ParbolaDefinicin:Llamamos parbola al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco (F), y de una recta fija llamada directriz (d); con .Observaciones: La distancia del foco a la directriz se llama parmetro, y se designa con la letra p. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje (e) de la parbola. La interseccin del eje y la parbola recibe el nombre de vrtice (V). Siendo , el vrtice es el punto medio del segmento . Cualquier segmento con extremos en la parbola recibe el nombre de cuerda . Si la cuerda pasa por el foco, se llama cuerda focal. Si la cuerda focal es perpendicular al eje, se llama lado recto . Todo segmento que tiene por extremos el foco de la parbola y a otro punto P cualquiera de ella, recibe el nombre de radio focal .Trazado de una parbola por puntosSe trazan circunferencias de centro el foco y radio mayor que la mitad de la distancia del foco a la directriz, que se cortan con rectas paralelas a la directriz a una distancia igual al radioDistancia de un punto a una rectaSea la recta y el punto , la distancia del punto a la recta puede ser calculado dela siguiente manera:

Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje coincidente con Sea la distancia del foco F a la directriz . Dicha distancia recibe el nombre de parmetro de la parbola.Todo punto del plano, perteneciente a la parbola , verifica la ecuacin:

Donde si , o si Demostracin:Dado que el vrtice tienen coordenadas , y que equidista del foco y de la directriz, las coordenadas del foco sern y la ecuacin de la directriz (si la concavidad es positiva), o y (si la concavidad es negativa).Inicialmente estudiaremos el caso en que tenga concavidad positiva: Sea

Elevando ambos miembros al cuadrado:

En el caso que la concavidad sea negativa el procedimiento es anlogo, caso en el cual obtendremos:

Considerando esto, la ecuacin de una parbola con vrtice en el origen y eje coincidente con vendr dada por:

Donde si la concavidad es positiva , o si la concavidad es negativa .

Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y eje coincidente con En el caso en que la parbola tenga vrtice en el origen y eje coincidente con , todo punto verificar la ecuacin:

Donde si la abscisa del foco es positiva, o si la abscisa del foco es negativa.Ejercicios:1. Demostrar la ecuacin anterior.2. Demuestra que la longitud del lado recto es igual a .3. Halla la ecuacin de la parbola en cada uno de los siguientes casos:a. Directriz y foco b. Directriz y foco c. Directriz y foco .d. Directriz y foco e. Directriz y vrtice f. Directriz y vrtice g. Foco y vrtice h. Foco y vrtice

4. Hallar coordenadas del foco, vrtice, lado recto, ecuacin de la directriz y bosquejar:a. b. c. Ecuacin de la parbola de eje paralelo a Sea de eje paralelo a , con vrtice . Para encontrar la ecuacin, recurriremos a una traslacin de los ejes coordenados, para de esta forma partir de un caso conocido. Para eso realizamos el siguiente cambio de variables: En este nuevo sistema de referencia, la ecuacin de la parbola ser: .Deshacemos el cambio de variables sustituyendo: Obteniendo: Si llamamos y , llegamos a que toda parbola de eje paralelo a tiene una ecuacin de la siguiente forma:

A partir de sta tenemos que las coordenadas del Vrtice, las del Foco y la ecuacin de la directriz sern:

Anlogamente se demuestra que si la parbola tiene eje paralelo al eje tiene una ecuacin de la forma:

Discusin:La ecuacin , con , pero no simultneamente, representa una parbola, dos rectas paralelas, o ningn lugar geomtrico. Sea el vrtice .CoeficientesEcuacinLugar Geomtrico

Parbola de eje paralelo a

Dos rectas paralelas a , disjuntas.

Dos rectas paralelas a , coincidentes.

Ningn lugar geomtrico.

Parbola de eje paralelo a

Dos rectas paralelas a , disjuntas.

Dos rectas paralelas a , coincidentes.

Ningn lugar geomtrico.

Ejercicios:1. Hallar los elementos y bosquejar las siguientes parbolas:Repartido terico prctico de Parbola3 Bachillerato 2014a. Prof.: Virginia Medeiros Guillermo De los Angeles4b. c. d. e. 2. 3. Hallar la ecuacin de la parbola en cada uno de los siguientes casos:a. b. y c. y d. y e. y f. y g. y 4. 5. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo eje es paralelo al eje y que pasa por los puntos , y .6. Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice y foco . Hallar la ecuacin de la directriz y la longitud de su lado recto.7. Hallar la ecuacin de la parbola de eje coincidente con y que pasa por los puntos y .8. Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice , cuyo eje es la recta y que pasa por el punto .

Interseccin entre una parbola y una rectaPara encontrar los puntos de interseccin debemos considerar que los puntos comunes a la recta y la parbola debern verificar las ecuaciones de ambas, por lo que para calcular sus coordenadas bastar con resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de la parbola y la recta.Si la parbola tiene su eje paralelo a :Sustituyendo en la ecuacin de :

Del nmero de races de esta ecuacin depender que la recta sea secante, tangente o exterior a la parbola. Es decir:

Anlogamente estudiamos la interseccin si la parbola tiene su eje paralelo a .Ejercicio:Hallar la interseccin de la recta con la parbola .

Tangente a una parbola en un punto de la mismaSea la parbola y el punto , con .Toda recta que pase por tendr una ecuacin de la forma:

Buscando la interseccin con la parbola, sustituimos en la ecuacin de la parbola:

Como la recta debe ser tangente, la ecuacin debe tener una nica raz, y por lo tanto tenemos lo siguiente:

Sustituyendo en la ecuacin de la recta obtenemos la ecuacin de la tangente a por :

Ecuacin desdoblada de la tangenteOperando con la ecuacin obtenida anteriormente:

Sumamos y restamos :

Como el punto , sus coordenadas satisfacen la ecuacin de la misma:

Sustituyo en la ecuacin anterior:

Transponiendo trminos y agrupando:

Dividiendo ambos trminos entre 2 obtenemos la ecuacin desdoblada de la tangente:

As, para obtener la ecuacin de la tangente a una parbola por un punto de la misma simplemente realizamos la siguiente sustitucin en la ecuacin de la parbola:

Si tiene eje paralelo a :

Si tiene eje paralelo a :

Ejercicios:1. Hallar la ecuacin de la tangente a la parbola en el punto de ordenada y de abscisa negativa.2. Sea , y el punto . Encuentra la ecuacin de la recta tangente a por .3. Sea , y el punto . Encuentra la ecuacin de la recta tangente a por .Tangentes a una parbola desde un punto exteriorParbola con eje paralelo a Sea , y exterior a . Las rectas tangentes a la parbola por el punto tienen una ecuacin de la forma: , donde desconocemos el valor del coeficiente angular .Dado que debe ser tangente a la parbola, al intersecarlas la ecuacin de segundo grado resultante de resolver el sistema debe tener una raz doble:

Como

Los dos resultados anteriores darn lugar a las dos rectas tangentes con coeficientes angulares y correspondientes a los resultados obtenidos.Parbola con eje paralelo a Ejercicio: Demuestra que los valores de los coeficientes angulares de las rectas tangentes a una parbola por un punto vienen dados por:

Ejercicios:1. Encuentra la ecuacin de las rectas tangentes a la parbola por el punto exterior .2. Encuentra la ecuacin de las rectas tangentes a la parbola por el punto exterior .3. Encuentra la ecuacin de las rectas tangentes a la parbola por el punto exterior .