Reporte Proyecto2

PROYECTO II

Maestría en Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato

Métodos Numéricos en Termofluidos

Dr. Francisco Elizalde Blancas Roberto Cañas Vargas

08 de marzo de 2013

2

210 10

( ,0) 1 1 1

( 10, ) 0 0

(10, ) 0 0

u xt x x

x x

t t

t t

2

2

2

2

) 1 0Explícito

) 0 1Implícito

) 1 1C-N

) 1 1 0.5, 0.1

m ms s

m ms s

m ms s

m ms s

a u

b u FTCS

FTUSc u

d u x t

Para el esquema combinado FTCS

1 1 1

1 12

1 12

1 2

2 2

(1 ) 1 2( 1) 1

2 2

n n n

i i i

n n n

i i i

u u

x x t x x x

u u

x x t x x x

Para el esquema FTUS

1 1 1

1 1 2

1 1 2

1 2

2

(1 ) 1 ( 1) 2 1

n n n

i i i

n n n

i i i

uu

x x t x x x

u ux x t x x x

El parámetro representa que tan implícita es la discretización, x es el paso espacial y t el

paso temporal. Para los incisos del a) al c) se usó un paso 0.25x y un salto en el tiempo de

0.01t s , puesto que el criterio de estabilidad para el esquema FTCS está dado por:

2

2

xt

Y para el esquema FTUS el criterio de estabilidad es:

2

2

xt

u x

Para el inciso a) se toman los valores y se resuelve de la manera indicada a continuación

2

Explícito

) 1 0 0.25, 0.01 Implícito

C-N

m ms s

FTCSa u x t

FTUS

Obteniéndose las siguientes gráficas para la distribución de en el dominio del problema para

0.5s, 1s y 2s, usando el esquema FTCS y el FTUS.

Figura 1. Solución usando el método explícito para las condiciones del inciso a), usando el esquema FTCS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

Figura 2. Solución usando el esquema Crank-Nicolson para las condiciones del inciso a)

Figura 3. Solución usando el esquema implícito para las condiciones del inciso a)

Es de esperarse que para las condiciones del inciso a), usando el esquema FTCS todas las

soluciones sean erróneas e inestables, puesto que para satisfacer el criterio de estabilidad, con

0 , el salto temporal sería indeterminadot , además de que se sabe que para este tipo de

problemas, la condición de sólo convección es imposible.

Para las soluciones usando el esquema “upwind” se obtienen las figuras 4, 5 y 6

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

Figura 4. Solución utilizando el método explicito para las condiciones del inciso a), usando el esquema FTUS

Figura 5. Solución utilizando el método de Crank-Nicolson para las condiciones del inciso a), usando el esquema FTUS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

Figura 6. Solución utilizando el método implícito para las condiciones del inciso a), usando el esquema FTUS.

Como se puede observar, las soluciones para el esquema FTUS, son estables para todos los

métodos de discretización analizados, a diferencia de las soluciones para el esquema FTCS, esto

debido a que el criterio de estabilidad con 0 toma la forma:

x

tu

Por lo tanto, a diferencia de lo que sucede en el esquema FTCS, el salto temporal t , no se

indetermina cuando 0 .

Para el inciso b) del problema se toma:

2

Explícito

) 0 1 0.25 0.01 Implícito

C-N

m ms s

FTCSb u x t s

FTUS

Obteniéndose las figuras 7, 8 y 9, para el esquema FTCS y las figuras 10, 11 y 12 usando el

esquema FTUS.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

Figura 7. Solución utilizando el método explicito para las condiciones del inciso b), usando el esquema FTCS

Figura 8. Solución utilizando el método Crank-Nicolson para las condiciones del inciso b), usando el esquema FTCS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

Figura 9. Solución utilizando el método implícito para las condiciones del inciso b), usando el esquema FTCS

Figura 10. Solución utilizando el método explicito para las condiciones del inciso b), usando el esquema FTUS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

Figura 11. Solución utilizando el método Crank-Nicolson para las condiciones del inciso b), usando el esquema FTUS

Figura 12. Solución utilizando el método implícito para las condiciones del inciso b), usando el esquema FTUS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

Para este caso se observa que la distribución de temperatura es simétrica en cualquier tiempo,

esto debido a que la velocidad u=0, por lo tanto no hay termino convectivo, y la transferencia del

parámetro se da únicamente por difusión hacia los extremos del dominio.

La solución es estable para cualquier caso ya que no se viola el criterio de estabilidad. Las

soluciones para todos los esquemas de discretización son muy similares, con variaciones apenas

apreciables entre un esquema y otro.

Para el inciso c) se toman los valores indicados y se resuelve para las condiciones dadas a

continuación: 2

Explícito

) 1 1 0.25, 0.01 Implícito

C-N

m ms s

FTCSc u x t

FTUS

Se obtienen las figuras 13, 14 y 15, para el esquema FTCS, y las figuras 16, 17 y 18 para el esquema

FTUS las cuáles se muestran enseguida.

Figura 13. Solución utilizando el método explicito para las condiciones del inciso c), usando el esquema FTCS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

Figura 14. Solución utilizando el método Crank-Nicolson para las condiciones del inciso c), usando el esquema FTCS

Figura 15. Solución utilizando el método implícito para las condiciones del inciso c), usando el esquema FTCS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5 s

t=1 s

t=2 s

Figura 16. Solución utilizando el método explicito para las condiciones del inciso c), usando el esquema FTUS


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s


Se puede apreciar que la distribución de temperatura no es simétrica en este caso, ya que la

velocidad u=1, lo cual afecta la transferencia del parámetro de manera convectiva,

transfiriéndose esta más rápidamente en la dirección de la velocidad.

Al igual que en el inciso anterior, la solución es estable para cualquier caso ya que no se viola el

criterio de estabilidad. Las soluciones para todos los esquemas de discretización son muy

similares, con variaciones apenas apreciables entre un esquema y otro.

Para el inciso d se establecen las condiciones

2

Explícito

) 1 1 0.5, 0.1 2 Implícito

C-N

m ms s

FTCSd u x t t s

FTUS

Por lo tanto, los resultados sólo se reportan a los dos segundos.

Para el esquema FTCS, se obtienen los resultados de la figura 19, que se muestra a enseguida:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

t=0.5s

t=1s

t=2s

Figura 19. Soluciones utilizando los métodos explicito ( 0 ), Crank-Nicolson ( 0.5) e implícito ( 1) de para las

condiciones del inciso c), usando el esquema FTCS

Se decidió jugar un poco con los valores de t con el objetivo de violar el criterio de estabilidad y

observar el comportamiento de las soluciones dadas por los diferentes métodos. Usando un

0.12t se obtiene la figura 20.

Figura 20. Soluciones utilizando los métodos explicito ( 0 ), Crank-Nicolson ( 0.5) e implícito ( 1) de para

las condiciones del inciso c), usando el esquema FTCS con 0.12t

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x

PH

I

theta=0

theta=0.5

theta=1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

PH

I

theta=0

theta=0.5

theta=1

Con un valor de 0.15t , para el esquema FTCS, se obtienen los siguientes resultados, en 2

segundos.


condiciones del inciso c), usando el esquema FTCS con 0.15t

En las figuras 20 y 21 se ha introducido un t de manera que se viola el criterio de estabilidad

para el método explicito, sin embargo se aprecia que los métodos de Crank- Nicolson y el explícito

mantienen su estabilidad, esto como ya es sabido, se debe a que son incondicionalmente estables.

Para el esquema FTUS, y las mismas condiciones del inciso d)

2

Explícito

) 1 1 0.5, 0.1 2 Implícito

C-N

m ms s

FTCSd u x t t s

FTUS

Para las condiciones anteriores e obtiene la figura 22, usando el esquema FTUS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

PH

I

theta=0

theta=0.5

theta=1


condiciones del inciso c), usando el esquema FTUS con 0.1t

Con un 0.1t el método explicito ya es claramente inestable para el esquema FTUS, se ha

decidido, al igual que en el esquema FTCS, jugar con los valores de t , de modo que el método

explicito se desestabilice aún más. Usando un 0.11t se obtiene la figura 23.



-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

PH

I

theta=0

theta=0.5

theta=1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

PH

I

theta=0

theta=0.5

theta=1

Usando un 0.15t se obtiene la figura 24.



Como se puede apreciar, para valores de t mayores de 0.1 el método explicito, usando el

esquema FTUS se desestabiliza completamente, pero los métodos de Crank-Nicolson e implícito se

mantienen estables.

CONCLUSIÓN

Se ha podido observar el comportamiento de las soluciones de este problema con los diferentes

métodos de discretización. Se aprecia que los métodos de Crank-Nicoloson e implícito mantienen

estabilidad incondicionalmente. Usando el esquema FTUS, se eliminan además las inestabilidades

que se presentan cuando los términos convectivos se discretizan de manera central. Por lo tanto,

es recomendable usar el esquema FTCS con los métodos de Crank- Nicholson e implícito.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x

PH

I

theta=0

theta=0.5

theta=1

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