Resistencia de Materiales

Propiedades Mecnicas de los Materiales

Esfuerzos sobre barrasBUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*Dr. Enrique Montiel Pia

BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales

El centroide (o baricentro o centro e simetra) C: concepto puramente geomtrico que indica el punto de concentracin de las fuerzas que actan sobre una figura (regular o irregular).

Centro de Gravedad G: Depende del campo gravitatorio.

Centro de masa CM: Se puede referir a cuerpos uni, bi o tridimensionales, como el caso del G y C, e indican la posicin de concentracin de toda la masa del cuerpo, el cual nos sirve para determinar el punto del cuerpo en el cual, al aplicarle una fuerza, sta no produce torque alguno. En estas condiciones se puede decir que el CM depende de la distribucin de materia.

C = CM si el cuerpo presenta una densidad uniforme.

CM = G requiere que un cuerpo se encuentre bajo la accin de un campo gravitacional uniforme.

El momento de inercia (o momento de un rea inercia rotacional): es una propiedad geomtrica de secciones transversales de elementos estructurales. Se relaciona con las tensiones y deformaciones mximas que se dan por flexin en un elemento estructural, con lo cual se determina la resistencia mxima de ese elemento bajo flexin. BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*Informacin til


Resistencia de Materiales: Estudia los slidos deformables a travs de modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos aplicados, sin romperse, deformaciones adquiridas (temporales o permanentes) e incluso algn deterioro.BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*Objetivo: determinar esfuerzos, desplazamientos de estructuras y sus componentes, que es esencial para el diseo seguro de casas, edificios, aviones, puentes, bancas de escuela, mquinas, motores, etc., etc., etc.


Conceptos bsicosUna barra prismtica es un elemento habitualmente recto, cuya seccin transversal es constante en toda su longitud.

Una fuerza axial es aquella dirigida a lo largo del eje de un elemento o cuerpo y que somete a ste a una tensin o una compresin. En el curso se considerarn fuerzas y/o cargas que de distribuyen de forma continua sobre el elemento.

Esfuerzo uniforme* sobre una barra prismtica de seccin transversal arbitraria y cargada axialmente se define como

*: Si la carga o fuerza axial acta a travs del centroide del rea de la seccin transversal. Si la fuerza no acta a travs de C, se genera una flexin.BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Si la barra se estira, decimos que el esfuerzo es de tensin, (tensin>0) si por el contrario, la barra es comprimida, el esfuerzo es de compresin (compresin

Cuando la carga de un esfuerzo se transmite a travs de un perno o pasador, se generan esfuerzo altamente localizados llamados Concentraciones de esfuerzos.

La Ec. (1) se puede emplear como buena aproximacin en cualquier punto dentro de una barra prismtica que est alejado de la concentracin de esfuerzos por lo menos una distancia igual a la dimensin lateral ms grande de la barra (en el caso de la figura anterior tal distancia es b.)BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Deformacin normal unitaria ( = )

Ejemplo 2.1: Clculo de la deformacin unitaria y forma de expresarla.

El alargamiento es el resultado acumulado de todos los elementos del material en todo el volumen de la barra o cuerpo, se cumple:

BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*Las unidades de y L se nen a , con lo que comnmente [] = mm/m, por ejemplo.


Cuando se tiene una barra prismtica y las deformaciones son uniformes en todo el volumen de la barra, las cargas pasen por los centroides de las secciones transversales y el material sea homogneo, el estado de esfuerzo y deformacin unitaria resultante se denomina esfuerzo y deformacin unitaria uniaxial.

Para tener compresin uniforme en una barra prismtica, se requiere que la fuerza axial acte por el centroide del rea de la seccin transversal.

Esto siempre ser as a menos que especifiquemos lo contrario.

Ejemplos 2.2 y 2.3BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Ejemplo 2.2: Un poste corto construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresin de 54 kips. Los dimetros interior y exterior del tubo son: d1= 3.6 in y d2= 5.0 in, respectivamente y su longitud es de 40 in. El acortamiento del poste debido a la carga es de 0.022 in (valor medido). Hay que determinar el esfuerzo de compresin y la deformacin unitaria en el poste. (Se desprecia el peso del poste y se supone que ste no se pandea bajo la carga.)Ejemplo 2.3: Una barra circular de acero de longitud L y dimetro d cuelga en el pozo de una mina y en su extremo inferior sostiene una cubeta con mineral de peso W; a) hay que obtener una frmula para el esfuerzo mximo max, tomando en cuenta el peso propio de sta; b) calcular el esfuerzo mximo si L = 40 m, d = 8 mm y W= 1.5 kN. Nota: El peso especfico del acero, acero, es de 77.0 kN/m3.BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plstico

La propiedad por la cual un material recupera sus dimensiones originales al ser descargado se llama elasticidad y la material se le llama elstico.BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


O B hay una carga, entonces ocurre la descarga de B CSe conserva una deformacin unitaria permanente (compresin o alargamiento residual).

O D proporciona la deformacin unitaria total y de D->C ocurre una recuperacin elstica, mientras que de O->C queda como una deformacin permanente.

Durante la descarga, la barra regresa a su forma original solo parcialmente, y se dice que el material es parcialmente elstico.

El procedimiento repetido de carga y descarga de A->E, nos lleva a encontrar el punto E, conocido como el Lmite Elstico del MaterialBUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*La caracterstica de un material por la cual sufre deformaciones unitarias inelsticas ms all de la deformacin unitaria en el lmite elstico se conoce como plasticidad.Cuando una carga se aplica durante periodos de tiempo largos, algunos materiales desarrollan deformaciones unitarias adicionales y se dice que fluyen plsticamente. Como ejemplo, se tiene las cuerdas de una guitarra.


Ley de hookeCuando un material se comporta en las primeras etapas de carga en forma lineal y elstica*, su diagrama - inicia con una lnea recta que pasa por el origen. A tal material se le denomina elstico lineal y la relacin matemtica asociada se denomina Ley de Hooke,

donde es el esfuerzo axial, es la deformacin unitaria axial y E es una constante llamada Mdulo de Elasticidad, que tiene valores relativamente grandes para materiales rgidos como los metales estructurales (acero: 210 Gpa), y para la mayora de los materiales E es casi el mismo en compresin que en tensin.* tpicamente la mayora de lo metales, madera, plsticos y cermicosBUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Razn de PoissonCuando una barra prismtica se somete a una tensin (compresin), el alargamiento (acortamiento) axial se acompaa de una contraccin (expansin) lateral, normal a la direccin de la carga aplicada, denominada Deformacin Unitaria Lateral (DUL), .

La en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformacin unitaria axial en el mismo punto si el material es elstico lineal. Sin embargo, para que las DUL sean las mismas en toda la barra, se requieren las siguientes condiciones: Fuerza axial debe ser constante en toda la longitud de la barra para que as lo sea la generada.El material debe ser homogneoPropiedades elsticas sean las mismas en todas las direcciones perpendiculares al eje longitudinal (material istropo).BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Conceptos importantes sobre materiales Homogneo: misma composicin y propiedades elsticas en toda su extensin o estructura, es decir, tales propiedades no son funcin de la posicin en el cuerpo en una direccin particular.

Isotrpico: las propiedades son las mismas en cualquier direccin en un punto dado, en otras palabras, tiene las mismas propiedades en cualquier plano que pasa por un punto, por lo que todos los planos que pasan por tal punto son planos de simetra de las propiedades del material.

Un material isotrpico puede ser homogneo o heterogneo. Un cuerpo o material isotrpico homogneo tendr todos los planos de simetra de las propiedades del material en cualquier punto, por ejemplo, el mdulo de Young del material, ser el mismo en cualquier punto y cualquier direccin (es homogneo e istropo).

Anistrpico: es aquel que no es isotrpico.

Ortotrpico: las propiedades en una direccin particular son las mismas en todo del material y en todas las direcciones perpendiculares a esa direccin son las mismas, pero diferentes de las primeras propiedades.BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


La razn de la DUL, , a la deformacin unitaria axial, , se conoce como razn de Poisson, se denota como y es:

La razn de Poisson siempre tiene un valor positivo y para la mayora de los materiales prcticamente siempre tiene el mismo valor en tensin que en compresin.

El cambio de volumen est dado por:

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Ejemplo:Un tubo de acero de longitud L=4.0 ft, dimetro exterior d2=6.0 in y dimetro interior d1= 4.5 in, est comprimido por una fuerza axial P=140 kp. El material tiene un mdulo de elasticidad E=30 000 ksi y una razn de Poisson =0.30. Determinar las siguientes cantidades en el tubo:El acortamiento ;La deformacin unitaria lateral ;El incremento d2 del dimetro exterior y el incremento d1 del dimetro interior;El incremento t del espesor de la pared; El incremento V del volumen del material yLa expansin unitaria e.BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


*BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de MaterialesEsfuerzos debidos a fuerzas cortantes y de aplastamiento Dr. Enrique Montiel Pia


Esfuerzo cortante acta tangencialmente a la superficie transversal del material

Si se aplica una carga en tensin, P, la placa y la abrazadera presionarn al perno en aplastamiento, desarrollando por un lado el esfuerzo de contacto llamado de aplastamiento y por otro lado tendern a cortar al perno. Esta tendencia es resistida por los esfuerzos cortantes en el perno.*BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales


Supongamos que los esfuerzo estn uniformemente distribuidos.1 y 3 son los esfuerzos de aplastamiento ejercidos por la abrazadera sobre el perno.2 son los esfuerzos producidos por la barra sobre el perno.

Calculamos un esfuerzo de aplastamiento promedio, b dado por:

Fb = fuerza lateral total de aplastamientoAb = rea proyectada de la superficie curva de aplastamiento.



Ejemplo de reas de aplastamientoPara la abrazadera (parte 1): El rea de aplastamiento es un rectngulo de altura igual al espesor de la abrazadera y ancho igual al dimetro del perno. En las condiciones de la figura anterior, parte c), la fuerza de aplastamiento es un medio de la carga aplicada.

Exactamente lo mismo ocurre con la parte 3:

Para la parte 2 se tiene: es el rea del rectngulo de altura igual al espesor de la barra y ancho igual al dimetro del perno. En este caso:

*BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales


De la parte c) de la figura anterior, existe la posibilidad de que el perno sea degollado a lo largo de las secciones transversales mn y pq.En la parte d) de la figura, se incluyen V = fuerzas cortantes sobre las superficies cortadas del perno (cortante doble en la situacin particular mostrada), en cuyo caso, cada una de las V es igual a la mitad de la carga total transmitida por el perno, es decir:

Las fuerzas cortantes son la resultante de los esfuerzos cortantes, , distribuidos en el rea de la seccin transversal (del perno), los cuales se ilustran en la parte e) de la figura (vista superior del perno).

Los esfuerzos en cortante actan paralelos a la superficie cortada. No se conoce la distribucin exacta de los esfuerzos, pero sabemos que son mximos cerca del centro y se vuelven cero en ciertas posiciones de los bordes.*BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales


Perno en cortante simple*BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de MaterialesEl esfuerzo cortante promedio, , sobre la seccin transversal de un perno est dado por:

donde V = fuerza cortante total = P.

Nota importante: Se han despreciado las Ff entre elementos conectados; Como las Ff se oponen al movimiento, parte de la carga ejercida es tomada por las Ff , reduciendo las cargas sobre los pernos. Como las Ff son difciles de estimar, es una prctica comn errar conservadoramente y omitirlas en los clculos.


Realizar un comentario sobre las unidades de Los arreglos mostrados en las figuras anteriores se conocen como CORTANTE DIRECTO (doble y simple, respectivamente), porque son generados por una accin directa de las fuerzas al tratar de cortar stas al material.

El cortante indirecto se refiere al hecho que los elementos o materiales se someten a tensin, torsin o flexin. *BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de MaterialesEn esta figura se muestra la falla de un perno en cortante directo simple.


Igualdad entre fuerzas cortantes en planos perpendicularesCon la finalidad de obtener una representacin ms completa de la accin de los esfuerzos cortantes, consideremos la siguiente figura:

BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*Supongamos que uniforme sobre la cara superior, cuya rea es ac. Entonces, realizar una descripcin de la situacin, en el equilibrio, lo cual nos llevar a las siguientes observaciones generales:Las caras anterior y posterior se encuentran libres de carga (esfuerzo).

Los sobre caras opuestas (y paralelas) de un elemento, son iguales en magnitud y opuestas en sentido. Los uniforme sobre caras adyacentes (y perpendiculares) de un elemento son iguales en magnitud y tienen sentidos tales que ambos esfuerzos sealan hacia la lnea de interseccin de las caras o bien, ambos esfuerzos se alejan de tal lnea.


Deformacin Unitaria CortanteLos esfuerzos cortantes que actan sobre un elemento de material van generalmente acompaados de deformaciones unitarias cortantes.

BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*Los esfuerzos cortantes no alargan ni acortan al material en ninguna de las direcciones X, Y o Z, solo modifican la forma.

Debido a esta deformacin, los ngulos entre las caras laterales cambian. Por ejemplo, los ngulos entre las caras, q y s, que eran originalmente de /2, se reducen por un pequeo ngulo a (/2) . Simultneamente, los ngulos en los puntos p y r se incrementan la misma a cantidad a (/2) + .

El ngulo es una medida de la distorsin o cambio en la forma del elemento y se llama Deformacin Unitaria Cortante ([]= grados o radianes.)


Convenciones de signos para y Esquema que identifique las diversas caras de un elemento de esfuerzo. Tal esquema establece que una cara positiva (+) tiene su normal exterior dirigida en la direccin positiva de un eje coordenado. Las caras opuestas son caras negativas.

Convencin de signos para :Un que acte sobre una cara + de un elemento, es + si acta en la direccin + de uno de los ejes coordenados y ser si acta en la direccin de un eje. Un que acte sobre una cara negativa de un elemento es + si acta en la direccin de un eje y si acta una direccin +.

Convencin de signos para :La deformacin unitaria cortante en un elemento es + cuando un ngulo entre dos caras + (o dos -) se reduce y ser cuando el ngulo entre dos caras + (o dos -) se incrementa. BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Ley de Hooke en cortanteHemos trabajado las propiedades de un material en cortante: directo o indirecto (torsin).

Se ha mencionado el diagrama - el cual nos permite obtener propiedades como:

Lmite proporcionalMdulo de ElasticidadEsfuerzo de fluenciaEsfuerzo ltimo

Se deriva el hecho que las propiedades en cortante son aproximadamente de las correspondientes en tensin.BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Ejemplo

Por lo que los diagramas esfuerzo-deformacin en cortante y en tensin son aproximadamente los mismos para los mismos materiales, pero difieren en magnitudes.



La ley de Hooke, en cortanteDonde G es el mdulo de elasticidad en cortante (llamado mdulo de rigidez).

donde es la razn de Poisson.

Para un material dado, E, G y no son propiedades elsticas independientes.

Ejemplo 2.4



Ejemplo 2.4: Un puntal S de acero (que sirve como riostra a un malacate marino) transmite una fuerza P de compresin de 54 kN a la plataforma de un muelle (ver fig., a)). El puntal tiene una seccin transversal cuadrada hueca con espesor de pared t=12 mm (ver fig., b)) y el ngulo entre el puntal y la horizontal es de 40. Un pasador atraviesa al puntal y transmite la fuerza de compresin del puntal a dos placas de unin G soldadas a la placa de la base B. Cuatro pernos de anclaje la aseguran a la plataforma. El dimetro del pasador dpas = 18 mm, el espesor de las placas de unin es tG = 15 mm, el espesor de la placa de base es tB = 8 mm y el dimetro de los pernos de anclaje es dperno= 12 mm. Determinar los siguientes esfuerzos:

El esfuerzo de aplastamiento entre el puntal y el pasador;El esfuerzo cortante en el pasador;El esfuerzo de aplastamiento entre el pasador y las placas de unin;El esfuerzo de aplastamiento entre las anclas y la placa de base yEl esfuerzo cortante en los pernos de anclaje. BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*Despreciamos cualquier friccin entre la placa de base y la plataforma.


Esfuerzos y cargas permisiblesIngeniera: aplicacin de la ciencia a los propsitos comunes del a vida

Funcionalidad, resistencia, apariencia, economa, proteccin ambiental, ergonoma, etc.

Resistencia verdadera: capacidad de una estructura (cualquier objeto [barcos, aviones, camiones, edificios, mochilas, etc.] que debe soportar o transmitir una carga) para soportar o resistir una carga.

BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*consideracionesdiseo


para evitar falla.

BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*y y y son los esfuerzos de fluencia (resistencia de fluencia) [esfuerzo casi imperceptible al cual ocurre un alargamiento considerable, en que el material se vuelve perfectamente elstico].Habitualmente se manejan factores de seguridad que van desde 1.0 hasta 10.

En el diseo de edificios, un FS caracterstico con respecto a la fluencia en tensin es de 1.67. Adems, un acero dulce, con esfuerzo de fluencia de 36 ksi, tiene un EP de 21.6 ksi.


En algunas ocasiones el FS suele aplicarse al esfuerzo ltimo[esfuerzo en el cual el material se endurece por deformacin (corresponde a los puntos C-D del diagrama -), alcanzando el punto D, en cuyo caso el valor de es conocido como esfuerzo ltimo] y no al de fluencia. Esto es vlido para materiales frgiles [como el concreto y algunos plsticos] y para materiales sin un esfuerzo de fluencia bien definido [como la madera, aceros de alta resistencia]. En tales consideraciones se tiene:

donde u y u son los esfuerzos (o resistencias) ltimos (as).

Un parmetro importante es el conocido como margen de seguridad (MS) definido como

Ejemplo 2.5: Una estructura con resistencia ltima que es 1.75 veces la resistencia requerida, tiene un FS =n=1.75 y un Ms del 0.75=75 %.Cuando el MS 0, o menos, la estructura, presumiblemente, fallar.



Cargas permisibles para un material o estructura particular, podemos establecer para esa material .

relacin

depende del tipo de la estructura

Barras Pernos (pasadores) Tensin Compresin Cortante directo AplastamientoBUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


Los cuatro casos anteriores permiten definir la carga permisible (o carga segura) como el esfuerzo permisible multiplicado por el rea sobre la que acta, esto es: Pperm carga permisible (segura) (Esfuerzoperm)(rea)



Ejemplo 2.6: Una barra de acero que sirve de colgante vertical para soportar maquinaria pesada en una fbrica, est unida a un soporte por medio de la conexin con perno de la figura (a). La parte principal del colgante tiene una seccin transversal rectangular con ancho b1=1.5 in y espesor t=0.5 in. En la conexin, el ancho del colgante se ampla a b2=3.0 in. El perno que transfiere la carga del colgante a las dos placas de unin, tiene un dimetro d=1.0 in. Determinar el valor de Pperm de la carga de tensin en el colgante con base en las siguientes consideraciones: a) el esfuerzo permisible en la parte principal del colgante es de 16 000 psi; b) el esfuerzo permisible en el colgante en sus seccin transversal que pasa por el perno es de 11 000 psi (el esfuerzo permisible en esta seccin es menor debido a las concentraciones de esfuerzos alrededor del agujero); c) el perm de aplastamiento entre el colgante y el perno es de 26 000 psi, y d) el perm en el perno es de 6500 psi (Nota: los FS por tensin, aplastamiento y cortante, se tomaron en cuenta al determinar los esfuerzos permisibles.)BUAP. Facultad de Ingeniera, IDU Resistencia de Materiales*


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