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Trino Grau Fernández Trino Grau Fernández

Continuidad de una función en un intervalo Continuidad de una función en un intervalo abierto (a, b) Continuidad de una función en un intervalo abierto (a, b)


Continuidad de una función en un intervalo cerrado [Continuidad de una función en un intervalo cerrado [ ] ]


Propiedades de la funciones en un intervalo Teorema de Bolzano. Teorema de las raícesTeorema de Bolzano. Teorema de las raíces

- Si f es una función continua en el intervalo [a,b]

- Toma valores de signo opuesto en los extremos f(a) y f(b)

- Entonces existe al menos una raíz de f en (a,b), es decir, existe un punto c del intervalo (a,b) en el que f(c) =0.

*** Observa la figura, para que ocurra esto la gráfica de la función corta al eje OX, pasando de un punto situado por debajo de él a otro que se encuentra por encima, o viceversa.

EjemplosEjemplos


Teorema del máximo-mínimo. Teorema de WeierstrassTeorema del máximo-mínimo. Teorema de Weierstrass


Continuidad y derivabilidad en un punto Derivabilidad de una función en un puntoDerivabilidad de una función en un punto


EjemplosEjemplos


Propiedades de las funciones en un intervalo Teorema de RolleTeorema de Rolle

Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:

- Es continua en el intervalo cerrado [a, b]

- Es derivable en el intervalo abierto (a, b)

- Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)

Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.

EjemplosEjemplos

1 Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]

- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.

- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.

- f(1) = 8; f(3) = 8

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.

Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2

El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3] .


Teorema del valor medio o de Lagrange

EjemplosEjemplos


Teorema de CauchyTeorema de Cauchy

Raíces de una ecuación o función. Existencia: teoremas de Bolzano y Rolle.Raíces de una ecuación o función. Existencia: teoremas de Bolzano y Rolle.“Entre cada dos raíces de una función derivable existe al menos una raíz de la función derivada”“Entre cada dos raíces de una función derivable existe al menos una raíz de la función derivada” •• Si f´ no posee raíces reales, el número máximo de raíces de f será uno. Si f´ no posee raíces reales, el número máximo de raíces de f será uno. •• Si f´ sólo posee una raíz real, en número máximo de raíces será dos.Si f´ sólo posee una raíz real, en número máximo de raíces será dos.y así sucesivamente. La función puede tener como máximo una raíz más que la derivada. y así sucesivamente. La función puede tener como máximo una raíz más que la derivada. Demostrar que la función f(x) = x Demostrar que la función f(x) = x 33 + x + 1 tiene como máximo una raíz real. + x + 1 tiene como máximo una raíz real. Derivamos f´(x) = 3x Derivamos f´(x) = 3x 22+ 1 + 1 3x 3x22+ 1 = 0 + 1 = 0 x x 22 = -1/3 = -1/3 f´(x) no tiene raíces reales, f´(x) no tiene raíces reales, la función f(x) = x la función f(x) = x 33 + x + 1 no tiene más de una raíz real. + x + 1 no tiene más de una raíz real.

Derivadas aplicaciones: monotonía y curvatura CurvaturaCurvatura


EjemplosEjemplos

Máximos y mínimosMáximos y mínimos

Concavidad y convexidadConcavidad y convexidad


Puntos de inflexiónPuntos de inflexión

Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión.


Aplicaciones de las derivadas. Optimización Ejercicios de optimizaciónEjercicios de optimización


Optimizar las dimensiones de un rectánguloOptimizar las dimensiones de un rectángulo


Optimizar las dimensiones de un cilindroOptimizar las dimensiones de un cilindro

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