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Bloque 4

Representación algebraica de relaciones parte todo

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 4

Representación algebraica de relaciones parte todo

PresentaciónEntre otros, este bloque de actividades se orienta al logro de

dos grandes propósitos: (i) introducir la producción de expresiones algebraicas para describir relaciones parte-todo y (ii) introducir el uso de las expresiones algebraicas como herramienta para plantear y resolver problemas.

La habilidad para representar algebraicamente relaciones parte-todo es de especial importancia para plantear y resolver problemas matemáticos en muchos contextos, por ejemplo, problemas que involucran porcentajes y problemas geométricos. En este bloque abordarás algunos problemas clásicos de carácter geométrico.

De igual manera que en los bloques de actividades que preceden a éste, es muy relevante el apoyo que brinda un procesador algebraico como el que está instalado en la calculadora. En las actividades que aquí realizarás se aprovecha la estructura algebraica de las relaciones parte-todo para introducir el uso de números negativos y ampliar los conocimientos que has adquirido en el bloque anterior acerca del concepto de equivalencia entre expresiones algebraicas.

Te invitamos a abordar estas actividades reflexionando constantemente sobre el tipo de competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas. Esta reflexión enriquecerá tu formación como futuro docente, nuestra mayor expectativa es que esta experiencia fortalezca tus competencias matemáticas y que esto te sea de mucha utilidad cuando te desempeñes profesionalmente como educador.

Cable vendido Cable que queda

1.7 8.3

2.4 7.6

3.1 6.9

4.06 5.94

5.2 4.8



HOJA DE TRABAJO 32

¿Cómo expreso la parte restante?

1. En una ferretería hay carretes de un tipo de cable que se vende por kilo, todos los carretes pesan lo mismo. Para saber cuánto cable queda en cada uno, el administrador de la ferretería construyó un programa que hace lo siguiente:

Si teclea la cantidad que se vende el valor de salida le indica cuánto cable le queda.

2. De acuerdo con la información que te da este programa, ¿cuántos kilos de cable hay en

cada carrete?

3. ¿Puedes hacer un programa que produzca los mismos valores de salida que el del inciso

(1)? Pruébalo en tu calculadora y escríbelo abajo.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Cable venido 2.83 3.03 3.5 4.8

Cable que queda 5.01 6.2 7.04 7.32

5. ¿Cómo puedes comprobar que son correctos los valores que encontraste para 5.01, 6.2,

7.04 y 7.32? Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender.



HOJA DE TRABAJO 33

El todo respecto a sus partes (1)

1. Una estudiante construyó un programa que produce lo siguiente:

Valor deentrada

Valor desalida

1.3 18.7

2.5 17.5

3.8 16.2

4.4 15.6

5.9 14.1

2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida producirá el programa? ¿Y si

el valor de entrada es 7? ¿Si es 9? ¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores de salida?

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo? Usa la calculadora para

verificar tu respuesta y escribe tu programa en el recuadro.

3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

2.83 3.03 - 3.5 - 4.85.01 6.2 27.04 37.32

4. ¿Qué ocurre cuando el valor de entrada es un número negativo?

¿A qué crees que se deba eso?



HOJA DE TRABAJO 34

Aplicaciones de la relación parte todo (1)

1. Hay varios trozos de cable, todos miden 16 cm. Se quieren cortar en dos partes. En la siguiente figura se muestran algunas posibilidades:

4 cm 12 cm 11 cm 5 cm

3 cm 13 cm 9 cm 7 cm

6 cm 10 cm14 cm 2 cm

2. ¿Puedes construir un programa de manera que si le das la medida de una de las

partes te dé como resultado la medida de la otra?Escribe el programa que hiciste en el cuadro de abajo.

3. Describe cómo razonaste para construir tu programa. Hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender.

4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Valor deentrada

1.7 3.8 6.8 7.9

Valor desalida

12.8 14.9 15.6 17.4

5. ¿Cómo puedes comprobar que los valores que encontraste para los números 12.8,

14.9, 15.6 y 17.4 son los correctos?

HOJA DE TRABAJO 35


1. Hay una pieza cuadrada de cartón que se usará para hacer una caja recortando cuadrados en cada esquina de la pieza de cartón y luego doblando hacia arriba (figura 3).

El tamaño de los cuadrados que se recorten determinan cuánto van a medir la base y la altura de la caja. Las figuras 1 y 2 muestran dos posibles maneras de armar la caja.

Figura 1 Figura 2 Fig. 3

16 cm

4 cm

8 cm

4 cm

8 cm

8 cm

16 cm 8 cm

1. ¿Cuánto mide por lado la pieza de cartón? _

_ ¿Cuál es su área?

¿Qué operaciones que hiciste para calcular el área de la pieza de cartón?

2. Completa la siguiente tabla:

En la Figura 1 En la figura 2Área de la baseAltura de la cajaVolumen de la caja

3. Se quiere que la caja tenga el mayor volumen posible. Únicamente puedes hacer un

intento para obtener la caja de volumen máximo porque sólo se tiene esta pieza de cartón. ¿Puedes programar tu calculadora para obtener el volumen de cualquier caja que pueda formar con esta pieza de cartón cortando cuadrados en las esquinas? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

4. Usa tu programa para encontrar cuánto deben medir el lado de la base y la altura de la

caja para obtener el volumen máximo. Anota en el cuadro de abajo las medidas queencontraste para que la caja tenga volumen máximo.

Lado de la base Altura de la caja Volumen máximo

HOJA DE TRABAJO 36


1. Se tiene una pieza de cartón de forma rectangular. El largo de la pieza de cartón mide 38 cm y el ancho 20 cm. Se quiere usar este cartón para hacer una caja recortando cuadrados en cada esquina de la pieza de cartón y luego doblando hacia arriba (figura 3).

El tamaño de los cuadrados que se recorten determina cuántovan a medir el largo y ancho de la base de la caja y también cuánto va a medir su altura. Las figuras 1 y 2 muestran dos posibles maneras de armar la caja.

Fig.1 Fig.2

Fig. 3

2. ¿Qué operaciones necesitas realizar para calcular el área de la pieza de cartón?

¿Qué operaciones tendrías que hacer para calcular el volumen de la cajauna vez que esté armada?

3. Completa la siguiente tabla.Largo=30; Ancho=12 Largo=32; Ancho=14

Área de la baseAltura de la caja

Volumen de la caja

5. Se quiere que la caja que armes tenga el mayor volumen posible. Únicamente se cuenta

con esta pieza de cartón, por esto solamente puedes hacer un intento para obtener la caja con volumen máximo. ¿Puedes construir un programa para calcular el volumen de cualquier caja que se pueda formar cortando cuadrados en las esquinas? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

6. Usa tu programa para encontrar cuánto deben medir el lado de la base y la

Lado de la base Altura de la caja Volumen máximo

altura de lacaja con volumen máximo. Anota en el cuadro de abajo las medidas que

encontraste.

Valor deentrada

Valor desalida

1 0

2 -1

3 -2

4 -3

5 -2

HOJA DE TRABAJO 37

El todo respecto a sus partes (2)

1. Unos estudiantes construyeron unprograma que produce la siguiente tabla de valores:

2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida va a producir el programa?

Si el valor de entrada es 7, ¿qué valor de salida va a producir lacalculadora? ¿Qué valor de entrada produce 17 como

valor desalida?

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? Explícalo mediante un

ejemplo.

4. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que el programa que

crearon esos estudiantes? Escríbelo en el recuadro.

5. Construye un programa distinto que produzca los mismos resultados. Pruébalo

en tu calculadora y si funciona como esperas anótalo en el cuadro de

abajo.

Valor deentrada

Valor desalida

1 4

2 9

3 14

4 19

5 24

HOJA DE TRABAJO 38

¡Esta no es una relación parte todo!

1. Se creó un programa que produce esta tabla de valores:

2. Si el valor de entrada es 7, ¿qué valor de salida producirá ese programa?

¿Y si el valor de entrada es 10? ¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 19?

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

4. ¿Puedes crear un programar que produzca los mismos valores que el del inciso

(1)? Verifica tu respuesta con la calculadora y escribe tu programa en el recuadro.

5. Construye un programa equivalente al que hiciste para contestar la pregunta

anterior. Verifica si tu programa funciona como esperas y escríbelo en el recuadro.

Valor deentrada

Valor desalida

1 -1.5

2 -2.5

3 -2.5

4 -3.5

5 -5.5

HOJA DE TRABAJO 39

¡Esta tampoco es una relación parte todo!

1. Hay un programa que produce los siguientes valores de salida:

2. Si el valor de entrada es 7, ¿qué valor de salida producirá ese programa? ¿Si el valor de entrada es 8? ¿Qué valor de entrada produce como valor de salida -7?

3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

4. ¿Puedes crear un programar para que produzca los mismos valores de salida que el

del inciso (1)? Verifica que tu programa funcione como esperas y escríbelo en el recuadro.

5. Construye dos programas equivalentes al programa que hiciste para contestar la

pregunta anterior. Verifica que funcionen correctamente y escríbelos en los recuadros de abajo.

6. Un estudiante dice que el programa -1−(X+X)÷2 produce los mismos resultados que se muestran en la tabla. ¿Estás de acuerdo con él? Muestra dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

1 4

2 2

3 0

4 −2

5 −4

HOJA DE TRABAJO 40

Patrones decrecientes (1)

1. Hay un programa que produce los siguientes valores:

2. Una estudiante dice que el programa 6−2×a produce esos resultados. ¿Estás de acuerdo con ella? Muestra dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

3. Construye dos programas equivalentes al programa 6−2×a. Verifica que tus respuestas sean correctas y anota los programas que creaste en los recuadros de abajo.

4. Un estudiante dice que el programa 6−a+a es equivalente al programa 6−2×a.

¿Estás de acuerdo con él? Si tu respuesta es

afirmativa escribe dos ejemplos que la justifiquen.

5. Si no estás de acuerdo con él, explica tan claramente como te sea

posible por qué 6−a+a no es equivalente al programa 6−2×a.

1 -1

2 -2

3 -3

4 -4

5 -5

HOJA DE TRABAJO 41

Patrones decrecientes (2)

1. Hay un programa que produce los siguientes valores:

2. Si el valor de entrada es 7.5, ¿qué valor de salida producirá el programa?

¿Y si es valor de entrada es 10.1? ¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 5.75?

3. ¿Qué hiciste para obtener esos valores?

4. ¿Puedes crear un programa que produzca los mismos valores de salida que el del

inciso (1)? Escríbelo en el recuadro de abajo.

5. Una estudiante dice que el programa a−2×a produce los resultados que se muestran en la tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? Da dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

1. ¿Puedes construir otros dos programas que sean equivalentes al programa a−2×a?

Escríbelos a continuación.

Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Discute con tus compañeros y tu profesor las actividades de este bloque donde se aborda la relación parte-todo y concluyan en qué consiste esta relación.

2. Organícense en equipos para redactar tres problemas que involucren la relación parte-todo y que requieran plantearse mediante una expresión matemática. Intercambien con los problemas que propusieron y resuélvanlos.

3. Utiliza la calculadora, Excel u otro programa que te permita construir las gráficas de las funciones (expresiones algebraicas) que generaste para resolver los problemas de las hojas de trabajo 35 y 36. ¿Qué tan cerca de los valores máximos que muestran las gráficas están los valores que encontraste para el volumen máximo usando tu programa en la calculadora?

4. Con base en la experiencia que viviste al completar las hojas de trabajo 32-36, discute con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas que ofrece este tipo de actividades para favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica.

5. Con base en la experiencia que viviste al completar las hojas de trabajo 32-36, discute con tus compañeros y tu profesor cuáles pueden ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos.

6. Con base en la experiencia que viviste al completar las hojas de trabajo 37-41, discute con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas que ofrece este tipo de actividades para favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica.

7. Con base en la experiencia que viviste al completar las hojas de trabajo 37-41, discute con tus compañeros y tu profesor cuáles pueden ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos.

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