Relaciones y Funciones numeros binarios

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Universidad San Carlos de Guatemala Centro Universitario de Izabal Catedra: Matemáticas Computacional II Catedrática: Ingeniera Nancy Romero Acevedo SEGUNDA UNIDAD 1) Relaciones y Funciones a)Elementos de una Relación i) Producto Cartesiano ii) Relación Binaria iii) Matriz de Relación iv) Grafo de ua relación 2) Relaciones de Recurrencia a) Recurrencia b) Ejemplos donde apareccen relaciones de recurrenccia. c) Relaciones de Recurrencia d) Diferentes tipos de relaciones de recurrencia: homogéneas, no homogéneas, lineales, con coeficiente constante, con coeficientes variables y no lineales. e) Soluciones de ecuaciones de recurrenia no homogenéas con coeficientes constantes f) Solicione de algunas ecuaciones concurrencia no homogéneas con coefcientes constantes. g) soluciones de algunas ecuaciones de recurreecia con coeficientes variables h) aplicacion de las relaciones de recurrencia en el analisis de dos algoritmos: la torre de Hanoi, Busqueda binaria . Alumna:

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Universidad San Carlos de Guatemala

Centro Universitario de Izabal

Catedra: Matemáticas Computacional II

Catedrática: Ingeniera Nancy Romero Acevedo

SEGUNDA UNIDAD1) Relaciones y Funciones a)Elementos de una Relación i) Producto Cartesiano ii) Relación Binaria iii) Matriz de Relación iv) Grafo de ua relación 2) Relaciones de Recurrencia a) Recurrencia b) Ejemplos donde apareccen relaciones de recurrenccia. c) Relaciones de Recurrencia d) Diferentes tipos de relaciones de recurrencia: homogéneas, no homogéneas, lineales, con coeficiente constante, con coeficientes variables y no lineales. e) Soluciones de ecuaciones de recurrenia no homogenéas con coeficientes constantes f) Solicione de algunas ecuaciones concurrencia no homogéneas con coefcientes constantes. g) soluciones de algunas ecuaciones de recurreecia con coeficientes variables h) aplicacion de las relaciones de recurrencia en el analisis de dos algoritmos: la torre de Hanoi, Busqueda binaria.

Alumna:

Keysi Stefany Guadalupe Flores Cordón

Carnet:

201545248

PUERTO BARRIOS, IZABAL

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Relaciones y Funciones

Historia

La palabra función fue introducida en 1694 por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) para designar una cantidad asociada con una curva. En el año 1718, Bernoulli (1667 – 1748) consideraba una función como una expresión algebraica formada por constantes y variables. Las ecuaciones o fórmulas con constantes y variables surgieron con Leonahard Euler (1797 – 1783). Su definición de función es la que generalmente se encuentra en los libros de matemáticas a nivel de enseñanza media. En 1734 Euler y Alexis Clairaut (1713 - 1765) introdujeron la notación f (x) . La idea de Euler permaneció intacta hasta la época de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) quien encontró la necesidad de un tipo más general de función en su estudio de series trigonométricas. En 1837, Meter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) estableció una formulación más rigurosa de los conceptos de variable, función y correspondencia entre la variable independiente y la variable dependiente. El trabajo de Dirichlet enfatiza la relación entre dos conjuntos de números y no pide la existencia de una fórmula o expresión que relaciones a los dos conjuntos. Con los desarrollos de la teoría de conjuntos de George Cantor, se llegó a una generalización de la función como un tipo de relación particular. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Definición de Relación

El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema. Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”. Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2).

Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo: R : x < y .

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

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Clasificación de relaciones - Relaciones de equivalencia - Relaciones de orden - Funciones

1. Relaciones de equivalencia Características (propiedades)2.

1) Reflexividad: xRx : ∀x ∈ S ⇒ xRx ( x está relacionada con x ) Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase S = {Pedro, Javier, Esteban} R : está en la misma habitación Pedro R Pedro → reflexividad

2) Simetría: ∀x, y ∈ S . Si x Ry ⇒ yRx Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro

3) Transitiva: ∀x, y,z ∈ S Si xRy y yRz ⇒ xRz Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R Esteban

Definición: Una relación R , definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔ tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

Relación de orden parcial

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En matemáticas, una relación binaria R sobre un conjunto X es antisimétrica si se cumple que para todo a y b pertenecientes a X si a está relacionado con b y b está relacionado con a entonces a = b.En notación de conjuntos:La relación ser más alto que es una relación antisimétrica dado que a es más alto que b y b es más alto que a no pueden cumplirse al mismo tiempo. Nótese que la antisimetría no es lo opuesto de la simetría ( a Rb y b Ra implican b = a). Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la relación de igualdad), relaciones que no son simétricas ni antisimétricas (como la relación de divisibilidad), relaciones que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y relaciones que son antisimétricas pero no simétricas (la relación "es menor que" ). La relación ser menor o igual también es antisimétrica dado que si a es menor o igual que b y b es menor o igual que a es porque a = b. Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva es llamada un orden parcial.

En resume: cuando en una relación se tiene que a Rb y b Ra es porque el elemento a es igual al elemento b.

Relación unaria

En matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que define R:

EjemploDado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación unaria P de los números pares, esto es un número natural x pertenece a P si x es par, que se expresaría:

o lo que es lo mismo:

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Partiendo de los alumnos de un centro escolar A, podemos definir la relación unaria alumnos de tercero T, formada por los alumnos del centro que estudian tercer curso:

Relación binaria

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática   definida entre los elementos de dos conjuntos   y  . Una relación   de   en   se puede representar mediante pares ordenados   para los cuales se cumple una propiedad  , de forma que  , y se anota:

Que se lee: la relación binaria   es el conjunto de pares ordenados   pertenecientes al producto cartesiano  , y para los cuales se cumple la propiedad   que los relaciona.Las proposiciones siguientes son correctas para representar la relación binaria   entre los elementos   y  :

También, según la notación polaca puede expresarse:

Funciones

Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B de modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto. En otras palabras, una función es una máquina que transforma elementos en otros elementos y cada elemento puede transformarse en un único elemento, no en dos o tres.

Definición:

Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es un conjunto de pares ordenadas de A x B (a, b) con la propiedad de que cada elemento de A es el

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primer componente de una pareja ordenada y para todo a ∈ A, si (a, b) y (a, c) pertenece a f entonces b = c (porque a no se repite en otra pareja).

A: Dominio de la función B: Codominio

Imagen son los elementos de B que forman el segundo componente de la pareja ordenada.

Nomenclatura y = f (x)

Dominio de una función es el conjunto de los valores que puede tomar x o que toma x para que exista la función.

Codominio o rango de una función es el conjunto de los valores que se obtienen al sustituir los valores del dominio en la función.

Tipos de funciones

Función Inyectiva:

A una función en la que a cualquiera par de elementos diferentes del dominio les corresponde imágenes diferentes se le llama función inyectiva (significa uno a uno)

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Función Suprayectiva:

Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva.

Función Biyectiva:

Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama Biyectiva.

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Otras funciones

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Relación binaria

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática   definida entre los elementos de dos conjuntos   y  . Una relación   de   en   se puede representar mediante pares ordenados   para los cuales se cumple una propiedad  , de forma que  , y se anota:

Que se lee: la relación binaria   es el conjunto de pares ordenados   pertenecientes al producto cartesiano  , y para los cuales se cumple la propiedad   que los relaciona.Las proposiciones siguientes son correctas para representar la relación binaria   entre los elementos   y  :

También, según la notación polaca puede expresarse:

EjemplosDado el conjunto   de los números reales, definimos la relación binaria   de los puntos   e   en el plano  , según la función

cuadrática  , de forma que se anota:

Partiendo del conjunto   de los automóviles   de una localidad, y otro conjunto   de las personas   que manejan automóviles en esa localidad, podemos definir la relación binaria   «... conduce ...» entre ambos conjuntos   y  , formada por cada automóvil  , y quien lo conduce   de forma que se anota formalmente:

Taxonomía de las relaciones binariasEn el gráfico ilustrativo de la taxonomía de las relaciones binarias se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido de las flechas.

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Clasificación

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas, de las heterogéneas. En las primeras, la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad, lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones

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matemáticas de cálculo. Una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.

Relación homogénea

Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos son iguales:

Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:

O bien:

Relación heterogénea

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea, si A es distinto de B:

Conceptos previosAntes de afrontar el estudio de las relaciones binarias, veamos algunos conceptos que es necesario conocer:

Par ordenado

Las partes de un par ordenado son:

Primer conjunto

Primer componenteSegundo conjunto

Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

a es el primer componente del primer conjunto y;b como el segundo componente del segundo conjunto.

Matemáticamente esto se expresa:

y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A e y pertenece a B.

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Producto cartesiano

Definimos los conjuntos:

Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:

Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano

Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar:

que por extensión resulta:

Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos.2

Esto último permite estimar el número de relaciones binarias entre dos conjuntos si:

Entonces el número de relaciones binarias posibles entre los conjuntos A y B viene dado por:

Donde si alguno de los dos conjuntos es infinito el número anterior debe entenderse como un número transfinito.

Relación binaria homogénea

Como ya se definió antes, una relación binaria homogénea es la que se da entre los elementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos:

Si la Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintos tipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos, determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:

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Dado el conjunto A:

y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

o como conjunto de pares ordenados:

También podemos representar una relación binaria homogénea como unacorrespondencia de A sobre A:

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nos permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando una operación matemática o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneasRepresentación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:Dado el producto   de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de

 que contiene todos los pares de elementos relacionados.Si el producto   es:

d (a, d) (b, d) (c, d) (d, d)

c (a, c) (b, c) (c, c) (d, c)

b (a, b) (b, b) (c, b) (d, b)

a (a, a) (b, a) (c, a) (d, a)

A×A a b c d

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el conjunto R de la relación binaria se representa:

Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

Propiedades de las relaciones binarias homogénea

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

Propiedad reflexiva

Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento está relacionado consigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

Propiedad irreflexiva

Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:

Que también puede expresarse

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

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Propiedad simétrica

Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R.

Propiedad antisimétrica

Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a 

este relacionado con b y b este relacionado con a

Propiedad transitiva

Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado conb y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c:

Propiedad total

Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a está relacionado con b ó b está relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:

Relación bien fundada

Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si para todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, y b distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.

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Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que es el elemento mínimo de ese subconjunto.

Clases de las relaciones binarias homogénea

Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden diferenciar algunas por su especial interés:

Relación reflexiva

La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.

Las relaciones reflexivas son las definidas así:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

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El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad matemática, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo.

Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos:

Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:

Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación:

Luego la relación R es reflexiva.

La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas la función identidad.

En el eje horizontal (abscisas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(ordenadas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.

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En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva.

Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.

En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.

Relación no reflexiva

Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:

Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas.

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple:

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1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de Ano está relacionado consigo mismo.

También podemos decir que una relación es irreflexiva si:

Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a está relacionado consigo mismo.

Dado el conjunto:

y la relación entre los elementos de este conjunto:

Podemos ver que:

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva.

La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.

La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que:

y si es irreflexiva, se cumple:

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Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente:

Una relación binaria es no reflexiva si:

Y una relación es no irreflexiva cuando:

Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva:

veamos un ejemplo, dado el conjunto:

En la que se ha definido la relación binaria:

Podemos ver que:

Y también que:

Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.

Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación.

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En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones:

Relaciones reflexivas Relaciones irreflexivas Relaciones no reflexivas y no irreflexivas.

Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.

Relación de dependencia

na relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de Aestá relacionado consigo mismo.

2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b también está relacionado con el a.

Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:

y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:

es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:

es simétrica:

relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:

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que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos.

Conjunto preordenado

Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple:

1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

Relación de equivalencia

Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:3

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b también está relacionado con el a.

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3.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjuntoA, entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.

En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así:

el resto de dividir 5 entre 2 es 1el resto de dividir 6 entre 3 es 0el resto de dividir 7 entre 3 es 1

se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto:

el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.

La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva:

es simétrica:

y es transitiva

Conjunto parcialmente ordenado

Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

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Se dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y(b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.

Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos:

Se define el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:

A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:

Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo:

La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al ser reflexiva:

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Transitiva:

Antisimetrica:

Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado.

Esta relación no es total dado que:

Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son:

Orden total

Un conjunto A se dice que esta totalmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva, antisimétrica y total:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria define un orden total, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta

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también relacionado con el c.

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y(b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.

4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto:a, b; o a está relacionado con b ó bien b está relacionado con a.

Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relación binaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva:

es transitiva:

es antisimetrica:

y es total:

Conjunto bien ordenado

Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, se dice que es un conjunto bien ordenado si cumple:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria define un conjunto bien ordenado, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

Page 28: Relaciones y Funciones numeros binarios

27

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y(b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.

4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto:a, b; o a está relacionado con b ó bien b está relacionado con a.

5.- Relación bien fundada: dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si para todo subconjunto B deA se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.

Relación binaria heterogénea

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distinto de B:

Lo que también se llama correspondencia matemática.4 5

A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital, en el cual se representan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otro conjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en el diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras pintadas, asociando a cada pincel la cara que está pintada del mismo color.

Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementos distintos del conjunto, si dos pinceles o

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dos caras son del mismo color tienen la misma característica color, siendo elementos del conjunto diferentes.

En el diagrama podemos ver el conjunto inicial ( o dominio ) de pinceles P, sobre el que está definida la relación:

, , ,

Solo algunos elementos del conjunto origen tienen asociado un elemento, estos elementos forman el conjunto origen:

, ,

Y el conjunto final ( o codominio ) de caras pintadas C es:

, , ,

Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjunto imagen:

, ,

La relación binaria es la formada por los pares ordenados:

,  ,  ,  , 

Una relación binaria homogénea:

Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos, si lo que se está tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntos serían distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea, si es factible.

Propiedades de las relaciones binarias heterogénea

Partiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias.

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Condición de existencia de imagen. (ei)

a condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a deA tiene al menos una imagen b en B.

para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b estén relacionado.

En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles:

,

y el C de las caras pintada:

, , ,

Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada.

Condición de existencia de origen. (eo)

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un origen a en A.

para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.

Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura:

, , ,

y el conjunto C de caras pintada:

,

Page 31: Relaciones y Funciones numeros binarios

30

Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen.

Condición de unicidad de imagen. (ui)

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que están relacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:

si un elemento a de A está relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son iguales.

Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, esta diferencia es importante.

En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P:

, , ,

Y el conjunto final C, de caras pintada:

, ,

Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

Condición de unicidad de origen. (uo)

La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionados con algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:

En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores:

, , ,

y el conjunto final C de caras pintadas:

, , ,

Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto

Page 32: Relaciones y Funciones numeros binarios

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es un solo origen, no todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.

Galería de ejemplos

Según las cuatro condiciones expuestas, cada una de ellas independiente de las demás, podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.

Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T, y como conjunto final el de pinceles P, asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.

Clases de las relaciones binarias heterogénea

Partiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciar los siguientes casos.

Correspondencia unívoca

Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

Esta relación es una correspondencia unívoca, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:

Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada unívoca.

Page 33: Relaciones y Funciones numeros binarios

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Correspondencia biunívoca

Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y unicidad de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

Esta relación es una correspondencia biunívoca, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:

2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:

Aplicación

Una correspondencia   se denomina aplicación si todo elemento de A admite una única imagen en B, esto es si cumple la condición de unicidad de imagen y de existencia de imagen.

Una aplicación f de A en B, siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, es una correspondencia entre A y B, total y unívoca.12 según otra nomenclatura.

Si la aplicación la representamos como R, tendremos:

por la que definimos una aplicación que a cada elemento a de A se le asigna un único b de B.

Para todo a de A, se cumple que existe un único b de B, tal que b es el resultado R(a).

El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos. Es usual hablar de aplicación en lugar de función, reservando esta última expresión, habitualmente, para el caso en el cual los conjuntos A y B son numéricos. Si A y B son conjuntos de puntos, se suele hablar de transformación geométrica.Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

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En inglés una aplicación se llama map.

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

Esta relación es una aplicación, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagenb en B:

Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.

Aplicación inyectiva

Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

Esta relación es una aplicación inyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagenb en B:

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:

Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es una Aplicación inyectiva.

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De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumpla la condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.

Aplicación sobreyectiva

Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y existencia de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

Esta relación es una aplicación sobreyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagenb en B:

3.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen aen A:

Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condición de existencia de origen.

Aplicación biyectiva

Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

Esta relación es una aplicación biyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:

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2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagenb en B:

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:

4.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen aen A:

Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

Relación cuaternariaEn matemáticas, una relación cuaternaria R es el conjunto de cuaternas,   que cumplen una determinada condición que define R

Las dos proposiciones siguientes son correctas para representar una relación cuaternaria  :

EjemploTomando el conjunto R de los números reales, definimos la relación cuaternaria E(x, y, z, t) donde x, y, z son lascoordenadas espaciales y t es el tiempo tal que:

donde E es el conjunto de puntos que describe una espiral cónica según el eje z, a lo largo del tiempo t.

Tomando los datos de los nacimientos de una determinada localidad, se puede establecer la relación cuaternaria N(n, d, t, p) de los nacidos en esa localidad donde: n es el nombre, d es el día de nacimiento, t es la talla en cm, y p es el peso en kg.

La relación N está formada por tuplas, del producto de los conjuntos: Nombre, Dias, Tallas y Pesos:

Page 37: Relaciones y Funciones numeros binarios

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Relación n-ariaEn matemáticas y lógica, una relación n-aria R (o a menudo simplemente relación) es una generalización de la relación binaria, donde R está formada por una tupla de n términos:

Un predicado n-ario:   es una función a valores de verdad de n variables.Debido a que una relación como la anterior define de manera única un predicado n-ario que vale para   si y sólo si   está en  , y viceversa, la relación y el predicado se denotan a menudo con el mismo símbolo. Así pues, por ejemplo, las dos proposiciones siguientes se consideran como equivalentes:

Ejemplo

La siguiente relación, definida sobre el conjunto N de los números naturales, es n-aria, pues posee n términos:

La relación dice que cada uno de los términos es mayor que el anterior. El valor de n es un parámetro fijo, que se puede explicitar, o bien dejar como genérico, para describir un caso general.

Matriz de Relación

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. La notación de una matriz   tiene la forma:

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Page 38: Relaciones y Funciones numeros binarios

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Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) ycolumnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito  ) donde  . El conjunto de las matrices de tamaño   se representa como  , donde   es elcampo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.

Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila  ésima y la columna  ésima se le llama entrada   o entrada  -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento.4 Por ejemplo, al elemento de una matriz   de tamaño   que se encuentra en la fila  ésima y la columna  ésima se le denota como  , donde   y  .

Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un   o un   con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz   de tamaño   se representa como   mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como  .

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos.[cita requerida] Así   es una matriz, mientras que   es unescalar en esa notación. Sin embargo esta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer esta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a la matriz por sus

entradas, i.e.   o incluso  .

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Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño   mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño  .

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas,  , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota 

Ejemplo[editar]

Dada la matriz 

es una matriz de tamaño  . La entrada   es 7.

La matriz 

es una matriz de tamaño  : un vector fila con 9 entradas.

Operaciones básicas entre matrices[editar]

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones enálgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición[editar]

Sean  . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria   tal que   y donde   en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo  . Por ejemplo, la entrada   es igual a la suma de los elementos   y   lo cual es  .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea 

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

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A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices, en el caso de que las entradas estén en un campo, poseen las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que estas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz.

Propiedades de la suma de matrices

Sean  , donde   es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria 

Asociatividad

Relaciones de RecurrenciaUna ecuación recurrente es un tipo específico de relación de recurrencia. Una relación de recurrencia para la sucesión   es una ecuación que relaciona   con alguno de sus predecesores  . Las condiciones iniciales para la sucesión   son valores dados en forma explícita para un número finito de términos de la sucesión.1

Resolver una relación de recurrencia consiste en determinar una fórmula explícita (cerrada) para el término general  , es decir una función no recursiva de n.Hay dos métodos para resolver relaciones recurrentes: iteración y un método especial que se aplica a las relaciones de recurrencia lineales homogéneas con coeficientes constantes.Un ejemplo de una relación de recurrencia es el siguiente:

Algunas definiciones de recurrencia pueden tener relaciones muy complejas (caóticas), y sus comportamientos a veces son estudiados por los físicos y matemáticos en un campo conocido como análisis no lineal.ResoluciónIteraciónPara resolver una relación de recurrencia asociada a la sucesión:   por iteración, utilizamos la relación de recurrencia para escribir el n-ésimo término   en términos de algunos de sus predecesores. Luego utilizamos de manera sucesiva la relación de recurrencia para reemplazar cada uno de los términos por algunos de sus predecesores. Continuamos hasta llegar a alguno de los casos base.

Page 41: Relaciones y Funciones numeros binarios

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Recurrencias Lineales

Una relación de recurrencia es lineal de grado k si tiene la siguiente estructura:

siendo   funciones reales de  , y   una función de n.

El adjetivo lineal indica que cada término de la secuencia está definido como una función lineal de sus términos anteriores. El orden de una relación de recurrencia lineal es el número de términos anteriores exigidos por la definición.

En la relación   el orden es dos, porque debe haber al menos dos términos anteriores (ya sean usados o no).

Ejemplos :

Ecuación de Recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes

Se llama ecuación de recurrencia lineal homogénea de grado k, con coeficientes constantes, a una expresión del tipo:

Para poder encontrar una solución, hacen falta unas condiciones de contorno o iniciales  , siendo k el grado de la ecuación.

La recurrencia lineal, junto con las condiciones iniciales  , determinan la secuencia única.

Sea la ecuación de recurrencia lineal homogénea de orden k anterior, se denomina ecuación característica a la ecuación de grado k:

La generación de la función racional

Las secuencias lineales recursiva son precisamente las secuencias cuya función de generación es una función racional: el denominador es el polinomio auxiliar (a una transformación), y el numerador se obtiene con los valores iniciales.

El caso más sencillo son las secuencias periódicas, , n≥d que tienen secuencia   y función de generación una suma de una serie geométrica:

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Más general, dada la relación de recurrencia:

con función de generación

la serie es aniquilada por   y anteriormente por el polinomio:

Eso es, multiplicando la función de generación por el polinomio

como el coeficiente en  , que desaparece (por la relación de recurrencia) para n ≥ d. Así:

como dividiendo:

expresando la función de generación como una función racional. El

denominador es  , una transformación del polinomio auxiliar (equivalente, invirtiendo el orden de los coeficientes); también se puede usar cualquier múltiplo de esta, pero esta normalización es elegida por ambas porque la relación simple del polinomio auxiliar, y de ese modo  .

Relación con la diferencia de ecuaciones

Dada una secuencia   de números reales: la primera diferencia   se define como 

La segunda diferencia   se define como  ,

que se puede simplificar a  .

Más general: la diferencia   se define como 

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A diferencia de la ecuación es una ecuación compuesta por   y sus diferencias. Cada relación de recurrencia puede ser formulada como una ecuación de diferencia. Por el contrario, cada ecuación de diferencia puede ser formulada como una relación de recurrencia. Algunos autores así utilizan los dos términos intercambiables. Por ejemplo, la ecuación de la diferencia:

es equivalente a la relación de recurrencia:

De este modo se puede resolver relaciones de recurrencia por la reiteración como ecuaciones diferencia, y luego la solución de la ecuación de diferencia, análogamente como una solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ver escala de tiempo de cálculo para la unificación de la teoría de las ecuaciones de diferencia con la de las ecuaciones diferenciales.

Resolución

Sean

una ecuación de recurrencia lineal homogénea,   su ecuación característica y,   las raíces de la ecuación característica con multiplicidades   respectivamente. La solución de esta ecuación sería:

Con   el polinomio de grado menor o igual que  . Para poder calcular los coeficientes de los polinomios  , necesitamos saber las condiciones iniciales de la ecuación de recurrencia.

Ejemplo : Números de Fibonacci[editar]

Los números de Fibonacci están definidos usando la siguiente relación de recurrencia lineal:

con los valores iniciales:

La secuencia de los números de Fibonacci comienza: 0, 1, 1, 2, 3 ,5, 8, 13, 21 ,34, 55, 89... El objetivo de la resolución de la

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ecuación de recurrencia es encontrar una forma cerrada para calcular los números de Fibonacci.

La ecuación característica es la siguiente:

por lo tanto, la solución general es:

Para hallar el valor de   y   resolvemos las siguientes ecuaciones:

Entonces:

y

La forma cerrada para los números de Fibonacci es:

Ecuación de Recurrencia lineal no homogénea con coeficientes constantes

Recibe el nombre de ecuación de recurrencia lineal no homogénea de grado k, con coeficientes constantes, una expresión del tipo:  .

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Resolución

La solución general sería:   , donde   es la solución de la ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada es decir la ecuación :   

y donde  es la solución particular que depende de la función F(n). Por lo tanto los pasos a seguir serían, primero calcular la solución de la ecuación homogénea, calcular una solución particular para F(n) y sumarla a la homogénea, y a continuación aplicar las condiciones iniciales para calcular las constantes. En la siguiente tabla, encontramos cuales son las posibles soluciones particulares:

Consideraciones:

1.- Si F(n) es una combinación lineal de algunas de las funciones de la tabla anterior, su solución particular es la combinación lineal de las soluciones particulares de esas mismas funciones.

2.- Si uno de los sumandos de F(n) es el producto de una constante por una solución de la ecuación característica homogénea asociada, entonces es necesario multiplicar la solución particular correspondiente a este sumando por la menor potencia de n, n´ tal que este nuevo producto no sea solución de la ecuación característica homogénea asociada.

Ejemplo: Torres de Hanói[editar]

La ecuación de recurrencia asociada con el problema de las Torres de Hanói es la siguiente:

Con las condiciones iniciales:

Se resuelve la siguiente homogénea:

La ecuación característica es:  , entonces 

Page 46: Relaciones y Funciones numeros binarios

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Entonces : 

A continuación, se resuelve la ecuación particular:

, entonces  .

, entonces igualando con las condiciones iniciales la solución es : 

Recurrencias No lineales

Para resolver recurrencias no lineales tenemos muchas opciones de las cuales:

Buscar transformaciones o cambios de variables que hagan la recurrencia lineal.

Para el caso   , hay un teorema muy útil que es el Teorema Maestro.

La recurrencia en la computaciónLa conexión con el análisis de algoritmos estriba en que la forma que se ha adoptado para medir las complejidades, utiliza funciones cuyo dominio son los números naturales, o en otras palabras, sucesiones. Si el algoritmo es recurrente, es de esperarse que las complejidades, como funciones que estiman la demanda de recursos a lo largo de la ejecución, sean sucesiones que satisfacen ciertas ecuaciones de recurrencia. En un algoritmo recursivo, la función t(n) que establece su complejidad viene dada por una ecuación de recurrencia. Una ecuación de recurrencia nos permiten indicar el tiempo de ejecución para los distintos casos del algoritmo recursivo (casos base y recursivo).Ejemplo : Cálculo del factorial

int Fact(int n){ if(n<=0) return 0; else if(n==1) return 1; return n*Fact(n-1);}

Considerando el producto como operación básica, podemos construir la ecuación recurrente para calcular la complejidad del algoritmo como sigue:

Como se ve en el código el caso base es para n<=1, para estos valores de n el número de multiplicaciones que se realiza es 0. Y en otro caso es 1 más las necesarias para calcular el factorial de n-1. Así construimos la función recurrente:

Page 47: Relaciones y Funciones numeros binarios

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Ahora si resolvemos la ecuación recurrente sabremos la complejidad de este algoritmo en función de n. Procedemos a resolver esta ecuación recurrente no lineal:

resolvemos la homogénea:

resolvamos ahora la particular:

como la particular' coincide con la r, debemos aumentar el grado multiplicando por n

por lo que la solución de la ecuación recurrente queda como sigue:

Ahora calculamos c utilizando el caso base, t(1) = 0

ya tenemos la solución: t(n) = n - 1

La ecuación que nos ha quedado es de grado 1 por lo que la complejidad es del orden exacto de n -> θ(n)

Por ejemplo para calcular el factorial de 3 necesitaremos t(3) productos lo que es igual a

Como vemos son 2 productos como nos ha devuelto la ecuación.

Grafo de una relación

Un grafo   es un par ordenado  , donde:

 es un conjunto de vértices o nodos, y  es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Normalmente   suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.

Se llama orden del grafo   a su número de vértices,  .

Page 48: Relaciones y Funciones numeros binarios

47

El grado de un vértice o nodo   es igual al número de arcos que lo tienen como extremo.

Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

Dos o más aristas son paralelas si relacionan el mismo par de vértices.

Grafo no dirigido

Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo donde:

 es un conjunto de pares no ordenados de elementos de  .

Un par no ordenado es un conjunto de la forma  , de manera que  . Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de  , denotado  , y son de cardinalidad 2.

Grafo dirigido

Grafo dirigido

Artículo principal: Grafo dirigido

Un grafo dirigido o digrafo es un grafo   donde:

 es un conjunto de pares ordenados de elementos de  .

Dada una arista  ,   es su nodo inicial y   su nodo final.

Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.

Un grafo mixto es aquel que se define con la capacidad de poder contener aristas dirigidas y no dirigidas. Tanto los grafos dirigidos como los no dirigidos son casos particulares de este.

Page 49: Relaciones y Funciones numeros binarios

48

Variantes sobre las definiciones principales

Algunas aplicaciones requieren extensiones más generales a las dos propuestas clásicas de grafos. Aunque la definición original los permite, según la aplicación concreta pueden ser válidos o no. A veces   o   pueden ser un multiconjunto, pudiendo haber más de una arista entre cada par de vértices. La palabra grafo (a secas) puede permitir o no múltiples aristas entre cada par de vértices, dependiendo del autor de la referencia consultada. Si se quiere remarcar la inexistencia de múltiples aristas entre cada par de vértices (y en el caso no dirigido, excluir bucles) el grafo puede llamarse simple. Por otra parte, si se quiere asegurar la posibilidad de permitir múltiples aristas, el grafo puede llamarse multigrafo (a veces se utiliza el término pseudografo para indicar que se permiten tanto bucles como múltiples aristas entre cada par de vértices).

Propiedades

Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos vértices son adyacentes si una arista los une.Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro.Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o del camino más corto.Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto.

Ejemplos

La imagen es una representación del siguiente grafo:

V:={1,2,3,4,5,6}

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E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.

En la teoría de las categorías una categoría puede ser considerada como unmultigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas.

En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.

Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.

Grafos particulares

Existen grafos que poseen propiedades destacables. Algunos ejemplos básicos son:Grafo nulo: aquel que no tiene vértices ni aristas. Nótese que algunas personas exigen que el conjunto de vértices no sea vacío en la definición de grafo.Grafo vacío: aquel que no tiene aristas.Grafo trivial: aquel que tiene un vértice y ninguna arista.Grafo simple: aquel que no posee bucles ni aristas paralelas. Consultar variantes en esta definición.Multigrafo (o pseudografo): G es multigrafo si y solo si no es simple. Consultar variantes en esta definición.Grafo completo: grafo simple en el que cada par de vértices están unidos por una arista, es decir, contiene todas las posibles aristas.Grafo bipartito: sea   una partición del conjunto de vértices  , es aquel donde cada arista tiene un vértice en   y otro en  .Grafo bipartito completo: sea   una partición del conjunto de vértices  , es aquel donde cada vértice en   es adyacente sólo a cada vértice en  , y viceversa.Grafo plano: aquel que puede ser dibujado en el plano cartesiano sin cruce de aristas.Árbol: grafo conexo sin ciclos.Grafo rueda: grafo con n vértices que se forma conectando un único vértice a todos los vértices de un ciclo-(n-1).Grafo perfecto aquel que el número cromático de cada subgrafo inducido es igual al tamaño del mayor clique de ese subgrafo.Una generalización de los grafos son los llamados hipergrafos.