Relatividad Especial

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Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos

Relatividad y Cosmologa

Jos Antonio Pastor Gonzlez

Universidad de CrdobaMircoles 28 de noviembre de 2012

Relatividad especial:la geometra de un espacio-tiempo llano

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Primeras IdeasIdeas razonables

Hasta Einstein se asuma que:

1 el tiempo fsico es absoluto2 el espacio fsico es absoluto

La radical de raz propuesta de Einstein implicaque estos dos conceptos son relativos: estn enrelacin con el sujeto que los mide + experimenta +observa

Primeras IdeasConsecuencias que tendr la teora especial

1 la duracin de una pelcula depende de quin la estobservando

2 la longitud as como reas, ngulos y volmenes deuna mesa dependen del observador

3 Importante: distinguir entre observar y ver. Ver implicavelocidad de la luz. Observar es lo correcto

4 Importante 2: definiremos ms adelante qu es unamedicin y cmo se mide el tiempo y el espacio

Primeras Ideasmbito inercial: sin campos

es en este mbito donde se desarrolla la teora de laRelatividad especial de Einsteinse ocupa de un ambiente ideal: aqul en el que no haycampos o, en caso de haberlos, su accin se encuentraequilibrada por otra fuerza1

1estacin espacial: gravedad vs fuerza centrfuga; mesa de billar:gravedad vs tapete... hablar de inexactitud porque el equilibrio no es perfecto

Primeras Ideasmbito inercial: sin campos

es en este mbito donde se desarrolla la teora de laRelatividad especial de Einsteinse ocupa de un ambiente ideal: aqul en el que no haycampos o, en caso de haberlos, su accin se encuentraequilibrada por otra fuerza1

1estacin espacial: gravedad vs fuerza centrfuga; mesa de billar:gravedad vs tapete... hablar de inexactitud porque el equilibrio no es perfecto

Primeras IdeasSeguimos viendo cosas curiosas...

Primera Ley de Newton: un objeto libre se mueveen movimiento rectilneo y uniforme

Seamos puntillosos:1 tenemos claro el significado de libre: objeto no afectado

por ninguna fuerza. Admitimos este concepto con totalnaturalidad, aunque nunca hayamos experimentado esalibertad. Es una abstraccin abstraeremos muy amenudo en este curso

2 pero... qu significa rectilneo y uniforme? Vosotrosme diris...

Primeras IdeasSeguimos viendo cosas curiosas...

Primera Ley de Newton: un objeto libre se mueveen movimiento rectilneo y uniforme

Seamos puntillosos:1 tenemos claro el significado de libre: objeto no afectado

por ninguna fuerza. Admitimos este concepto con totalnaturalidad, aunque nunca hayamos experimentado esalibertad. Es una abstraccin abstraeremos muy amenudo en este curso

2 pero... qu significa rectilneo y uniforme? Vosotrosme diris...

Primeras IdeasLa geometra del espacio es eucldea

cuando hablamos de recta no tenemos una definicinprecisa.esto es porque no hay tal definicin: una recta es unobjeto que consideramos como dado, es un elemento msde la geometra eucldeaincluso si pensamos en trminos de coordenadas, ladiscusin carece de sentido.

Primeras IdeasLa dinmica de Newton

se formula para el mbito de lo inercial, esto es, paraaquellos sistemas de referenciaen los que las partculaslibres siguen trayectorias rectilneastodos estos sistemas se mueven a velocidades uniformesunos de otros: constituyen una clase de equivalenciapero Newton fue ms lejos y sin ninguna necesidad (puessus leyes funcionaban igual de bien en todos ellos)propuso que en esta clase infinita de sistemas, haba unoespecial: el espacio absolutoel espacio absoluto se supone que interacta con cadaobjeto para resistir su aceleracin, como si de una mallainvisible que entorpece los cambios de velocidad

Primeras IdeasEl espacio absoluto como estndar de no aceleracin

el espacio absoluto se identificaba en tiempos de Newtoncon el centro de masas del sistema solar. Ms tarde con elframe2 de las estrellas fijas. Mucho ms tarde con elcentro de masas de la galaxia...El espacio absoluto aparece como algo ad hoc, esinnecesario para la teora de Newton y puede estarmotivado por temas extra-cientficos. Otra motivacinpuede venir del hecho de que la aceleracin s esabsoluta. Esta aceleracin es la misma para todos lossistemas pero Newton quiere responder a la pregunta:aceleracin con respecto a qu?Su respuesta es: con respecto al espacio absoluto (==>def. masa inercial)

2sistema de referencia

Primeras IdeasEl espacio absoluto como medio de propagacin

Consolidacin del espacio absoluto: las ecuaciones deMaxwell. stas necesitan estar referidas respecto de unframe y Maxwell toma el espacio absoluto de NewtonMaxwell refuerza as la idea del espacio absoluto yapuntala la idea del ter como medio de propagacin parala luz: el espacio absoluto est relleno de ter, es algoquieto, absoluto, inmutable...

Primeras IdeasEl espacio absoluto como medio de propagacin

Consolidacin del espacio absoluto: las ecuaciones deMaxwell. stas necesitan estar referidas respecto de unframe y Maxwell toma el espacio absoluto de NewtonMaxwell refuerza as la idea del espacio absoluto yapuntala la idea del ter como medio de propagacin parala luz: el espacio absoluto est relleno de ter, es algoquieto, absoluto, inmutable...

Primeras IdeasLa bsqueda del ter de Maxwell

Los fsicos no se conforman con poco, sobre todo losexperimentales. Una vez postulada la existencia del ter,se trataba de confirmarla con experimentos:Michelson-MorleyEl resultado sorprendente condujo a muchas reaccionespara salvar el status-quo: hiptesis de arrastre del ter(desmontada por la aberracin), teoras de emisin(desmontada por observaciones astronmicas), velocidadde la luz invariante (desechada porque contradiceprincipios clsicos), contraccin de Lorentz-Fitzgerald(desechada en el experimento de Kennedy-Thorndike de1932)

Primeras IdeasLa bsqueda del ter de Maxwell

Los fsicos no se conforman con poco, sobre todo losexperimentales. Una vez postulada la existencia del ter,se trataba de confirmarla con experimentos:Michelson-MorleyEl resultado sorprendente condujo a muchas reaccionespara salvar el status-quo: hiptesis de arrastre del ter(desmontada por la aberracin), teoras de emisin(desmontada por observaciones astronmicas), velocidadde la luz invariante (desechada porque contradiceprincipios clsicos), contraccin de Lorentz-Fitzgerald(desechada en el experimento de Kennedy-Thorndike de1932)

Primeras IdeasIrrupcin de Einstein

Einstein adopta el camino ms recio, drstico y radical:extiende el principio de relatividad de Galileo a todos losfenmenos de la fsica, incluyendo los electromagnticos.Ms an: adopta como postulado que la velocidad de laluz es un invariante en todos los sistemas de referenciainercialesLa teora (especial) de Einstein se muestra consistentecon los resultados experimentales y lo ms impresionante:es Maxwell-invariante3

3las ecuaciones de Maxwell son vlidas para cualquier sistema dereferencia inercial

Primeras IdeasEinstein y Maxwell

Einstein se inventa su teora inspirado por Maxwell: no seinspira en Michelson-MorleyEn su artculo sobre la electrodinmica de los cuerpos enmovimiento desarrolla por completo la teora especial de larelatividad (1905) y explica unas nuevas reglas detransformacin para los sistemas inerciales(transformaciones de Lorentz) que sustituyen a las deGalileo

Primeras IdeasEinstein y Maxwell

Einstein se inventa su teora inspirado por Maxwell: no seinspira en Michelson-MorleyEn su artculo sobre la electrodinmica de los cuerpos enmovimiento desarrolla por completo la teora especial de larelatividad (1905) y explica unas nuevas reglas detransformacin para los sistemas inerciales(transformaciones de Lorentz) que sustituyen a las deGalileo

Primeras IdeasOrgenes de la Relatividad General

Aunque la relatividad especial supone la abolicin delconcepto de ter (del espacio absoluto en su rolMaxwelliano) no prescinde del espacio absoluto comoestndar de no-aceleracinEinstein se pregunta por qu los sistemas inercialesson la clase privilegiada en la naturaleza comoestndares de no-aceleracin

Primeras IdeasOrgenes de la Relatividad General

Aunque la relatividad especial supone la abolicin delconcepto de ter (del espacio absoluto en su rolMaxwelliano) no prescinde del espacio absoluto comoestndar de no-aceleracinEinstein se pregunta por qu los sistemas inercialesson la clase privilegiada en la naturaleza comoestndares de no-aceleracin

Primeras IdeasEl Principio de Mach

La paradoja del cubo de Mach como primera idea paraeliminar el espacio absoluto.Mach afirma: no importa si pensamos que es el cubo elque est rotando y el universo quieto o viceversa, las leyesde la fsica deben ser formuladas para que ambassuposiciones sean equivalentesDel principio de Mach al principio de equivalencia y de aha la Relatividad General

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Hechos que sabemosEl espacio absoluto como...

1 ... el sistema inercial ms especial dentro de la claseinfinita de sistemas inerciales donde tienen su validez lasleyes de la mecnica (visin de Newton: artificial, ad hoc,esttica, indemostrable, adaptada a las sucesivasampliaciones del Universo)

2 ... el sistema inercial en el que tienen su validez lasecuaciones de Maxwell, sistema que soporta el ter,medio de propagacin de las ondas electromagnticas engeneral y la luz en particular (visin de Maxwell,consistente con lo previo, demostrable...)

Hechos que sabemosEl espacio absoluto como...

1 ... el sistema inercial ms especial dentro de la claseinfinita de sistemas inerciales donde tienen su validez lasleyes de la mecnica (visin de Newton: artificial, ad hoc,esttica, indemostrable, adaptada a las sucesivasampliaciones del Universo)

2 ... el sistema inercial en el que tienen su validez lasecuaciones de Maxwell, sistema que soporta el ter,medio de propagacin de las ondas electromagnticas engeneral y la luz en particular (visin de Maxwell,consistente con lo previo, demostrable...)

Pero... qu es el ter?Es algo raro, raro, raro...

*

Figura: Un rayo de luz viaja a travs del ter

Propiedades del ter

1 rodea (inunda, afecta) a todo, incluso el vaco (vayaparadoja!)

2 es muy ligero y tenue (para no oponer resistencia algunaal movimiento)

3 es un medio incompresible (para que la velocidad de la luzsea alta)

Propiedades del ter




Propiedades del ter




La Tierra viaja a travs del ter(pues es un sistema no inercial)

Figura: El "viento de ter"

El experimento de Michelson-Morley(viento de cara, viento a favor)

1 si la luz se mueve a velocidad constante con respecto alter

2 y si nosotros nos movemos tambin con respecto al ter, yadems nuestro movimiento no es uniforme (si fueseuniforme, sera complicado detectar algo...)

3 pues entonces pues entonces podemos experimentarcomo vara el viento de ter

El experimento de Michelson-Morley(una analoga camionera)

Figura: Autova=ter. Camin=luz. Coches=nosotros.

El experimento de Michelson-MorleyExplicacin del aparato

Figura: Esquema del aparato

El experimento de Michelson-MorleyAnaloga del piragista: viaje longitudinal

Figura:

El experimento de Michelson-MorleyAnaloga del piragista: viaje transversal

Figura:

Primeras consecuencias

1 en ambos viajes el los tiempos t1 y t2 son mayores que siP rema en aguas tranquilas, esto es porque

2c< t1 y

2c< t2

2 adems, el viaje longitudinal ocupa ms tiempo que eltransversal ya que

t1t2

= (1 v2

c2)12 > 1

Primeras consecuencias

1 en ambos viajes el los tiempos t1 y t2 son mayores que siP rema en aguas tranquilas, esto es porque

2c< t1 y

2c< t2

2 adems, el viaje longitudinal ocupa ms tiempo que eltransversal ya que

t1t2

= (1 v2

c2)12 > 1

Establecemos la analoga

c es la velocidad de la luz con respecto al terv es la velocidad de la tierra con respecto al ter(v 30000km/sec)el piragista es un rayo de luz

El experimento en sBrazos desiguales, desplazamiento respecto al ter

El experimento en sCuentas sencillas

tiempo para el viaje longitudinal (brazo 1) es

t1 =2L1c

(1 v2

c2)1

tiempo para el viaje transversal (brazo 2) es

t2 =2L2c

(1 v2

c2)

12


tiempo para el viaje longitudinal (brazo 1) es

t1 =2L1c

(1 v2

c2)1

tiempo para el viaje transversal (brazo 2) es

t2 =2L2c

(1 v2

c2)

12


Usamos Taylor para aproximar

(1 + x)m = 1mx + m(m 1)2

x2 +

y nos quedamos hasta el primer orden ya que si x = v/centonces x2 108, as pues tomamos

(1 + x)m 1mx

Como los tiempos son distintos.....la onda llega con interferencias

El patrn de interferencias que se observa est directamenterelacionado con la diferencia de tiempos que est dada por

t = t1 t2 = 2c[(L1 L2)(1 + v

2

2c2) +

L1v2

2c2

]Hay dos contribuciones al desfase:

la velocidad vla diferencia de longitudes de los brazos L1 L2el problema es que no sabemos discriminar entre ambas



t = t1 t2 = 2c[(L1 L2)(1 + v

2

2c2) +

L1v2

2c2





t = t1 t2 = 2c[(L1 L2)(1 + v

2

2c2) +

L1v2

2c2



Cmo saber de dnde proviene el desfase?Intercambiando los roles de los brazos

Si hacemos una rotacin de la mquina entoncesintercambiamos los roles de los brazos: el que era longitudinalahora pasa a ser transversal y viceversa. Se produce de nuevoun desfase t , pero lo ms importante es que ahora

t t = v2

c2

(L1 + L2

c

)Por tanto, la diferencia entre los patrones de interferencia seobtiene nicamente si v 6= 0.

PERO LOS PATRONES ERAN IDNTICOS!!SORPRESA DE LA COMUNIDAD CIENTFICA

Sorpresa, porque no se poda detectar el viento del termediante una mquina que era muy precisa y que, en teora ysi las cosas eran como se suponan que eran, deba funcionar.Las reacciones no se hacen esperar.

Reaccin 1Velocidad de la luz es un invariante

La velocidad de la luz siempre es la misma en cualquiersistema de referencia inercial (ste ser uno de los postuladosde Einstein unos 20 aos ms tarde). Se desecha porque

ningn tipo de movimiento ondulatorio se comporta ascontradice el principio de adicin de velocidades de ladinmica de Newton

Reaccin 1Velocidad de la luz es un invariante

La velocidad de la luz siempre es la misma en cualquiersistema de referencia inercial (ste ser uno de los postuladosde Einstein unos 20 aos ms tarde). Se desecha porque

ningn tipo de movimiento ondulatorio se comporta ascontradice el principio de adicin de velocidades de ladinmica de Newton

Reaccin 2Arrastre del ter

se basa en la hiptesis de que la Tierra, al viajar a travsdel ter, arrastra una fina capa de ste sobre su superficiede suerte que la Tierra y esta capa superficial de ter sonsolidarias: no se detecta ningn viento entoncesla hiptesis es rpidamente desechada por el conocidofenmeno de la aberracin estelar (explicamos aqu comoazar la luz de una estrella")

Reaccin 2Arrastre del ter

se basa en la hiptesis de que la Tierra, al viajar a travsdel ter, arrastra una fina capa de ste sobre su superficiede suerte que la Tierra y esta capa superficial de ter sonsolidarias: no se detecta ningn viento entoncesla hiptesis es rpidamente desechada por el conocidofenmeno de la aberracin estelar (explicamos aqu comoazar la luz de una estrella")

Reaccin 3Teoras de emisin

se basa en la hiptesis de que la velocidad de la luzdepende de la fuentees descartada por observaciones astronmicas

Reaccin 3Teoras de emisin

se basa en la hiptesis de que la velocidad de la luzdepende de la fuentees descartada por observaciones astronmicas

Reaccin 4Contraccin de Lorentz-Fitzgerald

propuesta independientemente por ambos en 1892,propone que los objetos en movimiento a travs del tersufren una contraccin espacial en la misma direccindel movimiento dada por el factor

(1 v2

c2)

12

explicaba las observaciones de Michelson-Morley y semantuvo en vilo hasta el experimento deKennedy-Thorndike de 1932 cuando fue refutada

Reaccin 4Contraccin de Lorentz-Fitzgerald

propuesta independientemente por ambos en 1892,propone que los objetos en movimiento a travs del tersufren una contraccin espacial en la misma direccindel movimiento dada por el factor

(1 v2

c2)

12

explicaba las observaciones de Michelson-Morley y semantuvo en vilo hasta el experimento deKennedy-Thorndike de 1932 cuando fue refutada

Reaccin 5 y ltima:El experimento de Michelson-Morley era incorrecto

errores en las medidas, vibraciones, algn fenmenoextrao, etc...el experimento se repiti infinidad de veces, se refinaronlas medidas y se mejor el aparato... jams se observuna diferencia de patrones en las interferencias

Reaccin 5 y ltima:El experimento de Michelson-Morley era incorrecto

errores en las medidas, vibraciones, algn fenmenoextrao, etc...el experimento se repiti infinidad de veces, se refinaronlas medidas y se mejor el aparato... jams se observuna diferencia de patrones en las interferencias

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

El artculo de 1905

[las asimetras del electromagnetismo...] junto con losintentos frustrados de descubrir el movimiento de laTierra con respecto al ter sugieren que losfenmenos del electromagnetismo as como losrelativos a la mecnica no poseen propiedades quenos permitan distinguir un estado de reposoabsoluto. De hecho, estas situaciones sugieren quelas mismas leyes del electromagnetismo, de la pticay de la mecnica deben ser vlidas para todos lossistemas de referencia inerciales

Postulados de la Relatividad

las leyes de la fsica todas son las mismas paracualquier observador inercial (=no acelerado)la velocidad de la luz en el vaco es siempre la mismacon independencia de la fuente

Postulados de la Relatividad

las leyes de la fsica todas son las mismas paracualquier observador inercial (=no acelerado)la velocidad de la luz en el vaco es siempre la mismacon independencia de la fuente

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Relatividad de la Simultaneidad

Relatividad de las medidas temporales

Contenidos

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2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Relatividad de las medidas espaciales

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1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Unidades geomtricas

Consecuencias de estas unidades

Una nueva visin de las transformaciones

Experimento de la Simultaneidad

La aparicin del intervalo como algoabsoluto

Cmo calibrar los ejes?

Calibracin de los ejes

La contraccin de longitudes

El reloj lser...

Causas antes que efectos... o efectos antesque causas

Una primera solucin

El cono de luz como regin del espacio-tiempocausal

Contenidos

1 Inicio

2 Michelson-Morley

3 Las bases

4 Tiempo

5 Espacio

6 Lorentz

7 Minkowski

8 Gemelos

Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Dianaes ms viajera y quiere visitar la estrella -centauroPlanifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a0,8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 aos-luz.Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)hayan pasado 5 aos Diana estar en su destinoPrimera pregunta: qu tiempo transcurre para Diana enese viaje?

Tres formas de responder: la primera

Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el sucesoDiana llega a la EstrellaSegn Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 aosen su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuntomarca el reloj que Diana lleva en su nave. Como ste esten movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que haceApolo de la separacin temporal entre A y B est dilatadacon respecto a la de Diana (

Tres formas de responder: la segunda

La contraccin de longitudes est dada por la frmula

` = `0

1 2

En este caso, `0 = 4 aos/luz, pero desde el punto de vistade Diana ocurre que

` = 4 0,6 = 2,4 aos/luz

Como la velocidad sigue siendo = 0,8, entonces eltiempo empleado por Diana es

2,4/0,8 = 3 aos



` = `0

1 2


` = 4 0,6 = 2,4 aos/luz


2,4/0,8 = 3 aos



` = `0

1 2


` = 4 0,6 = 2,4 aos/luz


2,4/0,8 = 3 aos

Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0,0)S y (0,0)SEl suceso B tiene coordenadas (4,5)S y (0,3)SPara S se tiene tB tA = 5 mientras que para S secumple t B t A = 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

Otra perspectiva

El suceso B (Diana llega a la estrella) tieneS-coordenadas (4,5) y es por esto por lo que Apoloobserva que Diana tarda 5 aos en llegarLa pregunta es...Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres aosen su reloj... qu tiempo observa ella que ha transcurridopara Apolo?Por simetra, como Apolo observa las medidas temporalesde Diana dilatadas, entonces Diana ver las de Apolotambin dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AOS QUEOBSERVA DIANA EN SU RELOJ SECORRESPONDERN CON UN TIEMPO MS PEQUEOEN EL RELOJ DE APOLO

Otra perspectiva


Otra perspectiva


Otra perspectiva


Cunto ms pequeo?

Simplemente, es el valor t0 dado por

t01 2

= 3

por lo que t0 = 3 0,6 = 1,8 aosEsto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVAQUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDONICAMENTE 1,8 aosEs lo natural... debemos esperar simetra (si cuando4

Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando5

Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

4Apolosimultneos5Dianasimultneos

Cunto ms pequeo?


t01 2

= 3





Cunto ms pequeo?


t01 2

= 3





En el viaje de regreso...

Segn Apolo (resp. Diana) la velocidad (resp. ) pasaa ser (resp. ) pero como en las frmulas est alcuadrado nada debe variar...Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse(suceso C) tienen las siguientes versiones (como lospolticos y los medios):Segn Apolo, para l han pasado 10 aos y para Diana 6:ELLA ES CUATRO AOS MS JOVENSegn Diana, para ella han pasado 6 aos y para Apolo1,8 + 1,8 = 3,6: L ES 2,4 AOS MS JOVEN

Situacin simtrica... s o no?

En otras palabras... podemos distinguir entre los dossistemas de referencia?Hay algo fsico que le ocurre a Diana y no a Apolo oviceversa?Observemos que si el viaje fuera en un nico sentido shabra SIMETRAPero la CLAVE est en el cambio de sentido...


Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da lavuelta y regresaTambin es cierto que Diana observa que Apolo (en laTierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las queexperimenta ApoloDIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tieneque frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLOSIEMPRE ES INERCIAL

La bandeja de pasteles

Olvid deciros que antes de partir, ambos acuerdanregalarse unos pasteles a la vuelta...Apolo se los coloca a su lado... cmo huelen! Pero esperael regreso de su hermana para regalrselosDiana tambin los pone en el salpicadero de su nave... losest viendo todo el tiempo...Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la nica quese come los pasteles es Diana porque los que ella llevabapara Apolo estn espachurrados

Un esquema espacio-temporal

Solucion de la paradoja

En el diagrama observamos que para Apolo transcurren 10 anos,mientras que para Diana transcurren 3+3=6 anos. Por lo tantoDiana es 4 anos mas joven que Apolo!

Ilustracin de un efecto Doppler

El numero de felicitaciones por ano nuevo

Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe solo una antes de llegar a Centauro, cuando haban pasado 3 anos, justo antes

de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a razon de una cada 1/3 ano (4 meses).

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