REGRESION Modoficado
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MATERIA: ESTADISTICA ECONOMICA II
DOCENTE:ING. MAURICO PERLA
ALUMNOS:JERSON EDENILSON CARBAJAL PEÑAJOSE MANUEL MACHADO CARDENASELMER FABRICIO RODRIGUEZ ESCOBAR
REGRESION
2ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
INTRODUCCION
El propósito de este trabajo es proporcionar los conceptos y metodologías básicas para
extraer de grandes cantidades de datos las características principales de una relación que
no es evidente, con este trabajo se pretenden analizar las maneras de regresión para
ajustar algún tipo de ecuación a un conjunto de datos dados, con el propósito de obtener
una ecuación empírica de predicción razonablemente y que proporciones un modelo
teórico para analizar los datos.
Teniendo en cuenta que no se tiene problema alguno en las designaciones comunes de la
variable dependiente e independiente (X y Y), se preferiría denominarlas como variables
de respuesta y de predicción, ya que en la regresión solo puede asociarse un valor Y con
una predicción X; no es posible establecer una relación causa-efecto entre la Y y las X,
por ello algunos ejemplos proporcionan una idea del porque obtener una relación causa-
efecto esta mas allá del alcanze del análisis de la regresión, por ejemplo:
De manera obvia existe una relación entre la altura y el peso de los seres humanos, pero
implica esta relación ¿que pueda cambiar la altura de una persona si logra cambiar su
peso? En otro caso se tiene la relación entre la cantidad de gas bruto que se consume
en cierta área de alguna ciudad y la temperatura atmosférica promedio, pero significa esto
¿qué es posible aumentar la temperatura mediante la reducción del consumo en el gas?
La esencia de estos ejemplos anteriores esta en el hecho de el análisis de regresión y sus
tipos, que solo descubre una relación entre las variables de respuesta y las variables de
predicción, en lugar de detectar la relación causa-efecto, con lo cual en este trabajo se
pretende antes que nada poder hacer capaz de manejar de manera básica los términos
de la regresión y sus usos en el ámbito estadístico descriptivo.
3ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Comprender el análisis de la Regresión en el ámbito estadístico-descriptivo, de
manera tal que como estudiantes seamos capaces de realizar un buen uso del
mismo, así como también identificar los tipos de Regresión que existen, y la
manera de aplicar cada uno de ellos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Comprender el análisis de la Regresión en el ámbito estadístico-descriptivo.
Identificar los tipos de Regresión existentes.
Saber hacer uso del método de regresión y los tipos que hay de manera
básica.
4ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Regresión
La regresión estadística o regresión a la media es la tendencia de una medición
extrema a presentarse más cercana a la media en una segunda medición. La
regresión se utiliza para predecir una medida basándonos en el conocimiento de
otra. El término regresión fue introducido por Francis Galton en su libro Natural
inheritance (1889), partiendo de los análisis estadísticos de Karl Pearson. Su
trabajo se centró en la descripción de los rasgos físicos de los descendientes a
partir de los de sus padres. Estudiando la altura de padres e hijos llegó a la
conclusión de que los padres muy altos tenían una tendencia a tener hijos que
heredaban parte de esta altura, pero los datos revelaban también una tendencia a
regresar a la media.
Los tipos de regresión más comunes entre dos variables son la regresión: lineal,
logarítmica, exponencial, cuadrática y cúbica. Cuando hay más de una variable
independiente “x”, la regresión más utilizada en la regresión múltiple. A
continuación se expresan matemáticamente los diferentes modelos.
REGRESIÓN ECUACIÓN
Lineal y = b0 + b1 x
Logarítmica y = b0 + b1 Ln (x)
Exponencial y = b0 e (b1
x)
Cuadrática y = b0+ b1 x +b2 x2
Cúbica y = b0+ b1 x +b2 x2 +b3 x3
Lineal Múltiple y = b0+ b1 x1 +b2 x2…+bn xn
5ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Regresión Lineal
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que
modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables
independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado
como:
Donde β0 es la intersección o término "constante", las son los
parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de
parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal
puede ser contrastada con la regresión no lineal.
La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los
mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805, y por Gauss en
1809. El término "mínimos cuadrados" proviene de la descripción dada por
Legendre "moindres carrés". Sin embargo Gauss aseguró que conocía dicho
método desde 1795.
Tanto Legendre como Gauss aplicaron el método para determinar, a partir de
observaciones astronómicas, las órbitas de cuerpos alrededor del sol. En 1821,
Gauss publicó un trabajo en dónde desarrollaba de manera más profunda el
método de los mínimos cuadrados, y en dónde se incluía una versión del teorema
de Gauss-Márkov.
Ecuación de Regresión Lineal
Es el tipo de regresión más utilizada, es una ecuación que define la relación lineal
entre dos variables.
Ecuación de regresión lineal Y= b0 + b1 x
6ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Esta ecuación se calcula según el principio de Mínimos Cuadrados. La cual es la
técnica empleada para obtener la ecuación de regresión, minimizando la suma de
los cuadrados de las distancias verticales entre los valores verdaderos de "Y" y los
valores pronosticados.
La ecuación que minimizar la desviaciones de los valores de “Y” respecto a la
ecuación de la recta, cuando “b0= 0”, es:
Por lo tanto, la Expresión del coeficiente de regresión, “b1”, queda así:
Como podemos escribir:
Y=(∑ XY−∑ X∑Yn
∑ X2−(∑ X )2
n)X
Y=b1X
b1=∑ XY−
∑ X∑Y
n
∑ X 2−(∑ X )2
n
(Y−Y )=b1 (X−X )
7ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Que puede replantearse como:
De tal manera que la ordenada al origen, cuando “X” vale 0, “b0”, queda definida
de la siguiente manera:
Y=( Y−b1X )+b1X
b0=Y−b1X
8ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Ejemplo de Regresión Lineal.
Se tienen las notas de examen final de diez alumnos de las asignaturas de
matemáticas y español
Matemáticas 2 3 5 5 6 6 7 7 8 9
Español 2 2 5 5 6 7 5 8 7 10
Se supone que los alumnos con mejores notas en matemáticas, variable
independiente “X”, tienen las mejores notas en español, variable dependiente “Y”.
Esta pregunta se puede responder con un análisis de regresión correlación.
Lo primero que se hace es construir un gráfico de dispersión de punto como el que
se muestra a continuación
ma te má ti c a s
1086420
es
pa
ño
l
12
10
8
6
4
2
0
Gráfico de dispersión de puntos de las notas de las asignaturas de matemáticas y español
9ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Datos generados con una calculadora de mano:
x=5 .8 , y=5 .7 ,∑ x=58 ,∑ x2=378 ,∑ y=57 ,∑ y2=381 ,∑ xy=375
Luego se calcula el coeficiente de correlación “r”.
r=√ (375−(58 ) (57 )10)
2
(378−58210)(381−572
10)=0 .919
Este valor de “r” de 0.919 nos dice que hay una alta correlación entre las notas de
matemáticas y español.
Para hacer la recta de regresión debemos calcular:
b1=375−
(58 )(57 )10
378−582
10
=1 .0673
b0=5 .7−(1 .0673 )(5 .8 )=−0.4904
La recta de regresión esta queda determinada de la siguiente manera:
“Y = -0.4904 + 1.0673 X “.
10ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
El gráfico de regresión es el siguiente:
Gráfico de Regresión. Se observa la recta de regresión y los datos
observados en forma de línea discontinua.
11ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Regresión Cuadrática
La regresión cuadrática es el proceso por el cual encontramos los parámetros de
una parábola que mejor se ajusten a una serie de datos que poseemos, ya sean
mediciones hechas o de otro tipo. Bueno, pero ¿Por qué habríamos de querer
ajustar nuestros datos precisamente a una parábola y no a otra función?
Una función cuadrática o de segundo grado se puede representar de manera
genérica como:
Entonces lo que nos interesa es encontrar los valores de a, b y c que hacen que el
valor de y calculado sea lo más cercano posible al medido.
A menudo en una investigación el objetivo es explicar el comportamiento de una
variable en términos de más de una variable, por ejemplo sea la variable y , cuyo
comportamiento explicaremos en términos de las variables
x1 , x2 ,. .. . , x k
Ahora estudiaremos la situación donde el comportamiento de la variable y
(llamada dependiente o respuesta)
12ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Se explicará mediante una relación lineal en función de las variables
x1 , x2 ,. .. . , x k (llamadas independientes o también explicativas). La variable
respuesta es de tipo cuantitativa y las variables explicativas deben ser
cuantitativas y/o categóricas.
Modelo
Sea y una variable respuesta y x1 , x2 ,. .. . , x k variables independientes;
deseamos describir la relación que hay entre la variable respuesta y las variables
explicativas, si entre ellas hay una relación lineal se espera que:
Y i=β0+β1X i1+β2X i
2+ .. .. . ..+βk X i
k
Y i Es la variable respuesta cuantitativa para el i-ésimo objeto, este es un valor
estimado.
βk , son los parámetros poblacionales (valores constantes fijos) llamados
coeficientes. Siendo “k” el número de de variables independientes.
Se espera que la variable dependiente varíe linealmente con las variables
independientes.
13ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Ejemplo de Regresión Cuadrática.
En determinado proceso se realizaron una serie de 24 mediciones, que luego al
graficarse se determinó que es de naturaleza cuadrática. Se desea encontrar los
parámetros del polinomio de segundo grado, que mejor se ajusta a esa serie de
datos, y cuál es el valor de la variable dependiente, cuando el valor de la variable
independiente es de 20.
La tabla con los datos medidos es la siguiente:
X Y
0 10,08
0,5 12,03
1 11,38
1,5 18,81
2 20,53
2,5 28,50
3 31,38
3,5 38,40
4 48,39
4,5 60,60
5 66,66
5,5 82,61
6 91,37
6,5 105,44
7 122,537,5 137,77
8 152,74
8,5 172,65
9 188,84
9,5 207,77
10 230,94
10,5 251,35
11 274,07
11,5 295,95
Ahora, teniendo en cuenta la matriz que dedujimos anteriormente, sabemos que tenemos
que encontrar los valores de la suma de x, la suma de x2, de x3, x4, de Yi, xYi, x2*Yi y
n=24.
14ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
X Y X^2 X^3 X^4 Xyi X^2Yi
0 10,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,5 12,03 0,25 0,13 0,06 6,01 3,01
1 11,38 1,00 1,00 1,00 11,38 11,38
1,5 18,81 2,25 3,38 5,06 28,21 42,31
2 20,53 4,00 8,00 16,00 41,06 82,13
2,5 28,50 6,25 15,63 39,06 71,24 178,11
3 31,38 9,00 27,00 81,00 94,14 282,41
3,5 38,40 12,25 42,88 150,06 134,39 470,36
4 48,39 16,00 64,00 256,00 193,56 774,26
4,5 60,60 20,25 91,13 410,06 272,68 1227,08
5 66,66 25,00 125,00 625,00 333,31 1666,55
5,5 82,61 30,25 166,38 915,06 454,37 2499,02
6 91,37 36,00 216,00 1296,00 548,23 3289,38
6,5 105,44 42,25 274,63 1785,06 685,39 4455,05
7 122,53 49,00 343,00 2401,00 857,74 6004,20
7,5 137,77 56,25 421,88 3164,06 1033,24 7749,32
8 152,74 64,00 512,00 4096,00 1221,90 9775,23
8,5 172,65 72,25 614,13 5220,06 1467,54 12474,08
9 188,84 81,00 729,00 6561,00 1699,55 15295,92
9,5 207,77 90,25 857,38 8145,06 1973,80 18751,13
10 230,94 100,00 1000,00 10000,00 2309,40 23093,97
10,5 251,35 110,25 1157,63 12155,06 2639,18 27711,38
11 274,07 121,00 1331,00 14641,00 3014,81 33162,86
11,5 295,95 132,25 1520,88 17490,06 3403,37 39138,76
Total 138 266,078,166 1081 9522 89452,75 22494,51 208137,88
Reemplacemos los valores en la matriz... Aquí tenemos la matriz.
15ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
24 138 1081 2660,8
138 1081 9522 22495
1081 9522 89453 208138
1 5,75 45,04 110,86
0 287,5 3306,25 7195,4
0 3306,25 40762,95 88291,13
1 0 -21,08 -33,04
0 1 11,5 25,02
0 0 2741,08 5544,03
1 0 0 9,60
0 1 0 1,76
0 0 1 2,02
Por lo tanto: a=9.6 b=1.76 c=2.02
La parábola de mejor ajuste es entonces:
16ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
Regresión exponencial
Será aquella en la que la función de ajuste será una función exponencial del tipo
y = a.bx
La regresión exponencial aunque no es lineal es linealizable tomando logaritmos
ya que haciendo el cambio de variable v = log y tendremos que la función anterior
nos generaría:
v = log y = log( a.bx) = log a + x log b
la solución de nuestro problema vendría de resolver la regresión lineal entre v ý x,
y una vez obtenida supuesta ésta: v* = A + B x ; obviamente la solución final será:
a = antilog A y b = antilog B.
17ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
CONCLUSIONES
Con este trabajo se concluye que:
El método de regresión es de suma importancia para el manejo de datos
estadísticos-descriptivos, en la manera en que sean los datos agrupados e
identificados ordenadamente.
El análisis de regresión no es capaz de identificar la relación entre dos
fenómenos de causa-efecto, aunque se a capaz de identificar las variables
de manera individual y proporcional entre los fenómenos en estudio.
El uso de la Regresión en la economía es de amplio uso, debido a la
manera ordenada de manejar los datos e identificar los datos.
18ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
RECOMENDACIONES
Con este trabajo se recomienda que:
El manejo de los datos de un fenómeno en estudio cualquiera sea dado por
el método de Regresión, debido a la manera bien ordenada y la agrupación
efectiva de datos que este proporciona.
El análisis de regresión es una herramienta efectiva y precisa por lo cual se
recomienda su estudio para realizar un buen manejo de los datos de un
fenómeno dado, ya que es capaz de identificar claramente las variables.
Es necesario el uso de la Regresión para satisfacer las necesidades de un
problema económico que necesite manejar e identificar las variables de
predicción de una manera efectiva.
19ESTADISTICA ECONOMICA 2 /// REGRESION
BIBLIOGRAFIA
Páginas Web
http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal
http://www.arquimedex.com/index.php?accion=1&id=83
http://www.monografias.com/trabajos14/estadistica/estadistica.shtml?
monosearch
http://www.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/18/alumno/cap2.html
Libros
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA aplicaciones y métodos.
Autor: George C. Canavos
ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y LA ECONOMIA
Autor: Allen L. Webster