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REFLEXIONES SOBRE EL TEOREMA DE ERDS-MORDELL Y SUS DEMOSTRACIONES

Vicente Vicario Garca

Con motivo del problema 500 de la revista digital tringuloscabri NDICE 1.- Introduccin . 2 2.- Algunas demostraciones del teorema de Erds-Mordell 2.1. Demostracin de V. Komornik . 3 2.2. Demostracin de H. Lee 4 2.3. Demostracin de Mordell . 5 2.4. Demostracin de S. Dar y S. Gueron 6 3.- Algunas aplicaciones del teorema . 8 4.- Limitaciones del teorema y generalizaciones. Algunas reflexiones. .. 10 Bibliografa

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1.- Introduccin El teorema de Erds-Mordell es una de las joyas de la geometra del tringulo. Fue conjeturado por Erds y planteado como problema 3740 en la seccin de Problemas avanzados de la legendaria revista American Mathematical Monthly (en adelante la representaremos por las siglas AMM) en el nmero 42 de 1935, pg 396. Deca lo siguiente: Problema 3740. Proposed by Paul Erds, The University of Manchester, England.

From a point O inside a given triangle ABC the perpendiculars OP, OQ, OR are drawn to its sides. Prove that

( )OROQOPOCOBOA ++++ 2

Se cree que Erds lleg a plantear su conjetura de forma puramente emprica en 1932 despus de tratar la situacin con tringulos variados y de estudiar mltiples consideraciones. Kazarinoff especula con la idea de que Erds intent generalizar la desigualdad de Euler-Chapple para el tringulo rR 2 , ya que de ser cierta su desigualdad para tringulos acutngulos, implicara inmediatamente la desigualdad anterior. De hecho, si escogemos como punto interior el circuncentro del tringulo y le aplicamos la desigualdad y tenemos en cuenta el conocido teorema de Carnot, el resultado es inmediato

( ) rRrRRRR 22 +++

La primera demostracin, (de carcter trigonomtrico), de que la conjetura era cierta, fue dada por L. J. Mordell y D. F. Barrow [2]. Ms tarde, otras demostraciones elementales fueron publicadas. Algunas se basaban en un teorema de Pappus como la de D. K. Kazarinoff [4] en 1957, otras en el teorema de Ptolomeo como las de A. Avez [7] en 1993 y H. J. Lee [10] en 2001, otras en relaciones de semejanza entre tringulos como la de L. Bankoff [5] en 1958, otra en el concepto de rea y consideraciones de simetra elementales como la de V. Komornik [8] en 1997, e incluso otra como la de A. Oppenheim [6] se basaba en el uso de transformaciones no triviales como el uso de conjugados isogonales, publicada en 1961. Recientemente, y ya en este siglo, S. Dar y S. Gueron [9] generalizaron en 2001 la desigualdad de Erds-Mordell, de modo que sta surge como caso particular. N. Dergiades [11] analiza en 2004 la generalizacin de la desigualdad (ya prevista por Kazarinoff) a puntos fuera del tringulo y W. Janous [12] analiza en profundidad (tambin en 2004) algunas desigualdades que se deducen mediante transformaciones elementales del trabajo de S. Dar y S. Gueron, aplicndolas a puntos notables del mismo. En 2007, apareci una demostracin elemental de fuerte carcter visual de C. Alsina y R. B. Nelsen [15], autores que tambin han propuesto demostraciones visuales muy interesantes de otras desigualdades como las de Weitzenbck o de Finsler-Hadwiger.

Debemos destacar finalmente las mltiples demostraciones alternativas (ms de una docena) propuestas por G. Tsintsifas deducidas a lo largo de varios aos. Todas ellas son muy ingeniosas, pero bsicamente no aaden nada nuevo, aunque como indica

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el propio autor: Hace varios aos busqu nuevas demostraciones del teorema de Erds-Mordell, interesantes y de poca extensin constituyendo ejercicios excelentes sobre la demostracin para matemticos jvenes. 2.- Algunas demostraciones del teorema de Erds-Mordell A continuacin y sumergindonos en la literatura del teorema, expondremos cuatro demostraciones del mismo, todas ellas basadas en conceptos diferentes. El anlisis atento de estas demostraciones proporciona luz sobre la comprensin del teorema, sus limitaciones y sus posibles generalizaciones. Teorema (Erds-Mordell): Dado un punto P en el interior de un tringulo ABC, denotemos por aR , bR , cR sus distancias respectivas a los vrtices A, B, C y por ar , br ,

cr sus distancias respectivas a los lados del tringulo BC, CA y AB. Entonces se cumple la desigualdad

( )cbacba rrrRRR ++++ 2 con igualdad si y slo si el tringulo ABC es equiltero y P es su centro. Demostracin 1 (V. Komornik,[8]): La siguiente demostracin usa slo nociones bsicas relacionadas con los conceptos de rea y simetra. A lo largo de la misma utilizaremos la notacin habitual en la geometra del tringulo. Sea un tringulo ABC y P un punto en el lado BC. Es evidente que el doble del rea del tringulo APC es igual a brb , el doble del rea del tringulo ABP es crc , y el rea del tringulo ABC es cb rcrb + . Por otra parte, es claro que aR , no puede ser menor que la altura del tringulo ABC trazada desde el vrtice A al lado BC. En consecuencia, tenemos que

cba rcrbRa + [*]

Es importante observar que esta desigualdad es vlida para todo punto P en el dominio angular BAC . Es suficiente con notar que la desigualdad anterior es equivalente, por semejanza, a la desigualdad correspondiente relativa al punto P sobre el lado BC que resulta como interseccin de la recta AP con dicho lado. Si el tringulo de partida ABC es equiltero, la desigualdad que afirma el teorema sigue siendo vlida. De hecho, es suficiente poner cba == y sumar las dos desigualdades acb rrR + , y bac rrR + obtenidas por permutacin cclica. Tambin es fcil ver que la igualdad ( )cbacba rrrRRR ++=++ 2 se cumple si y slo si P es el centro del tringulo equiltero de partida. Si el tringulo ABC no es equiltero entonces necesitamos un simple corolario de la desigualdad [*]. Aplicando esta desigualdad al punto simtrico P respecto de la bisectriz interior del ngulo BAC , tenemos claramente que aa RR = , cb rr = y bc rr = con la notacin primada para distancias medidas desde P y sin primar como notacin normal. Entonces bca rcrbRa + para todo punto P en el dominio angular BAC . Por otra parte, si P es interior al tringulo ABC, entonces tambin tenemos por simetra

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que cab rarcRb + y abc rbraRc + . Entonces el teorema se deduce inmediatamente, obtenindose

( )cbacbacba rrrrab

b

ar

c

a

a

cr

b

c

c

bRRR ++>

++

++

+++ 2

donde hemos utilizado la desigualdad elemental 2/1 + xx , 0>x . Notemos que tenemos desigualdad estricta porque por hiptesis a, b, c no son todos iguales. Demostracin 2 (H. J. Lee[10]): La siguiente demostracin recurre al teorema de Ptolomeo para cuadrilteros cclicos y a consideraciones geomtricas elementales. De nuevo utilizaremos la notacin habitual en la geometra del tringulo. Sea P un punto interior al tringulo ABC y sean D, E, F los pies de las perpendiculares trazadas desde este punto a los lados BC, CA y AB, respectivamente. Sea HG la proyeccin ortogonal del segmento BC sobre la recta FE. Entonces es claro que se cumple EGFEHFHGBC ++= . Adems, puesto que APEAFEBFH == (por ser estos dos ltimos inscritos en la misma circunferencia AEPF y abarcar el mismo arco AE) se deduce que los tringulos rectngulos BFH y APE son semejantes y

BFPA

PEHF =

y de forma anloga se puede obtener que

CEPA

PFEG = .

Por otra parte, en virtud del teorema de Ptolomeo, aplicado al cuadriltero cclico AFPE, tenemos que

PA

PFAEPEAFFEPFAEPEAFPEPA

+=+=

y combinando estos resultados, llegamos a

CEPA

PF

PA

PFAEPEAFBF

PA

PEBC +++

o bien

ACPFABPECEPFPFAEPEAFBFPEPABC +=+++

y dividiendo por BC, tenemos que

PFBC

ACPE

BC

ABPA +

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Finalmente, aplicando el mismo razonamiento a las otras proyecciones de los lados BA sobre la recta ED y CA sobre la recta ED, tenemos de forma similar

PDCA

BAPF

CA

BCPB + y PE

AB

CBPA

AB

CAPC +

y sumando las tres desigualdades llegamos a

PFAC

BC

BC

ACPE

BA

BC

BC

BAPD

BA

CA

CA

BAPCPBPA

++

++

+++

Finalmente, de la desigualdad 2/1 + xx , 0>x , se sigue inmediatamente que

( )PFPEPDPCPBPA ++++ 2

Por otra parte, es inmediato comprobar que la igualdad surge si y slo si el tringulo de partida es equiltero y P su centro. Demostracin 3 (L. Mordell y D. Barrow): La siguiente demostracin es de tipo trigonomtrico y generaliza la desigualdad propuesta por Erds. Denotemos por P un punto en el interior del tringulo ABC, por aR , bR , cR sus

distancias a los vrtices respectivos A, B, C y por ar , br y cr las longitudes

respectivas de las bisectrices interiores de los ngulos BPC (del tringulo BPC), CPA (del tringulo CPA) y APB (del tringulo APB). Denotemos tambin por

2=BPC , 2=CPA , 2=APB . Al comparar el rea del tringulo PBC con las reas de las dos partes en que queda descompuesto al trazar la bisectriz interior y utilizar la desigualdad

cbcb RRRR + 2 , tenemos que

( ) senrsenRRrsenRR acbacb 22 += donde la igualdad ocurre solamente cuando cb RR = . En consecuencia, teniendo en cuenta la expresin clsica del seno del ngulo doble, llegamos a

cos acb rRR

y de forma anloga obtenemos cos bac rRR y cos cba rRR . Por otra parte, de la identidad

( ) ( )22coscoscos2cos2cos2

senRsenRRRR

RRRRRRRRR

cbcba

baaccbcba

+=

=++

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y de las expresiones anteriores, se deduce claramente que

( ) ( )cbacbacba rrrrrrRRR ++++++ 22 La igualdad ocurre solamente cuando se tienen las igualdades cba RRR == ,

senRsenR cb = , coscos += cba RRR , de manera que == , y en consecuencia el tringulo es equiltero y P es su centro. Nota: La desigualdad ( )2 cbacba rrrRRR ++++ se puede considerar una extensin o mejora sustancial al teorema de Erds-Mordell, y de hecho, fue advertida por primera vez por D. F. Barrow, conocindose desde entonces como desigualdad de Barrow. Demostracin 4 (S. Dar y S. Gueron[9]): En esta demostracin se generaliza el teorema probando una desigualdad con pesos. La desigualdad de Erds-Mordell surge entonces como un corolario particular para pesos iguales. Sean 1 , 2 , 3 tres constantes positivas. Sea 321 AAA un tringulo con lados

1a , 2a , 3a y ngulos 1 , 2 , 3 respectivamente opuestos a los mismos. Sea P un punto interior al tringulo y iF el pie de la perpendicular trazada desde P al lado

opuesto al vrtice iA . Denotemos ii RPA = y ii rPF = . Demostraremos que entonces se cumple la siguiente desigualdad

==

3

1321

3

1

12

ii

iiii rR

con igualdad si y slo si 3

3

2

2

1

1

aaa

== y P el circuncentro del tringulo 321 AAA .

El cuadriltero 321 PFFA es cclico por poseer dos ngulos opuestos que son

rectos, y en consecuencia 32132 180 +== PFF . Entonces, en virtud del teorema de los cosenos aplicado al tringulo 32FPF , tenemos que

( ) ( ) ( )( ) ( )2233222332

3232322

322

222

232

32

32322

32

232322

32

22

32

coscos

coscos2coscos

)cos(2)cos(2

rrsenrsenr

rrsensenrsenrsen

rrrrPFFPFPFPFPFFF

++

=++++

=++=+=

Por otra parte, es bien sabido que 1PA es el dimetro de la circunferencia

321 PFFA , as que, a partir del teorema de los senos generalizado, llegamos a la

expresin 111132 senRPsenAFF ==

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y finalmente, obtenemos que

( ) ( ) ( )( )22332

22332

22332

232

211 coscos

senrsenr

rrsenrsenrFFsenR

+

++==

y, en consecuencia

31

22

1

31 rsen

senr

sen

senR +

La igualdad en la expresin anterior surge si y slo si 2332 coscos rr = , y entonces, si y slo si

)90(

)90(

cos

cos

)(

)(

2

3

2

3

2

3

13

12

===

sen

sen

r

r

PAAsen

PAAsen

donde )90()90( 231312 +=+ PAAPAA , y por tanto, se sigue la igualdad si y slo si 312 90 = PAA , y 213 90 = PAA , lo que significa que P surge en la lnea que une 1A con el circuncentro del tringulo. De forma anloga tenemos que

12

33

2

12 rsen

senr

sen

senR +

y 23

11

3

23 rsen

senr

sen

senR +

con anlogas condiciones para la igualdad. Multiplicando las desigualdades para 1R , 2R

y 3R por 1 , 2 y 3 respectivamente y sumndolas despus, tenemos que

32

12

1

21

21

31

3

131

3

23

2

32332211

rsen

sen

sen

sen

rsen

sen

sen

senr

sen

sen

sen

senRRR

+

+

+

+

+

++

con igualdad si y slo si P es el circuncentro del tringulo 321 AAA .

Utilizando la desigualdad entre las medias aritmtica y geomtrica, tenemos que

323

23

2

32 2

+

sen

sen

sen

sen

con igualdad si y slo si

3

2

3

2

3

2

3

23

2

32

===

sen

sen

a

a

sen

sen

sen

sen

y anlogamente

8

131

31

3

13 2

+

sen

sen

sen

sen

212

12

1

21 2

+

sen

sen

sen

sen

con anlogas condiciones para la igualdad. Finamente, combinando las tres desigualdades anteriores, tenemos que

==

=++3

1321

3

1332211

12

ii

iiii rRRRR

lo que demuestra el teorema. Por otra parte, haciendo ahora 321 == , surge la desigualdad de Erds-Mordell como caso particular, con igualdad si y slo si el tringulo es equiltero y P es su centro. 3.- Algunas aplicaciones del teorema A continuacin utilizaremos la notacin habitual en la geometra del tringulo y expondremos algunas aplicaciones geomtricas interesantes del teorema de Erds-Mordell, algunas de ellas particularizando para puntos notables del tringulo. (a) Comenzaremos aplicando el teorema tomando como punto interior de un tringulo el incentro del mismo, de modo que

( ) 62

cos2

cos2

cos2

222

++++++ CecBecAecrrrC

sen

rB

sen

rA

sen

r

Nota: Observemos que esta misma desigualdad se puede obtener aplicando la desigualdad entre las medias aritmtica y geomtrica junto con la desigualdad clsica

8

1

222CsenBsenAsen , de manera que

683

222

13

2

1

2

1

2

1 33

=++C

senB

senA

senC

senB

senA

sen

(b) Apliquemos ahora la desigualdad al circuncentro de un tringulo, de modo que ahora es sencillo obtener

( )2

3coscoscoscoscoscos2 ++++++ CBACBARRRR

que es otra de las desigualdades clsicas bien conocidas. (c) Utilizaremos la desigualdad de Erds-Mordell para resolver la siguiente proposicin.

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Proposicin: Sea ABC un tringulo e I su incentro. Entonces al menos una de las distancias IA, IB, IC es mayor o igual que el dimetro de la circunferencia inscrita en el tringulo. La proposicin se demuestra inmediatamente sin ms que aplicar la desigualdad de Erds-Mordell al incentro del tringulo, de manera que tenemos

( ) rICIBIArrrICIBIA 62 ++++++ de donde se deduce inmediatamente la desigualdad pedida. Nota: En realidad si P es un punto cualquiera interior a un tringulo se tiene la desigualdad rPCPBPA 6++ , de donde la conclusin anterior (al menos una de las distancias PA, PB, PC es mayor o igual a 2r) se deduce no slo para el incentro de un tringulo sino para todos sus puntos interiores. (d) Una de las aplicaciones ms sorprendentes del teorema de Erds-Mordell es la demostracin sencilla de la siguiente proposicin (que apareci en I.M.O. 1991 como problema propuesto por Francia) Proposicin: Sea ABC un tringulo y P un punto interior. Entonces al menos uno de los ngulos PAB , PBC PCA es menor o igual que 30 . Razonaremos por reduccin al absurdo y supondremos que aR , bR , cR denotan

las distancias respectivas del punto P a los vrtices A, B, C y por ar , br , cr sus

distancias respectivas a los lados del tringulo BC, CA y AB. Supongamos entonces que ninguno de los ngulos PAB , PBC , PCA es menor de 30. Se tienen entonces claramente las desigualdades siguientes

( )

( )

( ) bcc

b

abb

a

caa

c

rRR

rPCAsen

rRR

rPBCsen

rRR

rPABsen

=

=

=

22

1

22

1

22

1

Sumando ahora las tres desigualdades tenemos ( )cbacba rrrRRR ++

10

Sean PAB= , PBC= , PCA= ; PAx = , PBy = , PCz = . Supongamos que , y son mayores de 30. Si es el rea del tringulo ABC

( )bzaycxsenbzsenaysencx ++>++=4

1

2

1

2

1

2

1 [#]

porque sen , sen , sen son mayores que 1/2. Como por la desigualdad de Weitzenbck ++ 34222 cba , se tiene que ( )bzaycxcba ++++ 3222 . Pero, por el teorema de los cosenos, tenemos que

bzzbbzzbx +>+= 3cos2 22222

+= 3cos2 22222

+= 3cos2 22222

ii rR 22 , donde iR es la suma de las distancias de P a los vrtices del tetraedro y ir es la suma de las distancias de P a las caras del mismo, siendo 22 la mejor constante posible. Referencias bibliogrficas A lo largo de las referencias las siglas AMM representan la revista centenaria American Mathematical Montly y FG la revista digital Forum Geometricorum. [1] P. Erds, Problem 3740, AMM 42 (1935), 396 [2] L. J. Mordell, and D. F. Barrow, Solution 3740, AMM 44 (1937), 252-254 [3] L. J. Mordell, Egy geometriai problma megoldsa (Solution of a geometrical problem), Kzpiskolai Matematikai s Fizikai Lapok 11 (1935), 145-146 [4] D. Z. Kazarinoff, A simple proof of Erds-Mordell inequality for triangles. Michigan Mathematical Journal, 4 (1957), 97-98 [5] L. Bankoff, An elementary proof of the Erds-Mordell theorem, AMM 65 (1958), 521 [6] A. Oppenheim, The Erds inequality and other inequalities for a triangle, AMM 68 (1961), 226-230 [7] A. Avez, A short proof of a theorem of Erds and Mordell, AMM 100 (1993), 60-62 [8] V. Komornik, A short proof of Erds-Mordell theorem, AMM 104 (1997), 57-60 [9] S. Dar and S. Gueron, A weighted Erds-Mordell inequality, AMM 108 (2001), 165-167 [10] H. J. Lee, Another Proof of the Erds-Mordell Theorem, FG 1 (2001), 7-8 [11] N. Dergiades, Signed Distances and the Erds-Mordell Inequality, FG 4 (2004), 67-68

12

[12] W. Janous, Further Inequalities of Erds-Mordell Type, FG 4 (2004), 203-206 [13] A. Kubatov, Az Erds-Mordell egyenltlensg [14] G. Tsintsifas, [15] C. Alsina, and R. B. Nelsen, A Visual Proof of the Erds-Mordell Inequality, FG 7 (2007), 99-102 [16] F. Bellot y M. A. Lpez, Cien problemas de matemticas. Combinatoria. lgebra. Geometra. Instituto de Ciencias de la Educacin. Universidad de Valladolid. 1994.