R2 b10 factorización

Bloque 10

Factorización de expresiones cuadráticas: “Un acercamiento visual”

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 10 Factorización de expresiones cuadráticas: “Un acercamiento visual”

El propósito de este bloque es introducir a los estudiantes al tema de factoriza-ción de expresiones cuadráticas en una variable; se aprovechan los recursos que ofrece la visualización de gráficas en el plano cartesiano y las habilidades que los estudiantes han desarrollado para identificar la relación que hay entre los coefi-cientes de una función cuadrática y el comportamiento de su gráfica. Los casos de factorización que se abordan en este bloque corresponden al trino-mio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio de segundo grado y el trinomio de segundo grado cuando el término independiente es cero. En particu-lar, estos casos corresponden respectivamente a las expresiones canónicas x2+bx+c, x2+2ax+a2, x2-a2 y x2+ax, donde a, b y c son números reales. En casi todas las actividades de este bloque el coeficiente del término cuadrático es 1. La factorización de expresiones cuadráticas en una variable introduce de manera natural al estudio de la equivalencia entre expresiones algebraicas. En estas acti-vidades el criterio para determinar si dos expresiones son equivalentes es que sus gráficas cartesianas sean iguales, lo cual extiende el criterio de equivalencia que se empleó en el Bloque 2, donde el criterio fue que dos expresiones algebraicas son equivalentes si producen los mismos valores de salida para los mismos valo-res de entrada. Te invitamos a que completes las actividades de este bloque reflexionando cons-tantemente sobre los aprendizajes que construyas a partir del análisis del com-portamiento de este tipo de funciones y las competencias docentes que estarás cultivando al enriquecer tus conocimientos con los contenidos del tema de facto-rización algebraica que aquí presentamos. Asimismo, es importante que contrastes este acercamiento didáctico al tema de factorización con el acercamiento algebraico que estudiaste en la secundaria y el bachillerato, que contrastes sus ventajas y limitaciones y las formas en que am-bos acercamientos se complementan.



HOJA DE TRABAJO 106 El trinomio cuadrado perfecto

1. Construye en la calculadora la

gráfica de la ecuación y= (x+3)2 y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

2. Ahora construye la gráfica de la ecuación y= x2 + 6x + 9 y bosquéjala en el plano cartesiano de la derecha.

3. Un estudiante afirma que las gráficas de los incisos (1) y (2) son iguales,

¿estás de acuerdo con él? _________ Explica qué crees que se deba que las dos gráficas sean iguales. ______________________________________

4. Construye la gráfica de la ecuación y=(x+3)(x+3) y compárala con las gráficas de los incisos (1) y (2). ¿Qué puedes concluir acerca de las expresiones (x+3)2,

x2+6x+9 y (x+3)(x+3)? _____________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

5. Encuentra otras dos expresiones como las anteriores, de manera que produz-can la misma gráfica que (x+1)2. Anota esas expresiones y explica cómo las obtuviste. __________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

6. Encuentra las ecuaciones que se usaron para producir cada una de las siguien-

tes gráficas. Después construye dos ecuaciones equivalentes a cada una de ellas.

y=__________ y=__________

y=__________ y=__________ y=__________

y=__________



HOJA DE TRABAJO 107 Algo más sobre el trinomio cuadrado perfecto

1. Una estudiante dice que la ecuación y=x2+1.52 produce la misma gráfica que

y=(x+1.5)2. ¿Estás de acuerdo con ella? _______ Explica tu respuesta. __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

2. Comprueba tu respuesta trazando las

gráficas de las ecuaciones del inciso (1).

3. Otro estudiante dice que y=(x-2)2 produce la misma gráfica que la de la ecua-

ción y=x2-2x-2x+4. ¿Estás de acuerdo con él?____________ Explica tu res-puesta. _________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

4. Construye en la calculadora las gráfi-

cas de las ecuaciones del inciso (3) para comprobar tu respuesta y di-bújalas en el plano cartesiano de la derecha.

5. En cada uno de los siguientes incisos encuentra dos ecuaciones que produzcan

la misma gráfica que la ecuación que se da. Comprueba en la calculadora que tus respuestas son correctas.

a) y= (x + 6)(x+6) y= ______________ y= ______________ b) y= x2+8x+16 y= ______________ y= ______________

c) y=16x2+40x+25

y= _______________ y= ________________

d) y=(x - 2.5)(x-2.5)

y= _______________ y= ________________



HOJA DE TRABAJO 108

Diferencia de cuadrados (1)

1. Construye en la calculadora la gráfica de y = (x + 2.5)(x – 2.5) la siguiente ecuación y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

2. Ahora construye la gráfica de la

ecuación y = x2 – 6.25 y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.

3. ¿Cómo son las gráficas de las dos expresiones que acabas de construir en la

calculadora?________________________________________________ 4. Explica a qué se debe que las dos gráficas sean iguales. ________________

_________________________________________________________

5. Encuentra una ecuación que produz-ca la misma gráfica que y=(x+3)(x–3). Anótala la ecuación que encon-traste en el siguiente recuadro y explica cómo razonaste para formu-lar tu respuesta.

____________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Encuentra dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas.

y=__________ y=__________ y=__________ y=__________



HOJA DE TRABAJO 109 Diferencia de cuadrados (2)

1. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que la ecuación que se

da en cada uno de los siguientes incisos. Anota en el recuadro la ecuación que encontraste y verifica tu respuesta construyendo las gráficas en la calculado-ra. Traza en cada caso la gráfica (cuando sea necesario, específica la escala que usaste para ver la gráfica en la calculadora).

a)

y= (x-3.5)(x+3.5)

ESCALA_______________________ b)

y= x2-36

ESCALA_______________________ c)

y= (3x-1)(3x+1)

ESCALA_______________________ 2. Un estudiante no pudo encontrar la

ecuación que produce una gráfica igual a la de y=100x2-9. Encuéntrala y explica cómo la encontraste. Construye las gráficas en la calcula-dora para comprobar que tu res-puesta es correcta y= _____________________

_____________________________ __________________________________________________________

Otro estudiante dice que la expresión y=(x-5)(x+5) produce la misma gráfica que y=x+25. ¿Estás de acuerdo con él? ______________ Explica tu respuesta. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Construye las gráficas en la calculadora para comprobar que tu respuesta es co-rrecta,.



HOJA DE TRABAJO 110 Trinomio de segundo grado (1)

1. Una estudiante construyó la si-

guiente gráfica en la calculadora. Para ello utilizó una ecuación como la siguiente. Encuentra los números que faltan y completa la ecuación.

y= (x + )(x + )

Explica cómo razonaste para completar la ecuación. ____________________ _____________________________ _____________________________

2. Ahora construye la gráfica de la expresión y=x2+6x+5, y compárala con la del inciso anterior. ¿Cómo son ambas gráficas? ______________ ¿A qué se de-be? _____________________________________________________ __________________________________________________________

3. Encuentra una ecuación que produz-

ca la misma gráfica que y=(x+8)(x+3). Explica cómo la en-contraste

_____________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________

y=

4. Como en los incisos anteriores, encuentra dos ecuaciones que produzcan cada

una de las siguientes gráficas y anótalas en los recuadros.



HOJA DE TRABAJO 111 Trinomio de segundo grado (2)

1. Completa los espacios en blanco para construir parejas de ecuaciones que pro-

duzcan las mismas gráficas. Verifica tus respuestas construyendo las gráficas correspondientes en la calculadora.

a)

y= (x- )(x+ )

y= x2- [ ] x- [ ]

b)

y= (x- )(x- )

y= x2- [ ] x + [ ]

c)

y= (x+ )(x- )

y= x2 + [ ] x- [ ]

2. Una estudiante dice que y=x2+40 produce la misma gráfica que y=(x-5)(x-8). ¿Estás de acuerdo con ella? _________ Justifica tu respuesta. _________________________________________________________________________________ ___________________________ ___________________________

3. Otro estudiante dice que las ecuaciones y=x2-5x+3x-15 y y=(x-5)(x+3) producen la misma gráfica. ¿Estás de acuerdo con él? ____________ Justifica tu respuesta. ________________ ________________________ ________________________________________________

4. Encuentra una ecuación para cons-truir la gráfica de la derecha y anó-tala.

y=_____________________



HOJA DE TRABAJO 112 Expresiones cuadráticas con un factor común

1. Encuentra una ecuación que te per-mita reproducir en tu calculadora la gráfica de la derecha. Anótala en el recuadro y explica cómo la encon-traste.

y= ________________

Explicación ____________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ 2. Encuentra otra ecuación que te permita reproducir la gráfica del inciso (1),

anótala en el recuadro y explica cómo la encontraste.

Explicación__________________ ________________________________________________________________________________________________________

y= __________________

3. Unos estudiantes crearon las ecuaciones y=x2-4x, y=(x+0)(x-4) y y= (x)(x-4)

para reproducir la gráfica del inciso (1). Compara esas ecuaciones y explica por qué producen la misma gráfica.

Explicación____________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

4. Otro estudiante dice que la ecuación (x)(x+4) también produce la gráfica que se muestra en el inciso (1). ¿Estás de acuerdo con él? _______ Justifica tu respuesta.

__________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 113 Factorización y equivalencia algebraica (1)

1. Como las de la hoja de trabajo anterior, encuentra tres ecuaciones que pro-

duzcan cada una de las siguientes gráficas. Si es necesario, ajusta el rango de la calculadora para que puedas ver las gráficas como aquí se presentan.

2. Una estudiante usó la ecuación y=

3x2-6x para construir la gráfica que se muestra a la derecha. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica.



HOJA DE TRABAJO 114 Factorización y equivalencia algebraica (2)

1. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes

gráficas.

y= 5x2-20x y=(x+0)(2x+3)

2. Encuentra dos ecuaciones equivalentes a y=2.5x2-15x. Anótalas en los recua-

dros y explica cómo razonaste para formular tu respuesta.

Explicación__________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________

3. En cada inciso encuentra otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica

que la ecuación que se da. Bosqueja a la derecha la gráfica correspondiente. a)

y= 8x2 + 16x

b)

y= 4x2 + 5x



Actividades que se sugieren para los futuros docentes

1. En la presentación de este bloque se hace referencia al “trino-mio de segundo grado”. Indaga en fuentes bibliográficas la de-finición de un trinomio cuadrado perfecto y las estrategias que se sugieren para factorizarlo. Compara estas estrategias con las que experimentaste en las actividades de este bloque y escribe un breve ensayo al respecto.

2. En la presentación de este bloque se hace referencia a “la dife-rencia de cuadrados”. Indaga en fuentes bibliográficas la defini-ción de “diferencia de cuadrados”. Compara estas estrategias con las que experimentaste en las actividades de este bloque y escribe un breve ensayo al respecto.

3. En la presentación de este bloque se hace referencia al “trino-mio cuadrado perfecto”. Indaga en fuentes bibliográficas la de-finición de “trinomio cuadrado perfecto”. Identifica en qué hojas de trabajo de este bloque se involucran trinomios cua-drados perfectos y en qué se diferencian estos casos del caso general que se presenta en la bibliografía que consultaste.

4. Elige tres hojas de trabajo de este bloque para que las apliques en una sesión con alumnos de educación básica. Haz un reporte de los resultados que obtuviste en términos de los aprendizajes que lograron esos alumnos y de las dificultades que les ayudas-te a resolver.

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