Resistencia de Materiais. Tema 2. Reaccións e esforzos...

Resistencia de Materiais. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas

ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Golden Gate Bridge

(San Francisco, 1937). Van principal: 1280 m.

Contido. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas

2

1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas. 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.

Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos

Fotografía. Akashi Kaikyō (Japón, 1998). Van principal: 1991 m.

2.1. Modelo estrutural

3


Estrutura Real

Modelo estrutural

Análise estrutural

Simplificacións

- Reaccións - Esforzos internos - Tensións - Deformacións - Movementos

Barras Enlaces Cargas

P

M

q


4

1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas. 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.


Fotografía. Ponte Xihoumen (China, 2009). Van principal: 1650 m.

2.2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas

5

Neste curso estudaremos “análise estática”, é dicir, as forzas (accións e reaccións) que actúan sobre a estrutura deben estar en equilibrio estático, e polo tanto deben cumprir as ecuacións da estática, deben formar un sistema de forzas de resultante e momento nulo, que vectorialmente escríbese como:

que tamén se pode expresar como: e no caso dunha estrutura no plano XZ redúcese a: Denomínanse estruturas isostáticas ou estaticamente determinadas a aquelas nas que poden obterse as

reaccións nos enlaces por medio das ecuacións de equilibrio (nº ecs. = nº incóg.). Denomínanse estruturas hiperestáticas ou estaticamente indeterminadas a aquelas nas que o número de

grados de liberdade impedidos é maior ao número de ecuacións xerais da estática (nº ecs. < nº incóg.). Resólvense aplicando compatibilidade de movementos.

Grado de hiperestaticidade GH: diferenza entre o número de reaccións e o de ecuacións de equilibrio. Cando o número de ecuacións é superior ao de incógnitas, a estrutura convértese nun mecanismo. Nas estruturas isostáticas, ao contrario que nas hiperestáticas, as reaccións e os esforzos internos non

dependen da xeometría da sección transversal ni do material.


oF 0 M 0= =∑ ∑

x x

y y

z z

F 0 M 0F 0 M 0F 0 M 0

= == == =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑

x z yF 0 F 0 M 0= = =∑ ∑ ∑

GH 0 IsostáticaGH 0 HiperestáticaGH 0 Mecanismo

= ⇒> ⇒< ⇒

2.2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas

6

Exemplo de estrutura isostática: Exemplo de estrutura hiperestática. É necesario recorrer a compatibilidade de movementos: Exemplo de mecanismo:


+

x x

z z z

Ay y y

F 0 R 0

F 0 R P 0 R P

M 0 P L M 0 M P L

+ = ⇒ =

↑ = ⇒ − = ⇒ =

+ = ⇒ ⋅ + = ⇒ = − ⋅

∑∑

∑

= Bw 0+ =

P

P P

R

A B A B

P

L

Rz

RX

My

A B


7

1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.


Fotografía. Ponte do Gran Belt (Dinamarca, 1998). Van principal: 1624 m.

2.3. Reaccións en estruturas isostáticas

8

Vigas simples isostáticas: un só tramo, directriz recta e nº ec. = nº. incóg.


+

x A

Ay B B

z A B A

F 0 H 0PM 0 V 3 L P L 0 V3

2 PF 0 V V P 0 V3

+ = ⇒ =

+ = ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ =

⋅↑ = ⇒ + − = ⇒ =

∑∑

∑

cos º

º

º

+

x x x

z z z

Ay y y

F 0 R 2 P 45 0 R P 2

F 0 R 2 P sen45 0 R P 2

M 0 2 P sen45 L M 0 M P 2 L

+ = ⇒ − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅

↑ = ⇒ − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅

+ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⇒ = − ⋅ ⋅

∑∑

∑

+

x x

z z z

2Ay y y

F 0 R 0

F 0 R P q L 0 R P q L

L L L LM 0 P q L M 0 M P q2 2 2 2

+ = ⇒ =

↑ = ⇒ − − ⋅ = ⇒ = + ⋅

+ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⇒ = − ⋅ − ⋅

∑∑

∑

LRz

RX

My

2P 45°

A B

P

VA

HA

VB

L 2L

C

P

RX

MyL2

L2

q

Rz

C

A B


9

Vigas isostáticas de varios treitos: - O número de reaccións é superior ao de ecuacións de equilibrio global da estrutura. - O isostatismo conséguese introducindo articulacións ou rótulas en seccións internas da viga. - As rótulas son dispositivos que anulan a rixidez a flexión da sección, é dicir, debe anularse o momento

das forzas que chegan a través de cada barra. - As rótulas proporcionan un número de ecuacións adicionais igual ao número de barras que chegan á

mesma menos un, que é a ecuación de equilibrio xeral de momentos:


( )·

+

x A

z A B AAy A B B

2esqAC A A

derC B

F 0 H 0

F 0 V V q 2 L 0 V 3 2 q LM 0 M V 2 L q 2 L L 0 V 1 2 q L

M q LM 0 M V L q L L 2 0

M 0 V L q L L 2 0

+ = ⇒ =

↑ = ⇒ + − ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ + = ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ =+ = ⇒ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

+ = ⇒ − ⋅ + ⋅ ⋅ =

∑∑

∑

esq der CC C yM M M 0+ = =∑

( )( )

+

x A

z A C E

Ay C E A C

derD E E

esqD A C

F 0 H 0

F 0 V V V P 0PM 0 P L 2 V L V 2 L 0 V V2

M 0 V L 2 0 V 0

M 0 V L L 2 P L V L 2 0

+ = ⇒ =

↑ = ⇒ + + − =+ = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = =

+ = ⇒ − ⋅ = ⇒ =

+ = ⇒ ⋅ + − ⋅ + ⋅ =

∑∑

∑

q

VA

HA

MA

q

VB

L L

C

L2

L2

L2

L2

P

VA

HA

VC VE

A C

B

E

D

En C non hai rótula!


10

Vigas isostáticas de varios treitos (continuación):


+

x A A

z A B

BAy A B

2Aesq

C A A

q L MF 0 H 0 V2 LF 0 V V q L 0 q L MV5 2 LM 0 M V 3 L q L L M 0

2 M 2 M q LM 0 M V 2 L 0

⋅+ = ⇒ = = −↑ = ⇒ + − ⋅ = ⋅ ⇒ = +

+ = ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + = = ⋅ − ⋅ + = ⇒ + ⋅ ⋅ =

∑∑

∑

·

·

· · ·

· · · · ·

+

x A A

esqB A A

derD E E

z A C E C

derB C E C

esqD A C C

F 0 H Q 0 H QLM 0 V 0 V 02

LM 0 V 0 V 02

F 0 V V V P 0 V PL LM 0 V V 3 0 V 0 Mecanismo2 2L LM 0 V 3 P L V 0 V 2 P2 2

+ = ⇒ + = ⇒ = −

+ = ⇒ = ⇒ =

+ = ⇒ − = ⇒ =

↑ = ⇒ + + − = ⇒ =

+ = ⇒ − − = ⇒ = ⇒+ = ⇒ − + = ⇒ =

∑

∑

ºº .º

N reaccións 4N ec estática 3N rótulas 2GH 4 3 2 1

==

== − − = −

derC B

LM 0 M V L q L 02

+ = ⇒ − ⋅ + ⋅ ⋅ =

L2

L2

L2

L2

P

VA

HA

VC VE

A C E

DB

Q

VA

HA

MA

q

VB

2L L

C

M


11

Pórticos e arcos isostáticos (conxunto de barras en 2D):


+

x A A

Ay B B

z A B A

F 0 H P 0 H PL q LM 0 q L P L V L 0 V P2 2

q LF 0 V V q L 0 V P2

+ = ⇒ + = ⇒ = −

⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒ = +

⋅↑ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ = −

∑∑

∑

+

Ay B B

z A B A

derC B B B

x A B A

L P q LM 0 P L V 2 L 2 q L 0 V2 2 2

P q LF 0 V V P 0 V2 2

L PM 0 H L V L q L 0 H q L2 2

PF 0 H H 2 q L 0 H q L2

⋅+ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = +

⋅↑ = ⇒ + − = ⇒ = −

+ = ⇒ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = − − ⋅

+ = ⇒ + + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅

∑

∑

∑L

L

VA

HA

L

P

q q

C

VB

HB

L

L

P

q

VBVA

HA


12

Pórticos e arcos isostáticos (continuación):


·· · · · ·

+

Ay B

B

z A B A

derC B B B

x A B A

L q L 2M 0 V 3 L q L 2 L L L 02 2 3

10V q L9

q L 7F 0 V V q L 0 V q L2 18

L 11M 0 H L V L q L 0 H q L2 18

11F 0 H H 0 H q L18

+ = ⇒ − + + + ⋅ + ⋅ = ⇒

⇒ = ⋅ ⋅

⋅↑ = ⇒ + − ⋅ − = ⇒ = ⋅ ⋅

+ = ⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅

+ = ⇒ + = ⇒ = ⋅ ⋅

∑

∑

∑

( )

ºº .ºº

( )

N reaccións 6N ec estática 3N barras rótula 1 3 Pórtico isostáticoN barras rótula 2 2GH 6 3 3 1 2 1 0

== = ⇒= = − − − − − =

L

VA

L

HA

L

L

q

C

VB

HB


13



Fotografía. Ponte Yi Sun-Sin (Corea do Sur, 2012).

Van principal: 1545 m.

2.4. Concepto de esforzos internos nunha sección

14

Supoñamos unha barra sometida a un sistema de cargas (accións e reaccións) en equilibrio: (Distinguir entre coordenadas globais e locais) Se dividimos a barra por unha sección calquera S, as dúas partes que se forman (I) e (II) tamén teñen que

estar en equilibrio, podéndose calcular a resultante de todas as forzas e momentos existentes en cada parte da estrutura a un lado e a outro da sección S:

As forzas de interacción entres as partes son iguais en módulo e dirección, pero de sentidos contrarios:

F e M son os esforzos internos na sección S.


S

q

MA

z

y

x

RA

P1

A

MI

FI

(I) S

z

y

xP2

RB

M1

B

MII

FII (II)

I II

I II

F F FM M M

= − == − =

S

q

X

Z

Y

MA

z

y

x

RA

P1

P2

RB

M1

A

B

Cara frontal

Cara dorsal


15

Compoñente frontal dos esforzos internos na sección S (cada compoñente será positiva cando leve a dirección do semieixo positivo do triedro de coordenadas):

N: esforzo axil (dirección x). Vy: cortante en dirección y. Vz: cortante en dirección z. Mx: momento torsor (dirección x). My: momento flector en dirección y. Mz: momento flector en dirección z. Denomínase compoñente dorsal dos esforzos internos na sección S ás resultantes das forzas e momentos

existentes “á esquerda” de dita sección (serán positivos cando leven a dirección dos semieixos negativos do triedro de coordenadas).

Se a estrutura é plana e as cargas están contidas nese plano (2D), os esforzos redúcense a 3: N, Vz, My.


S

z

y

x

MG

S

z

y

x

F

G

MZ MY

MX

VZ

NVY

= +

Rz

RX

MyA

A

q

x BP

q

L-xN

Vz

My

Vz

N

My

LRz

RX

MyA

A BP

q

x


16

Cada tipo de esforzo provoca na peza un efecto (deformación) diferente: Símbolos:


z

x

+

dx

Vz

Vz

z

x

-

dx

Vz

Vz

z

x

+

dx

MyMy

z

x

-

dx

My My

Axil: “estira ou encolle a barra”.

Cortante: “corta ou cizalla a barra”.

Momento flector: “dobra ou flecta a barra”.

Momento torsor: “retorce a barra”. z

y

+Mx

φx

z

xNN

+

dx

+δ

z

xN N

-

dx

-δ

+Axil: Flector: Cortante: + +


17

Exemplo. Cálculo dos esforzos internos no centro de van dunha viga biapoiada con carga distribuída: 1º Cálculo das reaccións: 2º Cálculo das leis de esforzos na sección de centro de luz C:

a. “Córtase” por centro de luz. b. Substitúese unha parte da estrutura pola contribución (esforzos internos) que exerce sobre a parte restante. c. Aplícanse as ecuacións de equilibrio estático.


=

+

x A

Ay B B

z A B A

F 0 H 0L q LM 0 q L V L 0 V2 2

q LF 0 V V q L 0 V2

+ = ⇒ =

⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ =

⋅↑ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ =

∑∑

∑

1 kN/m

5 mVA

HA

VB

L

. ... . . . ·

+

L

x

z z z

Cy y y

F 0 N 0 kN

F 0 2 5 1 2 5 V 0 V 0 kN2 5M 0 M 2 5 2 5 1 2 5 0 M 3 125 m kN2

+ = ⇒ =

↑ = ⇒ − ⋅ + = ⇒ =

+ = ⇒ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = −

∑∑

∑

1 kN/m

5 m2.5 kN 2.5 kN

1 kN/m

2.5 m2.5 kN

NMy

Vz

1 kN/m

2.5 m

2.5 kN

N

My

Vz

+

3,125 mkN3,125 mkN


18

Exemplo. Cálculo das leis de esforzos internos dunha viga en voladizo: 1º Cálculo das reaccións: 2º Cálculo das leis de esforzos na sección x:

a. “Córtase” pola sección x. b. Substitúese unha parte da estrutura pola contribución (esforzos internos) que exerce sobre a parte restante. c. Aplícanse as ecuacións de equilibrio estático.


Cara frontal Cara dorsal

= +

+ x x x

z z z

F 0 R P 0 R P

F 0 R q L 0 R q L

+ = ⇒ − = ⇒ =

↑ = ⇒ − ⋅ = ⇒ = ⋅∑∑

( )

( )

( )

· · ( ) ·

· · ·

( )

+

x

z z z

Ay yA y z

2

y

F 0 P N 0 N x P

F 0 q L q x V 0 V x q L xxM 0 q x M M V x 02

q L xM x

2

+ = ⇒ + = ⇒ = −

↑ = ⇒ − + = ⇒ = − −

+ = ⇒ + + − = ⇒

⋅ −⇒ =

∑∑

∑

LRz

RX

MyA

A BP

q

x

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

· ( ) ·

( )

+

x

z z z

xy y

2

y

F 0 P N 0 N x P

F 0 q L x V 0 V x q L x

L xM 0 q L x M 0

2q L x

M x2

+ = ⇒ − − = ⇒ = −

↑ = ⇒ − − − = ⇒ = − −

−+ = ⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒

⋅ −⇒ =

∑∑

∑

2

Ay yA yA

L q LM 0 q L M 0 M2 2

⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ = −∑

Rz

RX

MyA

A

q

x BP

q

L-xN(x)

V (x)z

N(x)

M (x)y M (x)y

V (x)z


19



Fotografía. Ponte Runyang (China, 2005). Van principal: 1490 m.

2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental

20

Establecendo o equilibrio dun elemento diferencial dunha barra (rebanada) no entorno dunha sección calquera A, para o caso habitual de cargas no plano da estrutura:

a. Cando só hai cargas distribuídas: Igualmente para o plano xy se pode deducir:


N+dN

dx

V+dVz

M+dMy

z

y

NVz

My

pz

px

+

x x x

z2z z z z z z

yz 2

yy y y z y z z z

dNF 0 N dN p dx N 0 pdx

dVF 0 V dV p dx V 0 pd Mdx pdMdx dx dxM 0 M dM p dx M V dx 0 p dx 0 V

2 2 dx

+ = ⇒ + + ⋅ − = ⇒ = −

↑ = ⇒ + + ⋅ − = ⇒ = − ⇒ = − + = ⇒ + + ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ≈ ⇒ =

∑

∑

∑

2y z z

y y y 2

dV dM d Mp V pdx dx dx

= − = − =

2y yz

x z z z 2

dM d MdN dVp p V pdx dx dx dx

= − = − = = −


21

Establecendo o equilibrio dun elemento diferencial dunha barra (rebanada) no entorno dunha sección calquera A, para o caso habitual de cargas no plano da estrutura:

b. Cando hai cargas concentradas na sección A, haberá que incrementar cada compoñente dos esforzos:


dx

N+ NΔ

V+ VΔz

M+ MΔy

z

y

N

My

Vz

PzA

PxA

MyA

+

x xA xA

z z z zA z z zA

y y y yA zA y z zA z y yA

F 0 N N P N 0 N P

F 0 V V P V 0 V P

dx dxM 0 M M M P M V dx 0 P V dx 0 M M2 2

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

+ = ⇒ + + − = ⇒ = −

↑ = ⇒ + + − = ⇒ = −

+ = ⇒ + + + ⋅ − − ⋅ = ⇒ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⇒ = −

∑∑

∑

xA y yA z zA

x xA y yA z zA

N P V P V PM M M M M M∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

= − = − = −= − = − = −


22

Representación das leis de esforzos internos. Exemplo 1:

- Nos extremos:

- En centro de luz:


( )

( )

( )

( )

z

y

N x 0L LV x q q x q x2 2

q x L xL xM x q x q x2 2 2

=

= − ⋅ + ⋅ = ⋅ −

⋅ ⋅ −= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −

Lx

VA

HA

VB

q

+

-

- -

VB

VA

Mmáx

+

x A

Ay B B

z A B A

F 0 H 0L q LM 0 q L V L 0 V2 2

q LF 0 V V q L 0 V2

+ = ⇒ =

⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ =

⋅↑ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ =

∑∑

∑

máxq LV M 0

2⋅

= =

2

mínq LV 0 M

8⋅

= = −


23

Exemplo 2:

- No empotramento:


x

z2

yA

R PR q L

q LM2

=

= ⋅

⋅= −

2

mín mín máxq LN P V q L M

2⋅

= − = − ⋅ =

( )( )

( )( ) ·

·( )

z

2

y

N x PV x q L x

q L xM x

2

= −

= − −

−=

LRz

RX

MyA

A BP

q

x

-

+

-N

M

V


24

Exemplo 3: Tramo 1-2: Tramo 2-3:

- No empotramento:


( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

z

2

y

N x 0V x q L x P

L x L xL LM x q L x P x q P x2 2 2 2

=

= − ⋅ − −

− − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ −

+

z z z

21y y1 y1

F 0 R q L P 0 R q L P

L L q L LM 0 M q L P 0 M P2 2 2 2

↑ = ⇒ − ⋅ − = ⇒ = ⋅ +

⋅+ = ⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ = − − ⋅

∑

∑

2

mín máxq L LV q L M P

2 2⋅

= − ⋅ = + ⋅

LRz

M y1

1 3

q

L/2

-

+M

V

P

L/2

P

2

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

z

2

y

N x 0V x q L x

L x L xM x q L x q

2 2

=

= − ⋅ −

− −= ⋅ − ⋅ = ⋅


25

Exemplo 4:

Tramo A-B:

Tramo B-C:

Tramo C-D:


( )( )

( )

A

z A

y A

N x H 6 kNV x V 20 kNM x V x 20 x

= − = −= − = −= − ⋅ = − ⋅

+

esqC A A

z A D D

Ay D D D

x A D A

M 0 V 6 30 4 0 V 20 kN

F 0 V V 30 0 V 10 kN4M 0 3 4 H 4 30 2 V 6 0 H 6 kN2

F 0 H H 3 4 0 H 6 kN

+ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =

↑ = ⇒ + − = ⇒ =

+ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒ =

+ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ =

∑∑∑

( )GH 4 3 2 1 0= − − − =

( )

( )( )

( )

A

z A

y A

N x H 6 kNV x V P 10 kNM x V x P x 2 10 x 60

= − = −= − + =

= − ⋅ + ⋅ − = ⋅ −

( )

( ) ( )

( ')( ') ' '

'( ') ' ' '

D

z D

22

y D

N x V 10 kNV x H 3 4 x 3 x 6

4 x 3M x H 4 x 3 x 6 x2 2

= − = −

= − ⋅ − = ⋅ −

−= − ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅

B

B

BCDmáx

V 20 kNV 10 kNM 40 mkNM 6 mkN

−

+

= −

== −

= −

2 mVA

HA

VD

HD

4 m

3 kN/m

30 kN

A

C

D

4 m

B

xx'

-

+

-

-

-

6 kN

10 kN 40 mkN 6 mkN 20 kN

10 kN

6 kN


26

Representación das leis de esforzos internos. Observacións: - A lei de flectores semella a deformada dunha corda sen peso propio. - A pendente da lei de axiles ou cortantes é a carga na dirección correspondente. - A pendente da lei de flectores é o cortante. - Carga puntual, cortante constante, flector lineal. - Carga distribuída constante, cortante lineal, flector parabólico. - Carga distribuída lineal, cortante parabólico, flector cúbico.


Carga Cortante Momento flector

Puntual Constante Lineal

Distribuída constante Lineal Parabólico

Distribuída lineal Parabólico Cúbico

2y yz

x z z z 2

dM d MdN dVp p V pdx dx dx dx

= − = − = = −


27

Exemplo 5: Axiles Cortantes Flectores


( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) cos cos cos ( ) cos

( ) cos sen sen ( ) cos sen sen

cos( ) cos cos ( ) sen

2

22

N q L L q L 0 N q Lq LV q L L q L 0 V q L 2

2L L q LM q L L L q L L 0 M

2 2

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θθ θ θ θ θ

− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅

⋅− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅

+

x A

Ay B B

z A B A

F 0 H 0

M 0 q 2 L L V 2 L 0 V q L

F 0 V V 2 q L 0 V q L

+ = ⇒ =

+ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅

↑ = ⇒ + − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅

∑∑∑

L

L

L

VA

HA

VB

q

L

q·L

N

My

Vz

θ

θ

q

q·Lq·L

q·L /22

q·L/2

q·L/2


28

Exemplo 5: Cortantes Flectores


( )( ) sen

( ) sen2

2

q LV 22q LM

2

θ θ

θ θ

⋅= − ⋅ ⋅

⋅= − ⋅

L

q·L

N

My

Vz

θ

θ

q

q·L /22

q·L/2

q·L/2

( )

( )

º .cos

º .

sen .sen cos

cos .

máx

2

máx

2

45 mínimodV q L 4V 0 2 2 0 2 n

3d 2 2 135 máximo4

00 mínimo

dM q LM 0 2 0d 2

0 máximo2

dM dM d q LV x L Vdx d dx 2

πθπθ θ π

πθ θ

θθ

θ πθ θθ πθ θ

θθθ

= = →⋅ → = ⇒ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = = →

= = ⇒ → ⋅ = → = ⇒ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒

= ⇒ = →⋅

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ = − ⋅ ( )sen cos sen1 q L2 2L 2

θ θ θ⋅⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅


29

Carga perpendicular á directriz. Supoñamos unha barra de directriz curvilínea con carga distribuída perpendicular á directriz: Os dous sistemas de forzas I e II son equivalentes pois:

- Teñen igual resultante. - Teñen o mesmo momento respecto de calquera punto.


⇔I II

dsdz

dxθ

cossen

ds dxds dz

θθ

⋅ =⋅ =

sen sensen

cos coscos

sen cos

+

B B B

x zA A A

B B B

z xA A A

B B2 2 2 2B B B BA x zy A A A A

A A

dzF q ds q q dz q L

dxF q ds q q dx q L

z x L LM z q ds x q ds z q dz x q dx q q q2 2 2 2

θ θθ

θ θθ

θ θ

+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

↑ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

+ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +

∑ ∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫ ∫ ∫

q

q

L

L q

x

z

L

L

x

z

A A

B B


30

Carga perpendicular á directriz. Nun arco de directriz semicircular: Os dous sistemas de forzas I e II son equivalentes pois:

- Teñen igual resultante. - Teñen o mesmo momento respecto de calquera punto.


⇔I II

]

]

cos cos sen

sen sen cos

+

L

x 00 0L

z 00 0Ay

F q ds q L d q L 0

F q ds q L d q L 2 q L

M 0

π π π

π π π

θ θ θ θ

θ θ θ θ

⋅

⋅

+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

↑ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

+ =

∑ ∫ ∫∑ ∫ ∫

∑

Lq q

q

L LA

L

L

L

q

A θ


31



Fotografía. Ponte Humber (Reino Unido, 1981). Van principal: 1410 m.

2.6. Estruturas isostáticas de nós articulados

32

Características: - Conxunto de barras conectadas con articulacións. - Forman estruturas que permiten cubrir grandes luces con gran eficacia. - Habitualmente deséñanse para que as forzas exteriores actúen só nos nós. Se sucede isto e as barras

son de directriz rectilínea, só soportarán esforzo axil.


VB

A

B

NA

NB

V A

L

A B

NA NB

+

VB

A

B

NA

NB

VA

+

+

B A A B

Ay B B

B A A

F 0 N N 0 N N

M 0 V L 0 V 0

F 0 V V 0 V 0

= ⇒ − = ⇒ =

+ = ⇒ − ⋅ = ⇒ =

= ⇒ − = ⇒ =

∑∑∑

x

V

ANA

N ( ) ( )

( )

( )

+

+

A A

Ay

F 0 N x N 0 N x N

F 0 V x 0

M 0 M x 0

= ⇒ − = ⇒ =

= ⇒ =

+ = ⇒ =

∑∑∑

( )( )

+

+

A

BAy

V 0F 0V 0

M 0V x 0

F 0 M x 0

≠= ≠ + = ⇒ ≠

= ≠

∑∑∑


33

Grado de hiperestaticidade gh: - a: enlaces articulados (dúas incógnitas). - m: apoios móbiles (unha incógnita) - b: barras (cada barra ten unha incógnita que é o esforzo axil) - n: número de nós (dúas ecuacións de equilibrio por nó)

Métodos de resolución:

- Mediante ecuacións de equilibrio de nós. - Método de Ritter.


( ) h

2 a m b 2 n estrutura non estable2 a m b 2 n estrutura isostática pode haber casos singulares2 a m b 2 n estrutura hiperestática con g 2 a m b 2 n

⋅ + + < ⋅ ⇒⋅ + + = ⋅ ⇒⋅ + + > ⋅ ⇒ = ⋅ + + − ⋅

P

2P

1 2

43

L

60° H

V1

H1

V2

( )

tan º

.

.

+

x 1 1

1y 2 2

z 1 2 1

2 a m b 2 n 2 1 1 5 2 4 8L LH60 3

F 0 H 2 P 0 H 2 P2 P H 2 PM 0 V L 2 P H 0 V 1 15 P

L 3

3 2 P2 P HF 0 V V P 0 V P 0 15 PL 3

⋅ + + = ⋅ ⇒ ⋅ + + = ⋅ =

= =

+ = ⇒ + ⋅ = ⇒ = − ⋅

⋅ ⋅ ⋅+ = ⇒ − ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = = = ⋅

− ⋅⋅ ⋅↑ = ⇒ + − = ⇒ = − = = − ⋅

∑∑

∑


34

Resolución mediante as ecuacións de equilibrio de nós: 1. Numerar nós. 2. Cálculo de reaccións. 3. Equilibrio nos nós axeitados.

(Non se pode resolver un nó con 3 incógnitas)

4. Comprobar valores redundantes.


P

2P

1 2

43

L

60° H

V1

H1

V2

1

V1

H1

N13

N12

N1460°

P

2P3

N34

N31

2

V2

N13

N21

4

N42

N43

N41

34 34

31 31

2 P N 0 N 2 PP N 0 N P⋅ + = ⇒ = − ⋅

− − = ⇒ = − .21 21

2 13 13 2

N 0 N 0V N 0 N V 1 15 P− = ⇒ =+ = ⇒ = − = − ⋅

+x

z

F 0

F 0

+ =

↑ =

∑∑

cos ºcos º

sen º sen º

4343 41 41

42 41 42 41

N 4 PN N 30 0 N30 3

2 PN N 30 0 N N 303

⋅− − ⋅ = ⇒ = − =

⋅− − ⋅ = ⇒ = − ⋅ = −

( )

cos ºsen º

1 12 14

1 13 14

H N N 30 0V N N 30 0

4 P 32 P 0 023

3 2 P 4 P 1P 023 3

+ + ⋅ = ⇒+ + ⋅ =

⋅− ⋅ + + ⋅ =⇒

− ⋅ ⋅− + ⋅ =


35

Resolución mediante o método de Ritter: Este método permite obter de forma separada o valor do esforzo axil en cada unha das barras sen ter

que resolver todo o sistema de ecuacións lineais. Consiste en cortar a estrutura de modo que aparezan só tres esforzos descoñecidos. Cada un dos axiles

pode calcularse tomando momentos na intersección das direccións das outras dúas barras. Por exemplo, cortando como se ve na figura

inferior e tomando momentos en A, 5 e 2 pódese obter de cada ecuación os valores de N12, N52 e N56.

Sen embargo, se dúas das tres barras son paralelas, o axil da terceira

barra non se pode obter directamente con este método. No exemplo da esquerda, tomando momentos en B e en 2,

obtéñense directamente N56 e N23. Para calcular N26 haberá que aplicar as ecuacións de equilibrio.


P

1

4

65

V1

H1

V4

7

2 3

1 P2

P

1

5

V1

H1

2

1

N56

N52N

12

A

P

1

5

V1

H1

2

1

N56

N26

N23

B

Resistencia de Materiais. Tema 2. Reaccións e esforzos...

Documents

Transcript of Resistencia de Materiais. Tema 2. Reaccións e esforzos...