Relaciones metricas en el triangulo

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RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO PROFESOR: ALBERTO ATOCHE LÓPEZ

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Page 1: Relaciones metricas en el triangulo

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

PROFESOR: ALBERTO ATOCHE LÓPEZ

Page 2: Relaciones metricas en el triangulo

L

2

PROYECCIONES

Se llama proyección ortogonal de un punto sobre una recta, al pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta.

P

P´ = Proyección de P sobre la recta L

Page 3: Relaciones metricas en el triangulo

L

3

PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO

La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos de AB sobre L.

A

B

C D

E

F

H

A´ B´ C´ D´ E´ G H´

Page 4: Relaciones metricas en el triangulo

SON EXPRESIONES QUE RELACIONAN

LAS MEDIDAS DE LOS ELEMENTOS DE

LOS

TRIÁNGULOS

4

Page 5: Relaciones metricas en el triangulo

5

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Cuando en un triángulo rectángulo se traza la altura relativa a la hipotenusa, se forman los siguientes triángulos semejantes:

A

B

C

AHB BHC ABC

H

h

a

b

c

m n

h n a

m h c

h n a

c a b

m h c

c a b

= =

= =

= =

Efectuando los productos cruzados entre colores iguales se tendrá …

Page 6: Relaciones metricas en el triangulo

1) TEOREMA DEL CATETO

n m

cA

C

B

ba

a2=mc

b2=nch

6

Page 7: Relaciones metricas en el triangulo

2) TEOREMA DE PITAGORAS

n m

cA

C

B

ba

a2+b2=c2h

7

Sumando las dos relacionesdel Teorema del Cateto:

Page 8: Relaciones metricas en el triangulo

3) TEOREMA DE LA ALTURA

n m

cA

C

B

ba

h2=mn

h

8

Page 9: Relaciones metricas en el triangulo

4) TEOREMA DEL PRODUCTO DE CATETOS

n m

cA

C

B

ba

ab=ch

h

9

Page 10: Relaciones metricas en el triangulo

5) TEOREMA DE LA INVERSA DE LOS CATETOS

n m

cA

C

B

ba

h

1 1 1a2 b2 h2

+ =

10

Page 11: Relaciones metricas en el triangulo

1) Hallar el valor de “x·” en la figura

10A

C

B

x8

a)10 b)8 c)5 d)6 e)9

solución11

Page 12: Relaciones metricas en el triangulo

2) Hallar el valor de “x·” en la figura

9A

C

B

x

a)11 b)15 c)12 d)9 e)6

16

solución12

Page 13: Relaciones metricas en el triangulo

3) Hallar el valor de “x·” en la figura

4

x

a)12 b)7 c) 9 d)8 e)11

6

solución13

Page 14: Relaciones metricas en el triangulo

4) Hallar el valor de “x·” en la figura

8A

C

B

a)12 b)14 c)10 d)16 e)18

x

12

solución14

Page 15: Relaciones metricas en el triangulo

5) Hallar el valor de “x·” en la figura

A

C

B

24

a)6,72 b)6 c)5,36 d)1,5 e)6,3

25

x

solución15

Page 16: Relaciones metricas en el triangulo

Ejercicio 1

Utilizando el teorema de Pitágoras:

x2 + 82= 102

x2= 102- 82

x2=100-64x2= 36x=6

Respuesta: d)6

ir a ejercicio 2

16

Page 17: Relaciones metricas en el triangulo

Ejercicio 2c=9+16=25Utilizando el teorema

del cateto: x2 = (9)(25)x2= 225x=15

Respuesta: b)15

ir a ejercicio 3

17

Page 18: Relaciones metricas en el triangulo

Ejercicio 3Utilizando el teorema

del cateto: 62 = 4x36= 4x4x=36x=9

Respuesta: c)9

ir a ejercicio 4

18

Page 19: Relaciones metricas en el triangulo

Ejercicio 4

Utilizando el teorema de la altura:

122 = 8x144= 8x8x=144x=18

Respuesta: e)18

ir a ejercicio 5

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Page 20: Relaciones metricas en el triangulo

◦ Ejercicio 5Utilizando el teorema de Pitágoras y2 + 242= 252

y2= 252- 242

y2=49y=7

Usando el teorema del producto del cateto(7)(24)=25x168=25xx=6,72

Respuesta: a)6,72

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Page 21: Relaciones metricas en el triangulo

HACIENDO USO DEL TEOREMA DEPITÁGORAS, SE PUEDEN HALLAR:

LAS RELACIONES MÉTRICAS ENLOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

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1) TEOREMA DE EUCLIDES I

a2=b2 + c2 – 2bp

c2=a2 + b2 – 2bm

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Page 23: Relaciones metricas en el triangulo

2) TEOREMA DE EUCLIDES II

a2=b2 + c2 + 2bp

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Page 24: Relaciones metricas en el triangulo

3) TEOREMA DE LA MEDIANA

a2 +c2 =2BM2 + b2/2

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Page 25: Relaciones metricas en el triangulo

4) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

BD2 = a.c – m.n

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5) TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

BD2 = m.n – a.c

26

Page 27: Relaciones metricas en el triangulo

6) TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)

d2a = nc2 + mb2 - nma

27

Page 28: Relaciones metricas en el triangulo

7) TEOREMA DE HERÓN (ALTURA)

28

)cp)(bp)(ap(pb2

h

2cba

p

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TRIÁNGULOS NOTABLES

Son aquellos que:Son triángulos rectángulosLas medidas de sus ángulos son enterosLas relaciones entre sus lados son fracciones

30° - 60°

A

B

C

ABC = equilátero

H

30°

60°60°

L

LL

2L

23L

También se presenta

30°

60°

L

2L3L

30°

60°

L

3L

32L

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45° - 45°

A B

CD

ABCD = cuadrado

45°

45°

L

L2L

también puede ser

45°

45°

L

2L

2L

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15° - 75°

A

B

C15°

15°

ML

H

h

30°

= 2L

en el BHM, h = 4

L

22/

L

2

4

Lh

)26L( )26L(

Page 32: Relaciones metricas en el triangulo

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TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS

Son aquellos triángulos rectángulos cuyas longitudes de lados son números enteros

En general, los lados de los triángulos pitagóricos obedecerán a la siguiente forma

nm2

nm 22

2nm 22

Donde m y n son números impares primos entre sí.

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Ejemplos

35

4

5

13

12

725

24

941

40

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1161

60

817

15

2029

21

3365

56

1237

35

3989

80

etc……