Relación entre el sentido numérico y pensamiento alge- braico en el … · 2019-12-09 · tienen...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

MAESTRÍA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

“Relación entre el sentido numérico y pensamiento alge-

braico en el bachillerato”

Presenta:

Juan Luis Téllez López

Dirigido Por:

Dr. Fernando Barrera Mora

Dr. Aarón Reyes Rodríguez

Mineral De La Reforma, Hidalgo; diciembre de 2019.

Dedicatorias

A mis padres,

Gracias por su amor, trabajo y sacrificio en todos estos años. Gracias a ustedes he logrado llegar

hasta aquí́ y convertirme en lo que soy. Gracias por su apoyo en todas las decisiones que he

tomado a lo largo de mi vida y por darme la libertad de desenvolverme como ser humano.

A mis hermanos,

Diego, Jesús, Rogelio y Daniela, quienes han puesto su confianza en mí y son una fuente de

inspiración para lograr cada una de mis metas, aspiro ser un ejemplo para ustedes, espero verlos

crecer y lograr todos objetivos.

A mis directores de tesis,

Agradezco su paciencia, regaños, pero sobre todo por compartir conmigo un poco de su

conocimiento, han inspirado mi vida profesional y son un ejemplo muy grande para mí. Adquiero

el compromiso de seguir preparándome y continuar aplicando sus enseñanzas.

A mis alumnos,

Quienes participaron de este proyecto de manera desinteresada y entusiasta. Gracias por

apoyarme con su talento, por sus interrogantes y su paciencia. Sin ustedes sencillamente este

trabajo no hubiera sido posible.

Norma, Marlen y Viridiana,

Infinitas gracias por su tiempo, fueron parte esencial de este proyecto. Sin su ayuda no hubiera

sido posible realizarlo, gracias además por estar conmigo en momentos difíciles en los que

sencillamente solo necesitaba un abrazo.

En memoria de Araceli,

Fuiste quien en más de una ocasión me animó a estudiar, tu ejemplo me mantuvo fuerte y

soñando cuando quise rendirme. Nos vemos pronto.

Resumen

El desarrollo del pensamiento algebraico es a menudo un desafío, ya que requiere construir

habilidades para representar números y operaciones de una manera general. Particularmente, la

generalización es difícil para muchos estudiantes, debido a que implica identificar regularidades y

establecer relaciones, es decir, identificar estructuras. En este sentido, un antecedente importante

para promover el pensamiento algebraico consiste en el desarrollo del sentido numérico, debido a

que este es esencial para que los estudiantes den significado a los números y a las operaciones

que realizan con estos.

Este trabajo tiene como objetivo documentar la influencia del sentido numérico en el desarrollo

del pensamiento algebraico, para lo cual se proponen tareas de identificación y generalización de

patrones, diseñadas tomando como referencia el Ciclo para observar el desarrollo del

entendimiento matemático y el enfoque de aprendizaje vía resolución de problemas. Las tareas

fueron diseñadas con la finalidad de ayudar a los estudiantes a explorar diferentes formas de

razonar, cuantificar, generalizar, simbolizar y, a su vez, que favorezcan los procesos de reflexión

y comunicación de ideas.

Para realizar este trabajo se aplicaron tres tareas a 10 estudiantes de bachillerato, quienes al

momento de participar se encontraban inscritos en primer semestre en una preparatoria pública.

Los resultados de la investigación documentan la forma en que los estudiantes hacen avances al

resolver problemas, mostrando con esto el desarrollo de su capacidad para realizar cálculos con

números, establecer relaciones y escoger entre los procedimientos el que mejor se adapta para

solucionar una tarea.

Abstract

The development of algebraic thinking es often a challenge, since it requires building skills to

represent numbers and operations in a general way. Particularly, generalization is difficult for

many students, since it involves identifying regularities and establishing relationships, that is,

identifying structures. In this sense, an important antecedent to promote algebraic thinking

consists in the development of number sense, because this is essential for the students to give

meaning to numbers and operations that they perform with numbers.

The aim of this work is to document the influence of number sense in the development of

algebraic thinking, for which tasks of identification and generalization of patterns are proposed,

designed by taking into account the Cycle to observe learning with understanding and the

learning approach via resolution of problems. The tasks were designed in order to help students

explore different ways of reasoning, quantifying, generalizing, symbolizing and, in turn, favoring

the processes of reflection and communication of ideas.

To carry out this work, three tasks were applied to 10 high school students, who at the time of

participation were enrolled in the first semester in a public high school. The results of the

research document the way in which students make progress in solving problems, thereby

showing the development of their ability to perform calculations with numbers, establishing

relationships and selecting among the procedures, the one that best suits to solve a task.

ÍNDICE

1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ............................................................................. 12

1.1. Introducción .................................................................................................................... 12

1.2. Justificación .................................................................................................................... 13

1.3. Revisión de la literatura .................................................................................................. 14

1.4. Planteamiento del problema ............................................................................................ 17

2. MARCO CONCEPTUAL ..................................................................................................... 19

2.1. Introducción .................................................................................................................... 19

2.2. Dimensión Ontológica .................................................................................................... 20

2.2.1. Concepción de las matemáticas ............................................................................... 20

2.2.2. Aprendizaje de las matemáticas .............................................................................. 21

2.2.3. Sentido numérico ..................................................................................................... 22

2.2.4. Pensamiento algebraico ........................................................................................... 23

2.3. Dimensión Epistemológica ............................................................................................. 24

2.4. Dimensión Didáctica ....................................................................................................... 25

2.4.1. Aprendizaje con entendimiento ............................................................................... 26

2.4.2. Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático............................ 26

3. METODOLOGÍA .................................................................................................................. 28

3.1. Introducción .................................................................................................................... 28

3.2. Participantes .................................................................................................................... 28

3.3. Tareas y escenarios de instrucción .................................................................................. 29

3.4. Descripción de las tareas ................................................................................................. 29

3.4.1. Diseño de las tareas ................................................................................................. 29

3.4.2. Tarea “Alan el impaciente” ...................................................................................... 30

3.4.3. Tarea “El depósito de agua” .................................................................................... 33

3.4.4. Tarea “La tira de papel”. .......................................................................................... 35

3.5. Recolección de la información y análisis de datos ......................................................... 39

4. RESULTADOS ...................................................................................................................... 43

4.1. Introducción .................................................................................................................... 43

4.2. Resultados de la tarea “Alan el impaciente” ................................................................... 43

4.2.1. Equipo 1 ................................................................................................................... 43

4.2.2. Equipo 2 ................................................................................................................... 49

4.3. Resultados de la tarea “El depósito de agua”.................................................................. 53

4.3.1. Equipo 1 ................................................................................................................... 53

4.3.2. Equipo 2 ................................................................................................................... 55

4.4. Resultados de la tarea “La tira de papel” ........................................................................ 58

4.4.1. Equipo 1 ................................................................................................................... 58

4.4.2. Equipo 2 ................................................................................................................... 61

5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES ....................................................................................... 64

5.1. Introducción .................................................................................................................... 64

5.2. Respuesta a las preguntas de investigación .................................................................... 64

5.3. Reflexiones finales .......................................................................................................... 73

5.4. Limitaciones y recomendaciones .................................................................................... 74

6. Referencias ............................................................................................................................ 75

Apéndice A: Oficio de autorización para que los estudiantes participaran en el proyecto de

investigación. ................................................................................................................................. 81

Apéndice B: Hojas de trabajo tarea uno ........................................................................................ 82

Apéndice C: Hojas de trabajo tarea dos......................................................................................... 97

Apéndice D: Hojas de trabajo tarea tres ...................................................................................... 109

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático . ............................. 27

Figura 3.1 Captura de la animación del problema ........................................................................ 33

Figura 4.1 Primera tabulación realizada tarea 1 (E1) ................................................................... 44

Figura 4.2 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E1) .................................................................. 44

Figura 4.3 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E1) ............................................................ 45

Figura 4.4 Operación personas atendidas antes que él. ................................................................ 45

Figura 4.5 Tercer tabulación realizada tarea 1 (E1) ...................................................................... 46

Figura 4.6 Cuarta tabulación realizada tarea 1 (E1) ..................................................................... 46

Figura 4.7 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E1) ......................................................... 47

Figura 4.8 Primera fórmula tarea 1 (E1) ...................................................................................... 47

Figura 4.9 Segunda fórmula obtenida tarea 1 (E1)....................................................................... 49

Figura 4.10 Tercer fórmula obtenida tarea 1 (E1) ........................................................................ 49

Figura 4.11 Primera tabulación realizada tarea 1 (E2) ................................................................. 49

Figura 4.12 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E2) .......................................................... 50

Figura 4.13 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E2) ....................................................... 51

Figura 4.14 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E2) ................................................................ 52

Figura 4.15 Primeras fórmulas propuestas tarea 1 (E2) ............................................................... 52

Figura 4.16 Segunda fórmula propuesta tarea 1 (E2) ................................................................... 52

Figura 4.17 Primer tabulación realizada tarea 2 (E1) ................................................................... 54

Figura 4.18 Operaciones con fracciones tarea 2 (E1)................................................................... 55

Figura 4.19 Operaciones con fracciones tarea 2 (E2).................................................................. 56

Figura 4.20 Primer tabulación tarea 2 (E2) .................................................................................. 56

Figura 4.21 Primer tabulación realizada tarea 3 (E1) ................................................................... 58

Figura 4.22 Conjetura obtenida tarea 3 (E1) ................................................................................ 59

Figura 4.23 Segunda tabulación obtenida “modificación” tarea 3 (E1) ....................................... 60

Figura 4.24 Primera tabulación obtenida tarea 3 (E2) .................................................................. 61

Figura 4.25 Descomposición de números en primos tarea 3 (E2) ................................................ 62

Figura 4.26 Primera fórmula tarea 3 (E2) .................................................................................... 62

Figura 4.27 Segunda fórmula obtenida “modificación” tarea 3 (E2) ........................................... 63

Figura 5.1 Divisiones realizadas para representar los números en forma decimal. ..................... 68

Figura 5.2 Descomposición en primos ......................................................................................... 69

Figura 5.3 Explicación de los elementos de la expresión algebraica ........................................... 69

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3.1 Indicadores de reconocimiento de sentido numérico .................................................... 41

Tabla 3.2 Indicadores de reconocimiento de pensamiento algebraico. ......................................... 42

Tabla 5.1 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 1 de ambos equipos. .... 65



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1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Introducción

El sentido numérico y el pensamiento algebraico están estrechamente ligados y por ello, las

problemáticas de aprendizaje de ambos comparten ciertas similitudes. En cuanto al sentido

numérico, éste comienza a desarrollarse al abordar tareas que involucran operaciones aritméticas

básicas y se extiende hasta la teoría de números (Rico, Castro, Castro, y Coriat, 1997). Algunos

aspectos importantes del pensamiento algebraico consisten en identificar regularidades, así como

expresar y generalizar relaciones, verbalmente y simbólicamente. Por otra parte, el estudio de las

funciones es central en el aprendizaje del pensamiento algebraico, así como sus antecedentes

fundamentales que son el razonamiento proporcional, la variación y los procesos de

generalización (Butto y Rojano, 2010).

El pensamiento algebraico es importante en la formación matemática de los estudiantes, ya que es

un antecedente indispensable para comprender otras áreas de la disciplina y otras ciencias y se

encuentra estrechamente ligado con la capacidad de entender conceptos y las relaciones entre

ellos, pero sobre sobre todo con la capacidad de utilizarlos de manera flexible para resolver

problemas (NCTM, 2000). En este contexto, la investigación en educación matemática ha

identificado que una de las mayores dificultades para profundizar en la comprensión del

pensamiento algebraico es la falta de habilidades propias del sentido numérico, las cuáles son

esenciales al resolver problemas, puesto que es necesario comprender las relaciones entre

cantidades variables, al establecer proporciones y al realizar operaciones útiles para resolver una

situación problemática con herramientas matemáticas (Castro, 2012). Particularmente, entre estas

habilidades resulta esencial el entendimiento de la igualdad como signo de relación, por

mencionar solo un ejemplo (Faulkner, 2009).

En algunas propuestas curriculares, de carácter internacional, como los Principios y Estándares

para la Matemática Escolar (NCTM, 2010), se considera que gran parte del énfasis simbólico y

estructural del álgebra se puede construir a partir de la experiencia extensiva que los estudiantes

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tienen con los números. Esto es un indicador de que el sentido numérico tiene relación estrecha

con el pensamiento algebraico.

1.2. Justificación

Aprender matemáticas implica entender conceptos, ideas y procesos de la disciplina, ya que el

entendimiento de los conceptos matemáticos es necesario para modelar fenómenos y tomar

decisiones fundamentadas. En este contexto, el aprendizaje de las matemáticas requiere que los

estudiantes “hagan matemáticas” y no solo apliquen procedimientos rutinarios o algoritmos, es

decir, la instrucción escolarizada debiera equilibrar la comprensión conceptual y las habilidades

procedimentales para operar con expresiones algebraicas (Schoenfeld, 1992; Barrera & Reyes,

2016). Sin embargo, tradicionalmente se prioriza que los estudiantes adquieran destreza para

realizar procedimientos rutinarios, los cuales en gran medida se encuentran desvinculados de las

situaciones problemáticas que los originan, ocasionando dificultades de comprensión conceptual

(Castro, 2012) y en dificultades para desarrollar un pensamiento algebraico (Papini, 2003).

La falta de comprensión conceptual en álgebra se ha evidenciado a través de los resultados de

PISA1, prueba en la cual México ocupa uno de los últimos lugares entre los países miembros de

la OCDE. Según los últimos resultados de PISA 2015, México obtuvo un promedio de 408

puntos en matemáticas el cuál es comparable con lo obtenido en esta misma prueba en el año

2006, que fue de 406 puntos, por lo que no se observan mejoras en la formación matemática de

los estudiantes mexicanos evaluados, además México se sitúa por debajo del promedio de la

OCDE (493 puntos) (Márquez, 2017; Poy, 2016; OECD, 2016). Esta problemática destaca la

necesidad de hacer cambios en las formas en cómo se aprende matemáticas. Uno de estos

cambios consistiría en fomentar el aprendizaje con entendimiento en lugar de centrar la atención

en únicamente en el desarrollo de fluidez procedimental, ya que de acuerdo con Hiebert et al.

1 La prueba PISA (Programme for International Student Assessment) es un estudio realizado por la Organización

para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE). Esta prueba “tiene por objeto evaluar hasta qué punto los

alumnos cercanos al final de la educación obligatoria han adquirido algunos de los conocimientos y habilidades

necesarios para la participación plena en la sociedad del saber” (https://www.oecd.org/pisa/pisaenespaol.htm).

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(1997), el entendimiento es importante porque cuando se entiende algo, ese algo se puede utilizar

para resolver problemas o generar nuevo conocimiento. Así, promover el entendimiento de los

números y sus operaciones resulta esencial para desarrollar formas algebraicas de pensar, ya que

poseer sentido numérico implica entender las cantidades, relacionarlas y operar con ellas

flexiblemente (NCTM, 2010).

Por lo anterior, este trabajo tiene como objetivo explorar y analizar la relación entre el sentido

numérico y el pensamiento algebraico, mediante la implementación de tareas de identificación y

generalización de patrones, bajo la hipótesis de que el conocimiento de los números y su

conceptualización influye en la estructuración del pensamiento algebraico.

1.3. Revisión de la literatura

Diversos estudios en educación matemática han analizado la relación entre el conocimiento de los

estudiantes sobre números, operaciones y el desarrollo del pensamiento algebraico. Por ejemplo,

Filloy y Rojano (1989) analizaron respuestas de estudiantes de segundo año de secundaria

(octavo grado) quienes se iniciaban en el aprendizaje del álgebra. En dicho estudio se analizaron

las estrategias y métodos que los estudiantes implementan para resolver ecuaciones lineales,

centrando la atención en operaciones con números representados por variables. Los resultados

indican que los errores cometidos por los estudiantes cuando operan con los modelos algebraicos,

no pueden corregirse dentro del propio contexto algebraico, sino que se debe poner atención en

cómo los estudiantes interpretan los problemas y cómo utilizan los procedimientos algebraicos.

Así, se tiene la posibilidad de buscar estrategias didácticas que permitan al estudiante corregir sus

errores, ya que a menudo las expresiones algebraicas se operan mediante reglas, pero sin

referencia directa con algún significado.

Herscovics y Linchevski (1994) trabajaron con estudiantes de séptimo grado (primer grado de

secundaria en México) para observar los procesos de solución de ecuaciones lineales con una

incógnita. Se propuso a los estudiantes resolver la ecuación 3𝑛 + 12 = 36. Los datos mostraron

que los estudiantes tuvieron dificultades para realizar operaciones inversas y el despeje de

variables. Aunque se identificaron errores de procedimiento, el índice de aciertos al resolver la

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ecuación fue alto. Cabe señalar que en varios casos las respuestas se obtuvieron intuitivamente.

Los autores consideran que los errores cometidos por los estudiantes son producto de una ruptura

entre el álgebra y la aritmética. Sin embargo, estas no son ramas aisladas, sino que el álgebra

generaliza a la aritmética. Por lo que el objeto de estudio de ambas son las propiedades de los

números y relaciones numéricas. Entonces, no tiene sentido tratarlas como si fueran dos cosas

distintas y más bien lo que los autores señalan como ruptura es la dificultad para generalizar.

Por otra parte, Booker y Windsor (2010) realizaron una investigación cualitativa, basada en una

metodología de diseño de investigación (design research), con estudiantes de séptimo grado,

pertenecientes a una comunidad de nivel socioeconómico bajo, el trabajo consistió en identificar

si la resolución de problemas puede ayudar a desarrollar el pensamiento algebraico. Se

propusieron tareas en donde se requería calcular perímetros, áreas y, posteriormente, identificar y

generalizar patrones. Para la solución de las tareas los estudiantes utilizaron diversas formas de

representación: diagramas, tablas y gráficos, lo que les permitió observar patrones y formular

conjeturas; así como observar regularidades que más tarde utilizaron para generalizar resultados.

De esta manera, se promovió el pensamiento algebraico al dotar de significados a los procesos

simbólicos que suelen abordarse de forma algorítmica.

Molina, Ambrose, y Castro (2004) realizaron una investigación con dos grupos de estudiantes,

uno de tercero, y otro en el que participaron estudiantes de quinto y sexto grado de primaria. Las

tareas se integraron por diversas expresiones numéricas de valor faltante que los estudiantes

debían equilibrar, con el propósito de identificar las nociones acerca del signo igual, además de la

forma en que los estudiantes interpretaban las expresiones numéricas para saber si podrían

establecer alguna relación entre los términos de la igualdad. El estudio indicó que existen

dificultades de uso y comprensión del signo igual, ya que, normalmente, éste se opera de manera

unidireccional, lo cual ocasiona problemas cuando el estudiante se inicia en operar con

expresiones algebraicas, ya que esta conceptualización limita la capacidad de los estudiantes para

usar identidades. Los autores proponen favorecer el análisis de relaciones entre cantidades desde

una edad temprana, y de esta manera propiciar una comprensión correcta del signo igual, lo que,

a su vez, contribuirá a un uso adecuado y entendimiento del signo igual durante el proceso de

aprendizaje del álgebra.

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Por otra parte, Olmedo, Galíndez, Peralta, y Di Bárbaro (2015) mencionan que los estudiantes

que terminan la educación media han adquirido cierta habilidad para manipular expresiones

algebraicas de manera descontextualizada. Bajo este supuesto, realizaron una investigación con

profesores de matemáticas en formación, a quienes propusieron realizar despejes de ecuaciones y

operaciones con expresiones algebraicas. Los errores más comunes fueron confusiones de signos,

al determinar la jerarquía de operaciones, o al aplicar leyes de exponentes; uso inadecuado del

signo igual, entre otros. Los futuros profesores muestran dificultades, tanto en el uso del lenguaje

algebraico como del natural, que impiden el desarrollo de flexibilidad para interpretar símbolos,

así como para darles significado, y desarrollar fluidez procedimental.

En contraste Guzmán (2013) señala que es posible plantear actividades que permitan potenciar la

observación, reconocimiento de regularidades y patrones, que se describen en lenguaje común,

con el objetivo de que un estudiante de primaria, cree, desarrolle y argumente soluciones de

tareas, y así estimular el pensamiento matemático. La investigación enfatiza que el pensamiento

algebraico es una habilidad que debe introducirse desde una edad temprana, para que el

estudiante desarrolle progresivamente formas de pensar y razonar, basadas en realizar

abstracciones y generalizaciones. En esta investigación se propusieron cuatro tareas, (i) triángulos

de Sierpinsky, (ii) diagonales en polígonos, (iii) salto de la rana y (iv) misioneros y caníbales.

Por último, Arce (2018) realizó una investigación con estudiantes de bachillerato, que cursaban la

asignatura de álgebra, a quienes les propuso tareas de reconocimiento y generalización de

patrones. Durante el desarrollo de las tareas se promovió el uso de diferentes formas de

representación para generalizar patrones. Se identificó que el desarrollo del pensamiento

algebraico debiera partir de elementos concretos para entender lo abstracto, además de que la

interacción con objetos o situaciones cotidianas son cruciales para interpretar las aplicaciones de

la asignatura en contextos diversos y, por otro lado, que la comunicación de resultados juega un

papel importante para desarrollar un pensamiento algebraico.

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1.4. Planteamiento del problema

Con base en la literatura revisada se identificó que la mayoría de los estudios centran la atención

en el aspecto operacional del álgebra, específicamente en la resolución de ecuaciones, es decir, se

enfatiza la aplicación de reglas algebraicas y el dominio de las técnicas de manipulación

simbólica. Por otro lado, algunos trabajos analizan el aprendizaje del álgebra desde su aplicación

en contextos reales. Otros resultados indican que los estudiantes muestran dificultades para

justificar y comunicar resultados. Hay casos donde se utilizan tareas con patrones con la finalidad

de desarrollar el pensamiento matemático y apoyar la comprensión del concepto de función.

La mayoría de los trabajos consultados no analizan la relación entre el sentido numérico y el

pensamiento algebraico. Por otro lado, la investigación en educación matemática ha obtenido

evidencia de que conocer conceptos no es garantía de que estos se puedan aplicar para resolver

problemas, por lo tanto, se debe promover el desarrollo de habilidades que permitan una

construcción gradual del sentido numérico, como resultado de explorar y relacionar números, al

resolver problemas en una amplia variedad de contextos (Greeno, 1991). Cabe señalar que para

apoyar el desarrollo del pensamiento algebraico es necesario entender la relación entre el

pensamiento algebraico y el sentido numérico, particularmente el uso del signo de igualdad como

símbolo de relación. La capacidad de llevar a cabo flexiblemente cálculos mentales, estimación

numérica y razonamiento cuantitativo son aspectos fundamentales del pensamiento numérico.

Pensar algebraicamente, por otra parte, implica un cambio respecto del pensamiento numérico ya

que el nivel de abstracción es mayor, considerando que esta forma de pensamiento parte de

identificar, generalizar y representar patrones simbólicamente (Papini, 2003).

De acuerdo con la literatura revisada, los estudiantes tienen dificultades para resolver problemas

que involucran variables, y esto a su vez, se debe a una carencia de significado para los números

y operaciones; además de falta de habilidad para utilizar la evidencia numérica en la formulación

de conjeturas y el desarrollo de estrategias de resolución de problemas. De igual forma, se

resaltan las dificultades de los estudiantes para generalizar patrones numéricos y geométricos, lo

cual representa un obstáculo para el desarrollo de un pensamiento algebraico. Así, en este trabajo

se busca identificar y analizar algunos elementos que aportan las tareas de generalización de

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patrones para el desarrollo del sentido numérico y pensamiento algebraico en estudiantes de

bachillerato. Específicamente, las preguntas de investigación son: ¿De qué manera influye el

sentido numérico en el desarrollo del pensamiento algebraico? ¿Qué elementos aportan las tareas

que involucran identificar y generalizar patrones en secuencias figúrales, para apoyar el

desarrollo del pensamiento algebraico en estudiantes de primer semestre de un bachillerato

público en el estado de Hidalgo?

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2. MARCO CONCEPTUAL

2.1. Introducción

En todo proceso de investigación es importante explicitar aquellas ideas, principios y acuerdos

con base en los cuales se analiza e interpretan las unidades de observación (Lester, 2005). Todas

las ideas, conceptos o abstracciones incluidas en el marco servirán como justificación de los

aspectos metodológicos considerados como relevantes en una investigación. Es decir, mediante el

marco se vincula el problema con la metodología, con el proceso de análisis de datos y los

mecanismos para obtener conclusiones. Existen tres principales tipos de marco de investigación:

teórico, práctico o conceptual.

De acuerdo con Eisenhart (1991) un marco teórico está integrado por conceptos, ideas o puntos

de vista de una teoría formal, como la epistemología genética de Piaget o la teoría sociocultural

de Vygotsky. Por otra parte, un marco práctico orienta la investigación de acuerdo con la

experiencia del investigador y “lo que funciona”, según su práctica profesional. Mientras tanto,

un marco conceptual es una estructura de conceptos, ideas o puntos de vista que orientan la

investigación, además de establecer relaciones entre los conceptos elegidos para determinar su

influencia en el análisis e interpretación de un problema. Un elemento central de todo marco

conceptual lo constituyen las justificaciones de por qué los conceptos seleccionados, así como sus

relaciones, son relevantes para entender el problema de investigación.

En este trabajo se utiliza un marco conceptual, estructurado en torno a tres dimensiones:

ontológica, epistemológica y didáctica. La dimensión ontológica incluye adoptar una posición

respecto de lo que son las matemáticas y el aprendizaje de estas. La dimensión epistemológica

explica cuál es la postura particular respecto de cómo se aprende y, por último, la dimensión

didáctica permite establecer cuáles son las características del conocimiento o aprendizaje, que

construyen los estudiantes, consideradas como deseables, así como los mecanismos y las

estrategias que permiten lograr estas características.

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2.2. Dimensión Ontológica

Esta dimensión es importante ya que se establece la conceptualización de matemáticas y del

aprendizaje que orientó el diseño e implementación de las tareas. Existen diversas perspectivas

acerca de lo que son las matemáticas. Por un lado, algunos consideran a la disciplina como una

ciencia exacta y acabada; otros, por el contrario, afirman que es una ciencia en constante cambio

y que hacer matemáticas consiste en analizar el entorno para encontrar regularidades susceptibles

de ser estudiadas mediante herramientas y un lenguaje matemático (Steen, 1988).

2.2.1. Concepción de las matemáticas

Es importante considerar la relevancia histórica y social a las matemáticas, ya que estas son parte

importante de nuestra cultura. La matemática es una ciencia en continua evolución y crecimiento,

cuya aplicación en la vida cotidiana permite reconocer patrones, interpretar fenómenos y tomar

decisiones fundamentadas (Godino, Batanero, y Font, 2003). La matemática, está integrada por

ideas y técnicas que permiten analizar situaciones o fenómenos reales y, por ende, resolver

problemas. En este contexto, consideramos que aprender matemáticas consiste en desarrollar

formas matemáticas de pensar; esto es, ver el mundo a través de los lentes de un matemático

(Schoenfeld, 1992). En resumen, en este trabajo consideramos que se aprende matemáticas al

resolver problemas que representan un reto intelectual para los estudiantes y no únicamente

dificultades procedimentales o de cálculo (Gabardo, 2010; Polya, 1985).

Las características específicas de las matemáticas la hacen diferir de otras ciencias, debido a que

sus objetos de estudios son entes abstractos. Por otra parte, muchas disciplinas toman a la

matemática como herramienta para modelar fenómenos naturales o sociales, ya que mediante

conceptos matemáticos como las funciones es posible describirlos y analizarlos con la finalidad

de tomar decisiones (Lluis-Puebla, 2006). Mediante el uso de herramientas matemáticas es

posible entender diversos fenómenos del mundo que nos rodea, los cambios y estructuras de éste.

En esencia, la actividad matemática consiste en buscar regularidades y/o patrones, establecer

conjeturas que son susceptibles de formalizarse como teoremas. Bajo esta concepción, en este

trabajo consideraremos a las matemáticas como la ciencia de los patrones (Steen, 1988). En este

contexto, encontrar regularidades en fenómenos que ocurren a nuestro alrededor es parte

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fundamental de la actividad matemática. Por otro, lado, el interrelacionar ideas matemáticas con

situaciones reales o hipotéticas puede apoyar la construcción de un aprendizaje con

entendimiento.

2.2.2. Aprendizaje de las matemáticas

Aprender matemáticas a menudo se relaciona con la aplicación de conceptos, procedimientos

rutinarios y algoritmos en la resolución de problemas. No obstante, desde una perspectiva de

resolución de problemas, es importante que los estudiantes hagan matemáticas en contextos

variados, de forma que puedan aplicar sus conocimientos previos de maneras flexibles y

novedosas, lo cual a su vez puede, despertar el interés por aprender. En este sentido el aprendizaje

vía resolución de problemas se centra en los procesos de pensamiento y no en los resultados, por

lo que el aprender, mediante este enfoque, significa establecer una conexión entre lo que ya se

sabe y el nuevo conocimiento (Aninat, 2004).

En el aprendizaje de las matemáticas, la solución de problemas es un aspecto crucial en el

proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que permite potenciar el desarrollo de las capacidades de

cada estudiante, dado que la construcción de conexiones entre los conocimientos previos y el

nuevo conocimiento es el eje central del aprendizaje y no la ejecución de procedimientos

rutinarios o algoritmos carentes de significado. En este sentido, todo problema debe ser un

desafío, cuya solución pueda encontrarse utilizando métodos diversos y no únicamente de forma

operacional o algorítmica. Al respecto, tareas de reconocimiento de patrones pueden permitir a

los estudiantes utilizar formas diversas de representar la información, así como explicar cómo un

cambio en una cantidad provoca un cambio en otra cantidad. En otras palabras, los problemas con

patrones son útiles para promover las capacidades, destrezas y habilidades de los estudiantes para

identificar regularidades, así como abstraer esas regularidades y generalizarlas (Alonso &

Martínez, 2003; Polya, 1985; Schoenfeld, 1992).

El desarrollo de un pensamiento matemático requiere que el entorno social en el que se aprende

promueva la construcción de significados, tal como hacen los matemáticos al crear nuevo

conocimiento disciplinar. La actividad matemática involucra experimentar, con el fin de

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determinar regularidades y elaborar modelos del mundo real (Lesh & Doerr, 2003). Es decir que

aprender a pensar matemáticamente significa ver el mundo a través del lente de un matemático

(Schoenfeld, 1992). De ahí que el proceso de instrucción, desde una perspectiva de resolución de

problemas, debiera orientarse a proponer tareas no rutinarias, que involucren la identificación de

patrones. La identificación de patrones permitirá a los estudiantes analizar casos particulares y, a

partir de estos, obtener el término general, llevando a cabo procesos de abstracción,

generalización y simbolización. Es decir, las tareas con patrones favorecen el entendimiento de

relaciones entre objetos matemáticos y la identificación de estructuras (Merino, 2013).

2.2.3. Sentido numérico

La comprensión que un estudiante tiene sobre los números y las operaciones, así como la fluidez

y flexibilidad para utilizarlos en la solución de problemas se conoce como sentido numérico. El

sentido numérico también incluye la habilidad para realizar cálculos mentales, capacidad para

determinar magnitudes y estimar resultados (Greeno, 1991). El sentido numérico puede

describirse como intuición numérica, que se identifica cuando los estudiantes establecen con

facilidad relaciones numéricas y se conoce el efecto relativo de operar con números (Reys B. J.,

1994). Según El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM,

2010) es posible caracterizar al sentido numérico por cinco componentes principales: (i) el

significado del número, (ii) relaciones numéricas, (iii) tamaño de los números, (iv) operaciones

con los números y (v) cantidades.

En el aspecto didáctico, las tareas para desarrollar sentido numérico deben permitir que los

estudiantes interpreten, comuniquen y procesen información al usar números y operar con ellos.

No obstante, esta habilidad no es algo que se enseñe en un apartado o momento específico, ya

que el sentido numérico es complejo y multifacético, además de que se desarrolla y madura con

la experiencia (Reys B. J., 1994) . El sentido numérico es una forma de pensar que debe estar

presente en todos los momentos de la formación matemática de los individuos (Berch, 2005).

En contraste, en la educación escolarizada, los aspectos relacionados con enseñanza de

procedimientos y algoritmos aritméticos se consideran de gran relevancia, en consecuencia, las

dificultades para resolver problemas que requieren de la realización de operaciones aritméticas

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son comunes en sectores amplios de la población adulta (Barrera y Reyes, 2013). No obstante, la

habilidad para operar con fracciones o números enteros no es evidencia de un sentido numérico,

sino más bien de habilidad para aplicar procedimientos algorítmicos, los cuales muchas veces

carecen de significado. La falta de sentido numérico se hace evidente cuando un estudiante no es

capaz de argumentar por qué ciertos resultados, o las operaciones utilizadas para obtenerlos, son

razonables (Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh, Reys, & Reys, 1992). Así, un ambiente de

instrucción propicio para desarrollar sentido numérico requiere de condiciones que permitan a los

estudiantes realizar exploraciones; contrastar, discutir y comunicar ideas, así como desarrollar

formas matemáticas de pensar y de razonar, así como fomentar el pensamiento crítico y el

razonamiento numérico (Yang, 2003). Aunado a esto, es crucial entender que la intuición para

manejar los números y sus relaciones es una habilidad que se adquiere de manera gradual, como

consecuencia de resolver problemas, visualizar cantidades en contextos diversos y de realizar

flexiblemente operaciones con números (Barrera & Reyes, 2013; Reys B. J., 1994).

En este contexto, los estudiantes comenzarán a adquirir sentido numérico a medida que participen

en actividades que requieran pensar en términos numéricos y establecer relaciones con

información cuantitativa de su vida cotidiana ya que la habilidad numérica no se origina por

casualidad, sino que se desarrolla y madura con la experiencia (Reys B. J., 1994).

2.2.4. Pensamiento algebraico

Los componentes esenciales del pensamiento algebraico son tres: (i) brindar un sentido de

indeterminación de los objetos matemáticos como incógnitas, variables y parámetros (Generalizar

ideas matemáticas); (ii) operar analíticamente con objetos indeterminados, lo cual significa que se

trabaja con las ecuaciones como si se conociera la solución de un problema, con la finalidad de

obtener las condiciones que debe satisfacer dicha solución, en caso de existir; y (iii) representar y

resolver problemas. Es decir, que la habilidad de generalizar a partir de las observaciones sobre

los números y operaciones es la base del pensamiento algebraico. Ahora bien, a pesar de que la

generalización es el eje central del pensamiento algebraico, los casos particulares suponen una

primera instancia para comprender el comportamiento de los números y sus relaciones lo cual

permitirá a partir de casos concretos abstraer regularidades y generalizarlas. Es por esto que el

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pensamiento algebraico supone una manera particular de pensar acerca de los objetos

matemáticos y las relaciones entre ellos (Butto & Rojano, 2010).

Es común, que en la educación escolarizada se inicie el aprendizaje del álgebra a partir de

actividades de naturaleza algorítmica, donde se introduce simbología y reglas operacionales de

las representaciones algebraicas, las cuales parecen distintas de aquellas que se aplican a los

números naturales, enteros o racionales. Es decir se hace una distinción entre la aritmética y

álgebra lo cual provoca una separación artificial entre estas disciplinas, omitiendo el hecho de

que en ambos casos se aplican las mismas reglas para operar con números específicos o números

indeterminados representados por literales (Barrera & Reyes, 2016; Molina, Ambrose, & Castro,

2004). En este sentido, el pensamiento algebraico constituye una forma particular de entender las

matemáticas y de extender su conocimiento hacia la generalidad de fenómenos tal como lo hacen

los matemáticos (Windsor, 2010; Schoenfeld, 1992). De acuerdo con la NTCM (2010) el

pensamiento algebraico se relaciona con identificar patrones, relaciones y funciones, las cuales

proporcionan la base para el desarrollo de habilidades para que los estudiantes entiendan,

describan y, analicen los fenómenos de su entorno.

La población en general sostiene una concepción restringida en la que entender algebra consiste

en manipular variables o realizar operaciones con expresiones simbólicas. Un docente que

sostiene esta concepción desconoce que este tipo de instrucción fomentará un estudio

descontextualizado, abrupto, disfuncional, tardío, y superficial del álgebra escolar. Es por esto

que se necesita entender que el desarrollo del pensamiento algebraico requiere tiempo para

desarrollarse y sobre todo que se propongan tareas que fomenten la observación de las relaciones

numéricas, justificar procedimientos, modelar problemas, describir patrones y representar

simbólicamente la generalidad (Kaput y Blanton, 2000).

2.3. Dimensión Epistemológica

Las concepciones epistemológicas que sostiene un profesor inciden directamente en la actividad

que desarrolla en el aula y, por lo tanto, en los resultados de aprendizaje de los estudiantes. Una

de las principales funciones de un docente es tomar decisiones respecto del tipo de tareas y las

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características del escenario de instrucción y estas, a su vez, son guiadas por los antecedentes

teóricos, enfoques interpretativos y juicios del docente (Barrón, 2015).

En este trabajo se ha adoptado una postura socio constructivista, asumiendo que cada individuo

construye su propio conocimiento de forma activa, es decir que el estudiante es quien da sentido a

la información que procesa y genera ideas las cuales, a su vez, utiliza para construir nuevo

conocimiento. Por esta razón, el conocimiento no debe considerarse como una copia de la

realidad externa, sino una construcción individual que ocurre mediante una modificación de los

esquemas (conocimientos previos) que cada individuo posee. Así, aprender es un proceso que

consiste en formar estructuras conceptuales cada vez más robustas, integrando o conectando

conocimientos previos con nuevos conocimientos (Lerman, 2014). Otros aspectos importantes

para considerar son los aspectos cognitivos, sociales y afectivos de una persona, puesto que

cuando un individuo interactúa con otros en una comunidad de aprendizaje, el conocimiento se

reestructura y reorganiza como resultado de esta interacción social. Por lo anterior, la

participación de los estudiantes en procesos de reflexión y comunicación de ideas es crucial para

que construyan nuevo conocimiento, ya que este no es recibido pasivamente, sino que es

procesado y construido activamente (Ernest, 2010).

2.4. Dimensión Didáctica

La didáctica es la disciplina que se encarga de estudiar la forma en cómo se enseña, de tal manera

que engloba todo un conjunto de medios y procedimientos involucrados en el proceso de

instrucción. Por ello, la didáctica es necesaria en la educación debido a que se refiere a la

enseñanza. En este sentido, el objetivo principal del aprendizaje de las matemáticas debiera ser

construir significados para los conceptos o ideas matemáticas (Serrano, 1993). La enseñanza

debiera tener como objetivo principal que los estudiantes entiendan conceptos, ideas y procesos

centrales de la disciplina y no que únicamente desarrollen habilidad para ejecutar algoritmos. Es

decir, se debe promover el razonamiento matemático mediante actividades que permitan analizar

patrones y regularidades, con la finalidad de promover la habilidad de pensar y razonar

matemáticamente (Barrera y Reyes, 2016).

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Es importante que las tareas a las que se enfrentan los estudiantes les permitan plantear

preguntas, usar diversos recursos y estrategias de solución de manera tal que se establezcan

conexiones entre los conocimientos previos y los nuevos conocimientos, apoyadas por el

contexto en el que las tareas son presentadas (Barrera-Mora y Santos-Trigo, 2000). Lo anterior

con la finalidad de que los estudiantes desarrollen hábitos para encontrar sentido o significado a

los conceptos y por ende desarrollar entendimiento (Schoenfeld, 1992).

2.4.1. Aprendizaje con entendimiento

Desde la concepción constructivista del aprendizaje de las matemáticas la resolución de

problemas es fundamental para que los estudiantes puedan desarrollar un entendimiento de los

conceptos y procedimientos matemáticos (Godino, Batanero, & Font, 2003), ya que de otra

manera se limita la capacidad de los estudiantes para aplicar los contenidos con flexibilidad

(Schoenfeld, 1992). Cuando un estudiante entiende algo, está en posibilidad de movilizar ese

conocimiento para resolver problemas, lo cual, a su vez favorece la interrelación de los

conocimientos previos con los nuevos (entendimiento). En el desarrollo de entendimiento la

conexión entre ideas y concepto es crucial. Por otra parte, los procesos que intervienen en esta

construcción de entendimiento son: (i) la reflexión que posibilita que se establezcan conexiones

nuevas a partir de las establecidas previamente (ii) la comunicación permite socializar el

conocimiento, contrastar las ideas de otros, reflexionar sobre ellas, mejorarlas y construir ideas

propias (Hiebert et al., 1997).

2.4.2. Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático.

El proceso de construcción de entendimiento implica utilizar conocimientos relacionados entre sí,

por ello el aprendizaje con entendimiento no se desarrolla de manera repentina, sino mediante

ciclos sucesivos donde se involucra la acción, observación, formulación de conjeturas y

justificación de resultados (Barrera y Reyes, 2016). El entendimiento se desarrolla de manera

gradual, a medida que se reflexiona y discute en torno a ideas matemáticas y sus relaciones. El

ciclo de aprendizaje con entendimiento (Figura 2.1), refleja la necesidad de poner en práctica

todos los elementos del pensamiento matemático durante el proceso de instrucción. En la fase de

acción los estudiantes representan la información e identifican los datos del problema. En la fase

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de observación se identifican las relaciones entre los datos del problema y las incógnitas, lo que

implica un proceso de reflexión acerca de lo observado. En la fase de plantear conjeturas los

estudiantes, a partir de la observación de regularidades, buscan encontrar patrones que puedan

generalizar. Por último, en la fase de justificación de resultados los estudiantes deben comunicar

sus conjeturas para reflexionar sobre ellas y mejorarlas por lo que se debe tener una actitud

inquisitiva y de ser necesario volver a pasar por todas las fases anteriores.

Figura 2.1 Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático (Adaptado de Barrera

y Reyes, 2016).

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3. METODOLOGÍA

3.1. Introducción

La metodología empleada en el desarrollo de esta investigación es cualitativa, debido a que los

objetivos que se han planteado están relacionados con la comprensión de significados

relacionados con el aprendizaje del álgebra, así como factores que influyen en este.

Específicamente, se busca determinar cómo el sentido numérico influye en el desarrollo del

pensamiento algebraico. Es decir, identificar las diferentes formas de pensar y razonar de los

estudiantes al resolver tareas de identificación y generalización de patrones (Salgado, 2007;

Martinez, 2006).

3.2. Participantes

Como ya se expuso anteriormente, se adoptó el enfoque socio-constructivista para orientar el

diseño e implementación de las tareas. El trabajo en equipo se fomentó ya que la participación en

una comunidad de práctica (Wenger, McDermott y Snyder, 2002) es fundamental para promover

la construcción de significados considerados como compartidos. Así mismo, se promovió la

reflexión y comunicación de ideas para favorecer el desarrollo de entendimiento matemático. Por

otra parte, el papel del docente consistió en formular preguntas y realizar sugerencias para

afrontar las problemáticas que surgieron durante el proceso de implementación de las tareas

(Barrón, 2015; Ernest, 2010; Lerman, 2014).

Las tareas de instrucción se implementaron en una Escuela Preparatoria pública, ubicada en la

zona metropolitana de la ciudad de Pachuca de Soto, Hidalgo. Los participantes se eligieron de

un grupo del que el investigador era profesor titular del grupo. Las tareas se aplicaron a 10

estudiantes de la asignatura de álgebra, elegidos al azar de un total de 39. Los estudiantes al

momento del estudio se encontraban cursando el primer semestre de bachillerato y algunos de

ellos había reprobado la asignatura, otros más habían dejado de estudiar cuando menos un

periodo. Durante la implementación de las tareas se formaron dos grupos, cada uno con cinco

estudiantes, con la finalidad de fomentar el intercambio de ideas y la comunicación de resultados.

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Los estudiantes en cada grupo se asignaron al azar para tener una composición no intencional y

mixta de los grupos, en cuanto a género y nivel de conocimientos.

3.3. Tareas y escenarios de instrucción

Las tareas que se utilizaron en este trabajo de investigación se diseñaron de forma que el

estudiante transitara por cada una de las fases del ciclo de aprendizaje con entendimiento (Barrera

& Reyes, 2016). Se buscó que las tareas permitieran a los estudiantes dar significado a los

procesos matemáticos al trabajar en contextos variados y utilizar diversos métodos para dar

solución al problema (Schoenfeld, 1992; Aninat, 2004; Polya, 1985; Alonso & Martínez, 2003).

Cada tarea se diseñó con la intención de que el estudiante trabajara con cantidades y

estimaciones, además de que desarrollara procesos de abstracción, generalización y

simbolización.

3.4. Descripción de las tareas

3.4.1. Diseño de las tareas

Las tareas se diseñaron como juegos lúdicos donde se busca la participación activa de los

estudiantes para abordar los problemas planteados en situaciones que pudiesen explorar,

reflexionar y compartir experiencias, que les permitan identificar patrones numéricos de una

secuencia figural. Uno de los elementos metodológicos importantes en el presente trabajo se basa

en las etapas del Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático descrito en el

capítulo anterior. Por lo que, cada una de las tareas permitieron:

• Identificar, representar información: Para esto cada una de las tareas requirió de material

concreto (Imágenes, hojas de colores, animaciones etc.) para representar la situación que

se les propuso en cada una de las tareas, lo que posteriormente daría pauta para registrar

dicha información en tablas o gráficas.

• Resolver casos particulares: Para esto, el proceso inquisitivo es fue importancia, por lo

que se propusieron una serie de preguntas en cada una de las tareas para que los

estudiantes resolvieran algunos casos particulares y pudieran analizar la información.

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• Formular conjeturas: Una vez que el estudiante resolvió casos particulares se planteó en

cada una de las tareas una serie de preguntas que permitieran la reflexión acerca de las

regularidades observadas para que el estudiante pueda generalizar los patrones.

• Justificar y comunicar resultados: En este punto resultó crucial que las tareas se

desarrollaran en equipo ya que el discutir las ideas permitió que los estudiantes tuvieran

una postura inquisitiva y pudieran aceptar o rechazar las conjeturas planteadas.

Cabe señalar que las tareas se diseñaron de forma tal que los estudiantes tuvieran un problema

inicial que resolver y se propusieron una serie de preguntas que el aplicador realizaba cuando ser

observaban dificultades al contestar para guiar al entendimiento del problema y su

generalización.

3.4.2. Tarea “Alan el impaciente”

El enunciado del problema y la pregunta uno, se entregó en una hoja de trabajo a partir de la

pregunta dos plantearon al equipo según lo que los estudiantes realizaban y de acuerdo a sus

dudas.

Alan es un estudiante que está formado en la fila de control escolar y se encuentra al final de una

fila de estudiantes esperando para ser atendido. Hay 50 alumnos delante de él. Pero como es muy

impaciente, cada vez que es atendido el que está hasta el frente, Alan se escabulle dos lugares

hacia adelante, excepto cuando solo queda una persona delante del él, sólo se escabulle un lugar y

queda al frente de la fila.

1. ¿Cuántos estudiantes serán atendidos antes de Alan? Intente dar una respuesta

mentalmente.

Se pidió a los participantes, en primera instancia, que trataran de estimar intuitivamente la

respuesta, después se permitió que reflexionaran sobre cómo diseñar una estrategia para encontrar

la solución del problema. Cuando los estudiantes tuvieron dificultades para responder, se les

sugirió considerar un caso más sencillo. Así, se les orientó para que resolvieran casos particulares

y, de acuerdo con el ciclo de aprendizaje con entendimiento, se promovió la reflexión,

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observación y comunicación de ideas para apoyar el proceso de generalización. Por ejemplo, se

les sugirió:

2. Si solo hay 3 estudiantes delante de Alan ¿Cuántos

estudiantes serán atendidos antes?

3. Si son 6 los que están antes ¿Cuántos

estudiantes serán atendidos antes que él?

Para representar el problema pudieron utilizar figuras. Además, se sugirió registrar la información

en una tabla. Se pretendía que esta forma de organizar la información sirviera como base para

poder contestar preguntas tales como las siguientes:

4. ¿Puedes predecir cuantos estudiantes serán atendidos antes que él cuando hay 50

estudiantes delante de él?

5. ¿Qué estrategias utilizaste para dar la respuesta?

6. ¿Cómo podías predecir la respuesta para cualquier número de estudiantes en la fila?

7. ¿Pueden explicar el significado de la fórmula encontrada y su relación con el problema

planteado?

Las preguntas anteriores sirvieron como base para el desarrollo de la actividad, no obstante, el

docente realizó otros cuestionamientos a los estudiantes con el fin de apoyar el proceso de

reflexión y por consiguiente el estudiante pudiera plantear sus conjeturas, generalizar, comunicar

y justificar resultados. También se pidió que los participantes justificaran la validez de la regla o

conjeturas a las que llegaban. Al respecto, el docente planteó preguntas tales como:

8. Si atendieron a 13 estudiantes antes que Alan ¿Cuántos estaban formados en la fila?

9. Si atendieron a 21 estudiantes antes que Alan ¿Cuántos estaban formados en la fila?

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10. Si había 296 estudiantes formados delante de Alan ¿Cuántos fueron atendidos antes? ¿Y si

había 7695?

Una vez que se logró comprender el problema, se propuso un cambio al problema como sigue:

Alan, conforme pasa el tiempo, se vuelve más impaciente. Vea cómo cambia la regla si Alan se

pasa tres lugares cada vez. Recuerda que Alan llegará al frente de la fila, aunque al último pase

menos de tres estudiantes. Si el estudiante ha comprendió cómo funciona la regla que

previamente encontró, debería poder explicar los casos siguientes:

11. ¿Qué pasa si avanza 4 lugares?

12. ¿Qué pasa si avanza 10 lugares?

Para terminar la actividad se pidió a los estudiantes explicar sus resultados, con la finalidad de

fomentar el proceso de comunicación de ideas.

Tabla 1. Características relevantes de la tarea “Alan el impaciente”.

Contenidos matemáticos

importantes en el proceso

de solución

Operaciones con números reales, función y ecuación lineal.

Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos

particulares, formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.

Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El

tiempo para abordar la tarea fue dos horas.

Material Se usaron de 21 figuras que representen a los estudiantes del problema,

hojas de trabajo y es permitido el uso de calculadoras o graficadoras

Rol del docente Guía vía formulación de preguntas.

Fuente: Elaboración propia.

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3.4.3. Tarea “El depósito de agua”

El enunciado del problema y la pregunta uno, se entregó en una hoja de trabajo a partir de la

pregunta dos plantearon al equipo según lo que los estudiantes realizaban y de acuerdo a sus

dudas.

Si se tiene un depósito de agua, el cual tiene una llave, que al abrirla lo llena en 30 minutos, y

otra llave más que tarda en llenarlo 15 minutos.

Figura 3.1 Captura de la animación del problema

1. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si se abren las dos llaves al mismo tiempo?

Se pidió a los participantes, en primera instancia, responder a la pregunta sin hacer cálculos y

luego se observó la estrategia que siguieron para encontrar la solución del problema. Cuando se

identificó que tenían dificultades para responder, se les hicieron preguntas como las siguientes:

2. ¿Qué parte del depósito se habrá llenado después de trascurrir un minuto?

3. ¿Qué parte del depósito se habrá llenado al trascurrir 5 minutos después de abrir solo una

de las llaves?

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Con lo anterior se guio a la resolución de casos particulares y se fomentó la observación y

reflexión, además el estudiante pudo utilizar la animación interactiva (elaborada en GeoGebra)

para comprobar sus resultados (Figura 3.1). Se pidió, además, que justificaran sus conjeturas y

una vez que comprendieron el problema se solicitó generalizar el resultado, preguntando:

4. ¿Existe alguna fórmula que permita calcular el tiempo de llenado de un recipiente para un

tiempo de llenado (𝑡1) de la primera llave y un tiempo de llenado (𝑡2) para la segunda

llave?

Otra versión del problema sería plantear que pasaría, si se tiene una tercera llave que llena el

depósito en 10 minutos y preguntar a los estudiantes:

5. ¿En cuánto tiempo se llenará él depósito si se abren las tres llaves de manera simultánea?

6. ¿Hay algún cambio en la fórmula? ¿Cuál?

Si el estudiante comprendió el problema debería responder estos últimos planteamientos, además

de justificar sus conjeturas.

Tabla 2. Características relevantes de la tarea “El depósito de agua”.



de solución

Función y ecuación lineal, proporción directa e inversa, mínimo común múltiplo,

máximo común divisor y operaciones con números reales.

Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos particulares,

formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.

Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El tiempo

para abordar la tarea fue dos horas.

Material Se usó una animación elaborada en GeoGebra y hojas de trabajo.


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3.4.4. Tarea “La tira de papel”.

El enunciado del problema, la pregunta dos a la cuatro, se entregó en una hoja de trabajo, así

como la tabla a partir de la pregunta cinco se plantearon al equipo según lo que los estudiantes

realizaban y de acuerdo a sus dudas. Es importante señalar que cuando se pregunta por las líneas

observadas se hace referencia a los dobleces observados al desdoblar la tira.

Toma una hoja de papel y corta a la mitad por la parte más angosta de la hoja. Toma una mitad y

la otra guárdala. Dobla una de las tiras a la mitad, por la parte más larga, y luego desdobla.

1. ¿Cuántas partes se observan en la tira al desdoblarse?

2. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira al ser desdoblada?

Dobla nuevamente la tira a la mitad. Ahora repita la operación de manera que ha realizado dos

dobleces sobre la tira.

3. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?

4. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?

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Repite este proceso y completa la siguiente tabla:

Número de veces que se

dobla la tira

Partes que se observan al des-

doblar la tira.

Líneas que se observan al

desdoblar la tira.

1

2

3

4

5

10

15

Se permitió que los estudiantes exploraran el problema, y el docente observó las estrategias que

utilizaron para dar respuesta a los cuestionamientos. Una vez que reflexionaron y plantearon sus

conjeturas se les pidió que contestaran los siguientes cuestionamientos: Si se observan 128 partes

en la tira al desdoblarla:

5. ¿Cuántas veces se dobló?

6. ¿En cuántas partes está dividida una tira en la que se observan 255 líneas?

7. ¿Cuántas partes se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?

8. ¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?

Una vez que los estudiantes respondieron las preguntas anteriores. Se les pidió que justificaran

sus conjeturas y explicaran el funcionamiento de su expresión.

Después se planteó una modificación del problema inicial el cuál se entregó en una hoja de

trabajo que se les entregó, con las preguntas 9 a la 12 y la tabla.

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Toma la tira que te sobró al inicio y dobla en tres partes iguales



Dobla de nuevo en partes iguales y sin desdoblar, dobla la tira a la mitad. Contesta lo siguiente:



Si se realizó los dobleces de manera correcta la tira deberá observarse como la siguiente imagen:

Vuelve a doblar la tira como se tenía y luego sin desdoblar dobla a la mitad cada vez, completa la

siguiente tabla:

Número de veces que se do-

bla la tira

Partes que se observan al des-

doblar la tira.

Líneas que se observan al

desdoblar la tira.

1

2

3

4

5

10

15

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Una vez que los estudiantes comprendieron el problema se les preguntó lo siguiente:

Si se observan 192 partes en la tira al desdoblarse

13. ¿Cuántas veces se ha doblado?

14. ¿Cuántas partes se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?

15. ¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?

Se pidió a los estudiantes que explicaran cual es la diferencia entre la expresión de la versión A y

la versión B del problema, además que explicaran las regularidades observadas en el proceso de

doblado.

Tabla 3. Características relevantes de la tarea “La tira de papel”.



de solución

Función exponencial, leyes de exponentes, operaciones con números reales.

Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos particulares,

formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.

Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El tiempo

para abordar la tarea fue dos horas.

Material Se usaron hojas de colores, hojas de trabajo, tijeras, regla y usar calculadora o

graficadora está permitido.



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3.5. Recolección de la información y análisis de datos

La recopilación de la información se llevó a cabo mediante grabaciones de video, las anotaciones

que realizó el docente durante la implementación de las tareas, y las hojas de trabajo de cada uno

de los estudiantes que participaron en la actividad. La información obtenida fue cualitativa, es

decir información en forma de palabras, íconos o imágenes para interpretar la forma de pensar y

razonar de los estudiantes, la cual fue de utilidad para determinar la posible influencia del sentido

numérico sobre aspectos esenciales del pensamiento algebraico.

Como se expuso anteriormente, el sentido numérico es la capacidad que un estudiante tiene para

establecer relaciones, dotar de significados y operar con números, además entender las

cantidades, magnitudes, estimar resultados y argumentar acerca de estos (Greeno, 1991; NCTM,

2010; Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh, Reys, & Reys, 1992). Con base a lo anterior se

determinaron indicadores que sirvieron para evaluar los argumentos y acciones que los

estudiantes realizaron para dar solución a las tareas.

Los indicadores que se presentan en la tabla 3.1 fueron diseñados para obtener evidencia de

aspectos que caracterizan al sentido numérico mostrado por los estudiantes, como grupo; por lo

tanto, los mismos pueden no ser de utilidad para evaluar de manera individual a los estudiantes.

Cabe mencionar que las tareas no tuvieron el propósito de demostrar el dominio del sentido

numérico, sino que se pretendió obtener evidencia indirecta de este y conocer cómo el sentido

numérico puede influir en el aprendizaje del algebra.

En este trabajo se adoptó la postura de que las matemáticas son la ciencia de los patrones y para

el desarrollo del pensamiento algebraico esta idea es fundamental, ya que el entendimiento de la

estructura profunda de los problemas (Santos-Trigo, 2012) permitió a los estudiantes generalizar

y simbolizar las regularidades observadas. Además, otros aspectos que se tomaron en cuenta para

identificar si los estudiantes habían desarrollado un pensamiento algebraico incluyeron: el

análisis de patrones, análisis del cambio, entendimiento de las relaciones, funciones y el uso de

símbolos algebraicos para representar generalidades y establecer modelos (NCTM, 2010; Butto

& Rojano, 2010; Schoenfeld, 1992).

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Con los indicadores presentados en la tabla 3.2 se analizaron, de manera general, las ideas

presentadas por los estudiantes y su contribución con las ideas que se generaron producto de sus

observaciones. Por lo que puede no ser útil para evaluar el desempeño individual de los

estudiantes. Estos indicadores servirán como base para establecer más tarde la relación existente

entre sus argumentos y los modelos algebraicos presentados. Los indicadores aquí presentados

están basados en las ideas obtenidas producto de la revisión de la literatura y fungieron como

referentes para guiar la discusión de las evidencias presentadas por los estudiantes, además de

servir como referencia para entender los argumentos expuestos en el capítulo siguiente.

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Tabla 3.1 Indicadores de reconocimiento de sentido numérico

Nivel Descripción

Deficiente

El argumento o la evidencia escrita indican una mala interpretación de la información

numérica obtenido en tablas o gráficas. Los números pueden presentarse, pero no están

relacionados en el argumento. Puede incluir adjetivos tales como: "muchas", "pocas",

"la mayoría", etc. Hace afirmaciones no apoyadas en el significado causal del evento,

los números aparecen sin comparaciones que apoyen al significado, los números pre-

sentados no los utiliza para dar un argumento coherente.

Suficiente

En el argumento o la evidencia escrita hay ocasiones en que la información no es con-

creta o se utiliza de manera incorrecta. Presenta los números de manera efectiva, pero

carecen de sustento sobre el significado causal del evento. Hace malas interpretaciones

tales como de comparación, relaciones causa efecto etc.

Bueno

El argumento o la evidencia escrita se basa en una certeza numérica sólida y coherente,

solo ocasionalmente hace referencias poco concretas. Explica los métodos usados, hace

comparaciones o relaciones causa efecto, es capaz de estimar resultados. Puede que no

se exploren todos los aspectos posibles de un hecho.

Excelente

El argumento o la evidencia escrita es de alta calidad, la interpretación numérica es

completa, considera toda la información disponible, realiza operaciones de manera

correcta, explora completamente los métodos y se explican correctamente. No hay

errores en la interpretación ni de relación causa efecto.

Elaboración basada en: Greeno, 1991; NCTM, 2010; Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh,

Reys, & Reys, 1992.

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Tabla 3.2 Indicadores de reconocimiento de pensamiento algebraico.

Nivel Descripción

Deficiente

Pueden tener una mala interpretación del problema que además impide dar una explica-

ción al mismo. Los estudiantes realizan cálculos y ponen especial atención en las reali-

zaciones de operaciones y la obtención de resultado numérico. El razonamiento ma-

yormente orientado a resolución de casos particulares.

Suficiente

Justifica en términos de casos particulares, explican la estructura de cada método en

términos numérico - aritmético. Utiliza una explicación verbal y muestra evidencia de

entendimiento de las relaciones. Muestra poca habilidad para generalizar los objetos

matemáticos.

Bueno

Se justifica de modo general el funcionamiento del fenómeno en ocasiones pude omitir

información, logra generalizar los objetos matemáticos de completa o parte del fenó-

meno mediante una función o relación. Utiliza símbolos algebraicos para representar

números y es capaz de operar con ellos. Justifica de manera verbal y usa algunos argu-

mentos matemáticos para explicar el fenómeno.

Excelente

Logra entender de manera completa el fenómeno sin omitir información, generaliza los

objetos matemáticos, establece relación entre ellas y precisa un modelo mediante una

función. Es capaz de operar con las variables y de modificar el modelo establecido a

partir de condiciones nuevas. El entendimiento del problema es tal que es capaz de

argumentar matemáticamente.

Elaboración basada en: NCTM, 2010; Butto & Rojano, 2010; Schoenfeld, 1992.

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4. RESULTADOS

4.1. Introducción

En este capítulo se detallan los hallazgos encontrados al momento de implementar las tareas

propuestas en el presente trabajo. Durante el proceso de implementación se realizaron

cuestionamientos específicos a los estudiantes, en función de las observaciones que el docente

realizó sobre el trabajo de cada uno de ellos, o en apoyo al entendimiento de la actividad. Es

importante señalar que la participación de los estudiantes fue voluntaria y se les informó que se

trataba de una investigación para la realización de una tesis de maestría.

El análisis se realizó por cada tarea, en lo consiguiente la tarea uno (T1) se refiere a la tarea

“Alan el impaciente”, la tarea dos (T2) “El depósito de agua” y la tarea tres (T3) a “La tira de

papel”. Así mismo el desarrollo de cada tarea será analizado por cada equipo lo cuales serán

nombrados Equipo 1 (E1) y Equipo 2 (E2) respectivamente. Los nombres de los estudiantes

fueron remplazados por pseudónimos como Estudiante 1, 2, 3, …10, respectivamente, con el fin

de proteger la identidad de los participantes. En lo subsecuente, nos referiremos a la evidencia de

sentido numérico y pensamiento algebraico con los indicadores: deficiente, suficiente, bueno o

excelente, acorde a lo descrito en la tabla 3.1 y 3.2 incluidas en el capítulo 3.

4.2. Resultados de la tarea “Alan el impaciente”

Para la primera actividad se entregó a los estudiantes una hoja de trabajo y los equipos se

colocaron alrededor de una mesa de trabajo. Se les proporcionaron hojas blancas para realizar

notas, y se les indicó que no borraran sus anotaciones. Durante la actividad hubo además una

persona que grabó en video el desarrollo de la actividad.

4.2.1. Equipo 1

Cuando se les pidió a los estudiantes que dieran una respuesta intuitiva a la pregunta ¿Cuántos

estudiantes fueron atendidos antes que él? No respondieron en primera instancia al

cuestionamiento, no obstante, después de proporcionar el material y pedir que registraran lo que

observaban, comenzaron a realizar algunas anotaciones. Cuando a los estudiantes se les pidió que

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pensaran en un problema más simple comenzaron a registrar los datos en una tabla (Figura 4.1),

no obstante, uno de los integrantes argumentó que ese registro no serviría ya que siempre se

obtenía el mismo resultado, lo que los llevó a tener una segunda versión de la tabla (Figura 4.2) y

esto les permitió da una primera respuesta, se les preguntó ¿Ya saben cómo se comporta? La

respuesta fue que eran 20 las personas atendidas.

Figura 4.1 Primera tabulación realizada tarea 1 (E1)

Figura 4.2 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E1)

En este caso, la respuesta proporcionada por los estudiantes es producto de una mala

interpretación del problema, en la figura 4.3 se puede observar que los estudiantes realizan una

multiplicación, ya que ellos sostenían que, dado que cuando hay 10 personas en la fila, cuatro de

ellas son atendidas antes que Alan, entonces 5 veces el 4 da 20. Con lo anterior, la evidencia de

sentido numérico puede categorizarse como “deficiente”. Así mismo la evidencia de pensamiento

algebraico también es “deficiente” debido a que su respuesta está basada en la realización de

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operaciones aritméticas, acerca de las cuales no son capaces de argumentar su pertinencia, tal

como se puede observar en la siguiente trascripción (Figura 4.3).

Profesor: ¿Ya vieron cómo se comporta?

Estudiante 1: Atiende a 20 personas [antes de Alan].

Profesor: ¿y cómo le hizo para saber?

Estudiante 3: Jugamos el de 10 y lo fuimos pasando y después nos dios un resultado de 4 per-

sonas y lo multiplicamos, cuatro por cinco.

Profesor: ¿Y cómo sabe que así se comporta? ¿Cómo sabía que multiplicar por cinco? O ¿Có-

mo asegura que eso ayuda a resolver el problema?

Estudiante 2: es que eso nos daba.

Estudiante 3: Entonces hay que jugarlo más.

Estudiante 5: Ponlo de 20 muñecos.

Figura 4.3 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E1)

Figura 4.4 Operación personas atendidas antes que él.

Posteriormente se sugirió a los estudiantes que no perdieran de vista las preguntas en la hoja de

trabajo y que fueran cuidadosos al realizar el análisis del problema, debido a que los registros de

la tabla (Figura 4.5) parecían no tener sentido. Consideramos que la tabla se completó mediante

un razonamiento intuitivo, el cual los estudiantes no pudieron justificar. Con base en lo

expresado, se les pidió abordar un caso más sencillo y entonces surgió una segunda versión de la

tabla (Figura 4.6), a partir de la cual identificaron una regularidad, que describieron como “cada

tres hay uno más” y entonces se les preguntó a ¿Cuántos se atendían antes si había 50 en la fila?

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Figura 4.5 Tercer tabulación realizada tarea 1 (E1)

Figura 4.6 Cuarta tabulación realizada tarea 1 (E1)

Para este caso los estudiantes daban una explicación verbal difícil de interpretar. Su argumento se

sustentó en que al ver la tabulación de la figura 4.6 en bloques de 3, por cada bloque se atendía a

un mismo número de estudiantes. No obstante, sin proporcionar más argumentos aseveraban que

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el número de estudiantes atendidos eran 16 y pedían que el docente les dijera si su resultado era

correcto, pero se les indicó que ellos debían comprobar o justificar el resultado (Figura 4.7).

Profesor: ¿Y si sabe eso entonces cuantos serían atendidos si son 50 entonces?

Estudiante 5: 16

Profesor: ¿Por qué?

Estudiante: Por lo que les estoy diciendo, si a la fila le sumas 3 atienden a uno más. Los saltos

de Juan, o no sé cómo se llame, no los conté porque no los pedía.

Figura 4.7 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E1)

En este caso, la evidencia de sentido numérico es apenas “suficiente” ya que a pesar de encontrar

una regularidad numérica los estudiantes no utilizaron argumentos para justificar el

procedimiento de solución, Además, las operaciones aritméticas están desconectadas del

problema pese a que pueden operar numéricamente. En general este equipo tuvo dificultades para

elaborar argumentos y en ocasiones se interpretó de manera incorrecta la información. La

evidencia de pensamiento algebraico puede calificarse como “deficiente” ya que únicamente

pueden argumentar en base a los casos particulares y no logran sustentar una explicación basada

en la evidencia numérica.

Figura 4.8 Primera fórmula tarea 1 (E1)

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Cuando se les pidió a los participantes que, si podían predecir el número de estudiantes que eran

atendidos antes que Alan para cualquier cantidad de personas en la fila, comenzaron a explorar su

argumento anterior, logrando deducir que debían dividir entre 3 para encontrar el número de

estudiantes atendidos antes que Alan. No obstante, notaron que para algunos casos la división no

era exacta y argumentaban que no se debía tomar en cuenta los decimales a lo que se les preguntó

¿Por qué razón? Y no fueron capaces de argumentar. La sugerencia fue que redondearan y

probaran para casos particulares con el fin de comprobar si lo obtenido era correcto. El principal

obstáculo, observado es que dudaron como redondear correctamente los números, utilizaban la

palabra infinito para referirse a una cifra periódica, aunque tenían la concepción correcta. Dichos

errores llevaron a obtener un primer acercamiento a la fórmula (Figura 4.8) la cuál descartaron

después de probarla. Se observó poca habilidad para relacionar números con literales ya que

dicha expresión es igualada a 1 y los estudiantes no son capaces de explicarla.

Para encontrar la fórmula una discusión llevada a cabo entre los estudiantes hacía referencia a

restar o sumar uno argumentando que quitaban o agregaban a Alan, eso los llevó a obtener la

fórmula de la figura 4.9. No obstante, pese a funcionar para algunos casos fue descartada por

ellos mismos luego de comprobar con algunos casos particulares. Algunas ocasiones sustituían

N= 51 0 N=49 con un argumento poco claro, tampoco pudieron justificar porque sumaban 1 o lo

restaban. Después de discutir lograron concretar las ideas hasta generalizar en la fórmula que se

observa en la figura 4.10. Es importante señalar que la discusión generada en el equipo fue

determinante para concretar la solución al problema ya que cada uno de ellos tenía aportes que

iban siendo aceptados a descartados por los demás integrantes del equipo. La evidencia de

sentido numérico puede clasificarse como “suficiente” ya que el argumento está basado en

evidencia numérica y logran explicar correctamente los hechos que llevan a concluir en la

fórmula presentada, no obstante, no exploraron de manera profunda el significado del dividir

entre 3 o sumar 1 y su explicación está basada en los casos particulares representados en la tabla.

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Figura 4.9 Segunda fórmula obtenida tarea 1

(E1)

Figura 4.10 Tercer fórmula obtenida tarea 1 (E1)

En cuanto al pensamiento algebraico puede categorizarse como “suficiente” ya que los

estudiantes logran establecer la relación entre variables y son capaces de utilizar dicha expresión,

además explican que dividen entre 3 porque observan que así cambia en la tabla construida y

suman 1 porque consideran a Alan que también está formado en la fila. Lo cual da evidencia que

pueden justificar de manera verbal el funcionamiento de su fórmula y utilizando algunos

argumentos matemáticos. Cabe mencionar que los estudiantes no lograron terminar la actividad

en el tiempo establecido y lograron encontrar una sola fórmula y tampoco lograron generalizar

para una cantidad k de brincos y n de alumnos formados.

4.2.2. Equipo 2

Cuando se les pidió a los estudiantes que dieran una respuesta

intuitiva a la pregunta ¿Cuántos estudiantes fueron atendidos

antes que él? Los estudiantes luego de pensar un momento

argumentaron que podían ser 24 o 25. Después de resolver

casos particulares los estudiantes obtuvieron la tabla que se

muestra en la figura 4.11. Cuando se preguntó a los

participantes si podían decir ¿Cuántos estudiantes estaban

formados? refirieron que estaban calculándolo, no obstante,

revisando las videograbaciones los estudiantes ya había

descubierto que en la tabla se observa que cada múltiplo de 3 Figura 4.11 Primera tabulación

realizada tarea 1 (E2)

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se atendía una persona más y en ese momento los estudiantes comienzan en buscar una fórmula

para contestar el cuestionamiento antes incluso de darles la instrucción de generalizar. Sin

embargo, cuando se les preguntó si podría decir ¿Cuantos eran atendidos si eran 50? ellos

utilizaron un argumento similar al Equipo 1 ya que al observar su tabla y ver que cuando eran 10

se atendían 4 personas ellos refirieron que era posible multiplicar 4 * 5 y su respuesta fue 20.

Profesor: ¿Ya podrían saber? ¿Cuántas personas fueron atendidas si son 50?

Estudiante 6: Ya sacamos patrones nada más nos falta poner la fórmula.

Profesor; ah ya se adelantaron a sacar una fórmula. Y ¿Cuántos serían entonces si son 50?

Estudiante 7: No falta la fórmula.

Profesor: Aunque no tengan la fórmula.

Estudiantes: Ah ok.

Estudiante 6: Si de 10 son 4 personas atendidas.

Estudiante 7: Multiplicamos eso por 5.

Estudiante 8: Ajá, son 20. Cuatro 4 * 5 = 20.

Profesor: Y ¿Cómo asegura que es eso?

Estudiante 6: ¿Contamos? Es que va a ser mucho.

Estudiante 9: Si.

Estudiante 7: sí es mucho. Y es que podemos hacerlo, sacar de 25 y multiplicarlo por dos y llegar a la

misma conclusión. Pero yo siento que necesariamente tendríamos que sacar una fórmula.

Profesor: Sí ya tienen una tabla y ya tienen casos prueben con esos, prueben con esa hipótesis. Y vean si

para estos que ya tienen se cumple. Si se cumple para esos entonces, puede ser.

Figura 4.12 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E2)

Como se puede leer en la Figura 4.12 los estudiantes basándose en parte de lo que han observado

en la tabla contestaban la pregunta, no obstante, pese a que habían hecho un registro eficiente, y

referían que habían encontrado patrones debido a que habían observado un comportamiento en la

tabla, aunque no utilizan ese supuesto para explicar su respuesta, por lo que esta carece de un

argumento que establezca relación entre la regularidad observada y su respuesta. Por lo tanto, la

evidencia de sentido numérico en este caso puede categorizarse como “deficiente”, así mismo el

pensamiento algebraico es categorizado como “deficiente” debido a que argumenta bajo casos

particulares y la explicación verbal carente de sustento basado en evidencia numérica.

Después de sugerir a los estudiantes que revisaran lo observado en su tabla lograron contestar de

manera correcta que eran 17 personas las que se atendían, bajo el argumento que cada 3 personas

se atendía una persona más, por lo que los estudiantes dedujeron que para poder encontrar el

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número de personas que eran atendidas había que dividir el número de personas formadas en la

fila entre 3. Con la finalidad de ver si habían comprendido el problema se les preguntó lo

siguiente: ¿Cuántas personas estaban formadas en la fila si habían sido atendidos 21 estudiantes

antes que Alan? La Figura 4.13 muestra el fragmento de la trascripción.

Profesor: ¿Cuántos fueron atendidos antes si estaban 50?

Estudiante 6: 17

Profesor: Ok muy bien. Y entonces ¿Cuántas personas estaban formadas si los que se atendie-

ron fueron 21?

Estudiante 6: Ok.

Estudiante 9: Mmm

Estudiante 7: 21 entre 3 = 7.

Estudiante 9: ¡No! 21 por 3

Estudiante 7: ¡No! 21 entre 3

Profesor: No pasaron 21.

Estudiante 9: Ah había 21 personas o fueron atendidas.

Profesor: Fueron atendidas 21 personas.

Estudiante 6: Tenemos que sacar cuantas estaban formadas.

Estudiante 9: 63.

Profesor: ¿63?

Estudiante 9: Ajá.

Profesor: ¿Cómo le hizo para eso?

Estudiante 9: Porque multiplico esto por 3.

Estudiante 7: Ósea haciendo la operación inversa para sacar el número de personas.

Figura 4.13 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E2)

El argumento presentado por los estudiantes en este caso está sustentado en lo observado y utiliza

esa información para contestar, además parece entender la relación entre cantidades, ya que

cuando se les pregunta por el número de personas formadas, saben que pueden hacer la operación

contraria. Pero su respuesta no contempla todos los casos posibles ya que, de acuerdo con lo que

observaron, podrían estar formadas 61, 62 o 63 estudiantes. Con base en los indicadores

establecidos, el sentido numérico puede categorizarse como “Bueno” ya que pese a que no

explorar todas las opciones posibles tiene claro parte del comportamiento del problema. A su vez

el pensamiento algebraico puede categorizarse como “Suficiente” ya que tiene un entendimiento

del problema y de la relación entre cantidades a pesar de que no logran modelar una función.

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Figura 4.15 Primeras fórmulas propuestas tarea 1 (E2)

Cuando a los estudiantes se les pidió que encontraran

alguna fórmula o regla para cualquier número de

estudiantes que estuvieran formados los estudiantes

tenían claro el concepto de redondear, pero no sabían

cómo incluirlo en su fórmula ya que para los registros

de la tabla que se observa en la figura 4.11 ellos

dividían entre 3 y al tratar de redondear no arrojaba los

resultados para todos sus casos. Al sugerirles que

incluyeran a Alan dentro de su análisis, ellos generaron

la tabla que se observa en la Figura 4.14 no obstante,

ellos argumentaban que necesitaban obtener números

exactos lo que los hizo desistir de su idea.

Después, los estudiantes propusieron expresiones

algebraicas para evitar que la fórmula arrojara números decimales (Figura 4.15); no obstante, se

percataron que no funcionaban al probar con casos particulares, también es de hacer notar que los

integrantes del equipo habían encontrado la expresión que se puede observar en la figura 4.16 la

cuál solucionaba el problema acorde a la tabla de la figura 4.14, no obstante, no la argumentan ya

que sostenían que la expresión no podía arrojar números decimales.

Figura 4.16 Segunda fórmula

propuesta tarea 1 (E2)

En esta última etapa de la actividad el sentido numérico puede categorizarse como “bueno” ya

que sin problema logran establecer la relación numérica entre el problema y el resultado de hecho

son capaces de predecir resultados para casos particulares. No obstante, no logran generalizar

Figura 4.14 Segunda tabulación

realizada tarea 1 (E2)

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debido a que piensan que una fórmula debe arrojar, necesariamente, resultados enteros. Los

estudiantes consideran que, dado que el problema trata de personas, entonces la fórmula debe

arrojar solo resultados enteros, lo cual es parcialmente correcto, ya que están considerando que es

una variable discreta, con esto podemos categorizar el pensamiento algebraico como “Suficiente”

ya que, aunque lograron encontrar la expresión algebraica que representa el patrón, no fueron

capaces de argumentar y describir su funcionamiento de manera verbal.

4.3. Resultados de la tarea “El depósito de agua”

Para la segunda actividad se les entregó una hoja de trabajo a los estudiantes, de acuerdo con lo

establecido en la metodología. También, previo a la implementación de la actividad, se pidió a los

estudiantes instalar el programa GeoGebra ya que ahí sería donde podrían manipular la

animación. Para una mejor interacción de los estudiantes se colocaron en círculos. Se les

proporcionaron hojas blancas para realizar anotaciones de sus procedimientos, si así lo requerían,

y se les indico que no borraran sus anotaciones. Durante la actividad hubo además una persona

que grabó en video el desarrollo de la actividad.

4.3.1. Equipo 1

Para esta tarea los estudiantes al leer el problema y analizarlo no pudieron llegar a un acuerdo

para poder decir el tiempo de llenado del recipiente. Algunos, aseguraban que había que dividir el

tiempo a la mitad de cada llave y luego sumarlo, por ejemplo:

15

2+

30

2= 7.5 + 15 = 22.5

Por otra parte, otros más sugerían sumar el tiempo de cada llave y dividirlo entre 3, por ejemplo:

15 + 30 = 45 Y luego 45

3=15

En ninguno de los casos anteriores lo estudiantes pudieron argumentar su respuesta por lo que

hacen una mala interpretación del problema y no dan lo significados a los tiempos presentados

por lo que ninguno de los dos razonamientos es un argumento coherente con esto la evidencia de

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sentido numérico pude categorizarse como “deficiente”. El pensamiento algebraico también

puede categorizarse como “deficiente” ya que se enfocan en la solución de casos particulares

además que el entendimiento del problema no es correcto.

Después a los estudiantes se les pidió que abrieran la aplicación para correr la animación, lo que

les permitiría comprobar si su resultado era correcto. Se les preguntó de nuevo en cuanto tiempo

se llenaba el tanque. Al ver la animación observaron que eran 10 minutos, entonces se les pidió

que explicaran porque eran 10 minutos. No obstante, en esta fase se notó que los estudiantes

tenían problemas para poder justificar dicho resultado; por ello, se les sugirió que pensaran que

parte del tanque llenaban por separado cada una de las llaves y lo registraran. Con lo anterior

propusieron una tabla como la que se muestra en la figura 4.17.

Figura 4.17 Primer tabulación realizada tarea 2 (E1)

Pero, pese a tener los registros de la tabla los estudiantes tuvieron problemas para argumentar la

respuesta, en gran medida se observa que los estudiantes tenían dificultades para hacer

operaciones con números racionales en la figura 4.18 se pueden observan algunas de las

operaciones que los estudiantes realizaron y como se puede observar en la operación 1

15+

1

30=

2+1

30=

3

30= 7.5 pese a tener el resultado correcto en forma racional, los estudiantes buscan

obtener una expresión decimal y es donde comenten errores. Es decir, los estudiantes no perciben

la fracción como un número sino como una operación que deben realizar.

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Figura 4.18 Operaciones con fracciones tarea 2 (E1)

Es importante mencionar que debido a que se observó que tenían dificultades para hacer las

sumas se les propuso que lo representaran de manera pictórica, lo cual en parte ayudó a que

avanzaran para argumentar de manera verbal que eran 10 minutos. Con lo anterior se evidencia

que el no saber operar números racionales representó un obstáculo para poder justificar

matemáticamente el resultado. Por lo tanto, la evidencia que el sentido numérico es “deficiente”

para este argumento ya que los estudiantes tuvieron dificultades para explicar la solución del

problema. Por lo tanto, el pensamiento algebraico también es “deficiente” y lo anterior influyó en

que los estudiantes no pudieran concluir con la tarea.

4.3.2. Equipo 2

Los estudiantes al leer el problema tuvieron dos ideas para decidir el tiempo de llenado del

recipiente, primero consideraban que había que dividir el tiempo a la mitad de cada llave y luego

sumarlo, no obstante, se percataron que el resultado obtenido no era coherente con lo que el

problema indicaba, lo cual no sucedió en primera instancia con el primer equipo. Segundo, los

estudiantes argumentaban que el tiempo de llenado tenía que ser menor que 15 minutos puesto

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que la llave que llenaba más rápido lo hacía en ese tiempo y la otra llave contribuía también al

llenado, lo que los llevó a concluir que el tiempo tenía que estar entre 7.5 minutos (por ser la

mitad del tiempo que la llave más rápida) y a su vez el tiempo tenía que ser menor que 15

minutos.

La evidencia de sentido numérico puede categorizarse como “suficiente” ya que el argumento

está basado en la naturaleza del problema y se pude notar que los estudiantes logran comprender

de primera instancia el comportamiento del fenómeno. Además, dan una explicación verbal

coherente que los lleva a concluir entre que intervalos de tiempo estará el resultado para el

cuestionamiento. No obstante, no exploran todas las posibilidades y su argumentación llega a ser

solamente verbal, no logran construir un modelo que represente al problema por lo que la

evidencia de pensamiento algebraico es “deficiente”.

Posteriormente, a los estudiantes se les pidió que abrieran la aplicación para que comprobaran si

su suposición era correcta, al verificar se dieron cuenta que estaban cerca de la solución. Se les

solicitó que justificaran el porqué, para esto se les sugirió que analizaran que parte llenaba de

manera independiente cada llave y luego las dos juntas. Los estudiantes realizaron una tabla

como la que se muestra en la figura 4.20, cabe destacarse que tuvieron en un inicio problemas

para poder hacer la suma de la fracción del tanque que se llenaba con cada llave, alguno de los

Figura 4.20 Operaciones con

fracciones tarea 2 (E2)

Figura 4.19 Primer tabulación tarea 2 (E2)

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errores que cometían se observan en la figura 4.19, por lo anterior se les sugirió utilizar una

representación pictórica como hacer dicha operación lo que les permitió generar la tabla.

Como se observa los estudiantes no tenían problema en responder para casos particulares, sin

embargo, mostraron deficiencias para generalizar. Se observó que en medida dicha deficiencia

correspondía a problemas de tipo operacional y falta de conocimiento de hacer relaciones de

proporciones. Como se puede ver la figura 4.19 los estudiantes mostraban dificultades para

relacionar las variables cuando se les preguntaba ¿Por qué lo relacionaban así? tenían dificultades

para justificarlo. En este caso los estudiantes de nueva cuenta muestran que son capaces de

analizar los casos particulares, pero presentan problemas para generalizar. Por lo que de nueva

cuenta el pensamiento numérico puede categorizarse como “Bueno” y el pensamiento algebraico

como “Suficiente”.

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4.4. Resultados de la tarea “La tira de papel”

Para la tercera actividad se les entregó una hoja de trabajo a los estudiantes que contenía las

instrucciones, así como una serie de preguntas tal como se describe en la metodología, además se

les proporcionaron hojas de colores para poder representar el problema. Una vez que cada equipo

terminó la actividad se les proporcionaron las hojas de trabajo de la segunda parte de la tarea.

4.4.1. Equipo 1

Los estudiantes, al inicio de la actividad, no tuvieron problema para contestar las preguntas

iniciales ni para el llenado de la tabla (Figura 4.21). Según sus observaciones preliminares se

debían multiplicar la cantidad de partes dobladas anterior por 2 para obtener el número de partes

al desdoblar la tira y a esa cantidad restarle 1 para ver las líneas que se obtenían con los dobleces.

Figura 4.21 Primer tabulación realizada tarea 3 (E1)

Además, cuando llenan para el quinto doblez se dan cuenta que el hacerlo es complicado, no

obstante, con sus observaciones logran contestar la tabla, pero, para el 10° y 15° doblez los

estudiantes, pese a mencionar que es 25 , 210 y 215 , no lo escriben como respuesta, sino que

desarrollan las potencias para expresar su resultado. También a los estudiantes se les plantearon

dos preguntas ¿Cuántas veces se dobló una hoja que al desdoblarse se observan 128 partes? Ellos

responden que 7 veces y ¿Cuántas veces se dobló una tira que al desdoblarse se observan 255

líneas? Y ellos responden que 8. Lo cual respondieron sin problema ya que habían hecho las

multiplicaciones del 2 hasta 15 veces. Después, al pedirles que encontraran una fórmula para

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poder calcular el número de partes que se observan al desdoblar la tira y las líneas que se

observan ellos no tienen problemas para argumentar que la fórmula es 2𝑛 y que si se le restan 1

obtendrían el número de líneas. Además, son capaces de argumentar que es un dos porque es el

número de veces que se dobla al inicio y n representa el número de veces que se dobla la tira.

Con lo anterior se pude decir que el sentido numérico es “Bueno” ya que los estudiantes logran

utilizar la información obtenida producto de las observaciones, identifican patrones y

posteriormente argumentar sus respuestas en base a lo observado, sin embargo, no utilizan

diferentes representaciones de los números para dar sus respuestas, por ejemplo, cuando dice que

es 210 en lugar de contestar de esa forma multiplican la base 10 veces. Por otra parte, el

pensamiento algebraico también puede categorizarse como “Bueno” ya que los estudiantes logran

establecer un modelo matemático correcto, relacionando correctamente las variables e incluso

justifican verbalmente su resultado, sin embargo, su conjetura escrita no es clara pese a haberlo

explicado bien verbalmente al momento de escribir se torna confusa. Por ejemplo, ellos

mencionan: “El exponente se multiplica con el número dos” en lugar de decir que el dos se

multiplica tantas veces como dice el exponente. La conjetura puede leerse en la figura 4.22

Figura 4.22 Conjetura obtenida tarea 3 (E1)

Cuando a los estudiantes se les pide que lean la segunda parte del problema en donde tienen que

comenzar por doblar en tres partes la hoja, no tienen problemas para contestar los casos

particulares, identifican como operar para poder llenar la tabla que se les pide. Sin embargo, los

estudiantes tienen problemas para generalizar pese a que parte del problema es similar al anterior

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de hecho basta con modificar la fórmula que ellos habían obtenido. Pero, presentan problemas

debido a que no tienen conocimiento de que cualquier número elevado a la potencia cero da uno

como resultado, no asocian lo que han hecho antes con la información nueva además para los

casos de los dobleces 10 y 15 hacen las operaciones como ellos han intuido, pero comenten

errores, de nuevo no utilizan la notación exponencial como se puede apreciar en la figura 4.23.

Figura 4.23 Segunda tabulación obtenida “modificación” tarea 3 (E1)

Cabe mencionar que la intervención del docente para terminar esta parte de la actividad fue

esencial ya que no lograban asociar la información nueva con la anterior y además se les sugirió

que descompusieran en factores multiplicativos con la finalidad que identificaran como se

comportaban los números. Los estudiantes logran encontrar la fórmula y la enuncian como

2𝑛−1(3) sin embargo no terminan de conjeturar al respecto.

La evidencia de sentido numérico puede categorizarse como “bueno” resuelven los casos

particulares, pero optan por desarrollar las multiplicaciones en lugar de utilizar otra

representación numérica que les permita ahorrar tiempo. El pensamiento algebraico puede

categorizarse como “bueno” ya que pese a haber encontrado la regularidad en el problema

presentaron problemas para generalizar y hace modificaciones a la fórmula que anteriormente

habían ya encontrado.

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4.4.2. Equipo 2

Al igual que el primer equipo los estudiantes no presentaron problemas con el entendimiento de

la actividad y logran contestar sin problemas las preguntas que se les pide el problema y logran

identificar un patrón de comportamiento numérico que les permite llenar la tabla que se les pide

sin necesidad de hacer todos los casos particulares, ellos utilizan dos formas para representar los

números de manera tal que expresan el resultado haciendo todas las multiplicaciones y en

términos del resultado anterior esto puede observarse en la Figura 4.24. Cuando ellos observan

que hay que multiplicar el resultado anterior por 2 hacen referencia a este comportamiento como

“Lineal” lo que, de acuerdo con la evidencia presentada en video se refiere a que siempre

multiplican por la misma cantidad no obstante el comportamiento en realidad es exponencial.

Figura 4.24 Primera tabulación obtenida tarea 3 (E2)

Cuando a los estudiantes se les pregunta ¿Cuántas veces se dobló una hoja que al desdoblarse se

observan 128 partes? Ellos responden que 7 veces y ¿Cuántas veces se dobló una tira que al

desdoblarse se observan 255 líneas? Y ellos responden que 8. Se observa que los estudiantes

habían hecho estos casos particulares para poder llenar la tabla y recurren a ellos para dar su

respuesta.

A diferencia del equipo anterior este equipo no había identificado de primera instancia que existía

un comportamiento exponencial, a los estudiantes se les sugiere que expresen de otra forma los

números y lo hacen en término de sus factores primos como se observa en la figura 4.25 y esto

les permitió encontrar la fórmula, y, logran conjeturar verbalmente y en términos del significado

de los elementos de la fórmula como se observa en la figura 4.26.

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Figura 4.25 Descomposición de números en primos tarea 3 (E2)

Figura 4.26 Primera fórmula tarea 3 (E2)

El sentido numérico puede categorizarse como “Bueno” ya que los estudiantes logran utilizar la

información obtenida producto de las observaciones, identifican patrones pese a las dificultades

iniciales, sin embargo, recurren a hacer todas las multiplicaciones para presentar su resultado en

lugar de usar otra notación que les demande menos tiempo. Por otra parte, el pensamiento

algebraico también puede categorizarse como “Bueno” ya que los estudiantes logran establecer

un modelo matemático correcto, en el cuál explican correctamente el funcionamiento de la

fórmula y establecen una relación clara entre variables, además describen esa relación en

términos de la fórmula que encuentran, sin embargo, al momento de sustituir en ella recurren a

realizar todas las multiplicaciones en lugar de dejar indicado su resultado.

Para la segunda parte de la tarea en donde tenían que comenzar por doblar en tres partes iguales

los estudiantes no tienen problema por contestar la tabla que se les pide. Cuando a los estudiantes

se les pide que busquen una fórmula para encontrar el número de partes y las líneas los

estudiantes comienzan sacando las diferencias, pero se dan cuenta que esa estrategia no los

funciona. Por lo que recurren a descomponer en factores primos los números y con esto se dan

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cuenta que solo necesitan modificar la fórmula. Por lo que no tardan en darse cuenta de que la

fórmula es (3)2𝑛−1 y para encontrar el número de líneas solo deben restar uno.

Con lo anterior se puede clasificar la evidencia de sentido numérico como “excelente” ya que los

estudiantes identifican el comportamiento numérico del problema, son capaces de estimar los

resultados para los casos particulares que se les presentan, además utilizan estrategias como la

descomposición en primos para encontrar la particularidad del problema, pese a realizar todas las

multiplicaciones para presentar sus resultados muestran un buen manejo de los números y

demuestran un buen entendimiento del problema. El pensamiento algebraico por su parte puede

categorizarse como “excelente” ya que los estudiantes pueden modificar la fórmula que

previamente habían encontrado, con la información nueva, además son capaces de describir cada

una de las partes que la componen y operar con ella como se observa en la figura 4.27.

Figura 4.27 Segunda fórmula obtenida “modificación” tarea 3 (E2)

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5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

5.1. Introducción

En este capítulo se presentan una discusión de los resultados detallados en el capítulo anterior,

también se presentan las concusiones de la investigación en función de los objetivos de este

proyecto para dar respuesta a las preguntas de investigación. Además, se contrastan los resultados

obtenidos en este trabajo con los aquellos trabajos revisados además de hacer una reflexión de los

alcances de este trabajo. El análisis se centró en determinar la influencia del sentido numérico en

el aprendizaje del algebra donde se resumieron algunos aspectos revisados en marco conceptual

de manera tal que se pueda establecer una relación entre el sentido numérico y el pensamiento

algebraico.

5.2. Respuesta a las preguntas de investigación

1) ¿De qué manera influye el sentido numérico en el desarrollo del pensamiento algebraico?

Para responder a esta pregunta y para apoyar a la discusión se han resumido en tablas los

principales hallazgos encontrados, esta información se presentan por tarea, se muestran las

principales fortalezas y, áreas de oportunidad mostradas en las estudiantes basadas en la

evidencia de sentido numérico y pensamiento algebraico.

En la realización de la tarea uno “Alan el impaciente” (sección 4.2) se pudo observar que los

estudiantes tuvieron problemas para comunicar algunas ideas matemáticas, tales como llamar

número infinito a un número decimal con cifras periódicas. También, mostraban dificultades para

redondear números, esto representó los principales obstáculos para poder terminar la tarea. Sin

embargo, se observó que a medida que los estudiantes resolvían casos particulares comprendían

la forma correcta en cómo debía realizar esos procedimientos e incluso lograron encontrar una

expresión algebraica que les permitía calcular lo que se les indicaba en la tarea, además a medida

que resolvían la actividad eran capaces de dar argumentos acerca de la solución de la tarea. En la

tabla 5.1 se resumen los hallazgos encontrados al resolver la tarea uno.

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Principales Hallazgos: Tarea uno “Sentido numérico” “Pensamiento algebraico”

FO

RT

AL

EZ

AS

• Los estudiantes no muestran dificultades

para contar o construir casos particulares.

• Mostraron tener cierta habilidad para reali-

zar operaciones con números.

• Logran generalizar pese a tener algunos

problemas al inicio para operar con las can-

tidades.

• Muestran cierta habilidad para usar varia-

bles.

• Son capaces de explicar verbalmente el

funcionamiento de su fórmula.

• Pueden hacer algunas operaciones con la

expresión encontrada.

DE

FIC

IEN

CIA

S

• Mostraron problemas para estimar resulta-

dos y recurrían a menudo a resolver casos

particulares.

• Mostraban dificultades para redondear.

• Uso incorrecto del signo igual, en ocasiones

lo utilizaban como continuación de un paso

a otro.

• Uso incorrecto del lenguaje para referirse a

una cifra periódica como infinita.

• A menudo buscan generalizar sin tomar en

cuenta toda la evidencia numérica.

• Muestran poca habilidad para dar sentido

de interminación a sus operaciones.

• Tienen problemas para modificar su fórmu-

la cuando se presentan modificaciones al

problema.

Tabla 5.1 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 1 de ambos equipos.

En la realización de la tarea dos “El depósito de agua” (sección 4.3) los estudiantes mostraron

dificultades en general para comprender el problema y solucionar el mismo. Después de

experimentar con la aplicación diseñada en GeoGebra los estudiantes comprendía que tenían que

hacer algunas operaciones con números racionales, no obstante, manifestaban que no podían

resolver el problema ya que desconocían como hacer la suma de fracciones. Aunado a esto,

tuvieron dificultades para hacer la relación de proporciones siendo estas las principales

dificultades para solucionar la tarea.

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Cabe destacar que, pese a desconocer algunos tópicos necesarios para dar solución a la tarea,

gracias al intercambio de ideas que tuvieron con sus compañeros de equipo, les permitió

desarrollar una estrategia para sumar las fracciones que consistía en convertir las fracciones a un

equivalente de manera tal que todas tuvieran el mismo denominador, lo cual fue posible gracias a

la resolución de casos particulares. Siendo esta la tarea que tenía un grado de dificultad mayor,

las contribuciones realizadas por los estudiantes fueron importantes. Ya que, pese a manifestar

desconocer cómo efectuar suma de fracciones, lograron desarrollar una estrategia que les

permitió superar esta dificultad. En la tabla 5.2 se presenta un resumen de los hallazgos

encontrados en la solución de esta tarea.

Principales Hallazgos: Tarea dos

“Sentido numérico” “Pensamiento algebraico”

FO

RT

AL

EZ

AS

• Los estudiantes no muestran dificultades

para contar o construir casos particulares.

• Mediante la experimentación los estudian-

tes desarrollan una estrategia para poder

hacer suma de fracciones.

• Pese a presentar problemas para hacer su-

mas con fracciones logran entender parte

del problema.

DE

FIC

IEN

CIA

S

• Los estudiantes inicialmente dicen no saber

hacer sumas con fracciones.

• Desconocen cómo utilizar proporciones.

• Muestran poca habilidad para operar y re-

presentar números racionales.

• Presentan dificultades para entender el pro-

blema lo cual les impide generalizar.


Respecto a la tarea tres “La tira de papel” (sección 4.4) los estudiantes mostraron desarrollo de

habilidades numéricas importantes como la descomposición en primos de los números, lo que

contribuyó a que pudieran hacer la representación exponencial de los números, pese a no utilizar

esta representación para contestar las preguntas y optar por hacer todas las multiplicaciones. No

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obstante, esto les permitió la comprensión del concepto de exponente y ayudó a encontrar una

forma generalizada de sus ideas matemáticas, además mostraron habilidad para modificar su

expresión algebraica cuando se cambiaban datos del problema además que lograban comunicar

de manera correcta la relación entre las variables.

Principales Hallazgos: Tarea tres

“Sentido numérico” “Pensamiento algebraico”

FO

RT

AL

EZ

AS

• Los estudiantes no tienen problemas

para contar o resolver casos particu-

lares.

• Comprenden el comportamiento

numérico y son capaces de predecir

resultados.

• Descomponen en factores primos

los números.

• Demuestran que son capaces de re-

presentar números como potencias.

• Al descomponer en primos los nú-

meros les permite darse cuenta de

que pueden representar esas opera-

ciones como potencias y logran ge-

neralizar.

• En general muestran cierta habilidad

para operar con la forma generaliza-

da.

• Logran modificar su expresión alge-

braica cuando se les proponen en

cambios al problema.

• Son capaces de explicar el funcio-

namiento de sus expresiones.

DE

FIC

IEN

CIA

S

• En algunas ocasiones pese a saber

cuál es la representación del número

en forma de potencia no lo presen-

tan como resultado y optan por

desarrollar la potencia.

• En algunas ocasiones mostraban al-

gunos errores al realizar las opera-

ciones con su expresión.


Página | 68

Tras la investigación realizada y de acuerdo con las categorías establecidas en las rúbricas (Tabla

3.1 y 3.2) para el análisis se encontró una relación estrecha entre los diferentes niveles de

dominio del sentido numérico y el pensamiento algebraico. En donde se observó que cuando se

califica el sentido numérico como deficiente o suficiente, el pensamiento algebraico se encuentra

en las mismas categorías. Por ejemplo, en la solución de la tarea dos los estudiantes al recurrir a

expresar los números en su representación decimal figura 5.1, esto les llevaba mucho tiempo y no

lograban encontrar el patrón de comportamiento, lo anterior representó una dificultad para

generalizar sus ideas matemáticas.

Figura 5.1 Divisiones realizadas para representar los números en forma decimal.

Sin embargo, en la realización de la tarea tres donde los estudiantes mostraron mayor dominio de

los números, relaciones, operaciones y representaciones los estudiantes, el sentido numérico se

calificó como bueno o excelente y el pensamiento algebraico se calificó en las mismas categorías.

Como la descomposición en primos de la figura 5.2 realizando esto la generalización de sus ideas

matemáticas fue relativamente sencilla, incluso lograron explicar la contribución de cado uno de

los elementos del problema en la expresión algebraica que presentaba figura 5.3.

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Figura 5.2 Descomposición en primos

Figura 5.3 Explicación de los elementos de la expresión algebraica

En consecuencia, el sentido numérico y el pensamiento algebraico tienen una relación estrecha ya

que como se ha discutido, las deficiencias como desconocimiento de redondeo, suma de

fracciones o establecer proporciones, fueron algunas de las principales razones los estudiantes no

lograron generalizar. Sin embargo, se observó que en una misma tarea los estudiantes

modificaban su pensamiento producto de la interacción con sus compañeros y de las preguntas

que se les realizaban, es decir que, pese a presentar deficiencias lograron resolver parte del

problema que se les presentaban, incluso desarrollar estrategias para redondear, sumar fracciones

o relacionar cantidades.

Por lo anterior, un estudiante que no conoce un algoritmo, procedimiento o tiene problemas para

operar con números no está imposibilitado para desarrollar su pensamiento algebraico, ya que a

partir de su experimentación e interacción en el ámbito concreto puede ir desarrollando su

razonamiento matemático y en consecuencia el sentido numérico se mejore, esto coincide con las

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ideas de Ernest (2010) donde manifiesta que el conocimiento no se recibe de manera pasiva sino

que se construye activamente. Entonces, el pensamiento algebraico es desarrollado a partir de las

experiencias producto de las tareas y de la interacción con otros estudiantes, estos pueden ir

asociando los cálculos a significados explícitos y no como tradicionalmente se pide que los

estudiantes operen con reglas carentes de sentido para ellos.

2) ¿Qué elementos aportan las tareas que involucran identificar y generalizar patrones en

secuencias figúrales, para apoyar el desarrollo del pensamiento algebraico en estudiantes

de primer semestre de un bachillerato público en el estado de Hidalgo?

Las tareas aplicadas en el presente trabajo de investigación fueron diseñadas de forma tal que los

estudiantes transitaran por cada una de las fases del Ciclo para observar el desarrollo del

entendimiento matemático adaptado de Barrera y Reyes (2016). Se observó que en el desarrollo

de las tareas surgieron de manera intuitiva el conteo, las comparaciones, estimaciones numéricas,

incluso cuando los estudiantes manifestaban no conocer cómo hacer una suma de fracciones o un

redondeo estos lograban deducirlo, producto de la observación de los casos particulares y la

manipulación de los materiales proporcionados.

Al comenzar a trabajar con las actividades, los estudiantes mostraban poca habilidad para

generalizar sus ideas matemáticas, operar con objetos indeterminados, hacer comparaciones y

relacionar variables. No obstante, a medida que discutían las regularidades observadas y

manipulaban los materiales proporcionados, la comprensión del problema era más clara y de

manera intuitiva surgieron estrategias como la descomposición de un número entero como

producto de números primos, que a su vez les permitió comprender el significado de exponente y

esto ayudó a encontrar una expresión para generalizar el comportamiento del problema que

resolvían.

Justamente por lo anterior, las actividades de reconocimiento de patrones al permitir el tránsito

por cada una de las fases del ciclo de aprendizaje con entendimiento y trabajar con elementos

concretos ayudan a dotar al estudiante de significados y derivado de su experiencia con los

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números se mejora el sentido numérico, así como también de manera paulatina el pensamiento

algebraico.

De lo anterior, podemos decir que el sentido numérico no debiera abordarse como un tópico o de

manera algorítmica, sino que su estudio debe estar implícito en las tareas, discusiones generadas

en el aula y emerger como producto de la asociación de significados, lo que permitirá a los

estudiantes ir construyendo un sentido de internalización de los números, variables y operaciones.

Las tareas que involucran patrones tienen en común que no son algorítmicas, por lo que no

existen pasos a seguir o reglas específicas para su solución, sino que requieren desarrollar

procesos que involucran los diversos elementos del pensamiento matemático, de forma tal que

permita identificar regularidades y comportamientos de un fenómeno o secuencia numérica. Por

esto, el esfuerzo mental requerido es considerable, no obstante, son flexibles a las respuestas que

los estudiantes puedan brindar e invitan a explorar, cuestionar, verificar resultados lo cual

coincide con algunos trabajos revisados (Arce, 2019; Booker y Windsor, 2010; Guzmán, 2013;).

En contraste, en los trabajos revisados de Molina, Ambrose, y Castro (2004); Herscovics y

Linchevski (1994); Filloy y Rojano, (1989) las tareas propuestas fueron de tipo algorítmicas y los

trabajos coinciden en que se identifica una ruptura entre la aritmética y el álgebra que no puede

corregirse desde contextos abstractos y que debe ser corregida en contexto que sean significativos

para los estudiantes. En nuestro caso, el entender la aritmética y el álgebra como dos disciplinas

separadas resulta ser un error ya que, en ambas, las propiedades aritméticas son las mismas y, el

objeto de estudio son los números y sus operaciones. A diferencia de que, en el álgebra, a los

números se les representa con símbolos que permiten representar patrones y generalizar

resultados.

Esta separación artificial que a menudo se hace de estas disciplinas resulta en una confusión para

los estudiantes, Estas consideraciones se toman como punto de partida para sustentar la propuesta

de implementar tareas que permitan a los estudiantes poner en práctica el cálculo mental, realizar

estimaciones y dar significado a los números, es decir, que desarrollen su sentido numérico. Y

que producto de la comprensión del problema pueda generalizar los fenómenos, es decir que

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desarrolle el pensamiento algebraico de la comprensión del problema y de los significados que

atribuya a los números.

Página | 73

5.3. Reflexiones finales

Una creencia que a menudo se tiene respecto del aprendizaje de las matemáticas es que se

requiere de algún talento específico para aprenderlas. Muchas veces esta idea lleva a los

estudiantes a considerar que su aprendizaje está reservado a unos cuantos. Como profesores, un

reto radica en diseñar tareas que brinden oportunidades a todos los estudiantes para desarrollar el

pensamiento algebraico de los estudiantes y no dar por hecho que es únicamente del dominio de

estudiantes “Talentosos” en matemáticas, sino más bien que es perfectible a medida que los

estudiantes den significados a los números y sus operaciones.

Con el desarrollo de este trabajo tuve la oportunidad de observar cómo al resolver tareas que

involucran patrones se pueden aplicar una gran cantidad de conocimientos, que a su vez permiten

desarrollar nuevos razonamientos a través de los retos que presentan las tareas; esto difícilmente

podría lograrse con el enfoque tradicional, en el que las tareas tienen directrices totalmente

algorítmicas.

Entonces el desarrollo del pensamiento algebraico debería desarrollarse como producto de la

experiencia con ambientes concretos y no por medio de planteamientos descontextualizados. Los

cuales muchas veces resultan ser escasamente motivadores y limitan la posibilidad de enfrentarse

con desafíos en los que se planten interrogantes.

Por lo anterior, los profesores de matemáticas debemos proponer actividades que permitan que

los estudiantes desarrollen un conocimiento integral de la asignatura que se estudia y a partir de

la solución de problemas de su mundo puedan plantear conjeturas que más tarde les permite el

tránsito hacia una representación simbólica y por lo tanto evitar problemas que solo involucren

algorítmicos, memorización de procedimientos rutinarios o reglas.

Por último, la información de esta investigación puede ser útil para el diseño de un proyecto de

innovación curricular. Ya que, aunque el plan curricular actual requiere en enseñen nociones

algebraicas pocas veces se menciona como hacerlo. En consecuencia, esta investigación podría

ser una base teórica y práctica interesante sobre la cual extraer tareas, materiales y actividades

para promover el desarrollo del sentido numérico y pensamiento algebraico en los estudiantes.

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5.4. Limitaciones y recomendaciones

El periodo de aplicación de las tareas es una limitante para obtener conclusiones más amplias

acerca de la influencia del sentido numérico en el desarrollo del pensamiento algebraico. Por otra

parte, las características de los estudiantes con los que se experimentó, son débiles debido a que

varios de ellos habían reprobado la asignatura. Una posible forma de robustecer las conclusiones

de este trabajo podría basarse en:

(a) Ampliar el tamaño del grupo de estudiantes, así como el periodo de aplicación de las

tareas para observar y analizar el desarrollo del sentido numérico y del pensamiento

algebraico.

(b) Analizar la influencia de la actividad del profesor durante el desarrollo de las tareas

concernientes al pensamiento algebraico y sentido numérico.

(c) Identificar los elementos que permitan diseñar tareas, utilizando tecnologías digitales,

para fomentar el desarrollo del pensamiento numérico y algebraico.

(d) Identificar características de tareas, con patrones, para propiciar el desarrollo del

pensamiento numérico y algebraico, en otros niveles educativos.

Página | 75

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Apéndice A: Oficio de autorización para que los estudiantes participaran

en el proyecto de investigación.

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Apéndice B: Hojas de trabajo tarea uno

Estudiante 1

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Estudiante 2

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Estudiante 3

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Estudiante 3

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Estudiante 5

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Estudiante 6

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Estudiante 8

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Estudiante 8

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Estudiante 9

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Estudiante 9

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Estudiante 10

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Apéndice C: Hojas de trabajo tarea dos

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Estudiante 1

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Estudiante 3

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Estudiante 3

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Apéndice D: Hojas de trabajo tarea tres

Estudiante 1

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Estudiante 10

Relación entre el sentido numérico y pensamiento alge- braico en el … · 2019-12-09 · tienen...

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