ESTRUCTURAS DISCRETAS

REPASO

ÁLGEBRA PROPOSICIONALProposiciones, tablas de la verdad…

Álgebra Proposicional

Antes de empezar, deben saber que es una proposición

ProposiciónLa proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:

FALSO (F)

VERDADERO (V)

Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.

p : 15 + 5 = 21 (F)q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V)r: El número 15 es divisible por 3. (V)s: El perro es un ave. (F)

Proposiciones

Pero no todas las expresiones son proposiciones …

Expresiones No ProposicionalesSon aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.

Clasificación de las proposiciones

Así tenemos, por ejemplo:

– ¿Cómo te llamas?– Prohibido pasar– Borra el pizarrón.

Son expresiones que su respuesta es distinta a decir Verdadero o Falso

Álgebra Proposicional Proposiciones

Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas.

"p: 3 + 6 = 9"

Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:

p

V

F

p qV VV FF VF F

P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n

posibilidades

21

22

23

Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta.

Álgebra Proposicional Proposiciones y valor de verdad

Por ejemplo

Por ejemplo

Por ejemplo

Álgebra Proposicional ConectivosCONJUNCIÓNDadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

DISYUNCIÓNDadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es:

Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. En

todos los demás casos

es falsa

Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. Si alguna de las proposiciones es verdadera, la conclusión es verdadera. En todos los demás casos es falsa

Implicación o CondicionalImplicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q) cuya tabla de ⇒valores de verdad es:

En los casos que se señalan es verdadera la proposición. En

todos los demás casos es falsa

Álgebra Proposicional Conectivos

IMPLICACIÓN O CONDICIONALImplicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q) cuya tabla ⇒de valores de verdad es:

DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONALDoble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es

Álgebra Proposicional Conectivos

En los casos que se

señalan es verdadera la proposición. En todos los demás casos

es falsa

En los casos que se señalan es verdadera la

proposición. En todos los demás

casos es falsa

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p Û q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) Ù (q p), como vemos:⇒ ⇒

Álgebra Proposicional Conectivos

Se aplican los casos del

conectivo Condicional

Se aplican los casos del

conectivo And,

conociendo ya los

valores de A y B

A B

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONALConociendo más de cerca los conectivos y las leyes

Álgebra Proposicional LeyesSean p, q y s proposiciones.

1. Conmutativa:

p q q pp q q p

2. Asociativa:

(p q) s p (q s)(p q) s p (q s)

3. Distributiva

(p q) s (p s) (q s)(p q) s (p s) (q s)

4. Ley de Identidad:

p V pp V Vp F pp F V

5. Absorción:

p (p q) pq (p q) p

6. Morgan

(p q) s ( p s) s(p q) s ( p s) s

Álgebra Proposicional LeyesSean p, q y s proposiciones.

7. Acotación

p F Fp V V

8. Complementaciónp p Verdadero (True)p p Falso (False)

4. Vamos a demostrar la ley de absorción: p (p q) p

p (p q)

V V V V V

V V V V F

F F F V V

F F F F F

Si se dan cuenta, esta columna tiene los mismos valores de p que es la conclusión de la proposición

p p

F V V V

V V V F

Tautología

EJERCICIOS

Álgebra Proposicional Leyes

Simplificar: (p q) (q p)] p

a. Tablas de la verdadb. Leyes del álgebra proposicionalc. ¿Es tautología?

[ (p q) (q p)] p

F V V V F F V V V V

V V F F V V V V V V

F F V V F F F F F F

V F V V V V V F V F

Álgebra Proposicional Ejercicios

Simplificar: (p q) (q p)] p

Tenemos:

(p q) (q p)] p Equivalencia del Condicional

(p q) (q p)] p Morgan {p q (q p) p Doble negación

(p q) p Absorción

p (p q) Conmutativa p Absorción

Luego: (p q) (q p)] p p ; todo esto es la fórmula proposicional antes da-da, y lo equivale al aplicar las leyes del álgebra proposicional, osea su conclusión que es p

Debo corregir

¿ES TAUTOLOGÍA?

Solución

p q r ( p q ) ( p r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

Evaluar el siguiente esquema molecular: (p q) (p r)

Álgebra Proposicional Ejercicios