Finalmente, cuando desaparece el efecto de almacenaje, CSD = 0, todas las lineas correspondientes a un valor de S se juntan en una linea horizontal (aproximadamente), correspondiente a CSD =O. De acuerdo con la forma de la curva, el tiempo al cual termina el efecto de almacenaje es aquel en el cual para un valor de CSD dado, la curva identificada por valor de S se une con las de mas curvas para el mismo valor de Spero con diferentes valores de CSD, en una curva casi horizontal identificada por CSD =0; normalmente esto ocurre cicio y medio despues de que la curva se separa de la linea de pendiente igual a 1, este tiempo se conoce como tWbSD

Otra forma aproximada de encontrar twbs es:

twbsD =(60 + 3.5S) * CSD (6 .9)

donde twbsD es el tiempo adimensional correspondiente a twbs '

Cuando se necesita hacer un analisis del periodo de sobreflujo se requiere recurrir a las tecnicas de curvas tipo la cual se basa en usar cartas del tipodescrito antes.

6.2-. Analisis de Pruebas de Presion Afectadas por Sobreflujo

En muchas ocasiones la duraci6n de una prueba, bien sea de Draw Down 6 de restauraci6n , no es suficiente para que se presente la zona 2 (Zona MTR) en la cual se pueda aplicar los metodos vistos para analizar tales pruebas. Esto puede ser porque la duraci6n del efecto de sobreflujo es muy larga 0 porque la prueba fue muy corta . .

Algunas veces, la duraci6n de la prueba es corta a pesar de tener conciencia de que los datos van a estar afectadospor el efecto de sobreflujo, y en estos casos se habla de pruebas cortas.

En cualquiera de los dos casos anteriores, para interpretar pruebas en las que solo hay datos afectados por sobreflujo, la tecnica no puede S'3r la tradicional y es necesario utilizar tecnicas especiales conocidas como tecnicas de sobreflujo 0 de pruebas cortas.

Entre los metodos para interpretar pruebas de sobreflujo se tienen:

Tecnica de Russell Tecnica de Curvas tipo

- Ramey (Agarwal, Raghavan) McKimley

- Gringarten

- Bourdet

6.2.1-. Tecnica de Russell

Esta tecnica es aplicable a pruebas de restauraci6n de presi6n yes similar al metodo MDH .

l( 1 ) Se grafica ~i 1 - C-* I1f vs log ~t como se muestra en la figura 32 donde

~P =Pws - pwf,,\t=o

266

6t =tiempo de la prueba C =Constante que se obtiene por ensayo y error para que el grafico sea una linea recta , tal como

la muestra la curva de la figura siguiente.

i

Figura 32-. Tecnica de Russell para Interpretar Pruebas Cortas.

AI suponer valores iniciales para C, es posible tener las curvas (2) 0 (3); en el primer caso es porque el valore de C es muy pequeno y en el segundo porque es muy grande.

Una vez conseguido el valor de C que nos da la linea recta se obtiene k de

m = 162 .6 qJ1B y S de

Kh

S = 1.1 51 *[[ 1- ~~ 1 *~ + 3.23 - log J1~r!. l

C f).{ Ihr

es el intercepto de la linea recta con la ordenada, 0 sea cuando 6t =1 hr. donde [ I _ ~PI ! C* f).t Ihr

267

Russell propone que para elaborar el grafico, no se tenga en cuenta los datos de los tiempos iniciales, hasta cuando ~t =1 hora, pues estos son mas afectados por S que por el almacenaje.

6.2.2-. Metodos Basados en Curvas Tipo

Una curva tipo es un grafico de PDvs to. solucion de la ecuacion de difusividad cuando adem as de las condiciones de limite planteadas inicialmente (por ejemplo condicion de linea fuente) , se incluye la condicion de almacenaje. Los metodos basados en curvas tipo se apoyan en que un grafico de PDvs tD en papel log - log es igual a un grafico de ~P vs M tambien en papel log - log , simplemente que el primero esta desplazado vertical y horizontalmente con respecto al segundo, pues para un pozo dado en un yacimiento dado y una tasa de produccion tambien dada la presion adimensional es una constante multiplicada por ~P y el tiempo adimensional es otra constante multiplicada por ~t. EI grafico de ~P vs ~t se puede obtener con informacion de la prueba y al encontrar en la curva tipo, la curva que coincida con la obtenida con datos de la prueba , es posible obtener informacion K y S

Metodo de Ramey

Este metodo utiliza las curvas de tipo de Ramey que son un grafico de ~P vs ~t en papellog - log y que tienen como parametres CSD y S Su forma general es la que se esquematiza en la figura 33.

Como ya se dijo antes, una curva tipo en este caso muestra para tiempos iniciales una linea de pendiente 45C, y adem as la forma de la curva permite conocer el tiempo al cual term ina el efecto de almacenaje.

Como todas las curvas para diferentes valores de CSD presentan formas similares, es necesario conocer CSD para identificar la curva con la cual se pretende hacer coincidir la curva de ~P vs M

Una vez se consiga la coincidencia de las curvas se obtiene S y luego, como se vera mas adelante, se obtiene k.

EI valor de CSD se podria obtener aplicando las ecuaciones C = 144 Aw * g( (6 .3) s 5.615 p g

Cuando en el pozo hay liquido y gas, 0

C = Vw *C (6 .7)s 5.615

Cuando el pozo esta completamente Ilene con un solo fluido y

0.874 * Cs (6 .5)CSI) = 4> * C * h * r\~

268

- ..s...

t LogP

/ Logl _

Figura 33 -. Forma de las Curvas Tipo de Ramey

Sinembargo, no es recomendable calcular Cs de ecuaciones (6.3) 0 (6.5) sino de datos de la prueba de las siguiente manera:

De acuerdo can la ecuacion (6 .8) para los tiempos iniciales

(6 .8)

y aplicando las definiciones de Po y to se tiene

0.0~708Kh * (p _ p _)= P ql'- B wf f)I

2.64 * 10-4 k * /).{ - - ",- (- ,- 2 - - = ( f)

vJl'- .r ll"

0.00708kh * (p _ p ) = 2.64 *10-4 k * /).{ * rphCr.: ql'- B wf rpl'- Cr~ 0.874 *C,I

(p _ p)= ql'-B * 2.64 * 10-4 k * /).{ = * rpM! , }

I "f 0.00708Kh rpl'-([y.2 0.874 *C,

269

C = qB * 6t L ..

...: (6 .10) s 24 6P

Los valores de q, ~t Y~P son valores obtenidos en la prueba pero a tiempos iniciales, 0 sea cuando es aplicable la ecuacion (6 .8).

Una vez obtenido Cs, puede obtener CSD aplicando la ecuacion (6 .5).

EI procedimiento para usar las curvas tipo de Ramey es el siguiente:

- Elaborar un sistema coordenado similar al de las curvas tipo (Ia amplitud de los ciclos debe ser la misma)

=: - Graficar ~P vs M Cuando se trata de una prueba de flujo ~P = Pi - Pwf Y ~t es el periodo t *6t (duracion de la prueba) Cuando es una prueba de restauracion ~t = p Y ~P = t l, + 6t

P ws - PWr'L\t~O' donde tp es el tiempo de produccion, ~t es el tiempo de cierre Pws la presion de cierre a ~t y Pwf ,l\t~ O la presion al momenta de cerrar el pozo.

(' - De la parte recta del grafico ~P vs ~t (pendiente = 1) obtener ~P y 6t para calcular Cs de la ecuacion (6.10). Luego calcular CSD de la ecuacion (6 .5) .

Desplazar el papel de ~P vs ~t sobre la curva tipo (horizontal 0 vertical mente) manteniendo los ejes paralelos hasta encontrar la curva tipo identificada por CSD y luego siguiendo esta curva, desplazar el papel trazo hasta que se consiga coincidencia dei grafico ~P vs 6t con alguna curva de la familia de curvas identificadas por CSD para un 8 dado. EI valor de 8 que identifica la curva con la cual coincidio la curva de ~P vs ~t es el factor de dano. Por ejemplo, observando la figura 34 la curva punteada es la obtenida en el papel trazo como ~P vs ~t y el valor de CSD es CSD2; al lIevar esta curva a la carta de curvas tipo coincide con la curva de dano 8 2, correspondiente a la familiar de curvas CSD2

- Una vez obtenida la coincidencia de las curvas, y el valor de S, se escoge un punta conocido como punto de ajuste (Match Point), el cual esta caracterizado en las curvas tipo por PI) )MP ; y tn)MP yen la curva de ~P vs ~t por 6P)MP, 6t)~p; el punto puede ser cualquiera.

De la informacion que da el punta de ajuste se puede calcular Kh asi:

\ Pi) til' (6.11) kft = 0.0~708 6[>til'

qj.1 B KYsi se conoce h, se debe conocer para calcular CSD , se obtiene k. t

270

liP s

lip

Figura 34-. Proceso de Apareamiento de Curva de dP VS.dt con la Curva Tipo de Ramey

Cuando la carta de curvas tipo no posee la familia de curvas para el CSD del problema, esta familia se pude construir asi: para un S dado se calcula twbsD de ecuacion (6.9) y por este valor se levanta una vertical hasta cortar la linea de CSD =0 donde se unen todas las curvas para el S dado; de este punto se des plaza hacia el origen horizontalmente cicio y medio y por este punto se traza una linea de pendiente igual a 1. Las lineas para los diferentes danos se trazan paralelas a las lineas para un dano dado pero correspondiente a diferentes valores de CSD

Las curvas tipo de Ramey y se obtuvieron haciendo las siguientes suposiciones:

- Prueba de Draw Down a tasa constante y presion inicial estabilizada en todo el yacimiento . - Fluido ligeramente compresible y monofasico. - Yacimiento infinito y homogemeo. - Efecto de almacenaje y dano de formacion .

La explicaci6n de por que cuando se trata de una prueba de flujo se grafica At y cuando es una I 111

prueba de restauraci6n se grafica (-E- )se ve por 10 siguiente: 1[> +111

Cuando es una prueba de flujo M = P; - pw( y de acuerdo con la soluci6n de la ecuaci6n de difusividad para el periodo transiente

qJiB ( 1 41 }) qJiB (1 ( )J P; -p.1 =141.2-- - In - +S =141.2 - - - Int I) +0.809+S kh 2 r kh 2 cuando se trata de una prueba de restauraci6n

I 271

/1P =PWV - P',v.N=O = (P, - Pw, .N=O) - (P, - PII" ) y de acuerdo con las ecuaciones para el comportamiento de la presion en una prueba de flujo y en una de restauracion se tiene

P, - PWI =141.2q,uB (~ln 4f pJ) +sJ= 141.2q,uB(~(lnl p +0.809+S)) (6 ,12) kh 2 Y kh 2 I>

_ ) _ q,uB - P, - [ III.N =O - 141.2kh (PI> (t PI + S) (6 ,12 a)

q,uB (1 I I' + /11] 1 41 pI>P, - P"I = 141.2kh ( 21n /11 + P/J (tI'I -2 In - y- )

q,uB [ 1 ( / p + /1/ ] 1 J141.2-- -In +PI> (t "I --lnl p - 0.809 (6,13) kh 2 /1/ 2 y restando la ecuacion (6 .13) de la ecuacion (612 a) se tiene:

q,uB [ 1 l l, /11 :Pw, - p""\I=o=141.2-- -In( )/J +S+0.809 (614), " kh 2 / I ' + /11

Observando las ecuaciones (6 ,12) Y (6 ,14) se ve que son de la forma : Po = Ilnl l> +S+0.809 /

2 pero en la (612) la presion el ~P de la presion adimensional es (Pi -Pwf) yen la (6 ,14) es (Pws PwS,M=O ) , yen la ecuacion (6.12) el tiempo adimensional esta en terminos de t y en la (6,14) en

I /1 /terminos de P - ; esto explica por que en la curva tipo se debe graficar funciones diferentes de t

I I' + /1f en la ordenada dependiendo de si se trata de una prueba de flujo 0 de restauracion ,

Metodo de McKinley

Las curvas tipo de McKinley tambien se obtuvieron para flujo (prueba de Draw Down) y para un valor de K/~IJ Cr\~ constante e igual a 1 * 10l Las curvas se presentan como ~t vs ~P * F/q en papel log - log con T/F como parametro, donde F es el almacenaje del pozo calculado segun ecuaciones (6 ,3) , (6 ,7) 0 (6 ,10) , T es la transmisibilidad (Kh/IJ) , ~P = (P, - Pwf) para una prueba de Draw Down 0 (Pws - Pwf, ,~t = D) para una prueba de restauracion y ~t es el tiempo de la prueba para una prueba de Draw Down 0 ~Ie = (tp * ~t)/(tp + ~t) para una prueba de restauracion ,

La forma que presentan las curvas tipo de McKenley es la que se muestra en la figura 35

Este metodo no permite obtener el valor de S, pero si cualitativamente , tener una idea de si hay dano 0 estimulacion

272

I I Til"

r J) j) ~P'

..

Figura 35-. Forma de las Curvas Tipo de McKinley

EI procedimiento es el siguiente:

- Se prepara un sistema coordenado, igual al de la curva tipo (cicios iguales).

- Se grafica ~t vs ~P en el papel trazo donde se prepar~ el sistema coordenado igual a la de las curvas tipo ~t es el tiempo de la prueba para una prueba de Draw Down y ~te =tp * ~U( tp + ~t) para una prueba de restauracion de presion y ~P es (P, - Pwf) para una prueba de Draw Down y (Pws - Pwf,i\\=o) para una prueba de restauracion .

- Coloque el papel trazo del grafico ~t vs ~P * F/q sobre la carta de curvas tipo y haga coincidir los ejes de ambas cartas; luego des place el papel trazo solo horizontal mente sobre la carta de curvas tipo hasta que la curva del papel trazo coincida , al menos en su parte inicial , con una curva tipo identificada por un valor de T/F. Tome el valor de T/F de la curva tipo con la cual se obtuvo coincidencia y escoja sobre ia curva un punto de ajuste (Match Point) y tome los valores ~P)MP y ~P * F/q)MP en el papel trazo y en la carta de curvas tipo, correspondientes al punto de ajuste

Encuentre la permeabilidad de:

~P* F) T T khJ* *( q AII' F (~p)w> q ql-'

k _ T * qI-' _ ( ~P * F I *! * I .. * ql!. (6 .15) - q h - q ) ,VII> F (~P)/\II' h

273

Como se busco coincidencia de la parte inicial de la curva , el valor de K encontrando con la ecuacion (6 .15) es el correspondiente a la zona cercana a la pared del pozo afectada por dano. EI valor de K de la zona del yacimiento ya no afectada por dano se puede encontrar asi :

Cuando la parte final de la curva M vs ~P, se separa de la curva tipo que mostraba coincidencia con la parte inicial de la curva , es porque el valor de K es diferente ya que F es constante ; si se continua el desplazamiento horizontal hasta que esta parte final coincida con otra curva tipo identificada con un nuevo valor de T/F , este valor es el correspondiente a la formacion libre de dano, K de la formacion se puede calcular de:

(T I F L * k I

i

p

T ie

Figura 36-. Forma de las Curvas Tipo de Gringarten

Las curvas tipo de Gringarten fueron obtenidas en forma similar a las de Ramey (Agarwal) y hacienda las mismas suposiciones.

Cuando se trata de pruebas de 0 .0 , llt es el tiempo de la prueba y cuando son pruebas de restauracion llt es llte; par otra parte llP :: Pi - Pwf para pruebas de 0 .0 y (Pws - Pwf.III=O) para PBU En el procedimiento, el grilfico que se elabora es de llP vs ~t y el papel trazo se desplaza vertical y horizontalmente hasta que la curva del papel trazo coincida can una curva tipo identificada por CDe2S de donde:

(619)

EI valor de CDS se obtiene de la ecuacion (6 .7) y Cs de la ecuacion obtener CSD de

I I! (C\/J L II' C" , I

(6 .10) Pero tam bien se puede

(619a)

donde C,,, es la constante del tiempo adimensional.

=

Para obtener el valor de K se selecciona el punta de ajuste el cual da PD)MP y llP)MP de donde se puede obtener

,~\~ ( l

p) * qJi B -=k (6 .20) J) 11/1' 7.08 *10 :; h(('j,P)MI'

'.

275

EI procedimiento recomendado para calcular K y S es Calcular K con ecuacion (6 .20) Calcular Cso con ecuaci6n (6 .19a) Calcular con ecuacion (6 .19)

Curvas Tipo de Bourdet (Metodo de Oerivada)

Bourdet presenta otra forma de curvas tipo en las que la presion adimensional , Po, esta derivada I

con respecto al termino __'l y por tanto la forma de las curvas tipo se puede analizar de la C,f)

siguiente forma .

Para tiempos iniciales Po =to/Cso 0 sea que

apo = 1 (6 .21 ) a(t f) I Csl) )

oP y por tanto un grafico de ( l) ) vs (t l) I Csn ) en papel log - log es una horizontal con a I CSl)t J) intercepto en 1.

Cuando ya ha pasado el efecto del sobreflujo, pero el yacimiento todavia esta en el periodo transiente , se tiene.

0.00708kh *V~ - pw/ ) =~ [In 41 f) + 28]

qJi B 2 r

2Po=1[In( Ill_: + In C /) e ' 1+ 0.8;2 C/) J

- '

ap!) = 05 *_ _ _ y

a(t I) / Co) . to / C I )

ap t log ( 0 ) = -log~ + log O.5 (6 .22)

a t l) / Co CD apl) t f)

o sea que un grafico en papellog - log de ::1 ) vs -- es una recta de pendiente -1 . q t f) I CSD CSI)

ap .t J)

Las ecuaciones (621) Y (62 2) muestran que un grafico de ::1 f) ) VS - a tlempos q t l) / CSD CSI)

iniciales cuando no hay efecto del dana de formacion y a tiempos altos cuando ya no hay efecto de almacenaje, no depende de Cso C2S

276

De acuerdo con 10 anterior las curvas de Bourdet presentan la forma que se muestra en la figura 37 donde p;) es eJpol3(to/C so) .

t La expresion de la derivada de Po con respecto a _ D_ tiene la siguiente forma

. C SD

IiPI! = IiPI! Sl = .Ii (7.08*10-:1 .,!:h *(P _ p ))* e,,) *(tJ1Cr,: ) Ii t " S l Ii t " 8 l qJ1 B I II'{ K C.,I! e,l!

que se puede presentar como

liP" =Conslanle * ~P'

Ii I "

C," , Ii(~ - PHI ) Ii (~P)

donde ~P = . = .. ... para el caso de una prueba de D.D y iiI ii I

para una prueba de restauracion .

t Log?

Figura 37 -.Forma de las Curvas Tipo de Bourdet (Primera Version)

Lo anterior quiere decir que para trabajar con las curvas tipo de Bourdet se debe graficar en papel log-log, de la misma escala de la curva tipo , ~p. contra ~t ; teniendo en cuenta como en los casos anteriores como se debe tomar ~t y ~P dependiendo si se trata de una prueba de flujo 0 de restau racion .

277

Finalmente Bourdet redefinio su curva tipo tomando la derivada de Po no con respecto a I f) sino C s/l

I con respecto a Ln( J) ) (5) y en este caso la expresion para la derivada serfa

C,I!

1 oPo =oPn 0 1 = o (?...:08*1O- Kh ?_p 1 OIl /)

r ' ( , " I ) . o Ln ( ( o __ ) 0 I 0 Ln( - I!) () I qJLIJ o( 10 ) C,I!

C C C .,j) .,f) sf)

7_08 * 10-1 kh o(?, - ? WI ) * 7.08 * 10-1 Kh '" * = .- - --- {=---. . /).1 IlP (6 .23)

qJL B 0 I qJlB

donde t>P' sigue siendo la derivada de (Pi - Pwf) con respecto al tiempo. Observese que en este caso las unidades de P,') son unidades de presion , mientras que en su primera version eran unidades de presion sobre tiempo

En este caso se tiene 10 siguiente

Para cuando se tiene solamente efecto del sobreflujo

o( _ ~ f) 1 oPf) ( S/) I I!-

Sln(' : oIn( I n ] - C\/JI f)

C,,) C'}J

Cuando desaparece el efecto del sobreflujo pero se esta en el perfodo transiente

.__ . I I n + In 2\

i5 In"(1"::, I = () In( l,!l : 2 C.,!) (me + 0. 809]: o [l(n ' ( \/J ) ( \!J

=0.5

o sea que al elaborar el grafico de log( P~ (to/Cso)) vs 10g.(to/Cso) se obtiene inicialmente una recta de pendiente igual a 1 y para tiempos finales una horizontal con intercepto igual a 0.5tal como 10 ilustra la figura 38 esta curva tipo muestra inicialmente una recta de pendiente igual a 1 y para tiempos finales una horizontal con intercepto igual a 0.5

La ecuacion (6 .23) se obtuvo para el caso de una prueba de flujo pero en el caso de una prueba de restauracion la caida de presion es funcion , de acuerdo con la ecuacion (6 .14), de

' I} /).1 ' I } + /).{

278

i P (t lC )

Logt IC

Figura 38 Forma de las Curvas Tipo de Bourdet (Segunda Version)

o sea que

(5?/J

6 1n( I' ) ( I/).I 1 1

(t I' + /).1) I! C SI!

_ C (5/). ? - I'" (5 I

(5?" (51= .. ._-_..

(51 6In( _~I , /)'I J I) (I I' + /).1) C\I)

I f' /).I I I' (t I' + /)./) I ,, /).I(t ) + /).{) ... )

I (/ 1' + t)

(624)

donde Clo y C, son las constantes que acompaiian 6P y t en las definiciones de presion y tiempo/1 II

.' , 6(/1P)adlmenslonaly /).? = .. .. .

(5 1

Entonces cuando se trata de pruebas de restauracion se debe graficar

279

~t*~p,*(tl'+ ~t) vs _ I f' ~I t p (t f' + ~/)

y ~p' = a( p\V, + PWUI _O) at

(t I' + ~t)Los valores para el grafico de t.t * t.P' 0 t.t * t.P' * se preparan de la siguiente manera

tl'

(1) (21 (3) (41 (5) M t.P Pendiente t.P'

I- -

(l,+~t)t.t * t.P' * 1

tl' -

La columna (1) es el tiempo de la prueba, informacion que da la prueba. La columna (2) es (Pws - Pwf.,\ =0) tambien Informacion que da la prueba. La columna (3) es la pendiente de la curva t.P vs t.l y se calcula como

~P' = ~P..!.~"___ i__ i I - ~P..!-, ~t 1 - ~t

,+ ,

La columna (4) es el promedio de los t.P', en i y en i-1 0 sea

~p = ~P,'+ ~P'I I- I 2

I" +!'i y la columna (5) es t.t; * N',*- ' donde t.t, es el tiempo acumulado de la prueba hasta el punto i. I"

La segunda version de las curvas tipo de Bourdet tiene doble importancia por 10 siguiente - I ,+!'i

La expresion t.t, * I:i~ * ' .. ' tiene unidades de presion y por 10 tanto la curva del I"

comportamiento de la derivada se puede graficar en el mismo grafico del comportamiento de la presion; la derivada responde mas a los alrededores del punto donde se encuentra la perturbacion de presion y la presion responde a todo el medio que ha recorrido la perturbacion de presion .

EI comportamiento de la derivada tiene una forma caracteristica dependiendo de la geometria de flujo que se presente en el yacimiento y por tanto permitira conocer si en el yacimiento se esta presentando flujo lineal, radial, esferico, etc.

Cuando el comportamiento de la presion esta afectado solamente por sobreflujo la ecuacion del comportamiento de la presion es

Po=to/Cso y el de la derivada es

280