rentas fraccionadas

7/25/2019 rentas fraccionadas

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Unidad 6

Rentas fraccionadas y variables

6.1. Introduccin

6.2. Rentas con fraccionamiento uniforme

6.2.1. Rentas fraccionadas, diferidas y anticipadas

6.3. Ecuacin general de las rentas constantes, inmediatas y temporales

6.4. Rentas de trminos variables en progresin geomtrica

6.4.1. Renta pospagable temporal

6.4.2. Renta pospagable perpetua

6.4.3. Renta prepagable temporal

6.4.4. Renta prepagable perpetua

6.4.5. Renta diferida y anticipada

6.5. Rentas de trminos variables en progresin aritmtica






6.6. Rentas variables fraccionadas

6.6.1. Rentas variables fraccionadas en progresin geomtrica

6.6.2. Rentas variables fraccionadas en progresin aritmtica

6.7. Rentas variables en general con rdito periodal constante

6.7.1. Determinacin dei. Mtodo de Newton

6.7.2. Hoja de clculo

6.7.3. Simplificacin de Schneider

Ejercicios propuestos


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64 Rentas fraccionadas y variables

6.1. Introduccin

En la aplicacin prctica del estudio de las rentas, podemos encontrarnos con que lostrminos de las mismas no necesariamente han de ser uniformes en toda su duracin.Del mismo modo, tampoco los trminos han de coincidir con los aos naturales. Es

muy habitual que stos, en las operaciones financieras de inversin o financiacin, seanmensuales, trimestrales, etc.

Igualmente, los trminos no necesariamente sern constantes a lo largo de toda la du-racin de la misma. Es frecuente encontrarse con rentas crecientes en un porcentaje eincluso, con rentas variables en general.

Lasrentas fraccionadasson aquellas en las que la periodicidad con que se hacen efectivoslos sucesivos capitales es inferior al ao, producindose pagos y cobros mensualmente,trimestralmente, semestralmente, etc.

En una renta fraccionada constante una serie de capitales de la misma cuanta estn

disponibles en fracciones consecutivas de ao, llamadas m, durante n aos. El nmerode trminos total es n m.

6.2. Rentas con fraccionamiento uniforme

En este caso el perodo de capitalizacin es superior al perodo en que se percibe larenta, es decir, nos dan el inters efectivo anual i, mientras que el trmino C de larenta se percibe m veces dentro del ao. Para encontrar el valor en este tipo de rentasfraccionadas, tendremos tambin que referir ambos parmetros trmino y tanto a lamisma unidad.

Si el tanto de valoracin es el nominal anual J(m), entonces, tal como vimos en (4.7) enla pgina 38, el valor de i(m) sera:

J(m) =m i(m) i(m) =J(m)

m

Para calcular el inters peridico i(m) a partir del tanto efectivo anual i dado y valorarla renta teniendo en cuenta que la duracin de la misma es de n m perodos, siendot = n m, utilizamos la ecuacin de los tantos equivalentes, tal como vimos en (4.6) enla pgina 37.

i(m) = (1 +i) 1m 1

y en consecuencia, como hemos visto en (5.1) en la pgina 49, el valor actual sera:

an m i

(m) =1

1 +i(m)

n m

i(m) (6.1)

expresin que nos da el valor actual de la renta unitaria y generalizando, el valor actualde una renta constante, temporal, inmediata y pospagable de trmino C, duracin n mperodos a intersi(m), y de acuerdo con (6.1), ser:

V(m)0 =C an m i (m) V(m)0 =C 1

1 +i

(m)

n m

i(m) (6.2)


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6.2 Rentas con fraccionamiento uniforme 65

1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 t 1 t

1

(1 +i

(m)

)

1

(1 +i(m))2

(1 +i(m))3

(1 +i(m))4...

(1 +i(m))(t1)

(1 +i(m))t

at i

(m)

Figura 6.1: Valor actual de una renta unitaria fraccionada

Una representacin grfica puede verse en la figura 6.1.

Este mtodo, lo podemos considerar como genrico para la resolucin de las rentasfraccionadas y es el que vamos a utilizar para obtener el valor actual o final de una rentapospagable o prepagable fraccionada, sea de duracin determinada o perpetua.

Si se trata del valor final,

sn m i

(m) =

1 +i(m) n m

1

i(m) (6.3)

generalizando,

V(m)n =C sn m i (m) V(m)

n =C

1 +i(m) n m

1

i(m)

V(m)n =C an m i (m)

1 +i(m) n m

(6.4)

Ejemplo 6.1 Determinar el valor actual de una renta de 5 aos de duracin, al 7 % de inters

anual efectivo y los trminos son de 850e

trimestrales.En primer lugar, obtendramos el tipo de inters efectivo trimestral,

i(4) = (1 + 0, 07)14 1 = 0, 0170585

para obtener el valor actual utilizando la expresin (6.2).

V0= 850 a20 0 ,0170585= 14 301, 46

Utilizando la calculadora financiera, para obtener V0, obtenemosi(4) en primer lugar:

4 n 100 PV 7 + CHS FV i resultando 1, 70585

20 n 850 CHS PMT 0 FV PV obteniendo la respuesta de 14 301, 46


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Si se trata del valor actual en una renta fraccionada cuyos trminos sean prepagables,ste ser igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada,inmediata y pospagable multiplicado por

1 +i(m)

. En este caso,

a

n m i(m) =

1

1 +i(m)

n m

1

1 +i(m)

1 =

1

1 +i(m)

n m

i(m)

1 +i(m)

(6.5)

y, el valor final,

sn m i

(m) =

1 +i(m) n m

1

i(m)

1 +i(m)

(6.6)

Se verifica por tanto la relacin entre el valor actual y final:

sn m i

(m) = an m i

(m)

1 +i(m) n m

(6.7)

por ser

1 +i(m) n

el factor de capitalizacin en el intervalo [0, m].

Si se trata de rentas fraccionadas perpetuas, su valor actual, vendr expresado por:

a i

(m) = 1

i(m) (6.8)

En el caso de que la renta fraccionada perpetua unitaria sea prepagable, su valor actual,ser:

a i

(m) = 1 + 1

i(m) (6.9)

Ejemplo 6.2 Qu capital debemos depositar en un banco que nos abona el 0,5 % mensual sipretendemos obtener una renta de 1 000e mensuales?

V0= 1 000 a0 ,005=1 000

0, 005= 200 000

Otra forma de valorar las rentas fraccionadas consiste, en primer lugar, en sustituir todoslos pagos que se realizan en una ao cualquiera por un solo pago equivalente al final delao C (dado que en todos los aos se repite la misma forma de pago) y luego valorarla renta anual y constante que resulta:

C = Cm

sm i

(m) = Cm

(1 +i(m)) 1i(m)

=C iJ(m)

por tanto, los m pagos que se realizan en el primer ao forman una renta cuyo valorfinalC es:

C =C i

J(m)

En consecuencia, partiendo de la ecuacin (5.2) de la pgina 49, los valores actual yfinal, seran:

V(m)0 =C

i

J(m) an i (6.10)

y

V(m)n =C iJ(m) sn i (6.11)


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6.3 Ecuacin general de las rentas constantes, inmediatas y temporales 67

6.2.1. Rentas fraccionadas, diferidas y anticipadas

El valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada y diferida dperodos, es igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria y fraccionadaactualizado por los perodos de diferimiento, es decir, multiplicando su valor actual por

1 +i(m)

d m

. Esto es,

d/an m i (m) =

1 + i(m)

d ma

n m i(m) (6.12)

Igual ocurre con la obtencin del valor final de una renta temporal, constante, unitaria,fraccionada y anticipada h perodos, debiendo multiplicar en este caso el valor de la

renta fraccionada por su anticipacin

1 + i(m) h m

.

h/sn m i (m) =

1 +i(m) h m

sn m i

(m) (6.13)

6.3. Ecuacin general de las rentas constantes, inmediatas

y temporales

En las rentas constantes, inmediatas y temporales, podemos escribir la siguiente ecuacingeneral que nos permite obtener cualquiera de las cinco variables financieras tpicas.

V0+ (1 +i )C

1 (1 +i)n

i

+Vn (1 +i)n = 0 (6.14)

En la que si = 0, se tratar de una renta pospagable, siendo por tanto (1 +i ) = 1.Si la renta es prepagable, = 1 y en consecuencia (1 + i ) = (1 +i) que es el factorque convierte una renta pospagable en prepagable tal como hemos visto en (5.8).

Si C = 0 nos encontraramos en un supuesto de capitalizacin compuesta, pudiendoobtener los valores de C0 V0 y Cn Vn, ya que:

V0+ Vn (1 +i)n = 0

6.4. Rentas de trminos variables en progresin geomtrica

Se caracterizan porque la cuanta de sus trminos varan en progresin geomtrica. Larazn de la progresin, que representamos por q ha de ser positiva, es decir q > 0,puesto que en caso contrario todos los trminos con exponente de q impar tendrancuanta negativa1.

Siq >1, la renta ser creciente. Si 0 < q


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El valor actual de una renta pospagable, inmediata, temporal y variable en progresingeomtrica, de primer trmino Cy raznq, con una duracin den aos al tipo de intersi, ser:

V0(C, q)n i =C (1 +i)1 +C q(1 +i)2 +C q2 (1 +i)3 + +

+C q(n2) (1 +i)(n1) +C q(n1) (1 +i)n

que representa una serie en progresin geomtrica de razn q (1 +i)1; por tanto, susuma, aplicando A.9 en la pgina 149 ser:

V0(C, q)n i = C (1 +i)1 C q(n1) (1 + i)n q(1 +i)1

1 (1 +i)1 q =

=C 1 q(n1) (1 +i)n q

1

(1 +i)

1

q=C

1 qn (1 +i)n

1 +i q

V0(C, q)n i =C 1 qn (1 +i)n

1 +i q (6.15)

El valor final se obtendr capitalizando el valor actual, esto es, multiplicndolo por sufactor de capitalizacin compuesta (1 +i)n.

Vn(C, q)n i =V0(C, q)n i (1 +i)n (6.16)

y sustituyendo,

Vn(C, q)n i =C(1 +i)n qn

1 +i q (6.17)

Ejemplo 6.3 Dada una renta variable en progresin geomtrica de primer trmino 10 000 eque se incrementa anualmente un 20 %, si la duracin de la misma es de 15 aos y el inters del6 % efectivo, se pide determinar el valor actual y final de la misma.

Utilizando (6.15):

V0(10 000; 1, 2)15 0,06 = 10 000 1 1, 215(1 + 0, 06)15

1 + 0, 06 1, 2 = 10 000

5, 4288

0, 14 = 387 772, 27

Del mismo modo, sirvindose de la relacin entre el valor actual y final,

Vn(C, q)n i =V0(C, q)n i (1 +i)n

V15=V0(1 + 0, 06)15 = 387 772, 27 (1 + 0, 06)15 = 929 318, 81

La razn qen muchos casos viene dada en porcentaje, por lo que en la expresin (6.15),al igual que hacemos con el tipo de inters, se reflejar en tanto por uno. Al respecto,estudiando la relacin de qcon respecto a (1 + i),

q (1 + i) implica obtener un valor negativo, pero al ser el numerador tambin negativola solucin es positiva,


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6.4 Rentas de trminos variables en progresin geomtrica 69

q= (1 +i) da como resultado una indeterminacin del tipo 0

0. Para resolverla se pro-

ceder a la actualizacin de cada uno de los capitales al punto de origen de larenta.

En este caso,

V0(C, 1 +i)n i = lmq1+i

C

1 qn(1 +i)n

1 +i q

=0

0=

Aplicando LHpital respecto a q, para resolver la indeterminacin,

=(1 +i)n n qn1

q =n C (1 +i)1


En el supuesto de que se trate de una renta perpetua, para su clculo, bastar con hacer

tender n a infinito en la expresin de su valor actual (6.15),

V0(C, q) i = lmnV0(C, q)n i =

C

1 +i q

V0(C, q) i = C

1 +i q (6.18)

para1 +i > q.


Si se trata de una renta prepagable, partiendo del principio de equivalencia financiera ydel valor actual de una renta pospagable, inmediata, variable en progresin geomtricay temporal, tal como hemos visto en (6.15),

V0(C, q)n i =V0(C, q)n i (1 +i) (6.19)

Igualmente, si se trata del valor final de una renta prepagable, bastar con actualizarel valor final de la renta pospagable, inmediata, variable en progresin geomtrica ytemporal.

Vn(C, q)n i =Vn(C, q)n i (1 + i) (6.20)

Del mismo modo, partiendo del valor actual, podramos capitalizar el mismo usando el

factor de capitalizacin para obtener su valor final:

Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 +i)n (6.21)


En el supuesto de tratarse de una renta perpetua, la obtencin del lmite cuando ntiendea infinito del valor actual de la renta prepagable nos permitir obtener su valor.

V0(C, q) i = lmnV0(C, q)n i =

C (1 +i)

1 +i q

V0(C, q) i =C (1 +i)

1 +i q (6.22)


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La obtencin del valor actual de una renta diferida d perodos, pospagable, temporaly variable en progresin geomtrica, tal como vimos para una renta constante en lafigura 5.6 de la pgina 54, y la expresin (5.11),

d/V0(C, q)n i =V0(C, q)n i (1 +i)d (6.23)

Si se trata de una renta prepagable, procederemos del mismo modo:

d/V0(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 +i)d (6.24)

Cuando se trata de una renta perpetua, el valor actual, ser el que corresponde a unatemporal sobre la que obtendremos el lmite cuando n tiende a .

d/V0(C, q) i = lmn d/V0(C, q)n i

d/V0(C, q) i =

C (1 +i)d

1 +i q (6.25)

Si fuera prepagable,

d/V0(C, q) i =C (1 +i)(d1)

1 +i q (6.26)

En las rentas anticipadas, para la obtencin del valor final puede aplicarse lo visto en launidad anterior. El valor final, pospagable y temporal,

h/Vn(C, q)n i =Vn(C, q)n i (1 +i)h (6.27)

Si la renta es prepagable,

h/Vn(C, q)n i = Vn(C, q)n i (1 +i)h

(6.28)

6.5. Rentas de trminos variables en progresin aritmtica

Se caracterizan por seguir la cuanta de sus trminos una progresin aritmtica, siendod la razn de la progresin, que puede ser positiva o negativa, si bien en este segundocaso, al ser los trminos decrecientes, para que no aparezcan trminos negativos o nuloses preciso imponer la condicin C+ (n 1)d > 0, lo que implica que la razn d est

acotada inferiormente por:

d > C

n 1


La obtencin del valor actual que designaremos como V0(C, d)n i es:

V0(C, d)n i =n

s=1

C+ (s 1)d

(1 +i)s =C an i +dn

s=1

(s 1)(1 +i)s

Por tanto, se puede escribir:

V0(C, d)n i =C an i +d

i

an i n(1 +i)n


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6.6 Rentas variables fraccionadas 73

Ejemplo 6.4 Determinar el valor en el momento actual de una renta anual variable en progre-sin aritmtica, de primer trmino 10 000e, razn 2 000e, rdito periodal constante i = 0, 06,que comenzar a devengarse una vez transcurridos 3 aos, en los supuestos de que se trate deuna renta prepagable de 20 aos de duracin o de una renta pospagable perpetua.

En el primer supuesto,

3/V0(10 000;2 000)20 0,06 = (1 + 0, 06)3V0(10 000; 2 000)20 0,06

V0= (1 + 0, 06)2V0(10 000; 2 000)20 0,06 =

= 1, 062

10 000 +2 000

0, 06+ 2 000 20

a20 0 ,06 2 000 20

0, 06

=

= 0, 889996 [83 333, 33 11, 469921 666 666, 66] = 257 351, 33

En el segundo caso,

3/V0(10 000; 2 000)0,06 = (1 + 0, 06)3V0(10 000; 2 000)0,06 =

= (1 + 0, 06)3

10 000 +2 000

0, 06

1

0, 06=

= 0, 839619 722 222, 22 = 606 391, 70

6.6. Rentas variables fraccionadas

En las rentas constantes y en general, el tipo de inters i y el perodo de vencimientodel capital n deben estar expresados en las misma unidad. En las rentas fraccionadasvariables, supuesto muy habitual en el mercado, el capital vence en una unidad inferior

a la del tanto. Para resolver este supuesto, podemos sustituir todos los capitales perte-necientes a los subperodos por un nico expresado en la misma unidad de tiempo quela razn de la variacin o utilizar las siguientes expresiones.

6.6.1. Rentas variables fraccionadas en progresin geomtrica

Partiendo de la expresin (6.15),

V(m)0 (C, q)n i =C m

i

J(m)1 qn (1 +i)n

1 +i q (6.42)

El resto de valores, podrn obtenerse aplicando las relaciones conocidas.

6.6.2. Rentas variables fraccionadas en progresin aritmtica

La expresin matemtica para el clculo en el caso de rentas variables siguiendo unaprogresin aritmtica, obtenida a partir de (6.29) sera:

V(m)0 (C, d)n i =

i

J(m)

C m+d

i +d n

an i d n

i (6.43)

El resto de valores se obtendran multiplicando por sus relaciones.


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6.7. Rentas variables en general con rdito periodal cons-

tante

En muchas operaciones financieras los trminos de las mismas no son constantes, ni

tampoco variables en base a una progresin conocida. En realidad, son variables deforma aleatoria.

En estos casos, existe la dificultad tcnica de poder calcular la rentabilidad de la ope-racin. Para ello, y tanto para las operaciones de inversin como las de financiacin,se utilizan diferentes mtodos. Los ms extendidos son el Valor Actual Neto, (VAN) o(VNA), y el denominado tanto o Tasa Interna de Rendimiento o retorno (TIR).

As, ante una operacin financiera consistente en el intercambio de capitales financieroscuyos trminos no son iguales en capitalizacin compuesta,

V0= C1

(1 +i)1+

C2(1 +i)2

+ C3

(1 +i)3 + +

Cn(1 + i)n

si igualamos a 0, podemos obtener el valor de i. Definiremos TIR de esta operacinfinanciera al nmero real i, solucin de la ecuacin:

n

s=1

Cs(1 +i)s =

n

t=1

Ct(1 +i)t

Evidentemente, n e i, debern estar expresados en la misma unidad. La TIR obtenidaestar en funcin de la unidad de tiempo con la que se est trabajando. Si es el ao,la TIR ser el inters efectivo anual; si por el contrario la unidad de tiempo fuera una

fraccin dem, entonces la TIR expresada como tasa anual equivalente vendr dada pori=

1 +i(m) m

1.

Hay que tener en cuenta que para las operaciones financieras generales, la TIR no siempreexiste ni tiene por qu ser nica. De hecho, constituye una ecuacin algebraica de grado

p, siendo p (m+n) que puede presentar hasta p soluciones reales.

Si existe la TIR y es positiva, puede interpretarse como el tipo de inters efectivo periodalconstante que bajo el rgimen de capitalizacin compuesta iguala el valor financiero de loscapitales de la prestacin con el valor financiero de los capitales de la contraprestacin, esdecir, como la remuneracin o coste que supone para las partes llevar a cabo la operacinfinanciera.

Para su clculo, podemos emplear:

Mtodos directos, que permiten obtener i a travs del clculo de la tasa de retornoresultante como:

Mtodo de Newton,

Una calculadora financiera,

Una hoja de clculo,

Mtodos aproximados, como:

La interpolacin lineal, y

La aproximacin de Schneider.


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6.7 Rentas variables en general con rdito periodal constante 75

6.7.1. Determinacin de i. Mtodo de Newton

En general, no existe una frmula que permita calcular las races de la ecuacin que seplantea para la obtencin de la TIR de las operaciones financieras. El mtodo de New-ton [14], constituye un mtodo numrico para obtener dichas races cuando los capitales

de la prestacin preceden a los de la contraprestacin.

En este caso, por las propiedades de g(i), resulta particularmente simple y eficiente laaplicacin de ste mtodo de la tangente. Consiste bsicamente en lo siguiente:

Fijado un valor inicial para la variable incgnita i0, se calcula a partir de el un nuevovalor i1, utilizando un algoritmo i1 = F(i0) que garantice que la distancia de i1 a lasolucin de la ecuacin g(i) = 0 (solucin que denotaremos como i) sea menor que ladistancia de i0 a la misma. Este algoritmo se repetir hasta que se alcance un nivel deerror lo suficientemente pequeo.

i

g(i)

i0 i1 i2 i

g(i)

g(i2)

g(i1)

g(i0)

Figura 6.2: Mtodo de Newton. Determinacin de i

Se escoge un valor inicial i0 lo suficientemente pequeo, de tal forma que i0 < i, siendo

i la TIR. Dado que g(i) es una funcin creciente y cncava, la tangente a la curvag(i) en i0 atravesar el eje de abcisas en un punto i1 interior al intervalo [i0, i

]; portanto, el valor de i1 proporcionar una aproximacin por defecto a la solucin i

. Si seprocede de nuevo a trazar una nueva recta tangente a la curva en el punto (i1, g(i1)),sta intersectar al eje de abcisas en un punto interior al intervalo [i1, i

]. Repitiendoel proceso, y como consecuencia de las propiedades de la funcin g(i), tras n pasos se

verificar la siguiente desigualdad:

in< in+1 < i n= 1, 2, 3,


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Es inmediato observar que,

g(in) = g(in)

in+1 in

por lo que,

in+1= in g(i)

g

(in)

(6.44)

expresin que constituye el algoritmo de Newton para resolver la ecuacin que propor-ciona la TIR de una operacin financiera como la descrita.

Repitiendo de forma indefinida este algoritmo se obtiene una sucesin crecientei0, i1, i2, que se ir aproximando por defecto a i. El proceso, se detendr cuando la mejora obte-nida se considere despreciable, esto es, cuando in+1 in< siendo un nmero positivofijado de antemano.

Ejemplo 6.5 En una operacin financiera en la que se imponen 5 000ey al cabo de 4 aos elmontante es de 6 324,30e, determinar el tipo de inters i de la misma.

Utilizando la expresin (4.3) de la pgina 35: C0=Cn (1 +i)

n

5 000 = 6 324, 30 (1 +i)4 g(i) = 5 000 6 324, 30 (1 +i)4 = 0

Si i = 05 000 6 324, 30 = 1 324, 30

g(i) = 6 324, 30 5(1 +i)5

g(i0) =g(0) = 31 621, 50 6 324, 30 = 25 297, 20

Si i = 1

i1= i0 g(i0)

g(i0)= 0

1 324, 30

25 297, 20 = 0, 0523497

Si = 0, 0001,i1 i0= 0, 0523497> , y repetimos el proceso.

g(i1) = 5 000 6 324, 30 (1 + 0, 0523497)4

= 156, 69

g(i1) = 6 324, 30 4(1 +i)5

g(i1) =g(0, 053497) = 19 600, 72

Si i = 2

i2= i1 g(i1)

g(i1)= 0, 0523497

156, 69

19 600, 72= 0, 0603438

Si = 0, 0001,i2 i1= 0, 0603438 0, 0523497 = 0, 0079941, y repetimos el proceso.

g(i2) = 5 000 6 324, 30 (1 + 0, 0603438)4 = 2, 9441840

g(i2) = 6 324, 30 4(1 +i)5

g(i2) =g(0, 0603438) = 18 872, 91

Si i = 3

i3= i2 g(i2)

g(i2)= 0, 0603438

2, 9441840

18 872, 91 = 0, 0604998

Si = 0, 0001,i3 i2= 0, 0604998 0, 0603438 = 0, 0001560> , repetimos el proceso.

g(i3) = 5 000 6 324, 30 (1 + 0, 0604998)4 = 0, 0010920

g(i3) = 6 324, 30 4(1 +i)5

g(i3) =g(0, 0604998) = 18 859, 03

Si i = 4

i4= i3 g(i3)

g(i3)= 0, 0604998

0, 0010920

18 859, 03 = 0, 0604999

Si = 0, 0001,i4 i3= 0, 0604999 0, 0604998 = 0, 0000001, y comoi4 i3< , terminamos elproceso de iteracin. La raz de la ecuacin g(i) = 0, es i = 0, 0604999 6, 05 % con un errorde aproximacin de 0,0001.


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6.7.2. Hoja de clculo

Empleando una hoja de clculo como Excel o Calc contamos con dos funciones para laobtencin de la tasa de inters o valor de i.

La funcin TASA, devuelve la tasa de inters por perodo de una anualidad. As mismo,resuelve cualquiera de las cinco variables de la ecuacin general de las rentas constantes,inmediatas y temporales (6.14). TASA se calcula por iteracin y puede tener cero o mssoluciones. Si los resultados sucesivos de TASAno convergen dentro de 0,0000001 despusde 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #NUM!

La sintaxis en Excel, sera:

TASA(nper;pago;va;[vf];[tipo];[estimar])

Puede verse la funcin VA en la ayuda de Excel para obtener una descripcin completa de losargumentos nper; pago; va; vf y tipo. No obstante, las variables, se pueden describir delsiguiente modo y con la correspondencia a las que venimos empleando.

nper n es el nmero total de perodos de pago en una anualidad.pago C es el pago efectuado en cada perodo, que no puede variar durante la vida de

la anualidad. Generalmente el argumento pago incluye el capital y el inters,pero no incluye ningn otro arancel o impuesto. Si se omite el argumento pago,deber incluirse el argumento vf.

va V0 es el valor actual, es decir, el valor que tiene actualmente una serie de pagosfuturos.

vf Vn es el valor futuro o un saldo en efectivo que desea lograr despus de efectuar elltimo pago. Si el argumento vf se omite, se asume que el valor es 0 (por ejemplo,el valor futuro de un prstamo es 0).

tipo es el nmero 0 1 e indica el vencimiento de los pagos, esto es, la consideracin

de pospagable o prepagable.

La sintaxis de las funciones es:

NPER(tasa;pago;va;[vf];[tipo])

PAGO(tasa;nper;va;vf;[tipo])

VA(tasa;nper;pago;[vf];[tipo])

VF(tasa;nper;pago;[va];[tipo])

que permiten obtener las otras variables vistas.

La funcin TIR devuelve la tasa interna de retorno de los flujos de caja representados

por los nmeros del argumento valores. Estos flujos de caja o trminos no tienen porque ser constantes, como es el caso en una anualidad como hemos visto en TASA. Sinembargo, los flujos de caja deben ocurrir en intervalos regulares, como aos o meses. Latasa interna de retorno equivale al tipo o tasa de inters i obtenida por un proyecto deinversin que se produce en perodos regulares.

La sintaxis en Excel, sera:

TIR(valores; [estimar])

Con los siguientes argumentos:

Son valores obligatorios una matriz o una referencia a celdas que contienen los nmeros o

trminos para los cuales desea calcular la tasa interna de retorno. El argumento valoresdebecontener al menos un valor positivo y uno negativo para calcular la tasa interna de retorno. LaTIRinterpreta el orden de los flujos de caja siguiendo el orden del argumento valores. Asegrese


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de escribir los importes de los pagos e ingresos en el orden correcto. Si un argumento matricialo de referencia contiene texto, valores lgicos o celdas vacas, esos se pasan por alto.

El valor estimares opcional. Se puede utilizar un nmero que el usuario estima que se aproxi-mar al resultado de TIR. Excel utiliza una tcnica iterativa para el clculo de TIR. Comenzandocon el argumentoestimar,TIRreitera el clculo hasta que el resultado obtenido tenga una exac-

titud de 0,00001 %. Si laTIR no llega a un resultado despus de 20 intentos, devuelve el valor deerror #NUM!. En la mayora de los casos no necesita proporcionar el argumento estimar parael clculo de la TIR. Si se omite el argumento estimar, se supondr que es 0,1 (10 %). Si la TIRdevuelve el valor de error#NUM!, o si el valor no se aproxima a su estimacin, realice un nuevointento con un valor diferente.

La TIR est ntimamente relacionada a la VNA, la funcin valor neto actual. La tasa de re-torno calculada por TIR es la tasa de inters correspondiente a un valor neto actual 0 (cero).VNA(TIR(...);...)= 0.

La funcin VNA (VAN) calcula el valor neto presente de una inversin a partir de unatasa de descuento y una serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valorespositivos) segn la convencin de flujos (vase B.1 en la pgina 152).

La sintaxis en Excel:

VNA(tasa;valor1;[valor2];...)

que tiene los siguientes argumentos:

tasaque es obligatorio. La tasa de descuento a lo largo de un periodo.

valor1; valor2; ... valor1es obligatorio, los valores siguientes son opcionales. valor1;valor2; ... deben tener la misma duracin y ocurrir al final de cada periodo. VNA utiliza elorden de valor1; valor2; ...para interpretar el orden de los flujos de caja. Deben escribirselos valores de los pagos y de los ingresos en el orden adecuado. Los argumentos que sean celdas

vacas, valores lgicos o representaciones textuales de nmeros, valores de error o texto que nose pueden traducir a nmeros, no se consideran.

Si un argumento es una matriz o una referencia, slo se considerarn los nmeros de esa matrizo referencia. Se pasan por alto el resto de celdas.

La inversin VNA comienza un periodo antes de la fecha del flujo de caja de valor1 y terminacon el ltimo flujo de caja de la lista. El clculoVNA se basa en flujos de caja futuros. Si el primerflujo se produce al principio del primer periodo, el primer valor se debe agregar al resultado VNA,que no se incluye en los argumentos valores.

Si n es el nmero de flujos de caja de la lista de valores, la expresin de VNAes:

V N A=n

s=1

Cs

(1 +i)s

VNAes similar a la funcin VA (V0 valor actual). La principal diferencia entre VA y VNA es que VApermite que los flujos de caja comiencen al final o al principio del periodo. A diferencia de losvalores variables de flujos de caja en VNA, los flujos de caja en VAdeben permanecer constantesdurante la inversin.VNA tambin est relacionado con la funcin TIR (tasa interna de retorno).TIRes la tasa para la cual VNA se iguala a cero: VNA(TIR(...); ...) = 0.

6.7.3. Simplificacin de Schneider

En este caso, Erich Schneider [19] propone la sustitucin de la ley financiera de descuento

compuesto por el descuento simple.

V0= C(1 i) +C(1 2i) + +C(1 n i)


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de donde,

i=

V0+n

k=1

Ck

n

k=1

k Ck

(6.45)

La frmula (6.45) slo nos proporciona un valor aproximado de i (la tasa de retorno).Esta aproximacin ser tanto mayor cuanto menor sea el valor de i, ya que as, menorser el valor de los trminos que se desprecian.

Ejemplo 6.6 Se obtiene un prstamo por 1 000 000e. Los gastos de formalizacin, asciendena 30 000e (el 3 %). El prstamo, se valora al 5 % de inters efectivo pagadero por anualidadesvencidas en 4 aos.

V0= C an i

1 000 000 =C a4 0 ,05 C=1 000 000

a4 0 ,05 = 282 011, 83

Si el valor recibido es: 1 000 000 30 000 = 970 000, el inters efectivo i, sera:

970 000 = 282 011, 83 a4 i

1. Por el valor actual, utilizando una calculadora financiera u ho ja de clculo:

970 000 =282 011, 83

(1 +i)1 +

282 011, 83

(1 +i)2 +

282 011, 83

(1 +i)3 +

282 011, 83

(1 +i)4

igualando y resolviendo, i = 6,32 %. Con la calculadora financiera,i,

970000 PV 4 n 282011, 83 CHS PMT i obteniendo 6, 32

2. Interpolando,970 000

282 011, 83= 3, 439572

utilizando la aproximacin de la interpolacin lineal (vase A.4 en la pgina 145) y obte-niendo los valores en las tablas financieras (vase C.3 en la pgina 160),

3, 4395 3, 3872

3, 4651 3, 3872=

i 0, 07

0, 06 0, 07

i= (0, 672298 0, 01) + 0, 07 i= 0, 063277 i= 6, 32 %

3. Utilizando la aproximacin de Schneider (6.45)

V0= C(1 i) +C(1 2 i) + +C(1 n i)

970 000 = 282 011, 83(1 i) + 282 011, 83(1 2 i)+

+ 282 011, 83(1 3 i) + 282 011, 83(1 4 i)

970 000 = (282 011, 83 4) (282 011, 83 + 282 011, 83 2+

+ 282 011, 83 3 + 282 011, 83 4)i

i=970 000 + 282 011, 83 4

2 820 118, 30 i= 0, 0560 i= 5, 60 %


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Ejercicios propuestos

Ejercicio 6.1 Determinar el valor de una finca que ha sido adquirida por 40 000 e al contadoy una renta de 6 000e pagaderos por semestres vencidos durante 10 aos. El tipo de inters alque se valora la operacin es el 6 % anual.

Solucin:V0=129264,85

Ejercicio 6.2 Cierta persona tiene dos opciones para pagar una deuda en 10 aos: pagar alfinal de cada cuatrimestre 4 500e, o bien pagar el ltimo da de cada mes 1 200 e. Si el tantode valoracin es del 6 %, Cul es la ms ventajosa para el acreedor?

Solucin:La2.a

Ejercicio 6.3 Determinar el valor de una vivienda sabiendo que la cuarta parte de su valor sepaga al contado y el resto mediante una renta trimestral de 6 000 e pospagables, comenzandolos pagos a los tres aos de la compra. La duracin es de 20 aos y el tanto de valoracin el 6 %

de inters anual efectivo.


Ejercicio 6.4 El propietario de un local comercial cobra 3 500emensuales de alquiler, el valordel local es de 400 000e. Se quiere conocer el rendimiento unitario si el cobro se hiciera:

1. Al final de cada mes,

2. Al principio de cada mes.

Solucin:1)11,02%2)11,12%

Ejercicio 6.5 Calcular, en base al 2 % de inters efectivo semestral, el precio a que puedevenderse un inmueble cuyos ingresos y gastos, son los siguientes:

Alquileres: 10 000e mensuales,

Gastos generales: 8 000e trimestrales,

Impuestos: 2 000eanuales

Solucin:V0=2181418,89

Ejercicio 6.6 Qu cantidad constante debe colocar un ahorrador al principio de cada semestreen un banco que computa intereses al rdito del 3,5 % efectivo anual si se pretende formar encuatro aos un capital de 15 000 e?

Solucin:C=1734

Ejercicio 6.7 Qu cuantas constantes tendrn las rentas fraccionadas semestrales, trimestra-les o mensuales equivalentes a una renta anual de 20 000esi el tipo de inters efectivo anual esdel 5 %?

Solucin:C(2)

=9878,10C(4)

=4908,89C(12)

=1629,65

Ejercicio 6.8 Si sabemos que el tipo de inters vigente en el mercado es del 5 % nominal anual,se pregunta:


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Ejercicios propuestos 81

1. Qu diferencia hay entre percibir 12 000eal final de cada ao y percibir 1 000eal finalde cada uno de los meses de ese mismo ao?

2. Qu diferencia hay entre percibir 4 000eal principio de cada ao y 1 000e al principiode cada trimestre?

Solucin:1)Vn=278,862)V0=73,47

Ejercicio 6.9 Hallar el valor de una renta inmediata, pospagable, trimestral y perpetua detrmino 4 500eutilizando una valoracin anual del 6 %.

Solucin:V0=300000

Ejercicio 6.10 Calcular el importe total disponible dentro de diez aos en una entidad finan-ciera que capitaliza trimestralmente al rdito del 4 % si se imponen en estos momentos 5 000ey al final de cada trimestre de los primeros 6 aos 1 000e.

Solucin:Vn

=39072,83

Ejercicio 6.11 Qu capital se formar al cabo de tres aos de efectuar imposiciones quince-nales de 200e en un banco que capitaliza al 3,5 % de inters nominal anual.

Solucin:Vn=15171,52

Ejercicio 6.12 Se desea comprar un piso y se ofrecen las siguientes modalidades de pago:

1. Al contado por 400 000e

2. Entregando 80 000e de entrada, 62 500e dentro de 5 meses y el resto en pagos trimestrales

de 10 000edurante 10 aos debiendo efectuar el primero dentro de 9 meses.3. Entregando 60 000e de entrada y el resto en mensualidades de 6 500 e durante 7 aos

venciendo la primera dentro de un mes.

Determinar cul de las opciones es la ms barata para el comprador si la operacin se valora al5,26 % de inters efectivo anual.

Solucin:La1.a

Ejercicio 6.13 En una lnea de ferrocarril existe un paso a nivel que tiene que ser guardadopor vigilantes cuyos salarios ascienden a 1 000emensuales.

La construccin de un puente en dicho paso a nivel asciende a 68 000ey tiene que ser reempla-zado cada veinte aos. Adems, el coste de mantenimiento anual del mismo es de 3 000e.

Estudiar si interesa a la compaa la construccin del citado puente si el tipo de inters efectivoanual es del 12 % o del 14 %. Cul ser el tipo de inters que haga indiferente las dos opciones?

Solucin:Al12%elpuente,al14%elvigilante.i=12,1%

Ejercicio 6.14 Una persona impone un capital determinado al 7,5 % de inters compuesto alprincipio de un cierto ao. Tres aos despus se le asocia otra persona con un capital tres vecesmayor.

Si al cabo de diez aos la ganancia producida en conjunto para ambos asciende a 607 635,80e,

cul ser el capital aportado por cada socio y la ganancia que les corresponde?

Solucin:C=200000a)212206,31b)395429,49


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Ejercicio 6.15 Qu capital debemos imponer en un banco que abona intereses del 4,5 % anualpara que este sea suficiente para cubrir los gastos de un negocio durante 10 aos, sabiendo queel ao anterior ascendieron a 10 000e y se prevee un aumento anual del 3 %. Se supone que latotalidad de los gastos, se abonan al final de cada ao.

Solucin:V0=92435,66

Ejercicio 6.16 Para formar un capital de 1 000 000ese deposita durante 8 aos, y al principiode cada uno de ellos una anualidad al 5 % de inters compuesto, siendo cada ao 3 700emayorque la del ao anterior. Determinar el valor de la primera imposicin.

Solucin:C=87730,37

Ejercicio 6.17 Determinar el valor actual de una renta pospagable de 15 trminos sabiendoque la cuanta del primer trmino es de 2 500e y los siguientes aumentan cada ao en 100e siel tipo de inters es del 5 %.

Solucin:V0

=32277,95

Ejercicio 6.18 Hallar la razn de las anualidades de una renta perpetua pospagable que varaen progresin geomtrica, siendo su primer trmino 5 000 e; el tipo de inters, 6 % y habiendopagado por ellas 250 000e

Solucin:q=1,04

Ejercicio 6.19 Una persona impone a inters compuesto el 1 de enero la cantidad de 5 000 e,y el primero de cada ao sucesivas sumas que exceden en 100e a la precedente. El 1 de juliode cada ao retira: el primer ao 1 000e, y cada ao sucesivo una cantidad vez y media mayorde la anterior (1 500, 2 250, 3 375, etc.) Qu capital tendr al cabo de cinco aos de la primera

imposicin. Si los intereses se capitalizan semestralmente, en 30 de junio y 31 de diciembre decada ao, al tipo de inters del 2 % semestral?

Solucin:Cn=15133,90

Ejercicio 6.20 Calcular el valor actual de los ingresos que percibir una empresa en los pr-ximos seis aos sabiendo que la produccin del primer ao se valora en 1 000 000 e y que serincrementada cada ao sobre el anterior en 200 000e si para la valoracin se utiliza el rditoanual constante del 5 %.

Solucin:V0=7469290,82

Ejercicio 6.21 Valorar la corriente de ingresos que percibir un determinado trabajador du-rante los prximos 8 aos sabiendo que su sueldo actual es de 40 000e anuales y que se prevun aumento anual acumulativo del 2,5 % si se utiliza como rdito de valoracin constante el 6 %anual.

Solucin:V0=269210,23Vn=429080,20

Ejercicio 6.22 Calcular el valor actual de una renta pospagable de las siguientes condiciones:

1. Los trminos varan en progresin geomtrica de razn 0,95 siendo la cuanta del primero100 000;

2. La duracin de la renta es de 12 aos;3. El tipo de inters durante los seis primeros aos es del 7 % y el 9 % para los restantes 6

aos.


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Ejercicios propuestos 83


Ejercicio 6.23 Una persona impone en un banco el primero de enero de cierto ao la cantidadde 10 000e y en la misma fecha de cada ao de los siguientes impone una cantidad que es un10 % mayor que la del ao anterior. Qu capital reunir al cabo de 8 aos de efectuar la primeraimposicin si la entidad capitaliza al tanto del 5 % anual?

Solucin:Vn=139888,01

Ejercicio 6.24 Calcular el valor actual de una renta pospagable de 10 trminos anuales cuyostres primeros son de 8 000 e, cada uno, los cuatro siguientes de 12 000 e y los restantes de13 000e. Si el tipo de inters aplicable es del 6 % para los cuatro primeros y del 8 % para losrestantes.

Solucin:V0=76450,72

Ejercicio 6.25 Qu cantidad se ingresar en un banco que capitaliza al 8 % anual para queste abone, a fin de cada ao y durante doce, una renta cuyo primer trmino es de 50 000eaumentando cada ao un veinteavo del anterior.


Ejercicio 6.26 Hallar la razn de los trminos de una renta perpetua pospagable que varaen progresin geomtrica siendo su primer trmino 60 000 e, el tipo de inters el 10 % y se hapagado por ella 1 000 000 e.

Solucin:q=1,04

Ejercicio 6.27 En concepto de ingresos netos un inversor percibe las siguientes rentas:

Perodo Concepto Importe0 Inversin inicial 180 0001 Ingresos 12 0002 Ingresos 30 0003 Ingresos 40 0004 Inversin 6 0004 Ingresos 55 0005 Ingresos 60 000

Determinar al 5 % el VAN y obtener la TIR.

Solucin:VAN=19483,05TIR=1,67%

Ejercicio 6.28 De un catlogo deducimos que la adquisicin de una maquinaria puede hacerseabonando en el acto 100 000e y al trmino de cada ao una anualidad que supera la anterioren un 1/25. Determinar el precio de la misma al contado, sabiendo que son en total diez pagosa realizar y que la operacin se valora al 7 % de inters compuesto anual.

Solucin:V0

=882817,29

Ejercicio 6.29 Calcular los valores actual y final de una renta descrita por:


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Perodo Importe0 15 0001 20 0002 25 0003 30 0004 35 000

56 45 0007 51 7508 59 512,509 68 439,37

10 78 705,28

si el tipo de inters aplicable es del 8 % para los 5 primeros aos y del 10 % para los siguientes.

Solucin:V0=256947,11Vn=608031,31

Ejercicio 6.30 Un industrial adquiere una mquina comprometindose a pagarla en diez aosen la forma siguiente: al final del primer ao 150 000e, al fin del segundo 170 000e, al fin deltercero 190 000e, y as sucesivamente hasta 330 000e al final del dcimo ao. Si el tipo deinters aplicado en el contrato es del 4 %, cul es el valor de la mquina al contado?

Solucin:V0=1894261,41

Ejercicio 6.31 Determinar el valor actual a 1 de enero de un trabajador que gana 1 000 emensuales ms dos pagas en 30 de junio y 31 de diciembre si lo valoramos a i = 3, 5 % duranteun ao.

Solucin:V0=13728,17

Ejercicio 6.32 Cual es el valor dentro de dos aos de una renta obtenida por un trabajadorque ingresa 1 100emensuales en el primer ao y un 6 % ms en los siguientes meses del segundoao si lo valoramos a un i= 4 %.

Solucin:Vn=28224,60

Ejercicio 6.33 Determinar el ahorro al final de 4 aos si los ingresos mensuales son de 1 890e,los gastos trimestrales ascienden a 890e el primero y 100e ms cada uno de los siguientes.Adems paga 500eprepagables cada uno de los meses en los 4 aos si se valora la operacin aun i = 0, 5 % mensual,

Solucin:Vn=46204,66

Ejercicio 6.34 Con imposiciones mensuales en un incremento del 4 % se quieren obtener 20 000edentro de 6 aos. Determinar el importe de la ltima cuota si i = 2, 5 %.

Solucin:C72=783,57

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