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RCM – Tema 1: Introducción – 1 dit dit

Grado en Ingeniería de Tecnologías y Servicios de Telecomunicación

Redes de Comunicaciones Móviles

Tema 1: Introducción

Manuel Álvarez-Campana, Enrique Vázquez Gallo

Departamento de Ingeniería de Sistemas Telemáticos

ETSI Telecomunicación Universidad Politécnica de Madrid



Evolución de las redes de comunicaciones móviles

Normalización

Conmutación en redes de comunicaciones móviles


Comunicaciones “móviles” en 1910

John Meurling y Richard Jeans, “The Mobile Phone Book: The Invention of the Mobile Phone Industry”, 1994.


Redes móviles 1G

Redes celulares analógicas, desplegadas a partir de los años 80

Los primeros terminales eran muy voluminosos, pesados y caros, por ejemplo

Motorola DynaTAC (1983)

– 33 x 4,5 x 8,9 cm

– 800 gramos

– 30 min de conversación

Progresivamente van apareciendo terminales más pequeños y asequibles

C:/Users/enrique/Documents/doc/figuras/videos/1980s_Motorola_DynaTAC_Promotional_Video.mp4


Redes móviles 1G

Ejemplos:

NMT (Nordic Mobile Telephony) de los operadores escandinavos

AMPS (Advanced Mobile Phone System) de Bell Labs

TACS (Total Access Communications System) en UK

En España:

TMA (Telefonía Móvil Automática)-450, lanzado en 1982, que llegó a 50000+ usuarios

TMA-900, red MoviLine lanzada en 1990, llegó a 1 millón+ usuarios, cerró en 2003

Declive y abandono con la aparición en los años 90 de las redes celulares digitales 2G

Motorola Star Tac (Moviline 1996)


GSM: Global System for Mobile communications

Red 2G, digital, telefonía, mensajes cortos

Primeras redes en Europa en 1991-92

Ejemplo de terminal

Nokia 1011

10/11/1992 (uno de los primeros)

475 gramos

19,5 x 6,0 x 4,5 cm

90 min de conversación

Actualmente cientos de redes en todo el mundo

Ver www.gsma.com/aboutus/history

www.gsmhistory.com

Comienzos de GSM


Más de 50 millones de líneas móviles y más de 115.000 estaciones base instaladas en 2012 (fuente: CMT)

Cobertura 3G para el 97,9% de la población en 2012 (fuente: CMT)

Operadores de móviles en España

0

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

12000000

14000000

16000000

1990 91 92 93 94 95 96 97 98 99 2000

Usu

ari

os

Primeros operadores

Amena

Airtel

Movistar

Moviline (1G)34,6%

27,3%

22,2%

4,8%11,1% Movistar

Vodafone

Orange

Yoigo

Resto

Porcentaje de ingresos

Fuente: Informe CMT III trimestre 2013


Evolución de las redes de

comunicaciones móviles

Mejoras técnicas continuas, ofreciendo cada vez mayores prestaciones y más servicios

Incremento progresivo de la velocidad de acceso desde kbit/s a Mbit/s

Mejora de los terminales: teléfonos móviles, smartphones, tabletas, etc.

Sucesión de siglas

GSM, cdmaOne, GPRS, EDGE, UMTS, CDMA2000, IMS, HSDPA, HSPA, HSPA+, LTE, LTE-Advanced...

Encuadradas en generaciones que coexisten en el mercado

2G (199x), 3G (200x), 4G (201x) ...

Compatibilidad hacia atrás, por ej. los terminales 3G implementan también 2G


Ejemplos de terminales

Nokia 9000 Communicator 1996 i386 a 24 MHz, 400 gr

Blackberry 6230 2003 136 gr, 160x100 px

Apple iPhone 3G 2008 pantalla táctil 3,5”, 320x480 px cámara de 2 Mpx


Congreso Mundial de Móviles

http://www.mobileworldcongress.com/


Referencias

Información sobre operadores de móviles, noticias, estadísticas, regulación...

Congreso mundial de móviles

www.mobileworldcongress.com

Asociaciones de la industria

www.gsma.com

gsmamobileeconomy.com, gsmaintelligence.com

www.4gamericas.org

Comisión del Mercado de Telecomunicaciones

www.cmt.es

blogcmt.com

Desde 2013 la CMT está integrada en la Comisión Nacional de los Mercados y la Competencia www.cnmc.es

http://www.gsma.com/

http://www.4gamericas.org/

http://www.cnmc.es/


www.gsma.com

C:/Users/enrique/Otros Documentos/Articulos/mercado operadores regulacion/GSMA_Global_Mobile_Economy_Report_2015.pdf

https://gsmaintelligence.com/




Normalización



Normalización de 2G

CEPT (Conference of European Postal and Telecom-munications Administrations) inició la normalización de GSM en 1982, continuada por ETSI (European Telecommunications Standards Institute) desde 1989

Otros sistemas 2G son

cdmaOne, estandarizado en EE.UU. por EIA-TIA y ANSI

PDC (Personal Digital Cellular), estandarizado en Japón por ARIB y TTC


Normalización de 3G

En paralelo con el despliegue por los operadores de redes 2G en los años 90, se inicia el proceso de normalización de la siguiente generación de redes móviles 3G

ITU (International Telecommunication Union) define IMT-2000 (International Mobile Telecommunications-2000), que establece requisitos para la siguiente generación de redes móviles 3G

Los organismos de normalización desarrollan nuevos estándares capaces de cumplir los requisitos marcados y ser recomendados por ITU


3rd Generation Partnership Project (3GPP)

Creado en 1998 con la participación de ETSI junto con organismos similares de EE.UU., China, Japón y Corea del Sur

El 3GPP se encarga de la estandarización del sistema UMTS (Universal Mobile Telecommunications System)

Asume el mantenimiento de los estándares GSM

Posteriormente desarrolla mejoras de UMTS como HSPA y HSPA+


3rd Generation Partnership Project 2 (3GPP2)

Grupo de organismos de normalización similar a 3GPP, creado en 1998 con miembros de EE.UU., China, Japón y Corea del Sur

Estandariza el sistema CDMA2000, con varias versiones

CDMA2000 1x

CDMA2000 1xEV-DO (Evolution-Data Optimized)


Estandarización de redes 4G

Proceso similar al que se siguió para 3G a partir de la definición de IMT-2000 por ITU

Requisitos de ITU para 4G definidos en IMT-Advanced

En 2008 el 3GPP define LTE (Long-Term Evolution)

CDMA2000 1xEV-DO Revision C o Ultra Mobile Broadband, posible evolución a 4G, abandonada por el 3GPP2 en favor de LTE

En 2011 el 3GPP define LTE-Advanced, que cumple los requisitos de IMT-Advanced


Resumen de hitos 2G/3G/4G

Primeras redes GSM

Primeras redes UMTS

Primeras redes LTE

Grupo GSM

de CEPT

ITU-R IMT-2000

ITU-R IMT-Advanced

3GPP UMTS R99

3GPP LTE R8

3GPP LTE-Advanced R10

ETSI GSM fase 1

198x 199x 200x 201x


Resumen de estándares 3GPP

Fecha Versiones Sistemas Generac. Características

199x

Fases 1, 2 GSM

2G

voz , SMS, datos modo circuito

Fase 2+ (Releases

1996, 97, 98) GPRS, EDGE datos modo paquete, CAMEL

200x

Release 99 UMTS

3G

nuevo interfaz radio WCDMA,

red de acceso ATM

Releases 4, 5 (inicialmente

Release 2000)

IMS

HSDPA transporte IP,

mayor velocidad de bajada

Releases 6, 7 HSPA

HSPA+

mayor velocidad

(bajada y subida)

Releases 8, 9 LTE

4G

nuevo interfaz radio OFDMA,

arquitectura simplificada,

mayor velocidad

201x

Releases 10, 11,

12, 13...

LTE-Advanced


Estandarización de 5G

Requisitos “IMT-2020” de ITU-R: 2016

Propuesta de tecnologías (ej. por 3GPP): 2019-20

http://www.itu.int/en/ITU-R/study-groups/rsg5/rwp5d/imt-2020/Pages/default.aspx


Promoción de 5G en Europa

http://ec.europa.eu/digital-agenda/en/towards-5g

http://5g-ppp.eu

C:/Users/enrique/Documents/doc/figuras/videos/5G_PPP_Video.mp4


Otros estándares usados en redes móviles

Además, las redes de comunicaciones móviles reutilizan diversos estándares de redes fijas, adaptados cuando es necesario, tales como

Protocolos de ITU-T para señalización en redes fijas (convenientemente adaptados):

– Sistema de Señalización de red nº 7 (SS7)

– Red Inteligente (IN)

– Señalización de usuario Q.921 y Q.931

Protocolos de IETF para redes IP:

– Protocolo de Inicio de Sesiones (SIP) y otros para Voz sobre IP (VoIP)

– Protocolos generales (IP, UDP, TCP...)


Referencias

Especificaciones de 3gpp

www.3gpp.org/specification-numbering

Estándares de ETSI

www.etsi.org/standards-search

RFCs e Internet drafts

datatracker.ietf.org/doc/

Recomendaciones de ITU-T

www.itu.int/ITU-T/recommendations/index.aspx




Normalización



Redes telef.

fijas

Redes

externas

Otras RCM

Redes IP

Arquitectura general de una RCM

Red de Comunicaciones Móviles

Red

troncal

Red de

acceso

Terminales


Técnicas de conmutación en las RCM

Según el tipo de red (GSM, UMTS...) y la parte considerada (red de acceso, red troncal), las redes de comunicaciones móviles usan

Conmutación de circuitos

Conmutación de células (ATM)

Conmutación de paquetes (IP)

En problemas de dimensionamiento y prestaciones se aplicarán distintos modelos de tráfico según corresponda, por ejemplo

Modelos clásicos de redes de circuitos (ej. Erlang-B)

Modelos de colas de paquetes (ej. M/M/1, M/D/1,...)


Repaso de características

Conmut.

circuitos

Conmut.

paquetes

1. Fracción de capacidad asignada durante toda la comunicación

2. Almacenamiento y reenvío en nodos intermedios

3. Orientada a conexión

4. Retardo de establecimiento antes de poder enviar

5. Sobrecarga por cabeceras añadidas a la información enviada

6. Puede desordenar la información enviada

7. Capacidad y retardo extremo a extremo garantizados

8. La congestión se observa durante la transferencia de datos

9. La congestión se observa al establecer la comunicación

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Conmut.

células

x

x

x

x

x

x

Conmut.

circuitos

Conmut.

paquetes

Conmut.

células


Ejercicio

Se tiene una célula con N=7 canales disponibles para repartir entre llamadas de voz GSM y paquetes de datos GPRS. En la célula se producen V=45 llamadas/h de duración media xV=100 s y se descargan =2,5 paquetes/s de longitud media L=500 octetos. La probabilidad de bloqueo de llamada B no debe superar el 1% y se estima que el caudal neto de cada canal dedicado a cursar paquetes es 10 kbit/s.

Estimar con el modelo M/M/1 el retardo medio que sufren los paquetes (tiempo de espera más tiempo de transmisión)


Asignación estática de canales

Cada llamada establecida ocupa un canal hasta un máximo de Nv y los paquetes de datos comparten la capacidad de los N-Nv canales restantes (conmutación híbrida circuitos – paquetes)

Seña

liza

ción

Lla

ma

da

1

Lib

re

Lla

ma

da

2

Lla

ma

da

3

3 x 10 = 30 kbit/s

Pa

quete

s d

e d

ato

s

Tiempo de espera

Tiempo de transmisión del paquete

Probabilidad de bloqueo de llamada

por falta de canales de voz libres

Ejemplo con N=7, Nv=4, Nd=7-4=3


Solución (I): valor de Nv necesario

El tráfico telefónico es A = V.xV

A = (45/3600)llam/s . 100s = 1,25 Erlang

Según el modelo de Erlang-B para cumplir B ≤ 1% con A=1,25 Erlang se necesitan al menos 5 canales de voz, luego ponemos Nv=5

núm.

circ. 17,5% 15% 12,5% 10% 7,5% 5% 2% 1% 0,5% 0,2% 0,1% 0,05%

1 0,212 0,176 0,143 0,111 0,081 0,053 0,020 0,010 0,005 0,002 0,001 0,0005

2 0,897 0,796 0,696 0,595 0,492 0,381 0,223 0,153 0,105 0,065 0,046 0,032

3 1,766 1,602 1,439 1,271 1,094 0,899 0,602 0,455 0,349 0,249 0,194 0,152

4 2,722 2,501 2,276 2,045 1,800 1,525 1,092 0,869 0,701 0,535 0,439 0,362

5 3,732 3,454 3,172 2,881 2,570 2,218 1,657 1,361 1,132 0,900 0,762 0,648

6 4,776 4,445 4,108 3,758 3,384 2,960 2,276 1,909 1,622 1,325 1,146 0,996

7 5,846 5,461 5,071 4,666 4,232 3,738 2,935 2,501 2,157 1,798 1,579 1,392

8 6,934 6,498 6,056 5,597 5,104 4,543 3,627 3,127 2,730 2,310 2,051 1,830

9 8,036 7,551 7,058 6,546 5,997 5,370 4,345 3,782 3,332 2,855 2,557 2,301

10 9,150 8,616 8,074 7,511 6,905 6,216 5,084 4,461 3,961 3,426 3,092 2,803

11 10,274 9,691 9,101 8,487 7,828 7,076 5,842 5,160 4,610 4,022 3,651 3,329

12 11,405 10,776 10,137 9,474 8,762 7,950 6,615 5,876 5,279 4,637 4,231 3,878

13 12,544 11,867 11,181 10,470 9,706 8,835 7,402 6,607 5,964 5,270 4,831 4,447

14 13,688 12,965 12,233 11,473 10,659 9,730 8,200 7,352 6,663 5,919 5,446 5,032

15 14,837 14,068 13,290 12,484 11,619 10,633 9,010 8,108 7,376 6,582 6,077 5,634

16 15,990 15,176 14,353 13,500 12,585 11,544 9,828 8,875 8,100 7,258 6,722 6,250

17 17,147 16,289 15,421 14,522 13,558 12,461 10,656 9,652 8,834 7,946 7,378 6,878

18 18,308 17,405 16,492 15,548 14,536 13,385 11,491 10,437 9,578 8,644 8,046 7,518

19 19,472 18,525 17,568 16,579 15,519 14,315 12,333 11,230 10,331 9,351 8,724 8,170

20 20,638 19,647 18,647 17,613 16,507 15,249 13,182 12,031 11,092 10,068 9,411 8,831

21 21,807 20,773 19,729 18,651 17,498 16,188 14,036 12,838 11,860 10,793 10,108 9,501

22 22,978 21,901 20,814 19,692 18,493 17,132 14,896 13,651 12,635 11,525 10,812 10,180

23 24,151 23,031 21,902 20,737 19,492 18,079 15,761 14,470 13,416 12,265 11,524 10,868

24 25,327 24,164 22,992 21,784 20,494 19,031 16,630 15,295 14,204 13,011 12,243 11,562

25 26,503 25,298 24,084 22,833 21,498 19,985 17,505 16,124 14,997 13,763 12,969 12,264

26 27,682 26,434 25,178 23,885 22,506 20,943 18,383 16,959 15,795 14,522 13,701 12,972

27 28,862 27,572 26,275 24,939 23,515 21,904 19,265 17,797 16,598 15,285 14,439 13,686

28 30,043 28,712 27,373 25,995 24,527 22,867 20,150 18,640 17,406 16,054 15,182 14,406

29 31,226 29,853 28,472 27,053 25,542 23,833 21,039 19,487 18,218 16,828 15,930 15,132

30 32,409 30,995 29,573 28,113 26,558 24,802 21,931 20,337 19,034 17,606 16,684 15,863

31 33,594 32,138 30,676 29,174 27,577 25,773 22,827 21,191 19,854 18,389 17,442 16,599

Tráfico admisible en Erlang para probabilidad de bloqueo dada

(ver tablas y fórmulas en apéndice)


Solución (II): retardo medio de los paquetes

El tiempo total (espera+transmisión) medio T en una cola M/M/1 con tasa de llegada de paquetes y tiempo medio de transmisión de cada paquete x es

T=x/(1-) siendo =.x el factor de utilización

El tiempo medio de transmisión es x=L/C donde L es la longitud media de paquete y C es la capacidad disponible para los datos

Con 5 canales de voz quedan Nd=7-5=2 de datos, luego

C=2.10=20 kbit/s

x=500.8/20000=0,2 s

=2,5.0,2=0,5

T=0,2/(1-0,5)=0,4 s es el retardo medio de los paquetes en este caso


Otros criterios de asignación de canales

En el caso anterior se asignan de manera estática 5 canales para voz (obligado para cumplir el requisito de probabilidad de bloqueo de llamadas) y el resto, 7-5=2 canales, quedan para datos

¿Se puede aumentar la capacidad disponible para los datos sin perjudicar al servicio telefónico?

Asignación dinámica: los 7 canales están disponibles para voz y los que estén libres en cada momento se usan temporalmente para datos

Asignación mixta: 5 canales para voz y para datos los 2 restantes más los canales de voz que estén libres


Apéndice

Resumen de modelos de colas


Modelos de colas

Notación de Kendall: X/Y/m[/k][/N]

X: Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas – M (Markov): distribución exponencial negativa con media 1/

– D (determinista): tiempo entre llegadas fijo igual a 1/

– G (general): distribución general con media 1/

Y: Distribución de probabilidad del tiempo de servicio – M, D, G: mismo significado pero con media x

m: Número de servidores

k: Número máximo de usuarios en el sistema k = q+m (k= si se omite)

N: Número de fuentes de tráfico (N= si se omite)

...

En media clientes/s

Cola de capacidad q

...

N fuentes que

generan clientes

(llamadas, paquetes)

que van a la cola

m servidores

En media x segundos

de servicio/cliente


Ejemplos de modelos

Las fuentes son usuarios que generan llamadas telefónicas. Se pueden cursar hasta m llamadas simultáneas (ej. m circuitos)

M/M/m/m (Erlang-B)

– Tiempo entre llamadas y duración de las mismas exponencial (M), sobre m servidores, sin cola de llamadas en espera (k=m q=0) generadas por un número elevado de usuarios (N se omite, luego se supone infinito)

– Indicador de prestaciones: probabilidad de bloqueo de llamadas (llamadas que llegan cuando los m servidores están ocupados)

M/M/m (Erlang-C)

– Como Erlang-B, pero suponiendo cola de llamadas infinita (k omitido)

– Indicadores de prestaciones: probabilidad de que una llamada tenga que esperar, tiempo medio de espera...


Erlang-B: resumen de fórmulas

Ejemplo de aplicación: llamadas de usuarios en una célula con m

canales de voz disponibles

Intensidad de tráfico ofrecido A = .x

Probabilidad de bloqueo (tabulada)

Tráfico cursado Ac = A.(1-B)

igual al número medio de llamadas establecidas e

igual al número medio de canales ocupados

= Ac /m

tráfico cursado por canal

expresado en % es igual al porcentaje de tiempo que está ocupado

cada canal

Am / m!

i=0

m

Ai / i!

B = E(m, A) =


Resultados del modelo de Erlang-B

0,001

0,01

0,1

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 401

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tráfico ofrecido (Erlang)

circuitos

Pro

babilid

ad d

e b

loqueo



0,01

0,1

10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125

Tráfico ofrecido (Erlang)

circuitos

Pro

babilid

ad d

e b

loqueo



núm.

circ. 17,5% 15% 12,5% 10% 7,5% 5% 2% 1% 0,5% 0,2% 0,1% 0,05%

1 0,212 0,176 0,143 0,111 0,081 0,053 0,020 0,010 0,005 0,002 0,001 0,0005

2 0,897 0,796 0,696 0,595 0,492 0,381 0,223 0,153 0,105 0,065 0,046 0,032

3 1,766 1,602 1,439 1,271 1,094 0,899 0,602 0,455 0,349 0,249 0,194 0,152

4 2,722 2,501 2,276 2,045 1,800 1,525 1,092 0,869 0,701 0,535 0,439 0,362

5 3,732 3,454 3,172 2,881 2,570 2,218 1,657 1,361 1,132 0,900 0,762 0,648

6 4,776 4,445 4,108 3,758 3,384 2,960 2,276 1,909 1,622 1,325 1,146 0,996

7 5,846 5,461 5,071 4,666 4,232 3,738 2,935 2,501 2,157 1,798 1,579 1,392

8 6,934 6,498 6,056 5,597 5,104 4,543 3,627 3,127 2,730 2,310 2,051 1,830

9 8,036 7,551 7,058 6,546 5,997 5,370 4,345 3,782 3,332 2,855 2,557 2,301

10 9,150 8,616 8,074 7,511 6,905 6,216 5,084 4,461 3,961 3,426 3,092 2,803

11 10,274 9,691 9,101 8,487 7,828 7,076 5,842 5,160 4,610 4,022 3,651 3,329

12 11,405 10,776 10,137 9,474 8,762 7,950 6,615 5,876 5,279 4,637 4,231 3,878

13 12,544 11,867 11,181 10,470 9,706 8,835 7,402 6,607 5,964 5,270 4,831 4,447

14 13,688 12,965 12,233 11,473 10,659 9,730 8,200 7,352 6,663 5,919 5,446 5,032

15 14,837 14,068 13,290 12,484 11,619 10,633 9,010 8,108 7,376 6,582 6,077 5,634

16 15,990 15,176 14,353 13,500 12,585 11,544 9,828 8,875 8,100 7,258 6,722 6,250

17 17,147 16,289 15,421 14,522 13,558 12,461 10,656 9,652 8,834 7,946 7,378 6,878

18 18,308 17,405 16,492 15,548 14,536 13,385 11,491 10,437 9,578 8,644 8,046 7,518

19 19,472 18,525 17,568 16,579 15,519 14,315 12,333 11,230 10,331 9,351 8,724 8,170

20 20,638 19,647 18,647 17,613 16,507 15,249 13,182 12,031 11,092 10,068 9,411 8,831

21 21,807 20,773 19,729 18,651 17,498 16,188 14,036 12,838 11,860 10,793 10,108 9,501

22 22,978 21,901 20,814 19,692 18,493 17,132 14,896 13,651 12,635 11,525 10,812 10,180

23 24,151 23,031 21,902 20,737 19,492 18,079 15,761 14,470 13,416 12,265 11,524 10,868

24 25,327 24,164 22,992 21,784 20,494 19,031 16,630 15,295 14,204 13,011 12,243 11,562

25 26,503 25,298 24,084 22,833 21,498 19,985 17,505 16,124 14,997 13,763 12,969 12,264

26 27,682 26,434 25,178 23,885 22,506 20,943 18,383 16,959 15,795 14,522 13,701 12,972

27 28,862 27,572 26,275 24,939 23,515 21,904 19,265 17,797 16,598 15,285 14,439 13,686

28 30,043 28,712 27,373 25,995 24,527 22,867 20,150 18,640 17,406 16,054 15,182 14,406

29 31,226 29,853 28,472 27,053 25,542 23,833 21,039 19,487 18,218 16,828 15,930 15,132

30 32,409 30,995 29,573 28,113 26,558 24,802 21,931 20,337 19,034 17,606 16,684 15,863

31 33,594 32,138 30,676 29,174 27,577 25,773 22,827 21,191 19,854 18,389 17,442 16,599

Tráfico ofrecido en Erlang para probabilidad de bloqueo dada



núm.

circ. 17,5% 15% 12,5% 10% 7,5% 5% 2% 1% 0,5% 0,2% 0,1% 0,05%

32 34,780 33,283 31,780 30,237 28,597 26,746 23,725 22,048 20,678 19,175 18,205 17,340

33 35,967 34,429 32,885 31,301 29,619 27,721 24,626 22,909 21,505 19,966 18,972 18,085

34 37,155 35,576 33,992 32,367 30,642 28,698 25,529 23,772 22,336 20,761 19,742 18,835

35 38,343 36,723 35,099 33,434 31,667 29,677 26,435 24,638 23,169 21,559 20,517 19,589

36 39,533 37,872 36,208 34,503 32,694 30,657 27,343 25,507 24,006 22,361 21,296 20,346

37 40,723 39,022 37,318 35,572 33,722 31,640 28,253 26,378 24,846 23,166 22,078 21,108

38 41,914 40,172 38,428 36,643 34,751 32,624 29,166 27,252 25,689 23,974 22,863 21,873

39 43,105 41,323 39,540 37,715 35,782 33,609 30,081 28,129 26,534 24,785 23,652 22,642

40 44,297 42,475 40,652 38,787 36,814 34,596 30,997 29,007 27,382 25,599 24,444 23,414

45 50,267 48,245 46,226 44,165 41,989 39,550 35,607 33,432 31,656 29,708 28,446 27,319

50 56,248 54,028 51,816 49,562 47,187 44,533 40,255 37,901 35,982 33,876 32,512 31,292

55 62,239 59,823 57,419 54,975 52,405 49,539 44,936 42,409 40,351 38,094 36,630 35,322

60 68,237 65,628 63,034 60,401 57,639 54,566 49,644 46,950 44,757 42,353 40,795 39,401

65 74,242 71,439 68,658 65,839 62,886 59,609 54,376 51,518 49,195 46,650 44,999 43,523

70 80,253 77,258 74,289 71,286 68,145 64,667 59,129 56,112 53,661 50,979 49,239 47,683

75 86,268 83,082 79,928 76,741 73,415 69,738 63,900 60,728 58,153 55,336 53,511 51,877

80 92,287 88,910 85,572 82,203 78,693 74,819 68,688 65,363 62,667 59,720 57,810 56,101

85 98,309 94,743 91,221 87,672 83,950 79,912 73,490 70,015 67,202 64,127 62,135 60,352

90 104,334 100,580 96,875 93,146 89,260 85,014 78,306 74,684 71,755 68,556 66,484 64,629

95 110,363 106,420 102,533 98,626 94,400 90,123 83,133 79,367 76,325 73,004 70,853 68,928

100 116,393 112,263 108,195 104,110 99,878 95,240 87,972 84,064 80,910 77,469 75,242 73,248

110 128,460 123,955 119,527 115,089 110,503 105,494 97,678 93,493 90,121 86,448 84,072 81,946

120 140,533 135,657 130,870 126,082 121,146 115,771 107,419 102,964 99,382 95,484 92,964 90,710

130 152,612 147,365 142,222 137,087 131,804 126,066 117,189 112,470 108,684 104,569 101,911 99,532

140 164,695 159,079 153,581 148,100 142,474 136,379 126,984 122,009 118,023 113,697 110,904 108,407

150 176,783 170,798 164,946 159,122 153,155 146,706 136,803 131,576 127,396 122,864 119,940 117,326

160 188,873 182,521 176,317 170,151 163,845 157,046 146,641 141,167 136,797 132,065 129,014 126,288

170 200,967 194,247 187,693 181,187 174,544 167,397 156,498 150,781 146,225 141,298 138,123 135,286

180 213,062 205,977 199,072 192,227 185,250 177,758 166,370 160,415 155,677 150,558 147,262 144,318

190 225,160 217,710 210,456 203,273 195,962 188,129 176,257 170,068 165,151 159,845 156,430 153,381

200 237,260 229,444 221,842 214,323 206,680 198,507 186,158 179,738 174,645 169,155 165,624 162,472

Tráfico ofrecido en Erlang para probabilidad de bloqueo dada


Erlang-C: resumen de fórmulas

Ejemplo de aplicación: centro de atención telefónica con m

operadores, suponiendo cola ilimitada de llamadas en espera

Intensidad de tráfico ofrecido A = .x, debe ser A < m

B = 0, Ac = A.(1-B) = A, = Ac/m = A/m

Probabilidad de esperar: C(m, A) = m.E(m, A)/(m-A+A.E(m, A))

Probabilidad de que un cliente que espera, espere más de t

Espera media de los clientes que esperan W* = x/(m-A)

Espera media de todos los clientes W = W*.C(m, A)

Número medio de clientes esperando Q = .W

Tiempo total medio de todos los clientes T = W + x

P {w>t | esperar} = e(A-m).t/x


Ejemplos de modelos (II)

Compartición de un enlace (m=1) por conmutación de paquetes entre N fuentes de paquetes

M/M/1

– Modelo para paquetes de tamaño variable suponiendo tiempo entre llegadas de paquetes y tiempo de servicio (transmisión) exponenciales, número de fuentes infinito y cola infinita

– Indicadores de prestaciones: tiempo medio de espera de los paquetes...

M/D/1

– Igual salvo paquetes de tamaño fijo (ej. paquetes de voz)

M/M/1/k, M/D/1/k

– Como los anteriores, pero con cola de paquetes limitada (q=k-1)

– Indicador adicional: probabilidad de pérdida de paquetes cuando la cola se llena


M/M/1 y M/D/1: resumen de fórmulas

Ejemplo de aplicación: transmisión de paquetes por un enlace

suponiendo cola ilimitada (sin considerar paquetes perdidos por

cola llena)

m = 1, = A = .x, debe ser < 1

Espera media de todos los paquetes W

R = tiempo medio de transmisión restante del paquete en curso es

R=x para M/M/1 y R=x/2 para M/D/1

Combinando W = Q.x + .R y Q = .W queda

W = .x/(1-) para M/M/1 W = .(x/2)/(1-) para M/D/1

Número medio de paquetes esperando Q = .W

Q = 2/(1-) para M/M/1 Q = (2/2)/(1-) para M/D/1

Tiempo total medio de todos los paquetes T = W + x

T = x/(1-) para M/M/1 T = x.(1-/2)/(1-) para M/D/1

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