REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

UNIVERSIDAD FERMIN TOROFACULTAD DE INGENIERIA

SLIDESHARE

INTEGRANTES: ESCALONA LEONARDO

Precisar el concepto de la integral definida mediante el desarrollo del Teorema Fundamental del Cálculo en la aplicación de ejercicios inherentes al área de ingeniería.Objetivos EspecíficosConocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades.a)

∑k=1

20

[ (i−1 ) ∙ (4 i+3 ) ]

¿4 i2+3 i−4 i−3

¿4 i2−i−3

¿4∑i=1

20

i2−∑i=1

20

i−∑i=1

20

3

¿4 ∙20 (20+1 )

6−

20 (20+1 )2

−20∙3

¿ 80 ∙21 ∙416

−20 ∙212

−60

¿11480−210−60

¿11210b) ∑k=1

100

( 2k−2k−1 )Por el Teorema ∑k=1

n

[F (k )−F (k−1 ) ]=F (n )−F (0 )

∑k=1

100

( 2k−2k−1 )=2100−20=2100−1

Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y superior.

a. Calcule el área de la región indicada en el intervalo dado, empleando rectángulos inscritos. Dibuje el área pedida.Suma inferior:a. x2+ y−5=0 ; y=0

x2+ y−5=0

y=5−x2

y=00=5−x2

x2=5x=±√5

∆ x=b−an

¿ √5−0n

¿ √5n

Comof ( x )es decreciente en [0 ,√5 ] se tiene que x i=0+i ∆ x=i ∆ x y f ( x )=5−x2Entoncesf (x i )=5−(i ∆ x )2=5−i2∆ x2

∆ x=√5nLuego

A1= limn→+∞

∑i=1

n

f (x i )∆ x= limn→+∞

∑i=1

n

(5−i2∆ x ) ∙∆ x

∆1= limn→+∞

∑i=1

n

( 5∆ x−i2∆x3 )

¿ limn→+∞ (∑

i=1

n

5∆ x−∑i=1

n

i2∆ x3)

¿ limn→+∞ (∑

i=1

n5√5n

−∑i=1

n

i2 ∙5√5n3 )

¿ limn→+∞ ( 5√5

n∑i=1

n

1−5√5n3 ∑

i=1

n

i2)¿ limn→+∞ ( 5√5

n∙n−5√5

n3 ( n (n+1 ) (2n+1 )6 ))

¿ limn→+∞ (5√5−5√5

n3 ( 2n3+3n2+n6 ))

¿ limn→+∞ (5√5−5

3√5−5√5

2n−5√5

6n2 )¿5√5−5

3√5

A1=10√5

3Por simetría:A=2 A1=2

10√53

=20√53Suma superior:2.

y=5−x2Decreciente en [0 ,√5 ]x i−1=a+ (i−1 )+ i∆ x

∆ x=√5−0n

¿ √5n

¿0+( i−1 ) √5n

¿ (i−1 ) √5n

f (x i−1 )=5−[ ( i−1 ) √5n ]

2

¿5− (i−1 )2 ∙ 5

n2

¿5− (i2−2i+1 ) ∙ 5

n2

¿5− 5

n2i2+ 10

n2i− 5

n2

A=limn→∞

∑i=1

n

f (x i−1 )∙∆ x

¿ limn→∞

∑i=1

n

(5− 5n2 i

2+10n2 i−

5n )√5

n

¿ limn→∞

∑i=1

n5√5n

−5√5n3 i2+ 10√5

n3 i−5√5n3

¿ limn→∞ ( 5√5

n∙n−

5√5

n3 ∙n (n+1 ) (2n+1 )

6+

10√5

n3 ∙n (n+1 )

2−

5√5

n3 ∙ n)¿ limn→∞ (5√5 ∙ n−

5√5

6n2 ∙(2n+3n+1 )

6+

5√5

n2 ∙(n+1 )

2−

5√5

n2 )¿ limn→∞ (5√5−5√5

3−5√5

2n−5√5

6n2 +5 √5n

+5√5n2 −5√5

n2 )A1=5 √5−5√5

3−0−0+0+0−0

A1=103

√5

Por simetríaA=2 A1=2·

103

√5=203

√5

Establecer la integral definida de una función estableciendo como límite de la suma de Riemann.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.De esta manera se define la integral definida:∫a

b

f ( x )dx= limn→∞

∑i=1

n

f (c i )∆i x

,donde ∆i x es la longitud deli−esimo subinervalo, de la partición: P = {[a, x1), [x1, x2), ... [xn-1, b]}Tales que: a = x0 < x1 < x2 ... < xn = bdonde xi-1 ≤ ci ≤ xi. La elección de ci en este intervalo es arbitraria.Ejemplo: 1. Resuelva mediante suma de Riemann:∫−1

2

(x2−1 )dx

Sea f ( x )=x2−1 , a=−1 yb=2, luego:∆ x=b−a

n=2+1

n=3nDonde:

x i=a+ i∆ x=−1+i 3n

x i=−1+i 3nLuego:

f (x i )=(−1+i 3n )

2

−1=1−6ni+ 9

n2 i2−1

f (x i )=−6ni+ 9

n2i2

Luego:∫−1

2

(x2−1 )dx=limn→∞

∑i=1

n

f (x i )∆ x=limn→∞

∑i=1

n

(−6n

i+ 9n2 i

2) 3n

∫−1

2

(x2−1 )dx=limn→∞

∑i=1

n

(−18n2 i+27

n3 i2)

¿ limn→∞

∑i=1

n

(−18n2

n (n+1)2

+ 27n3

n (n+1 )(2n+1)6 )

¿ limn→∞

∑i=1

n

(−9n

(n+1)+ 92n2

(2n2+3n+1 ))¿ limn→∞

∑i=1

n

(−9−9n+9+ 27

2n+ 9

2n2 )¿−9−0+9+0+0Por tanto:∫−1

2

(x2−1 )dx=0

Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas geométricamente.PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA.Propiedades de la integral definida.Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudaran a evaluarlas con más facilidad.1. ∫

a

b

cdx=c (b−a ) donde c es una constante.2. Si f y g son integrables en [a ,b ] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

∫a

b

c f ( x )dx=c∫a

b

f ( x )dx

∫a

b

[ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

g (x )dx

(Se puede generalizar para más de dos funciones).3. Si x está definida para x=a entonces ∫

a

a

f ( x )dx=0

4. Si f es integrable en [a ,b ] entonces ∫a

b

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x )dx

5. Propiedad de Aditividad del intervalo:Si fes integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a ,b y c entonces∫a

c

f ( x )dx=∫a

b

f ( x )dx+∫b

c

f (x )dx

Demostración de las propiedades, anteriores:Conservación de desigualdades:

Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a ,b ] entonces 0≤∫

a

b

f ( x )dx

Demostración: Si f ( x )≥0 entonces ∫a

b

f ( x )dx representa el área bajo la curva de f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).

Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a ,b ] con ff ( x )≥g ( x ) para todo x en [a ,b ] entonces ∫

a

b

f ( x )dx ≥∫a

b

g ( x )dx

Demostración: Si f ( x )≥g ( x ) podemos asegurar que f ( x )−g ( x )≥0 y le podemos aplicar la propiedad anterior y por lo tanto ∫

a

b

[ f ( x )−g (x ) ]dx ≥0. De aquí ∫

a

b

f ( x )dx−∫a

b

g ( x )dx≥0 y de esta manera ∫a

b

f ( x )dx ≥∫a

b

g ( x )dx.Supongamos que m y M son constantes tales que m≤ f (x )≤M para a≤ x≤b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica que entre la recta y=m y la recta y=M . Podemos enunciar el siguiente teorema:

Si f es integrable y m≤ f (x )≤M para a≤ x≤b entonces:m (b−a )≤∫

a

b

f (x )dx ≤M (b−a ).

(La gráfica ilustra la propiedad cuando f ( x )≥0)Si y=f ( x ) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la misma en el intervalo [a ,b ] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M .En general dado que m≤ f (x )≤M podemos asegurar, por la propiedad anterior que:∫a

b

mdx ≤∫a

b

f (x )dx ≤∫a

b

M dx

Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta m (b−a )≤∫

a

b

f (x )dx ≤M (b−a ).Simetría.El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de las integrales de funciones que poseen propiedades de simetría.Sea f una función continua sobre el intervalo [ – a ,a ]

a) Si f es par ∫−a

a

f (x )dx=2∫0

2

f ( x )dx

b) Si f es impar ∫−a

a

f (x )dx=0

Demostración: tenemos en cuenta que a ∫−a

a

f (x )dx la podemos descomponer de dos nuevas integrales

∫−a

a

f (x )dx=∫−a

0

f ( x )dx+∫0

a

f ( x )dx

∫−a

a

f (x )dx=−∫0

−a

f ( x )dx+∫0

a

f ( x )dx

En la primera integral sustituimos u=−x⇒ du=−dx, además si x=−a⇒ u=a.

−∫0

−a

f ( x )dx=−∫0

u

f (−u ) [−du ]=∫0

u

f (−u )du Con esto la ecuación original resulta:

∫−a

a

f (x )dx=∫0

a

f (−u )du+∫0

a

f ( x )dx

En el caso a) si la función es par f (−u )=f (u ) entonces∫−a

a

f (x )dx=∫0

a

f (u )du+∫0

a

f ( x )dx=2∫0

a

f ( x )dx

Mientras que en el caso b) si la función es impar f (−u )=−f (u )

∫−a

a

f (x )dx=−∫0

a

f (u )du+∫0

a

f ( x )dx=0

Ejemplo: Sabiendo que ∫

0

2

x2dx=83 , calcule las siguientes integrales.

a) ∫−2

0

x2dx

b) ∫−2

2

x2dx

c) ∫0

2

3 x2dx

d) ∫0

2

−x2dx

Utilizando propiedades de las integrales resulta:a) Como x2 es una función par: ∫−2

0

x2dx=∫0

2

x2d x=83b) Como x2 es una función par:

∫−2

2

x2dx=∫−2

0

x2dx+∫0

2

x2dx=2∫0

2

x2dx=163

c) ∫0

2

3 x2dx=3∫0

2

x2dx=8

d) ∫0

2

−x2dx=−∫0

2

x2dx=−83

6. Si f es una función integrable en los intervalos cerrados [a ,b ] , [a , c ] y [c ,b ] con α<c<b entonces:

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x )dx

Ejemplo:Sea [a ,b ]= [0,3 ] y c=2

∫0

3

x2dx= x3

3 |30=9

Ahora: ∫0

2

x2dx+∫2

3

x2dx= x3

3 |20+ x3

3 |32=83+9−8

3=9

Luego: ∫0

3

x2dx=∫0

2

x2dx+∫0

3

x2dx

Geométricamente podemos interpretar esta propiedad como sigue:Si f ( x )≥0 para x∈ [a ,b ] entonces la propiedad anterior establece que, el área de la región limitada por la curva con ecuación y=f ( x ) , el eje X y las rectas con ecuaciones y las rectas con ecuación x=a , x=b , es igual a la suma de las áreas de las regiones desde a hasta c y desde c hastab.

El resultado anterior es válido para cualquier orden de a ,b y c .Teorema del valor medio para integrales.Si f es una función continua en el intervalo [a ,b ], entonces existe en éste un punto α tal que se verifique la siguiente igualdad:

∫a

b

f ( x )dx= (b−a ) f (α )

Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una f tal que f ( x )≤0, para todos los valores de x en el intervalo[a ,b ].Entonces ∫

a

b

f ( x )dx es el área de la región limitada por la curva con ecuación y=f ( x ), el eje X y las rectas con ecuación x=a , x=b.

Esté teorema establece que existe un numero α en [a ,b ] tal que el área del rectángulo aQS b , cuya altura es f (α ) y que tiene ancho de (b−a ) unidades, es igual al área de la región área de la región a P Rb.El valor de α no es necesariamente único.Aunque el teorema no establece un método para determinar α , sí garantiza que existe un valor de α , lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas. Ejemplos:Determinar, en cada caso, el valor α tal que:I. ∫

1

2

x3dx=f (α ) (2−1 )

II. ∫1

4

(x2+4 x+5 )dx= f (α ) (4−1 )

Solución:I. Calculamos primero ∫

1

2

x2dx

Como D x( x4

4 )=x3 entonces∫1

2

x3dx= x4

4 |=164

−14=15

4

Luego: ∫1

2

x3dx=154

=f (α ) (2−1 ) de donde:f (α )=15

4(eneste caso f ( x )=x3 )

α 3=154y por últimoα=3√ 15

4≈1.55

Gráficamente se tiene:

II. Calculamos ∫1

4

(x2+4 x+5 )dx

Como D x( x3

3+2x2+5x )=x2+4 x+5 entonces:

∫1

4

x2+4 x+5=( x3

3+2 x2+5 x )|4

1=43

3+2 (4 )2+5∙4−( 1

3+2+5)

¿66

Luego: ∫1

4

(x2+4 x+5 )dx=66=f (α ) (4−1 )

De donde f (α )=22, como f ( x )=x2+4 x+5entonces:α 2+4 α+5=22 y los valores de α que satisfacen la ecuación son α 1=−2+√21 , α2=−2−√21; este último valor se descarta pues no pertenece al intervalo [ 1,4 ]Luego el valor de α que satisface el teorema del valor medio para integrales es α=√21−2.Gráficamente se tiene:

Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables.Teorema fundamental del cálculoSi f es una función continua e integrable en [a, b],Parte I. Si se define G comoG( x )=∫ 0

x f ( t ) dt

Para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b].

Parte II. Si F es una antiderivada de f, entonces∫ a

bf ( x ) dx= F(b ) - F (a )

Ejemplos:1¿∫

0

3

2x2 √x3+1dx

Cambio de variableu=√x3+1

u2=x3+1dx

2udu=3 x2dx

2u3du=x2dx

Si x=2⟹u=√23+1=3

x=0⟹u=√03+1=1

∫0

2

2 x2√ x3+1dx=2∫1

2

√x3+1∙ x2dx

¿∫1

3

u2u3du

¿ 23∫1

3

u2du

¿ 29u

3|31¿ 2

9(33−13 )

¿ 529

2¿∫0

3

x√ x+1dx

Cambio de variableu=√x+1

u2=x+1⟹ x=u2−1

2udu=dx

Si x=3⟹u=√3+1=2

x=0⟹u=√0+1=1

∫0

3

x √x+1dx=∫1

2

(u2−1 ) ∙u ∙2udu

∫1

2

2u2 (u2−1 )du

∫1

2

( 2u4−2u2 )du

¿ 25u2−2

3u3|21

¿ 25

(25−15 )−23

(23−13 )

¿ 25∙31−2

3∙7

¿ 625

−143

¿ 11615