Resistencia de materiales Para otros usos de este trmino, vase Resistencia.

La resistencia de materiales clsica es una disciplina de la ingeniera mecnica, la ingeniera estructural y la ingeniera industrial que estudia los slidos deformablesmediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algn modo.

Un modelo de resistencia de materiales establece una relacin entre las fuerzas aplicadas, tambin llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las simplificaciones geomtricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicacin de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.

Para el diseo mecnico de elementos con geometras complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar tcnicas basadas en la teora de la elasticidad o la mecnica de slidos deformables ms generales. Esos problemas planteados en trminos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con mtodos numricos como el anlisis por elementos finitos.

ndice

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1 Enfoque de la resistencia de materiales

2 Hiptesis cinemtica

o 2.1 Hiptesis cinemtica en elementos lineales

o 2.2 Hiptesis cinemtica en elementos superficiales

3 Ecuacin constitutiva

4 Ecuaciones de equivalencia

o 4.1 Elementos lineales

o 4.2 Elementos bidimensionales

5 Ecuaciones de equilibrio

o 5.1 Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectos

o 5.2 Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionales

6 Relacin entre esfuerzos y tensiones

o 6.1 Elementos lineales o unidimensionales

o 6.2 Elementos superficiales o bidimensionales

7 Relacin entre esfuerzos y desplazamientos

8 Vase tambin

9 Referencias

o 9.1 Bibliografa

o 9.2 Enlaces externos

Enfoque de la resistencia de materiales[editar]

La teora de slidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, para ciertas geometras aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosas, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y lminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el clculo de esfuerzos internos definidos sobre una lnea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Adems las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a travs de cierta hiptesis cinemtica. En resumen, para esas geometras todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones.

El esquema terico de un anlisis de resistencia de materiales comprende:

La hiptesis cinemtica establece cmo sern las deformaciones o el campo de

desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes.

Parapiezas prismticas las hiptesis ms comunes son la hiptesis de Bernouilli-

Navier para la flexin y la hiptesis de Saint-Venant para la torsin.

La ecuacin constitutiva, que establece una relacin entre las deformaciones o

desplazamientos deducibles de la hiptesis cinemtica y las tensiones asociadas. Estas

ecuaciones son casos particulares de las ecuaciones de Lam-Hooke.

Las ecuaciones de equivalencia son ecuaciones en forma de integral que relacionan las

tensiones con los esfuerzos internos.

Las ecuaciones de equilibrio relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores.

En las aplicaciones prcticas el anlisis es sencillo. Se construye un esquema ideal de clculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican frmulas preestablecidas en base al tipo de solicitacin que presentan los elementos. Esas frmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Ms concretamente la resolucin prctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:

1. Clculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de

compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en funcin

de las fuerzas aplicadas.

2. Anlisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La

relacin entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitacin y de la

hiptesis cinemtica asociada: flexin de Bernouilli, flexin de Timoshenko, flexin

esviada, traccin, pandeo, torsin de Coulomb, teora de Collignon para tensiones

cortantes, etc.

3. Anlisis de rigidez, se calculan los desplazamientos mximos a partir de las fuerzas

aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma

de la hiptesis cinemtica o bien a la ecuacin de la curva elstica, las frmulas

vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

Hiptesis cinemtica[editar]

La hiptesis cinemtica es una especificacin matemtica de los desplazamientos de un slido deformable que permite calcular las deformaciones en funcin de un conjunto de parmetros incgnita.

El concepto se usa especialmente en el clculo de elementos lineales (por ejemplo, vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hiptesis cinemtica se pueden obtener relaciones funcionales ms simples. As pues, gracias a la hiptesis cinemtica se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del slido deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional.

Hiptesis cinemtica en elementos lineales[editar]

La resistencia de materiales propone para elementos lineales o prismas mecnicos, como las vigas y pilares, en las que el desplazamiento de cualquier punto se puede calcular a partir de desplazamientos y giros especificados sobre el eje baricntrico. Eso significa que por ejemplo para calcular una viga en lugar de espeficar los desplazamientos de cualquier punto en funcin de tres coordenadas, podemos expresarlos como funcin de una sola coordenada sobre el eje baricntrico, lo cual conduce a sistemas de ecuaciones diferenciales relativamente simples. Existen diversos tipos de hiptesis cinemticas segn el tipo de solicitacin de la viga o elemento unidimensional:

La hiptesis de Navier-Bernouilli, que se usa para elementos lineales alargados sometidos

a flexin cuando las deformaciones por cortante resultan pequeas.

La hiptesis de Timoshenko, que se usa para los elementos lineales sometidos a flexin

en un caso totalmente general ya que no se desprecia la deformacin por cortante.

La hiptesis de Saint-Venant para la extensin, usada en piezas con esfuerzo normal para

zonas de la viga alejadas de la zona de aplicacin de las cargas.

La hiptesis de Saint-Venant para la torsin se usa para piezas prismticas sometidas

a torsin y en piezas con rigidez torsional grande.

La hiptesis de Coulomb se usa para piezas prismticas sometidas a torsin y en piezas

con rigidez torsional grande y seccin circular o tubular. Esta hiptesis constituye una

especializacin del caso anterior.

Hiptesis cinemtica en elementos superficiales[editar]

Para placas y lminas sometidas a flexin se usan dos hiptesis, que se pueden poner en correspondencia con las hiptesis de vigas:

hiptesis de Love-Kirchhoff

hiptesis de Reissner-Mindlin

Ecuacin constitutiva[editar]

Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las que explicitan el comportamiento del material, generalmente se toman como ecuaciones constitutivas lasecuaciones de Lam-Hooke de la elasticidad lineal. Estas ecuaciones pueden ser especializadas para elementos lineales y superficiales. Para elementos lineales en el clculo de las secciones, las tensiones sobre cualquier punto (y,z) de la seccin puedan escribirse en funcin de las deformaciones como:

En cambio, para elementos superficiales sometidos predominantemente a flexin como las placas la especializacin de las ecuaciones de Hooke es:

Adems de ecuaciones constitutivas elsticas, en el clculo estructural varias normativas recogen mtodos de clculo plstico donde se usan ecuaciones constitutivas deplasticidad.

Ecuaciones de equivalencia[editar]

Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribucin de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.

Elementos lineales[editar]

En elementos lineales rectos las coordenadas cartesianas para representar la geometra y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baricntrico de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales de inercia. En ese sistema de coordenadas la relacin entre esfuerzo normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momento torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es:

Ejes usuales para una pieza prismtica recta, con una seccin transversal recta, a la que se

refieren los esfuerzos de seccin.

Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensin para una pieza prismtica:

Elementos bidimensionales[editar]

Para elementos bidimensionales es comn tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2t y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los esfuerzos se componen de 4 esfuerzos de

membrana (o esfuerzos axiles por unidad de rea), 4 momentos flectores y 2 esfuerzos cortantes. Los esfuerzos

de membrana usando un conjunto decoordenadas ortogonales sobre una lmina de Reissner-Mindlin:

Donde son los radios de curvatura en cada una de las direcciones coordenadas y z es la altura sobre la superficie media de la lmina. Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores por unidad de rea vienen dados por:

El tensor tensin de una lmina general para la que valen las hiptesis de Reissner-Mindlin es:

Un caso particular de lo anterior lo constituyen las lminas planas cuya deformacin se ajusta a la hiptesis de Love-Kirchhoff, caracterizada por que el vector normal a la superficie media deformada coincide con la normal deformada. Esa hiptesis es una muy buena aproximacin cuando los esfuerzos cortantes son despreciables y en ese caso los momentos flectores por unidad de rea en funcin de las tensiones vienen dados por:

Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensin para una lmina de Love-Kirchhoff:

Ecuaciones de equilibrio[editar]

Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio paraelementos lineales y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elstico en trminos de los esfuerzos en lugar de las tensiones.

Las ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones generales de la teora de la elasticidad lineal:

Si en ellas se trata de substituir las tensiones por los esfuerzos internos, se llega entonces a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuacin, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales.

Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectos[editar]

En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma:

Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionales[editar]

Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexin anlogas a las ecuaciones de la seccin anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (vx, my) y la carga superficial vertical (qs):

Relacin entre esfuerzos y tensiones[editar]

El diseo mecnico de piezas requiere:

Conocimiento de las tensiones, para verificar si stas

sobrepasan los lmites resistentes del material.

Conocimiento de los desplazamientos, para verificar

si stos sobrepasan los lmites de rigidez que

garanticen la funcionalidad del elemento diseado.

En general, el clculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teora de la elasticidad, sin embargo cuando la geometra de los elementos es

suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho ms simple mediante los mtodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elstico.

Elementos lineales o unidimensionales[editar]

El clculo de tensiones se puede obtener a partir de la combinacin de las frmula de Navier para la flexin, la frmula de Collignon-Jourawski y las frmulas del clculo de tensiones para la torsin.

El clculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse a cabo a partir mtodos directos como la ecuacin de la curva elstica, los teoremas de Mohr o el mtodo matricial o a partir de mtodos energticos como los teoremas de Castigliano o incluso por mtodos computacionales.

Elementos superficiales o bidimensionales[editar]

La teora de placas de Love-Kirchhoff es el anlogo bidimensional de la teora de vigas de Euler-Bernouilli. Por otra parte, el clculo de lminas es el anlogo bidimensional del clculo de arcos.

El anlogo bidimensional para una placa de la ecuacin de la curva elstica es la ecuacin de Lagrange para la deflexin del plano medio de la placa. Para el clculo de placas tambin es frecuente el uso de mtodos variacionales.

Relacin entre esfuerzos y desplazamientos[editar]

Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia de materiales es el estudio de la rigidez. Ms concretamente ciertas aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos por encima de cierto valor prefijado. El clculo de las deformaciones a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios mtodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las frmulas vectoriales de Navier-Bresse, el uso de la ecuacin de la curva elstica, el mtodo matricial de la rigidez y otros mtodos numricos para los casos ms complejos.