Regla Depreciación V0

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REGLA DE DEPRECIACIÓN IMPLÍCITA EN LA FÓRMULA PARA EL COSTO MEDIO DE INVERSIÓN CMI Bogotá, abril de 2010

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Bogotá, abril de 2010

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TABLA DE CONTENIDO

1. OBJETO..................................................................................................................3

2. RESUMEN DE RESULTADOS................................................................................3

3. CRITERIO DE ESTABILIDAD TARIFARIA..............................................................6

4. FÓRMULA PARA EL CMI........................................................................................8

4.1.FÓRMULA PROPUESTA RESOLUCIÓN CRA 485...........................................8

4.2.REGLA DE DEPRECIACIÓN DEL ACTIVO.....................................................11

4.2.1............................................................................................Planteamiento11

4.2.2.........................................Expresión para la Depreciación del Activo12

4.2.3.........................Valor del Activo en Función de la Vida Útil Residual14

4.2.4....................Solución en el Caso con Reposición del Activo en HPI16

4.3.RESULTADOS NUMÉRICOS..........................................................................20

5. CONCLUSIONES..................................................................................................21

6. ANEXO: desarrollo para el Valor del activo VK......................................................21

INDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 2-1 CMI Función de la Vida Útil.....................................................................5

Gráfica 3-1 Ingresos y Costos...................................................................................7

Gráfica 4-1 Fórmula para el CMI de la Res. CRA 485 de 2009 para un Activo.........9

Gráfica 4-2 Valor a nuevo y Depreciación anual del activo......................................12

Gráfica 4-3 Valor del Activo para K años de vida residual.......................................15

Gráfica 4-4 Valor del Activo con una Reposición a lo largo de HPI.........................16

Gráfica 4-5 CMI Función de la Vida Útil...................................................................20

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1. OBJETO

A partir de la propuesta de fórmula para el componente de Costo Medio de Inversión CMI contenida en la resolución CRA 485 de 2009 se deriva la regla de depreciación de activos implícita en dicha propuesta, la cual se basa en distribuir el valor presente de los costos de inversión en el valor presente de la demanda, con el fin de obtener una tarifa y una tasa de retorno estables e independientes de la vida útil residual de los activos.

En esta versión se presenta la sustentación para el caso de un único activo que atiende una demanda constante. De esta manera, el plan de inversiones consiste en la reposición del activo cada vez que se cumple su vida útil. Aunque se trata sin duda de un caso simplificado, éste permite mostrar el comportamiento de la tarifa y de la rentabilidad regulatoria en función de la vida útil residual de los activos al momento del cálculo de la tarifa.

El capítulo 2 de este documento contiene un resumen de los principales hallazgos. El Capítulo 3 presenta el criterio de estabilidad tarifaria sobre el que se basa la fórmula para el cálculo del CMI. En el Capítulo 4 se hacen los desarrollos matemáticos para inferir la regla de depreciación implícita en la fórmula para el CMI y consistente con el criterio de estabilidad tarifaria. Así mismo se presentan algunos resultados numéricos que contribuyen al entendimiento de los efectos tarifarios de las diferentes reglas de depreciación de activos. En el capítulo 6 se presentan las conclusiones respectivas.

2. RESUMEN DE RESULTADOS

Regla de depreciación:

La fórmula para el Costo Medio de Inversión CMI del artículo 27 del proyecto de norma contenido en la Resolución CRA 485 de 2009, trae implícita una regla de depreciación de los activos. Las características principales de esta regla de depreciación son:

Si d(K) es la depreciación del activo cuando su vida útil residual es K años, y d(K-1) es la depreciación en el año siguiente, es decir con un año menos de vida útil residual, estas dos depreciaciones se relacionan por la expresión:

Ecuación 2-1

Donde r es la tasa de descuento regulatoria. La depreciación en un año es igual a (1+r) veces la depreciación del año anterior. La depreciación es una constante si y solo si la tasa de descuento es cero. La depreciación lineal o uniforme tiene entonces implícita una tasa de descuento de cero, lo cual es incompatible con la necesidad de utilizar una tasa superior a cero para remunerar el capital invertido para la prestación del servicio.

La expresión general para la depreciación del activo d(K) en función de la vida útil residual K y de su valor a nuevo BCR(VU), donde VU es la vida útil total, es:

Ecuación 2-2

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Como se observa, la regla de depreciación implícita en la fórmula tarifaria es una función no lineal de la edad del activo. Cabe destacar que la CRA, en la resolución CRA 287 de 2004 (artículo 35), introdujo este concepto de depreciación denominado “depreciación financiera”, como alternativa a la depreciación contable convencional.

Valor del Activo:

La expresión para el valor del activo BCR(K) con una vida residual de K años es:

Ecuación 2-3

Esta expresión dice que el valor depreciado del activo cuando restan K años de vida útil residual es igual al valor del activo a nuevo multiplicado por el cociente entre el valor presente de la producción residual y el valor presente de la producción total a lo largo de la vida útil del activo (hipótesis de producción uniforme a lo largo de su vida útil).

Como se observa, el valor del activo es una función no lineal de la vida útil residual K. En consecuencia, la utilización en el cálculo tarifario del valor en libros de los activos con base en una depreciación uniforme hará que la tarifa así calculada sea función de la edad de los activos, lo cual contradice el criterio implícito en la fórmula de estabilidad tarifaria, es decir, que la tarifa debe ser independiente de la edad de los activos.

Ejemplo Numérico:

Se ha dado aplicación a la expresión para el CMI del artículo 27 de la Resolución CRA 485 de 2009 en una situación simplificada de una Empresa que atiende una demanda constante con un único activo, con los siguientes parámetros de cálculo:

Parámetro Valor UnidadVigencia de la Fórmula (HPI) 5 AñosVida Útil del Activo (VU) 30 AñosValor a Nuevo 4,000,000 M $Depreciación Uniforme Anual 133,333.33 M$/añoTasa de Descuento 10.00% %Demanda Anual 280 M m3/año

El valor del CMI que resulta de aplicar esta expresión para el CMI, en función de la edad del activo al momento del cálculo de la tarifa se resume en la Gráfica 2-1.

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-

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 30 28 26 24 22 20

CMI (

$/m

3)

Vida Util Residual (años)

CMI función de la Edad del Activo

Depreciación Lineal

Depreciación Financiera

Gráfica 2-1 CMI Función de la Vida Útil

Como se observa, la aplicación de la regla de depreciación financiera conduce a un CMI estable, es decir, independiente de la edad del activo, como es el supuesto de la fórmula de cálculo del CMI.

En relación con la utilización de la depreciación lineal, un análisis de la Gráfica 2-1 incluye las siguientes observaciones:

El CMI resulta ser función de la edad del activo, lo cual inconsistente con el criterio de estabilidad tarifaria sobre el que se basa la fórmula.

En el caso de utilizar la depreciación lineal, si la tarifa se calcula con activos nuevos, se obtiene una tarifa superior a la de la depreciación financiera.

A medida que la edad del activo aumenta, el CMI se reduce, incluso hasta alrededor de un 30% del valor del CMI que se obtiene con los activos nuevos, lo que muestra una alta sensibilidad del CMI con la edad del activo si se utiliza la depreciación lineal.

Si la vida útil residual del activo es tal que en el horizonte de cálculo de la tarifa se incluye la reposición del activo, el CMI se incrementa. Así por ejemplo, para los datos del ejemplo mostrado, si en el momento del cálculo del CMI, 5 años atrás, la vida útil residual era 7 años, el CMI calculado fue de $723/m3. SI después de 5 años se vuelve a calcular la tarifa, es decir con vida útil residual de 2 años, el CMI es de $1,260/m3, lo cual representa un incremento del 75%, a pesar de que en ambos casos se está utilizando el mismo activo y se atiende la misma demanda.

Conclusiones:

En la fórmula tarifaria para el Costo Medio de Inversión CMI se encuentra implícita una regla de depreciación, que es la denominada depreciación financiera. Esta regla de depreciación debe ser respetada para el cálculo del BCR y de la depreciación en cada año del horizonte de cálculo si se quiere cumplir con el criterio de estabilidad tarifaria sobre el que se construye el diseño del CMI.

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La utilización de la depreciación lineal hace que el CMI sea función de la edad de los activos, en oposición al criterio de estabilidad tarifaria sobre el que se define la fórmula para este componente tarifario.

De no respetarse este criterio, es decir, de calcular las tarifas con reglas de depreciación diferentes a la depreciación financiera, como por ejemplo la depreciación lineal, las tarifas no serán estables, y se tendrán variaciones en las tarifas entre períodos tarifarios las cuales no tienen sustento económico.

Este comportamiento de las tarifas es contrario al criterio de estabilidad tarifaria, según el cual, el CMI es un valor independiente de la edad del activo.

RECOMENDACIÓN: Permitir la utilización de la regla de depreciación financiera, pues es esta regla la que está implícita en el diseño tarifario y la que evita que ocurran las anomalías observadas.

CONSECUENCIAS DE FORZAR EL CÁLCULO DEL CMI CON LA DEPRECAICIÓN LINEAL: En el caso de realizar el cálculo del CMI con la regla de depreciación lineal, en función de la edad de los activos al momento del cálculo, las tarifas pueden tener un comportamiento distorsionado, presentando variaciones entre períodos tarifarios que no tienen sustento económico, pues son variaciones que se originan en una inconsistencia entre la regla de diseño tarifario y la regla contable de depreciación lineal.

3. CRITERIO DE ESTABILIDAD TARIFARIA

Con el fin de asegurar la recuperación de los costos, la fórmula tarifaria se basa en igualar el valor presente de los costos y el valor presente de los ingresos:

Ecuación 3-4

En Gráfica 3-2 se muestra el flujo de ingresos y de costos.

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C0

T1•VF1

0 1 2 3 4 …. N

T2•VF2

T3•VF3

T4•VF4

TN•VFN

C1

C2 C4

C3

Ingresos

Costos

Gráfica 3-2 Ingresos y Costos

Expresando los ingresos como el producto de los volúmenes facturados VFi1 por la tarifa Ti

en cada año i se tiene:

Ecuación 3-5

Donde r es la tasa de descuento anual. Para despejar la expresión para la tarifa, se supone que la tarifa es constante a lo largo del período regulatorio:

Por lo que la Ecuación 3-5 se puede escribir como:

Despejando para T se tiene finalmente:

Es decir, que la tarifa calculada como el cociente entre el valor presente de los costos y el valor presente de la demanda tiene implícito el criterio de estabilidad tarifaria, es decir, que la tarifa es constante a lo largo del período regulatorio (excluyendo por supuesto los ajustes por inflación). Así mismo, la tasa interna de retorno de la Ecuación 3-4 es igual a la tasa de descuento regulatoria, la cual es también una constante.

1 No se aborda en este documento el tratamiento de las pérdidas de agua en la fórmula tarifaria.7

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Lo anterior significa que en el caso de un solo activo que atiende una demanda constante , el cálculo de la tarifa para cualquier vida útil residual debe conducir a un mismo resultado, y la tasa interna del flujo de la Ecuación 3-4debe ser igual a la tasa de descuento regulatoria.

4. FÓRMULA PARA EL CMI

4.1. FÓRMULA PROPUESTA RESOLUCIÓN CRA 485

La fórmula del artículo 27 del proyecto de resolución CRA 485 de 2009 es:

Ecuación 4-6

Donde:: Costo Medio de Inversión.

: Base de Capital Regulada para el año anterior (i-1) correspondiente a la actividad j

: Depreciación anual de la Base de Capital Regulada correspondiente al año i.

: Tasa de descuento regulada.

: Función valor presente utilizando la tasa de descuento r:

j : Cada una de las actividades.

i : Cada uno de los años del período de análisis.

La fórmula propuesta en la Resolución CRA 485 de 2009 para el CMI busca que durante la vigencia de la fórmula (5 años) el prestador obtenga un flujo equivalente a la suma de: i) La rentabilidad del capital invertido que se requiere para disponer de los activos ; ii) La recuperación de la porción que se usa o se gasta de estos activos durante la vigencia de la fórmula, la cual corresponde a la depreciación de los activos .

Gráficamente, para el caso de un único activo de valor a nuevo V(VU), vida útil VU, cuya vida útil residual en el año cero del cálculo tarifario es K y su valor en ese año es BCR0 es2:

2 En esta sección se analiza el caso en el que en el horizonte de cálculo del CMI no se requiere la reposición del activo. En la sección 4.2.4 se analiza el caso general con reposición del activo.

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BCR0

VU

BCRHPI-1

BCRHPI

Vida Útil Residual

BCR1

K

HPI

K-HPIK-HPI-1K

V(VU)

K-1

Gráfica 4-3 Fórmula para el CMI de la Res. CRA 485 de 2009 para un Activo

Donde HPI es el Horizonte del Plan de Inversiones, o la vigencia de la fórmula, es decir 5 años.

En el caso de un único activo no se requiere la utilización del subíndice j de actividad, por lo que la Ecuación 4-6 se convierte en:

Ecuación 4-7

Así mismo, escribiendo la función VP en notación de sumatoria, se tiene:

Ecuación 4-8

Sea BCR(0) la vida útil del activo al inicio del año 1 (o al final del año 0). Con el fin de hacer explícita la vida útil residual del activo, suponga que para el año inicial del cálculo del CMI el activo tiene una vida útil residual de K años, y se adopta la siguiente notación:

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Ecuación 4-9

Es decir, que el valor del activo al finalizar el año (i-1) es igual al valor del activo con una vida útil residual de (K-i+1) años, donde i=1, 2, 3, … , HPI; y K es la vida residual del activo en el año cero del horizonte de cálculo de la tarifa.

De otra parte, la depreciación del activo en un año cualquiera i es igual a la diferencia entre el valor del activo al finalizar el año anterior (i-1) y el valor del activo al finalizar el año i:

Ecuación 4-10

Reemplazando las dos expresiones anteriores en la Ecuación 4-8, se tiene:

Expandiendo términos se tiene:

Cancelando los términos correspondientes se llega a:

Ecuación 4-11

En esta ecuación, el primer término en el numerador a la derecha de la igualdad corresponde al valor del activo al inicio del horizonte del cálculo tarifario, y el segundo término corresponde al valor descontado del activo al finalizar el horizonte de cálculo de la tarifa. De esta manera, en el caso particular sin ejecución de inversiones en reposición de activos, el valor del CMI se puede expresar como la distribución en el valor presente de la demanda en el horizonte de vigencia de la fórmula, de la diferencia entre el aporte de capital inicial, medido a través de la BCR, y el valor residual de los activos al finalizar el horizonte de cálculo en valor descontado.

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4.2. REGLA DE DEPRECIACIÓN DEL ACTIVO

4.2.1. Planteamiento

En concordancia con el criterio de estabilidad tarifaria presentado en el Capítulo 3, se quiere encontrar la regla para determinar el valor del activo BCR(K) para cualquier vida útil residual K que asegure que la tarifa que se obtiene es independiente de la vida útil residual.

Si se calcula la tarifa en un año cualquiera en el que la vida útil residual del activo es K años, la expresión para el CMI viene dada por la Ecuación 4-11. Ahora bien, si el momento de cálculo de la tarifa es un año después, es decir, con un año menos de vida útil del activo, se tendría:

Ecuación 4-12

Se supone en este punto que la demanda es constante, por lo que el denominador tiene el mismo valor, independientemente del momento de cálculo de la tarifa.

El criterio de estabilidad tarifaria indica que el valor de la tarifa debe ser independiente de la edad de los activos, es decir, del momento de cálculo de la tarifa:

Ecuación 4-13

Reemplazando en esta ecuación las expresiones correspondientes se obtiene:

Ecuación 4-14

Reorganizando términos se llega a:

Ecuación 4-15

El término a la izquierda corresponde a la depreciación del activo cuando su vida útil residual es K años; mientras que el término a la derecha de la igualdad es, en términos de valor descontado, el valor del activo cuando su vida útil es (K-HPI) años:

Ecuación 4-16

La ecuación anterior es válida para cualquier valor de HPI (mayor que cero puesto que HPI es el horizonte de vigencia de la fórmula), en particular, suponiendo que el valor de HPI es 1, entonces:

Y sustituyendo K-1 por K se obtiene finalmente:

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Ecuación 4-17

La depreciación en un año es igual a (1+r) veces la depreciación del año anterior. La depreciación es una constante si y solo si la tasa de descuento r es cero. La depreciación lineal o uniforme tiene entonces implícita una tasa de descuento de cero, lo cual no es compatible con la necesidad de utilizar una tasa superior a cero para remunerar el capital invertido para la prestación del servicio.

4.2.2. Expresión para la Depreciación del Activo

Considerando el ciclo completo de depreciación del activo, la Gráfica 4-4 muestra la depreciación del activo en un año cualquiera a lo largo de su vida útil VU:

BC

R(V

U-1

)

BCR(VU)=VVU

0

BCR1

VU

d(VU-1)

d(2)

123VU-1 VU-2

BCR2

BCR3

d(VU-2)

d(1)

d(0)

Vida Útil Residual

BC

R(V

U-2

)

Gráfica 4-4 Valor a nuevo y Depreciación anual del activo

Si d(0) es la depreciación en el último año de vida útil del activo, la aplicación sucesiva de la Ecuación 4-17 permite expresar la depreciación en cualquier año en función de la depreciación del último año d(0):

Depreciación en el año 0:

Depreciación en el año 1:

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Depreciación en el año 2:

Depreciación en el año 3:

.

.

.

Depreciación en el año VU-1:

De manera general:

Ecuación 4-18

De la Gráfica 4-4 se observa que el valor a nuevo del activo BCR(VU)=V(VU) es igual a la suma de las depreciaciones anuales:

Reemplazando la Ecuación 4-18 en esta última expresión se tiene:

Ecuación 4-19

Despejando para d(0) y teniendo en cuenta que:

Ecuación 4-20

Se obtiene:

En la Ecuación 4-20 se supone que r es diferente de cero para poder hacer la división por r al lado de derecho de la ecuación. Si r=0, la Ecuación 4-19 implica que d(0)= V(VU)/VU, que es igual a la depreciación uniforme.

Reemplazando esta última expresión en la Ecuación 4-18 se obtiene la expresión general para la depreciación del activo en función de la vida útil residual K:

Ecuación 4-21

Como se observa, la regla de depreciación implícita en la fórmula tarifaria es una función no lineal de la edad del activo.

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Cabe destacar que la CRA, en la resolución CRA 287 de 2004, introdujo este concepto de depreciación denominado “depreciación financiera”, como alternativa a la depreciación contable convencional3.

Casos Particulares:

Se debe precisar que si VU=1, el denominador de la Ecuación 4-21 es cero, y la expresión para la depreciación d(K) es indeterminada; sin embargo, si la vida útil del activo es un año, entonces todo el activo se deprecia en un año, es decir, que se trata de un gasto y no de una inversión.

Así mismo, si la tasa de descuento es cero, el denominador de la Ecuación 4-21 es cero, y la expresión para la depreciación d(K) es indeterminada; sin embargo para una tasa de descuento igual a cero, la Ecuación 4-18 y la Ecuación 4-19 implican que:

Expresión corresponde a la depreciación lineal.

4.2.3. Valor del Activo en Función de la Vida Útil Residual

El valor del activo cuando su vida útil residual es K años corresponde a la suma de las depreciaciones entre el año K y el año 0 de vida útil residual, de acuerdo con la Gráfica 4-5:

3 Res CRA 287 de 2004, “ARTÍCULO 35- Criterios para la definición del VA. El valor de los activos (VA) podrá determinarse por medio del valor en libros, o a través de la depreciación financiera que considere el equilibrio económico de la inversión.

“El valor en libros de los activos fijos operativos (VA) se tomará, para fines regulatorios, de conformidad con la valoración histórica afectada por la depreciación acumulada o demérito y por los ajustes por inflación, más las valorizaciones en el momento del cálculo. Lo anterior verificando que los activos correspondan a la prestación de cada uno de los servicios.

“Para la valoración a través de la depreciación financiera, el operador considerará la depreciación por efecto de las capitalizaciones de la inversión, considerando la tasa de descuento adoptada por el operador en el período tarifario inmediatamente anterior y la vida útil del activo. … ” (negrilla fuera de texto).

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0

V(1)

V(K)

VU

d(2)

123K

V(2)

V(3)

d(K-1)

d(1)

d(0)

Vida Útil Residual

K-1

Gráfica 4-5 Valor del Activo para K años de vida residual

El valor del activo para K años de vida útil residual es entonces:

Ecuación 4-22

Reemplazando la expresión para el valor de depreciación de la Ecuación 4-21 y teniendo en cuenta la identidad de la Ecuación 4-20 se obtiene (ver Anexo 6):

Ecuación 4-23

La Ecuación 4-23 dice que el valor depreciado del activo cuando restan K años de vida útil residual es igual al valor del activo a nuevo multiplicado por el cociente entre el valor presente de la producción residual y el valor presente de la producción total a lo largo de la vida útil del activo.

Como se observa, el valor del activo es una función no lineal de la vida útil residual K . En consecuencia, la utilización en el cálculo tarifario del valor en libros de los activos con base en una depreciación lineal hará que la tarifa así calculada sea función de la edad de los activos, lo cual contradice el criterio implícito en la fórmula de estabilidad tarifaria, es decir, que la tarifa debe ser independiente de la edad de los activos.

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4.2.4. Solución en el Caso con Reposición del Activo en HPI

Suponga que entre el año inicial y final del horizonte del plan de inversiones HPI se agota la vida útil del activo, y en consecuencia se requiere realizar la reposición del activo como se presenta en la Gráfica 4-6:

BCR(K)

V(VU)

BCR(J)

HPIK J

BCR(K-1)

HPI

d(K-1)

d(J-1)

BCR(J-1)

Gráfica 4-6 Valor del Activo con una Reposición a lo largo de HPI

Suponga que la vida útil residual del activo al finalizar el horizonte de evaluación es J años. En este caso:

Ecuación 4-24

La expresión para el CMI de la resolución CRA 485 de 2009, Ecuación 4-8, para el caso mostrado en la Gráfica 4-6, separando el horizonte de proyección en dos segmentos: el primero hasta antes de la reposición del activo y el segundo entre la reposición del activo y el horizonte de vigencia de la fórmula HPI, es:

Teniendo en cuenta que:

La expresión anterior se convierte en:

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Expandiendo términos se obtiene:

Teniendo en cuenta que BCR(0) es cero, y cancelando los términos correspondientes se obtiene:

Ecuación 4-25

Teniendo en cuenta de la Ecuación 4-24 que:

Y que:

La expresión de la Ecuación 4-25 se escribe finalmente como:

Ecuación 4-26

En esta expresión se tiene que el numerador del CMI es igual a: El valor inicial del activo, más el valor presente de la inversión en reposición, menos el valor presente del valor residual del activo al terminar el horizonte de vigencia de la fórmula4.

4 Cabe resaltar que este resultado, el cual muestra la equivalencia entre dos formas de expresar el CMI (como se presenta en resolución CRA 485 de 2009 (Ecuación 4-7) y como se presenta en la Error: Reference source not found), corresponde a las mismas expresiones para el CMI propuestas como alternativa 1 y alternativa 2 por el Consultor Diego Fernández en el Documento “IMPLEMENTACIÓN DE LOS CRITERIOS DE EFICIENCIA Y OPTIMIZACIÓN IDENTIFICADOS”, PRODUCTO No. 6 Corregido, Sección 3.1.3 (Páginas 20 y 21), Junio 5 de 2009, elaborado para la CRA en el marco de la “Consultoría para Incorporar Criterios de Eficiencia y Optimización al Componente de Inversiones de los Costos de Prestación de los Servicios Públicos Domiciliarios de Acueducto y Alcantarillado”.

17

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Ahora bien, si la tarifa se calculara un año después, es decir, con un año menos de vida útil del activo, la expresión para el CMI sería:

Ecuación 4-27

De acuerdo con el criterio de estabilidad tarifaria demostrado en el Capítulo 3 se debe cumplir que:

Ecuación 4-28

Reemplazando en esta ecuación las expresiones correspondientes se obtiene:

Ecuación 4-29

Reorganizando términos se llega a:

Ecuación 4-30

El término a la izquierda corresponde a la depreciación del activo cuando su vida útil residual es K años; mientras que el primer término a la derecha de la igualdad es, en términos de valor descontado, el valor del activo cuando su vida útil es (K-HPI) años:

Ecuación 4-31

Ecuación 4-32

En adelante se demostrará, por consistencia, que la expresión para la depreciación encontrada en la Ecuación 4-21:

Ecuación 4-21

es la expresión general para la depreciación implícita en la fórmula tarifaria para el CMI. Para ello, se aplicará la expresión de la Ecuación 4-21 al término a la derecha de la Ecuación 4-32, y se mostrará que es igual al término a la izquierda de esta ecuación, demostrando así por consistencia la validez general la expresión para la depreciación.

De acuerdo con la regla de depreciación de la Ecuación 4-21, la expresión para BCR(K-1-HPI) es:

Así, el lado derecho de la Ecuación 4-32, que se denotará F, se puede escribir como:18

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Es decir, se encuentra que el lado derecho de la Ecuación 4-32 es igual a d(K-1) si se utiliza como regla de depreciación la Ecuación 4-21.

Puesto que la regla de depreciación del activo es la misma con y sin reposición en el horizonte del plan de inversiones, el valor del activo se calcula de la misma manera, y la expresión general para el valor del activo cuando tiene K años de vida residual es la Ecuación 4-23.

4.3. RESULTADOS NUMÉRICOS

Se ha dado aplicación a la Ecuación 4-6 para el cálculo del Costo Medio de Inversión CMI del proyecto de norma contenido en la Resolución CRA 485 de 2009 en una situación simplificado de una Empresa que atiende una demanda constante con un único activo, con los siguientes parámetros de cálculo:

Parámetro Valor UnidadVigencia de la Fórmula (HPI) 5 AñosVida Útil del Activo (VU) 30 AñosValor a Nuevo 4,000,000 M $Depreciación Uniforme Anual 133,333.33 M$/añoTasa de Descuento 10.00% %Demanda Anual 280 M m3/año

El valor del CMI que resulta de aplicar la Ecuación 4-6, en función de la edad del activo al momento del cálculo de la tarifa se resume en la Gráfica 4-7.

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-

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 30 28 26 24 22 20

CMI (

$/m

3)

Vida Util Residual (años)

CMI función de la Edad del Activo

Depreciación Lineal

Depreciación Financiera

Gráfica 4-7 CMI Función de la Vida Útil

Como se observa, la aplicación de la regla de depreciación financiera conduce a un CMI estable, es decir, independiente de la edad del activo, como es el supuesto de la fórmula de cálculo del CMI.

En relación con la utilización de la depreciación lineal, un análisis de la Gráfica 4-7 incluye las siguientes observaciones:

El CMI resulta ser función de la edad del activo, lo cual inconsistente con el criterio de estabilidad tarifaria sobre el que se basa la fórmula.

En el caso de utilizar la depreciación lineal, si la tarifa se calcula con activos nuevos, se obtiene una tarifa superior a la de la depreciación financiera.

A medida que la edad del activo aumenta, el CMI se reduce, incluso hasta alrededor de un 30% del valor del CMI que se obtiene con los activos nuevos, lo que muestra una alta sensibilidad del CMI con la edad del activo si se utiliza la depreciación lineal.

Si la vida útil residual del activo es tal que en el horizonte de cálculo de la tarifa se incluye la reposición del activo, el CMI se incrementa. Así por ejemplo, para los datos del ejemplo mostrado, si en el momento del cálculo del CMI, 5 años atrás, la vida útil residual era 7 años, el CMI calculado fue de $723/m3. SI después de 5 años se vuelve a calcular la tarifa, es decir con vida útil residual de 2 años, el CMI es de $1,260/m3, lo cual representa un incremento del 75%, a pesar de que en ambos casos se está utilizando el mismo activo y se atiende la misma demanda.

RECOMENDACIÓN: Permitir la utilización de la regla de depreciación financiera, pues es esta regla la que está implícita en el diseño tarifario y la que evita que ocurran las anomalías observadas.

CONSECUENCIAS DE NO ACEPTAR LA RECOMENDACIÓN: En el caso de realizar el cálculo del CMI con la regla de depreciación lineal, en función de la edad de los activos al momento del cálculo, las tarifas pueden tener un comportamiento distorsionado, presentando variaciones entre períodos tarifarios que no tienen sustento económico, pues

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son variaciones que se originan en una inconsistencia entre la regla de diseño tarifario y la regla contable de depreciación lineal.

5. CONCLUSIONES

En este documento se ha demostrado que en la fórmula tarifaria para el Costo Medio de Inversión CMI se encuentra implícita una regla de depreciación, que es la denominada depreciación financiera. Este resultado debe ser respetado si se quiere cumplir con el criterio de estabilidad tarifaria sobre el que se construye el cálculo del CMI.

Se ha mostrado que la utilización de la depreciación lineal hace que el CMI sea función de la edad de los activos, en oposición al criterio de estabilidad tarifaria sobre el que se define la fórmula para este componente tarifario.

De no respetarse este criterio, es decir, de calcular las tarifas con reglas de depreciación diferentes a la depreciación financiera, como por ejemplo la depreciación lineal, las tarifas no serán estables, y se tendrán variaciones en las tarifas entre períodos tarifarios las cuales no tienen sustento económico.

Este comportamiento de las tarifas es contrario al criterio de estabilidad tarifaria, según el cual, el CMI es un valor constante.

6. ANEXO: DESARROLLO PARA EL VALOR DEL ACTIVO VK

El valor del activo para K años de vida útil residual en función de la depreciación acumulada hasta agotar su vida útil es la Ecuación 4-22:

Ecuación 4-22

Reemplazando la expresión para la depreciación del activo, Ecuación 4-21, se tiene:

Factorizando:

Expandiendo la expresión de la sumatoria:

Teniendo en cuenta la identidad de la Ecuación 4-20 se tiene:

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De donde se obtiene la Ecuación 4-23:

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