Repaso: Identificar la gráfica de cada ecuación. - …...identificar el valor de salida. f (-1) =...
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Repaso:
Identificar la
gráfica de
cada ecuación.
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1.2
Funciones y grafícas
Presentación 2
MATE 3002
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Correspondencias entre conjuntos
La idea de una correspondencia:
A cada persona le corresponde una fecha de
nacimiento
Cada libro en la biblioteca le corresponde un
número de páginas
En cada caso existen dos conjuntos, D e I…
Ej. D = personas I = fechas de nacimiento
…y una regla de correspondencia, R, que le asigna a
cada elemento en D un elemento de I .
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Otro ejemplo de una correspondencia
Ejemplo: Dueños de automóviles:
Conjunto A: personas
Conjunto B: tipos de carro
Dominio: el conjunto de todas las personas que
son dueños de al menos un carro.
Rango: Conjunto de todo tipo de automóvil que
le pertenece a alguna persona.
Regla de correspondencia:
a A «es dueño de un auto de marca» b B
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Otro ejemplo de una correspondencia
Sea D el conjunto de toda persona que es padre o
madre
Sea I el conjunto de todas las personas.
Sea la regla de correspondencia R:
x D “es padre o madre de ” y I
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Función
Se define una función, f , desde D a R como
una regla de correspondencia que asigna a cada
elemento x de D exactamente un elemento, y,
de R :
x1 x2
y1
y2
x3
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Concepto de Función
• Una función es una correspondencia entre dos
conjuntos.
• El primer conjunto se llama dominio, y el
segundo conjunto se llama rango, campo de
valores, alcance o imagen.
• Cada elemento del dominio corresponde a
exactamente un elemento del campo de valores.
• Es importante notar que NO cualquier
correspondencia entre dos conjuntos es una
función .
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Determinar si los ejemplos anteriores de
correspondencias representan funciones.
x D “es padre o madre
de ” y I
a A «es dueño de un
auto de marca» b B
A cada persona le
corresponde una fecha
de nacimiento
No es una función.
No es una función
Si es una función
Si es una función
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Ejemplo
Determine la siguiente correspondencia es una función.
a.
6
6
3
3
0
36
9
0
Esta correspondencia es una función porque cada elemento del dominio corresponde a exactamente un elemento del rango o campo de valores.
Nota: La definición de función permite que diferentes elementos del dominio correspondan a un mismo elemento del campo de valores.
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Ejemplo (continuación)
Determine si la siguiente correspondencia es una función.
b.
Helen Mirren
Jennifer Hudson
Leonardo DiCaprio
Jamie Foxx
The Queen
Blood Diamond
Dreamgirls
The Departed
Esta correspondencia NO ES una función ya que un elemento del dominio, (Leonardo DiCaprio) está pareado con más de un elemento del campo de valores (Blood Diamond and The Departed).
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Relación
Cuando la regla de correspondencia entre un dominio
y un rango se describe como un conjunto de pares
ordenados, se conoce como una relación binaria.
Ejemplo: {(9, 5), (9, 5), (2, 4)}
Esta relación NO representa una función ya que el elemento
9 del dominio corresponde a dos valores distintos del campo
de valores.
El dominio es el conjunto formado por la primera coordenada de cada punto: {9, 2}.
El campo de valores es el conjunto formado por la segunda coordenada de cada punto: : {–5, 5, 4}.
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Ejemplo (continuación)
Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.
b. {(–2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, –2)}
ES una función. Ninguno de los pares ordenados tiene la misma coordenada en la primera posición asignada a diferentes coordenadas en la segunda posición.
Dominio: el conjunto de primeras coordenadas {–2, 5, 0, 4}.
Campo de valores: el conjunto de segundas coordenadas: {5, 7, 1, –2}.
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Ejemplo (continuación)
Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.
b. {(–5, 3), (0, 3), (6, 3)}
ES una función. La definición de función permite que más de un elemento del dominio corresponda a un mismo elemento del campo de valores.
Dominio: {–5, 0, 6}.
Campo de valores: {3}.
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Ejemplo gráfico de una relación
Nombre los pares ordenados
de la grafica.
Enumere los miembros del
dominio
D ={1, 4, 5, 7, 13, 14, 15,
19, 20}
Enumere los miembros del
rango.
R ={1, 4, 8, 10, 12, 13}
¿Representa una función?
No, a 19 le corresponden dos
valores en el rango.
{(1,1), (4,8), (5,10), (7,4), (13,10), (14,1), (15,1), (19,10), (19,13), (20,12)}
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Ejemplo matemático de una función
Las ecuaciones se pueden
utilizar para describir
relaciones binarias y
funciones.
Ej. y = ½ x + 1
Algunos pares ordenados
que representan soluciones
de la ecuación son:
x y
-4
x y
-4 -1
x y
-4 -1
x y
-4 -1
-2
x y
-4 -1
-2 0
x y
-4 -1
-2 0
0
x y
-4 -1
-2 0
0 1
x y
-4 -1
-2 0
0 1
2
x y
-4 -1
-2 0
0 1
2 2
¿ y = ½ x + 1 es una función ?
Si, por que a cada valor de x sólo
le corresponde UN valor de y .
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Notación de funciones
Los valores de entrada (miembers del dominio) se sustituyen
por x en la ecuación.
Los valores de salida (miembros del rango) son los valores
resultantes.
Cuando una ecuación representa una función usamos una
notación especial.
f (x) se lee “f de x,” o “f en x,” o “el valor de f en x.”
Por ejemplo: f(x) = ½ x + 1;
Cuando evaluamos una función:
f(4) = ½(4) + 1 = 3
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Ejemplo
a. f (0)
f (0) = 2(0)2 0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
b. f (–7)
f (–7) = 2(–7)2 (–7) + 3 = 2 • 49 + 7 + 3 = 108
Para f(x) = 2x2 x + 3, determinar cada uno de los
siguientes valores.
a. f (0) b. f (–7) c. f (5a) d. f (a – 4)
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Gráficas de funciones
Trazamos las gráficas de funciones igual que
trazamos las gráficas de ecuaciones .
1. Hallamos los pares ordenados (x, y), o (x, f (x))
2. Localizamos los puntos
3. Completamos la gráfica uniendo los puntos con
una curva que sigue el mismo patrón.
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Ejemplo
Trazar la gráfica de f (x) = x2 – 5 .
x
3
2
–1
0
1
2
3
f (x) (x, f (x))
4 (3, 4)
–1 (2, –1)
–4 (–1, –4)
5 (0, 5)
4 (1, 4)
1 (2, 1)
4 (3, 4)
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Ejemplo
Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función
a. f (4) b. f (–1)
a. Localice el valor de 4 sobre el eje horizontal.
b. Mover verticalmente hacia la gráfica de la función.
c. Finalmente, moverse horizontalmente para identificar el valor de salida.
f (4) = 5
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Ejemplo
Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función
b. f (–1)
a. Localice el valor de -1 sobre el eje horizontal.
b. Mover verticalmente hacia la gráfica de la función.
c. Finalmente, moverse horizontalmente para identificar el valor de salida.
f (-1) = - 2.5
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Prueba de la línea vertical
Si es posible dibujar una línea vertical que
cruce una gráfica más de una vez, entonces la
gráfica NO representa una función.
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Ejemplo
Indique cuáles de la siguientes gráficas (a) - (c) (en rojo)
son gráficas de funciones?
Si. No. No.
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Ejemplo (cont.)
Indique cuáles de la siguientes gráficas (d) - (f) (en rojo)
son gráficas de funciones?
No. Si. Si.
En la gráfica (f), (–1, 1)
pertenece a la gráfica,
pero (–1, –2) NO pertenece
a la gráfica.
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Hallar el dominio de una función
Si las entradas y salidas de una función, f , son
números reales y la regla de correspondencia se da con
una fórmula, entonces
• el dominio es el conjunto de todos los números
reales para los cuales la expresión está definida
(produce un número real)
• si al sustituir un valor en la expresión, NO se
produce un número real, decimos que la expresión
NO está definida para ese valor, y el valor NO
pertenece al dominio de la función.
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Ejemplo
Evaluar la función en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función.
a. f (1) b. f (3)
f (x) 1
x 3
a. f (1)
Como f (1) está definido, 1 está en el dominio de f.
b. f (3)
Como división entre 0 NO está definido, f (3) no existe y, 3 NO está en el dominio de f.
f (1) 1
1 3 1
2
f (3) 1
3 31
0
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Ejemplo
Evaluar la función en los valores dados y determinar si
pertenecen al dominio de la función o no.
a. h (2)
Como h (2) NO está definido, 2 no pertenece al dominio de h.
ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7
𝑥 − 2
ℎ 𝟐 =3(𝟐)2 − 𝟐 + 7
2 − 2
=12−2+7
0 =
17
0
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Ejemplo
Describir el dominio de:
Como 2 es el único valor que hace que el
denominador sea igual a cero, 2 es el único número real no pertenece al dominio de h.
Describimos el dominio:
1. Consiste de todos los números reales excepto 2.
2. ℝ − 2
3. −∞, 2 ∪ 2, ∞ (notación de intervalo)
ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7
𝑥 − 2
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Ejemplo
Trace la gráfica de
Identifique el dominio y rango.
Determine si es la gráfica de una función.
𝑦 = 𝑥 − 1
x
3
1
0
1
2
5
10
y (x, y)
NE
NE
NE
0 (1, 0)
1 (2, 1)
2 (5, 2)
3 (10, 3)
La gráfica pasa la prueba de la línea vertical.
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Ejemplo
Trace la gráfica de
Identifique el dominio y rango.
Determine si es la gráfica de una función.
.
Domain = [–4, )
( ) 4f x x
x
6
4
-3
0
5
y (x, y)
NE
0 (-4, 0)
1 (-3, 1)
2 (0, 2)
3 (5, 3)
Range = [0, )