REGULACIÓN METACOGNITIVA Y LOS NIVELES DEL...

REGULACIÓN METACOGNITIVA Y LOS NIVELES DEL MODELO DE VAN HIELE

EN EL APRENDIZAJE DE LOS CUADRILÁTEROS

EDGAR ALEXANDER ACEVEDO VELANDIA

ESTEFANIA OSORIO JAIMES

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MANIZALES

FACULTAD DE ESTUDIOS SOCIALES O EMPRESARIALES

MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

MANIZALES

2018

REGULACIÓN METACOGNITIVA Y LOS NIVELES DEL MODELO DE VAN HIELE

EN EL APRENDIZAJE DE LOS CUADRILÁTEROS

EDGAR ALEXANDER ACEVEDO VELANDIA

ESTEFANIA OSORIO JAIMES

Proyecto de grado para optar al título de Magister en Enseñanza de las Ciencias

Tutora

Mgr. SANDRA QUINTERO CORREA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MANIZALES

FACULTAD DE ESTUDIOS SOCIALES O EMPRESARIALES

MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

MANIZALES

2018

III

DEDICATORIA

A:

Dios por darme cada día fortaleza y confianza, por acompañarme en cada paso y por la

bendición de la vida y sabiduría para culminar con un éxito más.

Mis padres por ser de gran bendición, su apoyo y entrega siempre me ayudan a seguir

adelante, gracias por tanto amor.

Mis hermanos por brindarme ánimo y apoyo incondicional en todas las metas que me he

propuesto.

Mi esposo por motivarme a continuar, por sus consejos y dedicación constante durante todo

el proceso.

A mi hija, Niah Antonella que soportó todo este proceso desde el vientre, ha sido el motor

y la fuerza para continuar hasta el final. Por ella y para ella es este logro.

Estefanía Osorio

A:

Dios por haberme permitido llegar hasta este punto y haberme dado salud para lograr

mis objetivos, además de su infinita bondad y amor.

Mis padres por haberme apoyado en todo momento, por sus consejos, sus valores, por la

motivación constante que me ha permitido ser una persona de bien, pero más que nada, por

su amor.

Edgar Acevedo

IV

AGRADECIMIENTOS

Gracias, de corazón, a nuestra tutora Mg. Sandra Quintero Correa por su dedicación y

paciencia. Su apoyo, su criterio y motivación han permitido concluir este proyecto; ha sido

una bendición contar con su guía.

Gracias, a todos los docentes de la universidad Autónoma de Manizales, por la formación y

enseñanzas que aportaron, material muy relevante para la realización de este proyecto. Y a

todo el personal administrativo por su orientación y disponibilidad constante.

Gracias a todas y todos, quienes de una u otra forma han colocado un granito de arena para

el logro de este proyecto, agradecemos de forma sincera su colaboración.

V

RESUMEN

Objetivo: Analizar la incidencia que tiene la regulación metacognitiva en el proceso de

aprendizaje de los cuadriláteros desde los niveles del modelo Van Hiele en estudiantes del

grado 6º, de la I.E. Jorge Eliecer Gaitán del municipio de Aguazul (Casanare).

Metodología: El proyecto de investigación se fundamentó en el enfoque cualitativo con

carácter descriptivo, donde se exploró ideas previas y se aplicó una unidad didáctica para el

desarrollo de la regulación metacognitiva en los estudiantes del grado 6º, el concepto fue

los cuadriláteros, con el fin de identificar la planeación, monitoreo y evaluación a partir de

los niveles del modelo Van Hiele.

Resultado: Los procesos de la regulación metacognitiva (planeación, monitoreo y

evaluación) permitieron mejorar la capacidad de resolver problemas de cuadriláteros

basados en los niveles de reconocimiento, análisis y clasificación del modelo Van Hiele.

Conclusión: los estudiantes a través de la regulación metacognitiva fueron capaces de

adaptar sus estrategias a la demandas de los problemas, aprovecharon al máximo sus

recursos cognitivos, son conscientes de lo que hacen y porqué lo hacen, ahora son más

reflexivos y organizados al planear, se muestran motivados por aprender y comprometidos

con su proceso de aprendizaje.

Palabras Claves: Cuadriláteros, Niveles modelo Van Hiele y Regulación metacognitiva

VI

ABSTRACT

Objective: Analyze the incidence of metacognitive regulation in the learning process of the

quadrilaterals from the levels of the Van Hiele model in students of the 6th grade, of the

I.E. Jorge Eliecer Gaitán from the municipality of Aguazul (Casanare).

Methodology: The research project was based on the qualitative approach with a

descriptive character, where previous ideas were explored and a didactic unit was applied

for the development of metacognitive regulation in the 6th grade students, the concept was

the quadrilaterals, in order to identify the planning, monitoring and evaluation based on the

levels of the Van Hiele model.

Results: the processes of metacognitive regulation (planning, monitoring and evaluation)

allowed to improve the ability to solve quadrilateral problems based on the levels of

recognition, analysis and classification of the Van Hiele model

Conclusion: Students through metacognitive regulation were able to adapt their strategies

to the demands of the problems, made the most of their cognitive resources, are aware of

what they do and why they do it, now they are more reflective and organized when

planning, they show Motivated by learning and committed to their learning process.

Keywords: Quadrilaterals, Van Hiele Levels and Metacognitive Regulation

VII

CONTENIDO

1. PRESENTACIÓN ............................................................................................................ 12

2. ANTECEDENTES ........................................................................................................... 14

3. ÁREA PROBLEMÁTICA Y PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN............................... 20

4. JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................. 23

5. REFERENTE TEÓRICO ................................................................................................. 25

5.1 Modelo de Van Hiele .................................................................................................. 25

5.2 Metacognición............................................................................................................. 31

6. OBJETIVOS ..................................................................................................................... 12

6.1 Objetivo general .......................................................................................................... 12

6.2 Objetivos específicos .................................................................................................. 12

7. METODOLOGÍA ............................................................................................................. 12

7.1 Enfoque de la investigación ........................................................................................ 12

7.2 Contexto ...................................................................................................................... 13

7.2.1 Unidad de trabajo ................................................................................................. 13

7.2.2 Unidad de análisis ................................................................................................ 13

7.3 Categorías de análisis .................................................................................................. 14

7.4 Técnicas e instrumentos para la recolección de información ..................................... 15

7.4.1 El cuestionario ...................................................................................................... 15

7.4.2 Observación participante ...................................................................................... 16

7.4.3 Unidad didáctica ................................................................................................... 16

VIII

7.4.4 Entrevista semi-estructurada ................................................................................ 17

7.5 Procedimiento para la recolección de la información ................................................. 17

7.6 Técnicas y procedimientos para el análisis de la información. ................................... 19

8. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS ............................................................ 12

8.1 MOMENTO DE UBICACIÓN .................................................................................. 12

8.1.1 Análisis de las dificultades según los niveles del modelo de Van Hiele en el

aprendizaje de los cuadriláteros .................................................................................... 12

8.1.2 Análisis de la categoría de regulación metacognitiva .......................................... 26

8.2 MOMENTO DE DESUBICACIÓN ........................................................................... 31



8.2.2 Análisis de la categoría regulación metacognitiva ............................................... 44

8.3 MOMENTO DE REENFOQUE ................................................................................. 49



8.3.2 Análisis de la categoría regulación metacognitiva ............................................... 53

8.3.3 Entrevista semiestructurada.................................................................................. 55

6. CONCLUSIONES ............................................................................................................ 12

7. RECOMENDACIONES .................................................................................................. 12

8. REFERENCIAS BIBLIOGRAFIAS ................................................................................ 12

9. ANEXOS .......................................................................................................................... 12

IX

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Categorías, subcategorías e indicadores de análisis 14

Tabla 2. Pregunta 1 cuestionario los cuadriláteros I 13










Tabla 12. Preguntas de planeación momento de ubicación 27

Tabla 13. Preguntas de monitoreo momento de ubicación 29

Tabla 14. Preguntas de evaluación momento de ubicación 30

Tabla 15. Reconocer un cuadrilátero por su forma global 32

Tabla 16. Actividad II. Descubrir, comprender y reconocer la forma de los cuadriláteros 33

Tabla 17. Actividad IV. Aprendizaje de un vocabulario matemático básico 34

Tabla 18. Identificar las propiedades principales de los cuadriláteros 37

Tabla 19. Establecer y definir elementos y propiedades 39

Tabla 20. Establecer relaciones de inclusión de las propiedades 41

Tabla 21. Demostraciones de manera intuitiva e informal 43

Tabla 22. Preguntas de evaluación momento de desubicación 47

Tabla 23. Muestra de las preguntas y respuestas concernientes al nivel 1 50



Tabla 26. Respuestas entrevista semiestructurada 55

X

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Respuesta E.1 pregunta 10 28

Figura 2. Actividad V, clasificación de los cuadriláteros 36

Figura 3. Respuesta E2 Actividad IV 45

Figura 4. Respuesta E4 Actividad V 46

XI

LISTA DE ANEXOS

Pág.

Anexo 1. Formato de unidad didáctica 12

Anexo 2. Momento de ubicación 20

Anexo 3. Momento de desubicación 26

Anexo 4. Momento de Reenfoque 44

Anexo 5. Entrevista semiestructurada 51

12

1. PRESENTACIÓN

Esta investigación tuvo como objetivo analizar la incidencia que tiene la regulación

metacognitiva en el proceso de aprendizaje de los cuadriláteros desde los niveles del

modelo Van Hiele en estudiantes del grado 6º, de la I.E. Jorge Eliecer Gaitán del municipio

de Aguazul (Casanare). El enfoque que se utilizó fue el cualitativo con carácter descriptivo

y el diseño metodológico estudio de casos, en el cual se analizaron cuatro estudiantes del

grado 6º.

La investigación se desarrolló en tres momentos: el primero, denominado de ubicación, en

donde se aplicó un cuestionario para identificar las dificultades según los niveles de

razonamiento del modelo Van Hiele y por otro lado, se indagó respecto a las estrategias de

planeación, monitoreo y evaluación presentes en cada uno de los estudiantes mientras

abordaba la solución de un problema de cuadriláteros; el segundo momento, de

desubicación, en donde se aplicó la unidad didáctica basada en los niveles del modelo Van

Hiele, teniendo en cuenta múltiples lenguajes (discurso oral, escrito, gestos, imágenes,

diagramas, entre otros), mediante el cual los estudiantes expresaron las respuestas de los

problemas planteados; además, en el desarrollo de las actividades se realizaron preguntas

relacionadas con los procesos de regulación metacognitiva con el propósito de identificar

en cada uno de los estudiantes, cómo iban evolucionando conceptualmente; y finalmente el

momento de reenfoque donde se cuestionó al estudiante acerca de la efectividad de las

actividades realizadas y los cambios observados en el proceso.

El análisis de los datos se realizó a través de un proceso de triangulación, el cual se llevó a

cabo mediante el contraste de la información procedente de los instrumentos, en el cual se

mostraron las diferentes respuestas y los procesos llevados por los estudiantes; así mismo,

de las entrevistas y de los gráficos realizados por los estudiantes.

13

El presente documento, contiene un informe de ocho capítulos, los cuales recopilan todo el

proceso investigativo llevado a cabo, el primer capítulo hace referencia a las

investigaciones realizadas a nivel internacional y nacional sobre el modelo de Van Hiele y

metacognición, en el capítulo segundo se presenta el planteamiento del problema, en el

tercero la justificación del estudio, y en el cuarto se desarrolló el tema de estudio en un

marco teórico a fin de establecer las bases para la posterior consecución de objetivos y la

comprensión de resultados.

En el quinto capítulo los objetivos sobre los cuales se orientó la investigación, en el sexto

capítulo contiene el diseño metodológico que integra los apartados de enfoque y tipo de

investigación, población, categorías de análisis, fases de la investigación y la estructura de

la unidad didáctica. En un séptimo capítulo, se presenta el análisis de los resultados de la

investigación, los cuales fueron producto de la recolección, el análisis y la triangulación de

la información, permitiendo llegar a la discusión de cada una de las subcategorías

determinadas para el estudio. Finalmente en los capítulos octavo y noveno se presenta las

conclusiones y recomendaciones, como complemento al documento se señala la

bibliografía incluida en todo el documento.

14

2. ANTECEDENTES

A continuación, se describirán los trabajos de investigación que servirán como referencia

para la elaboración del presente proyecto, recopilando resultados obtenidos en la aplicación

de los diferentes referentes conceptuales: modelo de Van Hiele, la metacognición y el

aprendizaje de los cuadriláteros.

A través de los años se han desarrollado investigaciones con relación a las estrategias

metodológicas empleadas por los docentes, la necesidad de transmitir estos modelos

posibilita el desarrollo de los procesos educativos que inicialmente fueron de carácter oral,

pero con el tiempo fueron generando una práctica profesional como lo es la pedagogía que

aplica, conceptualiza y experimenta los conocimientos referentes al aprendizaje de los

saberes. Una de estas estrategias didácticas es el Modelo de Van Hiele, que tiene su origen

en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele en

Holanda, donde se establece que el aprendizaje de la geometría se logra pasando por los

diferentes niveles de pensamiento, la implementación de este modelo ha logrado buenos

resultados que se pueden evidenciar en varias investigaciones.

Entre estas investigaciones se tiene la de Cabellos (2013), quien realizó una investigación

titulada “la modelización de Van Hiele en el aprendizaje constructivo de la geometría en

primero de la educación secundaria obligatoria a partir de Cabri”, en ella se pretendía

implementar la modelización teórica de Van Hiele a partir del aprendizaje constructivo a

través del software Cabri y realizar un proceso de experimentación exhaustivo en entornos

reales de aula que permitan obtener resultados descriptivos en este ámbito, comprobar la

eficacia de la enseñanza de la Geometría en primer curso de ESO con este modelo y el uso

del software Cabri y establecer criterios y prescripciones instructivas a partir de la

investigación realizada para desarrollar un programa de mejora de la enseñanza de la

Geometría en la Educación Secundaria basado en el modelo de Van Hiele, en el uso de

Cabri y en la detección de errores de comprensión. El autor empleó dos instrumentos

metodológicos; el primero, un cuestionario de detección de errores (y de imágenes

15

conceptuales) que sirven para medir el rendimiento en Geometría y, el segundo, unas

unidades didácticas, basadas en las fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele y

elaboradas teniendo en cuenta dichas imágenes conceptuales y errores, y utilizando el

software de Geometría Dinámica Cabri. Los resultados obtenidos fueron: el rendimiento de

los alumnos en Geometría mejora si se establece una docencia basada en el conocimiento

de las imágenes conceptuales de los alumnos y en la detección de errores, desarrollada con

una metodología diseñada según las fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele, y

apoyada en un software de Geometría Dinámica, el rendimiento de los alumnos en

Geometría no depende del género y a pesar del estudio de la asignatura, los alumnos

mantienen errores en la visualización y reconocimiento de objetos geométricos desde

Segundo Ciclo de Primaria, lo cual supone que el diseño curricular o la metodología

empleada no son las adecuadas.

Así mismo el trabajo realizado por Ixcaquic (2015) “Modelo de Van Hiele y geometría

plana” que tuvo como objetivo verificar como la aplicación del modelo de Van Hiele se

relaciona con el aprendizaje de la Geometría Plana. Este estudio se realizó a 29 estudiantes

de primero básico del Instituto Nacional de Educación de Telesecundaria del paraje

Tzanjuyub, Aldea Paxixil, municipio de San Francisco El Alto departamento de

Totonicapán (Guatemala), se aplicaron dos pruebas objetivas, una de entrada y una de

salida. La primera consta de 15 ítems se elaborará y aplicará con el objetivo de determinar

los conocimientos previos que posee el educando en el tema de Geometría Plana mientras

que la de salida recoge información sobre los conocimientos adquiridos del tema la

Geometría Plana, luego de haber desarrollado las actividades propuestas. Esta investigación

cuasi - experimental comprobó efectivamente que existe una diferencia estadísticamente

significativa entre los resultados del pretest y postest del modelo de Van Hiele. Dicho

modelo incide en la enseñanza de la Geometría Plana, para desarrollar el razonamiento

lógico del alumno.

Del mismo modo los autores Lemos y Quintana (2012), realizaron un proyecto de

investigación que tuvo como estrategia el modelo de Van Hiele en el desarrollo del

16

pensamiento espacial por medio del esquema corporal. Se buscó interpretar la

implementación de estrategias didácticas fundamentadas en los niveles (visualización y

análisis) y las fases de aprendizaje de Van Hiele, utilizando el esquema corporal para el

desarrollo del pensamiento espacial en estudiantes de segundo grado de la institución

educativa sur oriental de la ciudad de Pereira.

Los resultados finales mostraron que pocos estudiantes comparan y clasifican objetos y de

igual manera, una pequeña población tiene percepción visual y global, pero la mayoría si

identifica los componentes de un todo. Los autores Lemos y Quintana concluyen que

aunque hallan estrategias buenas, esto no implica que el resultado sea el esperado,

responsabilizan al docente ya que es quien debe saber trabajarlas y adaptarlas al aula

teniendo en cuenta los intereses y las necesidades de la población.

De los antecedentes mencionados anteriormente, se puede concluir que la implementación

de estrategias didácticas basadas en el modelo de Van Hiele, mejora el proceso de

aprendizaje en los estudiantes, permitiendo un desarrollo del pensamiento espacial.

Por otra parte se muestran a continuación los registros encontrados de investigaciones

realizadas sobre metacognición que servirán para el presente proyecto.

El autor Sua (2015), presentó una propuesta en donde su objetivo es indagar los procesos

cognitivos y metacognitivos con respecto a los enunciados geométricos, en un entorno de

ambientes virtuales que integran representaciones geométricas, esta llevó por nombre “la

demostración en geometría: Procesos cognitivos y metacognitivos favorecidos por la

inclusión de ambientes dinámicos”, y en ella se presenta una revisión bibliográfica que

servirá para los ambientes de geometría dinámicas, y poder adoptar una postura frente

resolución de problemas y los panoramas frente a la cognición y metacognición, así como

propuestas de intervención que apoyan el aprendizaje de la demostración.

17

En este sentido él da a conocer unas propuestas de intervención, en donde el software

atiende a la necesidad de apoyar la diferencia de los estudiantes, considerando el autor que

muchos estudiantes, aquellos con menos habilidades, en donde este software promueve en

cada estudiante habilidades y aprendizajes sin ser sustituido el profesor.

De igual forma, los autores Valencia, Nilson; Sanabria, Luis y Ibáñez, Jaime (2010), en su

estudio: procesos cognitivos y metacognitivos en la solución de problemas de movimiento

de figuras en el plano a través de ambientes computacionales. La investigación estudió la

comprensión de conceptos en un contexto de solución de problemas de geometría que van

de lo simple a lo complejo o viceversa, adjunto a esto describieron estrategias cognitivas y

en algunos casos metacognitivas que sigue al estudiante en su proceso de aprendizaje.

La investigación se realizó con estudiantes de grado séptimo de educación básica, que

presentaban conocimientos básicos en geometría y se dividieron en dos grupos, el ambiente

de aprendizaje computacional se elaboró en el lenguaje de programación orientado a

objetos OpenScript de toolbook instructor 2004, Los resultados de esta investigación

muestran que la interacción de los estudiantes en la solución de problemas gráficos que van

de los estudiantes en la solución de problemas gráficos que van de lo simple a lo complejo

y viceversa, no muestran diferencias significativas y en relación a la compresión de

conceptos, ellos establecieron que el nivel de aprendizaje obtenido por los estudiantes

cuando interactuaron con el ambiente computacional con apoyo de guías fue menor,

concluyendo que las ayudas y la orientación del docente son un poderoso motivador en el

aprendizaje.

Así mismo, Troncoso (2013). Realizo un proyecto titulado “Estrategias metacognitivas en

el aprendizaje de las matemáticas: una intervención en el aula para determinar la

implicación de la implementación de estrategias metacognitivas en el aprendizaje de las

matemáticas”, la investigación se fundamenta en la implementación de una estrategia

metacognitiva y se desarrolla con estudiantes de grado sexto en la zona rural del

departamento del Tolima.

18

El investigador realizó dos pruebas para establecer el progreso y mejora de los estudiantes

en la resolución de problemas, arrojando como resultados una afectación positiva en el

aprendizaje de los estudiantes, permitiendo establecer que la metacognición jugó un papel

importante en el aprendizaje de las matemáticas.

Además de las anteriores referencias, se vinculan a la presente propuesta los antecedentes

relacionados con el aprendizaje de cuadriláteros.

La investigación realizada por González (2015) fue titulada “Errores y dificultades más

comunes en el aprendizaje de cuadriláteros: una muestra con alumno de 9/12 años en

Cantabria”. Y en esta se describen y explican la presencia de los errores en el aprendizaje

de conceptos geométricos. Ellos emplearon como herramienta cuestionarios diseñados por

el autor y aplicados a estudiantes de diferentes grados.

Y su investigación deja evidenciado que los alumnos de cuarto como los de sexto, tienen

una imagen conceptual pobre o incorrecta de los cuadriláteros, también demostraron que en

muchas ocasiones aparecen distractores de orientación y estructuración. Toda esta

investigación confirma el papel que juega la imagen mental del alumno, y la necesidad de

proporcionar una gran cantidad de ejemplos diferentes a la hora de introducir un concepto

nuevo con el fin de que el estudiante lo adquiera correctamente.

También Maguiña (2013) en la tesis titulada Una Propuesta Didáctica para la enseñanza de

los cuadriláteros basada en el modelo de Van Hiele, en su estudio tipo cualitativo cuyo

objetivo fue diseñar una propuesta didáctica, según el modelo de Van Hiele, promueve que

los estudiantes del cuarto grado de secundaria alcancen el nivel 3. También menciona el

uso del software de geometría dinámica GeoGebra. El estudio se realizó en la Institución

Educativa Particular Buenas Nuevas ubicada en el distrito San Miguel, Lima, Perú, utilizó

un instrumento que consistió en una prueba de entrada y una de salida, con diez ítems cada

una. Con una muestra de 10 sujetos, la cual fue seleccionada a través del tipo voluntario. En

donde se concluyó que la idea didáctica diseñada para la enseñanza de los cuadriláteros

19

establecida en el modelo de Van Hiele y con apoyo del software GeoGebra, ha logrado que

los estudiantes adquieran los niveles de reconocimiento al pasar del nivel medio a un nivel

superior.

Se menciona también el alcance del nivel I y nivel II de una forma más fácil, no así en el

nivel III que en la duración de su enseñanza es un poco más lenta. Se alcanzó una

enseñanza avanzada con los discentes, en el desarrollo de su lenguaje geométrico, en su

forma de adquirir los conocimientos, aunque no se obtuvo un cien por ciento al nivel que

planteaba la pregunta. Exhorta también que este modelo se puede adaptar a otros temas

relacionados con la Geometría. Que las actividades desarrolladas se pueden mejorar para

que el estudiante pueda llegar a tener un nivel más alto de conocimiento y desarrollar

adecuadamente las habilidades que aún no ha alcanzado.

Todos estos aportes de los diferentes autores, tratan de la implementación de una propuesta

didáctica basada en el Modelo de Van Hiele, aunque estas investigaciones se realizaron en

diferentes contextos, niveles académicos y objetos de estudios, se evidencia la importancia

de la innovación pedagógica, en varios de estos estudios se utilizaron tanto recursos físicos

como tecnológicos (software Cabri y Geogebra), que ayudaron a desarrollar en los

estudiantes el pensamiento geométrico, ubicándolos en niveles más altos de conocimiento,

de esta manera, se pueden adoptar algunos recursos presentados en estos trabajos, con la

finalidad de mejorar las prácticas en el aula y tomar unos elementos de estas

investigaciones para la elaboración de una unidad didáctica basada en el Modelo de Van

Hiele, para el proceso de enseñanza de los cuadriláteros en el aula de clases, y así incentivar

a los estudiantes con actividades que llamen su atención de tal manera que representen un

mejoramiento significativo en el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

20

3. ÁREA PROBLEMÁTICA Y PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN

Para poder entender las dificultades que poseen los estudiantes al aprender geometría, es

necesario mostrar la situación que existe en torno a la enseñanza de la misma, y como estas

dificultades se viven de cerca en las diferentes instituciones educativas del país.

Básicamente una de estas situaciones de acuerdo con Barrantes y Blanco (2004), es debido

a las concepciones y experiencias que los docentes adquirieron en su formación, ya que

planean sus clases y emplean los mismos recursos que experimentaron cuando eran

estudiantes; es decir, debido a sus concepciones y creencias personales, les impide a los

docente llevar a cabo experiencias de aprendizajes enriquecedoras que guíen al estudiante

al descubrimiento de la geometría como generadora de conocimiento.

(…) nuestro estudio nos muestra, a pesar de los esfuerzos de los investigadores por

presentar nuevos métodos, recursos o materiales sobre enseñanza de la geometría, que

muchos estudiantes siguen llegando a las facultades con las mismas experiencias, falta de

conocimientos y concepciones sobre la geometría y su enseñanza que hace unos años, lo

que indica que se sigue enseñando igual que antes de tales reformas. (Barrantes y Blanco,

2004, p. 249)

Así mismo, otra situación que provocó dificultades en el aprendizaje de la geometría, como

lo señalan los autores Barrantes y Blanco (2004), se debe a que desde la década de los

setenta la geometría pasó a un segundo plano en el ámbito escolar, debido al auge de las

matemáticas modernas; es decir, se le daba más importancia a los contenidos del

componente numérico, dejando al final los contenidos geométricos, por lo que en muchas

situaciones no se abarcaban dichos temas.

Esta circunstancia dio lugar a que los estudiantes para maestros llegaran a los centros de

educación con un conocimiento casi nulo de la geometría y sin apenas referentes sobre su

enseñanza-aprendizaje. La formación posterior que recibieron como estudiantes para

maestro estaba más relacionada con otros temas, como el numérico, que con la geometría y

su enseñanza-aprendizaje. (Barrantes y Blanco, 2004, p. 248)

21

Teniendo en cuenta lo anterior, es de gran importancia darle a la geometría un lugar

destacado en la clase de matemáticas, los docentes requieren aplicar nuevas estrategias

didácticas que les permitan lograr que los estudiantes descubran fácilmente que la

geometría es una herramienta para la vida. Una estrategia didáctica especifica que permite

el aprendizaje de la geometría según Goncalves (2006), es el modelo de razonamiento

geométrico de van Hiele.

El modelo de Van Hiele es una estrategia metodológica, que tiene como fin el desarrollo

del pensamiento geométrico en los estudiantes; de acuerdo con los esposos Van Hiele

(1986) muchos estudiantes presentan dificultades porque pueden reconocer un cuadrado,

pero no logran definirlo, también notaron que los estudiantes no entienden que el cuadrado

es un rectángulo, y otros se quejan por tener que demostrar algo que ya “saben” (Van H:39-

40).

Según Ixcaquic (2015) otras de las dificultades que presentan los estudiantes al resolver

problemas geométricos son:

Dificultad al identificar figuras geométricas en dibujos, conjuntos determinados y en

objetos físicos que los rodean

Usan un vocabulario inapropiado para los elementos y relaciones de las figuras

geométricas

Problemas para realizar clasificaciones lógicas de manera formal

Mínimo reconocimiento de las características de una definición formal (p.44)

Del mismo modo, en el aprendizaje de los conceptos geométricos, los estudiantes también

presentan algunas dificultades, específicamente en los cuadriláteros. Algunos de los errores

que se presentan los educandos con los cuadriláteros, según González (2015) son:

1. Errores en la identificación de cuadriláteros, siendo cóncavos o no.

2. Errores en la identificación de rombos.

22

3. Errores en la identificación de rectángulos.

4. Errores en la identificación de trapecios. (p.20)

Por otro lado, los estudiantes también presentan dificultades al resolver problemas

geométricos porque son pocos reflexivos, no analizan las dificultades presentadas en el

proceso, no comprenden los pasos realizados, no corrigen los errores, no evalúan su

desempeño; es decir, no realizan una regulación metacognitiva de su aprendizaje; sumado a

esto los docentes dejan a un lado la implementación de la metacognición, la cual permite a

los estudiantes aprender a aprender. En este sentido, Flórez (2000) señala que: “La

metacognición se refiere a los conocimientos que las personas tienen sobre su propia

cognición, motivándolas a prever acciones y a anticipar ayudas para mejorar su rendimiento

y resolver mejor los problemas” (p. 5).

Teniendo en cuenta todo lo anterior, la presente investigación pretende dar respuesta a la

pregunta: ¿Qué incidencia tiene la regulación metacognitiva en el proceso de aprendizaje

de los cuadriláteros desde los niveles del modelo Van Hiele en estudiantes del grado 6º, de

la I.E. Jorge Eliecer Gaitán del municipio de Aguazul (Casanare).?

23

4. JUSTIFICACIÓN

En la actualidad, se reconoce que la geometría tiene gran importancia y conveniencia,

debido a los diferentes usos que se evidencian en objetos y estructuras que circundan el

entorno de las personas, por tal razón esta rama de la matemática pasa por un momento de

auge y esplendor; en el ámbito de la educación, se hace necesario aplicar y verificar

modelos de aprendizaje, que permitan en los educandos realizar actividades de

experimentación con objetos del espacio de diferentes formas y representaciones, que

ayuden a establecer similitudes, diferencias, relaciones y transformaciones, permitiendo de

esta forma la visualización y reconocimiento de la figuras geométrica, luego el estudiante

estará en capacidad de analizar las propiedades particulares de cada figura geométrica y

finalmente podrá lograr deducciones informales al determinar figuras según sus

propiedades y establecerá relaciones entre ellas.

Los docentes de matemáticas tienen la responsabilidad de desarrollar en los estudiantes,

habilidades geométricas y por lo tanto deben contar con una amplia base de conocimientos

que les permitan guiar con mayor facilidad y buen criterio a sus estudiantes. El docente

debe ser el primero en explorar para incluir los descubrimientos, propios o ajenos, en el

planteamiento diario de sus clases.

La importancia de esta rama de las matemáticas se ha reconocido por los beneficios

cognitivos que conlleva su estudio. El Ministerio de Educación Nacional de Colombia

(MENC) (2004) afirma:

La geometría tiene una larga historia siempre ligada a las actividades humanas, sociales,

culturales, científicas y tecnológicas. Ya sea vista como una ciencia que modela nuestra

realidad espacial, como un excelente ejemplo de sistema formal o como un conjunto de

teorías estrechamente conectadas, cambia y evoluciona permanentemente y no se puede

identificar únicamente con las proposiciones formales referidas a definiciones, conceptos, o

teoremas. (p. 1)

24

Por lo anterior, el presente proyecto propone vincular el modelo de Van Hiele en el proceso

de aprendizaje del componente geométrico, este modelo fue desarrollado por los esposos

Pierre Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof, que trabajaban como profesores de geometría

en la enseñanza secundaria en Holanda, y que a partir de su experiencia docente, elaboraron

un modelo que trata de explicar cómo evoluciona el razonamiento geométrico y, también,

como el docente puede diseñar las actividades para mejorar la calidad de este razonamiento

en los estudiantes.

La realización de esta investigación permitirá probar un modelo de enseñanza en el

desarrollo del pensamiento geométrico, y validarlo mediante la elaboración y aplicación de

una unidad didáctica como propuesta de intervención en el área de matemáticas en su

componente geométrico, para mejorar el aprendizaje en los estudiantes de la institución

Jorge Eliecer Gaitán, teniendo en cuenta que esta propuesta basada en el modelo de Van

Hiele es de innovación para esta institución lo que permitirá desarrollar en los estudiantes

destrezas para enfrentar problemas espaciales, y así se ofrecerá una vía para la comprensión

y la valoración de su entorno; esto favorecerá el rendimiento académico en esta área, y a

futuro se podrá evidenciar en las pruebas censales que realiza el Ministerio de Educación

Nacional.

Por otra parte al implementar este modelo se podrá enriquecer el aprendizaje de la

matemáticas y además se podrá entregar una herramienta didáctica basada en el modelo de

Van de Hiele a los docentes de la asignatura, contribuyendo al mejoramiento de sus

prácticas, promoviendo de esta manera aprendizajes significativos en sus estudiantes.

25

5. REFERENTE TEÓRICO

El estudio de la geometría en los programas de educación de las matemáticas escolares en

básica secundaria, se había dejado a un lado, por causa del uso de nuevas investigaciones

sobre “matemática moderna” que surgió en los años 60 y 70, cuyas principales

características fueron el énfasis en las estructuras abstractas, profundización en el rigor

lógico, énfasis en la teoría de conjuntos y el cultivo del algebra, esto produjo un detrimento

de la geometría elemental y el pensamiento espacial (MEN, 1998). Desde lo didáctico,

científico e histórico, se considera una necesidad inevitable el volver a recuperar el sentido

espacial instintivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría sino en

respuesta a las diferentes metodologías para contribuir al alcance de las metas y propósitos

que permitan la construcción del conocimiento y la relación que se establece en la

geometría con otras áreas.

Teniendo en consideración lo anterior y para dar inicio al desarrollo de esta investigación,

se hace importante conocer algunas de las teorías acerca del tema de estudio, como lo es: El

modelo de Van Hiele y la regulación metacognitiva; por esta razón, a continuación, se

presentan los contenidos que se pretenden desarrollar, tomando como base el trabajo de

algunos autores.

5.1 MODELO DE VAN HIELE

El modelo de Van Hiele se desarrolló gracias a las investigaciones y posteriores estudios

realizados por los esposos Pierre y Diana Van Hiele en el año de 1957. El modelo trata de

explicar cómo los estudiantes van recorriendo cinco niveles en su comprensión de la

geometría y en cada nivel establecen unas fases que permiten analizar el aprendizaje de

dicha materia, de esta manera se mejora la calidad del razonamiento de los estudiantes.

De acuerdo con Jaime (1993), el modelo de Van Hiele abarca dos aspectos básicos:

26

Descriptivo: mediante este aspecto básico se identifican las distintas formas de

razonamiento geométrico de los estudiantes y se puede evaluar su progreso.

Instructivo: favorece el avance de los estudiantes mediante unas pautas a seguir por los

profesores, en los niveles de razonamiento geométrico dependiendo donde se encuentren.

El modelo de Van Hiele explica cómo el razonamiento pasa por una serie de niveles en los

estudiantes en el proceso de aprendizaje de la geometría; en este modelo, se organiza el

conocimiento en cinco niveles de razonamiento, secuenciales y ordenados. Para superar un

nivel y seguidamente pasar al nivel inmediato superior, el estudiante debe alcanzar unos

indicadores de aprendizaje; en cada nivel se plantea una serie de fases de aprendizaje que

para avanzar de un nivel a otro el estudiante debe cumplir.

Niveles del razonamiento de Van Hiele

Vargas (2013) indica que los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele están

ordenados de la siguiente manera:

Nivel 1: Reconocimiento o visualización

Nivel 2: Análisis

Nivel 3: Deducción informal u orden

Nivel 4: Deducción

Nivel 5: Rigor

Y cada nivel se caracteriza de la siguiente manera:

Nivel 1: El individuo percibe y describe las figuras geométricas por su forma como un todo,

no generaliza las características de una figura respecto a otras, no logra diferenciar las

partes ni los componentes de la figura, el estudiante puede realizar una copia de cada figura

particular o reconocerla, las propiedades determinantes de las figuras no son reconocidas o

explicadas por parte de los estudiantes, realiza descripciones y comparaciones visuales con

27

elementos de su entorno, no emplea un lenguaje geométrico básico para hablar de las

figuras geométricas.

Nivel 2: En este nivel los estudiantes pueden reconocer y analizar las propiedades y las

partes particulares de las figuras geométricas, reconociendo que estas poseen propiedades

matemáticas, pero no cuenta con la capacidad de plantear clasificaciones o relaciones entre

propiedades de una figura entre si o con las otras figuras; establece las propiedades de las

figuras de forma sencilla, a través de la manipulación y experimentación; el estudiante no

puede elaborar la definición de un concepto, porque omiten características o propiedades

importantes en la construcción de un concepto.

Nivel 3: El estudiante en este nivel reconoce las figuras geométricas por sus propiedades y

determina cómo unas propiedades se derivan de otras, forma interrelaciones en las figuras y

entre familias de ellas, establece las condiciones suficientes y necesarias que deben cumplir

las figuras geométricas, por lo que los conceptos adquieren significado; pero en este nivel,

su razonamiento lógico se logra mediante la manipulación ya que realiza demostraciones,

pero no consigue entenderlas en su globalidad, por lo que no le es posible organizar una

secuencia de razonamientos lógicos que justifique sus observaciones y al no poder realizar

razonamientos lógicos formales ni sentir su necesidad, el individuo no comprende el

sistema axiomático de las matemáticas; el individuo ubicado en el nivel 3 es capaz de

entender que unas propiedades se deducen de otras.

Nivel 4: En este nivel ya el individuo realiza deducciones y demostraciones lógicas y

formales, al reconocer su necesidad para justificar las proposiciones planteadas, comprende

y maneja las relaciones entre propiedades y formaliza en sistemas axiomáticos, por lo que

ya entiende la naturaleza axiomática de las matemáticas, comprende cómo se puede llegar a

los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas, lo que le permite

entender que se puedan realizar distintas demostraciones para obtener un mismo resultado;

es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto grado de razonamiento lógico, obtiene

una visión globalizadora de las matemáticas y el individuo puede desarrollar secuencias de

28

proposiciones para deducir una propiedad de otra, percibe la posibilidad de una prueba, sin

embargo, no reconoce la necesidad del rigor en los razonamientos.

Nivel 5: El individuo está capacitado para analizar el grado de rigor de varios sistemas

deductivos y compararlos entre sí; puede apreciar la consistencia, independencia y

completitud de los axiomas de los fundamentos de la geometría, capta la geometría en

forma abstracta. Este último nivel, por su alto grado de abstracción, debe ser considerado

en una categoría aparte, tal como lo sugieren estudios sobre el tema.

En el presente proyecto de investigación sólo se tomará en cuenta los primeros tres niveles

del modelo Van Hiele: reconocimiento, análisis y deducción informal u orden, ya que los

demás por su alcance se consideran complejos para el grado sexto, grado donde se

encuentran los estudiantes con los cuales se hará la intervención; esta decisión se toma

siguiendo lo que señalan algunos estudios, que los estudiantes de educación secundaria,

solo llegan a alcanzar los primeros tres niveles de aprendizaje (Corberán y otros, 1994;

Jaime y Gutiérrez, 1995). Además, hay que tener en cuenta que los estudiantes se pueden

ubicar en distintos niveles dependiendo del contenido.

Fases del modelo de Van Hiele

Jaime (1993) describe las cinco fases del modelo de Van Hiele, las cuales pretenden

presentar una organización de las actividades, las cuales permitan pasar de un nivel de

razonamiento al siguiente, a continuación se caracterizan cada una de las fases:

Información: En ella se menciona o se da a conocer lo que se va a enseñar y lo que se va

aprender; en otras palabras, en este período el maestro indaga los conocimientos previos

sobre los conceptos que se irá a tratar, se explica qué trayectoria tomará el estudio.

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Orientación Dirigida: En ella el estudiante aprende y comprende cuales son los significados

y propiedades principales de un tema específico, explora dichos conceptos a través de los

materiales que se le va a plantear consecutivamente.

Explicación: esta fase no es más que verificar la forma de como el aprendiz se desenvuelve

verbalmente, al explicar sus experiencias previas. La participación del educador debe ser

mínima en esta fase, solo debe cuidar el lenguaje del aprendiz.

Orientación Libre: en ella el educando aplica los conocimientos y el lenguaje que ha

adquirido, y se enfrenta a tareas más complejas que pueden concluirse con distintos

procedimientos. El objetivo específico de esta fase es consolidar los conocimientos

adquiridos.

Integración: en esta se acumulan todas las fases, ésta lo sintetiza, para lograr así aplicar lo

aprendido, en esta última fase no se presenta nada nuevo sino una síntesis de lo ya hecho y

una vez superada esta quinta fase los estudiantes han alcanzado un nuevo nivel de

aprendizaje, y están listos para repetir las fases para el nivel superior que sigue.

Principales características del modelo de Van Hiele.

En los estudios de Jaime y Gutiérrez (1990) y Jaime (1993) se analizan algunas

características o propiedades del modelo de Van Hiele cuyo conocimiento es

imprescindible para la comprensión y aplicación del mismo.

1. Estructura jerárquica y secuencial del modelo: Esta propiedad hace referencia que para

obtener un nivel de razonamiento es necesario haber superado el nivel inferior. En un

pequeño porcentaje se pueden encontrar alumnos que no se ajusten a esta propiedad lo

cual puede ser síntoma de alguna deficiencia en la metodología de asignación de niveles

empleada (Jaime, 1993).

30

2. A cada nivel de razonamiento corresponde un tipo de lenguaje específico: En la

actividad diaria si un docente quiere que los estudiantes le comprendan, debe hablarles

en su lenguaje, es decir, debe adaptarse al nivel de razonamiento de los estudiantes

para, a partir de ahí, tratar de guiarles para que se produzca un avance hacia el nivel

superior.

No se puede dar por supuesto que todos los alumnos entienden lo que el profesor dice;

por ejemplo, si propone realizar una demostración, tiene que tener en cuenta que la

palabra “demostrar” carece de sentido para un alumno del nivel básico; uno del nivel

de análisis entiende que “demostrar” es comprobar la afirmación en unos pocos casos;

en el de clasificación, “demostrar” es utilizar razonamientos lógicos y en el nivel de

deducción, la demostración cumple los requisitos usuales de rigor (Jaime, 1993).

3. Localidad de los niveles de razonamiento. Esta propiedad hace referencia a que un

estudiante puede razonar en diferentes niveles según distintos temas de la Geometría.

4. El paso de un nivel de conocimiento al siguiente se realiza de manera gradual, ya que

produce mejores resultados la consideración de la continuidad en la adquisición de los

niveles, estableciéndose un periodo de transición en el que combinará razonamientos de

dos niveles consecutivos.

5. El progreso en los niveles se produce como resultado de la instrucción. Van Hiele

(1986) afirma que “la transición de un nivel al siguiente no es un proceso natural;

tiene lugar bajo la influencia de un programa de enseñanza-aprendizaje”.

Como se puede observar, las investigaciones de los esposos Van Hiele aportan elementos

de gran importancia para el aprendizaje de la geometría, estos elementos pueden ser

tomados por los docentes para realizar propuestas didácticas, que logren un aprendizaje a

profundidad de los conceptos geométricos, lo que se pretende con la intervención que hará

parte de la presente investigación.

31

5.2 METACOGNICIÓN

La metacognición se refiere, según, Vidal (2009), a la capacidad que tiene un individuo de

conocerse a sí mismo y de autorregular su aprendizaje, es decir planificar o preparar

herramientas y estrategias para cada situación, aplicarlas y saber controlarlas, facilita la

educación de su propia persona. Meta se refiere a ti mismo, cognición al conocimiento que

posee la persona. Cuando el discente llega a conocerse a sí mismo reconoce sus

habilidades, capacidades, posibilidades y oportunidades que posee en el ámbito familiar,

comunidad y la sociedad en general. El rol de la metacognición se comprende si se analizan

las estrategias y habilidades que utiliza el discente para poder tener conocimiento específico

en cuanto la resolución de cada uno de los ejercicios u problemas, aquí se mide las

capacidades del discente para poder determinar o emitir un resultado exacto en cuanto a un

problema.

De acuerdo al concepto de (Flavell, 1976, p. 232), la metacognición:

“Se refiere al conocimiento que uno tiene sobre los propios procesos y productos cognitivos

o sobre cualquier cosa relacionada con ellos, es decir, las propiedades de la información o

los datos relevantes para el aprendizaje. Por ejemplo, estoy implicado en metacognición

(metamemoria, metaaprendizaje, metaatención, metalenguaje, etc.) si me doy cuenta de que

tengo más problemas al aprender A que al aprender B, si me ocurre que debo comprobar C

antes de aceptarlo como un hecho... La metacognición se refiere, entre otras cosas, al

control y la orquestación y regulación subsiguiente de estos procesos.”

Según los conceptos anteriores, se puede expresar que la metacognición es el grado de

conocimiento que tienen los estudiantes sobre sí mismos, sobre los requerimientos de la

tarea que deben realizar y sobre sus propios aprendizajes, para poder realizar este proceso

se necesita la reflexión del qué, cómo y porque se hacen las cosas.

32

Elementos de la metacognición

Según Tamayo (2001), citando a Gunstone & Mitchell (1998), en la metacognición se

encuentran tres aspectos generales: conocimiento, conciencia y control sobre los propios

procesos de pensamiento.

En el aspecto de conocimiento, Tambriz (2015) citando a (López (2007) explica los tipos

que este abarca:

Declarativos: (saber qué) hace referencia al conocimiento de los hechos todo lo que son

contenidos, conceptos, definiciones, temas, datos, fechas, hechos, es importante darle un

nuevo enfoque al aprendizaje de esta temática; solo a través de la metacognición puede

lograr el aprendizaje significativo, ya que de esa manera el discente podrá

responsabilizarse, interesarse y comprometerse de su aprendizaje; cada contenido será

aprendido cuando el discente le dé significado a cada tema desarrollado en clase, y lo puede

aplicar en los distintos aspectos de sus actividades cotidianas y lo puede ampliar,

multiplicar y crear de esa manera su juicio personal y buscar solución a todos aquellos

problemas que hasta la fecha, estaban sin poder resolverse; los conceptos se basan en

aprendizajes significativos que solicitan una actitud más activa respecto al estudiante.

Procedimental: (saber cómo) hace referencia al conocimiento sobre el tipo de reglas que se

deben aplicar para realizar una tarea, abarca el desarrollo de las aptitudes que permiten que

el estudiante pueda conceptualizar y estructurar un marco de saberes lo que de esa manera

puede integrar todo el conocimiento, sobre el aprendizaje alcanzado a través de sus

aptitudes; el procedimental se refiere a contenidos procedimentales, que sabemos que es un

conjunto de saberes sobre procedimientos, estrategias y técnicas, tantos intelectuales donde

se abarca el análisis, creatividad, destrezas y habilidades corporales y manuales del discente

y el docente tiene la mayor obligación de enseñar la utilización de los materiales y

herramientas para la enseñanza del contenido de dicho curso, adicional, el procedimental

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representa a todo lo que son habilidades, estrategias, métodos, técnicas; los contenidos

procedimentales, son un conjunto de acciones enfocadas y ordenadas a una meta.

Condicional: (saber cuándo y por qué) se refiere a saber por qué cierta estrategia funciona o

cuándo utilizar una estrategia en lugar de otra, esta forma de conocimiento es la que

permite adaptar los planes de acción o estrategias a una tarea determinada; el procedimiento

se deriva de su carácter saber hacer en los contenidos o demostrar acciones como ejecutar,

utilizar, planificar, evaluar y presentar resultados en cuanto a los contenidos enseñados y

explica cada paso para lograr cada contenido, y saber manejar los pasos que se deben

seguir, si el discente sabe correctamente los pasos de un problema matemático, esto

significa que aprendió y al mismo tiempo lo aplica en la vida cotidiana.

Schraw (1998), citando a Reynolds (1992), expresa que este tipo de conocimiento ayuda al

estudiante a distribuir selectivamente los recursos y a usar las estrategias más

eficientemente, permite además identificar el conjunto de condiciones y las exigencias

situacionales de cada tarea de aprendizaje.

El aspecto de la conciencia metacognitiva, según Tamayo (2006) citando a Hartman (1998),

es un saber de naturaleza intra-individual, hace referencia al conocimiento que tienen los

estudiantes de los propósitos de las actividades que desarrollan y de la conciencia que

tienen sobre su progreso personal; es un conocimiento que permite el control o la

autorregulación del pensamiento y de los procesos y productos del aprendizaje.

La regulación metacognitiva, según Schraw 1998, (citado por Tamayo 2006), hace

referencia al conjunto de actividades que permiten al estudiante controlar su aprendizaje; se

relaciona con las decisiones del aprendiz antes, durante y después de llevar a cabo cierta

tarea de aprendizaje. Se asume que la regulación metacognitiva mejora el rendimiento en

diferentes formas: mejora el uso de la atención, proporciona una mayor conciencia de las

dificultades en la comprensión y mejora las estrategias ya existentes; se ha encontrado un

34

incremento significativo del aprendizaje cuando se incluyen, como parte de la enseñanza, la

regulación y la comprensión de las actividades.

Según Tamayo (2006) citando a Brown, señala los tres procesos cognitivos esenciales:

Planeación: Es un proceso que se realiza antes de enfrentar una tarea o meta escolar,

implica la selección de estrategias apropiadas y la localización de factores que afectan el

rendimiento; la predicción, las estrategias de secuenciación y la distribución del tiempo o de

la atención selectiva antes de realizar la tarea; consiste en anticipar las actividades, prever

resultados, enumerar pasos.

Monitoreo: se refiere a la posibilidad que se tiene, en el momento de realizar la tarea, de

comprender y modificar su ejecución, por ejemplo, realizar autoevaluaciones durante el

aprendizaje, para verificar, rectificar y revisar las estrategias seguidas.

Evaluación: Realizada al final de la tarea, se refiere a la naturaleza de las acciones y

decisiones tomadas por el aprendiz; evalúa los resultados de las estrategias seguidas en

términos de eficacia. (p. 3)

12

6. OBJETIVOS

6.1 OBJETIVO GENERAL

Analizar la incidencia que tiene la regulación metacognitiva en el proceso de aprendizaje de

los cuadriláteros desde los niveles del modelo Van Hiele en estudiantes del grado 6º, de la

I.E. Jorge Eliecer Gaitán del municipio de Aguazul (Casanare).

6.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar las dificultades a nivel de razonamiento que presentan los estudiantes de

grado sexto en el aprendizaje de los cuadriláteros.

Caracterizar los procesos de regulación metacognitiva desde los niveles de Van Hiele

en el aprendizaje de la geometría, en alumnos de grado sexto.

Describir los cambios que genera la regulación metacognitiva en el proceso de

aprendizaje de los cuadriláteros desde los niveles del modelo Van Hiele, en estudiantes

de grado sexto.

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7. METODOLOGÍA

7.1 ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN

La presente investigación se enmarca dentro de un enfoque metodológico de investigación

cualitativa, el cual puede definirse como un conjunto de prácticas interpretativas que hacen

al mundo visible, lo transforman y convierten en una serie de representaciones en forma de

observaciones, anotaciones, grabaciones y documentos, como lo afirma Hernández,

Fernández y Baptista (2003) el: “enfoque cualitativo: utiliza recolección de datos sin

medición numérica para descubrir o afinar preguntas de investigación y puede o no probar

hipótesis en su proceso de interpretación” (p. 11).

De acuerdo a lo anterior, el abordaje de esta investigación se considera con un enfoque

cualitativo porque los resultados que se obtienen no podrán ser medidos numéricos, sino se

interpretarán de acuerdo a la incidencia que se evidencie, luego de la aplicación de la

unidad didáctica.

Las investigaciones de tipo descriptivo se basan fundamentalmente, en caracterizar un

fenómeno o situación concreta indicando sus aspectos más peculiares o diferenciadores

(Morales, 2010).

Por lo tanto, esta investigación es de tipo descriptivo porque lo que busca es describir la

incidencia de la regulación metacognitiva y los niveles del modelo Van Hiele en el

aprendizaje de los cuadriláteros; es decir, a partir de situaciones cotidianas que logren en

los estudiantes un aprendizaje significativo, construyendo su propio conocimiento; este

proceso se manifiesta de manera sistemática descriptiva que permite incorporar la función

pedagógica.

13

7.2 CONTEXTO

La investigación se realizará en la Institución Educativa Jorge Eliecer Gaitán sede

principal, ubicada en el municipio de Aguazul, departamento de Casanare. Es una

institución de carácter oficial con población mixta, cuenta con aproximadamente 1000

estudiantes de estrato socioeconómico 1, 2 y 3. La institución solo cuenta con una jornada,

en la cual se atienden los grados de educación básica secundaria y media académica.

Además, la institución educativa atiende a estudiantes con barreras en el aprendizaje y de la

participación, (B.A.P) y apoyos pedagógicos manejando estudiantes con diferentes

discapacidades, dentro del modelo de aprendizaje mediado.

7.2.1 Unidad de trabajo

La unidad de trabajo para la aplicación de la unidad didáctica serán los estudiantes de grado

sexto de la Institución Educativa Jorge Eliécer Gaitán (Aguazul, Casanare), con un total de

155 estudiantes de género mixto, distribuidos en cuatro grupos.

7.2.2 Unidad de análisis

Para llevar a cabo la presente investigación, se tendrá en cuenta solamente el curso 6A, con

33 estudiantes (15 niñas y 18 niños), cuyas edades oscilan entre once y catorce años, a

quienes se les implementará las actividades diseñadas en la unidad didáctica.

Para el análisis de la información, se recolectarán los datos de cuatro (4) estudiantes que

serán seleccionados a través de los diferentes desempeños académicos que hayan obtenido

después de la aplicación del instrumento inicial. En este sentido, Kinnear y Taylor (1998.

p.404) manifiestan que “en el muestreo por conveniencia la selección de un elemento de la

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población que va formar parte de la muestra se basa hasta cierto punto en el criterio del

investigador”.

7.3 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS

En la tabla 1 se muestran las categorías, subcategorías e indicadores de análisis que surgen

tanto de la pregunta como de los objetivos de la presente investigación:

Tabla 1. Categorías, subcategorías e indicadores de análisis

CATEGORÍA SUBCATEGORÍA INDICADORES

Niveles del

modelo de Van

Hiele

Nivel 1.

Reconocimiento o

visualización

Percepción global de las figuras

Percepción individual de las figuras

Uso de propiedades imprecisas

Aprendizaje de un vocabulario matemático

básico

Nivel 2. Análisis

Descripción de una figura y sus propiedades

La definición de conceptos

Deducción de propiedades mediante

experimentación.

Demostración de una propiedad mediante su

comprobación

Nivel 3. De

clasificación o de

deducción informal u

orden

Capacidad para relacionar propiedades.

Comprensión de conceptos y familias de

figuras.

Demostración de una propiedad usando

razonamientos deductivos informales.

Comprensión de los pasos de una

demostración.

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Regulación

Metacognitiva

Planeación

Anticipa las actividades

Prevé resultados

Enumera pasos

Monitoreo

Verifica las estrategias seguidas

Rectifica las estrategias seguidas

Revisar las estrategias seguidas

Evaluación Evalúa los resultados de las estrategias

seguidas en términos de eficacia

Fuente: Elaboración propia

7.4 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS PARA LA RECOLECCIÓN DE

INFORMACIÓN

Las técnicas e instrumentos que serán utilizados para recolectar la información, en esta

investigación, son: el cuestionario, la observación participante, la unidad didáctica y la

entrevista semi-estructurada.

7.4.1 El cuestionario

Aunque el cuestionario está muy ligado a investigaciones de enfoque cuantitativo, este

puede ser usado como una técnica de recolección de datos en investigaciones cualitativas,

como lo expresan Rodríguez, Fernández y Baptista (2006), el cuestionario es indicado para

recoger información en grupos numerosos, en un corto tiempo y mínimo esfuerzo.

Teniendo en cuenta lo anterior, se realizará un cuestionario en el que se integran los niveles

de razonamiento del modelo Van Hiele; en este se incluirán preguntas abiertas y cerradas,

con respuestas que muestren razonamientos característicos de los diferentes niveles de van

Hiele, este cuestionario constará de 10 preguntas las cuales comprenden los primeros tres

niveles de razonamiento y adicionalmente preguntas de regulación metacognitiva.

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7.4.2 Observación participante

La observación participante, se ajusta al tipo de investigación, porque como el autor

Anguera (1978), plantea “la observación participante es el acto donde el observador registra

e interpreta los datos al participar en la vida diaria del grupo u organización que estudia,

entrando en la conversación de sus miembros, y estableciendo alguna forma de asociación o

estrecho contacto con ellos” (p.128).

7.4.3 Unidad didáctica

Los docentes deben realizar varias funciones, pero la actividad más importante que llevan a

cabo es la de diseñar unidades didácticas, que luego llevarán a la práctica; en las unidades

didácticas, el docente decide, qué se va a enseñar y el cómo, concretando sus ideas e

intenciones, para lograr así el aprendizaje a profundidad de sus estudiantes.

En términos de Tamayo (2006) y Sánchez & Valcárcel (1993), la unidad didáctica es un

proceso flexible donde se planifica la enseñanza de los contenidos relacionados con un

campo del saber específico, para construir procesos de aprendizaje en una comunidad

determinada. Debe estar formada a partir de las ideas previas, la historia y la epistemología

de las ciencias, los distintos modos de representación semiótica y las TIC, la reflexión

metacognitiva y la evolución conceptual.

En relación con lo anterior, en la unidad didáctica se realizarán actividades para el

aprendizaje de los cuadriláteros, asociadas a los niveles del modelo Van Hiele y a la

regulación metacognitiva.

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7.4.4 Entrevista semi-estructurada

La entrevista semiestructurada, es una conversación que permite un intercambio de

información; se pretende con ella cuestionar al estudiante, para identificar la efectividad de

las actividades implementadas en la unidad didáctica, además por ser semiestructurada esta

“se basan en una guía de asuntos o preguntas y el entrevistador tiene la libertad de

introducir preguntas adicionales para precisar conceptos u obtener mayor información sobre

los temas deseados…” (Hernández, Fernández, y Baptista, 2006)

7.5 PROCEDIMIENTO PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN

La presente investigación se desarrolla en tres momentos, en los cuales se pretende alcanzar

cada objetivo específico, estos momentos son: ubicación, desubicación y reenfoque.

Momento de ubicación:

En este momento se diseñará y aplicará el Cuestionario: los cuadriláteros I, que permitirá

identificar los obstáculos que presentan los estudiantes al resolver problemas con

cuadriláteros. Este cuestionario contiene diez preguntas (Ver anexo 2), teniendo en cuenta

los indicadores de los niveles del modelo de Van Hiele, las preguntas 1, 2 y 3 eran del nivel

l de reconocimiento de cuadriláteros, donde se pretende realizar un diagnóstico sobre la

percepción global e individual de los cuadriláteros, uso de propiedades y vocabulario

matemático usado por los estudiantes.

Las preguntas 4, 5 y 6, pertenecen al nivel 2 de análisis de los cuadriláteros, estas tienen

como propósito identificar en los estudiantes como describen un cuadrilátero y sus

propiedades, como deducen y comprueban las propiedades de estos. Finalmente las

preguntas 7, 8, 9 y 10, eran del nivel 3 de clasificación de los cuadriláteros, estas preguntas

se diseñaron con el fin de identificar la capacidad que tienen los estudiantes para: relacionar

18

propiedades, de comprender conceptos y familias de figuras, hacer y comprobar

demostraciones de propiedades.

Dentro de la pregunta 10, se realizaron unas preguntas de regulación metacognitiva. Para

indagar acerca de los procesos de planeación, monitoreo y evaluación que realizan los

estudiantes. De acuerdo a los resultados obtenidos se pudo identificar los obstáculos

presentados, y además sirvió para diseñar las actividades en los momentos de desubicación

y reenfoque.

Momento de desubicación:

En este segundo momento, se tendrá en cuenta las dificultades detectadas en el primer

momento, para planear las actividades de la unidad didáctica, que se desarrollarán en tres

sesiones, basadas en los niveles de razonamiento del modelo de Van Hiele y en la

regulación metacognitiva (Ver anexo 3 y 4)

En la primera sesión, se modelaron distintas situaciones problemas de acuerdo al nivel 1 de

aprendizaje del modelo de Van Hiele, llamado reconocimiento y visualización, con el

propósito que los estudiantes perciban de forma global e individual los cuadriláteros y

usen las propiedades de caracterizan cada cuadrilátero, todas las actividades de esta sesión

serán guiadas con preguntas abiertas permitiendo identificar los procesos metacognitivos de

planeación, monitoreo y evaluación.

En la segunda sesión, se presentaron distintas actividades de acuerdo al nivel 2 de

aprendizaje del modelo de Van Hiele, llamado análisis, cuyo propósito es que los

estudiantes describan los cuadriláteros y sus propiedades, deduzcan de propiedades de los

cuadriláteros mediante experimentación y demuestren sus propiedades mediante su

comprobación, estas actividades contendrán preguntas de regulación metacognitiva

(planeación, monitoreo y evaluación).

19

En la tercera sesión, se proponen actividades de clasificación o de deducción informal u

orden de cuadriláteros, con el fin de lograr en los estudiantes capacidad para relacionar

propiedades, comprensión de conceptos y familias de figuras y comprensión de los pasos de

una demostración. Al finalizar cada actividad se realizan preguntas de regulación

metacognitiva.

Momento de reenfoque:

Finalmente en este momento, se aplicará nuevamente del cuestionario inicial, con algunas

modificaciones, para analizar si las dificultades identificadas fueron superadas y se

realizará la entrevista semiestructurada (ver anexo 5) para indagar respecto a la efectividad

de las actividades enfocadas hacia el aprendizaje de los cuadriláteros mediante los niveles

del modelo de Van Hiele y la regulación metacognitiva, además sobre la forma como

lograron superar los obstáculos que presentaban al inicio de las actividades con respecto a

los cuadriláteros y su regulación metacognitiva.

7.6 TÉCNICAS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL ANÁLISIS DE LA

INFORMACIÓN.

La técnica de análisis que se utilizó fue el discurso, según (Tamayo et al. 2010), “El análisis

del discurso, y por ende del lenguaje, permite acercarnos cualitativamente a diferentes

representaciones de los estudiantes sobre distintos hechos o fenómenos.” (p.96)

Para realizar este análisis de la información, se procedió haciendo un análisis del discurso

oral y escrito que realizaron los estudiantes en las diferentes actividades y en los diferentes

momentos de la investigación. En este sentido Tamayo (2001) manifiesta que “el análisis

de los textos escritos es usado ampliamente con el propósito de comprender los procesos de

aprendizaje y cambio conceptual en los estudiantes” (p.48)

20

Según Tamayo (2001):

“Los textos escritos, como sistemas externos de representación que son, se constituyen a

través de un complejo proceso de reconstrucciones, no son sólo la traducción de

representaciones internas o de otros sistemas simbólicos como el lenguaje. Los textos tienen

naturaleza propia que repercute en la cognición y en el aprendizaje de quien los utiliza. Un

texto es un modelo de la realidad a la que hace referencia según ciertas restricciones y como

modelo representativo, crea nuevas realidades y nuevas relaciones.” (p.46)

De igual manera el análisis de los textos permitió obtener información de los obstáculos

que presentaban los estudiantes sobre los cuadriláteros, se pudo evidenciar aspectos de

diferente naturaleza, tales como los relacionados con el conocimiento cotidiano y el

científico que ellos poseen. Así mismo, a través de los textos escritos se pudo verificar el

avance de los educandos en todo el proceso.

12

8. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Para presentar los resultados de la información obtenida de las técnicas aplicadas y los

instrumentos de la unidad didáctica “Aprendizaje de los cuadriláteros desde los niveles del

modelo de Van Hiele”, se organizaron las respuestas de los estudiantes, mediante tablas que

muestran las preguntas con las respuestas, para el análisis se identifican los estudiantes

como E1, E2, E3 y E4.

Posteriormente se analizaron éstos instrumentos, por medio de un proceso de triangulación

de las respuestas de los estudiantes con el referente teórico, bajo el análisis del discurso,

para determinar la incidencia de la regulación metacognitiva en el proceso de aprendizaje

de los cuadriláteros desde los niveles del modelo de Van Hiele en los estudiantes de grado

sexto de la Institución Educativa Jorge Eliecer Gaitán.

Teniendo en cuenta lo anterior, se identificaron las dificultades que presentan los

estudiantes en el aprendizaje de los cuadriláteros y del mismo modo se caracterizaron los

procesos que intervienen en el desarrollo de habilidades metacognitivas desde los niveles

del modelo de Van Hiele como metodología dentro de los procesos de aprendizaje.

El análisis comprende los resultados por cada momento de la investigación, identificando

las categorías y subcategorías, como se muestran a continuación:

8.1 MOMENTO DE UBICACIÓN


aprendizaje de los cuadriláteros

13

Nivel 1: reconocimiento de los cuadriláteros

Tabla 2. Pregunta 1 cuestionario los cuadriláteros I

Pregunta Respuestas de los estudiantes

P.1 En la figura que se muestra a

continuación, colorea los polígonos que

sean cuadriláteros

E.1

E.2

E.3

E.4


Según lo anterior, E1, E3 Y E4 tienen claridad para identificar los polígonos de cuatro

lados como cuadriláteros, descartan los polígonos que tienen más o menos de cuatro lados y

las figuras planas que tienen bordes redondeados; E2 no identifica todos los polígonos de

cuatro lados, pero los coloreados cumplen con el concepto de cuadrilátero, se evidencia que

14

descarta correctamente las figuras con bordes redondeados o de más o menos de cuatro

lados.

De acuerdo a las respuestas dadas por los estudiantes en esta pregunta, la mayoría se

pueden ubicar en el nivel 1 del razonamiento del modelo de Van Hiele, dado que

diferencian claramente los cuadriláteros de los polígonos que tienen más o menos de cuatro

lados o con bordes redondeados, y además como lo expresan (Jurado & Londoño, 2005)

estos estudiantes reconocen las figuras geométricas por su apariencia global.



P.2 Teniendo en cuenta las figuras

coloreadas en el punto anterior indique

cuales son:

Cuadrados: __________

Rectángulos: _________

Rombos: ____________

Paralelogramos: ______

Trapecios: ___________

Trapezoides: _________

Romboides: ___________

E.1

E.2

E.3

E.4


Teniendo en cuenta las respuestas, los estudiantes identifican claramente los polígonos:

cuadrado, rectángulo y rombo, desconociendo que un cuadrado también es un rombo y

rectángulo; además no reconocen los cuadrados, los rombos y los rectángulos como

paralelogramos, solo E1 identifico el romboide como paralelogramo y adicionalmente los

15

estudiantes confunden algunos de los cuadriláteros como: trapecios, trapezoides y

romboides, lo que deja ver que no tiene muy claro la forma de ellos.

Partiendo de lo anterior, los estudiantes se pueden ubicar en el nivel 1 de razonamiento en

el modelo de Van Hiele, dado que diferencian algunos cuadriláteros básicos, pero no

realizan la clasificación completa y correcta de los cuadriláteros porque no reconocen sus

características y propiedades, como lo manifiestan (Jurado & Londoño, 2005), los

estudiantes en el nivel 1 “perciben las figuras como objetos individuales, sin abstraer sus

propiedades para relacionarlas con otras figuras del mismo tipo”.



P.3 Ubica en el plano cartesiano

los siguientes puntos A (-3,0); B

(0,3); C (3,0) y D (0,-3), únelos

en forma consecutiva con una

línea recta. ¿Qué tipo de

cuadrilátero se forma? ¿Cuáles

son sus características?

E.1

E.2

E.3

E.4

16


Todos los estudiantes grafican e indican el nombre del cuadrilátero de manera correcta, E1

no escribe ninguna de sus características, E2, E3 y E4 identifican como característica que la

figura formada tiene lados iguales, solo E3 manifiesta la característica de ángulos, pero

presenta dificultad al reconocer el tipo de ángulo.

Respecto a lo anterior, los estudiantes se siguen ubicando en el nivel de razonamiento 1, no

se pueden ubicar en el nivel 2 (análisis) de razonamiento del modelo de Van Hiele, porque

reconocen solo una característica de la figura, los estudiantes en el nivel 2 deben “describir

las partes que integran una figura y enunciar sus propiedades, debe ser capaces de analizar

las propiedades matemáticas de la figura” (Jaime, 1993). Por otra parte, se refleja que los

estudiantes determinan a qué grupo pertenece la figura, de acuerdo a sus esquemas

mentales donde existen figuras estereotipadas/prototipos; en términos generales, queda en

evidencia que su respuesta está guiada por lo que observan; es decir, por lo visual; esto se

evidencia dado que no identifican que la figura formada también es un cuadrado.

Nivel 2: Análisis de los cuadriláteros



P.4 En un rectángulo ABCD, los

segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ son las diagonales,

¿cuál de las siguientes opciones son

verdaderas o falsas para cualquier

rectángulo?

E.1

17

E.2

E.3

E.4


En esta pregunta el estudiante E1, reconocen correctamente todas las propiedades de los

rectángulos, y descarta la que no corresponde, pero esto lo logra porque compara

visualmente las propiedades con el rectángulo dado, E2 y E3 no identifica que el

cuadrilátero solamente posee ángulos rectos y E3 y E4, no reconoce que la longitud de los

lados opuestos es la misma.

Tomando como referente lo anterior, los estudiantes no se puede ubicar en el nivel 2 de

razonamiento en el modelo de Van Hiele, dado que, a pesar de reconocer algunas

características en el cuadrilátero, demuestran el desconocimiento geométrico en algunas de

las propiedades de este tipo de polígono, en el nivel 2 “los estudiantes son capaces de

descubrir y generalizar propiedades, a partir de la observación y la manipulación.”

(Aravena & Caamaño, 2013).

18


Pregunta Respuesta del estudiante

P.5

Cuál de estos puede ser

llamado rectángulo.

Justifica tu respuesta

E.1

E.2

E.3

E.4


En esta pregunta se pretende identificar el nivel de desarrollo de los estudiantes para

realizar una clasificación inclusiva entre el cuadrado y el rectángulo; y así, determinar si se

construyen de forma correcta conceptos matemáticos, en esta pregunta, los estudiantes

seleccionaron distintas opciones de respuesta; E1 selecciona la opción C y los demás la

opción B, se evidencia por las razones de sus respuestas que expresan nociones

desacertadas, sin la rigurosidad matemática que define un objeto en particular, por tanto, la

19

imagen que han construido de dicho concepto no corresponde a las exigencias del mismo y

lo reconocen sólo a partir de estereotipos.

Según lo anterior, los estudiantes no se ubican en el nivel de análisis del modelo de Van

Hiele, porque para responder de forma correcta esta pregunta, se requiere conocer una

propiedad básica de los rectángulos, “tener todos sus ángulos interiores rectos”, lo anterior,

radica según Jaime y Gutiérrez (1990) en el reconocimiento por parte de los estudiantes que

las figuras son (o pueden ser) representantes de unas familias.



P.6

Dibuja un

cuadrado y un

rectángulo.

Luego escribe

sus diferencias

y semejanzas.

E.1

E.2

20

E.3

E.4


Los estudiantes realizan el dibujo del cuadrado y del rectángulo sin definir los ángulos

rectos, establece características similares como: poseen ángulos rectos y la cantidad de

lados, y algunas diferencias enfocadas en la medida de sus lados, pero ninguno de los

estudiantes afirma que todo cuadrado es rectángulo, dando justificaciones desacertadas.

21

Tomando como referente lo anterior, los estudiantes no se pueden ubicar en el nivel 2 de

razonamiento en el modelo de Van Hiele, dado que, a pesar de reconocer algunas

características de los cuadriláteros, desconoce las semejanzas y diferencias de los

cuadriláteros, generando justificaciones superficiales que demuestran el desconocimiento

geométrico de este tipo de polígonos, además, el lenguaje empleado no evidencia mayor

rigurosidad geométrica y, de acuerdo con Fouz (2006), la progresión, en y entre los niveles,

va muy unida a la mejora del lenguaje matemático necesario en el aprendizaje.

Nivel 3: Clasificación de los cuadriláteros



P.7

Indicar cuales

de las

siguientes

afirmaciones

son verdaderas

o falsas, y

justificar

E.1

E.2

E.3

E.4


22

En esta pregunta se indaga por el nivel de desarrollo de los estudiantes para realizar una

clasificación, como se observa en la tabla 8, los estudiantes E1, E2, E3 y E4 no establecen

generalizaciones y relaciones entre los cuadriláteros y carece de justificación en sus

respuestas, esto demuestra desconocimiento de las propiedades y características de los

cuadriláteros.

Los estudiantes E1, E2, E3 y E4 no alcanzan el nivel 3 de razonamiento geométrico

(clasificación), porque desde el modelo de Van Hiele, según Jaime (1993), los estudiantes

pueden relacionar propiedades de una figura entre sí o con la de otras figuras; es decir, se

comprende la existencia de relaciones y se descubren nuevas relaciones y de igual forma,

los estudiantes en este nivel pueden realizar clasificaciones inclusivas.



P.8

Si ABCD es un rombo, y M,

N, P y Q son los puntos

medios de los lados,

respectivamente, ¿qué tipo de

cuadrilátero es MNPQ?

Justifique su respuesta

E.1

E.2

E.3

23

E.4


En esta pregunta el estudiante E1, no realiza de forma adecuada la representación gráfica y

por lo tanto no deduce la figura que se forma, los estudiantes E2, E3 y E4, realizan una

buena representación gráfica, pero E3 y E4 estudiantes mencionan que la figura que se

forma al unir los puntos medios de los lados de un rombo es un cuadrado. Esto demuestra

que los estudiantes no consideraron las diagonales no congruentes del rombo, motivo por el

cual la respuesta correcta sería se forma un rectángulo. Lo rescatable en esta pregunta es

que al menos, dos de los estudiantes mencionaron los lados para tratar de justificar su

respuesta.

Como afirma Jaime (1993), en el nivel 3 “se pueden relacionar propiedades de una figura

entre sí o con las otras figuras: se comprende la existencia de relaciones y se descubren de

manera experimental, nuevas relaciones” (p.7); los estudiantes no se pueden ubicar en este

nivel porque para ello deben tener en cuenta cuáles figuras geométricas se enmarcan en la

clasificación de los paralelogramos: el rectángulo, cuadrado, rombo y romboide, para luego

relacionar propiedades entre el rectángulo y los demás.



P.9

En el siguiente trapecio

isósceles MNPQ, con

MN=PQ, ubica los puntos A,

B, C y D, que son los puntos

E.1

24

medios de los lados MN, NP,

PQ y QA, respectivamente.

¿Qué figura se forma al unir

en forma consecutiva los

puntos M, N, P y Q? Justifica

tu respuesta

E.2

E.3

E.4


En la pregunta 9, como se refleja en la tabla 10, todos los estudiantes son capaces de

reconocer el tipo de cuadrilátero formado mediante la observación de los dibujos que ellos

mismos han plasmado para representar el objeto matemático en cuestión; aunque, el uso de

las propiedades no es del toda explícito.

Este tipo de respuesta no permite la ubicación de los estudiantes en el nivel 3, ya que en

cuanto a la parte de la justificación, tuvieron muchas dificultades para buscar argumentos

que validarán su respuesta porque básicamente, se limitaron a realizar el gráfico del

enunciado del problema. De acuerdo con Corberán et al. (1990), los estudiantes en este

nivel ya son capaces de clasificar inclusivamente los diferentes cuadriláteros y podrán dar

definiciones matemáticamente correctas, en lugar de definir las figuras mediante listas

exhaustivas de propiedades.

25



P.10

Si en un paralelogramo RSTU. Se

marca con A y B los puntos

medios de los segmentos RS y

TU, respectivamente, se traza la

diagonal RT y los segmentos AU,

SB que puedes decir de los

segmentos que cortan la diagonal

principal. Escribe simbólicamente

la conclusión.

E.1

E.2

E.3

E.4


Como se muestra en la tabla 11, el estudiante E1, no construye demostraciones, ni propone

una simbología geométrica para comprender el enunciado teórico; los estudiantes E2, E3 y

E4, aunque realizan una representación gráfica adecuada no proponen una simbología

geométrica para comprender el enunciado teórico.

Con base en lo anterior, los estudiantes no se pueden ubicar en el nivel 3 de razonamiento

en el modelo de Van Hiele, dado que no proponen procesos de demostración ni mostración

de las propiedades de los cuadriláteros.

26

Según los resultados de la prueba diagnóstica, se puede afirmar que los estudiantes tienen

dificultades para reconocer los cuadriláteros y diferenciarlos de acuerdo con sus

características, también, se evidencia contradicciones cuando debe seleccionar propiedades

de un rectángulo; se considera que los estudiantes evidencian un bajo nivel de

razonamiento, ya que no comprenden el concepto de cuadrilátero y sus características.

En general, se pueden afirmar con los resultados obtenidos del cuestionario inicial, que los

estudiantes presentan dificultades para: representar un cuadrilátero a través de un

enunciado, reconocer un cuadrilátero con base en una figura, interpretar el vocabulario

básico matemático, demostrar una propiedad, realizar clasificaciones inclusivas, relacionar

propiedades entre sí o con otras figuras. Lo anterior refleja la problemática que se considera

objeto de estudio, la comprensión de los cuadriláteros ya que, en el contexto de la

institución, se requiere de estudios que aborden esta dificultad para favorecer el

razonamiento de los estudiantes y, por lo tanto, su comprensión.

A partir de la información obtenida en la prueba diagnóstica de los cuatro estudiantes

evaluados, se puede concluir que la mayoría de ellos se encuentra en el nivel 1 de

razonamiento del modelo de Van Hiele, puesto que el reconocimiento de los cuadriláteros

lo hacen de forma general, desconociendo sus relaciones de inclusión y centrándose en

características exclusivas, lo que demuestra que es necesario por medio de la presente

investigación intervenir el trabajo en clase a partir de actividades secuenciales que permitan

que los estudiantes lleguen al nivel 3 de razonamiento y con esto mejorar los procesos de

conceptualización, generalización y demostración geométrica de los cuadriláteros.

8.1.2 Análisis de la categoría de regulación metacognitiva

Subcategoría de planeación

27

El proceso que se realiza antes de resolver el problema es la planeación, este permite

detallar los pasos o secuencia que se llevaran a cabo para resolverlo. En este sentido Brown

(citada por Tamayo, 2006, p.3) señala:

La planeación es un proceso que se realiza antes de enfrentar una tarea o meta escolar,

implica la selección de estrategias apropiadas y la localización de factores que afectan el

rendimiento; la predicción, las estrategias de secuenciación y la distribución del tiempo o de

la atención selectiva antes de realizar la tarea; consiste en anticipar las actividades, prever

resultados, enumerar pasos.

La tabla 12 muestra las preguntas relacionadas con la subcategoría planeación, para indagar

acerca de los procesos que realizan los estudiantes.

Tabla 12. Preguntas de planeación momento de ubicación

PREGUNTAS DE PLANEACIÓN

P1. ¿Entendiste el enunciado del problema? ¿Qué debes hallar?¿Cuántas veces lo leíste?

P2. ¿Subrayaste la información importante? ¿Organizaste los datos?

P3. Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a cabo para saber que

figura se forma. Justifica tu respuesta


En el proceso de planeación realizado por los estudiantes E.1, E.2, E.3 y E.4, todos

manifiestan entender el enunciado, saber qué deben hallar y expresan que leen el problema

en promedio de 2 a 3 veces para comprenderlo. No se presenta organización de los datos, ni

subrayan información importante en el problema, además, ellos manifiestan unos pasos o

secuencia que llevarán a cabo para resolver el problema, pero estas secuencias son cortas y

no están enumeradas como lo manifiesta E1: “mire la figura como era y la entendí y

ubique los punto y los uní”, todo esto incide en sus dificultades para resolverlo, debido a

que no cuentan con una estrategia de planeación detallada y adecuada.

28

Por otro lado, en la respuesta dadas por los estudiantes E.1, E.2, E.3 y E.4 se evidencia que

dentro de las estrategias cognitivas empleadas para resolver problemas sobre cuadriláteros

está en dibujar el diagrama que permita facilitar su solución, en este sentido, Schoenfeld

(1992) manifiesta que:

“Las estrategias cognitivas o heurísticas involucran formas de representar y explorar los

problemas con la intención de comprender los enunciados y plantear caminos de solución.

Algunos ejemplos de estas estrategias son dibujar un diagrama, buscar un problema

análogo, establecer submetas, descomponer el problema en casos simples, etc.”

Una de las estrategias utilizadas por los estudiantes para la planeación fue dibujar

diagramas. Ver figura 1

Figura 1. Respuesta E.1 pregunta 10

Según lo anterior, se puede decir que las preguntas relacionadas a la planeación, lograron

que los estudiantes se percataran que no contaban con un plan detallado para resolver los

problemas, en este sentido, al no tener claro una serie de pasos a seguir, originaba un

desorden en la ejecución de las diferentes actividades y es por ello que surge la necesidad

en los educandos de una mejor organización y de crear una ruta para resolver los

problemas.

Subcategoría: Monitoreo

El proceso de monitoreo es de gran importancia porque permite verificar de manera

continua lo que se está haciendo y permite corregir en caso de errores. En este sentido

Brown (citada por Tamayo, 2006, p.3) señala que:

29

El monitoreo se refiere a la posibilidad que se tiene, en el momento de realizar la tarea, de

comprender y modificar su ejecución, por ejemplo, realizar auto-evaluaciones durante el

aprendizaje, para verificar, rectificar y revisar las estrategias seguidas.

La tabla 13 muestra las preguntas relacionadas con la subcategoría monitoreo, para indagar

acerca de los procesos que realizan los estudiantes para verificar, revisar y rectificar lo que

hacen.

Tabla 13. Preguntas de monitoreo momento de ubicación

PREGUNTAS DE MONITOREO

P4. ¿Crees que lo estás haciendo bien? Justifica la respuesta

P5. ¿Te sirve los pasos o secuencia que planteaste? Justifica la respuesta


En los procesos llevados a cabo por los estudiantes E.1, E.2, E.3 y E.4, se evidencia que no

realizan monitoreo de lo que hacen y no saben si lo que está haciendo está bien, E1 y E3 se

limitan a realizar una representación gráfica sin un sentido lógico, argumentando que saben

poco sobre el tema que se están trabajando, lo cual les impide revisar y corregir lo que están

haciendo.

Los estudiantes E.1, E.2 y E.4 manifiestan: “No estoy seguro que este bien lo que estoy

haciendo” mientras que E.3: “No se si lo estoy haciendo bien porque se un poquito”, esto

refleja que no existe un control de lo que se está haciendo por parte de los educandos.

Considerando lo anterior, las preguntas de monitoreo permitieron que los estudiantes

reconocieran la necesidad de revisar lo que se hace, de identificar si las estrategias que

estaban aplicando eran las adecuadas, de corregir la representación gráfica y en algunos

casos leer nuevamente el problema y reorganizar los datos, lo que permitía encontrar

posibles errores para no cometerlos en problemas posteriores.

30

Subcategoría: Evaluación

La evaluación es un proceso que permite revisar si lo que se hizo está bien, replantear

algunas estrategias y evaluar el cumplimiento de las metas. En este sentido Brown (citada

por Tamayo, 2006, p.3) señala que “la evaluación realizada al final de la tarea, se refiere a

la naturaleza de las acciones y decisiones tomadas por el aprendiz; evalúa los resultados de

las estrategias seguidas en términos de eficacia”.

La tabla 14 muestra las preguntas relacionadas con la subcategoría planeación, para indagar

acerca de los procesos que llevan cabo los estudiantes para evaluar lo que hicieron.

Tabla 14. Preguntas de evaluación momento de ubicación

PREGUNTAS DE EVALUACIÓN

P6. Menciona cuáles fueron las dificultades que tuviste para resolver el problema. Justifica

tu respuesta

P7. ¿Verificaste la solución?

P8. ¿Qué fue lo que más le llamó la atención del proceso realizado?

P9. ¿Crees que puedes realizar problemas similares en menos tiempo?

P10. ¿Considera que los pasos o secuencia que planeo funcionó bien?¿Por qué?


Frente a las preguntas, P.6 y P.7, los estudiantes E.1, E.2, E.3 y E.4, respondieron: “la

dificultad que encontré fue que no conocía algunos términos en el enunciado y no verifiqué

la solución”, “un problema que no entendí, un poco complicado porque no sabía qué hacer

cuando leí por primera vez, pero leí de nuevo y entendí; si verifique porque creía que me

había quedado mal”; “No se cómo representar simbólicamente y verifique mi grafica pero

no supe escribir la respuesta”

31

En los procesos de evaluación llevados a cabo por los estudiantes E.1, E.2, E.3 y E.4, con

respecto a las preguntas P8, P9 y P10, expresan que los más les llamo la atención: “que se

puede hacer una gráfica para hallar la solución”, dos estudiantes manifiestan que sí

podrían realizar ejercicios similares en menos tiempo, y a la pregunta que si considera que

los pasos o secuencia que planeo funciono bien, expresan “Si, porque me resulto bien tal

como lo espere”, de acuerdo a sus respuestas se evidencia que realizan poca evaluación del

proceso llevado a cabo en el problema, argumentando que no entendía en su totalidad el

enunciado, que no sabía cómo hacer representaciones simbólicas, por lo cual no saben con

certeza si lo que hicieron está bien.

Únicamente se refleja como evaluación el hecho de que reconocen que tienen dificultades y

que si se les explica y recuerdan los conceptos pueden realizar el problema, es así como E.1

manifiestan: ”Tengo dificultades al graficar porque no conozco muchos términos del

enunciado”. Por su parte E.2, E.3, E4 expresan: “No se cómo representar simbólicamente”;

esto indica que hay reconocimiento por parte de los educandos de dificultades en el tema.

De acuerdo a lo anterior, se puede decir que las preguntas relativas a evaluación

permitieron que los estudiantes reconocieran la necesidad de evaluar el proceso llevado a

cabo cuando se resuelven problemas geométricos, de realizar una retrospección en cada uno

de los pasos utilizados. Esto brindaría la posibilidad de identificar si las estrategias

empleadas fueron eficaces, si se presentaron errores, si quedaron cosas por hacer y además

saber cuál era el grado de satisfacción y motivación frente al tema.

8.2 MOMENTO DE DESUBICACIÓN



32

En este momento se aplicó la unidad didáctica, donde se diseñaron actividades

direccionadas a instruir a los estudiantes para alcanzar cada nivel del modelo Van Hiele,

incluyendo procesos de planeación, monitoreo y evaluación asociados al desarrollo de

habilidades de regulación metacognitiva, para el aprendizaje los cuadriláteros, abordando la

solución de las dificultades identificados en el momento de ubicación.

Nivel 1: reconocimiento de los cuadriláteros

En este segundo momento se analizó lo que sucedió con las dificultades encontradas en el

primer momento, referidos al reconocimiento de los cuadriláteros.

Tabla 15. Reconocer un cuadrilátero por su forma global

Pregunta 1. A continuación se muestran unas figuras geométricas, encierra las figuras que

sean polígonos y coloree las que consideres que son cuadriláteros.

E.1

E.2

E.3

E.4


Esta actividad tenía como propósito reconocer los cuadriláteros por su forma global (ver

tabla 15), se observa que los estudiantes encerraron de forma adecuada los polígonos e

33

identificaron correctamente los polígonos de cuatro lados como cuadriláteros, según la

prueba diagnóstica se observa un progreso en E2 porque ahora tiene mayor claridad al

identificar los cuadriláteros descartando los polígonos que tienen más o menos de cuatro

lados y las figuras planas que tienen bordes redondeados.

Según lo anterior, los estudiantes estarían confirmando que se ubican en el nivel 1 de

razonamiento, porque “los alumnos reconocen las figuras por su apariencia global. Pueden

decir triángulo, cuadrado, cubo y así sucesivamente, pero no identifican explícitamente las

propiedades de las figuras” (Hoffer, 1983, pág. 207).

Tabla 16. Actividad II. Descubrir, comprender y reconocer la forma de los cuadriláteros

Pregunta 2. Relaciona mediante líneas cada cuadrilátero de la columna izquierda con uno

de la columna derecha de acuerdo a las similitudes de sus formas

E.1

E.2

E.3

E.4


En esta actividad II, los estudiantes E1, E2, E3 y E4 relacionan de forma correcta los

cuadriláteros, según su forma y logran agrupar de manera adecuada los cuadriláteros o hace

34

clasificaciones parciales y sin incluir a todos los elementos pertenecientes a dicha clase (ver

tabla 16).

De acuerdo a lo anterior, los estudiantes tienen un grado alto de adquisición del nivel 1 de

razonamiento del modelo Van Hiele, porque como lo expresa Corberán et al. (1994), los

estudiantes en este nivel comparan y clasifican figuras geométricas basándose en su

apariencia global.

Tabla 17. Actividad IV. Aprendizaje de un vocabulario matemático básico

Actividad IV. Aprendizaje de un vocabulario matemático básico

E.1

E.2

E.3

E.4


35

Respecto a la actividad IV, esta se realizó de manera individual y el propósito de esta

actividad fue promover la lectura y el uso adecuado de símbolos o notación matemática; al

inicio de esta actividad los estudiantes mostraban un conocimiento muy pobre sobre

vocabulario y notación matemática y ello se evidenció al revisar rápidamente las

respuestas de cada uno de los estudiantes, motivo por el cual se hizo un breve paréntesis en

el desarrollo de esta actividad.

Lo que encontramos, en relación a las respuestas observadas, fue que los estudiantes sólo

utilizan símbolos como <, >, = y ≠; no conocían símbolos como ∥,⊥, ≅; su vocabulario,

también es pobre y en lugar de decir son lados congruentes dicen son lados iguales; no

empleaban los términos complementarios o suplementarios sino es igual a 90° o 180°.

Esta situación permitió realizar un debate, que duró entre 10 y 15 minutos, para unificar

criterios en el uso de los símbolos, esto no quiere decir que se desarrolló esta actividad con

los estudiantes: por el contrario, el único papel de los docentes fue darle las herramientas

necesarias para que ellos culminaran con mayor éxito esta actividad; luego de esta

intervención se observó mejoras en las respuestas de los estudiantes.

Tanto E1, E2, E3 y E4 indican de manera acertada cuando dos segmentos son congruentes,

paralelos o perpendiculares, además se puede observar que los estudiantes empiezan a usar

símbolos como ≅, ⊥ y ∥ y a determinar cuando los ángulos son congruentes o

suplementarios, aunque en algunos casos no lo hagan de manera adecuada. En el nivel 1 de

razonamiento los estudiantes como lo expresa Corberán et al. (1994), pueden aprender

vocabulario geométrico, identificar formas determinadas y, dada una figura, pueden

reproducirla.

Finalmente, culminamos este nivel con el desarrollo de la actividad V, la cual se realizó en

grupos de 3 estudiantes a fin de promover el diálogo y superar las dificultades presentadas

al establecer una visión global de la clasificación de los cuadriláteros en las actividades

anteriores. En esta actividad se les solicitaba a los estudiantes que recortaran cada uno de

36

los recuadros, y luego pegarlos en el diagrama teniendo en cuenta la clasificación general

de los cuadriláteros, en el desarrollo de la actividad los estudiantes ya empezaron a tener en

cuenta otras propiedades de los cuadriláteros tales como medida de los ángulos,

paralelismo, medida de los lados, entre ellos debatían por qué el cuadrado es un rectángulo

y un rombo. (Ver figura 2)

Figura 2. Actividad V, clasificación de los cuadriláteros

Según lo anterior, ya en este momento los estudiantes empiezan a identificar atributos

relevantes a la hora de hacer una clasificación. Como lo expresa Vinner (1991) diferencia

entre dos elementos clave para adquirir un concepto: los atributos relevantes y los atributos

irrelevantes. Los atributos relevantes de un concepto son aquellas propiedades que deben

poseer todos los ejemplos de dicho concepto, mientras que los atributos irrelevantes son

aquellas propiedades no necesarias para definir el concepto pero que permite diferenciar

unos ejemplos de otros. Por ejemplo, para definir el concepto de cuadrilátero, un atributo

relevante es ser un polígono de cuatro lados; sin embargo sería un atributo irrelevante el

paralelismo de sus lados.

37


En este nivel de razonamiento, se diseñaron actividades para observar e identificar las

propiedades principales de los cuadriláteros, se inició con una actividad donde los

estudiantes observaban los cuadriláteros, y marcaban en una tabla las propiedades que

cumpliesen. La tabla 18 muestra los resultados de esta actividad.

Tabla 18. Identificar las propiedades principales de los cuadriláteros

Actividad I. Observar e identificar las propiedades principales de los cuadriláteros

E.1

E.2

E.3

E.4


En esta actividad, los estudiantes debían comprobar las características de los lados, ángulos

y de las diagonales de los diferentes cuadriláteros, lo realizaron adecuadamente, se observa

que los estudiantes reconocen en los cuadriláteros la congruencia entre los lados, además

miden y comprueban la congruencia y demás características de las diagonales y los ángulos

en los cuadriláteros; esto se debe a que los estudiantes “comparan figuras mediante el uso

explícito de propiedades de sus componentes.” (Corberán et al., 1994).

La actividad II tenía como principal objetivo que los estudiantes explicaran o parafrasearan

conceptos y principales propiedades de los cuadriláteros, se obtuvo un buen desempeño en

el desarrollo de esta y se evidencia el progreso en el nivel 2 de razonamiento ya que

38

empiezan a superar las dificultades, al pedirle que definieran con sus palabras que es un

cuadriláteros, E1 contesta: “es una figura que tiene 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos”, aunque

es esta respuesta falten algunos elementos del concepto, se evidencia un gran avance

porque inicialmente solo tenían en cuenta los lados al realizar la definición. Al

preguntarles que es un paralelogramo, E3 responde: “es una figura que tiene lados

paralelos 2 a 2, tiene 4 vértices, 4 ángulos”, se observa en los estudiantes una mejoría en el

vocabulario matemático. Como lo expresan Corberan et al. (1994), los estudiantes:

“Son conscientes de que las figuras geométricas están formadas por partes y de que están

dotadas de propiedades matemáticas. Pueden describir sus partes y enunciar sus

propiedades, siempre de manera informal, utilizando vocabulario apropiado para

componentes y relaciones (por ejemplo, "lados opuestos", "los ángulos correspondientes

son iguales", "las diagonales se cortan en el punto medio", etc.).” (p. 16)

En la actividad III, se pretendía que mediante la experimentación, y el trabajo en equipo los

estudiantes construyeran conceptos y comprobarán algunas propiedades de los

paralelogramos; se obtuvieron progresos en el nivel 2 de razonamiento al: construir

conclusiones a partir de la medida de sus ángulos y determinar las formas de dividir un

cuadrilátero en dos partes iguales, afirmando que solo las diagonales dividen en dos

triángulos el cuadrilátero, midieron y comprobaron el número de diagonales que se pueden

trazar en un paralelogramo, testificando en qué casos tienen igual o diferente medida y si se

cortan en el punto medio y además se logró que siguieran unas instrucciones para concretar

las propiedades en los paralelogramos, a partir del uso de material concreto. Según

Corberan et al. (1994), en el nivel 2 los estudiantes:

“Reconocen las propiedades Matemáticas mediante la observación de las figuras y sus

elementos. También pueden deducir propiedades generalizándolas a partir de la

experimentación.” (p. 6)

La actividad final del nivel 2 de análisis de los cuadriláteros, se desarrolló de manera grupal

y haciendo uso del software GeoGebra, en ella se solicitaba a los estudiantes que

39

construyera un cuadrado y un rectángulo y que luego rotará la figura; por un lado, esta

actividad permitió que el estudiante se diera cuenta que un cuadrado o un rectángulo no

dejan de serlo a pesar de rotarlo o encontrarlo en su forma “no habitual”, en el sentido de

que en muchas ocasiones nuestros profesores recurren, también, en su presentación a figura

prototipos. Por otro lado, tanto en la construcción del cuadrado como del rectángulo se

pudo mostrar el paralelismo y la perpendicularidad y, más aun, se pudo ver cómo estas

características o propiedades no cambian a pesar de que rotemos la figura. En

consecuencia, la actividad IV apuntaba hacia que los estudiantes reconocieran que las

propiedades de un cuadrilátero se mantienen aunque cambie su posición en el plano.

Con esta actividad los estudiantes E1, E2, E3 y E4 lograron manipular la orientación de los

cuadriláteros, entendiendo que las propiedades se mantienen. Como lo manifiesta González

(2015), citando a (Vinner y Hershkowitz, 1983):

“Uno de los distractores más conocidos son los distractores de orientación. Estos se refieren a

aquellas propiedades visuales que se incluyen en el esquema conceptual del alumno y que no

tienen nada que ver con la definición del concepto Por ejemplo, la orientación de los rombos

apoyados siempre sobre un vértice provoca que no lo reconozcan cuando aparece apoyado

sobre la base.” (p.10)

Nivel 3: De clasificación de cuadriláteros

En este nivel de aprendizaje, inicialmente se realizó una actividad que tenía como propósito

establecer y definir elementos y principales propiedades de los diferentes tipos de

cuadriláteros, para esto debían indicar con una equis que cuadriláteros cumplían las

propiedades establecidas. En la tabla 19 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 19. Establecer y definir elementos y propiedades

Actividad I. Complete la siguiente tabla marcando con una equis (x) según corresponda

40

E.1

E.2

E.3

E.4


Según los resultados, se puede decir que los estudiantes tienen claridad al identificar los

cuadriláteros con dos pares o un par de lados opuestos paralelos, cuando se les pregunto

sobre las propiedades de las diagonales de los cuadriláteros vemos que los estudiantes

reconocen los cuadriláteros donde las diagonales son perpendiculares y se bisecan, Los

estudiantes establecen de forma adecuada la congruencia en los lados y ángulos de los

cuadriláteros, vemos un gran avance porque van definiendo elementos que antes no

reconocían en estas figuras. Los estudiantes estarían alcanzando el nivel 3 de razonamiento

porque según Corberan et al. (1994), en este nivel:

“Pueden clasificar lógicamente diferentes familias de figuras a partir de propiedades

suyas ya conocidas formuladas con precisión matemática. No obstante, sus

razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación y sus demostraciones

son de tipo informal.” (p. 18)

41

Luego se esta actividad, se realizó un trabajo grupal que consistía en escribir las

propiedades de algunos cuadriláteros, las cuales estaban señaladas en unos recuadros, con

el fin de lograr que los estudiantes caracterizaran a los cuadriláteros según sus lados,

ángulos o diagonales. Dentro de la actividad encontramos respuestas como: “El rectángulo:

todos sus ángulos congruentes, la suma de sus ángulos internos es 360°, ángulos opuestos

congruentes, lados opuestos congruentes, diagonales congruentes, las diagonales se

intersecan en su punto medio” “El romboide: la suma de sus ángulos internos es 360°,

ángulos opuestos congruentes, lados opuestos congruentes, las diagonales se intersecan en

su punto medio” “El rombo: diagonales perpendiculares, la suma de sus ángulos internos

es 360°, ángulos opuestos congruentes, lados opuestos congruentes, todos sus lados

congruentes, sus diagonales son bisectrices, las diagonales se intersecan en su punto

medio”

Se evidencia en esta actividad que los estudiantes, de una lista de propiedades seleccionan y

descartan dependiendo del cuadrilátero que estén trabajando, se percibe un avance porque

de acuerdo a las propiedades de los lados, ángulos y diagonales los estudiantes empiezan a

realizar clasificaciones. En el nivel 3 los estudiantes según Corberan et al. (1994):

“Son capaces de: a) Identificar conjuntos diferentes de propiedades que caracterizan a una

clase de figuras y comprobar su suficiencia. b) Identificar conjuntos mínimos de

propiedades que pueden caracterizar a una figura. c) Formular y utilizar una definición para

una clase de figuras.” (p.18)

En la actividad 3, de este nivel se realizó un trabajo individual con el fin que los estudiantes

empezarán a establecer relaciones de inclusión de las principales propiedades que

caracterizan a los cuadriláteros, en la tabla 20 se muestran algunos resultados obtenidos.

Tabla 20. Establecer relaciones de inclusión de las propiedades

Actividad III. Comprueba si los enunciados sobre un cuadrilátero ABCD son verdaderos y

42

justifique sus respuestas

E.1

E.2

E.3

E.4


Se puede notar en los estudiantes, un avance porque primero realizan una representación

gráfica de forma adecuado de los cuadriláteros, señalan cada vértice utilizando letras

mayúsculas, trazan las diagonales, todo esto lo hacen con el fin de comprobar las

afirmaciones dadas, en sus justificaciones vemos que utilizan símbolos y reconocen que las

diagonales del rombo son perpendiculares porque forman un ángulo de 90°, evidenciándose

así la comprensión del concepto de perpendicularidad. Como lo expresa Corberán et al. “en

sus demostraciones, hacen referencias explícitas a las definiciones.” (p. 18)

Se continuó con la actividad IV, la cual se realizó en parejas con el fin que los estudiantes

realizaran demostraciones de manera intuitiva e informal, formulando ejemplos y/o

contraejemplos sobre propiedades de los cuadriláteros. En la tabla 21, se muestran las

respuestas de los estudiantes.

43

Tabla 21. Demostraciones de manera intuitiva e informal

Actividad IV. Comprobar las siguientes afirmaciones. Si es verdadera, presente una prueba y si

es falsa, muestre un contraejemplo.

E.1

E.2

E.3

E.4


En la primera pregunta los estudiantes E1, E2, E3 y E4, realiza cada uno diferentes

paralelogramos demostrando que la afirmación planteada es verdadera, en sus

justificaciones se encuentran frases como E1: “si porque al chocarse forman un ángulo de

90°” y llegan a una conclusión E2: “porque es perpendicular en todos los paralelogramo”.

Estas respuestas demuestran la construcción de conceptos en los estudiantes.

En la segunda pregunta los cuatro estudiantes reconocen que la afirmación es falsa, y los

estudiantes E1, E2, y E3 plantean dos contraejemplos el cuadrado y el trapezoide simétrico.

Se ve un progreso en el nivel 3 de razonamiento porque según Corberán et al. (1994) los

estudiantes realizan una representación gráfica de forma adecuado de los cuadriláteros,

44

Finalmente se realizó una actividad, donde los estudiantes debían resolver un problema

sobre cuadriláteros que implicará la organización de datos, en esta actividad debían hallar

que figura se formaba luego de una serie de pasos y además demostrar que el área del

rectángulo formado era el doble del área del rombo. Los estudiantes realizaron su

representación gráfica adecuada para traducir el enunciado del problema y hallaron la

figura que se formaba correctamente, esto muestra que los estudiantes “comprenden los

sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico formal” (Corberan et al., 1994)

8.2.2 Análisis de la categoría regulación metacognitiva

Subcategoría: Planeación

En este segundo momento, frente a las preguntas de planeación P1. ¿Entendiste el

enunciado del problema? ¿Qué debes hallar?¿Cuántas veces lo leíste?, P2. ¿Subrayaste la

información importante? ¿Organizaste los datos?, los estudiantes manifiestan que si

entienden el enunciado, siguen leyendo en promedio de 2 a 3 veces el enunciado, y

expresan con sus palabras que deben hallar o demostrar. Además subrayan y organizan

información importante.

Frente a la pregunta P3. Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a

cabo para realizar la demostración, de la actividad IV del nivel de clasificación de

cuadriláteros, el estudiante E.1 responde: “leer el enunciado, hacer el dibujo, marcar los

vértices, comprobar si el enunciado es falso o verdadero, justificar la respuesta” Y E2

responde: “leer el enunciado varias veces, hacer una representación de mi respuesta,

responder verdadero o falso”. En lo que manifiestan estos estudiantes se evidencia un plan

más detallado de los pasos que debe realizar para resolver el problema, comparado con lo

que hacían en el primer momento.

45

En la actividad V del nivel 3 de aprendizaje, el estudiante E.3 respondió a la P.3 “primero

leer el problema hasta 3 veces, subrayar la información importante, hacer los dibujos de

los rombos, unir los centros, decir que figura se forma, mirar y comparar las áreas,

comprobar si me quedo bien” y E.4 respondió: “leer el enunciado, hacer un dibujo para

resolverlo, responder a la pregunta, y verificar si quedo bien”; en lo que manifiestan estos

estudiantes se evidencia tener un proceso de planeación ordenado, en la cual se enumeran

los pasos o secuencia a seguir para resolver el problema. Al respecto (Sanz 2010, p.115)

plantea que “la planeación está dirigida a la definición de los objetivos que se desea

alcanzar, a la selección de las estrategias, a la prevención de dificultades”.

Todo lo anterior muestra como la planeación tiene relación con las estrategias cognitivas

utilizadas por los educandos, en este caso se evidencia en el proceso llevado a cabo para

empezar a resolver se encuentra: leer varias veces el problema, subrayar datos e

información importantes, hacer representaciones gráficas, es decir entre más estrategias

cognitivas tenga el educando mejor puede ser su proceso de planeación. En este sentido,

Schoenfeld (1992) manifiesta que “las estrategias cognitivas o heurísticas involucran

formas de representar y explorar los problemas con la intención de comprender los

enunciados y plantear caminos de solución”. En las figuras 3 y 4 se muestran las estrategias

cognitivas utilizadas por los estudiantes para resolver los problemas con cuadriláteros.

Figura 3. Respuesta E2 Actividad IV

46

Figura 4. Respuesta E4 Actividad V

En este segundo momento, la planeación permitió que los estudiantes elaboraran una serie

de pasos para resolver el problema, lo cual originó una mejor organización de los datos,

realización de representaciones gráficas, resaltaron elementos importantes y entendieron

mejor el problema.


En este segundo momento, los estudiantes frente a la categoría monitoreo reflejan un

avance respecto al primer momento, esto se evidencia en las respuestas dadas por los

educandos, algunas de ellas se describen a continuación:

El estudiante E.1 manifiesta: “creo que lo estoy haciendo bien, porque me devolví a leer

nuevamente el problema”. El estudiante E.2 expresa: “los pasos que estoy usando me sirven

porque los voy revisando”. Por su parte el estudiante E.3 expresa: “si lo estoy haciendo

bien porque rectifique la gráfica, había ubicado mal los vértices” El estudiante E.4

manifiesta: “al comienzo lo estaba haciendo mal, borre y volví a leer el problema y así hice

bien la gráfica para hallar la respuesta”.

En las respuestas dadas por los estudiantes E.1, E.2; E.3; E.4; se evidencia que realizan

monitoreo de lo que hacen porque revisan las representaciones para ver si están bien, leen

nuevamente el enunciado si es necesario y algunas veces borran para corregir las gráficas.

Se evidencia más comprensión del tema y verifican mejor lo que están haciendo. Al

respecto Sanz (2010.p.116) plantea que el monitoreo “Consiste en la realización de la

47

actividad y en el control que se ejerce sobre cada uno de los aspectos implicados en su

desarrollo y sobre los posibles factores que pueden incidir en la concentración y

distribución de los recursos”.

En este segundo momento, el monitoreo permitió a los estudiantes revisar la

representaciones graficas realizadas, detectar y corregir errores, replantear pasos del plan,

justificar algunas respuestas y volver a leer el problema para una mejor comprensión.


En este segundo momento, los estudiantes frente a la categoría evaluación, reflejan haber

mejorado en este aspecto comparado con el primer momento. En la tabla 22 se presentan

las preguntas relativas a la subcategoría evaluación.

Tabla 22. Preguntas de evaluación momento de desubicación

PREGUNTAS DE EVALUACIÓN

P6. Menciona cuáles fueron las dificultades que tuviste para resolver el problema. Justifica

tu respuesta

P7. ¿Verificaste la solución?

P8. ¿Qué fue lo que más le llamó la atención del proceso realizado?

P9. ¿Crees que puedes realizar problemas similares en menos tiempo?

P10. ¿Considera que los pasos o secuencia que planeo funcionó bien?¿Por qué?


El estudiante E1 frente a las preguntas de evaluación responde: “una de las dificultades fue

la de comprobar que el área del rectángulo era el doble”, “si verifique”, “la figura que se

formó”, “si puedo hacerlo más rápido al entender el enunciado”, “se me funciono el plan,

porque se formó la figura correcta”.

48

El estudiante E2 frente a las preguntas de evaluación responde: “tuve algunas dificultades

al colocar las letras a la figuras”, “si verifique”, “lo que a mí me llamo más la atención

fue realizar la representación gráfica”, “me demoraría menos tiempo, porque entiendo

más”, “si me funcionaron los pasos, pero iba corrigiendo”

El estudiante E3 frente a las preguntas de evaluación responde: “la dificultad que tuve fue

de unir las mitades de los rombos”, “si lo hice”, “me llamo la atención que de 5 rombos al

unir las mitades del rombo iba hacer un rectángulo”, “creo que de pronto puedo realizar

problemas similares en menos tiempo”, “me funciono el plan porque me ayudo a resolver”

El estudiante E4 frente a las preguntas de evaluación responde: “la dificultad fue realizar la

figura porque no sabía que era exteriormente”, “si”, “la figura”, “solo un poco más

rápido los haría”, “me funcionaron los pasos me ayudaba a que quedara bien”

Todo lo anterior evidencia que los estudiantes realizan una evaluación del proceso llevado a

cabo en solución de problemas con cuadriláteros, reconocen algunas dificultades en

comparar las áreas de figuras, en colocar las letras de los vértices, en hacer la

representación gráfica porque no conocía algunos términos, y manifiestan sentirse mejor al

resolver el problema porque entienden más el tema y recordaron algunos conceptos. Al

respecto Sanz (2010) manifiesta que la evaluación implica comprobar los resultados de las

propias acciones con los criterios previamente establecidos, bien sea por el docente, por el

estudiante o por ambos a la vez.

Además, se evidencia que los estudiantes al saber más acerca del tema y los procedimientos

que deben realizar, se sienten más motivados para la solución de problemas, lo que les

permitió mejorar gradualmente en este proceso. Del mismo modo, los estudiantes

manifiestan que demoran menos tiempo en la solución de problemas similares. En este

sentido Schoenfeld (1992) manifiesta que “una de las dimensiones o categorías que

explican el éxito o fracaso de los estudiantes en la resolución de problemas son los

49

componentes afectivos que caracterizan la actitud y disposición a involucrarse en

actividades matemáticas”.

En este segundo momento la evaluación permitió que los estudiantes identificaran errores,

corregir operaciones, reflexionar sobre el proceso llevado a cabo, manifestar el grado de

satisfacción de la tarea realizada y realizar una lectura general de los pasos.

8.3 MOMENTO DE REENFOQUE



En este último momento, las dificultades que presentaban los estudiantes E.1, E.2, E.3 y

E.4, detectados en el primer momento, asociados a concepciones inducidas fueron la

mayoría superados satisfactoriamente a través de todo el proceso. Los estudiantes ya

reconocen los cuadriláteros en su forma global, analizan las propiedades de los

cuadriláteros y clasifican los diferentes cuadriláteros según sus propiedades, los definen

correctamente y los diferencian. A continuación se presenta algunas de las respuestas de los

estudiantes referentes a la subcategoría niveles del modelo de Van Hiele, en la cual se

refleja la superación de las dificultades.

Nivel 1: Reconocimiento de los cuadriláteros

En este momento se aplicó el cuestionario cuadriláteros II, en la tabla 23 se presenta

algunas respuestas de la subcategoría de reconocimiento.

50

Tabla 23. Muestra de las preguntas y respuestas concernientes al nivel 1

P1. En la figura que se

muestra a continuación,

colorea los polígonos que

sean cuadriláteros

P2. Teniendo en cuenta la

figuras coloreadas en el

punto anterior, indique

cuales son

P3. Ubica en el plano

cartesiano los siguientes

puntos A (-5,0); B (0,5); C

(5,0) y D (0,-5), únelos en

forma consecutiva con una

línea recta

E.1

E.2

E.3


La tabla 23, evidencia el progreso que los estudiantes han tenido en los procesos de

reconocimiento de cuadriláteros, debido a que ya reconocen los cuadriláteros en su forma

global, descubren y comprenden la forma de los cuadriláteros y la diferenciación entre

ellos.

Además, se evidencia que los estudiantes establecen relación entre paralelismo y

perpendicularidad en un cuadrilátero, empiezan a utilizar un vocabulario matemático básico

adecuado, y establecen una visión global de la clasificación de los cuadriláteros, al saber

más sobre los cuadriláteros se muestran más motivados, lo que les permitió superar de

manera satisfactoria el nivel 1 de reconocimiento de cuadriláteros del modelo Van Hiele.

51


En la tabla 24 se presenta algunas respuestas de la subcategoría de análisis de los

cuadriláteros.


P4. En un rectángulo

ABCD, los segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y

𝐵𝐷̅̅ ̅̅ son las diagonales, ¿cuál

de las siguientes opciones

son verdaderas o falsas para

cualquier rectángulo

P5. Cuál de estos pueden ser

llamados rectángulos.

Justifica tu respuesta

P6. Dibuja un cuadrado y un

rectángulo. Luego escribe

sus diferencias y semejanzas


Tomando como base las respuestas de los estudiantes en la secuencia de actividades y el

nivel en el que fueron ubicados en la prueba diagnóstica, se puede evidenciar que después

de aplicar la secuencia de actividades, se observa un progreso el cual se evidencia en los

estudiantes porque: describen un cuadrilátero y sus propiedades, definen y deducen

propiedades, establecen algunas relaciones entre las propiedades de los cuadriláteros,

establece en forma general las propiedades de los cuadriláteros, relacionan entre los

cuadriláteros las características propias de sus diagonales, establecen las propiedades que

relacionan y diferencian un cuadrado de un rombo, describen las propiedades que tienen los

rombos, reconocen las relaciones entre un cuadrado y un rectángulo.

52


En este momento de reenfoque, se plantearon cuatro preguntas basadas en el nivel 3 de

análisis de los cuadriláteros, en la tabla 25 me muestran algunas de las respuestas dadas por

los estudiantes.


P7. Indicar cuales de las siguientes

afirmaciones son verdaderas o falsas, y

justificar

P8. Si ABCD es un rombo, y M, N, P y Q

son los puntos medios de los lados,

respectivamente, ¿qué tipo de cuadrilátero es

MNPQ?

P9. Dibuja el paralelogramo RSTU. Marca

con A y B los puntos medios de los

segmentos RS y TU, respectivamente, traza

la diagonal RT y los segmentos AU, SB que

puedes decir de los segmentos que cortan la

diagonal principal. Escribe simbólicamente

la conclusión

P10. En el siguiente trapecio isósceles

MNPQ, con MN=PQ, ubica los puntos A, B,

C y D, que son los puntos medios de los

lados MN, NP, PQ y QA, respectivamente.

Une en forma consecutiva los puntos M, N,

P y Q

53


Según las respuestas dadas por los estudiantes, podemos observar un progreso porque ya

realizan demostraciones mediante la comprensión de unos pasos, usando razonamientos

deductivos informales, se puede observar el uso de vocabulario y símbolos matemáticos de

forma adecuada.

8.3.2 Análisis de la categoría regulación metacognitiva

Subcategoría: Planeación

En el tercer momento, los estudiantes E.1, E.2; E.3; E.4; frente a la subcategoría planeación

manifiestan que entienden el enunciado del problema, lo leen en promedio de dos a tres

veces, subrayan la información importante y organizan los datos si es necesario. Cuando se

les pide describir los pasos que llevaran a cabo para resolver la actividad, el estudiante E1

expresa: “1. Leer detalladamente el enunciado, 2. desarrollar un gráfico, 3. verificar la

solución, 4. justificar mi respuesta”. El estudiante E2, manifiesta: “1. Leer el problema, 2.

ubicar en un grafica los puntos, 3. Ponerle letras, 4. Unir con líneas, 5. Dar la solución”

Lo anterior, evidencia que los estudiantes son más organizados en la planeación para

resolver el problema, muestran una serie de pasos enumerados a seguir el cual les permite ir

trabajando de acuerdo a lo que le pide el problema. Realizan minuciosamente una

54

representación gráfica, ubicando la información proporcionada en el ejercicio y resaltando

aspectos relevantes del problema.


En el tercer momento, el estudiante E.1, frente a la subcategoría monitoreo manifiesta: “si

me sirvieron los pasos porque fui revisando el ejercicio y corrigiendo si estaba malo”, El

estudiante E.2 expresa: “creo que lo estoy haciendo bien porque me devuelvo a leer varias

veces el problema para no perderme”

El estudiante E.3 manifiesta: “si lo estoy haciendo bien, porque leí bien y despacio el

enunciado” El estudiante E.4 manifiesta: “si me sirvieron los pasos, porque cuando revise

me sentí seguro de lo que hacía”

Todo lo anterior refleja que los estudiantes realizan de alguna manera un proceso de

monitoreo en lo que hacen, lo cual les permite revisar si la representación gráfica están

bien, volver a leer información importante, y algunas veces borrar para corregir. Se

evidencia más comprensión del tema y verifican mejor lo que están haciendo.


En el tercer momento, el estudiante E.1 frente a la subcategoría evaluación manifiesta: “al

final si verifique la solución y corrijo si está mal, antes no lo hacía y me equivocaba en

algo”

El estudiante E.2 expresa: “no tuve dificultades porque revisaba y entendía todo lo que

debía hacer”; El estudiante E.3 manifiesta: “lo que más me llamo la atención fue que de un

trapecio isósceles se formó un rombo, siguiendo los pasos que decía el enunciado”

55

El estudiante E.4 manifiesta: “los pasos que planeé si funcionaron bien porque siempre al

final rectifico”

En las respuestas dadas por los estudiantes se evidencia que realizan una evaluación del

proceso que llevan a cabo en la solución de ejercicios con cuadriláteros, reconocen si

presentan o no dificultades, realizan anotaciones de lo que no entienden y manifiestan

sentirse mejor al resolver los problemas porque entienden y recuerdan los conceptos.

8.3.3 Entrevista semiestructurada

Al finalizar la unidad didáctica se implementó una entrevista semiestructurada donde se

analizó acerca de la incidencia en la implementación de las estrategias de regulación

metacognitivas de planeación, monitoreo y evaluación en el proceso de aprendizaje de los

cuadriláteros desde los niveles del modelo Van Hiele. También la entrevista permitió

identificar la superación de los obstáculos que presentaron los estudiantes antes de la

implementación de la Unidad Didáctica.

Las respuestas de los estudiantes, se muestran en la tabla 26.

Tabla 26. Respuestas entrevista semiestructurada

Pregunta 1. Antes de las actividades realizadas en la UD, ¿empleabas alguna secuencia de

pasos para desarrollar una actividad? Sí __ No __ Justifica tu respuesta.

E.1 “No, no hacia ningunos pasos porque

no me habían explicado que eso lo debía

hacer”

E.2 “No, porque no sabía”

E.3 “No, yo solo leía el ejercicio y

empezaba a desarrollarlo”

E.4 “No, porque nunca me había enseñado

a hacer eso”

56

Pregunta 2. Después de realizar las actividades de la UD, ¿consideras importante buscar

estrategias y elaborar un plan, para la solución de una actividad?

E.1 “Si, porque me ayudaba hacer los

ejercicios, ya que haciendo los pasos,

organizando datos y resaltando información

importantes se me facilitaba todo”

E.2 “Si, porque utilizando planes o

haciendo alguna estrategia se logra un

resultado mejor”

E.3 “Si, porque ahora al leer mejor, sacar

la información y hacer el plan me queda

bien los ejercicios”

E.4 “Si, porque ayuda mucho para

desarrollar y verificar si la actividad está

bien”

Pregunta 3. Luego de las actividades realizadas en la UD, ¿qué actividades realizas para

hacerle seguimiento al plan de trabajo planteado?

E.1 “leo nuevamente el enunciado para

mirar que todo me esté quedando bien”

E.2 “verifico leyendo y revisando lo que voy

haciendo y si está mal lo corrijo de una vez”

E.3 “para hacer seguimiento al plan,

verifico constantemente el ejercicio para

estar seguro de que lo estoy haciendo”

E.4 “las actividades que hago es revisar

nuevamente el enunciado”

Pregunta 4. Luego de las actividades realizadas en la UD, ¿piensas que es necesario que

usted como estudiante siga evaluando si la estrategia fue efectiva al resolver problemas? Sí

__ No __ Justifica tu respuesta

E.1 “si, es necesario porque si la estrategia

que utilice no me funciono la corrijo para

ejercicios similares”

E.2 “si, porque al final se debe verificar la

solución para ver si sirvió la estrategia, si

funciona la sigo usando”

E.3 “Si, porque al evaluar si fue efectiva

puedo después hacer ejercicios más rápido”

E.4 “si es necesario, para que al final si

algo le quedo mal uno puedo arreglarlo

rápidamente”

57

Pregunta 5. ¿Le gustó la metodología empleada para aprender sobre los cuadriláteros?

E.1 “Si me gusto porque fue diferente, era

cosas nuevas que no habíamos hecho,

usamos el computador, fueron actividades

que me gustaron y además ahora hago los

ejercicio más tranquila porque soy más

organizada y planeo como lo voy a hacer”

E.2 “Si, porque ahora siendo que se más

sobre los cuadriláteros, los profesores nos

explicaron muy bien y las actividades

fueron bonitas, y ahora cuando son

ejercicios difíciles voy revisando para ir

corrigiendo”

E.3 “Si me agrado todo el trabajo que

hicimos para aprender sobre los

cuadriláteros, ahora cuando desarrollo

ejercicios realizo un plan para realizarlos

bien y constantemente voy revisando para

ver si voy bien”

E.4 “si me gusto la metodología, ya que fue

diferente, hicimos cosas nuevas, usamos el

programa geogebra, y otras cosas. Y ahora

leo con más atención los enunciados y voy

rectificando lo que hago”


Teniendo en cuenta los tres momentos enunciados anteriormente y las diferentes respuestas

de los estudiantes en los procesos llevados a cabo, se puede realizar la siguiente

caracterización de la forma como la regulación metacognitiva favoreció a cada uno de los

estudiantes en el aprendizaje de los cuadriláteros desde los niveles del modelo Van Hiele y

cómo fue su proceso:

Estudiante E.1: En el primer momento manifiesta dificultades en el reconocimiento,

análisis y clasificación de cuadriláteros. Inicia el uso de la regulación metacognitiva desde

el segundo momento en la aplicación la unidad didáctica, en el cual se superan las

dificultades en relación con la clasificación y análisis de cuadriláteros. En el tercer

momento es más autónomo y organizado donde se reflejan mejor sus procedimientos y

capacidad para ejecutar las tareas, logrando la superación de las dificultades, ubicándose

finalmente en el nivel 3 de razonamiento.

58

Estudiante E.2: En el primer momento manifiesta dificultades en el reconocimiento,

análisis y clasificación de cuadriláteros. Inicia el uso de la regulación metacognitiva desde

el segundo momento en la aplicación de la unidad didáctica, en el cual se observa un

progreso en relación a los niveles de razonamiento. En el tercer momento es más autónomo

y organizado donde se reflejan mejor sus procedimientos y capacidad para ejecutar las

tareas, logrando la superación las dificultades.

Estudiante E.3: En el primer momento presenta dificultades en el reconocimiento, análisis y

clasificación de cuadriláteros. Inicia el uso de la regulación metacognitiva desde el segundo

momento en la aplicación de la unidad didáctica, en el cual se superan las dificultades en

relación al análisis de propiedades de los cuadriláteros. En el tercer momento es más

organizado, detalla los pasos que realiza, reconoce errores y realiza mejor sus

procedimientos, logrando la superación de las dificultades y el progreso en los niveles de

razonamiento.

Estudiante E.4: En el primer momento presenta dificultades en el reconocimiento, análisis y

clasificación de cuadriláteros. Inicia el uso de la regulación metacognitiva desde el segundo

momento en la aplicación de la unidad didáctica, en el cual se logra superar las dificultades

en relación al reconocimiento y clasificación de los cuadriláteros. En el tercer momento es

más organizado, detalla los pasos que realiza, reconoce errores, monitorea lo que hace y

realiza mejor sus procedimientos, logrando la superación de las dificultades, ubicándose

finalmente en el nivel 3 de razonamiento.

En términos generales, cada uno de los procesos de la regulación metacognitiva

(planeación, monitoreo y evaluación) permitieron mejorar la capacidad de resolver

problemas de cuadriláteros basados en los niveles de reconocimiento, análisis y

clasificación del modelo Van Hiele. A continuación se describe la manera:

En la planeación como primer proceso que se lleva a cabo al resolver el problema, permitió

que los estudiantes diseñaran una serie de pasos a través de los cuales iban a realizar cada

59

una de las actividades del problema. En primer lugar realizaban la lectura comprensiva del

problema, después de entenderlo y saber cuál era la pregunta se presentaba la organización

de la información, seguidamente realizaban representaciones graficas que les ayudaban a

responder lo que preguntaban y posteriormente daban respuesta y justificación al problema

planteado. El hecho de tener una ruta para resolver el problema permitió a los estudiantes

ser organizados y saber con qué recursos contaba para la solución de los ejercicios.

En lo referente al monitoreo, este permitió a los estudiantes saber si lo que estaban

haciendo estaba bien, revisar las representaciones, corregir errores, leer nuevamente el

problema y replantear estrategias. También se pudo reconocer los aciertos y dificultades

durante el proceso.

En el proceso de evaluación, permitió saber si se cumplió el objetivo propuesto, identificar

algunas dificultades en el proceso llevado a cabo, además se pudo evaluar la efectividad de

los pasos realizados.

En conclusión se puede decir que los estudiantes a través de la regulación metacognitiva

fueron capaces de adaptar sus estrategias a la demandas de los problemas, aprovecharon al

máximo sus recursos cognitivos, son conscientes de lo que hacen y porqué lo hacen, ahora

son más reflexivos y organizados al planear, se muestran motivados por aprender y

comprometidos con su proceso de aprendizaje, logrando finalmente alcanzar

satisfactoriamente los niveles 1, 2 y 3 de razonamiento del modelo de Van Hiele.

12

6. CONCLUSIONES

La investigación realizada permitió construir y llegar a las siguientes conclusiones, en

relación a la aplicación de la regulación metacognitiva en el aprendizaje de los

cuadriláteros desde los niveles del modelo Van Hiele.

La aplicación de los procesos de regulación metacognitiva permitió mejorar el

aprendizaje de los cuadriláteros permitiendo reconocerlos, analizarlos y clasificarlos,

debido a que se crearon espacios que favorecieron la toma de decisiones de los

estudiantes, la comprobación y construcción de conceptos, y el desarrollo de

habilidades para la regulación de sus propios procesos de aprendizaje; permitiendo

saber por qué realizaban determinadas acciones y no limitarse a la repetición. Además

permitió a los educandos identificar los errores y aciertos para tenerlos presentes en

otros problemas.

El proceso de planeación como actividad previa a la solución de los problemas,

permitió el diseño de unas secuencias por parte de los estudiantes que incluían las

acciones a seguir, en este proceso se tuvo en cuenta los conocimientos que tenían los

estudiantes acerca de los cuadriláteros, sus dificultades y los recursos cognitivos con

que contaba para enfrentar los problemas y de esta manera realizar una serie de pasos

organizados de lo que se iba a realizar para poder resolver el problema planteado.

El monitoreo como proceso que se lleva a cabo desde que se inicia la realización de las

actividades, permitió la verificación de dichas actividades que se iban realizando, en

este caso las representaciones y rectificación de las mismas. Esto implicaba la revisión

de la estrategia empleada e identificar si se estaba llevando a cabo el plan que se diseñó.

En algunos casos el estudiante pudo transformar el plan y sus estrategias, organizando

nuevamente la información y rectificando las representaciones graficas de diferentes

maneras. También permitió al estudiante mantener una actitud reflexiva constante.

13

El proceso de evaluación como actividad que permite contrastar los resultados con lo

que se planeó al principio, permitió la valoración de los resultados de la estrategia

utilizada, como también la rectificación de algunas de las representaciones que se

llevaron a cabo en todo el proceso. Esto conllevó a corregir algunos pasos y replantear

en algunas ocasiones lo que se hizo.

En los niveles de razonamiento del modelo Van Hiele, es importante reconocer las

dificultades que los estudiantes presentan, debido a que esto permite tener una visión

sobre el estado de los educandos, algunas de estas dificultades se pudieron identificar

mediante procesos metacognitivos, en este sentido, se confirma lo que manifiesta

Tamayo et al. 2010 “la práctica de la metacognición facilita la identificación de

obstáculos epistemológicos, lingüísticos y pedagógicos en los actores del proceso de

enseñanza–aprendizaje.” (pág.119).

La implementación de esta unidad didáctica, permitió planificar de forma ordenada una

serie de contenidos y actividades en un tiempo determinado, facilitando mejorar los

procesos de enseñanza-aprendizaje y adaptar las acciones teniendo en cuenta el

contexto y nivel de los educandos, evitando de esta manera la improvisación de los

docentes. Y además, permitió que los estudiantes fueran protagonistas en la

construcción de su conocimiento, debido a la participación activa en el proceso,

logrando superar los niveles 1, 2 y 3 de razonamiento del modelo de Van Hiele.

12

7. RECOMENDACIONES

Es importante incluir la regulación metacognitiva en los procesos de aprendizaje de los

cuadriláteros según los niveles del modelo Van Hiele en el área de matemáticas,

teniendo en consideración los beneficios que esta puede ofrecer a los estudiantes para

planear, monitorear y evaluar su proceso.

Es necesario aumentar el conocimiento sobre la metacognición respecto al papel que

cumple en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las ciencias, específicamente en el

campo de la geometría; del mismo modo, crear instrumentos para la indagación de

procesos de regulación metacognitiva, en la cual los estudiantes puedan expresar,

reflexionar y discutir respecto a su propio proceso de aprendizaje.

Es fundamental implementar unidades didácticas en el campo de la geometría donde se

inicie el proceso con la indagación de los conocimientos previos de los educandos, estas

deben estar bien estructuradas y contener la metodología de trabajo, además, las

actividades deben favorecer la creatividad y se deben tener en cuenta los diferentes

ritmos de aprendizaje para adaptar los contenidos de acuerdo a los intereses y

necesidades de los estudiantes.

El docente debe estar en constante actualización, buscando estrategias y diseñando su

propio material educativo con base al entorno en que vive y rompiendo prototipos de

enseñanza que permitan que el estudiante explore, se equivoque, exprese, analice y

concluya integrando el conocimiento geométrico con su vida real.

12

8. REFERENCIAS BIBLIOGRAFIAS

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12

9. ANEXOS

Anexo 1. Formato de unidad didáctica

UNIDAD DIDÁCTICA

“Aprendizaje de los cuadriláteros desde los niveles del modelo

de Van Hiele”

Grado: Sexto

Objetivo: Mejorar el aprendizaje de los cuadriláteros mediante los niveles del modelo de

Van Hiele y la regulación metacognitiva

Objetivos de la unidad: El objetivo general de la unidad didáctica, es la comprensión del

concepto de cuadriláteros por parte de los estudiantes, teniendo en cuenta la regulación

metacognitiva (planeación, monitoreo y evaluación) según los niveles de aprendizaje del

modelo de Van Hiele (reconocimiento, análisis, de clasificación).

Objetivos de enseñanza y aprendizaje: Al desarrollar la unidad didáctica es necesario

tener unos objetivos dirigidos al ejercicio de enseñar, estos objetivos deben dirigirse a;

Identificar el concepto de cuadriláteros de acuerdo con los niveles del modelo de Van Hiele

e implementar la regulación metacognitiva en el aprendizaje de los cuadriláteros. Así

mismo, el estudiante debe reconocer o visualizar los cuadriláteros de forma individual y

global: Analizar las propiedades de los cuadriláteros mediante deducción y demostración, y

clasificar los cuadriláteros relacionando sus propiedades.

Finalmente se espera, que logre aplicar dicho concepto en sus ámbitos más usuales,

permitiendo utilizar sus propias regulaciones metacognitivas, para dar cuenta de sus

avances u obstáculos.

13

Momento Objetivo Actividades Propósito Descripción de las actividades Tiempo

1. Ubicación

Identificar los

conocimientos

previos y dificultades

que tienen los

estudiantes respecto

a los cuadriláteros, y

las estrategias

metacognitivas que

poseen.

Actividad 1:

Cuestionario los

cuadriláteros I

Identificar los

obstáculos que

presentan los

estudiantes respecto a

los cuadriláteros y

conocer que

estrategias de

regulación

metacognitiva poseen

los estudiantes.

Este instrumento contenía diez

preguntas, teniendo en cuenta

los indicadores de los niveles

del modelo de Van Hiele, las

preguntas 1, 2 y 3 eran del nivel

l de reconocimiento de

cuadriláteros, donde se

pretendía identificar la

percepción global e individual

de los cuadriláteros, uso de

propiedades y vocabulario

matemático usado por los

estudiantes.

Las preguntas 4, 5 y 6,

pertenecen al nivel 2 de análisis

de los cuadriláteros, estas tenían

como propósito identificar en

los estudiantes como describen

un cuadrilátero y sus

propiedades, como deducen y

comprueban las propiedades de

4 horas de clases

(220 minutos)

14

estos. Finalmente las preguntas

7, 8, 9 y 10, eran del nivel 3 de

clasificación de los

cuadriláteros, estas preguntas se

diseñaron con el fin de

identificar la capacidad que

tienen los estudiantes para:

relacionar propiedades, de

comprender conceptos y

familias de figuras, hacer y

comprobar demostraciones de

propiedades.

Dentro de la pregunta 10, se

realizaron unas preguntas de

regulación metacognitiva. Para

indagar acerca de los procesos

de planeación, monitoreo y

evaluación que realizan los

estudiantes.

2. Desubicación

Instruir a los

estudiantes mediante

preguntas de

Actividad 1:

Reconocimiento de

Reconocer un

cuadrilátero por su

Se realizan cinco actividades

con el fin que los estudiantes

reconozcan o visualicen los

6 horas de clases

(330 minutos)

15

regulación

metacognitvas que

permitan superar

cada nivel del

modelo de Van

Hiele, así como una

serie de actividades

para abordar la

solución de las

dificultades de los

cuadriláteros

identificados en el

primer momento.

cuadriláteros forma global.

Descubrir, comprender

y reconocer la forma

de los cuadriláteros y

la diferenciación entre

ellos.

Establecer relación

entre paralelismo y

perpendicularidad en

un cuadrilátero.

Aprendizaje de un

vocabulario

matemático básico.

Establecer una visión

global de la

clasificación de los

cuadriláteros.

cuadriláteros. Tres de estas

actividades se realizaran de

forma individual y dos de ellas

de forma grupal, una de las

actividades se llevará a cabo

mediante la herramienta

Geogebra.

Solo a tres actividades se le

realizara unas preguntas

metacognitivas, para que los

estudiantes vayan regulando su

aprendizaje.

Actividad 2:

Análisis de las

propiedades de los

Observar e identificar

las propiedades

principales de los

Se recrea una serie de

actividades que pretenden que

los estudiantes análisis las

6 horas de clases

(330 minutos)

16

cuadriláteros cuadriláteros.

Explicar o parafrasear

los conceptos y

principales

propiedades de los

cuadriláteros.

Construir conceptos a

partir de la

experimentación en

forma grupal.

Reconocer que las

propiedades de un

cuadrilátero se

mantienen aunque

cambie su posición en

el plano

propiedades de los cuadriláteros,

dos actividades se realizan en

forma grupal y las otras dos en

forma individual, cabe resaltar

que durante una actividad se

emplea la herramienta Geogebra

y se realiza una experimentación

para que puedan construir

conceptos sobre cuadriláteros.

Solo a dos actividades se le

realizará unas preguntas

metacognitivas, para que los

estudiantes vayan regulando su

aprendizaje.

Actividad 3: Establecer y definir

elementos y

Se recrea unas actividades

basadas en la clasificación

6 horas de clase

17

De clasificación de

los cuadriláteros

principales

propiedades de los

diferentes tipos de

cuadriláteros.

Caracterizar a los

cuadriláteros, según

sus lados, ángulos o

diagonales.

Establecer relaciones

de inclusión y

establecer las

principales

propiedades que

pueden caracterizar un

cuadrilátero.

Realizar

demostraciones de

manera intuitiva e

informal y formular

ejemplos y/o

contraejemplos sobre

informal de los cuadriláteros, en

estas los estudiantes deberán

evidenciar mediante

demostraciones la clasificación

de los cuadriláteros. Se realizan

dos actividades grupales y tres

individuales.

Al finalizar tres actividades se

realizarán preguntas que logren

la regulación metacognitiva.

(330 minutos)

18

las propiedades de los

cuadriláteros.

Resolver problemas

contextualizados sobre

cuadriláteros que

impliquen la

organización de datos.

3. Reenfoque

Indagar sobre la

efectividad de las

actividades

planteadas en la

unidad didáctica

respecto a los niveles

del modelo Van

Hiele, la superación

de las dificultades

relacionados a los

cuadriláteros y su

regulación

metacognitiva.

Actividad 1:

Cuestionario los

cuadriláteros II

Establecer los cambios

presentes en el

aprendizaje de los

cuadriláteros a través

los niveles del modelo

de Van Hiele y la

vinculación de

estrategias de

regulación

metacognitiva.

Se realizará la aplicación de

instrumento “cuestionario: los

cuadriláteros II” con algunas

variaciones con respecto al

primer instrumento, que

involucre situaciones asociadas

a los tres niveles del modelo de

Van Hiele, en busca de

establecer los cambios en la

evolución conceptual de los

estudiantes.

4 horas de clase

(220 minutos)

Actividad 2:

Entrevista

semiestructurada

Cuestionar sobre la

efectividad de las

actividades

Se aplica la entrevista

semiestructurada a 5 estudiantes

a quienes se les indaga respecto

4 horas de clase

(220 minutos

extraclase)

19

desarrolladas hacia la

superación de las

dificultades y el

aprendizaje de los

cuadriláteros mediante

los niveles del modelo

de Van Hiele y la

regulación

metacognitiva

a la efectividad de las

actividades enfocadas hacia el


mediante los niveles del modelo

de Van Hiele, y la regulación

metacognitiva.

20

Anexo 2. Momento de ubicación

Actividad 1. (Individual)

Propósito: Identificar las dificultades que presentan los estudiantes respecto a los cuadriláteros y

conocer que estrategias de regulación metacognitiva poseen los estudiantes.

Cuestionario los cuadriláteros I

Nombre: ___________________________________________ Grado: ________

1. En la figura que se muestra a continuación, colorea los polígonos que sean cuadriláteros.

2. Teniendo en cuenta la figuras coloreadas en el punto anterior, indique cuales son:

Cuadrados: ___________________

Rectángulos: ___________________

Rombos: ___________________

Paralelogramos: ___________________

Trapecios: ___________________

Trapezoides: ___________________

Romboides: ___________________

3. Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos A (-3,0); B (0,3); C (3,0) y D (0,-3), únelos

en forma consecutiva con una línea recta. ¿Qué tipo de cuadrilátero se forma? ¿Cuáles son

sus características?

A

B C

D

E F

G I

J L

H

M

Ñ

K

N

O

21

4. En un rectángulo ABCD, los segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ son las diagonales, ¿cuál de las siguientes

opciones son verdaderas o falsas para cualquier rectángulo?

A. Hay 4 ángulos rectos. ( )

B. Hay 4 lados. ( )

C. Las diagonales tienen la misma longitud. ( )

D. Los lados opuestos tienen la misma longitud. ( )

E. Hay 4 ángulos agudos. ( )

5. Cuál de estos pueden ser llamados rectángulos. Justifica tu respuesta

A. Todos.

B. Sólo F.

C. Sólo G.

D. Solamente E y F.

E. Solamente Q y R.

A B

C D

E F

22

Justifica tu respuesta: ______________________________________________________

________________________________________________________________________

6. Dibuja un cuadrado y un rectángulo. Luego escribe sus diferencias y semejanzas.

Diferencias

Semejanzas

De acuerdo a lo anterior, decir cuál de las siguientes afirmaciones es correcta (justificar la

respuesta):

Todo rectángulo es cuadrado _________________

Todo cuadrado es rectángulo. _________________

7. Indicar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y justificar.

a) Si un cuadrilátero es rectángulo entonces es paralelogramo. ( )

b) Si un cuadrilátero es rombo entonces es paralelogramo. ( )

c) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto entonces es rectángulo. ( )

d) Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto entonces es rectángulo. ( )

e) Si un cuadrilátero tiene dos lados consecutivos iguales entonces es rombo. ( )

f) Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales entonces es rombo. ( )

23

8. Si ABCD es un rombo, y M, N, P y Q son los puntos medios de los lados, respectivamente,

¿qué tipo de cuadrilátero es MNPQ? Justifique su respuesta

9. En el siguiente trapecio isósceles MNPQ, con MN=PQ, ubica los puntos A, B, C y D, que son los

puntos medios de los lados MN, NP, PQ y QA, respectivamente. ¿Qué figura se forma al unir en

forma consecutiva los puntos A, B, C y D? Justifica tu respuesta

10. Si en un paralelogramo RSTU. Se marca con A y B los puntos medios de los segmentos RS y

TU, respectivamente, se traza la diagonal RT y los segmentos AU, SB que puedes decir de

los segmentos que cortan la diagonal principal. Escribe simbólicamente la conclusión.

Nota: Antes de resolver el problema, responde las preguntas metacognitivas (1,2 y 3)

M

N P

Q

24

Preguntas metacognitivas, para el ítem 10

¿Entendiste el enunciado del problema? _________________________________________

¿Qué debes hallar? ____________________ ¿Cuántas veces lo leíste?_____________

¿Subrayaste la información importante?_____________ ¿Organizaste los datos? _______

Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a cabo para saber que figura se

forma. Justifica tu respuesta.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Crees que lo estás haciendo bien? Justifica la respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Te sirve los pasos o secuencia que planteaste? Justifica la respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Menciona cuáles fueron las dificultades que tuviste para resolver el problema. Justifica tu

respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Verificaste la solución?_______________________________________________________

25

¿Qué fue lo que más le llamó la atención del proceso realizado?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Crees que puedes realizar problemas similares en menos tiempo?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Considera que los pasos o secuencia que planeo funcionó bien? Sí _______No _______

¿Por qué?_______________________________________________________________

26

Anexo 3. Momento de desubicación

Propósito: Instruir a los estudiantes mediante actividades que permitan superar cada nivel del

modelo de Van Hiele, y su regulación metacognitiva, así como una serie de actividades para

abordar la solución de los obstáculos de los cuadriláteros.

Actividad 1. Reconocimiento o visualización de cuadriláteros

Propósito: Reconocer un cuadrilátero por su forma global.

I. A continuación se muestran unas figuras geométricas, encierra las figuras que sean

polígonos y coloree las que consideres que son cuadriláteros.

De acuerdo a la situación anterior, responde: ¿Qué debes hallar? ¿Cuántas veces leíste el

enunciado?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Elabora una lista de pasos a seguir para solucionar el problema.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

27


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Te sirve los pasos que planteaste? Justifica la respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Menciona ¿cuáles fueron las dificultades que tuviste para llevar a cabo su plan y cómo las

superó?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Considera que los pasos utilizados fue adecuada? SI ___ NO ____. Justifica tu respuesta.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Propósito: Descubrir, comprender y reconocer la forma de los cuadriláteros y la diferenciación

entre ellos.

II. Relaciona mediante líneas cada cuadrilátero de la columna izquierda con uno de la columna

derecha de acuerdo a las similitudes de sus formas.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

28

Teniendo en cuenta las figuras anteriores, indique cuales son:

Rectángulos:

Rombos:

Cuadrados:

Romboides:

Trapecios:

Trapezoides:

Paralelogramos:

No paralelogramos:

Propósito: Establecer relación entre paralelismo y perpendicularidad en un cuadrilátero

Actividad grupal

III. Abra el programa GeoGebra, haciendo clic en el icono de acceso directo que se

encuentra en el escritorio.

Utilizando la herramienta polígono construya 6 cuadriláteros diferentes con las siguientes características:

1. Tiene 4 ángulos rectos.

2. Tiene 2 ángulos rectos.

3. No tiene ningún ángulo recto.

4. Tiene 2 pares de lados paralelos.

5. Tiene un par de lados paralelos.

6. No tiene ningún par de lados paralelos.

Guarde sus respuestas con el nombre Actividad III_nombres de los estudiantes

De acuerdo a la actividad anterior, responde: ¿Entendiste el enunciado de la actividad? ¿Cuántas veces leíste el enunciado?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Elabora una lista de pasos a seguir para solucionar la actividad. ____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Te sirve los pasos que planteaste? Justifica la respuesta ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

29

Menciona ¿cuáles fueron las dificultades que tuviste para llevar a cabo su plan y cómo las

superó?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Propósito: Aprendizaje de un vocabulario matemático básico

IV. TENGA EN CUENTA QUE: Cuando dos segmentos o ángulos tienen la misma medida se

dice que son congruentes (≅). Si dos segmentos o rectas tienen la misma pendiente

(inclinación), se dice que son paralelos (∥). Si dos segmentos o rectas al intersecarse forman

un ángulo recto se dice que son perpendiculares (⊥).

Indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que se dice a continuación basándose en el

cuadrilátero ABCD.

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ( )

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ( )

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ( )

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ( )

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ( )

Indique del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 los lados que son paralelos o perpendiculares, y

congruentes; y los ángulos que son congruentes o suplementarios. Asigna el mismo nombre a

los ángulos congruentes.

____________ ____________ ____________ ____________

____________ ____________ ____________ ____________

A B

C D

30

Propósito: Establecer una visión global de la clasificación de los cuadriláteros

Actividad grupal

V. Recorta cada uno de los recuadros, y luego pégalos en el diagrama, teniendo en cuenta la

clasificación de los cuadriláteros.

Diagrama clasificación de los cuadriláteros

Cuadrado

Trapecio

Isósceles

Trapezoide

Simétrico

Trapezoides

No

Paralelogramos

Cuadriláteros

Rombo

Trapecio

rectangular

Trapezoide

Asimétrico

Trapecios

Paralelogramo

Rectángulo

Trapecio

Escaleno

Romboide

31


¿Cuántas veces lo leíste?_____________¿Qué debes hacer? __________________________

____________________________________________________________________

Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a cabo para realizar la actividad. Justifica tu respuesta.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Crees que lo estás haciendo bien? Justifica la respuesta ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Menciona cuáles fueron las dificultades que tuviste para resolver el problema. Justifica tu respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


¿Qué fue lo que más le llamó la atención del proceso realizado? ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Crees que puedes realizar problemas similares en menos tiempo?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Considera que los pasos o secuencia que planeo funcionó bien? Sí _______No _______ ¿Por qué?_______________________________________________________________

32

Actividad 2. Análisis de cuadriláteros

Propósito: Observar e identificar las propiedades principales de los cuadriláteros

I. Observa los siguientes cuadriláteros e identifica en la tabla la relación indicada

Rombo Trapezoide Romboide

Trapecio Cuadrado Rectángulo

Trapecio Romboide Trapezoide

Cuadrado Rectángulo Rombo

Señala con una X cuando el cuadrilátero cumpla la relación indicada.

Todos

los lados

son

Los lados

opuestos son

Las diagonales Los

opuestos

Las

diagonales

son

Se bisecan

mutuamente

Bisecan

los del

polígono Cuadrilátero ≅ ≅ ‖ ≅ ≅ ⊥

Rectángulo

Cuadrado

Rombo

Trapecio

Trapezoide

Romboide

Propósito: Explicar o parafrasear los conceptos y principales propiedades de los cuadriláteros

II. A) De acuerdo con sus conocimientos responda: Defina con sus propias palabras lo que es un cuadrilátero. ___________________________________

_________________________________________________________________________________

Defina, para usted qué es un paralelogramo y diga cuáles son sus propiedades ___________________

33

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Defina, para usted qué es un rectángulo e indique cuáles son sus propiedades ___________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Diga cuánto suman los cuatro ángulos interiores de los rectángulos ___________________________

_________________________________________________________________________________

Defina qué es un rombo y diga cuáles son sus propiedades __________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

B) Responda verdadero (V) o falso (F) para cada una de las siguientes afirmaciones

a) Todo rectángulo es rombo ( )

b) Todo paralelogramo es rectángulo ( )

c) Todo rectángulo es paralelogramo ( )

d) Todo paralelogramo es trapecio ( )

e) Existen trapecios que son rectángulos

f) Ningún rombo es paralelogramo ( )

g) Algunos rombos son rectángulos ( )

h) Todos los cuadriláteros son

rectángulos ( )

i) Todos los rombos son trapecios ( )

j) Todos los rectángulos son trapecios ( )

k) Todo rombo es paralelogramo ( )

C) Observe las siguientes figuras y señale las que sean trapecios

¿Qué tuvo en cuenta para

seleccionarla o seleccionarlas?

34

Propósito: Construir conceptos a partir de la experimentación en forma grupal

III. Se forman grupos de cuatro estudiantes y se les entrega cuatro cuadriláteros de papel y de

diferentes tamaños a cada estudiante, dentro de estos tenemos: un rectángulo, un cuadrado,

un rombo y un romboide.

Instrucciones:

Coloca un número a cada vértice

Dobla el papel de tal manera que se marquen las diagonales.

Con la ayuda de una regla medir la longitud de las diagonales de los cuadriláteros y coloca a cada una la medida.

Con la ayudad de un transportador, medir los ángulos que se forman en la intersección de

las diagonales

De acuerdo a lo encontrado en el proceso anterior, y lo hallado por tus compañeros de grupo,

contesta las siguientes preguntas. (Justifica tus respuestas)

¿Las diagonales de los cuadriláteros los dividen en partes iguales? ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

¿Las medidas de las diagonales de un rectángulo son iguales? ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

¿Las medidas de las diagonales de un cuadrado son iguales? ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

¿Las medidas de las diagonales de un rombo son iguales?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

¿Las medidas de las diagonales de un romboide son iguales? ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

De acuerdo a la actividad anterior, responde: ¿Entendieron el enunciado de la actividad? ¿Cuántas veces leyeron el enunciado?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

35

Elaboren una lista de pasos a seguir para solucionar la actividad.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

¿Crees que durante el desarrollo de la actividad lo hicieron bien? Justifica la respuesta ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Les sirvió los pasos que plantearon? Justifica la respuesta ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Menciona ¿cuáles fueron las dificultades tuvieron para llevar a cabo su plan y cómo lo

superaron?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Propósito: Reconocer que las propiedades de un cuadrilátero se mantienen aunque cambie su

posición en el plano. Actividad Grupal

IV. Abra el programa GeoGebra, haciendo clic en el icono de acceso directo que se

encuentra en el escritorio.

a) Utilizando la herramienta polígono regular construya un cuadrado y determine la medida

de sus lados, ángulos y diagonales.

b) Utilizando la herramienta rotar objeto entorno a un punto , rotar el cuadrado

construido en el ítem a) en torno a uno de sus vértices considerando un ángulo de 30°. Luego

verifique si las medidas de los lados, ángulos y diagonales de la figura rotada varían.

c) Construya un rectángulo y repita lo que se indica en el ítem b)

Responde:

Luego de realizar las rotaciones de las figuras, ¿las medidas de los lados, ángulos y diagonales cambiaron? Si____ No_____. ¿Qué puedes concluir con este ejercicio?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________


¿Cuántas veces lo leíste?_____________¿Qué debes hacer? __________________________

_____________________________________________________________________

36

Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a cabo para realizar la

actividad. Justifica tu respuesta.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

¿Te sirve los pasos o secuencia que planteaste? Justifica la respuesta ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



______________________________________________________________________

¿Crees que puedes realizar problemas similares en menos tiempo? ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


¿Por qué?_______________________________________________________________

37

Actividad 3. De clasificación de cuadriláteros

Propósito: Establecer y definir elementos y principales propiedades de los diferentes tipos de

cuadriláteros.

I. Complete la siguiente tabla marcando con una equis (x) según corresponda.

Rectángulo

Rombo Cuadrado Romboide Trapecio

Cuadrilátero con dos pares de

lados opuestos paralelos

Cuadrilátero con exactamente un

par de lados opuestos paralelos

Cuadrilátero con diagonales que

son perpendiculares

Cuadrilátero con diagonales

congruentes

Cuadrilátero con diagonales que

se bisecan


lados opuestos congruentes

Cuadrilátero con exactamente un

par de lados opuestos

congruentes


ángulos opuestos congruentes.

Propósito: Caracterizar a los cuadriláteros, según sus lados, ángulos o diagonales. Actividad

Grupal

II. Considerando las propiedades señaladas en los recuadros, escribe que propiedades

cumple:

Sin ángulos internos

congruentes

Diagonales

perpendiculares

Todos sus ángulos

congruentes

La suma de sus

ángulos internos es

360°

Ángulos opuestos

congruentes

Lados opuestos

congruentes

Todos sus lados

congruentes

Diagonales

congruentes

Sus diagonales son

bisectrices

Las diagonales se

intersecan en su punto

medio

Solo dos ángulos

internos son

congruentes

Todos sus lados

desiguales

38

a) El rectángulo

b) El romboide

c) El rombo

d) El cuadrado

e) El trapecio

39

f) El trapecio simétrico

Propósito: Establecer relaciones de inclusión de las principales propiedades que pueden

caracterizar un cuadrilátero.

III. Comprueba si los enunciados sobre un cuadrilátero ABCD son verdaderos y justifique sus

respuestas.

a) Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ‖ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ entonces ABCD es un trapecio.

b) Si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , entonces ABCD es un rombo

40

c) Si AB = CD y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ‖ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , entonces ABCD es un paralelogramo

De acuerdo a la situación anterior, responde: ¿Qué debes hacer? ¿Cuántas veces leíste el enunciado?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Elabora una lista de pasos a seguir para solucionar el problema. ____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________


______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Menciona ¿cuáles fueron las dificultades que tuviste para llevar a cabo su plan y cómo las superó?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

41

Propósito: Realizar demostraciones de manera intuitiva e informal y formular ejemplos y/o

contraejemplos sobre las propiedades de los cuadriláteros.

Actividad en parejas

IV. Comprobar las siguientes afirmaciones. Si es verdadera, presente una prueba y si es falsa,

muestre un contraejemplo.

a) Las bisectrices de dos ángulos consecutivos, de un paralelogramo, son perpendiculares.

b) Todo cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares, es un rombo

De acuerdo a la situación anterior, responde: ¿Qué debes hacer? ¿Cuántas veces leíste el enunciado?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Elabora una lista de pasos a seguir para solucionar el problema. ____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________


______________________________________________________________________

42


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Menciona ¿cuáles fueron las dificultades que tuviste para llevar a cabo su plan y cómo las superó?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Propósito: Resolver problemas sobre cuadriláteros que impliquen la organización de datos.

V. Dado el rombo ABCD, se construyen exteriormente los rombos ABEF, BCGH, CDIJ y ADKL.

Demostrar que la figura que se forma al unir los centros de estos rombos es un rectángulo.

Asimismo demostrar que el área de este rectángulo es el doble del área de rombo ABCD.


¿Cuántas veces lo leíste?_________¿Qué debes demostrar? ___________________________

_______________________________________________________


Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a cabo para realizar la demostración. Justifica tu respuesta.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Qué estrategia puede usar para resolver la situación? (Hacer un dibujo, un modelo, etc.).

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

43

Realice la representación gráfica


______________________________________________________________________


______________________________________________________________________


respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



______________________________________________________________________


______________________________________________________________________


¿Por qué?_______________________________________________________________

44

Anexo 4. Momento de Reenfoque

Actividad 1. (Individual)

Propósito: Indagar sobre la efectividad de las actividades planteadas en la unidad didáctica

respecto a los niveles del modelo Van Hiele, la superación de los obstáculos relacionados a los

cuadriláteros y su regulación metacognitiva

Cuestionario los cuadriláteros II

Nombre: ___________________________________________ Grado: ________

1. En la figura que se muestra a continuación, colorea los polígonos que sean cuadriláteros.

2. Teniendo en cuenta la figuras coloreadas en el punto anterior, indique cuales son:

Cuadrados: ___________________

Rectángulos: ___________________

Rombos: ___________________

Paralelogramos: ___________________

Trapecios: ___________________

Trapezoides: ___________________

Romboides: ___________________

No paralelogramos: _____________

Cuadriláteros: _________________

No cuadriláteros: ________________

3. Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos A (-5,0); B (0,5); C (5,0) y D (0,-5), únelos

en forma consecutiva con una línea recta.

A

B C

D

E

F

G I

J L

H

M

Ñ

K

N

O

45

¿Qué tipo de cuadrilátero se forma? __________________

Define el cuadrilátero formado: ___________________________________________________

_____________________________________________________________________________

¿Cuáles son sus características?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

4. En un rectángulo ABCD, los segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ son las diagonales, ¿cuál de las siguientes opciones son verdaderas o falsas para cualquier rectángulo?

A. Hay 4 ángulos rectos. ( )

B. Hay 4 lados. ( )

C. Las diagonales tienen la misma longitud. ( )

D. Los lados opuestos tienen la misma longitud. ( )

E. Hay 4 ángulos agudos. ( )

F. Las diagonales son perpendiculares ( )

G. La suma de sus ángulos internos es 260° ( )

H. Sus diagonales son bisectrices ( )

I. Solo dos ángulos internos son congruentes ( )

A B

C D

46

5. Cuál de estos pueden ser llamados rectángulos. Justifica tu respuesta

A. Todos.

B. Sólo F.

C. Sólo G.

D. Solamente E y F.

E. Solamente Q y R.

Justifica tu respuesta: ______________________________________________________

________________________________________________________________________

6. Dibuja un cuadrado y un rectángulo. Luego escribe sus diferencias y semejanzas.

Diferencias

Semejanzas

De acuerdo a lo anterior, decir cuál de las siguientes afirmaciones es correcta (justificar la

respuesta):

Todo rectángulo es cuadrado _________________

Todo cuadrado es rectángulo. _________________

7. Indicar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y justificar.

a) Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto entonces es rectángulo. ( )

b) Si un cuadrilátero tiene dos lados consecutivos iguales entonces es rombo. ( )

c) Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales entonces es rombo. ( ) d) Si un cuadrilátero es rectángulo entonces es paralelogramo. ( ) e) Si un cuadrilátero es rombo entonces es paralelogramo. ( )

f) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto entonces es rectángulo. ( )

E F

47

8. Si ABCD es un rombo, y M, N, P y Q son los puntos medios de los lados, respectivamente,

¿qué tipo de cuadrilátero es MNPQ? _____________________________________

Defina con sus palabras el cuadrilátero formado: ____________________________________

___________________________________________________________________________

Enuncia las propiedades del cuadrilátero formado: __________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

9. Dibuja el paralelogramo RSTU. Marca con A y B los puntos medios de los segmentos RS y

TU, respectivamente, traza la diagonal RT y los segmentos AU, SB que puedes decir de los

segmentos que cortan la diagonal principal. Escribe simbólicamente la conclusión.

Preguntas metacognitivas, para el ítem 9


¿Qué debes hallar? ____________________ ¿Cuántas veces lo leíste?_____________


48

Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a cabo para saber que figura se

forma. Justifica tu respuesta.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


______________________________________________________________________


______________________________________________________________________


respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


¿Por qué?_______________________________________________________________

49

10. En el siguiente trapecio isósceles MNPQ, con MN=PQ, ubica los puntos A, B, C y D, que son los

puntos medios de los lados MN, NP, PQ y QA, respectivamente. Une en forma consecutiva los

puntos M, N, P y Q

Responde

¿Entendiste el enunciado del problema? _________________________________________ ¿Qué debes hallar? ____________________ ¿Cuántas veces lo leíste?_____________


Describe detalladamente, los pasos o la secuencia que llevarás a cabo para saber que figura se forma. Justifica tu respuesta.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Representación grafica

¿Qué tipo cuadrilátero se forma?:_______________________

Defínelo: ______________________________________________________________

______________________________________________________________________

Escribe sus propiedades: __________________________________________________

______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

M

N P

Q

50


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Menciona cuáles fueron las dificultades que tuviste para resolver el problema. Justifica tu respuesta

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


¿Qué fue lo que más le llamó la atención del proceso realizado?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Considera que los pasos o secuencia que planeo funcionó bien? Sí _______No _______ ¿Por qué?_______________________________________________________________

51

Anexo 5. Entrevista semiestructurada

Entrevista semiestructurada

Propósito: Indagar sobre la efectividad de las actividades planteadas en la unidad didáctica (UD)

respecto a los niveles del modelo Van Hiele y la regulación metacognitiva

1. Antes de las actividades realizadas en la UD, ¿empleabas alguna secuencia de pasos para

desarrollar una actividad? Sí __ No __ Justifica tu respuesta.

2. Después de realizar las actividades de la UD, ¿consideras importante buscar estrategias y

elaborar un plan, para la solución de una actividad?

3. Luego de las actividades realizadas en la UD, ¿qué actividades realizas para hacerle

seguimiento al plan de trabajo planteado?

4. Luego de las actividades realizadas en la UD, ¿piensas que es necesario que usted como

estudiante siga evaluando si la estrategia fue efectiva al resolver problemas? Sí __ No __

Justifica tu respuesta.

5. ¿Le gustó la metodología empleada para aprender sobre los cuadriláteros?

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