REPASO DE GEOMETRÍA MÉTRICA PLANA 1. Hal lar e l s imétr ico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5).

2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

3. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean: a. Perpendiculares.

b. Paralelos.

c. 3 Formen un ángulo de 60°.

4. Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

x1 = 7 y1 = 4 x2 = 5 y2 = 0 x3 = −1 y3 = 2

A(7, 4) B(5, 0) C(−1, 2)

No válida

5. Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

S i O es el centro de la c ircunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales

6. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Recuerda que se cumple:

En este caso se cumple:

7. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale: a. 90°

b. 0°

c. 45°

Las dos soluciones son vál idas

8. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

9. Calcula x para que el vector ( )xu ,21=�

sea unitario

2

3

4

31

4

11

2

1 222

2

±=→=→=+→=+

= xxxxu�

(las dos soluciones son válidas)

10. ¿Qué ángulo forman los vectores ( ) ( )3,41,3 −=−= vyu

��? ¿Y los vectores

( ) ( )5,11,3 −−=−= wys��

?

( )

( ) ´´06,307́º277´´94,29´52º82º360,

´´94,29´52º8265

1cos

65

1

260

2

2610

2

5)1()1(3

5)1()1(3cos

2222

=−=

→=→=

==⋅

=+−⋅−+

−⋅−+−⋅=

⋅

⋅=

ws

ws

ws

��

��

��

ββ

β

( )

( ) ( )

( ) ´´1,54´33º161´´82,5´26º18º180,

´´82,5´26º1810

3cos

10

3

510

15

3413

3143),(cos

2222

=−=

→=→=

−=

⋅

−=

−+⋅+−

−⋅+⋅−=

⋅

⋅=

vu

vu

vuvu

��

��

����

αα

11. Calcula el producto escalar de ( ) vyu��

4,3= , sabiendo que 4=v�

y el ángulo que forman es de 30º

( )

3102

345º30cos

5434,3 22

=⋅⋅=⋅⋅=⋅→

=+=→=

vuvu

uu

����

��

12. Calcula un vector ortogonal a ( )8,6=u

� y que sea unitario.

13. Calcula x para que los vectores ( ) ( )xvyu ,14,3 ==��

sean: a. Ortogonales

( ) ( )4

3043,14,30 −=→=+=⋅→=⋅ xxxvu

��

b. Paralelos

3

44

1

3=→=→ x

xalesproporcionsonvyu

��

c. Formen un ángulo de 60º

( )

( ) ( )

( )

( ) 2

1

34,21.5

36,9334,2

2

1

12,015

48,0312,0

0119639

2525649636125162494

154322

1

143

43º60cos

22

21

2

2222

2

2222

≠−+

−−=

=−+⋅

−−=

→=++

+=++→+⋅=++⋅

+⋅=+⋅→=+⋅+

+=

válidanox

válidax

xx

xxxxxx

xxx

x

14. Dados los puntos A (2, 1); B (6,3); C(7,1) y D(3, -1) Demuestra que el polígono ABCD es un rectángulo y calcula su perímetro y su área.

( ) ( ) ( )

−

−

=→±=→=→=

−+→

=+

−=→

=+

=+

=+→=

=+→=+→=⋅→⊥

5

3,

5

4

5

3,

5

4:

5

3

5

41

16

251

4

3

1

4

3

1

043

11

04308608,6,:,

2

2

2

2222

22

Soluciones

yxxxx

yx

xy

yx

yx

yxw

yxyxyxuwcumplequeyxwBuscamos

∓

�

���

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 22222 101005202124,(),(

0442,12,4

0442,42,1

;2,1;2,4

;;;

uCDABDAdBAdalturabaseÁrea

BCAB

DCAD

BCADDCAB

BCABDCADBCADDCABlaresperpendicuesconcurrentladoslosy

dosadosparalelosserdebenopuestosladoslosrectángulounesSi

==⋅=−+⋅+=⋅=⋅=⋅=

⊥→=−=−⋅

⊥→=−=⋅−

=−===

⊥⊥==→

15. Los puntos A (-1, -2); B (1,1); C(4,0) son tres coordenadas de un paralelogramo, calcula las coordenadas del cuarto vértice. Si llamamos D al cuarto vértice hay que considerar tres posibliidades: paralelogramo ABCD; paralelogramo ABDC; paralelogramo ACBD

a) ABCD sea paralelogramo. D (a, b) DCAB = (2, 3)=(4-a, -b) a=2; b=-3

b) ABDC sea paralelogramo

D (a, b) CDAB = (2, 3)=(a-4, b) a=6; b=3

c) ACBD sea paralelogramo

D (a, b) DBAC = (5, 2)=(1-a, 1-b) a=-4; b=-1

16. Halla las coordenadas de los puntos medios y del baricentro del triángulo de vértices A (0, 0); B (3,1); C(1,5).

( )

=

++++

=

++

=

++

=

++

2,3

4

3

510,

3

130

2

5,2

1

2

50,

2

10

3,22

51,

2

13

2

1,2

3

2

10,

2

30

G

P

N

M

17. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

B

C

A

D

D (2, -3)

D (6, 3) B

D

A

C

D (-4, -1) C

B

A

D

18. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

19. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).

20. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

21. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A(1,5) y es paralela a la recta s: 2x + y + 2 =0.

22. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

23. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

24. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

25. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r : 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto P(-3,2).

26. Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r : 2 x + y - 12 =0

27. Una recta de ecuación r : x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.

28. Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r : 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

29. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:

30. Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: a.

b.

c.

d.

31. Se tiene el paralelogramo ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Calcular su área.

32. Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my -8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

33. Dado el triángulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.

34. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r : 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

válidas

35. De la recta r se sabe que pasa por el punto A(2,1) y un vector director es (-2, 4). Determina la ecuación de la recta en todas las formas que conozcas.

36. Dada la recta 2x-3y+1=0 escríbela en forma vectorial, paramétrica, contínua y punto pendiente.

37. Dadas las rectas 2x-3y+1=0 ax+(a-1)y-2(a+2)=0, calcual el valor de a para que sean:

a. paralelas

( )( )

+−

≠

=→=+−→−=−→+−

≠−

−=

25

22

1

5

2

2

5

20322312

22

1

1

32aaaaa

aaa

b. perpendiculares

( ) ( ) 303033201320´´ =→=+−→=+−→=−⋅−+⋅→=⋅+⋅ aaaaaaBBAA

38. Determina el valor de m para que las rectas mx+y=12, 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después halla su distancia.

( )

( ) ( )usAdsrd

yxsyxyxs

Ayxsiyxyxr

otralaaciadissucalcualseyelasdeunadepuntouneligeseciadissuCalcularPara

cumpleSemmm

m

15

107

912

189312),(),(

019123

1341

3

434

8,38303634123

4

:tantan

13

4

12

3

1

3

443

1

12

3

1

4

22=

+

+⋅−−⋅==

=+−≡→−=−→+−=−≡

−→=→−=→=−+−→=+−≡

+−

≠−

→−=→=−→+

≠−

=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 5222122

41

0102422841224

4

1

2

2

4

1

2

2

41

22

4,21,2

+−=→−−=−→−−

=−

=−+→+−=−→−−=−−

=−

−

−=

−

−→

+=

−=→

−+=→

xyExplícitaxyPendientePuntoxy

yxGeneralyxyxyx

yxVectorial

ty

txasParamétric

tOXVectorial

( )( )

( ) ( )

( )3

1

3

2

3

2

3

211

3

21

2

1

3

1

2

1

3

1

21

31

2,31,1

1,11013211

2,30132

+=→−=−→−=−→−

=−

−=

−→

+=

+=→

+=→

→=→=+−→=→

=→=+−

xyExplícitaxyPendientePuntoxyyx

yxVectorial

ty

txasParamétric

tOXVectorial

AyyxvalorelxadamosleAPunto

uldireccionavectoryx

�

39. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0). Hallar también el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.

40. Halla el área del paralelogramo ABCD sabiendo que la ecuación del lado AB es x-2y=0, la ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5)

41. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2,3) y forman un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0

( ) ( )

( )

( )

−=

−⋅−→

−⋅−=−≡′→−=→−=→+−=+→+

−−=

−=−≡→=→−=−→−=+→+

−=

→

→+

−±=→

+

−

±=→

+

−±=→

⋅+

−=→

′⋅+

′−=

→

=′=+−≡

−=−≡

17

171

27

13

7

1173434

34

341

27377343434

341

34

341

4

344

34

1

4

31

4

3

1

4

31

4

3

11

º45

:º45

4

30743

2.33,2

espendientessusdeproductoelaresperpendiclsonsoluciónrectasdosLas

xypmmmmm

m

xypmmmmm

m

m

mm

m

m

m

m

m

mm

mmtg

cumplenpendientessusdeángulounformanrectasdosLas

mesyxtrectaladependienteLa

xmyppendientepuntoformaenescribimoslappedidarectaLaP

42. Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0) hallar el punto de la bisectriz del 2º y 4º cuadrante que equidista de ambos puntos

B

C

A

D

( )

( )

( )

( ) ( )( )

2

22

2214

5

752

5

720

21

70203513

,),(

3,131076

3

072

03

sec

0727010302

0,00006203

02

u

DCladoAdCDdalturabaseÁrea

Dyxxx

xy

yx

yx

DCyADladoslosdeciónirtelaesDpuntoEl

yxDCKKKyxDC

CporpasayABaparaleloesDCladoEl

Ayxxxyxyx

yxA

=⋅

=⋅=−+

+⋅−⋅−++

=⋅=⋅=

−→=→−=→

=++

−=→

=+−

=+

→

=+−≡→=→=+−→=+−≡

→

→=→=→=+→=→

=+

=−≡

rectaslasdeóninterseccilaesApuntoEl

( )

( )

( )

º45º1351101

010222

201222022

2,2

1,22

02,

2

31

ángulotgesyxdePendienteLa

yxmyxm

CCCyxm

normalvectoresAB

Mm

→=→−=→−=−+

=−+≡→=−+≡→

−=→=+−⋅+⋅→=++≡→

=

−=

+−+

≡

αα

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )10,10108082010044816

1024

,,tan

,º4º2sec

2222

2222

−→=→=→++−=+−++−→

→+−=+−+−→

=→

−

Pttttttttt

tttt

BPdAPdByAdeequidisquePpuntoslosBuscamos

ttPformaladeescuadranteydeltrizbiladepuntoUn

43. Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6 unidades cuadradas

44. Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) distan dos unidades del punto B(3,1)

( )

( )

029125012

29

12

5:02

12

5

12

5:

12

5125912444

1

324

1

322

1

21322),(

02:12

22

2

2

22

=−−→=−−→=−−−

=→−=−→+−=+

→+

−=→

+

−=→

+

−−−=→=

=−−−→−=+→

yxyxryxr

válidasoluciónmmmmm

m

m

m

m

m

mmrBd

mymxrxmypendientepuntoformaenrectalaEscribemos

45. Halla los puntos de la recta 7x-y-28=0 que distan 5 unidades de la recta 3x-4y-12=0

( )

( )

( )( )

( )7,552055

7,3320552055

20555

100255

43

122874355),(

287,2870287:

22

Pxx

Pxxx

xxxx

sPd

xxPesrdecualquierapuntounxyyxr

→=→−=

−→=→+−=→+−±=

→+−=→+−

=→+

−−−=→=

−→−=→=−−

46. Calcula las coordenadas del punto P situado en la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas

y-2=0, 3y=4x-6

( )

( )

( )

( )22,77142517565

3

16,

3

29

3

29

12

11611612517565

517565

5175655

51713

34

61534

10

215),(),(

0634:02:

15,15015:

2222

−→−=→−=→+−=−

→==→=→−=−

→−±=−

−=−→−

=−→+

−−−=

+

−−→=

=−−=−

−→−=→=−+

Pxxxx

Pxxxxxx

xxx

xxxx

tPdsPd

yxtys

xxPesrdecualquierapuntounxyyxr

B(-3,5) A(2,1)

C(4,m)

h ( ) ( ) ( )),(

411523,

2

16

22

ABladoCdhaltura

uBAdbase

alturabaseÁrea

=

=−+−−==

⋅==

( )

( )

( )3,431235

5

9,4

5

91235

12351235641

3541

2

1

41

35

54

1354401354

1305240544,5

1,2

22

−→−=→−=+

→=→=+

→±=+→=+→=+

⋅

+=

+

−⋅+⋅=→=−+≡

−=→=++⋅→=++≡→

−=≡

Cmm

Cmmmm

m

mmhyxABLado

KKKyxABldireccionaesAB

AAB

47. Las rectas r:3x+4y-5=0 y s:ax+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Calcula a

( ) ( )

( )VÁLIDASOLUCIÓNSÍa

VÁLIDASOLUCIÓNSÍa

aa

aaaaa

a

aa

a

a

a

a

a

a

sen

→=+

+=→=

→=→=

→=−⋅

→=−→++=+

→+

++=→

+

+=→

+

+=→

+⋅+

⋅=

=

−=→=

25

1004;

49576

2872424

49

2840

0247

01687784168978416

49

784168916

49

2834

495

283

5

4

49169

7,4,3

5

4

5

4

5

31cos

5

3

222

2

2

222

2

αα

48. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1,4) B(-3,4) y C(-1,0).

49. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre

la recta x+y+5=0. Halla su área.

B(-3,4) A(1,4)

C(-1,0)

h ( ) ( ) ( )

),(

44413,

2

1

22

ABladoCdhaltura

uBAdbase

alturabaseÁrea

=

=−+−−==

⋅=

( )

( )

2

22

4242

1

201

1101044

404040,4

4,1

uÁrea

hxABladoxABLado

KKKxABldireccionaesAB

AAB

=⋅⋅=

=+

−−=→=−≡→=+−≡

=→=+−→=+−≡→

−=≡

C(0,0)

a r

s: x+y+5=0

( )( )

2

2

222

22

2

3253

375

3

2515

6

5015

2

2

5

3

506

2

3

50

3

50

3

50

6

100

2

25

4

3

2

25

422

5

,

2

5

2

500,0,0

uapotemaPerímetro

Área

ladorr

rrr

rr

rectángulotriángulounformanapotemalayradiodelmitadlaradioel

tacircunscrinciacircunfereladeradioaligualesladoelregularhexágonoelEn

sdaapotema

====

⋅⋅

=⋅

=

=→=→==

→=→=−→

+

=

→

→

=++

==

50. Determinar las coordenadas de los vértices B y C de un cuadrado que tiene por diagonal AC donde A(1,2) y C(9,6).

51. Las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD son A(0,0), B(7,3), C(8,12) y D(3,16).

a. Averigua de forma razonada y sin recurrir a un dibujo si se trata o no de un paralelogramo.

b. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los cuatro lados. c. Averigua si el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios anteriores es o no

un paralelogramo. a) Si fuera un paralelogramo, los vectores AB y DC tendrían la misma dirección y el mismo módulo. Por lo tanto, tenemos dos maneras de comprobar si es un paralelogramo: AB = (7,3) – (0,0) = (7,3) y DC = (8,12) – (3,16) = (5,-4). Si tuvieran la misma dirección serían proporcionales, es decir (7,3) = t (5,-4), por lo que t debería valer simultáneamente 7/5 y –3/4. Como es obvio que estas cantidades no son iguales, estos vectores no son proporcionales (linealmente dependientes) por lo que no son paralelos. La otra forma de comprobarlo es determinando sus módulos. Si fuera un paralelogramo d(A,B) = d(D,C).

( ) ( ) ( ) ( ) 41161238),(;580307),(2222

=−+−==−+−= CDdBAd Como las distancias no coinciden no es un paralelogramo. b) El punto medio de un segmento se obtiene hallando la media aritmética de las coordenadas de sus extremos:

c) Aplicamos el primer razonamiento empleado en el apartado a):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

+==

=

+==

=

+==

=

+==

8,2

3

2

0,016,3;14,

2

11

2

16,312,8

;2

15,

2

15

2

12,83,7;

2

3,

2

7

2

3,70,0

DACD

BCAB

MSMR

MQMP

B

C

A

D ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

)8,3(83

)0,7(07021100105505

02116112110456196

021214821410

214

021810

0142

:Re

021810042162202

12216220280

36128118441248

),(),(),(

01420112816

361281184412

6921

),(),(

22

22

2222

2222

22

222222

222

2222

2222

Dyx

Byxxxxx

xxxxx

xxxx

xy

yyxx

yx

ecuacionesdoslasformanquesistemaelsolviendo

yyxxyyxx

yyxx

yyxxyyxx

BCdBAdCAd

rectángulotriánguloundehipotenusalaesdiagonalladelongitudLa

yxyx

yyxxyyxx

yxyx

BCdBAdcuadradoserPor

→=→=

→=→=→=+−→=+−

=++−−+−+

→

=+−−−+−

−=→

=+−+−

=−+

=+−+−→=+−+−

→+−+−=

+−++−++−++−=+

→+=

=−+→=−+

+−++−=+−++−

−+−=−+−

→=→

Resulta que PQ = SR, luego además de ser paralelos son iguales, por lo que QR y PS también deben ser iguales. Es decir, se trata de un paralelogramo.

( )

( )6,48,2

314,

2

11

;6,42

3,

2

7

2

15,

2

15

=

−

=

=

−

=

SR

PQ

52. La recta r tiene como ecuación implícita 3x+2y+10=0 y la recta s tiene como ecuaciones

paramétricas

+=

−=

ty

tx

6

35. Escribe las ecuaciones de r en formas explícita, punto-pendiente,

continua y paramétricas y las ecuaciones de s en forma continua, implícita, explícita y punto-pendiente.

Empecemos con la recta r. Para pasar a forma explícita basta con despejar la y, por lo que queda:

Forma explícita: 52

3−−= xy

De esta ecuación deducimos que la pendiente m=-3/2. Para hallar la ecuación en la forma punto-pendiente necesitamos las coordenadas de un punto. Si en la ecuación anterior le damos a x el valor 2, resulta y=-8, luego la recta pasa por el punto P(2,-8) y por lo tanto:

Forma punto-pendiente: ( )22

38 −−=+ xy

El vector director de r se obtiene a partir de los coeficientes de x y de y en la ecuación implícita: u = (2,-3). Como conocemos las coordenadas de un punto de la recta, tenemos

Forma continua: 3

8

2

2

−

+=

− yx

Para concluir ponemos la forma paramétrica:

−−=

+=

ty

tx

38

22

Vamos ahora con la recta s. Si en las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e

igualamos, obtenemos la forma continua: 1

6

3

5 −=

−

−=

yxt

Quitando denominadores y pasando todo a un miembro tenemos la ecuación implícita: 02331835 =−+⇒+−=− yxyx

Despejando la y obtenemos la forma explícita:

A partir de la forma continua deducimos la forma punto-pendiente:

53. Halla las coordenadas del simétrico del punto P(0,6) respecto de la recta r: y=2x-3. El proceso que vamos a seguir es el siguiente: a) Hallamos la perpendicular a r que pasa por P. Como r está en forma explícita tenemos su pendiente m=2. Cualquier recta perpendicular a r tendrá de pendiente –1/2, luego la ecuación del

haz de rectas perpendiculares a r es nxy +−=2

1. Como queremos que pase por el punto P, la

ecuación anterior debe ser cierta para x=0 e y=6, por lo tanto: 6=0+n, n=6 y la recta buscada es

62

1+−= xy .

b) Ahora hallamos el punto de corte entre esta recta y r:

⇒

=+−=⇒=⇒=⇒+−=−⇒+−=−⇒+−=

−=

5

21,

5

18

5

216

5

9

5

1818512646

2

132

62

1

32

Qyxxxxxxxy

xy

c) Ahora calculamos el punto P’, pedido por el problema, teniendo en cuenta que Q debe ser el punto medio del segmento PP’: P’=(x,y), luego

3

23

3

1+−= xy

( )53

16 −−=− xy

( ) ( )

⇒

=⇒=+⇒+

=

=⇒=⇒

+=

5

12,

5

36'

5

12

5

426

2

6

5

215

36

25

18

2

,6,0

5

21,

5

18P

yyy

xx

yx

54. Un rombo tiene la diagonal menor de la misma longitud que sus lados y sus extremos son los puntos A(3,1) y C(7,7). Contesta a las siguientes cuestiones razonando las respuestas:

a. ¿Cuánto valen los ángulos del rombo? b. ¿Cuánto vale el perímetro del rombo? c. ¿Cuánto mide la diagonal mayor? d. Calcula las coordenadas de los otros dos vértices.

a) Si la diagonal menor es igual a los lados del rombo, esta diagonal divide al rombo en dos triángulos equiláteros, por lo que el ángulo menor del rombo será de 60º y el mayor de 120º. b) El perímetro es la suma de las longitudes de los cuatro lados. Si los lados miden lo mismo que la diagonal menor, bastará con hallar la longitud de esta diagonal y multiplicar el resultado por 4:

( ) ( ) 5245236161737),(22

==+=−+−== perímetroCAddiagonal

c) La diagonal mayor es el doble de la altura de un triángulo equilátero de lado 52 . Por el

teorema de Pitágoras sabemos que la altura de cualquier triángulo equilátero es 2

3lh = , siendo l

el lado del triángulo, así pues como la diagonal mayor es el doble de esa altura, tenemos:

1562

1562

2

156

2

352==⇒== mayordiagonalh

d) Hay varias maneras de resolver la última parte. Nosotros vamos a seguir el siguiente procedimiento: En primer lugar hallamos la ecuación de la diagonal mayor, porque los puntos buscados deben estar en esa recta. Esa diagonal no es otra que la mediatriz del segmento AC. La mediatriz también se puede calcular de varias maneras. Nosotros usaremos la propiedad d(P,A) = d(P,C):

( ) ( ) ( ) ( )

02232088128

491449141296

7713

2222

2222

=−+⇔=−+

+−++−=+−++−

−+−=−+−

yxyx

yyxxyyxx

yxyx

En segundo lugar hallamos las coordenadas del punto medio, M, de AC: En tercer lugar hallamos la ecuación de la circunferencia de centro M y la altura del triángulo equilátero mitad del rombo: En cuarto lugar hallamos los puntos de corte de esta circunferencia con la mediatriz (que es la diagonal mayor). Las soluciones serán las coordenadas de los puntos

buscados:

Por lo tanto, las soluciones son:

( ) ( ) ( )

+=+−

=⇒−

−=−−

=⇒+=−±=

⇒=+−⇒=+−⇒=−−++−

⇒=−−++−

⇒=+−+

−

⇒=−+

−

−⇒

−=⇒

=−+

=−+−

3352

361222324

3352

361222324

4164

04805210413092324972144

02384

97214439168

2

312

39452

322

2

322

02232

2

15645

2222

22

2

2

2

2

2

22

x

xy

yyyyyyyy

xyyy

xyy

yyy

x

yx

yx

( ) ( )324,335324,335 −+=+−= DB

( ) ( )2

22

2

15645

=−+− yx

( ) ( ) ( )4,52

7,71,3=

+=M

55. Con los datos del problema 53, halla la ecuación de la circunferencia que pasa por P y es tangente a la recta r, de forma que el segmento que une P con el punto de tangencia es un diámetro. Razona la respuesta.

Podemos aprovechar los datos del problema anterior. El centro de la circunferencia será el punto medio de los puntos P y Q del problema anterior, es decir: El radio de la circunferencia será la mitad de de la distancia de P a r. Si ponemos r en forma implícita, tenemos: 2x-y-3=0 y por tanto:

52

9

122

3602

2

),(

22=

+

−−⋅==

rPdrad La ecuación de la circunferencia

56. Calcula el área del triángulo de vértices A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3). Calcula también las

coordenadas del baricentro del triángulo. Razona las respuestas. El área de un triángulo es igual a la base por la altura dividido entre 2. Si llamamos r a la recta que pasa por A y B, la base es la distancia entre A y B y la altura es la distancia entre C y r. Así pues:

( ) ( ) 534491125),(22

=+=++−−== BAdbase La recta que pasa por A y B tiene como vector director AB = (-5-2,1+1) = (-7,2) y como vector normal n = (2,7). Por lo tanto, el haz de rectas paralelas a r es: 2x + 7y + C = 0. Como queremos que pase por A tenemos 4 – 7 + C = 0 de donde C = 3. Es decir, r tiene como ecuación 2x + 7y + 3 = 0.

122

53

2453

53

24

72

33702),(

22===

+

+⋅+⋅== árearCdaltura

Por su parte, el baricentro de un triángulo (punto de corte de las medianas) se obtiene como la media aritmética de las coordenadas de los vértices:

( ) ( )1,13

311,

3

052−=

++−+−+=G

57. Halla las ecuaciones de los lados, las coordenadas de los vértices y las coordenadas del

baricentro de un triángulo cuyos lados son paralelos a los lados del triángulo del ejercicio anterior y pasan por sus vértices (ver figura adjunta). Razona las respuestas.

En este ejercicio hemos de calcular las ecuaciones de los lados del triángulo del ejercicio anterior. La ecuación del lado AB ya la hemos calculado, así que tendremos que calcular las ecuaciones de los lados AC y BC. Después habrá que calcular las ecuaciones de las paralelas a esas tres rectas que pasen por los puntos C, B y A respectivamente. Después habrá que calcular los puntos de corte de estas tres nuevas rectas y tendremos los vértices A’, B’ y C’ del nuevo triángulo. Por último hallaremos las coordenadas del baricentro del nuevo triángulo y comprobaremos que son las mismas que las del baricentro del triángulo ABC.

La ecuación de la recta AB es 2x + 7y + 3 = 0.

20

81

10

51

5

922

=

−+

− yx

( )

=

+

=10

51,

5

9

2

5

21,

5

186,0

C

Calculamos ahora la ecuación de la recta AC: El vector director de esta recta es AC = (-2,4), por lo que el vector normal es n = (4,2). La ecuación del haz de rectas paralelas a AC es 4x + 2y + C = 0. Imponiendo la condición de que pase por el punto C resulta: 6 + C = 0, de donde C = -6 y la recta buscada es 4x + 2y – 6 = 0, que simplificando queda: 2x + y – 3 = 0. Hallamos ahora la recta BC: Vector director: BC = (5,2); vector normal (2,-5). Haz de rectas paralelas a BC: 2x – 5y + C = 0 e imponiendo que pase por C resulta –15 + C = 0, de donde C = 15 y la recta buscada es 2x – 5y + 15 = 0. Recta paralela a AB que pasa por C: (r) 2x + 7y + C = 0, imponiendo que pase por C tenemos: 21 + C = 0, de donde C = -21 y la recta buscada es 2x + 7y – 21 = 0. Recta paralela a AC que pasa por B: (s) 2x + y + C = 0, imponiendo que pase por B tenemos: -10 + 1 + C = 0, de donde C = 9 y la recta buscada es 2x + y + 9 = 0. Recta paralela a BC que pasa por A: (t) 2x – 5y + C =0, imponiendo que pase por A tenemos: 4 + 5 + C = 0, de donde C = -9 y la recta buscada es 2x – 5y – 9 = 0. Para hallar los vértices del nuevo triángulo tenemos que resolver tres sistemas de ecuaciones eligiendo las ecuaciones anteriores dedos en dos: Hallamos el vértice A’: para ello usamos las rectas r y s:

7142530692

2172−=

⇒−=⇒=⇒=⇒−=+

=+xxyy

yx

yx Así pues: A’ = (-7,5)

Hallamos el vértice B’: para ello usamos las rectas r y t:

=⇒=⇒=⇒=⇒=−

=+714211212

952

2172xxyy

yx

yx Así pues: B’ = (7,1)

Hallamos el vértice C’: para ello usamos las rectas s y t:

−=⇒−=⇒−=⇒−=⇒=−

−=+3623186

952

92xxyy

yx

yx Así pues: C’ = (-3,-3)

Por último, hallamos el baricentro del triángulo A’B’C’:

( )1,13

315,

3

377' −=

−+−+−=G

que, como podemos ver, coincide con el baricentro del triángulo ABC.

58. Halla la ecuación de la bisectriz interior correspondiente al vértice A del triángulo del ejercicio 4. Razona la respuesta. Explica a continuación qué cálculos sería necesario hacer para hallar la ecuación de la circunferencia inscrita a ese triángulo.

Tenemos que hallar las bisectrices de los ángulos formados por las rectas AB y AC del ejercicio anterior y elegir la interna. Para saber cuál de las dos es basta con fijarse en el dibujo. Necesitamos la que tenga pendiente negativa. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas, así pues:

14

32

494

372),(),(

+

−+=

+

++⇔=

yxyxtPdsPd

Al quitar los valores absolutos obtendremos las dos bisectrices:

b1: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 053353535753252

325337255

32

53

372

=++−+−⇔

⇔−+=++⇔−+

=++

yx

yxyxyxyx

b2: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 053353535753252

325337255

32

53

372

=−++++⇔

⇔−+−=++⇔−+

−=++

yx

yxyxyxyx

El vector director de la primera bisectriz es ( ) ( )09'10,37'853252,5753 −−≈−− . La pendiente de una recta se obtiene dividiendo la segunda coordenada del vector director por la primera. Como en este caso las dos son negativas resulta que la pendiente es positiva, por lo que no es ésta la bisectriz que estamos buscando, sino la segunda cuya ecuación es ( ) ( ) ( ) 053353535753252 =−++++ yx

Para finalizar, explicaremos brevemente qué cálculos serían necesarios para hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC: Para hallar la ecuación de una circunferencia se necesitan las coordenadas del centro y el radio. El centro de la circunferencia inscrita (o incentro) es el punto en el que se cortan las bisectrices. Ya hemos calculado una de ellas, por lo que tendríamos que repetir el proceso anterior en el vértice B o en el C (basta con

hacerlo en uno de ellos). Una vez que tengamos dos bisectrices, resolvemos el sistema de ecuaciones que determinan y la solución nos da las coordenadas del incentro. Para hallar el radio tenemos en cuenta que el incentro equidista de los tres lados del triángulo, luego basta con calcular la distancia del incentro a cualquiera de los tres lados del triángulo. Con las coordenadas del incentro y el radio podemos escribir ya la ecuación de la circunferencia inscrita en el mismo.