RECTAS, PARABOLAS, SISTEMA DE ECUACIONES.pdf
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ING. FLAVIO PARRA T
1
1. RECTAS
Para trazar una recta necesita de dos puntos de coordenadas y ,x . La caracterstica principal de las rectas es su inclinacin llamada pendiente;
definida como la variacin vertical y respecto a la variacin horizontal x .
x
y
2x1x
2y
1y
12 yyy
12 xxx
1.1 PENDIENTE DE UNA RECTA
Definicin.- Sean (x1, y1); (x2, y2) dos puntos conocidos sobre una lnea recta
no vertical, la pendiente de la recta es el nmero m dado por la relacin entre
el cambio vertical y y el cambio horizontal x, (ordenadas sobre abscisas).
x-x
y-ym ;
x
y
horizontalVariacin
verticalVariacin (m) Pendiente
12
12
Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre
ella deben tener x1 = x2 que da un denominador cero en la ecuacin.
m = =
0
y
-
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2
Para una recta horizontal cualesquiera dos puntos deben tener y1 = y2, esto
significa que el numerador es cero en la ecuacin, por lo tanto la pendiente
es cero.
m = ; m = = 0
Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 6) y
(2 ,3)
m = =
2. FORMAS DE ECUACIN DE LA RECTA.
Existen varios tipos de presentacin de la ecuacin de la recta, as: conocida
la pendiente y un punto, se puede aplicar la ecuacin en la forma punto-
pendiente; analice las distintas formas de ecuacin de lneas rectas.
11 x-x myy Punto pendiente bmxy Pendiente y ordenada al origen
0CByAx General
ax Recta vertical by Recta Horizontal
Ejemplo1: Escribir la ecuacin de una recta que pasa por el punto P (-4, 5) y cuya pendiente es -3. Exprese su respuesta en la forma lineal general.
Sustituimos estos valores en la ecuacin de la recta punto-pendiente y
tenemos:
y 5 = -3
y 5 = ; y-5= -3x-12
y = -3x 12 + 5 Despejando y
y = -3x 7 Ecuacin de la recta forma:
Nota: el coeficiente numrico que acompaa a x es la pendiente.
x
y
x
0
523
52
63
7
3
4x
43 x
-
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3
Ejemplo 2: Hallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente 3 y su interseccin con el eje y es 2 ; (la ordenada al origen b es la interseccin
con el eje y)
En este caso m = 3 y b = 2 Por lo tanto:
Reemplazamos estos valores en la forma y = mx + b
y =3x + 2
Ejemplo3: Determinar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos 4 , 2 By 4- , 3-A . Exprese su respuesta en la forma lineal general y
grafique.
5
8
(-3)-2
(-4)-4m ;
x-x
y-ym
12
12
2-x
5
84-y ; x-x myy 11
0
5
4y-x
5
8 ;
5
4x
5
8y ; 4
5
16x
5
8y
) 4- , (-3A
) 4 , (2 B
5
4x
5
8y
-
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4
Ejemplo 4: Determine la ecuacin de la recta que tiene pendiente -2 y la interseccin con el eje vertical es 3. Grafique.
3-2xy ; bmxy
x
y
3x2y
3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si la pendiente de la recta 1 es igual a la pendiente de la recta 2.
Matemticamente: m1 = m2
RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares cuando forman un ngulo de 90 entre ellas y el producto de las pendientes es
igual a -1.
Matemticamente: m1 . m2= -1
EJERCICIOS.
1. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto ) 1 , 3- ( y es paralela
a la recta 3x2y . Grafique:
-
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paralelas" Rectas" 2mm 21
5--2xy ; 3x -21-y ; x-x my-y 11
x
y
3x2y
5x2y
2. Determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto 1- , 2- y es
perpendicular a la recta 3x2y . Grafique.
2
1m ;
2-
1m ; -1m2- ; -2m
lares"perpendicu Rectas" -1mm
2221
21
x 2
1y ; 2x
2
11y ; x-x my-y 11
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6
x
y
3x2y
x2
1y
4. FUNCIONES LINEALES
Varias aplicaciones administrativas y econmicas, estn relacionadas con
modelaciones lineales. Una funcin lineal puede expresarse como ( ) con y est representado por una recta.
Ejemplo: Suponga que f es una funcin lineal de pendiente -3 y ( ) . Determine f(x).
Tenemos como datos ( )
( ) ( )
4.1 APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES
Para encontrar una funcin lineal tome en cuenta lo siguiente:
Lea con detenimiento el ejercicio, defina la funcin lineal, frases como: el costo est relacionado linealmente con el nmero de unidades
c , q )q(fc ; el peso (W) est relacionado con el tiempo (d) ) W , d ( )d(fW .
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Encuentre dos puntos de coordenadas definidas en el punto anterior, calcule la pendiente. En ocasiones hay ejercicios en los que le dan
directamente la pendiente como por ejemplo: La propiedad se aprecia (p)
$30000 cada ao (t).
Con la pendiente y cualquiera de los puntos, determine la ecuacin de la funcin lineal aplicando la forma punto-pendiente.
EJERCICIOS
1. Ecuacin de oferta. Suponga que un fabricante de zapatos colocar en el mercado 50 mil pares cuando el precio es $35 por par y 35 mil pares de
zapatos cuando el precio es $30. Determine la ecuacin de oferta suponiendo
que el precio p y la cantidad q estn relacionados de manera lineal.
30 , 35 35 50, ; p , q q fp
3
1m ;
15-
5-
50-35
35-30m ;
q-q
p-pm
12
12
3
55q
3
1 p
35-q 3
130-p ; q-q mpp 11
2. Precios por reparacin. Una compaa que repara copiadoras comerciales, cobra por un servicio una cantidad fija ms una tarifa por hora. Si un cliente
tiene una factura de $150 por un servicio de una hora y $280 por un servicio
de tres horas, determine una funcin lineal que describa el precio de un
servicio, en donde x es el nmero de horas de servicio.
280 , 3 150 , 1 ; p ,x f(x)p
65m ; 2
130
1-3
150-280m ;
x-x
p-pm
12
12
8565xp ; 1-x 65150-p ; x-x mp-p 11
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3. Depreciacin. Un televisor nuevo se deprecia $120 por ao, y tiene un valor de $340 despus de 4 aos. Determine una funcin que describa el valor de
este televisor, si x es la edad, en aos, de la televisin.
340 4, 120m ; f(x)p
820-120xp ; 4-x 120340-p ; x-x mp-p 11
4.2 CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA
La curva de demanda desciende de izquierda a derecha, esto significa que al
incrementarse la cantidad demanda el precio disminuye y el valor de la
pendiente es negativa.
La curva de oferta asciende de izquierda a derecha y esto significa que al
incrementarse la cantidad ofertada, el precio aumenta y el valor de la
pendiente es positiva.
Ejemplo: Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100
unidades cuando el precio es de $ 58 por unidad y 200 unidades cuando el
precio es de $ 51 .Determinar la ecuacin de demanda suponiendo que es
lineal
Como la demanda es lineal, el precio p est en funcin del nmero de unidades demandadas, debe encontrar dos puntos de coordenadas ( ).
De la lectura del ejercicio tenemos los siguientes puntos:( ) y ( ) . Calculamos la pendiente y su ecuacin.
( )
( )
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9
p
q
65q100
7p
4.3 PRODUCCIN Y PUNTOS DE EQUILIBRIO.
1. Negocios. Un fabricante produce un producto cuyo costo por material es $4, mano de obra $2 y los costos fijos $4000. Si el producto se vende a $8. Determine:
El punto de equilibrio.
(C) totalCosto (r) totalIngreso Punto de equilibrio
40006q8q ; Cf(q) Cv q p
16000Cr ; (2000) 8Cr ; 2000q
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10
q
C,r
q8r 4000q6C
Determine el nivel de produccin para tener una utilidad de $3000
C -rU ; totalCosto - totalIngreso U
3500q ; 40006q q83000
Determine el nivel de produccin para tener una prdida de $2000
1000q 4000q6q82000
5. FUNCIONES CUADRTICAS
Una funcin f que puede escribirse de la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, donde
a, b y c son constantes y a0; es llamada funcin cuadrtica porque la variable independiente x est elevada a la segunda potencia.
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5.1 LA PARABOLA.
El objetivo es estudiar la parbola que es la representacin grfica de la
funcin cuadrtica, muy utilizada en distintos anlisis experimentales y
econmicos. Para graficar la parbola considere lo siguiente:
a) Identifique las constantes numricas a, b, c.
b) Si a > 0, la parbola es cncava hacia arriba . Si a < 0, la parbola es cncava hacia abajo .
c) El punto (x, y) ms alto o ms bajo de la parbola se denomina vrtice.
Que tiene como coordenadas: (
(
)). Por el vrtice de la
parbola pasa un eje de simetra.
d) Intersecciones con los ejes.
Ejemplo1: Para la funcin: ( ) . Encontrar el vrtice, las intersecciones con los ejes, dominio y rango. Graficar la
parbola.
a) Coeficientes: )
c) Vrtice:
( )
( )
( ) ( )
( )
d) Interseccin con los ejes.
Interseccin eje t: ( )( )
( ) ( )
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Interseccin con eje S: t = 0
( ) ( ) ( )
e) Dominio y rango de la funcin: Df: R; el rango determinamos con el
grafico: [ )
f) Grfica:
0 , 1- 0 , 5
9 , 2 V
s
t
5-4t-ts 2
Eje
de s
imetr
a
5.2 APLICACIONES DE FUNCIONES CUADRATICAS
Ejemplo 1: Si el precio (en dlares) de una videocinta es
,
entonces se vendern q cintas.
a) Encuentre una expresin para el ingreso total por la venta de q cintas. b) Encuentre el nmero de cintas que producir el ingreso mximo. c) Encuentre el ingreso mximo.
a) Ingreso:
(
)
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b) Nmero de cintas (q) para ingreso mximo.
(
)
c) Ingreso mximo (R).
( ) ( )
Ejemplo 2. Suponga que la demanda y la oferta de cierto producto est
dado por las ecuaciones: ( ) ( ); donde p es el precio en cientos de dlares y q el nmero de unidades producidas. Determine el punto de equilibrio. Grafique.
Punto de equilibrio:
( )( )
( ) ( )
Grafica: Se trata de 2 parbolas, donde nicamente interesa los valores de
Grafico:
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x
y
) 96 , 3 (
2q6150p
q2q10p 2
6. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Cuando una situacin debe describirse matemticamente, no es raro que
surja un conjunto de ecuaciones, como:
(2) 54y3x8
(1) 36y2x5
A este conjunto de ecuaciones le llamamos sistema de dos ecuaciones
lineales en las variables (o incgnitas) x y y. La solucin consiste en
encontrar los valores x y y para las cuales las dos ecuaciones sean
verdaderas de manera simultnea. Estos valores se llaman soluciones del
sistema.
Como las ecuaciones (1) y (2) son lineales, sus grficas son lneas rectas;
llammoslas L1 y L2, si stas se dibujan en el mismo plano, existen tres
posibles situaciones:
a) 21 Ly L pueden intersecarse en exactamente un punto, digamos )y,x( oo. Por lo tanto, el sistema tiene como solucin nica oxx y oyy .
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b) 21 Ly L pueden ser paralelas y no tener puntos en comn. En este caso
no existe solucin.
c) 21 Ly L pueden ser la misma recta. Por tanto, las coordenadas de
cualquier punto sobre la recta son una solucin del sistema. En
consecuencia, existe un nmero infinito de soluciones.
Para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales puede utilizar tres
mtodos:
a) Mtodo de sustitucin.
L1
L2
(xo,yo)
L1
L2
L1
L2
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Utilicemos el sistema de ecuaciones del ejemplo para explicar el mtodo
de solucin.
(2) 54y3x8
(1) 36y2x5
b) Mtodo de eliminacin o suma y resta. El mtodo consiste en multiplicar o dividir a las ecuaciones por valores
apropiados para que sumados se elimine una de las variables. Usemos el
mismo ejemplo para explicar el mtodo.
1. Despeje en una de las
ecuaciones una de las
variables
en funcin de la otra.
2
x536y
de (1)
2. Sustituya esta expresin (y) en
la ecuacin (2) 542
x5363x8
; 54
2
x15108x16
0 x; 031x ; 108)2(54x31
3. Sustituya la solucin
encontrada en la ecuacin del
paso 1,
18y ; 2
)0(536y
4. Compruebe, sustituyendo los
valores de x y y en las
ecuaciones originales.
362(18)5(0) :(1) En
-543(18)-8(0) :(2) En
1. Elimine una de las variables multiplicando
o dividiendo por valores apropiados sobre
toda la ecuacin y eliminar una de las
variables.
55831y
27015y40x- (2)x(-5)
28816y40x (1)x(8)
1818558y
2. Sustituya la variable encontrada en
cualquiera de las ecuaciones.
0 x; 05x
36-365x
362(18)5x :(1) En
3. Compruebe, sustituyendo los valores de x
y y en las ecuaciones originales. 362(18)5(0) :(1) En
-543(18)-8(0) :(2) En
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6.1 Sistemas de ecuaciones con tres variables.
Para la solucin de sistemas de tres ecuaciones y tres incgnitas
utilizamos el conocimiento en la solucin de sistemas de 2 ecuaciones.
Ejemplo:
(3) 4z3yx2
(2) 3z2y2x3
(1) 2z4y7x5
1. Elija que variable va eliminar y trabaje combinando las ecuaciones por ejemplo la (1) con (2) o (1) y (3) o (2) y (3).
(4) -922z31y-
-1510z10y-15x- (2).(-5)
612z21y-15x (1).(3)
(5) -613z-7y
-129z-3y6x- (3).(-3)
64z-4y6x )2).(2(
2. Ahora tiene 2 ecuaciones con dos incgnitas con las mismas variables, elimine una de ellas.
1z ; -249249z-
-186403z-217y (5).(31)
-63154z217y- )7).(4(
3. La solucin encontrada, reemplace en las ecuaciones (4) o (5)
1y ; 77y
13-67y ; -613(1)-7y :(5) En
4. Con las soluciones encontradas, reemplace en cualquiera de las ecuaciones originales.
1 x ; 22x
2-42x ; 43(1)(1)-2x :(3) En
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5. Compruebe en las ecuaciones originales.
4)1(3)1()1(2
3)1(2)1(2)1(3
2)1(4)1(7)1(5
7. APLICACIN DE ECUACIONES LINEALES
1. Mezcla de caf. Un comerciante de caf mezcla tres tipos de caf que
cuestan $2.20, $2.30 y $2.60 por libra, para obtener 100lb de caf que
vende a $2.40 por libra. Si utiliza la misma cantidad de los dos cafs ms
caros, cunto de cada tipo debe utilizar en la mezcla?
Solucin:
100zyx Ecuacin de cantidad
)100(4.2z6.2y3.2x2.2 Ecuacin de precio
zy Condicin, utilizar la misma cantidad de los cafs ms caros
Sistema de ecuaciones:
(3)
(2) 2406.23.22.2
(1) 100
zy
zyx
zyx
Ecuacin (3) en (1) y (2)
(4) 1002z x; 100zzx
(5) 2404.9z2.2x ; 240z6.2z3.2x2.2
De (4) (6) z2100x
(6) sustituimos en (5)
2404.9z4.4z-2200 ; 240z9.4)z2100(2.2
-
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40z ; 20z5.0
z en (4) 20 x; )40(2100x
Solucin: 40zy ; 20x
Comprobacin en (2): 240)40(6.2)40(3.2)20(2.2
2. Contratacin de trabajadores. Una compaa paga a sus trabajadores
calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Los
trabajadores semicalificados en ese departamento ganan $9 por hora. A
los empleados de envos se les paga $10 por hora. A causa de un
incremento en los pedidos, la compaa necesita contratar un total de de
70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y de envos. Pagar
un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el
sindicato, deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que
de trabajadores calificados, Cuntos trabajadores semicalificados,
calificados y trabajadores de envos debe contratar la compaa?
ENVOS (z)
CALIFICADOS (x)
SEMICALIFICADOS (y)
TR
AB
AJA
DO
RE
S=70
CO
STO
PO
R H
OR
A=$760
$15
$9
$10
Sistema de ecuaciones: Con la ayuda del grfico modelemos la
situacin.
sindicato"con Contrato " (3) 2x y
" horapor costo deEcuacin " (2) 76010z9y15x
res" trabajadode cantidad deEcuacin " (1) 70zyx
Resolucin:
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Ecuacin (3) en (1) y (2)
(4) 70z3x ; 70zx2x
(5) 76010z33x ; 760z10)x2(9x15
De (4): (6) x370z
(6) en (5): 76030x-70033x ; 760)x370(10x33
20 x; 60x3 Calificados
x en (6): 10z ; )20(370z Envos
x en 3: 40y ; )20(2y Semicalificados
Comprobacin en (1): 70104020
3. Produccin. Una compaa produce tres tipos de muebles: sillas,
mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plstico y
aluminio, como se indica en la tabla siguiente. La compaa tiene en
existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plstico y 1500
unidades de aluminio. Para la corrida de fin de temporada, la compaa
quiere utilizar todas sus existencias. Para hacer esto, cuntas sillas,
mecedoras y sillones debe fabricar?
Madera Plstico Aluminio
Silla 1 unidad 1 unidad 2
unidades
Mecedora 1 unidad 1 unidad 3
unidades
Silln reclinable 1 unidad 2
unidades
5
unidades
a) Le piden encontrar cul es nmero de sillas mecedoras y sillones reclinables que se debe fabricar con los materiales existentes. Ubiquemos
en la tabla de informacin, las incgnitas y los requerimientos.
-
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Madera Plstico Aluminio
Silla (x) 1 unidad 1 unidad 2
unidades
Mecedora (y) 1 unidad 1 unidad 3
unidades
Silln reclinable
(z)
1 unidad 2
unidades
5
unidades
Requerimientos 400 600 1500
b) Plantee el sistema de ecuaciones.
(3) 1500z5y3x2
(2) 600z2yx
(1) 400zyx
Ecuaciones: (1) (2)
200z -200z-
6002zyx-
400 z y x
z en (1) y (3)
(4) 200y x; 400200yx
(5) 5003y2x ; 1500)200(5y3x2
De (4): (6) x200y
(6) en (5): 5003x-6002x ; 500)x200(3x2
100 x; 100x
x en (6): 100y ; 100200y
c) Comprobacin: en (3)
1500)200(5)100(3)100(2
-
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6. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES
Una desigualdad lineal con dos variables x , y puede escribirse en la forma:
) , , ( o 0cbyax
Donde a, b y c son constantes; a y b no son ambas igual a cero.
En forma geomtrica la solucin grfica de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos los puntos (x , y) en el plano, cuyas coordenadas
satisfacen la desigualdad.
La solucin no es nica, existe un nmero infinito de soluciones que consiste en un semiplano o una regin que satisface la desigualdad dada.
Estudie los ejemplos del texto, no tendr dificultad en la comprensin del
tema.
Ejemplo: Resolver la desigualdad 93y-2x
1. Despeje la variable y (recuerde las propiedades de las desigualdades lineales, pg55). Encuentre las intersecciones con los ejes (eje x: 0y ;
eje y: 0x )
0 , 29 3- , 0 3x3
2y
2. Grafique la recta. Como y es menor que 3x 32 ; la solucin ser todos
los puntos que estn bajo la recta, que es la regin solucin.
-
ING. FLAVIO PARRA T
23
La solucin de un sistema de desigualdades: consiste en todos los puntos
cuyas coordenadas satisfacen simultneamente todas las desigualdades
dadas; geomtricamente es la regin comn para todas las desigualdades.
Ejemplo.
Resolver el sistema de desigualdades.
50y2x
30 y x
482yx
Despeje la variable y, encuentre las intersecciones.
0) , (25 50) , (0 2x -50 y
0) , (30 30) , (0 x -30y
0) , (48 24) , (0 2
x-24y
Grafique e identifique las rectas, realice un anlisis de las desigualdades y encuentre la solucin si existe.
-
ING. FLAVIO PARRA T
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Ejemplo. Administracin. Una compaa elabora dos productos, A y B. Cada uno de estos productos requiere cierta cantidad de tiempo, en dos
mquinas en su elaboracin. Cada unidad del producto A requiere 1 hora
en la mquina I y 2 horas en la mquina II; cada unidad del producto B
demanda 3 horas en la mquina I y 2 horas en la mquina II. La compaa
dispone de 100 horas en la semana en cada mquina. Si x unidades del
producto A y y unidades del producto B se producen a la semana, d las
desigualdades que satisfacen x y y. Represntalas en forma grfica.
Organice la informacin de forma matricial.
Producto A Producto B Disponibilidad
(x) (y)
Mquina I 1 3 100
Mquina II 2 2 100
Establezca el sistema de desigualdades lineales
-
ING. FLAVIO PARRA T
25
{
La condicin ; son condiciones de no negatividad pues productos, materiales, mano de obra nunca pueden ser negativos.
Utilice el mtodo para resolver un sistema de desigualdades.
(
) ( )
( ) ( )