Radiacion Solar

Cap��tulo �

Radiaci�on Solar

�� Teor��a b�asica de la radiaci�on t�ermica

�� Ondas y espectro electromagn�etico

Entre �� y �� Maxwell refundi�o en sus famosas ecuaciones todas lasteor��as dispersas sobre electromagnetismo La velocidad de las ondas electromagn�eticas que resultaban de estas ecuaciones era del orden de ��km�s que coincid��a con la velocidad de la luz Sugiri�o entonces que la luzera un tipo de onda electromagn�etica producida por la oscilaci�on de cargasel�ectricas Al �nal del siglo XIX Hertz demostr�o que un campo electromagn�etico variable se propaga en el vac��o con una velocidad igual a la de laluz

En el texto de Alonso y Finn �F��sica Ed AddisonWesley pp��el lector puede encontrar una deducci�on de las ecuaciones de onda paracampos el�ectricos y magn�eticos a partir de las ecuaciones de Maxwell

Z��Ed

��S �

Q

��Z��Bd

��S � �

I��Bd

�� I � ��

d�

dt�

I��Ed

��

d�

dt

Ecuaciones deMaxwell

Las ondas electromagn�eticas planas son transversales con los campos��E

y��B perpendiculares entre s�� y a la direcci�on de propagaci�on de la onda La

velocidad de propagaci�on c � �p��

�� m s��

Cuando el campo el�ectrico oscila en un plano �que tomaremos como elXY� y el magn�etico en un plano normal �el XZ� se dice que la onda est�alinealmente polarizada En este caso�

Ey � E� sink�x� ct�

Bz � B� sink�x� ct� � ��

La longitud de onda � es la distancia comprendida entre dos m�aximosconsecutivos � � � ��k La onda recorre una distancia � en un tiempoT � �c que es el per��odo de la oscilaci�on arm�onica Se relaciona con lafrecuencia � �T � kc

�� w

��

�

� CAP�ITULO �� RADIACI �ON SOLAR

00.5

11.5

2-0.5

00.5

-1

-0.5

0

0.5

1

XEy(x)

Bz(x)

Figura �� Representaci�on de una onda electromagn�etica plana linealmentepolarizada

Una onda electromagn�etica porta energ��a y cantidad de movimiento Ladensidad de energ��a de la onda es proporcional a la amplitud del campoel�ectrico� E � ��E

�

Ciertos fen�omenos f��sicos como el efecto fotoel�ectrico se interpretanmejor si se consideran los fotones como peque�nos paquetes de energ��a asociados a la onda electromagn�etica La energ��a de los fotones resulta entoncesproporcional a la frecuencia de la onda� E� � h � h es la constante de Plank h � �� J s�

Las fuentes de las ondas electromagn�eticas son las mismas que producenlos campos electromagn�eticos esto es cargas el�ectricas en movimiento Lasecuaciones de Maxwell predicen que las cargas aceleradas emiten ondas electromagn�eticas Como caso de part��cular inter�es notaremos el dipolo el�ectricocuyo momento cambia con el tiempo � como un electr�on en un �atomo cuyomovimiento orbital se ve perturbado�

� � cT

��

T�

c

�E� � h

Relaciones �utiles

Dependiendo de las fuentes que las producen pueden originarse ondaselectromagn�eticas con una distribuci�on cont��nua de frecuencias �y longitudesde onda� Las ondas m�as energ�eticas �frecuencias m�as altas y longitudes deonda m�as corta� son los rayos gamma de origen nuclear �� m�Les siguen en energ��a los rayos X �� m� producidos porlos electrones internos �los m�as fuertemente ligados� de los �atomos y en ladesaceleraci�on de part��culas cargadas �bremstrahlung� Los rayos ultravioleta son emitidos por �atomos y mol�eculas en estados excitados y cubrenun rango de longitudes de onda entre �� m hasta � � �� m Elespectro infrarrojo cubre longitudes de onda entre �� m hasta ��x��

m Estas ondas electromagn�eticas se producen por mol�eculas y cuerposcalientes cuyos �atomos son excitados t�ermicamente La luz o espectro visible �� m� es un caso especial de radiaci�on t�ermicaemitida por cuerpos a una temperatura como la del sol y se sit�ua entre labanda del ultravioleta y la del infrarrojo Por debajo del infrarrojo podemos

�� RADIACI �ON �

encontrar las microondas y las ondas de radiofrecuenciaUn sistema macrosc�opico est�a formado por un gran n�umero de part��culas

��atomos y mol�eculas� La temperatura est�a relacionada con la �agitaci�onmolecular� o m�as concretamente con la energ��a cin�etica media de las part��culasLos �atomos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio o sufren colisiones con otros �atomos Puede haber una fracci�on de electrones libres ycargas no compensadas sujetas a aceleraciones y electrones en �orbitas perturbadas que emiten radiaci�on electromagn�etica con una distribuci�on cont��nuade longitudes de onda Esta radiaci�on relacionada con la temperatura delcuerpo se conoce como radiaci�on t�ermica y ser�a el objeto de estudio de lasiguiente secci�on Radiaci�on t�ermica�

En un cuerpo caliente�T ��los �atomosexcitados y las cargasaceleradas emitenradiaci�on electromagn�etica

�� Cuerpo negro

Sea S una super�cie arbitraria a cuyo trav�es se propaga una radiaci�on electromagn�etica constituida por una superposici�on de ondas con distintas frecuencias Se denomina �ujo radiante � a la cantidad de energ��a radianteque por unidad de tiempo cruza la super�cie S Sus unidades son J�s oWatios Si la super�cie es in�nitesimal dS el �ujo radiante tambi�en ser�ain�nitesimal d� y puede considerarse uniforme en dS Se de�ne entoncesla densidad de �ujo radiante � � d�

dS Sus unidades son W m�� Si dS se

toma sobre la super�cie de un cuerpo caliente que emite radiaci�on t�ermica a la densidad de �ujo radiante se la denomina radiancia � Todas estasmagnitudes de�nidas para una superposici�on de ondas electromagn�eticas pueden particularizarse para cada longitud de onda �o color� concreta Sepuede habla entonces de magnitudes monocrom�aticas La radiaciancia

espectral ��d� es la cantidad de energ��a radiante emitida por unidad detiempo y �area por la super�cie de un cuerpo caliente en forma de ondaselectromagn�eticas con longitudes de onda comprendidas entre � y � � d�

Cuando se considera el �angulo � formado por la direcci�on de propagaci�onde la radiaci�on electromagn�etica y la normal al elemento de super�cie seobtiene que la densidad de �ujo radiante var��a con el �angulo seg�un�

�� cos � ��

siendo �� el valor de � para incidencia normal �direcci�on de propagaci�onparalela a la normal a la super�cie� Esta ecuaci�on expresa una relaci�onpuramente geom�etrica y se conoce como ley de D�Alembert De�niciones� Flujo

radiante densidadde �ujo radiante radiancia valoresmonocrom�aticos

Cuando una densidad de �ujo radiante � incide sobre la super�cie deun cuerpo una fracci�on � se re�eja otra � se trasmite a su trav�es y otrafracci�on � se absorve �incrementando la temperatura del cuerpo� �� y� se denominan coe�cientes de re�exi�on transmisi�on y absorci�on respectivamente Pueden de�nirse para una radiaci�on electromagn�etica constituidapor la superposici�on de ondas de distintas frecuencias o para una longitud deonda �color� particular �se habla entonces de coe�cientes monocrom�aticos�


Los valores monocrom�aticos varian con la longitud de onda �el vidr��o deuna ventana trasmite bien la radiaci�on visible pero resulta casi opaco a laradiaci�on t�ermica�

Los coe�cientes �� y � pueden depender del �angulo � de incidencia pero por su propia de�nici�on siempre se veri�ca que � � � � � � �Coe�cientes �� y �

� � � � � � �Un cuerpo es transparente si � � � opaco si � � � espejo o refjector

perfecto si � � � Cuando � � � se dice que el cuerpo es negro �absorvetoda la radiaci�on sin re�ejar ni transmitir nada�

Un cuerpo negro noes de color negro �elsol emite radiaci�ont�ermica como un cuerpo negro en buenaaproximaci�on�

El cuerpo negro constituye un modelo de gran utilidad para el estudiode la radiaci�on t�ermica Un horno o cavidad cerrada que se mantiene auna temperatura constante T y a la que se practica un peque�no ori�cio constituye una buena aproximaci�on a un cuerpo negro Cualquier radiaci�onque penetre por este ori�cio no encontrar�a el camino de salida �� Las paredes emiten y absorben radiaci�on electromagn�etica alcanz�anzdoseuna situaci�on de equilibrio El ori�cio emite radiaci�on que tendr�a las caracter��sticas de la radiaci�on emitida por un cuerpo negro a temperatura T Sinembargo el ori�cio s�olo muestra la radiaci�on que hay dentro de la cavidad por lo que �esta tambi�en debe tener las caracter��sitcas de la radiaci�on de uncuerpo negro

Consideremos una porci�on de pared en el ineterior de la cavidad enequilibrio a la temperatura T La radiancia �emisi�on� se equilibra con lafracci�on absorvida de la densidad de �ujo radiante que incide �el sub��ndice bse utiliza para referirse al cuerpo negro�� b�T � � �b�b � �b Si sustituimosun elemento de super�cie dS del interior de la cavidad por otro igual perode un cuerpo que no sea negro �� siempre que se alcance el equilibriot�ermico a la temperatura T la densidad de �ujo radiante emitido � tendr�aque equilibrarse con la fracci�on absorvida de la densidad de �ujo radianteincidente ��este sigue siendo el caracter��stico del cuerpo negro �b��

� � ��b � ��b ��

Esta relaci�on se conoce como ley de Kirchho� de la radiaci�on electromagn�etica� conocida la radiancia de un cuerpo negro se puede conocer lade cualquier otro cuerpo �en equilibrio t�ermico� a partir de su coe�ciente deabsorci�on

La radiancia de un cuerpo negro es una fucnci�on de su temperatura absoluta Stefan la estudi�o desde un punto de vista experimental y Boltzmandedujo la misma expresi�on utilizando la F��sica Estad��sitca�

�b�T � � �T � ��

Esta expresi�on se conoce como ley de StefanBoltzman y � � ��

W m�� K�� es la constante de StefanBoltzmanLa radiaci�on t�ermica emitida es una superposici�on de ondas electro

magn�eticas con una distribuci�on continua de longitudes de onda La ra

�� RADIACI �ON �

0

1e+13

2e+13

3e+13

4e+13

5e+13

6e+13

7e+13

8e+13

9e+13

1e+14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Rad

ianc

ia e

spec

tral

(W

/m^3

)

Longitud de onda (micras)

T=6000 KT=5000 KT=4000 K

Figura �� Espectro de emisi�on de radiaci�on t�ermica por un cuerpo negropara distintas temperaturas

diancia espectral �radiancia por intervalo de longitud de onda� es tambi�enuna funci�on de la temperatura El estudio de la radiancia espectral de uncuerpo negro llev�o a Planck a formular la teor��a de los cuantos en ��

Planck encontr�o la siguiente expresi�on para la distribuci�on espectral�� T �d� de la radiaci�on emitida por un cuerpo negro a la temperaturaT �

�� T �d� ��hc�

�d��

ech

�kT � ��

donde h es la constante de Planck �h � �� J s� c es lavelocidad de la luz �c � �� m s�� y k la constante de Boltzmann�k � �� J K��

En la �gura �� se representa el espectro de emisi�on dado por la leyde Planck para un cuerpo negro a distintas temperaturas �el sol emite radiaci�on t�ermica como un cuerpo negro a �� K� Obs�ervese que la integralR�� T �d� � ��T � � �T � Gr�a�camente el �area bajo la curva corresponde

a la radiancia del cuerpo negro a esa temperatura Obs�ervese que la radiancia espectral alcanza un m�aximo para un cierto valor de la longitud de onda��max� y que �este m�aximo se desplaza hacia la derecha �longitud de ondas crecientes� cuando disminuye la temperatura Este resultado se conocecomo ley de desplazamiento de Wien�

�maxT � �� m K� �� R�� T �d� � ��T � �

�T �

�maxT � �� m K�


�� Espectro de emisi�on y constante solar

La energ��a procedente del Sol en forma de radiaci�on electromagn�etica es elresultado de las reacciones de fusi�on que tienen lugar fundamentalmente enla parte m�as interna o n�ucleo Esta energ��a debe ser transferida a la super�cie exterior para desde all�� ser radiada al espacio En este proceso detransferencia aparecen fen�omenos convectivos y radiativos as�� como sucesivas emisiones absorciones y rerradiaciones en las sucesivas capas de gases dando lugar a un espectro de emisi�on cont��nuo As�� y para muchos efectospr�acticos el Sol puede ser considereado como un cuerpo negro que radia auna temperatura pr�oxima a los �� K

La radiaci�on emitida por el Sol y las relaciones espaciales con la Tierra conducen a una intensidad de radiaci�on en el l��mite exterior de la atm�osferapr�acticamente constante que es lo que se conoce como cosntante solar ElConstante solar� Fo �

�� w�m� valor de esta constante que se de�ne como la energ��a incidente por unidadde tiempo sobre una super�cie tambi�en unidad y orientada perpendicularmente a la direcci�on de propagaci�on de la radiaci�on y que est�e colocada ala distancia media entre el l��mite exterior de la atm�osfera terrestre y el Sol es Fo � �� w�m� �� cal cm�� min��

Ejemplo Sabiendo que la distancia media TierraSol es RTS � �� km y que el radio solar es de RS � �� km obt�engase la temper�

atura efectiva del Sol �temperatura que tendr��a al considerarlo como uncuerpo negro que produce la constante solar observada de Fo � �� w�m�

SOLUCI �ON� Sea Te la temperatura efectiva buscada La potencia radiada por metro cuadrado �w�m�� en la super�cie solar ser�a seg�un la ley deStefanBoltzmann �T �

e y la potencia radidada en toda su super�cie ser�a�

�T �

e ��R�

S

La energ��a radiante se propaga en ondas esf�ericas y cuando alcanza ladistancia tierrasol �esta energ��a se encuentra uniformemente distribuida sobre una super�cie esf�erica de radio RTS siendo la densidad de �ujo radiante�que se corresponde en este caso con la constante solar��

Fo ��T �

e ��R�

S

��R�

TS

� �T �

e

�RS

RTS

��

Sustituyendo valores �recu�erdese que � � �� w m�� K��

Te � ��K

Ejemplo Aplicando la ley de desplazamiento de Wien obtener la denominada �temperatura de color� del Sol sabiendo que la longitud de onda

�� ESPECTRO Y CONSTANTE SOLAR �

para la que se se alcanza el m�aximo en el espectro de emisi�on solar es de� �� m �resultado de observaci�on�

SOLUCI �ON� La ley de Wien establece� �maxT � K � �� m��

K�� de donde obtenemos la temperatura Tc que satisface las condicionesdel enunciado�

Te � K�max � �� KEl valor m�as peque�no que tiene la temperatura efectiva se interpreta por

la absorci�on selectiva de la atm�osfera solar� que sin embargo deja casi sinvariaci�on la intensidad correspondiente al m�aximo adscrito a la longitud deonda antes citada de � �� m �longitud de onda del color amarillo�

Ejercicio�TRABAJO PROPUESTO�� La distribuci�on espectral �� T �d�viene dada por la ley de Planck Se propone al lector que a modo de ejercicio represente con su programa de gr�a�cos favorito la distribuci�on espectralcorrespondiente a un cuerpo negro con la temperatura efectiva del sol y aotro con la temperatura media de la super�cie terrestre � �� C� �Podr��a explicar por qu�e es com�un referirse a la radiaci�on solar como �de onda corta� y a la radiaci�on terrestre como �de onda larga��

En la �gura �� se representa la distribuci�on espectral de la radiaic�onsolar medida en el borde de la atm�osfera �l��nea cont��nua� y la correspondiente a un cuerpo negro a �� K �l��nea de trazos� La distribuci�on medidamuestra �cortes donde falta radiaci�on� debidos a los procesos de absorci�onen la �atm�osfera� solar Cuando esta radiaci�on extraterrestre atraviesa laatm�osfera aparecen nuevas bandas de absorci�on de las que son especialmente relevantes las de la zona ultravioleta �debidas al ozono�

El espesor de la atm�osfera es demasiado peque�no en relaci�on a la distancia TierraSol como para que se produzca una disminuci�on apreciable enla densidad de �ujo radiante La disminuci�on de �esta a nivel de la super�cie se debe a los fen�omenos de absorci�on y dispersi�on que experimenta laradiaic�on solar al atravesar un medio material �gaseoso en este caso� comoes la atm�osfera Para nuestro estudio conviene introducir el concepto deradiaci�on solar no reducida como aquella radiaci�on que se recibir��a a nivelde la super�cie terrestre de no existir la atm�osfera Esta radiaci�on var��anotablemente de una localizaci�on geogr�a�ca a otra �efecto de la latitud geogr�a�ca y de la orograf��a del terreno� pero tambi�en con el momento del a�noy del d��a �relacionados estos efectos con la traslaci�on y rotaci�on de la Tierra�Todas estas modi�caciones en la radiaci�on recibida se explican en t�erminosgeom�etricos en funci�on del �angulo formado entre la direcci�on de incidenciade la radiaci�on solar y la normal al suelo en el punto de observaci�on As�� enun punto de la super�cie de la Tierra en el que en un momento determinadolos rayos solares llegen perpendiculares al suelo �Sol en el c�enit� la energ��aradiante no reducida recibida por metro cuadrado y por unidad de tiempoviene a coincidir con la constante solar Fo Cuando los rayos solares forman


LONGITUD DE ONDA (micras)

E(/\,T) (w/m2) por intervalo de longitud de onda

0,05 0,3 0,55 0,8 1,05 1,3 1,55 1,8 2,05 2,3 2,55 2,80

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1.600

1.800

visibleUV IR próx imo

-LINEA DISCONTINUA: Cuerpo negro a 6000 ºK-LINEA CONTINUA: Districución espectral alborde de la atmósfera

Intervalos de 1 Angstron en la longitud de onda

Figura �� Distribuci�on espectral de la radiaci�on solar en el borde de laatm�osfera �l��nea cont��nua� y espectro de emisi�on de un cuerpo negro a ��K visto a la distancia TierraSol

un �angulo � con la normal �v�ease la �gura del m�argen� la potencia recibidapor unidad de super�cie F viene dada por la Ley de D Alembert �

N

F � Fo cos �

Ley de D Alembert

F � Fo cos � ��

En las secciones siguientes estudiaremos las relaciones angulares que permiten calcular la radiaci�on solar no reducida sobre una super�cie horizontal para cualquier latitud geogr�a�ca y para cualquier hora y d��a del a�noPara ello ser�a necesario introducir unas nociones b�asicas de observaci�on astron�omica

�� Sistema de coordenadas ecuatorial y horizon�

tal� Relaciones angulares�

�� Observando el cielo

Las direcciones celestes pueden hallarse f�acilmente con ayuda de las constelaciones La posibilidad m�as sencilla nos la ofrece durante las horas nocturnasla Osa Mayor o Gran Carro debido a que puede ser observada durante todoel a�no cualesquiera que sea la estaci�on y tanto en las horas vespertinascomo de madrugada Una vez hallada la Osa Mayor tracemos mentalmenteuna l��nea recta que pase por las dos estrellas de su parte posterior Calculemos sobre la recta de la parte inferior del carro hacia arriba cinco veces ladistancia entre dichas estrellas y daremos con una estrella de brillo similar�

�� SISTEMAS DE COORDENADAS �

Norte

Polar

Osa Mayor

Figura �� Estrella Polar y Norte geogr�a�co

cénitEstrella Polar(P.N. Celeste)

Plano delho r i zon te

Plano de lEcuadorCeleste

N

S

E

W

O

90º

Figura �� Referencias celestes

la Polar o estrella del norte Bajemos entoces nuestre vista desde la estrella Polar perpendicularmente sobre el horizonte y habremos situado en �el elpunto norte El resto de las direcciones se siguen f�acilmente a partir de aqu�� El probador de ojos�

La estrella central dela cola de la OsaMayor es una estrella doble Alcor esla menor conocida como eel peque�no jinete

o como el probador de

ojos

Si prolong�asemos mentalmente el eje de rotaci�on de la Tierra �este pasar��apor la estrella Polar por lo que se dice que esta est�a en el polo norte celesteEn esta imagen se est�a considerando las estrellas dispuestas en la super�ciede una esfera que envuelve la Tierra �la b�oveda celeste� y que contempladadesde cualquier punto de la super�cie del planeta se ve como una hemiesferacubriendo una extensi�on plana de terreno As�� el tama�no aparente de losobjetos celestes o la distancia entre objetos se mide en grados �� gradosequivaldr��an a la longitud de un paralelo completo de la b�oveda celeste� Laprolongaci�on del plano del ecuador terrestre corta la b�oveda celeste de�niendo su meridiano central o ecuador celeste Al punto de la b�oveda celeste quese halla en la perpendicular al suelo �direcci�on del radio terrestre del lugar�

�� CAP�ITULO �� RADIACI �ON SOLAR


á ng u loazimutal

d istanciacen i ta l

á n gu lode altura


Plano delEcuadorCeleste

N

S

E

W

O

90º

A s

z

Estrella

Figura �� Sistema de coordenadas horizontal

se conoce como c�enit

En rigor la distancia entre el polo norte celeste exacto y la estrella Polares de unos ��o pero para los presentes efectos la seguiremos usando comoreferencia ideal Dado que la estrella Polar se encuentra a una distanciain�nitamente grande de nosotros sus rayos de luz nos llegan paralelos demanera que la l��nea que une nuestro punto de observaci�on con la Polar ser�auna l��nea paralela al eje de rotaci�on de la Tierra El �angulo sustendido porla Polar y la l��nea del Norte sobre el plano del horizonte se corresponde conla latitud geogr�a�ca del lugar � �v�ease la �gura �� Continuando ��o apartir de la Polar y en su mismo paralelo pasando por el c�enit localizamosla l��nea del ecuador celeste que se alza a un �angulo �� de la l��nea delSur en el plano del horizonte

�� Sistemas de coordenadas horizontal y ecuatorial

Contamos ya con unos elementos m��nimos para �jar la posici�on de un objetosobre la b�oveda celeste En el sistema de coordenadas horizontal la posici�onqueda �jada al dar el valor de dos �angulos la altura � sobre la l��nea delhorizonte y el �angulo azimutal A medido en sentido horario desde la l��neadel Sur en el plano del horizonte hasta el punto del horizonte por donde cortael meridiano que contiene el c�enit y el objeto observado �v�ease la �gura ��Al �angulo formdo entre el c�enit y el objeto se denomina distancia cenital yes el complementario de la altura sobre el horizonte

En el sistema de coordenadas ecuatorial se toman como referencias elpolo norte celeste y el ecuador celeste en lugar del c�enit y la l��nea delhorizonte como se hac��a en el sistema de coordenadas horizontal Aqu�� laposici�on de una estrella se �ja tambi�en mediante dos �angulos El primerode ellos es la declinaci�on � �angulo que se mide sobre el meridiano celesteque pasa por la estrella �y el polo norte celeste�y que comprende desde el

�� SISTEMAS DE COORDENADAS ��




EcuadorCe leste

Án g u l o d eAsce n sió n Re c ta

Án g u l o d ed e c l in a c ió n

Án g u l o h o r a r io

Punto deAries

N

S

E

W

O

90ºA . R .

w

Figura �� Sistema de coordenadas ecuatoriales

ecuador celeste hasta la estrella El segundo �angulo es la ascensi�on recta quetrata de localizar el punto sobre el ecuador celeste en que corta el meridianoceleste que contine a la estrella Este �angulo se mide desde el punto deAries un punto sobre el ecuador celeste que se toma como referencia y quese corresponde con la posici�on del Sol en el equinocio de primavera

Debido a la rotaci�on de la Tierra la posici�on aparente de las estrellascambia cont��nuamente Con el sistema de coordenadas horizontal hemos deespeci�car los cambios en los �angulos altura y azimut Sin embargo con elsistema ecuatiorial al tomar como referencia puntos �jos sobre la b�ovedaceleste basta dar la variaic�on de un s�olo par�ametro y el empleado es el�angulo horario que es el �angulo formado entre el meridiano del Sur y elmeridiano que contiene a la estrella

Como la Tierra completa una vuelta en �� horas gira con una velocidadangular wT � �� rad�hora El �angulo horario de cualquier estrella ser�a�w � wT t�w� donde t es el tiempo y w� el �angulo horario para t � � Parade�nir el �angulo horario del sol ws se utiliza el sistema horario conocidocomo horario solar local �hsl� En este sistema horario son las �� horascuando el sol est�a en el meridiano del Sur �ws�t � �� wT �� ws�� por tanto ws�� y

ws ��

��t� � ��

ws ��

��t� �

t en hsl

siempre que t est�e en hsl Para pasar del hsl en Sevilla al horarioo�cial hemos de tener en cuenta�

� Sumar el adelanto vigente con respecto al horario GTM �� hora eninvierno � horas en verano�


23.45º

eje de rotación

Equinocio depr imavera21-Marzo

Equinocio deotoño21-Septiembre

Solsticio deverano21-Junio

Solsticio deinvierno22-Diciembre

Perihelio

Afelio

= 0 º

= 0 º

= + 2 3 . 4 5 º

=-23.45º

Figura �� Relaciones angulares en el movimiento de traslaci�on de la Tierray las estaciones del a�no

� Sumar la diferencia horaria entre el meridiano del lugar y el meridiano�o y que para el caso de Sevilla corresponde a �oW�� minutos

� Tener en cuenta la �ecuaci�on del tiempo� que da los desfases entre elmedio d��a solar local en el paralelo �o y las �� horas GTM tiempoo�cial Esta correcci�on es de pocos minutos y puede obviarse paranuestros estudios

�� Orbita aparente del Sol

En el sistema de coordenadas ecuatorial resulta f�acil seguir la �orbita apartentedel Sol Debemos conocer previamente la variaci�on de la declinaci�on solaren relaci�on con el �angulo de inclinaci�on del eje de rotaci�on de la Tierra conrespecto a la normal al plano que contiene a su �orbita de traslaci�on alrededordel Sol Este �angulo de inclinaci�on es de ��o y da lugar al fen�omeno delas estaciones como bien conocer�a el lector En los equinocios de primaveray oto�no �� de Marzo y �� de Septiembre respectivamente� el Sol quedacontenido en el plano del ecuador celeste pero durante el verano y observado desde un punto del hemisferio norte de la Tierra el Sol queda por encimadel plano del ecuador celeste alcanzado su m�axima elevaci�on de ��o enel solsticio de verano �� de Junio� Por el contrario durante el invierno elSol se ve por debajo del plano del ecuador celeste alcanz�andose la m�aximadesviaci�on tambi�en de ��o en el solsticio de invierno �� de Diciembre�La situaic�on se resume en la �gura ��

El �angulo de declinaci�on solar var��a casi sinusoidalmente a lo largo dela�no As�� para el d��a n del a�no �contados del � al �� a partir del � de Enero� la declinaci�on soalr �s puede evaluarse en grados mediante la siguientef�ormula aproximada�




Plano delEcuadorCe leste

N

S

E

W

O

90º

Plano de la órbitaaparente del Sol enverano

Plano de la órbitaaparente del Sol eninvierno

Figura �� Plano de la �orbita aparente del Sol en una localizaci�on delhemisferio norte

�s � �� sin

��

�� n

��

��

En los equinocios de primavera y oto�no la declinaci�on solar es cero yel Sol est�a sobre la l��nea del ecuador Su �orbita aparente coincide pues con la l��nea del ecuador y obserbada desde la latitud geofr�a�ca de Sevilla�unos ��o N� lo veremos salir desde el punto del Este elevarse en una �orbitainclinada hacia el Sur alcanzando su punto m�aximo en el medio d��a solar a ��o �� sobre la l��nea del horizonte y descender hasta ocultarse porel punto Oeste del plano del horizonte Observado el Sol en la misma fecha pero desde un punto situado en el ecuador terrestre la �orbita aparente ser��auna semicircunferencia que arrancando del puto Este se oculta por el Oestepasando por el c�enit local

En el equinocio de verano el Sol se encuentra a ��o por encima de lal��nea del ecuador as�� que observado desde Sevilla su �orbita aparente alcanzasu punto m�aximo formando un �angulo de ��o �� s� por encimade la l��nea Sur y en consecuencia tambi�en se levanta y se acuesta ��o

hacia el norte desde los puntos Este y Oeste respectivamente La �orbitaaparene del Sol es mucho m�as larga este d��a teniendo tambi�en la m�aximaduraci�on de luz solar Observado el Sol el mismo d��a desde un punto en elecuador terrestre su �orbita aparente queda delimitada por la intersecci�oncon la b�oveda celeste de un plano paralelo al del ecuador celeste �que aqu��pasa por los puntos E c�enit W� pero desplazado ��o al norte a partirde su c�enit Proponemos para el lector que complete esta discusi�on parael solsticio de invierno En la �gura �� se muestran unos esquemas queresumen nuestras observaciones




EcuadorCe leste

N

Y

Z

Z’

Y’

S

E

X=X’

O

A . R .

A s

w

Figura �� Relaciones angulares

�� Relaciones angulares

Consideremos un sistema de ejes cartesianos asociados al sistema de coordenadas horizontal ��gura �� con el eje X alineado en la direcci�on W el ejeY en la direcci�on S y el eje Z hacia el c�enit En este sistema de referencia ysupuesto un radio unidad para la b�oveda celeste la posici�on del Sol de�nida a partir de los �angulos altura y �acimut �s y As las coordenadas x� y� zser�an�

x � cos �s sinAs

y � cos �s cosAs

z � sin�s � ��

En la misma �gura se representa un segundo sistema de referencia deejes cartesianos asociado al sistema de referencia ecuatorial con el eje OZ en la direcci�on del polo norte celeste el eje OX sobre al plano horizontal enla direcci�on W y el eje OY en la direcci�on S pero sobre el plano del ecuadorceleste Aqu�� la posici�on del Sol viene dada por los �angulos declinaci�on �sy horario ws Las coordenadas x�� y�� z� ser�an�

x� � cos �s sinws

y� � cos �s cosws

z� � sin �s � ��

Podemos escribir las componentes de los unitarios i j k vistas en elsistema de referencia OXYZ As�� y teniendo en cuenta la �gura ��


i� � i

j� � sin�j � cos �k

k� � � cos�j � sin�k � ��

Debe cumplirse la siguiente relaci�on entre los dos sistemas de coordenadas�

xi � yj � zk � x�i� � y�j� � z�k� ��

Sustituyendo las expresiones anteriores e igualando por componentes extraemos las tres relaciones escalares siguientes�

cos �s sinAs � cos �s sinws

cos �s cosAs � cosws sin�� sin �s cos �

sin�s � sin �s sin� � cos �s cosws cos � � ��

Es �esta tercera ecuaci�on la que expresa la relaci�on angular fundamentalque nos permitir�a encontrar la mayor��a de los resultados pr�acticos de inter�es En ella se expresa el �angulo de la altura solar en funci�on de la latitudgeogr�a�ca del punto de obserbaci�on de la declinaci�on solar �que podemosconsiderar pr�acticamente constante a lo largo del d��a de la fecha de obserbaci�on� y del �angulo horario del Sol

�� Duraci�on del d��a

En el momento de la salida y la puesta del Sol se cumple que �s � � Apartir de la ecuaci�on �� pueden despejarse los valores wsjo que satisfacenla condici�on de nulidad de la altura solar�

coswsjo � � tan� tan �s ��

Esta ecuaci�on proporciona dos soluciones simetricas�

ws �ocaso�� j cos�� tan � tan �s�j � �ws�orto�La duraci�on del d��a sera N � �wsjo cuando el �angulo horario se expresa

en horas � ��o � �� horas�

El d��a n�autico se extiende hasta el ocaso �el Sol bajo el horizonte pero elcielo iluminado� y su duraci�on es algo mayor que N No obstante el c�alculode la duraci�on de las horas de luz que aqu�� se ha presentado es plenamenteaceptable para el proyectista de instalaciones de energ��a solar

EjemploCalcula la duraci�on del d��a en Sevilla �� o� para el �� deMarzo Estime tambi�en la hora de salida y la hora de puesta del Sol


SOLUCI �ON� El �� de Marzo es el d��a n � �� del a�no y seg�un la ecuaci�on�� el �angulo de declinaci�on solar es �s � ��o de manera que wsjo �cos�� o � �� horas As�� la duraci�on del d��a ser�a N �� horas � �� horas �� minutos y �� segundos�

El Sol sale�se pone �� horas antes�despu�es del medio d��a solar local�� hsl� As�� el Sol saldr��a a las �� hsl

Ejemplo�EJERCICIO PROPUESTO�Dise�ne un peque�no programa dec�alculo que le permita calcular la duraci�on del d��a para cualquier fecha y encualquier latitud geogr�a�ca

�� Paso de coordenadas ecuatoriales a horizontales

Dados �s y ws �ws incluye el efecto de la longitud geogr�a�ca expresado enel uso del hsl� y una latitud geogr�a�ca � los �angulos �s y As se obtienena trav�es de las siguientes relaciones�

sen�s � sen�ssen� � cos �s cosws cos �

cos �ssenAs � cos �ssenws ��

La segunda ecuaci�on se resuelve para �s �

�� Mapa de trayectorias solares

Es la representaci�on para una localizaci�on geogr�a�ca y una fecha determinada de �s frente a As

M�etodo de c�alculo� Dados � y �s se calcula el tiempo del orto y delocaso en hsl �c�alculo de wsjo expresado en horas y torto � �� wsjo tocaso � �� wsjo� Partiendo del tiempo del orto vamos dando valoresa t �por ejemplo a intervalos de � hora� Para cada valor se calcula ws

y se aplican las ecuaciones �� para obtener As y �s que luego se llevana la gr�a�ca En la �gura �� se muestra un ejemplo de c�alculo para laciudad de Sevilla Estos mapas son de gran utilidad para la evaluaci�on deun emplazamiento de una instalaci�on de energ��a solar La l��nea de horizonteen la direcci�on sur puede presentar edi�cios �arboles u otros elementos quepueden proyectar sombra sobre las placas solares en alg�un momento del a�noBasta medir el �angulo acimutal y de altura del obst�aculo y representarlosobre el mapa de trayectorias ��echas en la �gura ��

�� Vector unitario en la direcci�on del sol

En un sistema de coordenadas cartesiano asociado al sistema de coordenadasceleste horizontal �eje X al W eje Y al S y eje Z al c�enit�

�� RADIACI �ON NO REDUCIDA ��

0

10

20

30

40

50

60

70

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Altu

ra s

olar

(gr

ados

)

Acimut (grados)

EquinociosSolsticio de invierno

Figura �� Trayectoria solar calculada para los equinocios y el solsticiode invierno en Sevilla Las �echas simbolizan obst�aculos con proyecci�on desombra

�er � �er�x� er�y� er�z�

er�x � cos �ssenws

er�y � cos �s coswssen�� sen�s cos �

er�z � sen�ssen� � cos �s cosws cos � ��

�� Radiaci�on no reducida sobre una supercie

horizontal y sobre una placa inclinada

�� Densidad de �ujo radiante no reducida sobre una su

per�cie horizontal

Seg�un la ley de D Alembert la densidad de �ujo radiante si no tenemosen cuenta los efectos de la atm�osfera ser�a F � Fo cos � siendo � el �anguloformado entre la direcci�on de propagaci�on de los rayos solares y la normal ala super�cie receptora En nuestro caso la super�cie receptora es horizontal y el �angulo � est�a relacionado con el �angulo de altura solar

� � �� s Teniendo en cuenta la ecuaci�on �� obtenemos

F � Fo �sin �s sin� � cos �s cosws�t� cos ��

Al usar esta expresi�on recordamos que � es �jo para un punto de observaci�on dado y que �s puede considerarse constante para un d��a de observaci�on en part��cular y est�a dado por la ecuaci�on �� Obs�ervese por �ultimo


como el �angulo horario ws va variando a lo largo del d��a y que la ecuaic�onanterior s�olo tiene sentido para �angulos horarios comprendidos entre el ortoy el ocaso siendo nula la densidad de �ujo radiante para el resto del tiempo�la noche� Interesa saber en qu�e momento del d��a �para qu�e valor de ws�se alcanza el m�aximo valor de F De lo anteriormente expuesto se deduceque esto ocurre para ws � � �medio d��a local� teniendo entonces

Fmax � Fo �sin �s sin� � cos �s cos �� Fo cos�� s� ��

Ejercicio� �Curva de insolaci�on te�orica� La representaci�on gr�a�ca de laecuaci�on �� para un d��a y una localizaci�on en particular se conoce como lacurva de insolaci�on te�orica Se pide al alumno que desarrolle una aplicaci�onque le permita representar las curvas de insolaci�on te�orica para cualquierfecha y cualquier punto de observaci�on Para ello se ha de determinar previamente el valor de wsjo y representar despu�es la curva para valores dews comprendidos entre �wsjo y �wsjo teniendo en cuenta el momento desalida y puesta del sol y la relaci�on entre grados y horas

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20

F (

W/m

^2)

t (h.s.l.)

n=45 en Sevilla

Curva de insolaci�onpara Sevilla en n��

�� Valor diario de la energ��a radiante no reducida sobre

una super�cie horizontal

Si integramos la curva de insolaci�on te�orica para un d��a en particular encontraremos la energ��a recibida por unidad de super�cie F� �J�m� o preferentemente kw h � m�� Teniendo en cuenta que la densidad de �ujo radiante es nula por la noche escribiremos�

F� �

Z ocaso

ortoFo �sin �s sin� � cos �s cos � cosws�t�� dt

expresi�on en la que s�olo ws�t� depende del tiempo seg�un la ecuaci�on ��Multiplicando y dividiendo en la expresi�on de F� por wT podemos re

alizar el cambio de variable de integraci�on de t a ws y como dws � wT dt obtenemos

F� �FowT

�Z ocaso

ortosin �s sin�dws �

Z ocaso

ortocos �s cos � coswsdws

�

Y como las funciones resultan sim�etricas en el intervalo de integraci�on

Z ocaso

orto� �

Z wsjocaso

ws��

F� ��

�Fo �sin �s sin��wsjo � cos �s cos �� sinwsjo�

expresi�on en la que wsjo resulta conocida pero que hay que expresar enradianes

�� RADIACI �ON NO REDUCIDA ��

NN

N S

Placa inclinada

Normal a la placainclinada

EstrellaPolar

Ecuadorceleste

Figura �� Radiaci�on no reducida sobre una placa iinclinada

La f�ormula anterior puede mejorarse pues la constante solar involucrala distancia media TierraSol pero esta var��a a lo largo del a�no haciendoque la densidad de �ujo radiante recibido a nivel de la atm�osfera no sea Fo sino

Fo

�� cos

��n

��

��

Finalmente

F� ��

�Fo

�� cos

��n

��

��sin �s sin�wsjo � cos �s cos � sinwsjo�

��

En esta expresi�on el resultado viene dado en w h�m� cuando Fo se daen w�m�

Ejercicio Desarrolle una aplicaci�on que le permita calcular en kwh�m� el valor diario de la energ��a radiante no reducida que se recibe sobre una super�cie horizontal para cualquier localizaci�on y cualquier fecha Construyauna tabla para Sevilla y los d��as �� de cada mes

�� Radiaci�on solar no reducida sobre una placa inclinada

orientada al sur

Consideraremos aqu�� s�olo placas inclinadas en el hemisferio norte y orientadas al sur formando un �angulo � con la horizontal �v�ease la �gura ��Desde la super�cie inclinada la �orbita aparente del Sol se asimila a la vistadesde latitudes m�as bajas concretamente desde una latitud � � � con laexcepci�on de la salida y la puesta del Sol As�� el valor diario de la radiaci�onrecibida sobre la placa inclinada un �angulo � F�� ser�a


F��

�Fo

�� cos

��n

��

�� sin �s sin�� w�

sjo � cos �s cos�� sinw�sjo

��

siendo w�sjo el m��nimo de estos dos valores�

cos�� tan � tan �s�cos�� tan�� tan �s�

Ejercicio Desarrolle una aplicaci�on que le permita calcular en kwh�m� el valor diario de la energ��a radiante no reducida que se recibe sobre una super�cie inclinada un �angulo � y orientada al sur para cualquier localizaci�ony cualquier fecha Construya una tabla para Sevilla y los d��as �� de cadames y un �angulo � � ��o

�� Placa inclinada con orientaci�on arbitraria

En el sistema de coordenadas horizontal el vector unitario normal a unaplaca horizontal es �� Si la placa se inclina un �angulo � sobre eleje OX quedar�a orientada al sur y el vector unitario�� queda contenido en elplano YZ form�ando un �angulo � con el eje OZ Sus coordenadas ser�an�� sin�� cos �� Si a partir de la posici�on anterior la placa gira un �angulo� sobre el oje OY el vector unitario �� quedar�a formando un �angulo � conel eje OZ y contenido en un plano que forma un �angulo � con el YZ Suscoordenadas ser�an�

�� sin� sin�� sin� cos�� cos ��

El producto escalar �� er � cos � La densidad de �ujo radiante noreducida sobre la placa ser�a entonces�

F�� Fo�� er ��

El sol �sale� o se �oculta� con respecto a la placa cuando la direcci�on delos rayos solares es paralela a la placa �� er � � ecuaci�on que nos permiteresolver el �angulo horario w�

s que veri�ca esta condici�on� a menos que elplano del horizonte lo est�e ocultando y entonces ver�a a la placa cuandows � wsjorto

La curva de insolaci�on te�orica vista por la placa se obtiene dando valoresa ws en la expresi�on �� comprendidos entre la salida y la puesta del solsobre la placa El valor diario de la radiaci�on solar no reducida recibidasobre la placa se calcula entonces�

F�� Fo��

��

Z w�

ocaso

w�

orto

�� erdw ��

Las expresiones estudiadas antes para placa horizontal y plaza inclinadaorientada al sur son soluciones particulares de esta expresi�on general

�� EFECTOS DE LA ATM�OSFERA ��

N

s

m= 1 A.M.m

F

F’

o

o

Figura �� Espesor atmosf�erico

�� Efectos de la atm�osfera en la radiaci�on solar

�� Espesor atmosf�erico

En la �gura �� se muestra un esquema con el recorrido de los rayos solaresdentro del espesor atmosf�erico para un �angulo de altura solar dado Si setoma como unidad de medida el espesor de la atm�osfera en la perpendicularal lugar de observaci�on �a esta unidad se denomina AM del ingl�es �airmass�� la longitud m recorrida dentro de la atm�osfera por los rayos solarescuando la altura solar es �s seer�a

m ��

sin�s��

En el l��mite superior de la atm�osfera la densidad de �ujo radiante sobreuna super�cie normal a la direcci�on de propagaci�on de los rayos solares es como sabemos la constante solar Fo La radiaci�on al atravesar un espesorm de atm�osfera se aten�ua por fen�omenos de absorci�on y dispersi�on demodo que la densidad de �ujo radiante que llega a una super�cie a nivelde suelo y tambi�en normal a la direcci�on de propagaci�on F �

o es inferior aFo La atenuaci�on crece exponencialmente con el espesor atm�osferico m deacuerdo con la ley

F �o � Foe

�am ��

donde a es el coe�ciente de atenuaci�on de la atm�osfera y es distinto paracada longitud de onda Tambi�en depende del estado atmosf�erico �polvo ensuspensi�on cantidad de vapor de agua que pueden variar de un d��a a otro ode un lugar a otro� La atenuaci�on tambi�en depende del momento del d��a yde la estaci�on del a�no �a trav�es del �angulo �s� Debemos se�nalar por �ultimoque el espesor de la atm�osfera es mayor en el ecuador que en los polos

Todas las circunstancias anteriores hacen que la ecuaci�on �� tengainter�es te�orico pero poca utilidad pr�actica a la hora de estimar la radiaci�onsolar a nivel del suelo a partir de la radiaci�on no reducida


�� Otros efectos atm�osfericos

En un determinado punto de observaci�on se reciben rayos directos del Sol quehan sufrido un proceso de atenuaci�on al atravesar un determinado espesoratmosf�erico Pero adem�as de esta componente directa de la radiaci�on existeuna componente difusa integrada por radiaci�on solar que llega al punto deobservaci�on en una direcci�on que no se corresponde con la posici�on del Solen ese momento Esto es posible debido a los efectos de dispersi�on � losfotones de la radiaci�on solar que colisionan con los �atomos y mol�eculas dela atm�osfera y que emergen con una direcci�on de propagaci�on distinta� y dela re�exi�on �en la super�cie de las nubes y de otros objetos� Al conjuntode la radiaci�on directa m�as radiaic�on difusa se le denomina radiaci�on global y lo denotaremos por Rs Nuestro objetivo en las siguientes secciones secentrar�a en poder estimar Rs a partir de F

En esta secci�on debemos ocuparnos de manera especial del efecto de lanubosidad Efectivamente la existencia de nubes que se interpongan entreel observador y el Sol puede suprimir por completo la componente directade la radiaci�on y reducir notablemente la componente difusa Si el tiempode ocultamiento del Sol por las nubes es importante se reducir�a mucho laenerg��a radiante que pueda captarse ese d��a En Agrometeorolog��a as�� comoen aplicaciones de energ��a solar resulta de gran inter�es la cuanti�caci�on dela nubosidad �Esta puede determinarse por observaci�on directa en d�ecimaso en octas �octavos� de cielo cubierto y se representa por c

Denominaremos n al n�umero real de horas de Sol para un d��a particular�descontado el tiempo de los ocultamientos por nubes� y que ser�a menor oigual que N la duraci�on de d��a �horas de luz astron�omicamente posibles�El cociente horario nN y la nubosidad c est�an relacionados mediante laecuaici�on�

c � ��n

N��

�� Radiaci�on directa y radiaci�on difusa

�� Radiaci�on global

Cuando se proyecta una instalaci�on de aprobechamiento de la energ��a solarinteresa evaluar la energ��a disponible Para unas condiciones astron�omicasdadas la variabilidad del estado atmosf�erico es tan amplia que la radiaic�onglobal puede estimarse s�olo en t�erminos estad��sticos Se manejan as�� valores medios observados de la radiaci�on global y de las horas de luz n parala localizaci�on de nuestro inter�es El Instituto Nacional de Meteorolog��aproporciona tablas y mapas con las horas de sol �valores medios diariospromediados por meses� y de radiaci�on global �media diaria promediadapor meses� para todo el territorio nacional y elavorados con observaciones

�� RADIACI �ON DIRECTA Y DIFUSA ��

de m�as de una d�ecada Normalmente estos ser�an los datos de partida entodo proyecto t�ecnico

En su defecto y si se dispone del valor nN pueden usarse las f�ormulasde

a� AngstromPag�e

Rs

� F� � A � B �

n

N ��

que se aplica a los valores promedios mensuales de F� y nN �denotados por� � y donde A y B son coe�cientes emp��ricos que han de ajustarse paracada localizaci�on

b� RietveldRs

� F� � ��

n

N ��

aplicable a cualquier localizaci�on

�� Estimaci�on de la radiaci�on difusa y de la radiaic�on di

recta sobre una super�cie horizontal

Al proyectista le interesan los valores medios diarios caracter��sticos de cadames Para su c�alculo se partir�a del conocimiento de Rs y de � F� Elprimero representa la radiaic�on global obtenida como en la secci�on anterior y el segundo corresponde al valor medio diario para el mes en cuesti�on dela radiaci�on no reducida �puede tomarse en buena aproximaci�on como elvalor de F� para el d��a �� de ese mes�

Se de�ne el ��ndice de claridad de la atm�osfera KT como

KT �Rs

� F�

La componente difusa de la radiaic�on Rs�d se eval�ua mediante la siguiente f�ormula emp��rica

Rs�d

Rs� A � BKT ��

donde A y B son coe�cientes que dependen de la localidad y que para Sevillatoman valores A � �� B � �� y que para otras localizaciones y endefecto de valores espec��cos pueden tomarse en primera estimaci�on comoA � �� y B � ��

ConocidaRs�d resulta trivial obtener la componente directa de la raciaci�on Rs�B pues se ha de satisfacer la siguiente igualdad�

Rs�B � Rs �Rs�d ��


Placa inclinada

Componentedifusa de laradiación

Radiacióndirecta

Componente dealbedo

Figura �� Componentes de la radiaci�on sobre una placa inclinada un�angulo � y orientada al Sur

�� C�alculo de la radiaci�on global recibida sobre

una placa inclinada

En la �gura �� se muestran las tres componentes de la radiaci�on queinciden sobre una placa inclinada y orientada al sur�

� La componente directa que generalmente se ve favorecida �con respecto a una super�cie horizontal� con el �angulo de inclinaci�on

� La componente difusa que se modi�ca con respecto a la super�ciehorizontal por dos efectos�

La porci�on de cielo que se ve desde una placa inclinada es menor quela que se ver��a desde una super�cie horizontal Hay as�� una parte de lacomponente difusa que no llega a la placa inclinada

La radiaic�on difusa no procede por igual de todas direcciones Laradiaci�on difusa es m�as abundante en la direcci�on del Sol de modo quela captaci�on de esta fracci�on se ve favorecida cuando la placa inclinada seenfrenta al Sol

� La componente de albedo Es la fracci�on de la radiaci�on solar quetras re�ejarse en el suelo termina incidiendo sobre la placa inclinada Estacomponente como es l�ogico no est�a presente en una placa horizontal

En lo que sigue trataremos de cuanti�car estas tres componentes Ensecciones anteriores aprendimos a calcular la radiaci�on solar no reducidasobre una placa inclinada un �angulo �� F�� al igual que sobre una super�ciehorizontal F� �secci�on �� De�niremos el factor de correcci�on geom�etrico f� como el cociente�

f� �F��

F�

�sin �s sin�� w�

sjo � cos �s cos�� sinw�sjo

sin �s sin�wsjo � cos �s cos � sinwsjo��

As�� la componente directa de la radiaci�on que incide sobre una placa inclinada un �angulo � �Rs�B ser�a igual a la componente directa de laradiaci�on sobre un suelo horizontal multiplicada por el factor corrector f��

�� RADIACI �ON GLOBAL SOBRE PLACA ��

�Rs�B � f�Rs�B ��

Para evaluar la componente de albedo debemos saber en primer lugar quela fracci�on de la radiaic�on solar global que se re�eja sobre un suelo horizontalviene dada en funci�on de un coe�ciente de re�exi�on caracter��stico de cadasuper�cie �suelo desnudo cultivo agua etc� denominado coe�ciente dealbedo � As�� la fracci�on re�ejada ser�a �Rs pero s�olo una parte terminasiendo captada por la placa inclinada Mediante consideraciones geom�etricasen las que no entraremos se obtiene que la componente de albedo sobre laplaca inclinada un �angulo � �Rs� es�

�Rs� ��

�Rs�� cos ��

Para evaluar la componente difusa pueden usarse varios modelos seg�unse considere que la radiaci�on difusa incidente se reparte uniformemente entodas las direcciones �modelo is�otropo� o que es m�as intensa en la direcci�ondel Sol �m�odelo anis�otropo� En situaciones de cielo despejado resulta m�asapropiado el modelo anis�otropo! en cambio en condiciones de cielo nublado resulta m�as apropiado el modelo is�otropo Nosotros usaremos aqu�� unmodelo mixto teniendo en cuenta que el cociente Rs�BF� �que puede tomarvalores entre � y �� nos da idea del estado de claridad del cielo Efectivamente cuanto mayor sea este cociente mayor resulta la coincidencia entre lacomponente directa y la radiaci�on no reducida! esto es en estas condicionesse minimiza el efecto de la dispersi�on en la atm�osfera y ser�a convenienteaplicar el modelo anis�otropo Por contra cuanto menor sea el cociente �m�aspr�oximo a cero� menor es la componente directa y en consecuencia mayorser�a la componente difusa En estas circunstancias el cielo est�a nublado o�muy cargado� resultando aconsejable la aplicaci�on de un modelo is�otropoTeniendo en cuenta lo anterior as�� como la fracci�on de cielo vista desde laplaca �comp�arese con la expresi�on de la componente de albedo� se encuentra que la componente difusa de la radiaic�on sobre la placa inclinada �Rs�D

es�

�Rs�D � Rs�D

�Rs�B

F�

f� ��

�� cos ��

Rs�B

F�

�

��

A partir de las ecuaciones anteriores es posible ya obtener la radiaci�ontotal incidente sobre la placa inclinada �Rs como

�Rs �� Rs�B �� Rs� �� Rs�D ��

Esta ecuaci�on ser�a nuestro punto de partida para los calculos de dimensionamiento de los sistemas de aprovechamiento de energ��a solar quepasaremos a esudiar en los temas siguientes


�� C�alculo de sombras

Consideremos de nuevo el sistema de referencia horizontal con origen enel punto de observaci�on La latitud geogr�a�ca el d��a del a�no �declinaci�onsolar� y hora del d��a ��angulo horario� ser�an conocidas Sea un m�astil verticalcuyo extremo P tiene las coordenadas P �xa� ya� za� �su base es B�xa� ya� ��El vector unitario en la direcci�on al sol se podr�a calcular seg�un la ecuaci�on�� La ecuaci�on vectorial de la recta que pasa por P en la direcci�on dadapor ��er ser�a� R�x� y� z� � P � ��er La proyecci�on de sombra de P sobre elplano horizontal se encuentra como el punto de corte de la recta R con elplano Z � � Resolviendo � de la expresi�on�

Z � � � za � �er�z

se obtienen las coordenadas de la proyecci�on de sombra�

xs � xa � �er�x

ys � ya � �er�y

zs � � ��

El problema anterior puede resolverse dando distintos valores a ws �distintos momentos del d��a� para encontrar el lugar geom�etrico de las proyecciones de la sombra �trayectoria de sombra� El �area barrida por la sombrase obtiene uniendo la base del m�astil con la curva barrida por la sombra

A veces interesa estudiar la proyecci�on de sombra sobre una super�cie inclinada �piense en unas placas solares integradas en un tejado y la proyecci�onde sombra de un �arbol pr�oximo� El plano inclinado queda determinado porun vector unitario normal �� y por un punto Ap�xp� yp� zp� �puede interesartomar el punto de observaci�on O en Ap pero realizaremos un planteamientogeneral� El punto de proyecic�on de sombra Ps�xs� ys� zs� tiene que cumplirsimult�aneamente la condici�on de pertenecer a la recta R y al plano�

Ps�xs� ys� zs� � �xa� ya� za� � ��er��AP�� ! �xs � xp� ys � yp� zs � zp��sin� sin�� sin� cos�� cos ��

Tenemos as�� un sistema de � ecuaciones �la primera es una ecuaci�on vectorial que se desarrolla en tres escalares igualando las componentes X Y Z�con cuatro inc�ognitas �xs� ys� zs y �� Igual que antes el problema puederesovlerse para distintos valores de ws obteniendo la trayectoria de la sombra

Para describir la sombra de un obst�aculo con geometria m�as complicada basta tomar algunos puntos de referencia �los v�ertices de un edi�cio porejemplo� para resolver su sombra

�� C �ALCULO DE SOMBRAS ��

-30-20

-10010

2030 -15

-10-5

0

Figura �� Ejemplo de proyecci�on de sombra de un m�astil en un d��a deverano en Sevilla

Radiacion Solar

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