Realismo sociologico_RandallCollins

7/25/2019 Realismo sociologico_RandallCollins

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Eplogo:el realismo sociolgico

A SE SUPONE EL co.ssrwcrMsM0 SOCIAL SOCAVALA VER-S' la sc construye socialmente. no existen ni la ob'etivid*d ni la rea-Yoniego tal conclusin. El constructivismo social es el realismo soci016gi,

y d realismosociolgico lleva consigo todo un amplio espectro de consecuenciasrealistas.

EL COGITO SOCIOLGICO

Tradicionalmente,el argumento filosficamente mspoderoso es aquel que sefundamenta

a s mismo, verdadero en sclmiStttO,

cogito,

sin apelar a la observacinirrefutables

emPil-

-rica.Elargumentoclsico dc este tipo,

busca verdadestrando lasafirmaciones a travs de el bao ctdo dc la duda. Estoy

pensando esirrefutable

porque no estoy pensando nos muestra, no obstante, a nosotrosmismos

pensando.La conclusin habitual del cogito es la existencia del yo. No es sta la va de

argumentacinms til. El yo que se demuestra es

ambiguo, slo temporalmente

concebible

e insustancial. Pensemos qu otras cosas se demuestran con el cogito.Enprimer lugar,que el tiempo existe. budar de eso (el tiempo no existe) supone

realizar

una afirmacin en el tiempo. Elpensamiento consciente se sita en esetejado a dos aguas que es elpresente, en el que imperceptiblemente se funden el

pasadoy el futuro.En segundo lugar, el pensamiento existe. Esepensamiento irrefutablemente

probadoseproduce dentro del lenguaje. Constituye un tipo de conversacin, yo


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00.000

mismo que me digo algo a m mismo.' El cogito desvela a un hablanteyaunaaudiencia, La negacin lo prueba. Pensarpara uno mismo hay nadie

quehable.es algo que emite un hablante. No existe una audienciapara este

enunciado.

esalgo que recibe una audiencia. Elpensamiento tiene forma socialAn no hemos probado la existencia de otras personas. Tambinesoesta

dadoen elpensamiento verbal. El lenguaje seproduce enpalabrasque

conllevan

unsignificado y siguen una que es en rned)da ineludiblesi losenun-

ciados han de tener sentido. Yo 00 invento mgpropio lenguaje.Mipensamientodepende de formas que me llegado

listas.procedentes de msalldelmo-mento presente la conciencia. Las

restricciones al del lenguaje,

juntoconsu ca para comunicar significad', implican la existencia de

serescomu-nicanvos mas all de mi propio yo. Negar que existanotraspersonassentido espesico-

es negarla comunicabilidad y la objetividui, lasignificEitgde hecho, de laspropias

frases.La de las demas personas tambin puede derivarse dc otro del

lenguaie dentro Jel

pensamos, LaspalAbras son cn gran medidaLos conceptos (excepto los decticos)

trascieodcn los particulares.referirnos un obicto o una cual$dsd como algo

que reapareceea cldgtintos En soa algo

generalizado. Apliqumosles

la

= dela tos UtttVCtukS00 existen cs un afirmacin que utiliza univeruks Pao

un cooccpto genctal implica un PUtttOde vita

generalizado. Una pcqucacia fragmctttaru. tctttrotal. de La

conctcneia nopuede referirse unacia como un arbol. sigutcta como otra vet

escrbol'. DCIXconciencia que intpltgue tanto utu continuidad como una generalidad.

CJnouedc mi C*PcttctXU P*ttxulat y cfimcta dar origen a la ideade los

bebea llegarme dcl exterior.La

existcncu dc los UttiVctsalcS

implica la existencia dc la Uncepto conlleva utu postura social: no

mcramcnte la de al$uoaotra saoel punto de vista abtctto y universalizador de unapluralidad

de otras

Exactamente cuntas otraspersonas estn implicadasno csalgodado.Soanisdc

dos. De hecho, cuntas

personas comprenda tiene que scr algoexplcitamentetnespeciftcado, ya que los conceptos implican su significacinparacualesquiera

y

cada una de las posturas pctsonalcs cn absoluto. LOS

conceptosquecruzan

la

mente de uno son ms quc cfimeros, yposeen una significacin

queestall y por encima dc mi motttcntOparticular dcpensamiento. La

generalidad la

perspectiva pertenece al ncleo dc nucstra capacidad depensar,y talgeneralidad

tmplica unpunto de vista social omnipresente. colectivo.En tercer lugar, el espacio existe, Aunque el espacio no es uno de

loselemen-

tos

primordialmente dados cn el cogito soctol 'co, scpuedeSi

existen otras personas que no son idnticas unas a las otras en su

ridad, deben

de existir la una fuera dc la otra. Dicha existenciaexteriornopuede

serlo slo en el tiempo, ya que el tiempo cs una nica dimensinquenodeja

pacio a la

pluralidad simultnea. Debe de existir alguna otradimensinenlaque

exista la multiplicidad de yos, y podemos denominar a tal dimensin

I. Hay otros tipos depensamiento, comoja visual,pero no son Los

pensamiento en enunciados verbales el queproduce enunciados irrefutablemente2. Lo que no demuestra este

argumento es que el espacio tenga quedimens.

diversos nmeros de dimensiones con que se conjetura en fsicas

como lateorapatibles hasta aqu con el argumento expuestov


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Tenemosahora la existencia del mundo espacio-tem corno una realidadfirme.Esel

mundo material de los objetos inexorables e la experiencia ordina-ria,externamenteresistentes el uno al otro. Uno de esos

objetos, el ms cierto deellos,es elpropio cuerpo. Existe unapluralidad de yoes, externos el uno

alotro en el espacio.Hay divtsiones entre

yo y ellos. Esabarrera, tal y como se laexpenmcnta

interiormente, es mi cuerpo. Otro argumento a los mismos efectos(cortesa

de Maine de Biran): siento la resistencia a mi voluntad; tal resistencia esmatertalidad

de laexistenciaespaciotemporal, que salea mi encuentro, enprimerlugar,

como lapresencia de mi propio cuerpo.Aspues el cogito scxiolgisonos aporta seguridad sobre diversos elementos

delarealidad:el

pensamiento, el lenguaje, las otraspersonas, el tiempo y el espa-cto,loscuerpos materiales. Eso no quiere decir que

no existan ilusiones, o que no

p.iamos cometer errores respecto a cosaspaniculares de este tipo. Pero

las ilu-perceptivas otros errores pueden descubrirse y rectificarse a la manerausual.Esposible que sepresenten errores en un marco hecho de letuaie social,Jc txmpo v de espacio que esopon a en cuestin la realidad de dtcho marco.Eso

sepuededemostrar con el mtodo la duda cartesiana. Decir -eso no es unasino un maniqu (o un ordenador) es afirmar, no obstante, que

el coa su

base etctera. Laposibilidad de que estsoandoetectUotales afirmaciones se

formula, no obstante, en frases, con lascoasccucnex.xs:

tanto estoy sonando en este momentoparticular como

no. cl y ualtttcntc.'Parece

nos hemos salido dc los ftmitcs dc la argumentacin estrictamentepnorv Mss rcspto lo que queda

ms all de la duda, IOquesu propu rciutxin. nos han llevado a afirmar la existencia del

reino deempinca. Parecetncviublc. La distincin entre elpensamiento

conceptual y la cxpctictxia emprica no es absoluta y, de hecho, dlconcretarla

coaprecisin. Especialmente cuando alguien enuncia una visin

partxular de la experiencia del pensar. El proceder de la duda cartesiana es un

pego metodolgico. Lo usamos para la argumentacin, y le concedemos a nuestrotrnaginario

oponente escptico las mximas concesiones para demostrar qu es loquepuede

determinarse con el mayor nivel dc certeza. Peirce sostena que ladudacartesianacs imposible, ya

que de hecho uno nunca duda realmente detodo, sino que tan slo concentra

un rayo de duda que apunta a ciertos puntosespecficos.

Peirce quera decir que cl filsofo cartesianoya est inmerso en lacorriente del

lenguaje. Yo he extrado las consecuencias sociolgicas realistasde esa

implicacin.V

ayamosahora ms all dcl cogito

metodolgico. Hay un segundoprincipio

metodolgico quepuede servirnos dc gua: siempre estamos in media res, en me-dio de cosas.

Siempre nos encontramos en medio dcl tiempo, del espacio, del dis-curso, de otras

personas. In media res significa que nuestropensar siempre vaprecedido de

otro pensar, tanto propio como dc otraspersonas. All donde este-mos,estamos

siempre en un terreno desde el cual el espacio se extiende haciaunhorizonte

indefinido. In media res es una experienciaprimordial, antes de que

3. Ycomo elpensamiento depende del significado de los conceptos, es imposible formular lano-cindel sueo

si stano est encastada cn

un discurso que distingue el sueo de la experienciade la

vigilia.

El sueo nopodra existir si no existiera cl no-suco.


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se EPILOGO

comencemos a tantear enbusca deprecisin. La historia de la filosofa, y de lasmatematicas.,est llena de losproblemas profundos que surgen en la

bsquda de

fronterasprecisas y limites exteriores. Plantean dificultades lo

infinitesamal

y loinfinito del tiempo y el espacio y, conceptualmente. los fundamentos, elprunerprincipio y el

argumento ltimo. Losproblemas aparecenporque tambinesa,formulacionessurgen Pt res.

In medu res

puede interpretarse como una observacin emprica.sin embargo, a un elevado orden de generalidad, ya que no

parece que existancepetones. In res tambinparece formar parte de un marco conceptual ine.ludible, un terreno en l se funden lo emprico

y Io conceptual.'Consideremos. pues, desde el lado emprico cl argumento quebe venido for-

mulando hasta

ahora a del realismo sociolgico. dnde saco las ideasde los para construir esta argumentacin sobre el cogitoso-etologwo

de los captulosprecedentes de este libro, y de lasobcxs v de las

redes de filsofos y socilogos que han consti-tuido sus ttutcrlcs. No me he colado dentro de una estufa. como Descartes, y beresuelto e dudar de todo para descubrir

despoe, es-pontaneamcntc. quc nopuedo dudas dc que Picoso en un lenguaje

social. Hecotxgtrutdo mt argumctttXtn mcdunte la X'tmtlacin de argumentos de las reda

intelectuales tet'tSOOtamus has generaciones atrs. Serala dc hntrcas. no

solo como ideas que se desplieganen cl ttcmpovuno tambectt como Jc humanos

reales quc vivca en unespaco

matcruL Como mc tomo con scncdd mipropio argumento, tengo queccpur que estoypensando una

cottvctuon interna que intentauna coalxioa depublKo tntclectualc. y que las enctgas emocionales quemi escrttuta

ptocdcn dc moproptx capcncncias cn las tedcs intelectualesreabdd

tnmcdtata dc mgpropu acttvtdsd tmplica la realidad del mundo msampbodel discurso,la y

corporal.Y no algunapara

ntnguna frontera ida respecto aqu realidades dcftcnde esa dmiun. NOpuedo ncgat la realidad las redes

telectuales.y no puedo encontrar algunarara suponcr que esas redes hanexistido

solas. como un fino hilo de existencia histrica quc se dcsliza hacia atrspor los siglos, stn un mundo social y tttAtcriAl

ms amplio quc lo envuelva.La teora socialconstructivista de la vida

intelectual, Icios dc ser antirrealista,nos ofrece toda unaprofusin de realidAdcs,Existen las rcdcs sociales, y tambinsus bases

materiales, las iglesias escuclasy lospblicos y lospatrones que lashan alimentado y

las han arropado, igualque losproccsos econmicos, polticosy geopolticos que

constituyeron su esfera dc causalidad cxtcrna.Todas esas capasde sucesivos contcxtos de la mcntc de los filsofos nopresentan unos lmites

biendefinidos.No existe un criterio para dctenersc arbitrariamente, para declarar queadmito que existe la realidad social, pero no

cl mundo dc la naturaleza material.Es todo unapieza nica, todo est en el continuo in media res.Las conclusiones a que llegamos siguiendo la va emprica de in media res re-fuerzan las conclusiones a

priori del cogito sociolgico. En ambas direcciones, elconstructivismo sociolgico lleva al

realismo sociolgico.Casi nadie duda, de hecho,de la realidad del

mundo de laexperiencia ordinaria.Es tan slo dentro de las redes intelectuales especializadas

donde se haplanteado

4. In media res supera la prueba de la duda cartesiana.Negar m media res sigue siendo afirmar uncaso de ello en la accin misma de negar.


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lacuestiondc si esa realidadbanalpuede probarse con unos estndares de argu-mentacion

elevados,e incluso los intelectuales, cuando no se encuentran deservicio,vuelven a

asumir la realidad dcl mundo espacio-temporal ordinario. El

realismosoci010icomuestra que,defenderinclusocldentrorealismo

debanal.la luchaNointelectualse sigue queen susepunto titas retlcxvvo, es posible

puedan

defendertambin todos los tipos de realidadontolgica. Hay diversos tiposde realistttov antirrealtstno.

Veamos ahora qu implica el realismo sociolgicorespecto algunos de esos dOtttintos no ordinarios.

Elrealtntosociologico las realidades mentales y fsicas del tiempo y elde ditncnstones hUtttan.XS.

Losproblctnas surgen cuando sc realizan afir-sobre realidades que estn

ms all del mundo de dimensiones huma-Entre estXS

se cuentan: los objetos de la ciencia, en la medida en que se trata

dc entidadeso estructuras que no se observan con el ojo desnudo o

sobre las quenose con los ttnettlbros necesidad de ayuda alguna; los conceptos

de lasmatemativas; realidad conceptual o abstracta en s misma: ideas y, es ente,uatversales;la mente. tomada "OtttO

una entidad o sustancia. Se optado todaura dc posturas respecto todas esas cosas, tanto para negar su realidadcomo queposeen una realidad superior a la

de la expencncia ordi-posturas. que niegan o tras'ictden la realidad banal, las han producido

tntctcctualcs. cusas luchas por innovar cn su espacio argumentativodc ha tmpuludo

rcpctidatncnte ms all del mundo de dimensiones

LAS MATEMTICAScosto OPERACIONES COMUNICATIVAS

Las matemticas son un discurso social. Es un hecho includiblc si examina-mos directamente lo dado. Aqu tcnemos un argumento matemtico de escasa

complepdd tcntca:

La secuenciade enunciados cs vetdAdcra,y significativa,para m slo porques lo que significan los signos y conozco los

proccdimicntos vlidos para mani-pularlospara quc la ecuacin (t) se

convicrta cn la ecuacin (2), Los smbolos,como cualquier otra forma dc discurso, implican

comunicacin. Este modestoenunciado de abstraccin matemtica implica ue yo he estado en contacto con

una red deprofesores, a muchos eslabones, sin

auda, dc quienes crearon esas ma-temticas. Consideremos ahora un ejemplo

pcrtcnccicntc a un nivel superior deabstraccin (Kline, 1972: t 128):

Si es un componente de un tensor covariante de rango 2, entonces su deri-vada covariante

respecto a xiviene dadapor


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EFtLoco

La red de los matemticos se vuelve ahora ms restrin ida. En un ciertose limita a la red de matemticos activos que estn creanto la vanguardia

quei.vestiga las verdades matemticas.Para comparar, consideremos ahora el enunciado de las matemtica chinasdel lgebra de la dinasta Sung de la figura E. t. La dificultad no esnosotros (si somos occidentales) no conocemos los smbolos individuales,

igualque los occidentales no suelen entender la ecuacin 4 5 9 si la

escribimos

sino que no conocemos las operaciones que determinan el modo en que deben'pularse tales marcadores. Las

matemiticas chinas sc desarrollaban untablero de contar en cuadrados (representado en este testo comounaseriede matrices 0

dependiendo de qu porcin del tablao decontase utilice). El algebra Sung, llamada cl mtodo de los elementos celesta, era un

conjunto de expresiones de constantes etutas a diversos grados med;ante la colocacin de signos encicos del tablero

alrededor del elemento central. Por ejemplo, en la nouaba

europea el marco ea la mitad2x2x

dela tosrimera

columna&laderecha t20y2xy

icue catre los marcos son un

at*umcnto expresado enamba a dc dctccha izqutctda) que

explica cmo sc transforma unaexpresia algcbraxa cn otra. Sc trata dc la expresin verbal de los resultados ma-

temticos. En laprtxa tal. cl mtcm.itxo utilita un conjunto dcestndarpara

manipular los cootsJorrs dcl tabtcro y, de ese o, transfomzuna exptesia en

otra. tas operaciones fsicas y la estructura simblica (no saolos smbolos indsviduatcs

son diferentcs de las reglas cartesianaspara mover

expresiones de un tado dc signo igual (s) al otro.

La similitud est en la formaglobal de la prctica, quepermite la dcrtvacin dc cadcnas dc expresiones mate

mticas las unas patur dc las otras.Un platnico

dira que la forma de enunciacin cs irrelevante, que la deriva-cin que lleva de una

cxptcsin matemtica la otra cs vcrdadcra independientemente de si est escrita

en un argumento vcrbal cn latin, en simbolismo postcartesiano, en lgebra Sung o de

cualquier otro modo, Pero clplatonismo es unameta teora. Da por supuesto lo

que hay quc rrobAt: quc las vetdadcs matemticasexistenen algn lugar de un

reino que nada ttcnc que vct con la actividad humanade realizar afirmactones

matemticas. Eso scpucdc mostrar mediante un casi--m-gito matemtico: si niego que un enunciado

dcbc dc existir cn la forma de algntipo particular dc discurso, en cl mismo acto dc decirlo estoy

mostrando unenunciado dentro de un discurso.Sirecurro a laafirmacin de que las matemticaSdeben de ser trascendentesporqucpucdcn traducirse dc un

lenguaje a otro, hagoque mi afirmacin dependa de la existencia dc la traduccin,

una operacin quepone en conexin diferentes discursos, cosa que no slo no

escapa al discursossino que aade un tipo ms de discurso.S

5. No discuto aqu si, de hecho, tal traduccin es siempreposible. La cuestin es tan slo que latraduccin no

escapa al discurso, En la experiencia social,la traduccin es lafusin de dos redes. Elargumento de

Quine de que existe una multiplicidad de traducciones diferentesposibles entre len-guajes puede

que no sea aplicable a las traducctones matemticas, por motivos que se harn evidentes.


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t*fl.oco

Las matemticasposccn realidad social por el hecho de que setratamente de un discurso dentro de una comunidad social. Pude quepo mnimo de realidad. Sin embargo, no deberamos suponer

que elno esobvtivo e inexorable, el tipo de imperativo fuerte que alde verdad g. Para mostrar por qu el discurso matemtico posee dichasdebemos explorar cl carcter espccftco de las redes matemticas,

Las redes matemtiOS se

encuentran histricamente ligadas

un tie

mente a los matcnttiCOS

anteriores. Eso es as, no slo en el sentido genaJg;cotpico de todos los creativos; que la red central de

creadores tamc.osde una engendra a ta siguiente generacin dc descubridores. Los

ma.tematicos

'tande los descubrtmientosque se ea el

cn explorarI

medi

lade

n cl talcssumen cntcrxtJc

x. y,dc

f(t

cotwcttcrdos cn su historia. ya que laprince viaen convertir

en gemaJoslas matemticas: en formular un que

que anteriormente se asuman y

umbolismo abstracto a unlas reglas de la aritmtica y formula

de

problemas aritmticos,del lgebra

feneran reglas generala Ebre

algebraicas.

En el anlisis, lay hibndos se han sucedido

co tos que abstraat y res

sirnboJos

naaicosnmero. En un niva superi. el

capreoncs cntcras sca cual sea su

forma.mtsmoocurre con 10' grupo'. Io. antltos, los campos, ctctcra. NOlo que ge

tntctPtcta como mitttctO,una incgnita OunaFn un nivel supettot. Ixt OPCtCtottC

Je l' aritmtica convencional sede pucdctt y elaborarse dc varios pata

ortgcn arttmticxg aitCtttatiVAS

Ctt a launas matern.ittcagsuperiores.

matemticxg

son mshistricas dc todas tasdisciplinas, en el sentidOdeque su tema central congigtectscxcavar cn sentido rctrospcctivo Ctt IOque dabaor supuesto en los

trabaiog PtCVtoS,

El lgcbra no slo implica la aritmtica. Yos nivelessuperiores del lgebra, cl

attligis,ctctcra no slo implican los niveleinferiorespreviamente investigados cn egos mbitos.El simbolismo matemtiCO'cn

cualqurermomento de su histori,hacc tcfcrcncia los tipos de operacioneque se

llevabana cabo en las matemticas At'tcriorcs. Es imposible eludir lamulacinhistrica

de resultadosprevios, incrustados cn cl si$nificado de cualquierexpresin

matemticaparticular.La historia dc lxsmatemticas est encarnada enDespusde Descartes, la maquinaria de manipulacin dc ecuaciones ha con-

sistido enprocedimientospara transferir smbolos dc un lado del igual al otro Ypara

reordenar los trminos hasta que laecuacin tenga la forma de lo que se desea

probar. Una de las claves de ese mtodo es su reversibilidad. Los resultadosde las

operaciones

puedentomarsecomopunto departida asignndoles unos signosque sean

manipulablesdentro de la ecuacin. Los smbolos de los nmeros des-

conocidosx, y que satisfacenecuacionesparticulares se tratan como si ya nos fueran

conocidos.Del mismo modo, cualquier otro tipo de expresin, incluidas aquellasque an no

han sido descubiertas,se representa como algo que ocupa un lugar


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ELgeALtsMO

soetotootco

stasrque incluyentantOresultadospasados como futuros, quizs incluso inal-

onzableso imposibles.esposibleponer en marcha losprocedimientos de mani-

Je ecuacionesy llegar aconclustones que revelan cmo serelacionan sus

Enunsenado,el simbolismoes una reificacin.Trata los elementos como si

fueran

cosasalsimbolizarlos a modo de cosa. Otorga una solidez aparente a esta

xoesta loquesupone una tentacin maspara tratar los

objetos de las mate.

mancas

cornost fueran realidadescon la tecnologa

platnicas. Peromanipulacin

esa reificacinde ecuaciones.

es slo provi-Elparapoder operar de

gmbobsmo

pertenece una histona que esta en curso. Apunta tanto hacia atrscomo

adelante. atrasporque el referente ms evidente de un simbolo queun lugr ea una

es algo de un tipo ya descubierto en un nivel msconcreto.

Laxpuede sustituirse por un nmero que resuelva el problema aritm-

puede alguna expresin algebraica concreta. Y como clesabstractoy

geoetal. apunta hacia delante, al espacio dc las postbi.dentro

utu de operaciones. De ese modo, la for-Jc ua umbobsmo lo que

siempre implica nuevos sistemas depara

manipular una coleccin de simbolos

Je descubrimiento,

Ordenes superiores de las matemticastdcttCS

dc sitttboliSttt0Sapuntan. pues, no slotrabo ea los cualessc

fundamentan, sino umbi'problemas

sooalcs.. pues, en dos sentidos a cual mis fuerte: cual-b.xe aun en la medidade comprender una

atttmctxacletncatal.se involucraco un opo dc

discurso social y en una deprofesoresy descubridoes. Y smbolos yprocedimientos

que conforman lasencaman reflcxivamcate la hotoru de esa red

creativa retrospecti-h.sta primeros eslAbooes.La reflexin sobre si mismas,

sobre susanteriores, cottgtituye en si cl edificio de las matemticas superiora,

un

xspccto mas que demuestra que las matemticas son absolutameatesociales. El

tema dc las matematicaS son las operaciones, 00 las cosas,No se trata de un catttF8'que se encargue de examinar

qu tipos de cosas existenea elmundo o, en CU*lqUict

Otta forma, en un tttUttdO

mas all del mundo. Volvasmosalnivelcero de las matemticas:los nmeros. Como un nmero puede tra-tarse

igualque un nombre detttto de una frase, es fcil asumir que un nmero esuna

cosa.Peto elprimitivo del nmero es simplemente el contar, que consiste enhacerunos

gestos, verbales o de cualquicr otro tipo, sealando algo mientras serecitauna secuencia: t 2, La

respuesta a la pregunta euntosb es el n-mero en el que uno se detiene cuando acaba de

gesticular hacia cada una de lascosassucesivamente.Los nmeros son

primordialmente la actividad u operacinde numerar.A eserespecto, los nmeros son como cualquier otro smbolo de los que con-

forman el discurso humano. Su universalidad

procede de su uso universal, no deningunade lascaractersticas de los objetos sobre los que se usan.Numerar es un

procesoque consiste en dividir y sealar. Puede aplicarse a cualquier cosa: a ob-

{tos materialesquepueden estar claramente separados eluno del otro,pero tam-in a cosas

vagamenteperfiladas y cambiantes (como las nubes,por gemplo) oinclusoa

cosasque no son en absoluto cosas, comopueden ser las operaciones


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as ibstracciones e imaginaciones. Numerar es la operacin de

os equivalentes al contarlos. Se convierten en objetos porque selos trata

cin otra,porque son operaciones quepueden aplicarse una y otra vez,

Suneralidadprocefe

del hecho de que son operaciones del discursoLas operaciones de las trutcmiticas son sociales, desde el nivelprimitivo

del

atar en adelante.No se trata tan slo de que aprendemos contarensean, y de que la habilidad de contar est ampliamente extendida en

riade Aqu son relevantes lospriociptos de la de la

, Contarpuede set una actividad social Pblica: yo cuento esos cosasenfrene

estro, te Invito contarlas tambin, o a aceptar mi dlamisma Como

se del discurso externo y cobra significadoslocuando cuentopara mi solo estoy

dentro de ua Y la eoocIusin a la quee ea este el contarproduce universalespotquc una

de cuahutcra que sigala convencin dcl

Lo que del

puede pata ada utu de lasfomu

lasmatcm'tscas, aritmticacontar. la suma oftcc reglas o atajos respect a q

mos atcs un luego cl otro y luego contamos ambos, e igualpasa 15dem operaciones.l clcmctttal los resultados dc vatios

deproblemasantmtxoo Exntc utu generaliudora y rclcxiva que lleva&

unaforma de otra. dcde las operaciones del contar hasta cldeopetxiones sobre gue intrincados nivelesett lasmaten'

ticas abstractas.Ea cada nivel. las matettutieag investigan y clasifican operxiones.Hacen que operaciones sean equivalcntes las unas a las otras tratndol"como

tales.sometindolas un conjunto si'tetttico de operaciones de un ordensuperior.Hacemos que los

nmetOS

dc un gistettta de contar sean equivalentecuando les imponernos lasCOttVCttciOttCS

dc la suma y la resta. Para lasno existeproblema alguno en mezclar

mantart4S connaranjas.

El matemtiCOacuaun nuevoconcepto de lo que cs equivalente para ellos, NO hace falta que IO

equivalente

constituyauna -clase natural%Ottconcepto in tebgs (como,porejemplo,la fruta),

sino slo la equivalenciaque viene dadapor la operaci6npuesta.Sicontarconsisteen

haceruna scric dc gestos, lo que,por consiguienteconviertea algoen una

serie,la aritmticaconsiste cn hacer gestos que sealan aoperacionesde nmeros;el

lgebra elemental cn hacer gestos que sealan a ope-racionesaritmticas;

cl lgebrasuperior cn sealar hacia operaciones del lgebraelemental,tratndolas

como si fueran equivalentes.Losgestosse

hacenen comncon los demsmiembros de la comunidad dematemticos.

Uno seconvierteen miembroadoptando sus convenciones dc co-municacin.La

estructura socialde las matemticastiene forma depirmide Enlabaseestlaenorme comunidad dc

los que usan las convenciones del contar Ylaaritmtica.Como escalones

construidos sobre sta, se encuentran las comunida-desde matemticoscada

vez msespecializadasy esotricas, redes que han adop-6. Si,de hecho, no llegamos al mismo total, que alguien ha cometidoerror, ha reali-

zado

mal la operacin. Eso significa que no hemos sido ambos los que hemos seguido la convencin.

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