RESENTACIÓN - telesec-sonora.gob.mx · Sugerencias didácticas • BLOQUE III ... (+1) de la...

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PRESENTACIÓN

Esta Guía interactiva ha sido elaborada con la intención de apoyarte en el aprendizaje de la asignatura de Matemáticas de Segundo Grado. Trabajar en ella contribuirá a que desarrolles un pensamiento analítico y de autoevaluación respecto de aquellos conceptos, habilidades o procedimientos en los que requieres mayor apoyo. La Guía cuenta con cincuenta preguntas de opción múltiple, cada opción de respuesta está acompañada por una retroalimentación que te permitirá saber si tu elección fue acertada o si necesitas corregirla. Esta información te servirá para que pongas en práctica tus conocimientos, habilidades y procedimientos del contenido que se aborda en cada pregunta. Para ampliar las posibilidades de estudio de la materia, podrás consultar y trabajar con diversos recursos multimedia disponibles en el CD que contiene la versión electrónica de la Guía. Esperamos que la resolución de esta Guía constituya para ti una oportunidad más de aprendizaje.

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ÍNDICE

INSTRUCCIONES…………………………………………………………..……………….. 3 PARA EL MAESTRO…………………………..……………………………………………. 4 PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES • BLOQUE I …………………………………………………………………….…………. 5 Preguntas 1 a la 13

Sugerencias didácticas

• BLOQUE II ……………………………………………………………………............... 38 Preguntas 14 a la 23

Sugerencias didácticas • BLOQUE III ………………………………………………………….……………………. 58 Preguntas 24 a la 36


• BLOQUE IV …………………………………………………………….………………... 85 Preguntas 37 a la 44

Sugerencias didácticas • BLOQUE V ……………………………………………………………..……………… 104

Preguntas 45 a la 50 Sugerencias didácticas

REGISTRO DE RESPUESTAS………………………………………….………............. 118 CLAVE DE RESPUESTAS………………………………………….……...........……….. 120 CRÉDITOS ………………………………………………………….……….…….……….. 121

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INSTRUCCIONES

Antes de comenzar a resolver la Guía, atiende las siguientes indicaciones. 1. Lee con atención cada pregunta y las opciones de respuesta que te ofrece. 2. Antes de seleccionar una opción, lee las retroalimentaciones que se proporcionan y realiza

lo que se pide, esta acción te permitirá saber cuál es la opción correcta. 3. Para registrar la opción elegida, utiliza la hoja de Registro de respuestas ubicada al final

de esta Guía. 4. Una vez que hayas respondido las preguntas con las que decidiste trabajar, consulta la

Clave de respuestas y, de acuerdo con tus aciertos y errores, identifica cuáles son los contenidos que dominas y en cuáles necesitas trabajar más.

5. Podrás ampliar el estudio de los contenidos que se abordan en esta Guía, trabajando con

diversos recursos multimedia como textos, videos e interactivos; éstos te permitirán reforzar, practicar o comprobar tus conocimientos y habilidades referidas a la asignatura. Para acceder a ellos, consulta el apartado Índice de Recursos del disco que contiene la versión electrónica de la Guía.

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PARA EL MAESTRO

La GIS de Español y Matemáticas, constituyen un apoyo a la enseñanza y el aprendizaje, algunos de sus propósitos son:

• Incentivar una nueva forma de responder preguntas de opción múltiple. Responder a exámenes estandarizados con preguntas de opción múltiple es una práctica cotidiana en las aulas. La guía pretende que los estudiantes aprendan a ser reflexivos ante este tipo de instrumentos, planteando reactivos que van más allá de la recuperación memorística de contenidos declarativos.

• Estimular el pensamiento analítico y metacognitivo.

Las retroalimentaciones propician que los estudiantes reflexionen, analicen, infieran o contrasten lo que saben de la opción elegida. Esto permite identificar fortalezas, deficiencias y establecer metas a cumplir.

• Fortalecer la enseñanza de los contenidos curriculares. Los resultados que el grupo obtenga con la resolución de la GIS, puede ser un insumo para identificar aquellos contenidos que representen mayor dificultad para los alumnos. Las sugerencias didácticas que se incluyen en cada reactivo buscan ampliar las opciones de intervención y enseñanza.

• Propiciar contextos y prácticas socioeducativas.

El trabajo con Español y Matemáticas con apoyo de la GIS, facilita —en el interior del aula— el trabajo colaborativo; los alumnos pueden reflexionar y analizar las opciones compartir sus logros y apoyarse para resolver de manera conjunta las diversas situaciones planteadas en las preguntas, las retroalimentaciones y los recursos multimedia.

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PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES

BLOQUE I Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

1. En un día de invierno, la temperatura era de 2º bajo cero y tres horas después fue de 7º bajo cero. ¿Qué número con signo representa cuánto cambió la temperatura? a) –9 La siguiente figura representa una porción de un termómetro que ha utilizado Antonio

para verificar su respuesta. En ella, ha identificado la temperatura inicial de 2º bajo cero y el número –9 que consideró representa el cambio de temperatura que ocurrió al transcurrir tres horas.

• De acuerdo con lo que se muestra en el termómetro, ¿cuál fue la temperatura a la que se llegó? • Si la temperatura inicial hubiera sido de 5º sobre cero y después de un tiempo de 2º bajo cero, ¿significa que la temperatura subió o bajó? ¿Este cambio de temperatura puede representarse con un número negativo o con uno positivo? • Si la temperatura inicial hubiera sido de 3º bajo cero y después de un tiempo de 4 sobre cero, ¿significa que la temperatura subió o bajó? ¿Este cambio de temperatura puede representarse con un número negativo o con uno positivo? • Si en el transcurso de unas horas, la temperatura sube algunos grados, ¿ese cambio de temperatura lo representas con un número positivo o con uno negativo? Y si la temperatura baja, ¿con qué tipo de número con signo representas el cambio?

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b) –5 La recta numérica es un recurso útil para resolver problemas como el que se plantea.

Por ejemplo, si la temperatura era de 1º bajo cero (–1º) y llegó a 6º bajo cero (–6º), quiere decir que bajó 5º. Este cambio se representa con un número negativo (–5) como puede apreciarse en la siguiente recta numérica:

Si la temperatura era de 1º bajo cero (–1º) y llegó a 8º sobre cero (+8), quiere decir que subió 9º. Este cambio se representa con un número positivo (+9) como puede observarse en la siguiente recta numérica.

• Utiliza la siguiente recta numérica para representar la situación y verificar si es correcta tu respuesta.

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c) +5

La siguiente figura muestra una porción de un termómetro en el que Manuel represento la temperatura inicial que fue de 2º bajo cero y el número +5 que consideró representa el cambio de temperatura que ocurrió al transcurrir tres horas.

• De acuerdo con lo que se muestra en el termómetro, ¿cuál fue la temperatura a la que se llegó? ¿fue de 7º bajo cero? • Si la temperatura inicial hubiera sido de 0 y después de unas horas de 5º sobre cero, ¿significa que la temperatura subió o bajó? • Si la temperatura inicial hubiera sido de 5º sobre cero y después de unas horas de 0º, ¿significa que la temperatura subió o bajó? • Si la temperatura inicial hubiera sido de 0º y después de un tiempo de 5º bajo cero, ¿significa que la temperatura subió o bajó? • Si en el transcurso de unas horas, la temperatura sube algunos grados, ¿ese cambio de temperatura lo representas con un número positivo o con uno negativo? Y si la temperatura baja, ¿con qué tipo de número con signo representas el cambio?

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d) +9 La siguiente figura muestra una porción de un termómetro en el que Manuel representó

la temperatura inicial que fue de 2º bajo cero y el número +9 que consideró representa el cambio de temperatura que ocurrió al transcurrir tres horas.

• De acuerdo con lo que se muestra en el termómetro, ¿la temperatura a la que se llegó fue bajo cero o sobre cero?, ¿significa que la temperatura subió o bajo? ¿Cuál fue la temperatura a la que se llegó? • Si la temperatura inicial hubiera sido de 17º sobre cero y después de unas horas de 12º sobre cero, ¿significa que la temperatura subió o bajó? • Si la temperatura inicial hubiera sido de 5º sobre cero y después de unas horas de 0º, ¿significa que la temperatura subió o bajó? • Si en el transcurso de unas horas, la temperatura sube algunos grados, ¿ese cambio de temperatura lo representas con un número positivo o con uno negativo? Y si la temperatura baja, ¿con qué tipo de número con signo representas el cambio?

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2. Durante el invierno, un día la temperatura cambió de 3º sobre cero a 4º bajo cero. ¿Cuál de las siguientes sustracciones de números con signo te permite saber cuánto cambió la temperatura? a) (–4) – (–3) = –1 De acuerdo con la situación del problema, la temperatura cambió de 3º sobre cero a 4º

bajo cero, • ¿La temperatura bajó o subió? • ¿Con qué número con signo se representa este cambio? Si la sustracción (–4) – (–3) = –1 representa la situación del problema, • ¿Cuál de los términos indica la temperatura inicial y cuál la final? De acuerdo con el resultado (–1) de la sustracción (–4) – (–3) = –1, la temperatura bajó 1º. • El problema dice que la temperatura inicial era de 3º sobre cero. ¿La sustracción (–4) – (–3) = –1 indica este hecho? • ¿Corresponde este resultado con la situación del problema? ¿Por qué?

b) (–4) – (+3) = –7 De acuerdo con la sustracción (–4) – (+3) = –7, contesta las preguntas siguientes:

• ¿En qué punto estaba la temperatura inicialmente? ¿Esa temperatura era sobre cero? • ¿A cuál punto llegó? Es decir, ¿qué temperatura hubo después? • ¿Corresponde esto a lo que dice el problema? • Utiliza la siguiente recta numérica para representar esta situación y verificar si es correcta tu respuesta.

• ¿Cuál de las siguientes operaciones se obtiene al suprimir los paréntesis en la sustracción (–4) – (+3) = –7?

___ –4 + 3= –7 ___ –4 – 3 = –7

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c) (–3) – (–4) = +1

Si la temperatura inicial hubiera sido de 6º sobre cero y cambiara a 2º sobre cero, como muestra la siguiente figura, la sustracción con la que puede hallarse el cambio de temperatura es:

(+2) – (+6) = – 4

En esa sustracción, ¿qué representa el sustraendo (+6)? • ¿Qué representa el minuendo (+2)? • ¿Qué representa la diferencia (–4)? De acuerdo con la situación del problema, la temperatura cambió de 3º sobre cero a 4º bajo cero. • ¿La temperatura bajó o subió? • ¿Con qué número con signo se representa este cambio? Si la sustracción (–3) – (–4) = +1 representa la situación del problema. • ¿Cuál de los términos indica la temperatura inicial y cuál la final? • ¿Alguno de esos términos indica una temperatura de 3º sobre cero? De acuerdo con el resultado (+1) de la sustracción (–3) – (–4) = +1, la temperatura subió 1º. • ¿Corresponde este resultado con la situación del problema? ¿Por qué?

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d) (+3) – (–4) = +7 Si la temperatura inicial hubiera sido de 6º sobre cero y cambiara a 2º sobre cero, como

muestra la siguiente figura, la sustracción con la que puede hallarse el cambio de temperatura es:

(+2) – (+6) = –4

En esa sustracción, ¿qué representa el sustraendo (+6)? • ¿Qué representa el minuendo (+2)? • ¿Qué representa la diferencia (– 4)? De acuerdo con la situación del problema, la temperatura cambió de 3º sobre cero a 4º bajo cero. • ¿La temperatura bajó o subió? • ¿Con qué número con signo se representa este cambio? Si la sustracción (+3) – (–4) = +7 representa la situación del problema, • ¿Cuál de los términos indica la temperatura inicial y cuál la final? De acuerdo con el resultado (+7) de la sustracción (+3) – (–4) = +7, la temperatura subió 7º. • ¿Corresponde este resultado con la situación del problema? ¿Por qué?

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3. Relaciona las operaciones con sus resultados correctos

a) 1-a; 2-b; 3-d. No olvides que el resultado de multiplicar cualquier número por cero es cero.

• ¿Cuál de las siguientes expresiones es otra forma de representar la multiplicación (–12)(0)? ___ (–12) + (0) ___ (–12) x (0) • ¿La multiplicación (–12)(0) y (–12)(1) tienen el mismo resultado? ¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número por uno? • En la división (12)÷(–1) se trata de encontrar un número que multiplicado por (–1) dé 12. ¿Cuál es ese número? ¿Es (–1) por (–1) igual a 12? Recuerda que para multiplicar dos números con signo, multiplicamos sus valores absolutos y: El producto es positivo si ambos tienen el mismo signo. El producto es negativo si los números tienen signos diferentes. • ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar el valor absoluto de (–4) y de (–3)? • ¿Qué signo debe llevar el resultado de la operación? ¿Por qué?

b) 1-a; 2-e; 3-b. No olvides que el resultado de multiplicar cualquier número por cero es cero.

• ¿Cuál de las siguientes expresiones es otra forma de representar la multiplicación (–12)(0)? ___ (–12) + (0) ___ (–12) x (0) • ¿La multiplicación (–12)(0) y (–12)(1) tienen el mismo resultado? • ¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número por uno? Recuerda que para multiplicar dos números con signo, multiplicamos sus valores absolutos y: El producto es positivo si ambos tienen el mismo signo. El producto es negativo si los números tienen signos diferentes. En la división (12)÷(–1) se trata de encontrar un número que multiplicado por (–1) dé 12. • ¿Cuál es ese número? ¿Es (12) por (–1) igual a 12? El resultado de la sustracción (–4) – (–3) es –1. • ¿Es también –1 el resultado de multiplicar (–4)(–3)? ¿Qué signo tiene el resultado de multiplicar dos números negativos?

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c) 1-c; 2-a; 3-e. • ¿El resultado de multiplicar (–12)(0) es igual o diferente del de (12)(0)? ¿Por qué?

• ¿El resultado de multiplicar (–4)(–3) es igual o diferente del de (–4)(–3)(+1) ¿Por qué? Recuerda que para multiplicar dos números con signo, multiplicamos sus valores absolutos y: El producto es positivo si ambos tienen el mismo signo El producto es negativo si los números tienen signos diferentes. No olvides que el resultado de multiplicar cualquier número por cero es cero. La regla de los signos de la división es similar a la de la multiplicación, completa la siguientes afirmaciones: • El cociente de dos números con el mismo signo es ______. • El cociente de dos números con signos diferentes es ______. Recuerda: la división entre cero no está definida. • ¿El resultado de dividir (12)/(–1) es igual o diferente del de (12)/(1)? ¿Por qué?

d) 1-e; 2-c; 3-a. No olvides que el resultado de multiplicar cualquier número por cero es cero.

• ¿Cuál de las siguientes expresiones es otra forma de representar la multiplicación (–12)(0)? ___ (–12) + (0) ___ (–12) x (0) • ¿La multiplicación (–12)(0) y (–12)(1) tienen el mismo resultado? • ¿Cuál es el resultado de multiplicar (–12)(0)? Recuerda que el resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo. • ¿Por qué número habría que multiplicar a (–12) para que el resultado fuera 12? • ¿Cuál es el resultado de multiplicar (–4)(–3)? En la división (12)÷(–1) se trata de encontrar un número que multiplicado por (–1) dé 12. • ¿Cuál es ese número? ¿Es (12) por (0) igual a 12? • ¿Cuál es el resultado de las divisiones 0 ÷ 1, 0 ÷ 2, 0 ÷ 3, 0 ÷ 4,…? ¿Cómo deben ser el dividendo y el divisor para que resultado de una división sea cero? No olvides que la división entre cero no está definida.

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4. Durante una semana se leyó la temperatura a las 8 de la mañana. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: –1º, +4º, –2º, –4º,+2º, –6º y 0º. ¿Cuál fue la temperatura promedio en esa semana a las 8 de la mañana? a) –7 • Si a las 8 de la mañana, las temperaturas de dos días consecutivos fueron 2º y 4º,

¿cuál fue la temperatura promedio de esos dos días? • ¿Cuál fue la temperatura promedio de los dos últimos días de la semana (–6º y 0º)? • ¿Cuál fue la temperatura promedio de los días segundo, quinto y sexto de la semana (+4º, +2º y –6º )? • ¿Qué procedimiento utilizas para encontrar el promedio de varias cantidades? • Si la suma de las siete temperaturas registradas durante la semana fuera –21º, ¿cuál sería la temperatura promedio? • ¿Cuál debe ser la suma de las temperaturas registradas durante la semana para que el promedio fuera –7º?

b) –1

• ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar la temperatura promedio? María y Antonio mostraron el procedimiento que cada quien siguió para contestar este problema.

Procedimiento de María para obtener el promedio

Procedimiento de Antonio para obtener el promedio

( 4 2) ( 1 2 4 6) 07

( 6) ( 13) 07

6 13 07

7 07

7 17

+ + + − − − − +=

+ + − +=

+ − +=

− +=

−= −

( 1 4 2 4 2 6) 07

( 3 2 4 2 6) 07

( 1 4 2 6) 07

( 3 2 6) 07

( 1 6) 07

7 07

7 17

− + − − + − +=

+ − − + − +=

+ − + − +=

− + − +=

− − +=

− +=

−= −

• ¿Alguno de estos procedimientos es igual al que realizaste para encontrar la temperatura promedio? • ¿Cuál debe ser la suma de las temperaturas registradas durante la semana para que el promedio fuera –2?

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c) +1

• ¿Cuál es la suma de las siete temperaturas registradas durante la semana? • ¿La suma de las siete temperaturas es positiva o negativa? • ¿Esta suma dividida entre 7 es igual a +1º? • ¿Cuál debe ser la suma de las temperaturas registradas durante la semana para que el promedio fuera +1º? • Si la suma de las siete temperaturas fuera –14º, ¿cuál sería la temperatura promedio?

d) +7 • Si a las 8 de la mañana, las temperaturas de dos días fueron 2º y 4º,

respectivamente, ¿cuál fue la temperatura promedio de esos dos días? • ¿Cuál fue la temperatura promedio de los dos últimos días de la semana (–6º y 0º)? • ¿Cuál fue la temperatura promedio de los días segundo, quinto y sexto de la semana (+4º, +2º y –6º) • ¿Qué procedimiento utilizas para encontrar el promedio de varias cantidades? • ¿Cuál es la suma de las siete temperaturas registradas durante la semana? • ¿La suma de las siete temperaturas es positiva o negativa? • ¿Esta suma dividida entre 7 es igual a +7º? • ¿Cuál debe ser la suma de las temperaturas registradas durante la semana para que el promedio fuera +7º?

5. Piensa un número. Seis veces ese número menos 7 más 3 veces el número que pensaste más 8 es lo mismo que: 6x – 7 + 3x + 8, también es lo mismo que: a) 9x – 1 • Si el número que pensaste es 5, ¿cuál sería el resultado de seis veces 5, menos 7,

más tres veces 5, más 8? Es decir, 6(5) – 7 + 3(5) + 8 = • ¿Ese resultado es el mismo que el valor de 9x – 1 cuando x = 5? Es decir, 9(5) – 1 = • La expresión "seis veces un número más tres veces ese número" puede representarse algebraicamente como 6x + 3x, y en forma reducida como 9x. ¿De qué otra manera puede representarse 9x como la suma de dos expresiones algebraicas? • Si a la expresión 9x se le resta 7 y luego se le suma 8, ¿cómo se representa el resultado en forma reducida? • ¿Cuánto se le podría restar y luego sumar a la expresión 9x para que el resultado en forma reducida fuera 9x – 1?

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b) 9x + 1 • Si el número que pensaste es 5, ¿cuál sería el resultado de seis veces 5, menos 7,

más tres veces 5, más 8? Es decir, 6(5) – 7 + 3(5) + 8 = ___ • ¿Ese resultado es el mismo que el valor de 9x + 1 cuando x = 5? Es decir, 9(5) + 1 = ___ Recuerda que los términos que contienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias, se llaman términos semejantes. Por ejemplo, 3x y –5x son términos semejantes; en cambio 8m – 5 no lo son porque 8m contiene a la variable m pero –5 no contiene ninguna variable. Sólo los términos semejantes pueden combinarse (o reducirse) al sumarlos o restarlos, por ejemplo al sumar 3x y –5x se obtiene –2x. • ¿Por qué no son semejantes 6x y –7? ¿Por qué no son semejantes 3x y +8? • ¿Cuál de las siguientes cuatro expresiones puede reducirse también a 9x +1?

___5x + 2 + 4x – 3 ___7x + 2 + 2x – 1 ___ x – 7 + 8x + 6 ___10x – 5 – x + 4

c) 10x • Si el número que pensaste es 5, ¿cuál sería el resultado de seis veces 5, menos 7,

más tres veces 5, más 8? Es decir, 6(5) – 7 + 3(5) + 8 = ___ • ¿Ese resultado es el mismo que el valor de 10x cuando x = 5? Es decir, 10(5)=____

d) 10 • Si el número que pensaste es 5, ¿cuál sería el resultado de seis veces 5, menos 7,

más tres veces 5, más 8? Es decir, 6(5) – 7 + 3(5) + 8 = ___ • ¿Ese resultado es igual a 10? • ¿En qué número debes pensar para que "seis veces ese número menos 7 más tres veces el número más 8" sea igual a 10?

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Eje: Forma, espacio y medida

6. Las siguientes son afirmaciones que corresponden a líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas. ¿Cuál de las afirmaciones es incorrecta? a) Los lados opuestos de una hoja de papel rectangular son paralelos. Observa que la hoja de papel es rectangular; es decir, tiene la forma de un rectángulo.

• ¿Cómo podrías verificar mediante el doblado de papel que una hoja de papel, en apariencia rectangular, tiene sus lados opuestos paralelos? Recuerda que el rectángulo, como el cuadrado, el rombo y el romboide, pertenecen a una clase especial de cuadriláteros llamada paralelogramos. Los lados opuestos de cualquier paralelogramo son paralelos. • ¿Cómo puedes verificar, mediante el uso de dos escuadras, que un dibujo, en apariencia paralelogramo, tiene sus lados opuestos paralelos? • ¿Cómo podrías definir la noción de líneas paralelas?

b) En una hoja de papel rectangular trazo dos rectas que se cortan formando ángulos que no son rectos. Esas rectas son perpendiculares. • Si las dos rectas que trazo en una hoja de papel no forman ángulos rectos, ¿qué

clase de ángulos pueden ser? • En este caso, ¿qué relación hay entre las rectas? ¿Son paralelas, perpendiculares u oblicuas? • ¿Cómo trazas dos rectas perpendiculares mediante el uso de dos escuadras? • Si dos rectas son perpendiculares, se cortan formando cuatro ángulos. ¿Qué relación hay entre esos cuatro ángulos? ¿Cómo podrías definir la noción de rectas perpendiculares? • ¿Cómo podrías definir la noción de rectas oblicuas? No olvides que dos rectas que se cortan formando ángulos rectos se llaman rectas perpendiculares; si están en el mismo plano y no se cortan se llaman rectas paralelas; si se cortan y no son perpendiculares se llaman rectas oblicuas.

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c) Los lados no opuestos (o consecutivos) de una hoja de papel rectangular son perpendiculares. No olvides que la hoja de papel es rectangular; es decir, tiene la forma de un

rectángulo.

• Dos lados consecutivos de un rectángulo se cortan formando un ángulo. ¿Qué clase de ángulo forman esos lados? • ¿Cómo podrías verificar mediante el doblado de papel que los lados no opuestos (o consecutivos) de una hoja de papel, en apariencia rectangular, son perpendiculares? • ¿Qué elementos del "rectángulo" tendrías que comparar para verificar que sus lados consecutivos son perpendiculares?

d) En una hoja de papel rectangular trazo dos rectas que no son paralelas ni perpendiculares. Esas rectas son oblicuas. • Si las rectas que trazo en la hoja de papel no son paralelas, ¿qué relación podría

haber entre esas rectas? • Si las rectas tampoco son perpendiculares, ¿qué relación podría haber entre ellas?

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7. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados de un paralelogramo.

RAZONAMIENTO

Argumentos

º18072 =∠+∠ Son ángulos suplementarios

º18054 =∠+∠ Son ángulos suplementarios

5472 ∠+∠=∠+∠ Las sumas son iguales

42 ∠=∠ A cantidades iguales se

les resta la misma cantidad

¿Qué argumento hace falta en el razonamiento que demuestre que los ángulos opuestos <2 y <4 son iguales? a) º18061 =∠+∠ son ángulos suplementarios. Sabemos que 5472 ∠+∠=∠+∠ porque son ángulos consecutivos y suman 180º.

Observa la figura

• Al utilizar el hecho de que º18061 =∠+∠ , ¿se puede deducir que 42 ∠=∠ ?

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b) 82 ∠=∠ son ángulos correspondientes. Sabemos que 5472 ∠+∠=∠+∠ porque son ángulos consecutivos y suman 180º.

Observa la figura:

• Al utilizar el hecho de que 82 ∠=∠ , ¿se puede deducir que 42 ∠=∠ ?

c) 35 ∠=∠ son ángulos alternos internos.

Sabemos que 5472 ∠+∠=∠+∠ porque son ángulos consecutivos y suman 180º. Observa la figura:

• Al utilizar el hecho de que 35 ∠=∠ , ¿se puede deducir que 42 ∠=∠ ?

d) 57 ∠=∠ son ángulos alternos externos. En la siguiente imagen se ve claramente que el hecho de que los ángulos 7 y 5 sean

iguales por ser alternos externos permite deducir que los ángulos opuestos 2 y 4 sean iguales:

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8. Observa: en la figura, la recta l pasa por el vértice C del triángulo ABC.

¿Cuál de las siguientes expresiones es correcta? a) <A + <B + <C = <D + <C + <E • Los ángulos <A, <B y <C son los ángulos interiores del triángulo ABC. ¿Cuál es la

suma de las medidas de los ángulos <A, <B y <C? Ahora observa los ángulos que están sobre la recta l. Estos se llaman colineales. • ¿Cuál es la suma de las medidas de estos tres ángulos? • ¿Qué relación hay entre la suma de los ángulos interiores del triángulo y la suma de ángulos colineales? ¿Son iguales o diferentes estas sumas? • Ahora supón que la recta l es paralela al lado AB. ¿Se cumple la misma relación entre la suma de los ángulos interiores del triángulo y la suma de los ángulos colineales? ¿Por qué?

b) <A = <B Los ángulos <A y <B están en la base AB del triángulo.

• ¿Qué tipo de triángulos son los que tienen iguales los ángulos que están en la base? ¿El triángulo de la figura es de este tipo? • ¿Son iguales los ángulos <A y <B? ¿Es cierto que <B + <C es igual a <A?

c) <B + <C = <A En algunos triángulos la suma de las medidas de dos de sus ángulos es igual a la

medida del tercero. ¿De qué tipo de triángulo se trata? ¿El triángulo de la figura es de este tipo? ¿Por qué? ¿Es cierto que <B + <C es igual a <A?

d) <A = <D y <B = <E Si la recta / fuera paralela a la base AB del triángulo ABC:

• ¿Qué relación habría entre los ángulos <A y <D? ¿Por qué? • ¿Qué relación habría entre los ángulos <B y <E? ¿Por qué? La recta l no es paralela al lado AB del triángulo ABC. • ¿Se cumple la relación <A = <D? ¿Y la relación <B = <E?

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9. Considera los ángulos interiores de cada figura:

La suma de las medidas de los ángulos interiores del trapecio es la misma que la suma de los ángulos interiores del romboide porque: a) Las dos figuras pueden descomponerse en dos triángulos. Observa que si se traza una diagonal en el trapecio y otra en el romboide, ambos

cuadriláteros quedarían divididos en dos triángulos.

• ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo? • ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero, sea trapecio o romboide? Por ejemplo, del siguiente cuadrilátero:

Si en vez de un trapecio y un romboide las figuras fueran hexágonos, uno regular y dos irregulares (uno es cóncavo y otro es convexo). • ¿Las sumas de los ángulos interiores de los irregulares serían iguales o diferentes? • ¿La suma de los ángulos interiores del regular sería igual o diferente de la suma de los ángulos interiores de los irregulares? ¿Por qué?

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b) Las dos figuras tienen lados paralelos. Ambas figuras tienen lados paralelos (un par de lados en el trapecio y los dos pares de

lados en el romboide) y en ambos la suma de las medidas de sus ángulos es 360º.

• ¿Sería distinta la suma de las medidas de sus ángulos interiores si esos cuadriláteros no tuvieran lados paralelos? Por ejemplo, en el siguiente cuadrilátero:

c) Ninguna de las dos figuras tiene ángulos rectos.

Recuerda que el cuadrado y el rectángulo tienen sus cuatro ángulos rectos y la suma de las medidas de estos cuatro ángulos es 360º. • Pruébalo en las siguientes figuras:

• ¿Sería diferente esta suma si los cuadriláteros no tuvieran ángulos rectos? Por ejemplo, en el siguiente cuadrilátero:

d) Las dos figuras tienen dos ángulos agudos y dos obtusos. • Observa que ambas figuras tienen dos ángulos agudos y dos ángulos obtusos y en

ambas la suma de las medidas de sus ángulos es 360º. • ¿Sería distinta la suma de las medidas de sus ángulos interiores si esos cuadriláteros sólo tuvieran ángulos rectos en vez de ángulos agudos y obtusos? Por ejemplo, en los siguientes cuadriláteros.

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Eje: Manejo de la información

10. La estatua de un personaje mide 2.87 m de altura. El escultor la realizó con una escala de 7

4. ¿Cuál es la altura real del personaje?

a) 1.08 • Si la estatura real del personaje fuera 1.08, entonces la copia sería 7

4 veces más

grande. Es decir, 1.08 x 74

sería igual a 2.87. ¿Es esto cierto?

• Supón que el escultor realizó la estatua que mide 2.87m con una escala de 2 respecto al original. Esto significa que a cada 2 m de la altura de la estatua le

corresponden sólo un metro en la altura personaje ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

mm

122 , es decir, la altura de la

estatua es el doble de la estatura real del personaje. Explica cómo calcularías la altura real del personaje a partir de esa escala y de la altura de la estatua, ¿la estatura real del personaje será mayor o menor que 2.87m? ¿Qué relación habría entre la estatura real del personaje y la estatura de la estatua? ¿Sería al doble o a la mitad? Este factor y la escala que se da en la situación, ¿son iguales o diferentes? • ¿Qué significa el hecho de que la estatua esté realizada a una escala de 7

4? Es

decir, ¿Qué representa el 7 y el 4 con respecto de la altura de la estatua y la estatura del personaje? Completa la siguiente tabla.

• ¿Qué valor multiplicado por 1.75 será igual a 1.00? ¿Cómo lo podrías calcular?

• ¿Qué relación habría entre la estatura real del personaje y la estatura de la estatua?

25

b) 1.57 • Si la estatura real del personaje fuera 1.57, entonces la copia sería 7

4 veces más

grande. Es decir, 1.57 x 74

sería igual a 2.87. ¿Es esto cierto?

Antonio observó que si la estatura real del personaje es 1 m, y se construye la estatua con una escala 7

4, la estatura de la estatua es 1.75 m. Si la estatura del personaje

aumenta al doble también la estatura de la estatua aumenta al doble. Observa la tabla Estatura real del personaje

(en metros) Estatura de la estatua

(en metros)

1.00 1.00x 74

= 74

=1.75

X 2.87

2.00 2.00x 74

=144

=3.50

• Antonio observa que: 75.15.3

12= y planteo que

75.187.2

1=

x , ¿es esto cierto?

• ¿Qué representa x? ¿Cómo calcularías su valor? ¿Cuánto vale x? c) 1.64

Otra forma de expresar la escala 47 es 1.75, porque

47 es 7 ÷ 4 = 1.75.

• Si 1.64 se agranda 1.75 veces, ¿se obtiene 2.87? Dicho de otra manera: si la altura de la estatua (2.87 m) se hace más chica 1.75 veces, ¿obtienes 1.64 m como la estatura del personaje real?

• Si la escala fuera45 , ¿la altura de la estatua hubiera sido mayor o menor que la

estatura real del personaje? ¿Por qué? No olvides que si se conocen las medidas de un objeto y se quieren determinar las de una reproducción a escala de éste, se multiplican las medidas del objeto original por el factor de escala: Medidas originales x escala utilizada = medidas a escala Si se desconoce la medida de una de las dimensiones del objeto original, pero se

conocen la escala (por ejemplo, 47 ) y la medida de esa dimensión en la reproducción a

escala (por ejemplo, 2.87), se tendría: Medida original x 47 = 2.87

El valor de la medida original se encuentra: • Dividiendo la dimensión de la reproducción a escala entre el factor de escala:

26

Por ejemplo, medida original = 4787.2 ÷

• Que es equivalente a multiplicar la dimensión de la reproducción a escala por el inverso del factor de escala:

Por ejemplo, medida original =7487.2 × . (

74 es el inverso del factor de escala

47 )

d) 1.75 • Si la estatura real del personaje fuera 1.75, entonces la copia sería

47 veces más

grande. Es decir, 4775.1 × sería igual a 2.87. ¿Es esto cierto? Recuerda la escala es la

razón entre dos medidas: medidas de la estatuamedidas reales del personaje

Si un objeto se construye con una escala de 47 respecto del original, significa que a

cada 7 unidades de la copia corresponden sólo 4 unidades en el original. Dicho de otra manera, las medidas de la copia y el original están en razón de 7 a 4. • María represento esa situación de la siguiente forma:

• Si la estatura de la estatua es 2.87 m, ¿la estatura del personaje será mayor o menor a esa estatura (2.87 m)? ¿Cómo se obtiene la estatura del personaje a partir de la escala y de la estatura de la estatua? • ¿Cuál de las siguientes expresiones podría servir para calcular la estatura del personaje (x)? Utilízala para encontrar el valor de x.

7 7 72.87 2.874 4 2.87 4

xx x× = = ÷ =

27

11. La mamá de Manuel le va a comprar su uniforme escolar: camisa, pantalón y suéter. La señora visitó una tienda en donde los precios eran los siguientes:

Precio en pesos Suéter $190, $210 Camisa $90, $120, $150 Pantalón $150, $180, $200

Si ella compró las tres prendas, ¿qué cantidad no es posible que haya pagado? a) $460 • ¿Cómo obtuviste tu respuesta? ¿Utilizaste alguna tabla o diagrama para encontrar tu

respuesta? En el siguiente diagrama de árbol aparece el resultado: 190, 90, 150. Esto significa que la mamá de Manuel compró el suéter de $190, la camisa de $90 y el pantalón de $150 y la cantidad que pagó fue de $430.

• ¿Qué significa el resultado: 190, 90, 180? ¿Y el resultado: 120, 150, 190? • Completa el diagrama de árbol. En total, ¿cuántas formas diferentes hay de comprar las tres prendas que forman el uniforme de Manuel en esa tienda? • De esos resultados, ¿en cuántos se cumple que la cantidad a pagar sea $460?

28

b) $490 • ¿Cómo obtuviste tu respuesta?

• ¿Utilizaste alguna tabla o diagrama para encontrar tu respuesta? • En la siguiente tabla, el primer resultado que aparece es: 90, 150, 190 lo que significa que la mamá de Manuel compró la camisa de $90, el pantalón de $150 y el suéter de $190, la cantidad que pagó fue de $430.

Camisa Pantalón Suéter Cantidad a pagar 90 150 190 430 120 150 190 150 150 190 90 150 210 120 150 210 150 150 210 90 180 190 120 180 150 180 …

• ¿Qué significa el resultado: 150, 150, 190? ¿Qué cantidad a pagar es? • Completa la tabla. En total, ¿cuántas formas diferentes hay de comprar las tres prendas del uniforme de Manuel? • De esos resultados, ¿en cuántos se cumple que Manuel recibe el balón rojo?

c) $510 • ¿Cómo obtuviste tu respuesta?

• ¿Utilizaste alguna tabla o diagrama para encontrar tu respuesta? • En el siguiente diagrama de árbol aparece el resultado: 190, 90, 150. Esto significa que la mamá de Manuel compró el suéter de $190, la camisa de $90 y el pantalón de $150 y la cantidad que pago fue de $430.

29

d) $$550 Recuerda que para resolver problemas de conteo es conveniente utilizar recursos

(diagramas de árbol y tablas) y códigos (letras, números u otros signos) que permitan encontrar de manera sistemática todos los resultados posibles y diferenciar un resultado de otro. Cuando el conteo se efectúa de manera sistemática, el resultado será siempre el mismo, sin importar el recurso que se utilice. • Por ejemplo, en la siguiente tabla, el primer resultado que aparece es: 90, 150, 190 lo que significa que la mamá de Manuel compró la camisa de $90, el pantalón de $150 y el suéter de $190, la cantidad que pagó fue de $430. Copia la tabla y complétala.

Camisa Pantalón Suéter Cantidad a pagar 90 150 190 430 120 150 190 150 150 190 90 150 210 120 150 210 150 150 210 90 180 190 120 180 150 180 …

• ¿Cuántas formas diferentes hay de comprar las tres prendas? • ¿En cuántos resultados se cumple que la mamá de Manuel paga $550?

30

12. Vamos a colocar una canica roja, una azul y una blanca en dos cajas que están numeradas. Es posible colocar varias canicas en la misma caja. ¿Cuál de las siguientes operaciones sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas? a) 3 + 2 + 1 • Si la operación es 3 + 2 + 1, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden colocar las

tres canicas: roja, azul y blanca, en las dos cajas? • Completa la siguiente lista:

• ¿Cuántas canicas puede haber en la caja 1? ¿Y en la caja 2? • ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse las tres canicas en las cajas? • ¿Cuál es la operación con que puedes calcular todas las maneras de colocar las tres canicas en dos cajas? • Si en lugar de colocar tres canicas, se colocan cuatro: roja, azul, blanca y verde en dos cajas numeradas, ¿de cuántas maneras distintas puede colocarse las cuatro canicas? Para contestar, puedes hacer una lista como la anterior.

¿Cuál es la operación con la que puedes calcular todas las maneras de colocar las cuatro canicas en dos cajas?

b) 3 x 2 x 1 • Si la operación es 3 x 2 x 1, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden colocar las

tres canicas: roja, azul y blanca en las dos cajas? • Completa el siguiente diagrama de árbol:

31

• De acuerdo con el diagrama de árbol, ¿en cuántas cajas se puede colocar cada canica?, ¿hasta cuántas canicas puede tener cada caja? • ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar las tres canicas? • ¿Cuál es la operación con la que puedes calcular todas las maneras de colocar las tres canicas en dos cajas?

c) 2 x 2 x 2 • ¿Cuántas opciones hay para colocar la canica roja?

¿Cuántas opciones hay para colocar la canica azul? ¿Y para colocar la canica blanca? • ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar las tres canicas? • Si en lugar de colocar tres canicas, se colocan cuatro: roja, azul, blanca y verde en dos cajas numeradas, ¿cuál es la operación con la que puedes calcular todas las maneras diferentes de colocar cuatro canicas en dos cajas numeradas? • Si ahora se colocan las canicas: roja, azul y blanca en tres cajas numeradas, siendo posible colocar varias canicas en la misma caja, ¿cuál es la operación con la que puedes calcular todas las maneras diferentes de colocar estas tres canicas?

d) 3 x 3 • Si la operación es 3x3, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden colocar las tres

canicas: roja, azul y blanca en las dos cajas? • ¿Cuántas opciones hay para colocar la canica roja? • ¿Cuántas opciones hay para colocar la canica azul? ¿Y para colocar la canica blanca? ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar las tres canicas? • Si ahora vamos a colocar una canica roja y una blanca en tres cajas numeradas y es posible colocar las dos canicas en la misma caja. ¿Cuántas opciones hay para colocar la canica roja? ¿Y para colocar la canica blanca? • ¿Cuál es la operación con la que puedes calcular todas las maneras de colocar las dos canicas en tres cajas?

32

13. Observa los siguientes polígonos de frecuencias que muestran las estaturas de los alumnos de segundo grado de una telesecundaria.

De acuerdo con la información de las gráficas, las siguientes afirmaciones son verdaderas, excepto: a) En esa telesecundaria hay 20 alumnos en cada grupo de segundo grado. • ¿Cómo puedes saber cuántos alumnos hay en cada grupo?

• Observa los polígonos de frecuencias, cada uno muestra la distribución de las estaturas de los alumnos de un grupo de la escuela. Completa la tabla:

• En total, ¿cuántos alumnos hay en cada grupo de segundo grado en esa escuela?

33

b) En esa telesecundaria hay alumnos que miden menos de 1.40 m. • Observa los polígonos de frecuencia y contesta las preguntas: ¿Cuál es el primer

intervalo de estaturas? ¿Cuál es la estatura mínima de ese intervalo? c) Entre 1.45 y 1.49 metros son las estaturas más frecuentes de los alumnos de ambos grupos. • Recuerda que la frecuencia es el número de veces que aparece cada valor y que

cuando los datos son diversos o se tiene una gran cantidad de ellos, pueden agruparse en intervalos. Cada intervalo tiene un límite inferior, uno superior y un punto medio. En el grupo A, ¿cuál es el intervalo de estatura con mayor cantidad de alumnos? ¿Y cuál es en el grupo B?

d) Entre 1.45 y 1.49 metros es el intervalo de estaturas en el que se ubican los alumnos más altos en ambos grupos. • Supón que a esa escuela ingresa un nuevo alumno y mide 1.78 m, ¿cuál es el

intervalo en que se tendría que registrar? • Según los polígonos de frecuencia, ¿cuál es el intervalo de estaturas en que se encuentra registrado el alumno más alto del grupo A? ¿Y cuál es el intervalo en que se encuentran registrados los alumnos más altos del grupo B? No olvides que el primero y el último intervalo que aparecen en una gráfica (o en una tabla) contienen al menor y al mayor de los datos, respectivamente, de un conjunto y son considerados los valores extremos.

34

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. En algunos casos, dos o más preguntas comparten una misma sugerencia o recomendación. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula.

Bloque I

Eje

Preguntas


1

Operaciones de números con signo. Si después de leer la pregunta considera que tienen dificultades para comprender la situación que se presenta, puede plantearles situaciones que involucran ganancias y pérdidas como recurso para tratar de comprender e introducir a sus alumnos en el significado de la suma y la resta de números con signo. Posteriormente, puede leer cada una de las opciones y pregunte a uno o dos alumnos sus respuestas. Como cierre, puede solicitar que se apoyen en la recta numérica para efectuar la operación y/o verificar sus resultados como se señala en la retroalimentación de la opción correcta.

Si observa que la mayoría de alumnos tienen dificultades al realizar la operación, puede pedir que consulten el texto que se incluye como recurso y que resuelvan los problemas y los ejercicios propuestos en él. Posteriormente, solicite que nuevamente contesten la pregunta.

2

Sustracción de números con signo. Al expresar una sustracción de números con signo, una de las dificultades más comunes que presentan los alumnos es que confundan el signo del número con el de la operación. Puede ayudar a sus alumnos si les pide que traten de representar su opción de respuesta mediante uno de los recursos que utilizaron en la pregunta anterior, por ejemplo, el termómetro o la recta numérica.

Recuerde a sus alumnos que están buscando una manera de obtener el cambio de temperatura, es decir, la temperatura puede aumentar o puede disminuir. Al final haga una puesta en común para que se revisen sus resultados. Es conveniente que tanto esta pregunta como la anterior se contesten juntas.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

3

Multiplicación y división de números con signo. En esta pregunta se cuestiona sobre el significado y las reglas para multiplicar y dividir números con signo, y en particular, sobre qué sucede cuando se multiplica por 0 y cuando ambos números son negativos y qué sucede cuando el divisor es -1. Dado que estos conocimientos son básicos e importantes para operar con expresiones algebraicas, sería conveniente que solicite a uno o dos alumnos le digan sus respuestas y cómo las obtuvieron. Si tienen una respuesta diferente, inicie una discusión grupal y pregunte

35

cuáles son las reglas de los signos para multiplicar o dividir números con signo. A la respuesta que le den sus alumnos pídales que le den ejemplos y si lo considera conveniente puede generalizar introduciendo expresiones como:

(a)(-1)=-a; (–a)(-1)=a; a/-1=-a; a/-a=-1; –a/a=-1. Recuérdeles que el cero no tiene signo y que la división entre 0 no es

posible. Si observa que durante la lectura de las retroalimentaciones, aún hay alumnos que no logran identificar la respuesta correcta o que manifiestan alguna confusión, recomiende utilizar el interactivo para recordar la interpretación de cada operación y cómo se aplican las reglas de los signos para multiplicar y dividir números con signo.

4

División de números con signo. Para obtener el promedio de las temperaturas registradas (como para cualquier otro promedio) se requiere sumar todos los datos y dividir entre el total. En esta pregunta los datos son números con signo que representan las temperaturas registradas. Los alumnos podrían tener dificultades al realizar la suma de las temperaturas, si detecta que es en ese punto donde están teniendo problemas, puede sugerir que utilicen el recurso del termómetro o la recta numérica para comprobar si es correcto el valor de la suma. Tal vez, las dificultades que presenten los alumnos sean al momento de calcular el cociente (promedio), en ese caso, recuerde con ellos las reglas para dividir.

Puede suceder que sus alumnos encuentren un procedimiento para obtener el promedio de las temperaturas diferente a los presentados en la retroalimentación, si así fuera analícelo con ellos y aproveche la oportunidad para dejar claro que tener más de un procedimiento para resolver un problema no sólo es posible sino deseable.

5

Reducción de términos semejantes Antes de responder esta pregunta, puede pedir a sus alumnos que se organicen en parejas para leerla y que traten de jugar y adivinar el número que su compañero pensó. De este modo se busca que los alumnos identifiquen las operaciones que se señalan y tenga sentido la expresión algebraica 6x - 7 + 3x + 8. Luego, puede pedir a sus alumnos que identifiquen las partes que forman a un término y cuándo los términos son semejantes. Después solicite participaciones que expliquen cómo se reducen los términos semejantes.

Si nota que los alumnos tienen aun dificultades para contestar esta pregunta, puede plantearles el siguiente problema: "si pienso un número cualquiera y se suma su doble con su triple, ¿cuál es el resultado?" Será el quíntuplo del número que pensé, es decir, 2x + 3x = 5x.Si lo considera conveniente puede pedir a sus alumnos que vean el video para que conozcan como se obtiene expresiones algebraicas equivalentes a partir del uso de modelos geométricos.

Proponga utilizar el interactivo para resolver otros problemas que implican reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes.

Recuerde que este contenido es básico para resolver problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante expresiones algebraicas.

36

6

Definición de líneas. Después de leer la pregunta, resalte que se requiere identificar cuál afirmación es incorrecta. Si es posible pida que utilicen una hoja de papel para trazar lo que se indica en cada una de las opciones de respuesta y analizar las afirmaciones; puede preguntarle a un par de alumnos cuál podría ser su respuesta, invítelos a que den sus argumentos; puede ayudarles si plantea un contraejemplo para que después ellos también lo hagan; luego, pregunte al resto del grupo si están de acuerdo con sus compañeros y por qué. Esto es un buen inicio de la argumentación y sienta las bases para que, poco a poco, los alumnos desarrollen el pensamiento deductivo que ocuparán posteriormente en las demostraciones geométricas.

Recuérdeles que, por ejemplo, no basta con que vean que los dos segmentos no se cortan, deben considerar si sus prolongaciones tampoco lo harán para afirmar que son línea paralelas. Por lo que es importante que esté al pendiente del uso del lenguaje geométrico que hacen los alumnos y cada vez que sea necesario señalar los términos o definiciones a los cuales se está haciendo referencia, por ejemplo, cuadriláteros, lados opuestos, lados consecutivos, ángulo recto, líneas oblicuas, etcétera. Al mismo tiempo, representa una oportunidad para realizar tareas de construcción.

Si considera necesario indique que utilicen el interactivo para explorar las propiedades de los ángulos formados por dos rectas o puede pedir que vean el video para observar los diferentes tipos de parejas de rectas que existen.

7

Ángulos entre paralelas. Recuerde que el desarrollo de un pensamiento deductivo es uno de los propósitos de las matemáticas, por ello, esta pregunta propicia la elaboración de razonamientos deductivos sencillos a partir de casos particulares. Es probable que los alumnos no tengan la necesidad de demostrar algo que les resulta obvio, y por ello mismo tengan dificultades para seleccionar los argumentos y razones que faltan. En caso de que lo considere necesario, ayúdelos a revisar y analizar las afirmaciones que forman parte de la demostración y las que se proponen en las opciones de respuesta. Aun cuando se espera que los alumnos podrían apoyarse en las relaciones entre ángulos que han estudiado (opuestos por el vértice, adyacentes suplementarios y correspondientes) podrían tener dificultades como las siguientes: No recordar las relaciones que se han estudiado, o recordar algunas de ellas sin poder hacer todos los vínculos necesarios para contestar.

Forma, espacio y medida

8 y 9

Reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Relaciones entre los ángulos interiores de los paralelogramos Destaque la importancia de saber que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales, que cuando dos rectas se cortan los ángulos adyacentes suman 180° y que la medida de los ángulos interiores de cualquier tipo de triángulo es 180° para poder establecer relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por transversal, así como para poder justificar la suma de los ángulos. Sugiera que utilicen el interactivo para continuar analizando estas relaciones.

37

10

Factor inverso de proporcionalidad.

Ayúdelos a identificar que el reciproco de la escala de 47

es el factor inverso

de proporcionalidad y que si se multiplica la altura de la estatua por ese reciproco, se obtiene la altura real del personaje para ello es importante que analicen algunas medidas posibles de la altura real del personaje y las alturas de sus estatuas que le corresponden, como se hace en la retroalimentación de la opción b. Pida que utilicen el interactivo para resolver otros problemas en los que se requiere calcular el factor inverso de proporcionalidad.

11

Recursos para resolver problemas de conteo. Después de leer la pregunta, resalte que se requiere identificar qué cantidad no fue posible pagar. Señale que existen diferentes recursos y maneras de denotar y contar los resultados posibles. Si considera que tienen dificultades para contestar, pida que completen y analicen el diagrama de árbol y la tabla que se presentan en las retroalimentaciones a y b para que encuentren regularidades entre una y otra representación. Pida que utilicen el interactivo para que identifiquen y organicen los resultados de otros problemas de conteo.

12

Regularidades en problemas de conteo. Lea la pregunta y asegúrese que comprendan cómo es posible colocar las tres canicas en las dos cajas, por ejemplo, puede preguntar si es posible que solamente se coloque una de las tres canicas en alguna de las dos cajas y que las otras canicas no se coloquen en ninguna caja.

Promueva una discusión grupal en la que revisen la retroalimentación de la respuesta correcta y ayúdelos a que identifiquen algunas regularidades entre las variantes que se dan a la situación original.

Pida de utilicen el interactivo para resolver problemas de conteo haciendo uso de arreglos rectangulares e identificar regularidades.

Manejo de la información

13

Interpretar polígonos de frecuencia. Después de leer la pregunta, resalte que se pide identificar cuál es la excepción. Pida que analicen cada una de las opciones. Comente con sus alumnos sobre qué tipo de datos se presentan en un polígono de frecuencias.

Si considera necesario usen el interactivo para ver cómo se construye un polígono de frecuencias. También puede sugerir ver el video para conocer más situaciones en las que se utiliza polígonos de frecuencia para comunicar la información.

38

BLOQUE II Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

14. Para hallar el valor del polinomio 8m – 2 + 5 x 4, para m = –1, tecleo la siguiente sucesión de símbolos en una calculadora.

Si la calculadora respeta la jerarquía de las operaciones, ¿qué resultado obtendré? a) –20 • Para obtener ese resultado, ¿cuál fue la primera operación que realizaste? ¿Cuál fue

la última operación que realizaste? ¿Cuántas operaciones es necesario realizar? No olvides que la jerarquía de operaciones es un conjunto de reglas matemáticas que indican el orden en el que deben realizarse las operaciones. Dos de las reglas son: • Las multiplicaciones y las divisiones se hacen antes que las sumas y las restas. • Las sumas y las restas se hacen de izquierda a derecha.

b) –14 • ¿Cuál es la primera operación que realizaste? ¿Cuál es la última operación que

realizaste? ¿Cuántas operaciones es necesario realizar? No olvides la jerarquía de operaciones es un conjunto de reglas matemáticas que indican el orden en el que deben realizarse las operaciones. Una de las reglas es: • Las multiplicaciones y las divisiones se hacen antes que las sumas y las restas.

c) 10 Recuerda que el valor de un polinomio puede calcularse de la siguiente manera:

• Sustituir la variable por su valor correspondiente. • Realizar las operaciones indicadas de acuerdo con la jerarquía de operaciones. • La jerarquía de operaciones es un conjunto de reglas matemáticas que indican el orden en el que deben realizarse las operaciones. Dos de las reglas son: • Las multiplicaciones y las divisiones se hacen antes que las sumas y las restas. • Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha. • Si el polinomio es 4x528 2 +−m y 1=m . Después de sustituir el valor de m , ¿qué operación debe realizarse primero?

d) 40 • Al sustituir el valor de la variable m en el polinomio, se obtiene la siguiente

expresión: 8(–1) – 2+5 x 4. Posteriormente, se realizan las operaciones indicadas. Existen varias formas y símbolos para indicar una multiplicación, por ejemplo: 3 x 2,

39

3*2 y (3)(2). La jerarquía de operaciones es un conjunto de reglas matemáticas que indican el orden en el que deben hacerse las operaciones. Una de las reglas es: base x altura = b x a = ba • Las multiplicaciones y las divisiones se hacen antes que las sumas y las restas. • En la expresión numérica del polinomio, ¿cuáles son las multiplicaciones que se deben efectuar?

15. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del siguiente rectángulo?

a) x4 • La ilustración de la izquierda muestra un rectángulo cuya altura mide una unidad. La

medida de la base no está especificada, pero puede ser cualquier valor; aquí se representa con la letra x. Su área es x.

• La ilustración de la derecha muestra un cuadrado que mide x unidades por lado; su área es 2x . Recuerda que la fórmula para obtener el área de un rectángulo es:

base x altura = b x a = ba Con las cuatro piezas rectangulares puedes formar un rectángulo como el siguiente. ¿Cuál es su área?

• ¿El rectángulo formado mide x unidades de altura?, ¿Mide x4 unidades de base? • ¿Con cuál de las piezas (la rectangular o la cuadrada) puedes formar el rectángulo que pide el problema? • ¿Cuántas de esas piezas necesitas?, ¿Cuál sería su área?

x

x4

40

b) x10 • La ilustración de la izquierda muestra un rectángulo cuya altura mide una unidad. La


• La ilustración de la derecha muestra un cuadrado que mide x unidades por lado; su área es 2x . Recuerda que la fórmula para obtener el área de un rectángulo es:

base x altura = b x a = ba Con las diez piezas rectangulares puedes formar un rectángulo como el siguiente. ¿Cuál es su área?


c) x5 • La ilustración de la izquierda muestra un rectángulo cuya altura mide una unidad. La


• La ilustración de la derecha muestra un cuadrado que mide x unidades por lado; su

x

x4

41

área es 2x . Recuerda que la fórmula para obtener el área de un rectángulo es:

base x altura = b x a = ba Con las cinco piezas rectangulares puedes formar un rectángulo como el siguiente. ¿Cuál es su área?


d) 24x • Observa que el siguiente rectángulo está formado por cuatro piezas cuadradas

iguales cada una de las cuales mide x unidades por lado.

• La base de este rectángulo mide x4 unidades; su altura mide x unidades. Como el área de cada pieza cuadrada es 2x , el área del rectángulo es 24x . Recuerda que la fórmula para obtener el área de un rectángulo es:

base x altura = b x a = ba x4 y x son expresiones algebraicas que se llaman monomios. Otro ejemplo de

monomio es 23b , b es la variable, 3 el coeficiente y 2 el exponente. Para multiplicar dos monomios cuando están formados por la misma variable con igual o diferente exponente, basta multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de la variable.

x

x4

42

16. El volumen de un prisma rectangular es cb 230 y el área de su base es bc10 . ¿Cuánto mide su altura?

a) 3 • La medida de la altura del prisma se calcula dividiendo el volumen entre el área de la

base.

En este caso, la división que debe hacerse es. bc

cb1030 2

¿Cuánto es bc

cb1030 2

?, ¿Cuánto es bb2

?

• Una división se comprueba multiplicando el cociente por el divisor; el resultado debe ser el dividendo. • ¿Es 3 x 10bc igual a cb 230 ?

b) 3b • Cuando se conoce el volumen de un prisma y el área de su base, la medida de su

altura se halla mediante la división: alturabase la de áreaprisma del volumen

= .

• ¿Qué división debe realizarse en el caso de este problema? • Una división se comprueba multiplicando el cociente por el divisor; el resultado debe ser el dividendo. • ¿Es 3b x 10bc igual a cb 230 ?

Recuerda que aaaa

aa

aa

=××=2

3

Es decir, 3a entre 2a es igual a que aaa ==− 123

43

c) 3bc • La medida de la altura del prisma se calcula dividiendo el volumen entre el área de la

base.


cb1030 2

¿Cuánto es bc

cb1030 2

?, ¿Cuánto es bb2

?

• Una división se comprueba multiplicando el cociente por el divisor; el resultado debe ser el dividendo. • ¿Es 3bc x 10bc igual a cb 230 ?

d) 23b • La medida de la altura del prisma se calcula dividiendo el volumen entre el área de la

base.


cb1030 2

¿Cuánto es bc

cb1030 2

?

• Una división se comprueba multiplicando el cociente por el divisor; el resultado debe ser el dividendo. • ¿Es 23b x 10bc igual a cb 230 ?

17. ¿Cuánto mide la base del siguiente rectángulo?

44

a) 7x • Si el área del rectángulo es xx 104 2 + y la medida de su altura es x2 , la medida de

su base se halla mediante una división. ¿De qué división se trata? Una división se comprueba multiplicando el cociente por el divisor; el resultado debe el cociente. ¿Es )2)(7( xx igual a xx 104 2 + ?

b) 52 2 +x • El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la altura por la base.

Si la base del rectángulo mide 52 2 +x y la medida de la altura mide x2 , ¿al calcular su área se obtiene xx 104 2 + ?

c) xx 102 + El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la altura por la base.

• ¿cuánto mide la base del rectángulo? ¿Cuánto mide su altura? ¿Cuál es su área? • Si el área del rectángulo xx 104 2 + y la medida de la altura es x2 , ¿cómo encuentras la medida de su base?

d) 52 +x • ¿Cómo encuentras la medida de la base de este rectángulo, si sabes que su área

( xx 104 2 + ) y la medida de la altura ( x2 ) es el monomio? • ¿Cómo compruebas que la medida de la base de este rectángulo es ( 52 +x )? Recuerda que la división de un polinomio entre un monomio se realiza dividiendo cada término del polinomio entre el monomio y sumando (o restando) los resultados.

Por ejemplo: 483

123

243

1224 22

−=−=− y

yy

yy

yyy

• Se puede comprobar el resultado con la multiplicación ( 48 −y )( y3 ): • Si el área del rectángulo es xyx 26 2 + y la altura es x2 , ¿cuánto mide la base del rectángulo? Comprueba tu respuesta.

45


18. Observa que el cuerpo mostrado en la figura está formado por cubos.

¿Cuál de las siguientes figuras muestra cómo se vería desde arriba? a)

• Si observas el cuerpo desde arriba, verás un conjunto de cuadros dispuesta de cierta

manera, ¿cuántas hileras de cuadros de adelante hacia atrás se verán?, ¿cuántos cuadros forman cada hilera? De acuerdo con la figura que elegiste, ¿cuántas hileras forman este cuerpo? ¿Coinciden tus respuestas? • ¿Crees que es suficiente observar el número de hileras para determinar si corresponde con el dibujo de la cara? ¿Por qué? ¿Cómo se vería el cuerpo si te colocarás a la derecha de él?

b)

• Observa el cuerpo, visto desde arriba, ¿cuántas hileras de cubos, de adelante hacia

atrás, lo forman? En la figura que elegiste aparece un cuadro formado por cuatro cuados más pequeños, ¿a qué parte del cuerpo geométrico corresponde? • Observa los cuadros pequeños que sobresalen del cuadro formado por cuatro cuadros pequeños, ¿están dispuestas en la forma en que se ven desde arriba? • Finalmente, ¿a qué parte del cuerpo geométrico corresponde el cuadro que sobresale del lado derecho de la figura que elegiste? ¿Corresponde esta descripción con el cuerpo geométrico que se presenta en este problema? ¿Por qué?

46

c)


atrás, lo forman? De acuerdo con la figura que elegiste, ¿cuántas hileras forman ese cuerpo? • En la figura que elegiste sobresale un cuadro en la parte de arriba del cuadro formado por cuatro cuados más pequeños, ¿a qué parte del cuerpo geométrico corresponde? ¿Corresponde esta vista desde arriba con el cuerpo que se presenta en este problema? ¿Por qué?

d)


atrás, lo forman? En la figura que elegiste aparece un cuadro formado por cuatro cuadros más pequeños, ¿a qué parte del cuerpo geométrico corresponde? • En esta figura sobresale un cuadro del lado derecho del cuadro formado por cuatro cuadros más pequeños, ¿a qué parte del cuerpo geométrico corresponde? • Finalmente, ¿a qué parte del cuerpo geométrico corresponde el cuadro que sobresale en la parte inferior de la figura que elegiste? ¿Cómo se vería el cuerpo si te colocarás a la derecha de él? ¿Cómo se vería si te colocarás atrás de él? • ¿Y si te colocarás al frente? Recuerda que las vistas de un cuerpo geométrico son dibujos que corresponden a cada una de sus caras cuando se observa desde el frente de ellas. Algunas vistas de un cuerpo son: arriba, frente, lado (izquierdo o derecho) y abajo.

47

19. Calcula la altura de un prisma cuyo volumen es 108 cm³ y el área de la base es 15 cm² a) 2.4 cm • Si el área de la base es de 15 cm 2 y la altura es 2.4 cm, ¿cuál es el volumen del

prisma? • Si en la fórmula bhv = sustituyes las variables v (volumen del prisma) y b (área de la base) por sus valores 108 y 15 respectivamente, se obtiene la ecuación h15108 = . ¿Cómo encuentras el valor de la medida de la altura (h ) en esta ecuación? ¿Cuál es ese valor?

b) 7.2 cm Recuerda que la fórmula para calcular el volumen de un prisma es bhv = , donde b

representa la superficie de la base y h la altura. • ¿Cómo debes transformar está fórmula para obtener la medida de la altura (h )? Supón que la base del prisma es un cuadrado. Su volumen es de 108 cm 3 y su altura mide 12 cm. ¿Cuánto medirá cada lado de la base del prisma?

c) 93 cm • Si supones que el área de la base es 15 cm 2 y la altura es 93 cm, ¿cuál sería el

volumen del prisma? Si en la fórmula bhv = sustituyes las variables v (volumen del prisma) y b (área de la base) por sus valores 108 y 15, respectivamente, se obtiene la ecuación h15108 = . • ¿Cómo encuentras el valor de h (medida de la altura) en esta ecuación? ¿Cuál es ese valor?

d) 123 cm • Imagina que vas a pegar un listón alrededor de las aristas del prisma. Explica cómo

calcularías la cantidad total de listón que se va a pegar en esas aristas. Y si se quiere llenar de cubitos de 1 cm 3 a ese prisma, ¿cómo calcularías la cantidad total de cubitos que necesitarías para llenar el prisma? • ¿Para hallar la medida de la altura del prisma deben sumarse las medidas de su volumen y de su base? • Si se despeja la variable h en la fórmula bhv = , ¿qué debe hacerse con los valores de v (volumen del prisma) y b (área de la base) para encontrar la medida de la altura del prisma? • Puedes sustituir las variables v (volumen del prisma) y b (área de la base) por sus valores en la fórmula bhv = , ¿cómo quedaría esta expresión? Realiza las operaciones y compara tus resultados.

48

20. La ilustración muestra una pirámide y un prisma cuyas bases son polígonos que tienen la misma forma y medida.

¿Qué altura debe tener la pirámide para tener el mismo volumen que el prisma? a) La altura de la pirámide debe medir el doble que la del prisma • Las figuras muestran un prisma y una pirámide cuyas bases son iguales; también son

iguales sus alturas, pero el volumen del prisma es mayor que el de la pirámide. • Imagina que la altura de la pirámide aumenta cada vez más. ¿Qué tanto debe aumentar para que los volúmenes de estos cuerpos sean iguales? • Las fórmulas del volumen de la pirámide y el prisma son:

3pirámide hBV ×

= , hBV ×=prisma

• ¿Cómo puedes usar sus fórmulas para determinar la altura que debe tener la pirámide a fin de que tenga el mismo volumen que el prisma? • Utiliza la fórmula para calcular el volumen de un prisma cuya área mide 10 y su altura es 4. Ahora, utiliza la fórmula para calcular el volumen de la pirámide cuya base es igual a la del prisma, pero su altura mide el doble (8). ¿Es cierto que el volumen del prisma y de esa pirámide son iguales?

b) La altura de la pirámide debe medir el triple que la del prisma. • Las fórmulas del volumen de la pirámide y el prisma son:

3pirámide hBV ×

= , hBV ×=prisma

• Utiliza la fórmula para calcular el volumen de un prisma cuya área mide 10 y su altura es 4. Ahora, utiliza la fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuya base es igual a la del prisma y su altura también mide el triple (12). ¿Son iguales esos volúmenes? • Observa que en la fórmula del volumen de la pirámide aparece el número tres, ¿Qué representa ese número? ¿Cuál es la operación que se realiza con él?

49

c) El prisma y la pirámide deben tener la misma altura. • Las fórmulas del volumen de la pirámide y el prisma son:

3pirámide hBV ×

= , hBV ×=prisma

• Utiliza la fórmula para calcular el volumen de un prisma cuya área mide 10 y su altura es 4. Ahora, utiliza la fórmula para calcular el volumen de un prisma cuya área mide 10 y su altura es 4. • ¿Tienen el mismo volumen o el de uno de ellos es mayor que el de le otro? ¿Cuánto más es la diferencia?

d) La altura de la pirámide debe medir la tercera parte que la del prisma. • Las figuras muestran un prisma y una pirámide cuyas bases son iguales. La altura de

la pirámide es la tercera parte que la del prisma.

• ¿Cuál de ellos tiene mayor volumen, el prisma o la pirámide?


21. Marta escribe a máquina 480 palabras en 12 minutos, y Rosita, 630 en 15 minutos. ¿Quién de las dos es más rápida?, ¿con cuántas palabras por minuto aventaja a su compañera? a) Marta escribe 2 palabras más por minuto que Rosita. • Si Marta escribe 480 palabras en 12 minutos, ¿cuántas palabras puede escribir en un

minuto? ¿Cuántas palabras por minuto puede escribir Rosita? • ¿Es cierto que Marta escribe dos palabras más por minuto que Rosita?

b) Marta escribe 3 palabras más por minuto que Rosita. • Rosita escribe 42 palabras en un minuto, de acuerdo con la respuesta que elegiste,

Marta escribe 45 palabras en un minuto. Entonces, si multiplicas por 12 el número de palabras que escribe Marta en un minuto (45), ¿obtienes 480?

c) Rosita escribe 2 palabras más por minuto que Marta. • ¿Cuántas palabras por minuto escribe Marta? ¿Y Rosita? ¿Quién escribe más

rápido? ¿Cuántas palabras por minuto escribe más una que la otra? • Si Marta hubiera escrito las 480 palabras en 15 minutos y Rosita las 630 palabras en 21 minutos, ¿quién de las dos sería más rápida?

50

Recuerda que una razón a / b puede interpretarse como el número de unidades del numerador que corresponden a una unidad del denominador. Para resolver el problema que se plantea, hay que comparar dos razones:

(número de palabras /número de minutos). Como esta situación hay muchos otros en los que se requiere la comparación de razones. Por ejemplo: Número de kilómetros que recorren los automóviles por cada litro de gasolina. Número de kilogramos de un producto por cada peso que cuesta. Una estrategia eficiente para resolver estos problemas es la reducción a la unidad.

d) Rosita escribe 3 palabras más por minuto que Marta. • Rosita escribe 42 palabras en un minuto, de acuerdo con la respuesta que elegiste,

Marta escribe 39 palabras en un minuto. Entonces, si multiplicas por 12 el número de palabras que escribe Marta en un minuto (39), ¿obtienes 480?

22. La siguiente gráfica muestra la distribución de las estaturas de los alumnos de un grupo.

¿Cuál es la estatura media (o promedio) de estos alumnos?

51

a) 1.47 • ¿Cuál es el intervalo de estaturas con mayor frecuencia, es decir, cuál es el intervalo

modal? ¿Cuál es el punto medio de ese intervalo? ¿Qué porcentaje del total de alumnos representan los que tienen esa estatura? ¿Ese intervalo o valor puede considerase como el promedio del grupo? ¿Por qué? Recuerda que para calcular la media se deben considerar todos los datos del conjunto. Cuando un conjunto de datos se encuentra agrupado en intervalos, la media se calcula utilizando el punto medio de cada uno por su frecuencia.

b) 1.49 • ¿Cómo obtuviste la estatura media de los alumnos de ese grupo? ¿Qué valor

consideraste para representar cada intervalo? ¿Por qué? • Observa la gráfica y completa la tabla:

Estatura en metros

Intervalo Punto medio del intervalo

Frecuencia Producto=Punto medio × frecuencia

1.35 a 1.39 (1.39 1.35) 1.372+

= 4 1.37 × 4 = 5.48

1.40 a 1.44 (1.44 1.40) 1.422+

= 3 1.42 × 3 = 4.26

1.45 a 1.49 1.50 a 1.54 1.55 a 1.59 1.60 a 1.64 1.65 a 1.69 1.70 a 1.74

20 5.48 + 4.26 + • Si se toma como referencia el punto medio de cada intervalo de estaturas, ¿cuál sería la suma de las estaturas de todos los alumnos de ese grupo? ¿Cuál sería el promedio de esas estaturas? ¿Por qué crees que se debe considerar al punto medio del intervalo para calcular la media?

c) 1.52 • La gráfica muestra que los datos registrados se organizaron en 8 intervalos, ¿cuál

consideras que es el intervalo o la estatura central? ¿Por qué? Recuerda que para calcular la media se deben considerar todos los datos del conjunto. Cuando un conjunto de datos se encuentra agrupado en intervalos, la media se calcula utilizando el punto medio de cada uno por su frecuencia.

52

d) 1.54 • La gráfica muestra que los datos registrados se organizaron en 8 intervalos, ¿cuál

consideras que es el intervalo o la estatura central? ¿Por qué? • ¿Cuántos alumnos miden más de 1.54 metros? ¿Cuántos miden menos de 1.55 metros? Recuerda que cada intervalo puede ser identificado y representado por su límite inferior, superior o su punto medio. El punto medio de un intervalo permite efectuar operaciones aritméticas, por ejemplo, para obtener la media de datos agrupados, se multiplica el punto medio de cada intervalo por su frecuencia, luego se suman los productos y el total se divide entre el número de datos. • Si se toma como referencia el punto medio de cada intervalo de estaturas, ¿cuál sería la suma de las estaturas de todos los alumnos de ese grupo? ¿Cuál sería el promedio de esas estaturas?

23. Las siguientes gráficas muestran los resultados de las respuestas a dos preguntas de una encuesta que se realizó a los alumnos de una escuela.

De acuerdo con la información de las gráficas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta?

53

a) La mitad de los alumnos entrevistados dedican menos de 14.5 horas a la semana a estudiar. • Observa la gráfica y completa la tabla:

Horas a la semana que dedican al estudio Intervalo Punto medio Frecuencia

5–9 7 20 10–14 12 30 15–19 20–24 25–29 30–34

Total • ¿Cuántos alumnos dedican entre 5 y 14 horas a la semana a estudiar? ¿Qué porcentaje representan del total de alumnos? • ¿Cuántos alumnos dedican entre 15 y 34 horas a estudiar? ¿Qué porcentaje representan del total de alumnos? • ¿Cuál es el valor que está entre 14 y 15 horas a la semana? ¿Se puede considerar a ese valor como la mediana de este conjunto de datos? ¿Por qué? Recuerda que los datos pueden estar agrupados en intervalos. La mediana es el valor que está en medio, cuando los datos se han ordenado. Con la localización de la mediana, el conjunto de datos se divide en dos subconjuntos, cada uno con el mismo número de elementos.

b) Entre 10 y 14 horas a la semana es el tiempo que más alumnos dedican al estudio. Recuerda que los datos pueden estar agrupados en intervalos. Cada intervalo tiene un

límite inferior, superior y punto medio. El intervalo con mayor frecuencia se llama intervalo modal. • Observa la gráfica del problema y completa la tabla:


5–9 7 20 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34

Total • ¿Cuál es el intervalo con mayor frecuencia? ¿Cuál es el punto medio de ese

54

c) Entre 20 y 24 horas a la semana es el tiempo que más alumnos dedican a ver televisión. Recuerda que los datos pueden estar agrupados en intervalos. Cada intervalo tiene un



5–9 7 5 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34

Total • ¿Cuál es el intervalo con mayor frecuencia? ¿Cuál es el punto medio de ese intervalo?

d) Entre 30 y 34 horas a la semana es el tiempo que más alumnos dedican a ver televisión. Recuerda que los datos pueden estar agrupados en intervalos. Cada intervalo tiene un



5–9 7 5 10–14 12 10 15–19 20–24 25–29 30–34

Total • ¿Cuál es el intervalo con mayor frecuencia? ¿Cuál es el punto medio de ese intervalo, es decir, cuál es el número de horas a la semana que más alumnos dedican a ver televisión? • De acuerdo con los intervalos que se muestran en la gráfica del problema y en la tabla que completaste, ¿cuál es el valor máximo del número de horas a la semana que

55



Bloque II

Eje

Preguntas


14

Jerarquía de operaciones. Comente con sus alumnos que las reglas que se aplican en la jerarquía de las operaciones son una convención para establecer un orden al momento de resolver o calcular valores en expresiones aritméticas o algebraicas. El contexto de una calculadora tiene la intención que el alumno necesite escribir y leer expresiones en las que las operaciones deben efectuarse de acuerdo a un cierto orden. Haga notar que al momento de sustituir el valor de m por -1, la expresión es aritmética y cómo se señala en una calculadora el signo negativo de un número y el signo de la operación de sustracción. Es posible que algunos alumnos apliquen una regla y no puedan decir cuál es o no sepan explicar por qué la eligieron, trate de preguntarles cómo le hicieron para decidir cuál operación hacer primero.

Si le es posible, propóngales utilizar el interactivo para evaluar expresiones numéricas o algebraicas, en donde es necesario seguir un orden para resolverlas. Otra actividad extra que podría realizar si disponen de aula de medios abra la calculadora de la computadora (ir a Programas y seleccionar Accesorios, ahí encontrarán Calculadora). En el menú Ver hay dos opciones: Científica o Estándar. Pida a los alumnos que averigüen en cuál de esas modalidades la calculadora jerarquiza y en cuál no.


15

Producto de monomios. En las retroalimentaciones se hace uso de bloques algebraicos que son un recurso visual mediante el cual se trata de dar sentido a la multiplicación de expresiones algebraicas. Asegúrese que los alumnos tengan claro cómo se obtiene el área de cada bloque. Si lo considera necesario puede ampliar el conjunto de bloques y trabajar con bloques de las siguientes medidas: 1×1 = 1; x × 1 = x; x × x = x2; x × y = xy; y × 1 = y; y × y = y2.

Es importante hacerles notar la diferencia entre una unidad lineal y una de superficie, como es el caso de x × 1 = x.

Si lo cree conveniente, proponga a los alumnos otras multiplicaciones, por ejemplo término numérico por monomio, monomio por monomio, monomio por binomio para que apliquen las reglas y las practiquen. En el video se explica cómo utilizar los bloques algebraicos.

56

16 y 17

Cociente de monomios. División de polinomios entre monomios. Ahora los alumnos tienen que hallar uno de los factores, en el caso de la pregunta 16 corresponde a la altura, conociendo el producto (que corresponde al volumen) y el otro factor (que es el área de la base). Para encontrarlo pueden pensar lo siguiente: ¿Qué número multiplicado por 10bc es igual a 30 b2c?, es decir. 10bc×____ = 30b2c. O bien, ¿cuál es el resultado de dividir 30b2c ÷ 10bc?

Si lo considera útil, plantéeles algunas de esas preguntas y permítales explorar distintos procedimientos y respuestas, aunque cometan errores.

Las preguntas 15, 16 y 17 evalúan conocimientos y habilidades que corresponden al mismo apartado, por lo que podría pedir que contesten las tres preguntas y, después, propicie una discusión grupal en la que sus alumnos reflexionen sobre el significado y uso de las operaciones que están implicadas al resolver estos problemas.

Sugiera el uso del interactivo para resolver más problemas que implican multiplicar y dividir expresiones algebraicas.

18

Diferentes vistas de un cuerpo. La representación plana de cuerpos de tres dimensiones no es una tarea fácil ya que al dibujar un cuerpo geométrico en el plano se pierde información. Para responder correctamente esta pregunta es importante saber interpretar lo que se ve dibujado. Si observa que la mayoría de sus alumnos tiene dificultades para interpretar los dibujos puede pedirles que utilicen algunos cubos y armar un cuerpo como el que muestra la figura de la pregunta ellos mismos podrán validar cuál es el dibujo que muestra la vista desde arriba de ese cuerpo. Otra manera de ayudarlos a interpretar cuál es el dibujo que corresponde a la vista desde arriba es señalándoles que cuando en el dibujo hay espacios vacíos, quiere decir que ahí no hay ningún cubo.

Si lo considera conveniente pida que también dibujen las vistas laterales y de frente del cuerpo. Después, sugiera el uso del interactivo para explorar y determinar las diferentes vistas de otros cuerpos formados por cubos.


19

Obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Se espera que los alumnos cuenten con cierto dominio de la noción del centímetro cúbico y de su representación simbólica, así como saber diferenciar entre una unidad lineal, una de superficie y una cúbica. Sin embargo, es importante que usted se asegure de que no haya dudas al respecto, pues los alumnos harán uso de esas nociones para contestar esta pregunta. Tal vez, los alumnos utilicen diferentes procedimientos para encontrar la respuesta, por ejemplo, pensar que si la altura del prisma fuera de 1 cm, el volumen sería 15cm3 ya que el área de la base es de 15 cm2. Si la altura mide 2 cm, entonces el volumen será 30cm3, etcétera. Con este procedimiento, los alumnos podrían encontrar una buena aproximación a la respuesta correcta dado que el valor de la altura no es un valor entero y además le permite comprender la relación que hay entre las dimensiones de

57

este cuerpo, considerando que las medidas de la base se mantienen fijas, entonces la medida de la altura se encuentra en proporción directa con el volumen.

El procedimiento más efectivo y económico es despejar la variable que representa a la altura en la fórmula para obtener el volumen de un prisma, sería deseable que los alumnos pudieran comprender este procedimiento a partir del procedimiento anterior, para darle sentido a las variables y no caer en un uso mecánico.

20

Volumen de prismas y pirámides rectos. Establecer relaciones de variación. Pida que mencionen ejemplos de las situaciones en las que puede ser útil el cálculo de volúmenes de prismas y pirámides. Destaque que es importante saber calcular esos volúmenes, pero que es más interesante saber de dónde se obtienen las fórmulas para realizar esos cálculos y establecer relaciones de variación entre sus diferentes medidas. Si observa que los alumnos tienen dificultades, pida material para realizar la actividad que se propone en la retroalimentación de la respuesta correcta y trate de utilizar el interactivo.

21

Comparar o igualar razones. Los alumnos pueden averiguar quién escribe más rápido, Marta o Rosa, de distintas maneras, por ejemplo:-Elaborando una tabla en la que se muestre el número de palabras que escribe Marta y Rosa, en 1, 5, y 10 minutos para luego encontrar la constante de proporcionalidad en cada caso.-Hallando el valor unitario en cada caso, es decir, encontrar cuántas palabras escribe cada quien en un minuto y verificar que en todos los renglones de una tabla ese número permita obtener el número de palabras al multiplicarlo por el tiempo.

Si lo considera necesario proponga alguno de estos procedimientos para revisar las respuestas de sus alumnos.

Finalmente, proponga el uso del interactivo para resolver otros problemas que implican comparar razones con base en la noción de equivalencia.


22 y 23

Calcular medidas de tendencia central. Interpretar medidas de tendencia central. Antes de contestar las preguntas 22 y 23, sus alumnos podrían ver el video propuesto en los recursos tecnológicos para recordar cuáles son las medidas de tendencia central y cómo encontrarlas cuando los datos están agrupados. Después de contestarlas, pida al grupo que lean y contesten la retroalimentación de la opción b de la pregunta 22, si es necesario dígales que ese es el procedimiento para calcular la media de datos agrupados; luego, pregunte por qué la información de la opción d de la pregunta 23 no es la interpretación de una medida de tendencia central, si hay dudas puede pedir que lean y contesten la retroalimentación.

Finalmente, para calcular e interpretar las medidas de tendencia central de datos agrupados en otras situaciones, pida que utilicen el interactivo.

58

BLOQUE III Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

24. ¿Cuál es la sucesión de números que se genera con la siguiente regla?

41

+n

a) 1 2 3 4 5, , , , ,...4 4 4 4 4

• En la sucesión 45,

44,

43,

42,

41 , ¿cuál es la diferencia entre términos consecutivos? ¿Es

constante? • En la regla algebraica

41

+n , ¿cuál es la variable que representa el lugar ocupado

por cada término en la sucesión? ¿Cuál es la constante que multiplica a la variable? Recuerda que en una sucesión, si la diferencia entre términos consecutivos es constante, la regla que la genera tiene la forma an + b y dicha constante es el factor que multiplica a la variable n. • Considera las sucesiones n , n

41 y

41

+n para completar la siguiente tabla:

Reglas Lugar que

ocupa en la sucesión n n

41

41

+n

1 1=n 41)1(

41

41

==n 411

411

41

=+=+n

2

3

4

5 • De acuerdo con los resultados que obtuviste, ¿la sucesión que se genera al aplicar la regla

41

+n es 45,

44,

43,

42,

41 ?

59

b) 1 5 9 13 17, , , , ,...4 4 4 4 4

• Si la regla algebraica de una sucesión es 41

+n , ¿cuál es la variable que representa

el lugar ocupado por cada término en la sucesión? ¿Cómo se obtiene el primer término de esa sucesión? ¿Y el segundo? • Considera las sucesiones

41

+n y 43

−n para completar la siguiente tabla:

Reglas Lugar que ocupa en la

sucesión 41

+n 43

−n

1 411

411

41

=+=+n 41

431

43

=−=−n

2 3 4

• ¿Con cuál de las dos reglas se obtiene la sucesión: 4

17,4

13,49,

45,

41 ?

c) 1 2 3 11 ,1 ,1 ,2,2 ,...4 4 4 4

• En la regla algebraica 41

+n , ¿Cuál es la variable que representa el lugar ocupado

por cada término en la sucesión? ¿Cómo se obtiene el primer término de esa sucesión? ¿Y el segundo? • Considera las sucesiones

41

+n y 141

+n para completar la siguiente tabla:

Reglas Lugar que ocupa en la

sucesión 41

+n 141

+n

1 411

411

41

=+=+n 4111

411)1(

411

41

=+=+=+n

2 3 4

• ¿Con cuál de las dos reglas se obtiene la sucesión ,

412,2,

431,

421,

411 ?

60

d) 1 1 1 1 11 ,2 ,3 ,4 ,5 ,...4 4 4 4 4

Recuerda que en una sucesión, si la diferencia entre términos consecutivos es constante, la regla que la genera tiene la forma:

an + b La variable n representa el número del lugar que ocupa cada término en la sucesión, el coeficiente (a) de la variable (n) indica la diferencia constante entre términos consecutivos. • En la regla algebraica

41

+n , ¿cuál es el valor de a? ¿Cuál es el valor de b? ¿Cuál

es la variable que representa el número del lugar que ocupa un término en esa sucesión? • ¿Cuál es la diferencia entre términos consecutivos en esa sucesión? • Completa la siguiente tabla:

Sucesión (lugar que ocupa cada término) Regla

1 2 3 4 5

Diferencia entre

términos consecutivos

n 1n =

n41 1 1 (1)

4 4n =

141

+n 1 1 1 11 (1) 1 1 14 4 4 4

n+ = + = + =

41

+n 1 1 11 14 4 4

n+ = + =

• ¿En cuáles de las anteriores sucesiones la diferencia entre los términos consecutivos es uno? ¿Y en cuáles la diferencia entre términos consecutivos es ¼? • ¿Qué relación encuentras entre esas diferencias y las expresiones algebraicas de las reglas de esas sucesiones? • ¿Por qué el primer término de las sucesiones generadas con la reglas n y

41

+n no

es el mismo? • ¿Por qué el primer término de las sucesiones generadas con las reglas n

41 y 1

41

+n

no es el mismo?

61

25. ¿Cuál es la expresión algebraica que genera la sucesión de números: –5, –1, 3, 7, 11,…? a) n – 5 • Utiliza la expresión algebraica que elegiste para encontrar los primeros 8 términos de

la sucesión que se genera: n 1 2 3 4 5 6 7 8

n – 5 (1)–5= (2)–5= • ¿La sucesión que obtuviste es –5, –1, 3, 7 ,11? • En la sucesión generada por la regla n – 5, ¿el primer término es –5? ¿Por qué?

b) n – 4 • Utiliza la expresión algebraica que elegiste para encontrar los primeros 8 términos de

la sucesión que se genera. n 1 2 3 4 5 6 7 8

n – 4 (1)–4= (2)–4= • ¿La sucesión que obtuviste es –5, –1, 3, 7 ,11? • En la sucesión generada por la regla n – 4, ¿cuál es la diferencia entre los términos consecutivos? • En la sucesión –5, –1, 3, 7, 11,…, ¿cuál es la diferencia entre los términos consecutivos? • Prueba del mismo modo con los otros términos de la sucesión. Trata de encontrar una expresión algebraica que genere esos términos.

c) 4n • Utiliza la expresión algebraica que elegiste para encontrar los primeros 8 términos de

la sucesión que se genera. n 1 2 3 4 5 6 7 8 4n 4(1) = 4 4(2) = 2 4(3) =

• En la sucesión, ¿cuál es la diferencia entre los términos consecutivos? • En la sucesión –5, –1, 3, 7, 11,…, ¿cuál es la diferencia entre los términos consecutivos? • Las diferencias entre estas sucesiones, ¿son iguales o diferentes? • El primer término de la sucesión generada por 4n es 4. ¿Cuánto debes de sumar o restar a ese 4 para obtener –5? • ¿Cuál crees que es la regla que genera la sucesión –5, –1, 3, 7, 11,…? Intenta escribir la expresión algebraica.

62

d) 4n – 9 • Utiliza la expresión algebraica que elegiste para encontrar los primeros 8 términos de

la sucesión que se genera. n 1 2 3 4 5 6 7 8

4n – 9 4(1) – 9= 4(2) – 9= • ¿Cuál es la sucesión de números que se obtiene al usar la expresión algebraica que elegiste? En las sucesiones en las que la diferencia entre los términos consecutivos es una constante, una manera de encontrar la regla algebraica que la genera consiste en multiplicar el número del lugar del término en la sucesión por la diferencia entre los términos consecutivos; si es necesario, sumar o restar un valor constante determinado.

26. Relaciona la columna derecha, que señala la regla algebraica, con los términos de la sucesión que le corresponde en la columna izquierda.

Regla algebraica 1. n + 5

2. 2n – 7

3. 3n + 3

4. 5n – 3

Términos de la sucesión a) 6, 9, 12, 15, 18, …

b) 2, 7, 12, 17, 22, 37,…

c) 6, 12, 18, 24, 30,…

d) –5, –3, –1, 1, 3,…

e) 6, 7, 8, 9, 10,…

f) –7, –5, –2, 0, 2, …

a) 1-a, 2-f, 3-c, 4-b • ¿Qué valores toma la expresión n + 5 cuando sustituyes n por los valores 1, 2, 3, 4,

5,…? ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión? • ¿Cuál es el primer término de la sucesión 2n – 7? • ¿Qué valores toma la expresión 3n + 3 cuando se sustituye n por 1, 2, 3, 4, 5,..? ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión? • ¿Cuál es el primer término de la sucesión 5n – 3?

b) 1-e, 2-d, 3-a, 4-f • ¿Cuál es el primer término de la sucesión n + 5?

• ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión 2n – 7? • ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión 3n + 3?

63

• ¿Cuál es el primer término de la sucesión 5n – 3? • ¿Qué valores toma la expresión n + 5 cuando sustituyes n por los valores 1, 2, 3, 4, 5,…? • ¿Qué valores toma la expresión 5n – 3 cuando se sustituye n por 1, 2, 3, 4, 5,...?

c) 1-c, 2-f, 3-c, 4-d • ¿Qué valores toma la expresión 3n + 3 cuando sustituyes n por los valores 1, 2, 3, 4,

5,…? ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión? • ¿Cuál es el primer término de la sucesión 2n – 7? • ¿Cuál es el primer término de la sucesión 5n – 3? • ¿Qué valores toma la expresión n + 5 cuando sustituyes n por los valores 1, 2, 3, 4, 5,…? ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

d) 1-e, 2-d, 3-a, 4-b • ¿Qué valores toma la expresión n + 5 cuando sustituyes n por los valores 1, 2, 3, 4,

5,…? ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión? • ¿Qué valores toman las expresiones 2n – 7, 3n + 3 y 5n – 3 cuando se sustituye n por 1, 2, 3, 4, 5,…? ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de estas sucesiones? Recuerda que en la expresión algebraica de la regla de una sucesión, la variable n representa la posición de los términos que forman la sucesión. Cuando sustituimos esa variable por los valores 1, 2, 3, 4, 5,… los valores que sucesivamente adquiere la expresión algebraica son los términos correspondientes a las posiciones 1, 2, 3, 4, 5,… de dicha sucesión.

27. Los perímetros de este triángulo equilátero y este rectángulo, son iguales:

¿Con cuál de las siguientes ecuaciones se encuentra el valor de x?

64

a) 3(x + 5) = 2x + 2(x + 1.5) • ¿Por qué 3(x + 5) es igual a 2x + 2(x + 1.5)?

Recuerda que en una ecuación el signo igual (=) indica que la expresión algebraica de la izquierda tiene el mismo valor que el de la derecha. Y en este caso, se utiliza porque el perímetro del triangulo equilátero es igual al del rectángulo. • Si la medida del ancho del rectángulo fuera x + 1 en lugar de x:

• ¿Con cuál ecuación se resolvería el problema? • ¿Cuál es el valor de x?

b) 3(x + 5) = 2x + 1.5 Observa las figuras.

• La expresión x + 5 representa la medida del lado del triángulo equilátero. ¿Esa medida es equivalente al perímetro del rectángulo? • Si el perímetro del triangulo equilátero se halla sumando la medida de sus tres lados, ¿qué expresión algebraica representa su perímetro? • ¿Qué ecuación representa la equivalencia o igualdad de los perímetros de esas figuras?

65

c) 3(x + 5) = x + x + 1.5 Observa las figuras.

• ¿Cómo se encuentra el perímetro de un rectángulo? • La expresión x + x + 1.5 representa la suma de las medidas del largo y ancho del rectángulo. ¿Qué expresión representa su perímetro? • ¿Qué ecuación representa la equivalencia o igualdad de los perímetros de esas figuras?

d) 3x + 5 = x + x + 1.5 • ¿Cómo se halla el perímetro del triángulo? ¿Y el del rectángulo?

Observa las figuras.

• ¿Cuál es la medida de un lado del triángulo? ¿Cuál es su perímetro? • ¿Cuál es la medida del ancho del rectángulo? ¿Y del largo? ¿Cuál es su perímetro? • ¿Qué ecuación representa la equivalencia de los perímetros de esas figuras?

66

28. Rubén dijo: “Estoy pensando un número que sea igual al doble de sí mismo menos cinco. ¿Cuál es el número?”. ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones puede resolverse este problema? a) x – 5 = 2x • Si x representa el número que está pensando Rubén, ¿qué representa x – 5?

• ¿Qué representa 2x? • La solución de la ecuación x – 5 = 2x es x = –5. Si Rubén pensó en el –5, ¿será cierto que –5 es igual al doble de –5 menos 5? • ¿El problema se resuelve con la ecuación x – 5 = 2x?

b) x = 2x – 5 • Si el número que está pensando Rubén es x, ¿qué significa 2x – 5?

• ¿Son iguales los valores de x y de (2x – 5) de acuerdo con lo que dice Rubén? • Resuelve la ecuación. ¿La solución cumple con ser un número igual al doble de sí mismo menos cinco? Recuerda que una ecuación es una igualdad, pues la expresión que está a la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la que está a la derecha. • Si Rubén hubiera dicho “Estoy pensando en un número que es igual al triple de sí mismo menos 6”, ¿con cuál de las siguientes ecuaciones se resolvería el problema?

x = 3x – 6 3x = x – 6 3x – x = 6 c) 2x = – 5 • ¿Cómo se representa el número que está pensando Rubén?

• ¿Qué significa 2x? • En la ecuación 2x = – 5, ¿cuál es el valor de x? ¿Este valor cumple con ser un número igual al doble de sí mismo menos cinco?

d) 2x = 5 – x • ¿Cómo se representa el número que está pensando Rubén?

• ¿Qué significa 2x? • ¿Qué significa 5 – x? • La solución de la ecuación 2x = 5 – x, es x =

35 . ¿Esta solución cumple con ser un

número igual al doble de sí mismo menos cinco?

67

29. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación 4x + 3 = 7x + 12? a) 3 = 3x + 12 Recuerda que las transformaciones que pueden hacerse a una ecuación para

resolverla se basan en la aplicación de las propiedades de la igualdad. Según estas propiedades, si ambos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número (diferente de cero), resulta una ecuación equivalente. Lo mismo sucede si a ambos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número. • ¿Qué sucede si a ambos miembros de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 se les resta 4x? ¿Se obtiene una ecuación equivalente? ¿Por qué? • Si a ambos miembros de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 se les resta 7x, resulta –3x + 3 = 12. ¿Es ésta una ecuación equivalente a 4x + 3 = 7x + 12? ¿Por qué?

b) 7x + 3 = 4x + 12 • ¿Qué sucede si los términos 7x y 4x intercambian sus lugares? ¿Resulta una

ecuación equivalente a 4x + 3 = 7x + 12? La solución de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 es x = –3. • Si esta ecuación es equivalente a 7x + 3 = 4x + 12, la solución de ésta es x = –3. ¿Será cierto? • ¿El intercambio de lugares de los términos 7x y 4x es una aplicación de alguna propiedad de la igualdad?

c) 7x = 19x • ¿Son semejantes los términos 4x y 3?

• ¿Son semejantes los términos 7x y 12? • La solución de la ecuación 7x = 19x es x = 0. ¿Será también x = 0 la solución de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12?

d) 4x + 7x = 3 + 12 • ¿Qué sucede si los términos 7x y 3 intercambian sus lugares? ¿Resulta una

ecuación equivalente a 4x + 3 = 7x + 12? • La solución de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 es x = –3. Si esta ecuación es equivalente a 4x + 3 = 7x + 12, la solución de ésta es x = –3. ¿Será cierto? • ¿El intercambio de lugares de los términos 7x y 3 es una aplicación de alguna propiedad de la igualdad?

68

30. Los siguientes son procedimientos correctos para empezar a resolver la ecuación 4x + 3 = 7x + 12, excepto: a) 4x + 3 – 4x = 7x + 12 – 4x • ¿Qué sucede si a ambos miembros de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 se les resta 4x?

¿Quedan en un miembro sólo los términos que contienen a la incógnita? • Continúa aplicando las propiedades de la igualdad para encontrar el valor de la incógnita x. ¿Cuál es el valor de la incógnita x? • ¿Cuál podría ser otra manera de iniciar la resolución de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12?

b) 4x + 3 – 3 = 7x + 12 – 3 • ¿Qué sucede si a ambos miembros de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 se les resta 3?

• ¿Quedan en uno de los miembros los términos que contienen valores numéricos? • Continúa aplicando las propiedades de la igualdad para encontrar el valor de la incógnita x. ¿Cuál es el valor de la incógnita x? • ¿Cuál podría ser otra manera de iniciar la resolución de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12?

c) 4x + 3 – 7x = 7x + 12 – 7x • ¿Qué sucede si a ambos miembros de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 se les resta 7x?

• ¿Quedan en uno de los miembros los términos que contienen a la incógnita? • Continúa aplicando las propiedades de la igualdad para encontrar el valor de la incógnita x. ¿Cuál es el valor de la incógnita x? • ¿Cuál podría ser otra manera de iniciar la resolución de la ecuación 4x + 3 = 7x + 12?

d) 4x + 3 – 4x = 7x + 12 – 7x • ¿En qué expresión se convertiría la ecuación 4x + 3 = 7x + 12 si a uno de sus

miembros se le resta 4x y al otro se le resta 7x? ¿Se conserva la igualdad? ¿Por qué? Recuerda que una ecuación es una igualdad formada por expresiones algebraicas en las que hay un valor desconocido (incógnita). Para resolver una ecuación se aplican las propiedades de la igualdad con el fin de que en uno de los lados (o miembros) de la ecuación queden los términos que contienen a la incógnita y del otro los valores numéricos.

69

31. En un laboratorio escolar se colgaron sucesivamente varios objetos de distinto peso en un resorte de 10 cm de longitud. Los cambios que se registraron en la longitud del resorte se muestran en la siguiente tabla:

¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona la longitud del resorte (y) con el peso de los objetos (x)?

a) xy21

=

• Completa la tabla considerando tu respuesta, es decir, que la expresión algebraica que relaciona ambas magnitudes es xy

21

= .

Peso en kg (x)

Longitud en cm

xy21

=

0 2 4 6 8

• Compara esta tabla con la original. • Por ejemplo, si se cuelga un objeto de 8 kg, ¿la longitud del resorte es de 14 cm?

b) 10

21

+= xy

• ¿Cuántos centímetros se alarga el resorte por cada kilogramo que cuelgas en él? Recuerda que para determinar la expresión algebraica que relaciona estas dos magnitudes debes considerar la longitud del resorte (y) cuando no hay ningún objeto colgado en él, y el aumento en la longitud por cada kilogramo que se cuelgue en él. La expresión algebraica de una relación funcional lineal es y = mx + b En este caso, m es igual a

21 y b es 10.

• Si los cambios que se registraron en la longitud del resorte hubieran sido los siguientes:

70

Peso en kg

(x) Longitud en cm

y 2 12 4 14 6 16 8 18

• ¿Cuál sería la expresión algebraica que relaciona la longitud del resorte (y) con el peso de los objetos (x)?

c) y = 2x • Completa la tabla considerando tu respuesta, es decir, que la expresión algebraica

que relaciona ambas magnitudes es y = 2x. Compara esta tabla con la original. Peso en kg

(x) Longitud en cm

xy 2= 0 2 4 6 8

• Por ejemplo, si se cuelga un objeto de 8 kg, ¿la longitud del resorte es de 14 cm? • Explora otras expresiones que sirvan para calcular la longitud (y) que tendrá el resorte al colgarle x kilogramos.

d) y = 2x + 10 • Completa la siguiente tabla:

Peso en kg (x)

Longitud en cm 102 += xy

0 10 1 2 11 3 4 12 5 6 13 7 8 14

• Si la longitud del resorte se representa con la expresión y = 2x + 10, ¿cuál es el valor de y cuando x = 8? ¿Es 14?

Explora otras expresiones para encontrar cuál de ellas permite calcular la longitud del resorte al colgarle x kilogramos.

71

32. ¿Cuál de las siguientes rectas es una representación de la función y = x + 2? a)

• De acuerdo con esta gráfica, ¿cuáles son los valores de y cuando los de x son -2, -

1, 0, 1 y 2? Anótalos en la siguiente tabla. x y -2 -1 0 1 2

• Encuentra los valores de y asignando a x los valores -2, -1, 0, 1 y 2 en la expresión y = x + 2 y anótalos en la tabla 2 que aparece a continuación.

x y = x + 2 -2 -1 0 1 2

¿Coinciden estos valores con los de la tabla 1? ¿Por qué? • Ubica los valores que aparecen en la segunda tabla en un plano cartesiano.

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b)

• De acuerdo con esta gráfica, ¿cuál es el valor de y en el punto en que la gráfica

corta al eje vertical? • En la función y = x + 2, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0? ¿Coincide este valor con el que muestra la gráfica? Completa la siguiente tabla.

x y = x + 2 -2 -1 0 1 2

• Ubica en el plano los valores de x y y que aparecen en la tabla. • Compara los valores obtenidos en la tabla con los de los puntos que forman la recta que aparece en la gráfica que elegiste como respuesta. ¿Coinciden?

c)

• Considera el punto en que esta gráfica corta al eje de las ordenadas (o eje vertical).

En este punto, el valor de x es igual a 0, ¿cuál es el valor de y?

73

• Ahora, en la función y = x + 2, ¿cuál es el valor de x cuando el de y es igual a 0? ¿Coincide este valor con el que muestra la gráfica? • Completa la siguiente tabla:

x y = x + 2 -2 -1 0 1 2

• Ubica en el plano los valores de x y y que aparecen en la tabla. • Compara los valores obtenidos en la tabla con los de los puntos que forman la recta que aparece en la gráfica que elegiste como respuesta. ¿Coinciden?

d)

• Considera el punto en que esta gráfica corta al eje de las ordenadas (o eje vertical).

• En este punto, el valor de x es igual a 0, ¿cuál es el valor de y? • En la función y = x + 2, ¿cuál es el valor de x cuando el de y es igual a 0? ¿Coincide este valor con el que muestra la gráfica? Observa que las coordenadas del punto en que la recta corta al eje de las ordenadas es (0,2). • ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas? a. y = x – 2 b. y = x + 5 c. y = x – 3

74


33. En el siguiente plano cartesiano se muestran las gráficas de tres rectas.

¿Cuál de las siguientes cuatro afirmaciones es verdadera? a) El valor de la pendiente de las tres rectas es el mismo. Observa la escalera que se muestra en la figura.

Todos los escalones tienen el mismo avance horizontal y la misma elevación vertical. A la razón de la elevación vertical entre el avance horizontal se le llama pendiente y es la medida numérica de la inclinación de la escalera. Observa la recta A del problema. Por cada dos unidades que se eleva, ¿cuántas

75

unidades avanza horizontalmente? • ¿Cuál es el valor de su pendiente? • ¿Y el de la recta R? • ¿Las rectas A, V y R son paralelas? ¿Cómo puedes verificarlo?

b) El valor de la ordenada al origen de las tres rectas es el mismo. • En la recta A, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0?

• En la recta V, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0? • Por último, en la recta R, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0?

En el plano cartesiano, las rectas cortan al eje de las ordenadas (o eje y) en el punto en que x = 0. Ya que la representación algebraica de una recta es de la forma y = mx + b, el punto en que la recta corta al eje y tiene coordenadas (0, b) y el valor de b es la ordenada al origen.

• ¿El valor de la ordenada al origen de las rectas A, V y R es el mismo?

c) En ninguna de estas gráficas la variable x toma el valor cero. Las tres rectas cortan el eje y en puntos diferentes.

• ¿Cuál es el valor de la variable x en el punto en que la recta A corta al eje y? • ¿Cuál es el valor de la variable x en el punto en que la recta V corta al eje y? • ¿Cuál es el valor de la variable x en el punto en que la recta R corta al eje y? • En estas gráficas, ¿la variable x toma el valor cero?

Recuerda que la gráfica de una recta de la forma y = mx + b corta al eje de las ordenadas (o eje y) en el punto en que el valor de x es igual a cero. Este punto tiene coordenadas (0, b).

d) En ninguna de estas gráficas la variable y toma el valor cero. Las tres rectas cortan el eje x en puntos diferentes. ¿Cuál es el valor de la variable y en

el punto en que la recta A corta al eje x? • ¿Cuál es el valor de la variable y en el punto en que la recta V corta al eje x? • ¿Cuál es el valor de la variable y en el punto en que la recta R corta al eje x? • En estas gráficas, ¿la variable y toma el valor cero? Recuerda que la gráfica de una recta corta al eje x en el punto en que el valor de y es igual a cero.

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34. En el siguiente plano cartesiano, se muestran las gráficas de tres rectas.

¿Cuál de las siguientes cuatro afirmaciones es verdadera? a) El valor de la pendiente (m) de las tres rectas es el mismo. Recuerda que el valor de la pendiente de una recta indica la inclinación que tiene la

recta respecto al eje x. Observa la recta A del problema. Por cada 2 unidades que se eleva, ¿cuántas unidades avanza horizontalmente? ¿Cuál es el valor de su pendiente? • ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta V? • ¿Y el de la recta R? • ¿Qué relación hay entre las rectas que tienen la misma pendiente? ¿Las rectas A, V y R tienen esta relación?

b) El valor de la ordenada al origen (b) de las tres rectas es el mismo. • En la recta A, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0?

• En la recta V, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0?

Por último, en la recta R, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0? En el plano cartesiano, las rectas cortan al eje de las ordenadas (o eje y) en el punto en que x = 0. Ya que la representación algebraica de una recta es de la forma y = mx + b, el punto en que la recta corta al eje y tiene coordenadas (0, b) y el valor de b es la ordenada al origen. • ¿El valor de la ordenada al origen de las rectas A, V y R es el mismo?

77

c) En ninguna de estas gráficas la variable x toma el valor cero. Recuerda que la gráfica de una recta de la forma y = mx + b corta al eje de las

ordenadas (o eje y) en el punto en que el valor de x es igual a cero. Este punto tiene coordenadas (0, b). Las tres rectas cortan el eje y en un mismo punto. • ¿Cuál es el valor de la variable x en el punto en que la recta A corta al eje y? • ¿Cuál es el valor de la variable x en el punto en que la recta V corta al eje y? • ¿Cuál es el valor de la variable x en el punto en que la recta R corta al eje y? • En estas gráficas, ¿la variable x toma el valor cero?

d) En ninguna de estas gráficas la variable y toma el valor cero. Las tres rectas cortan el eje x en puntos diferentes.

• ¿Cuál es el valor de la variable y en el punto en que la recta A corta al eje x? • ¿Cuál es el valor de la variable y en el punto en que la recta V corta al eje x? • ¿Cuál es el valor de la variable y en el punto en que la recta R corta al eje x? • En estas gráficas, ¿la variable y toma el valor cero?


35. Se sabe que la suma de los ángulos internos de cierto polígono es igual a 900°. ¿Cuál de los siguientes polígonos cumple con esa suma? a)

• De acuerdo con el número de lados que tiene el polígono que elegiste, ¿cómo se

llama? • Si se trazan desde un vértice las diagonales del polígono que elegiste, ¿cuántas diagonales se obtienen? • ¿En cuántos triángulos queda dividido el polígono? Recuerda que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. • Si multiplicas el número de triángulos en que se divide el polígono que elegiste por 180°, ¿cuánto mide la suma de los ángulos internos de este polígono?

78

b)


llama? • Si se trazan desde un vértice las diagonales del polígono de la izquierda, ¿cuántas diagonales se obtienen? • ¿En cuántos triángulos queda dividido el polígono? • ¿Cuánto mide la suma de los ángulos internos del polígono de la izquierda? Recuerda que la suma de los ángulos internos de un polígono convexo se puede obtener al conocer el número de triángulos en que se puede dividir.

c)

• ¿Por qué elegiste ese polígono? ¿Cómo se llama el polígono que elegiste?

• Si se trazan desde un vértice las diagonales del polígono que elegiste, ¿cuántas diagonales se obtienen? • ¿En cuántos triángulos queda dividido el polígono? • ¿Cuánto mide la suma de los ángulos internos del polígono? La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados se puede calcular mediante la expresión: (n - 2)180º. • Utiliza la expresión y sustituye a n, ¿cuánto es n - 2? • ¿Cuánto mide la suma de los ángulos internos del polígono que elegiste? • ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono de 25 lados? • Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1260°, ¿cuántos lados tiene el polígono?

79

d)


llama? • Si se trazan desde un vértice las diagonales del polígono de la izquierda, ¿cuántas diagonales se obtienen? • ¿En cuántos triángulos queda dividido el polígono? • ¿Cuánto mide la suma de los ángulos internos del polígono de la izquierda? Recuerda que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° y la suma de los ángulos internos de un polígono convexo se puede obtener al conocer el número de triángulos en que se puede dividir.

36. Una persona busca diferentes figuras que puedan servirle como moldes para fabricar azulejos que cubran totalmente una superficie usando solamente figuras del mismo tipo. Considerando las condiciones anteriores, ¿cuál de las siguientes figuras NO sirve como molde para fabricar azulejos? a)

• ¿Es posible acomodar en una superficie plana varios triángulos escalenos iguales

(como los que elegiste) de modo que la cubran sin que queden huecos ni se encimen los triángulos entre sí?

80

Recuerda: para que un conjunto de polígonos iguales puedan recubrir un plano, es necesario que en un vértice del recubrimiento (o superficie) coincidan los ángulos de los polígonos de modo que la suma de las medidas de esos ángulos sea 360º.¿Cómo acomodarías los triángulos para recubrir la superficie y que coincidan en un ángulo de modo que la suma de los ángulos interiores de esos triángulos sea 360º? • ¿Cuántos triángulos tendrían que coincidir en un vértice del recubrimiento? Si es posible, realiza tu diseño.

b)

• ¿Es posible recubrir una superficie con cuadriláteros iguales de modo que la cubran

sin que queden huecos ni se encimen los cuadriláteros entre sí? ¿Cómo los acomodarías? Si es posible, realiza tu diseño. Recuerda: para que un conjunto de polígonos iguales puedan recubrir un plano (o una superficie) es necesario que en un vértice del recubrimiento coincidan los ángulos de los polígonos de modo que la suma de las medidas de esos ángulos sea 360º. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero? • ¿Es posible acomodar en un plano varios cuadriláteros iguales de modo que la suma de los ángulos interiores de esos cuadriláteros sea 360º? • ¿Cuántos cuadriláteros tendrían que coincidir en un vértice del recubrimiento? Si es posible, realiza tu diseño.

81

c)

• Como sabes, los ángulos interiores de un pentágono regular son iguales. ¿Cuánto

mide cada uno de ellos? • Al intentar recubrir el plano con pentágonos regulares iguales, en un vértice del recubrimiento tendrían que coincidir tres o cuatro pentágonos. ¿Es posible que la suma de los ángulos de esos pentágonos sea 360º? • ¿Es posible recubrir una superficie con pentágonos regulares iguales? No olvides que para que un conjunto de polígonos iguales puedan recubrir una superficie (o un plano), es necesario que en un vértice del recubrimiento coincidan los ángulos de los polígonos de modo que la suma de las medidas de esos ángulos sea 360º. Por ejemplo, cuando un plano se recubre con cuadrados iguales y en un vértice del recubrimiento coinciden los vértices de cuatro cuadrados, la suma de esos ángulos es: 90º + 90º + 90º + 90º= 360º.

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d)

• Recuerda: para que un conjunto de polígonos iguales puedan recubrir un plano, es

necesario que en un vértice del recubrimiento coincidan los ángulos de los polígonos de modo que la suma de las medidas de esos ángulos sea 360º. • Como sabes los ángulos interiores de un hexágono regular son iguales. ¿Cuánto mide cada uno de ellos? • Al intentar cubrir una superficie con hexágonos regulares iguales, en un vértice del recubrimiento tendrían que coincidir algunos hexágonos. ¿Es posible que la suma de los ángulos de esos hexágonos sea 360º? • ¿Cuántos hexágonos tendrían que coincidir en un vértice del recubrimiento? • ¿Cómo los acomodarían para recubrir una superficie? Si es posible, realiza tu diseño.

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Bloque III

Eje

Preguntas


24, 25, 26

Sucesión de números a partir de una regla. Identificar la regla algebraica de una sucesión de números con signo. Sucesiones de números con signo. Se recomienda que primero pida a sus alumnos que contesten las preguntas 24 y 25, después organice una discusión grupal sobre cómo identificar regularidades en una sucesión numérica, cómo formularlas o expresarlas algebraicamente y argumentar su validez. Si hay dudas o confusiones, pida que utilicen el interactivo propuesto en la pregunta 24. Posteriormente, pida que contesten la pregunta 26.

27, 28, 29, 30

Identificar la ecuación que modela un problema o una situación. Identificar la ecuación que modela un problema. Ecuaciones equivalentes. Resolución de una ecuación. Indique que contesten las preguntas 27, 28, 29 y 30, las cuales corresponden al tema de ecuaciones de primer grado. Estas preguntas se refieren a diferentes aspectos que los alumnos deben considerar al plantear y resolver ecuaciones de primer grado. Las preguntas 27 y 28 proponen dos situaciones diferentes, pero en ambas es posible plantear ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = cx + d para resolverlas. Es importante que los alumnos consoliden su noción de ecuación, que es una igualdad: la expresión que está a la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la que está a la derecha.

Si considera que sus alumnos tienen aun dificultades para plantear y resolver ecuaciones, sugiera que vean el video para que observen cómo utilizar un recurso (el modelo de la balanza) que les puede ayudar a comprender mejor el tema. Posteriormente, pida que utilicen el interactivo para plantear y resolver otros problemas.


31 y 32

La expresión algebraica de una función lineal. Representación gráfica de una función lineal. Pida que contesten las preguntas 31 y 32 que corresponden a reconocer la representación algebraica y gráfica de una situación que se modela mediante una relación funciona lineal.

Observe como en las retroalimentaciones de ambas preguntas se utiliza la representación tabular como puente entre la representación gráfica y algebraica y viceversa. Incluso, en el caso de la pregunta 31 podrían realizar dibujos del resorte para mostrar los diferentes tamaños que adquiere de

84

acuerdo al peso que se coloque en él. Todas estas representaciones ayudan a comprender mejor la situación y cada una de ellas resalta diferentes aspectos de ella que son importantes para que los alumnos construyan la noción de función.

Si considera que aun hay dificultades para contestar las preguntas, pida que utilicen los interactivos que se recomienda en esas preguntas y, posteriormente, regresen a contestarlas. Para que sus alumnos reconozca la representación algebraica, tabular y gráfica de relaciones lineales asociadas a otras situaciones, recomiende que vean el video y, finalmente, pida los comentarios sobre cómo identificar una relación lineal y las diferentes formar de representarla de un par de alumnos.


33 y 34

El efecto del valor b en la función y= mx+b El efecto del valor m en la función y= mx+b Pida que contesten las preguntas 33 y 34 que se refieren a los efectos de los valores de m y b en la gráfica de la función y=mx+b. Estas preguntas complementan los conocimientos y habilidades que abordan las preguntas 31 y 32. Si observa que tienen dificultades para identificar las respuestas correctas, propóngales que analicen juntos las gráficas que aparecen en cada pregunta mediante el uso de una tabla en la que aparezcan los valores de y en cada una de las tres rectas, cuando x vale -2,-1, 0,1 y 2 y vean cuál es el comportamiento de las gráficas, por ejemplo, cuando cruzan el origen o cuando cortan al eje y. Después, pida que revisen cada opción de respuesta y elijan la que consideran es la correcta.

Se recomienda utilizar el interactivo para ayudar a sus alumnos a comprender el efecto de estos valores en la representación gráfica.

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Suma de los ángulos internos de un polígono. Pregunte a sus alumnos cómo pueden determinar cuál es el polígono que corresponde a una determinada suma de ángulos internos. Si considera conveniente pida que vean el video para que observen cómo se realiza una triangulación simple de un polígono convexo y comprendan de donde surge la fórmula (n-2)180°. Posteriormente, pueden utilizar el interactivo para deducir la fórmula y calcular la suma de los ángulos internos de otros polígonos.


36

Recubrimiento de un plano. Después de leer la pregunta, resalte que se pide identificar cuál es la excepción. Si es posible, organice a sus alumnos en cuatro equipos y a cada uno entréguele una copia con las figuras que aparecen en una de las opciones de respuesta (en la opción de imprimir, seleccione esta pregunta e imprima las opciones de respuesta). Pídales que recorten las figuras y que traten de cubrir un espacio de una hoja de manera que las figuras no estén encimadas, ni queden huecos entre ellas. Posteriormente, pregunte cuándo fue posible cubrir la hoja y cómo acomodaron las figuras. Si considera necesario pida que vean el video para conocer cómo se recubre el plano con otras figuras geométricas.

Para que sus alumnos practiquen sobre este tema, puede sugerir el uso del interactivo.

85

BLOQUE IV Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

37. Relaciona las potencias con su resultado.

Potencias Resultados 1. 2 35 5× =

2. 3

2

55

=

3. 2

2

55

=

4. 2 05 5× =

a. 0 b. 1 c. 05 d. 5 e. 25 f. 55 g. 65 h. 525

a) 1-d 2-b 3-a 4-c

Recuerda que elevar a una potencia es lo mismo que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo: a × a × a × a es la cuarta potencia de a, se escribe a4 y se lee como a elevada a la 4. Los elementos de una potencia son: base y exponente.

El exponente indica el número de veces que la base debe multiplicarse por sí misma. Escribe cada una de las potencias como multiplicaciones:

52 × 53 = ___ × ___ × ___ × ___ × ___ • ¿Cuántos 5 se están multiplicando en total? En la división de potencias de la misma base, cada potencia se puede expresar como una multiplicación.

En 2

3

55 las multiplicaciones correspondientes se expresan como 5

55

55

55555

××=×××

• ¿Cuál es el resultado de 55 ? ¿Y de

2

2

55 ? Observa que tanto en

55 como en

2

2

55 se

está dividiendo una cantidad entre sí misma. • ¿Cuál es el resultado de dividir una cantidad (diferente de cero) entre sí misma?

• ¿Qué potencia que corresponde al resultado de 2

3

55 ?, ¿cuál le corresponde a

2

2

55 ?

86

b) 1-f 2-d 3-b 4-e Recuerda que en una potencia el exponente indica el número de veces que la base

debe multiplicarse por sí misma.

Las potencias de exponente 0 y 1 se definen de la siguiente manera: a1 = a y a0 = 1 • En 52 × 53, ¿cuántos 5 se están multiplicando en total? En general, cuando dos potencias tienen la misma base, su producto es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes. Es decir, am × an = am+n, donde a es un número cualquiera y m y n son números positivos. • El resultado de los productos de las potencias 52 × 53 se puede expresar como una potencia de la misma base. ¿Cuál es la base? ¿Cuál es la suma de los exponentes? • De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es la potencia que corresponde al resultado de 52 × 50?

En 2

3

55 las multiplicaciones correspondientes se expresan de la siguiente manera:

5555555

55

55555 100 =××=××=

×××

¿Cuál es el resultado de 55 ? ¿Y de

2

2

55 ?

Cuando se dividen dos potencias que tienen la misma base, su cociente es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.

Es decir nmn

ma

aa −= , donde a es un número cualquiera diferente de 0 y los exponentes

m y n son números enteros con m ≥ n. Cuando la diferencia de los exponentes es igual a 0, el valor de la potencia es 1.

c) 1-g 2-f 3-d 4-a

• Si la multiplicación de potencias de la misma base 52 × 53 fuera igual a 56 esto significaría que 52 × 53 es igual a 15 625. ¿Por qué? • ¿Por otra parte, 52 × 53 puede indicarse como 25 × 125. ¿Por qué? • ¿Son iguales las cantidades 56 y 52 × 53?

De acuerdo con tu respuesta 2

3

55 es igual a 55; pero 55 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = ________

En 2

3

55 las multiplicaciones correspondientes se expresan como:

25125

55555=

×××

87

• ¿Cuál es el resultado de 25

125 ?

• Si 55

55555

2

3

×××

= , ¿a qué es igual 2

2

55 ?

d) 1-h 2-c 3-e 4-d

Recuerda que elevar a una potencia es lo mismo que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo: a × a × a × a es la cuarta potencia de a, se escribe a4 y se lee como a elevada a la 4. Los elementos de una potencia son: base y exponente.

• De acuerdo con tu respuesta 52 × 53 es igual a 255. Pero 255 es igual a 9 765 625. ¿Por qué? Por otra parte, 52 × 53 puede indicarse como 25 × 125. ¿Por qué? • ¿Son iguales o diferentes los resultados de 255 y 52 × 53? ¿Por qué? En la división de potencias de la misma base, cada potencia se puede expresar como una multiplicación.

En 2

2

55 las multiplicaciones correspondientes se expresan como:

2525

5555=

××

¿Cuál es el resultado de2525 ? ¿Y de

2

2

55 ? Observa que tanto en

2525 como en

2

2

55 se está

dividiendo una cantidad entre sí misma. • ¿Cuál es el resultado de dividir una cantidad (diferente de cero) entre sí misma?

• ¿Cuál es la potencia que corresponde al resultado de 2

3

55 ?, ¿cuál le corresponde

a2

2

55 ?

88

38. ¿Cuál es el resultado correcto de (23)2? a) 12 • Para encontrar el resultado de (23)2, ¿multiplicaste los tres números que aparecen allí

(2 × 3 × 2)? • En una potencia como (23)2, ¿qué indican los exponentes, en este caso el 2 y el 3? • Expresa las siguientes operaciones en potencias y obtén sus resultados:

a) 2 × 2 × 2 = ___ = ___ b) (2 × 2 × 2) + (2 × 2) = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ c) (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = ___ × ___ = ___ × ___ = ___

• ¿Cuántos 2 se están multiplicando en total en los incisos b) y c)? El resultado del inciso b) es una suma de potencias de la misma base, que se puede expresar, por ejemplo: 23 + 22 = 8 + 4 El resultado del inciso c) es un producto de potencias de la misma base, que se puede expresar, por ejemplo: (23)2 = 23 × 23

• ¿Es 12 el resultado de (23)2? ¿Por qué?

b) 32 • Sabemos que 23 significa 2 × 2 × 2, ¿qué significará (23)2?

• Expresa las siguientes operaciones como potencias:

a) (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = ___ × ___ b) (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = ___ × ___ = ___________

• En total, ¿cuántos 2 se están multiplicando en el inciso a)? ¿Y en el inciso b)? El resultado del inciso a) es un producto de potencias de la misma base. Este resultado se puede expresar como: (23)2 • Desarrolla (23)2 = (23) × (23) = ___ × ___ = ___________ • ¿Es (23)2 igual a 32?

89

c) 36 • Para encontrar el resultado de (23)2 = 36, ¿qué operaciones realizaste?,

¿multiplicaste dos veces los dos números que aparecen dentro de los paréntesis (2 × 3) × (2 × 3)? • Si sabemos que 23 significa 2 × 2 × 2, ¿qué significará (23)2? • Encuentra el valor de las siguientes operaciones:

a) (2 × 3) × (2 × 3) = ___ × ___ = ___ b) (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 23 × 23 = ___ × ___ = ___

• En total, ¿cuántos 2 se están multiplicando en el inciso b)? El resultado del inciso b) es un producto de potencias de la misma base y el mismo exponente. Este resultado se puede expresar como (23)2 • Desarrolla (23)2 = (23) × (23) = ___ × ___ = ___________ • ¿El resultado de (2 × 3) × (2 × 3) es igual al resultado de (23)2? • ¿Es 36 el resultado de (23)2?

d) 64 Cuando en una potencia, la base es otra potencia, al resultado se le llama potencia de

una potencia. • En la potencia de potencia (23)2, ¿cuál es la base? • Desarrolla (23)2 = (23) × (23) = ___ × ___ = ___________ • ¿Cuántas veces se multiplica el 2 por sí mismo? En una potencia de potencias, el resultado es igual a la base elevada al producto de los exponentes: (am)n = am×n • De acuerdo con lo anterior, ¿cuál de las siguientes expresiones sirve para obtener el resultado de (23)2?

a) (23+2) b) (23×2)

• ¿Cuál es la potencia que expresa su valor? a) 25 b) 26

• ¿Cuál es el resultado de (22)3? • ¿Por qué el resultado de (23)2 es el mismo que el de (22)3?

90


39. ¿En cuál de las siguientes figuras, la recta trazada es una de las tres alturas del triángulo? a)

• En la respuesta que elegiste, ¿la recta R es perpendicular al lado BC desde el

vértice A del triángulo? Describe una manera en que pudo ser construida la recta R. • La recta R divide al lado BC en dos partes iguales. Si te es posible, consulta el interactivo que se señala en esta pregunta para investigar cómo se llama esta recta R.

b)

• En la respuesta que elegiste, ¿la recta R es perpendicular al lado AC del triángulo?

• Describe una manera en que pudo ser construida la recta R que aparece en el triángulo que elegiste. • La recta R divide al ángulo ABC en dos partes iguales. Si te es posible, consulta el interactivo que se señala en esta pregunta para investigar cómo se llama esta recta R.

91

c)

• En la respuesta que elegiste, ¿la recta R fue trazada a partir de un vértice del

triángulo?, ¿es perpendicular al lado BC? Describe una manera en que pudo ser construida la recta R que aparece en el triángulo que elegiste. • Si te es posible, consulta el interactivo que se señala en esta pregunta para investigar cómo se llama esta recta R.

d)

• En la respuesta que elegiste, ¿la recta R es perpendicular al lado BC o a su

prolongación? ¿Cuál es el vértice a partir del cual se traza? • Traza las otras dos alturas correspondientes a los lado AB y AC del triángulo que elegiste, usando la siguiente información: Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado. Una altura en el triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.

• Las tres alturas se unen en un mismo punto ¿recuerdas cómo se llama ese punto?

92


40. Los siguientes pares de eventos son independientes, a excepción de uno de ellos. Identifica cuál es el par de eventos que NO ES INDEPENDIENTE. a) Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen.

Evento R: "En la primera moneda cae sol". Evento S: "En la segunda moneda cae sol".

• Si lanzas al mismo tiempo dos monedas al aire y ves que en una de ellas el resultado es sol, ¿podrías asegurar cuál será el resultado de la otra? • ¿Influye que en una de las monedas caiga sol en el resultado de la otra moneda? Si el resultado de la primera moneda no influye en el resultado de la otra significaría que los eventos son independientes. • ¿Cuál es la probabilidad de que en una de las dos monedas caiga sol? ¿Cuál es la probabilidad de que en la otra moneda caiga también sol?

b) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica, anotas su color, la regresas y sacas otra canica.

Evento R: "En la primera extracción la canica es roja". Evento V: "En la segunda extracción la canica es verde".

• En este experimento, ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja? ¿Y de que sea verde? • Si la canica extraída se regresa a la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que en la segunda extracción la canica sea roja? ¿Y de que sea verde? • ¿Influye el resultado que se tenga en la primera extracción en el resultado de la segunda si la canica se devuelve a la bolsa? Si el resultado de la primera extracción no influye en el resultado de la segunda extracción significaría que los eventos son independientes.

c) Experimento: Lanzas dos veces una moneda y observas la sucesión de caras obtenidas.

Evento S: "En el primer lanzamiento cae sol". Evento R: "En el segundo lanzamiento cae águila".

• Si lanzas al aire dos veces una moneda y en el primer lanzamiento el resultado es sol, ¿podrías asegurar qué resultado tendrá el segundo lanzamiento? • ¿Influye el primer resultado en el segundo? • Si el resultado de la primera moneda no influye en el resultado de la otra significaría que los eventos son independientes. • ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento caiga sol? ¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento caiga águila?

93

d) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica, no la regresas a la bolsa y sacas otra canica.

Evento R: "En la primera extracción, la canica es roja". Evento V: "En la segunda extracción, la canica es verde".

• Si después de la primera extracción, la canica no se regresa a la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que en la segunda extracción la canica sea verde? • ¿Influye en la probabilidad del resultado de la segunda extracción el que no regreses la canica extraída? En este experimento, la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja es 2/5. • Si regresaras la canica extraída a la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que en la segunda extracción la canica sea verde? • ¿Esta probabilidad es igual o diferente del caso en que la canica no se regresa?

41. De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica, anotas su color, la regresas y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda, verde? a)

255

• ¿Cuáles son los resultados favorables que encontraste para elegir tu respuesta (la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda, verde es

255 )?

• Completa la siguiente tabla de doble entrada para encontrar todos los posibles resultados de este experimento.

R R R V V R R,R R,R R,R R,V R,V R R V V V,R V,R V,R V,V, V,V

• De acuerdo con la tabla, ¿cuántos de estos resultados son favorables a los que plantea el problema: en la primera extracción sale roja y en la segunda verde? • ¿Coinciden estos resultados con los que habías encontrado tú? • Si en la primera extracción se saca una canica roja y en la segunda extracción, una verde. ¿Influye el primer resultado en el segundo?

94

b) 41

• Anota los resultados favorables y los posibles que encontraste, en los que basas tu respuesta (la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la

segunda, verde es 41 )

• Completa el siguiente diagrama de árbol para encontrar todos los posibles resultados de este experimento.

• ¿Cuántos de estos resultados son favorables a los que plantea el problema: en la primera extracción sale roja y en la segunda verde? • ¿Coinciden estos resultados con los que habías encontrado tú?

95

c) 256

• Si realizas el experimento y en la primera extracción la canica es roja y en la segunda es verde, ¿Influye el primer resultado en el segundo? Si el resultado de la primera extracción no influye en el resultado de la otra significaría que los eventos son independientes. Observa la siguiente tabla de doble entada muestra todos los resultados posibles del experimento.

• De acuerdo con la tabla, ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda sea verde? • ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja?

( ) ( )P en la primera extracción la canica sea roja P R= = • ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente extracción la canica sea verde?

( ) ( )P en la segunda extracción la canica sea verde P V= = • Si multiplicas estas probabilidades y simplificas ese valor, ¿el resultado es 6/25? La probabilidad de que dos eventos independientes ocurran simultáneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

( ) ( ) ( )P R yV P R P V= × d)

55

• 5

5 es igual a 1, ¿qué quiere decir que en un experimento un resultado tenga probabilidad 1?

• ¿Es seguro que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda sea verde?

96

42. Las siguientes gráficas de línea muestran información sobre dos aspectos relacionados con el problema del maltrato infantil en México.

De acuerdo con la información que presentan las gráficas de línea, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) 1995 fue el año en que se atendió el menor número de niños y también el año en que menos denuncias se presentaron. • ¿Cuántos niños maltratados se atendieron en 1995? ¿Hubo algún otro año en que se

atendió a menos niños que en 1995? • ¿Cuántas denuncias de niños maltratados se recibieron en 1995? ¿Hubo algún otro año en que se recibieron menos denuncias que en 1995? • De acuerdo con los datos que presentan las gráficas, ¿son ciertas las dos afirmaciones que se hacen con respecto a lo que sucedió en 1995?

b) En el periodo 1998-2000 se presentó el mayor incremento tanto en el número de denuncias recibidas como en el número de niños maltratados que se atendieron. • Del año 1998 a 2000, ¿en cuánto aumentó el número de denuncias recibidas por

maltrato infantil? ¿Hubo algún otro periodo en que el aumento en el número de denuncias haya sido mayor? • De 1998 a 2000, ¿cuál fue el aumento en el número de niños maltratados que fueron atendidos en el DIF? ¿Hubo algún otro periodo en que el aumento del número de niños atendidos haya sido mayor? • De acuerdo con los datos que proporcionan las gráficas de línea, ¿se da el mayor incremento en los dos aspectos en el mismo periodo?

97

c) 2001 fue el año en que se recibieron más denuncias por maltrato infantil y también el año en que se atendió a más niños maltratados. • En la gráfica de línea que presenta a los menores maltratados atendidos por el DIF,

¿cuál fue el mayor número de niños atendidos? ¿En qué año(s) ocurrió? • En la gráfica de línea que muestra las denuncias recibidas por maltrato infantil, ¿cuál fue el mayor número de denuncias presentadas? ¿En qué año(s) ocurrió? • De acuerdo con la información que muestran las gráficas de línea, ¿son ciertas las dos afirmaciones sobre lo ocurrido en 2001? Una gráfica de línea nos permite presentar los cambios o variaciones que se dan en una situación o fenómeno a través del tiempo. En el eje horizontal de una gráfica de línea siempre se presentan unidades de tiempo (horas, semanas, meses, años, etcétera) y en el eje vertical se presentan los valores con que varía el fenómeno o situación. • Describe qué cambios se presentaron en el año 2002, en estos aspectos.

d) De 2000 a 2001 se mantuvo el número de niños maltratados atendidos y el número de denuncias recibidas. • En la gráfica de línea que presenta a los menores maltratados atendidos por el DIF,

¿cuántos niños fueron atendidos en el 2000? ¿Y en el 2001? • ¿Se incrementó el número de menores maltratados atendidos por el DIF? ¿Cómo es la inclinación de la línea que une los puntos que representan los años 2000 y 2001? • En la gráfica de línea que muestra las denuncias recibidas por maltrato infantil, ¿cuántas denuncias se recibieron en el año 2000? ¿Y en el 2001? • ¿Se incrementó el número de denuncias recibidas por maltrato infantil? ¿Cómo es la inclinación de la línea que une los puntos que representan a los años 2000 y 2001?

43. Fernanda va a casa de su compañera Carmen a realizar una tarea. Sale de su casa y, al poco rato de caminar, se encuentra con Joel, quien decide acompañarla. Siguen los dos caminando y platicando hasta llegar a casa de Carmen. La gráfica formada por segmentos describe la relación entre el tiempo y la distancia que recorrió Fernanda para ir y regresar de la casa de Carmen: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

98

a) Fernanda y Carmen estuvieron juntas dos horas. • ¿Cuánto tiempo tardó Fernanda en llegar a la casa de Carmen?

• ¿Cómo puedes identificar en la gráfica el momento en que llegó Fernanda a la casa de Carmen? ¿Y el momento en que se retiró? • ¿Cuánto tiempo estuvo Fernanda en la casa de Carmen?

b) Después de 15 minutos de recorrido, Fernanda se encontró a Joel. • ¿Cómo se representa en la gráfica un periodo de 15 minutos?

• ¿Cómo puedes identificar en la gráfica el momento en que Fernanda se encontró con Joel? • ¿Cuándo caminó con mayor rapidez Fernanda: cuando iba sola o cuando la acompañaba Joel? No olvides que existen situaciones donde la gráfica que presenta la variación entre dos cantidades, es la unión de dos o más segmentos de recta. Cuando se estudia una gráfica formada por segmentos hay que tomar en cuenta las pendientes de los mismos.

c) Fernanda tardó el mismo tiempo para llegar a la casa de Carmen que para regresar a la suya. • ¿Cómo se representa en la gráfica el momento en que Fernanda sale de su casa y el

momento en que llega a la casa de Carmen? ¿Cuánto tiempo tardó en llegar? ¿Mantiene siempre la misma velocidad? ¿Por qué? • ¿Cuánto tiempo hizo Fernanda de la casa de Carmen a la suya?

d) Durante una hora, Fernanda y Carmen realizaron la tarea. • ¿Cómo puedes identificar en la gráfica el momento en que Fernanda llegó a la casa

de Carmen? ¿Cómo sabes cuándo salió de ella? • ¿Cuánto tiempo estuvo Fernanda en la casa de Carmen?

99

44. En una llave que arroja la misma cantidad de agua por minuto se está llenando el siguiente recipiente.

¿Cuál de las siguientes gráficas presenta la variación del nivel del agua respecto al tiempo de llenado de este recipiente? a)

• Observa el recipiente:

• De acuerdo con la gráfica que elegiste, ¿cuál es el nivel del agua cuando se inicia el llenado del recipiente? • ¿Qué indica el primer segmento de la gráfica: que conforme el tiempo transcurre, el nivel del agua aumenta, disminuye o se conserva? ¿Esta gráfica describe la variación del nivel del agua conforme avanza el tiempo, desde que el recipiente está vacío hasta que se llena, cuando se abre una llave que arroja en él la misma cantidad de agua por minuto?

100

b)

• Cuando el nivel del agua pasa de la primera parte a la segunda, ¿qué cambio se

observará: el nivel del agua subirá más rápido, menos rápido o se mantendrá igual? • De acuerdo con la gráfica que elegiste, ¿en cuál de las dos partes del recipiente el nivel del agua sube más rápido, en la primera o en la segunda?

c)

Hay fenómenos y situaciones que pueden representarse mediante una recta, y otros,

debido a su comportamiento cambiante, se representan mediante una sucesión de segmentos de recta, como es el caso de la situación que se plantea en este problema. • ¿Qué representa el primer segmento de la gráfica? ¿Qué representa el segundo? • ¿Por qué el segundo segmento se eleva más rápido que el primero? Imagina que el recipiente tiene la forma siguiente:

• ¿La gráfica que representa la variación en el nivel de agua en este recipiente conforme el tiempo transcurre, será o no similar a la anterior? ¿Por qué?

101

d)

Observa el recipiente:

• ¿La gráfica que elegiste muestra de alguna manera el momento en que el nivel del agua pasa de la primera parte a la segunda? • ¿Cómo tendría que ser el recipiente para que la gráfica que representara la variación en el nivel de agua fuera como la que elegiste, es decir, formada por un solo segmento?

102



Bloque IV

Eje

Preguntas


37

Productos y cocientes de potencias. Aplicación de las leyes de los exponentes. Estas preguntas implican el uso de las leyes de los exponentes. Pida a sus alumnos que mencionen cuáles son las leyes de los exponentes para calcular productos y cocientes de potencia de la misma base y potencias de una potencia, promueva la discusión para identificar todas las leyes y cuando las completen, solicite que las anoten en su cuaderno. Si observa que aun tienen dudas de cómo aplicar estás leyes, lea y conteste con ellos las retroalimentaciones de las opciones correctas. Sugiera el uso del interactivo para practicar este contenido y comprobar las reglas de los exponentes.


38

Potencia de una potencia. En esta pregunta se cuestiona sobre el producto y el cociente de potencias. Se esperaría que los alumnos sumen los exponentes para calcular el producto de potencias cuando se tiene la misma base y que se resten los exponentes para calcular el cociente de potencias de la misma base. Tal vez, los alumnos tengan dificultades para multiplicar potencias de la misma base cuando uno de los exponentes sea cero al calcular el cociente de potencias de la misma base cuando los exponentes del dividendo y el divisor son iguales.

Es importante que los ayude a comprender y generalizar que, por ejemplo,

(an)( a0)= an porque a0=1, entonces (an)( a0)=(an)(1)= an.

También se requiere que comprendan que 1=n

n

aa pues estos

conocimientos le serán muy útiles para resolver y simplificar ecuaciones. Forma, espacio y medida

39

Propiedades de las alturas, medianas mediatrices y bisectrices. Pida que contesten y después lean la retroalimentación que corresponde a la opción correcta, de preferencia pida que trabajen en la versión impresa y que usen juego geométrico para realizar las construcciones que se piden. Utilice el interactivo para conozcan cuáles son otros puntos y rectas notables en el triángulo.

103

40

Eventos independientes. Se sugiere que las preguntas 40 y 41 se contesten en la misma sesión porque corresponden al estudio de eventos independientes. En la primera pregunta, los alumnos deben distinguir cuáles no son los eventos independientes y, en la segunda, deben calcular la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes. Si lo considera necesario, pida que vean el video y, posteriormente, regresen a contestar las preguntas.

Si es posible, pida que utilicen el interactivo para resolver más problemas sobre este tema.

Asegúrese que la mayoría de los alumnos comprenda en qué consiste cada experimento de azar que se menciona en las opciones de respuesta, cuáles son los resultados posibles y cuáles son los resultados favorables a los eventos que se señalan. Esto es clave para que puedan determinar y comprender cuáles son los eventos independientes.

41

Probabilidad de ocurrencia de eventos independientes. Si considera que sus alumnos tienen dificultades para calcular la probabilidad que se pide, apóyelos completando con ellos el diagrama de árbol o la tabla de doble entrada que se proponen en las retroalimentaciones de las opciones a y b. Posteriormente, identifiquen cuáles son los resultados favorables con respecto al total de resultados posibles y determinen cuántos son. Se espera que de este modo sea más sencillo para los alumnos determinar la probabilidad requerida.

42

Dos o más gráficas de línea. Lean la pregunta y pida que describan las gráficas que aparecen en ella, para ello puede preguntarles cuál es el título de cada gráfica y cómo están rotulados los ejes. Después pida que lean las opciones de respuesta y que elijan la que consideren es la correcta. Pida a un par de alumnos que le den su respuesta y que argumenten por qué. Hágales notar que ambas gráficas de línea muestran distinta información de la misma situación y que se complementan para tener mayor información de dicha situación.

Si lo considera necesario, puede iniciar pidiendo a sus alumnos que vean el video y observen cómo se utilizan las gráficas de línea para mostrar información.

Sugiera el uso del interactivo para conocer otras situaciones en las que se utiliza este tipo de gráficas para comunicar e interpretar información.


43 y 44

Interpretar gráficas formadas por segmentos de línea. Determinar la gráfica formada por segmentos de recta. Pida que contesten las preguntas 43 y 44 en las que deben relacionar adecuadamente el desarrollo de una situación con su representación gráfica formada por segmentos de recta. Dialogue con sus alumnos sobre las dos situaciones que se presentan en las preguntas, recuérdeles que cuando se estudia una gráfica formada por segmentos hay que tomar en cuenta las pendientes de los mismos.

Utilice el interactivo para que los alumnos interpreten otras gráficas formadas por segmentos de línea que muestran la variación entre dos cantidades.

104

BLOQUE V Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

45. El perímetro del triángulo isósceles es 30 y el del rectángulo es de 75.

¿Cuál es el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que permite encontrar los valores de w y z?

a) 75530

=+=+

zwzw

Observa que en el sistema de ecuaciones

75530

=+=+

zwzw

cada ecuación corresponde a

una situación. • ¿Cuál de las ecuaciones representa que el perímetro del triángulo isósceles es 30? ¿Por qué? ¿Cómo calculas el perímetro de un triángulo? • En el triángulo isósceles, ¿cómo representas algebraicamente que el perímetro es de 30, si z representa la medida de la base y w , la medida de cualquiera de los dos lados iguales? • ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo? • Si sustituyes en esa fórmula las expresiones algebraicas que representan a la base ( z5 ) y a la altura (w ), ¿cuál es la ecuación que representa que el perímetro es 75?

b) 75102302

=+=+

zwzw

Observa que en el sistema de ecuaciones75102302

=+=+

zwzw


una situación. • ¿Cuál de las ecuaciones representa que el perímetro del triángulo isósceles es 30? ¿Por qué? • ¿Cómo calculas el perímetro de un rectángulo?

105

• De acuerdo con el sistema de ecuaciones, ¿cuánto miden la base del triángulo isósceles y del rectángulo? ¿Y la altura del rectángulo? Recuerda que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las que buscamos una solución común. No olvides que una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, es un par de valores que hace que ambas ecuaciones se cumplan, es decir, al sustituir las incógnitas por sus valores respectivos, los miembros de cada ecuación se vuelven expresiones aritméticas equivalentes.

c) 75)5(230)(2=+=+

zwzw

Observa que en el sistema de ecuaciones75)5(230)(2

=+=+

zwzw


una situación. • Si la ecuación 2(w + z)=30 representa que el perímetro del triángulo isósceles es 30, ¿qué indica el número 2 en esa ecuación? ¿Cuál es la ecuación que se obtiene al realizar la operación que indica el número 2? ¿Cómo queda representada la medida de la base del triángulo? • ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo? • Si sustituyes en esa fórmula las expresiones algebraicas que representan a la base ( z5 ) y a la altura (w ), ¿cuál es la ecuación que representa que el perímetro es 75?

d) 7510230

=+=+

zwzw

Observa que en el sistema de ecuaciones 7510230

=+=+

zwzw cada ecuación corresponde a

una situación. • ¿Cuál de las ecuaciones representa que el perímetro del triángulo isósceles es 30? ¿Por qué? • ¿Cómo calculas el perímetro de un triángulo? • En el triángulo isósceles, ¿cómo representas algebraicamente que el perímetro es 30, si z representa la medida de la base y w , la medida de cualquiera de los dos lados iguales? • ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo? • Si sustituyes en esa fórmula las expresiones algebraicas que representan a la base ( z5 ) y a la altura (w ), ¿cuál es la ecuación que representa que el perímetro es 75?

106

46. Los siguientes son procedimientos correctos para empezar a resolver el sistema de

ecuaciones 753352

=+=+

yxyx

, excepto:

a)

• En este caso, ambos miembros de la primera ecuación se han multiplicado por 3, y

ambos miembros de la segunda se han multiplicado por –2. 3(2x + 5y) = 3(3) –2(3x + 5y) = –2(7) 6x + 15y = 9 –6x – 10y = –14 5y = –5 • ¿Se está aplicando alguna propiedad de la igualdad? ¿Cuál? • ¿Con este procedimiento queda convertido el sistema en una ecuación con una sola incógnita?

b)

• Si al primer miembro de la segunda ecuación se le resta (2x + 5y) y a su segundo

miembro se le resta 3, ¿se está aplicando alguna propiedad de la igualdad? ¿Cuál? • ¿Queda convertido el sistema en una sola ecuación con una incógnita?

c)

La resolución de un sistema de ecuaciones se realiza aplicando las propiedades de la

igualdad, con objeto de obtener una sola ecuación con una incógnita. En este caso, es un error restar a la primera ecuación sólo un término (5y) de la segunda, porque no se están restando todos los términos de la segunda ecuación. • ¿Cómo se realizaría este proceso de restar todos los términos de la segunda ecuación a la primera?

107

d)

• En este caso, se ha despejado el valor de 5y en cada ecuación. ¿Qué propiedad de

la igualdad se ha aplicado para hacerlo? • ¿Con este procedimiento queda convertido el sistema en una ecuación con una sola incógnita? ¿Por qué?

47. ¿Cuál es la gráfica que representa al sistema de ecuaciones 2310+==+

xyyx

?

a)

El sistema de ecuaciones:

2310+==+

xyyx establece dos condiciones: La suma de dos

números es 10. Uno de los números es igual al triple del otro aumentado en dos unidades. • En la gráfica, ¿cuál de las dos rectas representa la primera condición? • ¿Cuál de las condiciones cumple el punto (0,2)? • ¿Cuál es el punto que cumple con las dos condiciones? • Resuelve algebraicamente el sistema de ecuaciones y compara los resultados: ¿los valores de x y y obtenidos al resolver algebraicamente son iguales a los que se encontraron en la representación gráfica que elegiste? Recuerda que la representación gráfica de un sistema de ecuaciones permite encontrar la solución del sistema al encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas correspondientes a las ecuaciones. Para encontrar con precisión la solución se puede usar un método algebraico.

108

b)

El sistema de ecuaciones:

2310+==+

xyyx establece dos condiciones: La suma de dos

números es 10. Uno de los números es igual al triple del otro aumentado en dos unidades. • En la siguiente tabla anota algunos ejemplos de números que sumen 10:

x y Suma 10 10 10

• ¿Alguna de las dos rectas representa esta primera condición? • En esta representación gráfica, ¿en qué punto se intersecan las rectas? ¿Cuál es el valor de x? ¿Cuál es el valor de y? • ¿Estos valores son la solución del sistema?

109

c)

• Comprueba que el par (5,5) es una solución de la ecuación 10=+ yx .

• Prueba si el par (5,5) es una solución de la ecuación 23 += xy . • ¿Cómo puedes encontrar las dos rectas que representan al sistema de ecuaciones?

d)

En la gráfica se observa que el par (–5, –5) interseca a ambas rectas.

• Prueba si el par (–5,–5) es una solución de la ecuación: 23 += xy . • Comprueba que el par (–5,–5) es una solución de la ecuación: 10=+ yx . • ¿Cómo puedes encontrar las dos rectas que representan al sistema de ecuaciones?

110


48. ¿Qué tipo de transformación se ha aplicado a la figura ABCDE para obtener la figura transformada A´B´C´D´E´?

a) Una traslación. Recuerda que una figura R´ es resultado de una traslación

de la figura R, si la figura R se ha “deslizado” una cierta distancia en una cierta dirección hasta quedar transformada en la figura R´.

• Cuando una figura se traslada, ¿qué tipo de movimiento realiza? ¿Se desliza, se gira o se refleja? • Imagina que usas tu regla para unir el vértice A con A’ y B con B’. Al hacerlo obtienes los segmentos AA’ y BB’ ¿Las rectas que se obtienen son paralelas? • ¿Qué sucede con los segmentos que unen a los vértices C, D, E, y F respecto de los vértices C', D', E', y F'?, ¿son paralelos?

111

b) Simetría respecto a una recta. Recuerda que dos figuras R y R´ son simétricas

respecto a una recta m si R´ está formada por puntos simétricos a los de R respecto de m.

• Cuando una figura es simétrica de otra respecto de una recta, es como si la figura se “reflejara en un espejo”. ¿Éste es el caso de las figuras ABCDE y A´BĆ´DÉ´? • ¿Puedes trazar la recta con respecto a la que se hizo la simetría?

c) Simetría respecto a un punto. Recuerda que dos figuras R y R´ son simétricas respecto a un punto O, si cada punto

de R tiene su simétrico respecto de O en R´. Por ejemplo: en la siguiente imagen, los puntos A y A’ son simétricos respecto al punto C, porque A y A’ equidistan de C y los tres puntos son colineales.

• Cuando una figura es simétrica de otra respecto a un punto, es como si a la figura “se le hiciera un retrato” en el que sale invertida. ¿Éste es el caso de las figuras ABCDE y A´BĆ´DÉ´? • Imagina que usas tu regla para unir el vértice A de la figuras ABCDE con el punto O y luego mides la distancia que hay entre ellos. • Después haces lo mismo con el vértice A´ de la figura A´BĆ´DÉ´. Compara ambas medidas, ¿son iguales? • Mide los otros vértices de la figura ABCD respecto al punto O y haz lo mismo con los vértices de la figura A´BĆ´DÉ´ y el punto O. Compara las medidas respectivamente. ¿Son iguales en cada caso?

d) Una rotación de 90º. Recuerda que una figura R´ es resultado de una rotación de la figura R, si la figura R

se ha “girado” en torno a un punto O un cierto número de grados hasta quedar transformada en la figura R´. • ¿Cómo quedaría una figura cuando la giras 90º en torno a un punto O? ¿Y cuando la giras 180º? ¿Y 360º? ¿La figura R se ha girado 90º? ¿Cuántos grados se ha girado?

112


49. ¿Cuál de los pares de eventos que se definen a continuación son mutuamente excluyentes? a) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

Evento S: “Cae un número mayor que 4”. Evento T: “Cae un número impar”.

Los resultados posibles al lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior son: {1,2,3,4,5,6} • ¿Cuáles son los resultados favorables al evento S? • ¿Cuáles son los resultados favorables al evento T? • ¿Los eventos tienen resultados favorables en común? Cuando los eventos no tienen resultados favorables en común se dice que son mutuamente excluyentes. • ¿Son mutuamente excluyentes los eventos S y T?

b) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

Evento S: “Cae un número mayor que 4”. Evento T: “Cae un número impar”.

• Si de la bolsa se extrae al azar una canica y es blanca, ¿puede ocurrir que esa canica también sea azul? ¿Por qué? Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno descarta la posibilidad de que el otro ocurra. • ¿Cuál de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes?

Experimento 1: Lanzar una moneda y observar la cara que cae. Evento A: “Cae águila”. Evento B: “Cae sol”.

Experimento 2: Lanzar un dardo a una ruleta dividida en las secciones 1, 2 y 3. Evento C: “Cae en 1 o 2”. Evento D: “Cae en 2 o 3”.

c) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

Evento S: “Cae un número mayor que 4” Evento T: “Cae 6”.

• Si lanzas un dado y ves el número de la cara superior que cae, ¿cuáles son los resultados posibles? • ¿Cuáles de esos resultados son favorables al evento “cae un número mayor que 4”? ¿Cuáles son favorables al evento “cae 6”? • ¿Los eventos tienen resultados favorables en común? Si los eventos tienen resultados favorables en común, se dice que son mutuamente excluyentes.

113

Considera el evento Q: “cae un número impar”. • Si al lanzar el dado, el número de la cara superior que cae es 6 ¿a cuál de los dos eventos, Q o T, es favorable ese resultado? • ¿Son mutuamente excluyentes estos eventos? ¿Por qué?

d) Experimento: Extraer al azar una canica de una bolsa que contiene canicas grandes y chicas en color azul y blanco.

Evento J: “la canica que se extrae es blanca”. Evento K: “la canica que se extrae es chica”.

• Si de la bolsa, se extrae al azar una canica y es blanca, ¿puede ocurrir que esa canica también sea chica? ¿Por qué? Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno descarta la posibilidad de que el otro ocurra. • ¿Son mutuamente excluyentes estos eventos?

50. Considera el experimento y los eventos que se definen: Experimento: Lanzas un dado y observas el número que cae en la cara superior. Evento S: “Cae un número menor que 4”. Evento T: “Cae un número mayor que 4”. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la cara que cae sea menor que 4 o mayor que 4?

a) 366

.

Los resultados posibles al lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior, son: {1,2,3,4,5,6} • ¿Cuántos resultados son favorables al evento: “cae un número menor que 4”? ¿Y cuántos favorables al evento: “cae un número mayor que 4”? • Si el número que cae es menor que 4, ¿puede ocurrir que ese mismo número sea mayor que 4? ¿Los eventos S y T son mutuamente excluyentes? Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de las probabilidades de cada uno. • ¿Cuál es la probabilidad del evento S: “cae un número menor que 4”? ¿Y cuál es la probabilidad del evento T: “cae un número mayor que 4”? • Si sumas la probabilidad de evento S y del T, ¿obtienes

366 ?

114

b) 31

.

• Si al lanzar el dado, el número de la cara superior que cae es menor que 4, ¿a cuál de los dos eventos, S o T, es favorable ese resultado? Recuerda dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno descarta la posibilidad de que el otro ocurra. • ¿Los eventos S y T son mutuamente excluyentes? ¿Cuál es la probabilidad del evento S: “cae un número menor que 4”? ¿Y cuál es la probabilidad del evento T: “cae un número mayor que 4”? Si sumas la probabilidad del evento S y la del evento T, ¿es

igual a 31 ?

c) 21

.

• ¿Cuáles son todos los resultados posibles al lanzar un dado? ¿Cuáles de ellos son favorables al evento “cae un número menor que 4”? ¿Y cuáles son favorables al evento “cae un número mayor que 4”? ¿Los eventos tienen resultados favorables en común? Si los eventos tienen resultados favorables en común, se dice que son mutuamente excluyentes y la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de las probabilidades de cada uno. • ¿Cuál es la probabilidad del evento S? ¿Y cuál es la probabilidad del evento T? • ¿Cuál es la suma de las probabilidades del evento S y T? ¿Es igual a

21 ?

d) 65

.

• Si al lanzar el dado, el número de la cara superior que cae es menor que 4, ¿a cuál de los dos eventos, S o T, es favorable ese resultado? ¿Los eventos S y T son mutuamente excluyentes? ¿Por qué? • ¿Cuál es la probabilidad del evento S: cae un número menor que 4? ( )P S =

• ¿Y cuál es la probabilidad del evento T: cae un número mayor que 4? ( )P T =

• ¿Cuál es el resultado de la suma de las probabilidades de los eventos S y T? ( ) ( )P S P T+ = + =

Si los eventos S y T son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de las probabilidades de cada uno. Esto se expresa como: ( ) ( ) ( )P S T P S P Tο = +

115



Bloque V

Eje

Preguntas


45

Plantear un sistema de ecuaciones. Pida que contesten las preguntas 45, 46 y 47 que implican plantear, representar y resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Sugiera el uso del interactivo para plantear y resolver más sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

46

Resolución de un sistema de ecuaciones. Pida que contesten las preguntas 45, 46 y 47 que implican plantear, representar y resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.


Resalte que se pide identificar cuál es la excepción. En este caso, identificar cuál es el procedimiento inicial incorrecto. Los procedimientos que se presentan en las opciones de respuesta son algunos de los que se podrían realizar para resolver el sistema de ecuaciones.

Seguramente, los alumnos han tenido oportunidad de resolver diversos sistemas de ecuaciones mediante diferentes métodos de resolución, por ejemplo, sustitución, igualación, etc. En esta pregunta no se trata de evaluar cuál es el método, se trata de que los alumnos reconozcan en cual opción no se está aplicando correctamente las propiedades de la igualdad.


47

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones. Pida que contesten las preguntas 45, 46 y 47 que implican plantear, representar y resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.


Muestre a sus alumnos que la representación gráfica de un sistema de ecuaciones también puede servir para identificar su solución.

116


48

Determinar el tipo de transformación que se aplicó a una figura. Pida que contesten las pregunta y después lean la retroalimentación que corresponde a la opción correcta, de preferencia pida que trabajen en la versión impresa y que usen juego geométrico para realizar las construcciones que se piden. Utilice el interactivo para que conozcan cuáles son otros movimientos en el plano que pueden realizarse.

49

Eventos mutuamente excluyentes. Pida que contesten las preguntas 49 y 50 relacionadas con el estudio de eventos mutuamente excluyentes. En la primera pregunta, los alumnos deben distinguir cuáles son eventos mutuamente excluyentes y, en la segunda, deben calcular la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes. Asegúrese que la mayoría de los alumnos comprenda en que consiste cada experimento de azar que se menciona en la pregunta y las opciones de respuesta, cuáles son los resultados posibles y cuáles son los resultados favorables a los eventos que se señalan. Si lo considera necesario pida que elaboren un diagrama de árbol para identificar los resultados favorables de los resultados posibles.

Si le es posible, vean el video y, posteriormente, regresen a contestar las preguntas. Pida que utilicen el interactivo para resolver más problemas sobre este tema.


50

Probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes. Considera el experimento y los eventos que se definen:

Experimento: Lanzas un dado y observas el número que cae en la cara superior.

Evento S: "Cae un número menor que 4". Evento T: "Cae un número mayor que 4".

¿Cuál es la probabilidad de que el número de la cara que cae sea menor que 4 o mayor que 4?

117

REGISTRO DE RESPUESTAS

Nombre de la asignatura: ____________________________________________________________ Nombre del alumno: ________________________________________________________________ No. de aciertos: ___________________________ Fecha: __________________________________

1. a. b. c. d. 2. a. b. c. d. 3. a. b. c. d. 4. a. b. c. d. 5. a. b. c. d. 6. a. b. c. d. 7. a. b. c. d. 8. a. b. c. d. 9. a. b. c. d. 10. a. b. c. d. 11. a. b. c. d. 12. a. b. c. d. 13. a. b. c. d. 14. a. b. c. d. 15. a. b. c. d. 16. a. b. c. d. 17. a. b. c. d. 18. a. b. c. d. 19. a. b. c. d. 20. a. b. c. d. 21. a. b. c. d. 22. a. b. c. d. 23. a. b. c. d. 24. a. b. c. d. 25. a. b. c. d. 26. a. b. c. d. 27. a. b. c. d. 28. a. b. c. d. 29. a. b. c. d. 30. a. b. c. d. 31. a. b. c. d. 32. a. b. c. d. 33. a. b. c. d. 34. a. b. c. d. 35. a. b. c. d. 36. a. b. c. d. 37. a. b. c. d. 38. a. b. c. d. 39. a. b. c. d. 40. a. b. c. d. 41. a. b. c. d. 42. a. b. c. d. 43. a. b. c. d. 44. a. b. c. d. 45. a. b. c. d. 46. a. b. c. d. 47. a. b. c. d. 48. a. b. c. d. 49. a. b. c. d. 50 a. b. c. d.

118

CLAVE DE RESPUESTAS

Contenido de la pregunta Opción

correcta 1. Operaciones de números con signo b 2. Sustracción de números con signo b 3. Multiplicación y división de números con signo c 4. División de números con signo b 5. Reducción de términos semejantes b 6. Definición de líneas b 7. Ángulos entre paralelas d 8. Reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes a 9. Relaciones entre los ángulos interiores de los paralelogramos a 10. Factor inverso de proporcionalidad c 11. Recursos para resolver un problema de conteo d 12. Regularidades en problemas de conteo c 13. Interpretar polígonos de frecuencia d 14. Jerarquía de operaciones c 15. Producto de monomios d 16. Cociente de monomios b 17. División de polinomios entre monomios d 18. Diferentes vistas de un cuerpo d 19. Obtener el volumen de prismas y pirámides rectos b 20. Volumen de prismas y pirámides rectos. Establecer relaciones de variación

b

21. Comparar o igualar razones c 22. Calcular medidas de tendencia central b 23. Interpretar medidas de tendencia central d 24. Sucesión de números a partir de una regla d 25. Identificar la regla algebraica de una sucesión de números con signo d 26. Sucesiones de números con signo d 27. Identificar la ecuación que modela un problema o una situación a 28. Identificar la ecuación que modela un problema b 29. Ecuaciones equivalentes a 30. Resolución de una ecuación d 31. La expresión algebraica de una función lineal b 32. Representación gráfica de una función lineal d 33. El efecto del valor b en la función y = mx + b a 34. El efecto del valor m en la función y = mx + b b 35. Suma de los ángulos internos de un polígono c

119

36. Recubrimiento de un plano c 37. Productos y cocientes de potencias. Aplicación de las leyes de los exponentes

b

38. Potencia de una potencia d 39. Propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices d 40. Eventos independientes d 41. Probabilidad de ocurrencia de eventos independientes c 42. Dos o más gráficas de línea c 43. Interpretar gráficas formadas por segmentos de línea b 44. Determinar la gráfica formada por segmentos de recta c 45. Plantear un sistema de ecuaciones b 46. Resolución de un sistema de ecuaciones c 47. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones a 48. Determinar el tipo de transformación que se aplicó a una figura c 49. Eventos mutuamente excluyentes b 50. Probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes d

120

CRÉDITOS

Se autoriza la reproducción parcial o total de este material por cualquier sistema mecánico, electrónico y otro, sin fines de lucro y citando la fuente. Segunda edición: 2009 DR © Secretaría de Educación Pública, 2008 Argentina 28, Colonia Centro Histórico, CP 06020; México, DF. ISBN (Obra completa) ISBN (Material impreso) Distribución Gratuita (prohibida su venta) “Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines distintos al desarrollo social.” Artículo 28 de la Ley General de Desarrollo Social

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