iento de la aplicación debe servir de guía. En ausencia de esta guía, en las referencias

2 y 3 se sugieren los límites siguientes:

Pieza general de máquina: _y,„¿x= 0.0005 a 0.003 plg/plg o m m /m m delongitud de viga.ymix~ 0.00001 a0 .0005 p lg /p lgom m /m m de longitud de viga.

0.000001 a 0.00001 plg/plg o mm/mm

de longitud de viga.

Precisión moderada:

Alta precisión:

1 2 - 3 D E F IN IC IÓ N D E T É R M IN O S

Para describir de m anera gráfica la condición de una viga que soporta un patrón de carga, se usan cinco diagramas, com o se m uestra en la figura 12-1. Y a se usaron los prim eros tres diagram as en capítulos anteriores de este libro. El diagrama de carga es el diagram a de cuerpo libre en el cual se m uestran todas las cargas extem as y las reacciones en los apoyos. A partir de éste, se desarrolló el diagrama de fuerza cortante, el cual perm ite calcular los esfuerzos cortantes en cualquier sección de una viga. El diagrama de momento flexionante es una curva de la variación del m om ento flexionante con la posición en la v iga incluidos los resultados utilizados para calcular el esfuerzo causado por flexión. El eje horizontal de estas curvas es la posición en la viga, llam ada .r. Se acostum bra m edirx con respecto al extrem o izquierdo de la viga, aunque se puede usar cualquier punto de

referencia.

D ia g ra m a d e d e f le x ió n . Los últimos dos diagram as tienen que ver con la deform a

ción de la viga som etida a las cargas. Conviene com enzar el análisis con el últim o diagra-

S e c c ió n 1 2 -3 ■ D e fin ic ió n de té rm in os 4 3 1

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D ia g ra m a d e la p e n d ie n te . Una línea trazada tangente a la curva de deflexión en un punto de interés define la pendiente de la curva de deflexión en dicho punto. Lapendiente se indica com o el ángulo 6; medido en radianes con respecto a la horizontal, com o se muestra en la figura 12-1. La representación gráfica de la pendiente como una función de la posición en la viga es la curva de la pendiente, dibujada bajo la curva del momento flexionante y sobre la curva de la deflexión. N ótese en la viga dada que lapendiente de la porción izquierda de la curva de la deflexión es negativa y la de la porción derecha es positiva. El punto donde la línea tangente es horizontal es el punto de pendiente cero y define la ubicación de la deflexión máxim a. Esta observación se usará en el análisis del m étodo del área de momento y del método de integración sucesiva, m ás adelante en este capítulo.

R a d io d e c u rv a tu ra . La figura 12-2 m uestra el radio de curvatura, R, en un punto particular. En vigas prácticas, la curvatura es mínima, lo que produce un valor de R muy grande. Por conveniencia, la forma de la curva de la deflexión se exageró para poder visualizar los principios y las variables implicadas en el análisis. Recuérdese que según la geom etría analítica el radio de curvatura en un punto es perpendicular a la línea trazada tangente a la curva en dicho punto.

C entro de

curvatura

con deflexión

F IG U R A 1 2 - 2 Ilustración del rad io de curvatura y pendiente de la curva de deflex ión de una viga.

Secc ión 1 2 -3 ■ D e fin ic ión de té rm in o s 4 3 3

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La relación entre pendiente y deflexión también se ilustra en la figura 12-2. A lo largo de una pequeña distancia dx, la deflexión cambia una pequeña cantidad dy. Una pequeña parte de la curva de la deflexión en sí com pleta el triángulo rectángulo del cual se define:

ta n 0 = í~ (1 2 -1 )dx

El valor absoluto de 6 será muy pequeño porque la curvatura de la viga es mínima. Entonces, se puede sacar provecho de la observación de que, para ángulos pequeños, tan9 = 0. Por tanto:

Por consiguiente, se puede concluir que:

La pendiente de la curva de la deflexión en un punto es igual a la razón de! cambio de la deflexión al cambio deposición en la viga.

R ig id e z d e u n a v ig a , Más adelante se demostrará que la cantidad de deflexión de una viga es inversamente proporcional a su rigidez, indicada por el producto El, en donde:

E = módulo de elasticidad del material de la viga/ = momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto al eje

neutro

D E F L E X IO N E S D E V IG A S C O N E L M É T O D O D E L A F Ó R M U L A

Para muchas configuraciones prácticas de cargas y apoyos de vigas, se han derivado fórmulas que permiten calcular deflexión en cualquier punto de una viga. El método de integración sucesiva o método del área de m omento, más adelante descritos, se pueden usar para desarrollar las ecuaciones. Los apéndices A -22 , A -23 y A -2 4 incluyen muchos ejemplos de fórm ulas de deflexiones de vigas.

Las fórmulas de deflexión son válidas sólo en los casos donde la sección transversal de la viga es uniform e a lo largo de ella. La aplicación de las fórmulas se demostrará con ejemplos.

El apéndice A -22 incluye diez condiciones diferentes de carga sobre vigas simplemente apoyadas, es decir, vigas que cuentan con dos y sólo dos apoyos sim ples. Algunas son vigas en voladizo. Con anterioridad se demostró que las vigas com o ésas se pueden analizar con respecto a los valores de las reacciones con las ecuaciones estándar de equilibrio. Luego se pueden desarrollar los diagramas de fuerza cortante y m om ento flexionante con los m étodos del capítulo 6, con los cuales se puede com pletar el análisis del esfuerzo de la viga, com o se vio en los capítulos 8 y 9. Para evaluar la aceptabilidad de un diseño de viga se tendrá que com pletar tanto el análisis del esfuerzo com o el análisis de la deflexión.

Las condiciones de carga en el apéndice A -22 incluyen cargas concentradas únicas, dos cargas concentradas, una variedad de cargas distribuidas y un caso con un momento concentrado. El momento concentrado se podría desarrollar como en los ejemplos

C a p ítu lo 12 ■ D e flex ió n d e vigas

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de la sección 6-8 . La línea tenue delgada en los diagramas es un bosquejo de la forma de la viga deflexionada, un tanto exagerada. Esta sirve para visualizar dónde se pueden esperar los puntos críticos de deflexión.

Tengase cuidado cuando se rotulen las cargas y las dim ensiones en los diagramas de deflexión de vigas. Es esencial que la viga real que se va a analizar concuerde con la forma general de un caso dado y que se identifiquen con precisión las variables em pleadas en las fórmulas a la derecha de los diagramas. En la m ayoría de los casos, se dan fórmulas para la deflexión máxima anticipada, para las deflexiones en los extremos voladizos y para las deflexiones en puntos de aplicación de cargas concentradas. Algunos casos incluyen fórmulas para la deflexión en un punto cualquiera seleccionado.

N ótese la forma general de las fórmulas de deflexión. M ientras que algunas son m ás complejas que otras, se pueden observar las siguientes características generales. La comprensión de estas observaciones sirve para tom ar buenas decisiones cuando se diseñan vigas.

1. La variable^ denota las deflexiones, las cuales son el cambio de posición del eje neutro de la viga desde su condición sin carga hasta la condición cargada final, medidas perpendiculares al eje neutro original.

2. Las deflexiones hacia arriba son positivas; hacia abajo son negativas.

3. La variable a-, cuando se utiliza, denota la posición horizontal en la viga, medida a partir de uno de los apoyos. En algunos casos, se indica una segunda variable de posición v, medida a partir del otro apoyo.

4. Las deflexiones son proporcionales a la carga aplicada a la viga.

5. Las deflexiones son inversamente proporcionales a la rigidez de la viga, definidas como el producto de E, la rigidez del material del cual está hecha la viga, e /, el momento de inercia de la sección transversal de la viga.

6. Las deflexiones son proporcionales al cubo de alguna dim ensión de longitud crítica, por lo general en el claro entre los apoyos o la longitud de un extremo en voladizo.

El apéndice A -23 incluye cuatro casos de vigas en voladizo que soportan cargas concentradas, cargas distribuidas o un m omento concentrado. La deflexión máxim a obviamente ocurre en el extremo libre de la viga. El extremo fijo limita la viga contra rotación en el apoyo de modo que la curva de la deflexión tiene una pendiente cero en dicho lugar.

El apéndice A -24 incluye diez casos de vigas estáticamente indeterminadas. Este térm ino significa que las reacciones no se pueden calcular con la aplicación de las ecuaciones estándar de equilibrio. Por consiguiente, se dan fórmulas para las reacciones y momentos flexionantes clave juntos con fórmulas de la deflexión. También se dan las formas de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante y, en general, son bastante diferentes de los de vigas estáticamente determinadas. En el capítulo 13 se am plía el tema de la vigas estáticamente indeterminadas.

E je m p lo D e te rm in e la d e f le x ió n m á x im a d e u n a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a q u e p o r ta u n c ilin d ro

1 2 - 1 h id rá u lic o d e u n a m á q u in a u ti l iz a d a p a r a in s e r t a r b u je s a p r e s ió n e n u n a p ie z a fu n d id a ,

c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 - 3 . L a f u e rz a e je r c id a d u r a n te la o p e r a c ió n d e p r e n s a d o

e s d e 1 5 kN . L a v ig a e s r e c ta n g u la r , d e 2 5 m m d e e s p e s o r y 1 0 0 m m d e a l tu r a , y e s t á

h e c h a d e a c e r o .

Secc ión 1 2 - 4 ■ D e flex io ne s de v ig as con el m é tod o de la fó rm u la 4 3 5

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O b je t iv o C a lc u la r la d e f le x ió n m á x im a d e la v ig a d a d a .

D a t o s El s i s t e m a m o s t r a d o e n la f ig u ra 1 2 - 3 . C a r g a = P = 1 5 kN . C la ro = L =

1 .6 0 m . S e c c ió n t r a n s v e r s a l d e la v ig a : 2 5 m m d e a n c h o p o r 1 0 0 m m de

a l tu r a . V ig a d e a c e r o .

A n á l i s i s L a v ig a d a d a s e p u e d e c o n s id e r a r c o m o u n a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a

c o n u n a f u e r z a c o n c e n t r a d a a p l i c a d a d ir ig id a h a c ia a r r ib a e n s u cen tro .

E s te p r o b le m a c o r r e s p o n d e a l c a s o a d e l a p é n d i c e A - 2 2 .

R e s u l t a d o s C o n la fó rm u la d e l a p é n d i c e A - 2 2 - a , s e d e te r m in a la d e f le x ió n m áxim a

c o m o s ig u e :

y =PL-3

4 8 5 /

E n e l a p é n d i c e A - 1 3 , p a r a a c e r o , E = 2 0 7 G P a = 2 0 7 1 0 9 N /m 2. P a ra la

v ig a r e c ta n g u la r :

(25)(100)3 = 2083 x io W

12

P o r ta n to :

y =PL3 (15 x 103 N) (1.6 m )3 (1 0 3 m m )5

4 8 E l 4 8 (2 0 7 x 109 N /m 2) (2 .0 8 3 x 106 m m 4)

y = 2 .9 7 m m

C o m e n t a r i o É s ta e s u n a d e f le x ió n r e la t iv a m e n te e l e v a d a q u e p o d r ía t e n e r u n efecto

a d v e r s o e n la p r e c is ió n d e la o p e r a c ió n d e m o n ta je d e l b u je . S e d eb e

c o n s id e r a r u n perfil d e v ig a m á s r íg id o ( u n o c o n u n m a y o r m o m e n to de

in e rc ia , /)• P o r o tr a p a r te , e l s i s t e m a d e a p o y o s e p o d r ía m o d if ic a r co n el

o b je to d e d is m in u ir e l c la r o e n t r e lo s a p o y o s , u n a s o lu c ió n d e s e a b le

p o r q u e la d e f le x ió n e s p ro p o rc io n a l a l c u b o d e la lo n g itu d . S i s e su p o n e

q u e la o p e r a c ió n g e n e r a l d e l s i s t e m a p e r m i te r e d u c i r e l c la ro a la mitad

d e l c la ro d a d o (0 .8 0 m ), la d e f le x ió n s e r i a d e s ó lo 0 .3 7 m m , 1 /8 la d e l d iseño

d a d o .

C ap ítu lo 12 ■ D e flex ió n de vigas

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F u e r z a

cortante, V (kN ) q

- 7 .5

M om ento 0

flexionante, M (kN -m )

F IG U R A 12-4 D iagram as de la v iga del ejem plo 12-1.

El e s f u e r z o e n la v ig a t a m b ié n d e b e c a l c u l a r s e p a r a e v a lu a r la s e g u r id a d d e l d i s e

ñ o . L a f ig u ra 1 2 - 4 m u e s t r a lo s d i a g r a m a s d e c a r g a , d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to

f le x io n a n te d e l d i s e ñ o o rig in a l d e la v ig a c o n lo s q u e s e d e te r m in ó q u e e l m á x im o m o

m e n to f le x io n a n te e n la v ig a e s d e M = 6 .0 0 kN -m . P a r a c a lc u la r e l e s f u e r z o s e p u e d e u s a r

la fó rm u la d e la f lex ió n .

Me (6 .00 kN -m ) (5 0 m m ) 103 N 103 m mir = — = - ---------------- ----------- r 1 - -------------------------- 1 4 4 M P a

/ 2 .0 8 3 x 105 m m 4 kN m

É s te e s u n n ivel d e e s f u e r z o r e la t iv a m e n te a lto . P a r a c o n t in u a r e l a n á l i s i s , o b s e r v e q u e

la v ig a s e v e r ía s o m e t id a a u n e s f u e r z o f le x io n a n te r e p e t id o . P o r c o n s ig u ie n te , e l e s f u e r

z o d e d i s e ñ o r e c o m e n d a d o e s :

<rd = s „ /8

C o n aa = a, s e p u e d e r e s o lv e r p a r a la r e s i s t e n c ia ú ltim a r e q u e r id a .

s u = 8 IT = (8) (1 4 4 M P a) = 1152 M P a

S i s e c o n s u l ta e l a p é n d ic e A - 1 3 e n b u s c a d e l a s p r o p ie d a d e s d e a c e r o s s e l e c c io n a d o s ,

s e p o d r ía e s p e c i f i c a r e l a c e r o A ISI 4 1 4 0 OQT 9 0 0 c u y a r e s i s t e n c ia ú lt im a e s d e 1 2 8 1

M P a . P e r o é s t e e s a c e r o t r a t a d o a l c a lo r , b a s t a n t e c a r o . U n r e d i s e ñ o d e l t ip o d e v ig a

a n a l i z a d o p a r a lim ita r la d e f le x ió n r e d u c i r ía e l e s f u e r z o y p e rm itir ía e l u s o d e u n a c e r o

m á s b a r a to .

E je m p lo U n a f le c h a c irc u la r , d e 4 5 m m d e d iá m e tro , s o p o r t a u n a c a r g a d e 3 5 0 0 N, c o m o s e

1 2 - 2 m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 - 5 . S i la f le c h a e s d e a c e r o , c a lc u le la d e f le x ió n e n e l p u n to d e

a p l ic a c ió n d e la c a r g a y e n e l p u n to C , a 1 0 0 m m d e l e x t r e m o d e r e c h o d e la f le c h a .

C a lc u le ta m b ié n la m á x im a d e f le x ió n .

S o l u c i ó n O b je t iv o C a lc u la r la d e f le x ió n e n lo s p u n to s S y C y e n e l p u n to d o n d e o c u r r e la

m á x im a d e f le x ió n .

D a t o s L a v ig a m o s t r a d a e n la f ig u ra 1 2 - 5 . C a r g a = P = 3 5 0 0 N

L a v ig a e s u n a f le c h a c irc u la r ; D = 4 5 m m . V ig a d e a c e r o .

4 ■ D e fle x io n e s d e v ig a s c o n el m é to d o d e la fó rm u la 437

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F IG U R A 1 2 -8 Ilustrac ión del p rinc ip io de superposición .

m ente distribuida de 800 lb/pie y tam bién una parte de un equipo de proceso que produce una carga concentrada a la mitad. La figura 12-8 m uestra la m anera en que las cargas se consideran por separado. Cada carga com ponente produce una deflexión máxim a a la mitad. Por consiguiente, la deflexión m áxim a total también ocurrirá allí. Hagamos que el subíndice 1 se refiera al caso de la carga concentrada y el subíndice 2 al caso de la carga distribuida. Por tanto:

-P Ü

y1 ~~ 48£7

- 5 WL1

y2 ~ 384 El

La deflexión total será:

y-r = y t + y i

Los térm inos L ,E e l serán los m ism os para am bos casos.

L = 16 pies x 12 plg/pie = 192 plg

E = 30 x 106 lb/plg2 para acero

/ = 103 plg4 para viga W 12 x 16

Para calcular sea P = 2500 Ib.

-2500 (192 )3 . A im .y, = -------------- ---------plg = -0 .1 1 9 plg

48(30 x ]0 )(103)

Para c a lc u la r^ , W es la resultante total de la carga distribuida.

^ = ( 8 0 0 lb/pie)(l 6 pies) = 12 800 Ib

Por consiguiente:

-5 (12 800)(192)3 . ,y 2 = ------------------------ - plg = -0 .3 8 2 plg

384(30 x 10 )(103)

y T = 7, + 72= -0 .1 1 9 p lg -0 .3 8 2 plg = -0 .5 0 1 plg

C a p ítu lo 12 ■ D e flex ió n de vigas

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R e s u l t a d o s P a r a e l c o m p o n e n te 1:

- P,a2b2 - ( 3 . 5 X 103) (2 5 0 )2(150)2

Vb’ “ 3 EIL ~ 3 (16 .64 x 1 0 '2)= - 0 .0 9 8 5 m m

- 1502 - 1002) ------ 0 .0 6 7 0 m m

P a r a el c o m p o n e n te 2 , la c a r g a s e r á d e 2 .1 kN e n e l p u n to C. E n to n c e s :

(4 0 0 2 - 1002 - 1502) = - 0 .0 4 0 2 m m

- P2a2b2 - (2 .1 x 103) (3 0 0 )2(100)2

3 EIL ~ 3 (16 .64 X 10’2)= - 0 .0 3 7 8 m m

A h o ra , p o r s u p e rp o s ic ió n :

Yb = Ym + Yb2 = —0 .0 9 8 5 m m - 0 .0 4 0 2 m m — - 0 .1 3 8 7 m m

Ye = yc i + y C2 = - 0 .0 6 7 0 m m - 0 .0 3 7 8 m m = - 0 .1 0 4 8 m m

C o m e n t a r i o E n la s e c c ió n 1 2 - 2 s e o b s e r v ó q u e u n lím ite r e c o m e n d a d o p a r a e l movi-

1 2 - 6 P R IN C IP IO S B Á S IC O S P A R A D E T E R M IN A R L A D E F L E X IÓ N

E N V IG A S C O N E L M É T O D O D E IN T E G R A C IÓ N S U C E S IV A

En esta sección se muestran las relaciones m atem áticas entre las curvas de m omento, pendiente y deflexión con las cuales se pueden resolver las ecuaciones reales para una viga dada sometida a una condición de carga y sustentación dada.

La figura 12-11 muestra un pequeño segmento de una viga en su forma inicial recta y en su forma deflexionada. Los lados del segmento permanecen rectos al deflexionarse la viga, pero giran con respecto a un punto del eje neutro. Esto produce com presión en la cara superior del segmento y tensión en la cara inferior, un hecho em pleado en el desarrollo de la fórmula de la flexión en el capítulo 8.

Los lados girados del segmento se intersecan en el centro de curvatura y forman el pequeño ángulo d6. Nótese también el radio de curvatura, R, m edido del centro de curvatura al eje neutro. Por la geometría mostrada en la figura:

m ie n to d e u n e n g r a n e c o n r e s p e c to a s u e n g r a n e a c o p la d o e s d e 0 .1 3 m m .

P o r c o n s ig u ie n te , e s t a f l e c h a e s d e m a s i a d o f le x ib le p u e s t o q u e la d e f le

x ió n e n B e s d e m á s d e 0 .1 3 m m , a u n s in c o n s id e r a r la d e f le x ió n d e la

f le c h a a c o p la d a .

A í = R(dd) (12-3)

Secc ión 1 2 -6 ■ P rin c ip io s bá s ic o s pa ra d e te rm in a r la de flex ión en v ig as con el m é to d o de in te g ra c ión suce s iva 4 4 3

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La ecuación (12-8) indica que la curvatura aumenta a m edida que se incrementa el momento flexionante, lo cual parece lógico. Asim ismo, la curvatura dism inuye a medida que se incrementa la rigidez, El, de la viga.

Otro principio de geometría analítica establece que si la ecuación de una curva se expresa com o>-=/(*), esto es, y es una función dc.v, entonces la curvatura es:

Al com binar las ecuaciones (12-8) y (12-9) se obtiene:

Las ecuaciones (12-10) y (12-11) son útiles en el desarrollo del método de integración sucesiva para determinar deflexiones de vigas, descrito a continuación.

D E F L E X IÓ N D E V IG A S - M É T O D O D E IN T E G R A C IÓ N

S U C E S IV A - E N F O Q U E G E N E R A L

A continuación se presentará un enfoque general que perm ite determinar la deflexión en cualquier punto de una viga. Las ventajas de este enfoque se dan a continuación.

1. El resultado es un conjunto de ecuaciones para determinar la deflexión en todas las partes de la viga. La deflexión en cualquier punto se puede determinar entonces sustituyendo las propiedades de rigidez de la viga, E e /, y la posición de la viga.

2. Los datos se obtienen con facilidad con los cuales se puede trazar la curva de la deflexión.

3. Se desarrollan las ecuaciones para la pendiente de la viga en cualquier punto. Esta es importante en algunas aplicaciones de m aquinaria tales com o flechas sobre cojinetes y flechas que portan engranes. Una pendiente excesiva de la flecha ocasionaría un desempeño deficiente y una vida corta de los cojinetes o engranes.

4. Las relaciones fundamentales entre las cargas, el tipo de apoyos, las propiedades de rigidez de la viga, la pendiente y las deflexiones se recalcan en el procedimiento de solución. El diseñador que las entienda puede hacer diseños más eficientes.

5. El método requiere la aplicación de sólo conceptos m atem áticos simples.

M _ d 2y

E l ~ d ?( 1 2 - 10)

o:

( 12 - 11)

C a pítu lo 12 ■ D e flex ión de vigas

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6. El punto donde ocurre la máxim a deflexión se puede determ inar de manera directa con las ecuaciones resultantes.

El fundamento del método de integración sucesiva se desarrolló en las secciones12-3 y 12-6. Se prepararán los cinco diagramas de la viga, tal como se muestran en la figura 12-1, para correlacionar las cargas, las fuerzas cortantes, los m omentos flexionantes, las pendientes y las deflexiones a lo largo de la viga.

Los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante se trazan utilizando los principios del capítulo 6. Luego se derivan ecuaciones para el momento flexionante en todos los segmentos del diagrama de momento flexionante.

La ecuación (12-11) entonces se utiliza para desarrollar las ecuaciones para la pendiente y deflexión a partir de las ecuaciones de momento integrando dos veces con respecto a la posición, x, en la viga, como sigue.

Con anterioridad, en la sección 12-3, ecuación (12-2), se dem ostró que dy/dx = 6, la pendiente de la curva de la deflexión. Por esta razón:

Una vez que los valores finales de E W yE Iy se han determinado, se dividen entre la rigidez de la viga, El, para obtener los valores de la pendiente, 6, y la deflexión,y.

Los pasos indicados por las ecuaciones (12-11) a (12-14) se tienen que completar para cada segmento de la viga donde el diagram a de momento es continuo. Además, como el objetivo es obtener ecuaciones discretas para la pendiente y la deflexión en el caso de patrones de carga-viga particulares, se tendrá que evaluar una constante de integración por cada integración realizada.

El desarrollo de las ecuaciones para el momento flexionante contra la posición a menudo se logra integrando las ecuaciones para la fuerza cortante contra x, como se muestra en el capítulo 6. Esto se desprende de la regla de que el cambio del momento flexionante entre dos puntos de una viga es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los mismos dos puntos.

( 12- 11)

Ahora, integrando una vez con respecto a x s e obtiene:

( 12 - 12)

(12-13)

La ecuación (12-12) se puede integrar de nuevo, para obtener:

í d \EWdx = El ~ydx = El y = y El

dx(12-14)

Secc ión 1 2 -7 ■ D eflex ión de v ig a s -m é to d o de in teg ra c ión s u c e s iv a -e n fo q u e genera l 4 4 7

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El método paso a paso utilizado para determinar la deflexión de vigas utilizando el

enfoque general es el siguiente.

P a s o s d e l m é t o d o

d e i n t e g r a c i ó n

s u c e s i v a p a r a

d e t e r m i n a r

d e f l e x i o n e s d e v i g a s

1. Determine las reacciones en los apoyos de la viga.

2. D ibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante utilizando los procedimientos presentados en el capítulo 6, e identifique las m agnitu

des en los puntos críticos.

3. D ivida la viga en segmentos en los que el diagram a de fuerza cortante es continuo identificando los puntos donde ocurren cambios repentinos con las letras, A, B ,C ,D , etcétera.

4 . Escriba ecuaciones para la curva de la fuerza cortante en cada segmento. En la m ayoría de los casos, éstas serán ecuaciones de líneas rectas, es decir, ecuaciones que incluyen x a la prim era potencia. En ocasiones, com o en el caso de vigas que soportan cargas concentradas, la ecuación

será sim plem ente de la forma:

V= constante

5. Para cada segmento, realice el proceso:

M- i

Vdx + C

Para evaluar la constante de integración que vincula la ecuación de m om ento con los valores particulares ya conocidos del diagram a del momento, inserte condiciones lim itantes conocidas y resuelva para C.


6EI M d x + C

La constante de integración generada aquí no se puede evaluar directam ente de inmediato. Así pues cada constante se tiene que identificar por separado por m edio de un subíndice com o sigue: C 1( C2, C3, etc. Luego, cuando se evalúen (en el paso 9), se pueden poner en sus lugares apropia

dos.


y E l = J= f 6EI dx + C

8.

D e nuevo, las constantes se deben identificar con subíndices.

Establezca condiciones de frontera para los diagram as de la pendiente y la deflexión. Las condiciones de frontera se deben identificar de la misma m anera que las constantes desconocidas de los pasos 6 y 7. Las condiciones de frontera expresan m atem áticam ente los valores especiales de la pendiente y deflexión en ciertos puntos y el hecho de que tanto la curva de

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la pendiente como la curva de la deflexión sean continuas. Las condiciones

de frontera típicas son:

a. La deflexión de la viga en cada apoyo es cero.

b. La deflexión de la viga en el extremo de un segmento es igual a la deflexión de la viga al principio del siguiente segmento. Esto se desprende del hecho de que la curva de la deflexión es continua, es decir, no experi

menta cambios repentinos.c. La pendiente de la viga en el extremo de un segmento es igual a la pen

diente al principio del siguiente segmento. L apendiente no experim enta cambios bruscos.

d. En el caso especial de una viga en voladizo, su pendiente en el apoyo también es cero.

9. Combine todas las condiciones de frontera para evaluar todas las constantes de integración. Esto en general implica la solución de un conjunto de ecuaciones sim ultáneas cuyo núm ero de ecuaciones es igual al núm ero de constantes de integración. Los programas de cómputo para solucionar ecuaciones o las calculadoras son muy útiles en este paso.

10. Sustituya las constantes de integración de nuevo en las ecuaciones de la pendiente y la deflexión, y de este m odo quedan com pletas. El valor de la pendiente o la deflexión en cualquier punto se pueden evaluar sim plem ente con sustituir en la ecuación el valor adecuado de la posición en la viga. Tam bién se pueden determinar los puntos de deflexión m áxim a en

cualquier segmento.

A continuación se ilustrará el método con un ejemplo.

Ejem plo L a f ig u ra 1 2 - 1 2 m u e s t r a u n a v ig a u ti l iz a d a c o m o u n a p a r te d e la e s t r u c tu r a e s p e c i a l d e

1 2 - 4 u n a m á q u in a . L a c a r g a d e 2 0 K (2 0 0 0 0 Ib) e n A y la d e 3 0 K ( 3 0 0 0 0 Ib) e n C r e p r e s e n t a n

lo s p u n to s d e a p o y o d e l e q u ip o p e s a d o . E n tr e lo s d o s a p o y o s e n 6 y D, la c a r g a u n ifo r

m e m e n te d is tr ib u id a d e 2 K /p ie ( 2 0 0 0 Ib /p ie ) s e d e b e a m a te r ia le s a g r a n e l a l m a c e n a d o s

e n u n r e c ip ie n te s o p o r t a d o p o r la v ig a . T o d a s l a s c a r g a s s o n e s t á t i c a s . P a r a m a n te n e r l a

p r e c is ió n d e lo s p r o d u c to s p r o d u c id o s p o r la m á q u in a , la d e f le x ió n m á x im a p e rm is ib le d e

la v ig a d e b e s e r d e 0 .0 5 p lg . E s p e c if iq u e u n a v ig a d e a c e r o d e p a t ín a n c h o a c e p t a b l e , y

a d e m á s v e r if iq u e e l e s f u e r z o e n la v ig a .

30 K20 K

6 pies 2 pies

3 pies 2 K7pie

A B C D8 p ies

F IG U R A 12-12 V ig ad el e jem plo 1 2 -4 .

S olución Objetivo E s p e c if ic a r u n perfil d e a c e r o d e p a t ín a n c h o p a r a lim ita r la d e f le x ió n a

0 .0 5 p lg . V e r if ic a r e l e s f u e r z o e n la v ig a s e l e c c io n a d a p a r a g a r a n t iz a r la

s e g u r id a d .

S ecc ión 1 2 -7 ■ D e flex ión de v ig a s -m é to d o de in teg rac ión s u c e s iv a -e n fo q u e genera l 4 4 9

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D a t o s L a s c a r g a s s o b r e la v ig a m o s t r a d a s e n la f ig u ra 1 2 - 1 2 .

A n á l i s i s S e a n a l i z a r á la v ig a p a r a d e te r m in a r d ó n d e o c u r r i r á la d e f le x ió n m á x im a .

E n s e g u i d a s e d e te r m in a r á e l m o m e n to d e in e r c ia r e q u e r id o p a r a lim ita r

la d e f le x ió n a 0 .0 5 p lg . S e s e l e c c i o n a r á u n a v ig a d e p a t ín a n c h o c u y o

m o m e n to d e in e rc ia s e a e l r e q u e r id o . S e u ti l iz a rá e l p r o c e d im ie n to d e

d ie z p a s o s a n t e s d e s c r i to . L a s o lu c ió n s e p r e s e n t a e n u n f o rm a to p r o g r a

m a d o . U s te d d e b e ir r e s o lv ie n d o e l p r o b le m a p o r s u c u e n t a a n t e s d e

c o n s u l ta r e l r e s u l t a d o s ig u ie n te .

R e s u l t a d o s L o s p a s o s 1 y 2 r e q u ie r e n d ib u ja r d i a g r a m a s d e la f u e r z a c o r t a n t e y d e l

m o m e n to f le x io n a n te . H a g a e s t o a h o r a , a n t e s d e v e r if ic a r e l r e s u l ta d o

q u e s e d a a c o n t in u a c ió n .

30 K

L a f ig u ra 1 2 - 1 3 m u e s t r a lo s r e s u l t a d o s . A h o r a p r o s ig a c o n e l p a s o 3.

S e r e q u ie r e n t r e s s e g m e n t o s , AB, B C y C D . É s t o s s o n lo s s e g m e n to s

d o n d e e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e e s c o n t in u o . A h o r a p r o s ig a co n el

p a s o 4 p a r a o b t e n e r l a s e c u a c io n e s d e la c u r v a d e la f u e r z a c o r ta n te .


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A h o ra , e n e l p a s o 7 , in te g r e l a s e c u a c io n e s (g ), (h ) e (i) p a r a o b t e n e r las

e c u a c io n e s d e yEI.

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El v a lo r d e l la d o d e r e c h o d e la e c u a c ió n 3 e s t á e x p r e s a d o c o n u n a p re c i

s ió n e x c e s iv a . E s to a m e n u d o n o e s n e c e s a r io , p e r o e n e s t e e je m p lo s e

h iz o p a r a e l im in a r la a c u m u la c ió n d e e r r o r e s d e r e d o n d e o a r r a s t r a d o s

e n la s o lu c ió n . E x is te n m u c h o s p a s o s p a r a l le g a r a la s o lu c ió n fina l, y la s

im p re c i s io n e s p u e d e n p ro d u c i r u n a v a r ia c ió n s ig n if ic a t iv a e n lo s r e s u l ta

d o s q u e p o d r ía n s e r f r u s t r a n t e s a l p r o s e g u i r c o n la s o lu c ió n . N ó te s e q u e

la e s c r i tu r a d e la c o n s t a n t e e n la e c u a c ió n 3 c o m o - 6 5 4 4 .0 8 3 3 In d ica

q u e lo s 3 s e r e p i te n h a s t a e l in fin ito . P o r e s t a r a z ó n é s t a e s u n a r e p r e

s e n t a c ió n I n h e r e n te m e n te im p re c i s a d e l n ú m e r o . S i s e In tro d u c e e l n ú

m e r o c o m o la f ra c c ió n e x a c t a ( - 7 8 5 2 9 /1 2 ) e n u n s o lu c io n a d o r d e

e c u a c io n e s s e e l im in a r ía e l e r ro r . A q u í e s d o n d e e l u s o d e u n s o lu c io n a

d o r d e e c u a c io n e s b a s a d o e n la c o m p u ta d o r a ta l c o m o e l M A T H C A D , e l

s o lu c io n a d o r TK , e l M A TLA B o e l M A P L E fa c il i ta n lo s la b o r io s o s c á lc u

lo s im p lic a d o s a l f in a l d e l p r o c e d im ie n to . M u c h a s c a l c u l a d o r a s d e a lto

n iv e l c o n c a p a c id a d p a r a p r o d u c ir g r á f ic a s t a m b ié n c o n t i e n e n so lu c io -

n a d o r e s d e e c u a c io n e s s im u l t á n e a s .

A h o ra , r e s u é l v a n s e la s s e i s e c u a c io n e s s im u l t á n e a m e n te p a r a

lo s v a lo r e s d e C^ a C 6.

L o s r e s u l t a d o s s o n :

C , = 1 3 2 .3 3 3 = 3 9 7 /3 C 2 = 3 3 4 .8 3 3 = 4 0 1 8 /1 2

C 3 = - 8 8 0 .1 6 6 = 5 2 8 1 /6 C 4 = - 3 0 7 ( e x a c to )

C 5 = - 5 0 7 .2 5 ( e x a c to ) C 6 = 3137 .75 ( e x a c to )

A h o ra y a s e p u e d e n e s c r ib i r la s e c u a c io n e s p a r a 0 y y , s u s t i t u y e n d o l a s

c o n s t a n t e s e n l a s e c u a c io n e s (g ) a (I). L o s r e s u l t a d o s s e d a n a c o n t in u a

c ió n .

IIÜJñ - 1 0 x 2 + 132.333

0 bc E l ' - X 3/3 + 14 .5 x2 - 138x + 3 3 4 .8 3 3

Oc d EI - x 3/3 - x 2/2 + 132x -- 880.166

y a a El — -10x 3/3 + 132.33 3x - 307

YbcEI = - x 4 / 1 2 + 14 .5 x3/ 3 - 6 9 x 2 + 3 3 4 .8 3 3 x - 507.25

ycoEl = - x 4/1 2 -- x 3/6 + 6 6 x 2 - 880.16 6 x + 3137.75

C o n l a s e c u a c io n e s c o m p le ta s , s e p u e d e d e t e r m in a r e l p u n to d o n d e

o c u r r e la d e f le x ió n m á x im a , q u e e s e l o b je t iv o p r im o rd ia l d e l a n á l i s is .

B a s á n d o s e e n la c a r g a , la fo rm a p r o b a b le d e la v ig a d e f le x lo n a d a s e r í a

c o m o la d e la fig u ra 1 2 - 1 4 . P o r c o n s ig u ie n te , la d e f le x ió n m á x im a p o d r ía

o c u r r i r e n e l p u n to A a l final d e l e x t r e m o s a l i e n te , e n u n p u n to a la d e r e

c h a d e B ( h a c ia a r r ib a ) , o e n u n p u n to c e r c a d e la c a r g a e n C ( h a c ia

a b a jo ) . T a l v e z e x i s ta n d o s p u n to s d e p e n d ie n t e c e r o e n lo s p u n to s Ey F, c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 - 1 4 . S e te n d r ía q u e s a b e r d ó n d e la

e c u a c ió n d e la p e n d i e n t e 0s c E / e s ig u a l a c e r o c o n e l o b je to d e d e te r m i

n a r d ó n d e o c u r r e la m á x im a d e f le x ió n .N ó te s e q u e la e c u a c ió n e s d e t e r c e r g r a d o . El u s o d e u n a c a lc u la

d o r a c a p a z d e p ro d u c ir g r á f ic a s y d e u n s o lu c io n a d o r d e e c u a c io n e s

fa c ilita la lo c a l iz a c ió n d e lo s p u n to s d o n d e Ob c EI ~ 0 . L a f ig u ra 1 2 - 1 5

m u e s t r a u n a g rá f ic a a m p lif ic a d a d e l s e g m e n t o B C d e la v ig a e n la q u e s e

v e q u e lo s p u n to s c e r o o c u r r e n e n x = 3.836 p ie s y e n x =8.366 p ie s .

A h o ra s e p u e d e n d e te r m in a r lo s v a lo r e s d e yEI e n lo s p u n to s A, E y F p a r a i n d a g a r c u á l e s e l m a y o r .

S ecc ión 1 2 -7 ■ D e flex ión de v ig a s -m é to d o d e in teg ra c ión s u c e s iv a -e n fo q u e gene ra l 4 5 3

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Form a probable de la viga

deflexionada (exagerada)

F IG U R A 1 2 -1 4 C urvas de pendiente y deflex ión del ejem plo 1 2 -4 .

P u n to A . E n x = 0 e n e l s e g m e n to AB:

yABE I = - 1 0 x 7 3 + 1 3 2 .3 3 3 x - 3 0 7

yAE I = - 1 0 ( 0 .0 0 ) 7 3 + 1 3 2 .3 3 3 (0 .0 0 ) - 3 0 7

yAE I = - 3 0 7 K p i e 3

P u n to E. E n x = 3 .8 3 6 p i e s e n e l s e g m e n t o BC:

yac E l = - x 4/1 2 + 1 4 .5 x 3/ 3 - 6 9 x 2 + 3 3 4 .8 3 3 x - 5 0 7 .2 5

y EE I - - ( 3 .8 3 6 ) 7 1 2 + 1 4 .5 (3 .8 3 6 )7 3 - 6 9 (3 .8 3 6 )2

+ 3 3 4 .8 3 3 (3 .8 3 6 ) - 5 0 7 .2 5

yEE I = + 1 6 .6 2 K p ie 3

P u n to F. E n x = 8 .3 6 6 p ie s e n e l s e g m e n t o BC:

yBCE I = - x 7 1 2 + 1 4 .5 x 7 3 - 6 9 x 2 + 3 3 4 .8 3 3 x - 5 0 7 .2 5

y FE t = - ( 8 .3 6 6 ) 7 1 2 + 1 4 .5 (8 .3 6 6 )7 3 - 6 9 (8 .3 6 6 )2

+ 3 3 4 .8 3 3 (8 .3 6 6 ) - 5 0 7 .2 5

yFE I = + 1 1 3 .5 K p ie 3


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6E1,

Kp

ie'

F IG U R A 1 2 -1 5 G ráfica que m uestra

los puntos de pendiente cero.

El v a lo r m á x im o o c u r r e e n e l p u n to A , d e m o d o q u e e s e l p u n to c r í t ic o .

S e d e b e s e l e c c i o n a r u n a v ig a q u e lim ite la d e f le x ió n e n A a 0 .0 5 p lq o m e n o s .

yAEI = - 3 0 7 K p ie 3

S e a yA = - 0 . 0 5 p lg . E n to n c e s e l I r e q u e r id o e s :

I ..... .....3 0 8 K p ie ^ 1 0 0 0 Ib x (1 2 p lg )3

E y A K p¡e

( - 3 0 7 )(1 0 0 0 )(1 7 2 8 ) Ib p lg 3

(30 x 1 0 6 Ib/plg )(—0 .0 5 p lg )= 3 5 4 p lg 4

C o n s u l te la ta b la d e v ig a s d e p a t ín a n c h o y s e l e c c i o n e u n a v ig a a d e c u a d a .

L a v ig a W 1 8 x 4 0 e s la m e jo r o p c ió n d e l a p é n d ic e A - 7 p u e s to q u e e s la

v ig a m á s lig e ra c u y o v a lo r d e / e s s u f ic ie n te m e n te g r a n d e . P a r a e s t a v ig a

/ = 6 1 2 p lg4, y e l m ó d u lo d e s e c c ió n e s S = 6 8 .4 p lg 3. A h o ra c a lc u le el

e s f u e r z o f le x io n a n te m á x im o e n la v ig a .

E n la f ig u ra 1 2 - 1 5 s e v e q u e e l m o m e n to f le x io n a n te m á x im o e s d e 6 0 K p ie . L u e g o :

M

S

60 K p ie 1000 Ib 12 plq _ . --------------- x ------------ x — = 10 526 psi6 8 .4 p lg K pie

C o m o e l e s f u e r z o p e rm is ib le p a r a a c e r o e s t ru c tu r a l s o m e tid o a u n a c a r

g a e s tá t ic a e s c a s i d e 2 2 0 0 0 p s i, la v ig a s e l e c c io n a d a e s s e g u r a .

S ecc ión 1 2 -7 ■ D e flex ión de v ig a s -m é to d o de in tegración s u c e s iv a -e n fo q u e genera l 4 5 5

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1 2 - 8 D E F L E X IÓ N D E V IG A S - M É T O D O D E L Á R E A D E M O M E N T O

El procedimiento semigráfico para determinar deflexiones de vigas, llamado método del área de momento, es útil en problemas que incluyen patrones de carga complejos o cuando la viga tiene una sección transversal variable a lo largo de ella. Tales casos son difíciles de manejar con los otros métodos presentados en este capítulo.

Las flechas de transmisiones mecánicas son ejemplos donde la sección transversal varía a lo largo del miembro. La figura 12-16 muestra una flecha diseñada para portar dos engranes donde los cambios de diámetro fonnan hombros en los cuales se recargan los engranes y cojinetes para su ubicación axial. Nótese, además, que el momento flexionante disminuye hacia los extremos de la flecha, lo que permite que las secciones de menor tamaño sean seguras con respecto a esfuerzo flexionante.

En aplicaciones estructurales de vigas, las secciones transversales variables a menudo se usan para abaratar los miembros. Las secciones grandes con momentos de inercia elevados se utilizan donde el momento flexionante es elevado mientras que las secciones de m enor tamaño se usan donde el momento flexionante es bajo. La figura 12-17 muestra un ejemplo.

El método del área de momento utiliza la cantidad M/EI, el momento flexionante divido entre la rigidez de la viga, para determinar la deflexión de la viga en puntos seleccionados. Entonces, es conveniente preparar tal diagrama como parte del procedimiento

PI P2

]_______ _______

i

V iga Ic ó n dos ¡ V iga Ic ó n una V iga l

cubreplacas cubreplaca sola

F IG U R A 12-16 F lecha de sección transversal variable. F IG U R A 1 2-17 V iga en voladizo con secciones transversales variables.

4 5 6 C a pítu lo 12 ■ D e flex ión de vigas

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Pero obsérvese que dy/dx se define como la pendiente de la curva de la deflexión, 0 ; es decir, dy/dx = 6. Por tanto:

t fy de dx1 dx

Luego la ecuación (12-10) se puede reescribir:

M _ d 6

El ~ dx

Resolviéndola para ddáa:

de = ^ dx (12-15)El

En la figura 12-19 se puede ver la interpretación de la ecuación (12-15) donde el lado derecho (M/EI)dx, es el área bajo el diagrama M/EIn lo largo de la pequeña longitud dx. Por tanto, d 0 e s el cambio del ángulo de la pendiente a lo largo de la misma distancia dx. Si se trazan líneas tangentes a la curva de la deflexión de la viga en los dos pimtos que marcan el principio y el final del segmento dx, el ángulo entre ellos es dO.

p , Pi

F IG U R A 1 2 -1 9 Principios del m étodo del área de m om ento para determ inar la deflex ión de vigas.


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T e o re m a 1

T e o r e m a 2

Las ecuaciones (12-17) y (12-18) constituyen el fundamento de los dos teoremas del método del área de momento para determinar deflexiones de vigas. Ellos son:

El cambio del ángulo, en radianes, entre tangentes trazadas en dos puntos/í y B en la curva de deflexión de una viga, es igual al área bajo el diagram a M/EI entre A y B.

La desviación vertical del punto/) en la curva de deflexión de una viga a partir de la tangente que pasa por otro punto B de la curva es igual al momento del área bajo la curva A //£ /con respecto al punto A.

1 2 - 9 A P L IC A C IO N E S D E L M É T O D O D E L Á R E A D E M O M E N T O

En esta sección se dan varios ejemplos del uso del método del área de momento para determ inar la deflexión de vigas. Se desarrollan procedimientos para cada clase de viga según el tipo de carga y apoyos. Las que se consideran son:

1. Vigas en voladizo con una am plia variedad de cargas

2. Vigas sim plemente apoyadas sim étricamente cargadas

3. Vigas con sección transversal variable

4. Vigas sim plemente apoyadas asim étricamente cargadas

V ig a s e n v o la d iz o . La definición de una viga en voladizo incluye el requisito de que esté firmemente sujeta a una estructura de apoyo de tal modo que la viga no pueda girar en el apoyo. Por consiguiente, la tangente a la curva de deflexión en el apoyo siempre está alineada con la posición original del eje neutro de la viga en su estado descargado. Si la viga es horizontal, como casi siempre se ilustra, la tangente también es horizontal.

El procedim iento para determinar la deflexión de cualquier punto de una viga en voladizo, descrito a continuación, utiliza los dos teoremas desarrollados en la sección12-8 junto con la observación de que la tangente a la curva de deflexión en el apoyo es horizontal.

P r o c e d i m i e n t o p a r a

d e t e r m i n a r l a

d e f l e x ió n d e u n a v ig a

e n v o l a d i z o - m é t o d o

d e l á r e a d e m o m e n t o

1. Dibuje los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante.

2. Divida los valores del momento flexionante entre la rigidez de la viga, El, y dibuje el diagrama M/El. La unidad de la cantidad M /El es (longitud)”'; por ejemplo, m-1, pie-1 op lg -1.

3. Calcule el área del diagrama M/EI y localice su centroide. Si la fonna del diagrama no es simple, divídalo en partes y determ ine el áreay el centroide de cada una por separado. Si se desea la deflexión en el extremo de la viga en voladizo, se usa toda el área del diagrama M/EI. Si se desea la deflexión de otro punto, se usa sólo el área entre el apoyo y el punto de interés.

4 6 0 C a pítu lo 12 ■ D e flex ió n de vigas

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E n la f ig u ra 1 2 - 2 2 s e d ib u ja e l d ia g r a m a M /E I. O b s e r v e q u e lo s ú n ic o s

c a m b io s e n e l d ia g r a m a d e l m o m e n to f le x io n a n te s o n la s u n id a d e s y los

v a lo r e s p o r q u e la r ig id e z d e la v ig a e s c o n s t a n t e a lo la rg o d e s u lo n g itu d .

P a s o 3. El á r e a d e s e a d a e s la d e la f ig u ra t r ia n g u la r d e l d ia g ra m a

M/Et, l la m a d a Aba p a r a in d ic a r q u e s e u s a p a r a c a lc u la r la

d e f le x ió n d e l p u n to S r e s p e c to a A.

A ba = (0 .5 )(2 4 .1 5 x 1CT3 m “') (1 .2 0 m ) = 14.5 x 10 3 rad

El c e n t r o id e d e e s t e á r e a q u e d a a d o s t e r c io s d e la d is ta n c ia

d e 6 a A, 0 .8 0 m .

P a so 4. P a r a p o n e r e n p r á c t ic a e l t e o r e m a 2 , s e tie n e q u e c a lc u la r el

m o m e n to d e l á r e a d e te r m in a d a e n e l p a s o 3 . E s te e s igual a

tBA, la d e s v ia c ió n v e r t ic a l d e l p u n to S a p a r tir d e la ta n g e n te

t r a z a d a a la c u rv a d e d e f le x ió n e n e l p u n to A.

¡ba = A ba x x = (14.5 x 10“3 rad ) (0 .80 m)

íba = ya= 11.6 x 1 0 "3 m = 11.6 m m

D e b id o a q u e la t a n g e n te al p u n to A e s h o r iz o n ta l , tBA e s

ig u a l a la d e f le x ió n d e la v ig a e n s u e x tr e m o , p u n to S .

C o m e n t a r i o E s te r e s u l t a d o e s id é n tic o a l q u e s e e n c o n t r a r ía c o n la fó rm u la d e l c a s o

a e n e l a p é n d ic e A - 2 3 . El v a lo r d e l m é to d o d e l á r e a d e m o m e n to e s

m u c h o m á s e v id e n te c u a n d o in te rv ie n e n v a r ia s c a r g a s o c u a n d o la viga

e n v o la d iz o t ie n e u n a s e c c ió n t r a n s v e r s a l v a r ia b le a lo la rg o d e to d a su

e x te n s ió n .


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d o n d e la s á r e a s y l a s d i s t a n c ia s x s e m u e s t r a n e n la figura

1 2 - 2 3 . O b s e r v e q u e l a s d i s t a n c ia s s e m id e n del punto C a l

centroide del área componente. A s í p u e s :

A cá1 X X, = (0 .0 0 4 0 2 5 m ') (1.0 m )(0 .5 0 m) = 2.01 x 10 3 m

A c k x x 2 = (0.5) (0 .0 2 0 1 2 5 m 1)(1 .0 m) (0 .6 6 7 m) = 6.71 x 10 3 m

íCa = Ye = (2.01 + 6.71) (10 3) m = 8 .7 2 m m

C o m o c o n a n te r io r id a d , c o m o la t a n g e n t e a l p u n to A e s h o

r iz o n ta l, la d e s v ia c ió n v e r t ic a l , tCA, e s la d e f le x ió n re a l del

p u n to C.

V ig a s s im p le m e n te a p o y a d a s y s im é tr ic a m e n te c a rg a d a s . Esta clase de problemas tiene la ventaja de que se sabe que la deflexión máxim a ocurre a la mitad del claro de la viga. En la figura 12-24 se muestra un ejemplo, donde la viga soporta dos cargas idénticas colocadas a la misma distancia de los apoyos. Naturalm ente, cualquier carga para la cual se pueda predecir el punto de deflexión máxim a se puede resolver con el procedim iento descrito a continuación.

P r o c e d i m i e n t o p a r a

d e t e r m i n a r l a

d e f l e x i ó n d e u n a

v ig a s i m p l e m e n t e

a p o y a d a y

s i m é t r i c a m e n t e

c a r g a d a - m é t o d o

d e l á r e a d e m o m e n t o


2. Divida los valores del momento flexionante entre la rigidez de la viga, El, y dibuje el diagrama M/EI.

3. Si se desea la deflexión m áxim a a la m itad del claro, use la parte del d iagram a M /EI entre el cen tro y uno de los apoyos; es decir, la m itad del d iagram a.

4. Use el teorema 2 para calcular la desviación vertical del punto en uno de los apoyos de la tangente al eje neutro de la viga a la mitad de ésta. Debido a que la tangente es horizontal y a que la deflexión en el apoyo de hecho es cero, la desviación encontrada es la deflexión real de la viga a la mitad de ésta.

5. Para determinar la deflexión en otro punto de la m ism a viga, use el área del diagrama M/EI entre el centro y el punto de interés. U se el teorema 2 para calcular la desviación vertical del punto de interés respecto al punto de deflexión máxim a a la mitad de la viga. En seguida, reste esta desviación de la deflexión máxim a determinada en el paso 4.

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F IG U R A 1 2 -2 4 D iagram as de carga, fiierza cortan te y m om ento flex ionante de los e jem plos 1 2-7

y 12-8.

A nális is U s e e l procedim iento p ara determ inarla deflexión de una viga sim ple

m ente apoyada sim étricamente ca rg ad a-m éto do del á rea de momento,

p a s o s 1 - 4 . C o m o e l p a tró n d e c a r g a e s s im é tr ic o , la d e f le x ió n m á x im a

o c u r r i r á a la m ita d d e la v ig a .

R esultados P a s o 1.

P a s o 2.

P a s o 3.

P a s o 4.

L o s d i a g r a m a s d e c a r g a , f u e r z a c o r t a n t e y m o m e n to flex io

n a n t e s e m u e s t r a n e n la f ig u ra 1 2 - 2 4 , p r e p a r a d o s d e la m a

n e r a tra d ic io n a l . El m o m e n to f l e x io n a n te m á x im o e s d e

7 2 0 0 I b p lg e n t r e B y C.

L a r ig id e z d e la v ig a , £ / , s e d e te r m in a c o n d a t o s d e lo s

a p é n d ic e s . S e g ú n e l a p é n d i c e A - 1 7 , E p a r a e l a lu m in io

6 0 6 1 - T 6 e s d e 10 x 10 6 lb /p lg 2. S e g ú n e l a p é n d i c e A - 1 0 , el

m o m e n to d e in e r c ia d e la c a n a l , c o n r e s p e c to a l e j e Y -Y , e s

d e 1 .5 3 p lg 4. E n to n c e s :

E l = (1 0 x 10 6 lb /p lg 2)( 1 .5 3 p lg 4) = 1 .5 3 x 10 7 Ib p lg 2

C o m o la r ig id e z d e la v ig a e s u n ifo rm e a lo la rg o d e t o d a s u

lo n g itu d , la fo rm a d e l d ia g r a m a M/Eles ig u a l a la d e l d i a g r a

m a d e m o m e n to f le x io n a n te , a u n q u e lo s v a lo r e s s o n d ife

r e n te s , c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 - 2 5 . E l v a lo r

m á x im o d e M '© e s d e 4 . 71 x l O ^ p l g -1 .

P a r a d e te r m in a r la d e f le x ió n a la m ita d d e la v ig a , s e u s a

u n a d e la s m i ta d e s d e l d ia g r a m a M /E I. P o r c o n v e n ie n c ia ,

é s t e s e d e s c o m p o n e e n u n r e c tá n g u lo y u n t r iá n g u lo c o n e l

c e n t r o id e d e c a d a u n o m o s t r a d o .

S e t ie n e q u e d e te r m in a r tAE, la d e s v ia c ió n v e r t ic a l d e l p u n to

A r e s p e c to a la t a n g e n t e a la c u r v a d e d e f le x ió n t r a z a d a e n

e l p u n to E, e l c e n t r o d e la v ig a . P o r e l t e o r e m a 2:

tA E = A a EI X Xytt + A a e í X X a z

A p lic a c io n es de l m é to do de l á rea de m om e n to 4 6 5

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R esultados S e p u e d e u s a r e l m é to d o d e l á r e a d e m o m e n to p a r a d e te r m in a r la d e s

v ia c ió n v e r tic a l , d e l p u n to B a p a r t ir d e la t a n g e n te a l p u n to £ a la

m ita d d e la v ig a . L u e g o , r e s tá n d o la d e l v a lo r d e ^ c a l c u l a d o e n e l e je m

p lo 1 2 - 7 d a la d e f le x ió n v e r d a d e r a d e l p u n to B. E n la f ig u ra 1 2 - 2 6 s e

m u e s tr a n lo s d a to s n e c e s a r i o s p a r a c a lc u la r tBE.

tbe = x x 81 = ( 4 . 7 1 x 1 0 ^ p l g '1) (1 2 p lg )(6 p lg ) = 0 .0 3 4 plg

4.71 x 10"4 p lg "1

^BE\

Tangente e n £

lBE

F I G U R A 1 2 - 2 6 D iagram a M /E Iy curva de deflex ión del ejem plo 12-8,

O b s e r v e q u e la d is ta n c ia xs1 s e d e b e m e d i r á p a r t i rd e l p u n to B. P o r ta n to ,

la d e f le x ió n d e l p u n to B e s :

y s = (ae~ (be= 0 -2 6 0 - 0 .0 3 4 = 0 .2 2 6 p lg

V ig a s c o n s e c c ió n tr a n s v e rs a l v a r ia b le . Uno de los usos principales del método del área de momento es para calcular la deflexión de una viga de sección transversal variable a lo largo de su longitud. Se requiere sólo un paso adicional en com paración con las vigas de sección transversal uniforme, como las consideradas hasta ahora.

En la figura 12-27 se muestra un ejemplo de una viga de ese tipo. Nótese que es una modificación de la viga usada en los ejemplos 12—7 y 12-8 mostrada en la figura 12-24. En este caso se agregó una placa rectangular, de 0.25 plg por 6.0 plg, a laparte inferior del canal original a lo largo de 48 plg intermedias de la longitud de la viga. El perfil tubular incrementa la rigidez de manera significativa, por lo que se reduce la deflexión de la viga.

El esfuerzo en la viga también se reduciría.El cambio del procedim iento para analizar la deflexión de la viga radica en la pre

paración del diagrama M/EI. La figura 12-28 m uestra los diagramas de carga, fuerza cortante y momento flexionante como antes. En la prim era y las últimas 12 plg del diagra-

S e c c ió n 1 2 -9 ■ A p l ic a c ion es de l m é todo de l á rea de m om en to 4 6 7

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E n e l p u n to S , d o n d e M = 7 2 0 0 I b p lg y E / = 4 .6 5 x 10 7 lb -p lg2:

7 2 0 0 Ib plgM

E l 4 .6 5 x 1 0 7 Ib p lg 2= 1.55 x 10 -4 plg-1

E s to s v a lo r e s e s t a b l e c e n lo s p u n to s c r í t ic o s e n e l d ia g r a m a

M/EI.

P a s o 3. El á r e a d e m o m e n to d e la m ita d iz q u ie rd a d e l d ia g r a m a

M/EI s e u s a r á p a r a d e te r m in a r e l v a lo r d e tAB c o m o e n e l

e je m p lo 1 2 - 7 . P o r c o n v e n ie n c ia , e l á r e a to ta l s e d iv id e e n

c u a t r o p a r te s , c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 - 2 6 , c o n la s

u b ic a c io n e s d e lo s c e n t r o id e s in d ic a d a s c o n r e s p e c to a l

p u n to A. L a s d i s ta n c ia s s o n :

x , = (2) (12 p lg ) = 8 p lg

*2 = ( j) (12 p lg ) + 12 p lg = 1 8 plg

x3 = ( i) (12 p lg ) + 12 p lg = 20 p lg

x4 = ( i ) (1 2 p lg ) + 2 4 p lg = 3 0 p lg

A p lic a c io n es de l m étodo de l á rea de m om en to 4 6 9

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P a s o 4. A h o ra s e p u e d e u s a r e l t e o r e m a 2 p a r a c a lc u la r e l v a lo r d e

tA£l la d e s v ia c ió n d e l p u n to A a p a r t i .-d e la t a n g e n te a l p u n to

£ , c a lc u la n d o e l m o m e n to d e c a d a u n a d e la s c u a t r o á r e a s

m o s t r a d a s s o m b r e a d a s e n e l d ia g r a m a M /E I d e la f igu ra1 2 - 2 8 .

<AE = ^1*1 + A 2X2 + A jX3 + A,X„

A ,x , = (0 .5 ) (2 .3 5 x 10 - 4p lg _1)(1 2 p lg )(8 p lg ) = 1 .1 2 8 x 1 0 -2 plg

A2X2 = (7 .7 4 x 10 ' 5 p lg _1) (1 2 p lg ) (1 8 p lg ) = 1 .6 7 2 x 1 0 "2 p lg

A jX j = (0 .5 ) (7 .7 4 x 1 0 _5p lg _1)(1 2 p lg ) (2 0 p lg ) = 9 .2 9 3 x 1 0 '3 plg

A4X4 — (1 .5 5 x 1 0 -4 p lg _1)(1 2 p lg ) (3 0 p lg ) = 5 .5 8 0 x 1 0 '2 p lg

P o r ta n to :

tAE= yE = Z (A x¡) - 9 3 0 9 x 10 '2 p lg = 0 .0 9 3 p lg

C o m e n ta rio C o m o a n t e s , e s t e v a lo r e s ig u a l a la d e f le x ió n d e l p u n to E a la m ita d d e la

v ig a . C o m p a r á n d o la c o n la d e f le x ió n d e 0 .2 6 0 p lg d e t e r m i n a d a e n el

e j e m p lo 12- 8, la a d ic ió n d e la c u b r e p la c a r e d u jo la d e f le x ió n m á x im a en c a s i 6 4 % .

V ig a s s im p le m e n te a p o y a d a s a s im é tr ic a m e n te c a rg a d a s . La diferencia principal entre este tipo de viga y las antes consideradas es que el punto de deflexión máxima no se conoce. Se debe tener un especial cuidado al describir la geometría del diagrama M/EIy de la curva de deflexión de la viga.

El procedimiento general para determinar la deflexión en cualquier punto de la curva de deflexión en el caso de una viga simplemente apoyada asim étricamente cargada se describe a continuación. Debido a los innum erables patrones de carga diferentes, la manera específica de aplicar este procedimiento se tiene que ajustar a cualquier problema dado. Se recomienda verificar los principios fundamentales del método del área de momento al terminar de resolver un problema. El método se ilustrará con un ejemplo.

P ro c e d im ie n to p a ra

d e te rm in a r la

d e fle x ió n d e una

v ig a s im p le m e n te

a p o y a d a

a s im é tr ic a m e n te

c a rg a d a -m é to d o

del á re a de m o m e n to

4 7 0 C a pítu lo 12 ■ D e flex ión de vigas


2. Constniya el diagrama M/EI y divida el momento flexionante en cualquier punto entre el valor de la rigidez de la viga, El, en dicho punto.

3. Bosqueje la forma probable de la curva de deflexión. En seguida trace la tangente a la curva de deflexión en uno de los apoyos. Con el teorema 2, calcule la desviación vertical del otro apoyo con respecto a la línea tangente. Se requiere el momento del diagrama M/EI completo con respecto al segundo apoyo.

4. Utilizando proporciones, calcule la distancia del eje cero a la línea tangente del paso 3 en el punto donde se desea detenninar la deflexión.

5. Con el teorema 2, calcule la desviación vertical del punto de interés con respecto a la línea tangente del paso 3. Se usará el momento de la parte del diagrama M/EI entre el prim er apoyo y el punto de interés.

6. Reste la desviación calculada en el paso 5 de la determinada en el paso 4. El resultado es la deflexión de la viga en el punto deseado.

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S e u ti l iz a rá E = 2 0 7 G P a p a r a a c e r o . E n e l a p é n d ic e s e

e n c u e n t r a /= 2 .5 2 p lg 4, y é s t e s e d e b e c o n v e r t i r e n u n id a d e s

m é tr ic a s .

/ = W 5 = 1 049 x10, m<

1.0 pig

P o r ta n to , la r ig id e z d e la v ig a e s :

E l = (2 0 7 X 109 N /m 2) (1 .0 4 9 x 10“ m 4) = 2 .17 x 105 N m 2

A h o ra y a s e p u e d e c a lc u la r e l v a lo r d e M /E I en e l p u n to 8 d e

la v ig a .

M \ 2 4 0 0 N m ,= 0 .01106 m 1

E l) a 2 .1 7 X 105 N m 2

E n la f ig u ra 1 2 - 2 9 s e in c lu y e e l d ia g r a m a M /E I. S e d e s e a

c a lc u la r la d e f le x ió n d e la v ig a e n s u p u n to m e d io , m a r c a d o

c o m o p u n to O.

E n la f ig u ra 1 2 - 2 9 la c u r v a d e d e f le x ió n d e la v ig a a p a r e c e

e x a g e r a d a . E s p r o b a b le q u e la d e f le x ió n m á x im a o c u r ra

m u y c e r c a d e l c e n t r o d e la v ig a d o n d e s e t i e n e q u e d e te rm i

n a r la d e f le x ió n , p u n to D . L a f ig u ra 1 2 - 3 0 m u e s t r a la t a n

g e n t e a la c u rv a d e d e f le x ió n e n e l p u n to A e n e l e x tre m o

iz q u ie rd o y la d e s v ia c ió n v e r t ic a l d e l p u n to C a p a r t ir d e e s ta

l ín e a . O b s e r v e q u e e l p u n to C e s u n p u n to c o n o c id o d e la

c u r v a d e d e f le x ió n p o r q u e la d e f le x ió n allí e s c e r o . A h o ra s e

p u e d e u s a r e l t e o r e m a 2 p a r a c a lc u la r tCA■ S e u s a e l d ia g r a

m a M /E I c o m p le to , d e s c o m p u e s t o e n d o s t r iá n g u lo s .

te* — A CA: X C1 + A.CA2*C2

A C/n* c i = (0 .5 )(0 .0 1 1 0 6 m " ’) (0 .8 m ) (0 .5 3 3 m) = 0 .0 0 2 3 5 9 m

A c /a X a = (0.5) (0 .01106 m ' ') ( 1 .2 m )(1 .2 m ) = 0 .0 0 7 9 6 3 m

P o r ta n to :

tCA = 0 .0 0 2 3 5 9 + 0 .0 0 7 9 6 3 = 0 .0 1 0 3 2 2 m = 1 0 .3 2 2 m m

U s e e l p r in c ip io d e l a s p r o p o r c io n e s p a r a d e te r m in a r la d is

t a n c ia D D " d e D a la l ín e a t a n g e n te .

te* _ PP"

CA ~ A D

A D 1.0 m „ _D P " = I c a x — = (1 0 .322 m m ) x = 5.161 m m


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M . _ u

~EÍ >

D e f le x ió n ,

F I G U R A 1 2 - 3 1 D i a g r a m a s d e á r e a d e m o m e n t o d e l e j e m p lo 1 2 - 1 0 .

V IG A S C O N C A R G A S D IS T R IB U ID A S - M E T O D O

D E L Á R E A D E M O M E N T O

El procedim iento general para determ inar la deflexión de vigas sometidas a cargas distribuidas es el m ismo que se dem ostró para vigas sometidas a cargas concentradas. Sin em bargo, la forma de las curvas del momento flexionante y dsM /EIes diferente y requiere el uso de otras fórmulas para calcular el á reay la ubicación del centroide que se usan en el m étodo del área de momento. El ejemplo siguiente ilustra las diferencias que cabe esperar.


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ta n g e n te a la fo rm a d e f le x io n a d a d e la v ig a e n e l p u n to A, d o n d e la v iga e s t á e m p o tr a d a . P o r ta n to , e n e l e x t r e m o d e r e c h o d e la v ig a , la d e s v ia

c ió n d e la c u rv a d e d e f le x ió n d e la v ig a r e s p e c to a la t a n g e n te , tBA, e s ig u a l a la d e fle x ió n d e la v ig a .

U tilizan d o e l t e o r e m a 2 , la d e s v ia c ió n tBA e s ig u a l a l p r o d u c to del

á r e a d e la c u rv a M /E I e n t r e S y A p o r la d is ta n c ia d e l p u n to S a l c e n tro id e d e l á r e a . E s d e c ir :

Ib a = A ba • Xg

R e c o rd a n d o q u e lo s d i a g r a m a s d e c a r g a , fu e rz a c o r ta n te y m o m e n to

f le x io n a n te e s t á n r e la c io n a d o s e n t r e s í d e ta l m o d o q u e la c u rv a d e arri

b a s e a la d e r iv a d a d e la c u rv a d e a b a jo , s e p u e d e c o n c lu ir lo s ig u ie n te :

1 . La c u rv a d e la fu e rz a c o r ta n te e s u n a c u rv a d e p r im e r g r a d o (lín ea

r e c ta d e p e n d ie n te c o n s ta n te ) . S u e c u a c ió n e s d e la fo rm a :

V = m -x + b

e n d o n d e m e s la p e n d ie n te d e la l ín e a y b e s s u in te r c e p c ió n c o n el

e je v e r tic a l. L a v a r ia b le x e s la p o s ic ió n e n la v ig a .

2 . L a c u rv a d e l m o m e n to f le x io n a n te e s u n a c u rv a d e s e g u n d o g ra d o ,

u n a p a r á b o la . L a e c u a c ió n g e n e r a l d e la c u r v a e s d e la fo rm a :

M = a x 2 + b

El a p é n d ic e A -1 m u e s tr a la s r e la c io n e s p a r a c a lc u la r e l á r e a y la

u b ic a c ió n d e l c e n tro id e d e á r e a s d e l im i ta d a s p o r c u r v a s d e s e g u n d o

g ra d o . P a r a u n á r e a c u y a fo rm a s e a la d e la s c u r v a s d e l m o m e n to flexion a n te o M /E I :

á r e a =L h

Lx = —

4

e n d o n d e L = lo n g itu d d e la b a s e d e l á r e a

h = a l tu ra d e l á r e a

x = d is ta n c ia d e u n la d o d e l á r e a a l c e n t ro id e

O b s e rv e q u e la d is ta n c ia c o r r e s p o n d ie n te d e l v é r t ic e d e la c u rv a a l c e n tro id e e s :

A h o ra , c o n lo s d a to s m o s t r a d o s e n la f ig u ra 1 2 - 3 3 :

. L h (18 p lg ) ( -4 .6 8 x K T * p l g '1) ,A b a = — = ------= 2 .8 0 8 x 1(T 3

3 3

x s = 3 L = 3 J 1 8 Ü Ü = m p |g

C apítu lo 12 ■ D e flexión de vigas

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1 2 -3 .M Para la flecha del problema 12-1, calcule la deflexión suponiendo que los extremos están fijos contra rotación en vez de simplemente apoyados.

1 2 -4 .M Para la flecha del problema 12-1, calcule la deflexión suponiendo que la flecha es de 350 mm de largo y no de 700 mm.

1 2 -5 .M Para la flecha del problema 1 2 -1 , calcule la deflexión suponiendo que el diámetro es de 25 mm y no de 32 mm.

1 2 -6 .M Para la flecha del problema 12-1, calcule la deflexión suponiendo que la carga se coloca a 175 mm del extremo izquierdo y no en el centro. Calcule la deflexión tanto en el punto de aplicación de la carga como en el centro de la flecha.

12-7.1 Una viga de acero de patín ancho, W 12 x 16, soporta la carga mostrada en la Figura P6-4. Calcule la deflexión en las cargas y en el centro de la viga.

12-8 .1 Un tubo de acero estándar cédula 40 de 1 1/2 plg soporta una carga de 650 Ib en el centro de su claro de 28 plg, simplemente apoyado. Calcúlela deflexión del tubo en el punto de aplicación de la carga.

12 -9 .1 Una viga I estándar Aluminum Association, 18 x 6.181, soporta una carga uniformemente distri- buidade 1125 lb/pieenunclarode lOpies. Calcule la deflexión en el centro del claro.

1 2 -10 .1 Para la viga del problema 12-9, calcule la deflexión en un punto a 3.5 pies del extremo izquierdo de la viga.

12-11.1 Una viga de patín ancho de acero, W12 x30,so porta la carga mostrada en la figura P6—12. Calcule la deflexión en la carga.

12-12.1 Para la viga del problema 12-11, calcule la deflexión en la carga suponiendo que el apoyo izquierdo se recorre 2.0 pies hacia la carga.

1 2 -13 .1 Para la viga del problema 12-11, calcule la deflexión máxima hacia arriba y determine su ubicación.

1 2 -14 .1 Un tubo de acero cédula 40 de 1 plg se utiliza como viga en voladizo de 8 plg de longitud para soportar una carga de 120 Ib en su extremo. Calcule la deflexión del tubo en el extremo.

12-15.M Se tiene que usar una barra de acero circular para soportar una carga concentrada única de 3.0 kN en el centro de un claro de 700 mm de longitud sobre apoyos simples. Determine el diámetro requerido de la barra si su deflexión no debe exceder de0.12mm.

1 2 -1 6 .M Para la barra diseñada en el problema 12-15, calcule el esfuerzo en la barra y especifique un acero

adecuado que produzca un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última.

12-17.1 Una solera plana de acero de 0.100 plg de ancho y 1.200 plg de largo se sujeta por un extremo y se carga en el otro como viga en voladizo (como en el caso a del apéndice A-23). ¿Cuál debe ser el espesor de la solera para que se deflexione 0.15 plg bajo una carga de 0.52 Ib?

1 2 -1 8 .1 Una vigueta de madera de un edificio comercial es de 14 pies 6 plg de longitud y soporta una carga uniformemente distribuida de 50 lb/pie. Es de 1.50 plg de ancho por 9.25 plg de altura. Suponiendo que es de pino del sur, calcule la deflexión máxima de la viga. Además, calcule el esfuerzo en la vigueta causado por flexión y cortante horizontal, y compárelo con los esfuerzos permisibles para madera de pino del sur grado núm. 2.

S u p e r p o s i c i ó n

12 - 1 9 .M Una viga de aluminio extruido (6061-T6) soporta las cargas mostradas en la figura P6-6. Calcule la deflexión de la viga en cada una de las cargas. En la figura P7-11 se muestra el perfil de la viga.

12-20.M Las cargas mostradas en la figura P6-5 representan las patas de un motor colocado sobre un bastidor. El bastidor tiene la sección transversal mostrada en la figura P7-12 cuyo momento de inercia es de 16 956 mm4. Calcule la deflexión en cada una de las cargas. El bastidor es de aleación de aluminio 2014-T4.

12-21 .C Calcule la deflexión máxima de una viga de acero W18 x 55 cuando se somete a la carga mostrada en la figura P6-7.

1 2-22 .1 Un tubo de acero cédula 40 de 1 plg soporta las dos cargas mostradas en la figura P6-18. Calcule la deflexión del tubo en cada una de las cargas.

12-23.M Una viga en voladizo soporta dos cargas como se muestra en la figura P6-21. Si la viga es una barra de acero rectangular de 20 mm de ancho por 80 mm de altura, calcule la deflexión en su extremo.

1 2 -2 4 .M Para la viga del problema 12-23, calcule la deflexión suponiendo que la barra es de aluminio 2014-T4 y no de acero.

1 2 -2 5 .M Para la viga del problema 12-23, calcule la deflexión suponiendo que la barra es de magnesio, ASTM AZ 63 A-T6, y no de acero.

12-26.1 La carga mostrada en la figura P6—55 es soportada por una barra circular de acero de 0.800 plg de diámetro. Calcule la deflexión de su extremo derecho.

C ap ítu lo 12 ■ D e flex ión de vigas4 7 8

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12-31.C En la figura P 12-31 se muestra la carga. La viga es un tubo de acero cédula 40 de 2 1/2 plg.

12-32.1 En la figura P12-32 se muestra la carga. La viga 12-35.C En la figura P12-35 se muestra la carga. Seleccio-es un perfil de patín ancho de acero W24 x 76. ne una v*ga I de aluminio que limite el esfuerzo a

P rob lem as 4 7 9

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20 kN 30 kN

I 0.4 0.8 m I 0.8 m

TR* Rd

FIGURA P12-35

1.0 kN 4.0 kN 3.0 kN

0.2 I 0.2 l 0.8 m 0.4 m |

/I | B C D E

FIGURA P12-37

120 MPa; en seguida calcule la deflexión máxima en la viga.

12-36.C Una viga de acero de patín ancho W 14 x 26 soporta las cargas mostradas en la figura P12-36. Calcule la deflexión máxima entre los apoyos y en cada extremo.

20 kN 30 kN 20 kN

4 m I 4 m I 4 m 12 r

W 14 x 26v ii* t

B C I D E

Rb Rd

FIGURA P12-36

12-37.M Lafigura 12-37 representa una flecha de acero de máquina. Las cargas se deben a los engranes montados en la flecha. Suponiendo que el diámetro de la flecha no cambia, determine el diámetro requerido para limitar la deflexión en cualquiera de los engranes a 0.13 mm.

M é to d o d el á re a d e m o m e n to

Utilice el método del área de momento para la solución de losproblemas siguientes:

12-38.1 Para la viga mostradaen lafigura P12-29, calcule la deflexión en la carga. La viga es una barra rectangular de acero de 1.0 plg de ancho por 2.0 plg de altura.

12-39.1 Para la viga mostrada en la figura P12-29, calcule la deflexión a la mitad, a 8.0 plg de uno u otro apoyo. La viga es una barra rectangular de acero de 1.0 plg de ancho por 2.0 plg de altura.

12-40.1 Para la viga mostrada en la figura P12-30, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es un perfil de patín ancho de aceroW 18x 55.

12-41 .C Para la viga mostrada en la figura P12-31, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es un tubo de acero cédula 40 de 2 1II plg.

12-42.1 Para la viga mostrada en la figura P 12-32, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es un perfil de patín ancho de acero W24 x 76.

12-43 .M Para la viga mostrada en la figura P 12-33, calcule la deflexión en su extremo libre. La viga es una barra circular de aluminio 6061-T6 de 100 mm de diámetro.

12-44.C Para la viga mostrada en la figura P12-34, calcule la deflexión en el extremo derecho, punto C. La viga es un tubo cuadrado de acero estructural de 2 x 2 x 1/4.

12-45.C Para la viga mostrada en la figura P12-35, calcule la deflexión en el punto C. La viga es una viga 1,17 X5.800, de aluminio 6061-T6.

12-46. C Para la viga mostrada en la figura P12-36, calcule la deflexión en el punto A. La viga es un perfil de patín ancho de acero W 14 x 26.

12-47.1 La figura P12-47 muestra una flecha circular de acero escalonada que soporta una carga concentrada única en su centro. Calcule la deflexión bajo la carga.

Los cojinetes funcionan

com o apoyos sim ples

- 3 .0 p lg -

6001b

- 4 .0 p lg - - 4 .0 p lg - -3 .0 p lg -

480

B C D

— 1.40 p lg de diám . R e

- 0.75 plg de d iám .-am b o s extrem os FIGURA P12-47


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|* ------------------ 2 8 6 ----------------- | - ----------------------------------------------- 2 8 6 ----------------- ►

Tablón de madera de 4 x 1 2 Tablón de madera de 4 x 1 2

Tablón de madera de 2 x 12

Dimensiones en mm

Sección A-A Sección B-B

F IG U R A P 12-51 Trampolín del problema 12-51.

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T A R E A S D E C

1. Escriba un programa para evaluar la deflexión de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada entre los apoyos utilizando las fórmulas dadas en el caso b del apéndice A-22. El programa debe aceptar la introducción de datos como la carga, la longitud del extremo saliente, si lo hay, los valores de rigidez de la viga (£ e /), y el punto en donde se va a calcular la deflexión.

A diciones

(a) Diseñe el programa de modo que calcule la deflexión en una serie de puntos para trazar la curva de deflexión completa.

(b) Además de calcular la deflexión de la serie de puntos, haga que el programa trace la curva de deflexión en un graficadoro impresora.

(c) Haga que el programa calcule la deflexión máxima en el punto donde ocurre.

T area s de com pu tac ión


2. Repita la tarea 1 para cualquiera de los patrones de carga y apoyos mostrados en el apéndice A-22.

3. Escriba un programa como el de la tarea 1 para el caso b del apéndice A-22, pero haga que acepte dos o más cargas concentradas en cualquier punto de la viga y calcule la deflexión en puntos específicos con el principio de superposición.

4. Combine dos o más programas que determinen la deflexión de vigas sometidas a un patrón de carga dado, de modo que se pueda usar el principio de superposición para calcular la deflexión en cualquier punto a causa de la carga combinada. Por ejemplo, combine los casos b y d del apéndice A-22 para manejar cualquier viga con una combinación de cargas concentradas y una carga uniformemente distribuida completa. O, añada el caso g para incluir una carga distribuida sobre sólo una parte de la longitud de la viga.

5. Repita las tareas 1 a 4 para las vigas en voladizo del apéndice A-23.

4 8 3

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13

V ig a s es tá tica m en te ind e te rm in ad a s

1 3 - 1 O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O

Las vigas consideradas en los capítulos anteriores fueron vigas con dos y sólo dos apoyos sim ples y en voladizo con un extremo fijo y el otro libre. Se dem ostró que todas las fuerzas de reacción y los momentos flexionantes desconocidos se podían determinar con las ecuaciones clásicas de equilibrio.

l.F= 0 en cualquier dirección

r \ E cuacio nes

de equ ilib rio

Z.M = 0 con respecto a cualquier punto

Estas vigas se llaman estáticamente determinadas.Este capítulo se ocupa de vigas que no quedan com prendidas dentro de las catego

rías antes mencionadas y por tanto se llaman estáticamente indeterminadas. Para analizar tales vigas se requieren métodos diferentes los cuales se dem ostrarán en este capítulo. Asim ismo, se comparará el comportamiento de vigas diseñadas para realizaruna función sim ilar pero provistas de sistemas de apoyo diferentes, de las cuales unas son estáticamente determinadas y otras estáticamente indeterminadas.

4 8 4

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1. Definir los conceptos de estáticamente determinada y estáticamente indeterminada.

2. Reconocer las vigas estáticamente indeterminadas a partir de las descripciones de las condiciones de carga y apoyo.

3. Definir las vigas continuas.

4. Definir una viga en voladizo soportada.

5. Definir una viga con un extremo fijo.

6. Usar las fónnulas establecidas para analizar ciertos tipos de vigas estáticamente indeterminadas.

7. U sar el principio de superposición para com binar casos sim ples para los que haya fónnulas disponibles para resolver casos de carga más complejos.

8. Usar el teorema de los tres momentos para analizar vigas continuas con tres o más apoyos sometidas a cualquier com binación de cargas concentradas y distribuidas.

9. Com parar la resistencia y la rigidez relativas de vigas con diferentes sistemas de apoyo y patrones de carga.

D e s p u é s d e t e r m in a r e l e s tu d io d e e s te c a p í tu lo , e l le c to r s e r á c a p a z d e :

1 3 - 2 E JE M P L O S DE V IG A S E ST Á T IC A M E N T E IN D E T E R M IN A D A S

Las vigas con más de dos apoyos simples, las vigas en voladizo con un segundo apoyo o las vigas con dos extremos fijos son ejemplos im portantes de vigas estáticam ente indeterm inadas. La figura 13-1 m uestra el m étodo tradicional de represen tar estos tipos de vigas. Las formas representativas, si bien exageradas, de las curvas de deflexión de las vigas tam bién se m uestran. Son de notarse las d iferencias s ignificativas entre éstas y las curvas de las vigas del capítulo anterior.

La figura 13—1 (a) se llama viga continua y el nombre proviene del hecho de que la

viga es continua sobre varios apoyos. Es importante señalar que la forma de la curva de

deflexión también es continua a través de los apoyos. Este hecho es útil al analizar tales

vigas. Las vigas continuas ocurren con frecuencia en estructuras de edificios y en puen

tes de carreteras. Muchas casas campestres con sótanos contienen vigas de ese tipo dis

puestas de un lado al otro de la casa para soportar las cargas producidas por las viguetas

de piso y los muros divisorios. Los puentes sobre autopistas para el tráfico local con

frecuencia están apoyados en los extremos a am bos lados de la autopista y también a la

mitad en el camellón central. Nótese que las vigas de puentes com o éstos por lo general

son de una pieza o están conectadas para formar una viga continua rígida.

La viga con un extremo fijo m ostrada en la figura 13—1 (b) se usa en estructuras de

edificios y también en estructuras de máquinas por el elevado grado de rigidez provisto.

La creación de la condición de extremo fijo requiere que las conexiones en los extremos

impidan la rotación de éstos así como también para que desempeñen la función de apoyo

para las cargas verticales. La figura 13-2 m uestra una manera de lograr la condición de

apoyo fijo. Soldando una viga transversal en las colum nas de apoyo se obtendría el m is

mo resultado. Se debe tener cuidado al evaluar vigas con extremos fijos para garantizar

que las conexiones impidan la rotación de la viga en el apoyo y resistan los momentos

Secc ión 1 3 - 2 » E jem plo s de v ig a s es tá tica m en te ind e te rm ina da s 485

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fuerza cortante y momento flexionante y la fórmulas necesarias para calcular los valores en puntos críticos.

Las características generales de las vigas estáticamente indeterminadas son bastante diferentes de las estáticamente determinadas estudiadas en los capítulos anteriores. Éstas se ven con toda claridad en la manera de calcular las fuerzas y momentos de reacción en los apoyos, la distribución del momento flexionante con respecto a la posición en la viga, la magnitud de la deflexión en varios puntos de la viga y la forma general de la curva de deflexión. Las fórmulas incluidas en el apéndice A -24 se derivaron utilizando los principios estudiados en los capítulos 6 ,7 y 12 de este librojunto con consideraciones especiales para adecuar la naturaleza estáticamente indeterminada de las condiciones de carga y apoyo. Se pueden usar las técnicas de superposición y el teorema de los tres momentos más adelante analizados en este capítulo para derivar estas fórmulas. Al revisar las fórmulas que vienen en el apéndice A -24, nótense las siguientes características generales.

C a ra c te r ís tic a s

g e n e ra le s

d e las v ig a s

e s tá tic a m e n te

in d e te rm in a d a s

3.

Vigas en voladizo apoyadas (Casos a a d en el apéndice A -24)

1. El extremo fijo funciona como un apoyo rígido que resiste cualquier tendencia a girar de la viga. Por tanto en general se produce un momento flexionante significativo en ese lugar.

2. El segundo apoyo se considera como apoyo simple. Si el apoyo sim ple se localiza en el extremo libre de la viga, como en los casos a ,b y c , el m omento flexionante allí es cero.

Si la viga en voladizo apoyada dispone de un extremo saliente, como en el caso d, el máximo momento flexionante a menudo ocurre en el apoyo simple. La forma de la curva del momento flexionante por lo general es opuesta a la de los casos sin extremo saliente.

4. Existe un punto de momento flexionante cero en una viga en voladizo entibada, por lo general cerca del extremo fijo.

Vigas con extremosfijos (Casos e , f y g del apéndice A -24)

1. Los momentos flexionantes en los extremos fijos no son cero y pueden ser los máximos en la viga.

2. Cuando las cargas están dirigidas hacia abajo en una viga con los extremos fijos, los momentos flexionantes en los extremos son negativos, lo que indica que la curva de deflexión cerca de ellos es cóncava hacia abajo.

3. Cuando las cargas están dirigidas hacia abajo, los momentos flexionantes cerca del centro de las vigas con extremos fijos son positivos, lo que indica que la curva de deflexión allí es cóncava hacia arriba.

Por lo general existen dos puntos de momento flexionante cero en las vigas con extremos fijos.

5. La pendiente de la curva de deflexión de una viga con extremos fijos es cero en éstos por la restricción creada allí contra rotación.

Los sujetadores utilizados para fijar los extrem os de una viga deben ser capaces de resistir los mom entos flexionantes y las fuerzas cortantes en estos puntos. Se debe consultar el capítulo 16 sobre Conexiones con respecto a las técnicas de diseño y análisis de conexiones a prueba de momentos.

4.

6.

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Vigas continuas (Casos h, i y j del apéndice A -24)

1. Los puntos de momento flexionante máxim o positivo por lo general ocurren cerca del centro de los claros entre los apoyos.

2. Los momentos flexionantes máximos negativos por lo general ocurren en los apoyos interiores y con frecuencia son los momentos flexionante má

ximos.

3. Sobre todo en el caso de vigas continuas, con frecuencia es económicamente deseable diseñar la sección transversal y sus dim ensiones para reforzar las secciones sometidas a valores localm ente elevados de los momentos flexionantes. Un ejemplo seria diseñar el perfil principal de la viga para que soporte el momento máximo positivo entre los apoyos y en seguida agregar placas de refuerzo a la caras superior e inferior de la viga cerca de los apoyos para incrementar el momento de inercia y el módulo de sección en las regiones de momento flexionante elevado. Otro enfoque sería incrementar el peralte de la viga cerca de los apoyos. Los pasos elevados sobre carreteras y los puentes sobre ríos con frecuencia poseen estas

características de diseño.

4. En los casos en que las vigas continuas que se tienen que fabricar con secciones que se sujetan entre sí en el sitio de la obra, conviene colocar las conexiones cerca de un punto de momento flexionante cero para sim plifi

car su diseño.

C o m p a r a c ió n d e l t ip o d e a p o y o d e u n a v ig a c o n e l u s o d e f ó r m u la s e s t á n

d a r . La aplicación de las fórmulas de vigas estáticamente indeterminadas es sim ilar al proceso utilizado en el capítulo 12 para v ig a s estáticamente determinadas. En los ejem plos siguientes se demuestra el uso de varias fórmulas contenidas en los apéndices A -22, A -23 y A -24 y también se generan datos con los cuales se compara el desempeño de cuatro tipos diferentes de apoyos para alcanzar el mismo objetivo; es decir, soportar una carga dada a una distancia dada de uno o dos apoyos. La comparación se basa en la magnitud del esfuerzo flexionante y la deflexión en las cuatro vigas del mismo material, perfil y tamaño. La viga de mejor desempeño, por tanto, es aquella con el m enor esfuerzo

y menor deflexión.Los parámetros de las comparaciones son los siguientes:

1. Los cuatro tipos de viga a ser comparados son:

a. Viga en voladizo

b. Viga simplemente apoyada

c. Viga en voladizo apoyada

d. Viga con ambos extremos fijos o empotrados

2. Cada viga debe soportar una carga concentrada estática única de 1200 Ib.

3. La carga se debe colocar a 30 plg de cualquiera de los apoyos.

4 . Las vigas serán de acero estructural A36 ASTM cuyas propiedades son las si

guientes: sy= 36 000 lb/plg2; E - 30 x 106 lb/plg2.

5. El esfuerzo flexionante máximo permisible se basará en la norma A1SC:

ad=0.66sy= 0.66(36 000 lb/plg2) = 23 760 lb/plg2

Sección 1 3 -3 » F ó r m u l a s para vigas estáticamente indeterminadas 4 8 9

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m á x im a a L /3 6 0 . El c a n a l d e b e c o lo c a r s e c o n la s p a t a s h a c ia a b a jo y la c a r a p la n a d e l

a lm a h a c ia a r r ib a p a r a m o n ta r la c a r g a . P a r a e l perfil d e v ig a s e le c c io n a d o c a lc u le e l

m á x im o e s f u e r z o y d e f le x ió n e s p e r a d o s .


D a to s

A n á lis is

D is e ñ a r la v ig a e n v o la d iz o y c a lc u la r e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n r e s u l

t a n te .

L a s d im e n s io n e s d e la v ig a y la c a r g a m o s t r a d a s e n la f ig u ra 1 3 - 4 . El

perfil d e b e s e r u n c a n a l d e a c e r o e s t á n d a r c o n l a s p a t a s h a c ia a b a jo .

crtf= 2 3 7 6 0 lb /p lg 2; y máx= L /3 6 0 c o n L = Lc = 3 0 plg

L a f ig u ra 1 3 - 4 c o n t ie n e lo s d ia g r a m a s d e c a r g a , f u e r z a c o r ta n te y m o

m e n to fle x io n a n te c o n lo s c u a l e s s e d e te r m in a q u e M máx= 3 6 0 0 0 Ib p lg .

P o r ta n to :

a = £T<j = M /S

A ná lis is d e l esfuerzo. P a r a u n e s t a d o d e e s f u e r z o , e l m ó d u lo d e s e c c ió n

r e q u e r id o e s :

S = MUt„ = (3 6 0 0 0 Ib p lg ) /(2 3 7 6 0 lb /p lg 2) = 1 .5 1 5 p lg 3

D el a p é n d ic e A - 6 , c o n s id e r a n d o la s p r o p ie d a d e s c o n r e s p e c to a l e je

V - y , s e s e le c c io n a C 1 2 x 2 5 c o m o la s e c c ió n m á s lig e ra c o n v e n ie n te .

S u s p r o p ie d a d e s s o n :

S = 1 .8 8 p lg 3; /= 4 .4 7 p lg 4; w = 2 5 Ib /p ie

D eflex ió n : L a m á x im a d e f le x ió n p e rm is ib le e s :

y máx= - L /3 6 0 = - ( 3 0 p lg ) /3 6 0 = - 0 .0 8 3 3 p lg

S e g ú n e l a p é n d ic e A - 2 3 , la fó rm u la p a r a la d e f le x ió n m á x im a e s :

y máx= _ p l 3/3£ / e n e l e x t r e m o lib re d e la v ig a e n v o la d iz o

P o r ta n to e l m o m e n to d e in e rc ia r e q u e r id o e s :

/ = -P L 3/3E ymi,

I = -(1200 lb)O0 Plg)3 . 4 .32p!g4

3 (3 0 x 1 0 ) ( -0 .0 8 3 3 p lg)

El perfil d e v ig a p r e v ia m e n te s e l e c c io n a d o e s s a t is f a c to r io c o n r e s p e c to

a d e f le x ió n .E sfue rzo flex ionan te rea l:

a - M /S = (3 6 0 0 0 Ib p lg ) /(1 .88 p lg 3) = 19 1 5 0 lb /p lg2

D eflex ió n rea l:

3 - (1 2 0 0 lb X 3 0 p lg )3------- --- _ 0 0805 plgYméx —

- P L 3

3 E l 3 (3 0 x 1 06 lb /p lg2) (4 .4 7 p lg 4)

S e c c ió n 1 3 - 3 ■ F ó rm u la s p a ra v ig a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s 491

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D a to s

A n á l i s i s

C a lc u la r e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n m á x im o s . C o m p a r a r c o n la v ig a en

v o la d iz o .


perfil e s u n a c a n a l e s t á n d a r d e a c e r o , C 1 2 x 2 5 , c o n l a s p a t a s h a c ia

a b a jo .

P r o p ie d a d e s : S = 1 .88 p lg 3; 1=4.47 p lg4

C o n b a s e e n la f ig u ra 1 3 - 6 s e e n c u e n t r a q u e M mix= 13 5 0 0 Ib-plg. P o r

ta n to ,

E s fue rzo fíexionante rea l:

a = M /S = (1 3 5 0 0 Ib p lg ) /(1 .88 p lg 3) = 7 1 8 0 lb /p lg2

D eflex ió n rea l: S e g ú n e l a p é n d ic e A - 2 4 (a ) :

Ymdx- P L3 ________ -(1200 lb )(6 0 p lg )3

1 0 7 5 / ~~ 1 0 7 (3 0 x 10® lb /p lg 2)(4 .4 7 p lg 4)= - 0 .0 1 8 1 plg

R e s u l t a d o s C om paració n de lo s resu ltados con los de la v iga en volad izo. U tilizando

e l s u b ín d ic e 1 p a r a la v ig a e n v o la d iz o y 3 p a r a la v ig a e n v o la d iz o a p o

y a d a :

o -j / ct , = (7 1 8 0 lb /p lg 2)/(1 9 1 5 0 lb /p lg 2) = 0 .3 7 5

y j/y , = ( -0 .0 1 8 1 p lg )/(—0 .0 8 0 5 p lg ) = 0 .2 2 5

C o m e n t a r i o E s to s r e s u l t a d o s s e c o m p a r a r á n c o n lo s o t r o s d i s e ñ o s d e l e je m p lo 1 3 -5 .

E je m p lo L a v ig a c o n a m b o s e x t r e m o s fijos m o s t r a d a e n la f ig u ra 1 3 - 7 s e t ie n e q u e h a c e r c o n un

1 3 - 4 c a n a l e s t á n d a r d e a c e r o , C 1 2 x 2 5 , c o n la s p a t a s h a c ia a b a jo . C a lc u le e l e s f u e r z o y la

d e f le x ió n m á x im o s e s p e r a d o s y c o m p á r e lo s c o n lo s r e s u l t a d o s d e l e je m p lo 1 3 -1 d e la

v ig a e n v o la d iz o .

S o l u c i ó n O b je t iv o

D a to s

A n á l i s i s

C a lc u la r e l e s f u e r z o y la d e f le x ió n m á x im o s . C o m p a r a r c o n lo s re su lta

d o s d e la v ig a e n v o la d iz o .


perfil e s u n c a n a l e s t á n d a r d e a c e r o , C 1 2 x 2 5 , c o n la s p a t a s h a c ia ab a jo .

P r o p ie d a d e s : S = 1 .8 8 p lg 3, / = 4 . 4 7 p lg4

C o n b a s e e n la f ig u ra 1 3 - 7 s e e n c u e n t r a q u e M mi% = 9 0 0 0 Ib-plg. Por

ta n to ,

E s fue rzo fíexionante rea l:

a = M /S = ( 9 0 0 0 Ibp lg ) /(1 .88 p lg 3) = 4 7 8 7 lb /p lg2

D eflex ió n rea l: S e g ú n e l a p é n d ic e A - 2 4 (e ) ,

Xmáx- P L 3 -(1200 lb )(6 0 p lg )3

1 9 2 E / 1 9 2 (3 0 x 10® lb /p lg2)(4 .4 7 p lg 4)= - 0.0101 plg

4 9 4 C a pítu lo 13 ■ V ig as es tá ticam e n te indeterm inadas

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1 3 - 4 M É T O D O D E S U P E R P O S IC IÓ N

Considérese en prim er lugar la viga en voladizo apoyada mostrada en la figura 13-9. Debido a la restricción en A y al apoyo sim ple en B, las reacciones desconocidas incluyen:

1. La fuerza vertical RB

2. La fuerza vertical RÁ

3. El momento restrictivo MÁ

Las condiciones supuestas para esta viga son que los apoyos en A y B son absolutamente rígidos y que están al mismo nivel, y que la conexión en A impide la rotación de la viga en dicho punto. Por otra parte, el apoyo en B permite rotación y no puede resistir momentos.

Si se quita el apoyo en B, la viga se deflexionaria hacia abajo, com o se m uestra en la figura 13 -10(a), una c a n tid a d ^ , debido a la carga P. A hora bien, si se quita la carga y la reacción RB se aplica hacia arriba en B, la viga se deflexionaria hacia arriba una cantidad ym, como se muestra en la figura 13—10(b). En realidad, am bas fuerzas están aplicadas, y la deflexión en B es cero. El principio de superposición permite concluir entonces que:

Esta ecuación, junto con las ecuaciones normales de equilibrio, perm iten evaluar las tres incógnitas, como se demuestra en el ejemplo siguiente. Se debe reconocer que los princi-

yn +>,í 2 = 0 (13-1)

(a)

B

F IG U R A 1 3 -9 V iga en voladizo apoyada.F IG U R A 1 3 -1 0 Superposición aplicada a la viga en voladizo apoyada.

Secc ión 1 3 -4 ■ M étodo de sup erpos ic ión 4 9 7

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C o n e s to s v a lo re s en la e c u a c ió n (1 3 -1 ) se ob tie n e :

- 2 6 2 1 N-m3 + f l s (1 .944 m 3) = Q

E l E l

El té rm in o E l s e e lim in a , c o n lo q u e s e o b t ie n e la s o lu c ió n p a r a RB.

2621 N-m3Rs =

1 .944 m 3= 1348 N

L o s v a lo r e s d e RA y M A s e d e te r m in a n a h o r a c o n la s e c u a c io n e s d e

e q u ilib rio e s tá t ic o .

R eacción en A, R A

2 F = 0 (in th e v e r tic a l d irec tio n )

r a + Rb — p = o

Ra = P - Rg = 2 6 0 0 N - 1 3 4 8 N = 1 252 N

M om ento fíexionante e n A ,M A

S i s e s u m a n lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p u n to A s e o b t ie n e :

0 = Ma - 2 6 0 0 N (1.2 m) + 1 348 N (1.8 m)

Ma = 6 9 3 N-m

El s ig n o p o s itiv o d e l r e s u l ta d o in d ic a q u e e l s e n t id o s u p u e s to d e l m o m e n to d e re a c c ió n e n la f ig u ra 1 3 - 9 e s e l c o r re c to . S in e m b a r g o , é s t e e s

u n m o m e n to n e g a tiv o p o r q u e h a c e q u e la v ig a s e d e f le x io n e c ó n c a v a h a c ia a b a jo c e r c a d e l a p o y o A.

D iagram as de fuerza cortante y m om ento fíexionante

A h o ra y a s e p u e d e n d ib u ja r lo s d ia g r a m a s d e f u e rz a c o r ta n te y

m o m e n to f íe x io n a n te c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 3 - 1 1 , u tiliz a n d o la s

t é c n ic a s t r a d ic io n a le s . El m o m e n to f íe x io n a n te m á x im o o c u r re e n la c a r g a d o n d e M = 8 0 9 N -m .

D iseño de la viga

A h o ra y a s e p u e d e d i s e ñ a r la v ig a . S u p ó n g a s e q u e la in s ta la c ió n

re a l e s s im ila r a la i lu s tra d a e n la f ig u ra 1 3 - 1 2 , c o n e l e x t r e m o iz q u ie rd o

d e la v ig a s o ld a d o y c o n e l e x t r e m o d e r e c h o a p o y a d o e n o tra v ig a . U n a

b a r ra r e c ta n g u la r t r a b a ja r ía b ie n d i s p u e s ta d e e s t a m a n e r a y s e s u p o n

d rá u n a re la c ió n d e h = 3 1. U n a c e r o a l c a r b ó n c o m o e l A IS 1 1 0 4 0 la m in a

d o e n c a l ie n te , p ro p o rc io n a u n a r e s is te n c ia ú ltim a d e 6 2 1 M P a . S u

p o rc e n ta je d e a la r g a m ie n to , 2 5 % , s u g ie r e u n a b u e n a d u c ti l id a d , la q u e

a y u d a r á a re s is t ir la re p e tic ió n d e la s c a r g a s . El d i s e ñ o d e b e b a s a r s e e n e l e s fu e r z o f íe x io n a n te :

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F IG U R A 13-11 D iagram as d e fuerza co rtan te y m om ento flex ionan te de la v iga en vo lad izo apoyada del

e jem p lo 1 3 -6 .

F IG U R A 1 3 -1 2 M ontaje físico de una v iga en voladizo apoyada.

C a p ítu lo 13 ■ V ig a s e s tá tic a m e n te inde te rm inadas

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retiran y que se reemplaza la reacción Rc, resultaría la deflexión hacia arriba y a . Se pueden usar las fórmulas del caso a del apéndice A -22.

De nuevo en este caso, la deflexión real en C es cero debido al apoyo firme. Por consiguiente:

A partir de esta relación se puede calcular el valor de Rc. Las reacciones restantes RA y RE se determinan de la manera tradicional, lo que permite el trazo de los diagramas de fuerza cortante y momento fíexionante.

1 3 - 5 V IG A S C O N T IN U A S - T E O R E M A D E L O S T R E S M O M E N T O S

Con el teorema de los tres momentos se puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos. De hecho el teorema relaciona los momentos flexionantes en tres apoyos sucesivos entre sí y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con únicamente tres apoyos, el teorema permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones conocidas en los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego se puede usar el principio de estática para determinar las reacciones.

En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión ajuegos de tres apoyos adyacentes (dos claros), para obtener un juego de ecuaciones que se pueden resolver simultáneamente para los momentos desconocidos.

Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas. Se desarrollaron formas especiales del teorema para cargas uniformemente distribuidas y concentradas. En este capítulo se usarán estas formas.

C a rg a s u n ifo rm e m e n te d is tr ib u id a s en c la ro s a d y a c e n te s . La figura 13-15 muestra la disposición de las cargas y la definición de los términos aplicables a la ecuación (13-2).

Los valores de w , y w2 se expresan en unidades de fuerza por unidad de longitud tales como N/m, lb/pie, etc. Los momentos flexionantes en los apoyos^ , B y C son MÁ, M„y

> c i + ycz — 0

E cuación de los tres

m o m e n to s -c a rg a s

distribu idas

( 1 3 - 2 )

C argas uniform em ente

/ d istribuidas \

A B CL,

F IG U R A 1 3 -1 5 C argas uniform em ente distribu idas sobre una

v iga continua de dos claros.

5 0 2 C apítu lo 13 ■ V ig as es tá tica m en te indeterm inadas

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indica en la figura 13-17. La ecuación general de una carga como ésa es unacombinación de las ecuaciones (13-2) y (13—4), dada como ecuación (13-6).

OE cuación de los

tres m o m e n to s -

fo rm a general

M ÁL , + 2 M b (L \ + L2) + MCL2 = - SP¡a i ■, i - r 1 - a>) - 2

P¡b¡ , , " - ^ ( L l - bf)

. L ' . i

w,L w2Z.2(13-6)

El térm ino entre corchetes con el subíndice I se tiene que evaluar para cada carga concentrada en el claro 1 y luego sumarse los resultados. Asimismo, el térm ino del subíndice 2 se aplica repetidamente para todas las cargas que actúan el claro 2. Nótese que las distancias a¡ se miden a partir de la reacción en A para cada carga que actúa en el claro 1, y las distancias b, se miden a partir de la reacción en C para cada carga que actúa en el claro 2. Los momentos en los extremos A y Cpueden ser producidos por momentos concentrados aplicados allí o por cargas aplicadas en extremos salientes más allá de los apoyos. Cualquiera de los términos de la ecuación (13-6) se puede ignoraren la solución de un problema si no existe una carga o momento apropiado en una sección particular para la que se va a escribir la ecuación. Se podrían incluir otras cargas concentradas además de las mostradas en la figura 13-17.

E jem plo S e t ie n e q u e a n a l i z a r la c o m b in a c ió n d e c a r g a s d is t r ib u id a s y c a r g a s c o n c e n t r a d a s m os-1 3 - 7 t r a d a e n la f ig u ra 1 3 - 1 8 , p a r a d e te r m in a r la s r e a c c io n e s e n lo s t r e s a p o y o s y lo s d ia g ra

m a s d e f u e rz a c o r ta n te y m o m e n to f le x io n a n te c o m p le to s . L a v ig a d e 1 7 m s e v a a u sa r

c o m o v ig a d e p iso e n u n a n a v e in d u str ia l.

12 kN 15 kN 18 kN

2 m I 2 m 1 4 m 1 2 m

30kN /m

20 kN

3 m 1 4 m

50 kN/m

- 8 m - ■ 7 m

F IG U R A 1 3 -1 8 V iga del ejem plo 13-7.

S olución Objetivo

Datos

A nális is

D e te rm in a r la s r e a c c io n e s e n lo s a p o y o s y d ib u ja r lo s d ia g r a m a s de

f u e rz a c o r ta n te y m o m e n to f le x io n a n te .

L a s c a r g a s m o s t r a d a s e n la f ig u ra 1 3 - 1 8 .

C o m o e l p a t r ó n in c lu y e ta n to c a r g a s c o n c e n t r a d a s c o m o c a r g a s unifor

m e m e n te d is t r ib u id a s , s e d e b e u s a r la e c u a c ió n ( 1 3 - 6 ) . El s u b ín d ic e 1 s e re f ie re a l c la ro 1 e n t r e lo s a p o y o s A y 8 , y e l s u b ín d ic e 2 a l c la ro 2 en tre

lo s a p o y o s B y C . S e d e b e e v a lu a r la m a g n itu d re a l d e MA y M c p ara

fa c ilita r la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 1 3 - 6 ) . C o m o e l p u n to C e s t á e n el

e x t r e m o d e u n a c la ro s im p le m e n te a p o y a d o , Mc = 0 . E n e l p u n to A s e

5 0 4 C apítu lo 13 ■ V ig as es tá ticam en te indeterm inadas

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E n c a d a c a s o , c u a n d o la v ig a s e d iv id e e n 8 , e l m o m e n to M B s e m u e s tr a

a c tu a n d o e n la s e c c ió n c o r ta d a p a r a m a n te n e r e l eq u ilib rio . L u e g o , utili

z a n d o e l s e g m e n to iz q u ie rd o , s e p u e d e n s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s

p e c to a 8 y re s o lv e r p a r a la r e a c c ió n iz q u ie rd a , RA.

X Mb = 0 — 12 kN (10 m) + 15 kN (6 m) + 3 0 0 kN (5 m) - 281 kN-m

- R t (8 m)

Ra = 183 kN

A s im ism o , la u tilizac ió n d e l s e g m e n to d e r e c h o y la s u m a d e lo s m o m e n

to s c o n r e s p e c to a l p u n to 8 p e rm ite n c a lc u la r la r e a c c ió n d e r e c h a , Rc-

2 Mb = 0 = 2 0 kN (3 m) + 3 5 0 kN (3.5 m) - 281 kN-m - Rc (7 m)

R c = 143 kN

A h o ra s e p u e d e u s a r la I .F V= 0 p a r a c a lc u la r la r e a c c ió n in te rm e d ia , RB.

X Fv = 0 = 12 kN + 15 kN + 18 kN + 2 0 kN + 3 0 0 kN + 3 5 0 kN

- 183 kN - 143 kN - R s

Rb = 3 8 9 kN

D iagram as de fuerza cortan te y m om ento flex ionante . Y a s e t ie n e n los

d a to s n e c e s a r io s p a r a d ib u ja r lo s d ia g r a m a s c o m p le to s , c o m o s e m u e s

tra e n la f ig u ra 1 3 - 2 0 .

C o m e n t a r i o E n s u m a , l a s r e a c c io n e s so n :

Ra = 183 kN

Rb = 3 8 9 kN

R c = 143 kN

L a f ig u ra 1 3 - 2 0 m u e s tr a q u e lo s m á x im o s m o m e n to s f le x io n a n te s p o s i

t iv o s lo c a le s o c u r re n e n t r e lo s a p o y o s , y q u e lo s m o m e n to s m á x im o s

f le x io n a n te s n e g a t iv o s lo c a le s o c u r re n e n lo s a p o y o s . El m á x im o m o

m e n to f le x io n a n te p o s itiv o to ta l e s d e 2 0 4 kN -m e n u n p u n to a 2 .8 6 m d e

C d o n d e la c u rv a d e fu e rz a c o r ta n te c r u z a e l e je c e ro . El m o m e n to flex io

n a n te n e g a t iv o m á x im o re a l e s d e - 2 8 1 kN -m e n e l a p o y o 8 . S i s e u s a

u n a v ig a d e s e c c ió n t r a n s v e r s a l u n ifo rm e s e t e n d r ía q u e d i s e ñ a r p a r a

q u e s o p o r te u n m o m e n to f le x io n a n te d e 2 8 1 kN -m . P e r o n ó t e s e q u e é s t e

e s u n p ic o p e r f e c ta m e n te lo c a l iz a d o e n e l d ia g r a m a d e m o m e n to flex io

n a n te . P u e d e r e s u l ta r e c o n ó m ic o d i s e ñ a r la v ig a p a r a q u e s o p o r te el

m o m e n to f le x io n a n te d e 2 0 4 kN -m y lu e g o a g r e g a r p la c a s d e r e fu e rz o

c e r c a d e l a p o y o 8 p a r a in c r e m e n ta r e l m ó d u lo d e s e c c ió n e n e s e lu g a r a

u n n ivel s e g u r o p a r a e l m o m e n to d e 2 8 1 kN -m . P r o b a b le m e n te u s te d h a

o b s e r v a d o m u c h o s p a s o s e l e v a d o s d e c a r r e t e r a s d i s e ñ a d o s d e e s ta

m a n e r a .

5 0 6 C apítu lo 13 ■ V ig as es tá ticam e n te inde te rm inadas

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tipo de apoyos, longitud de claro, y patrón de carga particulares de una viga.

c. Complete el diseño de la viga especificando un material adecuado, y el perfil y el tamaño para la sección transversal. La norma de diseño debe incluir laespecificación con respecto a que los esfuerzos flexionantes y los esfuerzos cortantes sean seguros para el material dado. A menos que se especifique de otra manera en la tarea, considere que todas las cargas son estáticas.

d. Complete el diseño de la viga para limitar la deflexión máxima a un valor especificado en la tarea. Sin un valor especificado, use Z./360 como deflexión máxima permisible donde L es el claro entre los apoyos o la longitud total de la viga. El diseño debe especificar un material adecuado, y el perfil y el tamaño de lasección transversal. Esta tarea se puede vincular con la parte b donde la deflexión se calculó en función de la rigidez de la viga, El. En seguida, por ejemplo, puede especificar el material y su valor de£, calcular la deflexión limitante, y resolver para el momento de inercia requerido, /. El perfil y el tamaño de la sección transversal se pueden determinar entonces. Tenga en cuenta que también se debe demostrar la seguridad de cualquier diseño con respecto a esfuerzos flexionantes y esfuerzos cortantes como en el inci so c.

13-1.M Use la fórmula A-24(a) con P= 35 kN, £ = 4.0 m.

13-2.M Use la fórmula A-24(b) con P= 35 kN, L = 4,0 ni, a = 1.50m.

13-3.M Use la fórmula A-24(b) con P = 25 kN, L = 4.0 m, a = 2.50m.

13-4.1 Use la fórmula A-24(c) con w = 400 lb/pie, L -14.0 pies.

13-5.1 Use la fórmula A-24(c) con w = 50 Ib/plg, L =16.0 plg.

13-6.1 Use la fórmula A-24(d) con P = 350 Ib, L = 10.8 plg, a = 2.50 plg.

13-7.M Use la fórmula A-24(e) con P = 35 kN ,I = 4.0 m.

13-8.M Use la fórmula A-24(f) con P = 35 kN, L = 4.0 m, a= 1.50m.

13-9.M Use la fórmula A-24(f)con/>= 35 kN, ¿ = 4.0m, a = 2.50m.

13-10.1 Use la fórmula A-24(g) con vv = 400 Ib/pie, L =14.0 pies.

13-11.1 Use la fórmula A-24(g) con w = 50 Ib/plg, L =16.0 plg.

13-12.1 Use la fórmula A-24(h) con vt> = 400 lb/pie, L =7 pies.

13-13.1 Use la fórmula A-24(h) con P = 50 Ib/plg, L =8.0 plg.

13-14.1 Use la fórmula A-24(i)con w = 400 lb/pie, L - 56 plg.

13-15.1 Use la fórmula A-24(i) con m’ = 50 Ib/plg, L = 5.333 plg.

13-16.1 Use la fórmula A-24(j) con w= 400 lb/pie, ¿ = 3.5 pies.

13-17.1 Use la fórmula A -2 4 0 con w= 501b/plg,Z. = 4.0

Plg-13-18.M Use la figura P13-1.

50 kN/m

/\ | B

*---- 1.6 m — ----- l .6 m ~

Rg R,

F IG U R A P13-1

20 kN/m

1.8 m ■

F IG U R A P 1 3 -2

1 3 -1 9 .M Use la figura P 13-2.

12001b

10 pies 1 8 pies

8

F IG U R A P 1 3 -3

13-20.1 Use la figura P 13-3.

13-21.M Use la fórmula A-24(d) con P = 18 kN, L = 2.75 m ,a= 1.40 m.

13-22.1 Use la fórmula A-24(f) con P = 8500 Ib, L =109 plg, a = 75 plg.

13-23.1 Use la fórmula A-24(h) con w = 4200 lb/pie, L =16.0 pies.

13-24.M Use la fórmula A-24(i) con vv = 50 kN/m, L = 3.60 pies.

13-25.1 Use la fórmula A-24(j) con w = 15 Ib/plg, L = 36 plg.

13-26.1 Use la fórmula A-24(e) con P = 140 Ib, £ = 54 plg.

13-27.M Use la fórmula A -24(b) con P = 250 N, L = 55 mm, a= 15mm.

13-28.M Compare los problemas 13-4,13-10,13-12,1314 y 13-16 con respecto a los valores máximos de fuerza cortante, momento flexionante y deflexión.

13-29.M Compare los problemas 13-5,13-11,13-13,1315 y 13-17 con respecto a los valores máximos de

5 0 8 C apítu lo 13 ■ V igas es tá ticam en te inde te rm inadas

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T A R E A S D

1. Escriba un programa para calcular las fuerzas cortantes ylos momentos flexionantes críticos para cualquiera de lostipos de viga estáticamente indeterminada del apéndiceA-24.

A m pliaciones de la ta rea 1

(a) Use el modo gráfico para trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos de las vigas.

(b) Calcule el módulo de sección requerido de la sección transversal de la viga para limitar el esfuerzo causado por flexión a una cantidad especificada.

(c) Incluya una tabla de propiedades de sección para vigas de patín ancho de acero e indague los tamaños adecuados para soportar la carga.

(d) Suponiendo que la sección transversal de la viga será una sección transversal circular sólida, calculeel diámetro requerido.

(e) Suponiendo que la sección transversal de la viga será un rectángulo con una relación dada de altura a espesor, calcule las dimensiones requeridas.

(f) Suponiendo que la sección transversal de la viga será

5 1 2

C O M P U T A C I Ó N

un rectángulo con una altura o espesor dado, calcule la otra dimensión requerida.

(g) Suponiendo que la viga tiene que ser de madera y de perfil rectangular, calcule el área requerida de la sección transversal de la viga para limitar el esfuerzo cortante a un valor especificado. Use la fórmula de cortante especial para vigas rectangulares del capítulo 9.

(h) Añada el cálculo de la deflexión en puntos específicos de la viga utilizando las fórmulas del apéndice A-24.

2. Combine dos o más fórmulas del apéndice A-22 en un programa con el objeto de usar el método de superposición para determinar las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en una viga estáticamente indeterminada utilizando el método descrito en la sección 13-4.

3. Escriba un programa para solucionar la ecuación (13-6), el teorema de los tres momentos aplicado a una viga continua de dos claros con combinaciones de cargas uniformemente distribuidas y varias cargas concentradas. Observe que esta ecuación se reduce a la ecuación (13-2), (13-3), (13-4) o (13-5) cuando ciertos términos son cero.

C apítu lo 13 ■ V ig as es tá ticam en te inde te rm inadas

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14

C o lu m n a s

1 O B J E T IV O S D E E S T E C A P ÍT U L O

U n a c o lu m n a es u n m ie m b ro re la t iv a m e n te la rg o , c a rg a d o a c o m p re s ió n .

El análisis de colum nas es diferente de lo antes estudiado porque el m odo de falla es diferente. En el capítulo 3, cuando se analizó el esfuerzo de com presión, se supuso que el miembro fallaba por cedencia del material cuando se aplicaba un esfuerzo m ayor que la resistencia a la cedencia del material. Esto es cierto en el caso de m iem bros cortos.

Una colum na alta esbelta falla por pandeo, nom bre com ún que recibe la inestabilidad elástica. En lugar de aplastar o desm em brar el m aterial, la colum na se deflexiona de m anera drástica a una cierta carga crítica y luego se desplom a repentinam ente. Se puede usar cualquier miembro delgado para ilustrar el fenóm eno de pandeo. Inténtelo con una regla de m adera o plástico, una barra o solera delgada de metal, o un popote para beber. Al irse increm entando la fuerza de m anera gradual, aplicada directam ente hacia abajo, se alcanza la carga crítica cuando la colum na com ienza a flexionarse. N orm alm ente, se puede retirar la carga sin que provoque un daño perm anente puesto que no hay cedencia. Así pues, una colum na falla por pandeo a un esfuerzo m enor que la resistencia a la cedencia del material en la columna. El objetivo de los m étodos de análisis de colum nas es predecir la carga o el nivel de esfuerzo al cual una colum na se volvería inestable y se pandearía.


1. Definir una columna.

2. D iferenciar entre una colum na y un m iem bro corto som etido a com presión.

3. D escribir el fenómeno de pandeo, tam bién llam ado inestabilidad elástica.

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4 . D efinir ra d io de g i r o de la sección transversal de una colum na y ser capaz de

calcular su m agnitud.

5 . E ntender que es de esperarse que una colum na se pandee con respecto al eje

para el cual el radio de giro es m ínim o.

6. D efin ir el f a c to r d e f i ja c ió n d e lo s ex tre m o s , K.

7. E specificar el valor apropiado del factor de fijación de los ex trem os, K, según

los tipos de apoyos de los extrem os de una colum na.

8. D efinir lo n g itu d e fe c tiv a , L €.

9. D efinir ra z ó n de esbe lte z y calcular su valor.

10. D efin ir ra z ó n d e esbe ltez de t ra n s ic ió n , tam bién conocida com o constan te de c o lu m n a , C c, y calcular su valor.

11. U sar los valores de la razón de esbeltez y de la constante de colum na para determ inar cuándo una colum na es la rg a o c o rta .

1 2 . U sar la fó r m u la de E u le r para calcular la carga de pandeo crítica en columnas

largas.

13. U sar la fó r m u la d e J. B. J o h n s o n para calcular la carga crítica en columnas

cortas.

14. A plicar un factor de diseño a la carga crítica de pandeo para determinar la

c a rg a p e rm is ib le en una colum na.

1 5 . R econocer los perfiles eficientes para secciones transversales de columna.

16. D iseñar colum nas para que soporten con seguridad cargas axiales de compren

sión dadas.

1 7 . A plicar las especificaciones del A m erican Institute o f Steel Construction

(A ISC) al análisis de colum nas.

18. A plicar la especificación de la A lum inum A ssociation al análisis de columnas.

R A Z Ó N D E E S B E L T E Z

Hemos definido a la columna como un miembro esbelto relativamente largo cargado a compresión. Esta descripción se plantea en términos relativos y no es muy útil para el análisis.

La medida de la esbeltez de una columna ha de tener en cuenta la longitud, el perfil de la sección transversal y las dimensiones de la columna, y la manera de sujetar los extremos de la columna en las estructuras que generan las cargas y las reacciones en la columna. La medida de esbeltez comúnmente utilizada es la razón de esbeltez, definida como:

KL L,SR — ------ = — (14-1)

r r

en donde L = longitud real de la columna entre los puntos de apoyo o de restricción lateral

K = fac tor de fijación de los extremos

Le = longitud efectiva, teniendo en cuenta la manera de fijar los extremos (observe que L ,= KL)

r - ■ radio de giro mínimo d e l a s e c c ió n t r a n s v e r s a l d e l a c o l u m n a

C a p ítu lo 14 ■ Columnas

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Longitud real, L. En una colum na sim ple con la carga aplicada en un extrem o y la reacción creada en el otro, la longitud real es, obviam ente, la longitud entre sus extremos. Pero en com ponentes de estructuras cargados a com presión que disponen de m edios de sujeción laterales que impiden que se pandee, la longitud real se considera entre los puntos de restricción. Cada una de las partes, entonces, se considera com o una colum na

aparte.

Factor de fijación de los extremos, K. El factor de fijación de los extrem os m ide el grado de lim itación contra rotación de cada extrem o. Por lo general, se consideran tres tipos clásicos de conexiones de extremos: el extrem o de pasador, el extrem o fijo y el extrem o libre. L afigura 14—1 m uestra varias com binaciones de tipos de extrem os con los valores correspondientes de K. Obsérvese que se dan dos valores de K. Uno es el valor teórico y el otro es el que por lo general se usa en situaciones prácticas, aunque se debe reconocer que es difícil lograr el extrem o verdaderam ente fijo, com o se verá a con ti

nuación.Los extrem os de pasador están im posibilitados contra rotación. Cuando una co

lumna con sus dos extrem os de pasador se pandea, adopta la forma de una curva uniform e entre sus extrem os, com o se m uestra en la figura 14(a). Éste es el caso básico de pandeo de colum na y el valor de K = 1.0 se aplica a colum nas con dos extrem os de pasador. Un tipo ideal de extrem o de pasador es la articulación de rótula que perm ite el g iro de la colum na en cualquier dirección con respecto a cualquier eje. U na ju n ta de pasador cilindrico, perm ite la libre rotación con respecto al eje del pasador, aunque crea algo de restricción en el plano perpendicular a su eje. Por esta razón se debe tener cuidado al aplicar factores de fijación a pasadores cilindricos. Se supone que el extrem o de pasador está guiado de tal modo que la línea de acción de la carga axial no cambia.

En teoría, los extrem os fijos im piden perfectam ente la rotación de colum na en sus extremos. A medida que la colum na tiende a pandearse, la curva de deflexión del eje de la

A c o n t in u a c ió n s e a n a l i z a c a d a u n o d e e s to s té r m in o s .

FForm a de la

co lum na

pandeada

\

\

L

/

V alores

teóricos

V alores

prácticos

A m bos ex trem os A m bos ex trem o s U n ex trem o fijo

de p asad o r fijos y el o tro lib re

K = I .O 0.5 K = 2.0

K= 1.0

(o)

K = 0.65

(6 )

K = 2.I0

(c)

T

U n ex trem o fijo

y el o tro de p asador a : =0.7

K = 0 .8

id)

F IG U R A 14-1 V alo res de K para long itu d e fectiva, Le = K L , p ara d ife ren tes conex io n es de ex trem os.

Sección 14-2 ■ Razón de esbeltez 515

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colum na debe aproxim arse al extrem o fijo con una pendiente cero, com o se ilustra en la figura 14—l(b). La figura pandeada se arquea hacia afuera a la mitad pero exhibe dos puntos de inflexión donde se invierte la dirección de la curvatura cerca de los extremos. El valor teórico del factor de fijación de los extrem os es K = 0.5, el cual indica que la colum na actúa com o si fuera sólo la mitad de larga de lo que realm ente es. Las columnas con extremos fijos son mucho mas rígidas que las colum nas con extrem os de pasador y, por consiguiente, son capaces de soportar cargas m ayores antes de pandearse. Se debe entender que es m uy difícil fijar los extremos de una colum na a la perfección. Se requiere que la conexión a la colum na sea rígida y firme y que la estructura a la que se transfieren las cargas también sea rígida y firme. Por ello, en la práctica se recom ienda el valor mayor

de A: = 0.65.El extrem o libre de una columna puede girar y tam bién trasladarse. Pero como

puede m overse en cualquier dirección, éste es el peor caso de fijación de los extremos de una columna. El único modo práctico de usar una colum na con un extrem o libre es tener el extrem o opuesto fijo, com o se ilustra en la figura 14. l(c). U na colum na com o ésa en ocasiones se conoce com o el caso del astabandera porque el extrem o fijo se comporta com o un astabandera insertada profundam ente en un orificio de ajuste apretado, mientras el otro extremo libre puede m overse en cualquier dirección. Conocida com o la condición de extrem o libre, el valor teórico de K es 2.0. Un valor práctico es K = 2.10.

En la figura 14-1 (d) se muestra la com binación de un extrem o fijo y un extremo de pasador. Nótese que la curva de deflexión se aproxim a al extrem o fijo con una pendiente cero m ientras que el extremo de pasador gira libremente. El valor teórico de K = 0.7 se aplica a esa condición de fijación m ientras que en la práctica se recom ienda K =0.80.

L o n g itu d e fe c t iv a , L e. La longitud efectiva com bina la longitud real con el factor de fijación de extremos; Lt = KL. En los problem as de este libro se usan los valores prácticos recom endados del factor de fijación de extremos, como se m uestra en la figura 14-1. En suma, para calcular la longitud efectiva se usarán las siguientes relaciones:

1. Colum nas con extrem os de pasador: Le=KL= 1.0(¿) = ¿

2. Colum nas con extremos fijos: Le=KL = 0,65(Z.)

3. Colum nas con extrem os libres: L,= K L = 2.\0(L)

4. Columnas con pasadores fijos y el otro fijo: L,=KL=0.S0(L)

R a d ío d e g iro , r. La medida de esbeltez de la sección transversal de la colum na es su

radio de giro, r , definida como:

en donde / = momento de inercia de la sección transversal de la colum na con respecto a uno de los ejes principales.

A = área de la sección transversal.

Com o tanto / com o A son propiedades geom étricas de la sección transversal, el radio de giro, r, también loes. En el apéndice A - l sedan fórmulas para calcular/-de varios perfiles comunes. Adem ás de r se dan otras propiedades de algunos de los perfiles estándar del apéndice. Para los que no se da r, con los valores disponibles d e ly A y la ecuación (14-2) se puede calcular r de m anera muy simple.

C a p itu lo 14 ■ C o lum nas

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Las reglas s iguientes tienen que v e r con el v a lo r de Cc.

C u an d o se v a a a n a liza r una co lum na dada para d e te rm in a r la carga que soportará,

en p r im e r lu g a r habrá que ca lcu lar el v a lo r de Cc y la razón rea l L J r para d e c id ir qué

m é todo de análisis se debe usar. N ó tese que Cc depende de la res istencia a la cedencia , sy

y del m ó d u lo de e lastic idad E del m a te ria l. C u an d o se traba ja con acero , p o r lo genera l se

c o n sid e ra E = 2 0 7 G P a (3 0 x 10 6 lb /p lg 2) . C o n este v a lo r y su p o n ie n d o un in te rv a lo de

valores de res istencia a la cedencia , se obtienen los va lores de C c m ostrados en la fig u ra

1 4 -3 .

R es is lc n c ia a la c ed e n c ia ,s ,.(k s i)

0

1150

• 140

130

120

110

R azón de ***

e sb e ltez d e. . . _ (MItran sic ió n , Cc

80

70

60

50

40 -

0 L—1-----— I------— I___ __ I___ ___I______I______I______I______I______I___

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

R esis te n c ia a la ced en c ia , í v(M Pa)

F IG U R A 1 4 -3 R azón d e e sb e ltez de transic ión Cc co n tra res isten c ia a la ced en c ia d e l acero.

S ecc ió n 1 4 -3 ■ R a zón d e e s b e lte z d e tra n s ic ió n 5 1 9

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Razón de

esbeltez de

80

70

60

50

o ‘

10

Resistencia a la cedencia, j,.(k si)

20 30 40 50 60 70

\\ ninio

>9 GPa\

\ £ = ( (1 0 .0 )< I06 lbW)

\

•

500t) 100 . 200 300 400

Resistencia a la cedencia, i v.(M Pa)

F IG U R A 1 4 -4 Razón de esbeltez de transición Cc contra resistencia a la cedencia del aluminio.

Para aluminio, E es aproxim adamente de 69 GPa (10 x 106 Ib/plg2). En la figura 14-4 se m uestran los valores correspondientes de Cc.

1 4 - 4 F Ó R M U L A D E E U L E R P A R A C O L U M N A S L A R G A S

Para colum nas largas cuya razón de esbeltez es m ayor que el valor de transición C0 se puede usar la fórm ula de Euler para predecir la carga crítica con la que la colum na comenzaría a pandearse. La fórm ula es:

OF ó rm u la de E u le r

para co lu m n a s

largas

O

5 2 0

t t 'E A

( L j r f(14-4)

en donde A es el área de la sección transversal de la colum na. O tra form a de expresar esta

fórm ula sería en función del m om ento de inercia, puesto que r* =l/A. Entonces, la fórmula se transform a en:

F ó rm u la de E u le r

para co lu m n a s

largas

/> c r =

t t E I

L)(14-5)

C a p itu lo 14 ■ C olum nas

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1 4 - 5 F Ó R M U L A D E J . B . J O H N S O N P A R A C O L U M N A S C O R T A S

S i la razón de esbeltez efe ctiv a real de una co lum na , L J r , es m e n o r que e l v a lo r de transi

c ió n C „ la fó rm u la de E u le rp re d ic e una carga cr ític a ex orb itan te . U n a fó rm u la recom en

dada para el diseño de máquinas en e l in tervalo de L e/ r m eno r que Cc es la fó rm u la de J. B

Johnson.

cuerda perfecta m en te b ien con e l co m p o rta m ie n to de co lum nas de acero de m a qu in a ria

típ ica .

L a fó rm u la de Johnson da el m is m o resu ltado que la fó rm u la de E u le r de la carga

crític a a la razón de esbeltez de transic ión Cc E n tonces, en e l caso de co lum nas m u y

cortas, la carga crític a se ap ro xim a a la p ronosticada p o r la ecuación del esfuerzo de

com presión d irec to , a = P /A . P or consigu iente , se puede d e c ir que la fó rm u la de Johnson

se ap lic a m e jo r a co lum nas de lon g itud in term e dia .

1 4 - 6 F A C T O R E S D E D IS E Ñ O P A R A C O L U M N A S Y C A R G A P E R M IS IB L E

D e b id o a que una co lu m na fa lla p o r pandeo y po r fa lla ú lt im a o ce de n cia de l m a te ria l, los

m étodos antes u tiliza d os para c a lc u la r el esfuerzo de d iseño no se ap lican a co lum nas.

A s í que, la c a rg a p e rm is ib le se ca lcu la d iv id ie n d o la carga de pandeo cr ític a con la

fó rm u la de E u le r [ecuación ( 1 4 - 4 ) ] o la fó rm u la de Johnson [ecuació n ( 1 4 - 6 ) ] p o r un

fac to r de d iseño , N . Es d e c ir

L a se lección del fac tor de d iseño es la responsab ilidad del d iseñ ador a m enos que el

proyec to fig u re en un reg lam ento . Los factores a considerar en la se lección de un fac tor

de d is eño son s im ila re s a los u tiliz a d o s p a ra d e te rm in a r fa c to res de d is e ñ o ap lica dos

a esfuerzos. U n fac to r com ún u tiliz a d o en el d iseño m e cán ico es N = 3 .0 , y la razón p o r la

que se se leccionó este v a lo r es la inc ertid um bre con respecto a las pro p iedades del m ate

r ia l, la f ija c ió n de los extrem os, lo recto de la co lu m na o la p o s ib ilid a d de que la carga se

a p liq u e c o n a lg o de e x c e n tr ic id a d y no a lo la rg o del e je de la c o lu m n a . E n ocasiones

se usan factores m ayores en situaciones críticas y para co lum nas m u y largas.

E n la construcción de e d ific io s, donde el d iseño está re g id o p o r las especificaciones

del A m e ric a n In s titu te o f Steel C o nstru ction , A IS C , se rec o m ie n d a un fac to r de 1 .9 2 para

co lum nas largas. L a A lu m in u m A ssociation requ iere N = 1 .95 pa ra co lum nas largas.

V é a n s e las secciones 1 4 -9 y 1 4 -1 0 .

O í

F ó rm u la de J . B.

Jo h n s o n para

co lu m n a s cortas

(14-6)

É sta es una fo rm a de un con junto de ecuaciones llam a das ecuaciones parabó licas , y con-

O C arg a perm is ib le

s o b re una co lu m n a (14-7)

en donde P a = carga segura p erm is ib le

P „ = carga de pandeo crític a

N = fac to r de diseño

S ecc ión 1 4 -6 ■ F a c to re s d e d is e ñ o pa ra c o lu m n a s y c a rg a p e rm is ib le 521

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7 . E s p e c ifiq u e e l fa c to r d e d is e ñ o ,/ / .

8 . C a lc u le la carg a p e rm is ib le , P a,

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P a s o 6. C o m p a re C ec o n L J r y d e c id a s i la c o lu m n a e s la rg a o c o rta .

A c o n t in u a c ió n u s e la f ó rm u la a p r o p i a d a p a r a c a l c u l a r la

c a r g a d e p a n d e o c r í t ic a . C o m o L J r e s m e n o r q u e C 0 s e

d e b e u s a r l a fó rm u la d e J o h n s o n ( e c u a c ió n 1 4 - 6 ) .

El á r e a d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l c u a d r a d a e s :

A = b 2 = (12 m m f = 1 4 4 m m 2

E n to n c e s :

P „ = (1 4 4 m m 2)/ 4 1 4 N \

\ mm2 /

(414 x 106 N /m 2) (6 9 .4 )'

4t!-2(2 0 7 x 109 N /m 2)

= 45.1 kN

P a s o 7. S e e s p e c i f i c a u n f a c to r d e d i s e ñ o d e N = 3 .

P a s o 8. L a c a r g a p e r m is ib le , P a, e s :

1 4 - 8 P E R F IL E S E F IC IE N T E S P A R A S E C C IO N E S T R A N S V E R S A L E S

D E C O L U M N A

C u an d o se diseña una co lu m na que va a soportar una carga especifica da , el d iseñador

tiene la responsab ilidad de se leccionar la fo rm a genera l de su sección transversal y deter

m in a r las d im ensiones requeridas. Los princ ip io s siguientes pueden a y ud a r en la se lec

c ió n in ic ia l de l p e rfil.

U n p e rfil e fic ie n te es aquel que u tiliz a una pequeña cantid ad de m a te ria l para re a li

z a r una función dada. Para co lum nas, e l o b je tiv o es inc re m en ta r a l m á x im o e l ra d io de

g iro con el ob jeto de re du cir la razón de esbeltez. N ótese tam bién que co m o r = y I l /A ,

m a x im iz a n d o e l m o m e nto de ine rc ia para un área dada tiene e l m is m o efecto .

C u an d o se a n a lizó el m om ento de ine rc ia en los cap ítu lo s 7 y 8 , se señaló que es

deseab le d isponer toda el área pos ib le de la sección transversal tan le jos del centro ide

com o sea posib le. E n las v igas, analizadas en e l cap ítu lo 8 , p o r lo genera l sólo un e je era

el im p ortan te , el e je con respecto al cual o cu rría la f le x ió n . E n co lum nas, el pandeo en

genera l puede o c u rr ir en c u alq u ier d irec ción . P o r consigu ie nte , es deseab le que las pro

p iedades sean un ifo rm e s con respecto a c u alq u ier e je . L a sección c irc u la r hueca, co m ú n

m ente lla m a da tubo , es un p e rfil m u y e fic ie n te p ara usarse com o co lum na . L e s igue de

cerca el tubo cuadrado hueco. T a m b ié n se pueden usar secciones com puestas d e seccio

nes estructurales estándar, com o se m uestra en la fig u ra 1 4 -5 .

L as co lum nas de e d if ic io s con fre cuencia se arm an con p e rfile s especiales de patín

ancho llam adas secc iones p a ra c o lu m n a . C u en tan con patines re la tiv a m e n te anchos y

gruesos en com pa rac ión con los perfiles po r lo genera l se leccionados p ara v igas. Esto

hace que el m o m e nto de ine rc ia con respecto al e je Y—Y sea m ás s im ila r a aquél con

S ec c ión 1 4 -8 ■ P e rfile s e fic ie n te s pa ra s e c c io n e s tra n s v e rs a le s d e co lu m n a 525

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W) (e) ( / )

F IG U R A 1 4 - 5 E jem p lo s d e p e rfiles d e c o lu m n a e fic ien tes , (a ) T u b o d e secc ió n c ircu la r hu eco , (b ) Tubo

c u ad rad o hu eco , (c ) S ecció n tu b u la r h ech a de v ig as de m ad era , (d ) Á n g u lo s d e p a ta s igu a les co n placas.(e ) C an a le s de a lu m in io co n p lacas. ( 0 D o s án g u lo s de p a tas iguales.

respecto a l e je X - X . E l resu ltado es que los rad ios de g iro con respecto a los dos ejes

ta m bién son casi iguales. L a fig u ra 1 4 -6 m uestra una co m p arac ió n de dos p erfiles de

patin ancho de 12 p lg ; uno es una sección de c o lu m n a y e l o tro es un p e r f i l de v ig a típico.

N ó te s e que e l ra d io de g iro m ín im o se debe u t il iz a r a l c a lc u la r !a razón de esbeltez.

1 4 - 9 E S P E C IF IC A C IO N E S D E L A IS C

Las co lu m na s son e lem entos esenciales d e m uchas estructuras. E l d iseño y e l análisis de

co lum nas de acero en ap lica cio nes de con strucción están reg idas p o r las especificaciones

del A IS C , e l A m e ric a n Ins titu te o f S teel C o n stru ctio n (1 ) . L a e s p e cifica c ió n d e fin e una

carga o es fu e rzo u n ita rio p e rm is ib le para co lum nas e l cu al es la carg a a x ia l p erm is ib le

d iv id id a en tre e l área de la sección transversal de la c o lu m n a . L as fó rm u la s de diseño

están expresadas en fun c ió n de la razón de es be ltez de tra ns ic ió n C „ d efin id as en la

ecua ció n ( 1 4 - 3 ) , la resistencia a la cede ncia del m a te ria l de la c o lu m n a y la razón de

esbeltez e fe c tiv a L J r . C u a n d o L J r < C c\

en donde P „ = carg a p e rm is ib le o de diseño:

2 i r 2EC c — — — ( U s e £ = 2 9 x 10 6 lb /p lg J [2 0 0 G P a ] p ara acero estructural)

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(a ) Perfil de v iga W 12 x 16 (6 ) S ección de co lum na W 12 x 65

Á rea = 4 .7 1 p lg2

Ix - 103 plg

/,. = 2 .8 2 p lg4

rx “ 4 .6 8 p lg

ry « 0 .7 7 p lg

Á rea = 19.1 p lg 2

/ , = 533 p lg4

ly = 175 p lg4

rx = 5 .2 8 plg

ry = 3 .02 p lg

rx try = 6 .08 r j r y = 1.75

ry casi igual a rx

FIGURA 14-6 C om p aració n d e un perfil d e viga de patín an cho con una sección de co lum na.

E l C o lu m n Research C o u n c il desarro lló la ecuación ( 1 4 - 8 ) , la cual es idéntica a la fó rm u

la Johnson. E l factor de seguridad F S es una función de la razón entre la esbeltez efe c tiv a

y Cc con el ob jeto de in c lu ir el e fecto de encorvadura accid enta l, una pequeña e x c e n tr ic i

dad de la carga, esfuerzos residuales y cualesquiera incertidum bres en la ev alu ación del

fac to r de lon g itud efe ctiv a K . L a ecuación para F S es:

E l v a lo r d e F S v a r ía desd e 1 .6 7 c u an d o la ra z ó n ( L t / r ) / C c - 0 ha sta 1 .9 2 c u an d o

( L J r ) t C c = 1.0.

Para co lum nas largas, L J r > C n se usa la ecuación de E u le r com o se d e fin ió antes

pero con un fac tor de seguridad de 1 .92.

Para acero estructural con £ = 2 9 x 106 lb /p lg 2:

_5 3( L J r ) _ ( L J r )

3 8C , 8 C l( 1 4 - 9 )

(1 4 -1 1 )

E s p e c if ic a c io n e s d e l A IS C 5 2 7

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E n el sistem a S I, con E = 2 0 0 G P a para acero estructural:

K = 1028

-4 (L ' / r fGPa ( 14 - 12)

1 4 - 1 0 E S P E C IF IC A C IO N E S D E L A A L U M IN U M A S S O C IA T IO N

L a p u b lic ac ió n de la A lu m in u m A s so cia tio n , S p e c if ic a tio n s f o r A lu m in u m S tructu res

(2 ) , d efin e esfuerzos perm is ib le s para co lum nas para cada una de varias aleaciones de

a lu m in io y sus tra tam ientos térm icos. Se dan tres ecuaciones d ife ren tes para colum nas

cortas, in te rm edias y largas defin idas con respecto a lím ite s de esbeltez. Las ecuaciones

son d e la fo rm a:

P, _A ~

P , _

A

Pa _

A ~ FS(Lfr)1

sv

FS

B, - D, (L/r)

FS

it 2E

(co lu m na s cortas)

(co lu m na s in term e dia s)

(co lu m na s largas)

(14-13)

(14-14)

(14-15)

E n los tres casos, se reco m ien da F S = 1 .95 para e d if ic io s y estructuras s im ilares. El

anális is de co lum nas cortas presupone que no o cu rr irá pandeo y la seguridad depende de

la resistencia a la cedencia del m ateria l. L a ecuación ( 1 4 - 1 5 ) para co lum nas largas es la

fó rm u la de E u le r con un fac to r de seguridad ap licado . L a fó rm u la p ara c o lu m n a interm e

d ia (ecua ció n 1 4 -1 4 ) depende de las constantes de pandeo B c y D „ las cuales son funcio

nes de la resistencia a la cedencia de la a lea ció n de a lu m in io y e l m ó d u lo d e elasticidad.

L a d iv is ió n entre co lum nas in te rm ed ias y largas es s im ila r a la C c u til iz a d a previam ente

en este ca p ítu lo .

Las sigu ientes son ecuaciones específicas p ara la a le ación 6 0 6 1 - T 6 em pleada en

estructuras de e d if ic io s en la fo rm a de lám in a, p laca, extrusiones y p e rfile s estructurales,

v a rilla s , barras y tubos. L a razón de esbeltez L / r se debe ev a lu a r con la lo n g itu d real L

(ex tre m o s arm ados con pasadores). Se supone que en e l fac to r de seguridad se incluye

c u alq u ie r tip o de restricc ión de los extrem os.

C o lu m na s cortas: L / r < 9 .5

— - 19 ks i (131 M P a ) A (14-16)

C o lu m na s interm edias: 9 .5 < L / r < 6 6

j = ^ 2 0 .2 - 0 . 1 2 6 j j ksi

j = ^ 1 3 9 - 0 . 8 6 9 - ^ M P a

(14—17a)

(14—17b)

528 C a p ítu lo 14 ■ C olum nas

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3 y 4 proporcionan m étodos adicionales para ocuparse de las co lum nas con cargas no

centradas. C u ando existe una pequeña cantidad de encorvadura o excentr ic idad , e l uso de

un factor de diseño m ayor que el norm al tendería a com pensar.

B I B L I O

1. A m erican In stilu te o f S tee l C o n stru c tio n . M a n u a l o f

S te e l C o n s tru c tio n . 9 th e d ., C h ic a g o . 1989.

2. A lu m in u m A sso c ia tio n . S p e c ific a t io n s f o r A lu m in u m

S tru c tu re s . 5 th e d .. W ash in g to n . D C . 1986.

3. M ott. R oberi L .. M a c h in e E le m e n ts in M e c h a n ic a l D e-

s ig n , 2nd e d .. M acm illan P u b lish in g C o .. N ew York.

1992.

P R O B

1 4 - l . M D eterm in e la carga critica para una co lu m n a co n

a m b o s e x trem o s d e pasador hech a d e una barra

circu lar d e a cero AIS1 1 0 2 0 lam in ad o en ca lien te .

E l d iám etro de la barra e s de 2 0 m m , y su longitud

d e 8 0 0 m m .

1 4 -2 .M R ep ita e l p rob lem a 1 4 -1 co n la lon g itu d d e 3 5 0

m m .

1 4 -3 .M R ep ita e l p rob lem a co n la barra hecha de a lu m in io

6 0 6 1 - T 6 en lugar de a cero.

1 4 -4 .M R ep ita el prob lem a 1 4 -1 c o n lo s ex trem o s d e la

c o lu m n a f ijo s en lugar d e articu lados.

1 4 -5 .M R epita e l p rob lem a 1 4 -1 c o n una barra cuadrada

d e a cero c o n la m ism a área de sec c ió n transversal

q u e la barra circu lar.

1 4 -6 .M Para un tu bo d e a cero c éd u la 4 0 d e 1 p lg y 2 .0 5 m

d e largo , u sa d o c o m o co lu m n a , determ ine la carga

crítica . E l m aterial e s s im ilar al acero A IS I 1020

lam in ad o en ca lien te . C a lc u le la carga critica en

cad a una de la s cuatro c o n d ic io n es de ex trem os

d escr itas en la figura 1 4 -1 .

1 4 -7 .M U n a barra rectan gular d e acero tien e una se c c ió n

transversa] d e 12 m m por 2 5 m m y e s d e 2 1 0 m m

d e largo . S u p o n ien d o q u e lo s ex trem o s d e la barra

so n de pasador y que está h ech a d e acero A ISI

1141 O Q T 1 3 0 0 , c a lc u le la carga critica cu an d o la

barra s e so m e te a una carga d e co m p resió n axial.

1 4 -8 .M C a lcu le la carga p erm isib le sobre una co lum n a

c o n su s ex trem o s f ijo s, si e s una v ig a S 6 x 12 .5 d e

5 .4 5 m d e largo. El m aterial e s acero A S T M A 3 6 .

U s e la fórm ula A IS C .

530

R A F Í A

4 . T im o sh e n k o . S .. and G ere. J. M .. T h e o r y o f E lastic

S ta h ility , 2nd e d .. M cG raw -H ill B ook C om pan y. 1961.

E M A S

1 4 -9 .1 E l área de una p lataform a e lev a d a e s d e 2 0 pies

por 4 0 p ie s y se va a d iseñ ar para q u e soporte una

carga u n iform e d e 75 libras por p ie cuadrado. Se

p rop on e q u e se u se una tu bo d e a cero céd u la 40 de

3 p lg c o m o c o lu m n a s para soportar la plataforma

a 8 p ie s sobre e l p is o c o n la b a se fija y e l extremo

superior libre. ¿C uántas c o lu m n a s se requerirían

s i s e d e sea un fa c to r d e d is e ñ o d e 3 .0 ? U se s v =

3 0 0 0 0 lb /p lg 2.

I 4 - 1 0 .M U n a v ig a I d e a lu m in io 6 0 6 1 -T 6 d e 2 .8 0 m de lar

g o , 1 10 x 8 .6 4 6 , s e u sa c o m o c o lu m n a c o n sus dos

e x trem o s d e pasador. C on la s e c u a c io n e s (1 4 -1 6 )

a (14—18 b ), c a lc u le la carga p erm isib le sobre la

co lu m n a .

14-1 l .M C a lcu le la carga p erm isib le para la co lu m n a des

crita e n e l p rob lem a 1 4 - 1 0 su p o n ien d o qu e la lon

g itu d e s d e s ó lo 1 .40 m .

1 4 -1 2 .1 U n a v ig a W 8 x 15 de acerc A S T M A 3 6 y 12.50 pies

d e largo s e usa c o m o co lu m n a . S u s ex trem o s están

a fia n za d o s d e tal m o d o q u e L e e s aproximada

m ente 0 .8 0 ¿ . C o n las fórm u las A IS C , determine

la carga p erm isib le sob re la co lu m n a .

14-13.1 U n a co lu m n a se c o m p o n e d e cuatro ángulos,

c o m o se m uestra en la figura 1 4 -8 . L o sá n g u lo sse

m an tienen u n id o s c o n barras d e e n la c e , las cuales

se p u ed en ignorar en e l a n á lisis d e las propiedades

geo m étr ica s. U tiliza n d o las e c u a c io n e s estándar

d e Joh n son o d e E u ler c o n L e = L y u n factor de

d ise ñ o d e 3 .0 , c a lc u le la carga p erm isib le sobre la

co lu m n a si e s de 18.4 p ie s de largo. L o s ángulos

son d e acero A S T M A 3 6 .

C a p itu lo 14 ■ Columnas

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t ien e una lon g itu d m áxim a d e 190 m m . L a b ie la e s

d e a cero A IS I 1141 O Q T 1300 . C on sid ere un e x

trem o de pasador y e l o tro fijo. ¿Q ué carga de

com p resió n ax ia l ap licad a a la b ie la seria de un

tercio d e la carga d e pan deo crítica?

1 4 -1 8 .1 U n a barra e s ta b iliz a d o r a d e la s u sp e n s ió n de un

a u to m ó v il e s una barra c ircu la r cargad a a c o m

p r e s ió n . S e so m e te a una carga a x ia l d e 13 7 5 Ib

y está a p o y a d a en s u s e x tr e m o s p or c o n e x io n e s

d e p a sa d o r , a 2 8 .5 p lg u n o d e o tro. ¿ S er ía s a t is

factor ia una barra d e a cero A IS I 1 0 2 0 lam inada

en c a lie n te d e 0 .8 0 0 p lg d e d iá m etro en e s te tip o

d e a p lic a c ió n ?

1 4 -1 9 .1 S e va a d iseñar una estructura para q u e soporte

una to lv a sobre una m áquina d e extruir p lástico ,

c o m o se m uestra en la figura 1 4 -1 1 . La to lva d eb e

ser soportada por cuatro co lu m n a s que com parten

la carga por igual. La estructura se refuerza con

t r iostras cruzadas. S e propon e qu e la s co lum n as

sean d e tubo céd u la 4 0 estándar d e 2 p lg . S e em p o

trarán en e l su c io . D eb id o al arriostrain iento trans

versa l, e l ex trem o superior d e la s co lu m n as está

gu iad o d e m o d o q u e s e com p orte co m o si e stu v ie

ra red on d ead o o arm ado co n pasador. Hl tubo es

d e acero A ISI 1020 lam inado en ca lien te . La tolva

está d iseñ ad a para soportar 2 0 0 0 0 Ib d e p lástico

m o lid o . ¿S on la s co lu m n as p ropuestas adecuadas

para esta carga?

1 4 -2 0 .1 A n a lic e c ó m o s e vería a fectad o e l d iseñ o del pro

b lem a 14—19 si el d escu id ad o condu ctor de un

m on tacargas em bistiera la s riostras cru zad as y las

rom piera.

1 4 -2 1 .1 El en sam b le m ostrado en la figura 1 4 -1 2 s e usa

para probar p ie z a s tirando d e e lla s repetidam ente

co n e l c ilin d ro h id ráu lico . É ste p u ed e soportar

una fuerza m áxim a d e 3 0 0 0 Ib. L as p ie z a s del en

sam b le de interés en e s te ca so son la s colum nas.

S e propon e qu e la s d o s c o lu m n a s sean barras cua

dradas d e 1 1/4 p lg d e lad o d e a lea c ió n d e a lum i

n io 6 0 6 1 -T 6 . L as co lu m n a s tien en su base

em potrada y su ex trem o superior libre. D eterm ine

la acep tab ilidad d e la propuesta .

1 4 -2 2 .1 L afigura 1 4 -1 3 m uestra el d iseño propuesto de una

prensa hidráulica utilizada para com pactar desechos

só lidos. El pistón de la derecha e s capaz de ejercer

una fuerza de 12 5 0 0 Ib por m ed io delabielaalariete.

La b ie la e s recta y está c en tra lm en te cargada y es

de acero A ISI 1040 O Q T 1100. C alcu le el factor de

diseño resultante en este diseño.

1 4 -2 3 .1 Para la s c o n d ic io n e s d e sc r ita s en e l problem a

1 4 -2 2 , esp ecifique el diám etro requerido de la biela

su p on ien d o qu e e s una se c c ió n transversal circu

lar só lid a . U se un factor de d ise ñ o d e 4 .0 .

1 4 -2 4 .1 Para las c o n d ic io n es d escr itas en e l problem a 14

2 2 , e sp ec ifiq u e un tu bo d e acero estándar adecua

d o para usarse c o m o b ie la . U se un factor d e diseño

d e 4 .0 . El tubo está h e c h o de acero estructural

A S T M ASO 1.

1 4 -2 5 .1 Para la s c o n d ic io n e s d e sc r ita s e n e l problem a

1 4 -2 2 , esp ecifique una v iga I estándar, propia para

usarse co m o b ie la . U se un factor d e d iseñ o de 4.0.

La v ig a I tien e q u e ser d e a lea c ió n d e aluminio

6 0 6 1 -T 6 . L a c o n e x ió n entre la b ie la y e l pistón es

c o m o se m uestra en la figura 1 4 -1 4 .

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P rob lem as

N ota: El cilindro tira hacia arriba el eslabón de tensión

y hacia abajo la viga con una fuerza d e 3000 Ib.

F IG U R A 14-12 M áquina de p rueba del problem a 14-21.

Desecho sólido

a ser

com pactado

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I , /

-

Pasador de

a juste apretado/

B loque de relleno

" " N ----------

H - --- — -

--- ---

V iga I de alum inio a ser especificada

Vista de ex trem o

F I G U R A 1 4 - 1 4 C onexión de un ex trem o de la viga I del problem a 1 4-25 .

14 -2 6 .1 U n tubo cuadrado h u eco d e 3 x 3 x 1/4, de a cero

A S T M A 5 0 0 , grado B se u tiliza c o m o co lum n a de

e d ific io d e 16.5 p ie s de longitud . C on L e = 0 .8 0 L,

c a lcu le la carga p erm isib le sobre la colum n a para

un factor d e d iseñ o d e 3 .0 .

14-27.1 U n tubo rectangular h u eco de 4 x 2 x 1/4, de acero

A S T M A 5 0 0 , grado B s e usa co m o co lum n a de

ed ific io de 16 .5 p ie s d e longitud . C on L e = 0 .8 0 L ,

c a lc u le la carga perm isib le sobre la co lum n a para


14-28.1 U n a co lu m n a se arma so ld an d o d o s án gu los de

acero estándar d e 3 x 3 x 1/4, co m o se m uestra en

la figura 14 -5 ( f ) . L o s á n g u lo s son de acero estruc

tural A S T M A 3 6 . Si la longitud d e la co lum n a es

d e 16.5 p ie s y L e = 0 .8L , c a lc u le la carga perm isi

b le sobre la co lu m n a para un factor de d iseñ o de

3 .0 .

1 4 -2 9 .M U n a barra rectangular de acero A I S I 10 2 0 lam ina

d o en ca lien te , se usa c o m o riostra de seguridad

para sujetar e l ariete d e una gran prensa punzona

dora m ientras s e instalan lo s troqu eles en ella . Las

d im e n s io n e s d e la s e c c ió n transversa l de la ba

rra son de 60 m m por 4 0 m m . Su longitud es de

7 5 0 m m y su s ex trem os s e sueldan a p lacas planas

gruesas, las cu a le s están a p oyad as en la bancada

plana de la prensa y la cara inferior plana del arie

te. E sp ec ifiq u e una carga segura que se podría

ap licara la riostra.

1 4 -3 0 .M S e p ien sa usar una canal d e a lum in io 6 0 6 1 -T 4 ,

C 4 x 1 .738 , c o m o co lu m n a de 4 .2 5 m d e longitud.

S e con sid era qu e lo s ex trem os son d e pasador.

C alcu le la carga p erm isib le sobre la colum napara


1 4 -3 1 .M En un intento por m ejorar la capacidad de sopor

tar carga de la c o lu m n a d escr ita en e l problem a

1 4 - 3 0 , se propon e la a lea c ió n 6 0 6 1 -T 6 en lugar

d e la 6 0 6 1 - T 4 para aprovechar su m ayor resisten

c ia . E v a lú e e l e fe c to de e ste cam b io propuesto de

la carga perm isib le.

14-32.1 C alcu le la carga perm isib le sobre la secc ió n de

co lu m n a W 1 2 x 65 d e acero A S T M A 3 6 y 22.5

p ies de longitud m ostrada en la figura 14—6(b ) e

instalada d e tal m o d o qu e ¿ e = 0.8Z,. U se el regla

m ento A IS C .

T A R E A S D E C O M P U T A C I Ó N

1. E scriba un program a d e cóm pu to para analizar lo s d ise

ñ o s d e co lu m n a p rop u estos co n e l proced im iento descrito

en la s ec c ió n 1 4 -7 . H aga que e l usuario introduzca tod os

lo s datos e se n c ia le s de d iseñ o co m o son el m aterial, la

fijación de lo s ex trem o s, la longitud y las prop iedad es de

la sec c ió n transversal. H aga q u e el program a dé la carga

critica y la carga perm isib le para un factor de d iseñ o

dado.


(a) Incluya una tabla d e datos sobre tubo de acero cédula

4 0 a ser u tilizad os p or el program a para determ inar

las p rop ied ad es d e sec c ió n transversal de un tam año

de tubo esp ec ifica d o .

(b) D iseñ e e l program a para m anejar co lu m n as de sec

c ió n transversal circu lar só lid a y para qu e ca lcu le las

prop iedad es d e s ec c ió n transversal para un diámetro

dado.

(c ) A gregu e una tabla de datos de tubería cuadrada de

acero estructural estándar a ser u tilizad os por el pro

gram a para determ inar la prop iedad es de sección

transversal d e un tam año e sp ec ifica d o .

(d) H aga qu e el program a u se las e sp ec ifica c io n es del

A IS C c o m o s e ind ica en la se c c ió n 1 4 -9 para calcu

lar la carga perm isib le y e l factor d e seguridad para

co lu m n as de acero.

5 3 4 C a pítu lo 14 ■ Colum nas

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(e ) H aga que e l program a use las e sp ec ifica c io n es d e la

A lum inum A ssoc ia tion co m o se indica en la sec

c ió n 1 4 -1 0 para calcu lar la carga perm isib le para c o

lum nas hechas de 6 0 6 1 - T 6 .

2 . E scr ib a un program a para d iseñ ar una c o lu m n a d e s e c

c ió n transversal circu lar só lid a para q u e sop orte una

c a rg a d ad a c o n un fa c to r d e d is e ñ o d a d o . O b se rv e

que el program a tendrá que verificar que se está utilizan

do e l m étod o de análisis correcto, o la fórm ula de Euler

para co lu m n as largas o la fórm ula de Johnson para c o

lu m n a s c o r ta s , una v e z q u e se h a g a una su p o s ic ió n

in ic ia l .

3 . E scriba un program a para d iseñar una colum n a de sec

c ión transversal cuadrada só lid a para que soporte una

carga dada con un factor de d iseñ o dado.

4 . Escriba un program a para se lecc ion ar un tubo de acero

cédula 4 0 adecuado para que soporte una carga dada con

un factor d e d iseñ o dado. S e podría d iseñar e l program a

para que busque en una tabla de datos de s ec c io n e s de

tubo estándar d esde la m ás pequ eñ a hasta la m ás grande

hasta que encuentre un tubo adecuado. Para cada secc ió n

d e prueba, se podría calcu lar la carga perm isib le con la

fórm ula de E uler o la fórm ula de Johnson , co m o se re

quiera, y com parar con la carga de d iseño .

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15

R ecip ien tes a p res ión


Las formas más comunes de los recipientes a presión diseñados para contener líquidos y gases a presión interna son las esferas y los cilindros con sus extremos cerrados. La presión interna tiende a hacer estallar el recipiente debido a los esfuerzos de tensión presentes en sus paredes. El objetivo general de este capítulo es describir cómo se desarrollan estos esfuerzos y presentar fórmulas que se puedan usar para calcular su magnitud.


1. Determinar si un recipiente a presión se debe clasificar como de pared delgada o gruesa.

2. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de una parte de una esfera sometida a presión interna para identificar la fuerza que la pared de la esfera debe resistir.

3. Describir el esfuerzo anular tal como se aplica a esferas sometidas a presión interna.

4 . Establecer la fórmula para calcular el esfuerzo anular desarrollado en la pared de una esfera de pared delgada por la presión interna.

5. Usar la fórmula del esfuerzo anular para calcular el esfuerzo máxim o en la pared de una esfera de pared delgada.

6. Determinar el espesor de pared requerido de la esfera para resistir una presión interna dada.

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7. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de una parte de un cilindro sometido a presión interna para identificar la fuerza que su pared debe resistir.

8. Describir el esfuerzo anular tal como se aplica a cilindros sometidos a presión interna.

9. Establecer la fórmula para calcular el esfuerzo anular desarrollado en la pared de un cilindro de pared delgada producido por la presión interna.

10. U sar la fórmula del esfuerzo anular para calcular el esfuerzo máxim o en la pared de un cilindro de pared delgada.

11. Determinar el espesor de pared requerido del cilindro para que resista con seguridad una presión interna dada.

12. Describir el esfuerzo longitudinal tal como se aplica a cilindros sometidos a presión interna.

13. Establecer la fórmula para calcular el esfuerzo longitudinal en la pared de un cilindro de pared delgada producido por una presión interna.

14. Usar la fórmula del esfuerzo longitudinal para calcular el esfuerzo en la pared de un cilindro de pared delgada que actúa en la dirección paralela al eje del cilindro.

15. Determinar el espesor de pared requerido de un cilindro de pared delgada para que resista una presión interna dada con seguridad.

16. Identificar el esfuerzo anular, el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo radial desarrollados en la pared de una esfera o cilindro de pared gruesa producidos por presión interna.

17. Aplicar las fórmulas para calcular los valores máximos del esfuerzo anular, el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo radial en la pared de una esfera o cilindro de pared gruesa.

18. Aplicar las fórmulas para calcular las m agnitudes del esfuerzo anular, el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo radial en cualquier radio en la pared de un cilindro o esfera de pared gruesa.

1 5 - 2 D IS T IN C IÓ N E N T R E L O S R E C IP IE N T E S A P R E S IÓ N D E P A R E D

D E L G A D A Y P A R E D G R U E S A

En general, la magnitud del esfuerzo en la pared de un recipiente a presión varía en función de la posición en la pared. Un análisis p rec iso perm ite ca lcu lar el esfuerzo en cualquier punto. Las fórmulas para llevar a cabo tal cálculo se demostrarán en una sección posterior.

Sin embargo, cuando el espesor de pared del recipiente a presión es pequeño, la suposición de que el esfuerzo es uniforme en toda la pared produce un error insignificante. Además, esta suposición permite desarrollar fórmulas relativamente simples para el esfuerzo. La figura 15-1 muestra la definición de diámetros, radios y espesor de pared claves para cilindros y esferas.

S ecc ión 1 5 -2 ■ D is tinc ión en tre los rec ip ie n tes a presión de pa red de lga da y pa red g ruesa 5 3 7

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F IG U R A 15-1 D efinición de d iám etro, radios y espesores de pared clave de cilindros y esferas.

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Como el diámetro es dos veces el radio, el criterio para que un recipiente se considere de pared delgada es:

Obviamente, si el recipiente no satisface los criterios expresados en las ecuaciones (152) y (15-4), se considera como de pared gruesa.

Además de las ecuaciones (15-1) y (15-3) para el radio medio y el diámetro medio, las formas siguientes pueden ser útiles:

Las dos secciones siguientes se dedican al análisis de esferas y cilindros de pared delgada. Posteriorm ente, en la sección 15-5, se analizarán las esferas y cilindros de pared gruesa.

En el análisis de un recipiente a presión esférico, el objetivo es determinar el esfuerzo en su pared para garantizar la seguridad. Debido a la sim etría de una esfera, un cuerpo libre conveniente para usarse en el análisis es la mitad de la esfera, com o se muestra en la figura 15-2. La presión interna del líquido o gas contenido en la esfera actúa perpendicular a las paredes, uniformemente sobre toda la superficie interior. Com o la esfera se cortó a través de un diámetro, todas las fuerzas actúan en dirección horizontal. Por consiguiente, sólo se tiene que considerar el componente horizontal de las fuerzas creadas por la presión del fluido para determinar la magnitud de la fuerza en las paredes. Si una presión P actúa en un área A, la fuerza ejercida en el área es:

Considerando que la fuerza actúa en toda la superficie interior de la esfera y determinando el componente horizontal, la fuerza resultante en la dirección horizontal es:

(15-4)i

R, = R„

tRm

2

Rm = /?, + —2

D i = D 0 - 2t

D „ = D„ — t

D,„ — D i + t

1 5 - 3 E S F E R A S D E P A R E D D E L G A D A

F = pA (15-5)

F r = pAP (15-6)

S ecc ión 1 5 -3 ■ E s fe ras de pa red de lgada 5 3 9

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Diagrama de cuerpo libre, semiesfera con presión interna/?

Área de la sección transversal de la pared

de una esfera

FIG URA 15-2 Diagrama de cuerpo libre de una esfera que soporta una presión interna.

en donde Ap es el área proyectada de la esfera en el plano que pasa por el diámetro. Por consiguiente:

t t D ;„(15-7)

Por el equilibrio de las fuerzas horizontales en el cuerpo libre, las fuerzas en las paredes también deben ser iguales a calculada con la ecuación (15-6). Estas fuerzas de tensión que actúan en el área de la sección transversal de la paredes de la esfera crean esfuerzos de tensión. Es decir:

F r(15-8)

en donde A„ es el área del anillo cortado para crear el cuerpo libre, mostrado en la figura 15-2. El área real es:

7r •> A . = — (Di

4D¡) (15-9)

C apítu lo 15 ■ R ec ip ien tes a presión

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Sin embargo, en esferas de pared delgada con un espesor de pared I, menor que 1 /10 del radio de la esfera, el área de la pared se puede aproximar como:

Ésta es el área de una tira rectangular de espesor t y longitud igual a la circunferencia media de la esfera, nDm.

Las ecuaciones (15-6) y (15-8) se pueden combinar para obtener una ecuación del esfuerzo:

Expresando Ap y A,,en función de D,„ y t de las ecuaciones (15-7) y (15-10) se obtiene:

Ésta es la expresión del esfuerzo que actúa en la pared de una esfera de pared delgada sometida a presión interna. El error que resulta por usar el diámetro extemo o el interno en lugar del diámetro medio es muy pequeño (menos del 5%).

Ejem plo C a lc u le el e s fu e r z o e n la p a r e d d e u n a e s f e r a d e 3 0 0 m m d e d iá m e tro in te rn o y 1.5 0 m m

1 5 - 1 d e e s p e s o r d e p a re d c u a n d o c o n t ie n e g a s n itró g e n o a 3 5 0 0 k P a d e p r e s ió n in te rn a .

Con frecuencia se usan cilindros como recipientes a presión, por ejemplo, como tanques de almacenamiento, actuadores hidráulicos y neumáticos, y tubería para conducir fluidos

A w = nD„,t (15-10)

<7P ( t t D Í /4) _ pD,„

irD,„t 41(15-12)

Solución Objetivo C a lc u la r e l e s fu e r z o e n la p a r e d d e la e s f e r a .

Datos P = 3 5 0 0 k P a ; D, = 3 0 0 m m ; t = 1 .5 0 m m .

Análisis E n p r im e r lu g a r h a b r á q u e d e te rm in a r si la e s f e r a s e p u e d e c o n s id e ra r d e

p a r e d d e lg a d a c a l c u la n d o la r e la c ió n d e l d iá m e t r o m e d io a l e s p e s o r

d e p a re d .

Dm = Di + t = 3 0 0 m m + 1.50 m m = 301 .5 m m

Dm/ t = 301.5 m m /1 .5 0 m m = 201

C o m o é s t a e s m u c h o m a y o r q u e e l lím ite in fe rio r d e 2 0 , la e s f e r a e s d e

p a r e d d e lg a d a . E n to n c e s s e d e b e u s a r la e c u a c ió n ( 1 5 - 1 2 ) p a r a c a lc u

la r el e s fu e rz o .

Resultados pDm _ (3 5 0 0 x 103 P a) (301.5 m m )

4 f 4 (1 .50 m m)

a = 175.9 x 106 P a = 175.9 M Pa

1 5 - 4 C IL IN D R O S D E P A R E D D E L G A D A

Secc ión 1 5 -4 ■ C ilindros de pa red de lgada 541

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a presión. Los esfuerzos en las paredes de los cilindros son similares a los que actúan en esferas, si bien el valor máximo es mayor.

Aquí se demuestran dos análisis distintos. En un caso, se determina la tendencia de la presión interna a tirar del cilindro en una dirección paralela a su eje. Ésta se llama esfuerzo longitudinal. A continuación, se analiza un anillo alrededor del cilindro para determinar el esfuerzo que tiende a tirar de él. Éste se llama esfuerzo anular, o esfuerzo tangencial.

E s fu e rz o lo n g itu d in a l. La figura 15-3 muestra una parte de un cilindro, la cual está sometida a una presión interna, cortado perpendicular a su eje para crear un cuerpo libre. Suponiendo que el extremo libre del cilindro está cerrado, la presión que actúa en el área circular del extremo producirá una fuerza resultante de:

Fg = pA = p ( ^ ~ j (15-14)

Esta fuerza debe ser resistida por la fuerza en las paredes del cilindro, la que, a su vez, crea un esfuerzo de tensión en la paredes. El esfuerzo es:

F IG U R A 1 5 - 3 D iag ram a d e cu e rp o lib re de un c ilin d ro so m e tid o a p res ió n in te rn a que m u e stra el esfuerzo

lo n g itu d in a l.

C apítu lo 15 ■ R ec ip ien tes a presión

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o

Suponiendo que las paredes son delgadas, como se hizo en el caso de las esferas:

A„- = 7t D j

en donde t es el espesor de pared.Ahora combinando las ecuaciones (15-14) y (15-15),

Esfuerzo

longitudinal en un

cilindro de pared

delgada

p(nD j/4)

7TDnítpDm

41( 15 - 16 )

Éste es el esfuerzo en la pared del cilindro en una dirección paralela al eje, llamado esfuerzo longitudinal. Nótese que tiene la misma m agnitud que el determ inado para la pared de una esfera. Pero éste no es el esfuerzo máximo, como se demostrará a conti

nuación.

E s fu e rz o a n u la r . La presencia de una esfuerzo tangencial o anular se puede visualizar aislando un anillo del cilindro, como se muestra en la figura 15-4. La presión interna empuja hacia afuera alrededor del anillo. El anillo debe desarrollar un esfuerzo de tensión en una dirección tangencial a la circunferencia del anillo para resistir la tendencia de la presión a hacer estallar el anillo. La magnitud del esfuerzo se puede determ inar utilizando la mitad del anillo como cuerpo libre, como se muestra en la figura 15—4(b).

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La resultante de las fuerzas creadas por la presión interna se deben determinar en la dirección horizontal y equilibrar con las fuerzas en la paredes del anillo. Con el mismo razonamiento que se utilizó en el análisis de la esfera, se halla que la fuerza resultante es el producto de la presión y el área proyectada del anillo. Para un anillo de diámetro D y longitud L:

F „ = p A p = p(D ,„ L) ( 1 5 - 1 7 )

El esfuerzo de tensión en la pared del cilindro es igual a la fuerza resultante dividida entre el área de la sección transversal de la pared. D e nuevo suponiendo que la pared es delgada, el área de la pared es:

( 1 5 - 1 8 )

Entonces el esfuerzo es:

F r _ F r

a A , 2 lL( 1 5 - 1 9 )

O

Combinando las ecuaciones (15-17) y (15-19) se obtiene:

E s fu e rz o a n u la re n

un c ilin d ro de

p a re d d e lg a d a

E lA,.

pDm L

2 IL

pDjn

21( 1 5 - 2 0 )

Ésta es la ecuación del esfuerzo anular en un cilindro de pared delgada sometido a presión interna. Obsérvese que la magnitud del esfuerzo anular es dos veces la del esfuerzo longitudinal. Asimismo, el esfuerzo anular es dos veces el esfuerzo en un contenedor esférico del mismo diámetro sometido a la misma presión.

E je m p lo U n ta n q u e c ilin d rico q u e c o n t ie n e o x íg e n o a 2 0 0 0 k P a d e p r e s ió n t ie n e u n d iá m e tro

1 5 - 2 e x te r n o d e 4 5 0 m m y u n e s p e s o r d e p a r e d d e 10 m m . C a lc u le e l e s f u e r z o a n u la r y el

e s f u e r z o lo n g itu d in a l e n la p a r e d d e l c ilind ro .

S o lu c ió n O b je tiv o C a lc u la r e l e s f u e r z o a n u la r y e l e s f u e r z o lo n g itu d in a l e n la p a r e d del

c ilind ro .

D a to s p = 2000 kPa ; D0 = 4 5 0 m m ; t = 10 m m .

A n á lis is E n p r im e r lu g a r s e t ie n e q u e d e te r m in a r s í e l c ilin d ro s e p u e d e c o n s id e ra r

c o m o d e p a r e d d e lg a d a c a lc u la n d o la r e la c ió n d e l d iá m e tr o m e d io al

e s p e s o r d e p a r e d .

Dm = D„ - f = 4 5 0 m m - 10 m m - 4 4 0 m m

Dm/ t = 4 4 0 m m /1 0 m m = 4 4

C o m o é s t a e s m u c h o m a y o r q u e el lím ite in fe rio r d e 2 0 , e l c ilin d ro e s d e

p a r e d d e lg a d a . E n to n c e s s e d e b e u s a r la e c u a c ió n ( 1 5 - 2 0 ) p a r a c a lc u

la r e l e s f u e r z o a n u la r y la e c u a c ió n ( 1 5 - 1 6 ) p a r a c a lc u la r e l e s fu e rz o

lo n g itu d in a l.

5 4 4 C apítu lo 15 ■ R e c ip ien tes a presión

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C IL IN D R O S Y E S F E R A S D E P A R E D G R U E S A

Las fórmulas para cilindros y esferas de pared delgada en las secciones precedentes se derivaron bajo la suposición de que el esfuerzo es uniforme en toda la pared del recipiente. Tal com o se planteó, si la relación del diám etro del contenedor a su espesor de p a re d es m ayor que 20, esta suposición es razonablem ente correcta. Por o tra parte, si la relación es menor que 20, las paredes se consideran gruesas, y se requiere una técnica de análisis distinta.

La derivación detallada de las fórmulas para contenedores de pared gruesa no se abordará aquí debido a su complejidad. Véanse las referencias 1 y 2. Pero sí se demostrará la aplicación de la fórmulas.

Para un cilindro de pared gruesa, la figura 15-5 m uestra la notación a ser utilizada. La geometría se caracteriza por el radio interno a, el radio externo b , y cualquier posición radial entre a y b, llamada r. El esfuerzo longitudinal se llama a ,; el esfuerzo anular es <r2. Éstos tienen el mismo significado que para recipientes de pared delgada, excepto que ahora tendrán magnitudes variables en diferentes posiciones de la pared. Además de los esfuerzos anular y longitudinal, en un recipiente de pared gruesa se crea un esfuerzo radial cr3. Como su nombre lo indica, el esfuerzo radial actúa a lo largo de un radio del cilindro o esfera. Es un esfuerzo de com presión y varía desde una m agnitud de cero en la superficie externa hasta un valor máximo en la superficie interna, donde es igual a la presión interna.

La tabla 15-1 resume las fórmulas necesarias para calcular los tres esfuerzos en las paredes de los cilindros y esferas de pared gruesa sometidos a presión interna. Los términos esfuerzo longitudinal y esfuerzo anular no se aplican a esferas. En su lugar, se hace referencia al esfuerzo tangencial, el cual es igual en todas las direcciones alrededor de la esfera. Por tanto:

P R O C E D IM IE N T O P A R A A N A L IZ A R Y D IS E Ñ A R R E C IP IE N T E S

A P R E S IÓ N E S F É R IC O S Y C IL ÍN D R IC O S

A quí se presenta un resum en de los principios planteados en este capítulo relacionados con el análisis del esfuerzo de esferas y cilindros de pared delgada y gruesa. El resum en se da en la form a de procedim ientos generales para analizar y diseñar recipientes a presión. Por lo que se refiere a esfuerzos de diseño, se recom ienda que se revise la sección 3-3 . Se supondrá que la falla de un recipiente a presión sometido a

esfuerzo tangencial = <7, = tr2

<7j = esfuerzo longitudinal

(T2 = esfuerzo anular

Oj - esfuerzo radial <7¡ - 02= esfuerzo tangencial

F IG U R A 1 5 -5 N otación para los esfuerzos que actúan en cilindros y esferas de pared gruesa.

C a pítu lo 15 ■ R e c ip ien tes a presión

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T A B L A 15-1 E sfuerzos en cilindros y esferas de pared g ru e sa .

E sfuerzo en la posición r E sftierzo m áxim o

C ilin d ro de p a re d g ru e sa

L ongitudinalpa2

<T' 1.2 2 h — a

p a 20-1 L- 2b - a

(un iform e en toda la pared)

A nular (tangencial)p a \b 2 4- r 2)

cri = —;— ;------ —r '(b ' - a -)

p(b2 + <T) cr-» — , ,

b- - a '

(en la superfic ie in terna)

Radial—pa2(b2 - r 2)

(T\ , , , ,r (b~ - a ')

c t \ = —p. (en la superficie in terna)

E sfe ra de p a re d g ru esa

Tangencialpay(by + 2 r ' )

(Ti — (T> , , ,• 2 r \b - a )

p (b ' + 2 a ')(T i = (T- = ----- ;-------j—

' 2(b - a ')

(en la superficie in terna)

Radial- p a \ b y - r ' )

-Vi..'r (b - a )(T; = ~ p (en la superficie in terna)

L os sím bolos utilizados aquí son los siguientes: a = radio in terno; b = ra d io ex tem o; r = cualquier rad io entre

a y b ; p = presión interna, uniform e en todas las direcciones. Los esfuerzos son de tensión cuando son positivos,

y de com presión cuando so nnegativos.

presión interna se debe a los esfuerzos de tensión que ocurren tangencialmente en las paredes del recipiente. Los esfuerzos de diseño deben tener en cuenta el material del cual está hecho el recipiente, el ambiente de operación, y si la presión es constante o variable de manera cíclica.

Véase también la sección 15-7 con respecto al análisis de otros modos de falla en recipientes que tienen penetraciones, apoyos estructurales, anillos de refuerzo y otras características que los hacen distintos de los recipientes cilindricos y esféricos simples.

E s fu e rz o s d e d is e ñ o . En el caso de presión estable, el esfuerzo de diseño se puede basar en la resistencia a la cedencia del material:

Od = S y /N

La selección del factor de diseño, N, con frecuencia se hace conforme a un reglamento debido al peligro creado cuando un recipiente a presión falla. Esto es particularm ente cierto en el caso de recipientes que contienen gases o vapor a presión porque las fallas producen la expulsión violenta del gas al 1 iberarse un alto nivel de la energía almacenada. Sin un reglamento, se usará N= 4 como valor mínimo y se deben usar valores mayores en aplicaciones críticas o donde exista incertidumbre con respecto a las condiciones de operación o las propiedades del material. Otra recomendación sugerida es lim itar la presión en un recipiente a no más de 1/6 de la presión de ruptura pronosticada. Esto de hecho dem anda un esfuerzo de diseño relacionado con la resistencia últim a a la tensión del material de:

o’d — su/ N = s„ / 6

En el caso de presión cíclica, básese el esfuerzo de diseño en la resistencia última:

(T d = s j N

S e c c ió n 1 5 -6 ■ P ro c e d ím íe n to p a ra a n a liz a ry d is e ñ a rre c ip ie n te s a p re s ió n e s fé r ic o s y c il ín d r ic o s 5 4 7

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A . P r o c e d i m ie n to

p a r a a n a l i z a r

r e c i p i e n t e s a p r e s i ó n

Utilícese N = & como mínimo para producir una esfuerzo de diseño relacionado con la resistencia a la fatiga del material.

B . P r o c e d i m ie n to

p a r a d i s e ñ a r

r e c i p i e n t e s

a p r e s i ó n d e

u n m a te r i a l d a d o

D atos Presión interna en el recipiente,/?.Material del que está hecho el recipiente. Se supone que es metal dúctil.Diámetro extemo, D„, diámetro interno, D¡, y espesor de pared t, para el recipiente.

O bjetivo Determinar el esfuerzo máximo en el recipiente y verificar la seguridad de ese nivel de esfuerzo con respecto al esfuerzo de diseño en el material del que está hecho el recipiente.

1. Calcule el diámetro medio, Dm, del recipiente con la ecuación (15-3): D,„ =(D0+D¡)/2.

2. Calcule la relación del diámetro medio al espesor de pared del recipiente, D Jt.

3. Si D J t > 20, el recipiente se puede considerar como de pared delgada. Use la ecuación (15-12) para esferas o la ecuación (15-20) para cilindros para calcular el esfuerzo tangencial máximo en las paredes del recipiente.

a - pDm/4t para esferas (15-12)

a = pDmf l t para cilindros (15-20)

4. Si D J t < 20, el recipiente se debe considerar como de pared gruesa. Use las ecuaciones de la tabla 15-1 para calcular el esfuerzo tangencial o anular máximo en las paredes del recipiente.

b3 + 2a3)

2(63 - a3)

p(b3 + 2a3) a = — -- -- -- -- -- -- - -

a =P(b2 + a2)

b2 - a1

paraesferas

para cilindros

5. Calcule el esfuerzo de diseño para el material del que está hecho el recipiente.

6. El esfuerzo máximo real debe ser menor que el esfuerzo de diseño por seguridad.

Datos Presión interna en el recipiente,p.Material del que está hecho el recipiente. Se supone que es metal dúctil.Diámetro interno nominal del recipiente basado en la capacidad volumétrica deseada.

O bjetivo Especificar el diámetro externo, D0, el diámetro interno, D„ y el espesor de pared, t, del recipiente con el objeto de garantizar la

5 4 8 C apítu lo 15 ■ R e c ip ien tes a presión

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seguridad del recipiente con respecto a esfuerzo de diseño en el material del que está hecho.

1. Use el diámetro dado como una estimación del diámetro medio, D„„ del recipiente.

2. En principio suponga que el recipiente será de pared delgada y que el esfuerzo máximo se puede calcular con la ecuación (15-12) para una esfera o con la ecuación (15-20) para un cilindro. Esta suposición se verificará más adelante.

3. Calcule el esfuerzo de diseño del material del que está hecho el recipiente.

4. En la ecuación de esfuerzo apropiada, sustituya el esfuerzo de diseño correspondiente al esfuerzo máximo y resuélvala para el espesor de pared mínimo requerido, t.

5. Especifique valores convenientes de t, D¡ y D,„ basados en los espesores del material disponibles. También se puede usar la tabla A -2 del apéndice para especificar las dimensiones básicas preferidas.

6. Calcule el diámetro medio real del recipiente utilizando las dimensiones especificadas.

7. Calcule la relación del diámetro medio al espesor de pared del recipiente, D Jt.

8. Si D J t > 20, el recipiente es de pared delgada como se supuso y el diseño está terminado.

9. Si D J t < 20, el recipiente se debe considerar como de pared gruesa. Use las ecuaciones de la tabla 15-1 para calcular el esfuerzo tangencial o anular máximo en las paredes del recipiente y compárelo con el esfuerzo de diseño. Si el esfuerzo real es menor que el esfuerzo de diseño, el diseño es satisfactorio. Si el esfuerzo máximo real es mayor que el esfuerzo de diseño, incremente el espesor de pared y calcule de nuevo el esfuerzo resultante. Continúe este proceso hasta que se obtenga un nivel de esfuerzo satisfactorio y las dimensiones convenientes del recipiente. Este proceso se facilita con un programa de cómputo o una calculadora capaz de resolver ecuaciones.

1. Calcule el diámetro medio, D„„ del recipiente con la ecuación (15-3): D,„ = (D0 + D,)/2.

2. Calcule la relación del diámetro medio al espesor de pared del recipiente,

D Jt.

3. Si Dm it > 20, el recipiente se puede considerar como de pared delgada. Use la ecuación (15—12) para esferas o la ecuación (15-20) para cilindros para calcular el esfuerzo máximo tangencial en las paredes del recipiente.

S ecc ión 1 5 -6 ■ P roced im ien to pa ra an a liza r y d iseñ a r rec ip ientes a p res ión es fé ricos y c ilin d ric o s 5 4 9

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a = pDm /41 para esferas

a = pDm f l l para cilindros (15-20)

( 15- 1 2 )

4. Si D J t < 20, el recipiente se debe considerar como de pared gruesa. Use ecuaciones de la tabla 15-1 para calcular el esfuerzo tangencial o anular máximo en las paredes del recipiente.

a = + 2a para esferas 2(¿>3 - a 3)

p(b2 + a 2)para cilindros

5. Especifique una ecuación adecuada para el esfuerzo de diseño con base en el planteamiento al principio de esta sección.

6. Iguale el esfuerzo de diseño al esfuerzo máximo calculado en el paso 3 o4. En seguida calcule la resistencia del material apropiada, ya sea sy o su, con la ecuación del esfuerzo de diseño.

7. Especifique un material adecuado cuya resistencia sea mayor que el valor mínimo requerido.

Ejem plo Calcule la magnitud de los esfuerzos longitudinal, anular y radial máximos en un cilindro 1 5 -4 que contiene helio a una presión constante de 10 000 lb/plg2. El diámetro externo e s de

8.00 plg y el interno de 6.40 plg. Especifique un material adecuado para el cilindro.

Solución Objetivo

Datos

Análisis

R esu ltados Paso 1.

Paso 2.

Calcular los esfuerzos máximos y especificar un material.

Presión = p = 10 000 lb/plg2. D0 = 8.00 plg. D¡ = 6.40 plg.

Se usa el procedimiento C de esta sección.

Dm = (D0 + D¡)I2 = (8.00 + 6.40)/2 = 7.20 plg

t = (D0- D,)l2 = (8.00 - 6.40)/2 = 0.80 plg Dmlt = 7.20/0.80 = 9.00

Paso 3. Este paso no se aplica. El cilindro e s grueso.

Paso 4. Use ecuaciones de la tabla 15-1.

a = D ,/2 = 6 .40/2 = 3.20 plg

b = D0/ 2 = 8 .00/2 = 4.00 plg

=2 (10 000 lb/plg2)(3.20 plg)2tr, =

pa"

5 5 0

b2 - a2 (4.002 - 3.202) plg2

= 17 780 lb/plg2 longitudinales

C a pítu lo 15 ■ R ec ip ien tes a presión

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a2 =p ( b 2 + a 2) (10 0 0 0 Ib /p lg2) ( 4 . 0 0 3 . 2 0 2) p lg 2

b2 - a2 ( 4 .0 0 2 - 3 . 2 0 2) p lg 2= 4 5 560 Ib/plg

a n u la r

03 = ~P = - 1 0 0 0 0 Ib/plg radial

L o s t r e s e s f u e r z o s a lc a n z a n s u v a lo r m á x im o e n la su p e rf i

c ie in te rn a d e l c ilind ro .

P a so 5. S e a e l e s fu e r z o d e d is e ñ o = crd = sy/4.

P aso 6. El e s f u e r z o m á x im o e s e l e s f u e r z o a n u la r , o ^ - 4 5 5 6 0

Ib/plg2. P o r ta n to , la r e s is te n c ia a la c e d e n c ia r e q u e r id a del

m a te r ia l e s :

Sy = A /(o j)= 4 (4 5 5 6 0 Ib /p lg2) = 1 8 2 2 0 0 Ib /p lg2 = 1 8 2 ksi

P aso 7. D e l a p é n d i c e A - 1 3 ,s e p u e d e e s p e c i f i c a r e la c e r o A I S I 4 1 4 0

O Q T 7 0 0 q u e t ie n e u n a r e s i s t e n c ia a la c e d e n c ia d e 2 1 2 ksi.

Ejemplo C a lc u le la m a g n itu d d e lo s m á x im o s ta n g e n c ia l y ra d ia l e n u n a e s f e r a q u e c o n t ie n e h e lio

1 5 - 5 a u n a p re s ió n c o n s ta n te d e 10 0 0 0 Ib /p lg2. El d iá m e tro e x te r n o e s d e 8 .0 0 p lg y el d iá m e

tro in te rn o e s d e 6 .4 0 p lg . E s p e c if iq u e el m a te r ia l c o n v e n ie n te p a r a e l c ilind ro .

Solución Objetivo

D atos

A nálisis

C a lc u la r lo s e s f u e r z o s m á x im o s y e s p e c i f ic a r u n m a te r ia l .

P re s ió n = p = 10 0 0 0 Ib /p lg2. D„ = 8 .0 0 p lg . D, = 6 .4 0 plg

Ú s e s e el p ro c e d im ie n to C d e e s t a s e c c ió n . E s to s d a to s s o n lo s m is m o s

q u e lo s q u e s e a p l ic a n e n e l e je m p lo 1 5 - 4 . A lg u n o s v a lo r e s s e tr a n s fe r i

r á n h a c ia a d e la n te .

R esu ltados P a so s 1 ,2 ,3 . L a e s f e r a e s d e p a r e d d e lg a d a .

P aso 4. U se la s e c u a c io n e s d e la ta b la 1 5 -1 . a = 3 .2 0 plg. b = 4 .0 0 plg.

<T, = 02 =p (6 + 2 a ' (1 0 0 0 0 Ib/plg )[4 .0 0 + 2 ( 3 .2 0 f ] p lg 3

2 (b3 - a3) 2 ( 4 .0 0 3 - 3 .2 0 3) p lg 3

cr, = 0 2 = 2 0 7 4 0 Ib /p lg2 tan g en c ia l

03 = - P = - 1 0 0 0 0 Ib /p lg2 radial

C a d a u n o d e e s to s e s f u e r z o s a l c a n z a n s u v a lo r m á x im o e n

la su p e rf ic ie in te rn a .

P a so s 5, 6. P a r a u n e s fu e r z o m á x im o d e 2 0 7 4 0 Ib /p lg2, la r e s is te n c ia a

la c e d e n c ia q u e s e r e q u ie r e p a r a e l m a te r ia l e s :

s y = N(ff¿ = 4 (2 0 7 4 0 Ib /p lg2) = 8 2 9 6 0 Ib /p lg2 = 8 3 ksi

P aso 7. D e l a p é n d i c e A - 1 3 ,s e p u e d e e s p e c i f i c a r e la c e r o A I S I 4 1 4 0

O Q T 1 3 0 0 q u e t ie n e u n a r e s is te n c ia a la c e d e n c ia d e 101

ksi. S e p o d r ía n u s a r o tr o s a c e r o s .

Com entario El e s fu e r z o m á x im o e n la e s f e r a e s m e n o r a la m ita d q u e e l d e l c ilindro

d e l m ism o ta m a ñ o , y p e rm ite e l u s o d e u n m a te r ia l c o n u n a r e s is te n c ia

m u c h o m e n o r . P o r o tr a p a r te , s e p o d r ía d i s e ñ a r la e s f e r a c o n e l m ism o

m a te r ia l p e ro c o n u n e s p e s o r d e p a r e d m e n o r .

S ecc ión 1 5 -6 ■ P roced im ien to pa ra an a liza r y d iseña r rec ip ien tes a presión es fé ricos y c il ind ricos 551

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E je m p lo U n r e c ip ie n te c ilin d ric o t ie n e u n d iá m e tro e x te r n o d e 4 0 0 m m y u n d iá m e tro in te rn o d e

1 5 - 6 3 0 0 m m . P a r a u n a p r e s ió n in te rn a d e 2 0 .1 M P a , c a lc u le e l e s f u e r z o a n u la r , <r2 e n la s

s u p e r f ic ie s in te rn a y e x te r n a y e n p u n to s d e la p a r e d a in te rv a lo s d e 1 0 m m . T r a c e u n a

g rá f ic a d e a¿ c o n la p o s ic ió n ra d ia l e n la p a r e d .

S o l u c i ó n O b je t iv o C a lc u la r e l e s f u e r z o ra d ia l e n p o s ic io n e s e s p e c í f i c a s e n la p a r e d d e l

c ilin d ro .

D a t o s P re s ió n = p = 2 0 .1 M P a . D o = 4 0 0 m m ,D , = 3 0 0 m m .

S e u s a n in c r e m e n to s d e 1 0 m m p a r a e l r a d io d e s d e la s u p e r f ic ie e x te r n a

h a s t a la s u p e rf ic ie in te rn a .

A n á l i s i s S e u s a n lo s p a s o s 1 - 4 d e l p ro c e d im ie n to A d e e s t a s e c c ió n .

R e s u l t a d o s P a s o 1. Dm= (D0 + 0 ,) /2 = (4 0 0 + 3 0 0 ) /2 = 3 5 0 m m

P a s o 2. t = (D 0 - D ,)/2 = (4 0 0 - 3 0 0 ) /2 = 5 0 m m

D J t = 3 5 0 /5 0 = 7 .0 0 < 2 0 ; e l c ilin d ro e s d e p a r e d g r u e s a

P a s o 3. E s te p a s o n o s e a p lic a .

P a s o 4. U s e la e c u a c ió n d e l e s f u e r z o ta n g e n c ia l d e la ta b la 1 5 - 1 .

pa2(b2 + r 2)

" 2 ~ r 2(b2 - a2)

a = D ,/2 = 3 0 0 /2 = 150 m m

b = D 0/ 2 = 4 0 0 /2 = 2 0 0 m m

L o s r e s u l t a n d o s s e m u e s t r a n e n la ta b la s ig u ie n te .

r ( m m ) ( r2 (M P a)

20 0 51 .7

190 5 4 .5

180 5 7 .7

170 6 1 .6

160 6 6 .2

150 7 1 .8

(M ín im o e n la s u p e r f ic ie e x te rn a )

(M á x im o e n la s u p e r f ic ie in te rn a )

C o m e n t a r i o L a f ig u ra 1 5 - 6 m u e s tr a la g r á f ic a d e l e s f u e r z o ta n g e n c ia l c o n t r a la p o s i

c ió n e n la p a r e d . L a g rá f ic a i lu s tra c o n to d a c la r id a d q u e la s u p o s ic ió n d e

e s f u e r z o u n ifo rm e e n la p a r e d d e u n c ilin d ro d e p a r e d g r u e s a no s e r ía

v á lid a .

E je m p lo D is e ñ e u n c ilin d ro q u e t ie n e q u e s e r d e tita n io e n v e je c id o T Í - 6 A 1 -4 V p a r a a lm a c e n a r

1 5 - 7 g a s n a tu ra l c o m p r im id o a 7 5 0 0 lb /p lg 2. El d iá m e tr o in te rn o d e b e s e r d e 2 4 .0 0 p lg p a ra

p r o p o rc io n a r e l v o lu m e n n e c e s a r io . El e s f u e r z o d e d i s e ñ o d e b e s e r 1 /6 d e la r e s is te n c ia

ú ltim a d e l titan io .


D a to s

D is e ñ a r el c ilin d ro .

P re s ió n = p = 7 5 0 0 lb /p lg 2. D ,= 2 4 .0 p lg .

T ita n io T i-6 A 1 ^ 1 V ; s u = 1 7 0 ksi (A p é n d ic e A - 1 4 )

5 5 2 C a pítu lo 15 ■ R e c ip ien tes a presión

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F IG U R A 1 5-6 V ariación del esfuerzo tangencial en la pared del cilindro de pared g ru esad e l ejem plo 1 5 -6 .

A nálisis S e u s a e l p ro c e d im ie n to B d e e s t a s e c c ió n .

R esu ltados P a s o l . S e a Dm= 2 4 .0 0 p lg .

S u p o n g a q u e e l c ilin d ro e s d e p a r e d d e lg a d a .

E s fu e rz o d e d is e ñ o :

ffá - s u /6 = (1 7 0 0 0 0 lb /p lg 2)/o = 2 8 3 3 3 Ib /p lg 2

P a so 2.

P a so 3.

P aso 4. U s e la e c u a c ió n ( 1 5 - 2 0 ) p a r a c a lc u la r e l v a lo r n o m in a l d e t.

t =pDm (7 5 0 0 lb /p lg 2)(2 4 .0 p lg )

3 .1 8 plg

P a so 5.

P a so 6.

P aso 7.

P a so 8.

P a so 9.

2od 2 (2 8 3 3 3 Ib /p lg 2)

P r u e b a #1: D, = 24.00; t =3.50 plg; D0 = O, + 2f = 31.00 plg .

Dm = D(+ f = 2 4 .0 0 + 3 .5 0 = 2 7 .5 0 plg .

D J t = 2 7 .5 0 /3 .5 0 = 7 .8 6 < 2 0 ; e l c ilin d ro e s d e p a r e d g r u e s a .

E s te p a s o n o s e a p lic a .

U s e la e c u a c ió n d e o2 d e la ta b la 1 5 - 1 .

a = D,/2 = 24.00/2 = 12.00 plg

b = DJ2 = 31.00/2 = 15.50 plg

c t 2 = -

p(b + a 2) (7 5 0 0 Ib/plg ) (1 5 .5 0 + 1 2 .0 0 2)

(1 5 .5 0 - 1 2 .0 0 )

02 = 2 9 9 4 0 Ib /p lg 2 l ig e ra m e n te e le v a d o . R e p ita lo s p a s o s 5 y 9.

P a so 5. I n c re m e n te f = 3 .7 5 p lg ; D o = D ,+ 2 f = 3 1 .5 0 p lg ; e l c i l i n d r o e s

d e p a r e d g r u e s a .

S e c c ió n 1 5 - 6 ■ P ro c e d im ie n to p a ra a n a l iz a r y d is e ñ a r r e c ip ie n te s a p re s ió n e s f é r ic o s y c i l ín d r ic o s 5 5 3

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Las técnicas de diseño y análisis presentadas hasta ahora tuvieron que ver sólo con el análisis del esfuerzo básico de cilindros y esferas ideales sin considerar penetraciones y otros cambios de geometría. Desde luego, los recipientes a presión más prácticos incorporan varias características que hacen que el recipiente se aparte de la form a ideal. Además, con frecuencia se aplican cargas externas que crean esfuerzos que se com binan con el esfuerzo producido por la presión interna. Por ejemplo:

■ U n recipiente a presión esférico o cilindrico por lo general tiene una o más lumbreras para llenarlo o vaciarlo. Las lumbreras a m enudo se sueldan en el recipiente con lo que se provoca una discontinuidad en la geom etría así como también una modificación de las propiedades del material cerca de la soldadura.

■ A lgunos recipientes a presión utilizados para reacciones químicas u otras aplicaciones de procesamiento de materiales contienen mirillas para observar el proceso. Las mirillas pueden contener bridas para sujetar la ventana transparente.

■ Los recipientes cilindricos con frecuencia se fabrican con sus extremos abovedados o hem isféricos para crear un diseño óptim o resistente a lapresión interna. Pero, debido a que el esfuerzo tangencial en el extrem o esférico es m enor que el que actúa en el cilindro, se debe prestar una especial atención al diseño en la intersección de los extremos con la porción cilindrica recta.

■ Los cilindros grandes pueden contar con bandas o nervaduras aplicadas al interior o exterior para reforzarlos estructuralm ente.

■ Los cilindros y las esferas grandes pueden experim entar esfuerzos elevados a causa de su peso y contenido que se com binan con los esfuerzos producidos por la presión interna. Por ejemplo: un tanque cilindrico relativam ente largo en posición horizontal y apoyado cerca de sus extremos se ve sometido a esfuerzos flexionantes; un tanque cilindrico es colocado con su eje en posición vertical se ve sometido a un esfuerzo de com presión axial.

■ Los cilindros y las esferas grandes deben estar equipados con apoyos que transmitan el peso del recipiente y su contenido a un piso o la tierra. Cerca de tales

apoyos existen condiciones de esfuerzo especiales.

■ Los recipientes a presión utilizados en equipo de transporte terrestre a menudo experim entan cargas dinám icas provocadas por paro, arranque, m ovim iento del producto dentro del recipiente y v ibración provocada por cam inos acci

dentados.

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■ Los recipientes a presión en aviones y naves espaciales se ven sometidos a fuerzas de aceleración elevadas durante los aterrizajes, despegues, lanzamientos y maniobras rápidas.

■ Las juntas entre las secciones de los recipientes a presión compuestos de dos o más piezas a menudo contienen discontinuidades geométricas que requieren técnicas de análisis especiales y una cuidadosa fabricación.

Las técnicas de análisis en esas condiciones no se abordan en este libro. Algunas se plantean en el referencias 2 ,3 y 4. El Boiler andPressure Vessel Code, publicado por la American Society o f Mechanical Engineers (ASME), contiene numerosas normas y técnicas de análisis que rigen el diseño, la fabricación y la inspección de calderas y recipientes a presión para proteger la vida y la propiedad de una manera razonable. Muchos proveedores com erciales ofrecen paquetes de “softw are” que realizan los com plejos cálculos requeridos para analizar y diseñar recipientes a presión y sus accesorios.

Las aplicaciones y ejemplos presentados en este capítulo recalcan el uso de metales para las paredes estructurales de los recipientes a presión. Otros materiales, en particular los materiales compuestos y los plásticos reforzados, a menudo también se usan. Se deben entender las características especiales de estos materiales cuando se usen en los recipientes a presión.

R e c ip ie n te s a p re s ió n c o m p u e s to s . Los materiales compuestos de alta resistencia son adecuados para la fabricación de recipientes a presión. El hecho de que los esfuerzos principales sean tangenciales (anulares) o longitudinales obligan al diseñador de recipientes compuestos a alinear las fibras compuestas en la dirección de los esfuerzos máximos. La envoltura circunferencial de cinta preim pregnada alrededor de cascos de metal o plástico ofrece ahorros significativos de peso en comparación con un diseño únicamente de metal o plástico. Para resistir los esfuerzos longitudinales causados por la presión interna junto con otras fuerzas externas, algunos tanques se envuelven helicoidalmente además de circunferencialmente. El espesor y la dirección de las capas se pueden adaptar a las cargas específicas esperadas en una aplicación particular.

Los materiales seleccionados para recipientes a presión compuestos incluyen fibra de vidrio E/resina epóxica, fibra de vidrio estructural/resina epóxica y carbono/resina epóxica. El costo es una factor de importancia en la especificación del material.

Los usos principales de los recipientes a presión compuestos incluyen aquellos en los que el peso ligero es un objetivo de diseño importante. El tanque de suministro de aire para los aparatos de respiración autónoma (SCBA) utilizados por los bomberos es un buen ejemplo porque los tanques ligeros permiten una m ayor movilidad y menos fatiga. El peso reducido en aviones y naves espaciales permite mayores cargas útiles o un mejor desempeño de los vehículos aeroespaciales. El desarrollo de vehículos terrestres de gas natural comprimido (CNG) requiere la producción de cilindros ligeros para almacenar el combustible CNG. Se están llevando a cabo demostraciones en autobuses, flotillas de vehículos comerciales y en algunos vehículos de pasajeros. En la referencia 1 se reportan ejemplos de ahorros prácticos de peso. Un depósito de aire comprimido compuesto para vehículos de transporte que pesa 27 libras reemplazó a uno de acero y se ahorraron casi 100 libras. Un tanque SCBA de fibra de vidrio estructural/resina epóxica pesa 18 libras comparado con uno de aluminio que pesa 36 libras.

Se debe tener cuidado para garantizar que el material compuesto se adhiera bien y se adapte a la geometría de cualquier recipiente. Se requiere una atención particular en los extremos abovedados de los cilindros de presión y en la localización de las lumbreras. Éstas por lo general se colocan arriba o abajo en los polos de los extremos abovedados de tal modo que las fibras compuestas queden continuas. La colocación de las lumbreras en los costados de un tanque interrumpiría la integridad del devanado de los filamentos.

S e c c ¡ó n 1 5 -7 ■ O tras cons ide ra c io ne s de d iseño pa ra rec ip ientes a p res ión 5 5 5

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Además, la geom etría del tanque con frecuencia se adapta para producir esfuerzos gradualmente variables en las juntas entre las lumbreras cilindricas y los extremos abovedados. El espesor de las capas esperados.

B I B L I O

1. A d v a n s ta r C o m m u n ic a t io n s , In c ., D esign G u id e f o r

A d v a n c e d C om posites A p p lica tio n s , D u lu th , M N , 1993.

2. A m e r ic a n S o c ie ty o f M e c h a n ic a l E n g in e e rs , A S M E

B o iler & P ressure VesseI C ode . F a i r f ie ld , N J, 1992.

P R O B

15-l.M Calcule el esfuerzo en una esfera de 200 mm de diámetro externo y 184 mm de diámetro interno cuando se aplica una presión de 19.2 MPa.

15-2.M Un gran tanque esférico de almacenamiento de aire comprimido en una planta química es de 10.5 m de diámetro y está hecho de placa de acero A1SI 1040 laminada en caliente, de 12 mm de espesor. ¿Qué presión interna podría soportar el tanque si se desea un factor de diseño de 4.0 basado en la resistencia a la cedencia?

15-3.M Se tiene que usar titanio 6A1^4V para fabricar un tanque esférico de 1200 mm de diámetro extemo. La presión de trabajo en el tanque tiene que ser de4.20 MPa. Determine el espesor requerido de la pared del tanque si se desea un factor de diseño de4.0 basado en la resistencia a la cedencia.

15-4.M Sí el tanque del problema 15-3 fuera de lámina de aluminio 2014-T6 en lugar de titanio, calcule el espesor de pared requerido. ¿Cuál diseño pesaría menos?

15-5.1 Calcule el esfuerzo anular en las paredes de un tubo de acero cédula 40 de 10 plg si transporta agua a 150 lb/plg2.

15-6.M Un cilindro neumático tiene un diámetro interior de 80 mmy un espesor de pared de 3.5 mm. Calcule el esfuerzo anular en la pared del cilindro si se aplica una presión interna de 2.85 MPa.

15-7.M Un cilindro de acetileno tiene un diámetro de 300 mm y lo mantiene a 1.7 MPa. Si se desea un factor de diseño de 4.0 basado en la resistencia, calcule el espesor de pared requerido para el tanque. Use acero A ISI1040 estirado en frío.

5 5 6

compuestas también se m odifica según los esfuerzos

R A F Í A

3. M u v d i. B. B .. a n d J. W. M cN a b b . E n g in eer in g M echan ics

o f M ater ia ls , 3 rd e d . , S p r in g e r-V e rla g , N ew Y o rk , 1990.

4 . Y o u n g , W a r re n C ., R o a r k ’s F o rm u la s f o r S tress a n d

S tra in , 6 th e d ., M c G ra w -H ill , N ew Y o rk , 1989.

E M A S

15-8.M El cilindro de oxígeno compañero del de acetileno del problema 15-7 contiene oxigeno a 15.2 MPa. Su diámetro es de 250 mm. Calcule el espesor de pared requerido utilizando el mismo criterio.

15-9.M Un tanque de propano de un vehículo recreativo es de acero AISI 1040 laminado en caliente, de2.20 mm de espesor. El diámetro del tanque es de 450 mm. Determine qué factor de diseño resultaría basado en la resistencia a la cedencia si el tanque se llena de propano a 750 kPa.

15-10.M El tanque de suministro de propano en las instalaciones del proveedor es un cilindro de 1800 mm de diámetro. Si se desea obtener un factor de diseño de 4 basado en la resistencia a la cedencia del acero AISI 1040 laminado en caliente, calcule el espesor requerido de las paredes del tanque cuando la presión interna es de 750 kPa.

1 5 -ll.M El oxígeno en una nave espacial se transporta a una presión de 70.0 MPa para reducir al mínimo el volumen requerido. El recipiente esférico tiene un diámetro extemo de 250 mm y un espesor de pared de 18 mm. Calcule los esfuerzos tangencial y radial máximos en la esfera.

15-12.M Calcule los esfuerzos longitudinal, anular y radial máximos en la pared de un tubo de acero cédula 40 estándar de 1/2 plg cuando se somete a una presión interna de 1.72 MPa (250 lb/plg2).

15-13.M El cañón de una gran pieza de artillería de campo tiene un diámetro interno de 220 mm y un diámetro externo de 300 mm. Calcule la magnitud del esfuerzo anular en el cañón en puntos a 10 mm

C a p itu lo 15 ■ R e c ip ien te s a presión

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uno de otro desde la superficie interna hasta la superficie externa. La presión interna es de 50 MPa.

15-14.M Un tubo de acero cédula 40 de I 1/2 plg de diámetro tiene un radio medio de menos de 10 veces el espesor de pared y por tanto se debe clasificar como un cilindro de pared gruesa. Calcule los esfuerzos máximos que resultarían con las fórmulas tanto para pared delgada como pared gruesa producidos por una presión interna de 10.0 MPa.

15-15.M Un cilindro tiene 50 mm de diámetro externo y 30 mm de diámetro interno. Calcule el esfuerzo tangencial máximo en la pared del cilindro producido por una presión interna de 7.0 MPa.

15-16.M Para el cilindro del problema 15-15, calcule el esfuerzo tangencial en la pared a incrementos de2.0 mm de adentro hacia afuera. Luego grafique los resultados del esfuerzo contra el radio.

15-17.M Para el cilindro del problema 15-15, calculeel esfuerzo radial en la pared a incrementos de 2.0 mm de adentro hacia afuera. Luego grafique los resultados del esfuerzo contra el radio.

15-18.M Para el cilindro del problema 15-15, calcule el esfuerzo tangencial pronosticado con la teoría de la pared delgada en vez de con la teoría de la pared gruesa. Compare el resultado con el esfuerzo calculado en el problema 15-15.

15-19.M Una esfera de acero inoxidable AISI 501 OQT 1000 tiene un diámetro extemo de 500 mm y un espesor de pared de 40 mm. Calcule la presión máxima que se podría aplicar en la esfera suponiendo que el esfuerzo máximo tiene que ser un cuarto de la resistencia a la cedencia del acero.

15-20.M Para una esfera de 500 mm de diámetro extemo y 420 mm de diámetro interno, calcule el esfuerzo tangencial en su pared a incrementos de 5.0 mm de adentro hacia afuera. En seguida grafique los resultados. Use una presión de 100 MPa.

15—21.M Para una esfera de 500 mm de diámetro externo y 420 mm de diámetro interno, calcule el esfuerzo radial en su pared a incrementos de 5.0 mm de adentro hacia afuera. Por último grafique los resultados. Use una presión de 100 MPa.

15-22.M Para visualizar la importancia de usar las fórmulas de pared gruesa para calcular esfuerzos en las paredes de un cilindro, calcule el esfuerzo tangencial máximo pronosticado en la pared de un cilindro con las fórmulas tanto para pared delgada como para pared gmesa en las siguientes condiciones. El diámetro extemo de todos los diseños tiene que ser de 400 mm. El espesor de pared debe variar desde 5.0 mm hasta 85.0 mm en incremen

P rob lem as

tos de 10.0 mm. Use una presión de 10.0MPa.En seguida calcule la relación D Jt y grafique la diferencia en porcentaje entre el esfuerzo calculado con la teoría de la pared gruesa y la teoría de la pared delgada contra dicha relación. Observe el incremento de la diferencia en porcentaje conforme el valor áeD Jt disminuye, es decir, conforme t se incrementa.

15-23.M El diámetro externo de una esfera es de 400 mm y el interno de 325 mm. Calcule la variación del esfuerzo tangencial de adentro hacia afuera en incrementos de 7.5 mm. Use una presión de10.0 MPa.

15-24.M Una esfera tiene un diámetro extemo de 400 mm y un diámetro interno de 325 mm. Calcule la variación del esfuerzo radial de adentro hacia afuera en incrementos de 7.5 mm. Use una presión de 10.0 MPa.

15-25.1 El apéndice A-12 da las dimensiones del tubo de acero cédula 40 American National Standard. ¿Cuáles de estos tamaños se deben clasificar como de pared gruesa y cuáles se pueden considerar como de pared delgada?

15-26.1 Diseñe un recipiente a presión cilindrico que contendrá aire comprimido para una aparato de respiración autónoma utilizado por bomberos cuando trabajan en edificios invadidos de humo. El diámetro interno mínimo tiene que ser de 6.00 plg y la longitud de la porción cilindrica del tanque de15.0 plg. Debe soportar una presión de servicio de 4500 lb/plg2. Use un esfuerzo de diseño de s„/8 para tener en cuenta un gran número de ciclos de presurización. Además, verifique el diseño final con respecto a su capacidad de soportar una presión máxima de 13 500 lb/plg2 calculando el factor de diseño basado en la resistencia a la cedencia. El tanque tiene que ser de aleación de aluminio 6061-T6. Calcule el peso de sólo la porción cilindrica.

15-27.1 Repita el problema 15-26, pero use titanio Ti- 6A1-4V.

15-28.1 Repita el problema 15-26 pero use acero inoxidable 17-4PHH900.

15-29.1 Para cualquiera de los diseños del cilindro de aire SCBA de los problemas 15-26, 15-27 o 15-28, dibuje el tanque completo con cabezas hemisféricas en cada extremo. Muestre una lumbrera en un extremo para montar el mecanismo de descarga y el regulador de presión. Suponiendo que el espesor de pared de las cabezas es el mismo que el espesor de pared de la porción cilindrica, calcule el peso aproximado del tanque completo.

5 5 7

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15-30.1 Repita el problema 15-26 pero ahora use el material compuesto de grafito y resina epóxica incluido en la tabla 2-6 del capítulo 2 cuya resistencia a la tensión es de 278 ksi. Verifique el diseño final calculando el factor de diseño con respecto a resistencia a la tensión con la presión máxima de 13 500 lb/plg2. El tanque se cubrirá con una película polimérica delgada y se envolverá por completo con el compuesto unidireccional en un patrón circunferencial con el objeto de resistir el esfuerzo anular en el cilindro. Ignore la contribución del recubrimiento en el análisis y en el cálculo del peso. (Observe que el cilindro tal vez también requiera que se apliquen algunas capas en un patrón helicoidal para resistir el esfuerzo longitudinal y para permitir la formación de los extremos abovedados. Por consiguiente, el peso final será algo más elevado que el calculado para la parte circunferencialmente envuelta.)

15-31.1 Diseñe un tanque esférico para contener oxígeno a una presión de 3000 lb/plg2 con un diámetro interno de 18.0 plg. Use acero inoxidable AISI 501

T A R E A S D E C

1. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangencial en la pared de una esfera de pared delgada. Incluya el cálculo del diámetro medio y la relación del diámetro medio al espesor para verificar que sea de pared delgada.

2 . Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangencial en la pared de un cilindro de pared delgada. Incluya el cálculo del diámetro medio y la relación de éste al espesor para verificar que sea de pared delgada.

3. Escriba un programa para calcular el esfuerzo longitudinal en lapared deun cilindro de pared delgada. Incluya el cálculo del diámetro medio y la relación de éste al espesor para verificar que sea de pared delgada.

4 . Combine los programas de las tareas 2 y 3.

5. Combine los programas de las tareas 1,2 y 3 y deje que el usuario especifique si el recipiente es un cilindro o una esfera.

6. Reescriba los programas de las tareas 1,2 y 5 de modo que el objetivo sea calcular el espesor de pared requerido del recipiente a presión para producir un esfuerzo máximo a una presión interna dada.

7. Escriba un programa para calcular los esfuerzos longitudinal, anular y radial máximos en la pared de un cilindro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15—1.

5 5 8

OQT 1000 y un factor de diseño de 6 basado en la resistencia última. Calcule el peso del tanque.

15-32.1 Repita el problema 15-31 pero ahora con aleación de aluminio 7075-T6.

15-33.1 Repita el problema 15-31 pero ahora con aleación de titanio TÍ-6A1-4V.

15-34.M Diseñe un tanque cilindrico para gas natural comprimido a 4.20 MPa. El diámetro mínimo interno tiene que ser de 450 mm. Use aleación de aluminio 6061-T6 y un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última.

15-35.1 Diseñe un tanque cilindrico para aire comprimido que se usará para proporcionar servicio remoto para la reparación de llantas de camión. La presión del aire será de 300 lb/plg2. El diámetro interno mínimo del tanque tiene que ser de 24 plg. Use acero AISI 1040 estirado en frío y un factor de diseño de 8 basado en la resistencia última. Verifique el diseño final con respecto a una presión máxima de 900 lb/plg2 calculando el factor de diseño basado en la resistencia a la cedencia.


8. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangencial en cualquier radio dentro de la pared de un cilindro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15—1.

9 . Escriba un programa para calcular el esfuerzo radial en cualquier radio dentro de la pared de un cilindro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1.

10. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangencial en cualquier radio dentro de la pared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1.

11. Escriba un programa para calcular el esfuerzo radial en caulquier radio dentro de la pared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1.

12. Combine los programas de las tareas 8 a 11.

13. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo tangencial dentro de la pared de un cilindro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comience en el radio interior y especifique un número de incrementos de adentro hacia afuera.

14. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo radial dentro de la pared de un cilindro de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comience en el radio interior y especifique un número de incrementos de adentro hacia afuera.

C a p ítu lo 15 ■ R e c ip ie n te s a presión

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15. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo tangencial dentro de la pared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comience en el radio interior y especifique un número de incrementos de adentro hacia afuera.

16. Escriba un programa para calcular la distribución del esfuerzo radial dentro de lapared de una esfera de pared gruesa con las fórmulas de la tabla 15-1. Comience en el radio interior y especifique un número de incrementos de adentro hacia afuera.

17. Escriba un programa para realizar cálculos como los del problema 15-22.

18. Escriba un programa para realizar cálculos como los del problema 15-22, excepto que en este caso son para una esfera.

19. Escriba un programa para calcular el esfuerzo tangencial máximo en cualquier tubo cédula 40 estándar para una presión interna dada. Incluya una tabla de datos para las dimensiones de los tubos enumerados en el apéndice A-12. Incluya un procedimiento de verificación para ver si el tubo es de pared gruesa o delgada.

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16C onex iones


Los miembros de carga que forman parte de estructuras y máquinas deben actuar juntos para realizar sus funciones deseadas. Después de completar el diseño o el análisis de los miembros principales, se requiere especificar las conexiones adecuadas entre ellos. Como su nombre lo indica, las conexiones enlazan los miembros.

El objetivo primordial de este capítulo es proporcionar datos y m étodos de análisis para el diseño seguro de juntas remachadas, juntas atornilladas y juntas soldadas. Después de term inar el estudio de este capítulo, el lector será capaz de:

1. Describir la geometría típica de las juntas remachadas y atornilladas.

2. Identificar los modos probables de falla de una junta.

3. Reconocer los estilos típicos de remaches.

4. Identificar cuándo un sujetador está a cortante sim ple o a cortante doble.

5. Analizar una junta remachada o atornillada con respecto a su capacidad de resistir fuerza cortante.

6. A nalizaruna junta remachada o atornillada con respecto a su capacidad de resistir fuerza de tensión.

7. A nalizarunajunta remachada o atornillada con respectoa su capacidadde resis

tir esfuerzo de apoyo.

8. Usar los esfuerzos permisibles para conexiones de acero estructural publicadas por el American Institute o f Steel Construction (AISC).

9. Describir la diferencia entre una conexión tipo fricción y una conexión tipo apoyo y completar el análisis apropiado.

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10. Usar los esfuerzos permisibles para conexiones estructurales de aluminio publicadas por la Aluminum Association.

11. Analizar las juntas cargadas tanto simétrica como excéntricamente.

12. Analizar las juntas soldadas con cargas concéntricas.

1 6 - 2 T IP O S D E C O N E X IO N E S

Las estructuras y los dispositivos mecánicos dependen de las conexiones entre los elementos de carga para mantener su integridad. Las conexiones constituyen la ruta por la que las cargas se transfieren de un elemento a otro.

Los tres tipos comunes de conexiones son las remachadas, la soldadas y las atornilladas. Lafigura 16-1 muestra una tolva para almacenar material a granel suspendida por soleras rectangulares de una viga en T. Durante la fabricación de la tolva, se soldaron orejetas de apoyo en el exterior de la paredes laterales. Las orejetas contienen un arreglo de agujeros, que permiten que las soleras se atornillen en el sitio de ensamble. Antes de la instalación de la viga en T, las soleras se remacharon en su alma.

F IG U R A 16-1 Ilustración de tres tipos de juntas: rem achada, atornillada y soldada.

S ecc ión 1 6 -2 ■ T ipos de conex iones 561

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de gota de latonero plana

Cabeza

avellanada

plana

Cabeza

avellanada

oval

A vellanada,sem itubular

Ovalada

sem itubular

F IG U R A 16-3 Ejem plos de estilos de remaches.

y sujetan las dos placas. En una buena junta remachada, el cuerpo del remache también se recalca un poco, loque provoca que llene por completo el agujero. Así se forma unajunta apretada que no permite el movimiento relativo de los miembros unidos.

Cuando la junta se somete a una fuerza de tensión, se transmite una fuerza cortante a través de la sección transversal de los remaches entre las dos placas. Por tanto la falla por cortante es un modo de falla de junta. El cuerpo del remache debe ejercer presión contra el material de las placas que se van a unir, con la posibilidad de falla por apoyo o aplastamiento. Esto provocaría el aplastamiento del material, normalmente en las placas. Lafalla por tensión de las placas que se van a unir se debe investigar porque la presencia de los agujeros para los remaches provoca que la sección transversal del material en la junta sea menor que en la parte principal del miembro sometido a tensión. El cuarto modo de falla posible es desprendimiento de extremo, en el cual el remache hace que el material entre el borde de la placa y el agujero se desprenda.

Las juntas remachadas y atornilladas adecuadamente diseñadas deben tener una distancia del centro del remache o tomillo al borde de la placa que se va a unir de por lo menos dos veces el diámetro del tomillo o remache. La distancia al borde se mide en la dirección hacia la cual está dirigida la presión de apoyo. Si se hace caso a esta recomendación, entonces no debe ocurrir el desprendimiento del borde. Esto se supondrá en los ejemplos de este capítulo. Así pues los modos de falla por cortante, apoyo y tensión sólo se considerarán al evaluar la resistencia de la junta.

Las juntas soldadas fallan por cortante en el m aterial de la soldadura o por fractura del metal base de las partes unidas por las soldaduras. U najun ta adecuadam ente fabricada y con buen diseño, que se suelda, siempre fallará en el metal base. Por tanto el objetivo del diseño de las conexiones soldadas es determ inar el tamaño y la longitud requeridos de la soldadura en la junta.

1 6 - 4 C O N E X IO N E S R E M A C H A D A S

En las conexiones remachadas, se supone que las placas unidas no están fuertemente sujetas entre sí como para provocar fuerzas de fricción entre ellas y transmitir cargas. Por

Conexiones remachadas 5 6 3

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consiguiente, los remaches ejercen presión en los agujeros, y se debe investigar la falla por apoyo. También podría ocurrir la falla tanto por cortante como por tensión. El método

de análisis de estos tres modos de falla se describe a continuación.

F alla p o r c o rta n te . Se supone que el remache se ve sometido a cortante directo cuando se aplica una carga de tensión a la junta, siempre que la línea de acción de la carga pase por el centroide de la disposición de remaches. También se supone que la carga total aplicada se reparte por igual entre todos los remaches. La capacidad de una junta con

respecto a cortante del remache es:

F, = t „ A , (16-1)

en donde Fs = capacidad de la jun ta a cortante

T„ = esfuerzo cortante permisible en los remaches

A, = área sometida a cortante

El área sometida a cortante depende del número de secciones transversales de remaches disponibles para resistir el cortante. Si este número se designa

A, =N , t t D

(16-2)

en donde D es el diámetro del remache. En algunos casos, sobre todo en el caso de remaches hincados calientes, el cuerpo se dilata para llenar el agujero, y por tanto de dispone de un área mayor para resistir el cortante. Sin embargo, el incremento es pequeño, y en

este caso se usará sólo el diámetro nominal.Para determinar N„ se debe observar si existe cortante simple o cortante doble en

la junta. La figura 16-2 muestra un ejemplo de cortante simple. Sólo una sección transversal de cada remache resiste la carga aplicada. Luego N¡ es igual al número de remaches en la junta. Las soleras utilizadas para soportar la tolva mostrada en la figura 16-1 pone a los remaches y tomillos a cortante doble. Dos secciones transversales de cada remache resisten la carga aplicada. Por tanto Ns es dos veces el número de remaches en la junta.

F a lla p o r a p o y o . Cuando un remache cilindrico ejerce presión contra la pared de un agujero en la placa, existe una presión no uniforme entre ellas. Como una simplificación de la distribución del esfuerzo real, se supone que el área sometida a apoyo, Ah es el área rectangular calculada multiplicando el espesor de la placa t por el diámetro del remache D. Esta área se puede considerar como el área proyectada del agujero del remache. Por tanto la capacidad de resistir apoyo o aplastamiento de una junta es:

Fb = a-baAb (16-3)

en donde Fk = capacidad de la junta de resistir al apoyo o aplastamiento

(jfa = esfuerzo de apoyo permisible

área sometida a apoyo = N¡pt

número de superficies sometidas a apoyo

A„ =

N„ =

t = espesor de las placas

(16-4)

C a pítu lo 16 ■ C onexiones

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F a lla p o r te n s ió n . U na fuerza de tensión directa aplicada a través del centroide del arreglo de remaches produce un esfuerzo de tensión. Por tanto la capacidad de la junta a tensión sería:

F, = <rmA, (16-5)

en donde F, = capacidad de la junta a tensión

a,a = esfuerzo permisible a tensión

A, = área neta sometida a tensión

La evaluación de A, requiere la sustracción del diámetro de todos los agujeros del ancho de las placas que se van a unir. Por consiguiente:

A, = (w - NDH)t (16-6)

en donde w = ancho de la placaD„ = diámetro del agujero (en estructuras se usa Df,= D + l /1 6 p lg o D

= 2m m )N = número de agujeros en la sección de interés t = espesor de las placas

1 6 - 5 E S F U E R Z O S P E R M IS IB L E S

En el caso de m iem bros no cubiertos por reglam entos y especificaciones, los esfuerzos perm isibles se pueden determ inar con los factores de diseño presentados en el apéndice A -20. Para el diseño de estructuras de acero para edificios, por lo general se usan las especificaciones del A m erican Institute o f Steel Construction (A ISC) (1).

T A B L A 1 6-1 Esfuerzos perm isib les para conexiones de acero estructural

R em aches

E sfuerzo cortan te perm isib le

ksi M Pa

Esfuerzo de tensión perm isible

ksi M Pa

A STM A 502

G rado 1 17.5 121 23 159

G rado 2 22 152 • 29 200

E sfuerzo cortan te perm isib let Esfuerzo de tensión perm isible

Tom illos ksi M Pa ksi M Pa

A STM A325 17.5 121 44 303

A STM A490 22 152 54 372

M iem bros conectados Esfuerzo cortante p e rm isib le^ Esfuerzo de tensión perm isible*

Todas las aleaciones 1.20j „ 0. 6<s v

•E specificac iones AISC.

f Para conexión de fricción. Para conexión de apoyo sin roscas en la p lano de cortan te, use 30 ksi

(207 M Pa) para A32S y 40 ksi (276 M Pa) para A490.

* V éase e l apéndice A - l 5 con respecto a aceros estructurales.

^E1 esfuerzo de apoyo n o se considera en las jun tas atornilladas de fricción.

S ecc ión 1 6 -5 ■ E s fue rzos pe rm isib les

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T A B L A 1 6 -2 E sfuerzos perm isibles para conexiones estructurales de a lu m in io .

R em aches

A leación y tem ple E sfuerzo cortante perm isible

A ntes de h incarlos D espués de hincarlos* ksi M Pa

1100-H14 1100-F 4 272017-T4 2017-T3 14.5 1006053-T61 6053-T61 8.5 586061-T6 6061-T6 11 76

Tornillos

Esfuerzo cortante perm isible* E sfuerzo de tensión perm isible*

A leación y tem ple ksi M Pa ksi MPa

2024-T4 16 110 26 1796061-T6 12 83 18 1247075-T73 17 117 28 193

M iem bros conectados

Esfuerzo de apoyo perm isible

A leación y tem ple ksi M Pa

1100-H14 12.5 862014-T6 49 3383003-H 14 15 1036061-T6 34 234

6063-T6 24 165

Fuente'. A lum inum A ssociation, Specificationsfor Aluminum Structures, 5a. ed., W ashington, D C , 1986.

* T odos los h incados en frío.

* L os esfuerzos están basados en el área correspondiente al d iám etro nom inal del tom illo a m enos que las

roscas queden en el plano de cortante. P or tanto, e l área cortante se basa en el diám etro de raíz.

Para estructuras de aluminio, la A luminum A ssociation publicó sus Specifications fo r Aluminum Structures (2). La tabla 16-1 da esfuerzos perm isibles para estructuras de acero. La tabla 16-2 resume algunos esfuerzos permisibles para aluminio.

C O N E X IO N E S A T O R N IL L A D A S

El análisis de conexiones atornilladas es igual al de conexiones remachadas si se permite que el tomillo ejerza apoyo en el agujero, como en una conexión sometida a apoyo. Esto ocurriría en las juntas donde la fuerza de sujeción provista por los tom illos es pequeña. Sin embargo, la mayoría de las conexiones atornilladas se hacen con tom illos de alta resistencia, como los A325 y A490, apretados a un elevado nivel de tensión. Las grandes fuerzas de sujeción resultantes forman una junta de fricción donde las fuerzas de fricción entre las dos superficies acopladas transmiten la mayor parte de la carga soportada por la junta. Los tomillos también se diseñan para cortante, con las resistencias enumeradas en la tabla 16-1. Pero el esfuerzo de apoyo no se considera en una junta de fricción.

C apítu lo 16 ■ C onex iones

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F a l la p o r t e n s i ó n . L a s p l a c a s fa l la r ía n a t e n s ió n a t r a v é s d e u n a s e c

c ió n q u e p a s a p o r lo s a g u je r o s d e lo s r e m a c h e s , c o m o s e in d ic a e n la

f ig u ra 1 6 - 2 (c ) .

F, = cr,aA ,

S e g ú n la ta b la 1 6 - 1 :

= 0 .6 s y = 0 .6 (3 6 0 0 0 lb /p lg 2) = 21 6 0 0 lb /p lg 2

El á r e a n e ta s o m e tid a a te n s ió n , s u p o n ie n d o q u e D H= D + 1 /1 6 p lg , e s :

A, = (w-NDH)t= [2 .0 p lg - 2 ( 0 . 2 5 + 0 .0 6 3 ) plg] (0 .2 5 p lg )

= 0 .3 4 4 p lg 2

L a c a p a c id a d d e la ju n ta a t e n s ió n e s :

F, = (21 6 0 0 lb /p lg 2)(0 .3 4 4 p lg 2) = 7 4 2 5 Ib

C o m e n t a r i o C o m o la fa lla p o r c o r ta n te o c u rr ir ía c o n u n a c a r g a d e 1 7 1 5 Ib, é s a e s la

c a p a c id a d d e la ju n ta .

E je m p lo D e te rm in e la c a r g a p e rm is ib le p a r a u n a ju n ta d e la s m is m a s d im e n s io n e s q u e la ju n ta de l

1 6 - 2 e je m p lo 16 -1 , p e r o a h o r a u s e d o s to rn illo s A S T M A 4 9 0 d e 3 /8 p lg d e d iá m e tro e n u n a

c o n e x ió n d e a p o y o s in r o s c a s e n e l p la n o d e c o r ta n te .


D a to s

A n á l i s i s

C a lc u la r la c a r g a p e rm is ib le e n la ju n ta .

E s p e s o r d e la s p l a c a s = t = 0 .2 5 plg; a n c h o d e la s p l a c a s = m = 2 .0 0 plg

L a s p l a c a s s o n d e a c e r o e s tru c tu r a l A S T M A 3 6 .

T o rn illo s: D iá m e tro = D = 0 .3 7 5 p lg ; A S T M A 4 9 0

C o n e x ió n tip o a p o y o ; s in r o s c a s e n e l p la n o d e c o r ta n te .

Al igual q u e e n e l e je m p lo 1 6 - 1 , s e in v e s t ig a r á n la fa lla p o s ib le a c o r ta n

te , a p o y o y te n s ió n . El m e n o r d e lo s t r e s v a lo r e s e s la c a r g a lím ite e n la

ju n ta .

R e s u l t a d o s F a lla p o r c o r ta n te

Fs = *• As

ra = 4 0 0 0 0 lb /p lg 2

„ _ 2 ^ (0 .3 7 5 p lg )2

S = 4

P o r lo ta n to :

(N o ta al p ie d e la ta b la 1 6 - 1 )

= 0 .2 2 1 p lg 2

5 6 8

Fs = (4 0 0 0 0 lb /p lg 2)(0 .2 2 1 p lg 2) = 8 8 4 0 Ib

C apítu lo 16 ■ C onexiones

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F a lla p o r a p o y o

F b = o b a A b

oba = 1 .2 0 (5 8 0 0 0 lb /p lg 2) = 6 9 6 0 0 psi

A b = Nb D t = (2 )(0 .3 7 5 p lg )(0 .2 5 p lg ) = 0 .1 8 8 p lg 2


F„ = (6 9 6 0 0 lb /p lg 2) (0 .1 8 8 lb /p lg 2) = 1 3 0 5 0 Ib

F a lla p o r te n s ió n

= otg A t

o¡a = 0 .6 (3 6 0 0 0 lb /p lg 2) = 21 6 0 0 lb /p lg 2

A, = [2 .0 plg - 2 (0 .3 7 5 + 0 .0 6 3 ) p lg ](0 .2 5 p lg ) = 0 .281 p lg 2


F, = (21 6 0 0 lb /p lg 2)(0 .2 8 1 p lg 2) = 6 0 7 0 Ib

C o m e n t a r i o E n e s t e c a s o la c a p a c id a d a t e n s ió n e s la m e n o r , a s í q u e la c a p a c id a d d e la ju n ta e s d e 6 0 7 0 Ib.

1 6 - 8 J U N T A S R E M A C H A D A S Y A T O R N IL L A D A S

E X C É N T R IC A M E N T E C A R G A D A S

Las juntas previamente consideradas se limitaron a casos en los que la línea de acción de la carga en la junta pasaba por el centroide del arreglo de remaches o tomillos. En esos casos, la carga aplicada se reparte por igual entre todos los sujetadores. Cuando la carga no pasa por el centroide del arreglo de sujetadores, se llama junta cargada excéntricamente, y en los sujetadores ocurre una distribución no uniforme de fuerzas.

En juntas excéntricamente cargadas, se debe considerar el efecto del momento o par en el sujetador. La figura 16-4 muestra una ménsula afianzada unida a la cara de una columna y utilizada para soportar un motor eléctrico. La fuerza neta dirigida hacia abajo por el peso del motor y la tensión de la banda actúa a una distancia a del centro del patín de la columna. Por tanto el sistema de fuerzas total que actúa en los tom illos de la ménsula se compone de la fuerza cortante directa P más el momento P x a. Cada una de estas componentes se puede considerar por separado y luego sumadas utilizando el principio de superposición.

La figura 16-5(a) muestra que por lo que se refiere a la fuerza cortante P, se supone que cada tomillo soporta unaparte igual de la carga, como en las juntas concéntricamente cargadas. Pero en la parte (b) de la figura, debido al momento, cada tomillo se ve sometido a una fuerza que actúa perpendicular a una línea radial que parte del centroide del

S ecc ión 1 6 -8 ■ Jun tas rem acha das y a to rn illadas excén tricam en te cargadas 5 6 9

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F IG U R A 1 6 -4 C arga excéntrica en una ju n ta atornillada.

arreglo de tomillos. Se supone que la magnitud de la fuerza en un tom illo producida por el momento es proporcional a su distancia r del centroide. Esta magnitud es:

R, =Mr,

( 1 6 - 7 )

en donde R¡ = fuerza cortante en el tomillo i debido al momento M r¡ = distancia radial al tom illo i a partir del centroide del arreglo

de tomillosZ r2 = suma de las distancias radiales a todos los tom illos del

arreglo elevadas al cuadrado

Si es más conveniente trabajar con componentes horizontales y verticales, se pue

den determinar como sigue:

R,< =

Rn =

My, = My,

2>2 2(*2 + / )

Mx¡ _ Mx¡

Z ^ = S (*2 + y2)

( 1 6 - 8 )

( 1 6 - 9 )

en donde = distancia vertical al tomillo i a partir del centroidex¡ = distancia horizontal al tomillo i a partir del centroide

Z(jc2 + y> = sum a de las distancias horizontales y verticales elevadas al cuadrado de todos los tom illos que integran el arreglo

Por último, todas las fuerzas horizontales y todas las fuerzas verticales se suman para cualquier tomillo particular. En seguida se determina la resultante de las fuerzas

horizontales y verticales.

C ap ítu lo 16 ■ C onexiones

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P a r a d e te r m in a r la f u e rz a e n c a d a to rn illo p ro d u c id a p o r la f u e rz a c o r ta n

t e v e r tic a l d i r e c ta P = 2 6 .4 kN , s e s u p o n e q u e c a d a u n o d e lo s s e i s to rn i

llo s s o p o r ta u n a p a r te ig u a l d e la c a r g a . P o r t a n te s e u s a r á n la s e c u a c io

n e s ( 1 6 - 8 ) y ( 1 6 - 9 ) p a r a c a lc u la r la s f u e r z a s q u e a c tú a n e n e l to rn illo

so m e tid o a m a y o r e s fu e rz o p a ra re s is tir la c a r g a d e l m o m e n to , e n d o n d e :

M = P x a

L a s f u e r z a s r e s u l t a n te s s e c o m b in a r á n v e c to r ia lm e n te p a r a d e te r m in a r

la c a r g a r e s u l ta n te e n e l to rn illo s o m e tid o a m a y o r e s f u e r z o . P o r t a n t e el

t a m a ñ o re q u e r id o d e e s e to rn illo s e c a lc u la r á b a s a d o e n e l e s fu e r z o

c o r ta n te p e rm is ib le p a r a to rn illo s A S T M A 3 2 5 .

F ue rza c o r ta n te d ire c ta . L a f u e rz a c o r ta n te to ta l d ir ig id a h a d a a b a jo

s e r e p a r te e n t r e s e i s to rn illo s . P o r c o n s ig u ie n te la c a r g a e n c a d a to rn illo ,

l la m a d a R p, e s :

P 2 6 .4 kN A A . . . fl(, = - = - _ _ - = 4 .4 k N

L a f ig u ra 1 6 - 5 ( a ) m u e s tr a q u e é s t a e s u n a f u e r z a d e r e a c c ió n d irig id a

h a c ia a r r ib a e n c a d a to rn illo .F ue rza s q u e re s is te n e l m o m e n to . E n l a s e c u a c io n e s ( 1 6 - 8 ) y ( 1 6 -9 ) ,

s e r e q u ie r e e l té rm in o s ig u ie n te :

2 ( x 2 + y 2) = 6 (100 m m )2 + 4 (7 5 m m )2 = 8 2 5 0 0 m m 2

El m o m e n to e n la ju n ta e s :

M = P x a = 2 6 .4 kN (0 .75 m) = 19.8 kN m

C o m e n z a n d o c o n e l to rn illo 1 a r r ib a a la d e r e c h a ( v é a s e la f ig u ra 1 6 -6 ) :

M y , 19.8 kN m (7 5 m m ) 103 m m

’* = £ ( x 2 + y 2) ~ 8 2 5 0 0 m m 2 m

( a c tú a h a c ia la iz q u ie rd a )

_ (19.8 k N m )(1 0 0 m m ) x 103 m m

£ ( x 2 + y 2) 8 2 5 0 0 m m 2 m

R u = 18.0 kN

R - M*'“ 1 y ~

R,r = 2 4 .0 kN t ( a c tú a h a c ia a r r ib a )

A h o ra y a s e p u e d e d e te r m in a r la r e s u l t a n te d e e s t a s f u e r z a s . E n la d ire c

c ió n v e r tic a l, Rpy R 1ya c tú a n h a c ia a r r ib a .

R „ + R iy = 4 .4 kN + 2 4 .0 kN = 2 8 .4 kN

S ó lo R u a c tú a e n la d ire c c ió n h o r iz o n ta l . S i la f u e r z a r e s u l t a n te e n el

to rn illo 1, s e d e n o m in a R (1:

R n = V 2 8 .4 2 + 18.02 = 33 .6 kN

C a pítu lo 16 ■ C onex iones

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la carga. El esfuerzo cortante máximo ocurre en la garganta del filete (véase la figura16-7), donde el espesor es 0.707 veces el tamaño nominal de la soldadura. Por tanto el esfuerzo cortante en la soldadura producido por la cargaP es:

t = — ( 1 6 - 1 0 )

Lt

en donde L es la longitud de la soldadura y t es el espesor de la garganta. La ecuación (16—10) seusasólo para miembros concéntricamente cargados. Esto requiere que la línea de acción de la fuerza en las soldaduras pase por el centroide del arreglo de la soldadura. La excentricidad de la carga produce un m om ento, adem ás de la fuerza cortante directa, el cual debe ser resistido por la soldadura. Las referencias 1, 3 y 4 al final de este capítulo contienen inform ación pertinente con respecto a ju n ta soldadas excéntricam ente cargadas.

En la soldadura de arco eléctrico, utilizada principalmente en conexiones estructurales, normalmente se usa una varilla de aporte para agregar metal a la zona soldada. Cuando las dos partes que se van a imir se calientan al rojo, se agrega el metal de aporte, el cual se combina con el metal base. Al enfriarse, el metal de soldadura resultante normalmente es más fuerte que el metal base original. Por consiguiente, una junta soldada diseñada y hecha de manera adecuada debe fallar en el metal base y no en la soldadura. En la soldadura estructural, a los electrodos se les asigna un código que comienza con una E seguida de dos o tres dígitos, es decir E60, E80 o E100. El número denota la resistencia última a la tensión en ksi del metal de soldar contenido en la varilla. Así pues, una varilla E80 tendría una resistencia a la tensión de 80 000 lb/plg2. Se pueden agregar otros dígitos al número de código para denotar propiedades especiales. Las normas ASTM A233 y A 316 contienen especificaciones completas. El esfuerzo cortante permisible para soldaduras de filete utilizando electrodos es 0.3 veces la resistencia a la tensión del electrodo según el AISC. La tabla 16-3 enumera algunos electrodos comunes y sus esfuerzos permisibles.

Los productos de aluminio se sueldan con un proceso de arco protegido y gas inerte o un proceso de soldadura por resistencia. Para el proceso de arco protegido y gas inerte, la Aluminum Association especifica aleaciones de aporte para unir aleaciones de metal base particulares, como se indica en la tabla 16-4. Se dan los esfuerzos cortantes permisibles para tales soldaduras. Es de hacerse notar que el calor de la soldadura reduce las propiedades de la mayoría de las aleaciones de aluminio a 1.0 plg de la soldadura, por lo que esto se debe tener en cuenta en el diseño de ensambles soldados.

T A B L A 1 6-3 Propiedades de electrodos de soldar para acero.

T ipo de

electrodo

R esistencia a la

tensión m ínim a

Esfuerzo cortante

perm isible M etales

típicos

unidosksi M Pa ksi M Pa

E60 60 414 18 124 A36, A500

E70 70 483 21 145 A242, A441

E80 80 552 24 165 A572, G rado 65

E90 90 621 27 186 —

E100 100 690 30 207 — .

E110 110 758 33 228 A514

S ecc ión 1 6 -9 ■ Jun tas so ldadas con ca rgas concén tricas 5 7 5

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S e a r ig u a l a l e s f u e r z o p e rm is ib le d e 18 ks¡, d a d o e n la ta b la 1 6 - 3 . El

e s p e s o r í e s :

í = 0 .7 0 7 (f p lg ) = 0 .2 6 5 plg

A h o ra s e p u e d e r e s o lv e r p a r a P.

P = raL t= (1 8 0 0 0 I b / p I g ^ . O p lg ) (0 .2 6 5 p lg ) = 3 8 2 0 0 Ib

B I B L I O

1. A m e r ic a n In s t i tu te o f S te e l C o n s tr u c t io n , M a n u a l o f

Steel C o n stru c tio n , 9 th e d . , C h ic a g o , IL , 1989.

2. A lu m in u m A s s o c ia t io n , S p ec ifica tio n s f o r A lum inum

S tru c tu res, 5 th e d . , W a s h in g to n , D C , 1986.

3. B lo d g e tt , O .W ., D esign o fW e ld m e n ts , J a m e s F. L in c o ln

A re W eld in g F o u n d a tio n , C le v e la n d , O H , 1963.

P R

16-1.1 Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-9. Los sujetadores son remaches de acero ASTM A502, grado 1. Las placas son de acero ASTM A36.

16-2.1 Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-10. Los sujetadores son remaches de acero ASTM A502, grado 2. Las placas son de acero ASTM A242.

16-3.1 Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-9. Los sujetadores son tomillos de acero ASTM A325 que forman una junta de fricción. Las placas son de acero ASTM A242.

16-4.1 Determine las cargas permisibles en las juntas mostradas en la figura 16-10. Los sujetadores son tomillos de acero ASTM A490 que forman una junta de fricción. Las placas son de acero ASTM A514.

16-5.1 Determine el diámetro requerido de los tomillos utilizados para fijar la viga en voladizo en la columna, como se muestra en la figura 16-11. Use tomillos de acero ASTM A325.

16 -6 .M Diseñe la conexión del canal con la columna para el soporte colgante mostrado en la figura 16-12. Ambos miembros son de acero ASTM A36. Especifique el tipo de sujetador (remache, tornillo), y el arreglo y separación, el número de sujetadores y el material para los sujetadores. Use especificaciones del AISC.

P rob lem as

R A F I A

4 . M o tt, R . L ., M achine E lem en ts in M ech a n ica l D esign,

2 n d e d „ M e r r i l l , a n im p r in t o f M a c m illa n P u b lish in g

C o ., N ew Y o rk , 1992.

B L E M A S

16-7.1 Para la conexión mostrada en la figura 16-9(a), suponga que, en lugar de los dos remaches, las dos placas se soldaron de un extremo a otro de las placas de 3 plg de ancho con soldaduras de 5/16 plg. Las placas son de acero ASTM A36 y se usa la técnica de soldadura de arco eléctrico con electrodos E60. Determine la carga permisible en la conexión.

16-8.1 Determine la carga permisible en la junta mostrada en la figura 16-10(c) si se aplicaron soldaduras de 1/4 plg utilizando electrodos E70 a lo largo de los dos extremos de las cubreplacas de acero ASTMA242.

16 -9 .M Diseñe la junta en el extremo superior de las soleras mostradas en la figura 16-1. Si la carga total en la tolva es de 54.4 megagramos (Mg). La viga es un perfil WT12 x 34 de acero ASTM A36 con alma de 10.6 mm de espesor. La altura vertical libre del alma es aproximadamente de 250 mm. Use remaches de acero y especifique el arreglo, el número de remaches, el diámetro de los remaches, el material de los remaches, el material y las dimensiones de las soleras. Especifique las dimensiones, utilizando los tamaños métricos mostrados en el apéndice A-2.

1 6 -1 0 .M Diseñe la junta en el extremo inferior de las soleras mostradas en la figura 16-1 si la carga total en la tolva es de 54.4 Mg. Use tomillos de acero y una conexión de apoyo. Especifique el arreglo, el

' 5 7 7

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F IG U R A 1 6-9 Jun tas de los problem as 16-1 y 16-3 .

C a pítu lo 16 ■ C o ne x ion es

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número de tornillos, el diámetro de los tomillos, el material de los tomillos, y el material y las dimensiones de las soleras. Tal vez desee coordinar el diseño de las soleras con los resultados del problema 16-9. El diseño de la orejeta del problema16-11 también se ve afectado por el diseño de la junta atornillada.

16-1 l.M Diseñe la orejeta que se va a soldar en la tolva para conectar las soleras de apoyo, como se muestra en la figura 16-1. La carga en la tolva es de 54.4 Mg. El material del que está hecho la tolva es acero ASTM A36. Especifique el ancho y el espesor de la orejeta y el diseño de la junta soldada. Tal vez desee coordinar el diseño de la orejeta con la conexión atornillada del problema 16-10.

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A -2 T am años básicos preferidos

Fracciones (plg)

M étricos (m m )

D ecim ales (plg) Prim ero Segundo Prim ero Segundo Prim ero Segundo

¿ 0.015 625 5 5.000 0.010 2.00 8.50 1 10 100

¿ 0 .03125 5 ; 5.250 0.012 2.20 9.00 1.1 11 110

0 .0625 5 ; 5.500 0.016 2.40 9.50 1.2 12 120

¿ 0.093 75 5 j 5.750 0.020 2.60 10.00 1.4 14 140

i 0 .1250 6 6.000 0.025 2.80 10.50 1.6 16 160

¿ 0 .15625 65 6.500 0.032 3.00 11.00 1.8 18 180

i 0 .1875 7 7.000 0.040 3.20 11.50 2 20 200

i 0 .2 5 0 0 7 5 7.500 0.05 3.40 12.00 2.2 22 220

^ 0 .3125 8 8.000 0.06 3.60 12.50 2.5 25 250

| 0 .3750 85 8.500 0.08 3.80 13.00 2.8 28 280

1h 0.437 5 9 9.000 0.10 4.00 13.50 3 30 300

¿ 0 .5000 9 ; 9.500 0.12 4.20 14.00 3.5 35 350

Ti 0 .5625 10 10.000 0.16 4.40 14.50 4 40 400

f 0.625 0 1 0 ; 10.500 0.20 4.60 15.00 4.5 45 450

ü 0.687 5 11 11.000 0.24 4.80 15.50 5 50 500

; 0 .7500 11 ; 11.500 0.30 5.00 16.00 5.5 55 550

¡ 0 .8 7 5 0 12 12.000 0.40 5.20 16.50 6 60 600

1 1.000 1 2 ; 12.500 0.50 5.40 17.00 7 70 700

1.250 13 13.000 0.60 5.60 17.50 8 80 800

1¿ 1.500 13* 13.500 0.80 5.80 18.00 9 90 900

l j 1.750 14 14.000 1.00 6.00 18.50 1000

2 2.000 14 j 14.500 1.20 6.50 19.00

2 ; 2.250 15 15.000 1.40 7.00 19.50

2 j 2.500 1 5 ; 15.500 1.60 7.50 20.00

2 \ 2.750 16 16.000 1.80 8.00

3 3.000 1 6 ; 16.500

3 ¿ 3.250 17 17.000

3 5 3.500 17 5 17.500

3 j 3.750 18 18.000

4 4.000 1 8 ; 18.500

4 ; 4.250 19 19.000

4 j 4.500 19* 19.500

4 Í 4.750 20 20.000

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A -3 R oscas de tom illos

(a) D im ensiones de roscas A m erican Standard, tamaños num erados

Roscas gruesas: UNC R oscas finas: UNF

Tam año

Diám etro m ayor

básico, D

(plg)

Hilos por

pulgada, n

Área a esfuerzo

de tensión

(Plg2)

Hilos por

pulgada, n

Área a esfuerzo de tensión

(p ig2)

0 0 .0600 — — 80 0.001 80

1 0.073 0 64 0.00263 72 0.002 78

2 0.0860 56 0.003 70 64 0.00394

3 0 .0990 48 0.004 87 56 0.005 23

4 0 .1120 40 0.00604 48 0.00661

5 0 .1250 40 0.00796 44 0.008 30

6 0 .1380 32 0.00909 40 0.010 15

8 0 .1640 32 0.0140 36 0.014 74

10 0 .1900 24 0.0175 32 0.0200

12 0 .2160 24 0.024 2 28 0.025 8

(b) D im ensiones de roscas Am erican Standard, tamaños en fracciones

Roscas gruesas: UNC Roscas finas: U NF

Tamaño

D iám etro m ayor b ásico ,/)

(pig)

Hilos por

pulgada, n

Área a esfuerzo

de tensión

(pig2)

Hilos por

pulgada, n

Área a esfuerzo

de tensión

(p ig2)

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(c) Dimensiones de roscas métricas

'iám etro m a y o r

b á s ic o , D

(m m )

R o sc a s g r u e sa s R o sc a s f in a s

P a so

(m m )

A rea a e s fu e r z o

de te n s ió n

(m m 2)

P a so

(m m )

A rea a e s fu e rz o

d e ten s ió n

(m m 2)

1 0 .2 5 0 .4 6 0 ___ __

1.6 0 .3 5 1.27 0 .2 0 1.57

2 0 .4 2 .0 7 0 .2 5 2 .4 5

2 .5 0 .4 5 3 .3 9 0 .3 5 3 .7 0

3 0 .5 5 .0 3 0 .3 5 5.61

4 0 .7 8 .7 8 0 .5 9 .7 9

5 0 .8 14.2 0 .5 16.1

6 1 20.1 0 .7 5 2 2 .0

8 1.25 3 6 .6 1 3 9 .2

10 1.5 5 8 .0 1.25 6 1 .2

12 1.75 8 4 .3 1.25 92 .1

16 2 157 1.5 167

2 0 2 .5 24 5 1.5 2 7 2

2 4 3 35 3 2 3 8 4

3 0 3.5 561 2 621

3 6 4 8 1 7 3 8 6 5

4 2 4 .5 1 121 — —

4 8 5 1 4 7 3 — —

5 8 7

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OI0000

A - 4 Propiedades de v igas de madera estándar

Tamaño

nominal

Tam año real Área de sección M om ento de inercia, Ix M ódulo de sección , 5 ,

Plg mm Plg2 m m z X 10~3 Plg4 m m 4 X 10~6 Plg3 m m 3 X 10~J

2 X 4 1.5 X 3 .5 3 8 X 89 5 .2 5 3 .3 9 5 .3 6 2 .2 3 3 .0 6 50 .1

2 X 6 1.5 X 5 .5 3 8 X 140 8 .2 5 5 .3 2 20.8 8.66 7 .5 6 124

2 X 8 1.5 X 7 .2 5 3 8 X 184 1 0 .87 7 .01 4 7 .6 19.8 1 3 .1 4 2 1 5

2 X 10 1.5 X 9 .2 5 3 8 X 2 3 5 13 .87 8 .9 5 9 8 .9 4 1 .2 2 1 .4 3 51

2 X 12 1.5 X 1 1 .2 5 3 8 X 2 8 6 1 6 .87 10.88 178 74.1 3 1 .6 5 1 8

4 X 4 3 .5 X 3 .5 8 9 X 8 9 12 .25 7 .9 0 12.51 5.21 7 .1 5 117

4 X 6 3 .5 X 5 .5 8 9 X 140 19 .25 1 2 .42 4 8 .5 20.2 1 7 .65 2 8 9

4 X 8 3 .5 X 7 .2 5 8 9 X 184 2 5 .4 1 6 .3 9 111.1 4 6 .2 3 0 .7 5 0 3

4 X 10 3 .5 X 9 .2 5 8 9 X 2 3 5 3 2 .4 2 0 .9 0 231 96 .1 4 9 .9 8 1 8

4 X 12 3 .5 X 1 1 .2 5 8 9 X 2 8 6 3 9 .4 2 5 .4 2 4 1 5 172 7 3 .9 12116 X 6 5 .5 X 5 .5 1 4 0 X 140 3 0 .3 1 9 .55 7 6 .3 3 1 .8 2 7 .7 4 5 4

6 X 8 5 .5 X 7 .5 1 4 0 X 191 4 1 .3 2 6 .6 5 193 8 0 .3 5 1 .6 8 4 6

6 X 10 5 .5 X 9 .5 1 4 0 X 241 5 2 .3 3 3 .7 4 3 9 3 164 8 2 .7 1355

6 X 12 5 .5 x 11 .5 1 4 0 X 2 9 2 6 3 .3 4 0 .8 4 6 9 7 2 9 0 121 1983

8 X 8 7 .5 X 7 .5 191 X 191 5 6 .3 3 6 .3 2 2 6 4 110 7 0 .3 115 2

8 X 10 7 .5 X 9 .5 191 X 241 7 1 .3 4 6 .0 0 5 3 6 2 2 3 113 185 2

8 X 12 7 .5 X 11 .5 191 X 2 9 2 8 6 .3 5 5 .6 8 951 3 9 6 165 2 7 0 4

10 X 10 9 .5 X 9 .5 24 1 X 241 9 0 .3 5 8 .2 6 6 7 9 2 8 3 143 2 3 4 3

10 X 12 9 .5 X 11 .5 24 1 X 2 9 2 1 09 .3 7 0 .5 2 1 204 501 2 0 9 3 4 2 5

12 X 12 11 .5 X 11 .5 2 9 2 X 2 9 2 132 .3 8 5 .3 5 1 458 6 0 7 2 5 3 4 1 4 6

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A -5 P ropiedades de ángulos de acero

Patas iguales y patas desiguales

Perfiles L*

D e s ig n a c ió n

Á rea

( p ie 2)

P e so

p o r

p ie

(Ib )

E je X -X E je Y-Y E je Z - Z

/

(P lg 4)

S

(P lg 3)

y

(p lg )

/

(P lg 4)

S

(P lg 3)

X

(p lg )

r

(p ig )

a(g ra d o s )

L 8 X 8 x 1 15.0 51 .0 89 .0 15.8 2 .3 7 89 .0 15.8 2 .37 1.56 4 5 .0

L 8 X 8 x i 7 .75 26 .4 4 8 .6 8 .3 6 2 .1 9 4 8 .6 8 .3 6 2 .1 9 1.59 4 5 .0

L 8 X 4 X 1 11.0 37 .4 6 9 .6 14.1 3 .05 11.6 3 .9 4 1.05 0 .8 4 6 13.9

L 8 X 4 X 5 5 .75 19.6 38 .5 7 .4 9 2.86 6 .7 4 2 .15 0 .8 5 9 0 .865 14.9

L 6 x 6 x * 8 .44 28 .7 28 .2 6.66 1.78 28 .2 6.66 1.78 1.17 4 5 .0

L6 X 6 x ¡ 4 .3 6 14.9 15.4 3 .5 3 1.64 15.4 3 .5 3 1.64 1.19 4 5 .0

L 6 x 4 X J 6 .9 4 23 .6 24 .5 6 .2 5 2 .08 8.68 2 .9 7 1.08 0 .8 6 0 23 .2

L6 X 4 X ¡ 3.61 12.3 13.5 3 .32 1.94 4 .9 0 1.60 0 .941 0 .877 24 .0

L 4 X 4 X j 3 .75 12.8 5 .5 6 1.97 1.18 5 .5 6 1.97 1.18 0 .7 8 2 4 5 .0

L 4 X 4 X J 1.94 6.6 3 .04 1.05 1.09 3 .04 1.05 1.09 0 .7 9 5 4 5 .0

L 4 X 3 X j 3 .25 l l . l 5 .05 1.89 1.33 2 .42 1.12 0 .8 2 7 0 .6 3 9 28.5

L 4 X 3 X J 1.69 5 .8 2 .7 7 1.00 1.24 1.36 0 .5 9 9 0 .8 9 6 0 .651 29 .2

L 3 X 3 X 5 2 .75 9 .4 2.22 1.07 0 .9 3 2 2.22 1.07 0 .9 3 2 0 .5 8 4 4 5 .0

L 3 X 3 X J 1.44 4 .9 1.24 0 .577 0 .8 4 2 1.24 0 .5 7 7 0 .8 4 2 0 .5 9 2 4 5 .0

L 2 X 2 X l 1.36 4 .7 0 .4 7 9 0.351 0 .6 3 6 0 .4 7 9 0 .351 0 .6 3 6 0 .3 8 9 4 5 .0

L 2 X 2 X j 0 .938 3 .1 9 0 .3 4 8 0 .2 4 7 0 .5 9 2 0 .3 4 8 0 .2 4 7 0 .5 9 2 0.391 4 5 .0

L2 X 2 x j 0 .4 8 4 1.65 0 .1 9 0 0 .131 0 .5 4 6 0 .1 9 0 0 .131 0 .5 4 6 0 .3 9 8 4 5 .0

* D atos tom ados d e varias fuentes. L os tam años relacionados son una pequeña m uestra de los tam años d isponib les.

E jem plo de designación: L 4 x 3 x 1/2

4 = long itu d de la pata m ás larga (plg), 3 = longitud de la pata m ás corta (p lg), 1/2 = espesor d e las patas (plg)

Z -Z e s el e je del m om ento de inerc ia m ín im o ( /) y el rad io de giro (r)

I = m om ento de inercia , S = m ódulo de sección, r = rad io de giro

Oí00<o

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59

0

A - 6 P ropiedades de can ales d e acero A m erican Standard

P erfiles C*

D esig n a c ió n

Á rea

(P 'g2)

Peralte

(P 'g)

E sp esor

del a lm a

(p lg)

Patín E ¡ e X - X E je Y - Y

A ncho

(Plg)

E spesor

prom edio

(P lg)

l

(P 'g4)

5

(P 'g3)

/

(P lg4)

S

(p lg3)

X

(p lg)

C 15 X 50 14.7 15.00 0 .7 1 6 3 .716 0 .6 5 0 404 53.8 11.0 3.78 0 .798

C 15 X 4 0 11.8 15.00 0 .5 2 0 3 .5 2 0 0 .6 5 0 349 46.5 9.23 3.37 0 .777

C 12 X 3 0 8.82 12.00 0 .5 1 0 3 .1 7 0 0.501 162 27 .0 5 .14 2 .06 0 .6 7 4

C 1 2 X 25 7 .35 12.00 0 .3 8 7 3 .0 4 7 0.501 144 24.1 4 .47 1.88 0 .6 7 4

CIO X 30 8.82 10.00 0 .673 3.033 0 .4 3 6 103 20 .7 3.94 1.65 0 .6 4 9

CIO X 20 5 .88 10.00 0 .3 7 9 2 .7 3 9 0 .4 3 6 78 .9 15.8 2.81 1.32 0 .6 0 6

C 9 X 20 5 .88 9 .0 0 0 .4 4 8 2 .648 0.413 60 .9 13.5 2.42 1.17 0 .583

C 9 X 15 4.41 9 .0 0 0 .285 2 .485 0 .413 51 .0 11.3 1.93 1.01 0 .5 8 6

C 8 X 18.75 5.51 8 .0 0 0 .4 8 7 2 .527 0 .3 9 0 44 .0 11.0 1.98 1.01 0 .565

C 8 X 11.5 3.38 8 .00 0 .2 2 0 2 .2 6 0 0 .3 9 0 32.6 8.14 1.32 0.781 0.571

C 6 X 13 3.83 6 .00 0 .4 3 7 2 .157 0 .343 17.4 5 .8 0 1.05 0 .6 4 2 0 .5 1 4

C 6 X 8 .2 2 .40 6 .0 0 0 .2 0 0 1.920 0 .3 4 3 13.1 4 .38 0 .693 0 .4 9 2 0.511

C 5 X 9 2 .6 4 5 .0 0 0 .3 2 5 1.885 0 .3 2 0 8 .90 3 .56 0 .6 3 2 0 .4 5 0 0 .4 7 8

C 5 X 6 .7 1.97 5 .0 0 0 .1 9 0 1.750 0 .3 2 0 7 .49 3 .00 0 .4 7 9 0 .378 0 .4 8 4

C 4 X 7 .2 5 2 .13 4 .0 0 0.321 1.721 0 .2 9 6 4 .5 9 2.29 0 .433 0 .343 0 .4 5 9

C 4 X 5 .4 1.59 4 .0 0 0 .1 8 4 1.584 0 .2 9 6 3.85 1.93 0 .3 1 9 0 .283 0 .4 5 7

C 3 X 6 1.76 3 .00 0 .3 5 6 1.596 0 .2 7 3 2.07 1.38 0 .305 0 .2 6 8 0 .455

C 3 X 4.1 1.21 3 .00 0 .1 7 0 1.410 0 .2 7 3 1.66 1.10 0 .197 0 .2 0 2 0 .4 3 6

*D atos tom ad os de varias fu en tes. L o s tam años relacionados son una pequeña m uestra d e lo s tam años d isp on ib les.

E jem p lo de d esignación: C 15 x 5 0

5 = peralte (p lg ), 5 0 = p e so por unidad d e longitud (lb /p ie)

/ = m om en to d e inercia , S = m ó d u lo de sec c ió n

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A - 7 P ro p ied a d e s d e p e rf ile s de p a tín a n ch o

P e rf ile s W *

p era lte

X -------------

- A lm a

---------------- X

Y

D esig n ac ió n

Á rea

(P 'g 2)

P era lte

(p lg )

E sp eso r

d e l a lm a

(P 'g )

P a tin Eje X - X E je Y -Y

A n ch o

(P 'g )

E sp eso r

(P 'g )

/

(P lg4)

S

(p lg 3)

1

(P 'g 4)

5

P lg3

W 2 4 X 7 6 22.4 23.92 0.440 8 .990 0 .680 2100 176 82.5 18.4

W 2 4 X 68 20.1 23.73 0.415 8.965 0.585 1830 154 70 .4 15.7

W 21 X 73 21.5 21.24 0.455 8.295 0 .740 1600 151 70.6 17.0

W 21 X 57 16.7 21.06 0.405 6.555 0 .650 1170 111 30.6 9.35

W 18 X 55 16.2 18.11 0 .3 9 0 7 .530 0 .630 890 98.3 44.9 11.9

W 18 X 40 11.8 17.90 0.315 6.015 0 .525 612 6 8.4 19.1 6.35

W 1 4 X 43 12.6 13.66 0.305 7.995 0 .530 428 62.7 45 .2 11.3

W 1 4 X 26 7.69 13.91 0.255 5.025 0 .420 245 35.3 8.91 3.54

W 1 2 X 30 8.79 12.34 0 .260 6 .520 0 .440 238 38.6 20.3 6 .24

W 1 2 X 16 4.71 11.99 0 .220 3.990 0.265 103 17.1 2 .82 1.41

W 1 0 X 15 4.41 9 .99 0 .230 4 .000 0 .270 69.8 13.8 2 .89 1.45

W 1 0 X 12 3.54 9.87 0 .190 3.960 0 .210 53.8 10.9 2 .18 1.10

W 8 X 15 4 .44 8.11 0.245 4.015 0 .315 4 8 .0 11.8 3.41 1.70

W 8 X 10 2.96 7 .89 0 .170 3 .940 0 .205 30.8 7.81 2.09 1.06

W 6 X 15 4.43 5 .99 0 .230 5 .9 9 0 0.260 29.1 9 .72 9 .32 3.11

W 6 X 12 3.55 6.03 0 .230 4 .0 0 0 0.280 22.1 7.31 2.99 1.50

W 5 X 19 5 .54 5.15 0 .270 5.030 0 .4 3 0 26.2 10.2 9.13 3.63

W 5 X 16 4.68 5.01 0 .240 5.000 0 .3 6 0 21.3 8.51 7.51 3.00

W 4 X 13 3.83 4.16 0 .280 4 .0 6 0 0.345 11.3 5 .46 3.86 1.90

‘ D a to s to m a d o s d e v a ria s fuen tes. L o s ta m añ o s re lac io n ad o s so n u n a p eq u eñ a m u e s tra d e los ta m añ o s d isp o n ib le s .

E jem p lo de d esig n ac ió n : W 14 x 4 3

14 = p e ra lte n o m in a l (p lg ), 4 3 = p eso p o r u n id ad d e lo n g itu d (Ib /p ie)

/ = m o m e n to d e in e rc ia , S = m ó d u lo d e secc ió n

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59

2

y __ ¿r- Patín

p eralte

X -------------

^ A lm a

------------- X

yA - 8 Propiedades de v ig a s d e acero A m erican Standard

D esign ación

Área

(P lg2)

Peralte

(p lg)

Espesor

del alma

(P 'g)

Patín E j e X - X Eje Y - Y

A ncho

(P'g)

E spesor

prom edio

(P 'g)

I

(P lg4)

5

(P lg3)

/

(P 'g4)

S

(P lg3)

S 2 4 X 90 26.5 24 .0 0 0.625 7.125 0 .8 7 0 2 2 5 0 187 44 .9 12.6

S 2 0 X 96 28.2 20 .3 0 0 .8 0 0 7 .2 0 0 0 .9 2 0 1670 165 50.2 13.9

S 2 0 X 75 22 .0 20 .0 0 0.635 6.385 0 .795 1280 128 29.8 9 .32

S20 X 66 19.4 20 .0 0 0.505 6.255 0 .795 1190 119 27.7 8.85S18 X 70 20 .6 18.00 0.711 6.251 0.691 9 2 6 103 24.1 7 .72

S IS X 50 14.7 15.00 0 .5 5 0 5.640 0 .6 2 2 4 8 6 64 .8 15.7 5.57

S 1 2 X 50 14.7 12.00 0.687 5.477 0 .6 5 9 305 50.8 15.7 5 .74

S 1 2 X 35 10.3 12.00 0 .428 5.078 0 .544 229 38.2 9.87 3.89

S 1 0 X 35 10.3 10.00 0 .594 4 .9 4 4 0.491 147 29 .4 8.36 3 .38S 1 0 X 25 .4 7 .46 10.00 0.311 4.661 0.491 124 24 .7 6 .79 2.91

S8 X 23 6.77 8 .00 0.441 4.171 0 .4 2 6 64 .9 16.2 4.31 2.07

S8 X 18.4 5.41 8 .00 0.271 4.001 0 .4 2 6 57 .6 14.4 3.73 1.86

S 7 X 2 0 5 .88 7 .0 0 0 .4 5 0 3 .860 0 .392 4 2 .4 12.1 3.17 1.64

S 6 X 12.5 3 .67 6 .0 0 0 .232 3 .332 0 .359 22.1 7 .37 1.82 1.09

S5 X 10 2 .94 5 .0 0 0 .214 3.004 0 .3 2 6 12.3 4 .9 2 1.22 0 .8 0 9

S 4 X 7.7 2 .26 4 .0 0 0 .193 2.663 0.293 6 .08 3.04 0 .764 0 .5 7 4

S3 X 5 .7 1.67 3 .0 0 0 .1 7 0 2 .3 3 0 0 .2 6 0 2.52 1.68 0 .455 0 .3 9 0

♦ D atos tom ados de varias fuentes. L os tam años relacionados son una pequeña m uestra d e lo s tam años d ispon ib les.

E jem plo de designación: S 1 0 x 3 5

10 = peralte nom inal (p lg ), 35 = p eso por unidad d e longitud (Ib/p ie)

/ = m om en to d e inercia, S = m ód u lo de secc ió n

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A -9 P rop ied ad es de tu b ería estructu ra l de acero

C u ad rad a y rec tangular*

E je X - X E je Y -Y

T am año

Á rea

(pig2)

r t s u

po r pie

( ib )

/

(p lg4)

S

(p lg 3)

r

(pig)

/

(Plg4)

5

(P lg3)

r

(pig)

8X 8X 3 14.4 48.9 131 32.9 3.03 131 32.9 3.03

8X 8X 5 7.59 25.8 75.1 18.8 3.15 75.1 18.8 3.15

8X 4 X 3 10.4 35.2 75.1 18.8 2.69 24.6 12.3 1.54

8 X 4 X ¿ 5.59 19.0 45.1 11.3 2.84 15.3 7.63 1.65

8X 2 X J 4.59 15.6 30.1 7.52 2.56 3.08 3.08 0.819

6X 6 X 5 10.4 35.2 50.5 16.8 2.21 50.5 16.8 2.21

6X 6X 3 5.59 19.0 30.3 10.1 2.33 30.3 10.1 2.33

6 X 4 X ¿ 4.59 15.6 22.1 7.36 2.19 11.7 5.87 1.60

6 X 2 X j 3.59 12.2 13.8 4.60 1.96 2.31 2.31 0.802

4 X 4 X j 6.36 21.6 12.3 6.13 1.39 12.3 6.13 1.39

4 X 4 X ¿ 3.59 12.2 8.22 4.11 1.51 8.22 4.11 1.51

4 X 2 X Í 2.59 8.81 4.69 2.35 1.35 1.54 1.54 0.770

3 X 3 X ¿ 2.59 8.81 3.16 2.10 1.10 3.16 2.10 1.10

3 X 2 X ¿ 2.09 7.11 2.21 1.47 1.03 1.15 1.15 0.742

2X 2 X ¿ 1.59 5.41 0.766 0.766 0.694 0.766 0.766 0.694

•D a to s tom ad o s de varias fuentes. L os tam años re lac ionados son u n a pequ eñ a m uestra d e los tam años d ispon ib les.

E jem p lo de tam año: 6 x 4 x j

6 = p era lte vertical (p lg ), 4 = an cho (p lg), \ = e sp eso r de pared (p lg )

Cji / = m om en to de inerc ia , S = m ó d u lo de sección , r = rad io de g irocO

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OICD

A -1 0 C anales estándar de la A lum inum A ssociation: d im ensiones, áreas, pesos y prop iedades de sección

P ropiedades de secciónT am año

Área

(pig2)

Peso

(lb/pie)

Espesor

de patín,

h (P 'g)

Espesor

del alm a,

i

(plg)

Radio de

redondeo,

R

(pig)

E jcX -X E je Y-YPeralte,

A

(P 'g )

A ncho,

B

(plg)

1

(Plg4)

S

plg3)

r

(pig)

1

(Plg4)

S

(P 'g3)

r

(P 'g)

.r

(pig)

2.00 1.00 0.491 0.577 0.13 0.13 0.10 0.288 0.288 0.766 0.045 0.064 0.303 0.2982.00 1.25 0.911 1.071 0.26 0.17 0.15 0.546 0.546 0.774 0.139 0.178 0.391 0.4713.00 1.50 0.965 1.135 0.20 0.13 0.25 1.41 0.94 1.21 0.22 0.22 0.47 0.493.00 1.75 1.358 1.597 0.26 0.17 0.25 1.97 1.31 1.20 0.42 0.37 0.55 0.624.00 2.00 1.478 1.738 0.23 0.15 0.25 3.91 1.95 1.63 0.60 0.45 0.64 0.654.00 2.25 1.982 2.331 0.29 0.19 0.25 5.21 2.60 1.62 1.02 0.69 0.72 0.785.00 2.25 1.881 2.212 0.26 0.15 0.30 7.88 3.15 2.05 0.98 0.64 0.72 0.735.00 2.75 2.627 3.089 0.32 0.19 0.30 11.14 4.45 2.06 2.05 1.14 0.88 0.956.00 2.50 2.410 2.834 0.29 0.17 0.30 14.35 4.78 2.44 1.53 0.90 0.80 0.796.00 3.25 3.427 4.030 0.35 0.21 0.30 21.04 7.01 2.48 3.76 1.76 1.05 1.127.00 2.75 2.725 3.205 0.29 0.17 0.30 22.09 6.31 2.85 2.10 1.10 0.88 0.847.00 3.50 4.009 4.715 0.38 0.21 0.30 33.79 9.65 2.90 5.13 2.23 1.13 1.208.00 3.00 3.526 4.147 0.35 0.19 0.30 37.40 9.35 3.26 3.25 1.57 0.96 0.938.00 3.75 4.923 5.789 0.41 0.25 0.35 52.69 13.17 3.27 7.13 2.82 1.20 1.229.00 3.25 4.237 4.983 0.35 0.23 0.35 54.41 12.09 3.58 4.40 1.89 1.02 0.939.00 4.00 5.927 6.970 0.44 0.29 0.35 78.31 17.40 3.63 9.61 3.49 1.27 1.25

10.00 3.50 5.218 6.136 0.41 0.25 0.35 83.22 16.64 3.99 6.33 2.56 1.10 1.0210.00 4.25 7.109 8.360 0.50 0.31 0.40 116.15 23.23 4.04 13.02 4.47 1.35 1.3412.00 4.00 7.036 8.274 0.47 0.29 0.40 159.76 26.63 4.77 11.03 3.86 1.25 1.1412.00 5.00 10.053 11.822 0.62 0.35 0.45 239.69 39.95 4.88 25.74 7.60 1.60 1.61

Fuente: A lum inum A ssociation, Aluminum Standards and Data, 1 la. ed., W ashington, D C , © 1993, pág. 187.

V éanse las notas al pie de la tab la A—11.

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A - l 1 V igas I estándar de la A lum inum A ssociation: dim ensiones, áreas, pesos y p ropiedades de sección

T am año------------------ E spesor E spesor

Peralte, A ncho, de patín, del alm a.

A

(P 'g)

B

(plg)

Area*

(Plg2)

Peso(lb /pie)

<1

(Plg)

t

(Plg)

3.00 2.50 1.392 1.637 0.20 0.13

3.00 2.50 1.726 2.030 0.26 0.154.00 3.00 1.965 2.311 0.23 0.154.00 3.00 2.375 2.793 0.29 0.17

5.00 3.50 3.146 3.700 0.32 0.19

6.00 4.00 3.427 4.030 0.29 0.196.00 4.00 3.990 4.692 0.35 0.217.00 4.50 4.932 5.800 0.38 0.238.00 5.00 5.256 6.181 0.35 0.238.00 5.00 5.972 7.023 0.41 0.259.00 5.50 7.110 8.361 0.44 0.27

10.00 6.00 7.352 8.646 0.41 0.2510.00 6.00 8.747 10.286 0.50 0.2912.00 7.00 9.925 11.672 0.47 0.2912.00 7.00 12.153 14.292 0.62 0.31

P ropiedades de sección*

R adio de E jeX -X Eje Y-Yredondeo, ---------------------------------------- -------------------------------------

R l S r 1 S r

( P lg ) ( P lg 4 ) ( P l g 3) ( p lg ) ( p l g “ ) ( p l g 3) ( P lg )

0.25 2.24 1.49 1.27 0.52 0.42 0.61

0.25 2.71 1.81 1.25 0.68 0.54 0.63

0.25 5.62 2.81 1.69 1.04 0.69 0.73

0.25 6.71 3.36 1.68 1.31 0.87 0.74

0.30 13.94 5.58 2.11 2.29 1.31 0.85

0.30 21.99 7.33 2.53 3.10 1.55 0.95

0.30 25.50 8.50 2.53 3.74 1.87 0.97

0.30 42.89 12.25 2.95 5.78 2.57 1.08

0.30 59.69 14.92 3.37 7.30 2.92 1.18

0.30 67.78 16.94 3.37 8.55 3.42 1.20

0.30 102.02 22.67 3.79 12.22 4.44 1.31

0.40 132.09 26.42 4.24 14.78 4.93 1.42

0.40 155.79 31.16 4.22 18.03 6.01 1.44

0.40 255.57 42.60 5.07 26.90 7.69 1.65

0.40 317.33 52.89 5.11 35.48 10.14 1.71

Fuente: A lum inum A ssociation, Aluminum Standards and Data, 1 la. ed ., W ashington, D C , O 1993 ,pág. 187.

•L as áreas relacionadas están basadas en dim ensiones nom inales.

+Los pesos p o rp ie están basados en dim ensiones nom inales y en una densidad de 0 .098 libras por pulgada cúbica, la cual es

la densidad de la aleación 6061.

* / = m om ento de inercia; S= m ódulo de sección; r = radio de giro.

OI<0OI

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59

6

A - l 2 P ro p ied ad es d e tu b o d e ace ro fo ija d o sin co s tu ra y so ld a d o cédu la 4 0 e s tá n d a r n ac io n a l am erican o

D iám e tro (p lg )

E speso r

de pared

(P 'g )

Á rea de

sección

transversa l

de l m etal

(p lg 2)

M o m e n to de

inerc ia ,

/ ( p l g 4)

P ro p ie d ad es de se cc io n es

R ad io M ódu lo

d e g iro de secc ió n ,

(p lg ) ^ (p lg 3)

M ó d u lo de

se cc ió n po lar,

z , , ( p ig 3)N o m in al

In terno

real

E x te rn o

real

iI 0 .269 0.405 0.068 •0.072 0 .00106 0.122 0 .00525 0 .01050

4 0 .364 0 .540 0.088 0.125 0.00331 0.163 0 .01227 0 .0245438 0 .493 0.675 0.091 0.167 0 .00729 0.209 0 .02160 0 .0432012 0 .622 0 .840 0.109 0.250 0 .01709 0.261 0 .04070 0 .0814034 0 .824 1.050 0.113 0.333 0 .03704 0.334 0.07055 0.1411

1 1.049 1.315 0.133 0.494 0 .08734 0.421 0.1328 0 .2656

l i 1.380 1.660 0.140 0.669 0 .1947 0.539 0 .2346 0.4692

• j 1.610 1.900 0.145 0.799 0 .3099 0.623 0 .3262 0.6524

2 2.067 2.375 0.154 1.075 0 .6658 0.787 0.5607 1.121

2 j 2.469 2.875 0.203 1.704 1.530 0.947 1.064 2 .128

3 3.068 3.500 0.216 2.228 3.017 1.163 1.724 3 .448

3 f 3.548 4 .000 0.226 2 .680 4.788 1.337 2.394 4 .788

4 4 .026 4 .500 0 .237 3.174 7.233 1.510 3.215 6 .430

5 5.047 5.563 0.258 4 .300 15.16 1.878 5.451 10.90

6 6.065 6.625 0 .280 5.581 28 .14 2.245 8.496 16.99

8 7.981 8.625 0 .322 8.399 72 .49 2.938 16.81 33.62

10 10.020 10.750 0.365 11.91 160.7 3.674 29.91 59.82

12 11.938 12.750 0.406 15.74 300.2 4.364 47 .09 94.18

16 15.000 16.000 0 .500 24.35 732 .0 5.484 91 .50 183.0

18 16.876 18.000 0.562 30.79 1172 6.168 130.2 260.4

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A - 1 3 P ro p ie d a d e s re p re se n ta tiv a s de ac e ro s a lead o s y al c a rb ó n *

M a te ria l

A IS I núm . C o n d ic ió n *

R e sis ten c ia

ú ltim a ,

R e sis ten c ia a la

ced e n c ia , s vP o rc en ta je de

a la rg a m ie n toksi M P a ksi M P a

1020 R e c o c id o 57 393 43 296 36

1020 L a m in a d o en ca lie n te 65 448 48 331 36

1020 E s tira d o e n frío 75 517 64 441 20

1040 R e co c id o 75 517 51 352 30

1040 L a m in a d o en ca lie n te 90 621 60 414 25

1040 E s tira d o en frío 97 669 82 565 16

1040 W Q T 700 127 876 93 641 19

1040 W Q T 9 0 0 118 814 90 621 22

1040 W Q T 1100 107 738 80 552 24

1040 W Q T 1300 87 600 63 4 3 4 32

1080 R e c o c id o 89 614 54 372 25

1080 O Q T 700 189 1303 141 9 7 2 12

1080 O Q T 9 0 0 179 1234 129 889 13

1080 O Q T 1100 145 1000 103 7 10 17

1080 O Q T 1300 117 807 70 483 23

1141 R e c o c id o 87 600 51 352 26

1141 E s tira d o e n frío 112 772 95 655 14

1141 O Q T 700 193 1331 172 1186 9

1141 O Q T 9 0 0 146 1007 129 889 15

1141 O Q T 1100 116 800 97 669 20

1141 O Q T 1300 94 648 68 4 6 9 28

4 1 4 0 R e c o c id o 95 655 6 0 4 14 26

4 1 4 0 O Q T 700 231 1593 212 1462 12

4 1 4 0 O Q T 9 0 0 187 1289 173 1193 15

4 1 4 0 O Q T 1100 147 1014 131 903 18

4 1 4 0 O Q T 1300 118 814 101 696 23

5160 R e c o c id o 105 7 24 40 2 7 6 17

5 1 6 0 O Q T 7 0 0 263 1813 2 38 1641 9

5160 O Q T 9 0 0 196 1351 179 1234 12

5160 O Q T 1100 149 1027 132 910 17

5 160 O Q T 1300 115 793 103 710 23

* O tra s p ro p ie d a d e s a p ro x im a d a m e n te ig u a le s p a ra to d o s lo s ac e ro s a le a d o s y a l carbón :

M ó d u lo d e e la s tic id a d a te n s ió n = 3 0 0 0 0 0 0 0 lb /p lg 2 (2 0 7 G P a)

M ó d u lo de e la s tic id a d a co rta n te = 11 5 0 0 0 0 0 lb /p lg 2 (80 G P a)

D e n s id a d = 0 .2 8 3 lb „ /p lg 3 (7 6 8 0 k g /m 3)

* O Q T s ig n if ic a te m p la d o y e n fr ia d o e n a c e ite (o il-q u e n c h e d a n d tem p ered ). W Q T s ig n if ic a te m p la d o y

e n fria d o e n a g u a (w a te r -q u e n c h e d a n d tem p ered .)

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A - l 4 Propiedades representativas de aceros inoxidables y m etales no ferrosos

M a te r ia l y

c o n d ic ió n

R e s is te n c ia

ú l t im a , su

R e s is te n c ia a la

c e d e n c i a , í v

P o r c e n ta je d e

a la r g a m ie n to

D e n s id a d

M ó d u lo d e

e la s t ic id a d , E

k s i M P a k s i M P a ib /p is 3t k g / m J lb /p lg 2 x 10-6 G P a

A c e r o s in o x id a b le s

A I S I 3 01 r e c o c id o 110 7 5 8 4 0 2 7 6 6 0 0 .2 9 0 8 0 3 0 28 193

A I S I 3 01 d u r o 185 1 2 8 0 14 0 9 6 5 8 0 .2 9 0 8 0 3 0 28 193

A I S I 4 3 0 r e c o c id o 75 5 1 7 4 0 2 7 6 30 0 .2 8 0 7 7 5 0 29 2 0 0

A I S I 4 3 0 d u r o 9 0 621 8 0 5 5 2 15 0 .2 8 0 7 7 5 0 29 2 0 0

A I S I 5 01 r e c o c id o 7 0 4 8 3 3 0 2 0 7 28 0 .2 8 0 7 7 5 0 29 2 0 0

A IS I 501 O Q T 1 000 175 12 1 0 135 931 15 0 .2 8 0 7 7 5 0 29 2 0 0

1 7 -4 P H H 9 0 0 2 1 0 1 4 5 0 185 12 8 0 14 0 .2 8 1 7 7 8 0 2 8 .5 197

P H 13-8 M o H 1 0 0 0 2 1 5 14 8 0 2 0 5 1 4 1 0 13 0 .2 7 9 7 7 2 0 2 9 .4 20 3

Cobre y sus aleacionesC o b r e C 1 4 5 0 0 s u a v e 32 221 10 6 9 5 0 0 .3 2 3 8 9 4 0 17 117

d u r o 4 8 331 4 4 3 0 3 2 0

C o b r e C 1 7 0 0 0 s u a v e 175 121 0 1 50 103 0 5 0 .2 9 8 8 2 5 0 19 131

d u r o 2 1 5 148 2 2 0 0 137 9 2

B r o n c e C 5 4 4 0 0 s u a v e 6 8 4 6 9 5 7 3 9 3 2 0 0 .3 1 8 8 8 0 0 17 117

d u r o 75 5 1 7 6 3 4 3 4 15

L a tó n C 3 6 0 0 0 s u a v e 4 9 3 3 8 18 124 53 0 .3 0 8 8 5 3 0 16 110

d u r o 68 4 6 9 4 5 3 1 0 18

Magnesio-fundidoA S T M A Z 6 3 A - T 6 4 0 2 7 6 19 131 5 0 .0 6 6 1 830 6 .5 45

Zinc-fundido Z A 12 58 4 0 0 4 7 3 2 4 5 0 .2 1 8 6 0 3 0 12 83

Aleación de titanioT Í -6 A 1 - 4 V e n v e je c id o 170 1 170 155 1 0 7 0 8 0 .1 6 0 4 4 3 0 16.5 114

’ É s ta s e p u e d e u s a r c o m o p e s o e s p e c í f ic o o c o m o d e n s id a d d e m a s a e n lb „ /p lg 3.

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A - l 5 P ro p ie d a d e s d e a c e ro s e s tru c tu r a le s

Resistencia Resistencia a laPorcentaje deúltima. 5..* cedencia, i,.*

Material • alargamiento

ASTM núm. y productos ksi MPa ksi MPa en 2 plg

A36-Perfiles, placas y barrasde acero al carbón 58 400 36 248 21

A242-Perfiles, placas y barrasde baja aleación y alta resistencia

345317290

212121

< 3/4 plg de espesor 3/4 a l 1/2 plg de espesor 1 1/2 a 4 plg de espesor

706763

483462434

504642

A500-Tubería estructural formada en frío228290317269317345

252321252321

Redonda, grado A Redonda, grado B Redonda, grado C Perfilada, grado A Perfilada, grado B Perfilada, grado C

455862455862

310400427310400427

334246394650

ASO 1-Tubería estructural formada en caliente,248 23

redonda o perfilada 58 400 36

A 514-Placa de acero aleado templado y enfriadode alta resistencia a la cedencia

10090

690620

1816

< 2 1/2 plg de espesor 2 1/2 a 6 plg de espesor

110100

758690

A572-Perfiles, placas y barras de acerode baja aleación de columbio-vanadiode alta resistencia

24Grado 42 60 414 42 290

Grado 50 65 448 50 345 21

Grado 60 75 517 60 414 18

Grado 65 80 552 65 448 17

•Valores mínimos; pueden ser más elevados.

El American Institute o f Steel Construction especifica E = 29 x 106 lb/plg2 (200 GPa) para acero estructural.

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A -1 6 Propiedades representativas del hierro colado*

Resistencia

ú ltim aResistencia

a lacedcnciaM ódulo de

elasticidad, £ *Tipo de m aterial

y grado

Sus **:

Porcentaje de

alargam ientoksi M Pa ksi M Pa ksi M Pa ksi M Pa lh/plg2 x 10-6 GPa

H ierro gris A ST M A48

G rado 20 20 138 80 552 32 221 — — 12.2 84 <1G rado 40 40 276 140 965 57 393 — — 19.4 134 < 0 .8G rado 60 55 379 170 1170 72 496 — — 21.5 148 < 0 .5

H ierro dúctil A ST M A 536

60-40-18 60 414 — — 57 393 40 276 24 165 18

80-55- 6 80 552 — — 73 503 55 379 24 165 6

100-70- 3 100 690 — — — — 70 483 24 165 3

120-90- 2 120 827 180 1240 — — 90 621 23 159 2

H ierro dúctil austem plado (A D I)G rado 1 125 862 — — — — 85 586 24 165 10

G rado 2 150 1034 — — — — 100 690 24 165 7

G rado 3 175 1207 — — — — 120 827 24 165 4G rado 4 200 1379 — — — — 140 965 24 165 2

H ierro m aleable A STM A 220

45008 65 448 240 1650 49 338 45 310 26 170 860004 80 552 240 1650 65 448 60 414 27 186 4

80002 95 655 240 1650 75 517 80 552 27 186 2

♦ La densidad del h ierro colado varía de 0.25 a 0 .27 Ibn/plg3 (6920 a 7480 kg/m 3).

* V alores m ínim os; pueden ser m ayores.

* V alores aproxim ados; pueden ser m ayores o m enores en aproxim adam ente 15%.

6 0 0

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A - 1 7 P ro p ie d a d e s re p re se n ta tiv a s de a le a c io n e s de a lu m in io *

Aleación y temple

Resistencia última, su

Resistencia a la cedencia

Porcentaje de alargamiento

Resistencia a cortante,

ksi MPa ksi MPa ksi MPa

1100-H12 16 110 15 103 25 10 69

1100-H18 24 165 22 152 15 13 90

2014-0 27 186 14 97 18 18 124

2014-T4 62 427 42 290 20 38 262

2014-T6 70 483 60 414 13 42 290

3003-0 16 110 6 41 40 11 76

3003-H12 19 131 18 124 20 12 83

3003-H18 29 200 27 186 10 16 110

5154-0 35 241 17 117 27 22 152

5154-H32 39 269 30 207 15 22 152

5154-H38 48 331 39 269 10 28 193

6061-0 18 124 8 55 30 12 83

6061-T4 35 241 21 145 25 24 165

6061-T6 45 310 40 276 17 30 207

7075-0 33 228 15 103 16 22 152

7075-T6 83 572 73 503 11 48 331

Aleaciones fundidas(moldeo de fundición permanente)

204.0-T4 48 331 29 200 8

356.0-T6 33 228 22 152 3

♦ Módulo de elasticidad £ para la mayoría de aleaciones de aluminio, entre las que se incluye 1100,3003, 6061 y 6063 es lO x 106lb/plg2(69GPa).Para2014 .£ = 10.6x 10 lb/plg (73GPa).Para5 1 5 4 ,£ -1 0 .2 x 106lb/plg2 (70 GPa). Para 7075, E = 10.4 x 106lb/plg2 (72 GPa). La densidad en la mayoría de las aleaciones

de aluminio es de casi 0.10 lbm/plg3 (2770 kg/m ).

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602

A -18 Propiedades representativas de la madera

Esfuerzo permisible

CompresiónTensión

paralela Cortante Perpendicular Paralela M ódulodeFlexión a la veta horizontal a la veta a la veta elasticidad

Tipo y grado lb/plg2 MPa lb/plg2 MPa lb/plg2 MPa lb/plg2 MPa lb/plg2 MPa ksi GPa

Pino Douglas-2 a 4 plg de espesor, 6 plg y más ancho

Núm. 1 1750 12.1 1050 7.2 95 0.66 385 2.65 1250 8.62 1800 12.4Núm. 2 1450 10.0 850 5.9 95 0.66 385 2.65 1000 6.90 1700 11.7Núm. 3 800 5.5 475 3.3 95 0.66 385 2.65 600 4.14 1500 10.3

A beto- 2 a 4 plg de espesor, 6 plg y más ancho

Núm. 1 1400 9.6 825 5.7 75 0.52 245 1.69 1000 6.90 1500 10.3Núm. 2 1150 7.9 675 4.7 75 0.52 245 1.69 800 5.52 1400 9.7Núm. 3 625 4.3 375 2.6 75 0.52 245 1.69 500 3.45 1200 8.3

ino del sur-2 1/2 a 4 plg de espesor,6 plg y más ancho

Núm. 1 1400 9.6 825 5.7 80 0.55 270 1.86 850 5.86 1600 11.0Núm. 2 1000 6.9 575 4.0 70 0.48 230 1.59 550 3.79 1300 9.0Núm. 3 650 4.5 375 2.6 70 0.48 230 1.59 400 2.76 1300 9.0

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A - l 9 Propiedades representativas de plásticos seleccionados

Resistencia

a la tensiónResistencia

flexional

M ódulo de tensión Densidad

Tipo* ksi MPa ksi MPa ksi GPa l b / p l g 3 kg /m J

ABS 7 48 11 76 360 2.5 0.036 995

Acetal copolím ero 9 62 13 90 400 2.8 0.051 1410

Resina epóxica, m oldeada 15 103 30 207 3000 20.7 0.069 1910

N ylon 6/6 26 179 35 241 1300 9.0 0.041 1135

9 62 18 124 2500 17.2 0.066 1825

Policarbonato 16 110 19 131 860 5.9 0.049 1355

Poliéster PET 22 152 31 214 1700 11.7 0.059 1630

27 186 50 345 3200 22.1 0.069 1910

Polipropileno

Poliestireno

10 69

12 83

14

17

97

117

800

800

5.5

5.5

0.041

0.042

11351165

•R eforzado con fibra de vidrio y otras fibras.

A -2 0 Recom endaciones para esfuerzo de diseño-esfuerzos

norm ales directos

Tipo de carga

M aterial

dúctil

M aterial

frágil

Estática <Tj = Sy/2 <Td = su/6

Repetida <Td — Su/% &d — 5-/10

Im pacto o choque <Td — S„/\2 CTj “ J«/15

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A - 2 1 Factores de concentración de esfuerzo

A -2 1 -1 Barra c ircu lar ranurada axialm ente cargada a tensión

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A -2 1 -3 P laca p lana escalonada axialm ente cargada a tensión

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A - 2 1 - 4 P la c a p la n a c o n u n a g u je ro en e l c e n t r o s o m e tid a a te n s ió n y a f le x ió n

Geometría básica

o n o m b a s a d o

en la sección neta

Curva BCurva CCurva A Carga de tensión

aplicada a través de un pasador en el agujero

Flexión en el plano de la placa

Tensión directa en la placa

neto

F= carga total 1.0 cuandod/w< 0.5

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A - 2 1 - 6 B a rra c irc u la r r a n u ra d a so m e tid a a to rs ió n

1.1

0

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6 1 0

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A -2 1 -9 B arra c ircu la r esca lonada som etida a flexión

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A - 2 1 - 1 0 P laca p la n a esca lonada som e tida a f le x ió n

r/h

A -21-11 Flechas con cuneros-sometidas a flexión y torsión

Tipo de cuñero K,*

Extremo 1.6

Perfil 2.0

*K, se debe aplicar al esfuerzo calculadopara el diámetro nominal completo de la flecha donde se localiza el cuñero.

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M o m e n to s

MÁ = M„ = M c = y

D eflex iones

E n el ce n tro B:

192 El

E n tre ,4 y B:

—Px2y = --------(3L - 4x)7 48 El

(e)

<0

R eacciones

Pb2Ra = + b)

Pa2Re - + fl)

M om en tos

— Pab1

■

Mc -

2Pa b' L'

—Pa2bL2

D eflex io n es

E n B d o n d e ac tú a la carga:

- / v Vv« =

3EIL*

E n D do n d e x\ =2 a l

3a + b—2Pab

3EI(3a + ¿>)

E n tre Ay B (seg m e n to m á s la rg o ) :

- Px2b2-V-y-[2a(L - x) + L (a

6EIL

E n tre B y C (seg m e n to m ás co rto ):

-P v 2a2

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A -2 5 Factores de conversión

M ultipliqúese el valor dado

por el factor para convertir:

C antidad

U nidad

estadounidenseUnidad

SI

De unidad estadounidense

a unidad SI

De unidad SI a

unidad estadounidcn

Á rea p ig ' m m 2 6 4 5 . 1 6 1 . 5 5 0 X 1 0 " 3

pie1 m2 0 . 0 9 2 9 1 0 . 7 6

Carga lb/plg1 kPa 6 . 8 9 5 0 . 1 4 5 0

lb/pie1 kPa 0 . 0 4 7 9 2 0 . 8 9

M om ento lb p lg N m 0 . 1 1 3 0 8 . 8 5 1

flexionante lb p ie N-m 1 . 3 5 6 0 . 7 3 7 6

D ensidad lbm/plg3 kg /m 3 2 . 7 6 8 X 1 0 4 3 . 6 1 3 X 1 0 “ 5

lb«/pie3 kg /m 3 1 6 . 0 2 0 . 0 6 2 4

Fuerza Ib N 4 . 4 4 8 0 . 2 2 4 8

kip kN 4 . 4 4 8 0 . 2 2 4 8

Longitud p ig mm 2 5 . 4 0 . 0 3 9 3 7

pie m 0 . 3 0 4 8 3 . 2 8 1

M asa lb„ kg 0 . 4 5 4 2 . 2 0 5

P ar de torsión lb p lg N m 0 . 1 1 3 0 8 . 8 5 1

Potencia hp kW 0 . 7 4 5 7 1 . 3 4 1

Esfuerzo lb/plg1 kPa 6 . 8 9 5 0 . 1 4 5 0

o presión ksi M Pa 6 . 8 9 5 0 . 1 4 5 0

lb /plg2 GPa 6 . 8 9 5 X 1 0 " 6 1 . 4 5 0 X 1 0 5

ksi GPa 6 . 8 9 5 X 1 0 - 3 1 4 5 . 0

M ódulo p ig3 m m 3 1 . 6 3 9 X 1 0 4 6 . 1 0 2 X 1 0 " 5

de sección

M om ento pig m m 4 4 . 1 6 2 X 1 0 5 2 . 4 0 3 X 1 0 " 6

de inercia

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R espues tas a p rob lem as

se lecc ionados

C a p it u lo 1

1 -1 7 . 7.85 kN enfrente

11.77 kN detrás

1 -1 9 . 5 4 .5 mm

1 -2 3 . 1765 Ib enfrente

2 6 4 6 Ib detrás

1 -2 S . 55.11b

2 5 .7 Ib/plg

2 .1 4 p lg

1 -2 7 . 398 slugs

1 -2 9 . 8274 kPa

1 -3 1 . 96 .5 a 5 2 4 M Pa

1 -3 3 . 9 0 9 7 m m 2

1 -3 5 . Á rea = 3 2 4 p lg 2

Á rea = 2 .0 9 x 10 5 m m 2

V o l. = 3 8 8 8 p lg3

V o l. = 6 .3 7 x 1 0 7 m m 5

V o l .= 6 .3 7 x 10r2m 3

1 -3 7 . 40 .7 M Pa

1 -3 9 . 5 3 7 5 lb /p lg2

1 -4 1 . 79 .8 MPa

1 -4 3 . 803 lb /p lg2

1 -4 5 . <t *b = 107.4 M Pa

o-K = 75.2 M Pa

o -b d = 1 3 1 .1 M Pa

1 -4 7 . o-AB = 167 M Pa tensión

( tbc = 77.8 M Pa tensión

( t Cd — 122 M Pa tensión

1 -4 9 . <t-ab = 2 0 4 7 1 lb /p lg2 tensión

a Bc = 3 1 2 9 lb /p lg2 tensión

1 -5 1 . Fuerzas: A D = C D = 10.5 kN

A B = BC = 9 .0 9 kN

E sfuerzos: o-AB = <tbc = 25 .3 M Pa tensión

(rbd = 17.5 M Pa tensión

crAD = <Tco = 21 .0 M Pa com presión

1 -5 3 . 5 0 .0 M Pa

1 -5 5 . 11 791 lb/p lg2

1 -5 7 . 146 MPa

1 -5 9 . 151 M Pa

1 -6 1 . 81.1 M Pa

1 -6 3 . 24 .7 MPa

1 -6 5 . Pasador: z = 5 0 9 3 0 lb /p lg2

Collar: r = 38 80 0 lb /p lg2

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1 -6 7 . 183 MPa

1 -6 9 . 73.9 MPa

1 -7 1 . 22.6 MPa

1 -7 3 . (a) 2187 lb/plg2 (b) 530 lb/plg2

1 -7 5 . 18963 lb/plg2

1 -7 7 . 28.3 MPa

1 -7 9 . 5.39 MPa

C apítulo 2

2 -1 5 . 1020 HR

2 -1 9 . 16.4 Ib

2-21. Magnesio

2-29. sü, = 40 ksi; .vLK. = 140 ksi

2-31. Flexión: a¿ = 1450 lb/plg2 Tensión: a¿ = 850 lb/plg2 Compresión: a¿ = 1000 lb/plg2 paralelo a la veta Compresión: ad = 385 lb/plg2 perpendicular a la veta Cortante: td = 95 lb/plg2

3 -3 3 . rfm¡„=0.808 basada en cortantePara d= 1.00 pig, 0.285 pig para esfuerzo de apoyo o empuje

3 -3 5 . X = 151 MPa; requerido i„ = 1473 MPa

3 -3 7 . 83 kN

3 -3 9 . 256 kN

3 -4 1 . 18 300 1b

3 -4 3 . 62 650 Ib

3 -4 5 . 119500 1b

3 -4 7 . 119 700 1b

3 -4 9 . Pasador A: dM„= 13.8 mmPasadores en B y C: dmi„= 17.7 mm

3 -5 1 . Fuerza de elevación = 2184 Ibr = 6275 lb/plg2 si el pasador está sometido a cortante

doble

3-53. ¿min=0.199plg

3-55. iVen el agujero = 3.91¿Ven los redondeos = 7.20

3 -5 7 . 19.15 MPa en las ranuras circulares

C apítulo 3 Capítulo 4

3 - 1 . Se requiere.?^ 216 MPa

3 - 3 . Se requiere su = 86 000 lb/plg2

3 - 5 . No. esfuerzo de tensión excesivo

3 - 7 . dmin= 0.824 pig

3 - 9 . dm¡„= 12.4mm

3 -1 1 . Se requiere ad> 803 lb/plg2

3 -1 3 . 16.7 kN

3 -1 5 . </„*,= 0.412 pig

3 - 1 7 . En los lados B y H: !},*„= 22.2 mm;H„r„=44.4mm

3 -1 9 . Se requiere .= 3 6 0 MPa

3 -2 1 . Se requieres,,=400 MPa

3 -2 3 . 202601b

3 -2 5 . 0.577 m en un lado

3 -2 6 . 36.4 kip

3 -2 7 . 52.3 kip

3 -2 8 . (a) 30.4 kip (b) 43.6 kip

3 -2 9 . (a) (T„ = 1572 psi(b) Un diseño posible: Una placa cuadrada en la parte

inferior de cada pata; 2.50 pig por lado

3 -3 1 . £mjn= 0.556 pig basada en cortante

4 - 1 . 0.041 pig

4_3. Fuerza = 2357 Ib <7 = 3655 lb/plg2

4 -5 . (a)y (b)í/„,¡n= 10.63 mm; masa = 0.430 kg(c)d„¡„= 18.4 mm; masa = 0.465 kg

4-7. (a) 0.857 mm (b) 0.488 mm

4 -9 . Alargamiento = 0.0040 pig Compresión = 0.00045 pig

4 -1 1 . Fuerza = 32141b;insegura

4 -1 3 . 5 = 0.016 mm a = 27.9 MPa

4 -1 5 . 0.804 mm

4 -1 7 . 2.22 mm más corto

4 -1 9 . (a) a = 0.276 pig; tr=37 300 lb/plg2 (valor próximo asy)(b) a = 62 200 lb/plg2—mayor que su. El alambre se

romperá

4 -2 1 . Fuerza = 67371b ¿ = 0.055 pig

4 -2 3 . Masa = 132 kg a - 183 MPa

4 -2 5 . 0.806 pig

4 -2 7 . 180 MPa

6 2 4 R espuestas a p rob lem as se leccionados

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4-29. (a) 0.459 mm(b) 213 M P a

4-31. 693 lb/plg2

4-33. 234.8 °C

4-35. Latón: S = 6.46 mmAcero inoxidable: S = 3.51 mm

4-37. 38.7 MPa

4-39. a = 37500 lb/plg2 de compresión. La barra fallaría a compresión o se pandearía

4-41. 0.157 plg

4-43. 154 MPa

4-45. a , = 17.1 MPa; a , = 109 MPa

4-47. 13.8 plg

4-49. dm¡„= 6.20 mm

4-51. o-, = 427 MPa; tra = 49.4 MPa

Capítulo 5

5-1 . 178 MPa

5-3. 4042 lb/plg2

5-5. 83.8 MPa

5-7. r = 6716 lb/plg2; seguro

5-9. r = 5 190lb/plg2;se requiere sy = 62 300 lb/plg2

5-11 . r = 52.8 MPa; 0 = 0.030 rad;se requieres, =211 MPa

5-13. D¡ = 46.5 mm; D„ = 58.1 mm

5-15. dmin= 0 .512p lg

5-17. Potencia = 0.0686 hp; r = 8488 lb/plg2;

se requiere s, = 67 900 lb/plg2

5-19. D ,= 12.09 plg; D„= 15.11 plg

5-21. 1.96 N m

5-23. 0.1509 rad

5-25 . 0.267 rad

5-27. 0.0756 rad

5-29. 0.278 rad

5-31. 0AB = 0.0636 rad; 0AC = 0.0976 rad

5-33. r = 9.06 MPa; 8 = 0.0046 rad

5-35. 49.0 MPa

5-37. 1370 lbp lg

5-39. 2902 lb plg

5-41. 0.083 rad

5-43. 0.112 rad

R espues tas a prob lem as se leccionados

5-45. 0.0667 rad

5-47. 1.82 MPa

5-49. 0.00363 rad

5-51. 0.0042 rad

5-53. 82 750 lb plg

5-55. 153 600 lbp lg

5-57. W / W 1-028tubería/ $ubo= 1.186

C a p í t u l o 6

NOTA: Las respuestas siguientes se refieren a las figuras P6-1 a P6-84. Por lo que se refiere a las reacciones, R, es la de la izquierda; R2 es la de la derecha. V y M se refieren a los valores máximos absolutos de la fuerza cortante y el momento flexionante, respectivamente. Las soluciones completas requieren la construcción de los diagramas completos de fuerza cortante y momento flexionante.

P6-1. R, = R 2 = 325 IbV = 325 IbM = 4550 lb plg

P6-3. R, = 11.43 K; R 2 = 4.57 KV = 11.43 KM = 45.7 K-pie

P6-5. R, = 575 N; R¡ = 325 NV = 575 NM = 195 N m

P6-7. = 46.36 kN; R 2 = 23.64 kNV = 46.36 kNM = 71.54 kN m

P6—9. R, = 1557 Ib; R 2 = 1743 IbV = 1557 IbM = 6228 lb plg

P6-11. R, = 7.5 K; R 2 = 37.5 KV = 20 KM = 60 K pie

P6-13. R, - R 2 = 250 NV = 850 NM = 362.5 N m

P6-15. R¡ = 37.4 kN (hacia abajo); R 2 = 38.3 kN (hacia arriba)V = 24.9 kN M = 50 kN m

P6-17. R = 120 IbV = 120 IbM = 960 lb plg

P6-19. R = 24 KV = 24 KM = 168 K pie

6 2 5

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P6-21. R

V

M

P 6-23. R

V

M

P6-2S. R ,

V

M

P6-27. R,

V

M

P6-29. R¡

V

M

P6-31. R ,

V -■

M

P6-33. R,

V >

M

P6-35. R i

V =

M ■■

P 6-37. R i

V =

M ■■

P6-39. R =

V = JW =

P6-41. R =

V = M =

P6-43. R , =

V =

M =

P6-45. R, =

V =

M =

P 6-47. R, =

V =

M =

P6-49. R, =

= Ai =

P6-51. R , =

= M -

= 1800 N

= 1800 N

= 1020 N m

= 120 k N

= 120 k N

= 2 4 0 k N m

= R 2 - 180 Ib

= 180 Ib

= 810 lb -p lg

= 2 4 0 Ib; R 2 = 120 Ib

= 2 4 0 Ib

= 6 4 0 lb p lg

= 9 9 .2 N ; R , = 6 5 .8 N

= 9 9 .2 N

= 9 .9 N m

= 4 2 k N ; R 2 = 5 0 k N

= 5 0 kN

= 152.2 k N m

= R 2 = 4 4 0 Ib

= 2 4 0 Ib

= 3 6 0 lb p lg

= 1456 N ; R , = 6 4 4 N

= 9 5 6 N

= 125 N m

= 3 5 .3 N ; R , = 9 2 .3 N

5 2 .2 N

= 4 .0 N m

3 6 0 Ib

3 6 0 Ib

= 1620 lb p lg

6 0 0 N

6 0 0 N

■ 2 0 0 N m

■ R 2 = 3 3 0 Ib

3 3 0 1b

■ 4 2 0 0 lb p lg

= 3 6 .6 K ; R 2 = 3 0 .4 K

3 6 .6 K

183.2 K p ie

■ R 2 = 4 5 0 N

4 5 0 N

172.5 N m

180 kN ; R , = 190 k N

190 k N

6 3 0 k N m

* 3 6 Ib; R , = 1344 Ib

8 0 4 Ib

2 5 2 8 lb p lg

6 2 6

P 6 -5 3 . R , = 4950 N; R 2 = 3100 N

V = 2950 N

M = 3350 N m

P 6 -S 5 . R = 236 Ib

V = 236 Ib

M = 1504 lb plg

P 6 -5 7 . R = 1130 N

V = 1130 N

M = 709 N m

P 6 -S 9 . R = 230 kN

V = 230 kN

M - 430 kN -m

P 6 -6 1 . R = 1400 Ib

V = 1500 Ib

M = 9 9 0 0 0 lb p lg

P 6 -6 3 . R = 1250 N

V = 1250 N

M = 1450 N-m

P 6 -6 5 . R , = 1333 Ib; R 2 = 2667 Ib

V = 2667 Ib

M = 5132 Ib fi

P 6 -6 7 . R, = R 2 = 75 N

V = 75 N

A/ — 15 N-m

P 6 -6 9 . R i « 8 .60 kN ; R 2 = 12.2 kN

V = 12.2 kN

M = 9 .30 kN m

P 6 -7 1 . R, = R 2 = 5 400 Ib

V = 5 400 Ib

M = 19800 Ib-ft

P 6 -7 3 . R = 10.08 kN

y = 10.08 kN

M = 8 .064 kN m

P 6 -7 5 . R = 7875 Ib

V = 7875 Ib

M = 21063 lb-ft

P ara los p ro b lem as P 6 -7 7 a P 6 -8 3 , los resu ltados se dan sólo

p ara la sección principal horizon tal.

P 6 -7 7 . R, = R2 = 282 NV = 282 N

M 120 N-m

P 6 -7 9 . R , = R 2 = 162 N

V = 162 N

M = 4 2 .2 N-m

P 6 -8 1 . R, = 165.4 N; R 2 = 18.4 N

V = 165.4 N

M = 16.54 N-m

R espuestas a p rob lem as se leccionados

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P 6 -8 3 . R¡ = 4 .35 N; R 2 = 131.35 N

V = 127 N

M = 6 .35 N-m

Capítulo 7

N O T A : Las respuestas sigu ien tes se refieren a las figuras

P 7 -1 a P 7 -3 9 . El primer número e s la distancia de la base de

la secc ión al centroide a m enos que se indique de otra m ane

ra. El segundo núm ero es el m om ento de inercia con respecto

al eje centroidal horizontal.

P7—1. 0 .663 pig; 0 .3 1 5 6 pig4

P 7 -3 . 4 .0 0 pig; 184 p ig4

P 7 -5 . 35 .0 mm ; 2 .66 X I05 mm 4

P 7 -7 . 2 0 .0 m m ; 7 .29 X I04 m m 4

P 7 -9 . 2 0 .0 m m ; 1.35 X 105 m m 4

P 7 -1 1 . 21.81 m m ; 1.86 X 105 mm 4

P 7 -1 3 . 23 .33 mm; 1.41 X I05 mm 4

P 7 -1 5 . 1.068 pig; 0 .3 5 7 2 p ig4

P 7 -1 7 . 1 2 5 m m ;6 .7 3 x 107m m 4

P 7 -1 9 . 0 .9 3 0 5 p ig; 1.25 0 6 p ig4

P 7 -2 1 . 4 .2 5 pig; 151.4 p ig4

P 7 -2 3 . 2 .25 pig; 107 .2 p ig4

P 7 -2 5 . 7 .33 pig; 1155 p ig4

P 7 -2 7 . 7 .4 0 pig; 4 2 3 .5 p ig4

P 7 -2 9 . 3 .5 0 pig; 8 8 .9 4 p ig4

P 7 -3 1 . 3 .0 0 p ig a partir del centro de cualquiera de lo s tubos;

22.91 p ig4

P 7 -3 3 . 2 .723 pig: 4 6 .6 4 p ig4

P 7 -3 5 . 2 .612 pig; 58 .1 7 p ig4

P 7 -3 7 . 3 .5 0 pig; 17.89 p ig4

P 7 -3 9 . 3 .3 5 5 pig; 4 5 .0 7 p ig4

8 -1 . 9 4 .4 MPa

8 -3 . (a) 20 62 0 lb/plg2

(b) 41 2 4 0 lb /p lg2

8 -5 . 21 05 0 lb /p lg2

8 -7 . a, = 6 8 8 2 lb /p lg2

a c = 12 9 7 0 lb/p lg2

8 -9 . 5 7 9 4 lb/p lg2 (3 9 .9 M Pa)

8 -1 1 . 13 963 lb /p lg2

8 -1 3 . Se r eq u ieres1® 2 6 3 6 m m 3; para h/b = 3.0;

b = 12.1 mm; A = 36 .3 m mD im en sion es con ven ien tes tom adas del apénd ice A-2:

b = 1 2 m m ;/t = 4 0 m m ; 5 = 32 0 0 m m ’;

A = 48 0 m m 2; h /b = 3.33

b = 14 m m ; h = 35 mm; 5 = 2858 m m 3;

A = 49 0 m m 2; h /b = 2 .5

8 -1 5 . Se requiere s „ = 2 9 0 M Pa;

material posib le - 6 0 6 1 -T 6

8 -1 7 . Se requiere 5 = 8 8 .2 p ig 3; v ig a de acero W 20 x 66

8 -1 9 . Se requiere s„= 10.6 ksi; O K p a ra 6 0 6 1 -T 4

8 -2 1 . S e requiere sy= 2 8 4 M Pa; O K para 2 0 1 4-T 4

8 -2 3 . S e requiere S = 1 .35 p ig3; tubo d e acero cédula 4 0 de

3 pig

8 -2 4 . S e r e q u ie r e S = 6 .8 9 p lg 3; t u b o d e a c e r o 6 x 4 x l / 4 u

8 x 2 x 1/4

8 -2 5 . Se requiere S = 6 .7 2 p ig3; v iga de alum inio

6 1 x 4 .0 3 0

8 -2 6 . S e requiere S = 7 .4 7 p ig3; v iga de acero W 8 x 10

8 -2 7 . S e requiere 5 = 7 .47 p ig 3; ningún canal adecuado

8 -2 8 . Se requiere S = 7 .47 p ig3; tubo de acero cédula 4 0 de

6 p ig

8 -3 1 . Se requiere S = 9 .7 6 p ig3; v iga de acero W 10 x 12

8 -3 3 . S e requiere 5 = 23.1 p ig3; v iga de acero W 1 4 x 2 6

8 -3 5 . Se requiere S = 16.1 p ig3; v iga de acero W 1 2 x 16

8 -3 7 . Se requiere S = 6 3 .3 p ig3; v iga de acero W 1 8 x 40

8 -3 9 . Se requiere S = 2 0 .2 p ig3; v iga de acero W 14 x 26

8 -4 1 . Se requiere 5 = 0 .5 4 0 p ig3; v iga de acero W 8 x 10

8 -4 3 . Se requiere S = 23 .1 p ig3; v iga de acero S 1 0 x 2 5 .4

8 -45 . S e requiere 5 = 1 6 .1 p ig3; v iga de acero S8 x 23

8 -47 . S e requiere S = 6 3 .3 p ig3; v iga d e acero S 15 x 5 0

8 -4 9 . S e requiere 5 = 2 0 .2 p ig3; v iga de acero S 10 x 25 .4

8 -51 . S e requiere S = 0 .5 4 0 p ig3; v iga de acero S3 x 5 .7

8 -5 3 . Se requiere S = 13 .85 p ig 3; v iga de acero W 1 2 x 16

8-55 . S e requiere 5 = 9 .6 6 p ig3; v iga de acero W 1 0 x 12

8-57 . Se requiere S = 3 8 .0 p ig3; v iga de acero W 12 x 3 0

8 -5 9 . Se requiere S = 12 .12 p ig3; viga de acero W 1 0 x 1 5

8 -6 1 . S e requiere S = 0 .3 2 p ig3; v iga de acero W 8 x 10

8 -6 3 . Se requiere S = 18 .8 p ig3; v iga de m adera de 2 x 10

8-6 5 . V iga de madera de 2 x 8

8 -6 8 . Se requiere 5 = 11.1 p ig3; v iga de m adera de 2 x 8

8-6 9 . S e requiere 5 = 2 5 .0 p ig3; v iga de m adera de 2 x 12

8-7 0 . S e requiere S - 2 .7 9 p ig3; v iga de m adera d e 2 x 4

8 -7 1 . S e requiere 5 = 12.5 p ig3; v iga de madera de 2 x 8

8-7 5 . V iga de m adera de 10 X 12; p in o del sur no. 2

V iga de acero W lO x 12; acero A S T M A 3 6

6 2 7R espues tas a prob lem as se lecc ionados

Capítulo 8

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8 -7 7 . <Td = 4 .3 MPa

En A: < 7 = 3 .8 1 M Pa; O K

En B: cr = 5 .1 6 M Pa; inseguro

En C: <7 = 4 .6 2 M Pa; inseguro

8 -7 9 . 5.31 N /m m

8 -8 1 . 1180 N

8 -8 3 . 1045 Ib

8 -8 5 . 102 Ib

8 -8 7 . 6 .7 7 lb /p lg

8 -8 9 . 3 .2 0 p ies del m uro a la junta

e l t u b o d e 4 p lg e s seguro en e l muro

8 -9 1 . 3 9 8 M Pa en C

8 -9 3 . En el fu lcro, a = 8 0 0 0 lb /p lg2

En el agujero inferior, o = 50 6 7 lb /p lg2

En el agujero s igu iente, <7 = 3 8 0 0 lb/p lg2

En el agujero s igu iente, a = 2 5 3 4 lb/p lg2

E n el agujero sigu ien te , a = 1267 lb/plg2

8 -9 4 . En el fu lcro, <7 = 8 0 0 0 lb /p lg2

En el agujero inferior, a = 10 0 0 0 lb/p lg2

En el agujero siguiente, a = 7 5 0 6 lb/plg2

En el agujero siguiente, <7 = 5 0 0 4 lb/p lg2

E n e l agujero sigu iente, a = 2 5 0 0 lb/p lg2

8 -9 5 . (a) C on p ivo te en e l agujero extrem o com o se muestra:

E n el fu lcro, a = 80 0 0 lb/p lg2

E n el agujero inferior, a = 8 0 6 4 lb /p lg2

C on el p ivote en cualquier otro agujero, e l esfuerzo

m áxim o ocurre en e l fu lcro. C on el p ivote en:

A gujero 2: <7= 6 8 0 0 lb /p lg2

A gujero 3: c r = 5 6 0 0 lb /p lg2

A gujero 4: <7= 4 4 0 0 lb /p lg2

A gujero 5: <7= 3 2 0 0 lb /p lg2

8 -9 7 . 109 M Pa

8 -9 8 . 149 M Pa

8 -9 9 . S e requiere s„ = 1 195 M Pa

AISI 4140 OQT 9 0 0 (otros p osib les)

8 -1 0 0 . 2513 N

8 -1 0 1 . 1622 N

8 -1 0 3 . Im posible

8 -1 0 5 . Sí.</m4x= 3 7 .2 m m

8 -1 0 6 . 1 18 M Pa en e l prim er esca lón (L¡)

8 -1 0 7 . S e req u iere^ = 9 4 6 M Pa

A IS I 1141 O Q T 9 0 0 (otros p osib les)

8 -1 0 9 . £ lmta= 2 0 6 m m

L2mi, = 83.4 mm

£ 3,ni* = 24 .7 m m

6 2 8

x (m m ) o- (M Pa)

0 0

40 52.1

80 76.5

120 87.9

160 92.6

200 93.8

240 112.5

8 -1 1 3 . h i = 22 m m ; h¡ = 22 mm

8 -1 1 5 . S e r e q u ie r e S = 2 2 .7 3 p lg 3

W 14 X 26

8 -1 1 7 . Para v iga com puesta: w = 4 .1 8 k /p ie

Para v iga S sola: w = 3 .5 8 k /pie

8 -1 1 8 . 11.5 mm

8 -1 2 0 . 0 .805 in

8 -1 2 2 . 25 .5 m m

8 -1 2 4 . 4 6 m m del centro

8 -1 2 6 . e = 12.9 mm

8 -1 2 7 . 4 .9 4 lb/in

8 -1 2 9 . 822 N

8 -1 3 1 . 625 N

8 -1 3 3 . 21 .0 kN

8 -1 3 4 . 6 .9 4 kN /m

8 -1 3 5 . 9 .6 9 kN /m

8 -1 3 6 . 48 .0 kN

8 -1 3 7 . 126 kN

Capítulo 9

9 - 1 . 1.125 M Pa

9 -3 . 1724 psi

9 -5 . 3 .05 M Pa

9 - 7 . 3180 psi

9 -9 . 1661 psi

9 -1 1 . 69 .3 psi

9 -1 3 . 7 .46 MPa

9 -1 5 . 2 .79 MPa

9 -1 7 . 10.3 MPa

9 -1 9 . 2342 psi

9 -2 1 . 245 Ib

9 -2 3 . 788 Ib

9 -2 5 . 5098 Ib

9 -2 7 . 661 Ib

9 -2 9 . 787 Ib

R espues tas a p rob lem as seleccionados

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9 -3 1 . Seajy = d is ta n c ia a p a r t i r d e la b a s e de l p e rf il I:

y (in ) T ( PSÍ)

0.0 0.00.5 5 .65

1.0( - ) 10.54

l-0( + ) 6 3 .2 5

1.5 6 7 .3 9

2.0 7 0 .78

2.5 7 3 .4 2

3 .0 7 5 .3 0

3.5 7 6 .43

4 .0 76.81

9 -3 3 . 86 9 8 psi

9 -3 5 . C o n la fó rm u la p a ra c o r ta n te en el a lm a

r = 8041 psi

A p ro x im a d a m e n te 8% m á s b a jo c o m p a ra d o c o n z¡,láx

d e l p ro b le m a 9 -3 3

9 -3 7 . S e a 7 = d is ta n c ia a p a r t ir d e la b a s e d e l p e rfil I:

y (in)

0.0 0 .1 7 5

0 . 3 5 ( - )

0 .3 5 ( + )

1.0

2.03 .0

4 .0

T ( P S Í )

0155

303

6 5 8 2

7 0 7 3

7 6 3 8

7 9 7 6

80 8 9

9 -3 9 . r = 4 3 5 2 lb /p lg 2;

Td = 1 4 4 0 0 lb /p lg 2; O K

a = 2 6 100 lb /p lg 2;

(Td = 23 7 6 0 lb /p lg 2; in s e g u ro

9 -4 1 . W 18 X 55; t = 6 3 0 0 lb /p lg 2;

rd = 1 4 4 0 0 lb /p lg 2; O K

9 -4 3 . T u b o c é d u la 4 0 d e 1 1/4 p ig

r = 2 4 0 4 lb /p lg 2;

Tj = 8 0 0 0 lb /p lg 2; O K

9 -4 5 . V ig a d e 4 x 1 0

9 -4 7 . 1256 Ib

9 -4 9 . 116.3 M P a

9 -5 1 . (a) r = 1125 lb /p lg 2;

(b ) o- = 6 7 5 0 lb /p lg 2;

(c) sy = 2 0 2 5 0 lb /p lg 2; c u a lq u ie r a c e ro

9 -5 3 . 3 5 .4 m m ; t = 1.59 M P a ;

N = 86 .7 p a ra c o r ta n te

9 -5 5 . 2 4 .5 m m ; r = 1.28 M P a ;

<r,i = 120 M P a

9 -5 7 . S e re q u ie re S = 0 .4 5 p ig 3; tu b o c é d u la 4 0 d e 2 p ig

9 -5 9 . q = 7 3 6 lb /p lg ; r = 5 2 6 lb /p lg 2

9 -6 1 . 4 31 lb /p ie b a sa d a e n la re s is te n c ia d e lo s re m a c h e s

9 -6 3 . 17 2 2 Ib b a s a d a e n fle x ió n

9 -6 5 . S e p a ra c ió n m á x im a = 4 .3 6 p ig

9 -6 7 . S e p a ra c ió n m á x im a = 3 .0 3 p ig

C a p ítu lo 10

N O T A : L a s s o lu c io n e s c o m p le ta s d e lo s p ro b le m a s 10-1 a 1 0-27 re q u ie re n la c o n s tru c c ió n d e l c írc u lo d e M o h r c o m p le to y el

tra z o d e l e le m e n to s o m e t id o a e s fu e r z o p r in c ip a l y de l e le m e n to s o m e tid o a e s fu e r z o c o r ta n te m á x im o . A c o n tin u a c ió n se d a n

lo s re s u lta d o s n u m é r ic o s s ig n if ic a tiv o s . ( sh = s e n tid o h o ra r io , sah = s e n tid o a n tih o ra r io )

► b.Núm. (T\ &2 0 (g ra d o s ) ináx ^prom- <¡f (g ra d o s )

1 3 1 5 .4 M P a 115.4 M P a 10.9 sh 2 1 5 .4 M P a 100.0 M P a 34.1 sah

3 110.0 M P a - 4 0 . 0 M P a 2 6 .6 sh 7 5 .0 M P a 3 5 .0 M P a 18.4 sah

5 2 3 .5 ksi — 8.5 ksi 19.3 sah 16.0 ksi 7 .5 ksi 6 4 .3 sah

7 7 9 .7 ksi - 9 . 7 ksi 31 .7 sah 4 4 .7 ksi 3 5 .0 ksi 76 .7 sah

9 6 7 7 .6 kP a - 9 7 7 .6 k P a 7 7 .5 sah 8 2 7 .6 k P a - 1 5 0 .0 kP a 5 7 .5 sh

11 3 2 7 .0 kP a - 1 2 0 2 .0 k P a 6 0 .9 s a h 7 6 4 .5 k P a - 4 3 7 .5 kP a 74.1 sh

13 5 7 0 .0 lb /p lg 2 - 2 0 7 0 .0 lb /p lg 2 7 1 .3 sh 1 320 .0 lb /p lg 2 - 7 5 0 .0 lb /p lg 2 2 6 .3 sh

15 4 1 8 0 .0 lb /p lg 2 - 5 1 8 0 .0 lb /p lg 2 7 1 .6 sh 4 6 8 0 .0 lb /p lg 2 - 5 0 0 .0 lb /p lg 2 2 6 .6 sh

17 3 6 0 .2 M P a - 1 0 0 .2 M P a 27 .8 sah 2 3 0 .2 M P a 130.0 M Pa 7 2 .8 sah

19 2 3 .9 ksi - 1 . 9 ksi 15.9 sh 12.9 ksi 11.0 ksi 29.1 sa h

21 4 .4 ksi —3 2 .4 ksi 20 .3 sh 18.4 ksi - 1 4 . 0 ksi 24 .7 sah

23 3 2 1 .0 M P a - 6 1 . 0 M P a 6 6 .4 sah 191.0 M P a 130.0 M P a 68.6 sh

25 2 2 5 .0 M P a - 8 5 . 0 M P a 0.0 155.0 M P a 7 0 .0 M P a 4 5 .0 sah

27 7 7 5 .0 kP a - 1 4 5 . 0 k P a 0.0 4 6 0 .0 k P a 3 1 5 .0 kP a 4 5 .0 sah

R espues tas a p rob lem as se leccionados 6 2 9

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E n lo s p ro b le m a s 10—2 9 a 10—3 9 , e l c irc u lo d e M o h r tra z a d o co n lo s d a to s d a d o s d a co m o re s u lta d o q u e lo s d o s e s fu e rzo s

p r in c ip a le s te n g a n e l m is m o s ig n o . E n e s ta c la se se p ro b le m a s , se d ib u ja e l c írc u lo su p le m e n ta r io s ig u ie n d o lo s p ro c e d im ie n to s

d e sc r ito s e n la s e c c ió n 1 0 -1 1 d e l te x to . L o s re su lta d o s in c lu y e n tre s e s fu e rz o s p r in c ip a le s d o n d e cr, > <r2 > cr3. A d e m á s , el

e s fu e rz o c o rta n te m á x im o se c a lc u la c o n e l ra d io d e l c írc u lo q u e c o n tie n e <7, y a¡, y e s ig u a l a 1/2 cr, o 1/2 a , , c u a lq u ie ra q u e sea

m a y o r. N o se p id e n lo s á n g u ló s d e ro ta c ió n d e lo s e le m en to s re su ltan tes .

Prob . (T i

29 328.1 M Pa 71 .9 M Pa

31 214 .5 M P a 75 .5 M Pa

33 35 .0 ksi 10.0 ksi

35 5 5 .6 ksi 14.4 ksi

37 0 .0 k P a - 3 0 7 .9 kPa

39 0 .0 lb /p lg 2 - 2 9 5 .7 lb /p lg 2

0 .0 M P a

0 .0 M Pa

0 .0 ksi

0 .0 ksi

-8 6 7 .1 kP a

-1 8 0 4 .3 lb /p lg 2

164.0 M Pa

107.2 M Pa

17.5 ksi

2 7 .8 ksi

43 3 .5 kPa

902.1 lb /p lg 2

E n lo s p ro b le m a s 1 0 - 4 1 a 10 - 4 9 , s e u san lo s c irc u io s d e M o h r de p ro b le m a s p re c e d e n te s p a ra d e te rm in a r la c o n d ic ió n de

e s fu e rz o e n el e le m e n to a u n á n g u lo d e ro ta c ió n e sp e c if ic a d o . L o s re s u lta d o s e n u m e ra d o s in c lu y e n lo s d o s e s fu e rz o s n o rm a le s

y el e s fu e rzo c o r ta n te e n e l e le m e n to e sp e c i ficado .

P ro b . n ú m . <Ta ov

130.7 M Pa

- 3 7 . 9 M P a

3 .6 ksi

- 2 0 1 0 .3 lb /p lg 2

8363 .5 lb /p lg 2

41

43

45

47

49

10-51. = 230.2 MPa

10-53. 1*, = 12.9 ksi

C apitulo 11

11-1. - 1 0 5 1 0 lb /p lg 2

11-3. <t n = 9 4 8 0 lb /p lg 2;

<Tm = ~ 7 5 3 0 lb /p lg 2

11-5. <t n = 1 3 9 8 0 lb /p lg 2 ;

orM = - 1 5 931 lb /p lg 2

11-7. - 6 4 . 3 M P a

11-9. 415 N

1 1 -1 1 . a = 7 2 4 M P a ;

se re q u ie re s, = 1 448 M P a ;

A IS I 4140 O Q T 70 0

11-13. E n B : <7= 2 4 1 8 3 lb /p lg 2 te n s ió n e n la c a ra su p e r io r

de la v ig a

<7= —18 6 7 4 lb /p lg 2 c o m p re s ió n e n la c a ra in fe r io r

de la v ig a

11-15. C a rg a = 9 6 5 0 N ;

M a s a = 9 8 3 k g

11-17. 2 6 m m

11-19. 18.7 m m

11-21. 7 1 .6 M P a

11-23. 2 5 4 8 psi

11-25. 7189 psi

6 3 0

6 9 .3 M P a

197.9 M P a

- 2 1 . 6 ksi

51 0 .3 lb /p lg 2

86 .5 lb /p lg 2

213.2 M Pa sh

31.6 M P a sah

43.9 ksi sh

392.6 psi sh

1421.2 psi sh

11-27.

11-29.

11-31.

11-33.

11-35.

11-37.

11-39.

11-41.

11-43.

5 1 .6 M P a

9 8 2 M P a

r = 9 9 2 3 p s i, s , = 119 ksi

51 .5 M P a

7548 lb /p lg 2

7 149 lb /p lg 2

61 .5 M P a

(a) 3438 psi

(b ) 3 438 psi

(c) 3 4 4 psi

(d) 2 3 0 0 psi

(e) 1186 psi

A la m ita d C e rc a d e

d e la v ig a lo s a p o y o s

(a)

(b)

(c )

1875 psi

1875 psi

0 psi

1250 psi

6 25 psi

11-45.

11-47.

(d)

(e)

75 .3 M P a

(a) P - 4 3 1 6 7 Ib;

Tnto = 8333 psi

(b ) = 8862 psi;

0 psi

0 psi

37 5 psi

20 8 psi

333 psi

N = 2 .8 2

A 15 p lg d e A

1406 psi

14 0 6 psi

188 psi

943 psi

4 98 psi

R espues tas a prob lem as seleccionados

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12- 1. - 2 .0 1 m m

12-3. - 0 . 5 0 3 m m

12-5. - 5 . 4 0 m m

12-7. E n las c a r g a s : -0 .2 5 1 p ig

E n e l c en tro : - 0 .3 8 5 p ig

12-9. - 0 . 4 2 4 p ig

12-11. - 0 .2 7 1 p ig

12-13. + 0 .0 9 3 p ig d e d e f le x ió n e n je = 6 9 .2 p ig

12-15. D = 6 4 .8 m m

12-17. I = 0 .0 2 0 p ig

12-19. y B = -1 .2 9 1 m m e n la c a rg a d e 8 4 0 N

y c — —3 .055 m m e n la c a rg a d e 6 0 0 N

y D = - 1 .3 5 3 m m e n la c a rg a d e 1 2 0 0 N

12-22. y B = - 0 .0 1 4 0 e n la c a rg a d e 85 Ib

yc = - 0 . 0 2 6 2 e n la c a rg a d e 7 5 Ib a p lic a d a e n e l e x tre m o

12-23. - 0 . 8 6 9 m m

12-25. - 3 . 9 9 7 m m

12-26. - 0 . 0 4 9 8 p ig

12-29. y - - 0 .0 0 7 8 p ig e n x = 8 .5 6 p ig

12-31. y = —3.79 m m

12-33. D = 6 9 .2 m m

12-35. V ig a d e a lu m in io 1 7 x 5 . 8 0 0

y — - 5 . 3 7 m m e m = 1.01 m

12-37. D = 109 m m

12-39. - 0 . 0 0 7 8 p ig

12-41. - 3 . 7 9 m m

12-43. —3 .4 4 5 m m

12—45. —5.13 m m

12-47. - 0 .0 1 1 3 8 p ig

12-49. - 0 . 2 5 7 p ig

12-51. - 7 1 .7 m m

Capítulo 13

P a ra lo s p ro b le m a s 13-1 a 1 3 -2 7 , se re p o r ta n lo s

v a lo re s s ig u ie n te s :

R e a c c io n e s e n to d o s lo s a p o y o s

F u e rz a s c o r ta n te s e n p u n to s c r ític o s

M o m e n to s f le x io n a n te s e n p u n to s c r ític o s

D e f le x ió n m á x im a o d e f le x ió n e n p u n to s s e le c c io n a d o s

e x p r e s a d a como, y = C¿ /El

C u a n d o e sp e c if iq u e e l m a te r ia l, e l p e rf il y las d im e n s io n e s de

la v ig a , p u e d e c a lc u la r su r ig id e z , El, y u s a r la p a ra c a lc u la r la

C a p ítu lo 12

R espuestas a p rob lem as se leccionados

d e f le x ió n . L a s d e fle x io n e s e s ta rá n e n la u n id a d de lo n g itu d

d a d a c u a n to E e / e s t á n e n la s m is m a s u n id a d e s d e fu e rz a y

lo n g itu d d a d as en las re s p u e s ta s . P o r e je m p lo , en e l p ro b le m a

13 -1 , la lo n g itu d e s tá e n m , la fu e rz a e n N. P o r ta n to la d e f le

x ió n e s tá e n m c u a n d o E e s tá e n N /m 2 (P a ) e / e s t á e n m 4.

13-1. R a = Va = 2 4 0 6 3 N , R c = ~ V C = 1 0 9 3 8 N

A/„ = - 2 6 2 5 0 N m , M„ = 2 1 8 7 5 N m ,

M c = 0 N m

y»*, = ( —2 0 9 3 4 ) / £ / a l . 7 9 m d e C .

13-3. R A = VA = 18 7 6 0 N , R c = ~ V C = 16 2 3 5 N

M A = - 2 2 5 6 0 N m , M„ = 2 4 3 5 3 N m ,

M c — 0 N m

y B = ( - 2 1 6 2 9 ) /E I e n la c a rg a

13-5. R A = VA = 5 0 0 Ib, R a = - V , - 3 0 0 Ib

M a = - 1 6 0 0 l b p lg , M l (m á x ) = 9 0 0 lb -p lg en

jc = 10 .0 p lg ,A f( ,= 0 lb -p lg

= ( - 1 7 7 1 2 ) /E l e n x = 9 .2 6 4 p lg

13-7. R a = Va = 1 7 5 0 0 N , R c = - V f = 1 7 5 0 0 N

M a = - 1 7 5 0 0 N m , M B = 1 7 5 0 0 N m ,

M c = - 1 7 5 0 0 N m

^mix= ( - 1 0 1 2 7 ) /E l e n B e n e l c e n tro

13-9. R a = VA = 11074 N , R c = - V c = 2 3 9 2 6 N

M a = - 1 2 3 0 5 N m , M * = 15381 N m ,

M c = - 2 0 5 0 8 N m

= ( —1 0 12 7 ) / £ / e n B e n e l c e n tro

13-11. R a - V a = 4 0 0 Ib, R„ = ~V„ = 4 0 0 Ib

M a = - 1 0 6 7 l b p lg , M b= 5 3 3 lb p lg ,

M c = - 1 0 6 7 l b p l g

^míx ( - 8 5 3 3 ) /E I e n e l c e n t r o

13-13. R a = VA = 150 Ib, R b = 5 0 0 Ib,

« c ------Vc = 150 Ib

M a - 0 l b p lg , M b = - 4 0 0 lb -p lg , M c ~ 0 lb -p lg

M d = M c = 2 2 5 lb -p lg e n x = 3 .0 0 p ig a p a r t ir de A y C

J W 1 ( - 1 1 01)1 E l e n x = 3 .3 7 2 p ig a p a r t ir d e A o C

13-15. R A = R p = 106.7 Ib , R B = R c — 2 9 3 .3 Ib

VA = - V „ = 106.7 Ib , —VB = Vc = 160 Ib

M a = M d = 0 lb -p lg , M„ = W c = - 1 4 2 .2 lb -p lg

M a = 3 5 .6 lb -p lg

M c = M r = 1 1 3 .8 lb -p lg e n x = 2 .1 3 p ig a p a r t ir d e

A y D

13-17. «< = / ? £ = 7 8 .6 Ib, R B = R D = 2 2 8 .6 Ib,

R c = 185.6 Ib

V = - V £ = 7 8 .6 Ib , - V B = VD = 121.4 Ib,

Vc = 9 2 .8 Ib

M a = M e = 0 lb -p lg , M b = M d = - 8 5 .7 lb -p lg ,

A /c = -5 7 .1 lb -p lg

M f = M = 6 1 - 8 lb -p lg e n x = 1 .5 6 p ig a p a r t ir d e A y E

M c = M h = 2 9 . 1 lb -p lg e n x = 2 .1 6 p ig a p a r t ir d e B y D

631

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13-19. R A = VA = 2 2 5 0 0 N , R„ = V, = 13 5 0 0 N

M a = - 8 1 0 0 N m , M £ = 4 5 5 6 N m a 0 .6 7 5 p lg

d e f l

^ , = - 1 1 3 5 / £ 7 a 1 .0 4 2 deA

13-21. R A - VA = - 1 3 7 5 0 N . R„ = 3 1 7 5 0 N

Vs = - 1 8 0 0 0 N

M a = 12 6 0 0 N m , M„ = - 2 5 2 0 0 N m , M c = 0

Yc = - 4 0 7 1 9 /E I e n e l e x t r e m o d e r e c h o d e l

s e g m e n to s a lie n te

13-23. R a = /J c = V„ = - V c = 2 5 2 0 0 Ib, R„ = 8 4 0 0 Ib

Vs = 4 2 0 0 0 Ib

Aí„ = Mc = 0 , - - 1 3 4 4 0 0 lb pieM d = M , = 1 5 5 8 7 Ib -p ie e n x = 6 .0 p ie s a p a r t ir d e A o C

-1 .48 8 x 10” 1 b p ie1 )/AY a 6.74 pies de A o Cy mAx ( '

13-25. R„ = R e = V a = - Ve = 212 Ib,

Rn — R d = 617 Ib, /? c = 501 Ib

Vn = = 328 Ib, Vc = 251 Ib

M a = M e = 0 , M c -------1388 lb p lg

M h = M d = - 2 0 8 2 lb p lg

M r = M ,= 1501 lb -p lg a 1 4 .04 p lg á c A o E

M c = M h - 7 0 S lb -p lg a 1 9 .4 4 p l g d e B o D

13-27. RA = VA = 2 2 4 .6 N , R c = - V c = 2 5 .4 N

M a = - 2 .3 5 5 N -m , M , = 1.014 N -m , M c = 0

ye = ( -1 .3 8 6 X IO~4) / £ / e n la c a rg a

13-29. C o m p a ra c ió n d e lo s re s u lta d o s d e c in c o p ro b le m a s :

v /v , M m x M /M , y^nix y /y i

1. 1 3 -5 5 0 0 Ib 1.0 9 0 0 l b p lg 1.0 17 7 1 2 /El 1.02. 1 3-11 4 0 0 Ib 0 .8 0 - 1 0 6 7 l b p l g 1.19 8 5 3 3 /El 0 .4 8 23. 1 3 -1 3 5 0 0 Ib 1.0 4 0 0 l b p lg 0 .4 4 4 - 1 1 0 7 /E l 0 .0 6 2 54 . 1 3 -1 5 160 Ib 0 .3 2 0 142 l b p lg 0 .1 5 8 __ _5. 1 3 -1 7 121 Ib 0 .2 4 3 - 8 5 . 7 lb p lg 0 .0 9 5 2 — —

C o m p a ra c ió n d e lo s r e s u lta d o s d e t re s p ro b le m a s :

v /v , A U M /M , J W , y/y\ a A /A ,

1. 1 3 -3 0 1440 Ib 1.0 103 6 8 0 lb p lg 1.0 - 8 9 6 X 106/ £ / 1.0 6 3 .3 in 2 1.02. 1 3-31 9 0 0 Ib 0 .6 2 5 25 9 2 0 lb p lg 0 .2 5 - 3 7 2 X 106/ E / 0 .4 1 5 2 5 .4 in 2 0 .4013. 1 3 -3 3 5 7 6 Ib 0 .4 0 9 2 1 6 lb p lg 0 .0 8 9 — — 10.87 in 2 0 .1 7 2

13-35. C o m p a ra c ió n d e lo s d o s d is e ñ o s m o s tra d o s en la f ig u r a 13-4 :

(a ) V = 2 2 5 0 N , M = - 4 5 0 0 N -m ,

y = - 2 2 5 0 0 / E l

(b ) V = 3 375 N , M = - 4 5 0 0 N -m ,

y = - 2 0 2 5 0 /E l = 0 .9 0 ya

E s c a s a d ife re n c ia e n e l c o m p o r ta m ie n to d e los

d o s d is e ñ o s .

13-37. R a = VA = 32 .7 5 k N , R„ = - V i = 19.65 k N

M a = - 4 2 . 9 k N -m , M c = 24.1 k N -m

13-39. C o m p a ra c ió n d e c u a tro d is e ñ o s d e v ig a s p a ra s o p o r ta r u n a c a rg a u n ifo rm e m e n te d is tr ib u id a :

^«ix V/V, M mi, M /M , > má,

(a) 3 6 0 0 N

(b ) 7 2 0 0 N

(c) 4 5 0 0 N

(d ) 3 6 0 0 N

1.0

2.0

1.25

1.0

13-41. R A = VA = 2 2 5 0 0 N , R „ = V B = 1 3 5 0 0 N

M t = - 8 1 0 0 N -m , M £ = 4 5 5 6 N -m a 0 .6 7 5 p lg

d e B

—113 5 /£ /a 1,042 p lg de /I

3 6 0 0 N-m

— 1 4 4 0 0 N-m

- 3 6 0 0 N -m

- 2 4 0 0 N -m

1.04 .0

1.0

0 .6 7

- 6 0 0 0 / E l

- 5 7 6 0 0 / E l

- 2 4 9 0 / E l

— 1200/ El

y/y i

i.o9 .6

0 .415

0 .20

6 3 2 R espuestas a p rob lem as se leccionados

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1 3 - 4 3 . RÁ = R c = 371 Ib e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a

R c = 858 Ib e n e l a p o y o in te rm e d io

K é . = 4 2 9 Ib d e B a D e n tre las d o s ca rg as

d e 8 0 0 Ib

M inJ, = 1 1 13 lb p ie b a jo c a d a u n a d e las ca rg as

1 3 -4 5 . R a = 5 6 .5 kN , R¡ = 135 k N e n e l a p o y o in te rm e d io

R„ = 16.5 kN e n el e x tre m o d e rech o

F¡„(, = - 8 7 .5 k N e n C

Mn¡x = 3 2 .4 k N -m e n la c a rg a d e 8 0 kN

1 3 -4 7 . R a — 4 0 0 9 Ib e n e l e x tre m o fijo

R n = 1991 Ib e n e l a p o y o d e rech o

l^mix= 4 0 0 9 Ib en A

Mmx = - 8 4 9 0 l b p ie en A

1 3 -4 9 . R¿ = R f: = 371 Ib en lo s e x tre m o s de la v ig a

R c = 858 Ib e n e l a p o y o in te rm ed io

= 4 2 9 Ib de B a D e n tre las d o s ca rg as

d e 80 0 Ib

Ai»»* = 1113 lb -p ie b a jo c a d a u n a d e las ca rg as

1 3 - 5 1 . RA = 5 6 .5 k N , R , = 135 k N e n e l a p o y o in te rm ed io

R„ = 16.5 k N e n e l e x tre m o d e rech o

= - 8 7 .5 k N e n C

= 3 2 .4 k N -m e n la c a rg a d e 80 k N

1 3 -5 3 . R,s = 8 .9 0 kN , R c = 34.1 kN en e l a p o y o in te rm e d io

R„ — 6 .0 0 k N e n e l e x trem o d e rech o

= 18 .0 k N en C

M mix = 8 .9 kN -m en f ie n la ca rg a de 25 k N

1 3 -5 5 . R A = 21.1 kN , R , = 101.8 kN e n e l a p o y o in te rm ed io

R f: = 37.1 kN

Kmix = 6 2 .9 k N e n C

M míx = 3 1.7 k N -m e n B b a jo la ca rg a d e 6 0 kN

Capítulo 14

1 4 - 1 . 25.1 kN

1 4 - 3 . 8.35 kN

1 4 - 5 . 2 6 .2 kN

1 4 - 7 . 111 k N

1 4 _ 9 . p o= 7318 Ib /co lu m n a ; u se 9 c o lu m n a s

1 4 - 1 1 . 4 9 9 k N

1 4 - 1 3 . 65 3 0 0 1b

1 4 - 1 5 . F u e rz a ax ia l = 31 .1 k N ; c a rg a c rític a = 2 6 0 kN ;

N = 8 .37 OK

1 4 - 1 7 . 15.1 k N

1 4 - 1 9 . C a rg a c ritic a = 10 9 1 4 Ib; c a rg a rea l = 5 0 0 0 Ib;

iV = 2 .1 8 ;b a ja

1 4 - 2 1 . C a r g a crític a = 2 8 4 9 Ib; c a rg a rea l = 1 5001b ;

N = 1 .90; b a ja

1 4 - 2 3 . 2 .6 8 p ig

1 4 - 2 5 . Se re q u ie re 1 = 5 .0 2 pig"1; 1 7 x 5 .8 0 0

1 4 - 2 7 . 5869 Ib

1 4 - 2 9 . 2 45 kN

1 4 - 3 1 . N a d a d e m e jo ra

Capítulo 15

1 5 - 1 . 115 M Pa

1 5 - 3 . 4.70 m m m ín im o

1 5 - 5 . 2134 lb /p lg2

1 5 - 7 . 1.80 m m

1 5 - 9 . N = 3 .80

1 5 - 1 1 . Oí = 212 M P a; <r, = - 7 0 . 0 M Pa

1 5 - 1 3 . R ad io (m m ) <r2 (M P a)

1101201 3 0

1 4 0

1 5 0

1 5 - 1 5 . 1 4 .8 8 M P a

1 5 - 1 7 . R ad io (m m )

15

17

19

2123

25

1 5 - 1 9 . 86.8 M P a

1 5 - 2 1 . R ad io (m m )

210

215

220

225

230

235

240

245

250

1 5 - 2 3 . R a d io (m m )

166 su p e rf ic ie in te rn a

149

136

125

116 su p e rfic ie e x te rn a

ir , (M P a)

- 7 . 0 0 s u p e rf ic ie in te rn a

- 4 .5 8

- 2 .8 8

- 1 .6 4

-0 .7 1

0.00 s u p e rf ic ie e x te rn a

<Ti (M P a)

- 100.0 su p e rfic ie in te rn a

- 8 3 .3

- 6 8 .0

-5 4 .1

- 4 1 .4

- 2 9 .7

- 1 9 .0

- 9 .1

0.00 s u p e rf ic ie e x te rn a

a i (M P a)

162.5 22.35 su p e rf ic ie in te rn a

170 20.99

177.5 19.84

185 18.88

192.5 18.06

200 17.35 su p e rf ic ie e x te rn a

Respues tas a problem as seleccionados6 3 3

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15-25. Los tamaños de 1/8 a 4 son para pared gruesa. Los tamaños de 5 a 18 son para pared delgada.

C apítu lo 16

16-1. (a) F, = 6872 Ib (permisible); Fb=26 1001b; F,= 15 179 Ib

(c) F, = 7732 Ib (permisible); Fb= 19595 Ib; F,= 172041b

16-2. (a) F, = 17 279 Ib (permisible); F„= 84 000 Ib; F,=43 1101b

(c)F, = 34 558 Ib (permisible); Fb = 84 000 Ib; F, = 43 1101b

6 3 4

16-3. (a)F,= l l 780 Ib (permisible); Ft = 31 5001b; F, = 21 083 Ib

(c)F,= 13 253 Ib (permisible); Fb = 23 625 Ib; F,=23 895 Ib

16-4. (a) F,= 17 279 Ib (permisible); F,= 86 220 Ib;(c) F ,= 34 558 Ib (permisible);F,= 86 220 Ib;

16-5. 1.25 plg

16-7. 23 860 Ib en las soldaduras

R espu esta s a p ro b lem as se lecc ionados

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Resistencia de materiales aplicada, 3ra edicion robert mott

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