Matematica Discreta ITema 1 - Ejercicios resueltos

Relaciones de equivalencia

Ejercicio 1. En el conjunto N se define la relacion (a, b)R(c, d)⇔ ad = bc. Averigua si es de equivalenciay si lo es calcula la clase del elemento (4, 8).

Solucion. Observamos primero que (a, b)R(c, d)⇔ ad = bc⇔ a

b=

c

d(pues b, d 6= 0 ya que b, d ∈ N).

Comprobamos ahora que es relacion de equivalencia:

• R es reflexiva: (a, b)R(a, b) ya quea

b=

a

b.

• R es simetrica: (a, b)R(c, d)⇔ a

b=

c

d⇔ c

d=

a

b⇔ (c, d)R(a, b).

• R es transitiva:(a, b)R(c, d)⇔ a

b=

c

d(c, d)R(e, f)⇔ c

d=

e

f

⇒ a

b=

e

f⇔ (a, b)R(e, f).

Finalmente, la clase del elemento (4, 8) es

[(4, 8)] = {(a, b) ∈ N×N | (a, b)R(4, 8)} =

{(a, b) ∈ N×N | a

b=

4

8

}=

{(a, b) ∈ N×N | a

b=

1

2

}= {(a, b) ∈ N×N | 2a = b} = {(a, 2a) | a ∈ N} = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), . . . }.

Ejercicio 2. En el conjunto N se define la relacion (a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b + c. Averigua si es deequivalencia y si lo es calcula la clase del elemento (2, 5).

Solucion. Observamos primero que (a, b)R(c, d)⇔ a + d = b + c⇔ a− b = c− d.Comprobamos ahora que es relacion de equivalencia:

• R es reflexiva: (a, b)R(a, b) ya que a− b = a− b.

• R es simetrica: (a, b)R(c, d)⇔ a− b = c− d⇔ c− d = a− b⇔ (c, d)R(a, b).

• R es transitiva:(a, b)R(c, d)⇔ a− b = c− d(c, d)R(e, f)⇔ c− d = e− f

}⇒ a− b = e− f ⇔ (a, b)R(e, f).

Finalmente, la clase del elemento (2, 5) es

[(2, 5)] = {(a, b) ∈ N×N | (a, b)R(2, 5)} = {(a, b) ∈ N×N | a− b = 5− 2 = 3} = {(a, b) ∈ N×N | b = a− 3}= {(a, a− 3) | a ∈ N, a ≥ 4} = {(4, 1), (5, 2), (6, 3), . . . }.

Ejercicio 3. En R2 se define la relacion (x1, y1)R(x2, y2)⇔ x1y1 = x2y2. Comprueba que es de equivalenciay calcula el conjunto cociente.

Solucion. Comprobamos que es relacion de equivalencia:

• R es reflexiva: (x1, y1)R(x1, y1) ya que x1y1 = x1y1.

• R es simetrica: (x1, y1)R(x2, y2)⇔ x1y1 = x2y2 ⇔ x2y2 = x1y1 ⇔ (x2, y2)R(x1, y1).

• R es transitiva:(x1, y1)R(x2, y2)⇔ x1y1 = x2y2(x2, y2)R(x3, y3)⇔ x2y2 = x3y3

}⇒ x1y1 = x3y3 ⇔ (x1, y1)R(x3, y3).

Para calcular el conjunto cociente, calculamos primero la clase de un elemento (a, b) es

[(a, b)] = {(x, y) ∈ R2 | (a, b)R(x, y)} = {(x, y) ∈ R2 | xy = ab}

que es una hiperbola equilatera que pasa por el punto (a, b) y tiene como asıntotas los ejes coordenados.Por otra parte, la clase del punto (0, 0) es

[(0, 0)] = {(x, y) ∈ R2 | (0, 0)R(x, y)} = {(x, y) ∈ R2 | xy = 0}

que es el conjunto formado por los dos ejes coordenados.Ası, el conjunto cociente es la familia formado todas las hiperbolas equilateras con asıntotas los ejes

coordenados y el conjunto formado por los dos ejes coordenados.

Ejercicio 4. En Z se define la relacion xRy ⇔ x2 − y2 = x − y. Comprueba que es de equivalencia ycalcula el conjunto cociente.

Solucion. Observamos primero que xRy ⇔ x2 − y2 = x− y ⇔ x2 − x = y2 − y.Comprobamos que es relacion de equivalencia:

• R es reflexiva: xRx ya que x2 − x = x2 − x.

• R es simetrica: xRy ⇔ x2 − x = y2 − y ⇔ y2 − y = x2 − x⇔ yRx.

• R es transitiva:xRy ⇔ x2 − x = y2 − yyRz ⇔ y2 − y = z2 − z

}⇒ x2 − x = z2 − z ⇔ xRz.

Para calcular el conjunto cociente, observamos primero que

xRy ⇔ x2−y2 = x−y ⇔ (x+y)(x−y) = x−y ⇔

x− y = 0ox− y 6= 0 y x + y = 1

⇔

y = xoy 6= x, y = 1− x

.

Por tanto, la clase de un elemento x es [x] = {x, 1− x} y el conjunto cociente es

{{0, 1}, {−1, 2}, {−2, 3}, {−3, 4}, . . . }

que es equivalente al conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } pues cada clase tiene un representante en N y doselementos de N siempre estan en clases distintas.

Ejercicio 5. En Q se define la relacion xRy ⇔ ∃h ∈ Z tal que x =3y + h

3. Prueba que es de equivalencia.

Razona si los elementos2

3y

4

5pertenecen a la misma clase.

Solucion. Comprobamos que es relacion de equivalencia:

• R es reflexiva: xRx ya que x =3x + h

3para h = 0.

• R es simetrica: xRy ⇔ ∃h ∈ Z | x =3y + h

3⇒ y =

3x + (−h)

3con (−h) ∈ Z⇒ yRx.

• R es transitiva:xRy ⇔ ∃h1 ∈ Z | x =

3y + h1

3

yRz ⇔ ∃h2 ∈ Z | y =3z + h2

3

⇒ x =

3

(3z + h2

3

)+ h1

3=

3z + h2 + h1

3con h2+

h1 ∈ Z⇒ xRz.

Vamos a ver si los elementos2

3y

4

5pertenecen a la misma clase, es decir, si se cumple que

2

3R

4

5:

2

3R

4

5⇔ ∃h ∈ Z | 2

3=

3

(4

5

)+ h

3⇒ 2 = 3

(4

5

)+ h⇒ h = 2− 12

5= −2

56∈ Z .

Por tanto,2

3y

4

5no pertenecen a la misma clase.

Relaciones de orden

Ejercicio 1. Determina el orden lexicografico de las siguientes cadenas de bits: 001, 111, 010, 011, 000y100basado en el orden 0 ≤ 1. Dibujar el diagrama de Hasse de estas cadenas, ahora con el orden producto.

Solucion. Con el orden lexicografico: 000 ≤ 001 ≤ 010 ≤ 011 ≤ 100 ≤ 111.El diagrama de Hasse con el orden producto es el de la figura.

uu u u

uu

000

001 010 100

011

111

@@@

���

���

AAA

Ejercicio 2. Sea S = {1, 2, 3, 4}. Con respecto al orden lexicografico basado en el orden usual ≤:

a) Encontrar todos los pares en S × S anteriores a (2, 3).

b) Encontrar todos los pares en S × S posteriores a (3, 1).

c) Dibujar el diagrama de Hasse de (S × S,≤Lex).

Solucion. a) Los pares en S × S anteriores a (2, 3) son:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2).

b) Los pares en S × S posteriores a (3, 1) son

(3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4).

b) El diagrama de Hasse de (S × S,≤Lex) es el de la figura.

uuuuuuuuuuuuuuuu

(1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(3, 1)(3, 2)(3, 3)(3, 4)(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)

Ejercicio 3. Hallar los elementos maximales, minimales, maximo y mınimo (si los hay) para los siguientesconjuntos con el orden dado por el diagrama de Hasse:

a)

u uu u

u

d e

b c

a

���

@@@

@@@

@@@

���

@@@

b)

u uu

u u

d e

c

a b

������

@@@

@@@

c)

uu u

u uu

f

d e

b c

a

@@

@@

@@

������

@@@ d)

u u uu u

c d e

a b

���

���

@@@

@@@

Solucion. a) Maximales {a}, minimales {d, e}, maximo a, mınimo no hay.

b) Maximales {a, b}, minimales {d, e}, maximo no hay, mınimo no hay.

c) Maximales {a}, minimales {d, f}, maximo a, mınimo no hay.

d) Maximales {a, b}, minimales {c, d, e}, maximo no hay, mınimo no hay.

Ejercicio 4. Hallar cotas superiores, cotas inferiores, supremo e ınfimo del conjunto B (si los hay) encada uno de los siguientes casos:

a)

u uu u

uu u

h hh

f g

d e

c

a b

���

@@@

@@

@@@

@@@@

������

@@@

B = {c, d, e}

b)

uu u

u uu

u u

hh h

h

f g

d e

c

a b

���

@@

@@

@@

���

@@@

@@@

@@@

������

@@@

B = {d, e, f}

c)

u uu u

uu

h hh

e f

c d

b

a

������

ZZZ

ZZZ���

@@@

B = {b, c, d}

Solucion. a) Cotas superiores {a, b, c}, cotas inferiores {f}, supremo c, ınfimo no hay.

b) Cotas superiores {a, b, c}, cotas inferiores {h}, supremo a, ınfimo f .

c) Cotas superiores {a, b}, cotas inferiores {e, f}, supremo b, ınfimo no hay.

Ejercicio 5. Representar el diagrama de Hasse de los siguientes conjuntos ordenados y hallar los elementosnotables de los subconjuntos senalados:

a) (D60, |), A = {2, 5, 6, 10, 12, 30} y B = {2, 3, 6, 10, 15, 30}.

b) (D48, |), A = {2, 4, 6, 12} y B = {3, 6, 8, 16}.

c) (D40, |), A = {4, 5, 10} y B = {2, 4, 8, 20}.

Solucion. Teniendo en cuenta que 60 = 22 · 3 · 5, 48 = 24 · 3 y 40 = 23 · 5, se tienen los siguientes diagramasde Hasse:

a)

uu u u

u u u uu u u

u

1

2 3 5

4 6 10 15

12 20 30

60

���

@@

@@@@

���

���

@@

@@@@

@@@

���

���

@@@

@@

@@

@@

���

D60

b)

uu u

u uu u

u uu

1

2

4

8

16

3

6

12

24

48

���

@@

@@@

@@

@@@

@@

���

@@

@@

@@@

@@

@@@

���

���

���

D48

c)

uu u

u uu u

u

1

2

4

8

5

10

20

40

���

@@@

@@@

@@@

���

@@@

@@

@@@@

���

���

D40

a) Cotas superiores de A {60}, cotas inferiores de A {1}, supA = 60, inf A = 1, no existe maxA ni minA.

Cotas superiores de B {30, 60}, cotas inferiores de B {1}, supB = 30, inf 1, maxB = 30, no existe minB.

b) Cotas superiores de A {12, 24, 48}, cotas inferiores de A {1, 2}, supA = max 12, inf A = minA = 2.

Cotas superiores de B {48}, cotas inferiores de B {1}, supB = 48, inf B = 1, no existe maxB ni minB.

c) Cotas superiores de A {20, 40}, cotas inferiores de A {1}, supA = 20, inf A = 1, no existe maxA niminA.

Cotas superiores de B {40}, cotas inferiores de B {1, 2}, supB = 40, inf B = 2, no existe maxB,minB = 2.

Ejercicio 6. Hallar, si los hay, los elementos maximales, minimales, maximo y mınimo para los siguientesconjuntos ordenados: a) (P(X),⊂), b) ((0, 1),≥), c) (N, |), d) (N−{1}, |).

Solucion. a) Maximales {X}, minimales {∅}, maximo X, mınimo ∅.b) Maximales y minimales no hay, no hay maximo ni mınimo.

c) Maximales no hay, minimales 1, no hay maximo, mınimo 1.

d) Maximales no hay, minimales {2, 3, 5, 7, 11, . . . } (conjunto de los numeros primos), no hay maximo nimınimo.

Ejercicio 7. En cada uno de los casos siguientes, dıgase si el conjunto X tiene o no una cota inferior, ysi tiene alguna hallase su ınfimo si existe:

a) X = {x ∈ Z | x2 ≤ 16}, b) X = {x ∈ Z | x = 2y para algun y ∈ Z}, c) X = {x ∈ Z | x2 ≤ 100x}.

Solucion. a) X = {x ∈ Z | x2 ≤ 16} = {x ∈ Z | −4 ≤ x ≤ 4} = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}.Una cota inferior de X es 4, que es tambien el mınimo de X.

b) X = {x ∈ Z | x = 2y para algun y ∈ Z} = {x ∈ Z | x es par} = {. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . . }.X no tiene cotas inferiores y por tanto tampoco tiene mınimo.

Solucion. c) X = {x ∈ Z | x2 ≤ 100x} = {x ∈ Z | x2 − 100x ≤ 0} = {x ∈ Z | (x− 100)x ≤ 0}.

Ahora, (x− 100)x ≤ 0⇔

x− 100 ≥ 0 y x ≤ 0ox− 100 ≤ 0 y x ≥ 0

⇔

x ≥ 100 y x ≤ 0ox ≤ 100 y x ≥ 0

⇔ 0 ≤ x ≤ 100.

Una cota inferior de X es 0, que es tambien el mınimo de X.

Ejercicio 8. Se considera en D48×N el orden lexicografico correspondiente a tomar el orden divisibilidaden el primer factor y el orden usual en el segundo factor. Sea S = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (6, 3), (6, 1), (4, 2)}.Se pide hallar, si existen, las cotas superiores e inferiores, elementos maximales y minimales, maximo,mınimo, supremo e ınfimo de S.

Solucion. Como S = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (6, 1), (6, 3)}, las cotas inferiores de S son los elementosdel conjunto {(1, b) | b ∈ N}, y las cotas superiores de S son los elementos del conjunto {(a, b) | a ∈{12, 24, 48}, b ∈ N}.

No existe ınfimo de S y supS = (12, 1).

Los elementos maximales de S son (4, 2) y (6, 3), y los elementos minimales de S son (2, 2) y (3, 2).

No existe maximo ni mınimo de S.

Ejercicio 9. Dado el orden parcial del siguiente diagrama de Hasse, obtener unorden total que lo contenga. ¿Cuantos pueden obtenerse?

Solucion. Un orden total que lo contiene es a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ g ≤ h ≤ i.Para calcular el numero de ordenes totales vemos que en cualquier caso, e estaraen quinto lugar.Para llegar a c hay varias posibilidades:

• Primero cogemos el par {a, b} y luego el par {c, d} (hay 4 maneras posiblesde hacerlo).

• Primero cogemos a o b y luego c, despues irıa el que no hayamos escogidodel par {a, b} y luego c (hay 2 maneras posibles de hacerlo).

• Primero cogemos d y luego a o b, despues irıa el que no hayamos escogidodel par {a, b} y luego c (hay 2 maneras posibles de hacerlo).

Ası, hay 8 maneras de ordenar los 4 vertices anteriores a e.

u uu u

uu u

uu

a b

c d

e

f g

h

i

���������

@@@

@@

@@

@@���

@@@

Despues de e puede ir f (y despues g) o g (y despues f), y despues han de ir h e i. Ası, hay 2 manerasde ordenar los 4 vertices posteriores a e.

Combinando las 8 maneras de ordenar los 4 vertices anteriores a e con las 2 maneras de ordenar los 4vertices posteriores a e obtenemos 16 posibles ordenaciones de los vertices.

Hay, por tanto, 16 ordenes totales que contengan al dado.

Ejercicio 10. Sea T = {a, b, c, d, e, f, g} la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe queunas preceden inmediatamente a otras de la siguiente forma: f ≤ a, f ≤ d, e ≤ b, c ≤ f , e ≤ c, b ≤ f ,e ≤ g, g ≤ f . Hallar el orden parcial. ¿Que tareas pueden realizarse independientemente? Construir unorden si el trabajo lo realiza solo una persona.

Solucion. El orden parcial es el del diagrama de Hasse de la figura.Las tareas que pueden realizarse independientemente son las del conjunto {b, c, g}que no dependen unas de otras, y tambien las del {a, d}.Si el trabajo lo realiza solo una persona, un orden posible es e−b−c−g−f−a−d.

uu u u

uu u

e

b c g

f

a d

���

@@@������

@@@

@@@

Ejercicio 11. En (D10, |)× (D18, |) se considera el orden lexicografico. Hallar las cotas superiores, cotasinferiores, supremo e ınfimo, si existen, del subconjunto S = {(2, 2), (2, 3)}. Dibujar el diagrama de Hasse.Se define f : D10 × xD18 −→ D180 por f(a, b) = ab ¿es f inyectiva? ¿es suprayectiva?

Solucion. Las cotas superiores de S son los elementos del conjunto {(2, 6), (2, 18)} ∪ {(10, b) | b ∈ D18}.Las cotas inferiores de S son los elementos del conjunto {(2, 1)} ∪ {(1, b) | b ∈ D18}. El supremo de S es(2, 6) y el ınfimo es (2, 1).

El diagrama de Hasse de (D10, |)× (D18, |) es

uu u

u uu

(1, 1)

(1, 2) (1, 3)

(1, 6) (1, 9)

(1, 18)

������

@@@������

@@@

@@@PP

PPPP

PPP

����

�����u

u uu u

u

(2, 1)

(2, 2) (2, 3)

(2, 6) (2, 9)

(2, 18)

������

@@@������

@@@

@@@

uu u

u uu

(5, 1)

(5, 2) (5, 3)

(5, 6) (5, 9)

(5, 18)

������

@@@������

@@@

@@@

uu u

u uu

(10, 1)

(10, 2) (10, 3)

(10, 6) (10, 9)

(10, 18)

������

@@@������

@@@

@@@

���������

PPPPPPPPP

Si se define f : D10 × xD18 −→ D180 por f(a, b) = ab, f no es inyectiva porque f(2, 1) = 2 = f(1, 2)(esto ocurre por ser 2 un factor comun a 10 y 18).

Por otra parte, f es suprayectiva pues cualquier divisor de 180 se puede poner como producto de undivisor de 10 y un divisor de 18. Para demostrarlo tomemos un divisor n de 180. Como 180 = 22325, n esde la forma n = 2a2b3c3d5e con 0 ≤ a, b, c, d, e ≤ 1. Entonces n = (2a5e)(2b3c3d) = pq con p divisor de 10y q divisor de 18.

Retıculos

Ejercicio 1. Estudiar cuales de los siguientes conjuntos ordenados son retıculos:

a)

u u uu u

u uu

f g h

d e

b c

a

���������

@@@

������

@@

@@

@@

@@@

b)

uu

u uu u u u

h

g

e f

a b c d

�����

QQQ

QQ���

@@@

���

@@@

c)

uu

u u uu

f

e

b c d

a

���

@@@���

@@@

Solucion. (a) no es retıculo porque tiene mas de un minimal (f, g, h son minimales).(b) no es retıculo porque tiene mas de un maximal (a, b, c, d son minimales).(c) es retıculo porque para cada par de elementos x, y existe sup{x, y} y existe inf{x, y}.

Ejercicio 2. Obtener los diagramas de Hasse de todos los retıculos, salvo isomorfismos, de uno, dos, tres,cuatro y cinco elementos.

Solucion.

u uuu

uuuu

uu u

u

���

@@@���

@@@

uuuuu

uu u

uu

���

@@@���

@@@

uu

u uu

���

@@@���

@@@

uu u u

u

���

@@@���

@@@

uu uu

u

@@@

���

JJJJJ

Ejercicio 3. Estudiar si en el siguiente retıculo se verifica la siguiente igualdad

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Solucion. Por un parte a ∨ (b ∧ c) = a ∨ (0) = a.Y por otro lado (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = 1 ∧ 1 = 1.Por tanto, a ∨ (b ∧ c) 6= (a ∨ b) ∧ (a ∨ c). u

uu u u

u

0

d

a b c

1

���

@@@���

@@@

Ejercicio 4. Encontrar el complementario de cada elemento de D42 y D105.

Solucion. En las siguientes tablas se pueden ver los inversos:

D42

x x′

1 42 = 2 · 3 · 72 21 = 3 · 73 14 = 2 · 77 6 = 2 · 36 = 2 · 3 714 = 2 · 7 321 = 3 · 7 242 = 2 · 3 · 7 1

D105

x x′

1 105 = 3 · 5 · 73 35 = 5 · 75 21 = 3 · 77 15 = 3 · 515 = 3 · 5 721 = 3 · 7 335 = 5 · 7 2105 = 3 · 5 · 7 1

Como 24 es producto de factores primos distintos, el inverso de un divisor x de 24 es el numero x′

formado por el producto de los divisores primos de 24 que no aparecen en x, pues entonces se tiene quemcd(x, x′) = 1 y mcm(x,′ ) = 24. Lo mismo ocurre con 105.

Tambien se podrıa haber resuelto a partir de los diagramas de Hasse correspondientes.

Algebras de Boole

Ejercicio 1. Expresar la operacion conjuncion en funcion de la disyuncion y la complementaria. Expresarla disyuncion en funcion de la conjuncion y la complementaria.

Solucion. a ∧ b = ((a ∧ b)′)′ = (a′ ∨ b′)′, a ∨ b = ((a ∨ b)′)′ = (a′ ∧ b′)′.

Ejercicio 2. Demostrar que en un algebra de Boole se verifican las siguientes propiedades:

a) a ≤ b⇒ b′ ≤ a′.

b) a ≤ b⇒ a ∨ (b ∧ c) = b ∧ (a ∨ b).

c) a ≤ b ≤ c⇒ (a ∧ b) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (b ∧ c) ∨ (a ∧ c) = b.

d) a ≤ b⇔ a ∧ b′ = 0⇔ a′ ∨ b = 1.

Solucion. a) a ≤ b⇒ a ∧ b = a⇒ (a ∧ b)′ = a′ ⇒ a′ ∨ b′ = a′ ⇒ b′ ≤ a′.

b) a ≤ b⇒ a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = b ∧ (a ∨ b).

c) a ≤ b ≤ c⇒ (a ∧ b) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (b ∧ c) ∨ (a ∧ c) = a ∨ a ∨ b ∨ a = a ∨ b = b.

d) a ≤ b⇒ a ∧ b′ = (a ∧ b′) ∨ (b ∧ b′) = (a ∨ b) ∧ b′ = b ∧ b′ = 0.

a ∧ b′ = 0⇒ a ∧ b = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b′) = a ∨ (b ∧ b′) = a ∨ 0 = a⇒ a ∧ b = a⇔ a ≤ b.

a ∧ b′ = 0⇔ (a′ ∨ b)′ = 0′ ⇔ (a′ ∨ b)′ = 1⇔ a ∧ b′ = 1.

Ejercicio 3. Construir un isomorfismo entre (P(C),⊂) y (Bn,≤n) para algun n ∈ N, donde C = {1, 2, 3, 4}y ≤n denota el orden producto en Bn.

Solucion. El isomorfismo f viene dado por la siguiente tabla

Para comprobar que f es un isomorfismo razonamos como sigue:Sabemos que f sera isomorfismo de algebras de Boole si y solo si esisomorfismo de retıculos.Por otra parte, f sera isomorfismo de retıculos si y solo sı es isomorfismode conjuntos ordenados.Finalmente, f es isomorfismo de conjuntos ordenados pues es claramentebiyectiva y se tiene que x ⊂ y ⇔ x ≤n y.

x ∈ P(C) f(x) ∈ B4

∅ 0000{a} 1000{b} 0100{c} 0010{d} 0001{a, b} 1100{a, c} 1010{a, d} 1001{b, c} 0110{b, d} 0101{c, d} 0011{a, b, c} 1110{a, b, d} 1101{a, c, d} 1011{b, c, d} 0111{a, b, c, d} 1111

Ejercicio 4. Sea (A,≤) un algebra de Boole. ¿Cuantos elementos minimales tiene A − {0}, si A es unalgebra de Boole de 8 elementos? ¿Y si A tiene 16 elementos?

Solucion. Si A es un algebra de Boole de 8 elementos, A es isomorfa a B3. Entonces A − {0} tiene 3elementos minimales: 001, 010 y 100.

Si A es un algebra de Boole de 16 elementos, A es isomorfa a B4. Entonces A− {0} tiene 4 elementosminimales: 0001, 0010, 0100 y 1000.

Expresiones booleanas

Ejercicio 1. Halla la tabla de verdad de la funcion f : B2 −→ B definida por la expresion E(x, y) =(x ∧ y′) ∨ ((y ∧ (x′ ∨ y)).

Solucion. La tabla de verdad de f es

x y x ∧ y′ x′ ∨ y y ∧ (x′ ∨ y) f(x, y) = (x ∧ y′) ∨ ((y ∧ (x′ ∨ y))0 0 0 1 0 00 1 0 1 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 1 1

Ejercicio 2. Determina S(f) para las funciones f : B3 −→ B definidas por:

a) f(x, y, z) = x ∧ y, b) f(x, y, z) = z′, c) f(x, y, z) = (x ∧ y) ∨ z′.

Solucion. a) S(f) = {110, 111} pues f(x, y, z) = 1⇔ x = y = 1.b) S(f) = {000, 010, 100, 110} pues f(x, y, z) = 1⇔ z′ = 1⇔ z = 0.c) S(f) = {000, 010, 100, 110, 111} pues f(x, y, z) = 1⇔ x = y = 1 o z = 0.

Ejercicio 3. Determina todas las funciones booleanas binarias que cumplan: f(a′, b) = f(a, b′) = (f(a, b))′.

Solucion. Si hacemos a = b = 0 en la formula anterior obtenemos que f(1, 0) = f(0, 1) = (f(0, 0))′, ysi hacemos a = b = 1 obtenemos que f(0, 1) = f(1, 0) = (f(1, 1))′. Por otra parte, si hacemos a = 1y b = 0 obtenemos que f(0, 0) = f(1, 1) = (f(1, 0))′, y si hacemos a = 0 y b = 1 obtenemos quef(1, 1) = f(0, 0) = (f(0, 1))′.

Como se tienen que cumplir todos los casos, tenemos que las f que cumplen f(a′, b) = f(a, b′) =(f(a, b))′ son las que cumplen que f(0, 0) = f(1, 1), f(1, 0) = f(0, 1) y f(1, 0) = (f(0, 0))′.

Las unicas funciones f con estas condiciones son las siguientes:

x y f1(x, y)0 0 00 1 11 0 11 1 0

x y f2(x, y)0 0 10 1 01 0 01 1 1

Ejercicio 4. Dados los siguientes mapas de Karnaugh, escribe las expresiones booleanas que definen estosmapas:

x′

x

z′ z z z′

y y y′ y′

0 0 1 0

1 1 1 0 x′

x

z′ z z z′

y y y′ y′

1 1 1 0

1 0 1 0 x′

x

z′ z z z′

y y y′ y′

0 0 1 1

1 0 0 1

x′

x′

x

x

t′

t

t

t′

y y y′ y′

z′ z z z′

1 0 1 1

0 1 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1 x′

x′

x

x

t′

t

t

t′

y y y′ y′

z′ z z z′

1 0 1 1

1 1 1 1

0 1 0 0

0 0 0 0 x′

x′

x

x

t′

t

t

t′

y y y′ y′

z′ z z z′

0 0 1 1

0 0 1 1

1 0 1 1

0 0 1 0

Solucion.

x′

x

z′ z z z′

y y y′ y′

0 0 1 0

1 1 1 0

f(x, y, z) = x′y + y′z

�� � ��� x′

x

z′ z z z′

y y y′ y′

1 1 1 0

1 0 1 0

f(x, y, z) = xy + yz′ + y′z

�� � ��� ��� x′

x

z′ z z z′

y y y′ y′

0 0 1 1

1 0 0 1

f(x, y, z) = xy′ + x′z′

�� � ���

x′

x′

x

x

t′

t

t

t′

y y y′ y′

z′ z z z′

1 0 1 1

0 1 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

f(x, y, z, t) = zt + z′t′ + xy′z

'&$%

���

$'%&

x′

x′

x

x

t′

t

t

t′

y y y′ y′

z′ z z z′

1 0 1 1

1 1 1 1

0 1 0 0

0 0 0 0

f(x, y, z, t) = xy′ + xz′ + yzt

'&$%

$%'&�

��

x′

x′

x

x

t′

t

t

t′

y y y′ y′

z′ z z z′

0 0 1 1

0 0 1 1

1 0 1 1

0 0 1 0

f(x, y, z, t) = xy′ + y′z + y′t + x′z′t

'&$%'

&$%

�

�

�

� ��

Ejercicio 5. Se considera el conjunto

a) S(f) = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1)}b) S(f) = {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)}Simplifica la expresion booleana de la funcion f que toma valor 1 en el conjunto S(f) y cero en el resto,

mediante el mapa de Karnaugh.

Solucion.

a)

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 0

f(x, y, z) = x′z′ + x′z′ + xzt

���

'&$%

�

�

�

b)

00

01

11

10

00 01 11 10

0 1 0 1

1 1 1 1

1 0 1 0

0 0 0 1

f(x, y, z) = x′y + x′z′t + yz′t′ + yzt + y′zt′

�� � ���

��� �

�� ���

Ejercicio 6. Completa los huecos de la tabla de la derecha, teniendo en cuentaque la expresion que se desea obtener ha de ser lo mas sencilla posible. Determinaesa expresion y dibuja el mapa de Karnaugh correspondiente.

Solucion. El mapa de Karnaugh y la expresionsimplificada de f es la figura.Para que f sea lo mas simplificada posible hayque definir f(100) = 1, f(101) = 0, f(111) = 1.

0

1

00 01 11 10

1 0 1 1

1

f(x, y, z) = y + z′

$%'&'&$%

x y y f1(x, y)0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 01 0 11 1 0 11 1 1

Ejercicio 7. Dada la funcion booleana f : B4 −→ B

f(x, y, z, t) = xyzt + xy′zt + xyzt′ + xy′zt′ + x′y′z′t′ + x′yz′t′ + x′y′z′t + x′yz′t

a) Utilizando las propiedades de un Algebra de Boole demuestra que f(x, y, z, t) = xz + x′z′.

b) Verifica el resultado anterior utilizando los mapas de Karnaugh.

Solucion. a) Operando se tiene:

f(x, y, z, t) = xyzt + xy′zt + xyzt′ + xy′zt′ + x′y′z′t′ + x′yz′t′ + x′y′z′t + x′yz′t

= x(y + y′)zt + x(y + y′)zt′ + x′(y′ + y)z′t′ + x′(y′ + y)z′t

= xzt + xzt′ + x′z′t′ + x′z′t

= xz(t + t′) + x′z′(t′ + t)

= xz + x′z′

b) El mapa de Karnaugh es

x′

x′

x

x

t′

t

t

t′

y y y′ y′

z′ z z z′

0 1 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

f(x, y, z, t) = xz + x′z′

'&$%$

%'&

Ejercicio 8. Simplifica al maximo las siguientes expresiones booleanas:

a) (x′ + y)′ + y′z b) (x′y)′(x′ + xyz′) c) x(xy′ + x′y + y′z)d) (x + y)′(xy′)′ e) y(x + yz)′ f) (x + y′z)(y + z′).

Solucion. a) (x′ + y)′ + y′z = xy′ + y′z.

b) (x′y)′(x′ + xyz′) = (x + y′)(x′ + xyz′) = xx′ + xxyz′ + y′xx′ + y′xyz′ = 0 + xyz′ + 0 + 0 = xyz′.

c) x(xy′ + x′y + y′z) = xxy′ + xx′y + xy′z = xy′ + 0 + xy′z = xy′ + xy′z = xy′(1 + z) = xy′1 = xy′.

d) (x + y)′(xy′)′ = (x′y′)(x′ + y) = x′y′x′ + x′y′y = x′y′ + 0 = x′y′ .

e) y(x + yz)′ = y(x′(yz)′) = y(x′(y′ + z′)) = yx′(y′ + z′) = yx′y′ + yx′z′ = 0 + yx′z′ = x′yz′

f) (x + y′z)(y + z′) = xy + xz′ + y′zy + y′zz′ = xy + xz′ + 0 + 0 = xy + xz′.

Ejercicio 9. Utilizando el algoritmo de Quine-McCluskey halla la expresion booleana minima de la funcionf : B5 −→ B tal que

S(f) = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 1)}.

Solucion. 1 1 1 1 1 *1 1 1 0 1 *1 1 0 1 1 *1 0 1 1 1 *1 0 1 0 1 *1 0 0 1 1 *1 1 0 0 1 *1 0 0 0 1 *

1 1 1 - 1 *1 1 - 1 1 *1 - 1 1 1 *1 - 1 0 1 *1 1 - 1 1 *1 - 0 1 1 *1 1 0 - 1 *1 0 1 - 1 *1 0 - 1 1 *1 0 - 0 1 *1 0 0 - 1 *1 - 0 0 1 *

1 1 - - 1 *1 - 1 - 1 *1 - - 1 1 *1 - - 0 1 *1 - 0 - 1 *1 0 - - 1 *

1 - - - 1

Por tanto, f(x, y, z, t, u) = xu.

Ejercicio 10. Encuentra la expresion mas sencilla que detecte dentro del conjunto {0, 1, 2, 3, . . . , 15} losnumeros del conjunto:

a) A = {multiplos de dos} b) B = {multiplos de tres}, c) C = {multiplos de cuatro}

Solucion.

00

01

11

10

00 01 11 10

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

f(x, y, z) = z′

$

%

'

&

00

01

11

10

00 01 11 10

1 0 1 0

0 0 0 1

1 0 1 0

0 1 0 0

f(x, y, z) = x′y′z′t′ + x′y′zt + x′yzt′

+xyz′t′ + xyzt + xy′z′t

����������������

��������

00

01

11

10

00 01 11 10

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

f(x, y, z) = z′t′

�

�

�

Ejercicio 11. Un examen de tipo test consta de 5 preguntas. Las respuestas correctas son: 1 →Si,2→No, 3→Si, 4→Si, 5→No. Construye una expresion booleana que analice cada examen y distinga losaprobados de los suspensos. Se considera aprobado si al menos tres respuestas son correctas.

Solucion. Un examen tendra 5 acier-tos si contesta 10110, tendra 4 aciertossi contesta 00110, 11110, 10010, 10100o 10111, y tendra 3 aciertos si contesta01110, 00010, 00100, 00111, 11010, 11100,11111, 10000, 10011 o 10101.Por tanto, buscamos una funcion booleanaque valga uno exactamente en los valoresanteriores.Utilizamos el metodo de Quine-McCluskey.

1 1 1 1 1 *1 1 1 1 0 *1 0 1 1 1 *1 1 1 0 0 *1 1 0 1 0 *1 0 1 1 0 *1 0 1 0 1 *1 0 0 1 1 *0 1 1 1 0 *0 0 1 1 1 *1 0 1 0 0 *1 0 0 1 0 *0 0 1 1 0 *1 0 0 0 0 *0 0 1 0 0 *0 0 0 1 0 *

1 1 1 1 - *1 - 1 1 1 *1 1 1 - 0 *1 1 - 1 0 *1 - 1 1 0 *- 1 1 1 0 *1 0 1 1 - *1 0 1 - 1 *1 0 - 1 1 *- 0 1 1 1 *1 - 1 0 0 *1 - 0 1 0 *1 0 1 - 0 *1 0 - 1 0 *- 0 1 1 0 *1 0 1 0 - *1 0 0 1 - *0 - 1 1 0 *0 0 1 1 - *1 0 - 0 0 *- 0 1 0 0 *1 0 0 - 0 *- 0 0 1 0 *0 0 1 - 0 *0 0 - 1 0 *

1 - 1 1 -1 - 1 - 01 - - 1 0- - 1 1 01 0 1 - -1 0 - 1 -- 0 1 1 -1 0 - - 0- 0 1 - 0- 0 - 1 0

Ahora hacemos la tabla para detectar factores que sobren.11111 11110 10111 11100 11010 10110 10101 10011 01110 00111 10100 10010 00110 10000 00100 00010

1 - 1 1 - X X X X1 - 1 - 0 X X X X1 - - 1 0 X X X X- - 1 1 0 X X X X1 0 1 - - X X X X1 0 - 1 - X X X X- 0 1 1 - X X X X1 0 - - 0 X X X X- 0 1 - 0 X X X X- 0 - 1 0 X X X X

Sobra el termino 1 0 1 - -. Por tanto, la expresion buscada es

f(x, y, x, t, u) = xzt + xzu′ + xtu′ + ztu′ + xy′t + y′zt + xy′u′ + y′zu′ + y′tu′.

Ejercicio 12. Define una expresion booleana que compare, segun el orden ≤, dos numeros del conjunto{0, 1, 2, 3} y simplifıcala.

Solucion. Si codificamos cada para de numeros (m,n) porsus coordenadas binarias (es decir, (0, 0) ≡ 0000, (0, 1) ≡0001, (0, 2) ≡ 0010, . . . (3, 3) ≡ 1111), el problema equiv-ale a encontrar una funcion f : B4 −→ B tal que S(f) ={0000, 0001, 0010, 0011, 0101, 0110, 0111, 1010, 1011, 1111}.En la figura representamos el mapa de Karnaugh de f .Su expresion simplificada es f(x, y, z) = x′y′ + x′t + x′z + y′z.

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 0

0 0 1 1

�� � �

�

�

'$&%'&$%'&$%

Ejercicio 13. Se considera un ascensor dotado de un dispositivo de seguridad, para que no puedan viajarninos pequenos solos ni pesos excesivos. Queremos que el ascensor se ponga en marcha cuando este vacıoo con pesos entre 25 y 300 kilos. Dotamos al ascensor de tres sensores: A sensible a cualquier peso, Bsensible a pesos mayores de 25 kilos y C sensible a pesos superiores a 300 kilos. Disena el circuito massencillo posible que cumpla dichas condiciones.

Solucion. Los sensores pueden estar en dos estados, apagado (0)o activado (1). El problema equivale a encontrar una funcion f :B3 −→ B con los valores de la tabla (consideramos f(A, b, c) = 1 sipermitimos que el ascensor se mueva y f(A, b, c) = 0 si impedimosque se mueva).El mapa de Karnaugh correspondiente es el siguiente:

0

1

00 01 11 10

1

0 0 1

f(x, y, z) = x′ + yz′

�� � ���

A B C f(A,B,C)0 0 0 10 0 10 1 00 1 11 0 0 01 0 11 1 0 11 1 1 0

Observese que la funcion booleana se interpreta como que el ascensor se mueve si x′ = 1 (es decir, siesta vacıo) o si yz′ = 1 (es decir, si hay un peso mayor de 25 y menor de 300).

Ejercicio 14. En una reunion celebrada entre 12 paıses de la Comunidad Europea se acuerda aceptar lasresoluciones aprobadas por la mayorıa de los miembros. Espana, Italia, Portugal y Grecia votan en bloque.Situacion similar es la de Francia y Alemania. Tambien hacen lo mismo Reino Unido e Irlanda por unlado y Belgica, Holanda y Luxemburgo por otro. Dinamarca siempre vota lo contrario que Alemania ylos tres paıses Belgica, Holanda y Luxemburgo lo contrario que Irlanda. Encuentra los paıses que tienenmayor poder de decision.

Solucion. Denotamos por x el voto comun de Espana, Italia, Por-tugal y Grecia. Denotamos por y el voto comun de Francia y Ale-mania. Denotamos por z el voto comun de Reino Unido e Irlanda.Denotamos por t el voto comun de Belgica, Holanda y Luxemburgopor otro. Denotamos por u el voto de Dinamarca. Se tiene quet = z′ y que u = y′.Podemos definir una funcion de 5 variables que diga el resultado deuna votacion en funcion de los votos de cada grupos. Su tabla deverdad serıa la de la figura (los valores de t y u dependen de los delresto).

x y z t u f(x,y,z)0 0 0 0 1 00 0 1 0 1 00 1 0 1 0 00 1 1 0 0 01 0 0 1 1 11 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 0 0 1

Se ve que la funcion booleana asociada equivale a f(x, y, z, t, u) = x. Por tanto, los paıses que tienen mayorpoder de decision son los del primer bloque formado por Espana, Italia, Portugal y Grecia.

Ejercicio 15. Para evitar errores de transmision en ciertos mensajes codificados, es frecuente anadir unbit, llamado de control, a un bloque de bits. Ası , por ejemplo, en la representacion de cifras decimalesmediante un codigo binario, 0 se representa como 00001, 1 se representa como 00010, 2 se representa como00100, 3 se representa como 00111. El bit de paridad vale 1 si el numero de unos del bloque es par y vale0 en caso contrario. Define una expresion c que verifique lo anterior para los dıgitos del 0 al 9 de maneraque sea lo mas simplificada posible en la forma suma de productos.

Solucion. c sera una funcion de B4 en B que vale 1 en los elemen-tos de {0000, 0011, 0101, 0110, 1001}, y vale 0 en los elementos de{0001, 0010, 0100, 0111, 1000}.El mapa de Karnaugh es el de la figura.La expresion simplicada de c es c(x, y, z) = x′y′z′t′+yz′t+y′zt+xt.

00

01

11

10

00 01 11 10

1 0 1 0

0 1 0 1

0 1

���

��� ��� '&$%

Ejercicio 16. 16) La aparicion de una cifra decimal en el visor de una calculadora se produce medianteun circuito con cuatro entradas, que se corresponden con el codigo binario del dıgito y siete salidas fi / i =1..7, que se presentan como pequenos segmentos, iluminados o no en el visor, segun el siguiente esquema:(f1 es el segmento superior, f2, . . . f6 son los restantes segmentos exteriores numerados en el sentido de lasagujas del reloj, y f7 es el segmento central.

a) Traza la tabla de verdad de cada una de las funciones booleanas fi : B4 −→ B que represente estefenomeno binario.

b) Encuentra expresiones mınimas en forma de suma de productos para f1 y f2.

Solucion. Si representamos los numeros de0 a 9 por sus coordenadas binarias, La tablade verdad de las 7 funciones es la siguiente:

x y z t f1 f2 f3 f4 f5 f6 f70 0 0 0 1 1 1 1 1 1 00 0 0 1 0 1 1 0 0 0 00 0 1 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 1 1 1 1 1 0 0 10 1 0 0 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 1 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

Los mapas de Karnaugh y las expresiones simplificadasde f1 y f2 son las siguientes:

00

01

11

10

00 01 11 10

1 0 1 1

0 1 1 1

1 1

'

&

$

%$'%&'&$%

'&$%

00

01

11

10

00 01 11 10

1 1 1 1

1 0 1 0

1 1' $& %�

�

�

�

�

�

Por tanto,

f1(x, y, z, t) = y + yz + xz + y′t′

f2(x, y, z, t) = y′ + z′t′ + zt