Redes Bayesianas

Redes Bayesianas: Probabilidad para la Aprobación de un Ciclo

Andrea Armijos1, Erika Masache2, Jenny Saraguro3

Universidad Nacional de Loja

En este documento se pretende dar un explicación de las Redes Bayesianas y sus aplicaciones,en base a una red que nos permita determinar la probabilidad de aprobar o reprobar el DécimoCiclo de Carrera Ingeniería en Sistemas.

INTRODUCCIÓN

Las redes Bayesianas juegan diversos papeles importantesdentro de la Inteligencia Artificial. Uno de ellos es suactuación dentro del manejo de incertidumbre en lossistemas expertos.

Las redes Bayesianas modelos que describen las rela-ciones (relaciones de independencia/dependencia) entrevariables, estas pueden ser aplicadas a casi cualquier tipode problema. Sin embargo este trabajo se centra en aquellosproblemas en los que existe cierta estructura en las relacionesde las variables.(Jiménez, 2003)

Las redes bayesianas nos permiten determinar la pro-babilidad de que ocurra un suceso en base a variablesconocidas, es por ello que se ha decidido realizar un ejemplode redes bayesianas la cual nos permitirá determinar laprobabilidad de que se apruebe el décimo ciclo de la carrerade ingeniería en sistemas, además de obtener la suficienteinformación bibliográfica para el desarrollo nuestra redbayesiana.(Rivera, 2011)

REDES BAYESIANAS

Concepto

Una Red Bayesiana es un modelo probabilístico querelaciona un conjunto de variables aleatorias mediante ungrafo dirigido, son redes gráficas sin ciclos en el que se repre-sentan variables aleatorias y las relaciones de probabilidadque existan entre ellas que permiten conseguir soluciones aproblemas de decisión en casos de incertidumbre. (Rivera,2011)

Una red bayesiana es una representación ilustrada dedependencias para razonamiento probabilístico, en la cuallos nodos representan variables aleatorias y los arcossimbolizan relaciones de dependencia directa entre lasvariables. (Rivera, 2011)

Para tener un mayor entendimiento se puede explicar elfuncionamiento de redes bayesianas a través de un ejemplo:• Considerando una variable aleatoria A dependiente de

otras dos F1,F2 (Factor 1 y Factor 2) donde el grafo expresivoserá:

Figura 1. Red Bayesiana Simple

Una red Bayesiana es una herramienta informática a laque puede crearse diferentes modelos dependiendo del casode estudio según la concepción que tenga el diseñador y delas condiciones del comportamiento de las variables.

La estructura del modelo bayesiano permite capturar lasrelaciones de dependencia que existe entre los atributosde los datos que se estudien, describiendo la distribuciónde probabilidad que administra un conjunto de variablesespecificando los cálculos de independencia condicionaljunto con probabilidades condicionales.

Así, las redes permiten especificar relaciones de indepen-dencia entre conjuntos de variables, lo que las convierte enuna solución de independencia.

Inferencia Bayesiana

La regla de Bayes es un enunciado que consiste enactualizar la opinión que inicialmente se tenía sobre unsuceso cuando disponemos de nueva información obje-tiva. Al efectuar un nuevo cálculo, la probabilidad de lacreencia revisada (probabilidad a posteriori) se convierteen la probabilidad de la creencia inicial (probabilidad apriori) de la siguiente repetición. Por tanto, este sistemava evolucionando cuando se aporta nueva información y se

Tutor: Ing Henry Paz

aproxima cada vez más a la certidumbre.(Corte, 2013)

Hay que tomar en cuenta que el teorema de Bayes es:Dados dos sucesos A y B:

Pr(A | B) =Pr(B | A)Pr(A)

Pr(B)(1)

Probabilidades a Priori y a Posteriori. Dada una hipó-tesis, H, sobre una población, la inferencia Bayesiana la ac-tualiza una vez que se han observado datos mediante(Ausín,2012),

Pr(H | Datos) =Pr(Datos | H)Pr(H)

Pr(Datos)(2)

donde:

• Pr(H) es la probabilidad a priori de que la hipótesis Hsea cierta.• Pr(H | Datos) es la probabilidad a posteriori de que

la hipótesis H sea cierta, la probabilidad de que H sea ciertauna vez que se han observado los datos.• Pr(Datos | H) es la verosimilitud, es decir, la probabi-

lidad de que haber observado esos datos si la hipótesis H escierta.• Pr(Datos) es la verosimilitudmarginal, la probabilidad

de que haber observado esos datos independientemente deque H sea cierta o no.

Pasos en la Inferencia Bayesiana. Supongamos queestamos interesados en estimar un parámetro, θ, a partir deunos datos x = {x1, ..., xn}.

Con la filosofía Bayesiana θ no es un valor fijo, sino unavariable aleatoria. Los pasos esenciales son:

1. Fijar una distribución a priori para θ, que denotamospor π(θ), que exprese nuestras creencias sobre θ antes de ob-servar los datos.

2. Datos los datos, x, escoger un modelo estadístico quedescriba su distribución dado θ, es la verosimilitud f (x | θ).

3. Usando el Teorema de Bayes, actualizar las creenciassobre θ calculando su distribucinaposteriori:

π(θ | x) =f (x | θ)π(θ)

f (x)(3)

En si el objetivo de la inferencia bayesiana es extraer con-clusiones sobre el comportamiento general de un conjunto dedatos y resumir los resultados mediante una distribución deprobabilidades para los parámetros del modelo. Los métodosbayesianos se caracterizan por usar explícitamente las pro-babilidades para cuantificar la incertidumbre y esto permiteutilizar la inferencia de forma más natural e intuitiva.(Corte,2013)

Tipos de Redes Bayesinas

Construir una red bayesiana presenta varios problemasentre los cuales el principal consiste en el tratamiento devariables discretas y continuas de forma simultánea, debidoa las restricciones del modelo condicional que conlleva alproceso de discretización. Las redes bayesianas se puedenclasificar según la función del tipo de variables utilizadas.

Redes Bayesianas Continuas. Las redes bayesianascontinuas son aquellas que tienen un número infinito deposibles valores. En este tipo de redes resulta complicadodeterminar explícitamente las probabilidades condicionadaspara cada valor de las variables, así que las probabilidadescondicionadas se representan mediante una función deprobabilidad. (Rivera, 2011)

Este tipo de redes bayesianas tiene dos formas de abordareste problema: la discretización consiste en dividir el rangode las variables continuas en un número finito de intervalosexhaustivos y exclusivos.

Naturalmente, al discretizar se pierde información quedepende del dominio y el número de intervalos. Es elmétodo más común ya que la mayoría de las herramientas yalgoritmos se basan en nodos discretos. Y el segundo métodoconsiste en usar modelos paramétricos como la distribuciónGaussiana, que es representada por dos parámetros, la mediay la varianza. (Daniel Rodriguez, 2007)

Redes Bayesianas Dinámicas. Las redes Bayesianasdinámicas consienten en la exposición de procesos quecontienen una variable aleatoria en cada intervalo de tiempo.El proceso que se está estudiando puede entenderse comouna serie de procesos en un instante de tiempo.

El estado de las variables se representa en un lapsode tiempo para poder representar los procesos dinámicosconocidos dentro de la red bayesiana. Las probabilidadescondicionales de este modelo no cambian con el tiempo. Esdecir, se repite las etapas temporales y las relaciones entredichas etapas.

La inferencia en una red bayesiana dinámica es la mismaque para una red bayesiana, y por esto se emplean los mismosmétodos. Esta inferencia resulta mediante la reproducción delos intervalos de tiempo, hasta que la red sea lo suficientelarga para captar todas las observaciones.(Rivera, 2011)

Ejemplo en ELVIRA

Se realizará un red bayesiana para determinar la probabi-lidad que posee un estudiante para aprobar el Décimo Ciclode la carrera Ingeniería en Sistemas.

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Análisis de la Información. En el análisis previo seconsideraron los siguientes parámetros:• Calificaciones obtenidas en los nueve ciclos

anteriores.-Estos datos están agrupados en tres rangos:

• ALTO.- Comprende los promedios obtenidos de entre 10,0a 9,0, los cuales tendran una probabilidad de 0,60 dentro dela red bayesiana .• MEDIO.- Comprende los promedios obtenidos de entre8,9 a 8,0, los cuales tendran una probabilidad de 0,28 dentrode la red bayesiana.• BAJO.- Comprende los promedios obtenidos de entre 7,9a 7,0, los cuales tendra una probabilidad de 0,12 dentro de lared bayesiana.

La figura 2 muestra de una forma mas clara el rango de lascalificaciones con sus repectivas probabilidades que se eva-luaran dentro de la red bayesiana.

Figura 2. Calificaciones de Ciclos Anteriores

• Dificultad de las Materias.- Para evaluar la dificultadde las materias se tomó en cuenta la dificultad de la mismade acuerdo a sí son materias propias a la carrera, materias deayuda a materias de profesionalización y materias de apoyo,las cuales se las agrupó en tres categorías:• ALTO.- se considerán de categoría alta a las materias deprofesionalización de la carrera, las cuales tendran un proba-bilidad de 0,60 para la evalución dentro de la red bayesiana.• MEDIO.- se considerán de categoría media a las materiasque sirven de base para las materias de profesionalización,las tendran una probabilidad de 0,27 para la evaluación de lared bayesiana.• BAJO.- se considerán de categoría baja a las materias deapoyo a la carrera como química, contabilidad, entre otros,las cuales tendran una probabilidad de 0,13 para la evalua-ción de la red bayesiana.La figura 3 muestra de una forma mas clara el rango de ladificultad de las materias cursadas en ciclos anteriores consus repectivas probabilidades que se evaluaran dentro de lared bayesiana.

Figura 3. Dificultad de las Materias

• El Nivel de Exigencia del Docente.- La exigencia deldocente se evalúo según nuestro criterio acuerdo a la expe-riencia mantenida por nosotros como estudiantes. Se deter-minó dos categorias: ALTO Y MEDIO como lo muestra lafigura 4 la cual nos permite determinar los valores de proba-bilidad que se evaluaran dentro de la red.

Figura 4. Nivel de Exigencia del Docente

• Asistencias del estudiante.- Para la asistencia se tomóen cuenta que si el estudiante tiene un porcentaje mayor al80 % de asistencia puede aprobar el ciclo, pero si tiene me-nos del 80 % de asistencia tendrá una menor probbilidad deaprobar el ciclo.• Materias que se Cursan en el Décimo Ciclo.- Para la

evaluación de las materias se tomó en cuenta los siguienteparámetros: tareas, lecciones y Exámenes.• Tareas.- Este parámetro se evalúo tomando en cuenta porlo general se califica sobre dos puntos para la acreditaciónfinal de la materia, en base a esto se las probabilidades quese evaluarán en la red bayesiana estan determinadas en trescategorias:• ALTO.- si el estudinte tiene 2 puntos de promedio de ta-reas, con una probabilidad de 0,60 .• MEDIO.- si el estudinte tiene 1 punto de promedio de ta-reas, con una probabilidad de 0,27.• BAJO.- si el estudinte tiene 0 puntos de promedio de tares,con una probabilidad de 0,13.Esto se lo muestra en la figura 5

Figura 5. Tareas de la Materia

• Lecciones.- Este parámetro se evalúo tomando en cuentapor lo general se califica sobre un punto para la acreditaciónfinal de la materia, en base a esto se las probabilidades quese evaluarán en la red bayesiana estan determinadas en trescategorias:• ALTO.- si el estudinte tiene 1 punto de promedio de lec-ciones, con una probabilidad de 0,60 .• MEDIO.- si el estudinte tiene 0,5 puntos de promedio delecciones, con una probabilidad de 0,22.• BAJO.- si el estudinte tiene 0 puntos de promedio de lec-ciones, con una probabilidad de 0,18.Esto se lo muestra en la figura 6

Figura 6. Lecciones de la Materia

• Pruebas.- Este parámetro se evalúo tomando en cuenta porlo general se califica sobre siete puntos para la acreditaciónfinal de la materia, en base a esto se las probabilidades quese evaluarán en la red bayesiana estan determinadas en trescategorias:


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• ALTO.- si el estudinte tiene 6,0 a 7,0 puntos de promediode exámenes, con una probabilidad de 0,60 .• MEDIO.- si el estudinte tiene 4,0 a 5,9 puntos de promediode exánemes, con una probabilidad de 0,28.• BAJO.- si el estudinte tiene 0,0 a 3,9 puntos de promediode exánemes, con una probabilidad de 0,12.Esto se lo muestra en la figura 7

Figura 7. Exámenes de la Materia

Esquema de la Red Bayesiana. En esta sección noscentraremos en la red bayesiana la cual está formada por 30nodos los cuales nos sirvierón para poder dar solución alproblema plantedo.

La estructura de la red bayesiana se muestra en la figura 8

Figura 8. Red Bayesiana en Modo Edición

Para obtener mayores detalle sobre la red obtenida se de-be cambiar, en la barra de tareas, la opción Edición por laopción Inferencia, a continuación, en la figura 9, se muestraesta última pantalla.

Figura 9. Red Bayesiana en Modo Inferencia

Los nodos Tareas, Lecciones y Pruebas tienen como hijosa los nodos materia, estos nodos nos sirvieron para evaluar

las materias que se cursan en el último ciclo.

En el nodo MateriaRazón de probabilidad a priori es: MAYOR QUE 1, lo queimplica que el estado aprueba es más probable que el estadoreprueba. Particularmente 2,36 veces

Figura 10. Nodo Materia

Si evalúo el nodo Materia en el estado de aprueba larazón de probabilidad posteriori va hacer MAYOR que 1,lo que implica que el estado prueba es más probable que elestado reprueba. Particularmente ∝ veces.

Pero si se evalúo el nodo Materia en el estado de repruebala razón de probabilidad posteriori va hacer MENOS DE 1,lo que implica que el estado reprueba es más probable queel estado aprueba. Particularmente ∝ veces.

• Nodo LeccionesRazón de probabilidad a priori es:La clasificación de los valores por orden decreciente de pro-babilidad es:Posición 0 −→ Estado: alto es 2,73 veces más probable queel estado medio y es 4,62 veces más probable que el estadobajoPosición 1 −→ Estado: medio es 1,22 veces más probable queel estado bajoPosición 2 −→ Estado: bajo

Figura 11. Nodo Lecciones

• Nodo TareasRazón de probabilidad a priori es:La clasificación de los valores por orden decreciente de pro-babilidad es:Posición 0 −→ Estado: alto es 2,22 veces más probable queel estado medio y es 4,62 veces más probable que el estadobajoPosición 1 −→ Estado: medio es 2,08 veces más probable queel estado bajoPosición 2 −→ Estado: bajo


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Figura 12. Nodo Tareas

• Nodo PruebasRazón de probabilidad a priori es:La clasificación de los valores por orden decreciente de pro-babilidad es:Posición 0 −→ Estado: alto es 2,14 veces más probable queel estado medio y es 5,00 veces más probable que el estadobajoPosición 1 −→ Estado: medio es 2,33 veces más probable queel estado bajoPosición 2 −→ Estado: bajo

Figura 13. Nodo Pruebas

Todo este proceso se lo realizó en cada uno de los nodosMATERIA, LECCIONES, TAREAS Y PRUEBAS.

En el nodo Antecedentes AnterioresRazón de probabilidad a priori es: MAYOR QUE 1, lo queimplica que el estado buena es más probable que el estadomala. Concretamente, 3,03 veces

Figura 14. Nodo Antecedentes Anteriores

Lo cual quiere decir que los antecedentes de peso buenoes de mayor probabilidad que contar con antecedentes malo.• Nodo Calificaciones Anteriores

Razón de probabilidad a priori es:La clasificación de los valores por orden decreciente de pro-babilidad es:Posición 0 −→ Estado: alto es 2,14 veces más probable queel estado medio y es 5,00 veces más probable que el estadobajoPosición 1 −→ Estado: medio es 2,33 veces más probable queel estado bajoPosición 2 −→ Estado: bajo

Figura 15. Nodo Calificaciones Anteriores

Lo cual quiere decir que contar con calificaciones anterioresde peso alto es de mayor probabilidad que contar concalificaciones anteriores de peso medio y bajo.

• Nodo Dificultad de la MateriaRazón de probabilidad a priori es:La clasificación de los valores por orden decreciente de pro-babilidad es:Posición 0 −→ Estado: alto es 2,22 veces más probable queel estado medio y es 4,62 veces más probable que el estadobajoPosición 1 −→ Estado: medio es 2,08 veces más probable queel estado bajoPosición 2 −→ Estado: bajo

Figura 16. Nodo Dificultad de la Materia

Lo cual quiere decir que la dificultad de la materia depeso alto es de mayor probabilidad que contar con que ladificultad de la materia sea de peso medio y bajo.

• Nodo Exigencia del DocenteRazón de probabilidad a priori es: MAYOR QUE 1, lo queimplica que el estado alto es más probable que el estado me-dio. Concretamente, 4,00 veces.

Figura 17. Nodo Exigencia del Docente

Lo cual quiere decir que la exigencia del docente de peso altoes de mayor probabilidad que contar con que la dificultad dela materia sea de peso medio.

En el nodo AsistenciaComo aún no hemos introducido ningún hallazgo, aparecenlas probabilidades a priori: MAYOR QUE 1, lo que implicaque el estado asistencia es más probable que el estadoinasistencia. Concretamente, 4,00 veces; se lo puedeevidenciar en la figura 18.

Para la aprobación de un módulo se debe contar con unvalor mayor al 80 % de asistencias, este dato es el que seingresó en el nodo. Gracias a ello logramos obtener la pro-


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babilidad de faltas que puede tener un estudiante durante eltranscurso del presente ciclo.

Figura 18. Nodo Asistencia

Si evaluamos el nodo Asistencia en el estado de asistenciala razón de probabilidad posteriori va hacer MAYOR que 1,lo que implica que el estado asistencia es más probable queel estado inasistencia. Particularmente ∝ veces.

Pero si se evaluamos el nodo Asistencia en el estado deinasistencia la razón de probabilidad posteriori va hacerMENOS DE 1, lo que implica que el estado inasistenciaes más probable que el estado asistencia. Particularmente∝ veces.

En el nodo ResultadoComo aún no hemos introducido ningún hallazgo, aparecenlas probabilidades a priori: MENOR QUE 1, lo que implicaque el estado reprueba es más probable que el estado aprue-ba. Concretamente, 8,26 veces

Figura 19. Nodo Resultado

Razón de probabilidad:Existe una probabilidad mayor de que un estudiante repruebeun módulo antes de que apruebe, ya que existe una prioridadalta en malos antecedentes anteriores.

Si evaluamos el nodo Resultado en el estado de apruebala razón de probabilidad posteriori va hacer MAYOR que 1,lo que implica que el estado aprueba es más probable que elestado reprueba. Particularmente ∝ veces.

Pero si se evaluamos el nodo Resultado en el estadode reprueba la razón de probabilidad posteriori va hacerMENOS DE 1, lo que implica que el estado reprueba es másprobable que el estado aprueba. Particularmente ∝ veces.

Resultados de la Red Bayesiana. Un vez realizado elanálisis de la información y el esquema de la red bayesiana,se logró determinar que en base a las probabilidades ingresa-das en cada uno de los nodos se llegó a los siguientes resul-tados.

En el nodo Materia

Si evaluamos en el estado aprueba la razón de probabi-lidad a posteriori es: MAYOR QUE 1, lo que implica que

Figura 22. Red Bayesiana con Resultados

el estado aprueba es más probable que el estado reprueba.Concretamente, ∝ veces.

Existe mayor probabilidad de que un estudiante apruebeuna materia dependiendo del nivel en el que se encuentren enlos parámetros del análisis previo (Lecciones, Tareas, Prue-bas).

Figura 23. Nodo Materia en el Estado aprueba

Pero si evaluamos en el estado reprueba la razón deprobabilidad a posteriori es: MENOR QUE 1, lo que implicaque el estado reprueba es más probable que el estadoaprueba. Concretamente, ∝ veces.

Existe mayor probabilidad de que un estudiante repruebeuna materia dependiendo del nivel en el que se encuentren enlos parámetros del análisis previo (Lecciones, Tareas, Prue-bas).

Figura 24. Nodo Materia en el Estado reprueba

En el nodo Antecedentes Anteriores


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Si evaluamos en el estado buena la razón de probabilidada posteriori es: MAYOR QUE 1, lo que implica que el estadobuena es más probable que el estado mala. Concretamente,3,00 veces.

Existe mayor probabilidad de que un estudiante haya te-nido buenos antecedentes en cuanto a sus calificaciones an-teriores.

Figura 25. Nodo Antecedentes Anteriores en el Estado buena

Pero si evaluamos en el estado mala la razón de probabi-lidad a posteriori es: MENOR QUE 1, lo que implica que elestado mala es más probable que el estado buena. Concreta-mente, 1,22 veces.

Figura 26. Nodo Antecedentes Anteriores en el Estado mala

Descripción de la Tabla del Nodo Resultado. Paraque un alumno pueda aprobar con mayor probabilidad unamateria debe:

Tener en el mejor de los casos los primeros valores de latabla o tipos entre (Alto y Medio) en cada uno de los pa-rámetros, así se diese el caso en que en los tres parámetrostenga medio se puede considerar que tiene la pasibilidad deaprobar. Su probabilidad va variando de acuerdo a como vayabajando los tipos (Medio o Bajo) en cada uno de los paráme-tros.

Figura 27. Tabla de Nodo Materia

Para poder obtener un resultado de aprobación de módu-lo es obligatoria la aprobación de todas las materias por esoen caso de que en una materia este reprobado el estudiantereprobaría el modulo, en cuanto a las asistencia el estudiantedebe contar con el 80 % en caso de no llegar a este valor seconsidera como reprobado el modulo, los antecedentes dejan

dos posibilidades de que un alumno pase con buenos o ma-los ya que esto no influencia directamente en el valor porquees un dato que sirve de apoyo en caso de que el estudiantetuviera calificaciones medias.

Figura 28. Tabla de Nodo Materia

La información de la red bayesiana se la presenta en unaaplicación realizada en JAVA como lo muestra la figura 27.

Figura 29. Información de la Red Bayesiana

En la aplicación presentamos:• El nombre de los nodos de la red.• La Relevancia de los nodos.• Tipo de Nodo.• Función de Utilidad Mínima• Función de Utilidad Máxima, entre otros.

El código de la aplicación se muestra en las figura 29 y 30

Figura 30. Método printResults


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Figura 31. Método ordenarDatos

El código de la aplicación se encuentra disponible en:https://github.com/anelar21/AprobarModulo

Conclusiones

• Las redes bayesianas nos permiten determinar probabi-lidades mediante un conjunto de variables y las dependenciasentre ellas.

• Las redes bayesianas son hoy en dia uno de los métodosde la inteligencia artificial mas usados para resolver proble-mas en los cuales existen niveles altos de incertidumbre.

Recomendaciones

• Realizar un análisis profundo acerca de las probabi-lidades que serán tomadas como entrada porque de estasdepende la efectividad de la red bayesiana.

• Utilizar el programa OpenMakov para tener la red ba-yesiana en un archivo pgmx y poder utilizarlo en JAVA.

References

Ausín, C. (2012). Introducción a la in-ferencia bayesiana. Descargado dehttp://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/causin/esp/2012-2013/SMB/Tema6.pdf

Corte, A. (2013). Inferencia estadística bayesiana. Descargado dehttp://carleos.epv.uniovi.es/tfg/inferencia-bayesiana.pdf

Daniel Rodriguez, J. D. (2007). Redes bayesia-nas en la ingeniería del software. Descargado dehttp://www.cc.uah.es/drg/b/RodriguezDolado.BBN.2007.pdf

Jiménez, J. (2003). Bayesn: Un algoritmo para aprender redesbayesianas clasificadoras a partir de datos. Descargado dehttp://www.dynamics.unam.edu/users/jjimenez/files/TesisJL.pdf

Rivera, M. (2011). El papel de las redes baye-sianas en la toma de decisiones. Descargado dehttp://www.urosario.edu.co/Administracion/documentos/investigacion/laboratorio/miller_2_3.pdf


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