REDISTRIBUCIN DE MOMENTOS FLECTORES

Wilson E. Silva Berros

Captulo 15 Seccin 1

CONCRETO ARMADO Y PRESFORZADO

Al estudiar los Diagramas M - -, se discuti la importancia de lograr un comportamiento dctil de las estructuras y elementos estructurales.

La importancia est asociada a la necesidad de Evitar las Fallas Frgiles en las estructuras y elementos, a la actual filosofa de diseo ssmico que confa en las propiedades de Absorcin y Disipacin de Energa y a la posibilidad de Modificar la Distribucin Elstica de los momentos flectores.

Si las secciones de un elemento (p.e. una viga hiperesttica) tienen suficiente ductilidad, es posible modificar el DMF obtenido del anlisis elstico, aliviando p.e. los M- y transfiriendo la reduccin hacia la zona de M+. A este proceso se le denomina Redistribucin de Momentos. La fig.1 ilustra la Redistribucin de Momentos en una viga doblemente empotrada sometida a una carga distribuida uniforme.

Introduccin

Fig. 1. Redistribucin de Mtos. Flectores en una Viga Bi-empotrada

El diagrama A corresponde a la Distribucin Elstica de los momentos flectores y el diagrama B al de Momentos Ajustados o Redistribuidos, distinto al elstico, en el cual se han reducido los M-.

Este nuevo diagrama ser posible si las secciones en las zonas de M-, una vez alcanzada la fluencia del As, tienen suficiente Capacidad de Rotacin Inelstica manteniendo su resistencia (capacidad de Mto.) de tal modo que transfieran la diferencia hacia la zona de M+.

En este caso la rotacin inelstica se concentra en las zonas aledaas a los empotramientos en una cierta longitud, difcil de estimar con precisin, que se denomina zona plastificada.

Normalmente la Redistribucin se utiliza para reducir los M- en las zonas de Rtulas Plsticas o zonas plastificadas, con respecto a los obtenidos del anlisis elstico, lo que implica -para mantener el equilibrio-, en un aumento de los M+. Como resultado es posible, p.e., reducir la congestin del As en la zona de M- sin reducir la seguridad del elemento o estructura. La Redistribucin tambin puede suceder en la eventualidad de una S/C o accin imprevista sobre el elemento o estructura. En esta eventualidad -si la estructura es redundante y con suficiente ductilidad-, las secciones que alcancen mtos flectores cercanos al de fluencia, podrn transferir el exceso de demanda hacia las zonas que an tienen reserva de resistencia hasta formar un mecanismo plstico y agotar la capacidad de la estructura. Ensayos han mostrado que una Estructura Hiperesttica puede seguir admitiendo incrementos de carga an cuando una o varias secciones hayan entrado en fluencia, si las secciones que ya alcanzaron su Capacidad (Resistencia) pueden soportar Rotaciones Inelsticas es decir, si se pueden formar Rtulas Plsticas. Esto permite el Incremento de los mtos en otras secciones (Redistribucin) que tienen reserva hasta que se forme el Mecanismo de Colapso.

Diagramas Momento - Rotacin

Existe diferencia entre un diagrama Mto-Curvatura (M-) y un diagrama Mto-Rotacin (M-) para la zona plastificada de una viga de C.A.

El primero corresponde a una seccin fisurada de C.A. (en teora, de longitud nula); y el segundo, a una zona del elemento, normalmente la zona donde se forma la articulacin plstica.

La capacidad de las estructuras de C.A. para soportar rotaciones inelsticas en las zonas de formacin de las rtulas plsticas, no es ilimitada.

Por lo tanto, cuando se realiza un anlisis lmite en una estructura de C.A. o cuando se reducen los mtos mediante Redistribucin, es necesario conocer (o por lo menos estimar) la Demanda de Rotacin Inelstica en las zonas donde se forman las rtulas.

La Demanda se compara con la Disponibilidad de Rotacin Inelstica que tiene la estructura en esas zonas.

Si la Demanda > Disponibilidad, no ser posible una Redistribucin total, ni ser posible alcanzar el mecanismo plstico de colapso ya que las secciones donde se forman las rtulas no tendrn suficiente capacidad de rotacin inelstica.

Recuerde que la Curvatura se define como la rotacin por unidad de longitud del elemento, en consecuencia la Rotacin entre dos puntos A y B, esta dada por (1).

1dxB

A AB

Sin embargo, los diagramas Mto-Curvatura se construyen para una seccin agrietada mientras que la zona donde se presenta la plastificacin tiene una cierta longitud que se denota mediante el smbolo lp (longitud plastificada equivalente). Esta zona incluye normalmente una cierta cantidad de grietas discretas.

Entre estas grietas el Co no fisurado reduce la deformacin unitaria del As que conduce a lo que se conoce como efecto de Rigidizacin por Tensin.

Existe la posibilidad de calcular las Deflexiones de Elementos de C.A. a partir de los diagramas Mto-Curvatura de las secciones que lo componen.

A partir de un diagrama Mto-Curvatura (M-), en teora, se podra calcular la rotacin entre 2 puntos cualesquiera a lo largo del eje del elemento y por lo tanto calcular la Rotacin Inelstica (plstica) disponible en la zona de la rtula.

Como resultado del Efecto de Rigidizacin, la rotacin total en la zona de rtula es menor que la que resultara de multiplicar la curvatura por unidad de longitud en la seccin fisurada, por la longitud observada o supuesta en la zona de rtula.

Lo anterior hace difcil el clculo de la rotacin inelstica disponible en la zona de las rtulas, por lo tanto se suele acudir a expresiones empricas producto del ajuste de resultado experimentales o a simplificaciones del problema real.

Adicionalmente los diagramas M- construidos a partir de la teora estudiada, no incluyen las deformaciones causadas por el agrietamiento inclinado por cortante ni por el deslizamiento del acero en las vecindades de las grietas.

Requisitos Generales para la Redistribucin

a. Las secciones donde se forman las rtulas deben tener la ductilidad suficiente para aceptar rotaciones inelsticas, permitiendo que otras secciones alcancen su mto de fluencia. Esto significa que se debera comparar la capacidad de rotacin inelstica en las zonas donde se prev que se formarn las rotulas plsticas, con la demanda de rotacin impuesta por las cargas externas. Sin embargo, veremos que si se utilizan los lmites de redistribucin que permite la Norma, esta verificacin no es un requisito de la Norma.

b. En el Cap. 4 de Diagramas M-, se estudiaron las principales variables que

afectan a la Ductilidad de Curvatura de una seccin de C.A. y en consecuencia la Capacidad de Rotacin Inelstica de la misma. Lo que no se ha presentado es como calcular la capacidad inelstica de rotacin a partir de los diagramas M- ni como calcular la demanda de rotacin.

c. Las Rtulas Plsticas no deben formarse al nivel de cargas de servicio ya que en estas secciones las grietas pueden tener anchos y profundidades importantes. Adicionalmente, la estructura bajo cargas de servicio podra experimentar deflexiones apreciables, incompatibles con los estados lmites de servicio.

d. Ya que normalmente los mtos mximos + y - provienen de patrones de carga distintos (alternancia) las secciones tienen una reserva de resistencia la cual no es totalmente empleada por ninguna de las condiciones de carga usuales. La Redistribucin permite utilizar la capacidad total de un mayor nmero de secciones a medida que se alcanza la carga ltima (lmite) obtenindose un diseo ms eficiente.

e. El ajuste de los M y M+, debe realizarse para cada estado de carga. Luego las seccionen se disean para los mximos ajustados que resulten de cada uno de los estados de carga.

f. Se debe mantener el equilibrio esttico, entre la carga externa y las fuerzas internas de seccin, en todos los apoyos (nudos) y tramos antes y despus de la redistribucin.

Especificaciones de la Norma de C.A. - Redistribucin La Norma Peruana de C.A. y el ACI permiten que se aumenten o disminuyan los M- en los apoyos de los miembros continuos para cualquier estado de carga.

El porcentaje de aumento o disminucin de los M- calculados por mtodos elsticos en los apoyos de elementos continuos, no deber superar el siguiente valor:

2 %enb

)(

120

Esta expresin es aplicable solo a aquellas secciones en las cuales el trmino cuanta en flexin () tenga significado, estas son las secciones rectangulares y las T, en consecuencia, parecera que el cdigo limita la redistribucin a este tipo de secciones.

Lo que sucede es que la investigacin experimental que dio base a la propuesta del cdigo, probablemente se realiz nicamente en secciones rectangulares o T. Sin embargo, otras formas de secciones transversales tambin tienen capacidad de rotacin inelstica y en consecuencia ser susceptibles a redistribucin de momentos flectores, por lo tanto la expresin propuesta por el cdigo puede transformarse a:

3 %enAsb

AsAs)(

120

La fig.2 (ACI) compara los resultados experimentales de la cantidad de redistribucin disponible contra el ndice de refuerzo por flexin, ( - )/b.

Se indica tambin el lmite de redistribucin (expresin 2) adoptado por la Norma.

Este lmite, es conservador comparado con los resultados experimentales y no ha sido modificado desde la edicin del ACI del ao 1971.

Cambio en el Momento Flector en %

disponible

l/d =23

b/d = 1/5

Permitida por la Norma desde el ACI de 1971

(-) /b

Fig. 2 Redistribucin permitida por la Norma en comparacin con la disponible terica y experimental

Limitaciones de la Norma

a. En la seccin o secciones donde se reduce M, la cantidad mxima de As presente debe cumplir con:

b.' o

b. 5050

Una de las variables que ms influye en la ductilidad de las secciones de una viga, es la cantidad de refuerzo presente, en consecuencia, con esta limitacin, la Norma pretende garantizar que la seccin en la cual se realiza la redistribucin, tenga una ductilidad de curvatura adecuada.

b. La redistribucin de momentos no es aplicable cuando los Mtos flectores hayan sido obtenidos mediante mtodos aproximados, como p.e., por el mtodo de los coeficientes de la Norma.

c. Los M- modificados deben utilizarse para calcular todas las fuerzas internas restantes (M y V) de tal modo que se conserve el equilibrio entre las fuerzas internas y las cargas externas.

d. De las ecs 2 y 3 resulta claro que el cdigo establece un limite superior del 20% para la redistribucin de los Mtos. Este limite es en general conservador.

Est basado en la informacin experimental sobre la capacidad de rotacin inelstica de secciones y elementos, para las cuales se adoptaron valores conservadores de la deformacin mxima del concreto (cu) y de las longitudes de rtulas plsticas.

La adopcin de este lmite conservador demostr en los ensayos, que la fisuracin y las deflexiones de los elementos diseados con los niveles mximos de redistribucin permitidos, no eran significativamente mayores, bajo cargas de servicio, que los diseados a partir de la distribucin elstica de momentos.

La cantidad mxima de redistribucin fijada por la Norma, no requiere que las secciones tengan grandes cantidades de ductilidad disponible, las que solo se podran lograr con cuantas de refuerzo bajas y gran capacidad del Co para deformarse, capacidad asociada a valores altos de cu que se logran con la presencia de abundante refuerzo transversal de confinamiento.

Es por eso que la cantidad de redistribucin que permite el cdigo, no est condicionada a la presencia de refuerzo de confinamiento, solo est limitada por la cuanta de acero en flexin de la seccin. Por lo tanto, es posible redistribuir mtos an en elementos que no tengan refuerzo transversal, como lo son p.e. los aligerados.

Adicionalmente, si se emplean los lmites de redistribucin de la Norma, es de esperar un comportamiento aceptable bajo cargas de servicio.

e. La Norma no requiere el clculo de la cantidad de rotacin inelstica disponible en las zonas donde se espera que se formen las rtulas plsticas. Tampoco exige el clculo de la demanda de rotacin inelstica que se produce como consecuencia de la redistribucin en las rtulas, por la accin de las cargas externas.

La fig. 3 muestra el porcentaje de Redistribucin Mximo que permite la Norma versus el ndice de refuerzo:

10 %

20 %

=

= 0.5

b

0.5

% de ajuste en los momentos

Fig. 3. Redistribucin mxima permitida por la Norma

Introduccin al Anlisis Limite

Cuando se presentaron los Estados Lmites ltimos de una estructura o elemento estructural, se mencion que uno de ellos era el asociado a la Formacin de un Mecanismo Plstico, es decir a la situacin en la cual se forma un nmero suficiente de rotulas plsticas que convierten a la estructura en un mecanismo.

En esto se basa el Anlisis y Diseo Lmite conocido tambin como Diseo Plstico.

La aplicacin de esta metodologa de anlisis, permite entender mejor la Redistribucin de Momentos y fue aplicada, como herramienta para estimar la Capacidad o Carga Lmite, en ejemplos de flexin (vigas y aligerados).

Ejemplo 1. Para introducir algunas particularidades adicionales del Diseo Limite, se analiza una viga doblemente empotrada, cuya distribucin de acero de refuerzo ha sido obtenida a partir de un anlisis elstico convencional utilizando el Diseo por Resistencia.

21

6 m

21

11 11

d = 6

35

d = 64 70

Para formarnos una idea de la ductilidad de curvatura disponible de las secciones, construiremos los diagramas M - para las secciones de M- y M+. Asumiremos un modelo parablico - lineal para el Co y un modelo elastoplstico perfecto para el As.

4200 kg/cm2 E = 2x106 kg/cm2

y= 0.0021

Acero

Concreto

fc = 280

220 (0.8 fc)

0.002 0.004

Momento de Fluencia (My) 37.36 ton-m Curvatura de Fluencia (y) 4.46x10-3 1/m Deformacin del concreto (cf) 0.00075 (0.38 o) Altura del bloque comprimido (c) 16.87 cm Momento ltimo (Mu) 38.83 ton-m Curvatura ltima (u) 57.4x10-3 1/m Deformacin en el concreto (cu) 0.004 Altura del bloque comprimido (c) 6.95 cm Ductilidad de curvatura 12.9

- Seccin de M-:

31

21

70

35

6

6

Momento de Fluencia (My) 25.28 Ton-m

Curvatura de Fluencia (y) 4.19x10-3 1/m

Deformacin del concreto (cf) 0.0006 (0.3 o) Altura del bloque comprimido (c) 13.90 cm Momento ltimo (Mu) 26.37 ton-m

Curvatura ltima (u) 68.1x10-3 1/m

Deformacin en el concreto (cu) 0.004 Altura del bloque comprimido (c) 5.86 cm Ductilidad de curvatura 16.2

- Seccin de M+ :

21

21

6

6

35

70

10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40 Apoyos

Centro

M (ton-m)

x 10-3

Diagramas M -

Los diagramas de M- obtenidos son prcticamente bilineales, por lo que podemos asumir sin mayor error que My Mu. Adicionalmente, los resultados indican que tanto las secciones de M- como las de M+ tienen una alta Ductilidad de Curvatura y por lo tanto deben ser capaces de soportar Rotaciones Inelsticas importantes, siempre y cuando no sobrevenga antes una falla por fuerza cortante, posibilidad que debe evitarse mediante un diseo adecuado por cortante de la viga, si se quiere utilizar la ductilidad de las secciones.

La capacidad de rotacin inelstica disponible en las zonas de M-, donde se espera se producirn las primeras rtulas plsticas, se puede estimar con la ec. 4 (Park & Paulay) donde lp es la longitud plastificada equivalente, la cual se puede estimar para este caso, conservadoramente, como 0.5 d.

p disponible = (u - y) lp (4)

Para este ejemplo, en las zonas de empotramiento, tendremos:

p disponible =(57.4 4.46)x10-3 x 0.5 x 0.64 17 x10-3 rad

La Capacidad de Rotacin Inelstica disponible calculada, que en este caso es grande, deber compararse con la Demanda de Rotacin en la zona de negativos, cuando se forme el mecanismo plstico. Con fines comparativos, calculemos la resistencia nominal, de acuerdo al cdigo, de las secciones de M+ y M-.

Mn con As Mn sin As Mn terico

Momento negativo 38.77 t-m 38.65 38.83

Momento positivo 26.31 t-m 26.32 26.37

Notamos nuevamente la poca influencia que tiene en la resistencia de la seccin la presencia de As. Tambin, la buena aproximacin al valor del mto nominal mximo (Mn) que se obtiene en este caso, al utilizar las suposiciones del cdigo para evaluar la resistencia en flexin. Ahora, realizaremos el Anlisis Limite con cargas incrementales para determinar el valor de la carga mxima (lmite) que puede soportar la viga, as como la secuencia de formacin de rotulas. El primer paso consiste en hallar el valor de la carga u1 que agote la capacidad en las secciones de momento negativo (Mn-) para ello utilizaremos la distribucin de mtos correspondiente a la etapa elstica.

Para M-: Mn- = 38.77 = (1/12 ) wu1 (36) wu1 12.92 ton/m

Para M+: M+ = (1/24 )(12.92) 36 = 19.38 < Mn+

19.38

wu1 = 12.92 t/m

38.77 38.77 L = 6 m

Para M-: Mn- = 38.77 = (1/12 ) wu1 (36) wu1 12.92 ton/m Para M+: M+ = (1/24 )(12.92) 36 = 19.38 < Mn+

Las secciones de los empotramientos alcanzaron la fluencia, mientras que la seccin central aun tiene una capacidad no utilizada plenamente, por lo tanto a la viga le queda una reserva de resistencia.

Si la seccin de los empotramientos poseen suficiente capacidad de rotacin inelstica, se puede seguir incrementando la carga y utilizar la reserva de resistencia de la zona de M+. Para ello debern formarse articulaciones plsticas en los apoyos.

Ya que los diagramas M- son prcticamente del tipo bilineal no habr incremento de M- ante posteriores incrementos de la carga, por lo tanto la viga se comportar como S.A.

Dw

DM+ = 1/8 (Dw) L 2

p

La capacidad remanente en la seccin de M+ ser la diferencia entre la capacidad mxima (resistencia disponible) y la ya empleada. Por lo tanto la capacidad remanente es:

DM+ = 26.31 19.38 = 6.93 ton-m 1/8 (Dw) (36) = 6.93 Dw 1.54 t/m wul = wu2 = 12.92 + 1.54 14.46 ton/m

Cuando la carga alcance una intensidad de 14.46 ton/m, se formar un mecanismo con 3 rotulas, con el siguiente diagrama de momentos:

14.46 t/m

1 1 2

26.31

38.77 43.38

21.69

8

2l

8

2l

anlisis lmite

distribucin elstica

El equilibrio (esttica) siempre deber cumplirse (comprobacin):

(1/8) ul L2= 14.46 x 36 /8 = 65.07 ton-m = 43.38 + 21.69 = 38.77 + 26.31

Cambio en los momentos flectores: M- de 43.38 a 38.77 -11 %

M+ de 21.69 a 26.31 + 21 %

El cdigo permite para esta viga la sgte cantidad mxima de redistribucin. En este caso, la reduccin de los M- en los empotramientos:

31

21

70

35

Seccin apoyos

b. %...

5022806435

210315

b = 2.83% 0.5 b = 1.42%

% Redistrib. = 20(1 0.228/2.83) 18%

Clculo de la demanda de Rotacin Inelstica que se produce en las zonas de M- al alcanzar el mecanismo plstico.

Mientras que no se formen las rtulas en los empotramientos, no habr demanda de rotacin inelstica.

La demanda se produce una vez que se hayan formado las rtulas en los empotramientos. La rotacin plstica demandada (p) ser la rotacin en el apoyo de la viga S.A. a la cual le aplicamos el incremento de carga necesario para formar la 3ra rtula al centro de la viga.

La rigidez en flexin EI y la rotacin plstica en la viga S.A., son:

E Icr = My- /y = 37.36 /4.46x10-3 8,380 ton-m2 0.4 E Ig

p = Dw L3/ (24 E Icr) = 1.54x63 /(24x8380) 1.65x10-3 rad

La Demanda de Rotacin (p) < que la Capacidad de Rotacin Inelstica Disponible en las Rtulas de los negativos (p Disponible), en consecuencia, ser posible alcanzar el mecanismo plstico completo.

Para que pueda desarrollarse el mecanismo plstico, es necesario asegurar que no se producir una falla prematura por esfuerzo cortante. Por lo tanto la viga deber disearse para soportar las fuerzas cortantes producidas por la carga lmite.

Es un mtodo poderoso y simple, sin embargo, no permite conocer la secuencia de formacin de las rtulas. Apliquemos este mtodo a la misma viga:

wul

6 m

mecanismo

Mn- = 38.77 Mn- = 38.77

Mn+ = 26.31

d

Hay otros mtodos que permiten calcular la carga lmite wul. Uno de ellos es el M.T.V. en el que hay que presuponer el mecanismo de falla.

wul

d

3w 3w

d /2 d /2

Trabajo Virtual Externo = Trabajo Virtual Interno

dqDQ (Desplazamientos Virtuales)

dd

ulul 32)2

(3 x Trabajo virtual externo:

d d /3

d d

d d

Trabajo Virtual Interno:

ddd

39.4323

31.2623

77.38 xxxx

Igualando los trabajos virtuales:

ton/m.ul.ul 461439433 dd

Mn+ = 26.31

Mn- = 38.77

wul L2/8

Deber cumplirse que:

1/8 ul (6)2 = 38.77 + 26.31 ul 14.46 ton/m

Un tercer mtodo (ms simple y rpido), consiste en reconocer que en el mecanismo final debe cumplirse necesariamente el equilibrio entre la carga lmite y los mtos internos, esto equivale a igualar la suma de las resistencias disponibles en las secciones de Mn+ y Mn- al mximo valor del mto producido, en este caso, por la carga distribuida.

Ejemplo 2. Anlisis Lmite y Redistribucin

P

21 21

21

21

3.5m 3.5m

41

90

10

60

35

41

Caractersticas resistentes de las secciones de M- y M+ con fc = 210 kg/cm2:

Seccin M- (ignorando el aporte del As):

As- = 20.4 cm2, b = 35 cm, d = 64 cm Mn- 49 t-m (c= 16.13 cm s = 4.24 y)

Seccin M+ (ignorando el aporte del As):

As+ = 20.4 cm2, b = 90 cm, d = 64 cm Mn+ 52.6 t-m (c= 6.27 cm s = 13.14 y)

Secuencia de Formacin de Rtulas:

Primera Rtula: Se formara cuando la seccin en el empotramiento alcance el valor de Mn-. Utilizando los resultados del anlisis elstico e ignorando el p.p. de la viga:

5PL 32

3PL 16

P

3.5 m 3.5 m

Mn- = 49 = 3 PL / 16

Pul1 = 37.3 ton

El DMF en esta etapa es:

37.3 ton

40.8

49

Los incrementos en la carga producirn un incremento en los mtos flectores como si la viga estuviera S.A. Asumiremos que los diagramas M- son del tipo bilineal, es decir, My Mu; en consecuencia, un aumento en las rotaciones plsticas en el empotramiento, no producir incremento en los mtos.

Segunda Rtula: Se formar cuando la seccin central alcance el valor de Mn+.

La capacidad remanente de momento positivo es:

m-ton...M 811840652 D

Una vez formada la 1ra rtula en el apoyo, para los sucesivos incrementos de carga, la viga se comportar como S.A.

DP

DP L 4

DP L / 4 = 11.8 DP 6.74 ton Pul = 37.3 + 6.74 44 ton

Por lo tanto, la 2da rtula se formar cuando la carga externa alcance las 44 ton.

Verificacin del Mecanismo:

Pul

Mn- = 49

Mn+ = 52.6

4

LPul

tonPulLPul

. 4442

49652

El DMF y las fuerzas cortantes en los apoyos cuando se forme el mecanismo plstico completo ser el mostrado en la figura a continuacin.

44 ton

15 ton 52.6 ton-m 29

49

Aplicacin de la Redistribucin de Mtos.: Realizar el Diseo de la Viga empleando la distribucin elstica, suponiendo que acta una carga externa (resistencia requerida) Pu = 44x 0.9 40ton e ignoremos el p.p.

La distribucin elstica ser:

40 ton tm5.52

16

3

PL

tm75.4332

5

PLDiseo:

Mu- = 52.50 tm b= 0.35, d= 0.64 As- = 25.0 cm2 Mu+ = 43.75 tm b= 0.90, d=0.64 As+ = 18.8 cm2

La armadura de la viga, con los resultados del anlisis elstico es:

31 21

21 21

Podra ser 21 + 33/4 = 18.72 cm2

El acero positivo seleccionado (41) excede del necesario, por lo tanto intentemos una reduccin del M- de tal modo que el rea de As negativo final sea 41 (20.4 cm2) en la seccin de M- mximo, tendremos:

As- = 20.4 cm2 (41) As = 10.2 cm2 (21) Asb = 47.6 cm2 0.5 Asb = 23.8 cm2 As- As = 20.4 10.2 = 10.2 < 0.5 Asb

El porcentaje mximo de redistribucin admitido por la Norma es:

%.

..ndistribuciRe% 16

647

210420120

)(

El M- redistribuido ser: Mu- = 52.5 (1 - 0.16) = 44.1 ton-m. Para esta intensidad del M-, el rea de acero necesaria es 20.4 cm2 con lo cual los 41 propuestos son suficientes.

Las otras fuerzas internas debern calcularse empleando el M- reducido, esto se logra por equilibrio, como se muestra en la figura a continuacin:

40 ton

47.95

44.1

13.7 ton 26.3

Para el centro de la luz el rea de acero necesaria para Mu+ = 47.95 ser As+ = 20.7 cm2 con lo cual los 41 seleccionados inicialmente sern suficientes.

La distribucin final del acero ser la mostrada a continuacin:

21 21

21 21

41

90

10

60

35

41

Empleando la redistribucin hemos conseguido reducir el As- de 25.5 a 20.4 cm2, es decir, un 20% de reduccin en el rea de acero.

Para concluir el diseo falta: 1. El diseo del refuerzo por cortante. Las fuerzas cortantes deben calcularse a partir del DMF redistribuido.

2. Corte del fierro negativo y positivo empleando el DMF final que considere la redistribucin.

3. El clculo de Z (control de la fisuracin) para M+ y M- bajo cargas de servicio, teniendo cuidado de verificar el esfuerzo de trabajo en el acero al haber reducido el rea de acero negativa.

4. El clculo de las deflexiones.