Relaciones trigonometricas

69
TRIGONOMETRÍA TRIGONOMETRÍA (Primera parte) (Primera parte)

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Page 1: Relaciones trigonometricas

TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA

(Primera parte)(Primera parte)

Page 2: Relaciones trigonometricas

2

Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

Page 3: Relaciones trigonometricas

3

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Page 4: Relaciones trigonometricas

4

• NOCIONES PREVIAS

• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.

• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO

AGUDO.

• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.

• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

Page 5: Relaciones trigonometricas

NOCIONES PREVIAS

1.1. a.a. Proporcionalidad de segmentos y Proporcionalidad de segmentos y

semejanzasemejanza

b.b.TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES

2.2. TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE PITÁGORAS

Page 6: Relaciones trigonometricas

6

1.a. Proporcionalidad de 1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanzasegmentos y semejanza

Sombra del árbol grande (S)

S. árbol pequeño (s)

H

h

Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas

H

h

Ss

OA’

A

B’

B

)alidadproporcionderazón(k'AA

'BB

'OA

'OB

H

h

S

s

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Page 7: Relaciones trigonometricas

7

Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten

Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

O

A’A

B’

B

'OB

'B'A

OB

ABtambieno

'OB

'OA

OB

OA

1.b. TEOREMA DE TALES1.b. TEOREMA DE TALES

O

A’

A

B’

B

C’

D’E’

EDC

B’’

C’’

D’’

E’’

r

r’

Page 8: Relaciones trigonometricas

8

Medida de ángulosMedida de ángulos

Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:

Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)

Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)

Radianes (En la calculadora MODE RAD)

Ángulo de 1 giro

Ángulo llano

Ángulo recto

Un grado

Un minuto

SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”

CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s

RADIANES 2 /2

Page 9: Relaciones trigonometricas

9

Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 210º

S. centesimal 50g 60g 100g

Radianes 2π/3 5π/6

S.sexagesimal 140º 240º

S. centesimal 350g 90g 25g

Radianes 7π/8 3

Page 10: Relaciones trigonometricas

10

Ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º

S. centesimal 66g 66m

66s 50g 133g 33m

33s 60g 233g 33m

33s 100g 166g 66m

66s

Radianes

S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14”

S. centesimal 155g 55m

55s 350g 175g 90g 266g 66m

66s 25g 190g 98m

59s

Radianes 3

3

4

10

36

7

2

3

26

5

8

718

144

720

93

48

Page 11: Relaciones trigonometricas

11

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO

a

c

hipotenusa

opuestocatetoCsen

a

b

hipotenusa

adyacentecatetoCcos

c

a

opuestocateto

hipotenusaCeccos

b

a

adyacentecateto

hipotenusaCsec

b

c

adyacentecateto

opuestocatetoCtg

c

b

opuestocateto

adyacentecatetoCgcot

Ccos

1Csec

Csen

1Ceccos

Ctg

1Cgcot

Sea ABC un triángulo rectángulo en A.

Se definen seis razones trigonométricas

CA

B

a

b

c

Cateto adyacente o contiguo a C

Ca

teto

op

ue

sto

de

C

Page 12: Relaciones trigonometricas

12

VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO

B

CA

a

b

C

1a

cCsen0

1a

bCcos0 1

c

aCeccos

1b

aCsec

b

cCtg0

c

bCgcot0

En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa.

Es decir: 0 < c < a 0 < b < a

En consecuencia:

Page 13: Relaciones trigonometricas

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,

45º y 60º

1.1. R.T. DE 30º y 60ºR.T. DE 30º y 60º

2.2. R.T. DE 45ºR.T. DE 45º

Page 14: Relaciones trigonometricas

14

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)

A B

CSea ABC un triángulo equilátero

H

ll

l

l/2

x

B

C

H

l

60º

30º

Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide

En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide

Trazamos una altura CH

60º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

22

2 l2

lx

Tª de Pitágoras

4

llx

222

4

ll4x

222

4

l3x

22

4

l3x

2

2

3lx

60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2

Page 15: Relaciones trigonometricas

15

B

C

H

l

l/2

2

3l

60º

30º

2

3

l2

3l

l23l

º60sen

2º60cos

1º60sec

3

2

º60sen

1º60eccos

3

3

3

1

º60tg

1º60gcot

2

1

l2

l

l2l

º60cos

32

32

2123

º60cos

º60senº60tg

2

1

l2

l

l2l

º30sen

2

3

l2

3l

l23l

º30cos

3

3

3

1

32

2

23

21

º30tg

2º30sen

1º30eccos

3

2

º30cos

1º30sec

33

33

3

3

º30tg

1º30gcot

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)

Observa que:

sen 60º = cos 30º

cos 60º = sen 30º

tg 60º = cotg 30º

cotg60º = tg 30º

sec 60º =cosec30º

Cosec 60º =sec30º

Page 16: Relaciones trigonometricas

16

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)

Sea ABCD un cuadrado

l

l

x45º

Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide

En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide

Trazamos la diagonal AC

90º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

222 llx

Tª de Pitágoras

22 l2x

2l2x

2lx

45º y el ángulo C mide 45º

A B

CD

lA B

C

l

45º

Page 17: Relaciones trigonometricas

17

2

2

2

1

2l

lº45sen

22

22

2

2

º45cos

1º45sec

11

1

º45tg

1º45gcot

1l

lº45tg

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)

45º

lA B

C

l

45º

2l2

2

2

1

2l

lº45cos

22

2

º45sen

1º45eccos

Observa que:

sen 45º = cos 45º

tg 45º = cotg 45º

sec 45º =cosec45º

Page 18: Relaciones trigonometricas

18

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

α

Si el ángulo B mide α grados,

el ángulo C mide º90

º90y

º90

AB

C

ba

c

cosa

c)º90(sen

sena

bº90cos

gcotb

cº90tg

eccossen

1

º90cos

1º90sec

seccos

1

º90sen

1º90eccos

tggcot

1

º90tg

1º90gcot

Page 19: Relaciones trigonometricas

19

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

Si dividimos la expresión anterior por a2

2

2

2

2

2

2

a

a

a

c

a

b

Expresándolo de otra forma:

1a

c

a

b22

1cossen 22 O lo que es lo mismo:

1cossen 22

1cossen 22

Que normalmente expresaremos de la forma:

Page 20: Relaciones trigonometricas

20

Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2

2

2

2

2

2

2

b

a

b

c

b

b

Expresándolo de otra forma:

22 eccosgcot1

22 sectg1

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

2

2

2

2

2

2

c

a

c

c

c

b

22 sectg1

22 eccosgcot1

OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

Page 21: Relaciones trigonometricas

Circunferencia goniométrica

1.1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERAR.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA

2.2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN

ÁNGULOÁNGULO

3.3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA

COTANGENTECOTANGENTE

4.4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSR.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

5.5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

6.6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360ºR.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

7.7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOSR.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS

Page 22: Relaciones trigonometricas

22

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas

X

Y

O

a

Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda

A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica.

1

Page 23: Relaciones trigonometricas

23

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

y1

y

r

'y

radio

ordenadasen

x1

x

r

'x

radio

abscisacos

ordenada y' ytg α= = = , si x 0

abscisa x' x

X

Y

Oa

1

P(x,y)Q(x’,y’)

r

Page 24: Relaciones trigonometricas

24

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

radio r 1secα= = = , si x 0

abscisa x' x

radio r 1cosec α= = = , si y 0

ordenada y' y

abscisa x' xcotg α= = = , si y 0

ordenada y' y

X

Y

Oa

1

P(x,y)Q(x’,y’)

r

Observamos que los valores de las relaciones trigonométricas, no dependen del punto elegido sobre el lado terminal del ángulo, por lo tanto, a partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica)

Page 25: Relaciones trigonometricas

25

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

:De acuerdo a las definiciones

ysen α tg α cos α x

cos α x cotg α sen α y

1 1 sec α cos α

sen α tg α = c

1se

co

c

s αcotg α = s

α = cos αx

1 1 cosec α s

os

cosec α

en α

en α y

α

=

1 sen α

Page 26: Relaciones trigonometricas

26

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º

A

60º

120º

-1

-1

1

X

Y

O 1

En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º)

A’

60º

x

y

-x

y yº120sen º60sen

xº120cos º60cos

x

yº120tg

x

y º60tg

2

3

2

1

3

2º120sec 3

32º120eccos

3

3º120gcot

Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

Page 27: Relaciones trigonometricas

27

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º

-1

-1

1

X

Y

O 1

210º

30º

A

x

y

A’

30º-x-y

yº210sen º30sen

xº210cos º30cos

x

yº210tg

x

y º30tg

En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º).

Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

2

1

2

3

3

3

3

32º210sec 2º210eccos 3º210gcot

Page 28: Relaciones trigonometricas

28

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

y 180º +

y π +

En la circunferencia goniométrica

dibujamos y 180º +

A’

180º+

x

y

-x-y

yº180sen sen

xº180cos cos

x

yº180tg

x

y tg

sensen coscos tgtg

Page 29: Relaciones trigonometricas

29

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º

-1

-1

1

X

Y

O 1

315º

En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º).

º315tg 1º45tg

º315sen º45sen2

2

º315cos º45cos2

2

2º315sec 2º315eccos 1º315gcot

Page 30: Relaciones trigonometricas

30

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

y 360º-

y 2π-

En la circunferencia goniométrica

dibujamos y 360º -

A’

360º-

- x

y

-y

yº360sen sen

xº360cos cos

x

yº360tg

x

y tg

sen2sen cos2cos tg2tg

Page 31: Relaciones trigonometricas

31

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

A

180º-

-1

-1

1

X

Y

O 1

y 180º -

y π -

En la circunferencia goniométrica

dibujamos y 180º -

A’

x

y

-x

y

yº180sen sen

xº180cos cos

x

yº180tg

x

y tg

sensen coscos tgº180tg

α

α

Page 32: Relaciones trigonometricas

32

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

OPUESTOS

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

y -

En la circunferencia goniométrica dibujamos y -

A’

-α x

y

-y

ysen sen

xcos cos

x

ytg

x

y tg

sensen coscos tgtg

Page 33: Relaciones trigonometricas

33

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE

UNA CIRCUNFERENCIA

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia

+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del

ángulo

x

y 2sen sen

2cos cos

2tg tg

senº360sen cosº360cos tgº360tg

k,k2

k,kº360

2π+α

Page 34: Relaciones trigonometricas

34

-1

-1

1

X

Y

O 1

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

A

y 90º -

En la circunferencia goniométrica dibujamos y 90º-

A’

x

y

xº90sen cos

yº90cos sen

y

xº90tg gcot

2

y

y

x

cos2

sen

sen2

cos

gcot2

tg

α90°-α

α

α

Page 35: Relaciones trigonometricas

35

SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1.

sen 0º = 0 sen 90º = 1

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0.

sen 180º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1.

sen 270º = -1

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.

sen 360º = 0

Page 36: Relaciones trigonometricas

36

COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.

cos 0º = 1 cos 90º = 0

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1.

cos180º = -1

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0.

cos 270º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.

cos 360º = 1

Page 37: Relaciones trigonometricas

TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

37

Recordemos que

siendo P(x,y) un punto sobre el lado terminal del ángulo,

con x≠0.

x

y

abscisa

ordenadatg

Entonces

tg 0º= 0

tg180º=0

tg 360º=0 ya que cualquier punto sobre el lado terminal tiene ordenada 0 y abscisa distinta de 0.

tg 90º y tg 270º no están definidas ya que cualquier punto sobre el lado terminal tiene abscisa 0.

Page 38: Relaciones trigonometricas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1.1. FUNCIÓN SENOFUNCIÓN SENO

2.2. FUNCIÓN COSENOFUNCIÓN COSENO

3.3. FUNCIÓN TANGENTE FUNCIÓN TANGENTE

4.4. FUNCIÓN COTANGENTEFUNCIÓN COTANGENTE

5.5. FUNCIÓN SECANTEFUNCIÓN SECANTE

6.6. FUNCIÓN COSECANTEFUNCIÓN COSECANTE

Page 39: Relaciones trigonometricas

39

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

7

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

0

a

sen a2

2

2

2

2

2

2

22

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

3

2

30 1 0 01

6

4

3

2

3

26

5 6

73

4

2

33

53

11 24

34

54

70

Page 40: Relaciones trigonometricas

40

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

Page 41: Relaciones trigonometricas

41

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

2

3

4

6

23

114

73

53

24

36

5 6

74

53

4

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

02

3

a

COS a2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

12

3

2

3

2

3

2

3 01 0 11

6

4

3

2

3

26

5 6

73

4

2

33

53

11 24

34

54

70

Page 42: Relaciones trigonometricas

42

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

Page 43: Relaciones trigonometricas

43

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

3

3

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

3

3

3

3

Page 44: Relaciones trigonometricas

44

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

Page 45: Relaciones trigonometricas

45

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x

3

3

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

3

3

3

3

Page 46: Relaciones trigonometricas

46

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x

Page 47: Relaciones trigonometricas

47

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

Page 48: Relaciones trigonometricas

48

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x

Page 49: Relaciones trigonometricas

49

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

Page 50: Relaciones trigonometricas

50

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x

Page 51: Relaciones trigonometricas

TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA

(Segunda parte)(Segunda parte)

Page 52: Relaciones trigonometricas

52

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Page 53: Relaciones trigonometricas

1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA

Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOSY DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

2.2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.

3.3. R.T. DEL ÁNGULO MITADR.T. DEL ÁNGULO MITAD

4.4. TEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL SENO

5.5. TEOREMA DEL COSENOTEOREMA DEL COSENO

6.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE

HERONHERON

Page 54: Relaciones trigonometricas

54

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

A

O X

Y

N

M

P

B

Dibujamos el ángulo α y a continuación el ángulo β.

Tenemos el ángulo α+β en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

OB

BPsen

OB

sencosOBcossenOB

OB

senOAcosAB

sencoscossensen

Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

OB

ANAM

Page 55: Relaciones trigonometricas

55

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

A

O X

Y

N

M

P

B

Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

OB

BMON

OB

NPON

OB

OPcos

OB

sensenOBcoscosOB

OB

senABcosOA

sensencoscoscos

Page 56: Relaciones trigonometricas

56

TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

tg

sensencoscos

sencoscossen

coscossensen

coscoscoscos

coscossencos

coscoscossen

tgtg1

tgtg

sencoscossensen

sensencoscoscos

tgtg1

tgtgtg

Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb

Simplifi-cando

cos

sen

Page 57: Relaciones trigonometricas

57

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen sen sencoscossen

1

sencoscossen

sencoscossen

cos cos sensencoscos

sensencoscos

sensencoscos

tg

tgtg1

tgtg

tgtg1

tgtg tg

tgtg1

tgtg

Page 58: Relaciones trigonometricas

58

R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

sen

cos

tg

sen sencoscossen

cos sensencoscos

tg

tgtg1

tgtg

sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

Page 59: Relaciones trigonometricas

59

R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen

cos

tg

2sen sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

cossen2

2cos 22 sencos

2tg

2tg1

tg2

2sen cossen2

2cos 22 sencos

2tg

2tg1

tg2

Page 60: Relaciones trigonometricas

60

R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)

2cos 22 sencos

tg

22 sensen1 2sen21

2sen2 2cos1

2sen2

2cos1 2

2cos1 sen

2cos 22 sencos 22 cos1cos 1cos2 2

2cos2 2cos1

2cos2

2cos1 2

2cos1 cos

2cos1

2cos12

cos1

2sen

2

cos1

2cos

cos1

cos1

2tg

Page 61: Relaciones trigonometricas

1.1. Teorema del senoTeorema del seno

2.2. Teorema del cosenoTeorema del coseno

Page 62: Relaciones trigonometricas

62

TEOREMA DEL SENO

Los lados de un triángulo son proporcionales a

los senos de los

ángulos opuestos. Csen

c

Bsen

b

Asen

a

El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.

Consideremos un triángulo ABC.

BsenahAsenbh

C

C BsenaAsenb

Bsen

b

Asen

a

Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

BsenchCsenbh

A

A BsencCsenb Csen

c

Bsen

b

hC

hA

C

BA

ab

c H

Trazamos la altura correspondiente al vértice C.

Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:

Page 63: Relaciones trigonometricas

63

Medida de los ángulos en una circunferencia

Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente

A

B

C

180º-

180º-

360º-(180º-180º-360º - 360º +

Page 64: Relaciones trigonometricas

64

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

180º

90º

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Medida de los ángulos en una circunferencia

Page 65: Relaciones trigonometricas

65

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO

La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

R2Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Asen

a

Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:

A

a

C

B

A’

R21

R2

º90sen

R2

'Asen

a

Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).

R2'Asen

a

Page 66: Relaciones trigonometricas

66

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

hC

C

BA

ab

c H

La superficie del triángulo ABC es:chc

2

1S

En el triángulo AHC :

b

hAsen C AsenbhC

Sustituyendo en la primera expresión:

Asenbc2

1S Asenbc

2

1S

Page 67: Relaciones trigonometricas

67

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.

La superficie del triángulo ABC es:

Por el Teorema del seno :

Sustituyendo en la primera expresión:

Asenbc2

1S

C

BA

ab

c

R

R2Asen

aR2

aAsen

R2

abc

2

1S

R4

cbaS

R4

cbaS

Page 68: Relaciones trigonometricas

68

TEOREMA DEL COSENO

h

C

BA

ab

c Hm c-m

222 mcha

Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:

222 mcm2ch

2222 mcm2cmb

(en AHC)

2222 mcm2cmb

cm2cb 22

(Como en AHC m = b . cos A) Acoscb2cba 222

Bcosca2cab 222

Ccosba2bac 222

Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente

Page 69: Relaciones trigonometricas

69

A

C

cB

ba

C

B A

ba

c

222 cba 222 cba

222 cba 222 cba

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOClasificación de triángulos

En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Acoscb2cba 222

Si A < 90º cos A >0

222 cba 222 cba Si A = 90º cos A = 0

Si A > 90º cos A < 0

ab

c BA

C

( Teorema de Pitágoras )