RECOPILACIN DE QUIZZES Y TALLERES DE DISEO I

DANIEL SIERRA ESCORCIA

DISEO MECNICO I

DOCENTE:

Ing. RAFAEL RAMREZ ROJAS

UNIVERSIDAD DEL ATLNTICO

FACULTAD DE INGENIERAS

INGENIERA MECNICA

Lunes 16 Junio 2014

EJERCICIO 1

Para determinar los esfuerzos y las deformaciones mximas en el sistema, se

comienza realizando los diagramas de cuerpo libres para hallar las cargas que

actan sobre l.

DCL 1. Sistema acoplado.

DCL 2. Subsistema vstago, collarn, resorte.

DCL 3. Collarn.

DCL 4. Vstago.

DCL 5. Palanca en L.

DCL 6. Resorte.

Sabiendo que la fuerza ejercida por un resorte est dada en funcin de su diferencia

de longitud multiplicada por la constante de elasticidad del resorte, se tiene que:

=

= (4 ) (5 )

=

Analizando el DCL 3. Y teniendo en cuenta que:

1 = 1

2 = 2

Se realiza momento en el punto D.

= 0 (10) 1(10) 2(10) + 1(6) + 2(10) = 0

(20 )(10) 1(0.15)(10) 2(0.15)(10) + 1(6) + 2(10) = 0

200 1.51 1.52 + 61 + 102 = 0 . + . = ()

Ahora del DCL 4. Se aprecia que las nicas fuerzas que generan momento son las

normales.

= 402 102 = .

= sin1 (10

40)

= .

= 0

1(38.73 6) 2(38.73 + 10) = 0 . . = ()

Igualando las ecuaciones (1) y (2), se hallan las normales y con estas, las fuerzas

de friccin.

= .

= .

= .

= .

Del DCL 3. Se realiza una sumatoria de fuerzas en Y para determinar el valor de la

fuerza en D.

= 0

19.59 + 13.16 = 0

= . , Y sabiendo que = sin(14.48)

= .

= .

Por el DCL 2. Se sabe que ese subconjunto es un elemento de fuerza nica, por lo

tanto = = . .

Ahora por el DCL 5. Se realiza momento en el punto B, para calcular la fuerza en A

y las cargas restantes mediante sumatorias de fuerzas.

= 0 (30) + (50) = 0 = .

= .

= .

= 0

+ = 0

= .

= 0

+ = 0

= .

= .

Ahora se procede a realizar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y de

carga axial en cada uno de los componentes del sistema.

EJERCICIO 2

Un elevador accionado por dos cilindros hidrulicos puede cargar un mximo de 3 toneladas, el

sistema est diseado para trabajar entre 0 y 90 de inclinacin. Para fines de diseo las barras AB

y CE son de iguales dimensiones y de acero 1030 a 425C de seccin cuadrada. Considere que el

peso W se aplica en el centro de gravedad, el factor de seguridad es de 1.5.

Dibujar los diagramas de cuerpo libre, diagramas de cortante, momento y carga axial. Chequee las

barras por pandeo y falla esttica y determine el lado de la seccin.

DCL 1. Sistema acoplado.

DCL 2. Barra AB.

DCL 3. Barra CE.

DCL 4. Cilindro hidrulico.

DCL 5. Plataforma del elevador.

Del DCL 5. Se realiza una sumatoria de momentos en el punto C, para calcular las reacciones

desconocidas en las diferentes posiciones del ngulo Theta, teniendo en cuenta que 1 =

1000.

= 0

[( 2 )(566)] [()(200)] [()(266)] = 0

[( 2 )(566)] [( cos )(200)] [( sin )(266)] = 0

=[1.51000 9.81 /2

2] 0.566

(0.2cos + 0. 266sin )=

8328.69

(0.2cos + 0. 266sin )

=8328.69

(0.2cos + 0. 266sin )

Teniendo en funcin de Theta, se evala el sistema para = 0 = 90, Obteniendo que:

() = . = .

() = . = .

Obteniendo la variacin de la fuerza en el punto A con respecto el ngulo Theta se obtiene un nuevo

ngulo que representa la posicin en que la fuerza de la reaccin en A es mnima.

=(0.2 sin + 0.266 cos )

(0.2 cos + 0.266 sin )2= 0

Como el denominador no puede ser cero, ya que se indeterminara la funcin, se procede a igualar

a cero el numerador.

0.2 sin + 0.266 cos = 0

= tan1 (0.266

0.2) = 53.061

Calculando el valor mnimo de la fuerza en A con el nuevo valor de Theta, se obtiene que:

(.) = . =

Por sumatoria de fuerzas en el DCL 5. Se calculan las reacciones en los puntos A y C para las

diferentes posiciones del sistema. Los valores se pueden observar en la siguiente tabla:

0 41.6 0 - 41.6 14.71

41.6 44.12

53.061 15.02 19.98 - 15.02 -5.26

25 15.92

90 0 31.3 0 -16.38

31.3 16.38

Teniendo estos datos se procede a hallar las dems reacciones del sistema, para esto es necesario

tener una relacin de la variacin del ngulo Beta con respecto al ngulo Theta y hallar la fuerza en

D, en las posiciones en que se est evaluando el mecanismo. De la siguiente figura se obtienen las

diferentes relaciones:

= (. .

. + . )

= 0

0.8( cos ) + 0.8( sin ) 0.3( sin( + )) = 0

=. ( + )

. (( + ))

Teniendo estas ecuaciones, se es posible conocer las reacciones en E y en D, para las diferentes

posiciones. En la siguiente tabla se encontraran los valores obtenidos de las funciones anteriores y

de la sumatoria de fuerzas en el DCL 3.

0 21.80 98.01 39.20 56.41 53.91

105.56 78.03

53.061 5.46 27.45 2.62 12.43 -2.66

27.58 12.71

90 0 0 0 0 -16.38

0 -16.38

Para la posicin de = 0 se tienen los siguientes diagramas de cortante, flector y carga axial.

Para la posicin de = 53,061 se tienen los siguientes diagramas de cortante, flector y carga axial.

A la posicin de = 90 la reaccin en el punto D es nula, al igual que las fuerzas en X de los puntos

E y C. Por esta razn el elemento ser considerado como una columna y se evaluar por pandeo y

se calcular el lado de la seccin para la cual la barra no fallar segn la carga critica. Luego se

confirmar el resultado mediante el programa MD Solid 3.5.

=4

12 ( )

=

=

4

12 2=

23 ( )

Conociendo el valor de y de , y teniendo el factor de seguridad (F.S) se calcula

la fuerza crtica del sistema ().

= = 16.38

. = 1.5 = 70000 ( 1030) = 0.8 ( )

= 1.5 16.38 = 24.8

=2

42 =

422

Igualando las ecuaciones de momento de inercia, se calcula el lado de la seccin:

4 =482

2 = . = ( )

= 8.7381 1084 = 9.2376 103

La relacin de esbeltez del elemento es de:

= 86.6

Por el programa MD Solid 3.5 se calcula por medio de la frmula de Euler y por las ecuaciones de la

AISC.

Por otro lado, analizando el flujo de carga en el DCL 2 en la posicin de theta = 0 y hallando el

esfuerzo equivalente en el elemento, se calcula el lado de la seccin que puede soportar los

esfuerzos aplicados.

= 2 + 3

2

Como no existe cortante en el elemento AB, se tiene que el sigma equivalente es igual al esfuerzo

en el plano x. =

. =

. =

579 106

41600 2

= . =

Por teora de falla esttica, se analiza el sistema en la posicin de theta = 0

=

=

( )( 2 )

(4 12 )=

44.08

3

=

=56.41

2

Hallando en sigma equivalente se tiene que:

= (44.08

3+

56.41

2)

2

=44.08

3+

56.41

2

. =

44.08

3+

56.41

2

44.08

3+

56.41

2

579000

1.5= 0

44.08 (1

)

3

+ 56.41 (1

)

2

386000 = 0

Para que esta funcin se cumpla, el valor de 1

debe ser 20.19, por lo tanto:

1

= 20.19

= . =

Teniendo distintos valores de los posibles lados de la seccin que se est analizando, se observa que

el mayor valor es de 49 50 , por lo tanto es el valor adecuado para seleccionar el perfil

deseado, ya que este sobrepasa los lmites de seguridad de los lados obtenidos por pandeo y flujo

de carga.

EJERCICIO 3

PROBLEMA 11.150 - MECNICA DE MATERIALES - BEER & JOHNSTON - 2da EDICIN

Una columna de acero de 7.4 m de longitud efectiva debe soportar una carga de 245 kN con

excentricidad de 62 mm, como se muestra. Con el mtodo de interaccin, elija una seccin W de

250 mm de altura nominal. Suponga = 200 , = 250 y = 150 a flexin.

DESARROLLO

Inicialmente, se procede a trasladar la fuerza P al eje cntrico de la columna, teniendo como

resultado un momento en el eje X.

= = 245000 0.062 = .

Ahora bien, conociendo la ecuacin del esfuerzo admisible, se despeja el rea y se escoge un perfil

W250 que cumpla aproximadamente con la restriccin de la altura nominal de 250 mm, en el

apndice C Perfiles de aleta ancha - del libro Mecnica de materiales de Beer 5 ed. Se encuentra

la siguiente tabla que permite una seleccin precisa.

De los cuales los ms cercanos a la condicin son los perfiles W250 X 58 y W250 X 49.1.

Primero se trabajar con el perfil W250 X 49.1.

=

+

2

= ( +

2)

Se reemplazan las propiedades de dicha seccin, tomando el radio de giro en el eje Y, por la razn

de que este es menor y por lo tanto es ms crtico. El valor de la constante c est dado por la mitad

de la altura nominal, es decir, 125 mm.

= (245000 +(15190 . )(0.125 )

(0.0492 )2) 150 106

= . = .

Notando efectivamente que el rea admisible de la seccin se encuentra dentro de los perfiles que

anteriormente se mencionaron.

Hallando la relacin de esbeltez segn la AISC (American Institute of Steel Construction) y su punto

crtico se tiene que:

=

=

7.4

0.0492 = .

= 22

=

22(200 109 )

250 106= .

Como se puede observar < , por lo cual, se utilizan las siguientes ecuaciones para hallar el

esfuerzo crtico y el factor de seguridad:

=2

( )2=

2(200 109 )

(7.4 0.0492 )2= 87256242.5 = .

Asumiendo un factor de seguridad de 1.92, se calcula el esfuerzo admisible:

=

. .=

87256242.5

1.92= 45445833.33 = .

() +

() 1

245000 6.25 103 2

45445833.33 +

(15190 . )(0.125 ) 7.08 105 4

150 106 1

0.862 + 0.179 1

.

Como se observa, el resultado obtenido no satisface el mtodo de interaccin. Se procede a

recalcular el mtodo utilizando la seccin de viga W250 X 58.

= (245000 +(15190 . )(0.125 )

(0.0503 )2) 150 106

= . = .

=

=

7.4

0.0503 = .

= 22

=

22(200 109 )

250 106= .

Igualmente, se tiene un < , por lo cual, se utilizan las ecuaciones anteriormente mencionadas:

=2

( )2=

2(200 109 )

(7.4 0.0503 )2= 91201560.99 = .

=

. .=

91201560.99

1.92= 47500813.02 = .

() +

() 1

245000 6.63645 103 2

47500813.02 +

(15190 . )(0.125 ) 8.73 105 4

150 106 1

0.777 + 0.145 1

.

Al cumplirse la relacin del mtodo de interaccin, se puede seleccionar el perfil W250 X 58.

A continuacin se simula la columna en el programa MD solid, para confirmar los resultados:

Como se puede apreciar, la relacin de esbeltez y el esfuerzo admisible del sistema, estn dentro

del rango permisible. Con errores de 0.37 % y 0.91 % respectivamente.

Un dato para apreciar, es la fuerza crtica del sistema, la cual es 354.181 kN para este perfil. Sin

embargo, la columna solo estar bajo una carga de 245 kN, lo que implica un factor de seguridad de

1.44. Lo que permite concluir que la seleccin del perfil y el material del mismo para la carga

determinada, estn realizadas correctamente.

EJERCICIO 4

Un rbol de una caja de velocidades que transmite 15 HP a 454 rpm tiene un

engranaje cnico de radio medio 1 = 8 y un engranaje de dientes rectos con radio primitivo 2 = 3 . Ambos engranajes se montan en el rbol mediante ajustes prensados. El rbol est rectificado y el acero con el cual se construye tiene

una resistencia a la traccin de 9000 /2 y un lmite de fluencia de 6850

/2. Conociendo la geometra del rbol y las fuerzas que actan sobre l, verifique si tendr vida infinita. De no ser as determine la vida en horas.

1 = 300 ,

1 = 104 ,

1 = 25 ,

2 = 800 ,

2 = 325 .

NOTA: El cojinete B absorbe la carga axial.

Diagrama de cuerpo libre del rbol de la caja de velocidades.

Plano XY

Plano XZ

Como se puede observar, el punto crtico se encuentra en el punto D.

= 94508.332 + 355972.222 = 368304.28 . = . .

= 1531.672 + 6472.222 = .

EJERCICIO 5 En la figura se muestra un rodillo de laminacin de 1500 mm de longitud y 300 mm de dimetro externo. El rodillo est montado sobre un rbol mediante dos chavetas B y C ubicadas en ambos extremos del rodillo, mientras que el rbol est soportado sobre dos rodamientos A y D, siendo accionado por un engranaje cilndrico de dientes rectos. Este engranaje tiene un dimetro primitivo de 500 mm y est conectado al rbol mediante una chaveta localizada en E. La fuerza radial sobre el engranaje es = 1600 , mientras que la fuerza tangencial es = 4500 . La fuerza radial entre la lmina y el rodillo puede representarse por una fuerza uniformemente distribuida = 100 /, mientras que la fuerza de arrastre por friccin puede simularse como una fuerza tangencial uniformemente distribuida = 50 /. El rbol es de un acero AISI 1020, mecanizado, con una resistencia a la traccin de 65 y un lmite de fluencia de 48 . Todos los radios de empalme del rbol son de 5 . Los dimetros y las longitudes (expresados en mm) que se deben utilizar para el clculo de las fuerzas y momentos que actan sobre el rbol se muestran en la figura.

DESARROLLO

Analizando el diagrama de cuerpo libre del rodillo de laminacin se obtiene que:

= 100

150

=

= 50

150

=

Teniendo el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Los momentos torsores resultantes del traslado de las fuerzas son: = = 7500 15 = = . (+)

= 4500 50 = . ()

De esta forma, se construye el diagrama de cuerpo libre del rbol para as hallar las diferentes reacciones.

Para determinar las reacciones faltantes, es necesario analizar el rbol en los planos XY y XZ.

= 0 (7500 12,5 ) + (7500 152,5) ( 161 ) (1600 166 ) = 0 = , = 0 + 7500 + 7500 6036,65 1600 = 0 = ,

Analizando ahora el plano XZ, se tiene que:

= 0 (3750 12,5 ) + (3750 152,5) ( 161 ) + (4500 166 ) = 0 = , = 0 + 3750 + 3750 8482,92 + 4500 = 0 = ,

Diagrama de momento torsor:

Es necesario calcular los esfuerzos producidos en los concentradores de esfuerzos, aunque el punto crtico aparentemente se encuentra en el punto B, es posible que por los cambios de seccin, las fuerzas aplicadas en dimetros menores produzcan mayores esfuerzos y por consiguiente, el material puede fallar. Para calcular las fuerzas cortantes y los momentos flectores en los puntos I, J, K y L, se realizan relaciones de tringulos, con distancias aproximadas de estos puntos. Los resultados fueron comprobados en el programa MD SOLID 3.5 y se muestran en la siguiente tabla:

TABLA 1 () (. ) () (. )

I (3,125 cm) -7363,35 -23010,46 -3517,08 -10990,87 J (9,375 cm) -7363,35 -69031,41 -3517,08 -32972,62

K (158,16 cm) 7636,65 -29642,27 3982,92 11188,51 L (163,5 cm) 1600,00 -4000,00 -4500,00 11250,00

De acuerdo con las figuras A-15-8 y A-15-9 del libro DISEO EN INGENIERA MECNICA de Shigley octava edicin, se calculan los valores de la constante K para torsin y flexin de los distintos concentradores de esfuerzos y se representan en la TABLA 2. Grfica 1. Eje redondo con filete en el hombro sometido a torsin.

Grafica 2. Eje redondo con filete en el hombro sometido a flexin.

TABLA 2

I 132 85 = 1,55 5 85 = 0,06 2,00 J 132 100 = 1,32 5 100 = 0,05 2,00 K 100 85 = 1,18 5 85 = 0,06 1,45 1,82 L 85 70 = 1,21 5 70 = 0,07 1,42 1,55

Analizando las secciones se tiene que la seccin I.

= 25500,06 .

=

=

2 32 25500,06 .

(8,5 )3= 1691,78 /2

Calculando el factor de diseo por la teora de Von Mises, se tiene que:

=3374,73 /2

1691,78 /2= 1,99

Analizando la seccin J.

= 76501,49 .

=

=

2 32 76501,49 .

(10)3= 1558,476 /2

Calculando el factor de diseo por la teora de Von Mises, se tiene que:

=3374,73 /2

1558,476 /2= 2,16

Analizando la seccin K.

= 31682,92 .

=

=

1,82 32 31682,92 .

(8,5)3= 956,4 /2

=

=

1,45 32 1125002

4,25

(8,5 )4= 1352,8

2

Calculando el esfuerzo equivalente y el factor de diseo por la teora de Von Mises, se tiene que:

, = (956,4 /2)2 + 3(1352,8 /2)2 = 2530,79

2

=3374,73 /2

2530,79 /2= 1,33

Analizando la seccin L.

= 11939,84 .

=

=

1,55 32 11939,84 .

(7 )3= 549,58 /2

=

=

1,42 32 1125002

3,5

(7 )4= 2372,01

2

Calculando el esfuerzo equivalente y el factor de diseo por la teora de Von Mises, se tiene que:

, = (549,58 /2)2 + 3(2372,01/2)2 = 4145,04

2

=3374,73 /2

4145,04 /2= 0,81

Como se pudo notar, el eje del rodillo falla en la seccin L debido a que el factor de diseo es menor que 1.

EJERCICIO 6

Para compactar chatarra de acero se usa un aparato de palanca como el de la figura.

Disee los dos vstagos de la palanca, fabricados en acero AISI 5160 OQT 1000, con

seccin transversal redonda y extremos articulados. La fuerza P necesaria para aplastar la

chatarra es de 5000 lb. Emplee N = 3,50.

Se calcula la fuerza crtica del sistema utilizando la carga aplicada y el factor de diseo.

= = 5000 3,50 =

Donde:

Conociendo la fuerza crtica se procede a calcular el momento de inercia de la barra.

=

2

2

=17500 (60 )2

2 (30 106 )

= ,

Donde

Siendo el momento de inercia de una seccin circular =

64 4, siendo D el dimetro

del crculo.

= 64 0,2127745 4

4

= ,

Para confirmar que la columna no falla por pandeo, se calcula la relacin de esbeltez y se

compara con el .

=

= 0,2127745 4 4

(1,4429 )2

= ,

Donde:

Relacin de esbeltez

=

60

0,36073 = ,

= 22

= 22 30 106

151 103

= ,

Como

> , se utilizan las siguientes ecuaciones:

=2

1,92( )2=

2 30 106

1,92(60 0,36073 )2= 5574,1903

=2

( )2=

2 30 106

(60 0,36073 )2= 10702,4455

=

=

5000

1,6352 2= 3057,79

Lo cual indica que el esfuerzo aplicado es menor que el admisible. La columna no fallar

por pandeo debido a que el esfuerzo aplicado es solo el 28,57% del esfuerzo crtico del

elemento y es necesario que sea igual o mayor que este para que se produzca pandeo.

A continuacin se muestra un esquema de la simulacin hecha en MD SOLID 3.5.

EJERCICIO 7

Repita el problema anterior, pero proponga un diseo que sea ms ligero que la seccin

transversal circular slida.

Para hacer un diseo ms ligero se propone una barra cilndrica hueca con una relacin de

dimetros = 1,4429 . Y asumiendo el dimetro externo el mismo del problema anterior ( = 1,4429 in). El valor de la relacin de dimetros se tom de un proceso de prueba y error en el programa MD Solid 3.5. Obteniendo una columna con el siguiente perfil:

De la relacin de dimetros se tiene que =

Se procede a calcular el momento de inercia de la seccin.

=

64 (

4 4 )

=

64 [(1,4429 in)4 (1 in)4]

= ,

Teniendo en cuenta el momento de inercia se calcula la fuerza crtica del elemento.

= 2

2

=0,1637 4 2 30 106

(60 )2

= ,

El factor de diseo se calculara de la siguiente manera:

=

=13462,5343

5000

= ,

Para confirmar que la columna no falla por pandeo, se calcula la relacin de esbeltez y se

compara con el , el cual es el mismo que en el problema anterior.

=

= 0,1637 4 4

(1,4429 )2 (1 )2

= ,

=

60

0,4389 = ,

= 22

= 22 30 106

151 103

= ,

Como

> , se utilizan las siguientes ecuaciones:

=2

1,92( )2=

2 30 106

1,92(60 0,4389 )2= 8251,3604

=2

( )2=

2 30 106

(60 0,4389 )2= 15842,6120

=

=

5000

0,8498 2= 5883,7374

Lo cual indica que el esfuerzo aplicado es menor que el admisible.

Otras propiedades de la seccin y la simulacin del proceso se muestran a continuacin:

Tabla A-6 del apndice 3. Propiedades de diseo para los aceros al carbn y aleados.

Del libro DISEO DE ELEMENTOS DE MQUINAS, Robert L. Mott, 4ed.