ÍNDICE

INTRODUCCIÓN Características de los materiales cristalinos Red cristalina Simetría en cristales Parámetros que caracterizan la forma y tamaño de una

celdilla elemental Grupos puntuales Clases cristalinas Grupos de Laue Redes de Bravais Grupos espaciales

REDES DE BRAVAIS Qué son las redes de Bravais Celdillas unidad Sistemas cristalinos Redes cristalinas Clases de simetría Imperfecciones de los cristales Ejemplos de minerales cristalinos y su estructura

CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN:

Se describen como materiales cristalinos aquellos materiales sólidos cuyos elementos constitutivos se repiten de manera ordenada y paralela y cuya distribución en el espacio muestra ciertas

relaciones de simetría. Así, la propiedad característica y definidora del medio cristalino es ser periódico, es decir, que a lo largo de cualquier dirección, y dependiendo de la dirección elegida, la materia que lo forma se halla a distancias específicas y paralelamente orientadas. Además de ésta, otras propiedades características son: Periodicidad: El medio cristalino es un medio periódico ya que a lo largo de cualquier dirección la

materia que lo forma se halla a distancias específicas y paralelamente orientadas, de forma que la orientación y distancias a que se encuentran dependen de la dirección elegida. La distancia según la cual las unidades estructurales se repiten paralela e idénticamente a lo largo de una dirección dada se denomina traslación. Éstas definen la denominada red cristalina, constituida por una serie de puntos (nudos) separados entre sí por las citadas traslaciones.

Homogeneidad: En una red cristalina la distribución de nudos alrededor de uno de ellos es la misma, independientemente del nudo que tomemos como referencia. Así una red es un conjunto de nudos homogéneos o bien, un conjunto homogéneo de nudos.

Anisotropía: La red de nudos constituyente del estado cristalino es anisótropa en cuanto a las distancias entre nudos, es decir, ésta depende de la dirección según la cual se mide.

Por tanto, el cristal está formado por la repetición monótona de agrupaciones atómicas paralelas entre sí y a distancias repetitivas específicas (traslación). La red cristalina es una abstracción del contenido material de este medio cristalino, y el tratarlo únicamente en función de las traslaciones presentes constituye la esencia de la teoría de las redes cristalinas.

En la red cristalina todos los puntos, nudos, tienen exactamente los mismos alrededores y son idénticos en posición con relación al patrón o motivo que se repite. Este motivo es una constante del cristal ya que constituye el contenido material, es decir, su naturaleza atómica, de manera que: red x motivo = cristal. En esta red espacial existe una porción del espacio cristalino, denominado celda unidad, el cual repetido por traslación y adosado desde un punto reticular a otro engendra todo el retículo. De esta manera, conociendo la disposición exacta de los átomos dentro de la celdilla unidad, conocemos la disposición atómica de todo el cristal.

Los elementos de simetría del tipo centro y plano, relacionan de un modo peculiar los motivos que repiten, no son superponibles. Los motivos que no contienen en sí mismos ninguno de estos elementos de simetría (centro o plano) se denominan quirales y su repetición mediante estos elementos de simetría (centro o plano) genera objetos que se denominan enantiómeros respecto de los originales (la imagen especular delante del espejo).La asociación de elementos de rotación con centros o planos de simetría genera nuevos elementos de simetría llamados rotaciones impropias.La repetición periódica por la que se describe la estructura interna de los cristales viene representada por un conjunto de traslaciones en las tres direcciones del espacio, de tal forma que el cristal puede considerarse como una apilamiento, en tres dimensiones, de bloques idénticos. Cada bloque, de una forma y tamaño determinados, se denomina celdilla unidad. Su tamaño viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b, c) y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (alpha, beta, gamma: , ,).

Parámetros que caracterizan la forma y tamaño de una celdilla elemental (ó celdilla unidad)

En los cristales, los ejes de simetría sólo pueden ser binarios (2), ternarios (3), cuaternarios (4) ó senarios (6), dependiendo del número de repeticiones que se produzcan del motivo (orden de la rotación). Así, un eje de orden 3 (ternario) produce 3 repeticiones del motivo, una cada 360/3=120 grados de giro.

Las rotaciones impropias se designan con el número de orden de la rotación, con una barra encima del número.

Los ejes helicoidales se representan con el número de orden de la rotación, con un subíndice añadido que cuantifica el deslizamiento a lo largo del eje. Así, un eje helicoidal del tipo 62

representa que en cada una de las 6 rotaciones, la traslación asociada es de 2/6 de la periodicidad en la dirección del eje de la celdilla elemental.

Los planos de simetría se representan por la letra m. Los planos de deslizamiento se representan por las letras a, b, c, n ó d, dependiendo de que la

traslación asociada a la reflexión sea paralela a las traslaciones reticulares (a, b, c) o a una diagonal de un plano reticular (n) ó a una diagonal de la celdilla elemental (d).

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Las letras o números que representan a los elementos de simetría tienen también una equivalencia con determinados símbolos gráficos.

El conjunto de elementos de simetría de un objeto finito, que pasan por un punto, definen la simetría total del objeto y se denominan grupo puntual de simetría.

Grupos puntuales hay muchos, pero en los cristales han de ser compatibles con la periodicidad (repetitividad por traslación) que los describe internamente. Así, en los cristales no son posibles las rotaciones (ejes de simetría) de orden 5 (un objeto que se repita a sí mismo, mediante giro, 5 veces). Con todo ello, en los cristales nos encontramos con sólo 32 posibles grupos puntuales que se denominan clases cristalinas.

De las 32 clases cristalinas, sólo 11 contienen al operador centro de simetría y a estas clases cristalinas centrosimétricas se les conoce con el nombre de grupos de Laue.A su vez, en los cristales, las formas de repetición por traslación tienen que ser compatibles con la simetría puntual (las 32 clases cristalinas), de modo que sólo nos encontramos con 14 tipos de redes de traslación que son compatibles con las clases cristalinas. A estos tipos de redes (modos de repetición por traslación) de los cristales se les llama también redes de Bravais. La simetría traslacional de una distribución ordenada de objetos en 3 dimensiones se puede describir mediante muchos tipos de redes, pero hay una que se adecua más al objeto, es decir, que describe mejor, a la vez, la simetría propia del objeto. Y es que, como las redes a su vez tienen su propia distribución de elementos de simetría, hay que adecuar éstos a los de la estructura.

Por último, al combinar los grupos puntuales de los cristales (las 32 clases cristalinas) con las 14 redes de Bravais, nos encontramos con 230 maneras posibles de repetir un objeto finito (motivo) en el espacio de 3 dimensiones. A estos 230 modos de repetición de motivos en el espacio, que son compatibles con las clases cristalinas y con las redes de Bravais, se les denomina grupos espaciales, que representan las diferentes formas de adecuar la redes de Bravais con la simetría de las estructuras.

Estas 32 clases, 14 redes y 230 grupos espaciales pueden clasificarse, según la simetría mínima que albergan, en 7 sistemas cristalinos. La simetría mínima produce restricciones en los valores métricos (distancias y ángulos) que describen la forma y el tamaño de la red.Todo ello se resume en el siguiente esquema:

Clases cristalinas (Laue con *)

Redes cristalinas compatibles y

su simetría

Número de  grupos

espaciales

Simetría mínima

Restricción métrica

Sistema cristalino

1    1*P 1

2 1    ó    1 ninguna Triclínico

2    m    2/m*P    C    (I)

  2/m13 Un  2  ó   2

==90Monoclínico

222    2mm    mmm*P   C  (A,B)  I   F

mmm59 Tres  2  ó  2

===90Ortorrómbico

4     4    4/m*  4mm    4222    42m   4/mmm*

P     I 4/mmm

68 Un  4  ó  4a=b

===90 Tetragonal

23      m3*  432     43m    m3m*

P     I     F m3m

36Cuatro  3

ó  3

a=b=c ===90 Cúbico

6      6     6m*  6mm   622     62m   

6/mmm*

P 6/mmm

27 Un  6  ó  6a=b

==90 =120 Hexagonal

3      3*  3m     32    3m*

P      3m (R)   6/mmm

25 Un  3  ó  3

a=b=c ==

(o Hexagonal)Trigonal

Total: 32,  11* 14 independientes 230     7

REDES DE BRAVAIS:

El empleo de celdillas unidad facilita en gran medida la descripción de las estructuras en los cristales, ya que con ello se limita el número de posibles celdillas a tan sólo siete. Pero los materiales están formados por átomos o iones, por lo que el siguiente paso será ver cómo pueden agruparse los átomos o iones dentro de las celdillas unidad.  Para esto, consideremos una entidad

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imaginaria para representar tanto a un átomo como a un grupo de átomos, a la que denominaremos punto reticular. Tendremos que considerar las diferentes posibilidades que hay de colocar puntos reticulares en cada uno de los siete sistemas cristalinos, de forma que cada punto reticular tenga el mismo entorno; es decir, que esté rodeado del mismo número de puntos reticulares y estos se sitúen en las mismas posiciones. Las combinaciones, nuevamente, son limitadas, pudiéndose obtener únicamente 14, a las que se denomina redes de Bravais Sus diferentes formas y tamaños pueden ser descritos en términos de sus parámetros de red ya definidos.

Frankenheim, en 1835, fue el primer investigador que enumeró y describió las redes espaciales, proponiendo que había un total de 15. Lamentablemente para él, ocho años más tarde, Bravais puso de manifiesto que dos de sus redes eran idénticas. Lo que ocurrió, tomando una analogía bidimensional, es que Frankenheim había errado al no observar que la red rómbica plana y la  rectangular centrada eran idénticas. Desde entonces  las 14 redes espaciales son, generalmente, y quizás injustamente, llamadas redes de Bravais.

Los esquemas de las celdillas unitarias de las redes de Bravais mostrados pueden ser de apariencia engañosa debido a que la adopción de un determinado diagrama de puntos de una red es que lo que diferencia a las redes. La celdilla unidad simplemente representa de forma arbitraria, aunque conveniente, los modos de unirse los puntos de la red. Consideremos, por ejemplo, las tres celdillas cúbicas; cúbica P (P = Primitiva, un punto de red por celdilla, por ejemplo, los puntos de la red solamente están en los vértices de la celdilla), cúbica I (I = Innenzentrierte, lo que en alemán equivale a "centrado en el cuerpo", es decir, un punto de red adicional en el centro de la celdilla dando, por lo tanto, dos puntos de red por celdilla) y cúbica F (F = Face-centred = centrado en las caras, con puntos adicionales en el centro de cada una de las caras de la celdilla, dando lugar a cuatro puntos de red por celdilla).

No obstante, es posible esbozar celdillas alternativas primitivas (o sea, con puntos de la red sólo en los vértices) para la cúbicas I y F. Sin embrago, estas celdillas primitivas son generalmente poco empleadas porque (1) los ángulos entre ejes no son de 90º (más convenientes) y (2) porque no revelan muy claramente la simetría cúbica de las redes cúbicas. Argumentos similares relativos al empleo de celdillas primitivas pueden ser aplicados a todas la otras redes centradas. Las celdillas unitarias de dos de las redes (ortorrómbica y monoclínica) son centradas en las caras superior e inferior. Éstas son denominadas centradas en la base C (C = C-centred) porque éstas caras están interceptadas por el eje c. De esta forma, podemos distinguir entre cuatro tipos básicos de celdilla unidad: simple (P), centrada en el cuerpo (I), centrada en las caras (F) y centrada en la base (C).

Por otra parte, se pueden concebir las redes de Bravais como apilamiento de las 5 redes planas. De esta forma, las redes cúbica y tetragonal están basadas en el apilamiento de capas de planos con disposición cuadrada; la celdillas ortorrómbicas P e I en el apilamiento de capas con disposición rectangular; las redes ortorrómbica  C y F en el apilamiento de capas con disposición rectangular centrada; las redes romboédrica y hexagonal en el apilamiento de capas con disposición hexagonal y, por último, las redes monoclínica y triclínica por el apilamiento de capas con disposición oblicua.

La presencia de elementos de simetría en la red cristalina condiciona, a su vez, la existencia de ciertas relaciones métricas entre los elementos de la celda elemental, las relaciones angulares entre los ejes del cristal, o ejes cristalográficos, y las intersecciones sobre estos ejes de la cara fundamental (111). Las dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a las traslaciones en las tres dimensiones de la red; Por esta razón se han agrupado las redes de Bravais en siete grandes grupos: redes triclínicas, redes monoclínicas, redes rómbicas, redes tetragonales, redes hexagonales, redes romboédricas y redes cúbicas. Cada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistema  cuyo nombre es idéntico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticulares fijas y una mínima simetría característica.

Las constantes reticulares y la  mínima simetría que caracteriza a cada grupo de redes o sistema cristalino es la siguiente:

Sistema triclínico: No posee ninguna simetría mínima. (abc, 90º ) Simetría 1 Sistema monoclíco: Presenta como simetría mínima un eje de rotación binario o un eje de

inversión binario (=plano de simetría) (abc, = >90º ) Simetría 2/m Sistema rómbico: Como mínimo posee tres ejes binarios perpendiculares entre sí. (abc, = ==90º ) Simetría mmm (2/m2/m2/m)

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Sistema tetragonal: Posee como característica fundamental un eje de rotación cuaternario o un eje de inversión cuaternario. Simetría 4/mmm (4/m2/m2/m)

Sistema hexagonal: Su característica fundamental es la presencia de un eje de rotación senario o un eje de inversión senario (eje ternario + plano de simetría perpendicular). Para mayor precisión, generalmente se introduce un cuarto eje i, coplanario con a y b, que forma un ángulo de 120º con cada uno de ellos, así la cruz axial será (a=bc ,   =ß=90º, =120º) Simetria 6/mmm (6/m2/m2/m)

*Índices de Miller hexagonales: Como se trabaja con un cuarto índice, que se sitúa en el plano a1 a2 y a 120º de cada uno de estos ejes, los planos hexagonales se van a representar por cuatro índices (hkil). El valor de i se determina como h+k. Sistema romboédrico o trigonal: Su característica común es la presencia de un eje de rotación

ternario o un eje de inversión ternario (eje ternario + centro de simetría) (a=bc ,   =ß=90º, =120º) Simetría 32/m

Sistema cúbico: Posee como característica fundamental cuatro ejes de rotación ternarios inclinados a 109,47º (a=b=c, = = =90º) Simetria m3m (4/m32/m)

NOTA: Además de las constantes reticulares, para definir un sistema cristalino puede utilizarse la relación paramétrica, siendo ésta la relación existente entre los módulos de a y c respecto al módulo de b: a/b : 1 : c/b Normalmente se toman estos valores y los ángulos para definir la red.

En términos de redes cristalinas tridimensionales, los paralelepípedos fundamentales, morfológicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales de valores dados con sus inclinaciones respectivas, es decir, con los tres ángulos: , ß, y .Su construcción se realiza apilando paralelamente una sucesión infinita de modelos planos idénticos, de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual (familia de planos). Mientras que en el plano se deducían cinco tipos de redes, en el espacio tridimensional se reconocen hasta catorce distribuciones periódicas:

Red triclínica: Debido a los valores distintos entre sí de las traslaciones y de los ángulos fundamentales, el paralelepípedo tiene forma cualquiera, triplemente inclinado (por ello se denomina triclínico). Se trata de una red primitiva.

Redes monoclínicas: La celda es un paralelepípedo no recto de base rectangular (formados por redes planas rectangulares).

- Red monoclínica primitiva, P- Red monoclínica de base centrada- La operación de centrado de redes   permite la generación de este otro tipo de red. Si se centra la red plana rectangular (100), su símbolo es A, y si se centra la (001) es C. Morfológicamente estas redes sólo se diferencian en su orientación, por tanto, las redes monoclínicas de base centrada A y C son equivalentes. Redes rómbicas: - Red rómbica primitiva, P: El paralelepípedo fundamental es un prisma recto de base rectangular. Los tres planos fundamentales, (100), (010) y (001), más los planos diagonales del prisma, son redes planas rectangulares.- Redes rómbicas centradas: La operación de centrado de redes   permite la generación de estos otros tipos de red. Si se centran las redes planas rectangulares (100), (010) y (001) sus símbolos son respectivamente A, B y C.- Morfológicamente estas redes son iguales y se denominan red rómbica de base centrada, simbolizada por C. Cuando la operación de centrado es sobre las tres caras a la vez, la red se denomina red rómbica de caras centradas y se simboliza por F. Si el centrado se produce en los planos diagonales del prisma, la red resultante se denomina red rómbica centrada en el interior, de símbolo I. Redes tetragonales :- Red tetragonal, P: La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada. La familia de planos (001) son de red plana cuadrada, mientras que (100) y (010) son rectangulares e idénticos entre sí.- Red tetragonal centrada, I: Al ser iguales por simetría, los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente, y, a su vez, no pueden hacerlo simultáneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia. Sin embargo, los planos diagonales, que son también redes rectangulares, pueden centrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior, I. Red hexagonal, P: El paralelepípedo fundamental es un prisma recto de base rómbica (de ángulo

de 60º). Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda múltiple integrada por tres de estas celdillas rómbicas

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*Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales. Según éste, los nudos se proyectan a 1/3 o a 2/3 de la diagonal mayor del rombo, dando como resultado una red romboédrica, R Redes cúbicas :- Red cúbica primitiva, P: El paralelepípedo fundamental es un cubo.- Redes cúbicas centradas: El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas. Las redes cúbicas centradas se originan cuando el ángulo del romboedro se hace igual a 60º y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre sí, definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro. Así, la distribución de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas, originando la  red cúbica de caras centradas, F.De forma similar, cuando el ángulo entre las aristas del romboedro es de 109º 28´ 16´´, las diagonales de sus tres caras fundamentales son perpendicuales entre si e iguales en magnitud, y definen un cubo inscrito en el romboedro. La distribución de nudos corresponde a una red cúbica centrada en el interior, I.(Las redes cúbicas no sólo son casos especiales de redes romboédricas, sino que también lo son de redes tetragonales).

Los símbolos  P   C    I    F   R   se refieren a los distintos  tipos de red:P = primitiva (sólo hay un punto de red dentro la celdilla, uno por vértice repartido en ocho vértices, 8/8=1) C = centrada en las caras perpendiculares al eje c de la celdilla (además de un 8/8 de punto por vértice) I = centrada en el cuerpo de la celdilla (además de los 8/8 habituales) F = centrada en todas las caras de la celdilla (además de los 8/8 habituales) R = primitiva, con ejes iguales y ángulos iguales, ó hexagonal doblemente centrada en el cuerpo (además de los habituales)

En cuanto a las clases de simetría mencionadas anteriormente, constituyen la llamada forma o forma cristalina de los cristales y su denominación aparece en la tabla:

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SISTEMA CLASE DE SIMETRÍA SCHOENFLIES HERMANN-MAUGUIN

Triclínico Pedial C1 1

Pinacoidal Ci 1=i

Monoclínico

Esfenoidal C2 2

Domática Cs 2=m

Prismática C2h 2/m

Ortorrómbico

Biesfenoidal Rómbica D2 222

Piramidal Rómbica C2v mm=2mm=mm2

Bipiramidal Rómbica D2h mmm=2/m2/m2/m

Tetragonal

Piramidal Tetragonal C4 4

Biesfenoidal Tetragonal S4 4

Bipiramidal Tetragonal C4h 4/m

Trapezoédrica Tetragonal D4 42

Piramidal Ditetragonal C4v 4mm

Escalenoédrica Tetragonal D2d 42m

Bipiramidal Ditetragonal D4h 4/mmm=4/m4/m4/m

Trigonal

Piramidal Trigonal C3 3

Romboédrica S6 o C3i 3

Trapezoédrica Trigonal D3 32

Piramidal Ditrigonal C3v 3m=3mm

Escalenoédrica Ditrigonal D3d 3m=32/m

Hexagonal

Piramidal Hexagonal C6 6

Bipiramidal Trigonal C3h 6

Bipiramidal Hexagonal C6h 6/m

Trapezoédrica Hexagonal D6 62

Piramidal Dihexagonal C6v 6mm

Bipiramidal Ditrigonal D3h 62m

Bipiramidal Dihexagonal D6h 6/mmm=6/m6/m6/m

Cúbico

Dodecaédrica Pentagonal Tetraédrica o Triaquistetraédrica Pentagonal

T 23

Triaquisoctaédrica o Icositetraédrica Th m3=2/m3

Triaquisoctaédrica Pentagonal O 43

Hexaquistetraédrica Td 43m

Hexaquisoctaédrica Oh m3m

IMPERFECCIONES DE LOS CRISTALES:

- Defecto de Frenkel: Al moverse una de las partículas del retículo, la estructura se mueve por completo, quedando corrida de su formación original.- Defecto de Schottky: La partícula desplazada deja el lugar vacío, que es ocupada por otra partícula, con lo cual el corrimiento es de elementos y no de estructuras.- Impurezas: Cuando encontramos dentro de los cristales, elementos que no son propios del mismo.NOTA: para poder saber que tipo de estructura posee un cristal deberemos recurrir a los Rayos X, debido a que el tamaño de dichas retículas es sólo comparable con las longitudes de ondas de dichos rayos. El proceso consiste la difracción de los Rayos X sobre los cristales del elemento, produciéndose una imagen que permite obtener una idea de cómo se sitúan las partículas en ese elemento.

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Algunos minerales cristalinos:

Pirita, diamante, sal, gema (sistema cúbico)Yeso, mica, malaquita (sistema monoclínico)Axinita, feldespasto (sistema triclínico)Esmeralda, calcita, cuarzo (sistema hexagonal)Baritina, azufra (sistema ortorrómbico)Vesubiana, casiterita (sistema tetragonal)

Fluorita

CONCLUSIONES:

Por medio de las redes de Bravais, podemos determinar la estructura interna que contiene un sólido cristalino y con esto poder entender las razones por las cuales en algunos elementos se presentan diferentes estructuras como en el Carbono (grafito y diamante), que a pesar de ser el mismo elemento, al acomodarse de distinta manera sus moléculas (en sistemas, redes y dependiendo de su simetría), presentan poliformismo sus formas minerales.

BIBLIOGRAFÍA:

www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/(Oct/10/2006) http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras%20cristalinas/redes%20de%20bravais.html http://161.116.85.21/crista/castella/xarxes-bravais/ http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_intr.htm http://greco.fmc.cie.uva.es/mineralogia/contenido/intr_miner2_5_4.html

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