Curso de Econometría de Series de Tiempo

Facultad de Economía

Universidad Nacional Autónoma de México

Profesor: Juan Francisco Islas

Adjunto: Miguel Heras

Ciudad Universitaria, Agosto 2012

Repaso de conceptosestadísticos básicos

http://www.pearsoneducacion.net/hanke/hankedata_set.zip* Material de apoyo para desarrollar el capítulo 2 de Hanke, et. al. 8ª. ed.

Las bases de datos están en:

Estadística Descriptiva

clearinput edad23384225605550423235endsummarizesummarize, detailgenerate desv=edad-r(mean) generate desv2=desv*desvformat desv %9.1fformat desv2 %9.2flist, sum mean

n

XX

n

ii∑

== 1

( )

11

2

2

−

−=∑=

n

XXS

n

ii

Tendencia Central

Dispersión

Media aritmética

Varianza

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 15-18, Tabla 2.1, Ejemplo 2.1 y Fig. 2.1

010

2030

4050

% o

f Equ

ity

Presentación de la información numérica

Resumen de inspección simple

Diagrama de caja y brazos

insheet using "C:\HankeDataSet\Ascii Data Sets\Ch02\Tab2-3.txt", clear tabinspectgraph box ofequitysum, dsort ofequitylist

Rango intercuartil981713 =−=−QQ

( )( ) 5.55.1,max 131min −=−−= QQQXLi

( )( ) 5.305.1,min 133max =−+= QQQXLsValor más alto dentro del límite superior = 28

Valor más bajo dentro del límite inferior = 0

Valores atípicos

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 19-21, Tabla 2.3

12

31

61

54

37

7

13

1 1 1

020

4060

Frec

uenc

ia a

bsol

uta

0 10 20 30 40 50 60% del Capital

5.7

14.8

29.2

25.8

17.7

3.3

0.51.4

0.5 0.5 0.5

010

2030

Frec

uenc

ia re

lativ

a

0 10 20 30 40 50 60% del Capital

Presentación de la información numérica

Histogramas

insheet using "C:\HankeDataSet\Ascii Data Sets\Ch02\Tab2-3.txt", clear tab

histogram ofequity, freq addlabopts(mlabcolor(blue)) xlabel(0(10)60) width(5) gap(0) start(-2.5) ytitle("Frecuencia absoluta") xtitle("% del Capital") normal

histogram ofequity, percent addlabopts(mlabcolor(blue) yvarformat(%4.1f)) xlabel(0(10)60) width(5) gap(0) start(-2.5) ytitle("Frecuencia relativa") xtitle("% del Capital") normal

209=n

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 19-21, Fig. 2.2 y 2.4

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

500000

550000

600000

650000

700000

750000

Uni

dade

s m

onet

aria

s

Ene

-96

Feb-

96M

ar-9

6A

br-9

6M

ay-9

6Ju

n-96

Jul-9

6A

go-9

6S

ep-9

6O

ct-9

6N

ov-9

6D

ic-9

6E

ne-9

7Fe

b-97

Mar

-97

Abr

-97

May

-97

Jun-

97Ju

l-97

Ago

-97

Sep

-97

Oct

-97

Nov

-97

Dic

-97

Ene

-98

Feb-

98M

ar-9

8A

br-9

8M

ay-9

8Ju

n-98

Jul-9

8A

go-9

8S

ep-9

8O

ct-9

8N

ov-9

8D

ic-9

8E

ne-9

9Fe

b-99

Mar

-99

Abr

-99

May

-99

Jun-

99Ju

l-99

Ago

-99

Sep

-99

Oct

-99

Nov

-99

Dic

-99

Mes

Ventas mensualesPresentación de la información numérica

gen t=_ntsset tlabel define t 1 "Ene-96" 2 "Feb-96" 3 "Mar-96" 4 "Abr-96" 5 "May-96" 6 "Jun-96" 7 "Jul-96" 8 "Ago-96" 9 "Sep-96" 10 "Oct-96" 11 "Nov-96" 12 "Dic-96" 13 "Ene-97" 14 "Feb-97" 15 "Mar-97" 16 "Abr-97" 17 "May-97" 18 "Jun-97" 19 "Jul-97" 20 "Ago-97" 21 "Sep-97" 22 "Oct-97" 23 "Nov-97" 24 "Dic-97" 25 "Ene-98" 26 "Feb-98" 27 "Mar-98" 28 "Abr-98" 29 "May-98" 30 "Jun-98" 31 "Jul-98" 32 "Ago-98" 33 "Sep-98" 34 "Oct-98" 35 "Nov-98" 36 "Dic-98" 37 "Ene-99" 38 "Feb-99" 39 "Mar-99" 40 "Abr-99" 41 "May-99" 42 "Jun-99" 43 "Jul-99" 44 "Ago-99" 45 "Sep-99" 46 "Oct-99" 47 "Nov-99" 48 "Dic-99"label values t tgraph twoway scatter ventas t, c(l) xlabel(1(1)48,valuelabel grid labsize(vsmall) angle(vertical)) ylabel(150000(50000)750000, labsize(vsmall) angle(horizontal)) title("Ventas mensuales") xtitle("Mes") ytitle("Unidades monetarias")

clearinput ventas425075 315305 432101 357191 347874 435529 299403 296505 426701 329722 281783 166391629404 263467 468612 313221 444404 386986 414314 253493 484365 305989 315407 182784

655748 270483 429480 260458 528210 379856 472058 254516 551354 335826 320408 276901455136 247570 732005 357107 453156 320103 451779 249482 744583 421186 397367 269096end

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. pág. 21, Fig. 2.5

Estadística Inferencial. Distribuciones de Probabilidad

[ ] ( )∑=X

XXPXE

Valor esperadoDada una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta , el valor esperado de es

XX

[ ] 35.33.0515.0425.032.021.01 =×+×+×+×+×=XE

clearinput x p1 .102 .203 .254 .155 .30endlistsum x [iw=p]

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. pág. 22-23, Ejemplo 2.2 y Tabla 2.4

0.6634204

0.9427553

0.9942118 0.9996282 0.9999846 0.9999996 1.0000000 1.0000000 1.00000000

.2.4

.6.8

1P

roba

bilid

ad

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Estadística Inferencial. Distribuciones de Probabilidad

[ ] ( ) xnx ppxn

xXP −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== 1

Distribución binomial

Para una variable aleatoria con probabilidad de éxito , número de ensayos y número específico de éxitos ,la función de probabilidad es

X

nx ,,1,0 L=para

pxn

[ ] ( ) 080 05.0105.008

0 −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==XP

[ ] ( ) .6634==−

== 095.095.0!08!0

!80 88XP

Si la probabilidad de defecto en un artículo es del 5%, la probabilidad de obtener cero artículos defectuosos de 8 seleccionados es

clearset obs 9range x 0 8generate p=binomial(8,x,0.05)listgr bar p, ov(x) bar(1,bcol(gs13)) blab(total,format(%9.7f) col(red) s(vsmall)) yt("Probabilidad")

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. pág. 23-24, Ejemplo 2.3

-0.5 10.0

5.1

.15

.2.2

5.3

.35

.4f(Z

)

-4 -2 0 2 4Z

twoway (function y=normalden(x,0,1), color(white) range(-4 0) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), color(white) range(0 4) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), color(white) lcolor(black) range(-4 4)), legend(off) yscale(off) xlabel(none) xline(0) xtitle(" ")

twoway (function y=normalden(x,10,2), range(3 10) color(blue) recast(area)) (function y=normalden(x,10,2), range(10 17) color(black) recast(area)) (function y=normalden(x,10,2), range(3 9) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,10,2), range(12 17) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,10,2), lcolor(black) range(3 17)), legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("X") ylabel(0(0.05).25) ytitle("f(X)") xlabel(9 10 12) ylabel(0(0.05).4)

twoway (function y=normalden(x,0,1), range(-3.5 0) color(blue) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(0 3.5) color(black) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(-3.5 -0.5) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(1 3.5) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), lcolor(black) range(-3.5 3.5)) , legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("Z") text(0 -0.5 "-0.5",place(s)) text(0 1 "1",place(s)) ylabel(0(0.05).4) ytitle("f(Z)")

Distribución Normal

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 24-25 y figuras 2.6 y 2.7

µσ 0=µ

1=σ

( )2,~ σµNX ( )1,0~ NZ Punto de inflexión

Moda=Media=Mediana

0.0

5.1

.15

.2.2

5.3

.35

.4f(X

)

9 10 12X

10=µ2=σ

( )4,10~ NX

σµ−

=XZ

Estandarización

-1.33 1.330.0

5.1

.15

.2.2

5.3

.35

.4f(Z

)

-4 -2 0 2 4Zdisplay normal(1.33)-normal(-1.33)

twoway (function y=normalden(x,0,1), range(-3.5 0) color(yellow) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(0 3.5) color(green) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(-3.5 -1.33) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(1.33 3.5) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), lcolor(green) range(-3.5 3.5)) , legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("Z") text(0 -1.33 "-1.33",place(s)) text(0 1.33 "1.33",place(s)) ylabel(0(0.05).4) ytitle("f(Z)")

Distribución de la Media Muestral

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 26-27, ejemplo 2.5 y figura 2.9

x

[ ] αµµ −=+≤≤− 122 xPx

peso

peso medio

ασµµ

σµ

σµµ

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

≤−

≤−− 122

nn

x

n

P

estandarización

α−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤≤− 1

100152

10015

2 ZP

α−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤≤− 1

1520

1520 ZP

[ ] [ ] [ ] α−=−≤−≤=≤≤− 133.133.133.133.1 ZPZPZP

sustitución

simplificación

8164.00918.09082.01 =−=−α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

Nx2

,~ σµ

15=σ lbs.

2211 αα −=−

1836.010918.0211 −=×−=−α

8164.01 =−α

0.1

.2.3

.4f(t

),f(z

)

-3 -2 -1 0 1 2 3t,z

t 2 g.l. N(0,1)

0.1

.2.3

.4f(t

),f(z

)

-3 -2 -1 0 1 2 3t,z

t 8 g.l. N(0,1)

0.1

.2.3

.4f(t

),f(z

)

-3 -2 -1 0 1 2 3t,z

t 30 g.l. N(0,1)

0.1

.2.3

.4f(t

),f(z

)

-3 -2 -1 0 1 2 3t,z

t 60 g.l. N(0,1)

Distribuciones N(0,1) y t de Student n-kDistribuciones de Muestreo

Fuente: Dennis Wackerly et. al. (2002) Estadística Matemática con Aplicaciones 6ª.ed. págs. 792-793, Tablas 4 y 5

Distribuciones de Muestreo* Funciones de densidad de probabilidad Normal Estándar z y t de Studentclearset obs 1000range x -3 3gen double fxt=tden(2,x)gen double fxz=normalden(x)label var fxz "N(0,1)"label var fxt "t 2 g.l."graph twoway (line fxt x) (line fxz x), xlabel(-3(1)3,grid) ytitle("f(t),f(z)") xtitle("t,z") saving("C:\DATA\g1.gph",replace)clearset obs 1000range x -3 3gen double fxt=tden(8,x)gen double fxz=normalden(x)label var fxz "N(0,1)"label var fxt "t 8 g.l."graph twoway (line fxt x) (line fxz x), xlabel(-3(1)3,grid) ytitle("f(t),f(z)") xtitle("t,z") saving("C:\DATA\g2.gph",replace)clearset obs 1000range x -3 3gen double fxt=tden(30,x)gen double fxz=normalden(x)label var fxz "N(0,1)"label var fxt "t 30 g.l."graph twoway (line fxt x) (line fxz x), xlabel(-3(1)3,grid) ytitle("f(t),f(z)") xtitle("t,z") saving("C:\DATA\g3.gph",replace)clearset obs 1000range x -3 3gen double fxt=tden(60,x)gen double fxz=normalden(x)label var fxz "N(0,1)"label var fxt "t 60 g.l."graph twoway (line fxt x) (line fxz x), xlabel(-3(1)3,grid) ytitle("f(t),f(z)") xtitle("t,z") saving("C:\DATA\g4.gph",replace)graph combine "C:\DATA\g1.gph" "C:\DATA\g2.gph" "C:\DATA\g3.gph" "C:\DATA\g4.gph", saving("C:\DATA\g5.gph",replace) title("Distribuciones N(0,1) y t de Student n-k")

-2.179 2.1790.0

5.1

.15

.2.2

5.3

.35

.4f(t

)

-3.5 0 3.5t

Distribución t de Student

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. pág. 27

twoway (function y=tden(12,x), range(-3.5 0) color(yellow) recast(area)) (function y=tden(12,x), range(0 3.5) color(green) recast(area)) (function y=tden(12,x), range(-3.5 -2.179) color(white) recast(area)) (function y=tden(12,x), range(2.179 3.5) color(white) recast(area)) (function y=tden(12,x), lcolor(green) range(-3.5 3.5)) , legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("t") text(0 -2.179 "-2.179",place(s)) text(0 2.179 "2.179",place(s)) xlabel(-3.5 0 3.5) ylabel(0(0.05).4) ytitle("f(t)")

025.02=

α025.02=

α

95.01 =−α

12tg.l.

-2.145 2.1450.0

5.1

.15

.2.2

5.3

.35

.4f(t

)

-3.5 0 2.24 3.5t

Distribución de la Media Muestral (σ desconocida)

30=µ

15=n

9.35=x

2.10=s

días

quejas

días

días

1~ −−

nt

ns

x µ

24.2

152.10309.35

=−

=−

=

ns

xtcalcµ

twoway (function y=tden(14,x), range(-3.5 0) color(yellow) recast(area)) (function y=tden(14,x), range(0 3.5) color(green) recast(area)) (function y=tden(14,x), range(-3.5 -2.145) color(white) recast(area)) (function y=tden(14,x), range(2.145 3.5) color(white) recast(area)) (function y=tden(14,x), lcolor(green) range(-3.5 3.5)) , legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("t") text(0 -2.145 "-2.145",place(s) size(vsmall)) text(0 2.145 "2.145",place(s) size(vsmall)) xlabel(-3.5 0 2.24 3.5) ylabel(0(0.05).4) ytitle("f(t)")

14ttcalc >30<µ 30>µ

30=µ

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 27-28, ejemplo 2.6

0.2

.4.6

.8f(Z

)

22.6 23.5 24.4Z

Inferencia: Estimación

500=n5.23=x4.10=s

Estimación puntual

millas

millas

5.23ˆ == xµ

αµ αα −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+≤≤−

−1

21

2 nszx

nszxP

display invnormal(0.025)display invnormal(0.975)twoway (function y=normalden(x,23.5,.46510214), range(21 23.5) color(yellow) recast(area)) (function y=normalden(x,23.5,.46510214), range(23.5 26) color(green) recast(area)) (function y=normalden(x,23.5,.46510214), range(21 22.6) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,23.5,.46510214), range(24.4 26) color(white) recast(area)) (function y=normalden(x,23.5,.46510214), lcolor(green) range(21 26)), legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("Z") xlabel(22.6 23.5 24.4) ytitle("f(Z)")

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. pág. 29, ejemplo 2.7

Estimación por intervalo

consumidores

Centro comercial Northgate

millas

95.0500

4.1096.15.23500

4.1096.15.23 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +≤≤− µP

[ ] 95.04.246.22 =≤≤ µP

( ) ( ) αµµµµµ αα −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+≤≤−

−1ˆˆˆˆ

21

2

sezsezP

0.1

.2.3

.4f(Z

)

-1.645 0Z

Inferencia: Prueba de Hipótesis

twoway (function y=normalden(x,50,.5), range(48 49.18) color(green) recast(area)) (function y=normalden(x,50,.5), lcolor(green) range(48 52)), legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("X") xlabel(49.18 50) ytitle("f(X)") xline(49.18)display invnormal(0.05)twoway (function y=normalden(x,0,1), range(-3.5 -1.6448536) color(blue) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), lcolor(blue) range(-3.5 3.5)) , legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("Z") xlabel(-1.645 0) ytitle("f(Z)") xline(-1.645)

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. pág. 30, ejemplo 2.8 y fig. 2.10

0.2

.4.6

.8f(X

)

49.18 50X

0HRR 0HRNR

0HRR 0HRNR

05.0=α

95.01 =−α

n

XZ σµ−

=

nZX σµ +=

( )1005645.150 −+=X

18.49=X

6.49=X

Distribución de X

Distribución de Z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

Nx2

,~ σµ

( )1,0~ NZ

Si

8.0

1005

506.49−=

−=cZ

6.48=XSi

8.2

1005

506.48−=

−=cZ

0HNo rechazar

0HRechazar

[ ] [ ] 21.08.0 =−<=< zPZzP c

[ ] [ ] 0026.08.2 =−<=< zPZzP c

Valor p

Valor p

50:0 =µH50: <µaH

lbs.

lbs.

RR de una cola

0.2

.4.6

.8f(X

)

48.6 50 51.4X

Inferencia: Prueba de Hipótesis y Valor p

display normal(-2.8)display 1-normal(2.8)display normal(-2.8)+(1-normal(2.8))

twoway (function y=normalden(x,50,.5), range(48 50) color(yellow) recast(area)) (function y=normalden(x,50,.5), range(50 52) color(yellow) recast(area)) (function y=normalden(x,50,.5), range(48 48.6) color(green) recast(area)) (function y=normalden(x,50,.5), range(51.4 52) color(green) recast(area)) (function y=normalden(x,50,.5), lcolor(green) range(48 52)) , legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("X") xlabel(48.6 50 51.4) ytitle("f(X)")

twoway (function y=normalden(x,0,1), range(-3.5 0) color(yellow) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(0 3.5) color(yellow) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(-3.5 -2.8) color(blue) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), range(2.8 3.5) color(blue) recast(area)) (function y=normalden(x,0,1), lcolor(blue) range(-3.5 3.5)) , legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("Z") xlabel(-2.8 0 2.8) ytitle("f(Z)") Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. pág. 31, extensión al ejemplo 2.8

2p p−1

Distribución de X

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

Nx2

,~ σµ6.48=XSi

8.2

1005

506.48−=

−=cZ

Valor p

50:0 =µH50: ≠µaH

lbs.lbs.

[ ] [ ] [ ] [ ]4.516.48)6.4850(506.48 >+<=−+>+< XPXPXPXP

[ ] [ ]8.28.2

1005

504.51

1005

506.48>+−<=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

>+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

<= XPZPXPZP

( ) 0052.00026.020026.00026.0 ==+=∴ p

2p

0.1

.2.3

.4f(Z

)-2.8 0 2.8

Z

Distribución de Z

( )1,0~ NZ

0026.02=p 9974.01 =− p

0026.02=p

RR de dos colas

0.1

.2.3

.4f(t

)

-2.77 -1.761 0t

Inferencia: Prueba de Hipótesis y Valor p

display 1-ttail(14,-2.77)display invttail(14,0.95)

twoway (function y=tden(14,x), range(-3.5 -1.761) color(green) recast(area)) (function y=tden(14,x), lcolor(green) range(-1.761 3.5)), legend(off) plotregion(margin(zero)) xtitle("t") xlabel(-2.77 -1.761 0) ytitle("f(t)") xline(-1.761)

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 31-32, ejemplo 2.9 y fig. 2.11

05.0=α

15=nSi

1~

1535

500475−

−nt

Valor p

500:0 =µH500: <µaH

puntos

[ ] [ ] 0075.077.2. =−<=< tPttP calc

Distribución de Studentt

0075.0=p

RR de una cola

puntos

puntos475=Xestudiantes

35=S puntos

77.2. −=calct

Estadístico de prueba

95.01 =−α

14 grados de libertad

14 gl

1

2

3

4

5

2829

3031

3233

3435

3637

Ingr

esos

22 24 26 28 30 32 34 36Edad

clearinput y x27.8 2228.5 2330 2635 2736.4 35endgen i=_nlistcorrelate y xregress y xgraph twoway (scatter y x, ytitle("Ingresos") xtitle("Edad") xlabel(22(2)36,grid) ylabel(28(1)37,grid) mlabel(i)) (lfit y x,legend(off))

Dispersión, Correlación y Regresión Lineal

11 ≤≤− r

22 Rr =

Fuente: Ejemplos 2.10, 2.11 y 2.12 de John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 33-39

05

1015

2025

3035

4045

50C

osto

Rea

l

0 5 10 15 20 25 30 35 40Costo Estimado

insheet real estimado using "D:\HankeDataSet\Ascii Data Sets\Ch02\Tab2-8.TXT" , clearcorrelate real estimadoregress real estimadograph twoway (scatter real estimado, ytitle("Costo Real") xtitle("Costo Estimado") xlabel(0(5)40,grid) ylabel(0(5)50,grid)) (lfit real estimado,legend(off))

Correlación y Pronóstico

Fuente: Ejemplo 2.13 de John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 39-40

insheet rendimientos using "D:\HankeDataSet\Ascii Data Sets\Ch02\Tab2-9.TXT" , clearsum rendimientosswilk rendimientosqnorm rendimientos, grid

Normalidad

Fuente: John Hanke y Dean Wichern (2006) Pronósticos en los Negocios 8ª.ed. págs. 41 y Fig. 2.18

-5.2

51.

468.

47

-10

-50

510

rend

imie

ntos

1.03 7.878213-5.818213

-10 -5 0 5 10Inverse Normal

Grid lines are 5, 10, 25, 50, 75, 90, and 95 percentiles

Normalidad:oHnormalidad No:aH