Regla de Los Signos de La Multiplicación- Una Propuesta Didáctica

7/25/2019 Regla de Los Signos de La Multiplicacin- Una Propuesta Didctica

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Educacin Matemtica

ISSN: 1665-5826

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Grupo Santillana Mxico

Mxico

Chan Domnguez, Jos Benjamn; Uicab Ballote, Genny Roco

Regla de los signos de la multiplicacin: una propuesta didctica

Educacin Matemtica, vol. 27, nm. 2, agosto, 2015, pp. 125-153

Grupo Santillana Mxico

Distrito Federal, Mxico

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=40542870006

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CONTRIBUCIN PARA LA DOCENCIA

EDUCACINMATEMTICA,VOL. 27, NM. 2, AGOSTODE2015 125

Fecha de recepcin: 23 de septiembre de 2014; fecha de aceptacin: 17 de febrero de 2015.

Regla de los signos de la multiplicacin:

una propuesta didcticaRule of signs of the multiplication:a proposal didactic

Jos Benjamn Chan Domnguez y Genny Roco Uicab Ballote

Resumen: En este trabajo se describe el diseo e implementacin de una propuesta didcticapara abordar las reglas de los signos de la multiplicacin mediante la representacin geom-trica del producto como el rea de un rectngulo. La propuesta considera una secuencia deactividades organizadas tanto en una hoja de trabajo como tambin en el software Cabri IIPlus. Dicha propuesta se encuentra diseada bajo el enfoque de la Teora de Situaciones Di-dcticas de Brousseau, y tiene como actor principal al estudiante, quien por medio de unproceso de experimentacin, conjeturacin y explicacin en la solucin de las actividades esel encargado de construir las reglas de los signos. La propuesta didctica est diseada paraestudiantes que cursan el nivel de educacin secundaria. Palabras clave: Reglas de los signos, medio didctico, tratamiento escolar, teora de situa-ciones didcticas, ingeniera didctica.Abstract:This project describes the design and implementation of a methodological approachto introduce the rules of multiplications signs through the geometric representation of the

product like the area of a rectangle. The proposal considers two sequences of activities orga-nized, both on a worksheet as well as the software Cabri II Plus. This proposal is designed inthe focus of Brousseaus theory of didactic situations, and it has the student as the principalactor, which is in charge of an experimentation and explanation process during the resolutionof learning activities, for building of the signs rules. This proposal is designed for middle schoolstudents.


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Key words:Rules of the signs, learning environment, school treatment, theory of the didac-tic situations, didactic engineering.

1. INTRODUCCIN

En el proceso de enseanza y aprendizaje, intervienen tres elementos esenciales:profesor, alumno y saber. Al promoverse el conocimiento, el saber es presentadoen las aulas de clase mediante una transposicin didctica que pretende, entreotras cosas, facilitarlo; sin embargo, a la puesta en escena del saber pueden pre-sentarse el surgimiento de dificultades, obstculos y errores por parte de los estu-diantes. Es por ello, que el tratamiento escolar debe propiciar que el estudiante

participe activamente en su aprendizaje, de tal forma que las definiciones, propie-dades, teoremas, objetos matemticos, etc. tengan un sentido lgico, ordenado

y correcto que le permitan hacer uso de la informacin adquirida y convertirla enconocimiento.

En la educacin secundaria muchos tratamientos escolares carecen de unaestructura que permita el anlisis y reflexin sobre los contenidos matemticos.El tratamiento escolar para abordar las reglas de los signos de la multiplicacinsuele consistir en que el estudiante las conozca, las memorice y posteriormentelas aplique en la resolucin de ejercicios. Esto, aunque no es incorrecto pues lafinalidad en este mbito escolar no es presentar la matemtica en su forma axio-mtica, tampoco es suficiente, por ello es importante proponer actividades y ejem-plos que propicien la argumentacin en torno de las nociones matemticas.

2. PROBLEMA Y OBJETIVO DE LA PROPUESTA

La Reforma Integral de la Educacin Secundaria en Mxico hace notar que losestudiantes de este nivel muestran desinters por adquirir los conocimientosdurante su estancia en la escuela, puesto que las prcticas de enseanza prio-rizan la memorizacin en lugar de desarrollar el pensamiento lgico (ReformaIntegral de la Educacin Secundaria, 2002). Bajo este marco, el Programa Na-cional de Educacin (Pro-NaE) propone modificar la prctica educativa paramejorar las oportunidades de aprendizaje de todos los estudiantes. Por lo ante-rior, a travs del Modelo Educativo basado en Competencias, en el ao 2002,dio inicio la reforma de la educacin secundaria, y uno de sus requerimientosinmediatos es la construccin de competencias que respondan a las necesida-


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des de la sociedad y del mercado laboral, lo cual genera la necesidad de unaprendizaje significativo y permanente para el estudiante. Un aprendizaje signi-ficativo requiere comprensin.

Gmez (2001) expresa que en los manuales escolares la suma de los nme-ros con signo se suele justificar con la ayuda de deudas y ganancias, cargos yabonos. Pero cuando se aborda la multiplicacin, este modelo no funciona(p.290), ya que el producto de prdidas no puede ser una ganancia (p.290). Enese sentido cabe cuestionarse cul es la razn de ser de la regla de los signos?Qu modelos podran sugerirse para la enseanza de las reglas de los signos dela multiplicacin?

Los nmeros negativos forman parte del conjunto de los nmeros reales,

sustanciales en el estudio de diversas ramas de las matemticas. Es importan-te destacar que a partir de la estructura axiomtica de los nmeros reales sepueden enunciar y demostrar todas las reglas usuales del lgebra. En particular,hay dos teoremas que al demostrarse bajo los axiomas de campo de los nmerosreales, justifican las reglas de los signos:

Teorema 1:El producto de dos nmeros con signos diferentes es un nmeronegativo.

Teorema 2: El producto de dos nmeros con signos iguales es un nmeropositivo.

Sin embargo, un enfoque axiomtico de las reglas de los signos en un mbi-to educativo bsico, no es quiz el camino apropiado para que el estudianteadquiera el aprendizaje de dichas reglas, entonces, cmo disear una propuestadidctica que permita a los estudiantes construir las reglas de los signos? y quelementos se deben considerar en el diseo de esa propuesta? Ante estas inte-rrogantes, el objetivo del presente trabajo se centra en el diseo de una propues-

ta estructurada que permita, didcticamente, que el estudiante conjeture lasreglas de los signos para la multiplicacin.

3. MARCO DE REFERENCIA

El diseo de la propuesta didctica se orienta bajo el enfoque de la Teora deSituaciones Didcticas. Dicha teora, desarrollada por Brousseau (1986) est sus-


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tentada en una concepcin constructivista del aprendizaje en un sentido piage-tiano: por adaptacina un medio. El medioes el antagonista de la accin delalumno. Para alcanzar el objetivo de la accin, el actuante deber modificar susestados de conocimiento de acuerdo a ciertas reglas que opone el medio y dadoque los aprendizajes estn sometidos a mltiples variables, se hace necesa-rio modelar una sucesin de situaciones -relaciones entre el alumno y el medio,que otorgan las condiciones que generan el conocimiento matemtico- pormedio de las cuales se alcance el aprendizaje deseado. Estas situaciones hipot-

ticas se denominan situaciones didcticas y se oponen a las situaciones adi-dcticas (ver, Brousseau, 2007, pp. 14-15).

Las situaciones didcticas describen la actividad del alumno y del profesor. En

trminos de Brousseau (2007, p.18):

Consideremos un dispositivo diseado por una persona que quiere ensear un co-nocimiento o controlar una adquisicin. Este dispositivo comprende un medio mate-rial las piezas de un juego, un desafo, un problema, incluso un ejercicio, una ficha,etc. y las reglas de interaccin con ese dispositivo, es decir, el juego propiamentedicho. Pero solamente el funcionamiento y el desarrollo efectivo del dispositivo, laspartidas efectivamente jugadas, la resolucin del problema, etc. pueden producir unefecto de enseanza.

En consecuencia, el trabajo del profesor consistira en disear el conjunto desituaciones didcticas que daran origen al conocimiento matemtico cuando elestudiante est en situacin adidctica, llamada as porque el profesor se abs-

tiene parcial o totalmente de intervenir y el estudiante modifica sus estrategias yacciones en funcin de las retroacciones que proporciona el mismo medio (y queel profesor ha propuesto a los alumnos) para llegar al saber matemtico.

3.1. SITUACIONESDIDCTICAS

La teora de situaciones didcticas se organiza en situaciones de accin, formu-lacin, validacin e institucionalizacin; la primeras emprendidas por el estudian-

te y las ltimas desempeadas por el profesor. Adicionalmente, es esencialconsiderar el acto de la devolucin, que implica: comunicar un problema a unestudiante y promover que se sienta responsable de resolverlo asumindolocomo su problema y respondiendo a las demandas del medio.


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La situacin de accin. Es el conocimiento en acto que se manifiesta en lasdecisiones y acciones que el alumno cree son eficaces para lograr su objetivo, deacuerdo a las restricciones y retroalimentaciones del medio. Se hace necesario,entre otros, cierto conocimiento matemtico, el cual se revela como el ms viablepara alcanzar el xito. Advirtiendo que:

No se trata de una situacin de manipulacin libre, una buena situacin de accindebe permitir al alumno juzgar el resultado de su accin y ajustar esta accin, sin laintervencin del profesor, ms bien, gracias a la retroaccin por parte del medio dela situacin (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997, p. 221).

Esta sucesin de interacciones entre el estudiante y el medio constituye loque se denomina dialctica de la accin, el estudiante, por un lado, es capazde anticipar los resultados de sus elecciones y, por el otro, sus estrategias son,en cierto modo, proposiciones confirmadas o invalidadas por la experimentacin enuna especie de dilogocon la situacin (Brousseau, 1997).

La situacin de formulacin. Se caracteriza por la formulacin de un conoci-miento correspondiente a una capacidad del sujeto para reconocerlo, identificar-lo, descomponerlo y reconstruirlo en un sistema lingstico propio; por lo que elmedio que exigir al sujeto usar una formulacin deber entonces involucrar

(ficticia o efectivamente) a otro sujeto, a quien el primero comprometer a comu-nicarle una informacin (Brousseau, 2007).

Para que el alumno pueda hacer explcito su modelo implcito y para que estaformulacin tenga sentido para l, es necesario que pueda utilizar dicha formu-lacin para obtener l mismo o hacer obtener a alguien un resultado. La for-mulacin de los conocimientos pone en juego repertorios lingsticos diversos(sintaxis y vocabulario). La adquisicin de tales repertorios acompaa a la de losconocimientos que enuncian, pero ambos procesos son distintos (Brousseau,2007, p. 26).

La situacin de validacin. La accin y formulacin conllevan procesos decorreccin, ya sea emprica o apoyada en aspectos culturales (Brousseau, 2007,p.26) para establecer la pertinencia o conveniencia de la solucin encontrada uobtenida al problema planteado.

Pero la validacin emprica obtenida en las fases precedentes es insuficiente, elalumno debe demostrar por qu el modelo que ha creado es vlido. Para queel alumno construya una demostracin y sta tenga sentido para l es necesario


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que la construya en una situacin, llamada de validacin, en la que debe convencer

a alguna otra persona. [...] Un estudiante (proponente) somete el mensaje matemtico

(modelo explcito de la situacin) como una aseveracin a un interlocutor (oponente).

El proponente debe probar la exactitud y la pertinencia de su modelo y proporcionar,

si es posible, una validacin semntica y una validacin sintctica. El oponente pue-

de pedir explicaciones suplementarias, rechazar las que no comprende o aquellas

con las que no est de acuerdo (justificando su desacuerdo) (Chevallard, Bosch y

Gascn, 1997, p. 223).

La situacin de institucionalizacin. Los alumnos que han aprendido un co-nocimiento matemtico pueden plantear adecuadamente y responder a cues-

tiones en torno a dicho conocimiento, sin embargo, dado que no tienen mediospara contextualizar dichas cuestiones, no pueden adjudicar a los nuevos conoci-mientos un precepto adecuado. Por ello, el profesor debe esclarecer y puntualizaraquellas actividades realizadas por los estudiantes, sus proposiciones, otorgndo-les un estatuto cultural (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997).

3.2. LAINGENIERADIDCTICA

La metodologa utilizada en esta investigacin se inspira en la ingeniera didc-tica. Artigue (1995), expresa que la ingeniera didctica como metodologa deinvestigacin se caracteriza, en primer lugar, por un esquema experimental ba-sado en las realizaciones didcticas en clase, es decir, sobre la concepcin, rea-lizacin, observacin y anlisis de secuencias de enseanza (p. 36). Estametodologa se caracteriza, tambin, por el registro de los estudios de caso ycuya validacin es en esencia interna, basada en la confrontacin entre el anli-

sis a priori y a posteriori (p. 37).

En el anlisis a priorise busca precisar las posibilidades que se han seleccionado, los

valores de las variables didcticas que se producen como consecuencia de esta se-

leccin y el sentido que pueden tomar los comportamientos previstos teniendo en

cuenta estos valores. En seguida, en el anlisis a posteriori, este anlisis a priorise

compara con la realizacin efectiva y se busca lo que rechaza o confirma las hipte-

sis sobre las cuales estaba basado (Artigue, 1995, p.20).


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La descripcin de la metodologa de la ingeniera didctica se puede realizarpor medio de una distincin temporal de su proceso experimental, diferenciandocuatro fases.

3.2.1. Fases de la ingeniera didctica

Primera: anlisis preliminares. Conocida como fase de planeacin, se basa no sloen un cuadro terico didctico general y en los conocimientos didcticos previa-mente adquiridos en el campo de estudio, sino tambin, en un determinado nme-ro de anlisis preliminares, los ms frecuentes, segn Artigue (1995, p.38), son:

El anlisis epistemolgico de los contenidos considerados en la enseanza. El anlisis de la enseanza tradicional y sus efectos (anlisis didctico). El anlisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y

obstculos que determinan su evolucin (anlisis cognitivo). El anlisis de campo de restricciones donde se va a situar la realizacin

didctica efectiva. Por supuesto, todo lo anterior se realiza teniendo en cuenta los objetivos

especficos de la investigacin.

Esta fase concluye en la formulacin de una hiptesis que orienta las accio-nes del investigador tanto para la concepcin como la gestin de las situacionesdidcticas. La hiptesis de la ingeniera didcticadesempea una funcin crucial:se constituye en el objeto de la investigacin, se valida o refuta una vez realiza-dos los anlisis a posteriori.

Segunda: concepcin y anlisis a priori de las situaciones didcticas.Conoci-da como diseo de las situaciones didcticas, el investigador explicita supuestosreferidos a los procesos de enseanza y aprendizaje que se generan en la situa-cin y los resultados probables y seguros que se desean producir, tambin actasobre un determinado nmero de variables del sistema no fijadas por las restric-ciones; estas son las variables de comando que el investigador concibe comopertinentes con relacin al problema estudiado.

Tercera: experimentacin. Se ejecuta lo planificado; mediante la puesta enescena del medio diseado en las fases previas, se procura observar y detallar elproceso enseanza aprendizaje de la mejor manera posible.


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Cuarta: anlisis a posteriori y evaluacin. Se basa en el anlisis del conjuntode datos recogidos a lo largo de la experimentacin, observaciones realizadas de

la secuencia de enseanza, al igual que las producciones de los estudiantes.Estos datos se complementan con otros obtenidos de la utilizacin de metodolo-gas externas como cuestionarios, entrevistas, etc. Posteriormente se realiza unaconfrontacin de los anlisis a priori y a posteriori, con lo cual se validan, o no,las hiptesis formuladas en la investigacin.

4. ANLISIS PRELIMINARES

4.1. REFERENTEEPISTEMOLGICO

Fue de particular importancia tener un referente histrico de las prcticas relacio-nadas con el surgimiento de las reglas de los signos de la multiplicacin y las

justificaciones que se presentaron por diversos matemticos, en especial para laregla (-)(-) = +. Como expresan Maz y Rico (2009, p. 539) puesto que la mate-mtica tiene una larga historia, es importante investigar de qu forma los cono-cimientos matemticos fueron evolucionando a lo largo del tiempo hasta adquirir

los significados cientficos y desarrollos formales, aceptados en el actual momen-to cultural.

En nuestro anlisis se consideraron los perodos de desarrollo del lgebra,tomando como referencia la caracterizacin de dichas etapas que propone Nes-selmann (1842, citado en Malisani, 1999) es decir, la etapa retrica, la etapasincopada y la etapa simblica. Tambin es relevante mencionar que el surgi-miento y desarrollo de las reglas de los signos de la multiplicacin, dependi engran medida del conocimiento tanto terico como prctico de los nmeros con

signos en el seno de cada cultura; ya que las reglas de los signos tienen suorigen a partir de la aparicin de estos nmeros. A continuacin presentamosun breve resumen de cmo percibimos el surgimiento y desarrollo de las re-glas de los signos y sus propias justificaciones a travs de las etapas de desarro-llo del lgebra.

Cabe sealar que no se tuvo acceso a las obras originales para el referenteepistemolgico, sin embargo a travs de la informacin compartida por algunosautores, nos permitimos estructurar un resumen histrico.


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4.1.1. Etapa retrica

Comprendi del ao 4000 a.C. hasta el 300 d.C., y se caracteriz porque las ope-raciones generales se escriban mediante un enunciado gramatical, es decir, todose escriba como un argumento en prosa. Las civilizaciones china, babilnica,egipcia y griega son los referentes de este perodo.

Los pobladores de la cultura china fueron los primeros en utilizar los nmeroscon signo (400 a.C.), estos nmeros aparecieron por la necesidad de representarproblemas de compra y venta de mercancas; en la prctica utilizaron palillos decolor rojo para representar los nmeros positivos y palillos de color negro para losnmeros negativos (Gallardo y Hernndez, 2007), en su matemtica los nmerosnegativos cobran sentido en el contexto de la resolucin de ecuaciones. Los chi-nos en la solucin de las ecuaciones, operaron la multiplicacin realizando su-mas o sustracciones reiteradas, sin embargo no hay evidencia de argumentosrelacionados con las reglas de los signos.

Respecto a las culturas babilnica, egipcia y griega, al parecer (en esa poca)no se trabaj con nmeros negativos, una razn atribuible es, que estas civiliza-ciones desarrollaron su matemtica considerando aspectos geomtricos, dondelos negativos no tenan razn de ser.

Podra concluirse, que las culturas en sus inicios desarrollaron su matemticaa partir de cantidades positivas, por tal razn en este periodo no tena cabidahablar de las reglas de los signos para la operacin multiplicacin.

4.1.2. Etapa sincopada

Abarca del siglo III al XIV aproximadamente, se caracteriza por la sustitucin de

conceptos y operaciones que se usaban con ms frecuencia, por abreviaturas; porejemplo, las palabras ms y menos se abreviaron como py mrespectivamente.

Diofanto (siglo III), haciendo alusin al producto de dos diferencias escribeuna especie de reglas de los signos:

Lo que es lo que falta multiplicado por lo que es lo que falta da lo que es positivo;

mientras que lo que es lo que falta multiplicado por lo que es positivo, da lo que es

lo que falta (Diofanto, libro I, citado en Gmez, 2001, p. 259).


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Cabe sealar que Diofanto no otorgaba el estatus de nmero a los negativos.As, por ejemplo, rechazaba las ecuaciones tales como x +6 =0,porque no lasconsideraba resolubles.

En general, los matemticos en este perodo no aceptaban a los negativoscomo nmeros, sin embargo, en esta etapa las culturas como la hind utilizaronlos nmeros negativos por la necesidad de representar deudas, adems los ne-gativos aparecen en la solucin de ecuaciones tanto lineales como cuadrticas.

Aunque en esta etapa hubo un mayor dominio de los nmeros negativos sise le compara con la etapa retrica, y algunos matemticos como Diofanto pro-porcionaron enunciados de las reglas de los signos, no hay presencia de demos-

traciones; posiblemente, porque en ese perodo la demostracin no constitua un

elemento fundamental de las matemticas.

4.1.3. Etapa simblica

Comprende del siglo XV hasta la actualidad y se caracteriza porque los enuncia-dos comienzan a representarse con letras y signos. Los nmeros negativos sur-gen al extender la sustraccin a los casos en que el sustraendo era mayor que el

minuendo. Conservando el orden numrico, dichos nmeros haban de ser con-siderados menor que cero y, por tanto, menores que cualquier cantidad positiva.El matemtico Simon Stevin (1548-1620), aceptaba las races negativas de unaecuacin, por lo que utiliz nmeros positivos y negativos como coeficientes deuna ecuacin; por su parte, Leonardo Euler (1707-1783) fue el primero en darlesestatuto legal a los nmeros negativos; y otros matemticos como Pierre-SimonLaplace (1749-1827) interpretaban los nmeros negativos como deudas. A conti-nuacin se presenta la justificacin sobre las reglas de los signos que argumen-

tan Stevin y Euler (citados en Gmez, 2001).

Stevin enuncia un teorema relacionado con las reglas de los signos, el cualjustifica por medio de lo que l denomin una doble comprobacin, es decir,aplica el teorema a un ejemplo, despus el mismo ejemplo lo resuelve de otraforma y de ah conjetura las reglas.

Teorema. Ms multiplicado por ms, da producto ms; menos multiplicado por menos,da producto ms; ms multiplicado por menos, o menos multiplicado por ms, daproducto menos.


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Explicacin:Sea 85 multiplicado por 97, de esta manera: 7 veces 5 hacen (+35), porquecomo dice el teorema por hace +. Despus 7 veces 8 hace 56 (56, porque comose dice en el teorema por + hace ). Y anlogamente sea 85 multiplicado por el 9,dar como productos 7245. Despus juntad +72+35, que son 107. Despus juntadlos 5645, que son 101. Y sustrayendo el 101 del 107, que restan 6, se tiene elproducto de la multiplicacin dada.Explicacin de la regla. Hay que demostrar por lo enunciado que + multiplicado por+ hace +, que por hace +, que + por , o por +, hace .Demostracin. El nmero a multiplicar, 85 vale 3, el multiplicador 97 vale 2. Peromultiplicando 2 por 3 el producto es 6. Luego el producto de aqu arriba tambin es

6, es el producto verdadero. Pero el mismo se ha obtenido por multiplicacin, aquelladonde hemos dicho que + multiplicado por + da producto +, por da producto +, +por , o por + da producto , luego el teorema es verdadero. (Gmez, 2001, p.261).

Posteriormente para mayor garanta de verosimilitud, Stevin incluye una inter-pretacin geomtrica de las reglas mediante la representacin del producto (85)(97) como rea de un rectngulo que se forma de la descomposicin de unrectngulo mayor.

Euler, en sus Elementos de Algebra (1770, p.35) argumenta a partir de la interpreta-cin de los negativos como deudas, considera que la multiplicacin de cantidadescon signo es conmutativa y razona por eliminacin diciendo que apor bser ab

ya que no puede ser abque es lo que vale apor b. (Gmez, 2001, p.262).

Este referente histrico nos permite plantear las siguientes consideracionespara el diseo de la propuesta didctica:

Una construccin de la regla de los signos transitando por momentos ret-ricos, sincopados y simblicos.

Considerar una propuesta vlida (matemticamente hablando) sin presentara los estudiantes una demostracin axiomtica como se estudia en un niveluniversitario, pero s usando referentes matemticos en la argumentacin, talcomo se perciben en las aportaciones de los personajes matemticos.

La regla de los signos asociado a una representacin geomtrica.


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4.2. REFERENTEDIDCTICO

Se revisaron 6 libros, correspondientes a la lista de textos autorizados y publica-dos por la Secretara de Educacin Pblica en diferentes ciclos escolares, com-prendidos del ao 2000 al 2011, para su uso en las escuelas secundarias delSistema Educativo Nacional (publicados en el Diario Oficial de la Federacin). Laseleccin fue apoyada accediendo a los libros que se usaron en su momento enalgunas escuelas y otros vigentes (durante el desarrollo de la presente investiga-cin). Las ediciones de los libros estn comprendidas entre 1993 y 2009.

Para realizar el anlisis de los libros y apreciar el tratamiento otorgado paraabordar las reglas de los signos, se definieron ciertos ejes que permitieran orga-

nizar la informacin. Los ejes fueron: temas antecedentes, temas posteriores, es-tructura del tema (cmo se inicia, cmo se desarrolla y cmo se concluye la reglade los signos), actividades (situacin o contexto mediante la cual se aborda el

tema; dicha situacin o contexto puede ser en el plano intramatemtico o extra-matemtico), construccin de las reglas (se pretende identificar si las actividadesconducen a que el alumno construya las reglas, o en su defecto si el o los auto-res del libro las proporcionan directamente) y ejercicios para el alumno. Paraproporcionar un referente de los anlisis realizados, a continuacin se presenta

el anlisis del libro Matemticas 2, de Martnez y Struck (2001):Eltema antecedentea las reglas de los signos de la multiplicacin, es el temade la adicin y sustraccin, donde se hace una introduccin a las reglas de lossignos mediante el planteamiento de un ejercicio cuya solucin involucra unamultiplicacin de nmeros con signos.

Estructura del tema.El tratamiento para abordar el tema se divide en tresmomentos: introduccin, desarrollo y cierre; tambin se aprecia un apartado deevaluacin y ejercicios de reforzamiento. Introduccin.En un primer momento sepresenta la grfica de una semirrecta en un sistema de ejes perpendiculares

(actividad o situacinpara abordar el tema), en la cual se hace referencia a latabla de multiplicar, el autor ejemplifica con la tabla de multiplicar del 3, (Imagen1). En este caso el nmero 3 representa al primer factor, (pero no se ubica geom-

tricamente en la grfica), mientras que los nmeros ubicados en la recta horizon-tal representan el segundo factor de la multiplicacin y los nmeros ubicados enla recta vertical corresponden al producto de la multiplicacin. En esta situacinse observa que tanto los factores como el producto involucran nmeros positivos,es decir, se relacionan con la regla (+)(+).


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Imagen 1.Representacin grfica de la regla (+) (+), imagen izquierda, y (+) ()en la imagen derecha. Libro de texto de Martnez y Struck (2001).

Se procede de manera similar para justificar la regla (+)(), prolongando lasemirrecta al tercer cuadrante, donde el primer factor sigue siendo el nmero 3

y el segundo factor son los nmeros ubicados en la recta horizontal a la izquier-da del cero (1, 2, 3, etc.). Desarrollo.Posteriormente se gua al estudiante areflexionar, cuestionndolo sobre cmo se representara grficamente la tablade multiplicar del (3). La solucin presentada por los autores es la representa-cin de la Imagen 2, para construirla se proporciona el argumento de que cual-quier nmero multiplicado por uno es igual al mismo nmero, entonces (3)(1)= 3, para construir la semirrecta se unen los puntos (0,0) y el punto que repre-senta que al 1 le corresponde 3, es decir (1,3) y se prolonga en el segundo ycuarto cuadrantes (Imagen 2). En este caso el primer factor de la multiplicacines el 3, mientras que los nmeros del segundo factor son aquellos nmerosubicados en la recta horizontal (parte positiva). Con esta representacin grfica,al parecer, los autores esperan que se infiera que el producto de dos nmeroscon signo negativo, da un nmero positivo y que el producto de un nmeronegativo por uno positivo da como resultado un nmero negativo.

Imagen 2.Representacin grfica de las reglas () () y () (+) en el libro deMartnez y Struck (2001).


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Posterior a la actividad se presentan inmediatamente las reglas de los signos,primero en forma de enunciados y despus en una tabla (cruzada, que incluyelos signos + y ) en la cual se sintetizan dichos enunciados. Si se multiplica unnmero positivo por uno negativo, el resultado tiene signo negativo. Si se multi-plican dos nmeros con signos iguales, el resultado tiene signo positivo (Mart-nez y Struck, 2001, p. 51).

El tratamiento de las reglas de los signos se concluye con dos bloques deejercicios para el alumno, uno al trmino del tema y otro al concluir la unidad, endichos ejercicios la tarea del alumno se reduce a la aplicacin de las reglas delos signos en ejercicios algortmicos.

El tema posteriora las reglas de los signos es la divisin de nmeros con

signos. En los siguientes temas que versan sobre operaciones algebraicas y sis-temas de ecuaciones se requiere el uso de dichas reglas.Se podra decir, que la extrapolacin, es la esencia de la estrategia presenta-

da por los autores. Hay presencia de un mtodo inductivo, en virtud de que atravs de los casos particulares se espera la generalizacin de las reglas de lossignos para la multiplicacin. Sin embargo, desde nuestra perspectiva, esta estra-

tegia pretende que el estudiante le d un significado a la regla de los signos dela multiplicacin, pero partiendo (en un sentido matemtico) de una hiptesisque tiene involucrada a la tesis, es decir, inferir algo partiendo de lo que se quie-

re inferir! por ejemplo, el primer factor (el nmero 3) se multiplica por un nmeropositivo (segundo factor, ubicado en el eje xpositivo) pero por qu se proponeque la representacin sea en el primer cuadrante y no en el cuarto cuadrante?,porque el ejeyque representa al resultado, necesariamente debe ser positivo, esdecir, debe ser positivo de acuerdo a la regla de los signos de la multiplicacin,por lo tanto debe quedar en el primer cuadrante. Pero, cmo entonces, se preten-de que despus de los casos particulares presentados, el estudiante reflexionesobre cmo representara grficamente la tabla de multiplicar del 3? Tendraque saber la regla de los signos para la multiplicacin!

4.3. REFERENTECOGNITIVO

Para tener informacin relacionada al conocimiento de los estudiantes sobrelas reglas de los signos, se estructur un instrumento conformado de tres sec-ciones: la primera seccin solicitaba escribir las reglas de los signos, la segundaaplicar las reglas (operaciones a resolver) y la tercera plantear un problema


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cuya solucin sea por medio de las reglas de los signos. El instrumento seaplic a 23 estudiantes de tercer grado de secundaria, observndose como re-sultados: la memorizacin de las reglas de los signos, la aplicacin incorrectaen los ejercicios y ausencia de situaciones modelizadas por dicha nocin, estoltimo nos permite pensar, que la enseanza impartida a dichos jvenes noincluy modelos concretos.

Los referentes, didctico y cognitivo, nos permiten plantear la siguiente consi-deracin al diseo:

Proponer un modelo concreto que permita al estudiante explorar suspropias interrogantes y en funcin de sus acciones recibir las retroali-

mentaciones correspondientes, y de esa forma conjeturar las reglas delos signos.

4.4. HIPTESISDELAINGENIERA

Diseo de un modelo concreto consistente, planteado en el marco de un contex-to ldico, que permita a los estudiantes de secundaria conjeturar las reglas de lossignos para la multiplicacin.

4.4.1. Variables

La extrapolacin de la representacin geomtrica a la aritmtica. Las diferentes rutas solucin que conllevan al planteamiento de conjeturas. Los colores asociados a las dimensiones del rectngulo y a su rea.

5. DISEO DE LA PROPUESTA

5.1. LASREGLASDELOSSIGNOSYSUREPRESENTACINGEOMTRICA

Para el diseo de la propuesta didctica se consider utilizar como tratamiento larepresentacin geomtrica del producto a partir del concepto de rea de regionesrectangulares. Al hacer referencia a la representacin geomtrica del productomediante reas, se hace alusin a que los factores de la multiplicacin denotan


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las dimensiones del rectngulo (largo y ancho), por lo tanto el producto denotasu rea (Imagen 3).

Imagen 3.Representacin geomtrica del producto mediante el rea.

Al presentar las reglas de los signos mediante la representacin geomtrica,

se asocian a las dimensiones del rectngulo (largo y ancho) un signo (positivo onegativo) de tal manera que cuando se multiplican las dimensiones de dichorectngulo se obtiene un signo para el rea resultante. Sin embargo, en la pro-puesta diseada no se utilizan directamente los signos positivo y negativo, sinocolores para representar los signos. De esta manera se asocia un color para cadadimensin y un color para el rea del rectngulo. Para representar la regla elproducto de dos nmeros con signos iguales, es positivo, se utilizaron coloresiguales representando as los signos iguales, estos asociados a cada dimensindel rectngulo (por ejemplo: verde-verde; azul-azul; rojo-rojo), y para denotar

el rea positiva se utiliz especficamente el color naranja, el cual siempre es elmismo sin importar los colores asociados a las dimensiones.

Para representar la regla el producto de dos nmeros con signos diferentes esnegativo, se utilizaron colores diferentes haciendo alusin a los signos diferentes,asociados a cada dimensin del rectngulo (por ejemplo: verde-gris; azul-rojo;verde-rosa), de igual manera, se utiliz un color para denotar el rea negativa, eneste caso el color amarillo, el cual siempre es el mismo sin importar los coloresde las dimensiones.


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5.1.2. El recurso didctico

Para la eleccin del recurso didctico, se consideraron los siguientes aspectos:

Hacer uso de las herramientas tecnolgicas para lograr dinamismo en lasactividades y motivar la curiosidad del estudiante.

Propiciar la interaccin, es decir, presentar una situacin en la que existauna comunicacin estudiante y medio didctico, de tal forma que el medioproporcione retroalimentacin a las acciones de los estudiantes.

Que el estudiante sea el protagnico, es decir, que las actividades se en-cuentren inmersas en una historia y la tarea del escolar sea jugar-apren-

diendo.

De acuerdo a los aspectos mencionados, el contenido que gui la construc-cin de la regla de los signos se estructur en el software Cabri II Plus, el cualpermiti colocar imgenes, mostrar y ocultar informacin, mover objetos, trazar

trayectorias, sombrear (colorear) reas y presentar escenas consecutivas.Las actividades didcticas se construyeron en una estructura al estilo de vi-

deojuegos en el marco de una historia ficticia que se desarrolla en una poca

de caballeros y princesas, cuya trama comienza cuando unos malvados caballe-ros, secuestran a la princesa Angie del castillo de Metha, y el rey muy preocupa-do encomienda la misin de rescatar a su hija al caballero Ham (protagonistade la historia), quien para ello, debe realizar una travesa, seleccionando cami-nos de diferentes colores que conduzcan a distintos castillos hasta encontrar ala princesa; los caminos son las dimensiones de las regiones rectangulares queforman el recorrido.

5.1.3. Descripcin del contenido de la propuesta

La propuesta didctica se conforma de tres actividades construidas en la inter-face del software Cabri II Plus y tres actividades diseadas en una hoja de tra-bajo para la formulacin y evaluacin de las reglas de los signos. A continuacinse describen las actividades diseadas con el software y las actividades queconforman la hoja de trabajo.


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5.1.3.1. Diseo de las actividades en el software de Cabri II Plus

La ambientacin de la historia construida en la interface del software se confor-ma de ocho escenas (ver Imagen 4).

Escena 1. Introduccin. Se presenta una breve resea de la historia y lasinstrucciones para realizar las actividades. Los elementos caractersticos de estaescena son: el ttulo de la actividad Rescatando a la princesa Angie, informacinacerca del manejo de los botones, relato de la historia, reglas de los movimientospara cada actividad respectivamente y un mapa de la ubicacin de los castillos.

Escenas 2 y 4.Desarrollo. En estas escenas se presenta la situacin que in-volucra a las reglas de los signos por medio de dos actividades (Actividades 1 y

2); en las cuales, el caballero Ham debe dirigirse a determinados castillos paraintentar rescatar a la princesa, para ello debe ir seleccionando caminos hastallegar a los castillos. La seleccin de los caminos se realiza por medio de unmovimiento (que consiste en un desplazamiento horizontal y uno vertical sinimportar el orden); as cuando el caballero selecciona caminos que conducen alcastillo se sombrean reas de un mismo color, haciendo alusin (implcitamente)a las reglas ()() = +, (+)(+) = +, (el producto de dos nmeros con signos igualeses positivo); y cuando selecciona caminos que no conducen al castillo se som-brean reas de otro color, lo anterior relacionado a la regla ()(+) = , (el produc-

to de dos nmeros con signos diferentes es negativo). Adicionalmente se incluyenunos botones, que permiten al estudiante evaluar sus movimientos.

Los objetivos especficos de las Actividades 1 y 2 son, que el estudiante:

Identifique las caractersticas de los movimientos que conforman las rutaspara llegar a los castillos.

Establezca una relacin entre los movimientos y el rea que determinan loscaminos de la ruta para llegar a los castillos.

Establezca conjeturas y plantee una estrategia solucin.

En dichas actividades se espera que el estudiante explore los diferentes cami-nos para llegar a los castillos, no importa si selecciona los caminos por ensayo yerror; se confa que conforme avance en su trayectoria, encontrar estrategiasque le permitan determinar de manera inmediata cules caminos conducen ha-cia los castillos y en particular al rescate de la princesa (Actividad 3). Lo anterior,constituye la situacin de accin. Conforme se desarrolla la actividad el rol delestudiante se centra en observar patrones que le permitan rescatar a la princesa

y de esa forma enunciar resultados (situacin de formulacin).


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Escena 7. Cierre. En la Actividad 3 (escena 7), se pretende que el estudianteseleccione, de cuatro caminos proporcionados el camino que conduce al rescatede la princesa, basndose en las conjeturas realizadas en las fases previas; estaactividad constituye la situacin de validacin.

Imagen 4.Actividades diseadas en Cabri II Plus.

5.5.3.2. Diseo de las actividades correspondientes a la hoja de trabajo

El documento denominado hoja de trabajo, consiste en un folleto de 16 pginas(de 21.59cm de largo x 13.97cm de alto), la primera y ltima son la portada ycontraportada; la pgina que ocupa el noveno lugar entre todas las pginas esuna portadilla y las pginas restantes numeradas del 1 al 13 contienen tareas(estructuradas en tres actividades) que guan al estudiante a la formulacin yevaluacin de las reglas de los signos.


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La pgina 1 presenta brevemente la historia del secuestro de la princesa y dela encomienda que hace el rey al caballero Ham para ir en su rescate. En la p-gina 2 se solicita al estudiante abrir el archivo diseado en el software Cabri yayudar al caballero a rescatar a la princesa. De la pgina 3 a la 7, se presenta a

travs de varias tareas la primera actividadque conforma la hoja de trabajo, cuyopropsito, es que el estudiante pueda conjeturar mediante enunciados las reglasde los signos. La primera tarea (pgina 3, Imagen 5) solicita al estudiante trazarcon su lpiz la ruta que sigui para llegar al castillo de Cataa. Como segunda

tarea (pgina 4, Imagen 5), el estudiante debe describir todos los movimientosque realiz para llegar a Cataa.

Imagen 5.Tareas correspondientes a la Actividad 1 de la hoja de trabajo.

Descritos los movimientos para llegar a Cataa, el estudiante debe realizaruna descripcin, pero utilizando los colores de los caminos recorridos, para pos-

teriormente completar la frase que hace alusin al trmino iguales que es la


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caracterstica que tienen en comn los caminos seleccionados por el caballeroHam (pgina 5, Imagen 5). En seguida se le solicita que construya igualdades,relacionando los lados de los caminos y las reas sombreadas (pgina 6, Imagen5). Esta solucin se puede decir que pertenece a una escritura que correspondeal lgebra retrica, primera fase en el desarrollo histrico del lgebra, debido aque los problemas y sus soluciones se describan mediante lenguaje natural, sinincluir smbolos. Finalmente el estudiante debe completar un enunciado quehace referencia (implcitamente) a las reglas de los signos (pgina 7).

Al trmino de esta primera actividadde la hoja de trabajo se espera que elestudiante por medio de las frases que complet pueda relacionar los colores delas dimensiones del rectngulo y el color del rea respectiva, elementos que pos-

teriormente le permitirn construir las reglas de los signos.La segunda actividadque comprende de la pgina 8 a la 11, est conformadapor seis tareas. Las primeras dos tareas de la segunda actividadson similares ala primera actividad: trazar la ruta para llegar a otro castillo (de Barza) y describirlos movimientos realizados para llegar al castillo, reforzando as aquellos elemen-

tos relevantes para la construccin de las reglas de los signos. La tercera y cuartatareas presentan una lista con los nombres de los colores que aparecen en lasactividades, solicitndole al estudiante que invente un smbolo para cada color, acontinuacin se le pide que describa simblicamente la ruta para llegar al castillo

de Barza, es decir, sustituir los colores por los smbolos que invent (pgina 9,Imagen 6). Posteriormente, en la quinta tarea, el estudiante debe representar sim-blicamente las igualdades entre los lados de los caminos y las reas sombrea-das (esta etapa es la formulacin de las reglas de los signos simblicamente).

Como cierre de esta segunda actividad, en la escena 7 (Actividad 3), el estu-diante debe determinar en un solo movimiento cul de los cuatro caminos pro-porcionados con el software, conduce a Ham al rescate de la princesa (pgina 11,Imagen 6); para ello debe representar simblicamente los movimientos a realizar(pre-construccin de las reglas).

Al trmino de la segunda actividad se espera que el estudiante haya construi-do la representacin simblica de las reglas de los signos. Por lo que, la terceraactividadservir para verificar el aprendizaje de las reglas, mediante dos tareas;en la primera tarea colocar el signo (+) o () a las reas presentadas por regionesrectangulares, de acuerdo con los colores (iguales o diferentes) que correspondena las dimensiones (pgina 12, Imagen 6).

En la segunda tarea (pgina 13, Imagen 6) se presentan movimientos realiza-dos por Ham de manera simblica, incluyendo a propsito los smbolos ()(), (+)


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(+), ()(+); y solicitando al estudiante colocar el signo (+) o (), si el movimientoconduce o no al rescate de la princesa.

Imagen 6. Tareas que competen a las Actividades 2 y 3 de la hoja de trabajo.

Esta ltima actividad da la pauta para determinar si el estudiante plantea larepresentacin simblica de las reglas de los signos. Una vez concluida las acti-vidades, el profesor cuestiona a los estudiantes sobre los resultados obtenidos encada una de las actividades. De esta forma el profesor se enfoca en los pun-

tos principales de la actividad para concretar la conjetura de las reglas de lossignos (situacin didctica de institucionalizacin).

5. RESULTADOS

La propuesta didctica fue aplicada a 9 estudiantes del segundo grado de secun-daria de edades entre 12 a 16 aos. Se seleccion 20% de la poblacin de estudio


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de cada escuela participante. Para la seleccin se aplic un muestreo irrestrictoaleatorio (utilizando la funcin Aleatorio.entre de Excel) seleccionando 4 nme-ros aleatorios comprendidos entre 1 y 20, nmero de alumnos en la Escuela Se-cundaria Tcnica # 22 (Chicxulub Pueblo), y seleccionando 5 nmeros entre 1 y25 para la escuela Diego Lope de Cogolludo (Conkal).

Es importante destacar que las situaciones didcticas de formulacin y vali-dacin (en el diseo de la propuesta) no las consideramos involucrando a otro(s)estudiante(s), sino en cierto modo y con intencin, mediante la hoja de trabajo enla cual el estudiante deber comunicar una informacin. Brousseau (2007) en losinicios de su teora hace notar que el medio que exigir al sujeto usar una for-mulacin debe entonces involucrar (ficticia o efectivamente) a otro sujeto, a quien

deber comunicar una informacin. Aunque la hoja de trabajo no es un sujetopermite que el estudiante comunique lo que ha encontrado. La formulacin delos conocimientos pone en juego repertorios lingsticos diversos (sintaxis y voca-bulario) (Brousseau, 2007).

El diseo considera que los recursos didcticos pueden proporcionar las re-troacciones que permitan al estudiante llegar (intuitivamente) al saber matemtico.Al trmino de las actividades, el profesor cuestiona a los estudiantes sobre los re-sultados obtenidos en cada una de las actividades, validando y argumentando lasestrategias que conducen a la conjetura de las reglas de los signos (presencia de

la situacin de formulacin, combinada con la situacin de institucionalizacin).A continuacin se exponen los resultados obtenidos de la aplicacin, los cua-

les se organizaron siguiendo las situaciones didcticas de la Teora de Situacio-nes Didcticas.

5.1. SITUACINDEACCIN

En la Actividad 1 diseada a manera de juego en el software Cabri II Plus, por

medio de la manipulacin del caballero Ham, los estudiantes participantes inte-ractuaron con el medio para dar solucin al problema planteado. Experimentaronrealizando movimientos para llegar al castillo de Cataa, y as pasar al siguientenivel del juego. En general se observaron las siguientes estrategias para llegar adicho castillo.

Estrategia: ensayo y error. Algunos estudiantes, realizaron varios movimientossin orden especfico hasta llegar al castillo de Cataa, por lo general realizaban unmovimiento correcto despus de una serie de intentos incorrectos, en ocasiones


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pasando por el mismo camino ms de una vez sin analizar las caractersticas dela ruta solucin.

Estrategia: movimiento (abajo) (derecha). Otros estudiantes conjeturaron quela ruta para llegar a Cataa involucraba siempre la eleccin de los movimientosde la siguiente manera: primero un desplazamiento hacia abajo y luego un des-plazamiento hacia la derecha, sin embargo, esta regla no se cumpla en toda laruta, pues el movimiento tres hacia Cataa no segua el mismo patrn.

Estrategia: colores iguales. Otros estudiantes identificaron que los movimien-tos involucraban caminos cuyos colores eran iguales (estrategia adecuada).

Posteriormente en la Actividad 2 diseada en el software, los estudiantes re-currieron a la implementacin de sus modelos construidos en la Actividad 1 para

llegar al castillo de Barza, se observ que algunos estudiantes cambiaron la es-trategia de ensayo y errory la de movimiento (abajo) (derecha), y se centraron enbuscar patrones y caractersticas de los caminos; de esta forma adoptaron comonueva estrategia la de colores iguales, en ese sentido se aprecia que el diseo delas actividades en el software comunicaron que las estrategias deban ser modi-ficadas para ayudar al caballero Ham a rescatar a la princesa. Se provoc uncambio proveniente de ciertas caractersticas de la situacin adidctica que sus-cit que fracasaran las estrategias espontneas (Chevallard, Bosch y Gascn,1997).

5.2. SITUACINDEFORMULACIN

En el diseo de la propuesta se incluy una hoja de trabajo tratando de que estajugara en cierto modo el papel de actuante, as en esta situacin de formulacinse tienen dos actuantes y el medio. Esto no indica que el diseo de la propues-

ta no pueda incluir a ms estudiantes para llevar a cabo una comunicacinverbal en la que haya devoluciones de informacin enriquecedoras. Sin embargo,

en nuestra propuesta privilegiamos la hoja de trabajo como el sujeto ficticio.Consideramos que cada estudiante se enfrent a una situacin de formulacin,al completar enunciados en la hoja de trabajo que hacen referencia a las carac-

tersticas de las reglas de los signos. Por ejemplo, en la primera actividadde lahoja de trabajo, los estudiantes trazaron la ruta para llegar al castillo de Cataa(tarea uno); posteriormente completaron enunciados de las condiciones que de-ben cumplir los movimientos que forman parte de la ruta para llegar a Cataa(tarea cuatro). Tambin describieron las condiciones que deben cumplir los mo-


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vimientos para llegar a Cataa y la relacin con el rea sombreada (tarea seis).El repertorio lingstico y simblico es el que plasman los estudiantes en susrespectivas hojas de trabajo. Asimismo el estudiante poda transitar entre las ac-

tividades del software y las hojas de trabajo reconstruyendo sus apreciaciones(retroacciones).

Se ha mencionado que el profesor tambin juega el papel de actuante, perohasta finalizar la realizacin de las actividades, proporcionando argumentos acer-ca de las estrategias que conducen a la conjetura de las reglas de los signos.

5.3. SITUACINDEVALIDACIN

La situacin de validacin se encuentra en la Actividad 3 diseada en el softwa-re; en ella los estudiantes deban rescatar a la princesa de un slo intento, lograresto era indicador de que los estudiantes haban realizado conjeturas adecuadasa las trayectorias de los caminos relacionadas a las reglas de los signos. Esto fuerealizado correctamente por 6 de los 9 estudiantes. Otra situacin de validacinse encuentra en la segunda actividadde la hoja de trabajo, en donde se les so-licit a los estudiantes que escribieran de manera simblica la relacin que se

cumpla entre los lados de los rectngulos y el rea de dicha figura (tarea 5). Estarepresentacin simblica es un aspecto importante en la situacin didctica deinstitucionalizacin.

5.4. SITUACINDEINSTITUCIONALIZACIN

Se retomaron las producciones de los estudiantes para la institucionalizacin dela regla de los signos. En esta situacin, el profesor plante cuestiones a los es-

tudiantes para que describieran los recorridos ptimos para rescatar a la princesade la historia, la relacin de dichas estrategias descritas en forma de enunciados

y luego simblicamente. Se compartieron diferentes smbolos usados, el porqude ellos, hasta conducir a los estudiantes a la enunciacin de las reglas de lossignos como se conciben en el campo de las matemticas. Se platic que esaconstruccin y enunciacin que ellos haban hecho, es en cierto modo anlogoa cmo aos atrs diversos matemticos argumentaron y demostraron las reglasde los signos para la multiplicacin.


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5.5. PRODUCCIONESDEUNESTUDIANTE

Tomando como referencia lo anterior, a continuacin se presentan las produccio-nes de un estudiante en cada una de las situaciones. (Imagen 7)

Imagen 7.Producciones de un estudiante.

Las acciones que realiz en la primera actividad (interaccin con el soft-ware) fueron movimientos por ensayo y error (Castillo Cataa), pero conformeavanz en esta actividad modific su estrategia, esto se muestra en sus con-

jeturas y formulaciones que hacen referencia a los colores de los caminos(Actividad 1, Parte 4, Imagen 7). Posteriormente se observ que el estudianteidentific los elementos de los colores iguales y las reas de color igual (tareaseis) (Actividad 1, Parte 6, Imagen 7). Este referente, le permiti resolver la si-guiente actividad y determinar la trayectoria que conduca al siguiente castillo(Barza) (Actividad 2, Partes 1 y 2, Imagen 7). Seguidamente escribi de manera


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simblica los elementos (colores iguales generan rea de un color determina-do) de las reglas de los signos (Actividad 2, Partes 3, 4 y 5, Imagen 7), y contes-

t correctamente las actividades de construccin de las reglas de los signos(Actividad 3, Parte 1, Imagen 7). Finalmente en la situacin didctica de institu-cionalizacin, el estudiante en dilogo y reflexin con el profesor rescatan losaspectos geomtricos, el producto, los smbolos y + para institucionalizar lasreglas de los signos.

De esta forma se ha descrito el proceso de conjeturacin e institucionaliza-cin de unas reglas para operar entidades simblicas, que son anlogas a lasreglas de los signos para la multiplicacin, a partir de la representacin geom-

trica y simblica del producto de factores.

Como comentario adicional, los estudiantes externaron que la presentacin delas actividades result ser atractiva ya que interactuaron con conceptos matemti-cos de una forma diferente a la que estn acostumbrados en el aula de clase.

6. CONCLUSIONES

En este trabajo de investigacin se present una propuesta didctica, que orientaal estudiante a conjeturar las reglas de los signos mediante una situacin proble-

ma. En esta situacin las reglas de los signos se construyen por medio de la re-presentacin geomtrica del producto, considerando al producto como el rea deuna figura geomtrica (rectngulo).

Se concluye que el diseo de la propuesta didctica presentada, puede ser unaalternativa a considerarse por los docentes de educacin bsica al abordar la tem-

tica de la regla de los signos. Las actividades diseadas en el software, en vincu-lacin con la hoja de trabajo pueden conducir a los estudiantes a la construccinsimblica de las reglas de los signos sin intervencin del docente, pero ser l quienposteriormente deber esclarecer y puntualizar aquellas actividades realizadas por

los estudiantes, sus propiedades emitidas, para otorgarles un estatuto cultural.

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DATOS DE LOS AUTORES

Jos Benjamn Chan DomnguezFacultad de MatemticasUniversidad Autnoma de [email protected]

Genny Roco Uicab BalloteFacultad de MatemticasUniversidad Autnoma de [email protected]

Regla de Los Signos de La Multiplicación- Una Propuesta Didáctica

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