1Revista de los Educadores del Colegio Bertolt Brecht - Ao I - Nmero 2 ENERO 2008

EXCLUSIVOEl secreto para ensear bien la matemtica.Dossier especial para profesores

El juego de la yupana Con este nmero

EXCLUSIVOEl secreto para ensear bien la matemtica.Dossier especial para profesores

Los nios y jvenes de ahora estudian.

MODELOS

MATEMTICOS

EN LA ESCUELA

Una historia para pensar

2El Colegio Bertolt Brecht inaugura una nueva etapa en sus publicaciones. Esta etapa est destinada al intercambio y difusin de experiencias pedaggicas en las aulas. Los profesores tienen en ARISTAS un canal para ello. Estamos convencidos que la colaboracin intelectual y la atenta mirada de lo que hacen otros colegas ser muy provechoso para la educacin nacional.

El profesor de Matemtica tiene excelentes oportunidades para despertar en sus alumnos el pensamiento creativo. No es nada sencillo resolver un problema, manejar smbolos o hacer demostraciones y mucho menos sugerir una generalizacin. Para ello se requiere una infatigable voluntad, un firme deseo de no rendirse. Sin embargo, la matemtica no es solo un arduo trabajo intelectual sino tambin demanda ingenio para acercarse intuitivamente a sus conceptos, experimentar con ellos en la produccin y en las actividades cotidianas.

Creemos que el papel del profesor de matemtica solo puede ser calificado de eficiente si ha contagiado entusiasmo, espritu cientfico y gusto por la matemtica, adems de reconocer y valorar los conocimientos previos de sus alumnos. Por ese motivo, el segundo nmero de ARISTAS est dedicado a la matemtica y a su enseanza. Por cierto, es un nmero muy especial para nosotros por diversas razones: la meritoria participacin peruana en la reciente olimpiada matemtica internacional, el Colegio Bertolt Brecht cumple diez aos y uno de sus ex alumnos afianza su vocacin y publica su primer libro.

Con este nmero reclame su suplemento Agenda Aristas.

El editor general

APUNTES DE CLASE Concurso Nacional de yMatemtica

Da de la Biblioteca Escolar y Semana de la Literatura y

AULA ABIERTA Opiniones de profesores y alumnos sobre el Colegio Bertolt Brecht

APRENDER JUGANDO Formacin de conjuntos en la yeducacin inicial - Evangelina Rodrguez Domnguez

Cmo ensear a sumar con yla yupana en la educacin primaria - Marisabel Casavilca Montaez

DESAFIOS Y RESPUESTAS Evaluar es un problema? Mario Portocarrero Quintana DOSSIER

Aprendizaje y formalizacin yen matemticas Uldarico Malaspina Jurado

Diez mandamientos para yprofesores - George Polya (traduccin y comentarios del Amauta Csar Carranza)

Los 35 camellos de Malba yTahan

Las vacas en el prado por yYakov Perelman

II Olimpiada Nacional yEscolar de Matemtica Jorge Tipe Villanueva

SALA DE LECTURA HISTORIETA

Una historia para pensar ypor Carlos Castellanos.

Revista de los Educadores del Colegio Bertolt Brecht - Av. Colonial 2798 - Lima Cercado - Ao 1 - Nmero 2. Consejo Editorial Directores: Edinson Ramos Quispe, Ronal Garnelo Escobar, Oscar Miranda Calvo Editor general Luis Gerardo Rejas Borjas. Escriben en este nmero Csar Carranza Saravia, Uldarico Malaspina Jurado, Nelson Hein, Mario Portocarrero Quintana, Evangelina Rodrguez Domnguez, Jorge Tipe Villanueva, Marisabel Casavilca Montaez Arte grfi co Flor Mechato Historieta Carlos Castellanos Fotografa Jorge Paz Herbozo Impresin Asociacin Fondo de Investigadores y Editores AFINED. Avenida Pablo Bermdez N 285, Ofi cina 405. Jess Mara. Lima - Per Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per - ISSN 1996 - 9414.

SUMARIOPag

3 Nios participantes

en la fase final del CONAMAT

APUNTES DE

CLASE

Desde sus inicios, se ha caracterizado por el esfuerzo de profesores, estudiantes y padres de familia. Adems, de sus sedes han surgido, entre otros, Jorge Tipe y Daniel Soncco, medallistas de nuestro pas en Olimpiadas Matemticas Internacionales.

Este ao el Concurso Nacional de Matemtica (CONAMAT) tuvo su 10ma edicin. Alent la cooperacin entre nuestro Colegio y otros de Lima y del interior del pas, los cuales nos facilitan su infraestructura y su personal docente y administrativo. La cantidad de alumnos inscritos lleg a 25 mil. Sus sedes fueron Lima, Huacho, Huancayo, Arequipa, Chiclayo y Puno.

Entusiasmo

En cada una de ellas se cont con el entusiasmo y el esfuerzo de cientos de estudiantes y el cario

de sus padres de familia que los acompaaron, soportando muchas veces largas horas de viaje. Ellos y los profesores asesores de cada delegacin, mientras los alumnos desarrollaban sus exmenes, asistieron a charlas pedaggicas con temas de inters. Este ao, en la etapa eliminatoria, el tema que concit la atencin de los padres de familia fue la importancia de las habilidades sociales y para profesores fue el juego y la matemtica.

Colegios estatales

Los alumnos ms destacados de colegios estatales fueron:

Leyla Yudith Esteban Alarcn y(Tercer grado de Primaria, Colegio Prceres de la Independencia - Ica), puntaje 17. 60.

Luis Miguel Quispe Bernaola y(Cuarto grado de Primaria,

Concurso Nacional de Matemtica (14 de octubre y 4 de noviembre)

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4Colegio 31501 Sebastin Lorente - Junn), puntaje 20. 00.

Andr Jos Tohalino Moreno y(Quinto grado de Primaria, Colegio 22402 Micaela Bastidas - Ica), puntaje 18. 80.

Hctor Llactahuamn Martnez y(Sexto grado de Primaria, Colegio Coronel Jos Joaqun Incln Chorrillos), puntaje 19. 00.

Gianmarco Jaime Gutirrez Taipe y(Primer grado de Secundaria, Colegio Almirante Grau - Ica), puntaje 15. 68.

Jess Alberto Figueroa Curo y(Segundo grado de Secundaria, Colegio 86001 Santa Rosa de Viterbo Ancash), puntaje 18. 24.

Ervin Joseph Tovalino Espinoza y(Tercer grado de Secundaria, Colegio Jos Carlos Maritegui Junn), puntaje 16. 16.

Jean Mamani Zamata (Cuarto ygrado de Secundaria, Colegio Repblica de Bolivia Villa El Salvador), puntaje 20. 00.

Jeancarlo Lizana Soto (Quinto ygrado de Secundaria, Colegio 28074 Caete), puntaje 20. 00.

Colegios privados

Los alumnos ms destacados de colegios privados fueron:

Leonardo Eduardo Lezameta yMedina (Tercer grado de Primaria, Colegio Blas Pascal San Juan de Lurigancho), puntaje 18.80.

Ivonne Rebeca ngeles Roque y(Cuarto grado de Primaria, Colegio Santo Domingo de Guzmn Carabayllo), puntaje 20.00.

Michael Leonid Aylln Garca y(Quinto grado de Primaria, Colegio Praxis Junn), puntaje 17.80.

Rai Crdenas Palacios (Sexto ygrado de Primaria, Colegio San Juan Bosco Junn), puntaje 20.00.

Hctor Moiss Alcal Ramos y(Primer grado de Secundaria, Colegio Saco Oliveros San Juan de Miraflores), puntaje 20. 00.

Rodney Rodas Regalado y

APUNTES DE CLASE

La satisfaccin y la alegra

de haber hecho bien las cosas.

La gran acopgida que tenia el CONAMAT en el interior del pas oblig a la comisin organizadora a ampliar el nmero de participantes.

5(Segundo grado de Secundaria, Centro Integral de Mejoramiento Acadmico - Lambayeque), puntaje 20. 00.

Eddy Illanes Andaluz (Tercer ygrado de Secundaria, Colegio Jorge Basadre Chiclayo), puntaje 19. 04.

Gerson Valerio Gil Valladares y(Cuarto grado de Secundaria, Colegio Virgen de Ftima Milagrosa Santa Anita), puntaje 20.00.

Miguel ngel Hinostroza Muoz y(Quinto grado de Secundaria, Colegio EDITUM Junn), puntaje 20.00.

Hace 26 aos

El Concurso Nacional de Matemtica surgi hace 26 aos como un Concurso Metropolitano de Matemtica organizado por los profesores de la Academia Csar Vallejo. Los nicos participantes hasta 1993 fueron alumnos del quinto ao de educacin secundaria de Lima. Desde 1994 y hasta 1996 fue amplindose la inscripcin y ya se contaba con alumnos del tercer y cuarto ao de Secundaria. Al ao siguiente, las primeras delegaciones invitadas provinieron de Huancayo, Chiclayo, Arequipa y Puno.

Adopt el nombre de Csar Vallejo cuando adquiri carcter nacional desde 1998. La gran acogida que ya tena en el interior del pas motiv a la Comisin Organizadora a ampliar los participantes: se inscribieron nios del cuarto, quinto y sexto grado de Primaria, al igual que adolescentes del primer y del segundo ao de Secundaria.

Tres aos despus, Huancayo, Chincha y Barranca fueron las primeras sedes en provincias, despus lo seran Chiclayo, Huacho y Arequipa. All se realizaba la etapa eliminatoria y la etapa final segua dndose en Lima. En el 2005, una nueva ciudad se sumaba a las sedes del CONAMAT. Se trataba de Puno. Los numerosos vnculos del primer puerto lacustre del Per con Bolivia motivaron que se invite a sus estudiantes.

En el 2006 y cuando alcanzaba su novena edicin, el CONAMAT recibi el valioso apoyo de dos universidades: Universidad Nacional del Centro (Huancayo) y Universidad Nacional del Altiplano(Puno).El grfico muestra que la cantidad de alumnos inscritos de

provincias supera a los de Lima desde hace dos aos.

6APUNTES DE CLASE

Da de la Biblioteca Escolar (10 de noviembre)

Nuestra experiencia en animacin lectora y promocin del libro en el Colegio Bertolt Brecht se inicia en el ao 2004, con charlas de orientacin dirigidas a los nios de primero a cuarto grado de primaria. En esa ocasin utilizamos cuentos adaptados y tteres para transmitir la importancia de la biblioteca, los libros y el uso adecuado de los servicios bibliotecarios.

Charlas

En el 2005, en las charlas de orientacin al usuario, incluimos la dramatizacin de una adaptacin del conocido cuento El secuestro de la bibliotecaria de Margaret Mahy. Tambin realizamos exposiciones bibliogrficas (EXPOLIBROS) con el fin de promocionar y sugerir libros de consulta segn los temas de la programacin curricular por bimestre. Impulsamos El libro de la semana. Consista en publicar la cubierta de un libro de forma semanal, una resea de este y un mensaje que motivara a profesores y estudiantes a solicitar el libro en la biblioteca. Tambin vinculamos la lectura con los medios audiovisuales. Para Secundaria, escogimos La ciudad y los perros del cineasta Francisco Lombardi. Proyectamos la pelcula y entregamos un breve cuestionario al respecto. Les recordamos a los asistentes que en la biblioteca se encontraba la novela que motiv al cineasta. Para Primaria recurrimos al conocido personaje: la tortuga Franklin con el captulo De regreso a la escuela con Franklin. Al finalizar la proyeccin se invit a los nios a la biblioteca para conocer al

personaje y sus aventuras en la coleccin Das felices con Franklin de editorial Norma.

Cuenta cuentos

En el 2006 establecimos un da a la semana por sede para realizar sesiones de Cuenta Cuentos dirigidas a nios del nivel primario, al iniciar un bimestre elegamos cuentos cortos y la forma de presentarlos ya sea con tteres, dramatizacin o narracin, adems cada cuento era acompaado de una ficha de aplicacin que era

publicaba en un panel titulado Nuestras actividades 2006, tambin alternbamos la proyeccin de vdeos. Con el nivel secundario se realiz Jueves de Experimentos Sencillos, donde se desarrollaba un experimento, previo ensayo; se entregaba una nota informativa con bibliografa relacionada a experimentos de ciencias naturales, esto a fin de vincular el trabajo realizado por profesores y promocionar la lectura no solo de entretenimiento sino informativa. Nuestra preocupacin era impulsar

La lectura debe ser una experiencia agrad

7primer ciclo; la seleccin de los narradores con los profesores de comunicacin integral. La narracin es acompaada con diversos materiales visuales en tamao real y elaborados por el personal bibliotecario. Al concluir la sesin los nios reciben un recuerdo y la ficha de aplicacin, esta sirve para hacer una extensin de la sesin a la vida cotidiana a travs de preguntas inferenciales y valorativas o de actividades divertidas como pupiletras, sopa de letras, etc. En la tercera fase incluimos a los mimos. Queremos generar mayor expectativa en los escolares y quiz el prximo ao incluir narradores del nivel secundario.

Misterio

Paralelamente desarrollamos activi- dades cortas que generaron expectativa, una de ellas Un misterio por resolver donde los estudiantes simulan ser detectives y, a travs de pistas, resolver un misterio, en realidad se trataba de una reflexin sobre de la importancia de la lectura y como sta es relegada. Tambin realizamos otras actividades como Arma tu rompecabezas (juego de imgenes mentales y comprensin de la estructura lgica de una historia), El bal del tesoro (una variante del Maletn Viajero).

La psicloga educativa Juana Pinzs, entrevistada para el primer nmero de la Revista Aristas deca que el bibliotecario escolar debe derrochar creatividad e imaginacin y proponer actividades innovadoras, conocer mucho a sus usuarios y en especial qu les gusta. Estoy plenamente de acuerdo. Quisiera aadir que La lectura debe ser una experiencia agradable y no una obligacin, es decir, es ms productivo y placentero leer cuando uno se siente convencido de que le gusta leer y Una buena lectura es aquella que se inicia con inters, contina con satisfaccin y te invita a seguir leyendo con emocin (Sarina Roman).

dable y no una obligacin

la primera la creacin de cuentos y en la segunda msica que ayudara a deducir el tema a tratar.

Este 2007 continuamos con las actividades de animacin lectora e incluimos la promocin de libros con la publicacin de Alertas Bibliogrficas de las nuevas adquisiciones (tambin se hizo en el 2005 pero en menor medida). Los Pequeos Narradores se ampli de dos a tres sesiones por cada local. La seleccin de las lecturas se coordina con las profesoras de

actividades innovadoras para que los alumnos no percibieran monotona, por eso realizamos otras actividades como Encuentra el Tesoro; sin duda un hito lo marc Los Pequeos Narradores donde el papel fundamental lo tena, y sigue teniendo, el estudiante elegido por sus habilidades para realizar la narracin a nios ms pequeos que l. Esta actividad tuvo dos fases y se realizaron en las sedes de la avenida Colonial y San Juan de Lurigancho. En cada fase se incluy una motivacin diferente, en

8El escritor peruano Miguel Ildefonso Huanca (Lima, 1970) Estuvo ante nuestros alumnos el 3 de septiembre con motivo de la Semana de la Literatura. Ello le caus esta impresin:

Dar una charla a los alumnos del Colegio Bertolt Brecht, ha sido una de las experiencias ms agradables que como escritor me ha podido pasar hasta el momento. La primera sensacin al estar frente a los alumnos, es remembrar mis aos escolares. La segunda sensacin es ver al futuro del pas frente a ti. Eso me llena de responsabilidad en lo que vaya a decir, y tambin en imaginar que entre esos nios y adolescentes podr salir, quien sabe, un prximo presidente, un gran escritor o un destacado ingeniero.

La infraestructura del colegio Bertolt Brecht me dice que van bien encaminados, pues su moderno local dice mucho del trabajo que desarrollan; con miras al futuro, ambicin y orden, como es que debe ser encaminado el pas. Tuve la oportunidad de hablar de mi experiencia como poeta y narrador, de tratar de motivar a los alumnos a que lean todo tipo de libros, que pueden llevarse gratas

sorpresas al entrar en el mundo de la imaginacin. Y tambin quise que se animen a participar en los Juegos Florales que organiza el colegio. La literatura es parte de nuestra esencia humana. Saber comprender textos, es saber analizar situaciones cotidianas y trascendentales. La Literatura nos da herramientas y una prctica para comprender al ser humano en sus diferentes facetas, entre sus problemas y gozos. La lectura de libros tambin nos proporciona una mejor redaccin, que es muy importante para poder expresarnos en todos los mbitos de la vida moderna. Adems de saber articular y desentraar ideas, saber organizar discursos, exponer. O sea, la literatura no solo nos abre un mundo interior, o un mundo paralelo, tambin nos vuelve ms conscientes del mundo que habitamos. Todo ello tuve en cuenta al comunicarme con los escolares del Bertolt Brecht. Y ojal nos volvamos a reencontrar y poder dialogar ms.

Perteneci al movimiento potico Nen y ha publicado libros de poesa como Vestigios (1999), Canciones de un bar en la frontera (2001) y Las ciudades fantasmas (2002) con el que gan el Premio Cop.

Miguel Ildefonso Huanca

Semana de la Literatura

Miguel Ildefonso ante los alumnos del

Colegio Bertolt Brecht

APUNTES DE CLASE

La lectura nos ayuda a redactar mejor, lo cual es muy importante

para poder expresarnos.

9AULAABIERTA

Sensibilidad social y formacin solidaria

Graciela Quispe Pino, profesora de Comunicacin Integral.

Sensibiliza a los estudiantes respecto a la postergacin en que vive la mayora de la poblacin peruana y mundial. Los profesores contribuimos, dentro y fuera de las aulas, con la formacin de seres humanos ntegros, sensibles, solidarios, comprometidos con la construccin de un mundo mejor.

Aportar a la sociedad con creatividad y esmero

Diego Jara Snchez, profesor de Psicologa.

Aporta a nuestra sociedad desde el plano educativo. Ser integrante del colegio significa formarse dentro de un grupo humano muy bueno que ayuda a superarte. Entregamos nuestra creatividad y dedicacin para seguir colaborando con una educacin de calidad para los nios y jvenes de nuestro pas.

Qu significa ser profesor del Colegio Bertolt Brecht? Cul es su compromiso con la educacin? Seis de nuestros profesores opinaron al respecto.

Graciela Quispe Pino

Diego Jara Snchez

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Visin integral y compromiso diarioSonia Condori Snchez, profesora

de Lgica.

Ayuda a forjar la nueva conciencia entre los profesores, estudiantes y padres de familia, adems te inculca una visin ms integral del quehacer educativo, para emprender proyectos acordes a nuestro contexto nacional y mundial. Mi compromiso con sus ideales se expresa a diario, estar al lado de la comunidad educativa; alentar a sus miembros a que crezcan y enfrenten nuevos retos.

Formacin integral y vocacin pedaggica

Ana Reyna Alcntara, profesora

de educacin inicial.

El profesor del colegio Bertolt Brecht est comprometido con la formacin integral de la personalidad de los alumnos, atendiendo sus necesidades e intereses. Responde a una vocacin y ayuda a desarrollar en el nio todas sus capacidades.

Buen ejemplo, esfuerzo y alegra

Jos Mendoza Buleje, profesor de Religin.

Como profesores no debemos olvidar la enorme importancia de ser un buen ejemplo, la ayuda mutua, la investigacin, la alegra de ver en el progreso de los dems el mo propio, la persistencia y la esperanza. Sumamos esfuerzos por la formacin de nuevos hombres.

Sonia Condori Snchez

Ana Reyna Alcntara

Jos Mendoza Buleje

AULA ABIERTA

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Los alumnos no se quedaron atrs y tambin opinaron acerca de lo que el Colegio Bertolt Brecht representa en sus vidas. En esta ocasin, recogimos las opiniones de los delegados estudiantiles.

Es muy especial para m

Carolyn Tolentino Durand

El colegio Bertolt Brecht es muy especial para m, no solo por su forma de enseanza sino tambin porque nos ensea a preocuparnos por aquellos que sufren la injusticia social. Gracias al colegio, pude despertar en m diversos tipos de sensibilidad.

Sus profesores son personas muy preparadas, buscan la formacin integral del estudiante permanentemente. Tambin pueden ser nuestros amigos, porque nos dan consejos que muchas veces no podramos pedir a nuestros padres.

He aprendido mucho

Fiorella Prez Guerrero

Tiene muchas perspectivas, lo cual es difcil encontrar en un pas como el nuestro. Es un colegio que, como su mismo lema lo dice, forja la nueva educacin. He aprendido mucho en este colegio y s que todo eso no se va a quedar en mis cuadernos, sino que va a trascender y llevar a la prctica cada cosa y cada palabra que en l aprend.

Para m sus profesores son unas personas muy dedicadas porque pasan gran parte de su tiempo con nosotros. Sabemos que eso es parte de sus labores. Suelen ser personas que nos tratan de igual a igual y nos dan su confianza para salir adelante. Un colegio con gran

proyeccinEduardo Gestro Antn

Es una institucin con gran proyeccin, es un centro educativo de cuyas ideas he aprendido mucho. Es un colegio en el que te descubres a ti mismo y que te da las ganas de salir adelante. En el colegio no solo te preparas acadmicamente para que, ms adelante, desarrolles un oficio o profesin, sino que te prepara para hacer frente a la vida y aportar a la sociedad. Es un colegio que no es perfecto, pero en donde el avance y la superacin de las dificultades se dan, conforme todos trabajemos.

Quieren lo mejor para nosotros. No se limitan a colocar una nota, sino que transmiten sus ganas de progresar. Para ellos, escuchar las opiniones de los estudiantes es imprescindible.

Carolyn Tolentino Durand

Fiorela Prez Guerrero

Eduardo Gestro Antn

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Incentiva la prctica de la disciplina conciente

Gracia Meja Hinojosa

Es una buena institucin porque busca la formacin acadmica, cultural, deportiva y artstica de sus alumnos. Incentiva la disciplina conciente, lo que nos permite buscar en cada momento nuestra superacin y as ayudar a los dems. Nos aconsejan desinteresadamente si tenemos alguna dificultad. El profesor del Brecht es como un compaero ms, al cual todos respetamos.

Su temtica educativa es muy completa

Sandra Rodrguez Tafur

Es un buen colegio, su temtica educativa es muy completa: combina arte, conocimientos y valores. Destaco, en especial, la sensibilidad por la experiencia que adquiero da tras da con mi aula. Siempre recomendar al colegio Bertolt Brecht porque forma personas para que sean parte del cambio que el pas necesita.

Se hacen entender en sus clases. Me agrada que sean nuestros amigos, son jvenes y nos entienden. Estn bien capacitados para convertirse en guas y en ejemplos a seguir.

Sus profesores y alumnos se caracterizan por ser sencillos

Victoria Abreg Sols

Es un excelente colegio, nos llena de alegra, virtudes y de disposicin para colaborar. Sus profesores y alumnos se caracterizan por su sencillez. En pocas palabras, es lo mximo.

Son muy comunicativos y didcticos en su enseanza. Se preocupan por nosotros. Esto lo digo porque es muy saludable que se comporten as. Yo confo en ellos y son como mis segundos padres.

Gracia Meja

Hinojosa

Victoria Abreg

Sols

Sandra Rodrguez Tafur

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APRENDER JUGANDO

El conjunto es una agrupacin de objetos. Estos objetos pueden ser animales, plantas, juguetes, nmeros o letras. Se les denomina elementos del conjunto. Los elementos con los cuales se opera son susceptibles de tener relaciones o propiedades entre ellos. Para entender esto, propongo un juego para apreciar cmo los nios de educacin inicial se acercan a los conceptos matemticos a travs de la formacin de conjuntos.

Las protagonistas del juego son una mueca con vestido

fig. 1.1 fig. 1.2

Las muecas quieren jugar con los bastoncitos y los nios deben buscarlos en sus cajitas. Esto es una tarea de formacin de conjuntos.

blanco, una mueca con vestido rojo y una cajita que contiene bastoncitos de variados colores y tamaos. A jugar entonces!

TAREA 1.

Las muecas quieren jugar con los bastoncitos y los nios deben buscarlos en sus cajitas. Estos son encontrados y separados de las dems piezas que estn dentro de la cajita. Esto es una tarea de formacin de conjuntos (fig. 1.1) (1.2)

Evangelina Rodrguez Domnguez

FORMACION DE CONJUNTOS EN LA EDUCACIN INICIAL

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Descomposicin de conjuntos

La descomposicin de conjuntos es la accin mediante la cual los nios forman, bajo determinados puntos de vista, subconjuntos disjuntos con todos los elementos de un conjunto inicial dado.

TAREA 2. Las muecas ya tienen sus bastones, pero cada uno quiere jugar con los suyos por separado. Hay que distribuirlos con las muecas, y preguntar a los nios cmo hacerlo y qu caractersticas se tomarn en cuenta. Hay varias probabilidades de solucin, una de ellas es por el color. Los nios pueden distribuirlos de acuerdo al color en 2 subconjuntos disjuntos y expresarn el resultado diciendo:

La mueca del vestido rojo tiene los bastones rojos, la mueca del vestido azul tiene los bastones azules.

Esta es una tarea de descomposicin de conjuntos (fig. 1.3)

Comparacin de conjuntos

En la comparacin de conjuntos los nios determinan las relaciones de cantidad con los elementos de dos o ms conjuntos.

TAREA 3. Ahora las muecas quieren saber si cada una tiene igual cantidad de bastones y necesitan que ellos las ayuden. En esta tarea los nios deben establecer la correspondencia con los elementos de un conjunto y los elementos del otro conjunto para realizar la comparacin de conjuntos (fig. 1.4).

Descomposicin de conjuntos en dos

subconjuntos disjuntos

TAREA 4. Las muecas an no estn contentas. Hay que buscar otra forma de distribuir los bastones. Los nios debern unirlos de nuevo y buscar otra caracterstica para distribuirlos. Si ellos determinan hacerlo por la cantidad de los bastones, vamos a observar que cada mueca tendr bastones de desiguales longitudes y el resultado se expresara as:

La mueca del vestido rojo tiene bastones largos y La mueca del vestido azul tiene los bastones cortos y(fig. 1. 5).

Esta es una tarea de descomposicin de conjuntos en dos subconjuntos disjuntos.

fig. 1.3

fig. 1.4

fig. 1.5

Unin de conjuntos

Es el proceso inverso a la descomposicin, de ah su importancia.

La unin de conjuntos en educacin inicial consiste obtener un conjunto formado, al menos, por dos subconjuntos cualesquiera. Es muy importante este momento en el desarrollo del pensamiento matemtico del nio, pues a partir de ac, se establece la relacin parte todo y todo - parte, base para la adicin y sustraccin en Primer Grado y tambin para el aprendizaje de la lectura.

APRENDER JUGANDO

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COMO ENSEAR A SUMAR CON LA YUPANA EN LA EDUCACION PRIMARIA

Marisabel Casavilca Montaez

Yupana procede del quechua yupay que significa hacer cuentas. Las yupanas son tablas hechas de piedra, madera o hueso con casillas. Cada casilla tiene un determinado valor y para calcular se colocan en ella granos de maz u otras semillas. Su uso fue muy importante para los incas, ya que con estas tablas calculaban. La yupana, al igual que el quipu se empleaba en la contabilidad y la tesorera, adems de ser til para llevar el calendario de las celebraciones rituales, en donde la exactitud de la fecha deba coincidir con las posiciones astronmicas . A diferencia de los bacos orientales, maneja cuentas movibles y reemplazables siendo su regla poner el mnimo nmero de granos para representar un nmero .

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Una de las primeras referencias a la yupana se encuentra en la Nueva Crnica y Buen Gobierno de Guamn Poma de Ayala (1615). Mostr una tabla de forma rectangular, con cinco filas y cuatro columnas. La yupana en sus lados ms cortos emplea los cuatro primeros nmeros primos (1, 2, 3, 5) y combina ingeniosamente los sistemas binario, ternario, quinario formando el sistema decimal.

APRENDER JUGANDO

La yupana que se muestra en esta pgina es la de 20 casillas (es la ms comn). La base del clculo es que a cada casilla se le atribuye el valor que toma un grano depositado en ella. La operacin bsica es la suma de nmeros naturales. Para ello se depositan en la yupana las cuentas por cada nmero y luego basndose en la regla fundamental anteriormente formulada se van haciendo las reducciones y los desplazamientos necesarios.

Yupana de 20 casillas

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Cmo se usa la yupana?Se debe elaborar un tablero de forma rectangular constituido por cinco filas y cuatro columnas. En cada una de las casillas deben estar los crculos, en la primera se colocan cinco, en la segunda tres, en la tercera dos y en la ltima uno.

Los crculos que se encuentran en la primera fila (de arriba hacia abajo) se utilizan como memoria, las otras filas sirven para ubicar granos, semillas, bolitas, etc., en cada crculo. Una vez que se completen los diez crculos de una columna, se barren (o sea que se debe recoger las diez semillas y dejar una en la memoria, la cual representa la decena que se ha barrido) y la que est en la memoria, luego ser trasladada a la columna posterior.

Ejemplo: Vamos a realizar la siguiente adicin:

458 + 123

Luego, colocamos las semillas que estn en la parte superior sobre la yupana, conservando las columnas, es decir, las 3 semillas en la columna de unidades, las 2 semillas en la decena y as sucesivamente. Nos daremos cuenta que en la primera columna los crculos quedan llenos, entonces se barren las semillas y se coloca uno en la memoria, que luego pasar a las decenas. De la misma forma se realiza con las siguientes cantidades. Finalmente obtendremos la suma de 581.

Respuesta: 581

La profesora Elsa lvarez Gonzlez considera que la yupana es un material didctico porque ayuda al alumno a comprender ciertos operaciones matemticas que, a menudo, se responden memorsticamente (cuatro ms ocho es 12, dos y llevo uno). Tiene la ventaja de no requerir la repeticin de resultados ya obtenidos, hacer mentalmente sumas o restas o contar con los dedos*. Adems, lo familiariza con la representacin numrica real de una cifra y lo estimula a calcular. Es clave para el aprendizaje de la adicin en los primeros grados de la educacin primaria**.

* Primer Coloquio de Matemtica organizado por el Instituto Superior Pedaggico San Marcos y el Colegio Bertolt Brecht, noviembre 2007.

** El profesor Carlos Daz Serruche afirma que la yupana facilita en el tercer y cuarto grado de Primaria el reconocimiento y la ubicacin del orden de los nmeros, la formacin de decenas, centenas y unidades de millar de forma progresiva y la descomposicin pilinmica de N.

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Evaluar el aprendizaje en matemtica se hace difcil. En primer lugar porque evaluar es valorar, aunque hasta ahora muchos confunden evaluar con calificar o poner nota. En segundo lugar porque es una tarea que requiere no solo una actitud especial, sino un conocimiento profesional y tcnico por parte del docente. En tercer lugar porque el profesor de matemtica tiene que ir continuamente conociendo ms y ms de su especialidad y de la historia de

DESAFIOS Y RESPUESTAS

EVALUAR ES UN PROBLEMA? Mario Portocarrero Quintana

El profesor Mario Portocarrero aborda la evaluacin en el campo de la matemtica, aunque los principios que defiende son aplicables a otras reas del conocimiento en gran medida.

la matemtica, porque en esta disciplina el saber de relaciones ms complejas ayuda a entender las ms simples, y eso es clave para tener mltiples alternativas o caminos ingeniosos cuando los estudiantes no entienden sus explicaciones.

Para hacerme entender, describir los dos campos en que se realiza la tarea de evaluacin: en el campo del maestro y en el campo del estudiante.

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El docente tiene que poseer varios prerrequisitos para que una evaluacin cumpla su objetivo principal, es decir, orientar al estudiante para que por iniciativa propia dirija el desarrollo de sus capacidades, que en forma gradual y continua se posesione de las relaciones que rigen el razonamiento lgico y el saber matemtico, y llegue a convertirse, adems, en autor de nuevas propiedades, reglas y teoremas que sepa demostrar.

Cmo lograr todo ello? Por cierto que antes de evaluar al estudiante el docente tiene que evaluar su actividad, pues, para lograr xitos en un periodo, ha tenido que ejercer la enseanza y antes de ensear ha tenido que planificar detalladamente su tarea, teniendo en cuenta lo que ya dominan sus pupilos, las circunstancias y medios al alcance, los pasos graduales, los tiempos disponibles, y las acciones ms eficaces adecuadas al desarrollo psicolgico.

La particularidad de la matemtica es que el docente debe valorar no tanto los resultados, sino los procesos; en los procesos no tanto el seguimiento de frmulas o algoritmos (es decir, procesos estandarizados), sino el modo en que el estudiante descubre las relaciones cuantitativas o, mejor an, las relaciones cualitativas que se dan en la realidad, adems del modo creativo, ingenioso, las formas analticas o las simplificaciones que realiza el estudiante. Por qu? Porque el profesor de matemtica debe impulsar la iniciativa lgicamente creativa, y debe sentirse realizado como maestro cuando el estudiante le demuestre que vuela con sus propias alas y prcticamente ya no necesita de su maestro.

La evaluacin es el ejercicio valorativo que hace el maestro para percibir, en cada momento, el grado de aprendizaje que van alcanzando los nios y jvenes que confiando en l se adecuan a sus iniciativas y regulaciones.

En contrapartida, la evaluacin es un proceso que, como dijimos arriba, se inicia con varias preguntas. Voy a resumir lo dicho en el siguiente cuadro

En forma imperceptible, en todo este sistema hay una palabra clave: corregir, pues toda la evaluacin gira en torno a este paso dialctico: la correccin. La humanidad no ha tenido un camino ms eficaz para avanzar que el error que, a travs de la correccin, lleva al acierto.

Hay tres formas de evaluacin:

Heteroevaluacin (hetero significa yel otro). Cuando otro evala el aprendizaje de otro. Esto es lo ms comn porque el profesor evala a su alumno, el resultado debe ser dar oportunidades para que el estudiante complete lo que le falta y supere sus errores.

Coevaluacin (co significa ymutuo). Cuando dos se evalan mutuamente, como, por ejemplo, cuando dos compaeros acuerdan estudiar y se examinan mutuamente y se corrigen (esta es la clave del mayor xito).

Autoevaluacin (Auto significa yuno mismo). Cuando el que aprende se evala a s mismo. Por ejemplo, cuando uno repasa lo aprendido: se afirma en sus aciertos, descubre sus defectos y los corrige, o percibe fallas ms profundas y recurre a otros para que le ayuden a superar la dificultad (esta es la condicin fundamental de todo aprendizaje seguro).

Lo que comnmente se entiende por evaluacin es solo la heteroeva-luacin, acompaada de la idea de calificacin y nota. El profesor no es considerado el amigo que acompaa al estudiante en su camino del sa-ber, sino una autoridad, un juez que generalmente tiene la sartn por el mango y juzga inapelablemente y al estudiante se le considera pasivo, sometido al profesor y obligado a

La evaluacin es el ejercicio valorativo que hace el profesor para percibir, en cada momento, el grado de aprendizaje que van alcanzando sus alumnos. Si es permanente, metdica, formativa y democrtica, por qu tendra que ser un problema?

El estudiante debe pasar el miedo a equivocarse a

la confianza de demostrar lo que sabe

Estos son los tres tipos de evaluacin

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Para finalizar, es importante recordar que la humanidad no ha tenido ms camino para avanzar y progresar que el ensayo, error y acierto. No es cierto que algn hroe haya trado del Olimpo el fuego de la verdad robado a los dioses; no es cierto que ya lo sepamos todo de una vida anterior y solamente debamos recordar: no, nada de eso es cierto. En el apasionante camino de la ignorancia al gran saber, se problematiza y, a tientas, se ensaya una y otra solucin hasta que se acierta y ese acierto se transmite a las nuevas generaciones. Cuando yerra reflexiona sobre su error y vuelve a ensayar (se evala) hasta superar el error; entonces, festeja, se alegra y avanza. Sobre los aciertos, la humanidad se asegura, se sostiene y se multiplica; sobre los errores avanza: as se ha hecho la cultura.

Por eso la clave de la evaluacin es la clave del avance. Las grandes empresas y las personalidades notables han logrado su xito gracias a la actitud constante, progresiva y optimista de la evaluacin. Las personalidades fuertes se hacen porque ante el error y la dificultad no se deprimen, sino que examinan las causas y superndolas obtienen el xito.

Y para continuar el dilogo en otra oportunidad dir: Esta cultura de evaluacin es la que necesita nuestro pas, no lo crees as?.

ser un repetidor. Esas figuras de maestro o de alumno deben ser superadas, puesto que la evalua-cin no es un proceso punitivo, es, ms bien, un proceso formativo en el cual la generacin mayor apoya a la generacin nueva para que se desenvuelva exitosamente en la vida. Y prosiga ya que es optimista y ascendente el camino de la hu-manidad hacia un mundo nuevo donde las penurias actuales sean superadas.

Ahora bien, si estas ideas son claras y se ha entendido que la evaluacin es un proceso continuo, las actitudes del maestro y el estudiante deben cambiar.

El estudiante debe cambiar, tiene que convencerse que l es el principal centro de atencin, que su actividad es la ms importante y su persona es digna de todo respeto. Entonces, en vez de decir que es lo que el profesor calificar? debe pasar a la iniciativa; del miedo a equivocarse debe pasar a la confianza de demostrar lo que sabe, y si comete error, debe persuadirse de que eso no es problema, porque el error est para ser corregido y avanzar, asimismo, el profesor debe estar dispuesto, en todo momento, a dar nuevas oportunidades a los estudiantes para que demuestren que han superado el error. Por eso, en vez de suplicar el regalo de puntos de nota al profesor, debe decirle que le d una nueva oportunidad para que le demuestre que el error no es nada y que todo es superable.

Es cierto que hay que poner nota al final, hay que calificar, claro, pero que no se califique solo una prueba, sino el nivel de logros.

Cuan feliz se sentir el estudiante de que el profesor no le regale notas pero s le d oportunidades, que cuando yerre no le ponga nota hasta que el estudiante le demuestre que ha superado la dificultad. Es esto pedir mucho? Es una utopa?, creo que no. Es solo ser consecuentes con lo que dijimos arriba, y el maestro o el alumno, que en la primera parte de este artculo no ha tenido mayor objecin, debe ser consecuente, es decir, luchar contra los malos entendidos en la importante tarea de evaluar, en este terreno donde, ms que en ningn otro, el maestro cumple el papel de amigo antes que el de juez.

DESAFIOS Y RESPUESTAS

Tome en cuenta lo que dicen los alumnos

El alumno se sentir muy feliz si el profesor le da oportunidades, en vez de regalar calificaciones.

Bertolt Brecht deca que cuando solo se piensa en uno mismo, difcilmente se

admite el error.

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La formalizacin es muy importante en matemtica, pero lo es todo?

LA MATEMATICA EN LA MIRA

La formalizacin es muy importante en matemticas, pues contribuye de manera eficiente a resolver problemas, a sugerir generalizaciones, a seguir haciendo matemtica y a construir modelos y aplicaciones en diversos campos. Los aportes de los griegos, la fsica y la teora econmica nos brindan valiosos ejemplos de la contribucin de la formalizacin al avance de la matemtica y de la ciencia en general. Sin embargo; el aporte de la formalizacin sera muy reducido o nulo si quien la emplea no tiene un manejo intuitivo de los conceptos y un conocimiento claro de lo que los smbolos estn expresando; y esto es esencial tenerlo en cuenta en las tareas de enseanza y aprendizaje de la matemtica a todo nivel, pues es muy frecuente reducirlas a la parte formal, quizs por concebirse -equivocadamente- que ensear o aprender matemticas es equivalente a manejar smbolos, algoritmos y demostraciones.

En particular, debemos reflexionar sobre las demostraciones matemticas desde el punto de vista de su funcin educativa y cuidar que la formalizacin se d en una fase que siga a un acercamiento intuitivo y en lo posible experimental de la matemtica. Este cuidado debe ser mayor cuanto menor sea la edad del educando, pero no por ello dejado de lado cuando se trabaja con universitarios o en capacitacin docente.

Pasemos entonces a ubicamos en un marco ms amplio, respondiendo a algunas interrogantes:

1. Cmo se aprende matemticas?Ciertamente hay respuestas muy naturales o espontneas, como estudiando, asistiendo a clases, haciendo ejercicios y otras similares, pero debemos prestar atencin especial a respuestas como resolviendo problemas, experimentando, haciendo preguntas, relacionando conceptos, intercambiando ideas, inventando problemas, descubriendo regularidades, aplicando conocimientos, entendiendo y haciendo demostraciones, dando ejemplos y contraejemplos y observando cmo trabaja en su taller un matemtico. Notemos que estas actividades no necesariamente requieren de un manejo formal riguroso de los conceptos matemticos; menos an en niveles bsicos y en particular en las actividades relacionadas con problemas, pues lo esencial es trabajar con verdaderos problemas que desafen la curiosidad intelectual y permitan desarrollar la creatividad, la intuicin y niveles bsicos de manejo de smbolos. Tengamos en cuenta, por ejemplo, que la fundamentacin lgica y formal del sistema de nmeros reales no se hizo hasta finales del siglo XIX; sin embargo ya en el siglo XVII haba surgido el clculo infinitesimal, resolviendo problemas de reas y volmenes en base a la observacin, la creatividad y el manejo intuitivo de las ideas de nmero real, variable, funcin y lmite.

APRENDIZAJE Y FORMALIZACIN EN MATEMTICAS

Uldarico Malaspina Jurado

Las demostraciones formales son muy importantes para el aprendizaje de las matemticas pero el profesor no debe restringir su labor al manejo de smbolos o algoritmos. La resolucin de problemas, estrategia didctica clave, no requiere un manejo riguroso de conceptos mate-mticos.

Actas de la Undcima Reunin Latinoamericana de Matemtica Educativa. Mxico, 1997, pp. 228 232.

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Cabe aclarar que no estamos sosteniendo que sea malo formalizar, sino llamando la atencin sobre el peligro de abusar, en la tarea educativa, del tratamiento formal de conceptos, sin una base experimental e intuitiva, que, es fundamental en el aprendizaje de las matemticas. Al respecto, David Wheeler nos dice: Es una tentacin, especialmente cuando hablamos de pedagoga y didctica, estar tan en contra de la formalizacin en matemticas, que no admitimos que tenga virtudes. Y es importante tener presente que la formalizacin tiene virtudes, sin que esto signifique que la formalizacin siempre sale triunfante.

Por ejemplo, si para comparar dos fracciones damos directamente -o muy pronto- el criterio formal de comparar los productos del numerador de una por el denominador de la otra, (a/b < c/d si y slo, si ad< bc) y luego muchos ejercicios para que los alumnos practiquen esta regla, estaremos perdiendo, valiosas ocasiones para que los estudiantes resuelvan experimentalmente problemas prcticos, sencillos y cotidianos que conlleven la comparacin de fracciones. Con problemas sencillos y graduados y la orientacin paciente y adecuada del profesor, se logra que los alumnos comprendan ms el concepto de fraccin, identifiquen bien el significado del denominador, vinculen las fracciones homogneas y heterogneas y descubran o construyan su propia regla prctica para comparar tracciones.

Con estos logros habremos contribuido a que el nio aprenda matemtica, que -evidentemente- es mucho ms que manejar una regla dada.

Los conceptos de lmite y continuidad de funciones y sus definiciones formales en trminos de los famosos y son tambin ejemplos importantes en los que el apresuramiento en la presentacin formal no ayuda a su comprensin intuitiva, tan necesaria para la comprensin de otros conceptos del anlisis matemtico. Debemos tener en cuenta que

llegar a esta presentacin tom mucho tiempo y esfuerzo y fue hecha por Weierstrass recin a mediados del siglo XIX, con las contribuciones de Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet, y despus de que el clculo infinitesimal, desde el siglo XVII, se estuvo desarrollando y aportando a la matemtica misma y a la fsica, sin tener el nivel de formalismo de ahora.

2. Cul es el papel del docente en el aprendizaje de las matemticas?Teniendo en cuenta las respuestas a la pregunta anterior, es claro que el docente debe promover, estimular y orientar las actividades de aprendizaje de sus alumnos, con base, fundamentalmente, en la experimentacin, la observacin, el descubrimiento, la conjetura y la resolucin de problemas.

Pero es importante destacar que la eficiencia de este papel del docente ser mayor si lo desempea

contagiando entusiasmo, agrado yy espritu cientfico

reconociendo y valorando los yconocimientos previos del alumno

En, este marco global, el maestro, debe buscar formas de identificar las motivaciones de sus alumnos,

DOSSIER

El docente cumplir mejor su labor si reconoce y vlora los conocimientos previos del alumno.

La comprensin de los conceptos matemticos es un proceso por etapas en el alumno.

Jean Piaget estudi las etapas del desarrollo humano. No le faltba razn

cuando afirmaba que un nio solo aprende verbalmente los conceptos matemticos que

le son impuestos.

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plantearles desafos, inducirlos a inventar ejemplos, contraejemplos, problemas y conceptos, fomentar una aproximacin intuitiva y una comprensin global de los concep-tos y proposiciones fundamentales, relacionar intuicin y rigor, dar vi-sin histrica del tema que trate, fo-mentar el trabajo en grupos, evaluar adecuadamente y trabajar con los conceptos teniendo en cuenta que hay: etapas de comprensin y que sta es tanto un objetivo como un proceso.

Si el profesor tiene dominio de los temas que trabaja y tiene el hbi-to de experimentar con ellos (in-ventando problemas, haciendo interpretaciones geomtricas, in-ventando juegos, etc.), sin caer en complicaciones innecesarias, podr cumplir mejor el papel que estamos describiendo, pues tendr y trans-mitir seguridad a sus alumnos al orientar sus iniciativas, y en cada caso podr decidir mejor cundo y cmo emplear la formalizacin, sin quemar etapas. Es pertinente recordar, sobre todo pensando en enseanza a nios, lo que nos dice Piaget: cuando los adultos tratan de imponer prematuramente a un chico los conceptos matemticos, su aprendizaje es meramente ver-bal; la verdadera comprensin de los mismos slo llega con su creci-miento mental; y en general, lo que nos dice Skemp: Las aproximacio-nes usuales en la enseanza de las matemticas en el pregrado tienden a dar a los estudiantes el producto del pensamiento matemtico, en lugar del proceso del pensamiento matemtico. Tener en cuenta esto es particularmente importante en niveles medios y superiores, pues en ellos hay una mayor tendencia a presentar los temas a los estudian-tes de manera formal y enfatizando la lgica, lo cual puede dificultar la comprensin del estudiante.

David Tall nos dice una presenta-cin lgica puede no ser apropiada para el desarrollo cognitivo del que aprende. Lo que es esencial -para los estudiantes- es una aproxima-cin al conocimiento matemtico que crezca como ellos crecen: una aproximacin cognitiva que tenga en cuenta el desarrollo de su estruc-tura de conocimientos y sus proce-sos de pensamiento.

3.Cun importantes son las demostraciones formales en el

aprendizaje de las matemticas?Evidentemente las demostracio-nes formales son esenciales en la matemtica. Tanto, que insen-siblemente se va trasladando ese mismo grado de importancia al campo de su enseanza y apren-dizaje, en los diversos niveles y sobre todo en el superior. Sin embargo, hay que saber distin-guir estos campos, pues, como dice Miguel de Guzmn, es tal la influencia del formalismo, que el estudiante que pide una demos-tracin matemtica posiblemente tiene en su cabeza el prejuicio, transmitido por muchos de sus profesores, de que slo lo que resulta tras unos cuantos cuanti-ficadores lgicos merece la deno-minacin de demostracin mate-mtica. Este prejuicio no ayuda a valorar en su verdadera dimen-sin el uso de recursos grficos y de la visualizacin en general para presentar demostraciones, perdindose entonces interpreta-ciones geomtricas, ideas intuiti-vas y ayudas importantes para re-tener teoremas, imaginar nuevas relaciones, conjeturar otros resul-tados e inventar y resolver pro-blemas. La funcin educativa de las demostraciones va ms all de la verificacin de la correccin de cada paso en las deducciones for-males (se podra examinar cada rbol y no tener idea clara del bosque). La demostracin de un teorema comprende no slo aspectos mecnicos sino tambin intuitivos, y es ms valorada por el que aprende cuando se hace luego de haber entendido bien el

Es esencial trabajar con verdaderos problemas que desaten la curiosidad intelectual en el alumno.

Los estudiantes, dice David Tall, necesitan que la aproximacin

al conocimiento matemtico crezca como ellos crecen.

Los alumnos en las escuelas reciben, a menudo, el producto del pensamiento matemtico en lugar del proceso del

pensamiento matemtico. Sigue pag. 24

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baj detenidamente el problema de determinar dos nmeros cuya suma sea 15 y su producto mxi-mo. Fue resuelto considerndolo desde un problema de clculo mental para nios de primaria, hasta un problema de optimiza-cin restringida por una igual-dad. Se hicieron interpretaciones geomtricas, replanteamientos y generalizaciones del problema, yendo desde una solucin empri-ca de un problema de rectngulos isoperimtricos hasta la solucin mediante multiplicadores de La-grange del problema de un con-sumidor buscando maximizar su utilidad con una restriccin de presupuesto. Trabajar este pro-blema permiti ver de manera muy clara la importancia de hacer interactuar la intuicin, la conje-tura, la visualizacin y la formali-zacin. Finalmente se ilustr con ejemplos la importancia de la vi-sualizacin en el papel educativo de las demostraciones matemti-cas.

ULDARICO MALASPINA JURADO (Caraz, 1948)

Graduado de Bachiller en Matemticas en la Universidad Nacional de Trujillo (1970) y de Magster en Matemticas en la Pontificia Universidad Catlica del Per (PUCP) (1977). Concluy estudios de Magster en Economa en la PUCP e hizo estudios doctorales en Economa Cuantitativa en la Universidad de Bonn, Alemania (1982). Actualmente es Profesor Principal del Departamento de Ciencias y Director Acadmico en la PUCP.

Es Presidente de la Comisin de Olimpiadas de la Sociedad Matemtica Peruana, Director del Instituto de Investigacin para la Enseanza de las Matemticas (IREM) con sede en la PUCP y miembro de la Comisin de Promocin Acadmica del Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa (CLAME).

Es autor del libro Matemtica para el Anlisis Econmico y de diversos artculos sobre educacin matemtica. Ha disertado conferencias e impartido cursos en foros latinoamericanos y europeos sobre temas relacionados con perspectivas didcticas en diversos niveles educativos acerca de teora de juegos, optimizacin matemtica y resolucin de problemas.

Referencias Bibliogrficas:

- Guzmn, M. de (1990). El rincn de la pizarra. Pirmide.

- Hanna y Winchester (1990). Creativity, Thought and Mathematical Proof. Interchange.

- Skemp, R. (1971). The psychology of learning mathematics. Penguin.

- Tall, D. (1991). Advanced Mathematical Thinking. Kluwer.

Uldarico Malaspina Jurado (Caraz, 1948)

teorema, de haberlo aplicado en la solucin de un problema y de haber discutido sobre sus bonda-des y sus limitaciones.

Ciertamente, en la tarea educa-tiva, no siempre es necesario demostrar formalmente los teo-remas que se emplean, ya sea porque lleva a detalles y conside-raciones que desvan de las ideas globales que se van desarrollan-do, porque se requiere de ma-yores conocimientos o de mayor madurez para entenderlas o por-que es suficiente mostrar argu-mentos visuales convincentes. En El Rincn de la Pizarra Miguel de Guzmn nos presenta significati-vas reflexiones sobre la visualiza-cin y valiosos ejemplos del uso de ella en el anlisis matemtico. Una joya histrica que muestra el valor de la visualizacin es indu-dablemente la demostracin del teorema de Pitgoras descompo-niendo de dos maneras un cua-drado de lado a + b, siendo a y b las longitudes de los catetos de un tringulo rectngulo.

Para terminar, unas lneas de Gila Hanna, que resumen bastante de lo dicho: El punto de partida para la comprensin es la idea mate-mtica intuitiva, basada en la ex-periencia cotidiana. Para avanzar, estas ideas intuitivas deben ser desarrolladas y hechas explcitas. Esto requiere un grado de forma-lismo [] Pero esto tiene su pre-cio: el estudiante, distanciado del contexto intuitivo original, puede perder visin de la realidad y con-vertirse en un activador de sm-bolos.

Resumen descriptivo del curso:El curso se desarroll de manera muy participativa, intercambian-do opiniones sobre el papel de la formalizacin en la enseanza y el aprendizaje de la matemtica y mostrando ejemplos de la impor-tancia de usarla adecuadamente, interactuando con las aproxima-ciones intuitivas, tanto para el desarrollo de conceptos como para la resolucin de problemas y para la demostracin de teore-mas. En esta perspectiva se tra-bajaron problemas de cuadrados mgicos; problemas que se pidi inventaran los participantes en base a las experiencias tenidas en el paseo turstico y algunos otros problemas. En particular se tra-

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George Polya naci en Budapest (Hungra) en 1887; fue profesor en Zurich (Suiza) desde 1914 hasta 1940 y despus en la Universidad de Stanford de los Estados Unidos, de la cual se retir en 1953 pero continu activo hasta su muerte en 1985. Polya fue coautor de un notable libro escrito con su compatriota Gabor Szeg, titulado Aufgaben und Lehrsze aus der Analysis (Berln, 1972). En este texto, publicado en dos volmenes, los autores muestran cmo la enseanza del anlisis matemtico puede ser gradualmente desarrollada, desde los fundamentos hasta algunas fronteras del conocimiento, a travs de una juiciosa sucesin de ejercicios y problemas, algunos dotados de mucha elegancia.

Polya escribi otros libros y varios artculos que le dan slida reputacin en anlisis clsico, combinatoria y probabilidades. Sus obras completas, en cuatro volmenes fueron publicadas en 1984 por Massachussets Institute of Technology Press. En los ltimos 40 aos de su larga vida se interes por la enseanza, dedicndose casi enteramente al estudio de las cuestiones referentes a la transmisin del conocimiento matemtico. Sobre esto escribi muchos artculos y algunos libros extraordinarios como How to Solve it (traducido al espaol como El arte de resolver problemas), Mathematics and Plausible Reasoning (Princeton University Press,

Polya, famoso matemtico

GEORGE POLYA

1954) y Mathematical Discovery (2 vols., Wiley, 1962 y 1965).

El trabajo de Polya sobre la enseanza de la matemtica es maravilloso simplemente porque no propone trucos, frmulas milagrosas ni mucho menos pomposas-teoras-pseudopsicolgicas.

Despus de aos de experiencia como destacado matemtico y profesor universalmente reconocido por sus dotes de maestro, Polya sintetiza sus conclusiones en diez mandamientos y una regla muy simple para entrenar profesores que sepan seguir estos mandamientos.

Para ser un buen profesor de matemtica usted tendr que vibrar con su materia, conocer bien lo que va a ensear, tener una buena relacin con los alumnos para entender los problemas de ellos y darles oportunidad (por lo menos algunas veces) de descubrir las cosas por s mismos. Debe entender, adems, que know-how es ms importante que la informacin (Polya dir en el texto lo que entiende por know-how). Y para entrenar profesores, a fin de que cumplan su tarea, lo mejor es hacerles practicar el arte de resolver problemas. Estoy seguro de que el artculo que sigue ser reledo varias veces: la meditacin sobre el mismo y la adopcin de los principios en l expuestos mucho contribuirn para mejorar la calidad de nuestras clases de matemticas.

DOSSIER

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Csar Augusto Carranza Saravia es un notable matemtico peruano. Destacado discpulo del ingeniero Jos Tola Pasquel. Profesor emrito en las universidades nacionales: Mayor de San Marcos y Santiago Antnez de Mayolo de Ancash; y de la Pontificia Universidad Catlica del Per. Profesor honorario de las universidades nacionales: San Antonio de Abad del Cusco, San Luis de Gonzaga de Ica y Pedro Ruiz Gallo de Lambayeque. Doctor en Ciencias Matemticas con posgrado en la Universidad Complutense de Madrid y en el Centro Regional de Matemtica para Amrica Latina de la Universidad de Buenos Aires. Presidente de la Sociedad Matemtica del Per en cuatro perodos y Decano Nacional del Colegio de Matemticos del Per. Ha publicado una docena de artculos relacionados con la Matemtica, en revistas peruanas y extranjeras, 4 libros y 7 notas de clases y seminarios para el antegrado y posgrado en Matemtica. Once libros escritos, en colaboracin, para profesores de educacin secundaria (5) y para profesores de educacin primaria (6). Integr el Consejo Directivo del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa en el 2001. Fue reconocido en el 2003 con las Palmas Magisteriales en el Grado de Amauta. Actualmente es miembro de la Academia Nacional de Ciencia.

El traductor

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Para tornar claro el significado de los mandamientos debera haber aumentado ejemplos ilustrativos, pero en vista de la exigidad del espacio eso quedar para otra oportunidad. Algunos puntos son ilustrados en mis dos libros anteriormente enunciados y otros sern discutidos en otro libro, en el cual este artculo ser incorporado.

Diez mandamientos para profesores

1. Tenga inters por su materia.

2. Conozca su materia.

3. Procure leer el semblante de sus alumnos, procure satisfacer sus expectativas y sus dificultades, pngase en el lugar de ellos.

4. Comprenda que la mejor manera de aprender alguna cosa es descubrirla por usted mismo.

5. D a sus alumnos no solo informacin, sino ms know-how, actitudes mentales o el hbito de trabajo metdico.

6. Hgalos aprender a tener plpitos.

7. Hgalos aprender a demostrar.

DIEZ MANDAMIENTOS PARA PROFESORES

George Polya

En los ltimos cinco perodos lectivos, todas mis clases fueron dirigidas a profesores secundarios que despus de aos de prctica volvieron a la Universidad para ms entrenamiento. Ellos deseaban, segn entend, un curso que fuese de uso prctico inmediato para sus tareas diarias. Intent planear tal curso, en el cual, inevitablemente, tena que expresar repetidas veces mis opiniones sobre el da-a-da del profesor. Mis comentarios fueron pocos, asumiendo una forma condensada, y, finalmente fui llevado a enunciarlos como diez reglas o mandamientos.

8. Busque en el problema que est abordando aspectos que puedan ser tiles en los problemas que vendrn luego. Procure descubrir el modelo general que est detrs de la presente situacin concreta.

9. No revele el secreto de una vez. Deje que los alumnos sientan plpitos antes. Djelos descubrir por s mismos en la medida de lo posible.

10.Sugiera, no los haga aprender a la fuerza.

Comentarios

Para formular los mandamientos o reglas tuve en mente a los participantes de mis clases, profesores secundarios de matemticas; sin embargo, estas reglas se pueden aplicar a cualquier situacin de enseanza y a cualquier materia enseada en cualquier nivel. Claro est que el profesor de matemtica tiene ms y mejores oportunidades de aplicar algunas de ellas que el profesor de otras materias.

Vamos ahora a considerar las diez reglas, una por una, prestando atencin especial a la tarea del profesor de Matemticas.

Traduccin Csar Carranza

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1. Es muy difcil prever, con seguridad, el xito o fracaso de un mtodo de enseanza. Ms hay una excepcin. Usted aburrir a su pblico con la materia si esta materia lo aburre a usted.

Este criterio debe ser suficiente para tornar evidente el primero y principal de los mandamientos del profesor: Tenga inters por su materia.

2. Si un asunto no interesa a un profesor, este no ser capaz de ensearlo aceptablemente. El inters es sine qua non, una condicin indispensablemente y necesaria; mas, en s misma, no es una condicin suficiente. Ninguna cantidad de inters o de

mtodos de enseanza permitir que usted explique claramente un punto a sus alumnos si usted mismo no entiende claramente este punto.

El argumento anterior es importante para tener claro el segundo mandamiento: Conozca su materia.

3. Con poco conocimiento e inters usted podr ser un profesor malo o bien mediocre. El caso no es muy comn, admito, pero tampoco es raro: muchos de nosotros conocimos profesores que saban sus materias, mas no eran capaces de establecer contacto con sus alumnos.

Tenga inters por su materia.Conozca su materia.

Para ser buen profesor

usted debe conocer su materia y

tener inters por ella.

Muchos de nosotros conocimos profesores que saban sus materias, mas no eran capaces de establecer contacto con sus alumnos

sigue Pg. 29

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Para que el ensear por parte de uno resulte un aprender por parte del otro, debe haber una especie de contacto o conexin entre profesor y alumno: el profesor debe ser capaz de percibir la posicin del alumno y de asumir la causa de este. De ah el prximo mandamiento: Procure leer el semblante de sus alumnos, procure satisfacer sus expectativas y dificultades, pngase en el lugar de ellos.

4. Las tres reglas anteriores contienen la esencia de una buena enseanza, estas forman juntas una especie de condicin necesaria y suficiente. Si tiene inters y conocimiento, y es capaz de percibir el punto de vista del alumno, usted ya es un buen profesor; luego se convertir en uno mejor, slo precisa de experiencia.

La experiencia es necesaria, experiencia prctica para ponerla a la par con las interrelaciones entre el profesor y los alumnos en la sala de clases, y para

familiarizarlos tan ntimamente y personalmente, cuanto sea posible, con el proceso de adquisicin de nuevas informaciones y habilidades, un proceso que tiene muchos y variados aspectos: aprendizaje, descubrimiento, invencin y comprensin. Los psiclogos han hecho trabajos experimentales muy importantes y han emitido algunas opiniones tericas interesantes sobre el proceso de aprendizaje. Tales experiencias y opiniones pueden servir como una base estimulante para un profesor esencialmente receptivo, mas ellas an no maduran lo suficiente (y no madurarn por un buen tiempo, creo yo) para su uso inmediato y prctico en aquellas fases de instruccin que nos conciernen aqu. En su trabajo diario, el profesor debe basarse, primero y antes que todo, en su propia experiencia y en su propio juicio.

Basndome en medio siglo de experiencia en investigacin y enseanza, y de reflexin muy

D a sus alumnos no solo

informacin sino tambin

actitudes de trabajo

metdico

Procure leer el semblante de sus alumnos pngase en el lugar de ellos

En su trabajo diario, el profesor debe bajarse, primero y antes que todo, en su propia experiencia y en su propio juicio.

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cuidadosa, presento ac, para consideracin del lector, algunos puntos sobre el proceso de aprendizaje, los cuales considero como los ms importantes para el uso en la sala de clases.

Ya dije repetidas veces que el aprendizaje activo es preferible al aprendizaje pasivo, meramente receptivo. Cuanto ms activo, mejor es el aprendizaje: Comprenda que la mejor manera de aprender alguna cosa es descubrirla pot usted mismo.

De hecho, en una situacin ideal, el profesor sera solamente una especie de partera espiritual, l dara oportunidad a los alumnos para descubrir por s mismos las cosas a ser aprendidas. Este ideal es difcilmente alcanzado en la prctica, sobre todo por falta de tiempo. Con todo, un ideal inalcanzable puede guiarnos indicndonos la direccin correcta: nadie alcanz todava la estrella polar, pero muchas personas encontraron un rumbo verdadero guindose por ella.

5. El conocimiento consiste en parte de informacin y en parte de know-how. Know-how es destreza; es la habilidad para lidiar con informaciones, y usarlas para un propsito dado; know-how puede ser descrito como un conjunto de actitudes mentales apropiadas; know-how es, en el ltimo anlisis, la habilidad para trabajar metdicamente.

En matemtica, know-how es la habilidad para resolver problemas y construir demostraciones, adems de examinar crticamente estas soluciones y demostraciones. En matemtica, know-how es mucho ms importante que la mera posesin de informacin.

Por lo tanto, el mandamiento siguiente es de especial importancia para los profesores de Matemticas: D a sus alumnos no solo informacin, sino ms know-how, actitudes mentales o el hbito del trabajo metdico.

Ya que el know-how es ms importante en matemticas que la informacin, la manera

como usted ensea puede ser ms importante en las clases de Matemticas que aquello que usted ensea.

Hgalos aprender a tener plpitos.Hgalos aprender a demostrar.

6. Primero conjeture, despus pruebe: as procede el descubrimiento en la mayora de los casos. Usted debera saber esto (es posible por su propia experiencia), y debera saber, tambin, que el profesor de Matemtica tiene excelentes oportunidades para demostrar el papel de la conjetura en el proceso de descubrimiento, as imprime en sus alumnos una actitud mental fundamentalmente importante. Este ltimo punto no es tan ampliamente conocido como debera ser y, desafortunadamente, el espacio aqu disponible es insuficiente para discutirlo en detalles. Aun as, deseo que usted insista con sus alumnos al respecto: Hgalos aprender a tener plpitos.

Alumnos ignorantes y descuidados probablemente van a tener plpitos rudimentarios. Los plpitos que nosotros deseamos estimular, naturalmente, no son los rudimentarios, sino los ms educados o razonables. Plpitos razonables se basan en el uso juicioso de la evidencia intuitiva de la analoga y engloban, en el ltimo anlisis, todos los razonamientos de raciocinio plausible que desempean un papel en el mtodo cientfico.

7. La matemtica es una buena escuela de raciocinio plausible.

En matemtica, know-how es la habilidad para

resolver problemas y construir

demostraciones, adems de

examinarlos crticamente.

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Esta afirmacin resume la opinin subyacente a la regla anterior, suena poco comn y es de origen muy reciente.

La Matemtica es una buena escuela para el raciocinio demostrativo. Esta afirmacin suena muy familiar. Incluso algunas formas de esta son probablemente casi tan viejas como la propia Matemtica. De hecho, mucho ms es verdad; Matemtica tiene casi el mismo significado que raciocinio demostrativo, el cual est presente en las ciencias en la medida en que sus conceptos se elevan a un nivel lgico-matemtico suficientemente abstracto y definido. Bajo este alto nivel no hay lugar para raciocinio verdaderamente demostrativo (el cual no tiene lugar, por ejemplo, en las tareas diarias). Aun as (es necesario discutir tal punto, tan ampliamente aceptado), los profesores de Matemtica deben colocar a sus alumnos, salvo los de clases ms elementales, en contacto con el raciocinio demostrativo: Hgalos aprender a demostrar.

8. Know-how es la parte ms valiosa del conocimiento matemtico, mucho ms valiosa que la mera posesin de informacin. Pero

Deje que sus alumnos

descubran por si mismos los secretos de la matemtica.

cmo debemos ensear know-how? Los alumnos solo pueden aprender a travs de imitacin y prctica.

Cuando usted presente la solucin de un problema, enfatice convenientemente los aspectos instructivos de la solucin. Un aspecto es instructivo si merece imitacin; esto es, si puede ser usado no solamente en la solucin del presente problema, sino tambin en la solucin de otros problemas cuanto ms sea usado, ms instructivo ser-. Enfatice los aspectos instructivos no solo alabndolos (lo que podra causar efecto contrario en algunos alumnos), sino a travs de su comportamiento (un poco de dramatizacin est muy bien si usted tiene una pizca de talento teatral). Un aspecto bien enfatizado puede convertir su solucin en una solucin modelo, en un patrn marcante; imitando los alumnos resolvern muchos otros problemas. De ah la regla: Busque, en el problema que est abordando, aspectos que puedan ser tiles en los problemas que vendrn. Procure descubrir el modelo general que est por detrs de la presente situacin concreta.

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9. Me gustara indicar aqu un pequeo truco que es fcil de aprender y que todo profesor debera conocer. Cuando usted comience a discutir un problema, deje que sus alumnos adivinen la solucin. El alumno que concibe un plpito- o, lo mismo, el que tenga anunciado su plpito- se empea, tiene que seguir el desarrollo de la solucin para ver si su plpito es cierto o no. l no puede permanecer desatento.

Este es un caso muy especial de la regla siguiente que tiene puntos en comn con las reglas 4 y 6: No revele el secreto de una vez. Deje que los alumnos tengan plpitos. Djelos descubrir por s mismos en la medid de lo posible.

10.Un alumno presenta un largo clculo que ocupa varias lneas. Mirando la ltima lnea, usted ve que el clculo est errado, pero abstngase de decir eso. Prefiera acompaar al alumno en el clculo, lnea por lnea. Usted comenz bien; su primera lnea est correcta. La lnea siguiente

tambin est correcta, usted hizo esto y aquello. La prxima lnea est buena. Ahora, Qu halla usted en esta lnea? El engao est en aquella lnea y, si el alumno descubre el error por s mismo, tiene una gran oportunidad de aprender algo. Si, en cambio, usted dice directamente: Esto est errado, el alumno puede ofenderse y, entonces, no escuchar lo que le diga despus. Y si dice: Esto est errado, en todo instante, el alumno lo odiar a usted y a la matemtica, y todos sus esfuerzos estarn perdidos con relacin a l.

Evite decir: Usted est errado. En vez de eso, si es posible, diga: Usted est bien, pero Si procede as no es un hipcrita, es solamente humano. Que usted deba proceder as est implcitamente contenido en la regla 4. As, nosotros podemos extraer el consejo ms explcito: Sugiera, no los haga aprender a la fuerza.

djelos descubrir por s mismos en la medida de lo posible.no los haga aprender a la fuerza.

Sugiera, no los haga

aprender a la fuerza.

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Los mandamientos escritos arriba son simples y bastante obvios, mas no siempre es fcil seguirlos da a da. Y para los profesores tambin no siempre es fcil seguirlos; por ejemplo, los estudios universitarios del profesor ayudan muy poco a obedecer estos mandamientos.

Y as llegamos a la cuestin penosa del currculo para futuros profesores de la escuela secundaria. No tengo espacio, tiempo, medios (o coraje) suficientes para tratar este asunto adecuadamente; sin embargo, hay algunos puntos que no puedo omitir. Todos ellos tienen relacin con profesores de Matemtica que ensean lgebra, Geometra o Trigonometra (muy raramente alguna materia ms avanzada) en la escuela secundaria. No me preocupar por las matemticas generales o asuntos de ese tipo en los cuales hay un conjunto de generalidades, pero muy poca Matemtica.

No puedo dejar de citar una frase que escuch a un participante de mis clases: El futuro profesor no es bien tratado por el Departamento de Matemticas ni por el Departamento de Educacin. El Departamento de Matemticas nos ofrece un bife duro de masticar y el Departamento de Educacin nos ofrece sopa rala,

sin ninguna carne. Encontr varios profesores que expresaron la misma opinin, tal vez de modo ms tmido y menos contundente. Cules son los orgenes de esas opiniones?

Todo el mundo conoce casos en los que los cursos de lgebra o Geometra son enseados por un profesor que conoce menos del asunto de lo que se supone l debera exigir de sus alumnos. Y esto puede suceder no slo si el instructor en cuestin es el profesor particular o el profesor de economa domstica, sino tambin el profesor de Matemtica. Cun excepcionales o difundidos son tales casos, no me gustara discutirlo.

Sucede tambin, ms frecuentemente de lo que sera deseado, que un profesor de Matemtica capaz y bien intencionado no conozca lo suficiente el background de Matemtica del nivel secundario para satisfacer la curiosidad o al menos entender las reacciones de sus mejores alumnos (algunos puntos que deberan ser -pero no son- generalmente conocidos: decimales infinitos, nmeros irracionales, divisibilidad, primeras pruebas de la geometra slida). Por qu ocurre esto?

El futuro profesor deja la escuela

Sobre el currculum para futuros profesores

El profesor es exhortado a hacer cosas bonitas pero

hay en su currculo oportunidad de

adquirir know-how?

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un seminario sobre resolucin de problemas para profesores, en el cual el conocimiento requerido es de nivel secundario y el grado de dificultad de los problemas a ser resueltos est apenas un poco arriba del nivel de la escuela secundaria.

Tal seminario puede tener, si se dirige adecuadamente, varios efectos buenos. En primer lugar, los participantes tienen una oportunidad de adquirir un conocimiento slido de la Matemtica de nivel secundario. Conocimiento real para ser usado pronto y no adquirido por mera memorizacin, sino a travs de la aplicacin en problemas interesantes. Entonces, el participante puede adquirir algn know-how, cierta habilidad en lidiar con Matemtica de nivel secundario

y algn discernimiento de la esencia de la resolucin de problemas.

Adems, yo us mi seminario para dar a los participantes alguna prctica en explicar problemas y dirigir sus soluciones; en realidad, una oportunidad para practicar la enseanza, para la cual, en la mayora de los currculos usuales, no hay suficientes oportunidades. Esto es hecho de la siguiente manera: Al comenzar una clase prctica, cada participante recibe un problema diferente (solamente uno para cada uno), que debe ser resuelto en aquella clase; l no debe comunicarse con sus compaeros, pero podr recibir alguna ayuda de su instructor.

Entre esa clase y la siguiente,

Polya creia imprescindible

un seminario para profesores

en donde se combinen

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secundaria, muy comnmente, sin ningn conocimiento o con un conocimiento deficiente de la matemtica de nivel secundario. Dnde y cundo debera aprender l la Matemtica de nivel secundario?

l sigue un curso ofrecido por el Departamento de Matemtica sobre tpicos ms avanzados (el anlisis, la integracin, la derivacin del lgebra lineal). Consecuentemente tiene mucha dificultad para adaptarse y aprobar en el curso, porque su conocimiento de Matemtica de nivel secundario es inadecuado, asimismo, no consigue relacionar el curso con su Matemtica de nivel secundario. Por otro lado, recibe un curso ofrecido por el Departamento de Educacin sobre mtodos de enseanza; ste es ofrecido de acuerdo con el principio de que el Departamento de Educacin ensea solamente mtodos, no contenidos. Nuestro futuro profesor puede quedar con la impresin equivocada de que los mtodos de enseanza estn esencialmente relacionados con conocimientos inadecuados, o ignorancia de contenidos. De cualquier forma, su conocimiento de Matemtica del nivel secundario permanece apartado.

Llego, ahora, a un punto que toca ms cerca de mi corazn. El profesor es exhortado a hacer muchas cosas bonitas: l debe dar a sus alumnos no slo informaciones ms know-how, l debe incrementar su originalidad y trabajo creativo, debe hacerlos experimentar la tensin y el triunfo de descubrir. Pero hace lo propio el profesor? Hay en su currculo alguna oportunidad de trabajo independiente en Matemtica, de adquirir el know-how que se espera que trasmita a sus alumnos? La respuesta es no. Hasta donde yo s, no hay universidad que d al profesor oportunidad decente de desenvolver su know-how, su propia habilidad en Matemtica.

Algunos puntos que deberan ser pero no son- generalmente conocidos: decimales infinitos, nmeros irracionales, divisibilidad, primeras pruebas de geometra slida. Dnde y cundo debera aprender l la Matemtica de nivel secundario?un seminario sobre resolucin de problemas para profesores

Reivindico el crdito por haber introducido el remedio ms obvio para esos defectos aun ms obvios:

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clases.

As termina el artculo del maestro Polya, que espero les haya dado muchas luces. Como un hombre, matemticamente puro, que durante muchos aos de su vida se dedic a reentrenar profesores de matemtica secundaria, supo comprender cmo era la educacin y escribi estos Diez mandamientos que son tan simples, como l mismo dice, y tan obvios que todos nosotros los conocemos pero nunca los practicamos.

Csar Carranza

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(*) Artculo publicado en el Journal of Education, University of British Columbia, Vancouver and Victoria (3) 1959, pp. 61-69. Reproducido en los Collected Papers de George Polya, vol. IV, pp. 525 - 533, MIT Press 1984.

cada participante debe volver a ver, completar, y, si es posible, simplificar su solucin, procurar alguna otra manera de abordar el problema para encontrar la solucin y as seguir adelante. l debe hacer tambin un plan de clase para presentar su problema y su solucin a la clase. Asimismo, puede consultar al instructor sobre cualquiera de los puntos enunciados arriba. Entonces, en la clase prctica siguiente, los participantes formarn grupos de discusin; cada grupo compuesto de cuatro miembros seleccionados, tanto como sea posible, de acuerdo con sus afinidades. Un miembro asume el papel del profesor y los otros tres el papel de los alumnos. El profesor presenta su problema a los alumnos e intenta guiarlos a la solucin, de acuerdo con la regla

nueve y los otros mandamientos. Cuando la solucin es obtenida se sigue una pequea crtica amistosa. Despus, otro miembro toma el lugar del profesor, presenta su problema y el procedimiento se repite hasta que todos hayan tenido su oportunidad. Algunos problemas particularmente interesantes o presentaciones particularmente buenas deben ser mostrados a todos los alumnos de la clase y despus discutidos.

La resolucin de problemas por grupos de discusin es muy popular y tengo la impresin de que los seminarios, como un todo, constituyen un suceso. Los participantes son profesores con experiencia y muchos de ellos sienten que su participacin les da ideas tiles para ofrecer sus propias

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MATEMATICAS INGENIOSAS

Haca pocas horas que viajbamos sin detenernos cuando nos ocurri una aventura digna de ser resaltada, en que mi compaero Beremiz, con gran talento, puso en prctica sus habilidades de eximio cultivador del Algebra.

Cerca de un viejo albergue de caravanas medio abandonado, vimos tres hombres que discutan acaloradamente junto a un hato de camellos.

Entre gritos e improperios, en plena discusin, braceando como posesos, se oan exclamaciones:

- Que no puede ser!

- Es un robo!

- Pues yo no estoy de acuerdo!

El inteligente Beremiz procur informarse de lo que discutan.

- Somos hermanos, explic el ms viejo, y recibimos como herencia esos 35 camellos. Segn la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad, a mi hermano Hamed Namir una tercera parte y a Harim, el ms joven, solo la novena parte. No sabemos, sin embargo,

cmo efectuar la particin y a cada reparto propuesto por cada uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento, nos ha ofrecido un resultado aceptable. Si la mitad de 35 es 17 y medio, si la tercera parte y tambin la novena de dicha cantidad tampoco son exactas cmo proceder a tal particin?

- Muy sencillo, dijo el Hombre que Calculaba. Yo me comprometo a hacer con justicia este reparto, mas antes permtanme que a una a esos 35 camellos de la herencia este esplndido animal que nos trajo aqu en buena hora.

En este punto intervine en la cuestin.

- Cmo voy a permitir semejante locura? Cmo vamos a seguir el viaje si nos quedamos sin el camello?

- No te preocupes, bagdal, me dijo en voz baja Beremiz. S muy bien lo que estoy haciendo. Cdeme tu camello y vers a que conclusin llegamos.

Y tal fue el tono de seguridad con que lo dijo que le entregu sin el menor titubeo mi bello jamal,

Qu lectura le gust ms cuando era alumno? Esa fue la pregunta que hizo ARISTAS a varios profesores de matemtica. La respuesta fue casi unnime: Los 35 camellos de Malba Tahan y las vacas pastando en el prado de Perelman. Averige el por qu deleitndose con el ingenio, sencillez y agudeza de estas lecturas clsicas.

CAPITULO III: Donde se narra la singular aventura de los treinta y cinco camellos que tenan que ser repartidos entre tres hermanos rabes. Como Beremiz Samir, el Hombre que Calculaba, efectu un reparto que pareca imposible, dejando plenamente satisfechos a los tres querellantes. El lucro inesperado que obtuvimos con la transaccin(*) .

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que inmediatamente, pas a incrementar la cfila que deba ser repartida entre los tres herederos.

- Amigos mos, dijo, voy a hacer la divisin justa y exacta de los camellos, que como ahora ven son 36.

Y volvindose hacia el ms viejo de los hermanos, habl as:

- Tendras que recibir, amigo mo, la mitad de 35, esto es: 17 y medio. Pues bien, recibirs la mitad de 36 y, por tanto, 18. Nada tienes que reclamar puesto que sales ganando con esta divisin.

Y dirigindose al segundo heredero, continu:

- Y t, Hamed, tendras que recibir un tercio de 35, es decir 11 y poco ms. Recibirs un tercio de 36, esto es, 12. No podrs protestar, pues t tambin sales ganando en la divisin.

Y por fin dijo al ms joven:

- Y t, joven Harim Namur, segn la ltima voluntad de tu padre, tendras que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte del otro. Sin embargo, te dar la novena parte de 36 o sea, 4. Tu ganancia ser tambin notable y bien podrs agradecerme el resultado.

Y concluy con la mayor seguridad:

- Por esta ventajosa divisin que a todos ha favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado 18 + 12 + 4 de 34 camellos. De los 36 camellos sobran por tanto dos. Uno, como saben, pertenece al bagdal, mi amigo y compaero; otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfaccin de todos el complicado problema de la herencia.

- Eres inteligente, extranjero, exclam el ms viejo de los tres hermanos, y aceptamos tu divisin con la seguridad que fue hecha con justicia y equidad.

Y el astuto Beremiz el Hombre que Calculaba- tom posesin de uno de los ms bellos del hato, y me dijo entregndome por la rienda el animal que me perteneca:

- Ahora podrs, querido amigo, continuar el viaje en tu camello, manso y seguro. Tengo otro para mi especial servicio.

Y seguimos camino hacia Bagdad.

Los babilnicos y hindes fueron lios primeros en conocer la divisin

(*) Extrado el Libro de Malba Tahan, el hombre que calculaba. Mxico, Noriega Editores, 2005, pp. 21-22

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Problema

Al estudiar las ciencias, los ejercicios son ms tiles que las reglas, escriba Newton en su Aritmtica Universal, y acompaaba las indicaciones tericas con una serie de ejemplos. Entre ellos hallamos el de los toros que pastan en el prado, que gener un tipo especfico de problemas semejantes a ste:

La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comeran en 24 das, y 30, en 60 das. Cuntas vacas se comeran toda la hierba en 96 das?.

Este problema sirvi de argumento para un cuento humorstico, que recuerda el Maestro particular de Chjov. Dos adultos, familiares del escolar a quien haban encargado resolver este problema, se esforzaban intilmente por hallar su solucin y se asombraban:

- Qu extrao es el resultado! dijo uno -. Si en 24 das 70 vacas se comen la hierba, entonces, cuntas vacas se la comern en 96 das? Claro que 1/4 de 70, es decir, 17 1/2 vacas Este es el primer absurdo! El segundo todava ms extrao, es que si 30 vacas se comen la hierba en 60 das, en 96 se la comern 18 3/4 vacas. Adems, si 70 vacas se comen la hierba en 24 das, 30 vacas emplean en ello 56 das, y no 60, como afirma el problema.

- Pero tiene usted en cuenta que la hierba crece sin cesar? pregunt otro.

La observacin era razonable; la hierba crece incesantemente, circunstancia que no puede echarse en olvido, pues en ese caso no slo no puede resolverse el problema, sino que sus mismas condiciones parecern contradictorias.

Cmo debe resolverse pues, el problema?

Solucin

Introduzcamos tambin aqu una segunda incgnita, que representar el crecimiento diario de la hierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una jornada hay un crecimiento de y; en 24 das ser 24y. Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 das las vacas se comern

1 + 24y.

En una jornada las 70 vacas comern

1 24y,

24+

y una vaca (de las 70 vacas) comer

1 24y .24.70+

Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas acaban con toda la hierba del prado en 60 das, una

vaca comer en un da 1 60y30. 60+

.

Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en un solo da es igual para los dos rebaos. Por eso

1 24y 1 60y24.70 30 . 60+ += , de donde

Cuando se halla y (medida de crecimiento) es ya fcil determinar qu parte de la reserva inicial se come una vaca al da.

11 24 .1 24y 1480 .24 .70 24 . 70 1600

++ = =

Por ltimo establecemos la ecuacin para la solucin definitiva del problema: si el nmero de vacas es x, entonces:

11 96 . 1480 .96x 1600

+=

de donde x = 20.

20 vacas se comeran toda la hierba en 96 das.

()Extrado del libro de Yakov Perelman, Algebra recreativa. Lima, Editorial Latinoamericana, 1988, pp. 58 60.

LAS VACAS EN EL PRADO()

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1. El diagrama muestra una parte del centro de una ciudad de la costa norte. Todas estas calles permiten slo un sentido de desplazamiento de los vehculos, el cual es indicado por las flechas. Los nmeros o letras junto a cada flecha indican el nmero de vehculos que se desplazaron por cada calle en cierto da.

Asumiendo que ningn vehculo se ha detenido o estacionado en estas calles, y que al inicio del da no haba vehculos en ninguna de estas calles, calcula el valor de M.

A) 30 B) 200 C) 250 D) 350 E) 600

SolucinSe sabe que al inicio del da no haba ningn vehculo, y como ningn vehculo se ha de-tenido o estacionado en las calles, entonces tampoco hubo vehculos al final del da, es decir, el nmero de vehculos que han en-trado al centro de la ciudad debe ser igual al nmero de vehculos que han salido.

Ahora, como el nmero de vehculos que han entrado es:

200 + 180 + 70 + 200 = 650,

y el nmero de vehculos que han salido es:

400 + 20 + 30 + M = 450 + M,

entonces 650 = 450 + M, de donde M = 200.

Clave B

A, B y C juegan cartas. Cada uno comienza y finaliza con una cantidad entera de nuevos soles. Al inicio del juego, A tena 3 nuevos soles por cada 5 nuevos soles que B tena,

II OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA

Jorge Tipe Villanueva

Las olimpiadas matemticas no son competencias que se caracterizan por el uso de artificios para resolver problemas sino por el uso creativo de conceptos matemticos bsicos. Jorge Tipe Villanueva ha representado a nuestro pas en estas competencias obteniendo tres medallas. Este ao ha publicado su primer libro, fruto de su pasin por resolver problemas de olimpiadas. Por eso, ARIS-TAS lo felicita pblicamente y ofrece a sus lectores un extracto del mismo.

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peor ambos terminan con la misma cantidad de dinero. Por otro lado, C tena, al inicio del juego, la misma cantidad de dinero que A te-na, pero finaliza con la misma cantidad de dinero con la que B finaliza. Cul es la me-nor cantidad de nuevos soles que pudo haber perdido B?

SolucinSupongamos que al inicio A tuvo 3k soles (k es un entero positivo) entonces B tuvo 5k soles y C, 3k soles. De los da