Regresión lineal aplicada en fabricaciónDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

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La regresión lineal aplicada en fabricación es una técnica estadística para modelar e investigar la relación entre dos o más variables. Este método es aplicable en muchas situaciones en las que se estudia la relación entre dos o más variables o predecir un comportamiento, algunas incluso sin relación con la tecnología. En caso de que no se pueda aplicar un modelo de regresión a un estudio, se dice que no hay correlación entre las variables estudiadas.

Índice

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1 Marco teórico o 1.1 Regresión lineal simple o 1.2 Regresión múltiple (varias variables)

2 Aplicaciones o 2.1 Química o 2.2 Mecánica o 2.3 Electricidad o 2.4 Sensores o 2.5 Física o 2.6 Fabricación o 2.7 Diseño de experimentos o 2.8 Construcción

3 Desarrollo de algunos ejemplos de aplicación de la regresión lineal o 3.1 Aplicación de regresión lineal simple en el proceso de pigmentación

de una empresa del sector de la automoción.o 3.2 Aplicación de regresión lineal múltiple en el análisis químico

4 Véase también 5 Referencias 6 Bibliografía

[editar] Marco teórico

El modelo de regresión lineal será aplicado en aquellos casos en los que la variable independiente Y sea continua. Existen varios tipos de regresión, por ejemplo:

[editar] Regresión lineal simple

El modelo de regresión lineal simple considera una única variable independiente o explicativa, x, y una variable dependiente o respuesta, Y, asumiendo que la relación entre ambas es lineal.

La ecuación que modelizará el comportamiento existente entre ambas variables es la siguiente, siendo β1 y β0 estimadores:

β1: Se trata del cociente entre la interacción obtenida entre ambas variables y la suma de cuadrados de los valores de la variable dependiente. Este valor corresponde a la pendiente de la recta.

β0: Es el resultado de la siguiente ecuación en la que aparecen los valores medios correspondientes a ambas variables y el estimador β1 obtenido anteriormente. Este valor es la ordenada en el origen.

Ei es el residuo e indica la bondad del ajuste realizado para cada punto. Se calcula de la siguiente forma:

Una vez se ha obtenido la recta de regresión, es necesario comprobar la bondad del ajuste realizado mediante el siguiente análisis ANOVA:

n= número de datos. Se compara F0 con valor F crítico (tabla F de Scnedecor) con valor de significación α, 1, y n-2 grados de libertad concluyendo: Si F0< Ft, el modelo es apropiado, Si F0> Ft, el modelo utilizado no es apropiado.

Para los casos en los que un modelo lineal no sea el más adecuado, se pueden aplicar los llamados modelos intrínsecamente lineales que transforman la recta en otro tipo de función. Un ejemplo sería la función exponencial:

[editar] Regresión múltiple (varias variables)

Un modelo de regresión que contiene más de una variable se denomina Modelo de Regresión Múltiple. La variable dependiente o respuesta Y puede ser relacionada con k variables independientes. La ecuación que modeliza el comportamiento es la siguiente:

Este modelo se podrá representar de forma matricial de la siguiente manera:

La obtención de los estimadores se realizará resolviendo el sistema lineal de ecuaciones.

Al igual que en el caso anterior será necesario efectuar una comprobación de la bondad de ajuste mediante un test ANOVA.

k= número de variables. n= número de datos. p= número de grupos. Siendo estas las expresiones para el cálculo de las sumas de cuadrados:

Con el valor F crítico (valor de significación α, k, y n-p grados de libertad) correspondiente y se compara con F0 determinando la bondad del ajuste de la misma forma que en el caso de una variable.

[editar] Aplicaciones

El modelo de regresión lineal es aplicado en un gran número de campos, desde el ámbito científico hasta el ámbito social, pasando por aplicaciones industriales ya que en multitud de situaciones se encuentran comportamientos lineales. Estos son algunos ejemplos aplicados a diversos campos:

[editar] Química

La concentración de un elemento es uno de los parámetros de mayor importancia en los procesos químicos aplicados en la industria. Esta cuantificación se puede obtener mediante un espectrofotómetro, dispositivo que requiere se calibrado. Para ello se elabora una recta de calibración que se obtiene a partir de la correlación entre la absorbancia de un patrón y la concentración de la sustancia a controlar.1

[editar] Mecánica

En esta rama se utiliza la Regresión Lineal entre otros para ajustar la recta de Paris , una ecuación que sirve para estudiar elementos sometidos a fatiga en función del número de ciclos a los que se somete un material. La bondad del ajuste se comprueba representando el conjunto de valores discretos a-Nm obtenidos experimentalmente, frente a la curva correspondiente a la recta de Paris definida por los valores “C” y “m”.2 mentiras akiii

[editar] Electricidad

En electricidad se puede obtener el valor de una resistencia en un circuito y su error mediante un ajuste de regresión lineal de pares de datos experimentales de voltaje e intensidad obtenidos mediante un voltímetro y un amperímetro.3

[editar] Sensores

Calibración de un sensor de temperatura (termopar) en función de la caída de tensión y la temperatura. Se estudia la forma en que varía la temperatura de un líquido al

calentarlo. Se calibra el sensor y simultáneamente se mide la variación de temperaturas en un líquido para representar los datos obtenidos posteriormente mediante Regresión Lineal.4

[editar] Física

Determinación del coeficiente de rozamiento estático de forma experimental a partir de la medición del ángulo de inclinación de una rampa. Se realiza un montaje ajustando un circuito para medir el ángulo de inclinación, y se realizan mediciones variando dicho. Mediante la regresión lineal de los datos obtenidos, se obtiene la ecuación y el índice de correlación a fin de saber el error.5

[editar] Fabricación

Dos de los parámetros más importantes de una soldadura es la intensidad aplicada al hilo y la velocidad de alimentación del mismo. Mediante técnicas de regresión lineal se elaboran las rectas que relacionan estos parámetros con la separación entre el hilo y la zona a soldar.6

[editar] Diseño de experimentos

Con la metodología 2k es posible mejorar un proceso mediante la realización de experimentos, determinando qué variables tienen un efecto significativo. A partir de esas variables se obtiene una recta de regresión que modeliza el efecto. Por ejemplo se podría obtener la relación entre la temperatura y la presión en un proceso industrial.7

[editar] Construcción

Mediante técnicas de regresión lineal se caracterizarán diversas cualidades del hormigón. A partir del módulo de elasticidad es posible predecir la resistencia a la compresión de una determinada composición de un hormigón. También se puede determinar la succión capilar a partir del volumen absorbido por una muestra y el tiempo que ha durado la succión.8

[editar] Desarrollo de algunos ejemplos de aplicación de la regresión lineal

[editar] Aplicación de regresión lineal simple en el proceso de pigmentación de una empresa del sector de la automoción.

En la práctica, con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos de variables, cuando se sabe que existe alguna relación inherente entre ellas. Por ejemplo, en un caso industrial se puede saber que la pintura para partes automotrices está relacionada con cantidad de pigmentación con la que se lleva a cabo. Puede ser interesante desarrollar un método de predicción, esto, un procedimiento para estimar el contenido de pigmentación que deben de tener las pinturas para cumplir con las especificaciones de las armadoras como se muestra en la siguiente imagen de tal manera que el problema consiste en lograr la mejor estimación de la relación entre las variables.

Del ejemplo citado anteriormente, los gramos de pigmentación son la variable independiente y la resolución de pintura es la respuesta “Y”

El término regresión lineal implica “Y” esta linealmente relacionado con “X” por la ecuación de la recta:

Y=b+mX ó Y=bx+c

La manera en que se representa el color en las armadoras y ensambladoras, es a través de la Figura 1, la cual muestra la combinación de todos los colores posibles.

Figura 1. Diagrama general del color.

Para nuestro análisis en cuestión el color se especifica cómo se muestra en la Tabla 1. Las especificaciones de color para los volantes de un modelo de automóvil, son las siguientes:

Tabla 1

De esta manera se observa que las especificaciones son muy justas y cualquier ajuste equivoco de pigmentación en la pintura ocasionará, material en condiciones NG, proporcionando indicadores negativos a la empresa como pérdida de tiempo, dinero, aumento de scrap así como sus indicadores de PPMS internos y con su cliente. Haciendo una corrida amplia y manipulando el pigmento blanco se toma de lecturas de las condiciones de la pintura son conforme a la Tabla 2.

Tabla 2. Datos obtenidos de la pintura ajustada con pigmento blanco.

Obteniendo los valores de la pendiente “β1” y el valor “β0”, se tiene que:

La pendiente es:

β1 = -0,468

El valor de “β0” es:

β0 = -25,44567

De tal manera que la formula de la recta para el ejemplo de la pintura es:

Y = -25,445-0,468. X

Y la gráfica representativa es:

Figura 2. Gráfica de probabilidad.

De esta manera, la función de la recta a través de los mínimos cuadrados funciona e interactúa para generar una ayuda en el ámbito industrial y generar un valor probabilístico en beneficio de obtención de una similitud de operaciones.

Este método ayudara a las empresas a: • Reducción de tiempos en decisiones de procesos • Reducción de inversión de materiales en los procesos. • Generar un valor mínimo de incertidumbre en los procesos • Estandariza procesos.

La función de la recta es aplicable en el ámbito industrial al generar una regresión lineal para la obtención de un valor esperado que ayude a las compañías a tener una idea de un valor de una variable que pueden controlar en beneficio de sus procesos.

[editar] Aplicación de regresión lineal múltiple en el análisis químico

El rendimiento de una reacción química depende de la temperatura de operación y de la concentración inicial del reactivo. Efectué un análisis de regresión a los siguientes datos:

SOLUCIÓN

Aplicando las fórmulas citadas anteriormente obtendremos los resultados de todos los datos que serán necesarios para el cálculo de la Tabla ANOVA.

En primer lugar se ajustara el modelo lineal y= β0 + β 1x1+ β 2x2+ε a los datos, se realizará la estimación de los coeficientes, y obtendremos la varianza residual:

S2 =1,04881

Tras esto a partir de los residuos calculados y representados en una tabla se calcula el coeficiente de determinación:

R2 =0,959559

Por último se calculan las varianzas asociadas a cada uno de los estimadores de los parámetros:

Parámetro Sbiβ0 4,24411β1 0,74162β2 0,02472

Tras esto ya podemos calcular y representar los resultados en la Tabla ANOVA. La significación global del ajuste se presenta en la Tabla E52.3:

Al comparar Fo con el F0.05, 2, 5 puede concluirse que el modelo es significativo y que al menos un bi es distinto de cero. La significancia del efecto de cada Xi se probara a partir de la prueba 1, basada en una prueba “t”, dicho análisis se presenta a continuación:

Al comparar el to asociado a cada bi con la t0.025,5 puede observarse que los efectos tanto de la temperatura como de la concentración son significativos a un nivel de confianza del 95%. El modelo ajustado es por tanto:

Y = 39.75 + 3.0 . X concentración + 0.25 . X temperatura

La validación del modelo se haría en base al análisis de los residuos, a través de los siguientes gráficos:

-gráfico de probabilidad normal de los residuos

-gráfico de los residuos frente a los valores predichos

-gráficos de los residuos frente a cada variable

Un análisis de los gráficos de los residuos contra las variables concentración y temperatura permitirá concluir si el factor concentración presenta un efecto muy importante sobre la variabilidad del rendimiento, en función de si una mayor concentración reduce la variabilidad en cuanto al rendimiento de la reacción química.

Regresión linealDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.

: variables explicativas, independientes o regresores.

: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Índice

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1 Historia o 1.1 Etimología

2 El modelo de regresión lineal 3 Hipótesis modelo de regresión lineal clásico 4 Supuestos del modelo de regresión lineal 5 Tipos de modelos de regresión lineal

o 5.1 Regresión lineal simple 5.1.1 Análisis

o 5.2 Regresión lineal múltiple 6 Rectas de regresión 7 Aplicaciones de la regresión lineal

o 7.1 Líneas de tendencia o 7.2 Medicina

8 Véase también 9 Referencias 10 Bibliografía 11 Enlaces externos

[editar] Historia

La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805,1 y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.

[editar] Etimología

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.2 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.

El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.

Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

[editar] El modelo de regresión lineal

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros

desconocidos:

(2)

donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:

(3)

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

(4)

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en

(5)

Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

[editar] Hipótesis modelo de regresión lineal clásico

1. Esperanza matemática nula.

Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomará algunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea cero.

2. Homocedasticidad

para todo t

Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada en torno a su valor esperado es siempre la misma.

3. Incorrelación. para todo t,s con t distinto de s

Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas, lo que quiere decir que no están correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para cualquier observación muestral no viene influenciado por los valores de la perturbación correspondientes a otras observaciones muestrales.

4. Regresores no estocásticos.

5. No existen relaciones lineales exactas entre los regresores.

6. Suponemos que no existen errores de especificación en el modelo ni errores de medida en las variables explicativas

7. Normalidad de las perturbaciones

[editar] Supuestos del modelo de regresión lineal

Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:3

1. La relación entre las variables es lineal.2. Los errores en la medición de las variables explicativas son independientes entre

sí.3. Los errores tienen varianza constante. (Homocedasticidad)4. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una

misma magnitud y distinto signo son equiprobables).5. El error total es la suma de todos los errores.

[editar] Tipos de modelos de regresión lineal

Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:

[editar] Regresión lineal simple

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:4

(6)

donde es el error asociado a la medición del valor y siguen los supuestos de modo

que (media cero, varianza constante e igual a un y con

).

[editar] Análisis

Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:5

(7)

Derivando respecto a y e igualando a cero, se obtiene:5

(9)

(10)

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:4

(11)

(12)

La interpretación del parámetro es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en

[editar] Regresión lineal múltiple

La regresion lineal nos permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razón, así también se puede comprender la relación de dos o más variables y nos permitirá relacionar mediante ecuaciones, una variable en relación a otras variables llamándose Regresión múltiple. Constantemente en la práctica de la investigación estadística, se encuentran variables que de alguna manera están relacionados entre si, por lo que es posible que una de las variables puedan relacionarse matemáticamente en función de otra u otras variables.

Maneja varias variables independientes. Cuenta con varios parámetros. Se expresan de la forma:6

(13)

donde es el error asociado a la medición del valor y siguen los supuestos de

modo que (media cero, varianza constante e igual a un y con

).

[editar] Rectas de regresión

Las rectas de regresión son las rectas que mejor se ajustan a la nube de puntos (o también llamado diagrama de dispersión) generada por una distribución binomial. Matemáticamente, son posibles dos rectas de máximo ajuste:7

La recta de regresión de Y sobre X:

(14)

La recta de regresión de X sobre Y:

(15)

La correlación ("r") de las rectas determinará la calidad del ajuste. Si r es cercano o igual a 1, el ajuste será bueno y las predicciones realizadas a partir del modelo obtenido serán muy fiables (el modelo obtenido resulta verdaderamente representativo); si r es cercano o igual a 0, se tratará de un ajuste malo en el que las predicciones que se realicen a partir del modelo obtenido no serán fiables (el modelo obtenido no resulta representativo de la realidad). Ambas rectas de regresión se intersecan en un punto llamado centro de gravedad de la distribución.

[editar] Aplicaciones de la regresión lineal

[editar] Líneas de tendencia

Véase también: Tendencia.

Una línea de tendencia representa una tendencia en una serie de datos obtenidos a través de un largo período. Este tipo de líneas puede decirnos si un conjunto de datos en particular (como por ejemplo, el PBI, el precio del petróleo o el valor de las acciones) han aumentado o decrementado en un determinado período.8 Se puede dibujar una línea de tendencia a simple vista fácilmente a partir de un grupo de puntos, pero su posición y pendiente se calcula de manera más precisa utilizando técnicas estadísticas como las regresiones lineales. Las líneas de tendencia son generalmente líneas rectas, aunque algunas variaciones utilizan polinomios de mayor grado dependiendo de la curvatura deseada en la línea.

[editar] Medicina

En medicina, las primeras evidencias relacionando la mortalidad con el fumar tabaco 9 vinieron de estudios que utilizaban la regresión lineal. Los investigadores incluyen una gran cantidad de variables en su análisis de regresión en un esfuerzo por eliminar factores que pudieran producir correlaciones espurias. En el caso del tabaquismo, los investigadores incluyeron el estado socio-económico para asegurarse que los efectos de mortalidad por tabaquismo no sean un efecto de su educación o posición económica. No obstante, es imposible incluir todas las variables posibles en un estudio de regresión.10 11

En el ejemplo del tabaquismo, un hipotético gen podría aumentar la mortalidad y aumentar la propensión a adquirir enfermedades relacionadas con el consumo de tabaco. Por esta razón, en la actualidad las pruebas controladas aleatorias son consideradas mucho más confiables que los análisis de regresión

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Analizar, diseñar y gestionar sistemas productivos desde la provisión de insumos hasta la entrega de bienes y servicios, integrándolos con eficacia y eficiencia.

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Seleccionar e implementar tecnologías de información y  comunicación dentro de la empresa.

Participar en proyectos de transferencia, desarrollo y adaptación de tecnologías en los sistemas productivos.

Diseñar, implementar y mejorar sistemas  y estaciones de trabajo considerando factores ergonómicos para optimizar  la producción.

Participar  en  la  estandarización  de  operaciones  para  la  transferencia  y adaptación de los sistemas productivos.

Manejar y aplicar las normas y estándares en  el análisis de operaciones de los sistemas de producción.

Emprender  e  incubar  empresas  con  base  tecnológica,  que  promueva  el desarrollo socioeconómico de una región, así como su constitución legal.

Formular,  evaluar  y  gestionar  proyectos  de  inversión,  que  le  permita emprender  la   creación  de  unidades  productivas  de  bienes  y  servicios  bajo criterios de competitividad y sustentabilidad.

Tomar  decisiones  para  la  mejora  de  sistemas  productivos  y  de  servicios, fundamentadas en planteamientos y modelos analíticos.

Publicado por:

Lic. Héctor Daniel Aguilar Rivero

Actualizado el: 22 de agosto de 2012

Subdirector Académico

Extensión 311

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