Relación de orden en C

Definición. Una relación de orden total en un conjunto A es una relación binariaque cumple las siguientes propiedades:• Reflexiva: Sea a ∈ A, entonces a = a.• Antisimétrica: Sean a, b ∈ A, entonces si a ≤ b y también a ≥ b, se tiene a = b.• Transitiva: Sean a, b, c ∈ A, entonces si a ≤ b y también b ≤ c, se tiene a ≤ c.• Total: Sean a, b ∈ A, entonces estos dos elementos siempre cumplen una de estas

dos opciones y únicamente simultáneamente si y sólo si a = b. Las dos opciones posiblesson a ≤ b o a ≥ b.

Definición. El conjunto C es un cuerpo equivalente a (R2,+, ·) con dos operacionesinternas (+, ·), suma y multiplicación respectivamente, que se definen como

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), ∀(xi, yi) ∈ C, i = 1, 2,

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1), ∀(xi, yi) ∈ C, i = 1, 2.

Proposición. El cuerpo algebraico C con alguna relación arbitraria de orden total esincompatible con las dos operaciones internas definidas anteriormente.

Demostración. Primero, si no exigimos que el orden definido sea una prolongacióndel orden de R, entonces, por ejemplo (−1, 0) ≥ (0, 0) no es una contradicción, es de he-cho, la misma expresión que i2 = i · i = −1 ≥ 0. Pero se sigue, por hipótesis de compati-bilidad con la operación suma en C, (−1, 0) + (1, 0) ≥ (0, 0) + (1, 0) =⇒ (0, 0) ≥ (1, 0).Por lo anterior, (1, 0) = (−1, 0) · (−1, 0) ≥ (0, 0) y entonces, (0, 0) ≤ (1, 0) ≤ (0, 0), quees absurdo (ya que (1, 0) 6= (0, 0) y contradice la propiedad de totalidad).

En consecuencia, sea quien fuere el orden definido en C, si el orden es compatiblecon las operaciones algebraicas de C llegamos a un absurdo, luego tal orden no existe-el compatible con las operaciones algebraicas de C.

Si, por el contrario, un orden definido en C no es compatible con las operacionesalgebraicas de C no nos interesa matemáticamente para nada.

Si exigimos que el orden en C sea una prolongación del orden de R y además fueracompatible con las operaciones algebraicas definidas en C, entonces, tendría que seri2 = i · i = −1 ≥ 0, que en este caso sí es una contradicción ya que se puede decir que(−1, 0), (0, 0) ∈ R. �

1

En particular, nótese que sin y cos no están acotadas en C.

Demostración. En efecto, aplicando la definición, se tiene(con ω = iz = −b + ai y ω′ = −iz = b− ai; a, b ∈ R; ω, ω′ ∈ C)

cos z =12(eiz + e−iz) =

12(eω + eω′)

=12[e−bcos (a) + e−b · i · sin (a) + ebcos (−a) + eb · i · sin (−a)]

=(eb + e−b)cos (a)

2+

i · sin (a)(e−b − eb)

2≥ eb

2(i− 1),

comolim

(a,b)−→∞

eb

2(i− 1) = ∞ =⇒ lim

(a,b)−→∞cos z = ∞,

y entonces, cos z con z ∈ C no está acotado en ningún conjunto abierto U ∈ C ≡ R2.

Se tiene(con ω = iz = −b + ai y ω′ = −iz = b− ai; a, b ∈ R; ω, ω′ ∈ C)

sin z =12i(eiz + e−iz) =

12i(eω + eω′)

=12i[e−bcos (a) + e−b · i · sin (a) + ebcos (−a) + eb · i · sin (−a)]

=(eb + e−b)cos (a)

2i+

i · sin (a)(e−b − eb)

2i≥ i− 1

2ieb,

comolim

(a,b)−→∞

i− 12i

eb = ∞ =⇒ lim(a,b)−→∞

sin z = ∞,

y entonces, sin z con z ∈ C no está acotado en ningún conjunto abierto U ∈ C ≡ R2.

2

Si z = x + iy (con x, y ∈ R), probar que

|sin z|2 = sin2x + sinh2y.

En efecto,∣∣∣∣ 12i(eiz − e−iz)

∣∣∣∣2 =

(12i(eix − e−ix)

)2

+

(−1

2(ei2y − e−i2y)

)2

,

∣∣∣∣ e−yeix

2i− e−ixey

2i

∣∣∣∣2 =

(eix − e−ix

2i

)2

−(

e−y − ey

2i

)2

,

14

e−2y∣∣∣e2ix − e2y

∣∣∣2 =14

[(e−y − ey)2 − (eix − e−ix)2

],

e2y − e2ix + e4ixe−2y − e2ix = e−2y + e2y − e2ix − e−2ix,

e4ixe−2y − e2ix = e−2y − e−2ix,

e4ixe−2y − e−2ixe4ix = e4ix(

e−2y − e−2ix)= e−2y − e−2ix,

e4ix = 1.

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