RAZONES TRIGONOMERICAS

DE UN ANGULO EN

POSICION NORMAL

Los ángulos resultan muy importantes en la navegación y en la agrimensura. La relación entre los ángulos y los elementos de una circunferencia como sus cuerdas, tuvo origen en la antigua astronomía, del astrónomo Hiparco. Esto dio paso a la trigonometría, que etimológicamente significa “medida de triángulos”

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Tenemos el ángulo trigonométrico AOB y un sistema de coordenadas rectangulares. Si hacemos coincidir el vértice O del ángulo con el origen de coordenadas y el lado inicial del ángulo(rayo OA) con el semieje positivo de las abscisas, obtendremos un ángulo que se denomina ángulo en posición normal.

RECUERDALos ejes coordenadas determinan

en el plano cuatro cuadrantes

donde:Q(I) primer cuadranteQ(II) segundo cuadranteQ(III) tercer cuadranteQ(IV) cuarto cuadrante

Un ángulo en posición normal es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, su vértice con el origen de las coordenadas cartesianas y su lado terminal puede pasar por cualquier punto P (x ; y) del plano.

Observamos la grafica:• El ángulo θ es un ángulo positivo en

posición normal del primer cuadrante, pues el sentido del ángulo ɵ es antihorario.

• El ángulo negativo α es un ángulo negativo en posición normal del tercer cuadrante, pues el sentido del ángulo α de horario.

RECUERDA

Ángulo positivoEs aquel ángulo que genera por una rotación el sentido antihorario.

Ángulo negativoEs aquel ángulo que se genera por una rotación en sentido horario.

Observamos en ángulo θ en posición normal, cuyo lado terminal pasa por el punto P(x;y).

Las razones trigonométricas del ángulo θ en posición normal se definen como:

Sen(θ )=

Cos(θ)=

Tg(θ ) =

Csc(θ)=

Sec(θ)=

Ctg(θ )=

DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Donde r es la distancia del punto P(x ;y) al origen de coordenadas, tal que r2=x2 + y2

Determinar el seno, el coseno y la tangente de un ángulo α en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto P(-4;3).

Resolución:

i. Como P(-4;3)es un punto del lado terminal, tenemos que: x=-4 ; y=3

ii. Calculamos el valor de r:

r2=x2 + y2 r2=(-4)2 +(3)2

r2=16 + 9 r=5u ; pues r > 0

iii. Determinamos el seno , el coseno y la tangente de α sabiendo que:

iv. Sen(α)= ; cos(α)=; tg(α)=

v. Al remplazar los valores obtenidos en i. y en ii., tenemos

vi. sen(α )= ; cos(α )= - ; tg(α )=

Ejemplo 1:

Determinar la cotangente, la secante y la cosecante de un ángulo en posición normal, tal que un punto P (x ;y) de su lado terminal cuya abscisa es 15, dista el origen de coordenadas 17 unidades.

Resolución:

i. Calculamos el valor de y :r2=x2 +y2(17)2 =152 + y2

0= y2-64 (y+8)(y-8)=0 luego, y=8 v y=-8

ii. De i. observamos que hay dos posibilidades para la posición del punto P( ver grafico), por lo que tenemos dos ángulos en posición normal, a1 y a2, que cumplen con la condición del problema.

iii. Determinamos las razones trigonométricas pedidas para α2.

Tenemos por dato que x=15 y r =17, por i. que y=-8, luego:

Ctg(α 2)= ctg(α 2)=-

Sec(α 2)= sec(α 2)=

Csc(a2)= csc(α 2)=-

Ejemplo 2:

s Las coordenadas de un punto terminal de un ángulo en posición normal determinan el signo de las razones trigonométricas de dicho ángulo.EN EL PRIMER CUADRANTE(QI)Dado θ un ángulo en posición normal del segundo cuadrante cuyo lado terminal pasa por el punto P(x ; y), tenemos que :x>0 , y>0 , r>0Luego:Todas las RT. (θ )son positivas

EN EL SEGUNDO CUADRANTE (QII)Dado θ un ángulo en posición normal del segundo cuadrante cuyo lado terminal pasa por el punto P(x ;y), tenemos que:x<0 , y>0 , r>0Luego:Sen. (θ ) y Csc(θ ) son positivas.cos(θ ) y Sec(θ ) son negativas.tg(θ ) y ctg(θ ) son negativas

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

EN EL TERCER CUADRANTE(QIII)

Dado θ un ángulo un posición normal de cuarto cuadrante cuyo lado terminal pasa por el punto P(x ;y), tenemos que:

X<0 , y<0 , r>0

Luego:sen (θ ) y csc (θ ) son positivascos (θ ) y sec (θ ) son positivastg (θ ) y ctg (θ ) son positivas

EN EL CUARTO CUADRANTE (QIV)

Dado θ un ángulo en posición normal del cuarto cuadrante cuyo lado terminal pasa por el punto P(x ;y), tenemos que:

x>0 , y<0 , r>0

Luego:sen (θ ) y csc (θ ) son negativascos (θ ) y sec (θ ) son positivastg (θ ) y ctg (θ ) son negativas.

Ejemplo:Si αE Q(II) y βE (Q(III), determinar el signo de las siguientes expresiones:

a. K=cos(α + β) b. sen(β - α).cos(β)

Resolución:

b. Para determinar el signo de la expresión K, debemos conocer los signos de cos(α + β) y sen(α).

i. ComoαE Q(II), el sen(α) es positivo

ii. Como αE Q(II) →π/2 <α˂π 1 ; 2

Al sumar miembro a miembro las expresiones 1 y 2 tenemos:

Es decir() puede ser un ángulo de Q(IV) o del Q(I), por lo tanto cos() es positivo

iii. Luego, de i. y iii. Tenemos: K=cos(.sen()

(+) (+)

b. Para determinar el signo de la expresión Q, debemos conocer los signos de sen() y cos().

i. .

ii. 1

2

Al sumar miembro a miembro las expresiones 1 y 2 tenemos:

Es decir,() puede ser un ángulo de Q(I) o del Q(II), por lo tanto, sen() es positivo.

iii. Luego , de i. y ii. tenemos: .

(+) (-)

Ejercicios de Aplicación:1.Si el punto P(-3;4) pertenece al lado final del ángulo “”en posición normal. Calcular 6 razones trigonométricas del ángulo “”.

RESOLUCIÓN: Grafiquemos de acuerdo

al enunciado:·Donde: Abscisa : x=-3 Abscisa : y=4 Radio Vector : r=5·Luego:

y 4

a

0x-3

r

P(-3;4)

2. ¿En qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de los siguientes ángulos?

a. 34°

34°

II C

III C

I C

IV C

Rpta:I Cuadrante

b. -400

II C

III C

I C

IV C

-400

Rpta:IV Cuadrante

2.𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝜃 ) ,cos (𝜃 ) 𝑦 𝑡𝑔 (𝜃 )𝑝𝑎𝑟𝑎𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝜃𝑞𝑢𝑒𝑠𝑒𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 .

𝜃

𝑃5−3

−4

3.

𝜃

𝑃17

8

−15

4.𝑆𝑖𝛼∈𝑄 ( 𝐼𝐼 ) 𝑦 𝛽∈𝑄 ( 𝐼𝐼𝐼 ) ,𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑒𝑙𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑑𝑒 :

++ +

+

+

+

+

+

-

--

-