Planeamiento Hidrulico

Regulacin de Caudales

Objetivos

Planificacin y anlisis del uso del recurso hdrico para el aprovechamiento.

Diseo de embalses de regulacin para el control de inundaciones.

Interrogantes

Capacidad del embalse

Mxima demanda satisfecha

Demanda Volumen de regulacin establecido

Ecuacin de Continuidad

c S.CV

dV V.dA 0t

=cte

Ecuacin de Continuidad

Mtodos para el dimensionamiento de un Embalse

Mtodos de dimensionamiento

Analtico o Matemtico

Emprico

(Curva Masa)Experimentales

Mtodo de Rango Mtodo de Markov

Consiste en encontrar mtodosexactos o aproximados yfunciones de distribucin deprobabilidades de las variablesrelacionadas con la capacidaddel embalse tratando de resolverla ecuacin diferencial delbalance hdrico.

Curva Masa o Rippl

Es la representacin grfica de los volmenes acumulados de un ro en un periodo de tiempo seleccionado, generalmente los ms crticos, de uno o varios aos.

Segn algunos estadsticos se considera que con 30 aos se tendra una buena muestra respectiva.

Estructura hidrulica: vida til estimada 25 aos.

Inconvenientes del mtodo

Vida til mayor que la longitud del registro

Se obtendr un volumen de regulacin en base exclusivamente a un determinado registro histrico que puede variar

Mtodo tradicional cuya precisin es muy limitada debido a que la informacin base es exclusivamente los registros histricos.

Curva Masa o Diagrama Rippl

Esquema General de un Diagrama Rippl

S: Volumen almacenado en el embalse

Niveles de regulacin

Plurianual: datos anuales (no peridicos). En este tipo de regulacin se laserie es el total de valores del registro

Estacional: datos estacionales (perodos de tiempo menores a un ao)presentan periocidad. El mtodo elige un perodo crtico que ser de 2 3aos consecutivos, que representan las condiciones ms desfavorables (losmnimos valores o aportes que presenta el curso porque indica que haymayor dficit existiendo menor capacidad de almacenamiento de agua).

Niveles de operacin

Total: La demanda de volumen es mxima, es decir el embalse queda vaco al final de la operacin en el tiempo de regulacin establecido.

Parcial: El volumen requerido es slo un porcentaje del volumen total disponible para abastecer. El embalse queda con un remanente de agua al final del periodo de operacin.

Media Mvil

Serie original anual Serie mvil de 2do. Orden Serie mvil de 3er. Orden

Semisuma de valores anuales de la serie original

a a2 a3

b b2 b3

c c2 c3

d d2 d3

Mtodo del Rango

Es un mtodo que se basa en la ecuacin de continuidad.

El mtodo, a diferencia del mtodo de Rippl, puede abarcar el registro completode los datos.

Pueden dimensionarse embalses de mayor capacidad y mayor vida til.

En el dimensionamiento es posible integrar series de tiempo sintticas.

Determinando los volmenes de cada serie dentro del registro, se puede realizarun anlisis de probabilidad del almacenamiento requerido.

Es importante establecer las condiciones iniciales del embalse al utilizar elalgoritmo.

Mtodo del Rango

S: Volumen de almacenamiento

I: Ingreso de agua

O: Demanda o exceso de agua

i: periodo de tiempo

Mtodo del Rango

La diferencia entre el picoinicial y el menor valorcontiguo indica el volumende almacenamiento para eseperiodo de tiempo.

El almacenamientorequerido total es el mayorcalculado entre un pico y unmenor valor.

Mtodo del Rango: Confiabilidad de Embalses

Se acostumbra definir el rendimiento seguro o produccin firme de un embalsecomo la produccin mnima garantizada.

Si un embalse opera de forma estacional, es decir, se llena y es parcial ototalmente vaciado cada ao, es posible evaluar su confiabilidad, o sea laprobabilidad de producir la cantidad esperada de agua cada ao, en base a unanlisis del registro histrico de caudales, siempre y cuando este registro sea losuficientemente largo.

Si la regulacin es en base multianual, es decir el volumen acumulado essuficiente para abastecer las necesidades de un perodo seco de varios aos, esmuy posible que el registro histrico no pueda producir informacin adecuadasobre la confiabilidad del embalse debido a que los registros son, en general, muycortos para definir la probabilidad de series de aos subnormales.

Mtodo del Rango

Orden (m)

Rn P=m/(N+1)

1 R1 1/(N+1)

2 R2 2/(N+1)

3 R3 3/(N+1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N Rn N/(N+1)

R1>R2>R3>>Rn

Mtodo del Rango:Confiabilidad de Embalses

Indica la probabilidad de que elvolumen almacenado durantecualquier periodo futuro, igual ala longitud de la muestra, seansuficientes para satisfaceradecuadamente la demandadeseada sin deficiencias

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Vo

lum

en d

e al

mac

enam

ien

to (

MM

C)

Probabilidad

Curva de Almacenamiento - Probabilidad

Mtodo del Rango

Exponente o Coeficiente de Hurst:

= (

2)

Rn: Rango de orden nn: desviacin estndarn: orden o longitud de la serieh: Coeficiente de Hurst

Este mtodo se basa en una propiedad probabilstica:

x : un evento

n: tiempo

P : probabilidad

El comportamiento futuro de la ocurrencia de un evento en el tiempo solo depende del estado actual y no de la historia (proceso sin memoria)

En la lluvia de hoy solo se admite la influencia del evento de ayer

XX(n)X1)x(nP n1n

Mtodo de Markov

(n)qix(n)P in : etapa, tiempo

i : estado

q : probabilidad

El mtodo de Markov necesita de dos conjuntos de parmetros deinformacin: conocer el estado o probabilidad en el cual se origina el sistema en el tiempo ceroqi (0) conocer la probabilidad de transicin Pi, j(n) que representa la probabilidadde que el proceso salte o pase al estado j en el tiempo o etapa n, si enla etapa o tiempo anterior n-1 se encontraba en el estado i.

La probabilidad de que el proceso estocstico se encuentre en un estado (i) en la etapa o tiempo (n) es igual a una probabilidad establecida.

Mtodo de Markov

ESTADO CONDICIN ALMACENAMIENTO

1 Lleno 100%

2 Parcialmente Lleno 2/3 VR

3 Parcialmente Lleno 1/3 VR

4 Vaco 0

Mtodo de Markov

Mtodo de Markov

Regulacin ptima

Regulacin Psima

Regulacin Ideal

vaco lleno

Cada ao n el aporte de agua hacia un embalse es una cantidad aleatoria yncon una distribucin de probabilidad discreta como lo muestra la figura.

La unidad usada equivale a 1/3 de l a capacidad mxima del embalse (V). El objetivo de la regulacin es proveer 2 unidades de agua cada ao como mximo.

Estudiar el comportamiento de la presa en el tiempo, de acuerdo a su poltica de operacin.

Operacin de un Embalse

Operacin de un Embalse

0

0.1

0.2

0.3

Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4

Probabilidad

Probabilidad

Solucin

La definicin de unidad 1/3 R

Esquematizamos el embalse y sus niveles de operacin

Objetivo D 2 unidades

ESTADOCONDICIN DEL

EMBALSEVOLUMEN ALMACENAMIENTO

0 Vaco 0 unidad

1 Parcialmente ocupado 1 unidad

2 Parcialmente ocupado 2 unidades

3 Lleno 3 unidades

A partir del balance hdrico (Ec. de Continuidad) se elabora la poltica de operacin.

La definicin de unidad 1/3 R

Elaboracin de la poltica de operacin del embalse:

Volumen inicial

Aporte del ro en el intervalo de tiempo

Volumen disponible

Demanda atendida

Volumen de Overflow (si ocurriera)

Volumen liberado

Distribucin de Probabilidades Estacionarias

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1 2 3 4 5 6 7

UNIDADES LIBERADAS

Estado inicial(i)

IngresaYn

Salidas Estado Final(j)Demanda Overflow

0(vaco)

0 0 - 0

1 1 - 0

2 2 - 0

3 2 - 1

4 2 - 2

1

0 1 - 0

1 2 - 0

2 2 - 1

3 2 - 2

4 2 - 3

2

0 2 - 0

1 2 - 1

2 2 - 2

3 2 - 3

4 2 1 3

3

0 2 - 1

1 2 - 2

2 2 - 3

3 2 1 3

4 2 2 3

La determinacin de probabilidades de transicin Pi, j , se basan en el cuadro anterior, siendo:

Del cuadro observamos que las opciones de transitar del estado inicial (vaco) hacia el estado final (vaco), son 3 casos:

De la grfica de distribucin de probabilidades, se tiene:

Pi, j : P[x(n+1)=j / x(n)=i]

Expresndolo matemticamente, se tiene:

yn = 0

yn = 1

yn = 2

P0, 0 : P[x(n+1) = 0 / x(n) = 0] = P[yn 2]

P0, 0 : P[yn = 0] + P[yn = 1] + P[yn =2] = 0,1 + 0,3 + 0,3 P0, 0 = 0,7

Probabilidades de Transicin

P0, 1 = P [yn = 3] = 0.2

P0, 2 = P [yn = 4] = 0.1

P0, 3 = 0 No es posible este caso

0.3

0.00.10.20.7Es

tad

o in

icia

l (i)

Estado final (j)

0

1

2

3

0 1 2 3

Matriz Transicional de Probabilidades

De forma anloga se determinan todos los elementos de la matriz transicional de probabilidades (MTP).

Ecuaciones de Probabilidad Estacionarias

Planteamiento y solucin de la ecuacin recursiva de probabilidades para determinar las probabilidades estacionarias o lmites (qi*)

i = 0, 1, 2,..........r estados

= =

Distribucin de Probabilidades Estacionarias

qi*

q0*

q1*

q2*

q3*

= =

0.52

0.38

0.05

0.05

q0* = q0

*p0, 0 + q1*p1, 0 + q2

*p2, 0 + q3*p3, 0

q1* = q0

*p0, 1 + q1*p1, 1 + q2

*p2, 1 + q3*p3, 1

q2* = q0

*p0, 2 + q1*p1, 2 + q2

*p2, 2 + q3*p3, 2

q3* = q0

*p0, 3 + q1*p1, 3 + q2

*p2, 3 + q3*p3, 3

Distribucin de Probabilidades Estacionarias

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

ESTADO 0 ESTADO 1 ESTADO 2 ESTADO 3 ESTADO 4

ESTADOS VS PROBABILIDADES ESTACIONARIAS

qi