Repaso para el examen final de actuaría

1

REPASO PARA EL EXAMEN FINAL DE ACTUARÍA MAYO 2012

1) Repasen los problemas de interés simple y compuesto

1) Usted deposita $25, 000 al 4 % durante 6 años. ¿Cuál es el interés obtenido?

I = P × r × n

25000*0.04*6

6000.

I = $6, 000

2) Usted deposita $60, 000 a una tasa de interés r durante 5 años y obtiene un interés

de $6, 500. ¿Cuál es el r?

r = I / (P×n)

6500/(60000×5)//N

0.0216667

r = 2.17 %

3) Usted deposita un patrimonio P al 11 % de interés durante 7 años y obtiene un

interés de $5, 000. ¿Cuál es P?

P = I / (r×n)

5000/(0.11×7)

6493.51

P = $6,493.51

4) Usted deposita $100, 000 al 4.25 % y obtiene $18, 000. ¿Cuánto tiempo dejó

invertido el dinero?

n = I / (P×r)

18000/(100000×0.0425)

4.23529

n = 4.24 años

5) Cuando usted nació, un tío suyo depositó $100, 000 en una cuenta de banco que

paga el 5 % de interés compuesto anualmente. Encuentre el patrimonio final si usted

retira el dinero a:

a) 18 años $240,662.00

b) 36 años $579,182.00

2

c) 65 años $2,383,990.00

d) 99 años $12,523,900

P = P0×(1+r)n

P[d_,r_,n_] = d × (1+r)n

d (1+r)n

P[100000,0.05,18]

240662.

P[100000,0.05,36]

579182.

P[100000,0.05,65]

2.38399×106

P[100000,0.05,99]

1.25239×107

2) Sea

a) Encuentre u’, u’’

b) Haga las gráficas de u’, u’’

4

c) Compruebe que u’ > 0, u’’ < 0

5

3) Sea S(x) la distribución de vida de Weibull con parámetro de forma r > 0 parámetro de

escala λ

Con r = 5, λ = 2

Haga

a) Gráfica de S(x)

b) Fórmula de μ(x) y la gráfica

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4

S(x)

S(x)

6

4) Sea y una perdida aleatoria con fdP.

Suponga que la función de utilidad usada en la toma de decisiones es

Suponga que w = 5. ¿Cuál es el máximo que se pagaría por un seguro contra y?

Sea Y una pérdida aleatoria con f.d.p

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.5 1 1.5 2 2.5

u(x)

u(x)

7

o w > 0

o f(w) = wr 0 < r < 1

o

o

o

o

o

o

o

o

o

5) Verifique que la función de utilidad cuadrática corresponde a un individuo adverso al

riesgo.

Nota:

8

x = 5, u

9

6) Consider a 1 year term life insurance paying $75,000 if death is accidental, otherwise the

benefit will be $30,000. Let suppose that the probability of an accidental death within a

year is 0.0003 and the probability of non accidental death is 0.0031. Find out the

distribution of B given I=1.

o Pr(I = 1 and B = 75,000)= 0.0003

o Pr(I = 1 and B = 30,000)= 0.0031

o Pr( I=1) = 0.0003 + 0.0031 = 0.0034

o Pr(B = 30,000 | I=1)=

o Pr(B = 75,000 | I=1)=

7) La tabla siguiente indica las ventas en ciertos días del año en miles de dólares

Estime las ventas en los días 59, 225, 322, 365.

Aplicaciones:

Días Vol.

Ventas

(miles)

1 15

15 12.5

29 10

57 18.23

111 35

215 42.23

283 41

315 31.62

345 22

351 21.28

10

X = 59

La línea que pasa por (57,18.23) y (111,35)

a)

b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)

(x0,y0) = (57,18.23)

Fórmula:

En X = 59, se vendió 18.85

X = 225


a)


(x0,y0) = (215,45.23)

Fórmula:


X = 322


a)


(x0,y0) = (315,31.62)

11

Fórmula:

En x = 322, se vendió 29.38

X = 365

La línea que pasa por (345,22) y (351, 21.28)

a)


(x0,y0) = (345,22)


8) Para la tabla

X Y

8 5

13 6

14 -5

19 2

23 22

Encuentre los polinomios de interpolación pedidos. Orden = 1, 2, 3, 4

12

y = 0.976x - 9.03

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

Series1

Linear (Series1)

y = 0.2478x2 - 6.7751x + 44.966

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

Series1

Poly. (Series1)

y = 0.0318x3 - 1.2096x2 + 13.91x - 44.88

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

Series1

Poly. (Series1)

13

Suponga que an está definido por la formula que aparece abajo. Escriba los primeros 100 términos y

haga la grafica (a) usando Excel (b) usando R:

(1)

(2)

Usando Excel

n an (1) an (2)

1 0.5 2

2 0.4 1.106682

3 0.3 1.032481

4 0.235294 1.014044

5 0.192308 1.00732

6 0.162162 1.004291

7 0.14 1.002729

8 0.123077 1.001842

9 0.109756 1.001302

10 0.09901 1.000954

11 0.090164 1.000719

12 0.082759 1.000556

13 0.076471 1.000439

14 0.071066 1.000352

15 0.066372 1.000287

16 0.062257 1.000237

y = -0.0349x4 + 2.2448x3 - 51.533x2 + 496.89x - 1678.2

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25

Series1

Poly. (Series1)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

an (1)

an (2)

14

17 0.058621 1.000198

18 0.055385 1.000167

19 0.052486 1.000142

20 0.049875 1.000122

21 0.047511 1.000105

22 0.045361 1.000092

23 0.043396 1.00008

24 0.041594 1.000071

25 0.039936 1.000063

26 0.038405 1.000056

27 0.036986 1.00005

28 0.035669 1.000045

29 0.034442 1.00004

30 0.033296 1.000036

31 0.032225 1.000033

32 0.03122 1.00003

33 0.030275 1.000027

34 0.029386 1.000025

35 0.028548 1.000023

36 0.027756 1.000021

37 0.027007 1.000019

38 0.026298 1.000018

39 0.025624 1.000017

40 0.024984 1.000015

41 0.024376 1.000014

42 0.023796 1.000013

43 0.023243 1.000012

44 0.022716 1.000012

45 0.022211 1.000011

46 0.021729 1.00001

47 0.021267 1.00001

48 0.020824 1.000009

49 0.0204 1.000008

50 0.019992 1.000008

51 0.0196 1.000007

52 0.019224 1.000007

53 0.018861 1.000007

54 0.018512 1.000006

55 0.018176 1.000006

56 0.017851 1.000006

57 0.017538 1.000005

15

58 0.017236 1.000005

59 0.016944 1.000005

60 0.016662 1.000005

61 0.016389 1.000004

62 0.016125 1.000004

63 0.015869 1.000004

64 0.015621 1.000004

65 0.015381 1.000004

66 0.015148 1.000003

67 0.014922 1.000003

68 0.014703 1.000003

69 0.01449 1.000003

70 0.014283 1.000003

71 0.014082 1.000003

72 0.013886 1.000003

73 0.013696 1.000003

74 0.013511 1.000002

75 0.013331 1.000002

76 0.013156 1.000002

77 0.012985 1.000002

78 0.012818 1.000002

79 0.012656 1.000002

80 0.012498 1.000002

81 0.012344 1.000002

82 0.012193 1.000002

83 0.012046 1.000002

84 0.011903 1.000002

85 0.011763 1.000002

86 0.011626 1.000002

87 0.011493 1.000002

88 0.011362 1.000001

89 0.011235 1.000001

90 0.01111 1.000001

91 0.010988 1.000001

92 0.010868 1.000001

93 0.010751 1.000001

94 0.010637 1.000001

95 0.010525 1.000001

96 0.010416 1.000001

97 0.010308 1.000001

98 0.010203 1.000001

16

99 0.0101 1.000001

100 0.009999 1.000001

Usando R

An(1)

> for(i in 1:100){print(i/(1+i^2))}

[1] 0.5

[1] 0.4

[1] 0.3

[1] 0.2352941

[1] 0.1923077

[1] 0.1621622

[1] 0.14

[1] 0.1230769

[1] 0.1097561

[1] 0.0990099

[1] 0.09016393 [1] 0.08275862

[1] 0.07647059

[1] 0.07106599

[1] 0.06637168

[1] 0.06225681

[1] 0.05862069

[1] 0.05538462

[1] 0.05248619

[1] 0.04987531

[1] 0.04751131

[1] 0.04536082

[1] 0.04339623

[1] 0.04159445

[1] 0.0399361

[1] 0.03840473

[1] 0.0369863

[1] 0.03566879

[1] 0.03444181

[1] 0.03329634

[1] 0.03222453

[1] 0.03121951

[1] 0.03027523

[1] 0.02938634

[1] 0.02854812

[1] 0.02775636

[1] 0.0270073

[1] 0.02629758

[1] 0.02562418

[1] 0.02498438

17

[1] 0.02437574

[1] 0.02379603

[1] 0.02324324

[1] 0.02271554

[1] 0.02221125

[1] 0.02172886

[1] 0.02126697

[1] 0.0208243

[1] 0.02039967

[1] 0.019992

[1] 0.01960031

[1] 0.01922366

[1] 0.01886121

[1] 0.01851217

[1] 0.01817581

[1] 0.01785145

[1] 0.01753846

[1] 0.01723626

[1] 0.01694428

[1] 0.01666204

[1] 0.01638904

[1] 0.01612484

[1] 0.01586902

[1] 0.01562119

[1] 0.01538097

[1] 0.01514804

[1] 0.01492205

[1] 0.0147027

[1] 0.01448971

[1] 0.0142828

[1] 0.01408171

[1] 0.01388621

[1] 0.01369606

[1] 0.01351105

[1] 0.01333096

[1] 0.01315562

[1] 0.01298482

[1] 0.01281841

[1] 0.0126562

[1] 0.01249805

[1] 0.0123438

[1] 0.01219331

[1] 0.01204644

[1] 0.01190307

[1] 0.01176308

[1] 0.01162634

[1] 0.01149273

[1] 0.01136217

18

[1] 0.01123454

[1] 0.01110974

[1] 0.01098768

[1] 0.01086828

[1] 0.01075145

[1] 0.01063709

[1] 0.01052515

[1] 0.01041554

[1] 0.01030818

[1] 0.01020302

[1] 0.01009998

[1] 0.009999

An(2)

> for(a in 1:100){print((1+1/a)^(1/a^2))}

[1] 2

[1] 1.106682

[1] 1.032481

[1] 1.014044

[1] 1.00732

[1] 1.004291

[1] 1.002729

[1] 1.001842

[1] 1.001302

[1] 1.000954

[1] 1.000719

[1] 1.000556

[1] 1.000439

[1] 1.000352

[1] 1.000287

[1] 1.000237

[1] 1.000198

[1] 1.000167

[1] 1.000142

[1] 1.000122

[1] 1.000105

[1] 1.000092

[1] 1.00008

[1] 1.000071

[1] 1.000063

[1] 1.000056

[1] 1.00005

[1] 1.000045

[1] 1.00004

[1] 1.000036

[1] 1.000033

19

[1] 1.00003

[1] 1.000027

[1] 1.000025

[1] 1.000023

[1] 1.000021

[1] 1.000019

[1] 1.000018

[1] 1.000017

[1] 1.000015

[1] 1.000014

[1] 1.000013

[1] 1.000012

[1] 1.000012

[1] 1.000011

[1] 1.00001

[1] 1.00001

[1] 1.000009

[1] 1.000008

[1] 1.000008

[1] 1.000007

[1] 1.000007

[1] 1.000007

[1] 1.000006

[1] 1.000006

[1] 1.000006

[1] 1.000005

[1] 1.000005

[1] 1.000005

[1] 1.000005

[1] 1.000004

[1] 1.000004

[1] 1.000004

[1] 1.000004

[1] 1.000004

[1] 1.000003

[1] 1.000003

[1] 1.000003

[1] 1.000003

[1] 1.000003

[1] 1.000003

[1] 1.000003

[1] 1.000003

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

20

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000002

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

[1] 1.000001

Gráficas de línea:

plot(a1, type="l", col="blue",ylim=c(0,2))

lines(a2, type="l", lty=2, col="red")

Gráficas de puntos:

plot(a1, type="l", col="blue",ylim=c(0,2))

lines(a2, type="l", lty=2, col="red")

x<-1:100

y<-(1+(1/x))^(1/(x)^2)

plot(x,y)

plot(x,y,type="l")

plot(x,y,type="b")

21

9) Usando inducción matemática, compruebe que:

a)

b)

c)

Solución:

a)

1. ¿Se cumple para n=1?

1(1+1) = 1(2) =2 sí!!!

2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1?

b)


sí!!!


22

c)



10) Mencione 2 paquetes de R usados en actuaría. Explique sus características técnicas y sus

aplicaciones (por lo menos media página para cada uno)

Paquetes de contingencias de vida – paquete para llevar a cabo las matemáticas actuariales en

las contingencias de la vida y los cálculos de matemáticas financieras.

Este paquete y las funciones de este documento se proporcionan tal cual, sin ningún tipo de

garantía respecto a la exactitud de los cálculos. El autor se exime de cualquier responsabilidad

que surja por las eventuales pérdidas debido a la utilización directa o indirecta de este paquete.

Ejemplos:

##financial mathematics example

#calculates monthly installment of a loan of 100,000,

#interest rate 0.05

i=0.05

monthlyInt=(1+i)^(1/12)-1

Capital=100000

23

#Montly installment

R=1/12*Capital/annuity(i=i, n=10,k=12, type = "immediate")

R

balance=numeric(10*12+1)

capitals=numeric(10*12+1)

interests=numeric(10*12+1)

balance[1]=Capital

interests[1]=0

capitals[1]=0

for(i in (2:121)) {

balance[i]=balance[i-1]*(1+monthlyInt)-R

interests[i]=balance[i-1]*monthlyInt

capitals[i]=R-interests[i]

}

loanSummary=data.frame(rate=c(0, rep(R,10*12)),

balance, interests, capitals)

head(loanSummary)

tail(loanSummary)

##actuarial mathematics example

#APV of an annuity

data(soaLt)

soa08Act=with(soaLt, new("actuarialtable",interest=0.06,

x=x,lx=Ix,name="SOA2008"))

#evaluate and life-long annuity for an aged 65

axn(soa08Act, x=65)

Valor acumulativo – Esta función devuelve el valor en el instante n de una serie de pagos

equidistante de 1.

Uso:

accumulatedValue(i, n,m=0, k,type = "immediate")

Argumento:

i Tasa de interés efectiva expresado en forma decimal.

n Numero de termino de pagos.

M Período diferido, donde el valor es cero.

k Frecuencia de pago.

tipo De inmediato o termino de cancelación.

El valor acumulado es el valor futuro de los términos de una anualidad. Su expresión

matemática es

Sn = (1+i)n an

24

Valor: Un valor numérico que representa el valor calculado acumulado.

Advertencias:

La proporción tal cual, sin ninguna garantía con respecto a la exactitud del cálculo.

Renunciamos a cualquier responsabilidad por las eventuales pérdidas derivadas del uso directo

o indirecto del software.

Ejemplo:

#A man wants to save 100,000 to pay for his sons

#education in 10 years time. An education fund requires the investors to

#deposit equal installments annually at the end of each year. If interest of

#0.075 is paid, how much does the man need to save each year in order to

#meet his target?

R=100000/accumulatedValue(i=0.075,n=10)

25

11) Mencione algunos de los modelos actuariales utilizados en seguridad social (por lo menos media

página)

Los Modelos son de dos tipos principales: estocásticos y deterministas. La aproximación clásica

actuarial basada en valores esperados (aproximación determinista) es la usada al trabajar con el

Seguro Social. Esto significa que, dados los parámetros de fondo, el resultado en términos de

funciones actuariales es tomado como únicamente determinado. En un modelo determinista, las

pruebas de sensitividad son las únicas medias de estimar un rango de resultados realistas. Pero la

naturaleza estocástica subyacente de las funciones puede ser apreciada.

Bajo la aproximación estocástica el valor resultante de una función actuarial es usado solo como el

promedio o valor esperado del resultado. Un modelo estocástico es un modelo matemático en el

cual la representación de un fenómeno dado es expresada en términos de probabilidades. El modelo

estocástico es usado para derivar un estimado del valor esperado de una variable aleatoria y un

intervalo de confianza para esta variable. La salida de un modelo estocástico de este modo incluye

un rango amplio de posibles resultados, de los cuales es asociado con la probabilidad de ocurrencia.

Los métodos estocásticos han sido ampliamente aplicados en seguros de vida y generales, pero han

visto solo una aplicación limitada en el campo de pensiones, específicamente con el Seguro Social.

El modelo determinista, por otro lado, es basado en un conjunto dado de datos y suposiciones y

produce un conjunto de salidas. Un modelo determinista es una simplificación del modelo

estocástico en el cual la proporción de ocurrencias de un evento dado estimado por el modelo

estocástico es asumido de que ocurra con probabilidad de uno.

a) métodos actuariales de primas de finanzas

b) métodos actuariales de sistemas de retiro

c) métodos actuariales de supervivencia y mortalidad

d) métodos actuariales en sistemas de financiamiento

e) métodos actuariales en seguro social de Estados Unidos

f) métodos actuariales de Seguro temporal.

g) métodos actuariales de Seguro por incapacidad.

h) Métodos actuariales de seguros de vida

i) métodos actuariales en accidentes laborales.

j) Métodos actuariales en orfandad

k) Métodos actuariales por enfermedad

l) Métodos actuariales por desempleo

m) Métodos actuariales por maternidad

n) Métodos actuariales de paquetes de salud

o) Métodos actuariales de beneficios de reemplazo de salario poen caso de enfermedad o

accidente

26

A. lifecontingencies

El análisis de los seguros de vida envuelve calcular estadísticas relacionadas al

flujo de dinero. Por ejemplo, las primas de las pólizas de seguros es un análisis

de un flujo de dinero cuya probabilidad está basada en la contingencia de vida

del asegurado. Una tabla de vida o tabla de mortalidad es una tabla que muestra

como la mortalidad afecta un sujeto de un cohorte a través de diferentes

edades. Utilizando una perspectiva estadística una tabla de vida permite que

la distribución de probabilidad del futuro de vida de un sujeto de edad x, se

pueda deducir.

La librería “lifecontingencies” permite realizar cálculos demográficos, financieros

y actuariales para modelar seguros de vida de contingencias. Sus funciones son

capaces de determinar el valor esperado y la distribución aleatoria de beneficios

asegurados. Por lo tanto puede ser utilizado para determinar el precio de

nuevas pólizas y para determinar el capital necesario basado en el riesgo. Una

función de la librería es la habilidad de generar muestras de tablas de vida y de

distribuciones aleatorias de seguros de vida.

Dos limitaciones de la librería son que solamente puede manejar tablas de vida en

decrementos sencillos y que no puede modelar contingencias de vida en tiempo

continuo. La certeza de los cálculos realizados por la librería han sido verificados

con ejemplos numéricos del texto "Actuarial Mathematics Schaumbrg" y se

han encontrado exactos con la excepción del cálculo de las anualidades de pago

fraccionadas.

Hasta marzo de 2012, la librería lifecontingencies es la primera dentro de R

para manejar la evaluación de seguros de vida. Esta librería es una alternativa

a los programas comerciales Moses y Prophet que son hasta el momento los

más utilizados en la construcción de modelos de seguros de vida. La librería

lifecontingencies fue creada y es mantenida por Giorgio A. Spedicato, asesor

financiero.

B. 2 actuar

La librería actuar es una que contiene funciones de Matemática Actuarial. La

librería fue creada en 2005 por Vincent Goulet, profesor de ciencias actuariales

de la Universidad de Laval de Canadá. La librería contiene funciones para

utilizar en los campos de teoría de riesgo, distribución de pérdida y teoría de

credibilidad.

En el campo de distribuciones de pérdida la librería tiene capacidad para: momentos

puros y limitados, data de grupos, estimados de distancia mínima, modificaciones

de cobertura(deducibles, limites, inflación, coseguros). La librería

provee funciones d, p, q, y r (densidad, distribución, cuantila y aleatoria

respectivamente) para leyes de probabilidad útiles en la construcción de modelos de

severidad de pérdida.

27

La versión actual de actuar 1.1-3 puede calcular solo un problema de teoría

de riesgo: el cálculo de la distribución del conjunto de total de reclamaciones

de un portafolio de seguros utilizando el modelo clásico colectivo de teoría de

riesgo. La librería ofrece cinco distintos métodos de aproximación de la distribución

y cuatro técnicas distintas para discretizar una variable de pérdida continua.

La capacidad de actuar para teoría de credibilidad consiste de un conjunto de

datos y tres funciones principales. El conjunto de datos es el de Hachemeister

(1975). El conjunto de datos Hachemeister consiste del promedio de reclamaciones

en seguros de automóviles en cinco estas de Estados Unidos entre Julio

de 1970 y junio de 1973 con el número de reclamaciones correspondiente. Las

funciones principales son: simpf para simular data de modelos jerárquicos compuestos,

cm para ajustar modelos de credibilidad jerárquicos lineales, bstraub un

versión más rápida y simple de la función cm para ajustar modelos Buhlmann

y Buhlmann-Straub.

En versiones futuras de actuar se tiene planeado mejorar la velocidad de ejecución

de la librería, y añadir funciones mas avanzadas como capacidad para

trabajar con modelos de dependencia en teoría de riesgo y regresión de modelos

de credibilidad.

Repaso para el examen final de actuaría

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