REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO INGRESO EXP S 11 1 INGRESO = 1 + 2 S +...

REGRESIÓN MULTIPLE CON DOS VARIABLES EXPLICATIVAS: EJEMPLO

INGRESO

EXP

S

1

1

INGRESO = 1 + 2S + 3EXP + u

Esta presentación proporciona una interpretación geométrica de un modelo de regresión multiple con dos variables explicativas.

INGRESO

EXP

S

1

2


Especificamente, pondremos atención en una función del ingreso en la que el ingreso por hora, INGRESO, depende de los años de educación (el mayor grado alcanzado), S, y los años de experiencia laboral, EXP.


INGRESO

EXP

S

1

3


El modelo tiene tres dimensiones, cada una correspondiente a INGRESO, S, y EXP. El punto inicial para averiguar la determinación del INGRESO es el intercepto, 1.


INGRESO

EXP

S

1

4

Literalmente, el intercepto otorga un ingreso a aquellos entrevistados que no tienen educación, ni experiencia laboral. Sin embargo, no hubo entrevistados con menos de 6 años de educación. Por lo que una intepretación literal de 1 sería incorrecta.



5

INGRESO

EXP

El siguiente término del lado derecho de la ecuación proporciona el efecto de la variación en S. Un incremento de un año en S ocasiona un incremento de 2 dólares en el INGRESO, manteniendo EXP constante.

S

1

efecto puro de S 1 + 2S



Efecto puro de EXP

6

S

1

1 + 3EXP

INGRESO

EXP


De la misma manera, el tercer término proporciona el efecto de la variación en EXP. Un año de incremento en EXP produce un aumento de 3 dólares en el INGRESO, manteniendo S constante.


pure EXP effect

pure S effect

7

S

1

1 + 3EXP

1 + 2S + 3EXP

INGRESO

EXP

1 + 2S

Efecto combinado de S y EXP


1 + 2S

Diferentes combinaciones de S y EXP producen un incremento en el valor de INGRESO, el cual se describe en el plano que se muestra en el diagrama, definido por la ecuación INGRESO = 1 + 2S + 3EXP. Este es el componente no-estocástico (no aleatorio) del modelo.


pure EXP effect

pure S effect

8

S

1

1 + 3EXP

1 + 2S + 3EXP

1 + 2S + 3EXP + u

INGRESO

EXP

1 + 2S


u


1 + 2S

El elemento final del modelo es el término de error, u. Este término causa que el valor real de INGRESO se desvíe del plano. En esta observación, u tiene un valor positivo.


pure EXP effect

pure S effect

9

S

1

1 + 3EXP

1 + 2S + 3EXP

1 + 2S + 3EXP + u

INGRESO

EXP

1 + 2S


u


1 + 2S

Una muestra consiste en un número de observaciones generadas de esta manera. Observe que la interpretación del modelo no depende de si S y EXP están correlacionadas o no.

pure EXP effect

pure S effect

10

S

1

1 + 3EXP

1 + 2S + 3EXP

1 + 2S + 3EXP + u

INGRESO

EXP

1 + 2S

efecto combinado de S y EXP

u

No obstante, sí asumimos que los efectos S y EXP en el INGRESO son aditivos. El impacto de una diferencia entre S e INGRESO no es afectada por el valor de EXP, o vice versa.


1 + 2S

iiii uXXY 33221

iii XbXbbY 33221ˆ

Los coeficientes de regresión se derivan utlizando el principio de mínimos cuadrados empleado en el análisis de regresión simple. El valor estimado de Y en la observación i depende de nuestra elección de b1, b2, y b3.

11


iiii uXXY 33221

iii XbXbbY 33221ˆ

iiiiii XbXbbYYYe 33221ˆ

El residual ei en la observación i es la diferencia entre los valores reales y los valores estimados de Y.

12


233221

2 )( iiii XbXbbYeRSS

Definimos RSS, la suma de los cuadrados de los residuales, y elegimos b1, b2, y b3 para minimizarlo.

13


233221

2 )( iiii XbXbbYeRSS

)2222

22(

323233122133

22123

23

22

22

21

2

iiiiii

iiiiii

XXbbXbbXbbYXb

YXbYbXbXbbY

iii

iiiii

iiii

XXbbXbb

XbbYXbYXb

YbXbXbnbY

3232331

2213322

123

23

22

22

21

2

22

222

2

01

bRSS

0

2

bRSS

0

3

bRSS

Primero expandimos la RSS como se muestra y después utilizamos las condiciones de primer orden para minimizarlo.

14


33221 XbXbYb

Como resultado, obtenemos tres ecuaciones con tres incógnita. Resolviendo para b1, b2, y b3, obtenemos la expresión que se muestra arriba. (La expresión para b3 es la misma que para b2, con los subíndices 2 y 3 intercambiados por todos lados)

15

23322 XXYYXX iii

23322

233

222

3322332

XXXXXXXX

XXXXYYXXb

iiii

iiii


33221 XbXbYb

16

23322 XXYYXX iii

23322

233

222

3322332

XXXXXXXX

XXXXYYXXb

iiii

iiii

La expresión para b1 es una extensión bastante directa de la expresión utilizada en el análisis de regresión simple.


33221 XbXbYb

17

23322 XXYYXX iii

23322

233

222

3322332

XXXXXXXX

XXXXYYXXb

iiii

iiii

Sin embargo, la expresión de los coefiecientes de la pendiente son considerablemente más complejos que los coeficientes de la pendiente en el análisis de regresión simple.


33221 XbXbYb

18

23322 XXYYXX iii

23322

233

222

3322332

XXXXXXXX

XXXXYYXXb

iiii

iiii

Para el caso general, cuando hay múltiples variables explicativas, el álgebra ordinaria es inadecuada. Es necesario usar algebra matricial.


. reg EARNINGS S EXP

Source | SS df MS Number of obs = 540-------------+------------------------------ F( 2, 537) = 67.54 Model | 22513.6473 2 11256.8237 Prob > F = 0.0000 Residual | 89496.5838 537 166.660305 R-squared = 0.2010-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1980 Total | 112010.231 539 207.811189 Root MSE = 12.91

------------------------------------------------------------------------------ EARNINGS | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+---------------------------------------------------------------- S | 2.678125 .2336497 11.46 0.000 2.219146 3.137105 EXP | .5624326 .1285136 4.38 0.000 .3099816 .8148837 _cons | -26.48501 4.27251 -6.20 0.000 -34.87789 -18.09213------------------------------------------------------------------------------

Este es el resultado de una regresión de la función del ingreso utilizando la base de datos 21.

19

EXPSINGSNEAR 56.068.249.26ˆ





20


La tabla indica que el ingreso aumenta $2.68 por cada año extra de educación y $0.56 por cada año extra de experiencia laboral.





21


Literalmente, el intercepto indica que un individuo que no tenga educación o experiencia laboral tendrá un ingreso por hora de –$26.49.





22


Obviamente, esto es imposible. El valor mínimo de S en la muestra era de 6. Obtuvimos una estimación que no tiene sentido debido a una inferencia que va más allá del rango de datos.


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