PRACTICA DIRIGIDA

1. Considerando la ecuación

Calcular los cruces por cero dentro del intervalo [4, 20]; usar el método de bisección con un error de 10–3.

2. Considerando la misma ecuación que en el ejemplo anterior, es decir,

Calcular los cruces por cero dentro del intervalo [4, 20]; usar el método falsa posición con un error máximo de 10–5.

3. Usa la iteración de punto fijo para calcular un cero de

4. Calcular raíz de la siguiente función aplicando método de punto fijo.

5. El polinomio 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 tiene una única raíz positiva. Encuentre un intervalo donde se garantice la existencia de esta raíz (justifique!).

6. Aplicar el método Secante la menor raíz positiva de la ecuación x-tan(x) 0 y tol < 5 × 10-5

7. Encontrar una raíz de la ecuación f(X) =sen(X)·e−X+1, gráficamente y por el método N-R.

8. Sea f(x) = x3 - x + 2 encuentre x tal que f(x) = 0 si p0 = -1:4. (método N-R)

9. Aplicar el método de Newton para obtener la solución de

10.Aplique el método de la Secante para obtener la solución de polinomio del ejemplo anterior en el intervalo [-3;-2]

f ( x )=x2−2 x+3

1. Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones por el método Cramer

2. Resolver el sistema Aplicando eliminación de Gauss simple

3. Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones por el método de Gauss - Jordan3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3

0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

4. Resolver el sistema lineal usando el método iterativo de Jacobi a partir del punto inicial (0; 0; 0).

5. Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel. 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85

0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

6. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

PRACTICA DIRIGIDA – SOLUCION

1. Considerando la ecuación

Calcular los cruces por cero dentro del intervalo [4, 20]; usar el método de bisección con un error de 10–3.

Solución. En primer lugar se gráfica la función para tener una idea del comportamiento dentro del intervalo especificado y de cuántas veces se cruza por cero. Analizando esta figura, a simple vista se puede determinar que cruza cinco veces por cero y es continua en todo el intervalo. Por tanto, el método de bisección es adecuado para determinar estos cruces por cero.

Método de bisección al calcular el primer cruce por cero

Método de bisección al calcular el segundo cruce por cero

Método de bisección al calcular el tercer cruce por cero

2. Considerando la misma ecuación que en el ejemplo anterior, es decir,

Calcular los cruces por cero dentro del intervalo [4, 20]; usar el método falsa posición con un error máximo de 10–5.

Solución

3. Usa la iteración de punto fijo para calcular un cero de

Solución

4. Calcular raíz de la siguiente función aplicando método de punto fijo.

Por iteración de punto fijo con xo = 0:

Tabla 2. Iteraciones realizadas para aproximar la función con cálculos de error. (s = 0.5%)

Iteración x a %0 0 -1 1.5 1002 2.625 42.863 4.945 46.924 13.728 63.985 95.730 85.66

Es una función divergente. El error aproximado aumenta con cada iteración.

Por método gráfico:

ε a=|x i+1−x ix i+1

|×100

f (x )=x2−2 x+3x2−2x+3=0

⇒ x=x2+3

2

ε a=|1 . 5−01 .5

|×100=100 %x i+1=xi2+3

2

y1=x

y2=x2+32

5. El polinomio (𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 tiene una única raíz positiva. Encuentre un intervalo donde se garantice la existencia de esta raíz (justifique!). Utilizando el método del punto fijo, presente una tabla que contenga la sucesión de valores, con un criterio de interrupción del método iterativo con tolerancia 10-9.

Presentamos la gráfica del polinomio, dado que la ecuación a resolver será 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0.Buscamos ahora un intervalo de existencia de la raíz, el mismo será de [1.5, 2] dado que por el teorema de Bolzano (convergencia) p(1.5) p(2)<0 existe por lo menos una solución dentro del mismo. A continuación buscamos la función g que garantice la convergencia del algoritmo de punto fijo. el primer bosquejo de función será:

La misma tiene por derivada:

Para verificar la convergencia del método vemos los valores que toma la derivada en los extremos del intervalo, los mismos son:

Las iteraciones se muestran a continuación con una aproximación x0=1.7.

6. Aplicar el método Secante la menor raíz positiva de la ecuación x-tan(x) 0 y tol < 5 × 10-5

7. Encontrar una raíz de la ecuación f(X) =sen(X)·e−X+1, gráficamente y por el método N-R.

La gráfica de la ecuación es la siguiente: Se observa que la función tiene tres raíces reales en los intervalos [−8, −6], [−4, −2] y [−2, 0]. Calculemos cada una de ellas, considerando el criterio de equivalencia en cada una de ellas de acuerdo a las siguientes expresiones:

Según el criterio de convergencia

tomando como primera aproximación a la raíz el punto medio de cada uno de los intervalos y, si el resultado cumple con el criterio de convergencia, utilizar esta aproximación en la ecuación de recurrencia:

Los respectivos resultados se muestran en la siguiente tablas: Intervalo 1 (tabla1): [−8, −6]Primera aproximaci´on: X0 = −7Criterio de convergencia: G(−7) = 0,49695

Iteraciones i i+1 TolX0 -7.0000000000 -6.5349919199 0.4650080801X1 -6.5349919199 -6.3315600658 0.2034318542X2 -6.3315600658 -6.2870821650 0.0444779008X3 -6.2870821650 -6.2850533872 0.0020287777X4 -6.2850533872 -6.2850492734 0.0000041138X5 -6.2850492734 -6.2850492734 0.0000000000

Intervalo 2 (tabla2): [−4, −2] Primera aproximaci´on: X0 = −3Criterio de convergencia: G(−7) = 0,2,5096

Iteraciones i i+1 Tol

X0 -3.0000000000 -3.1075932380 0.1075932380X1 -3.1075932380 -3.0964939645 0.0110992735X2 -3.0964939645 -3.0963639501 0.0001300144X3 -3.0963639501 -3.0963639324 0.0000000177X4 -3.0963639324 -3.0963639324 0.0000000000X5 -3.0963639324 -3.0963639324 0.0000000000

Intervalo 3 (Tabla3): [−2, 0] Primera aproximaci´on: X0 = −1Criterio de convergencia : G(−7) = 0,26804

Iteraciones i i+1 Tol

X0 -1.0000000000 -0.6572581430 0.3427418570X1 -0.6572581430 -0.5911831054 0.0660750376

X2 -0.5911831054 -0.5885369458 0.0026461596

X3 -0.5885369458 -0.5885327440 0.0000042018

X4 -0.5885327440 -0.5885327440 0.0000000000

X5 -0.5885327440 -0.5885327440 0.0000000000

Las respectivas ra´ıces son:

1. X=-6.28504927342. X=-3.09636393243. X=-0.5885327440

8. Sea f(x) = x3 - x + 2 encuentre x tal que f(x) = 0 si p0 = -1:4.

9. Aplicar el método de Newton para obtener la solución de

10 Aplique el método de la Secante para obtener la solución de

en el intervalo [-3;-2]

1. Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones por el método Cramer

2. Resolver el sistema aplicando eliminación de Gauss simple

3. Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones por el método de Gauss - Jordan3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3

0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:

Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

4. Resolver el sistema lineal

usando el método iterativo de Jacobi a partir del punto inicial (0; 0; 0).

5. Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel. 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85

0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estén los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.850.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.300.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:

Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1

Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:

En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

Como podemos observar, no se cumple la condición

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

Comparando de nuevo los valores obtenidos

Como se observa todavía no se cumple la condición

Así que hacemos otra iteración

Comparando los valores obtenidos

Dado que se cumple la condición, el resultado es: X1 = 3.0

X2 = -2.5

X3 = 7.0Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones.

6. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

4. En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos:

Primera fila:|a11| > (|a12| + |a13|)5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto.La condición se cumple para la primera fila.Segunda fila:|a22| > (|a21| + |a23|)2.5 > (0.7 + 15)2.5 > 15.7; no es cierto.La condición no se cumple para la segunda fila.|a33| > (|a31| + |a32|)4.4 > (3.3 + 11)4.4 > 14.3; no es cierto.La condición no se cumple para la tercera fila.Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para todas las

filas. Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante.NOTA: Recuérdese que la diagonal principal está compuesta por a11, a22 y a33.

Sin embargo, al hacer el intercambio del renglón 2 por el renglón 3, se tiene el siguiente sistema:

En este caso se puede observar que el sistema sí es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos:

Primera fila:|a11| > (|a12| + |a13|)5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto.La condición se cumple para la primera fila.Segunda fila:|a22| > (|a21| + |a23|)11 > (3.3 + 4.4)11 > 7.7; es cierto.La condición se cumple para la segunda fila.|a33| > (|a31| + |a32|)15 > (0.7 + 2.5)15 > 3.2; es cierto.La condición se cumple para la tercera fila.

Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para todas las filas. En este caso efectivamente la condición se cumple para todas las filas, por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante. Por lo tanto se procede a despejar x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente:

Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0 en la ecuación 1 para obtener x1:

Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuación 2 para obtener x2:

Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteración son:

Puesto que sólo se tiene la primera aproximación de la solución del sistema, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la ecuación 1, se obtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en la ecuación 2, se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = -3.42775 en la ecuación 3, se obtiene x3 = -0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximación es:

Ahora se pueden calcular los errores aproximados para cada una de las incógnitas:

Puesto que no se ha cumplido el objetivo, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Se resumen los resultados de esta manera:Tercera iteración:

Cuarta iteración:

Así, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteración y se tiene que los valores aproximados de la solución del sistema son:

7. Aplicar el método de Newton-Raphson modificado a la función f(x)= x - tanx para aproximar la raíz Xo = 0 , con criterio de aproximación M(xn ) < 5 × 10-5

8.

9.