R2 b13 semicírculo

Bloque 13

Semicírculo: Valores extremos

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 13 Semicírculo: Valores extremos

Presentación Los propósitos centrales del bloque son: (i) Identificar el dominio y contradominio de funciones de la forma

.

(ii) Analizar gráficas de funciones de la forma en inter-valos en los que crece y decrece.

(iii) Identificar la relación entre la recta tangente en un punto de una gráfica y su comportamiento de crecimiento y decrecimien-to.

(iv) Identificar máximos y mínimos en una gráfica. (v) Realizar traslaciones verticales y horizontales, reflexiones con

respecto al eje cartesiano horizontal y su relación con los coefi-cientes de la regla de correspondencia de la función.

La actividades sugieren la identificación del dominio y contradominio de

funciones de la forma a partir de la visualización de sus gráficas y su regla de correspondencia. Se introduce la notación para intervalos y las nociones de intervalo abierto e intervalo cerrado.

Las hojas de trabajo incluyen tareas para identificar los valores extre-mos en semicírculos a partir de la visualización de las gráficas desplegadas en la calculadora, para esto se emplean recursos como la construcción de rectas tangentes en un punto de las gráficas, dando lugar a la introducción de los conceptos de crecimiento, valores máximo y mínimo y recta tangente en un punto. Se incluye una actividad para utilizar la prueba de la recta horizontal para identificar si la función corresponde a una relación uno a uno.

Las transformaciones del semicírculo en el plano se incluyen en las acti-vidades sugiriendo la variación de los parámetros de expresiones de la forma 𝑎�(𝑏2 − (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑑 y observar sus efectos en las gráficas correspondientes.

El uso de la calculadora permite al usuario centrarse en tareas de explo-ración, formulación y validación de conjeturas, permitiendo gradualmente des-arrollar procesos más directos para la traducción entre la gráfica y la regla de correspondencia de la función.

Representación Algebraica

Representación Gráfica



HOJA DE TRABAJO 129 SEMICÍRCULO

1. Construye en la calculadora la gráfica de la función y =√6.25− x2 y reprodúcela en el plano de la derecha.

2. Observa la gráfica que construiste en la calculadora y responde: lo que se pide en cada caso.

a) ¿La gráfica crece o decrece indefinidamente? ____________________ Explica tu respuesta. _______________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________

b) ¿Identificas puntos que consideras importantes en la gráfica? ________ ¿Cuáles y por qué? _________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________

c) ¿Cuál es el dominio de la función y = √6.25− x2? Exprésalo como intervalo. _______________________________________________________

d) ¿Cuál es el contradominio de la función y = √6.25− x2? Exprésalo como intervalo. _______________________________________________

3. ¿A qué crees que se debe el comportamiento de la gráfica que construiste? Explica con detalle. ______________________________ _______________________________________________________En el si-guiente plano aparecen las gráficas de 𝑦 = 1.5 y de 𝑦 = √6.25− 𝑥2. Construye en tu calculadora la gráfica de 𝑦 = 1.5 .

4. ¿En cuántos puntos cruza la recta horizontal a la gráfica de 𝑦 = √6.25− 𝑥2 ?

________ ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos? ____________________________________________________

5. ¿La recta 𝑦 = 1.5 es la única que corta en dos puntos a la gráfica de 𝑦 =√6.25− 𝑥2? _________________________________________.

La recta horizontal permite comprobar si una función es “uno a uno”, esto significa que a cada valor del contradominio le corresponde sólo un valor del dominio. Una gráfica que sólo crece o decrece es una función “uno a uno”. ¿La gráfica de esta hoja de trabajo corres-ponde a una función “uno a uno”? ¿Por qué?



HOJA DE TRABAJO 130 RECTAS TANGENTES

1. Construye en la calculadora la gráfica de la función: 𝑦 = �12.25− 𝑥2

2. ¿En qué intervalo la función es creciente? _______________________ 3. ¿En cuál es decreciente? ___________________________________ 4. ¿Tiene un valor máximo o mínimo? ____ ¿En qué punto? _____________ 5. Construye en la calculadora rectas tangentes al semicírculo en los puntos que se

indican.

6. ¿Cuál es la ecuación de la recta tan-gente en el punto (-2.1, -2.8)? __________________________

7. ¿Es creciente o decreciente la recta? _______________________

8. ¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta? ___________________

9. En el plano de la derecha se muestra la recta tangente al se-micírculo en el punto (3.1, -1.62481). ¿Es creciente o decre-ciente la recta? ______________________

10. ¿Cuál es el signo de su pendiente? ________________________

11. ¿Qué relación observas entre el comportamiento de la gráfica y la pen-diente de la recta tangente? _______________________________ _______________________________________________________

12. Construye la recta tangente al semicírculo en el punto (0, 3.5). ¿Crece o decrece la tangente? ____________ ¿Cuál es su pendiente? _________

13. ¿Cuál crees que será el valor de la pendiente de la recta tangente en un máximo o mínimo de la gráfica de una función? __________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 131 SEMICÍRCULOS

1. Construye en la calculadora la

gráfica de la función

y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

2. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función ? __________ _________________________________________________________ Justifica tu respuesta. ________________________________________ _________________________________________________________

3. Encuentra una función con la que puedas construir en la calculadora la gráfica que complete un círculo al unirla con la gráfica del inciso (1). Anota la función que utilizaste y dibuja su gráfica en el plano cartesiano del inciso anterior.

y=___________________

4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función que encontraste en el inciso (3)?______________________________________________________ Justifica tu respuesta. ________________________________________ _________________________________________________________

5. Anota las coordenadas de los puntos en los que el círculo cruza los ejes coordenados.

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

6. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculo que se formó con las gráficas de las fun-ciones de los incisos 1 y 2? ________________________________

7. Construye los siguientes círculos y anota las funciones que usaste. La escala en los ejes cartesianos es 1.

y = __________ y = __________ y = __________

y = __________ y = __________ y = __________

8. ¿Cuántas unidades mide el radio de cada uno de los círculos que construiste? _________________________________________________________

9. Encuentra qué relación existe entre la expresión que usaste para construir un círculo con la medida de su radio, y explícala a continuación. __________________ _________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 132 SEMIELIPSES

1. Construye en la calculadora una semi-elipse usando la ecuación

)x(.y 2950 −−= . Dibuja la gráfica en el plano de la derecha.

2. Encuentra la función cuya gráfica te permita completar la elipse que se bosquejó en el inciso (1). Anota la función que encontraste y dibuja la gráfica en el plano del inciso (1).

y=___________________

3. Anota las coordenadas de los puntos en los que la elipse cruza los ejes X y Y.

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de las funciones del inciso 1 y 2? ______ _________________________________________________________ Justifica tu respuesta. ________________________________________ _________________________________________________________

En la figura de la derecha se han resal-tado los semiejes vertical y horizontal de la elipse cuyas ecuaciones son las de los incisos (1) y (2).

5. ¿Cuántas unidades mide el semieje horizontal? _________________________

6. ¿Cuántas el semieje vertical? ______________________________________

7. ¿Encuentra qué relación existe entre los términos constantes de las ecuaciones que se usa-ron para construir esa elipse y la longitud de los semiejes.

8. Construye en la calculadora las elipses con las características que se indican, anota las ex-presiones que utilizaste y dibújalas.

Semieje horizontal: 1 unidad Semieje vertical: 3 unidades

Semieje horizontal: 4 unidades Semieje vertical: 2 unidades

y = ______ y = ______ y = ______ y = ______ 9. Encuentra la relación entre las expresiones y la medida de los semiejes, explícala a

continuación. _______________________________________________ _________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 133 ELIPSES Y CÍRCULOS

1. Completa la siguiente tabla sin construir las gráficas de las funciones. Después verifica tus respuestas construyendo las gráficas en la calculadora.

Expresión Gráfica que se obtiene (semicírculo o semielipse)

Medida(s) del radio/semiejes

256251 x..y −=

2847 x.y −=

2. Construye en la calculadora las elipses que pasen por los puntos que se resaltan en los siguientes planos cartesianos y anota las ecuaciones que utilizaste. La escala en los ejes cartesianos es 1.

y = ______ Y =______ y =______ y =______ 3. Reproduce en la calculadora las siguientes figuras y anota las ecuaciones que utilizaste

en cada caso.



HOJA DE TRABAJO 134 ¡ARRIBA, ABAJO!

1. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las ecuaciones que utilizas-te. La escala en los ejes cartesianos es 1.

a)

b)

2. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculo que construiste? ____________ 3. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro del círculo.

__________________________________________________________

4. ¿Cuántas unidades miden los semiejes de la elipse? ____________________

__________________________________________________________ 5. Escribe las coordenadas del punto en el que coinciden los semiejes de la elipse.

_________________________________________________________ 6. Sin construir la elipse, utiliza las siguientes ecuaciones para determinar las coordena-

das del punto en donde coinciden los semiejes de la elipse. Comprueba tus respuestas en la calculadora.

Coordenadas ( , )

7. Construye en la calculadora un círculo que tenga su centro en (0,-1), dibújalo en el pla-no cartesiano y anota las expresiones que usaste.

8. ¿Cuántos círculos puedes trazar que tengan como centro el punto (0,-1)? Justifica tu

respuesta y proporciona ejemplos. ______________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 135 TRASALACION HORIZONTALES

1. Usa las siguientes ecuaciones para construir en la calculadora las gráficas correspon-dientes y dibújalas en el plano cartesiano de la derecha.

2. Construye en la calculadora un círculo que pase por los puntos que están marcados y

anota las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes es 1.

3. Ahora construye una elipse que pase por los pintos marcados y anota las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes es 1.

4. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro del círculo que construiste. __________________________________________________

5. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro de la elipse. ___________________________________________________________

6. Sin construir el círculo, utiliza las siguientes expresiones para determinar las coorde-nadas del punto en donde se encuentra su centro. Comprueba en la calculadora.

Coordenadas ( , )

7. Explica la relación entre las coordenadas y las ecuaciones del inciso anterior. ________________________________________________________________

_____________________________________________________________ _________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 136 ¡PARECE QUE SE HUNDEN Y FLOTAN!

La escala en todos los planos cartesianos de esta hoja de trabajo es 1.

1. Construye la siguiente gráfica y anota las ecuaciones que utilizaste.

2. Agrega lo que sea necesario a las ecuaciones del inciso anterior para que la gráfica "flote", como se muestra abajo.

3. Ahora encuentra las ecuaciones que "hunden" en el cuarto cuadrante a la gráfica del inciso (1). Anótalas, construye la gráfica en la calculadora y dibuja la gráfica "hundida" en el siguiente plano.

4. Escribe las coordenadas del centro del círculo que "flota". ___________________ 5. Escribe las coordenadas del centro del círculo que "hundiste". ________________ 6. ¿Cómo puedes determinar las coordenadas del centro de los círculos de los incisos (2)

y (3) a partir de sus expresiones? ____________________________________ _____________________________________________________________

7. Haz el siguiente dibujo en la calculadora y explica cómo lo lograste.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 137 CARITA FELIZ

1. Reproduce en tu calcula-

dora el siguiente dibujo. Anota abajo las ecuacio-nes que utilizaste.

2. Modifica la carita feliz agregándole cejas, orejas, cuerpo, bigote, anteojos, poniéndola

triste, preocupada, alargando la carita, etc. 3. Anota las ecuaciones que utilizaste para modificarla y describe que modificación se

produce cuando cambias algo en la ecuación.

Expresión(es) Modificación



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. A partir de la revisión de las hojas de trabajo de este bloque, elabora una descrip-ción de la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es un semicírculo, sus características (forma, simetrías, dominio, contradominio, crecimiento, compor-tamientos locales, globales, parámetros, etc.). Preséntala a tus compañeros y reali-za los ajustes necesarios a tu descripción.

2. Investiga acerca de los siguientes contenidos matemáticos: a. Funciones cuya relación entre sus valores es uno a uno (prueba de la recta

horizontal, tienen función inversa, etc.). b. Valores extremos de una función. locales y globales. c. Rectas tangentes en un punto de la gráfica de una función.

3. Presenta a tu grupo los resultados de tu indagación acerca de los términos ma-temáticos del inciso (3).

4. ¿Encuentras alguna similitud entre la ecuación y el Teorema de Pitá-

goras? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 5. Discute en equipo la pertinencia del uso de la calculadora para el estudio de las

gráficas de las actividades de este bloque. 6. Elabora un ensayo acerca de la contribución del estudio de este bloque en tu for-

mación como futuro docente. Compártelo con tus compañeros.

R2 b13 semicírculo

Documents

Transcript of R2 b13 semicírculo