Relaciones entre Razones Trigonométricas

1. Utilizando las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º, calcula el valor exacto y racionalizado de:a) sen 75º b) sen 15º c) tg 135º d) tg 285º

2. Encuentra fórmulas que nos permitan calcular cos(3x) y cos(4x) en función del cosx

3. a) Sabiendo que

<<=

<<=

)º360º270( 13

5cos

)º180º90( 5

3

ββ

ααsenhalla sin calculadora los valores exactos de ( )βα +sen ,

( )βα −tg y ( )βα +2cos dando los resultados en forma de fracción irreducible.

b) Repítelo usando la calculadora escribiendo los resultados con tres cifras significativas comprobando asílos resultados del apartado anterior.

4. Sabiendo que9

40−=αtg con πα <≤0 :

a) Halla el valor exacto de )2( αsen

b) Repítelo usando ahora la calculadora escribiendo los resultados con tres cifras significativascomprobando así el resultado del apartado anterior.

5. Utilizando la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos, demuestra: ( ) ( ) 4/3/12/1 π=+ arctgarctg

6. Halla todos los ángulos x, π20 <≤ x , que resuelvan cada ecuación trigonométrica:

a) 2

13cos =x b) 0cos =⋅ xsenx c)

2

1)2cos( −=− πx

d) 0cos =+ xsenx e) 4

3cos2 =x f) 12 =xtg

g) 2

2

2=x

sen h) 2cos1

cot =+

+x

senxx i)

2

2)3( −=− xsen π

7. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas con π20 <≤ x :

a) 2

1cos 22 =− xsenx b)

2

2cos =− xsenx c) 2sec =⋅ xtgx

d) 5sec2cos3 −= xx e) ( ) ( )ecxx coslog1coslog 22 =+ f) 122 =xtg

g) senxx

senx =

−

22cos 22 h) xsensenxx 24)2cos( =+ i) ( ) tgxxtg −=2

8. a) Demuestre que la ecuación 06cos3)2cos(4 3 =+⋅− xecsenxx puede expresarse como 03108 24 =+− tt

b) Partiendo de aquí, resuelva dicha ecuación para π<≤ x0 .

9. a) Demuestre que ( )

( ) αα

αtg

sen =+ 2cos1

2

b) Partiendo de aquí, halle el valor de ( )8/πctg en la forma 2ba + con Ζ∈ba, .

10. a) Investiga, utilizando una hoja de cálculo para ángulos positivos menores de 360º, entre qué valores oscila la resta de cinco veces su coseno menos doce veces su seno y para qué dos ángulos toma su máximo y su mínimo valor.

b) Halla A y α para que: )cos(12cos5 α+⋅=− xAsenxx y con ello comprueba lo obtenido en el apartado

anterior.

c) Partiendo del apartado anterior, resuelve 212cos5 −=− senxx con π20 <≤ x comprobando las

soluciones en la hoja de cálculo construida.

11. Una mesa rectangular de 1½ m x 2½ m se hacruzado en un pasillo de 2m de ancho hasta tocar ambas paredes como muestra el diagrama. Calcula los ángulos determinados entre la mesa y las paredes en grados, minutos y segundos.

12. Halla el valor exacto de cos(α - β)

1½ m

2½ m

2 m